matematyka po polsku

spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] w liceum - matura z matematyki - zadaniamatematyka w przykadach - zadania z penymi rozwizaniami - arkusze maturalne rozwizane krok po krokuWitam! Tenfacet na zdjciuoboktoja JakubGrzegorzek. Odkilkulat pomagamwnaucemate-matyki. Czsto widziaem sytuacj, e czowiek czytazadaniai ciana. Zupenieniewie, zktrej stronyje ugry. Co wtedy? Otwierasz mj ebook i szukaszpodobnegozadania. Czytasz rozwizaniei najegopodstawie prbujesz wymyle swoje. Dlatego zawar-em w ebooku moliwie du liczb przykadw. Mamnadziej, e znajdziesz, to co szukasz. Klinij poniej.pom mi spopularyzowa ten ebookMatematykaw liceumspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] przegldaj strona po stronie !!!!!Nie uywaj rolki w myszce !!!!!Po tym ebooku naley porusza si TYLKO klikajc oznaczony na niebiesko tekst.Jak chcesz si cofn, kliknij niebiesk strzak.Zacznij jeszcze raz. Kliknij tutajspis trecispis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] treci:liczby i wyraenia algebraiczne trygonometriazbiory, warto bezwgldna, indukcja geometria na paszczyniefunkcja i jej wasnoci geometria analitycznafunkcja liniowa geometria w przestrzenifunkcja kwadratowa kombinatoryka, prawdopodobiestwo,wielomiany elementy statystykifunkcje wymiernefunkcja wykadnicza MATURAlogarytmycigi i ich granice bloggranica funkcji w pom mi spopularyzowa ten ebookgranica w punkcie i pochodna funkcjiza dua czcionka? jak ja to napisaem gra w kropki przegldanie drukowanie MatTVkontakt z autorem: [email protected] luty 2007r.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] przegldaj strona po stronie !!!!!Nie uywaj rolki w myszce !!!!!Po tym ebooku naley porusza si TYLKO klikajc oznaczony na niebiesko tekst.Jak chcesz si cofn, kliknij niebiesk strzak.Zacznij jeszcze raz. Kliknij tutajspis trecispis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 1 2 4ABDla przedziawA = (3, 2`iB = (1, 4`wyznaczA B, A B, A ` B,B ` A, A

,B

.Zaznaczamy przedziay na osi liczbowej i odczytujemy rozwizanie:suma: A B = (3, 4`cz wsplna: A B = (1, 2`rnica: A` B = (3, 1`rnica: B ` A = (2, 4`dopenienie: A

= (, 3` (2, )dopenienie: B

= (, 1` (4, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wymagania maturalne zdajcy potra: wyznaczy sum, iloczyn, rnic, dopenienieprzedziaw liczbowych oraz innych podzbiorw zbioruliczb rzeczywistych Dla przedziaw A = (3, 2` i B = (1, 4` wyznacz A B, A B, A` B, B ` A,A

, B

.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 52 52 52 525Przedziay liczbowePrzykady:'2, 5` Przedzia obustronnie domknity, zawiera liczby od 2 do 5.(2, 5) Przedzia obustronnie otwarty, zawiera liczby od 2 do 5, bez 2 i 5.'2, 5) Przedzia lewostronnie domknity, zawiera liczby od 2 do 5,bez 5.(2, 5` Przedzia prawostronnie domknity, zawiera liczby od 2 do 5,bez 2.Nawiasy przy zawsze okrge'2, ) Przedzia lewostronnie domknity, zawiera liczby wikszelub rwne 2.(, 5) Przedzia prawostronnie otwarty, zawiera liczby mniejsze od 5.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 2 3 4AB1 2 3 4AB1 2 3 4AB1 3AA

A

Dziaania na przedziaachsuma: A BSuma przedziaw A i Bto przedzia zawierajcy wszystkie liczby z przedziaw A i B.przykad:A = (1, 3) B = (2, 4) A B = (1, 4)cz wsplna (iloczyn): A BCz wsplna przedziaw A i Bto przedzia zawierajcy liczby wsplne dla przedziaw Ai B.przykad:A = (1, 3) B = (2, 4) A B = (2, 3)Rnica : A` BRnica przedziaw A i Bto przedzia zawierajcy liczby nalece do przedziau A, ale nienalece do przedziau B.przykad:A = (1, 3) B = (2, 4) A` B = (1, 2`Dopenienie: A

DopenienieprzedziauAtoprzedzia lubsumaprzedziawzawierajcaliczby, ktrenienale do przedziau A.przykad:A = (1, 3) A

= (, 1` '3, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wymagania maturalne zdajcy potra: zaznacza na osi liczbowej zbiory opisaneza pomoc rwna i nierwnoci z wartoci bezwzgldntypu: [x a[ = b, [x a[ < b, [x a[ > bRozwi rwnania: [x[ = 3[x + 1[ = 2[x 3[ = 0 [x + 4[ = 5

(x + 5)2= 4Rozwi nierwnoci: [x[ < 3[x 4[ < 2[8 2x[ 4 [x[ > 2[2x 6[ ` 4spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie:[x[ = 3Warto bezwzgldna z 3 i 3 jest rwna 3, a wic:x = 3 lub x = 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie:[x + 1[ = 2Warto bezwzgldna z 2 i 2 jest rwna 2, a wic:x + 1 = 2 lub x + 1 = 2x = 2 1 x = 2 1x = 3 x = 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie:[x 3[ = 0Warto bezwzgldna tylko z 0 jest rwna 0, a wic:x 3 = 0x = 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie:[x + 4[ = 5Warto bezwzgldna nie moe by ujemna, a wic rwnanie nie marozwizania.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie:

