Matematyka - pazdro.com.pl (1).pdf · Kąty wierzchołkowe, przyległe, kąty utworzone przez parę prostych i trzecią nierównoległą do nich (sieczną) – odpowiadające (np

Matematyka

Zadania powtórkowe przed maturąZakres podstawowy

Tomasz Zamek-GliszczyńskiZbiór Zadania powtórkowe... pomoże uczniom w przygotowaniu się do matury z matematyki w zakresie podstawowym. Zadania dotyczą wszystkich treści nauczania, których znajomość będzie sprawdzana na egzaminie od roku 2015.

Książka składa się z 9 skomponowanych tematycznie rozdziałów. Każdy rozdział zawiera:→ krótkie przypomnienie teoretyczne→ zadania zamknięte→ zadania otwarte krótkiej odpowiedzi → zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi.

Na końcu są zebrane odpowiedzi i wskazówki do zadań.Staranne rozwiązanie zadań ze zbioru ułatwi radzenie sobie z mniej typowymi za-daniami w trakcie egzaminu.Do zbioru załączono zestaw wzorów matematycznych przydatnych na maturze oraz do rozwiązywania zadań w tym zbiorze.

W przygotowaniu Zadania powtórkowe... obejmujące treści nauczania z matematyki w zakresie rozszerzonym.

MTP

Matematyka


Tomasz Zamek-Gliszczyński

Mat

emat

yka

MatematykaMMat

emat

yka Kompendium maturalne

Zakres podstawowy

Aleksandra Gębura

Matematyka

Zadania powtórkowe przed maturąZakres rozszerzony


Mat

emat

yka

MatematykaMMat

emat


Zakres rozszerzony

Aleksandra Gębura Dobry trening dziś, to mniejszy stres jutro…

Polecamy również:

Mat

emat

yka

Matem

atyka M

atematyka Zadania pow

tórkowe przed m

aturą Zakres podstaw

owy

Spis treści

Wstęp 4

1 Liczby 5

2 Algebra 24

3 Funkcje 31

4 Ciągi 61

5 Geometria na płaszczyźnie 69

6 Trygonometria 87

7 Geometria analityczna 99

8 Stereometria 107

9 Statystyka i prawdopodobieństwo 119

Odpowiedzi 132

Spis treści

Wstęp 4

1 Liczby 5

2 Algebra 24

3 Funkcje 31

4 Ciągi 61

5 Geometria na płaszczyźnie 69

6 Trygonometria 87

7 Geometria analityczna 99

8 Stereometria 107

9 Statystyka i prawdopodobieństwo 119

Odpowiedzi 132

Wstęp

Każdy rozdział książki zawiera: krótkie przypomnienie teorii (ważnym uzupełnieniem jest wkładka – zestaw najważniejszych wzorów), serię zadań zamkniętych, zadań otwartych krótkiej odpowiedzi oraz zadań otwartych rozszerzonej odpowiedzi

Niektóre zadania na maturze będą wymagać pomysłu, nowego rozumowania Znajdziesz tu zadania tego rodzaju, żeby móc wyćwiczyć radzenie sobie z takimi problemami Na egzaminie nie będą one groźnymi niespodziankami Zadania szczególnie trudne oznaczyłem gwiazdką (*)

Sprawdzaj swoje tempo rozwiązywania zadań Im bliżej egzaminu, tym sprawniej powinno Ci to iść Nie panikuj, jeśli rozwiązywanie zadań zabiera Ci za dużo czasu Po prostu musisz nabrać wprawy Nie poddawaj się, nie zaglądaj do odpowiedzi za szybko

Zastanów się nad techniką rozwiązywania zadań zamkniętych Czasem warto najpierw odrzucić niepasujące odpowiedzi, dopiero potem sprawdzić pozostałe

Zwróć uwagę na sposób pisania odpowiedzi do zadań otwartych Czytelne przedstawienie rozumowania jest ważne nie tylko dla sprawdzającego, ale też dla Ciebie – bywa, że dopiero przy formułowaniu rozwiązania przychodzi pomysł na przekonujące i krótkie ujęcie

Jeśli zorientujesz się, że z jakąś częścią materiału masz kłopoty, możesz zajrzeć do Kompendium* Warto współpracować z koleżankami i kolegami, którzy też ćwiczą rozwiązywanie takich zadań Od nich możesz się czegoś dowiedzieć A pomagając innym, Ty też się uczysz Ważne jest wsparcie nauczycieli, którzy na pewno będą starali się Ci pomóc

Mam przekonanie, że ten zbiór przyczyni się do Twojego sukcesu, czego Ci serdecznie życzę

Autor

_____________* Aleksandra Gębura, Matematyka. Kompendium maturalne Zakres podstawowy, Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro, Warszawa 2014

69

5. Geometria na płaszczyźnie


Powtórzenie5.1. Podstawowe definicje i fakty

Twierdzenie Pitagorasa

Jeżeli trójkąt o bokach długości a, b i c jest prostokątny, przy czym bok a jest prostopadły do boku b, to a2 + b2 = c2

Twierdzenie odwrotneJeżeli w trójkącie o bokach a, b i c zachodzi równość a2 + b2 = c2, to trójkąt jest prostokątny, a bokami prostopadłymi są boki a i b

a2

b2

c2

Wysokość trójkąta prostokątnego opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, których jest średnią geometryczną

Figury geometryczne wypukłe i wklęsłe

Figura geometryczna jest wypukła, gdy wraz z dowolnymi dwoma jej punktami A i B należą do niej również wszystkie punkty odcinka AB

