Univerzitet u Istonom Sarajevu

Univerzitet u Istonom Sarajevu

Saobraajni fakultet

Doboj

MATEMATSKA STATISTIKA-Seminarski rad -

TEMA:Vjerovatnoa osnovni pojmovi, definicije, osnovne operacije sa vjerovatnoamaProfesor: Studenti:

dr Stevan Stevi Milica Rendi 233/11Asistent: Gordana Vukojevi 162/11 mr Vladimir Markovi Tanja Pupevi 230/11

Doboj 2013.

OSNOVNI POJMOVI VJEROVATNOE Vjerovatnoa je vano uporite statistikog zakljuivanja, koje se izvodi u uslovima manje ili vee neizvjesnosti.

Teorija vjerovatnoe potpomae zakljuivanje u uslovima imperfektne informacije i neizvjesnosti. To se posebno odnosi na formulisanje metoda za zakljuivanje o vrijednostima parametara populacije na osnovu informacije iz uzorka.

Osnovni pojmovi u teoriji vjerovatnoe su: eksperiment, ishod i prostor uzorka.

Eksperimenti su potpuno precizirane operacije posmatranja ili prikupljanja podataka, koje se u nepromijenjenim uslovima mogu ponavljati proizvoljno mnogo puta i iji se ishod ne moe sa sigurnou predvidjeti.

Realizacije eksperimenata su ishodi kao skup unaprijed poznatih mogunosti realizacije. U svakom pojedinom izvoenju eksperimenta realizuje se samo jedan ishod - elementarni dogaaj.Prostor uzorka (prostor elementarnih dogaaja) je skup svih elementarnih dogaaja, a oznaava se kao:

S = {e1, e2, ..., ei, ..., en}, ei ( S, 1 ( i ( nSluajni dogaaj predstavlja podskup skupa elementarnih dogaaja, koji imaju neku zajedniku osobinu.

Ako se uzme primjer kocke ije su strane numerisane brojevima od 1 do 6. Elementarni dogaaji su brojevi od 1 do 6, koji ine prostor uzorka S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Sluajni dogaaj ine jedan, dva ili vie elementarnih dogaaja. Na primjer, sluajni dogaaj je A < dobijeni broj je neparan > , to se moe zapisati kao A = {1, 3, 5}.

Siguran dogaaj (S) jednak je skupu elementarnih dogaaja i realizuje se svaki put kada se izvodi odreeni eksperiment.

U ovom sluaju moe se odrediti kao:

S < dobijeni broj je manji od 7>.

Nemogu dogaaj (N) je onaj koji se ne moe realizovati prilikom izvoenja nekog eksperimenta.

Za eksperiment bacanja kocke nemogu dogaaj moe se odrediti kao:

N < dobijeni broj vei je od 6 >.

DEFINICIJE VJEROVATNOE1. Statistika definicija vjerovatnoePretpostavimo da se statistiki eksperiment izvodi proizvoljno mnogo puta i da se u svakom od tih izvoenja sluajan dogaaj A moe realizovati ili ne. Ako n (A) oznaava broj realizacija dogaaja A u n ponovljenih eksperimenata, tada je

Kolinik naziva se relativna uestalost ili frekvencija dogaaja A u tih n izvoenja. Ako se izvede vie ovakvih serija eksperimenata od po n nezavisnih ponavljanja, zapaa se da za dovoljno veliki broj n frekvencija dogaaja A za veinu ovih serija oscilira oko neke konstante. to je n vee, odstupanja frekvencije od te konstante su manja.

Ova stabilnost frekvencija omoguava da se uoena konstanta moe uzeti za vrijednost vjerovatnoe posmatranog dogaaja. Tako se frekvencija dogaaja A grupie oko broja P(A).

2. Geometrijska vjerovatnoa

Neka je skup S beskonaan. Pretpostavimo da je S mjerljiv podskup prostora (to znai da postoji mera koja je za n=1 duina, za n=2 povrina i za n=3 zapremina podskupa). Neka je A proizvoljan podskup od S ija je mjera m(A).

