Matematyka dla maturzystów - hope.art.pl · Matematyka dla maturzystów dr Barbara Wolnik Witold Bołt 23 marca 2005. 2. Spis treści 1 Funkcja liniowa 7 ... 4 Funkcja kwadratowa

Matematyka dla maturzystw

dr Barbara Wolnik Witold Bot

23 marca 2005

2

Spis treci

1 Funkcja liniowa 71.1 Pojcia podstawowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Wykres funkcji liniowej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Wspczynnik kierunkowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Rwnania liniowe 152.1 Podstawowe pojcia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1 Liczba rozwiza rwnania liniowego. . . . . . . . . . . 152.1.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Rwnania liniowe z zaoeniami. . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Ukady rwna liniowych 193.1 Rozwizywanie ukadw rwna liniowych. . . . . . . . . . . . 193.1.1 Metoda wyznacznikw. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Funkcja kwadratowa 274.1 Podstawowe definicje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Rysowanie wykresu funkcjia kwadratowej. . . . . . . . . . . . 284.3 Wzory Vietea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4 Funkcja kwadratowa w rnej postaci. . . . . . . . . . . . . . 294.5 Wasnoci funkcji kwadratowej. . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.6 Funkcja kwadratowa okrelona na przedziale domknitym. . . 304.7 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Rwnania i nierwnoci kwadratowe 355.1 Rwnanie kwadratowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1.1 Liczba rozwiza rwnania kwadratowego. . . . . . . . 35

5.2 Nierwno kwadratowa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3

4 SPIS TRECI

5.2.1 Graficzne przedstawienie nierwnoci kwadratowej. . . 365.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.4 Przykady typowych zastosowa funkcji kwadratowej w zada-niach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4.1 Zadania dodatkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6 Warto bezwzgldna 456.1 Wasnoci wartoci bezwzgldnej. . . . . . . . . . . . . . . . . 466.2 Rwnania z wartoci bezwzgldn. . . . . . . . . . . . . . . . 466.3 Nierwnoci z wartoci bezwzgldn. . . . . . . . . . . . . . . 476.4 Przeksztacenia wykresw funkcji z uyciem wartoci bezwzgld-nej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.5 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7 Wielomiany 537.1 Podstawowe pojcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.2 Wykresy i wasnoci wielomianw . . . . . . . . . . . . . . . . 537.2.1 Wielomian trzeciego stopnia . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.3 Twierdzenia dotyczce wielomianw . . . . . . . . . . . . . . . 557.4 Wiadomoci dodatkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.4.1 Rwno wielomianw . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.4.2 Wielokrotne pierwiastki wielomianu . . . . . . . . . . . 577.4.3 Uoglnione wzory Vietea . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.5 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8 Funkcja homograficzna 638.1 Wykres funkcji homograficznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.2 Hiperbole podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.3 Wasnoci funkcji homograficznej . . . . . . . . . . . . . . . . 658.4 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9 Funkcja wymierna 699.1 Rwnania wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699.2 Nierwnoci wymierne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10 Cig arytemtyczny 7510.1 Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.2 Wasnoci cigu arytmetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.3 Suma cigu arytmetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.4 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

SPIS TRECI 5

11 Cig geometryczny 7911.1 Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7911.2 Wasnoci cigu geometrycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . 7911.3 Suma cigu geometrycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8111.4 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8111.5 Procent prosty i skadany - elementy matematyki finansowej . 8311.6 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6 SPIS TRECI

Rozdzia 1

Funkcja liniowa

1.1 Pojcia podstawowe.

Definicja 1.1 (funkcja liniowa). Niech a i b bd dowolnymi liczbami rze-czywistymi. Funkcj f : R R dan wzorem: f(x) = ax + b nazywamyliniow.

Uwaga 1.2. Wdefinicji funkcji liniowej wane jest to, e dziedzin tej funkcjijest cay zbir liczb rzeczywistych (zwr uwag na zapis f : R R, czy wieszco on oznacza?). Na przykad funkcja dana wzorem: f(x) = (x+2)(x1)

x1 , chodaje si sprowadzi do wzoru funkcji liniowej f(x) = x + 2, to jednak niejest funkcj liniow gdy jej dziedzin jest Df = R\{1}. Z drugiej strony,jeli podany jest jedynie wzr funkcji, to przyjmujemy, e jej dziedzin jesttzw. dziedzina naturalna, czyli zbir tych wszystkich liczb rzeczywistych, dlaktrych ten wzr ma sens.

1.2 Wykres funkcji liniowej.

Wykresem funkcji liniowej f(x) = ax + b jest linia prosta o rwnaniu y =ax + b. Aby narysowa wykres funkcji f(x) = ax + b wystarczy znaleconajmniej dwa dowolne punkty tego wykresu.

Przykad 1.3. Niech dana bdzie funkcji liniowa f(x) = 2x3. Narysujemyteraz jej wykres. Wybierzmy dwa punkty nalece do wykresu. Dla x = 0,mamy f(0) = 3, std pierwszym punktem jest (0,3), natomiast dla x = 1,otrzymujemy f(1) = 1, czyli drugim punktem bdzie (1,1). Oba punktyzaznaczamy w ukadzie wsprzdnych i prowadzimy prost ktra przez tepunkty przechodzi. W ten sposb otrzymamy wykres funkcji liniowej f(x) =2x 3.

7

8 ROZDZIA 1. FUNKCJA LINIOWA

Innym sposobem rysowania wykresu zadanej funkcji liniowej jest tzw.szybki wykres stosowany szczeglnie wtedy, gdy parametry a i b s cako-wite. Wystarczy zda sobie spraw, e parametr b okrela, w ktrym miejscuwykres przecina o OY (bo f(0) = b), natomiast parametr a mwi nam o ilewzrasta (lub maleje) warto funkcji, gdy argument x zwikszamy o 1.

Przykad 1.4 (szybki wykres). Aby zatem narysowa wykres funkcji f(x) =2x 4 zaznaczamy na osi OY punkt 4 (bo b = 4). Od narysowanegopunktu idziemy jedn kratk w prawo i dwie kratki do gry (bo a = 2) izaznaczamy kolejny punkt. Od zaznaczonego punktu znw poruszamy si ojedn kratk w prawo i dwie do gry i otrzymujemy kolejne punkty.

czc otrzymane punkty otrzymujemy prost ktra jest wykresem naszejfunkcji f .

Przykad 1.5 (szybki wykres). Jeli parametr a jest ujemny, to wraz zewzrostem argumentu x, warto funkcji bdzie malaa. Zatem rysujc wykresnp. f(x) = 3x+ 2 zaznaczamy na osi OY punkt 2 (bo b = 2) i poruszamy

1.3. WSPCZYNNIK KIERUNKOWY. 9

si o jedn kratk w prawo i o trzy kratki w d (bo a = 3) otrzymujcnowy punkt. Powtarzajc procedur otrzymujemy kolejne punkty:

Uwaga 1.6. Zauwa, e uywajc metody szybkiego wykresu otrzymujemydokadniejszy rysunek, gdy dostajemy wiele punktw, co nie pozwala narozchwianie si rysowanej prostej.

Problem 1.7. Zauwamy, e jeli paramter a nie jest liczb cakowit, toszkicowanie wykresu metod szybkiego wykresu nie jest ju takie proste.Na przykad jeli f(x) = 34x 2, to na osi OY zaznaczamy 2, a nastpniepowinnimy przenie si o jedn kratk w prawo i 34 kratki w gr. Jest todo trudne do wykonania chyba, e . . . zauwamy, i otrzymamy t samprost poruszajc si 4 kratki w prawo i 3 kratki do gry:

1.3 Wspczynnik kierunkowy.

Definicja 1.8 (wspczynnik kierunkowy). Parametr a we wzorze funkcjiliniowej f(x) = ax+ b nosi nazw wspczynnika kierunkowego.


Po wczeniejszych rozwaaniach dotyczcych szkicowania wykresw funk-cji liniowych nazwa ta nikogo nie dziwi. Rzeczywicie, to parametr a decydujeo tym, czy wykres opada czy wznosi si i czy jest bardziej stromy czy raczejniewiele odbiega od prostej poziomej. Jeli w jednym ukadzie wsprzdnychumiecimy wykresy funkcji: f1(x) = 2x+ 1, f2(x) = 3x+ 1, f3(x) = x+ 1,f4(x) = 4x + 1, f5(x) = 1, to zobaczymy, cho wszystkie przechodzprzez punkt (0, 1), to jednak rozbiegaj si w rnych kierunkach.

Fakt 1.9 (monotoniczno funkcji liniowej). Kada funkcjia liniowa jest mo-notoniczna, a rodzaj jej monotonicznoci zaley od jej wspczynnika kierun-kowego.

Fakt 1.10. Jeli wspczynnik kierunkowy funkcji liniowej f jest rny odzera (tzn. a 6= 0) to funkcja ta jest rnowartociowa, posiada funkcj od-wrotn (ktra jest funkcj liniow), jej zbiorem wartoci jest cay zbir liczbrzeczywistych i ma dokadnie jedno miejsce zerowe.

Fakt 1.11. Jeli wspczynnik kierunkowy funkcji liniowej jest rwny zero,tzn. f(x) = b, to funkcja ta nie jest rnowartociowa, nie ma funkcji od-wrotnej, jej zbir wartoci jest postaci {b}, a wykresem jest prosta pozioma(rwnolega do osi OX). Jeli wic b 6= 0, to funkcja nie posiada miejsczerowych, a jeli b = 0, to funkcja ma nieskoczenie wiele miejsc zerowych.

1.3. WSPCZYNNIK KIERUNKOWY. 11

Wniosek. Z podanych wyej faktw wynika, e funkcja liniowa moe miejedno miejsce zerowe (gdy a 6= 0), moe nie mie miejsca zerowego (gdya = 0 oraz b 6= 0) lub moe mie nieskoczenie wiele miejsc zerowych (gdya = b = 0).

Fakt 1.12 (kt nachylenia prostej). Wspczynnik kierunkowy funkcji linio-wej f jest rwny tangensowi kta nachylenia wykresu tej funkcji do osi OX(dokadniej mwic, do prawej strony tej osi).

Fakt 1.13 (proste rwnolege). Dwie proste o rwnaniach y = a1x + b1 iy = a2x+ b2 s rwnolege wtedy i tylko wtedy, gdy a1 = a2.

Fakt 1.14 (proste prostopade). Dwie proste o rwnaniach y = a1x + b1 iy = a2x+ b2 s prostopade wtedy i tylko wtedy, gdy a1 a2 = 1.

Wykresem kadej funkcji liniowej jest linia prosta. Jednak nie kada liniaprosta jest wykresem funkcji liniowej. W szczeglnoci wszystkie proste orwnaniach x = c, gdzie c R, nie s wykresami funkcji. Kada z pozostaychprostych jest wykresem jakiej funkcji liniowej.

Przykad 1.15. Znajdziemy teraz wzr funkcji, ktrej wykres jest prostprzedstawion na rysunku:


Poniewa wykresem jest linia prosta, ktra nie jest pionowa, zatem szuka-na funkcja jest liniowa i ma posta f(x) = ax 1 (skd wiadomo, e b = 1?). Poniewa wykres przechodzi przez punkt (1, 2), zatem f(1) = 2, czylia1 = 2, co daje a = 3. Ostatecznie szukana posta funkcji to f(x) = 3x1.

1.4 Zadania

Zadanie 1.1. Ktra z podanych funkcji jest funkcj liniow?

a) f(x) = 3 4x,

b) f(x) = (x2+1)(x2)x2+1 ,

c) f(x) = g( 1x), gdzie g(x) = 1

x,

d) f(x) = (x1)(x+2)x2+x2 .

Zadanie 1.2. Narysuj szybki wykres dla funkcji:

a) f(x) = 2x 3,

b) f(x) = x+ 4,

c) f(x) = 3x+ 1,

d) f(x) = 4x 3,

e) f(x) = 2x 2,

f) (?) f(x) = 13x+ 1.

Zadanie 1.3. Podaj algorytm szybkiego rysowania wykresw funkcji po-staci f(x) = n

kx+ b, gdzie n, k, b s liczbami cakowitymi.

Zadanie 1.4 (). Dlaczego proste o rwnaniach x = c, gdzie c R nie swykresami funkcji?

Zadanie 1.5. Znjad wzr funkcji odwrotnej do podanej i obie funkcje na-rysuj na jednym wykresie.

a) f(x) = 3x 1,

b) f(x) = 2x+ 1,

c) f(x) = 12x+ 2,

1.4. ZADANIA 13

d) f(x) = 13x43 .

Zadanie 1.6. Jeli funkcja f jest dana wzorem funkcji liniowej, ale jej dzie-dzin nie jest cay zbir liczb rzeczywistych, to co mona powiedzie o jejwykresie?

Zadanie 1.7. Narysuj wykresy funkcji:

a) f(x) = (x2)(x+1)x2 ,

b) f(x) = (x2)(x+1)x+1 ,

c) f(x) = g( 1x), gdzie g(x) = 1

x,

d) f(x) = 2x+ 1, dla x 0.

Zadanie 1.8. Przez ktre z wiartek ukadu wsprzdnych przechodzi wy-kres funkcji f(x) = ax+ 1, gdzie a R? Czy zaley to od parametru a?

Zadanie 1.9. Przez ktre z wiartek ukadu wsprzdnych przechodzi wy-kres funkcji f(x) = 2x+ b, gdzie b R? Czy zaley to od paramteru b?

Zadanie 1.10 (). W zalenoci od paramterw a i b omw parzysto funk-cji f(x) = ax+ b.

Zadanie 1.11. Ile miejsc zerowych moe mie funkcja liniowa? Podaj przy-kad na kad z moliwoci.

Zadanie 1.12. Uywajc tablic matematycznych, kalkulatora albo kompu-tera, podaj dokadn (lub przyblion) warto kta nachylenia podanychprostych do osi OX:

a) f(x) = 2x+ 1,

b) f(x) = x+ 3,

c) f(x) = x 2,

d) f(x) = 3x 2,

e) f(x) = 12x+ 4,

f) f(x) = 13x+ 1.


Rozdzia 2

Rwnania liniowe

2.1 Podstawowe pojcia.

Definicja 2.1 (rwnanie liniowe). Rwnaniem liniowym bdziemy nazwyarwnanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadom, natomiast a i b toparametry.

Rozwiza powysze rwnanie oznacza znale wszystkie liczby, ktrepodstawione w miejsce x speniaj rwno. Jeli nie zaznaczono tego inaczej,przyjmujemy, e x moe by dowoln liczb rzeczywist.Przeanalizuj ponisze przykady i sprawd czy rozumiesz skd wziy si

takie, a nie inne wyniki.

Przykad 2.2. Rozwizaniem rwnania 3x = 6 jest dokadnie jedna liczba:2.