Figury wypukłe Figury niewypukłe

69



Powtórzenie5.1. Podstawowe definicje i fakty

Twierdzenie Pitagorasa

Jeżeli trójkąt o bokach długości a, b i c jest prostokątny, przy czym bok a jest prostopadły do boku b, to a2 + b2 = c2

Twierdzenie odwrotneJeżeli w trójkącie o bokach a, b i c zachodzi równość a2 + b2 = c2, to trójkąt jest prostokątny, a bokami prostopadłymi są boki a i b

a2

b2

c2

Wysokość trójkąta prostokątnego opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, których jest średnią geometryczną

Figury geometryczne wypukłe i wklęsłe

Figura geometryczna jest wypukła, gdy wraz z dowolnymi dwoma jej punktami A i B należą do niej również wszystkie punkty odcinka AB

Figury wypukłe Figury niewypukłe

70

Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy

Kąty wypukłe Kąty wklęsłe

Kąty wierzchołkowe, przyległe, kąty utworzone przez parę prostych i trzecią nierównoległą do nich (sieczną) – odpowiadające (np. a1 i a3), jednostronne wewnętrzne (np. b2 i a3), jednostronne zewnętrzne (np. b1 i a4), naprzemianle-głe wewnętrzne (np. b2 i b3), naprzemianległe zewnętrzne (np. a1 i a4)

Kąty wierzchołkowe są równe:a1 = a2, b1 = b2 Kąty przyległe sumują się do 180°:a1 + b1 = 180°, a1 + b2 = 180°,a2 + b2 = 180°, a2 + b1 = 180°

Jeśli proste k i l są równoległe, to kąty odpowiadające, kąty naprzemianległe wewnętrzne, naprzemianległe zewnętrzne, są równe (a1 = a2 = a3 = a4 i b1 = b2 = b3 = b4),a kąty jednostronne wewnętrzne, jednostronne ze

wnętrzne sumują się do 180° (b2 + a3 = 180°, a2 + b3 = 180°, a1 + b4 = 180°, b1 + a4 = 180°) Jest też na odwrót: Jeśli kąty odpowiadające są równe lub kąty naprzemianległe są równe lub kąty jednostronne wewnętrzne bądź zewnętrzne sumują się do 180°, to proste k i l są równoległe

Jeśli a1 + b3 = 180°, to proste k i l są równoległe

Jeśli ramiona jednego kąta są prostopadłe do ramion drugiego kąta, to te kąty albo są równe, albo sumują się do 180°

Kąty w wielokącie

Kąty wewnętrzne

Kąty zewnętrzne

W dowolnym wielokącie wypukłym suma kątów zewnętrznych jest równa 360°

a1

a2

b1

b2

a3

a4

b3

b4

k

l

m

71


Suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180° Kąt zewnętrzny w trójkącie jest równy sumie nieprzyległych kątów wewnętrznych

Dwa trójkąty są przystające, gdy są identyczne w tym sensie, że jeden można nałożyć na drugi (przekształcić przez przesunięcie, symetrię, symetrię i przesunięcie lub obrót) Cechy przystawania trójkątów:• oba trójkąty mają równe boki (cecha bbb)• oba trójkąty mają taką samą parę boków i taki sam kąt między bokami tej pary

(cecha bkb)• oba trójkąty mają równy jeden bok i dwa kąty przyległe do niego (cecha kbk)

Dwa trójkąty są podobne, gdy jeden z nich jest powiększeniem drugiego Cechy podobieństwa trójkątów:• w obu trójkątach proporcje pomiędzy odpowiadającymi sobie bokami są te

same• oba trójkąty mają te same kąty• oba trójkąty mają parę boków, między którymi jest ta sama proporcja i pomię

dzy którymi jest ten sam kąt

Szczególne punkty w trójkącie

Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie i jest to środek okręgu opisanego na trójkącie Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie i jest to środek okręgu wpisanego w trójkąt Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie Fizycznie jest to środek ciężkości trzech wierzchoków trójkąta, również środek ciężkości trzech jego boków, jeśli przyjmiemy, że każdy bok ma tę samą wagę, i jednocześnie środek ciężkości wnętrza trójkąta Środkowe dzielą się w stosunku 2 : 1, licząc od wierzchołka Wysokości trójkąta lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie zwanym ortocentrum

71


Suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180° Kąt zewnętrzny w trójkącie jest równy sumie nieprzyległych kątów wewnętrznych

Dwa trójkąty są przystające, gdy są identyczne w tym sensie, że jeden można nałożyć na drugi (przekształcić przez przesunięcie, symetrię, symetrię i przesunięcie lub obrót) Cechy przystawania trójkątów:• oba trójkąty mają równe boki (cecha bbb)• oba trójkąty mają taką samą parę boków i taki sam kąt między bokami tej pary

(cecha bkb)• oba trójkąty mają równy jeden bok i dwa kąty przyległe do niego (cecha kbk)

Dwa trójkąty są podobne, gdy jeden z nich jest powiększeniem drugiego Cechy podobieństwa trójkątów:• w obu trójkątach proporcje pomiędzy odpowiadającymi sobie bokami są te

same• oba trójkąty mają te same kąty• oba trójkąty mają parę boków, między którymi jest ta sama proporcja i pomię

dzy którymi jest ten sam kąt

Szczególne punkty w trójkącie

Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie i jest to środek okręgu opisanego na trójkącie Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie i jest to środek okręgu wpisanego w trójkąt Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie Fizycznie jest to środek ciężkości trzech wierzchoków trójkąta, również środek ciężkości trzech jego boków, jeśli przyjmiemy, że każdy bok ma tę samą wagę, i jednocześnie środek ciężkości wnętrza trójkąta Środkowe dzielą się w stosunku 2 : 1, licząc od wierzchołka Wysokości trójkąta lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie zwanym ortocentrum