(x + 5)2= 4Zgodnie ze wzoremx2= [x[ moemy napisa

(x + 5)2= [x + 5[.[x + 5[ = 4Warto bezwzgldna z 4 i 4 jest rwna 4, a wic:x + 5 = 4 lub x + 5 = 4x = 4 5 x = 4 5x = 9 x = 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 330 55warto bezwzgldnawarto bezwzgldna z dowolnej liczby jest dodatnia lub rwna zero.[x[ =

x gdy x ` 0x gdy x < 0przykady:[4[ = 4 [ 4[ = 4 [0[ = 0[ 5[ = 5 [12[ =12interpretacja geometryczna wartoci bezwzgldnejwarto bezwzgldna liczby jest rwna jej odlegoci od zera na osi liczbowejprzykady:[ 3[ = 3 [5[ = 5wasnoci wartoci bezwzgldnej[x[ ` 0 [ x[ = [x[x2= [x[[xy[ = [x[[y[ [x[ = [y[ x = y lub x = y

xy

=|x||y|[x +y[ [x[ +[y[spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 3Rozwi nierwno:[x[ < 3Nierwno z wartoci bezwzgldn mona zastpi ukadem nierwnoci bez wartoci bez-wzgldnej.x < 3 i x > 3Rozwizaniem jest cz wsplna przedziaw:x (3, 3)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 6Rozwi nierwno:[x 4[ < 2Nierwno z wartoci bezwzgldn mona zastpi ukadem nierwnoci bez wartoci bez-wzgldnej.x 4 < 2 i x 4 > 2x < 2 + 4 x > 2 + 4x < 6 x > 2Rozwizaniem jest cz wsplna przedziaw:x (2, 6)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 6Rozwi nierwno:[8 2x[ 4Nierwno z wartoci bezwzgldn mona zastpi ukadem nierwnoci bez wartoci bez-wzgldnej.8 2x 4 i 8 2x ` 42x 4 8 2x ` 4 82x 4 / : (2) 2x ` 12 / : (2)x ` 2 x 6Rozwizaniem jest cz wsplna przedziaw:x '2, 6`spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 2Rozwi nierwno:[x[ > 2Nierwno z wartoci bezwzgldn mona zastpi ukadem nierwnoci bez wartoci bez-wzgldnej.x > 2 lub x < 2Rozwizaniem jest suma przedziaw:x (, 2) (2, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 5Rozwi nierwno:[2x 6[ ` 4Nierwno z wartoci bezwzgldn mona zastpi ukadem nierwnoci bez wartoci bez-wzgldnej.2x 6 ` 4 lub 2x 6 42x ` 4 + 6 2x 4 + 62x ` 10 / : 2 2x 2 / : 2x ` 5 x 1Rozwizaniem jest suma przedziaw:x (, 1` '5, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] funkcjiFunkcjaf: X Y toprzyporzdkowanie,ktrekademuelementowi zbioruXprzypo-rzdkowuje dokadnie jeden element ze zbioru Y .x - argumenty (liczby nalece do X)y- wartoci (liczby naleace do Y )Funkcj przedstawiamy najczciej za pomoc wzoru lub wykresu.Moliwe zapisy wzoru funkcji:y = x2f(x) = x2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 5 xyDziedzina funkcjiDziedzinafunkcji tozbirzawierajcywszystkieliczby, ktremoemypodstawidowzorufunkcji. Moemy j te odczyta z wykresu funkcji.Oznaczenia: D DfXPrzykady:y = x D = '0, ), poniewa nie mona pierwiastkowa liczb ujemnych.y =1xD = R` 0, poniewa nie mona dzieli przez 0 (1x= 1 : x).D = '2, 5)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] matematycznex '0, ) x naley do przedziau '0, )R liczby rzeczywiste, czyli wszystkie jakie znaszx R` 0 x naley do liczb rzeczywistych oprcz 0.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wartoci (przeciwdziedzina)Zbir wartoci to zbir zawierajcy wszystkie liczby, ktre moemy otrzyma ze wzoru funkcji.Moemy go te odczyta z wykresu funkcji.Oznaczenia: D1YWfPrzykady:y = x2D1= '0, ), poniewa podnoszc do kwadratuotrzymujemy liczby nieujemne.y = x + 1 D1= R, poniewa moemy otrzyma dowoln liczbwstawiajc odpowiedni za x.D1= '2, 4)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] zeroweMiejsce zerowe to liczba, ktra podstawiona do wzoru funkcji daje warto rwn 0. Miejscezerowe moemy te odczyta z wykresu funkcji.Przykady:y = x + 2 x0 = 2, poniewa podstawiajc 2 za x otrzymujemy 0.y = 2x 6 x0 = 3, poniewa podstawiajc 3 za x otrzymujemy 0.x0 = 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected](x1)f(x2)xyx2x1f(x2)f(x1)xycMonotonicznoMonotoniczno oznacza najczciej, e funkcja jest rosnca, malejca lub staa.Przykady:Funkcja Denicjarosnca: Dla kadego x1< x2: f(x1) < f(x2)Funkcja Denicjamalejca: Dla kadego x1< x2: f(x1) > f(x2)Funkcja Denicjastaa: Dla kadego x: f(x) = cspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 31RnowartociowoFunkcja jest rnowartociowa, jeeli nie ma takich dwch liczb, dla ktrych warto funkcjiwynosi tyle samo.Przykady:funkcja rnowartociowafunkcja nie jest rnowartociowa, poniewadla 4 i 3 warto wynosi tyle samo.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected], denicje, twierdzenia:PodstawyFunkcja kwadratowaWielomianyFunkcje wymierneFunkcja wykadniczaLogarytmyCigi i ich graniceGranica i pochodna funkcjiTrygonometriaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] czcionka wydaje ci si zbyt dua, zmie rozmiar okna. Kliknij w prawym grnym rogui wskanikiem myszki przecignij prawy dolny rg. Wraz z rozmiarem okna zmienisz rozmiartekstu.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 32xy-5 5-44Parzysto i nieparzystoFunkcjajest parzysta, jeeli dladowolnychliczbprzeciwnychwartofunkcji wynosi tylesamo. Lewa strona wykresu jest odbiciem prawej.f(x) = f(x)Funkcja parzysta, poniewa dla liczb przeciwnych(np 3, 3) warto wynosi tyle samo.Funkcja jest nieparzysta, jeeli dla dowolnych liczb przeciwnych wartoci funkcji s te prze-ciwne. Lewa strona wykresu jest odwrconym odbiciem prawej.f(x) = f(x)Funkcja nieparzysta, poniewa dla liczb przeciwnych(np 5, 5) wartoci te s przeciwne.dalejspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.Tak jest z wikszoci funkcji.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] funkcjiFunkcja jest okresowa, jeeli jej wykres da si podzieli na nieskoczenie wiele identycznychczci.Okres funkcji - dugo jednej czci na jakie zosta podzielony wykres.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wymagania maturalne zdajcy potra: okrela z wykresu funkcji: dziedzin,zbir wartoci, warto majc dany argument, argument majcdan warto, miejsca zerowe, przedziay monotonicznoci, zbirdla ktrych wartoci s dodatnie (ujemne), najmniejszi najwiksz warto funkcji