Przykad 2.3. Rozwizaniem rwnania 2x = 0 jest dokadnie jedna liczba:0.

Przykad 2.4. Rozwizaniem rwnania 0x = 0 jest zbir wszystkich liczbrzeczywistych (mwimy te, e pierwiastkiem tego rwnania jest dowolnaliczba rzeczywista).

Przykad 2.5. Rozwizaniem rwnania 0x = 3 jest zbir pusty, co oznacza,e adna liczba rzeczywista nie jest pierwiastkiem tego rwnania.

2.1.1 Liczba rozwiza rwnania liniowego.

Fakt 2.6. Oglnie, rozwizujc rwnanie liniowe ax = b otrzymujemy:

1. jedno rozwizanie postaci x = ba, jeli a 6= 0,

15

16 ROZDZIA 2. RWNANIA LINIOWE

2. nieskoczenie wiele rozwiza (czyli x R), jeli a = 0 i jednoczenieb = 0,

3. zbir pusty - brak rozwiza (x ), jeli a = 0 i b 6= 0.

Wniosek: Rwnanie liniowe moe mie 0, 1 lub rozwiza.

2.1.2 Zadania

Zadanie 2.1. Podaj liczb pierwiastkw danego rwnania w zalenoci odwartoci wystpujcych parametrw.

a) mx 1 = 2x,

b) ax2 + 3x 4 = 7 + a2,

c) m2x+m = x+ 1,

d) ax+ b = cx,

e) a2x+ 3 = 2 (b2 + 1)x.

Zadanie 2.2. Rozwi podane rwnanie (uwzgldniajc wszystkie moliwo-ci dla parametrw).

a) 4x+ 3 = mxm,

b) 3xm = mx 3,

c) k2x 1 = x k,

d) ax+ 4 = 8x b.

2.2 Rwnania liniowe z zaoeniami.

W rwnaniach linowych, o ktrych pisalimy dotychczas, zakadano (chocianie byo to nigdzie wyranie napisane), e x moe by dowoln liczb rze-czywist (jest to podobnie jak w przypadku funkcji - dziedzina naturalna).Moe si jednak zdarzy, e rwnanie bdzie miao dziedzin zadan z gry.Ponisza definicja jest waciwie rozszerzeniem poprzedniej.

Definicja 2.7 (rwnanie liniowe z zaoeniami). Rwnanie postacie ax =b przy zaoeniu x D nazywamy liniowym (z zaoeniami), a zbir Dnazywamy dziedzin tego rwnania.

2.2. RWNANIA LINIOWE Z ZAOENIAMI. 17

Oczywicie, przy poszukiwaniu rozwizania takiego rwnania, interesujnas tylko takie liczby x ktre speaniaj dane rwnanie i jednoczenie naledo zbioru D.

Przykad 2.8. Rozwimy rwnanie 3x = 5 przy zaoeniu x N. Oczy-wicie rwnanie takie nie ma rozwiza, otrzymujmy zbir pusty (x ).(dlaczego?)

Przykad 2.9. Rozwamy rwnanie 6x = 2 przy zaoeniu x (0,).Rwnanie to ma jedno rozwizanie x = 13 .

Przykad 2.10. Rwnanie 0x = 0 przy zaoeniu x 0,) ma nieskocze-nie wiele rozwiza, czyli ... jego rozwizaniem jest caa dziedzina (wszystkieliczby z dziedziny speniaj to rwnanie), czyli: x 0,).

Najprostszym sposobem rozwizania rwnania liniowego ax = b z zao-eniem x D jest rozwizanie zwykego rwnania liniowego, a nastpnieobliczenie czci wsplnej zbioru rozwiza oraz zbioru D.

Uwaga 2.11. Jeli w czasie pracy nad rozwizaniem jakiego problemuotrzymasz rwnanie (niekoniecznie liniowe) ZAWSZE zastanw si, czy niejest ono obarczone jakim zaoeniem.

Przykad 2.12. Sprbujmy rozwiza zadanie o nastpujcej treci: Jedenbilet do kina kosztuje 10 z. Za ile takich biletw zapacisz 37 z? Aby rozwi-za to zadanie, musimy w zasadzie rozwiza proste rwnanie: 10x = 37, aleprzy zaoeniu x N (dlaczego?) - i oczywicie okazuje si, e rozwizaniemjest zbir pusty.

Przykad 2.13. Rwnanie postaci: x3x+2 =

x+1x+2 jest oczywicie rwnowane

rwnaiu 2x = 4, gdzie x 6= 2 (dlaczego?). Jest to rwnanie sprzeczne(zbiorem rozwiza jest zbir pusty).

2.2.1 Zadania

Zadanie 2.3. Rozwi podane rwnania:

a) (x 3)(x+ 4) 2(3x 2) = (x 4)2, gdzie x N,

b) 152x+7 =6x+2 ,

c) 5(x 1)2 2(x+ 3)2 = 3(x+ 2)2 7(6x 1), gdzie x 0,

d) (x+ 1)3 (x 1)3 = 6(x2 + x+ 1), gdzie x 6= 2.

18 ROZDZIA 2. RWNANIA LINIOWE

Zadanie 2.4. Na pewnym sprawdzianie z matematyki byo do rozwiza-nia 10 zada. Ustalono rwnie nastpujce zasady. Za dobrze rozwizanezadaine ucze otrzymywa 5 punktw, natomiast za kade bdne rozwiza-nie ucze traci 3 punkty. Ile zada zostao rozwizanych dobrze jeli uczeotrzyma:

a) 34 punkty,

b) 12 punktw,

c) 2 punkty,

d) 7 punktw?

Zadanie 2.5 (?). Dugopis kosztuje 3 z. Ile kosztuje owek, jeli za 2 du-gopisy i 3 owki zapacono:

a) 9 z,

b) 7 z,

c) 7 z. i 50 gr?

Rozdzia 3

Ukady rwna liniowych

Definicja 3.1. Ukadem dwch rwna liniowych z dwiema niewiadomyminazywamy ukad postaci: {

a1x+ b1y = c1a2x+ b2y = c2

,

gdzie przynajmniej jeden z paramterw a1 i b1 oraz przynajmniej jeden zparametrw a2 i b2 jest rny od zera (to zaoenie jest potrzebne po to, abykade z rwna wyznaczao na paszczynie pewn prost).

Problem 3.2. Jaki zbir punktw na paszczynie okrela rwnanie 0x+0y =c. Czy zbir ten zaley od wartoci parametru c?

3.1 Rozwizywanie ukadw rwna liniowych.

Poniewa kade z rwna okrela pewn prost na paszczynie zatem roz-wizaniem ukadu s pary (x, y) wyznaczajce punkty wsplne tych prostych.Jak wiadomo dwie proste mog mie 0, 1 lub puntkw wsplnych (czy po-trafisz wykona odpowiednie rysunki?). Z tego wynika, e rozwaany ukadrwna moe albo by sprzeczny, albo mie dokadnie jedno rozwizanie (m-wimy wtedy e jest oznaczony) albo mie wiele rozwiza (mwimy wtedy,e jest nieoznaczony).Istnieje wiele metod rozwizywania ukadw rwna. Jeli ukad nie za-

wiera parametrw, to moemy uy:

1. metody podstawiania,

2. metody przeciwynych wspczynnikw,

3. metody graficznej,

19

20 ROZDZIA 3. UKADY RWNA LINIOWYCH

4. metody wyznacznikw.

W ukadach bez parametrw, preferowane jest uywanie jednej z dwchpierwszych metod. (Przypomnij sobie na czym polegaj metody 1, 2 i 3!)Jeli natomiast ukad zawiera cho jeden parametr, wydaje si, e metodawyznacznikw jest najbezpieczniejsza i najefektywaniejsza.

3.1.1 Metoda wyznacznikw.

Metoda wyznacznikw jest najbardziej uniwersaln metod rozwizywaniaukadw rwna liniowych. W matematyce uywa si jej postaci oglnej,zwanej metod bd wzorami Cramera. Metoda taka pozwala na rowizy-wania, w bardzo prosty sposb, ukadw wielu rwna z du liczb nie-wiadomych. My w naszych rozwaaniach ograniczymy si do ukadw dwchrwna z dwoma niewiadomymi. Poniej zebrano podstawowe definicje i fak-ty, potrzebne przy korzystaniu z tej metody.

Definicja 3.3 (wyznaczniki ukadu rwna). Dla ukadu:{a1x+ b1y = c1a2x+ b2y = c2

wyznacznikiem gwnym nazywamy liczb W obliczon wzorem:

W =

a1 b1a2 b2 = a1b2 a2b1.

Uwaga 3.4 (interpretacja geometryczna wyznacznika). Wyznacznik gwnyinformuje nas, czy proste, ktrych rwnania wystpuj w ukadzie rwna srwnolege czy nie.

Aby zbada ile rozwiza ma dany ukad rwa warto posuy si wy-znacznikiem. Poniej zebrano kilka faktw wicych wyznacznik, wanie ziloci rozwiza ukadu rwna.

Fakt 3.5. Jeli wyznacznik gwny ukadu W = 0, to proste wyznaczaneprzez ten ukad s rwnolege. Jeli natomiast wyznacznik gwny W 6= 0, toproste te nie s rwnolege.

Fakt 3.6. Jeli wyznacznik gwy ukadu W 6= 0, to ukad jest oznaczony -ma dokadnie jedno rozwizanie. I odwrotenie, jeli ukad ma dokadnie jednorozwizanie, to jego wyznacznik gwny napewno jest rny od zera.

Fakt 3.7. Jeli wyznacznik gwy ukad W = 0, to ukad nie jest oznaczony- to znaczy albo okae si by sprzeczny albo ma wiele rozwiza.

3.1. ROZWIZYWANIE UKADW RWNA LINIOWYCH. 21

Uwaga 3.8. Zauwamy, e gdy W = 0, to dalej nie wiemy, ile rozwizaposiada ukad rwna. Sposb poradzenia sobie z t przeszkod zilustrujeponiszy przykad.

Przykad 3.9 (badanie iloci rozwiza ukadu rwna z parametrem). Wzalenoci od parametru m zbadamy ilo rozwiza ukadu:{

mx+ y = 13x+ 3my = 3

Obliczmy wyznacznik gwny tego ukadu.

W =

m 13 3m = 3m2 3.

Sprawdmy kiedy W = 0:

3m2 3 = 0 gdy m = 1 lub m = 1.

Dla pozostaych m, zachodzi W 6= 0, zatem wiadomo ju, e jeli m R\{1, 1}, to ukad posiada dokadnie jedno rozwizanie. Pozostaje spraw-dzi co si dzieje dla m = 1 oraz dla m = 1 (w obu przypadkach prostewyznaczane przez ukad rwna s rwnolege, nie wiadomo jednak czy po-krywaj si czy te nie maj punktw wsplnych).Jeli m = 1 to nasz ukad przyjmuje konkretn posta:{

x+ y = 13x+ 3y = 3

.

Wystarczy podzieli drugie rwnaie obustronnie przez 3 aby otrzyma:{x+ y = 1x+ y = 1

.

Bez adnych dalszych wylicze atwo moemy stwierdzi, e oba rwnaniaopisuj t sam prost - czyli, w tym przypadku ukad ma nieskoczeniewiele rozwiza.Jeli natomiast m = 1, to ukad nasz przybiera posta:{

x+ y = 13x 3y = 3 .

Wystarczy teraz pierwsze z rwna pomnoy przez 1 a drugie podzieliprzez 3 (dymy do zrwnania wspczynnika przy x), aby otrzyma:{

x y = 1x y = 1 .


Wida tutaj odrazu, e otrzymane proste s rwnolege, ale napewno niepokrywaj si (s rozsunite), std ukad jest sprzeczny.Zbierzmy wic uzyskane wyniki. Okazao si, e jeli m R\{1, 1}, to

ukad ma 1 rozwizanie. Jeli m = 1, to ukad nie ma rozwiza, jelinatomiast m = 1, to ukad ma wiele rozwiz.

Aby poradzi sobie z rozwizaniem (a nie tylko z podaniem liczby roz-wiza) ukadu ktry posiada parametry, wprowadzimy tzw. wyznacznikiszczegowe.

Definicja 3.10 (wyznaczniki szczegowe ukadu rwna). Wyznacznikamiszczegowymi niewiadomych x i y nazywa bdziemy odpowiednio liczby:

Wx =

c1 b1c2 b2 = c1b2 c2b1,

oraz

Wy =

a1 c1a2 c2 = a1c2 a2c1.

Fakt 3.11. Jeli wyznacznik gwny ukadu W 6= 0, to rozwizaniem ukadujest para liczb: {

x = WxW

y = WyW

.

Co wicej mona udowodni nastpujce wasnoci.

Fakt 3.12. Jeli W = 0 oraz Wx = Wy = 0, to ukad ma nieskoczenie wielerozwiza.

Fakt 3.13. Jeli W = 0 oraz przynajmniej jeden z wyzncznikw szczego-wych Wx lub Wy jest rny od zera, to ukad jest sprzeczny.

3.2 Zadania

Zadanie 3.1. Uywajc metody podstawiania rozwiza ukady rwna:

a){2x 3y = 74x+ 2y = 1

b){3x y = 26x+ 2y = 3

3.2. ZADANIA 23

c){x 2y = 42x 4y = 8

Zadanie 3.2. Uywajc metody przeciwnych wsplczynnikw rozwi uka-dy rwa:

1.{x+ y = 72x+ 2y = 4

2.{x 3y = 82x+ 6y = 16

3.{4x y = 32x 2y = 5

Zadanie 3.3. Podany ukad zilustruj graficznie i jeli to moliwe podaj do-kadne rozwizanie.

a){3x y = 24x+ 2y = 8

b){3x+ y = 10x+ y = 2

Omw wady metody graficznej.

Zadanie 3.4. Przypumy, e b1 6= 0 i b2 6= 0. Wtedy kady taki ukad dwchrwna liniowych mona sprowadzi do postaci:{

y = a1b1x+ c1

b1

y = a2b2x+ c2

b2

Posugujc si interpretacj graficzn podaj jak ilo rozwiz zaley odliczb: a1

b1, a2

b2, c1b1, c2b2.

