Matematske metode za obradu digitalne slike-Muhedin&Irma 1

7/30/2019 Matematske metode za obradu digitalne slike-Muhedin&Irma 1

http://slidepdf.com/reader/full/matematske-metode-za-obradu-digitalne-slike-muhedinirma-1 1/14

UNIVERZITET U SARAJEVU

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

TEORIJSKA KOMPJUTERSKA NAUKA

Seminarski rad iz predmeta Matematske metode u obradi digitalne slike

Tema: Linearne diskretne transformacije digitalne slike te njihova evaluacija nadigitalnim slikama različitih scena

Studenti: Mentor:

Irma Bašić dr. Naser Prljača, red. prof.

Muhedin Hadžić

Sarajevo, 2013. godine



2 od 14

Sadržaj

Uvod ................................................................................................................................................. 3

Diskretna Fourierova transformacija .................................................................................................. 4

Diskretna Fourierova transformacija 1D signala ............................................................................. 4

Diskretna Fourierova transformacija 2D signala ............................................................................. 4

Diskretna kosinusna transformacija (DCT) ......................................................................................... 6

Diskretna kosinusna transformacija 1D signala .............................................................................. 7

Diskretna kosinusna transformacija 2D signala .............................................................................. 9

Matrica DCT transformacije ............................................................................................................. 11

DCT i kompresija slike ...................................................................................................................... 12

Literatura: ....................................................................................................................................... 14



3 od 14

Uvod

Fourierova transformacija omogućava razlaganje proizvoljnog diskretnog signala usinusoidalne komponente različitih učestanosti. Zavisno od toga da li je u prostornom

domenu signal periodičan ili ne, njegov spektar će imati diskretnu ili kontinualnu prirodu.Pored osnovne primjene u spektralnoj analizi signala, Furijeova transformacija ima i nizdrugih primjena, kojima je naročito doprinijelo postojanje efikasnih algoritama zaizračunavanje Diskretne Furijeove transformacije.U nekim drugim primjenama pogodnije je izvršiti razlaganje signala na drugi način, kojiomogućava bolje zadovoljavanje postavljenih zahtijeva. Na primjer, takvi su slučajevi kadase zahtjeva da transformacija bude realna, tj. da se ne operiše sa kompleksnim brojevima, ilikada se postavlja zahtjev za kompresiju energije signala u što manji broj komponenata utransformacionom domenu. Povećanje računske efikasnosti takođe može biti razlog zatraženje novih transformacija.Zbog izračunavanja na digitalnom računaru i razvoja brzih algoritama za izračunavanje,transformacije jednodimenzionalnih i dvodimenzionalnih diskretnih signala definisane suuglavnom za sekvence konačne dužine, odnosno za periodički produžene sekvence.



4 od 14

Diskretna Fourierova transformacija

U praktičnim izračunavanjima na digitalnom računaru uvijek se radi sa konačnim diskretnimsekvencama, a frekvencijski spektar se izračunava u konačnom broju diskretnih tačaka. Zbogtoga se za praktičnu frekvencijsku analizu signala koristi Diskretna Furijeova transformacijasignala.

Diskretna Fourierova transformacija 1D signala

Transformacioni par za jednodimenzionalnu DFT se najčešće definiše izrazima:

Vidi se da ovakav oblik Diskretne Furijeove transformacije nema unitarnu transformacionumatricu. Međutim, jednostavnom modifikacijom izraza iznad, koja se sastoji u promjenimultiplikativnog faktora, dobija se unitarna Diskretna Fourierova transformacija (unitarna

DFT):

koja se češće koristi u obradi slike.

Diskretna Fourierova transformacija 2D signala

Diskretna Fourierova transformacija 2D diskretnog signala definiše se transformacionim parom:



5 od 14

Diskretna Fourierova transformacija ima niz osobina koje olakšavaju njenoizračunavanje i primjenu. Većina ovih osobina predstavlja generalizaciju osobina DiskretneFourierove transformacije jednodimenzionalnih sekvenci. Ako se transformacioni par za 2DDiskretnu Fourierovu transformaciju označi sa:

x[m,n]⇔ X [k ,l ] ,

onda vrijede relacije koje će u daljem tekstu biti navedene bez dokaza, jer se dokazi svih ovih

osobina mogu lahko izvesti korištenjem sljedećih definicionih relacija:1. Periodičnost sa periodom M × N :

x[m,n] = x[m+ M ,n] = x[m,n + N ] = x[m+ M ,n + N ] , X [k ,l ] = X [k + M ,l ] = X [k ,l + N ] = X [k + M ,l + N ].

2. Linearnost :

3. Periodična ili cirkularna konvolucija:

x[m,n]* y[m,n]⇔ X [k ,l ]Y [k ,l ]

gdje simbol * označava periodičnu ili cirkularnu konvoluciju.