Dlapowyszychfunkcji okrel dziedzin, zbir wartoci, miejscazerowe, monotoniczno,rnowartociowo, parzysto, okresowo.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] dziedzin funkcji.f(x) = 3x + 9Rozwizanie:Wyznaczamy dziedzin wiedzc, e liczb ujemnych nie moemy pierwiastkowa.3x + 9 ` 03x ` 9 / : 3x ` 3Odp. D = '3, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] dziedzin funkcji.f(x) = 4 2xRozwizanie:Wyznaczamy dziedzin wiedzc, e liczb ujemnych nie moemy pierwiastkowa.4 2x ` 02x ` 4 / : (2)x 2Odp. D = (, 2`spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] dziedzin funkcji.f(x) =52x + 6Rozwizanie:dziedzina funkcjiMianownik nie moe by rwny 0, poniewa nie wolno dzieli przez 0.2x + 6 = 02x = 6 / : 2x = 3Odp. D = R` 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] dziedzin funkcji.f(x) =4x(x + 3)Rozwizanie:dziedzina funkcjiMianownik nie moe by rwny 0, poniewa nie wolno dzieli przez 0.x(x + 3) = 0x = 0 lub x + 3 = 0x = 3Odp. D = R` 0, 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:dziedzina D = Rzbir wartoci D1= (, 3`miejsce zerowe x0 3 lub x0 1, 5monotoniczno funkcja jest przedziaami monotonicznarosnca w przedziale (, 1)malejca w przedziale (1, )rnowartociowo funkcja nie jest rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzystaokresowo funkcja nie jest okresowaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:dziedzina D = '3, 4)zbir wartoci D1= '4, 3`miejsce zerowe x0 2 lub x0 = 3monotoniczno funkcja jest przedziaami monotonicznamalejca w przedziale '3, 1)staa w przedziale (1, 1)rosnca w przedziale (1, 4)rnowartociowo funkcja nie jest rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzystaokresowo funkcja nie jest okresowaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:dziedzina D = '3, )zbir wartoci D1= '4, )miejsce zerowe x0 2, 1 lub x0 = 0 lub x0 2, 1monotoniczno funkcja jest przedziaami monotonicznarosnca w przedziale '3, 1)malejca w przedziale (1, 1)rosnca w przedziale (1, )rnowartociowo funkcja nie jest rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzystaokresowo funkcja nie jest okresowaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]=2x+3a > 0xy11y=13x+1a < 0xy12y = 2a = 0xyfunkcja liniowafunkcja liniowa to funkcja dana wzoremy = ax +ba wspczynnik kierunkowymonotoniczno: a > 0 rosnca a < 0 malejca a = 0 staab wsprzdna punktu przecicia z osi Oy: (0, b)wykres funkcji liniowej:wspczynnik kierunkowy:a = 2 a = 13a = 0monotoniczno:rosnca malejca staapunkt przecicia wykresu z osi Oy:(0, 3) (0, 1) (0, 2)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]=2x1y=2x+2xy113y=12x1y=2x3xyproste rwnolege i prostopadeProste rwnolege majten sam wspczynnik kierunkowy.Proste prostopade majwspczynniki kierunkowe speniajce wzr:a1a2 = 1np. 2 12= 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wymagania maturalne zdajcy potra: podawa wzr funkcji liniowej o zadanychwasnociach Znajd rwnanie funkcji liniowej, ktrej wykres jest rwnolegy do y = 2x+4 i przechodziprzez punkt A(3, 7).Znajd rwnanie funkcji liniowej, ktrej wykres jest prostopady do y = 3x2 i przechodziprzez punkt A(6, 3).spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] -11-2-5xyDla funkcjiy = 3x 2narysuj wykres, podaj dziedzin, zbir wartoci, miejsce zerowe, monotoniczno.Rozwizanie:Dla wybranych dowolnie x np. 1,0,1 liczymy y:x = 1 y = 3(1) 2 = 3 2 = 5x = 0 y = 30 2 = 2x = 1 y = 31 2 = 1x 1 0 1y 5 2 1dziedzina D = Rzbir wartoci D1= RMiejsce zerowe liczymy wstawiajc 0 za y.0 = 3x 23x = 2/ : (3)x0 =23monotoniczno funkcja jest rosncaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie funkcji liniowej, ktrej wykres jest rwnolegy do y = 2x + 4 i przechodziprzez punkt A(3, 7).Rozwizanie:y = ax +bMusimy znale a i b.a = 2, poniewa szukana funkcja jest rwnolega do y = 2x + 4.y = 2x +bWstawiajc do rwnania wsprzdne A(3, 7) znajdujemy b.7 = 23 +b7 6 = bb = 1Odp. y = 2x + 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie funkcji liniowej, ktrej wykres jest prostopady do y = 3x 2 i przechodziprzez punkt A(6, 3).Rozwizanie:y = ax +bMusimy znale a i b.Wspczynnik kierunkowy a liczymy ze wzoru.a1 a2= 13a = 1/ : 3a = 13y = 13x +bWstawiajc do rwnania wsprzdne punktu A(6, 3) znajdujemy b.3 = 136 +b3 = 2 +b3 + 2 = bb = 5Odp. y = 13x + 5spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wektorwWektor rysujemy w postaci strzaki. w = [a, b]Rysowanie wektora:Zaznaczamy pocztek w dowolnym miejscu. Na podstawie wsprzdnych [a, b] znajdujemykoniec.Przykady:[2, 3] 2 w prawo 3 do gry[3, 1] 3 w prawo 1 do gry[2, 1] 2 w lewo 1 do gry[3, 2] 3 w prawo 2 do dou[0, 2] 2 do gry[3, 0] 3 w lewospis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wykresu funkcjiWykres funkcjif(x a) +botrzymujemy przez narysowanie funkcji f(x) i przesuniciu jej o wektor [a, b].Przykady:y = [x 3[ + 2 rysujemy y = [x[ i przesuwamy o wektor [3, 2]y = (x 2)24 y =x2[2, 4]y = (x + 1)3+ 2 y =x3[1, 2]y = (x + 5)23 y =x2[5, 3]y = x2+ 1 y =x2[0, 1]y = (x 2)2y =x2[2, 0]y =2x+31 y=2x[3, 1]Pierwsza wsprzdna wektora ma przeciwny znak ni liczba przy x, druga wsprzdna maznak taki sam jak liczba na kocu.