72


Kąty w okręgu

Niech dany będzie okrąg i dwa różne punkty na nim i niech będzie wybrany jeden z dwóch łuków okręgu, na które dzielą okrąg te dwa punkty Kątem środkowym opartym na łuku jest ten kąt o wierzchołku w środku okręgu i ramionach przechodzących przez końce łuku, który zawiera cały łuk Kątem wpisanym opartym na łuku jest każdy kąt o wierzchołku na okręgu (poza łukiem), którego ramiona przechodzą przez końce łuku i który zawiera cały łuk

2 2

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany jest od niego dwa razy większy

WnioskiKąt wpisany oparty na półokręgu (inaczej mówiąc: oparty na średnicy) jest prosty Wszystkie kąty wpisane w okrąg i oparte na tym samym łuku są równe W czworokącie wpisanym w okrąg suma przeciwległych kątów jest równa 180° Kąt wpisany oparty na cięciwie jest równy kątowi dopisanemu do tej cięciwy (kąt dopisany do odcinka koła jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tym odcinku) Spójrz na dwa przypadki na rysunku

Okrąg i prosta

Prosta styczna do okręgu jest prostopadła do promienia wystawionego w punkcie styczności Na rysunku poniżej prosta PT1 jest prostopadła do ST1 Jej odległość od środka okręgu jest równa promieniowi tego okręgu Z jednego punktu P poza okręgiem można przeprowadzić dwie styczne do tego okręgu Prosta PS jest osią symetrii całego rysunku W szczególności oznacza to, że odległości od punktu P do każdego z tych dwóch punktów styczności są równe: |PT1| = |PT2| oraz prosta PS dzieli kąt T1PT2 na połowy

73


Zadania

Zadania zamknięte

1. W trójkącie długości boków są a, b i c, przy czym boki spełniają nierówności a ≤ b ≤ c Wskaż zdanie nieprawdziwe A Jeśli kąt między bokami a i b jest ostry, to a2 + b2 > c2 B Jeśli a2 + b2 < c2, to kąt między bokami a i b jest rozwarty C Jeśli trójkąt o bokach a, b i c jest prostokątny, to trójkąt o bokach a + 1, b + 1 i c + 1

też jest prostokątny D Jeśli a2 + b2 = 2c2, to trójkąt jest równoboczny

2. Wskaż zdanie prawdziwe A Pole trójkąta jest tym większe, im większy jest jego obwód B Jeśli pole trójkąta równobocznego i pole kwadratu są równe, to stosunek boku

kwadratu do boku trójkąta jest jak 2 : 3

S P

T2

T1

Jeśli odległość prostej od środka okręgu jest większa od promienia okręgu, to prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem, jeśli jest mniejsza, to prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne

Dwa okręgi

Okrąg o środku w punkcie O i promieniu r jest styczny zewnętrznie do okręgu o środku w punkcie P różnym od O i o promieniu R, gdy |OP| = r + R, a styczny wewnętrznie, gdy |OP| = R – r (wtedy musi zachodzić nierówność r < R)

O OP Pr

r

R

R

73


Zadania

Zadania zamknięte

1. W trójkącie długości boków są a, b i c, przy czym boki spełniają nierówności a ≤ b ≤ c Wskaż zdanie nieprawdziwe A Jeśli kąt między bokami a i b jest ostry, to a2 + b2 > c2 B Jeśli a2 + b2 < c2, to kąt między bokami a i b jest rozwarty C Jeśli trójkąt o bokach a, b i c jest prostokątny, to trójkąt o bokach a + 1, b + 1 i c + 1

też jest prostokątny D Jeśli a2 + b2 = 2c2, to trójkąt jest równoboczny

2. Wskaż zdanie prawdziwe A Pole trójkąta jest tym większe, im większy jest jego obwód B Jeśli pole trójkąta równobocznego i pole kwadratu są równe, to stosunek boku

kwadratu do boku trójkąta jest jak 2 : 3

S P

T2

T1

Jeśli odległość prostej od środka okręgu jest większa od promienia okręgu, to prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem, jeśli jest mniejsza, to prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne

Dwa okręgi

Okrąg o środku w punkcie O i promieniu r jest styczny zewnętrznie do okręgu o środku w punkcie P różnym od O i o promieniu R, gdy |OP| = r + R, a styczny wewnętrznie, gdy |OP| = R – r (wtedy musi zachodzić nierówność r < R)

O OP Pr

r

R

R

74


C Jeśli pole kwadratu jest 3 razy większe od pola trójkąta równobocznego, to sto

sunek boku kwadratu do boku trójkąta jest jak 3 : 2 D Jeśli pole kwadratu o boku jeden i pole trójkąta równobocznego o boku jeden są

razem równe polu trójkąta równobocznego o boku a, to a = +1 3

3. Bok a i bok b prostokąta podzielono na 4 równe części, a następnie w ten prostokąt wpisano równoległobok jak na rysunku

a

b

Pole równoległoboku jest równe

A 34

ab B 916

ab C 58

ab D 34

ab

4. Wskaż zdanie prawdziwe A Wysokości w trójkącie przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w proporcji

2 : 1 B Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie, a jego odległość od

wierzchołków trójkąta jest taka sama C Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, a ten jest równo od

legły od boków trójkąta D Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie i dzielą się wzajemnie w pro

porcji 2 : 1

5. Wskaż zdanie prawdziwe A Środek okręgu wpisanego w trójkąt o bokach 5, 5, 6 pokrywa się z przecięciem się

środkowych trójkąta B Środek okręgu opisanego na trójkącie o bokach długości 5, 6, 7 leży na zewnątrz

tego trójkąta C Trójkąt o bokach długości 5, 6, 7 jest rozwartokątny D Tylko jedna z wysokości w trójkącie o bokach długości 3, 4, 6 leży wewnątrz tego

trójkąta

6. Trójkąt o bokach 5, 6, 7 jest podobny do trójkąta o bokach

A 25, 36, 49 B 2 5 , 2 6, 2 7

C 102

, 142

, 6 2 D 6, 7, 8

75


7. Wysokość w trójkącie o bokach 3, 4, 5 opuszczona na bok o długości 5 jest równaA 2,5 B 2,4 C 2,3 D 3

8. Wysokość opuszczona na bok o długości 5 w trójkącie o bokach 3, 4, 5 dzieli ten bokA w proporcji 3 : 4 B w proporcji 9 : 16