Zadanie 3.5. W kadym z podanych niej przypadkw wylicz W i jeliW 6= 0, to rozwi dany ukad metod wyznacznikw, a jeliW = 0, to przezodpowiednie pomnoenie przekszta ukad do postaci, z ktrej wida ilorozwiz:

a){x+ 2y = 115x 3y = 3

b){2x+ 5y = 153x+ 8y = 1


c){3x y = 55x+ 2y = 23

d){28x+ 35y + 3 = 012x+ 15y + 25 = 0

e){2x+ 5y = 254x 10y = 50

f){7x 3y + 1 = 04x 5y + 17 = 0

Zadanie 3.6. W zalenoci od paramteru (parametrw) podaj liczb roz-wiza dla:

a){x+ 3my = 1 +m3mx+ y = 2(m 1)

b){m2x+ y = 1x+ y = m

c){x+ y = amx+ y = 0

d){(a 3)x 4y = b9x (a+ 2)y = 9

e){2x+ 3y = 44x+my = 2m

Zadanie 3.7. W zalenoci od parametru m rozwi podany ukad:

a){3x+my = 23x+ 2y = 3

b) (?){x+ 2y = 42x+my = 2m

c) (?){mx+ y = mx+my = m2

3.2. ZADANIA 25

Zadanie 3.8. W zalenoci od paramteru k podaj liczb rozwiza ukadu:{kx+ y = k2

x+ ky = 1

i odpowiedz, dla jakich wartoci parametru k ukad:

1. jest niesprzeczny,

2. ma co najmniej jedno rozwizanie,

3. jest nieoznaczony,

4. ma co najwyej jedno rozwizanie,

5. ma conajmniej dwa rozwizania,

6. ma dokadnie siedem rozwiza,

7. (?) ma rozwizanie bdce par liczb przeciwnych.


Rozdzia 4

Funkcja kwadratowa

4.1 Podstawowe definicje.

Definicja 4.1 (funkcja kwadratowa). Funkcj kwadratow nazywamy do-woln funkcj postaci: f(x) = ax2 + bx + c, gdzie a 6= 0, natomiast b i c sdowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Uwaga 4.2. Jeli w zadaniu pojawi si funkcja, ktr wyglda jak funkcjakwadratowa, ale wspczynnik przy x2 zawiera parametr (np. f(x) = (m +1)x2 + mx 3) to najczciej musimy rozpatrze osobno dwa przypadki:funkcji kwadratowej (gdy m 6= 1) oraz funkcji liniowej (gdy m = 1).

Wykres funkcji kwadratowej. Wykresem funkcji kwadratowej jest para-bola. Skada si ona z wierzchoka i dwch ramion, ktre albo s skierowanedo gry (gdy a > 0) albo na d (a < 0). Wsprzdne wierzchoka oblicza-my ze wzorw: W = (p, q), gdzie p = b2a , q =

4a ( = b

2 4ac). Symbol zwany wyrnikiem rozpatrywanego trjmianu kwadratowego informujenas o iloci miejsc zerowych:

jeli > 0, to funkcja posiada dwa miejsca zerowe,

jeli = 0, to funkcja posiada jedno miejsce zerowe,

jeli < 0, to funkcja nie posiada miejsce zerowych.

Fakt 4.3. Jeli a 6= 0 i 0, to miejsca zerowe dane s wzorami: x1 =b

2a , x2 =b+

2a . (Jeli = 0, to oba wzory daj t sam liczb ozna-czan przez x0.)

Uwaga 4.4. Parametr c oznacza miejsce przecicia wykresu x osi OY (po-niewa oczywicie f(0) = a 0 + b 0 + c = c).

27

28 ROZDZIA 4. FUNKCJA KWADRATOWA

4.2 Rysowanie wykresu funkcjia kwadratowej.

Jeli chcemy narysowa wykres funkcji kwadratowej, to:

1. wyliczamy wierzchoek W (p, q) i zaznaczamy go na wykresie,

2. zaznaczamy punkt (0, c) - miejsce przecicia z osi OY ,

3. korzystajc z faktu, e parabola ma o symetrii (jest to prosta o rwna-niu x = p) i zaznaczamy punkt symetryczny do (0, c) ktry ma wsp-rzdne (2p, c),

4. jeli istniej miejsca zerowa i s atwe do obliczenia, zaznczamy je naosi OX,

5. przez otrzymane punkty prowadzimy krzyw o ksztacie moliwie naj-bardziej zblionym do paraboli (pamitajc o symetrycznoci, o nieza-mywaniu ramion i o gadkim wierzchoku).

Uwaga 4.5. Moe si zdarzy, e z krokw 1 4 dostajemy zaledwie jedenpunkt (np. dla funkcji f(x) = x2 + 4). Wtedy naley wyliczy warto np.dla x = 1 (wybieramy takie parametry x dla ktrych obliczenia s moliwienajprostsze) i otrzymany punkt, wraz z punktem do niego symetrycznym,zazanczamy na rysunku.

Naley pamita, e w zasadzie, mamy 6 rnych parabol (co moeszpowiedzie o wielkociach oraz a dla kadego z przypadkw?):

tu bdzie rysunek (przypadki ze wzgldu na znak a oraz )

Dlatego po przeczytaniu dowolnego zadania z funkcj kwadratow, naleyzastanowi si, ktre z tych szeciu parabol speniaj zaoenia tego zadania,a nastpnie opisa je w terminach oraz a.

4.3. WZORY VIETEA. 29

4.3 Wzory Vietea.

Poznamy dwa wzory ktre uatwiaj bardzo wiele oblicze. Zapamitanie ichi czste stosowanie, pozwala rozwiza wiele zada, ktre bez tych wzorwmogby by do skomplikowane.

Fakt 4.6 (wzory Vietea). Jeli a 6= 0 i 0, to:{x1 + x2 = bax1x2 = ca

Uwaga 4.7. Wzory Vietea pozwalaj powiedzie co o x1 i x2 bez potrzebywyliczania tych liczb.

Przykad 4.8 (zastosowanie wzorw Vietea). Niech f(x) = x2 8x + 6.Wyrnik tego trjmianu wynosi 40, co oznacza, e funkcja ma dwa miejscazerowe x1 oraz x2. ato zauway, e oba miejsca zerowe bd liczbami niewymiernymi. Jednak wiele rzeczy o tych pierwiastkach mona powiedzie,nie znajc ich dokadnej wartoci. Zapiszmy wzory Vietea dla tej funkcji:{

x1 + x2 = 8x1x2 = 6

Odrazu wida std, e obie liczby x1 i x2 s dodatnie (dlaczego?). Bez wyli-czania wartoci tych pierwiastkw mona rwnie powiedzie (policzy), e:

a) suma kwadratw x1 i x2 wynosi: x21+x22 = (x1+x2)

22x1x2 = 8226 =64 12 = 52,

b) suma odwrotnoci x1 i x2 wynosi: 1x1 +1x2= x2+x1x1x2= 86 =

43 ,

c) odlego x1 i x2 wynosi: |x1 x2| =(x1 x2)2 =

x21 2x1x2 + x22 =

(x1 + x2)2 4x1x2 =82 4 6 =

40,

oraz kade inne wyraenie symetryczne ze wzgldu na x1 i x2.

4.4 Funkcja kwadratowa w rnej postaci.

Istnieje wiele postaci zapisu wzoru funkcji kwadratowej. Poniej zebrano kilkanajczciej uywanych form, wraz z podanymi zaletami kadego ze sposobw.

1. Posta oglna: f(x) = ax2 + bx + c - wida punkt przecicia z osiOY , atwo otrzyma wzory Vietea.


2. Posta kanoniczna: f(x) = a(x p)2 + q - wida wierzchoek orazliczb miejsc zerowych.

3. Posta iloczynowa: f(x) = a(x x1)(x x2) (istnieje tylko wtedy, gdy 0, co wicej gdy = 0 skraca si do zapisu f(x) = a(x x0)2) -wida miejsca zerowe.

Warto zna podane wyej zapisy, tak aby mona byo w odpowiednich za-dania odrazu zastosowa odpowiedni zapis i odczyta moliwie jak najwicejinformacji bez wykonywania dodatkowych oblicze.

4.5 Wasnoci funkcji kwadratowej.

Poniej zebrano podstawowe wasnoci funkcji kwadratowej.

1. Zbir wartoci funkcji kwadratowej. Jeli a > 0, to zbiorem war-toci jest przedzia q,), jeli natomiast a < 0, to zbiorem wartocijest przedzia (, q. Czy wiesz dlaczego?

2. Monotoniczno. adna funkcja kwadratowa nie jest monotoniczna,a jedynie przedziaami monotoniczna. Jeli a > 0, to funkcja maleje wprzedziale (, p) a ronie w przedziale (p,). Natomiast, jeli a < 0,to funkcja ronie w przedziale (, p) natomiast ronie w przedziale(p,).

3. Rnowartociowo. adna funkcja kwadratowa nie jest rnowar-tociowa, a co za tym idzie nie posiada funkcji odwrotnej.

4.6 Funkcja kwadratowa okrelona na prze-dziale domknitym.

Bardzo czsto rozwizanie problemu sprowadza si do rozwaenia funkcji:f(x) = ax2+bx+c przy zaoeniu, e x r1, r2, gdzie r1 oraz r2 to dowolneliczby rzeczywiste takie, e r1 < r2. Co prawda funkcja ta jest dana wzoremfunkcji kwadratowej, ale jej dziedzin nie jest cay zbir liczb rzeczywistycha jedynie przedzia r1, r2. Mwimy, e obcinamy funkcj kwadratow doprzedziau r1, r2. Wykresem tej funkcji nie jest caa parabola, a jedynie jejfragment zawarty midzy prostymi x = r1 oraz x = r2 (czeni z punktamikocowymi).

4.7. ZADANIA 31

Problem 4.9. Rozwa funkcj f(x) = x2 obcit do rnych przedziaw, np:x 1, 2, x 1, 2, x 0, 3, x 2,1. Sprbuj omwi typyotrzymanych wykresw. Zauwamy, e otrzymane funkcje mog mie rnewasnoci - inne ni funkcja przed obciciem. W pewnych sytuacjach moe-my otrzyma funkcj monotoniczn, rnowartociow, ze zmniejszon liczbmiejsc zerowych itd. Najwaniejsz now wasnoci jest fakt, e kada takafunkcja posiada warto najmniejsz oraz warto najmniejsz (mwimy, efunkcja osiga swoje kresy).

Przykad 4.10 (warto najwiksza i najmniejsza). Rozwamy poniszefunkcje. Wszystkie dane bd jednym wzorem f(x) = x2 4.

1. Niech w tym przypadku, dziedzin funkcji bdzie cay zbir liczb rze-czywistych. Wtedy, nasza funkcja posiada warto najmniejsz, ktrawynosi 4 i jest osigana dla x = 0, ale nie posiada wartoci najwik-szej.

2. Obetnijmy dziedzin do przedziau x 1, 1. Otrzymujemy now(inn!) funkcj. Podobnie jak poprzednio posiada ona warto najwik-sz 4 ktr osiga dla x = 0. W odrnieniu jednak od poprzedniej, tafunkcja posiada rwnie warto najwiksz 3, ktr osiga w dwchmiejsach, dla x = 1.

3. Niech teraz, dziedzin naszej nowej funkcji bdzie inny przedzia - x 1, 2. Taka funkcja posiada warto najmniejsz, ktra wynosi 3 ijest osigana dla x = 1 oraz warto najwiksz, ktra wynosi 0 i jestosigana dla x = 2.

Aby lepiej zrozumie powyszy przykad, wykonaj odpowiednie rysunki.

4.7 Zadania

Zadanie 4.1. Dla podanych funkcji znajd posta ogln, kanoniczn, ilo-czynow, wierzchoek paraboli i miejsca zerowe:

a) f(x) = 2x2 + 6x+ 8,

b) f(x) = 2(x 3)2,

c) f(x) = (x+ 3)2 6,

d) f(x) = 2x2 + 6x.


Zadanie 4.2. Naszkicuj wykresy funkcji z zadania 1, podaj przedziay mo-notonicznoci i zbir wartoci.

Zadanie 4.3. Wyznacz wartoci wspczynnikw b i c funkcji f(x) = x2 +bx+ c tak, aby:

a) do wykresu tej funkcji naleay punkty (1, 1) oraz (0,5),

b) do wykresu tej funkcji naleay punkty (3, 9) oraz (1,9),

c) funkcja ta miaa dwa miejsca zerowe 2 i 3,

d) funkcja ta miaa dokadnie jedno miejsce zerowe 3,

e) funkcja ta osigna minimum rwne 5 dla x = 2,

f) jej wykres przecina o OY w punkcie (0, 3) i by styczny do osi OX.

Rozwizania zobrazuj na odpowiednim rysunku.

Zadanie 4.4. Dla jakich wartoci parametru m podana funkcja posiada do-kadnie jedno miejsce zerowe:

a) f(x) = mx2 + 3x+ 4,

b) f(x) = x2 mx+ 2,

c) f(x) = (m+ 1)x2 2(m+ 1)x+ 3m.

Zadanie 4.5. Wyznacz najwiksz i najmniejsz warto funkcji f w poda-nym przedziale:

a) f(x) = 2x2 + 2x 1, x 0, 2,

b) f(x) = x2 + 4x 2, x 1, 2,

c) f(x) = x x2. x 0, 2.

Zadanie 4.6. Wyrniki podanych trjmianw s dodatnie (sprawd to!).Oblicz sum i iloczyn miejsc zerowych kadego z trjmianw (bez wyliczaniawartoci tych miejsc zerowych):

a) f(x) = x2 8x+ 12,

b) f(x) = 2x2 3x 1,

c) f(x) = 3x2 + 5x+ 2,

4.7. ZADANIA 33

d) f(x) = 12x2 + 4x 3.

Jakiego znaku s miejsca zerowe kadego z tych trjmianw?

Zadanie 4.7. Dla jakich wartoci parametru m funkcja f(x) = x2 + (m 1)x+ 3:

a) przyjmuje tylko wartoci dodatnie,

b) przyjmuje tylko wartoci ujemne,

c) jest funkcj parzyst.

Zadanie 4.8. Ponisze wyraenia przedstaw za pomoc x1 + x2 oraz x1x2:

a) x31 + x32,

b) 1x21+ 1x22,


Rozdzia 5

Rwnania i nierwnocikwadratowe

5.1 Rwnanie kwadratowe.

Definicja 5.1 (rwnanie kwadratowe). Rwnaniem kwadratowym nazywa-my rwnanie postaci:

ax2 + bx+ c = 0 gdzie a 6= 0, b, c R.

Przykad 5.2. Rozwamy rwnanie: (m 1)x2 2mx + m = 0 (m Rjest parametrem). W zalenoci od wartoci parametru, zachodzi jeden zprzypadkw:

jest to rwnanie liniowe dla m = 1,

jest to rwnanie kwadratowe dla m 6= 1.

5.1.1 Liczba rozwiza rwnania kwadratowego.

Fakt 5.3 (liczba rozwiza rwnania kwadratowego). Jeli > 0, to rw-nanie kwadratowe ma dwa rozwizania: x = b

2a lub x =b+

2a . Jeli = 0, to rwnanie kwadratowe ma jedno rozwizanie, x = b2a . Jeli < 0,to rwnanie kwadratowe nie ma rozwiza - jest sprzeczne.