Ako se eksperiment sastoji u sluajnom biranju taaka iz skupa , treba pronai vjerovatnou da sluajno izabrana taka iz S padne u A. Ovdje sluajan izbor znai da se moe izabrati bilo koja taka iz S i da je vjerovatnoa padanja take A proporcionalna mjeri oblasti A kojom se predstavlja (nezavisno od poloaja i oblika podskupa A).

Tada je

Neka je, npr., interval sa realne prave R i neka je . Ako sa A oznaimo dogaaj koji se realizuje kad sluajno izabrana taka sa intervala padne u interval , tada je

3. Aksiomatska definicija vjerovatnoe dogaaja

Aksiomatska teorija vjerovatnoe Kolmogorova zasniva se na pojmu - polja.

Neka je familija podskupova skupa S koja ima sljedee osobine:

1. ,

2. ako , tada ,

3. ako , tada i

EMBED Equation.3 .

Familija sa navedenim osobinama zove se - polje, ili -algebra dogaaja.

Ako je prostor elementarnih dogaaja S konaan, tada svako sigma polje ima konano mnogo elemenata, pa se umjesto tree osobine koristi:

3*. Ako , tada je i .

U tom sluaju se umjesto naziva sigma polje koristi naziv polje dogaaja ili algebra dogaaja.

Svako sigma polje je polje.

Iz definicije sigma polja slijedi da ako se na dogaaje iz sigma polja prebrojivo mnogo puta primijene operacije uzimanja komplementa i unije, dobijaju se dogaaji iz , pa se kae da je sigma polje zatvoreno u odnosu na prebrojivu primjenu operacije presjeka dogaaja.

Za razliku od sigma polja, polje dogaaja je zatvoreno u odnosu na konanu primjenu operacije unije, presjeka i komplementa.

Ureen par zove se mjerljiv prostor. Kod aksiomatskog zasnivanja Teorije vjerovatnoa, vjerovatnoa dogaaja iz definie se kao funkcija dogaaja sa odreenim osobinama.

Vjerovatnoa je realna funkcija definisana na - polju dogaaja iz S koja ima sljedee osobine:

1. za svako vai (nenegaivnost),

2. (normiranost),

3. ako su uzajamno disjunktni dogaaji, tada je (-aditivnost).U prethodnoj definiciji osobine 1,2 i 3 su aksiome Kolmogorova.

1. Vjerovatnoa nemogueg dogaaja je nula,

2. Vjerovatnoa je konano aditivna funkcija: ako su uzajamno disjunktni dogaaji, tada je

3. Vjerovatnoa suprotnog dogaaja:

4. Ako je , tada je

5. Za svako vai

6. Lema o pokrivanju ili Bulova nejednakost:

7. Za sluaj da je n=2, bie:

8. Neprekidnost vjerovatnoe: Ako je niz dogaaja monotono neopadajui, tj., onda je:

Ureena trojka naziva se prostor vjerovatnoa ili vjerovatnosni model posmatranog stohastikog eksperimenta.

Ako je prostor ishoda nekog eksperimenta S diskretan (najvie prebrojiv), tj. , - polje je partitivni skup skupa S. Svakom elementarnom dogaaju moemo pridruiti vjerovatnou tako da je:

, j =1,2,...

Vjerovatnou proizvoljnog dogaaja definiemo kao zbir vjerovatnoa ishoda koji sainjavaju dogaaj A:

Moe se dokazati da je ureena trojka prostor vjerovatnoa. Jo se naziva diskretan prostor vjerovatnoa ili prekidan prostor vjerovatnoa.

4. Klasina definicija vjerovatnoe

Kada je skup elementarnih dogaaja konaan i kad su svi ishodi jednako vjerovatni, tada se na jednostavan nain moe definisati vjerovatnoa sluajnog dogaaja.