C na odcinki o długości 2 i 3 D na odcinki o długości 157

i 207

9. Wskaż zdanie prawdziwe A Przekątne równoległoboku połowią się pod kątem prostym B Jeśli przekątne trapezu przecinają się pod kątem prostym, to ten trapez jest rów

noramienny C Jeśli dwa czworokąty mają równe przekątne, to ich pola są równe D Jeśli przekątne czworokąta, przecinając się, dzielą się wzajemnie w tej samej pro

porcji, to czworokąt jest trapezem

10. Pole równoległoboku o bokach a i b (a ≠ b) jest równe P Do tego równoległoboku dorysowano trapez jak na rysunku poniżej:

a

b

b

P

A Pole trapezu jest dwa razy większe od pola równoległoboku B Stosunek pola trapezu do pola równoległoboku jest jak 3 : 2 C Dłuższa podstawa trapezu ma długość 2b D Trapez jest równoramienny

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi

1. Znajdź nieznaną długość x boku trójkąta prostokątnego a) b) c)

11

x 4 3

4 2

x 3 2

112

x 15

d) e) f)

x

15159

48

x50

4 5

x12

75


7. Wysokość w trójkącie o bokach 3, 4, 5 opuszczona na bok o długości 5 jest równaA 2,5 B 2,4 C 2,3 D 3

8. Wysokość opuszczona na bok o długości 5 w trójkącie o bokach 3, 4, 5 dzieli ten bokA w proporcji 3 : 4 B w proporcji 9 : 16

C na odcinki o długości 2 i 3 D na odcinki o długości 157

i 207

9. Wskaż zdanie prawdziwe A Przekątne równoległoboku połowią się pod kątem prostym B Jeśli przekątne trapezu przecinają się pod kątem prostym, to ten trapez jest rów

noramienny C Jeśli dwa czworokąty mają równe przekątne, to ich pola są równe D Jeśli przekątne czworokąta, przecinając się, dzielą się wzajemnie w tej samej pro

porcji, to czworokąt jest trapezem

10. Pole równoległoboku o bokach a i b (a ≠ b) jest równe P Do tego równoległoboku dorysowano trapez jak na rysunku poniżej:

a

b

b

P

A Pole trapezu jest dwa razy większe od pola równoległoboku B Stosunek pola trapezu do pola równoległoboku jest jak 3 : 2 C Dłuższa podstawa trapezu ma długość 2b D Trapez jest równoramienny

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi

1. Znajdź nieznaną długość x boku trójkąta prostokątnego a) b) c)

11

x 4 3

4 2

x 3 2

112

x 15

d) e) f)

x

15159

48

x50

4 5

x12

76


2. Jeden bok trójkąta ma długość 14, a wysokość opuszczona na niego ma długość 12 Drugi bok trójkąta ma długość 15 Jaka jest długość trzeciego boku?

3. Trzy wysokości trójkąta są równe 3 a) Jaki to trójkąt? b) Oblicz pole tego trójkąta

4. Punkt D jest środkiem odcinka AB, a punkt E jest środkiem odcinka AC Odcinki BE i CD przecinają się w punkcie F Zobacz na rysunku |BF| = 4, |DF| = 3 Oblicz x = |EF| i y = |CF|

yD

A

3

4

B

Cx

F

E

5. Dwa kwadraty o polu P zachodzą na siebie w taki sposób, że wierzchołek jednego z nich leży w środku drugiego kwadratu Zobacz na rysunku

Jaką częścią pola P jest część wspólna obu kwadratów (zacieniowana)?

6. Na boku CD kwadratu ABCD zbudowano trójkąt równoboczny DCE, zaś na przekątnej BD kwadratu trójkąt równoboczny BDF w taki sposób, żeby wierzchołek A kwadratu znalazł się we wnętrzu trójkąta BDF

A B

CD

E

F

Udowodnij, że trójkąty BDE i CBF są przystające

77


7. W sześciokącie foremnym ABCDEF przekątne AC i BF przecinają się w punkcie G a) Udowodnij, że trójkąty ABC i AGB są podobne b) Jaka jest skala podobieństwa? Podaj proporcje wymiarów trójkąta ABC do wy

miarów trójkąta AGB

A B

C

DE

F

G

8. Trapez równoramienny ABCD ma podstawy |AB| = 10 i |CD| = 4 oraz ramiona |BC| = |DA| = 5 a) Oblicz długości przekątnych tego trapezu b) Na trapezie ABCD da się opisać okrąg Środek tego okręgu leży na prostej prze

chodzącej przez środki obu podstaw w odległości x poniżej dolnej podstawy

Oblicz x i udowodnij, że promień tego okręgu jest równy 58

65

c) Przedłużenia ramion BC i AD spotykają się w punkcie F, tworząc trójkąt równoramienny ABF Udowodnij, że pole tego trójkąta mieści się 3 razy w polu kwadratu o boku 10