Przykad 5.4. Zastanwmy si ile rozwiza, w zalenoci od parametru m,ma rwnanie mx2+4x 1 = 0. Zauwamy, e jeli m = 0, to powysze rw-nanie, nie jest rwnaniem kwadratowym i redukuje si do rwnania postaci:4x 1 = 0, ktre jako rwnanie liniowe, oczywicie ma jedno rozwizanie(x = 14). Jeli natomiast m 6= 0, to mamy doczynienia z rwnaniem kwadra-towym. Moemy wobec tego policzy delt: = 16 + 4m (naley pamita,

35

36 ROZDZIA 5. RWNANIA I NIERWNOCI KWADRATOWE

e obliczona istnieje tylko w przypadku gdy m 6= 0). atow zatem poli-czy, e jeli m > 4 (przy zaoeniu m 6= 0 !) to > 0, czyli rwnanie mawwczas dwa rne pierwiastki. Jeli m = 4, tp = 0, co daje rwnanietylko z jednym pierwiastkiem. Jeli natomiast m < 4, to < 0, wobecczego rwnanie jest sprzeczne. Zbierzmy uzyskane wyniki:

Jeli m (4, 0) (0,), to rwnanie ma 2 rozwizania.

Jeli m = 4 m = 0, to rwnanie ma 1 rozwizanie.

Jeli m (,4), to rwnanie nie ma rozwiza.

5.2 Nierwno kwadratowa.

Definicja 5.5. Nierwnoci kwadratow nazywa bdziemy nierwnoci po-staci: ax2 + bx+ c < 0, ax2 + bx+ c > 0, ax2 + bx+ c 6= 0, ax2 + bx+ c 0.gdzie a 6= 0, oraz a, b, c R.

5.2.1 Graficzne przedstawienie nierwnoci kwadrato-wej.

Przy rozwizywaniu nierwnoci kwadratowych, czsto najwygodniejszymsposobem jest skorzystanie z metody graficznej, ktra daje szybki i dokadnywynik. Aby rozwiza nierwno kwadratow, postpujemy w nastpujcysposb. Szkicujemy przybliony wykres funkcji kwadratowej danej wzoremz nierwnoci, przy czym najbardziej interesuj nas w nim miejsca zerowefunkcji (nie musimy wylicza wsprzdnych wierzchoka, miejsca przeciciaz osi OY itd. - najczciej w ogle nie rysujemy osi OY !). Nastpnie pa-trzymy dla jakich wartoci x naszkicowany wykres jest nad osi OX, a dlajakich pod osi OX. Odpowiednio dla danej nierwnoci, wybieramy prze-dzia ktry jest rozwizaniem nierwnoci. Powysze rozumowanie pokaemyna kilku przykadach.

Przykad 5.6. Rozwiemy nierwno x2 6x+ 8 > 0. Wykresem funkcjidanej wzorem f(x) = x2 6x+8 jest parabola o ramionach skierowanych wgr, posidajca dwa miejsca zerowe x1 = 2 oraz x2 = 4. Std otrzymujemyszybko odpowied: x (, 2) (4,). (Narysuj samodzielnie odpowiednirysunek i sprawd czy rozumiesz, skd wzia si odpowied!)

Przykad 5.7. Pokaemy teraz, dla jakich wartoci parametru m, rozwiza-niem nierwnoci: 2x2+4x+m 0, jest zbir wszystkich liczb rzeczywistych.

5.3. ZADANIA 37

Wykresem lewej strony nierwnoci jest parabola o ramionach skierowa-nych w gr (dlaczego?). Aby kada liczba rzeczywista speniaa t nierw-no, parabola ta powinna nie schodzi poniej osi OX, tzn. w caocimusi znajdowa si nad osi OX lub ewentualnie moe si z ni styka.Std dostajemy warunek 0 (dlaczego?). Poniewa = 16 8m, zatemm 2. Zatem rozwizaniem naszej nierwnoci 2x2 + 4x + m 0 bdziecay zbir liczb rzeczywistych, wtedy i tylko wtedy, gdy m 2,). (Nary-suj odpowiedni rysunek i zastanw si, czy rozumiesz jak otrzymalimy takodpowied!)

Przykad 5.8. Rozwamy nierwno (5 k)x2 2(1 k)x+2(1 k) < 0,gdzie k R jest parametrem. Zastanwmy si dla jakich wartoci tego para-metru, rozwizaniem nierwnoci jest zbir wszystkich liczb rzeczywistych.Pierwsze spostrzeenie jest takie, e jedynie dla k 6= 5, dana nierwno

jest rzeczywicie nierwnoci kwadratow. Dla k = 5 nierwno sporwadzasi do nierwnoci liniowej 8x8 < 0, ktrej rozwizaniem nie jest cay zbirliczb rzeczywistych, tylko przedzia x (, 1). Std napewno k = 5 niejest szukanym k. W dalszych rozwaaniach zakadamy wic, e k 6= 5.Skoro k 6= 5, to rozwaana nierwno jest nierwnoci kwadratow i

wykresem jej lewej strony jest parabola. Rozwizaniem bdzie cay zbirliczb rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy caa parabola bdzie lee podosi OX, czyli a < 0 (ramiona musz by skierowane w d) oraz < 0 (niemoe by miejsc zerowych). Otrzymujemy zatem nastpujce warunki:

k 6= 5a = 5 k < 0 = 4(1 k)2 8(5 k)(1 k) < 0

Drugi warunek daje k > 5, a trzeci: k (, 1)(9,). Czci wsplnwszystkich warunkw jest szukana odpowied, czyli: k (9,).

5.3 Zadania

Zadanie 5.1. Rozwi rwnanie:

a) (3x 8)2 (4x 6)2 + (5x 2)(5x+ 2) = 96,

b) (2x 7)2 + (3x 5)2 + (4x 9)(4x+ 9) = 2(64 29x).

Zadanie 5.2. Zbadaj liczb pierwistkw rwnania x2 6x+5 = m w zale-noci od paramteru m. Zadanie rozwi na dwa sposoby: analitycznie orazgraficznie. Ktry ze sposobw jest efektywniejszy?


Zadanie 5.3. W zalenoci od paramteru m podaj liczb pierwiastkw rw-nania:

a) x2 m2 = 2mx+ 1,

b) mx2 +mx+m = 0,

c) (m 5)x2 + (5m)x 3m = 0.

Zadanie 5.4. Dla jakich wartoci parametru m rwnanie (m1)x22mx+m 2 = 0 ma 2 rne, ujemne pierwiastki rzeczywiste?

Zadanie 5.5. Rozwi nierwnoci:

a) x2 8x+ 12 < 0,

b) x2 < 4(x+ 1),

c) 2x(x 10) 4(x 8),

d) x(x+ 19) 3(18 + 5x).

Zadanie 5.6. Dla jakich wartoci paramteru m zbiorem rozwiza nierw-noci jest cay zbir R?

a) x2 mx+m+ 3 > 0,

b) (m2 + 5m 6)x2 2(m 1)x+ 3 0,

c) x2 + 4mx+ 13 > 0.

Zadanie 5.7. Dla jakich wartoci parametrum rwnanie ma dokadnie jedenpierwiastek. Znajd ten pierwiastek.

a) mx2 + 2(m 1)x+m 3 = 0,

b) x2 +mx+m+ 3 = 0,

c) (m+ 1)x2 2x+m 1 = 0.

5.4. PRZYKADY TYPOWYCH ZASTOSOWA FUNKCJI KWADRATOWEJW ZADANIACH.39

5.4 Przykady typowych zastosowa funkcjikwadratowej w zadaniach.

W tym podrozdziale zebrano kilka przykadw zada, w ktrych pojawiasi funkcja, rwnanie bd nierwno kwadratowa. Przeanalizuj poniszeprzykady i upewnij si, czy wszystko jest zrozumiae.

Przykad 5.9. Zadanie:Wyznacz wartoci parametru m, dla ktrych rw-nanie (m+ 1)x2 4mx+ 2m+ 3 = 0 ma dwa rne pierwiastki tego samegoznaku.Rozwizanie: Jelim = 1, to rwnanie redukuje si do: 4x+1 = 0 i nie

spenia warunkw zadania (to rwnanie liniowe nie moe mie dwch rnychpierwiastkw tego samego znaku). Jeli natomiast m 6= 1, to rwnanie jestkwadratowe. Wtedy ilo pierwiastkw zaley od , a znak pierwiastkwustalamy ze wzorw Vietea. Otrzymujemy nastpujce warunki:

m 6= 1 > 0ca> 0

Drugi warunek daje nam sum przedziaw: m (,12) (3,). Z trze-ciego warunku mamy: m (,32) (1,). Odpowiedzi bdzie czwsplna otrzymanych wynikw.Odpowied: Rwnanie ma dwa pierwiastki tego samego znaku, gdy m

(,32) (1,12) (3,).

Przykad 5.10. Zadanie:Wyznacz wartoci parametrum, dla ktrych war-to bezwzgldna rnicy pierwiastkw rwnania: x2+mx+12 = 0 jest rwna1.Rozwizanie: Jest to rwnanie kwadratowe, wic aby mc mwi o r-

nicy pierwiastkw, musimy mie pewno e istniej dwa rne pierwiastki.Mamy wic: {

> 0|x1 x2| = 1

Z pierwszego warunku mamy:

= m2 48

m2 48 > 0

m (,43) (4

3,)


Drugi warunek przeksztacamy tak aby mona byo skorzysta ze wzorwVietea. Warunek |x1 x2| = 1 jest speniony, wtedy i tylko wtedy, gdy(x1 x2)2 = 1 (czy wiesz dlaczego?). Przeksztacimy wyraenie (x1 x2)2:

(x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1x2 =b2

a2 4 ca=b2 4aca2

=a2

A std mamy, e:m2 481

= 1

m2 = 49

m = 7 m = 7

Odpowiedzi jest cz wsplna wynikw z oby warunkw. W tym przypadkut cz wspln stanowi dokadnie to co wyszo z warunku drugiego.Odpowied: Zadanie jest spenione dla m {7, 7}.

Przykad 5.11. Zadanie:Wyznacz wartoci parametrum, dla ktrych rw-nanie (m+ 1)x2 4mx+ 2m+ 3 = 0 ma dwa rne pierwiastki tego samegoznaku.Rozwizanie: Jelim = 1, to rwnanie redukuje si do: 4x+1 = 0 i nie

spenia warunkw zadania (to rwnanie liniowe nie moe mie dwch rnychpierwiastkw tego samego znaku). Jeli natomiast m 6= 1, to rwnanie jestkwadratowe. Wtedy ilo pierwiastkw zaley od , a znak pierwiastkwustalamy ze wzorw Vietea. Otrzymujemy nastpujce warunki:

m 6= 1 > 0ca> 0

Drugi warunek daje nam sum przedziaw: m (,12) (3,). Z trze-ciego warunku mamy: m (,32) (1,). Odpowiedzi bdzie czwsplna otrzymanych wynikw.Odpowied: Rwnanie ma dwa pierwiastki tego samego znaku, gdy m

(,32) (1,12) (3,).

Przykad 5.12. Zadanie:Wyznacz wartoci parametrum, dla ktrych licz-ba 5 ley pomidzy pierwiastkami rwnania: x2 + 4mx+ 3m2 = 0.Rozwizanie:Wykresem funkcji f(x) = x2+4mx+3m2 jest parabola o

ramionach skierowanych w gr. Jeli > 0, to ma ona dwa miejsca zerowe.Co wicej 5 ley pomidzy tymi pierwiastkami, wtedy i tylko wtedy, gdyf(5) < 0 (czy wiesz dlaczego? - sporzd szkic wykresu funkcji i sprbuj towyjani!). Zatem:


{ > 025 + 20m+ 3m2

Obliczenia przeprowadzamy podobnie do poprzednich przykadw. (Ze wzgl-du na to podobiestwo pomijamy je tutaj - doprowad obliczenia do koca isprawd odpowied!)Odpowied: Zadanie jest spenione dla m (5,53).

Przykad 5.13. Zadanie:Wyznacz wartoci parametrum, dla ktrych rw-nanie: x2+4mx+3m2 = 0 ma dwa pierwiastki, ktre s sinusem i cosinusemtego samego kta ostrego.Rozwizanie: Oczywicie musz istnie dwa rne pierwiastki, czyli >

0. Aby byy one sinusem i cosinusem tego samego kta, musi zachodzi rw-no x21 + x

22 = 1 (czy wiesz dlaczego musi zaj ten warunek? przypomnij

sobie synn jedynk trygonometryczn!). Chcemy rwnie, aby kt byostry - czyli x1, x2 > 0 (dla ktw ostry zarwno sinus jak i cosinus, przyj-muj wartoci nieujemne). Mamy zatem warunki:

> 0x21 + x

22 = 1

x1 > 0 x2 > 0

Dwa ostatnie warunki sprowadzamy do wzorw Vietea:

x21 + x2 = 1b2

a2 2 ca= 1

x1 > 0 x2 > 0{ ba> 0

ca> 0

Pozostaje tylko dokoczy obliczenia, ktre s bardzo podobne do tych,ktre wykonywalimy w poprzednich przykadach.Odpowied: Zadanie jest spenione dla m =

15.

Przykad 5.14. Zadanie: Funkcja f : R N przyporzdkowuje kadejliczbie m R liczb rozwiza rwnania mx2 + mx + 2 = 0. Naszkicujwykres funkcji f .Rozwizanie: Zauwamy, e dla m = 0 rwnanie to nie jest kwadratowe

i upraszcza si do: 2 = 0. Takie rwnanie jest oczywicie sprzeczne. Wniosek:dla m = 0 mamy zero rozwiza (czyli f(0) = 0).Jelim 6= 0, to rozpatrywane rwnanie jest kwadratowe i liczba rozwiza

zaley od : = m2 8m.


Jeli wic m2 8m > 0 (i m 6= 0) to mamy 2 rozwizania. Tak dzieje sidla m (, 0) (8,). Dla m = 8 mamy 1 rozwizanie. Dla m (0, 8)rwnanie nie ma rozwiza.Zatem moemy ju poda wzr na funkcj f :

f(x) =

0 dla m 0, 8)1 dla m = 82 dla m (, 0) (8,)

Teraz wystarczy tylko narysowa wykres funkcji f korzystajc z poda-nego wyej wzoru. Dokoczenie tego zadania pozostawiamy jako wiczenieczytelnikowi.

Przykad 5.15. Zadanie: Dla jakich wartoci parametru m, suma kwadra-tw rozwiza rwnania rwnania: x2 mx+m 1 = 0 jest najmniejsza?Rozwizanie: Sprawdmy najpierw kiedy w ogle istniej dwa pierwiast-

ki, czyli kiedy > 0.

= m2 4(m 1) = m2 4m+ 4 = (m 2)2

Zatem dwa (rne) pierwiastki istniej gdy m 6= 2.Suma kwadratw pierwiatskw saje si zapisa wzorami Vietea, jako:

x21 + x21 =b2

a2 2 ca.