Neka je prostor elementarnih dogaaja konaan, tj. , - polje je skup svih podskupova od S. Svakom elementarnom dogaaju pridruimo vjerovatnou , j = 1,2,..., n, tako da je:

,

Vjerovatnoa proizvoljnog dogaaja A sastavljena je od k elementarnih dogaaja koji se moe predstaviti u obliku: , jednaka je:

Ako svakom elementarnom dogaaju pridruimo istu vjerovatnou

j = 1,2,..., n, dobijamo da je

Navedena definicija vjerovatnoe poznata je kao klasina ili Laplasova definicija vjerovatnoe.

USLOVNA VJEROVATNOA I NEZAVISNOST DOGAAJA

Za dva dogaaja E1 i E2 uslovna vjerovatnoa oznaava se sa P(E2/E1) i predstavlja vjerovatnou ostvarenja dogaaja E2 pod uslovom da se ostvario dogaaj E1. Ova vjerovatnoa odreuje se pomou izraza:

uz uslov da je P(E1) > 0.

Nezavisni dogaaji su oni kod kojih ostvarenje ili neostvarenje jednog dogaaja nema uticaja na vjerovatnou ostvarenja drugog dogaaja, tako da je:

(

.

Ovo se moe iskazati i na sljedei nain: dva dogaaja E1 i E2 su nezavisni ako je:

,

Odnosno, dva dogaaja su nezavisna ako je vjerovatnoa njihovog istovremenog ostvarenja jednaka proizvodu njihovih pojedinanih vjerovatnoa.

BAYES-OVA TEOREMAesto nas zanima vjerovatnoa uzroka nekog dogaaja. Na primjer, ako smo kontrolom proizvodnje auto dijelova ustanovili da je neki od njih neispravan, postavlja se pitanje, na kojoj maini je proizveden ili koji ga je radnik proizveo.

U ovakvim sluajevima odreivanje vjerovatnoe uzroka jedan je od naina njihovog otkrivanja.

Neka su dati dogaaji D1, D2, ... , Dk, koji su meusobno disjunktni:

( , ( i, j ,

a ija unija predstavlja siguran dogaaj, odnosno neki potpun prostor elementarnih dogaaja:

, i = 1, ..., k.

Tada je vjerovatnoa dogaaja X koji se realizuje pod uslovom da se realizovao jedan i samo jedan od dogaaja D1, D2, ... , Dk :

Prema pravilu mnoenja vjerovatnoa vai:

.

Odavde se uoptavanjem dobija opti oblik Bayes-ove teoreme:

Dogaaji D1, D2, ... , Dk smatraju uzrocima dogaaja X koji je, dakle, njihova posljedica. Zato se ova vjerovatnoa oznaava kao vjerovatnoa uzroka.

Treba uoiti da su vjerovatnoe a priori, a vjerovatnoe a posteriori, to u konanom rezultatu daje a posteriorne vjerovatnoe, koje pokazuju da je neki od dogaaja D1, D2, ... , Dk bio uzrok nastanka dogaaja X.

Ova teorema posebnu primjenu nalazi prilikom odreivanja vjerovatnoe nekih dogaaja za koje je poznata vjerovatnoa uzroka njihovog nastanka.Zadaci vezani za vjerovatnou:1. Na 3 stroja izrauje se isti proizvod. Na stroju B1 izrauje se 40% ukupne proizvodnje, a registrira se prosjeno 5% neispravnih proizvoda. Na ostala 2 stroja proizvodi se po 30% od ukupne proizvodnje, ali pri tome je na stroju B2 4%, a na stroju B3 3% neispravnih proizvoda. Treba izraunati vjerojatnost da e sluajno odabrani proizvod iz zajednikog skladita biti neispravan proizveden na stroju B1?

2. U kutiji se nalaze 4 crvene i 7 plavih kuglica. Sluajno se izvlai 5 kuglica.

a) Kolika je vjerojatnost da e svih 5 biti plave

b) Kolika je vjerojatnost da e 2 biti plave i 3 crvene

(bez razlomake crte u zagradi)

a) A: izvueno je 5 plavih kuglica

(bez razlomake crte u zagradama)

b) B... izvuene su 2 plave

C... izvuene su 3 crvene

(bez razlomakih crta u zagradama)

3. Za pismenu zadau pripremljeno je 6 zadataka. Izvrstan student zna rjeenje 6 zadataka, vrlo dobar 5, dobar 4, dovoljan 4 i slab 2 zadatka. Na ispit je izalo 12 studenata. Jedan student je rijeio izvrsno, 2 vrlo dobro, 4 dobro, 2 dovoljno i 3 slabo. Sluajno odabrana zadaa ima barem dva rijeena zadatka. Kolika je vjerojatnost da ta zadaa pripada studentu s ocjenom dobar?