9. Znajdź kąt x a) b) c)

301°

x

k

lk || l

68°

x

k

lk || l

286°

x

k

lk || l

d) e) f)

44°

x

320°x

21°

x

77


7. W sześciokącie foremnym ABCDEF przekątne AC i BF przecinają się w punkcie G a) Udowodnij, że trójkąty ABC i AGB są podobne b) Jaka jest skala podobieństwa? Podaj proporcje wymiarów trójkąta ABC do wy

miarów trójkąta AGB

A B

C

DE

F

G

8. Trapez równoramienny ABCD ma podstawy |AB| = 10 i |CD| = 4 oraz ramiona |BC| = |DA| = 5 a) Oblicz długości przekątnych tego trapezu b) Na trapezie ABCD da się opisać okrąg Środek tego okręgu leży na prostej prze

chodzącej przez środki obu podstaw w odległości x poniżej dolnej podstawy

Oblicz x i udowodnij, że promień tego okręgu jest równy 58

65

c) Przedłużenia ramion BC i AD spotykają się w punkcie F, tworząc trójkąt równoramienny ABF Udowodnij, że pole tego trójkąta mieści się 3 razy w polu kwadratu o boku 10

9. Znajdź kąt x a) b) c)

301°

x

k

lk || l

68°

x

k

lk || l

286°

x

k

lk || l

d) e) f)

44°

x

320°x

21°

x

78


10. Oba okręgi na rysunku mają ten sam promień równy 4 Punkty A i D to środki okręgów, punkt B leży na okręgu o środku w A, punkt C leży na obu okręgach Popatrz na rysunek

A

B C D

60°

a) Oblicz kąt BAD b) Oblicz długość AD c) Oblicz pole trójkąta ABD

11. W trójkącie równoramiennym ABC kąt przy wierzchołku C jest równy 36° Na boku AC zaznaczony jest taki punkt D, że BA = BD Znajdź miary kątów a i b Zobacz na rysunku

36°

A B

C

D

ab

12. Od średnicy okręgu o środku w O wystawiono w punkcie A odcinek prostopadły o końcu leżącym na okręgu Jego długość to 6, a pozostała część średnicy od punktu A do okręgu ma długość 2 Zobacz na rysunku

OA2

6

Oblicz promień tego okręgu

79


13. W trójkącie prostokątnym ABC z kątem prostym przy wierzchołku C połączono punkt C ze środkiem O boku AB Kąt BAC jest równy a Wyraź kąt OCB za pomocą kąta a

14. Wszystkie cztery mniejsze okręgi mają środki na jednej średnicy dużego okręgu i są do siebie styczne zewnętrznie, tak jak na rysunku Udowodnij, że suma obwodów tych czterech okręgów jest równa obwodowi dużego okręgu

15. Jaki jest obwód narysowanej poniżej figury składającej się z samych półokręgów?(Bok kwadratu narysowanego przerywaną linią ma długość 2)

16. Każdy z poniższych wielokątów ma wszystkie boki równe i daje się „wpisać” w okrąg Oblicz miary zaznaczonych kątów a) b) c) d)

79


13. W trójkącie prostokątnym ABC z kątem prostym przy wierzchołku C połączono punkt C ze środkiem O boku AB Kąt BAC jest równy a Wyraź kąt OCB za pomocą kąta a

14. Wszystkie cztery mniejsze okręgi mają środki na jednej średnicy dużego okręgu i są do siebie styczne zewnętrznie, tak jak na rysunku Udowodnij, że suma obwodów tych czterech okręgów jest równa obwodowi dużego okręgu

15. Jaki jest obwód narysowanej poniżej figury składającej się z samych półokręgów?(Bok kwadratu narysowanego przerywaną linią ma długość 2)

16. Każdy z poniższych wielokątów ma wszystkie boki równe i daje się „wpisać” w okrąg Oblicz miary zaznaczonych kątów a) b) c) d)

80


17. Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym o bokach a, b, c, gdzie c jest przeciwprostokątną, promień okręgu opisanego R i promień okręgu wpisanego r wyrażają się wzorami:

a) R c=

2 b) r ab

a b c=

+ +

c) Udowodnij, że R r a b+ =

+2

d) Wykaż, że w trójkącie prostokątnym r a b c=

+ −2

18. Dany jest czworokąt jak na rysunku

15

16

12x

y

z

a) Oblicz nieznane długości x i y b) Udowodnij, że czworokąt jest trapezem c) Oblicz długość przekątnej z

19. Trójkąt równoboczny o boku 2 został powiększony o trzy odcinki koła o promieniu 2 Zobacz na rysunku

Powstała różna od koła figura o stałej średnicy, w tym przypadku równej 2 Oblicz pole tej figury

20. Z punktu P na okręgu o promieniu r narysowany został łuk o takim promieniu R (R > r), że dwa punkty przecięcia łuku i okręgu z punktu P widać pod kątem 60° Zobacz na szkicu

P60°

Jaką część koła stanowi zacieniowany obszar?

81


21. W kwadracie o boku 4 narysowano 4 trójkąty egipskie (3, 4, 5) Zobacz rysunek

3

4

Jakie jest pole niezacieniowanego kwadratu?