Std:x21 + x

22 = m

2 2(m 1) = m2 2m+ 2.

Rozwamy zatem funkcj f(m) = m22m+2, gdzie m R\{2}. Wykre-sem tej funkcji jest parabola z wymazanym punktem nad m = 2 (nie jest tona szczcie wierzchoek tej paraboli). Po naszkicowaniu tej paraboli, atwoprzekona si, e najmniejsz warto, funkcja f osiga dla m = 1.Odpowied: Dla m = 1 suma kwadratw pierwiastkw danego rwnania

jest najmniejsza. (Czy rozumiesz skd wzia si ta odpowied?)

5.4.1 Zadania dodatkowe

Po przeanalizowaniu powyszych przykadw, samodzielne rozwizanie kilkupodobnych zada nie powinno spawi Ci problemu.

Zadanie 5.8. Wyznacz wartoci parametru m, dla ktrych rwnanie (m 1)x2 + 2mx+ 3m 2 = 0 ma dwa pierwiastki o rnych znakach.


Zadanie 5.9. Wyznacz wartoci parametru m, dla ktrych rwnanie: x2 2x+ 1 = 2xm+m2 ma dwa rne pierwiastki dodatnie.

Zadanie 5.10. Wyznacz wartoci parametru m, dla ktrych iloczyn pier-wiastkw rwnania: (m 3)x2 (m+ 2)x+ 1 = 0 jest wikszy od 2.

Zadanie 5.11. Wyznacz wartoci parametru m, dla ktrych rwnanie: x2+(6m)x+2(6m) = 0, ma dwa rozwizania, takie, e suma ich kwadratwjest najmniejsza.

Zadanie 5.12. Wyznacz wartoci parametrum, dla ktrych pierwiastki rw-nania: x2 2mx+m2 1 = 0 nale do przedziau (2, 4).

Zadanie 5.13. Wyznacz wartoci parametrum, dla ktrych rwnanie: 3x2+mx+ 32 = 0 ma dwa rozwizania, ktre s sinusem i cosinusem tego samegokta.

Zadanie 5.14. Funkcja f przyporzdkowuje kadej liczbie m R liczbrozwiza rwnania:

a) x2 +mx+m = 0,

b) (m+ 2)x2 + 6mx+ 4m 1 = 0.

Naszkicuj wykres funkcji f .


Rozdzia 6

Warto bezwzgldna

Zbir liczb rzeczywistych (ktry oznaczamy przez R) mona przedstawi gra-ficznie jako zbir punktw na osi liczbowej (tzn. na prostej wyposaonej wzwrot, punkt oznaczony jako zero i jednostk). Kadej liczbie rzeczywistej xodpowiada na takiej osi dokadnie jeden punkt.

Definicja 6.1 (warto bezwzgldna). Wartoci bezwzgldn liczby x na-zywamy odlego punktu odpowiadajcego tej liczbie na osi liczbowej, odpunktu zero i oznaczamy przez |x|.

Przykad 6.2. Jeli zaznaczymy na osi liczbowej liczb 4, to atwo zauwa-ymy, e jej odlego od zera wynosi 4, std |4| = 4.

Przykad 6.3. Jeli zaznaczymy na osi liczbowej liczb 3, to widzimy, ejej odlego od punktu zero wynosi 3, std | 3| = 3.

Przykad 6.4. Podobnie moemy pokaza, e na przykad: |5| = 5, |7| = 7,|0| = 0, |12 | =

12 , |34 | =

34 itd.

Widzimy wic, e obliczenie wartoci bezwzgldnej z liczby rzeczywistejjest bardzo proste. Moemy przedstawi to w formie przepisu:

jeli liczba x jest dodatnia lub jeli jest zerem, to |x| = x,

w przeciwnym wypadku (jeli liczba x jest ujemna), tp |x| = x.

W ten sposb otrzymalimy wzr, ktry czsto podaje si wrcz jako definicjwartoci bezwzgldnej:

|x| ={x dla x 0x dla x < 0.

45

46 ROZDZIA 6. WARTO BEZWZGLDNA

6.1 Wasnoci wartoci bezwzgldnej.

Poniszy fakt zbiera podstawowe wasnoci wartoci bezwzgldnej.

Fakt 6.5. Dla dowolnych liczb x, y R mamy:

1. | x| = |x|,

2. |x| 0,

3. |x y| = |x| |y|,

4.xy

= |x||y| , przy zaoeniu y 6= 0,5. |x y| = |y x|.

Uwaga 6.6. Zauwamy, e dla sumy i rnicy na og nie s spenione wa-snoci podobne do tych z punktu 3 i 4 powyszego faktu. Na przykad:

|(3) + 4| 6= | 3|+ |4|,

|5 10| 6= |5| |10|.

6.2 Rwnania z wartoci bezwzgldn.

Definicja 6.7 (rwnanie podstawowe z wartoci bezwzgldn). Rwnaniempodstawowym z wartoci bezwzgldn bdziemy nazywa rwnanie postaci:

|co| = a,

gdzie a jest konkretn (ustalon) liczb rzeczywist.

Przykad 6.8. Rwnania o ktrych mwi definicja wygldaj na przykadtak: |x| = 2, |3x 4| = 8, |x2 4x+1| = 2, |3x x2| = 0, |4x+1| = 3 itp.

Prezentowane tu rwnania, w ktrych wystpuje warto bezwzgldna,s bardzo proste. Z tego wzgldu nazywamy je podstawowymi. W toku p-niejszych rozwaa zajmiejmy si rwnie przypadkami bardziej skompliko-wanymi, gdzie na przykad niewiadoma bdzie zarwno wewntrz wartocibezwzgldnej jak i poza ni, lub takie gdzie bdzie wicej niewiadomych.Poniszy fakt umoliwia rozwizywanie rwna podstawowych z warto-

ci bezwzgldn.

Fakt 6.9. W zaleoci od wartoci parametru a zachodzi jeden z przypadkw.

6.3. NIERWNOCI Z WARTOCI BEZWZGLDN. 47

1. Jeli a < 0, to rwnanie |co| = a nie ma rozwizania.

2. Jeli a = 0, to rwnanie |co| = a jest tosame rwnaniu: co = a.

3. Jeli a > 0, to rwnanie |co| = a jest rwnowane warunkom: co =a co = a.

Korzystajc z powyszego faktu, rozwiemy podane w poprzednim przy-kadzie rwnania podstawowe. Sprawd czy rozumiesz skd wziy si podaneniej wyniki.

Przykad 6.10. Rwnanie |x| = 2 ma dwa rozwizania: x = 2 x = 2.

Przykad 6.11. Rozizenie rwnanie |3x 4| = 8, sprowadza si do rozwi-zania dwch rwna liniowych: 3x 4 = 8 oraz 3x 4 = 8. Daje to namodpowied: x = 4 x = 43 .

Przykad 6.12. Aby rozwiza rwnanie: |x24x+1| = 2, musimy rozwi-za dwa rwnania kwadratowe:

x2 4x+ 1 = 2 x2 4x+ 1 = 2

x2 4x 1 = 0 x2 4x+ 3 = 0.

W rezultacie otrzymujemy cztery moliwe rozwizania: x = 2 5 x =

2 +5 x = 1 x = 3.

Przykad 6.13. Rwnanie |3x x2| = 0 sprowadza si do 3x x2 = 0, cobardzo atwo daje si rozwiza, bo jest to rwnanie tosame z: x(3x) = 0.Czyli mamy dwa rozwizania x = 0 x = 3.

Przykad 6.14. Rwnanie |4x + 1| = 3 zgodnie z podanym faktem jestsprzeczne.

6.3 Nierwnoci z wartoci bezwzgldn.

Po rozwaaniach dotyczcych prostych rwna z wartoci bezwzgldn,przyszed czas na proste nierwnoci w ktrych wystpuje warto bezwzgld-na.

Definicja 6.15 (nierwno podstawowa z wartoci bezwzgldn). Poj-ciem nierwnoci podstawowej z wartoci bezwzgldn, bdziemy okrelanierwnoci postaci: |co| > a, |co| a, |co| < a lub |co| a. Zakadamy,e a jest dowoln, ustaln liczb rzeczywist.


Przykad 6.16. Rozwiemy prost nierwno |x| > 2. Jeli przypomni-my sobie definicj wartoci bezwzgldnej podan w tym rozdziale, moemypowiedzie, e dana nierwno opisuje zbir takich punktw na osi liczbo-wej, ktrych odlego od zera jest wiksza od 2. Aby zobaczy rozwiza-nie wysraczy wykona prosty rysunek (wykonaj go!) i odczyta odpowied:x (,2) (2,).

Przedstawimy poniej fakty, ktre waciwie bazuj na rozumowaniu z po-wyszego przykadu i umoliwiaj rozwizanie wszystkich nierwnoci pod-stawowych.

Fakt 6.17. Zaomy, e a jest dowoln, ustalon liczb rzeczywist dodatni.Wwczas mamy:

1. Nierwno |co| > a jest rwnowana warunkom: co > a lub co a jest rwnowana zapisowi: co R.

2. Nierwno |co| a jest rwnowana zapisowi: co R.

3. Nierwno |co| < a jest sprzeczna.

4. Nierwno |co| a jest sprzeczna.

Fakt 6.19. Zaomy, e a = 0. Wwczas mamy:

1. Nierwno |co| > a jest rwnowana zapisowi: co 6= 0.

2. Nierwno |co| a jest rwnowana zapisowi: co R.

3. Nierwno |co| < a jest sprzeczna.

4. Nierwno |co| a jest rwnowana zapisowi: co = 0.

Problem 6.20. Podaj interpretacj geometryczn kadego z przypadkw po-wszych faktw.

6.4. PRZEKSZTACENIAWYKRESWFUNKCJI Z UYCIEMWARTOCI BEZWZGLDNEJ.49

Korzystajc z podanych faktw, pokaemy teraz jak rozwiza prostenierwnoci z wartoci bezwzgldn.

Przykad 6.21. Rozwamy nierwno: |4x 3| > 1, Jest ona rwnowanawarunkom:

4x 3 < 1 4x 3 > 1.

Std mamy:

x 1.

Czyli rozwizaniem nierwnoci jest: x (, 12) (1,).

Przykad 6.22. Rozwamy nierwno: |3x| 2. Korzystajc z podanychwczeniej wasnoci, wiemy e podana nierwno jest rwnowana nierwno-ci |x3| 2. Taka nierwno natomiast jest rwnowana dwm warunkom,ktre w skrcie zapisujemy:

2 x 3 2.

Aby otrzyma rozwizanie wystarczy doda do wszystkich stron nierwnociliczb 3, co daje nam zapis: 1 x 5. Std mamy odpowied: x 1, 5,

6.4 Przeksztacenia wykresw funkcji z uy-ciem wartoci bezwzgldnej.

Przypumy, e dana jest funkcja f(x) oraz wiemy jak wyglda jej wykres.Zastanwmy si jak bdzie wyglda wykres funkcj g danej wzorem g(x) =|f(x)|. Ot jeli dla pewnej wartoci argumentu x warto funkcji f jestnieujemna (dodatnia lub rwna zero), to naoenie wartoci bezwzgldnejniczego nie zmieni. Nastomiast jeli dla pewnej wartoci x wartoci f(x) jestujemna, to wwczas warto g(x) bdzie liczb przeciwn do f(x).

Fakt 6.23 (o wykresie funkcji z naoon wartoci bezgldn na funkcj).Aby uzyska wykres funkcji y = |f(x)| z wykresu funkcji f(x) postpujemy wnastpujcy sposb:

Punkty ktre le nad osi OX (lub na niej) pozostawiamy niezmienio-ne.

Punkty ktre le pod osi OX odbijamy symetrycznie wzgldem tej osi- czyli mwic potocznie odbijamy je do gry.


wiczenie: Narysuj wykresy funkcji f(x) = x2 4x+3. Nastpnie korzy-stajc z powyszego faktu narysuj wykres funkcji: g(x) = |x2 4x+ 3|.Zastanwmy si teraz jak, majc dany wykres funkcji f(x) narysowa wy-

kres funkcji g danej wzorem g(x) = f(|x|). Jeli argument x jest nieujemny(tzn. x 0) to oczywicie g(x) = f(x) czyli wykres (dla x 0 czyli po pra-wej stronie osi OY ) pozostawiamy niezmieniony. Ponadto wiemy napewno,e funkcja g(x) jest funkcj parzyst (bo dla kadego x z dziedziny mamy:g(x) = f(|x|) = f(x) = g(x)). Zatem lew stron wykresu (wzgldem osiOY ) stanowi lustrzane odbicie strony prawej.

Fakt 6.24 (o wykresie funkcji z naoon wartoci bezwzgldn na argu-ment). Aby uzyska wykres funkcji y = f(|x|) naley wyrzuci lew stronwykresu y = f(x). Praw stron wykresu pozostawiamy bez zmian i odbijamysymetrycznie, tak aby otrzyma wykres funkcji parzystej.

wiczenie: Narysuj wykresy funkcji f(x) = 3x1. Nastpnie korzystajcz powyszego faktu narysuj wykres funkcji: g(x) = f(|x|) = 3|x| 1.

wiczenie: Narysuj wykresy funkcji f(x) = x2 4x + 3. Nastpnie ko-rzystajc z powyszego faktu narysuj wykres funkcji: g(x) = f(|x|) = |x|2 4|x|+ 3.

Uwaga 6.25. Ze wzgldu na to, e |x|2 = x2, zapisy h(x) = x2 6|x| + 8oraz h(x) = |x|2 6|x|+ 8 s rwnowane. Bez wzgldu na stosowany zapis,postpujemy zgodnie z tym co podano w powyszym fakcie.

Uwaga 6.26. Poniewa wiemy, ex2 = |x|, zatem funkcja g dana wzorem:

g(x) =[f(x)]2 jest rwna funkcji |f(x)|.

Przykad 6.27. Zastanwmy si jak narysowa wykres funkcji f(x) =x4 4x2 + 4.

Przeksztmy wyraenie podpierwiastkiem: x4 4x2 + 4 = (x2 2)2. Widawic, e

x4 4x2 + 4 =

(x2 2)2 = |x22|. Wystarczy wic naszkicowa

wykres funkcji y = x22 i zastosowa odpowiedni z faktw podanych wyej.

6.5 Zadania


a) |3x+ x2| = 2,

b) |2x 4| = 5,

6.5. ZADANIA 51

c) |4x2 + 5x 7| = 2,

d) |2 5x| = 0.

Zadanie 6.2. W zalenoci od parametru m podaj liczb rozwiza rwna-nia:

a) |2x 4| = m,

b) |x2 5x+ 4| = m,

c) x2 5|x|+ 4 = m,

d) 3|x| 2 = m+ 1,

e) (?) 2|x2 + 3x 4|+m = 3,

Zadanie 6.3. Rozwi podane nierwnoci:

a) |3x+ 6| 9,

b) 2|x| < 2,

c) |x| 1 0,

d) |x 4| > 6,

e) 2|x|+ 2 |x|,

f) |x| 2 2|x|,

g) |4x2 4x+ 3| < 2,

h) |x2 + 6x 1| > 15,

i) (x 2)2 1.