4. Množenje:



6 od 14

5. Separabilnost : x[m,n] = x1[m] x2[n]⇔ X [k ,l ] = x1[k ] x2[l ]

gdje su sekvence x1[k ] i x2[l ] Diskretne Fourierove transformacije jednodimenzionalnihsekvenci x1[m] i x2[n].

6. Cirkularni pomak u prostornom ili frekvencijskom domenu:

gdje simbol < ⋅ > K označava izračunavanje indeksa po modulu K .

7. Simetrija

Osobina simetrije ima važnu primjenu u obradi slike. Zbog toga što pikseli slike predstavljajurealnu 2D sekvencu, važi osobina iznad. Korištenjem te osobine može se smanjiti brojračunskih operacija za izračunavanje odbiraka u frekvencijskom domenu za oko dva puta.



7 od 14

Diskretna kosinusna transformacija (DCT)

U obradi slike, a naročito u kompresiji slike, se pored Diskretne Furijeovetransformacije vrlo često koristi Diskretna kosinusna transformacija (DCT). Zbog važnostiove transformacije, u daljem izlaganju će prvo biti objašnjena jednodimenzionalna, a zatim i

dvodimenzionalna Diskretna kosinusna transformacija.

Diskretna kosinusna transformacija 1D signala

Neka je x[n] konačna sekvenca sa N nenultih odbiraka u intervalu 0 ≤ n ≤ N −1. Izvantog intervala sekvenca x[n] je jednaka nuli. Od nje se može formirati sekvenca y[n] dvostrukedužine 2 N na sljedeći način:

Sekvenca y[n] je simetrična oko tačke n = N -1/2 . Interesantno je da prilikom opisanog periodičnog produženja sekvence y[n] sa periodom 2 N dolazi do manjih diskontinuiteta namjestima gdje se spaja kraj jedne periode sa početkom druge, nego što je to slučaj prilikomuobičajenog periodičnog produženja sekvence x[n] sa periodom N . Ova činjenica imadalekosežne posljedice na osobine kompresije energije.

Diskretna Furijeova transformacija sekvence y[n] data je izrazom:

Smjenom tekuće promjenljive u drugoj parcijalnoj sumi, poslije kraćeg izračunavanja sedobija:

Diskretna kosinusna transformacija sekvence x[n] definiše se kao:



8 od 14

Ovo nije jedina definicija Diskretne kosinusne transformacije koja se sreće u literaturi. Izraziznad naziva se parno simetrična Diskretna kosinusna transformacija prema načinuformiranja pomoćne sekvence y[n].

Da bi se izvela relacija za inverznu Diskretnu kosinusnu transformaciju treba prvo izrazitiY [k ] preko C [k ] .

odnosno, na osnovu

odnosno:

Relacije iznad predstavljaju traženi transformacioni par za Diskretnu kosinusnutransformaciju.



9 od 14

U primjenama vezanim za obradu slike mnogo češće se koristi unitarna verzija Diskretnekosinusne transformacije (unitarna DCT), čiji je transformacioni par definisan izrazima:

Iz prethodnog izraza se lahko može vidjeti da je za razliku od DFT, DCT realna unitarnatransformacija, za čiju transformacionu matricuC N × N = [c(k ,n)] važi:

odnosno, matrica transformacije inverzne unitarne DCT dobija se transpozicijom matricetransformacije direktne DCT.

Jedno od važnih svojstava Diskretne kosinusne transformacije je da za njenoizračunavanje postoje brzi algoritmi. Iz postupka izvođenja definicionih relacija za DCT se

vidi da se za izračunavanje direktne i inverzne DCT može iskoristiti DFT pomoćne sekvencedvostruke dužine. Međutim, zbog realnosti i simetrije pomoćne sekvence, mogu se načinitiodređene uštede u broju računskih operacija. Uštede mogu biti i veće ako se iskorističinjenica da je DCT realna transformacija. Zbog toga su za efikasno izračunavanje DCTrazvijeni posebni brzi algoritmi.

Druga važna osobina DCT je da ona ima izvrsnu sposobnost kompresije energijesignala u mali broj transformacionih koeficijenata, ako su odbirci signala jako korelisani. Ovaosobina je, uz činjenicu da je DCT realna transformacija za koju postoje brzi algoritmi,doprinijela izuzetno velikoj popularnosti DCT u primjenama vezanim za kompresijugovornog signala i kompresiju slike.