22. Udowodnij, że jeśli w trapezie obie przekątne są dwusiecznymi kątów przy dolnej podstawie, to ramiona i górna podstawa tego trapezu są równe

Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi

1. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c Wysokość h opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na dwa odcinki ca i cb Wyraź ich długości za pomocą a, b i c

a

ca cb c = ca + cb

b

h

2. Na rysunku przedstawiony jest trójkąt ABC

C

D

A B

E

Punkt D jest przecięciem dwusiecznej kąta wewnętrznego przy wierzchołku A i dwusiecznej kąta wewnętrznego przy wierzchołku B Punkt E jest punktem przecięcia dwusiecznych dwóch zewnętrznych kątów trójkąta – przy wierzchołku A i przy wierzchołku B a) Udowodnij, że punkt E leży na dwusiecznej wewnętrznego kąta trójkąta przy

wierzchołku C

81


21. W kwadracie o boku 4 narysowano 4 trójkąty egipskie (3, 4, 5) Zobacz rysunek

3

4

Jakie jest pole niezacieniowanego kwadratu?

22. Udowodnij, że jeśli w trapezie obie przekątne są dwusiecznymi kątów przy dolnej podstawie, to ramiona i górna podstawa tego trapezu są równe

Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi

1. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c Wysokość h opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na dwa odcinki ca i cb Wyraź ich długości za pomocą a, b i c

a

ca cb c = ca + cb

b

h

2. Na rysunku przedstawiony jest trójkąt ABC

C

D

A B

E

Punkt D jest przecięciem dwusiecznej kąta wewnętrznego przy wierzchołku A i dwusiecznej kąta wewnętrznego przy wierzchołku B Punkt E jest punktem przecięcia dwusiecznych dwóch zewnętrznych kątów trójkąta – przy wierzchołku A i przy wierzchołku B a) Udowodnij, że punkt E leży na dwusiecznej wewnętrznego kąta trójkąta przy

wierzchołku C

82


b) Udowodnij, że kąty między dwusieczną kąta wewnętrznego i dwusieczną kąta zewnętrznego przy jednym wierzchołku są proste, czyli że na rysunku kąty DAE i EBD są proste

c) Pokaż, że AEB + ADB = 180° d) Udowodnij, że EAB + ABE = ADB

3. Dany jest trójkąt ABC Niech środkiem odcinka AB będzie punkt D, a środkiem boku AC – punkt E Bok AB jest średnicą okręgu oD o środku w D i promieniu AD, a bok AC jest średnicą okręgu oE o środku w E i promieniu AE Zobacz na rysunku Okręgi oD i oE przecinają się w dwóch punktach Jednym z tych punktów jest A Udowodnij, że drugi punkt przecięcia tych okręgów leży na prostej BC i jest spodkiem wysokości trójkąta ABC opuszczonej z punktu A

A

B C

D E

F

oE

oD

4. Punkty B i C leżą na okręgu o o środku w punkcie A Prosta l jest styczna do okręgu o w punkcie B, a prosta m jest styczna do okręgu o w punkcie C Proste l i m przecinają się w punkcie G Punkt D leży na krótszym łuku BC, a prosta n jest do niego styczna w punkcie D i przecina prostą l w punkcie E, a prostą m w punkcie F Odcinek EF widać ze środka okręgu pod kątem b, a z punktu G pod kątem a

A

B

C

D

E

F

G

l

m

n

a

b

a) Udowodnij, że kąt, pod jakim widać odcinek EF ze środka okręgu, nie zależy od

tego, w którym miejscu łuku BC jest punkt D, a dokładniej że β =12CAB

b) Udowodnij, że 2b + a = 180°

83


5. Udowodnij, że z każdych dwóch wysokości trójkąta krótsza jest ta, która pada na dłuższy bok (prostą wyznaczoną przez dłuższy bok)

6. Udowodnij, że suma odwrotności dowolnych dwóch wysokości w trójkącie musi być większa niż odwrotność trzeciej wysokości

7. Dwa koła o promieniach R i r (R > r) są styczne do siebie i oba są styczne do jednej prostej Zobacz na rysunku a) Jaka jest odległość x punktów styczności z prostą?

R

r

x

b) Trójkąt, który można dorysować na poprzednim rysunku, ma wymiary R + r, R – r i 2 Rr Zobacz na rysunku

R

r

x

R + rR – r

2 Rr

Znajdź parę takich przykładów liczb R i r, aby powstał trójkąt, którego boki mają długości wyrażone w liczbach naturalnych

c) Jakie muszą być liczby R i r, żeby powstał trójkąt pitagorejski o bokach 5, 12, 13? d)* Jakie warunki musi spełniać para liczb R i r, żeby powstał trójkąt o całkowitych

długościach boków a, b i c, takich, że ich największym wspólnym dzielnikiem jest jeden?

8. Trzy okręgi są styczne do jednej prostej, a jednocześnie są styczne do siebie Patrz rysunek poniżej

r

R

83


5. Udowodnij, że z każdych dwóch wysokości trójkąta krótsza jest ta, która pada na dłuższy bok (prostą wyznaczoną przez dłuższy bok)

6. Udowodnij, że suma odwrotności dowolnych dwóch wysokości w trójkącie musi być większa niż odwrotność trzeciej wysokości

7. Dwa koła o promieniach R i r (R > r) są styczne do siebie i oba są styczne do jednej prostej Zobacz na rysunku a) Jaka jest odległość x punktów styczności z prostą?

R

r

x

b) Trójkąt, który można dorysować na poprzednim rysunku, ma wymiary R + r, R – r i 2 Rr Zobacz na rysunku

R

r

x

R + rR – r

2 Rr

Znajdź parę takich przykładów liczb R i r, aby powstał trójkąt, którego boki mają długości wyrażone w liczbach naturalnych

c) Jakie muszą być liczby R i r, żeby powstał trójkąt pitagorejski o bokach 5, 12, 13? d)* Jakie warunki musi spełniać para liczb R i r, żeby powstał trójkąt o całkowitych

długościach boków a, b i c, takich, że ich największym wspólnym dzielnikiem jest jeden?