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] Narysuj wykres funkcji: y = (x 2)2+ 1y = (x + 4)3 y =1x+1 2 y = [x 3[ + 2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wykres funkcji:y = (x 2)2+ 1Rozwizanie:Wykres y = (x 2)2+ 1 otrzymujemy przez przesunicie y = x2o wektor [2, 1].x -2 -1 0 1 2y = x24 1 0 1 4spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wykres funkcji:y = (x + 4)3Rozwizanie:Wykres y = (x + 4)3otrzymujemy przez przesunicie y = x3o wektor [4, 0].x -2 -1 0 1 2y = x3-8 -1 0 1 8spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wykres funkcji:y =1x + 1 2Rozwizanie:Wykres y =1x+12 otrzymujemy przez przesunicie y =1xo wektor [1, 2].x -2 -1 -12121 2y =1x-12-1 -2 2 112spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wykres funkcji:y = [x 3[ + 2Rozwizanie:Wykres y = [x 3[ + 2 otrzymujemy przez przesunicie y = [x[ o wektor [3, 2].x -2 -1 0 1 2y = [x[ 2 1 0 1 2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] = b 2ax2 = b +2ax1 = b2aRwnanie kwadratoweax2+bx +c = 0 a = 0Najpierw liczymy (delta). = b24acPierwiastki rwnania kwadratowego liczymy w zalenoci od znaku delty. > 0 dwa pierwiastki = 0 jeden pierwiastek < 0 nie ma pierwiastkwPierwiastki rwnania ax2+bx+c =0 s miejscami zerowymi funkcji kwadratowejy = ax2+bx +c.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] skrconego mnoeniaWzry: Przykady:(a +b)2= a2+ 2ab +b2(x + 3)2= x2+ 2x3 + 32== x2+ 6x + 9(a b)2= a22ab +b2(3x 4)2= (3x)223x4 + 42== 9x224x + 16(a b)(a +b) = a2b2(3x 2)(3x + 2)= (3x)222= 9x24x29= (x 3)(x + 3)x25= (x 5)(x +5)(a +b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+b3(x + 2)3= x3+ 3x2 2 + 3x22+ 23== x3+ 6x2+ 12x + 8(a b)3= a33a2b + 3ab2b3(2x 1)3= (2x)33(2x)2 1++32x1213== 8x312x2+ 6x 1a3+b3= (a +b)(a2ab +b2) x3+ 27= x3+ 33== (x + 3)(x23x + 9)a3b3= (a b)(a2+ab +b2) x35= x3(35)3== (x 35)(x2+35x +325)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wymagania maturalne zdajcy potra: rozwizywa rwnania kwadratowe z jednniewiadomrozwi rwnania: x24 = 02x216 = 0x2+ 9 = 0 x23x = 02x2+ 6x = 0rozwi rwnania: x24x 5 = 0x2+ 6x + 9 = 0x2+ 2x + 5 = 0 x2+ 3x + 4 = 02x2+ 3x 1 = 0spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie:x24 = 0Rozwizanie:x24 = 0x2= 4x = 2 lub x = 2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie:2x216 = 0Rozwizanie:2x216 = 02x2= 16/ : 2x2= 8x = 8 lub x = 8x = 42 x = 42x = 22 x = 22spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie:x2+ 9 = 0Rozwizanie:x2+ 9 = 0x2= 9rwnanie nie ma rozwizaniaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie:x23x = 0Rozwizanie:x23x = 0x(x 3) = 0x = 0 lub x 3 = 0x = 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie:2x2+ 6x = 0Rozwizanie:2x2+ 6x = 0x(2x + 6) = 0x = 0 lub 2x + 6 = 02x = 6/ : (2)x = 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie:x24x 5 = 0Rozwizanie:x24x5 = 0Korzystamy ze wzorw na pierwiastki rwnania kwadratowego.a = 1 b = 4 c = 5 = (4)241(5) = 16 + 20 = 36 = 36 = 6x1 = (4) 621=4 62= 22= 1x2 = (4) + 621=4 + 62=102= 5spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie:x2+ 6x + 9 = 0Rozwizanie:x2+ 6x + 9 = 0Korzystamy ze wzorw na pierwiastki rwnania kwadratowego.a = 1 b = 6 c = 9 = 62419 = 36 36 = 0x1 =621= 62= 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie:x2+ 2x + 5 = 0Rozwizanie:x2+ 2x + 5 = 0Korzystamy ze wzorw na pierwiastki rwnania kwadratowego.a = 1 b = 2 c = 5 = 22415 = 4 20 = 16rwnanie nie ma pierwiastkwspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie:x2+ 3x + 4 = 0Rozwizanie:x2+ 3x + 4 = 0Korzystamy ze wzorw na pierwiastki rwnania kwadratowego.a = 1 b = 3 c = 4 = 324(1)4 = 9 + 16 = 25 = 25 = 5x1 = 3 52(1)= 82= 4x2 = 3 + 52(1)=22= 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie:2x2+ 3x 1 = 0Rozwizanie:2x2+ 3x1 = 0Korzystamy ze wzorw na pierwiastki rwnania kwadratowego.a = 2 b = 3 c = 1 = 3242(1) = 9 + 8 = 17 = 17x1 = 3 1722= 3 174x2 = 3 +1722= 3 +174spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] kwadratowawzory, twierdzenia, denicjeRwnanie kwadratowePosta oglna, kanoniczna, iloczynowaWykres funkcji kwadratowejNierwnoci kwadratowerozwizane zadaniaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected], warto bezwzgldna, indukcjawzory, twierdzenia, denicjezbiorydziaania na zbiorachwasnoci dziaa na zbiorachzbiory liczboweprzedziay liczbowedziaania na przedziaachzdanie w logicekwantykatoryrachunek zdaprawa logicznewarto bezwzgldnaodlego liczb na osi liczbowejindukcja matematycznarozwizane zadaniaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] oglna, kanoniczna, iloczynowaPosta oglna: przykady:y = ax2+bx +c y = 3x2+ 5x 2y = 4x2+ 6xy = x2+ 5Posta kanoniczn otrzymujemy liczc najpierw delt, a nastpnie p i q.y = a(x p)2+q y = 6(x + 3)24y = 2(x 5)2p = b2aq = 4ay = x2+ 3Postailoczynowotrzymujemyzpostaci oglnej poobliczeniupierwiastkw. Jej wygldzaley od delty. > 0 y = a(x x1)(x x2) y = 2(x 3)(x + 4)y = x(x + 5) = 0 y = a(x x1)2y = (x 3)2y = 4x2 < 0 nie istniejespis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wymagania maturalne zdajcy potra: przedstawia funkcj kwadratow w rnychpostaciach: oglnej, iloczynowej, kanonicznejSprowad do postaci kanonicznej: y = x2+ 4x 3y = 2x2+ 8xy = 3(x 1)(x + 4)Sprowad do postaci iloczynowej: y = x2+ 2x 8y = 3x26y = 5x22xSprowad do postaci oglnej: y = 2(x + 3)24y = 2(x 3)(x + 4)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] do postaci kanonicznej:y = x2+ 4x3Rozwizanie:liczymy delt:a = 1 b = 4 c = 3 = 4241(3) = 16 + 12 = 28Wykorzystujemy wzory na p i q.p =421= 2 q = 2841= 7Posta kanoniczna:y =