H5- izvrstan, H4- vrlo dobar, H3- dobar, H2-dovoljan, H1-slabo, A-rijeio je bar 2 zadatka

P(A|H1)= P(A|H2)= P(A|H3)= P(A|H4)=

P(A|H5)=

P(A|H3)== 0.3534. U nekoj tvornici dnevno se prosjeno dogodi 3 krae nekih dijelova bakrenih dijelova za elektronske ureaje. Treba izraunati vjerojatnost da se odreenog dana nee dogoditi niti jedna kraa.

5. Kroz jednu autobusnu stanicu autobus prolazi svakih 15 minuta. Ako putnik sluajno dolazi na stanicu koliko oekuje da e ekati autobus? Nai vjerojatnost da e ekati manje od 5 minuta.

Literatura:

1. Danijela Rajter-iri, Verovatnoa, Novi Sad, 2009.

2. Zagorka Lozanov-Crvenkovi, Danijela Rajter: Zbirka reenih zadataka iz verovatnoe i statistike, Novi Sad, 1999.

3. http://bs.wikipedia.org/wiki/Kategorija:Vjerovatnoca_i_statistika

Sadraj:

2OSNOVNI POJMOVI VJEROVATNOE

DEFINICIJE VJEROVATNOE31. Statistika definicija vjerovatnoe32. Geometrijska vjerovatnoa33. Aksiomatska definicija vjerovatnoe dogaaja44. Klasina definicija vjerovatnoe5USLOVNA VJEROVATNOA I NEZAVISNOST DOGAAJA6BAYES-OVA TEOREMA7Zadaci vezani za vjerovatnou:8Literatura:11

PAGE 5

_1345904897.unknown

_1345905936.unknown

_1351007803.unknown

_1351335016.unknown

_1351335767.unknown

_1351335831.unknown

_1351336609.unknown

_1351335699.unknown

_1351335750.unknown

_1351335641.unknown

_1351335696.unknown

_1351335611.unknown

_1351008112.unknown

_1351139282.unknown

_1351007879.unknown

_1351003196.unknown

_1351006362.unknown

_1351006764.unknown

_1351006817.unknown

_1351002924.unknown

_1351002982.unknown

_1350974345.unknown

_1350974403.unknown

_1345906731.unknown

_1345906999.unknown

_1345907150.unknown

_1345907218.unknown

_1345906760.unknown

_1345905984.unknown

_1345906586.unknown

_1345905034.unknown

_1345905073.unknown

_1345905111.unknown

_1345905125.unknown

_1345905095.unknown

_1345905059.unknown

_1345904955.unknown

_1345904999.unknown

_1345904920.unknown

_1345900812.unknown

_1345902562.unknown

_1345902777.unknown

_1345902947.unknown

_1345903327.unknown

_1345903396.unknown

_1345904080.unknown

_1345903173.unknown

_1345902841.unknown

_1345902622.unknown

_1345902701.unknown

_1345901254.unknown

_1345902060.unknown

_1345902200.unknown

_1345900837.unknown

_1252411466.unknown

_1345899871.unknown

_1345900724.unknown

_1345900763.unknown

_1345900134.unknown

_1345900655.unknown

_1345899897.unknown

_1345899710.unknown

_1345899763.unknown

_1252415055.unknown

_1345899184.unknown

_1252413920.unknown

_1252333375.unknown

_1252333582.unknown

_1252333620.unknown

_1252333640.unknown

_1252333932.unknown

_1252333598.unknown

_1252333490.unknown

_1252332027.unknown

_1252332186.unknown

_1252333374.unknown

_1252331474.unknown