8. Trzy okręgi są styczne do jednej prostej, a jednocześnie są styczne do siebie Patrz rysunek poniżej

r

R

84


Jeśli znamy promienie R i r, to trzeci promień r (grecka litera ro) można wyliczyć ze

wzoru 1 1 1ρ= +

R r

a) Udowodnij ten wzór b) Oblicz r, wiedząc, że R = 25, a r = 9

9. Dany jest trójkąt ABC Długość boku BC to a, długość boku AC to b Prosta CD jest przedłużeniem dwusiecznej kąta ACB Przecina ona bok AB w punkcie D, dzieląc go na odcinki o długości c1 i c2 Prosta równoległa do dwusiecznej CD przechodząca przez punkt A przecina prostą CB w punkcie E Prosta równoległa do AB i przechodząca przez C przecina prostą AE w punkcie F

A

B

C

D

E

F

a

b

b

c1

c2

c2

a) Udowodnij, że trójkąt EFC jest podobny do trójkąta CDB b) Udowodnij, że |CE| = b c) Udowodnij, że |CF| = c2

d) Korzystając z podobieństwa trójkątów EFC i CDB, pokaż, że ab

cc

= 1

2

e) Na jakie długości dzieli bok o długości 4 w trójkącie egipskim (3, 4, 5) dwusieczna kąta między bokami o długości 3 i 5? Patrz rysunek

5 4

3

x

y

10. Udowodnij, że jeśli boki trójkąta tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q, to5 12

5 12

−< <

+q

(Liczba ϕ =+5 1

2 przedstawia złotą proporcję, a κ =

−5 12

– jej odwrotność )

85


11.* W trójkącie prostokątnym ABC z kątem prostym przy wierzchołku C narysowano odcinek CD o długości |AB| prostopadły do AB Zobacz na rysunku Długości odcinków oznaczono małymi literami: |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c, |BD| = x, |AD| = y Wyraź długości x i y za pomocą a i b

A

B

C

D

E

x

y

c

c

a

b

12. W trójkąt prostokątny o bokach a, b i c, gdzie c jest przeciwprostokątną, wpisano na przeciwprostokątnej kwadrat tak, aby dotykał przyprostokątnych Bok tego kwadratu ma długość x Zobacz na rysunku Wyraź x przez a, b i c

a b

c

x

13. Dany jest trapez ABCD z podstawami |AB| = a, |CD| = b (a > b) i wysokością h Przedłużono ramiona BC i AD tak, że się spotkały w punkcie E i utworzyły trójkąt ABE z wysokością opuszczoną z wierzchołka E na prostą AB o długości H a) Wyraź wysokość H tylko za pomocą zmiennych a, b i h b) Pokaż, że stosunek pola trójkąta DCE do pola trapezu ABCD jest jak b2 : (a2 – b2)

14. W trójkąt równoboczny o boku 4 wpisano trzy przystające okręgi jak na rysunku

Oblicz promień wpisanych okręgów

85


11.* W trójkącie prostokątnym ABC z kątem prostym przy wierzchołku C narysowano odcinek CD o długości |AB| prostopadły do AB Zobacz na rysunku Długości odcinków oznaczono małymi literami: |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c, |BD| = x, |AD| = y Wyraź długości x i y za pomocą a i b

A

B

C

D

E

x

y

c

c

a

b

12. W trójkąt prostokątny o bokach a, b i c, gdzie c jest przeciwprostokątną, wpisano na przeciwprostokątnej kwadrat tak, aby dotykał przyprostokątnych Bok tego kwadratu ma długość x Zobacz na rysunku Wyraź x przez a, b i c

a b

c

x

13. Dany jest trapez ABCD z podstawami |AB| = a, |CD| = b (a > b) i wysokością h Przedłużono ramiona BC i AD tak, że się spotkały w punkcie E i utworzyły trójkąt ABE z wysokością opuszczoną z wierzchołka E na prostą AB o długości H a) Wyraź wysokość H tylko za pomocą zmiennych a, b i h b) Pokaż, że stosunek pola trójkąta DCE do pola trapezu ABCD jest jak b2 : (a2 – b2)

14. W trójkąt równoboczny o boku 4 wpisano trzy przystające okręgi jak na rysunku

Oblicz promień wpisanych okręgów

86


Do rozwiązania zadania 15 bardzo się przydaje następujące twierdzenie Ptolemeusza:W czworokącie wpisanym w okrąg suma iloczynów przeciwległych boków jest równa iloczynowi przekątnych

15.* Na podstawie danych przedstawionych na rysunku znajdź długości x, y i z

65

60

52

x

y

z

16. Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości 6 i ramionach długości 5 a) Oblicz wysokość tego trójkąta padającą na podstawę b) Oblicz odległość punktu przecięcia środkowych tego trójkąta od jego podstawy c) Oblicz odległość środka okręgu opisanego od podstawy d) Oblicz odległość środka okręgu wpisanego od podstawy

17. Na bokach równoległoboku ABCD zbudowano 4 kwadraty, ich środki nazwano K, L, M, N Zobacz na rysunku

A B

CD

K

L

M

N

a) Udowodnij, że czworokąt KLMN jest kwadratem b) Udowodnij, że pole kwadratu KLMN jest równe polu równoległoboku ABCD

powiększonemu o jedną czwartą sumy pól czterech kwadratów zbudowanych na bokach równoległoboku (Patrz zadanie 5 na stronie 76 )