Zadanie 6.4. Wierzchokiem paraboli y = x2 + bx+ c jest punkt P . Podajliczb rozwiza rwnania |x2 + bx+ c| = 3, jeli:

a) P = (1,1),

b) P = (1,3),

c) P = (1, 3),

d) P = (1, 6).

Odpowied znajd posugujc si interpretacj gemometryczn!


Zadanie 6.5. Narysuj wykres funkcji:

a) f(x) = |4x2 3|,

b) f(x) =x4 4x2 + 4,

c) f(x) =x2 4x+ 4,

d) f(x) = 3x2 2|x| 1,

e) f(x) = 2x2 |x|+ 3.

Rozdzia 7

Wielomiany

7.1 Podstawowe pojcia

Definicja 7.1. Wielomianem stopnia n (n N) bdziemy nazywa kadfunkcj W : R R dan wzorem:

W (x) = anxn + an1xn1 + . . .+ a1x+ a0,

gdzie an 6= 0 oraz an, an1, . . . , a1, a0 R. Liczby an, an1, . . . , a1, a0 zwy-ko nazywa si wspczynnikami. Liczba a0 czsto nazywana jest rwniewyrazem wolnym.

Przykad 7.2. Funkcja W (x) = 3x7 + 4x 2 jest wielomianem stopnia 7.

Przykad 7.3. FunkcjaW (x) = (m3)x6+4x53x+14 jest wielomianem,ale stopie tego wielomianu zaley od wartoci parametru m: dla m 6= 3stopie W (x) wynosi 6 natomiast dla m = 3 stopie W (x) wynosi 5.

Uwaga 7.4 (funkcja liniowa i kwadratowa jako wielomiany). Funkcje linio-wa i kwadratowa s wielomianami. Funkcja kwadratowa jest wielomianemstopnia 2, funkcja liniowa postaci f(x) = ax+ b, gdzie a 6= 0 jest oczywiciewielomianem stopnia 1, jeli a = 0 oraz b 6= 0 to jest to wielomian stopnia 0.Dodatkowo przyjmuje si, e funkcja f(x) = 0 te jest wielomianem, a jegostopie wynosi .

7.2 Wykresy i wasnoci wielomianw

Wykresem wielomianu jest krzywa, ktra przypomina nieskoczenie dugidrut, ktry dla prostoty, bdziemy w tej ksice okrela jako wyk. Wartowiedzie, e dla kadego wielomianu zachodzi kilka faktw odnonie jegowykresu i wasnoci:

53

54 ROZDZIA 7. WIELOMIANY

ilo miejsc zerowych wielomianu nie przekracza jego stopnia,

ilo ekstremw lokalnych wielomianu jest mniejsza od jego stopnia.

Co wicej wiemy, e:

a) jeli stopie wielomianu n jest parzysty, to:

oba ramiona wyka s skierowane w t sam stron (gdy an > 0to w gr, a gdy an < 0 to w d),

moe w ogle nie by miejsc zerowych, jest nieparzysta ilo ekstremw, tzn. jedno, trzy, . . . lub n 1.

b) jeli stopie wielomianu n jest nieparzysty, to:

jedno rami wyka jest skierowane w gr, a drugie w d (kieru-nek prawego ramienia wyznaczamy z wspczynnika an),

musi by przynajmniej jedno miejsce zerowe, jest parzysta ilo ekstermw lokalnych (tyle samo maksimw co mi-nimw), tzn: zero, dwa, . . ., lub n 1.

Fakt 7.5. Wielomian jest funkcj parzyst wtedy i tylko wtedy, gdy skadasi wycznie z potg parzystych (np.W (x) = ax6+bx4+cx2+d). Wielomianjest funkcj nieparzyst wtedy i tylko wtedy, gdy skada si wycznie z potgnieparzystch (np. Q(x) = ax7 + bx3 + cx).

Uwaga 7.6. Wyraz wolny wielomianu to oczywicie potga zerowa, czyliparzysta.

Wniosek: Jeli we wzorze wielomianu wystpuj zarwno potgi parzystejak i nie parzyste, to nie jest on okrelony wzgldem parzystoci (nie jest, aniparzysty, ani nieparzysty).

7.2.1 Wielomian trzeciego stopnia

Podczas rozwizywania rnych zada czsto mamy doczynienia z wielomia-nem stopnia 3. Ze wzgldu na jego szczeglny charakter, poniej zebranorne jego wasnoci. Naley jednak zaznaczy, e zazwyczaj odnosz si onetylko do wielomianw stopnia trzy.

7.3. TWIERDZENIA DOTYCZCE WIELOMIANW 55

Wasnoci wielomianu trzeciego stopnia. Wielomian trzeciego stopniama nastpujce wasnoi:

1. Wielomian stopnia 3 moe mie jedynie jedno, dwa lub trzy miejscazerowe.

2. Wielomian stopnia 3 albo ma dwa eksterema (jedno minimum i jednomaksimum) albo nie ma ich wcale (i wtedy jest funkcj monotoniczn).Zauwamy, e jeli wielomian ma postaW (x) = ax3+bx2+cx+d oraza 6= 0, to pochodna tego wielomianu ma posta:W (x) = 3ax2+2bx+c.Moemy policzy dla pochodnej. Jeli jest dodatnia, to pochodnama dwa miejsca zerowe, wic badany wielomian ma dwa ekstrema. Jelijednak 0 to badany wielomian W jest monotoniczy (pochodna mastay znak) i w zalenoci od wartoci a moe by stale rosncy lubstale malejcy.

Problem 7.7. Zastanw si ile miejsc zerowych moe mie dowolna funkcja(nie koniecznie wielomian!), ktra jest monotoniczna - to znaczy jest rosnca,lub malejca, lub staa w caej swej dziedzinie.

7.3 Twierdzenia dotyczce wielomianw

W tym podrozdziale zebrano najwaniejsze twierdzenia dotyczce wielomia-nw. Zapoznaj si z treci tych twierdze i sprawd czy dokadnie rozumieszich tre. Dobre poznanie tych twierdze jest o tyle wane, e wikszo za-da o wielomianach (lub zada w ktrych w jakiej postaci pojawiaj siwielomiany) wymaga uy niektrych z nich.

Twierdzenie 7.8 (o rozkadzie). Kady wielomian mona rozoy na ilo-czyn czynnikw stopnia nie wikszego ni 2.

Przykad 7.9. Rozoymy kilka wilomianw na czynniki.

1. x6 6x5 + 9x4 = x4(x2 6x+ 9) = x x x x (x 3) (x 3),

2. 6x5 x4 + x3 = x x x (6x2 x+ 1),

3. x4+x2+1 = (x4+2x2+1)x2 = (x2+1)2x2 = (x2+1x)(x2+1+x).

Twierdzenie 7.10 (o dzieleniu wielomianw). Jeli wielomian W (x) dzie-limy przez Q(x) i dostajemy wynik P (x) i reszt R(x), to:

W (x) = P (x)Q(x) +R(x).

Co wicej stopie R(x) jest mniejszy ni stopie Q(x).


Twierdzenie 7.11 (twierdzenie Bezoutea). Liczba a jest pierwiastkiem wie-lomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x) jest podzielny przezdwumian (x a).

Twierdzenie 7.12 (rozszerzone twierdzenie Bezoutea). Reszta z dzieleniawielomianu W (x) przez (x a) wynosi W (a).

Twierdzenie 7.13 (o pierwiastkach wymiernych wielomianu o wspczynni-kiach cakowitych). Jeli liczba p

q, gdzie p, q to liczby cakowite, jest pierwiast-

kiem wielomianu anxn+an1xn1+ . . .+a1x+a0, gdzie wszystkie wspczyn-niki s cakowite, to p jest podzielnikiem a0, natomiast q jest podzielnikieman,

7.4 Wiadomoci dodatkowe

7.4.1 Rwno wielomianw

Definicja 7.14 (rwno wielomianw). Mwimy, e dwa wielomiany s rw-ne, gdy s tego samego stopnia oraz gdy maj takie same wspczynniki przywszystkich potgach.

Przykad 7.15. Wielomiany W (x) = x4+3x2 7 jest rwny wielomianowiV (x) = kx5 + x4 + ax2 7 wtedy i tylko wtedy, gdy k = 0 oraz a = 3.

Fakt 7.16 (o rwnoci wielomianw). Jeli dwa wielomiany stopnia conaj-wyej n maj takie same wartoci dla n+ 1 argumentw, to s rwne.

Przykad 7.17. Zamy, e wielomiany: W (x) = a(x 2)(x 3) + b(x 1)(x3)+c(x1)(x2) oraz G(x) = 5x219x = 18 s rwne. Zastanwmysi jakie w takim razie musz by wartoci parametrw a, b, c.Po pierwsze zauwamy, e wielomian G jest stopnia 2, natomiast wielo-

mianW jest stopnia co najwyej 2. W takim razie, korzystajc z poprzednie-go faktu, wystarczy sprawdzi czy wielomiany przyjmuj takie same wartocidla przynajmniej trzech rnych argumentw. Oczywicie argumenty te mogby dowolne, jednak my wybierzemy takie, aby atwo mona byo wyliczywartoci W (x) oraz G(x). Wemy wic: x1 = 1, x2 = 2, x2 = 3 (wybr jesttaki, ze wzgldu na wielomian W , w ktrym podstawienie 1, 2 lub 3 zerujeniektre skadniki!).Skoro W i G s rwne to oczywicie musi by speniony ukad:

W (1) = G(1)W (2) = G(2)W (3) = G(3)

7.4. WIADOMOCI DODATKOWE 57

Znamy wzory na W (x) i G(x), wic korzystajc z nich moemy zapisa(podstawiajc odpowiednie wartoci):

2a = 4b = 02c = 6

Co daje nam odpowied: a = 2, b = 0, c = 3.

7.4.2 Wielokrotne pierwiastki wielomianu

Definicja 7.18 (k-krotny pierwiastek wielomianu). Liczb a nazywamy k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), gdy w jego rozkadzie wystpujeczynnik (xa)k i nie wystpuje czynnik (xa)k+1. Innymi sowy, jeli a jestk-krotnym pierwiastkiem wielominau W (x), to wielomian ten dzieli si przez(x a)k, ale nie dzieli si przez (x a)k+1.Fakt 7.19. Liczba a jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy itylko wtedy, gdy speniony jest warunek:

W (a) = 0W (a) = 0...W (k1)(a) = 0W (k)(a) 6= 0

W powyszym zapisie przez W (n)(x) oznaczmy n-t pochodn wielomianuW (x).

Przykad 7.20. Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianuW (x) = x5+x4+x3+x2 2x 2. Sprawdzimy ile wynosi krotno tego pierwiastka. Najpierwprzekonajmy si, czy rzeczywicie 1 jest pierwiastkiem:

W (1) = 1 + 1 1 + 1 + 2 2 = 0.

atwo policzy pierwsz pochodn tego wielomianu - ma ona posta:W (x) =5x4 + 4x3 + 3x2 + 2x 2. Sprawdmy czy 1 jest rwnie pierwiastkiempochodnej:

W (x) = 5 4 + 3 2 2 = 0.Policzmy teraz drug pochodn (czyli pochodn pochodnej):W (x) = 20x3+12x2 + 6x+ 2. Co daje nam:

W (x) = 20 + 12 6 + 2 6= 0.

Na mocy faktu dowiedlimy wic, e liczba 1 jest dwukrotnym pierwiast-kiem wielomianu W (x).


Definicja 7.21. Niech W (x) = anxn + an1xn1 + . . .+ a1x+ a0. Wwczasliczb a0 nazywamy wyrazem wolnym, natomiast liczb rwn an + an1 +. . .+ a1 + a0 sum wspczynnikw wielomianu W .

Fakt 7.22. Dla dowolnego wielomianu W (x) zachodzi:

1. wyraz wolny jest rwny W (0),

2. suma wspczynnikw jest rwna W (1),

3. wykres wielomianu przecina o OY w punkcie (0, a0).

Problem 7.23. Zastanw si, jak mona udowodni powyszy fakt.

Przykad 7.24. Policzymy teraz wyraz wolny i sum wspczynnikw wie-lomianu W (x) = (x 4)3(x2 16). Oczywicie mona by wymnoy wszyst-kie skadniki tego iloczynu (podnoszc wczeniej (x 4) do potgi trzeciej),jednak zajoby to duo czasu. My moemy skorzysta ze znanych nam jutwierdze i faktw. Po pierwsze jest to wielomian stopnia 5 (czy wiesz dlacze-go?). Wyraz wolny, na mocy poprzedniego faktu, rwna si wartoci W (0).Mamy wic:

a0 = W (0) = 43 16 = 45 = 1024.

Suma wspczynnikw a5 + a4 + . . .+ a1 + a0, na mocy faktu, rwna jestwartoci W (1), Std mamy:

a5 + a4 + . . .+ a1 + a0 = W (1) = (3)3 (15) = 405.

Problem 7.25. Zastanw si jak, dla podanego w powyszym przykadziewielomianu, wyliczy sum wspczynnikw przy parzystych i nieparzystychpotgach (czyli odpowiedzie na pytanie ile wynosi a5 + a3 + a1 oraz a4 +a2 + a0). Wskazwka: uyj wartoci W (1) oraz W (1).

Fakt 7.26. Wielomian zmienia znak tylko w pierwiastkach o nieparzystejkrotnoci. W pierwiastkach krotnoci parzystej nasz wyk nie przecina osiOX ale jest do niej styczny.

7.4.3 Uoglnione wzory Vietea

Okazuje si, e wzory Vietea podane w rozdziale o funkcji kwadratowej, dasi uoglni dla wielomianw stopnia wyszego ni 2. W tym podrcznikuograniczym si do podania tych wzorw jedynie dla wielomianw stopniatrzeciego, jednak naley mie wiadomo, e podobne wzory mona wypro-wadzi dla wielomianw stopni wyszych.

7.5. ZADANIA 59

Fakt 7.27 (wzory Vietea dla wielomanw stopnia trzeciego). Niech W (x) =ax3 + bx2 + cx+ d bdzie wielomianem stopnia 3, oraz niech liczby x1, x2, x3s pierwiastkami tego wielomianu. Wwczas prawdziwe s wzory:

x1 + x2 + x3 = bax1x2 + x2x3 + x3x1 = cax1x2x3 = da

oraz istnieje posta lioczynowa tego wielomianu:W (x) = a(xx1)(xx2)(xx3).