x (2)

2+ (7)y = (x + 2)27spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] do postaci kanonicznej:y = 2x2+ 8xRozwizanie:liczymy delt:a = 2 b = 8 c = 0 = 824(2)0 = 64 0 = 64Wykorzystujemy wzory na p i q.p =82(2)= 84= 2 q =644(2)= 648= 8Posta kanoniczna:y = 2(x 2)2+ 8spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] do postaci kanonicznej:y = 3(x 1)(x + 4)Rozwizanie:Najpierw sprowadzamy do postaci oglnej:3(x 1)(x + 4) = 3(x2+ 4x x 4) = 3(x2+ 3x 4) = 3x2+ 9x12liczymy delt:a = 3 b = 9 c = 12 = 9243(12) = 81 + 144 = 225Wykorzystujemy wzory na p i q.p =923= 32q = 22543= 754= 1834Posta kanoniczna:y = 3

x

32

2+

1834

y = 3

x + 32

21834spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] do postaci iloczynowej:y = x2+ 2x8Rozwizanie:liczymy delt:a = 1 b = 2 c = 8 = 2241(8) = 4 + 32 = 36 = 36 = 6liczymy pierwiastki.x1 = 2 621x2 = 2 + 621x1 = 82x2 =42x1 = 4 x2 = 2Posta iloczynowa:y =

x (4)

(x 2)y = (x + 4)(x 2)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] do postaci iloczynowej:y = 3x26Rozwizanie:Prociej jest nie liczy z delty, tylko przeksztaca:y = 3(x22)Korzystamy ze wzoru a2b2= (a b)(a +b):y = 3(x 2)(x +2)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] do postaci iloczynowej:y = 5x22xRozwizanie:Prociej jest nie liczy z delty, tylko przeksztaca:y = 5x

x 25

spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] do postaci oglnej:y = 2(x + 3)24Rozwizanie:Korzystamy ze wzoru (a +b)2= a2+ 2ab +b2:y = 2(x2+ 2x3 + 32) 4y = 2(x2+ 6x + 9) 4y = 2x2+ 12x + 18 4y = 2x2+ 12x + 14spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] do postaci oglnej:y = 2(x 3)(x + 4)Rozwizanie:2(x 3)(x + 4) = 2(x2+ 4x 3x 12) = 2(x2+x 12) = 2x2+ 2x 24y = 2x2+ 2x 24spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] > 0 < 0xa > 0 = 0xa > 0 > 0xa < 0 < 0xa < 0 = 0xa < 0 > 0xWykres funkcji kwadratowejWykresem funkcji kwadratowej jest parabola.Pooenie wykresu wzgldem osi x zaley od delty i a.y = ax2+bx +cWsprzdne wierzchoka W(p, q) paraboli dane s wzorem:p = b2aq = 4aNajatwiej wsprzdne wierzchoka odczyta z postaci kanonicznej.Przykad:y = 3(x 5)2+ 4 W(5, 4)y = 2(x + 3)21 W(3, 1)y = (x + 4)2W(4, 0)y = x26 W(0, 6)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wymagania maturalne zdajcy potra: sporzdza wykresy funkcji kwadratowychodczytywa wasnoci z wykresu, okrela przedziaymonotonicznoci funkcji kwadratowejNarysuj wykres funkcji kwadratowej i podaj jej wasnoci: y = x24x + 3y = 2x28x 5y = x26x + 10spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wykres funkcji kwadratowej i podaj jej wasnoci:y = x24x + 3Rozwizanie:Sprowadzamy funkcj do postaci kanonicznej: y = (x 2)21Rysujemy wykres y = x2i przesuwamy go o wektor [2, 1].x -2 -1 0 1 2y = x24 1 0 1 4dziedzina D = Rzbir wartoci D1= '1, )miejsce zerowe x0 = 1 lub x0 = 3monotoniczno funkcja jest przedziaami monotonicznamalejca w przedziale (, 2)rosnca w przedziale (2, )wierzchoek W(2, 1)najmniejsza warto ymin = 1 dla x = 2najwiksza warto nie istniejernowartociowo funkcja nie jest rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzystaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] = x24x + 3a = 1 b = 4 c = 3 = (4)2413 = 16 12 = 4p = (4)21=42= 2 q =441= 44= 1posta kanoniczna:y = (x 2)21spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wykres funkcji kwadratowej i podaj jej wasnoci:y = 2x28x 5Rozwizanie:Sprowadzamy funkcj do postaci kanonicznej: y = 2(x + 2)2+ 3Rysujemy wykres y = 2x2i przesuwamy go o wektor [2, 3].x -2 -1 0 1 2y = 2x2-8 -2 0 -2 -8dziedzina D = Rzbir wartoci D1= (, 3`miejsce zerowe x0 3, 2 lub x0 0, 8monotoniczno funkcja jest przedziaami monotonicznarosnca w przedziale (, 2)malejca w przedziale (2, )wierzchoek W(2, 3)najwiksza warto ymax = 3 dla x = 2najmniejsza warto nie istniejernowartociowo funkcja nie jest rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzystaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] = 2x28x 5a = 2 b = 8 c = 5 = (8)24(2)(5) = 64 40 = 24p =(8)2(2)=84= 2 q =244(2)= 248= 3posta kanoniczna:y =

x (2)