Diskretna kosinusna transformacija 2D signala

Izvođenje Diskretne kosinusne transformacije za dvodimenzionalne sekvence predstavlja jednostavnu generalizaciju jednodimenzionalnog slučaja. Prvo se od konačnedvodimenzionalne sekvence x[m,n] , dimenzija M × N , formira pomoćna sekvenca y[m,n] ,dimenzija 2 M × 2 N , na sledeći način:

y[m,n] = x[m,n]+ x[2 M −1− m,n]+ x[m,2 N −1− n]+ x[2 M −1− m,2 N −1− n]



10 od 14

Zatim se odredi dvodimenzionalna DFT pomoćne sekvence Y [k ,l ], poslije čega se definišedvodimenzionalna DCT pomoću relacije:

odakle se konačno dobija definicioni izraz za parno simetričnu dvodimenzionalnu DCT:

Istim postupkom kao u jednodimenzionalnom slučaju dolazi se do izraza za

dvodimenzionalnu inverznu Diskretnu kosinusnu transformaciju:

gdje je:

Prethodni izrazi definišu dvodimenzionalnu DCT koja nema svojstvo unitarnosti. U obradislike se češće koristi unitarna 2D DCT, čiji je transformacioni par dat izrazima:

gdje je :



11 od 14

Na slici je prikazana originalna slika Lena i njena unitarna 2D DCT.

Matrica DCT transformacije

Matlab toolbox za obradu slike nudi dva različita načina izračunavanja DCT.1. Prvi metod je korištenje funkcije dct2. dct2 koristi FFT bazirani algoritam za

ubrzavanje izračunavanja za velike ulazne podatke.

2. Drugi metod je korištenje DCT matrice transformacije koja se izračunava pomoćudctmtx i može biti efikasnija za male kvadratne ulaze, ko što je 8x8 ili 16x16 .matrica transformacije T dimenzije MxN je data sa:

Za MxN matricu A, T*A je matrica MxN čije kolone sadrže 1D DCT kolona A, 2D

DCT od A se može izračunati B=T•A•T' . Budući da je T realna ortogonalna matrica, njenainverzija je ista kao i transponovana matrica T . Prema tome. Inverzna 2D DCT od B jeT'•B•T .



12 od 14

DCT i kompresija slike

U JPEG algoritmu kompresije, ulazna slika se dijeli na blokove 8x8 ili 16x16 piksela,a zatim se izračunava DCT za svaki blok. DCT koeficijenti se kvantiziraju, kodiraju i

prenose. JPEG prijemnik ( ili čitač JPEG formata iz fajla) dekodira kvantizirane DCTkoeficijente, izračunava inverznu 2D DCT za svaki blok, i stavlja blokove u jednu sliku. Zatipične slike, mnogi DCT koeficijenti su blizu nula, ovi koeficijenti se mogu odbaciti bezozbiljnog uticaja na kvalitet rekonstruirane slike.

Primjer ispod izračunava 2D DCT od 8x8 blokova ulazne slike, odbacuje (postavlja na nulu)sve koeficijente osim 10 od 64 DCT koeficijenta u svakom bloku, a zatim rekonstruiše slikukoristeći inverznu 2D DCT za svaki blok.

Primjer orginalne slike i slike kontaminirane sa Gausovim, impulsnim (‘salt & pepper’) i Gausovimimpulsnim šumom:

>> slika = imread ('irma.tif');>> slika1 = imnoise(slika, 'salt & pepper', 0.5);>> figure, imshow(slika)>> figure, imshow(slika1)

Primjer: dct2()

>> slika = imread('irma.tif');>> slika1 = rgb2gray(slika);>> slika2 = dct2(slika1);>> imshow(log(abs(slika2)),[]), colormap(jet(64)), colorbar



13 od 14

Primjer: fft2()

>> slika = imread('irma.tif');>> slika1 = rgb2gray(slika);>> slika2 = fft2(slika1);>> imshow(log(abs(slika2)),[]), colormap(jet(64)), colorbar



14 od 14

Literatura:

[1] Gonzales, R.C., Wintz, P., Digital Image Processing , Addison-Wesley Publ. Comp.,Reading, MA, 1977.[2] Jain, A.K., Fundamentals of Digital Image Processing , Prentice Hall, Englewood Cliffs,

NJ, 1989.

[3] Lim, J.S., Two-Dimensional Signal and Image Processing , Prentice Hall, Englewood

Cliffs, NJ, 1990.[4] Castleman, K.R., Digital Image Processing , Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1996.[5] Popović, M.V., Digitalna obrada signala, Nauka, Beograd, 1997.[6] Rao, K.R., Yip, P., Discrete Cosine Transform: Algorithms, Advantages, Applications,Academic Press, New York, 1990.[7] Pratt, W.K., Digital Image Processing , 2nd Ed., John Wiley & Sons, New York, 1991

Documents

Matematske metode za obradu digitalne slike-Muhedin&Irma 1