Przykad 7.28. Wiadomo, e wielomian dany wzorem W (x) = x3 + px2 +qx = 8 ma jeden pierwiastek podwjny (przez pierwiastek podwjny rozu-miemy pierwiastek drugiego stopnia) a drugi jest do niego liczb przeciwn.Znajdziemy teraz odpowiednie wartoci parametrw p i q, dla ktrych po-wyszy warunek jest prawdziwy.Z treci warunku wynika, e wielomian W ma trzy pierwiastki: a, a,a,

gdzie a jest pewn liczb rzeczywist. Korzystajc z wzorw Vietea mamy,e:

a+ a+ (a) = pa a+ a (a) + (a) a = qa a (a) = 8

Std mamy: a = pa2 = qa3 = 8

Czyli: a = 2p = 2q = 4

Wobec czego wielomian moemy zapisa w postaci:W (x) = (x2)2(x+2).

7.5 Zadania

Zadanie 7.1. Sprawd czy wielomian jest W (x) = 8x3 27 rwny wielo-mianowi:

a) P (x) = (2x 3)3,

b) P (x) = 2x(4x2 9) + 9(2x 3).


Zadanie 7.2. Podany wielomian W roz na czynniki, znajd wszystkiejego pierwiastki, podaj ich krotnoci i naszkicuj wykres tego wielomianu.

a) W (x) = 5x5 20x4,

b) W (x) = x6 x4 x2 + 1.

Zadanie 7.3. Wykonaj dzielenie wielomianw W przez Q i zapisz go wpostaci: W (x) = P (x) Q(x) +R(x):

a) W (x) = 2x3 x2 2x 3, Q(x) = x+ 1,

b) W (x) = 3x4 + 5x3 + x2 + 10x+ 6, Q(x) = x2 + 2.

Zadanie 7.4. Nie wykonujc dzielenia oblicz reszt z dzielenia W (x) przezQ(x):

a) W (x) = x4 + x3 + x2 + x+ 1, Q(x) = x 2,

b) W (x) = x10 1, Q(x) = x2 + x,

c) W (x) = (x 2)6, Q(x) = (x 1)(x 2)(x 3).

Zadanie 7.5. Dla jakich wartoci paramterw a i b wielomianW (x) = 3x3+4x2 13x+ 6 jest rwny:

a) W (x) = ax3 + 2bx2 13x+ 6,

b) W (x) = (x+ 3)(ax2 bx+ a b).

Zadanie 7.6. Liczba 12 jest pierwiastkiem W (x) = 12x5 + 8x4 + 11x3 +

7x2 x 1. Oblicz krotno tego pierwiastka. Znajd pozostae pierwiastki.

Zadanie 7.7. Wyznacz p i q tak, aby liczba 1 bya dwukrotnym pierwiast-kiem rwnania: x3 2x2+ px+ q = 0. Zadanie rozwi przynajmniej na dwasposoby!

Zadanie 7.8. Zbadaj parzysto wielomianw:

a) W (x) = 2x2 x,

b) W (x) = x3 4x2 + 1,

c) f(x) = 4x4 + 3x2 1,

d) f(x) = x5 3x3 7.

7.5. ZADANIA 61

Zadanie 7.9. Jaki warunek musz spenia wspczynniki wielomianu trze-ciego stopnia: W (x) = ax3 + bx2 + cx + d, aby by on funkcj nieparzyst?Czy moe on by funkcj parzyst?

Zadanie 7.10 (?). Wyznacz te wartoci parametru a, dla ktrych wielomianW (x) = x3 + ax2 4:

a) jest funkcj rosnc,

b) posiada dwa ekstrema lokalne,

c) (?) posiada dokadnie dwa miejsca zerowe (wskazwka: moesz uy wzo-rw Vietea dla wielomianw stopnia trzeciego).


a) x4 + 2x3 x 2 = 0,

b) 3x4 + 5x3 x2 5x 2 = 0,

c) x4 + x2 6x+ 4 = 0,

d) x4 + 2x3 8x2 19x 6 = 0,

e) 2x3 + x2 + 3x 2 = 0,

f) 9x4 + 9x3 + 11x2 + 9x+ 2 = 0,

Zadanie 7.12. Rozwi nierwno:

a) (x 1)(x 2)(x+ 3) 0,

b) (x2 + 1)(x2 1)(x 2)2 < 0,

c) (x2 1)3(x4 + 2) > 0,

d) (x 1)2(x+ 3)3 0,

e) (x 4)2(x2 16) 0,

f) x2(x 3)(x+ 1) 0,

g) x(x 2)2 0,

h) 2(x+ 1)2(x 1) 0.

Zadanie 7.13. Rozwi nierwno:


a) x3 2x2 + 6x < 0,

b) x4 + x3 + 7x2 0,

c) x3 x2 7x 0,

d) 2x3 + x2 8x 4 > 0,

e) 3x3 2x2 6x+ 4 0,

f) x3 + 3x2 + x 1 0.

Zadanie 7.14. Podaj przykad wielomianu, ktrego jedynymi pierwiastkamis liczby 3, 2, 4 i ktrego stopnie jest rwny:

a) 3,

b) 4,

c) 6.

Rozdzia 8

Funkcja homograficzna

Definicja 8.1 (funkcja homograficzna). Funkcj homograficzn nazywamyfunkcj postaci:

f(x) =ax+ bcx+ d

,

gdzie c 6= 0 oraz a bc d

6= 0.Uwaga 8.2. Zauwamy, e warunek c 6= 0 gwarantuje, e powysza funk-cja nie jest funkcj liniow, bo jeli c = 0, to wtedy wzr funkcji przyjby posta: f(x) = a

dx + b

d. Drugi warunke gwarantuje natomiast, e proste

wystpujce w liczniku i mianowniku nie s rwnolege, a std, e wyraenieax+bcx+d jest nieskracalne.

8.1 Wykres funkcji homograficznej

Wykresem kadej funkcji homograficznej jest hiperbola. Skada si ona zdwch rozcznych gazi uwizanych pomidzy asymptotami. Kada hi-perbola ma dwie osie symetrii oraz punkt symetrii.

Fakt 8.3 (o asymptotach). Funkcja homograficzna f(x) = ax+bcx+d ma dwie

asymptoty:

pionow, dan rwnaniem x = dc,

poziom, dan rwnaniem y = ac.

63

64 ROZDZIA 8. FUNKCJA HOMOGRAFICZNA

Algorytm rysowania wykresw funkcji homograficznych. Aby na-rysowa przybliony wykres funkcji f(x) = ax+b

cx+d naley:

1. wyznaczy i narysowa asymptoty tego wykresu,

2. wyznaczy przynajmniej jeden punkt tego wykresu (wstawiajc za xdowoln liczb, dla ktrej atwo wyliczy warto f(x), oraz wszystkiepunkty symetryczne do tego punktu,

3. naszkicowa asymptot przechodzc przez otrzymane punkty, pami-tajc o asymptotach.

Przykad 8.4. Aby naszkicowa wykres funkcji f(x) = 3xx1 naley:

1. narysowa asymptoty x = 1 oraz y = 3,

2. poniewa f(0) = 0, to zaznaczamy punkt (0, 0) oraz punkty do niegosymetryczne, czyli: (2, 2), (4, 4), (2, 6),

3. rysujemy kolejno kad z gazi pamitajc o deniu do asymptot.

Uwaga 8.5. Czstym problemem jest znalezienie punktu symetrycznego dodanego. Pomocny moe by nastpujcy algorytm. Po pierwsze orientuje-my zadany punkt wzgldem punktu przecicia si asymptot. W powyszymprzykadzie punkt (0, 0) ley 1 w lewo, 3 w d od punktu przecicia asymp-tot. Pierwszy punkt otrzymamy przestawiajc same liczby, tzn biorc punktktry jest 3 w lewo i 1 w d od punktu przecicia asymptot. Jest to punkt(2, 2). Nastpne dwa punkty otrzymamy przez zamian w lew na w pra-wo (i odwrotnie) oraz w gr na w d (i odwrotnie), czyli dokadnie:1 w prawo, 3 w gr (punkt (2, 6)) oraz 3 w prawo i 1 w gr (punkt (4, 4)).

8.2 Hiperbole podstawowe

Aby uzyska dokadniejszy wykres funkcji homograicznej, trzeba nauczy sinajpierw rysowa wykresy typu y = B

x, gdzie B 6= 0.

Asymptotami tych wykresw s osie ukadu wsprzdnych, osiami syme-trii proste: y = x oraz y = x, a rodkiem symetrii jest punkt (0, 0). Kadaz tych funkcji jest nieparzysta.

Przykad 8.6. Narysujmy wykres funkcji y = 1x. Wstawiamy za x liczby a-

twe do oblicze i dostajemy na przykad nastpujce punkty wykresu: (1, 1),(2, 12), (

12 , 2). Pozwala to naszkicowa praw ga hiperboli. Korzystajc z

nieparzystoci moemy zaznaczy na wykresie punkty: (1,1), (2,12),(12 ,2) i rysujemy lew ga.

8.3. WASNOCI FUNKCJI HOMOGRAFICZNEJ 65

Przykad 8.7. Narysujmy teraz wykres funkcji y = 6x. Tu wygodnie jest

podstawia za x kolejne podzielniki liczby 6, co daje nam nastpujce punk-ty: (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1). Dalej postpujemy tak jak w poprzednim przy-kadzie.

Przykad 8.8. Teraz narysujmy wykres y = 4x. Za x wstawiamy podzielni-

ki liczby 4: (1,4), (2,2), (4,1). Dalej postpujemy tak jak w poprzednichprzykadach.

Uwaga 8.9. Zauwamy, e hiperbola otrzymana w ostatnim z przykadwjest inaczej umiejsowiona w ukadzie wsprzdnych ni dwie poprzednie.Rzeczywicie jeli B > 0 to hiperbola y = B

xley w I i III wiartce, natomiast

gdy B < 0 to hiperbola ta ley w II i IV wiartce ukadu wsprzdnych.

8.3 Wasnoci funkcji homograficznej

Fakt 8.10. Kad funkcj homograficzn f(x) = ax+bcx+d mona zapisa w po-

staci:

f(x) = A+B

x C, gdzie B 6= 0.

Uzasadnienie: Rzeczywicie, wystarczy najpierw podzieli licznik i mia-nownik przez c, co daje f(x) =

acx+ bc

x+ dc

a nastpnie, np. podzieli pisemnie

(acx + b

c) : (x + d

c). Wtedy A = a

c, C = d

c, natomiast B jest reszt z tego

dzielenia.

Przykad 8.11. Pokaemy praktyczne zastosowanie powyszego faktu:

funkcj f(x) = 4x+3x1 mona przedstawi rwnie jako f(x) = 4 +

7x1 ,

funkcj f(x) = 3x+1x+1 mona przedstawi rwnie jako f(x) = 3 +

2x+1 ,

funkcj f(x) = 3x+12x1 mona przedstawi rwnie jako f(x) =32 +

54x 12.

Przedstawienie funkcji homograficznej w postaci z powyszego faktu oka-zuje si bardzo poyteczne, jeli chcemy wykona szybko i do dokadniewykres funkcji homograficznej. Mianowicie, aby narysowa wykres funkcjihomograficznej, majc j w postaci f(x) = A + B

xC , postpujemy w nast-pujcy sposb:

1. zaznaczamy asymptoty, ktre s poastaci: x = C oraz y = A,


2. traktujc asymptoty jako nowy ukad wsprzdnych rysujemy wy-kres funkcji y = B

x, korzystajc z metody pokazanej w poprzednim

podrozdziale.

Uwaga 8.12. Powysza metoda jest poprawna, poniewa rysowanie wykresuy = B

xw nowym ukadzie wsprzdnych jest tosame z przesuniciem

funkcji y = Bxo wektor ~u = [C,A].

Fakt 8.13 (wasnoci funkcji homograficznej). Jeli f(x) = A + BxC , gdzie

B 6= 0, to:

1. Dziedzin funkcji f jest zbir: R\{C}, natomiast zbiorem wartoci:R\{A}.

2. Funkcja f nie jest monotoniczna! Jest jedynie przedziaami rosnca(gdy B < 0) lub przedziaami malejca (gdy B > 0).

3. Jest to funkcja rnowartociowa, a co za tym idzie ma funkcj odwrot-n, dan wzorem f1(x) = C + B

xA .

8.4 Zadania

Zadanie 8.1. Naszkicuj wykres funkcji bez wyliczania postaci f(x) = A +BxC .

a) f(x) = x2x3 ,

b) f(x) = x+1x,

c) f(x) = 2x1x1 ,

d) f(x) = 2x+8x+3 .

Dla kadej z funkcji podaj dziedzin, zbir wartoci i omw monotonicznokadej z tych funkcji.

Zadanie 8.2. Naszkicuj wykres funkcji, korzystajc z postaci f(x) = A +BxC .

a) f(x) = 3x+4x+1 ,

b) f(x) = 2x+5x3 ,

c) f(x) = 4x2x1 ,

8.4. ZADANIA 67

d) f(x) = 2x+3 ,

e) f(x) = 2x1x+1 ,

f) f(x) = 3x7x2 .

Zadanie 8.3. Naszkicuj wykres funkcji.

a) f(x) = 1|x|1 ,

b) f(x) = 1x1

,c) f(x) = 1|x|+2 1,

d) f(x) = 1x+2 1

,e) f(x) =

1|x| 4.Zadanie 8.4. Okrel liczb rozwiza rwnania: 4|x| 2

= mw zalenoci od m. Narysuj wykres funkcji y = g(m), gdzie g(m) oznaczailo rozwiza powyszego rwnania przy danym m.

Zadanie 8.5. Wykonaj polecenie z poprzedniego zadania dla rwnania:

2x 1

+ 1 = m.Zadanie 8.6. Naszkicuj wykres funkcji:

a) f(x) = 2|x| ,

b) f(x) = 3|x4| ,

c) f(x) = 1|3x| + 1.

Zadanie 8.7. Wykres funkcji f przesu o wektor ~u. Podaj wzr otrzymanejfunkcji. Okre jej dziedzin, zbir wartoci, asymptoty i miejsca zerowe:

a) f(x) = 1x, ~u = [0, 3],

b) f(x) = 2x, ~u = [2,1],


c) f(x) = 2x, ~u = [12 , 0].

Zadanie 8.8. Naszkicuj wykres funkcji f(x), podaj rwnanie osi symetriiwykresu oraz wsprzdne rodka symetrii:

a) f(x) = 1 + 4x,

b) f(x) = 1x+3 ,

c) f(x) = 4x1 3,

d) f(x) = 2x+3 1,

e) f(x) = 1x+2 2,

f) (?) f(x) = 2x+4 + 2.

Rozdzia 9

Funkcja wymierna

Definicja 9.1. Funkj wymiern nazywamy funkcje postaci:

f(x) =W (x)P (x)

,

gdzie W (x) i P (x) s wielomianami i P (x) nie jest wielomianem zerowym.