23y = 2(x + 2)2+ 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wykres funkcji kwadratowej i podaj jej wasnoci:y = x26x + 10Rozwizanie:Sprowadzamy funkcj do postaci kanonicznej: y = (x 3)2+ 1Rysujemy wykres y = x2i przesuwamy go o wektor [3, 1].x -2 -1 0 1 2y = x24 1 0 1 4dziedzina D = Rzbir wartoci D1= '1, )miejsce zerowe nie istniejmonotoniczno funkcja jest przedziaami monotonicznamalejca w przedziale (, 3)rosnca w przedziale (3, )wierzchoek W(3, 1)najmniejsza warto ymin = 1 dla x = 3najwiksza warto nie istniejernowartociowo funkcja nie jest rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzystaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] = x26x + 10a = 1 b = 6 c = 10 = (6)24110 = 36 40 = 4p = (6)21=62= 3 q = (4)41=44= 1posta kanoniczna:y =

x 3

2+ 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 4 215ABWZnajd najmniejsz i najwiksz warto funkcjiy = x24x + 5na przedziale '1, 4`.Rozwizanie:Znajdujemy wartoci funkcji na kracach przedziau:x = 1 y = 1241 + 5 = 1 4 + 5 = 2 A(1, 2)x = 4 y = 4244 + 5 = 16 16 + 5 = 5 B(4, 5)znajdujemy wsprzdne wierzchoka: W(2, 1).Rysujemy przybliony wykres funkcji na podstawie punktw A(1, 2) B(4, 5) W(2, 1).Z wykresu odczytujemy, e w przedziale '1, 4`:- najmniejsza warto ymin = 1 dlax = 2- najwikszawartoymax = 5 dla x = 4spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] = x24x + 5a = 1 b = 4 c = 5 = (4)2415 = 16 20 = 4wsprzdne wierzchoka:p = (4)21=42= 2 q = (4)41=44= 1W(2, 1)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 4 13-1-6ABWZnajd najmniejsz i najwiksz warto funkcjiy = x2+ 2x + 2na przedziale '1, 4`.Rozwizanie:Znajdujemy wartoci funkcji na kracach przedziau:x = 1 y = (1)2+ 2(1) + 2 = 1 2 + 2 = 1 A(1, 1)x = 4 y = 42+ 24 + 2 = 16 + 8 + 2 = 6 B(4, 6)znajdujemy wsprzdne wierzchoka: W(1, 3).Rysujemy przybliony wykres funkcji na podstawie punktw A(1, 1) B(4, 6) W(1, 3).Z wykresu odczytujemy, e w przedziale '1, 4`:- najmniejsza warto ymin = 6 dla x = 4- najwikszawartoymax=3dlax = 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] = x2+ 2x + 2a = 1 b = 2 c = 2 = 224(1)2 = 4 + 8 = 12wsprzdne wierzchoka:p =22(1)= 22= 1 q =124(1)= 124= 3W(1, 3)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 1-53ABWZnajd najmniejsz i najwiksz warto funkcjiy = x2+ 4x 2na przedziale '1, 1`.Rozwizanie:Znajdujemy wartoci funkcji na kracach przedziau:x = 1 y = (1)2+ 4(1) 2 = 1 4 2 = 5 A(1, 5)x = 1 y = 12+ 41 2 = 1 + 4 2 = 3 B(1, 3)znajdujemy wsprzdne wierzchoka: W(2, 6).Rysujemy przybliony wykres funkcji na podstawie punktw A(1, 5) B(1, 3)W(2, 6).Z wykresu odczytujemy, e w przedziale '1, 1`:- najmniejsza warto ymin = 5 dla x = 1- najwikszawartoymax=3dlax =1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] = x2+ 4x 2a = 1 b = 4 c = 2 = 4241(2) = 16 + 8 = 24wsprzdne wierzchoka:p =421= 42= 2 q = 2441= 244= 6W(2, 6)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] kwadratowePrzykady:x2+ 3x 5 > 0 2x2+ 4x + 2 0 x25x ` 0 3x2+ 4x + 2 < 0Nierwnoci kwadratowe rozwizujemy najczciej tak:1. liczymy delt2. znajdujemy miejsca zerowe, jeli s3. rysujemy parabol przechodzc przez miejsca zerowedla a > 0 ramiona w grdla a < 0 ramiona w d4. zaznaczamy na zielono dla znakw:< cz wykresu pod osi x> ` cz wykresu nad osi x5. dla znakw ` zaznaczamy w miejscach zerowych< > zaznaczamy w miejscach zerowych6. rysujemy przedzia odpowiadajcy zielonej czci wykresu7. zapisujemy rozwizaniespis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wymagania maturalne zdajcy potra: rozwizywa nierwnoci kwadratowe z jednniewiadomrozwi nierwnoci: x23x 10 < 0x23x 10 > 0x23x 10 ` 0 x2+ 2x + 3 ` 02x2x + 3 < 0rozwi nierwnoci: x23x ` 02x2+ 5x > 0x27 < 0rozwi nierwnoci: 3x2+ 6x + 10 > 02x2+ 8x 8 ` 0x2+ 2x + 5 < 0spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 5Rozwi nierwno:x23x 10 < 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 1 b = 3 c = 10 = (3)241(10) = 9 + 40 = 49 = 49 = 7x1 = (3) 721=3 72= 2 x2 = (3) + 721=3 + 72= 5rozwizaniem jest przedzia:x (2, 5)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 2 5Rozwi nierwno:x23x 10 > 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 1 b = 3 c = 10 = (3)241(10) = 9 + 40 = 49 = 49 = 7x1 = (3) 721=3 72= 2 x2 = (3) + 721=3 + 72= 5rozwizaniem jest suma dwch przedziaw:x (, 2) (5, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 5Rozwi nierwno:x23x 10 ` 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 1 b = 3 c = 10 = (3)241(10) = 9 + 40 = 49 = 49 = 7x1 = (3) 721=3 72= 2 x2 = (3) + 721=3 + 72= 5rozwizaniem jest suma dwch przedziaw:x (, 2` '5, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 3Rozwi nierwno:x2+ 2x + 3 ` 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 1 b = 2 c = 3 = (2)24(1)3 = 4 + 12 = 16 = 16 = 4x1 = 2 42(1)= 62= 3 x2 = 2 + 42(1)=22= 1rozwizaniem jest przedzia:x '1, 3`spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] nierwno:2x2x + 3 < 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 2 b = 1 c = 3 = (1)24(2)3 = 1 + 24 = 25 = 25 = 5x1 = (1) 52(2)=1 54= 44= 1 x2 = (1) + 52(2)=64=32= 32rozwizaniem jest suma dwch przedziaw:x