143

Odpowiedzi

b) Pierwszą taką liczbą jest 101, a ostatnią 297 Wzór na ciąg tych liczb to

an = 7n + 94, a1 = 101, a29 = 297 Suma to 101 2972+ ∙ 29 = 199 ∙ 29 = 5771

c) 22,222222, d) 30 + 31 + + 37 = 3 13 1

8 −− = 3280


Zadania zamknięte

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.C C C D D C B B D B

Zadania krótkiej odpowiedzi

1. a) 13, b) 5 2, c) 113, d) 12, e) 14, f) 82. 133. a) równoboczny, b) 3 34. x = 2, y = 6

5. 14

6. Wskazówka: |BD| = |FB| = 2 , |DE| = |BC| = 1, BDE = 45° + 60° = 105°, FBC = 60° – 45° + 90° = 105°, a więc bkb

7. b) 3 : 1

8. a) 5 3 , b) x =58

9. a) 121°, b) 56°, c) 37°, d) 22°, e) 160°, f) 42°

10. a) 90°, b) 4 3 , c) 8 311. a = b = 36°12. 1013. 90° – a15. 8p16. a) 36°, b) 144°, c) 22,5°, d) 360

7°

18. a) x = 20, y = 25, b) Wskazówka: Oba trójkąty są podobne do egipskiego (3, 4, 5)

c) z = 769

19. 2p – 2 3

20. 12

21. 1625

143

Odpowiedzi

b) Pierwszą taką liczbą jest 101, a ostatnią 297 Wzór na ciąg tych liczb to

an = 7n + 94, a1 = 101, a29 = 297 Suma to 101 2972+ ∙ 29 = 199 ∙ 29 = 5771

c) 22,222222, d) 30 + 31 + + 37 = 3 13 1

8 −− = 3280


Zadania zamknięte

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.C C C D D C B B D B

Zadania krótkiej odpowiedzi

1. a) 13, b) 5 2, c) 113, d) 12, e) 14, f) 82. 133. a) równoboczny, b) 3 34. x = 2, y = 6

5. 14

6. Wskazówka: |BD| = |FB| = 2 , |DE| = |BC| = 1, BDE = 45° + 60° = 105°, FBC = 60° – 45° + 90° = 105°, a więc bkb

7. b) 3 : 1

8. a) 5 3 , b) x =58

9. a) 121°, b) 56°, c) 37°, d) 22°, e) 160°, f) 42°

10. a) 90°, b) 4 3 , c) 8 311. a = b = 36°12. 1013. 90° – a15. 8p16. a) 36°, b) 144°, c) 22,5°, d) 360

7°

18. a) x = 20, y = 25, b) Wskazówka: Oba trójkąty są podobne do egipskiego (3, 4, 5)

c) z = 769

19. 2p – 2 3

20. 12

21. 1625 144


Zadania rozszerzonej odpowiedzi

1. c ac

c bc

h abca b= = =

2 2

, ,

5. Wskazówka Wykorzystaj wzór na pole trójkąta

7. a) x Rr= 2 b) Na przykład: r = 36, R = 25 i wtedy a = 11, b = 60, c = 61 c) R + r = 13, R – r = 5, skąd R = 9, r = 4 d) Obie muszą być kwadratowe, względnie pierwsze, a jedna z nich musi być parzysta

8. a) Wskazówka: Zacznij od 2 2 2Rr r R= +ρ ρ (zobacz poprzednie zadanie)

b) 22564

9. e) x = 52

, y = 32

11. x a a b= + −2 2( ) , y b a b= + −2 2( )

12. x abcc ab

=+2

13. a) H aa b

h=−

⋅

14.

2r

r 3

r 3

2 2 3 4r r+ = , skąd r =+

=+

⋅−−

= −4

2 2 32

1 33 13 1

3 1

15. x = 25, y = 39, z = 56

16. a) 4, b) 43

, c) 78

, d) 32

6. Trygonometria

Zadania zamknięte

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.C D C C B C B A C D

Uwaga do 4 Jeśli a, b, γ są równe 60°, to A i B odpadają, jeśli a < 45°, odpada D

Matematyka


Tomasz Zamek-GliszczyńskiZbiór Zadania powtórkowe... pomoże uczniom w przygotowaniu się do matury z matematyki w zakresie podstawowym. Zadania dotyczą wszystkich treści nauczania, których znajomość będzie sprawdzana na egzaminie od roku 2015.

Książka składa się z 9 skomponowanych tematycznie rozdziałów. Każdy rozdział zawiera:→ krótkie przypomnienie teoretyczne→ zadania zamknięte→ zadania otwarte krótkiej odpowiedzi → zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi.

Na końcu są zebrane odpowiedzi i wskazówki do zadań.Staranne rozwiązanie zadań ze zbioru ułatwi radzenie sobie z mniej typowymi za-daniami w trakcie egzaminu.Do zbioru załączono zestaw wzorów matematycznych przydatnych na maturze oraz do rozwiązywania zadań w tym zbiorze.

W przygotowaniu Zadania powtórkowe... obejmujące treści nauczania z matematyki w zakresie rozszerzonym.

MTP

Matematyka



Mat

emat

yka

MatematykaMMat

emat


Zakres podstawowy

Aleksandra Gębura

Matematyka

Zadania powtórkowe przed maturąZakres rozszerzony


Mat

emat

yka

MatematykaMMat

emat


Zakres rozszerzony

Aleksandra Gębura Dobry trening dziś, to mniejszy stres jutro…

Polecamy również:

Mat

emat

yka

Matem

atyka M

atematyka Zadania pow

tórkowe przed m

aturą Zakres podstaw

owy

Documents

Matematyka - pazdro.com.pl (1).pdf · Kąty wierzchołkowe, przyległe, kąty utworzone przez parę prostych i trzecią nierównoległą do nich (sieczną) – odpowiadające (np