Fakt 9.2. Dziedzin naturaln funkcji f(x) = W (x)P (x) jest zbir wszystkich liczb

rzeczywistych, dla ktrych P (x) 6= 0.

Uwaga 9.3. Przypomnijmy, e dwie funkcje s rwne, gdy maj te samedziedziny i wzr jednej z nich moemy sprowadzi do wzoru drugiej.

Przykad 9.4. Funkcja f(x) = x(x2)x2 nie jest rwna funkcji g(x) = x, bo

ich dziedziny nie s takie same. Moemy natomiast napisa, f = h, gdzieh(x) = x, dla x R\{2}.

Wniosek: Pamitaj - zanim zaczniesz upraszcza (lub przeksztaca) wzrjakiejkolwiek funkcji, ustal jaka jest jej dziedzina!

9.1 Rwnania wymierne

Aby szybko i sprawnie rozwiza rwnanie wymierne (czyli takie, w kt-rej przynajmniej po jednej stronie rwnoci znajduje si funkcja wymierna),mona skorzysta z poniszego algorytmu. Tak podany algorytm gwarantu-je znalezienie rozwizania kadego rwnania wymiernego, przy zaoeniu, eumiemy rozwizywa rwnania wielomianowe odpowiedniego stopnia.

69

70 ROZDZIA 9. FUNKCJA WYMIERNA

Algorytm rozwizywania rwna wymiernych.

1. Wypisujemy zaoenia i w razie potrzeby rozwizujemy je. (Mog tupojawi si nierwnoci, bd wykluczenia pewnych podzbirw z dzie-dziny. Czasem wynika to z treci zadania, a czasem z samego rwnania.)

2. Mianowniki wystpujcych uamkw (jeli jest ich kilka) rozkadamy naczynniki tak aby atwo byo okreli najmniejszy wsplny mianownik.

3. Mnoymy obie storny rwnania przez najmniejszy wsplny mianownik,tak aby otrzyma rwnanie wielomianowe.

4. Rozwizujemy rwnanie wielomianowe.

5. Uwzgldniajc zaoenia i warunki z punktu 1, podajemy rozwizanie.

Przykad 9.5. Rozwiemy rwnanie:

6 3xx2 + x 2

=1x 1

xx+ 2

.

Bdziemy postpowa zgodnie z podanym wyej algorytmem:

1. Zaoenia: x2 + x 2 6= 0, x 1 6= 0, x + 2 6= 0. Z warunkw tychdostajemy: x R\{2, 1}.

2.6 3x

(x 1)(x+ 2)=1x 1

xx+ 2

.

3. Mnoymy obustronnie przez (x 1)(x+ 2) i dostajemy:

6 3x = x+ 2 x(x 1).

4. Porzdkujemy rwnanie do postaci: x2 5x + 4 = 0 i rozwizujemy.Orztymujemy dwa pierwiastki rzeczywiste: x1 = 1 x2 = 4.

5. Biorc pod uwag zaoenia z punktu 1, okazuje si e tylko x = 4 jestrozwizaniem danego rwnania wymiernego.

W ten sposb otrzymalimy odpowied: x = 4.

9.2 Nierwnoci wymierne.

Podobnie jak w przypadku rwna, pokaemy prosty i skuteczny algorytm,ktry pozwala rozwizywa nierwnoci wymierne. Tak jak poprzednio ideaalgorytmu opiera si na sprowadzeniu danej nierwnoci wymiernej do odpo-wiedniej nierwnoci wielomianowej.

9.2. NIERWNOCI WYMIERNE. 71

Algorytm rozwizywania nierwnoci wymiernych.

1. Wypisujemy zaoenia i rozwizujemy je.

2. Wszystkie skadniki przenosimy na jedn ze stron nierwnoci i rozka-damy mianowniki wystpujcych uamkw na czynniki (o ile si da),tak aby mona byo okreli najmniejszy (wzgldem stopnia) wsplnymianownik.

3. Sprowadzamy cae wyraenie do wsplnego mianownika.

4. Licznik rozkadamy na czynniki (o ile jest to moliwe).

5. Stosujc przeksztacenie tosamociowe, zastpujemy uamek wystpu-jcy z jednej strony nierwnoci, na wyraenie bdce iloczynem liczni-ka i mianownika. Otrzymujemy w ten sposb nierwno wielomianow.

6. Rozwizujemy nierwno wielomianow.

7. Uwzgldniamy zaoenia i podajemy odpowied.

Przykad 9.6. Rozwiemy nierwno:

12x 4x2 2x 3

3xx 3

x2

x+ 1.

Bdziemy postpowa zgodnie z podanym algorytmem.

1. Zaoenia: x2 2x 3 6= 0, x 3 6= 0, x+1 6= 0. Czyli: x R\{1, 3}.

2. Przenosimy wszystko na lew stron:

12x 4(x+ 1)(x 3)

3xx 3

+x2

x+ 1 0.

3. Sprowadzamy wyraenie do wsplnego mianownika:

12x 4 3x(x+ 1) + x2(x 3)(x 3)(x+ 1)

0.

4. Rozkadamy licznik na czynniki:

(x 1)2(x 4)(x+ 1)(x 3)

0.


5. Mnoymy obie strony przez kwadrat mianownika, czyli innymi sowy,zastpujemy uamek iloczynem licznika i mianownika:

(x 1)2(x 4)(x+ 1)(x 3) 0.

6. Rozwizujemy rwnanie wielomianowe (jak wida nie wymaga to ad-nych dodatkowych przeksztace!). Otrzymujemy odpowied:

x (,1 {1} 3, 4.

7. Uwzgldniamy zaoenia:

x (,1) {1} (3, 4.

9.3 Zadania

Zadanie 9.1. Okrel dziedzin funkcji:

a) f(x) = xx22x+1 ,

b) f(x) = x(x+1)(x1)(x+2) ,

c) f(x) = x34x2+1x2+3x+6 .

Zadanie 9.2. Sprawd czy funkcje f i g s rwne.

a) f(x) = 2x+2x+1 , g(x) = 2,

b) f(x) = x2(x1)x(x1) , g(x) = x,

c) f(x) = x21(x+1)2 , g(x) =

x1x+1 .

Zadanie 9.3. Pamitajc o dziedzinie, upro wzory podanych funkcji.

a) f(x) = (x+4)2

x2+5x+4 ,

b) f(x) = x31

x22x+1 ,

c) f(x) = x45x3+6x2x36x2+8x ,

d) f(x) = 2xx2+x2 +

xx2x6 ,

e) f(x) = 4xx27x+12 +

5xx28x+15 .

9.3. ZADANIA 73

Zadanie 9.4. Rozwi rwnanie.

a) x21

x2+2x+1 = 0,

b) (4x1)(x+1)(2x+1)4x21 = 0,

c) 2x+1x29

3x3 = 0,

d) 3x+2 +

12x24 +

12x = 0,

e) x+5x+4 +

5x2 =

1x+4 ,

f) x2x

x2+x2 +x2+3x+2x2x2 = 1.

Zadanie 9.5. Rozwi nierwno.

a) 6xx2x >

1x1 +

2x,

b) 3x2+5x+1x 1 x,

c) (x+3)(x25x+6)

(x29)(x3) 0,

d) 1 + 2x5 +

1x+1

x7x24x5 ,

e) 1x2+2x3

12x+1 .


Rozdzia 10

Cig arytemtyczny

10.1 Definicje

Cig arytmetyczny jest szczeglnym cigiem, ktry spenia ponisz (zupe-nie nie formaln) definicj.

Definicja 10.1 (cig arytmetyczny). Cig arytmetyczny jest to cig, w kt-rym kady (poza pierwszym) wyraz powstaje poprzez dodanie staej, ustalo-nej liczby r do wyrazu poprzedniego:

a1 +r a2 +r a3 +r a4 +r . . .

Liczb r nazywamy wtedy rnic cigu arytemtycznego.

Uwaga 10.2. Cig arytmetyczny moe by skoczony bd nieskoczony.Jeli jest to cig nieskoczony to:

dla kadego n N+ an+1 = an + r.

Jeli cig jest skoczony i ma powiedzmy k wyrazw, to:

dla kadego n=1,2,3,. . . ,k-1 an+1 = an + r.

10.2 Wasnoci cigu arytmetycznego

Fakt 10.3. Dla cigu arytemtycznego o pierwszym wyrazie a1 i rnicy rwzr oglny cigu ma posta:

an = a1 + (n 1)r

75

76 ROZDZIA 10. CIG ARYTEMTYCZNY

Problem 10.4. Czy potrafisz udowodni powyszy fakt? (Wskazwka: prze-prowad dowd indukcyjny).

Cig arytemtyczny naley utosamia z funkcj liniow. Zauwamy bo-wiem, e z faktu podanego wyej wynika, e: an = nr + a1 r, Jeli teraz,mwic obrazowo, zamienimy literk n na x a literk a na okrelenie jakiefunkcji, np. f to otrzymamy wzr bardzo podobny do typowego wzoru funk-cji liniowej. Reasumujc, cig arytemtyczny jest funkcj dan wzorem funkcjiliniowej z dziedzin liczba naturalnych.

Fakt 10.5. Cig jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy moe by zadanywzorem funkcji liniowej.

Uwaga 10.6. Trzy liczby a, b, c tworz cig arytmetyczny wtedy i tylkowtedy, gdy:

c b = b a

a std b = a+c2 (czyli wyraz rodkowy jest redni arytemtyczn wyrazwssiednich).

Uwaga 10.7. Oglnie, cig (an) jest arytmetyczny, gdy dla kadego n za-chodzi:

an+1 anjest stae (tzn. nie zaley od n).

Przykad 10.8. Cig dany wzorem oglnym an = 4n 3 jest cigiem ary-temtycznym, bo

an+1 an = 4(n+ 1) 3 (4n 3) = 4.

Natomiast cig an = n2 nie jest cigiem arytmetycznym, gdy:

an+1 an = (n+ 1)2 n2 = 2n+ 1.

Fakt 10.9. Kady cig arytemtyczny jest monotoniczny:

jeli r > 0, to cig jest rosncy,

jeli r = 0, to cig jest stay,

jeli r < 0, to cig jest malejcy.

10.3. SUMA CIGU ARYTMETYCZNEGO 77

10.3 Suma cigu arytmetycznego

Fakt 10.10. Suma k pocztkowych wyrazw cigu arytemtycznego (an) jestrwna:

Sk =a1 + ak2k.

Sens powyszego faktu jest prosty. Suma pewnej liczby koljeny wyrazwcigu arytemtycznego rwna si redniej arytmetycznej pierwszego i ostat-niego z tych wyrazw, pomnoonej przez liczb tych wyrazw.

Przykad 10.11. Korzystajc z danego wzoru, policzymy nastpujc sum:

5 + 11 + 17 + . . .+ 65.

Zauwamy e dodawne liczby tworz cig arytemtycznych a1, a2, . . . , an,w ktrym a1 = 5, r = 6, an = 65. Aby obliczy liczb wyrazw tego ciguwykorzystamy wzr:

an = a1 + (n 1)r.

Zatem:65 = 5 + (n 1) 6

n = 11

Std, szukana suma rwna jest:

S11 =5 + 652 11 = 385.

Jak pokazuje przykad, cigi arytmetyczne s czsto pomocne w zada-niach, w ktrych treci nie ma mowy nic o adnym cigu (zauwa, e zadaniez przykadu brzmiao, oblicz dan sum). Dlatego, aby uatwi rozwizy-wanie rnych zada, w ktrych pojawia si cig arytmetyczny, warto pa-mita o tym, co mwi ponisza wskazwka.

Wskazwka: W czasie rozwizywania zada dotyczcych cigu arytme-tycznego, wszelkie dane i szukane przedstaw w postaci oznacze: a1, ritp. Uatwia to koncentracj i kojarzenie odpowiednich wzorw i relacji mi-dzy wielkociami.

10.4 Zadania

Zadanie 10.1. Oblicz wyraz pierwszy, rnic cigu arytmetycznego i sum10 pierwszych wyrazw, gdy:

78 ROZDZIA 10. CIG ARYTEMTYCZNY

a) a6 = 20, a10 = 4,

b) a5 = 20, a9 = 36,

c) a4 = 5, a11 = 34.

Zadanie 10.2. Dla jakich wartoci x podane liczby s kolejnym wyrazamicigu arytmetycznego? Podaj te wyrazy:

a) 2x 1, 2x+ 5, 3x+ 4,

b) (x+ 1)2, (2x+ 1)2, (3x 1)2.

Zadanie 10.3. Oblicz sum wszystkich liczb dwucyfrowych ktre:

a) s podzielne przez 3,

b) s niepodzielne przez 5,

c) przy dzieleniu przez 6 daj reszte 4.

Zadanie 10.4. Czwarty wyraz ciagu arytemtycznego jest rwny 6. Obliczsum siedmiu pocztkowych wyrazw tego cigu.

Zadanie 10.5. Drugi wyraz cigu arytmetycznego jest rwny 4, a czwartywynosi 16. Oblicz sum dziesiciu pocztkowych wyrazw o numerach parzy-stych.

Zadanie 10.6. Cig arytmetyczny skada si z 16 wyrazw. Suma wyra-zw o numerach parzystych jest rwna 256, a suma wyrazw o numerachnieparzystych jest rwna 240. Oblicz pierwszy i ostatni wyraz tego cigu.

Rozdzia 11

Cig geometryczny

11.1 Definicje

Cig geometryczny, podobnie jak arytmetyczny, jest szczeglnym cigiem,ktry spenia ponisz (zupenie nie formaln) definicj.

Definicja 11.1 (cig geometryczny). Cig geometryczny jest to cig, w kt-rym kady (poza pierwszym) wyraz powstaje poprzez pomonoenie przezpewn staej, ustalon liczb q wyrazu poprzedniego:

a1 q a2 q a3 q a4 q . . .

Liczb q nazywamy wtedy ilorazem cigu geometrycznego.

Uwaga 11.2. Cig geometryczny moe by skoczony bd nieskoczony.Jeli jest to cig nieskoczony to:

dla kadego n N+ an+1 = an q.

Jeli cig jest skoczony i ma powiedzmy k wyrazw, to:

dla kadego n=1,2,3,. . . ,k-1 an+1 = an q.

11.2 Wasnoci cigu geometrycznego

Fakt 11.3. Dla cigu geometrycznego o pierwszym wyrazie a1 i ilorazie qwzr oglny cigu ma posta:

an = a1 qn1

79

80 ROZDZIA 11. CIG GEOMETRYCZNY

Problem 11.4. Czy potrafisz udowodni powyszy fakt? (Wskazwka: prze-prowad

Documents

Matematyka dla maturzystów - hope.art.pl · Matematyka dla maturzystów dr Barbara Wolnik Witold Bołt 23 marca 2005. 2. Spis treści 1 Funkcja liniowa 7 ... 4 Funkcja kwadratowa