, 32

(1, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 3Rozwi nierwno:x23x ` 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowezamiast liczy delt prociej jest policzy pierwiastki w ten sposb:x23x ` 0x(x 3) ` 0x1 = 0 lub x 3 = 0x2 = 3rozwizaniem jest suma dwch przedziaw:x (, 0` '3, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 212Rozwi nierwno:2x2+ 5x > 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowezamiast liczy delt prociej jest policzy pierwiastki w ten sposb:2x2+ 5x > 02

x2 52x

> 02x

x 52

> 0x1 = 0 lub x 52= 0x2 =52= 212rozwizaniem jest przedzia:x

0, 212

spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] nierwno:x27 < 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowezamiast liczy delt prociej jest policzy pierwiastki korzystajc ze wzorua2b2= (a b)(a +b):x27 < 0(x 7)(x +7) < 0x 7= 0 lub x +7= 0x1= 7 x2= 7rozwizaniem jest przedzia:x

7,7

spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] nierwno:3x2+ 6x + 10 > 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 3 b = 6 c = 10 = 624310 = 36 120 = 84 < 0, a wic nie ma miejsc zerowych.wszystkie liczby speniaj t nierwnox Rspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] nierwno:2x2+ 8x 8 ` 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 2 b = 8 c = 8 = 824(2)(8) = 64 64 = 0x1 =82(2)= 84= 2rozwizanie:x = 2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] nierwno:x2+ 2x + 5 < 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 1 b = 2 c = 5 = 22415 = 4 20 = 16 < 0, a wic nie ma miejsc zerowych.nie ma liczb speniajcych t nierwnox spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k ijakub@matematyka.pisz.plwww.matematyka.pisz.plWielomianyPrzykady:y = x52x3+ 5x + 4 wielomian stopnia 5y = 2x3+ 4x22 wielomian stopnia 3y = x23x + 5 wielomian stopnia 2y = 5x 2 wielomian stopnia 1y = 8 wielomian stopnia 0spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wielomianwZ dzieleniem wielomianw jest tak samo, jak z dzieleniem liczb:6 : 3 = 2 poniewa 23 = 6(x38x2+ 15x 8) : (x 1) = x27x + 8 poniewa(x27x + 8)(x 1) = x3x27x2+ 7x + 8x 8 = x38x2+ 15x 8Dzielenie krok po kroku:Krok I(x38x2+15x8) : (x 1) zaczynamydalejspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] II(x38x2+15x8) : (x 1) = x2dzielimy x3na xKrok III(x38x2+15x8): (x 1) = x2x3+ x2mnoymy x2razy x 1wyniki zapisujemy z przeciwnymiznakamiKrok IV(x38x2+15x8) : (x 1) = x2x3+ x2= 7x2+15xdodajemy i spisujemy 15xdalejspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] V(x38x2+15x8) : (x 1) = x27xx3+ x2= 7x2+15xdzielimy 7x2na xKrok VI(x38x2+15x8) : (x 1) = x27xx3+ x2= 7x2+15x7x2 7xmnoymy 7x razy x 1wyniki zapisujemy z przeciwnymiznakamiKrok VII(x38x2+15x8) : (x 1) = x27xx3+ x2= 7x2+15x7x2 7x= 8x8dodajemy i spisujemy 8dalejspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] VIII(x38x2+15x8) : (x 1) = x27x + 8x3+ x2= 7x2+15x7x2 7x= 8x8dzielimy 8x na xKrok IX(x38x2+15x8) : (x 1) = x27x + 8x3+ x2= 7x2+15x7x2 7x= 8x88x+8mnoymy 8 razy x 1wyniki zapisujemy z przeciwnymiznakamiKrok X(x38x2+15x8) : (x 1) = x27x + 8x3+ x2= 7x2+15x7x2 7x= 8x88x+8==dodajemynie otrzymalimy resztyspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected], twierdzenia, denicjewielomianypierwiastek wielomianudzielenie wielomianwrozkad wielomianu na czynnikitwierdzenie Bezouttwierdzenie o pierwiastkach wymiernychkrotno pierwiastka wielomianunierwno wielomianowarozwizane zadaniaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wymagania maturalne zdajcy potra: wykonywa dzielenie wielomianu przez wielomianWykonaj dzielenie: (x3+x222x 40) : (x 5)(2x35x2+ 8x 3) : (2x 1) (6x319x2+ 13x 2) : (3x 2)(x45x3+ 10x215x + 9) : (x 3) (2x314x2+ 14x + 30) : (x22x 3)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] dzielenie:(x3+x222x 40) : (x 5)Rozwizanie:dzielenie wielomianw(x3+ x222x40) : (x 5) = x2+ 6x + 8x3+5x2= 6x222x6x2+30x= 8x408x+40= =spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] dzielenie:(2x35x2+ 8x 3) : (2x 1)Rozwizanie:dzielenie wielomianw(2x35x2+8x3) : (2x 1) = x22x + 32x3+x2=4x2+8x4x22x= 6x36x+3==spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] dzielenie:(6x319x2+ 13x 2) : (3x 2)Rozwizanie:dzielenie wielomianw(6x319x2+13x2) : (3x 2) = 2x25x + 16x3+ 4x2=15x2+13x15x210x= 3x23x+2==spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] dzielenie:(x45x3+ 10x215x + 9) : (x 3)Rozwizanie:dzielenie wielomianw(x45x3+10x215x+9) : (x 3) = x32x2+ 4x 3x4+3x3= 2x3+10x22x3 6x2= 4x215x4x2+12x= 3x+93x9==spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wielomianu na czynnikiRozwizujc rwnanie wielomianowe lub nierwno wielomianow rozkadamy wielomian nailoczyn czynnikw, do ktrych zaliczamy: wyraenia liniowe np. (x + 3), (x 5), (2x 1) wyraenia kwadratowe z < 0 np. (x2+ 9), (x2+ 7), (x2+ 2x + 8) potgi x np. x, x2, x3Z wielomianu rozoonego na czynniki atwo jest odczyta pierwiastki.Przykady:x3x217x 15 = (x 5)(x + 3)(x + 1)pierwiastki: x1 = 5 x2 = 3 x3 = 1x4+ 6x3+ 16x2+ 32x = x(x + 4)(x2+ 2x + 8)pierwiastki: x1 = 0 x2 = 4 nie ma ( < 0)x54x4+ 9x336x2= x2(x2+ 9)(x 4)pierwiastki: x1 = 0 nie ma x2 = 4spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wielomianuPierwiastekwielomianutomiejsce zerowewielomianu,czyliliczbadlaktrejwartowielo-mianu jest rwna zero.Przykady:w(x) = x4x2x0 = 1 poniewa w(1) = 1412= 1 1 = 0w(x) = x38 x0 = 2 poniewa w(2) = 238 = 8 8 = 0w(x) = x5x4+x2+x x0 = 0 poniewa w(0) = 0504+ 02+ 0 = 0Najatwiej jest odczyta pierwiastki z wielomianu rozoonego na czynniki.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] BezoutJeeli x0jest pierwiastkiem wielomianu w(x), to wielomian w(x) dzieli si przez x x0.Jeeli wielomian w(x) dzieli si przez x x0, to x0jest pierwiastkiem wielomianu w(x).Przykad:w(x) = x3+x22 w(1) = 13+ 122 = 1 + 1 2 = 0Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu x3+x22, a wic ten wielomian moemy podzielina x 1 i nie otrzymamy reszty.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] o pierwiastkach wymiernychJeeli wielomianw(x) = ax3+bx2+cx +dmawspczynniki a,b,c,dcakowite,tojegopierwiastkwcakowitychnaleyszukapo-rd dzielnikw ostatniego wspczynnika d. Twierdzenie to jest prawdziwe dla wielomianwdowolnego stopnia.Przykad:w(x) = x32x2+ 3x 6dzielniki 6 to: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 6, 6Jeeli wielomian w(x) ma pierwiastek cakowity, to jest nim jeden z tych dzielnikw.Jeeli wielomianw(x) = ax3+bx2+cx +dma wspczynniki a, b, c, d cakowite, to jego pierwiastkw wymiernych naley szuka pordliczb postacipqp dzielnik ostatniego wspczynnika dq dzielnik pierwszego wspczynnika aspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wymagania maturalne zdajcy potra: rozwizywa rwnania wielomianoweRwnanie kwadratowe to rwnanie wielomianowe stopnia drugiego.Rozwi przeksztacajc rwnanie: x35x2= 0x39x = 0x3+ 4x = 0 x3+ 3x2+ 2x = 02x3+ 2x212x = 0Rozwi przeksztacajc rwnanie: x3+ 1 = 0x38 = 02x4+ 4x = 0spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] przeksztacajc rwnanie:x35x2= 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki:x35x2= 0x2(x 5) = 0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 5spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] przeksztacajc rwnanie:x39x = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki:x39x = 0x(x29) = 0x(x232) = 0Korzystamy z a2b2= (a b)(a +b).x(x 3)(x + 3) = 0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 3 x3 = 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] przeksztacajc rwnanie:x3+ 4x = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki:x3+ 4x = 0x(x2+ 4) = 0pierwiastki: x1 = 0 nie maspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] przeksztacajc rwnanie:x3+ 3x2+ 2x = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki:x3+ 3x2+ 2x = 0x(x2+ 3x + 2) = 0x2+ 3x + 2 = 0=32412 = 9 8 = 1 = 1 = 1x1=3121=42= 2x2=3+121=22= 1posta iloczynowa:

x (2)

x (1)

= (x + 2)(x + 1)x(x + 2)(x + 1) = 0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 2 x3 = 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] przeksztacajc rwnanie:2x3+ 2x212x = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki:2x3+ 2x212x = 02(x3+x26x) = 02x(x2+x 6) = 0x2+x 6 = 0=1241(6) = 1 + 24 = 25 = 25 = 5x1=1521=62= 3x2=1+521=42= 2posta iloczynowa:

x (3)

(x 2) = (x + 3)(x 2)2x(x + 3)(x 2) = 0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 3 x3 = 2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] przeksztacajc rwnanie:x3+ 1 = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki:x3+ 1 = 0x3+ 13= 0Korzystamy z a3+b3= (a +b)(a2ab +b2)(x + 1)(x2x + 1) = 0x2x + 1 = 0=(1)2411 = 1 4 = 3 < 0, nie ma pierwiastkw(x + 1)(x2x + 1) = 0pierwiastki: x1 = 1 nie maspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] przeksztacajc rwnanie:x38 = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki:x38 = 0x323= 0Korzystamy z a3b3= (a b)(a2+ab +b2)(x 2)(x2+ 2x + 4) = 0x2+ 2x + 4 = 0=22414 = 4 16 = 12 < 0, nie ma pierwiastkw(x 2)(x2+ 2x + 4) = 0pierwiastki: x1 = 2 nie maspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] przeksztacajc rwnanie:2x4+ 4x = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki:2x4+ 4x = 02(x4+ 2x) = 02x(x3+ 2) = 02x

x3+ (32)3

= 0Korzystamy z a3+b3= (a +b)(a2ab +b2)2x

x +32

x232x +

32

2

= 02x

x +32

x232x +34

= 0x232x +34 = 0=

32

241 34 =34 434 = 334 < 0, nie ma pierwiastkw2x

x +32

x232x +34

= 0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 32 nie maspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] przeksztacajc rwnanie:x3+ 2x2+ 3x + 6 = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki:x3+ 2x2+ 3x + 6 = 0x2(x + 2) + 3(x + 2) = 0(x2+ 3)(x + 2) = 0pierwiastki: nie ma x1 = 2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] przeksztacajc rwnanie:2x36x24x + 12 = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki:2x36x24x + 12 = 02x2(x 3) 4(x 3) = 0(2x24)(x 3) = 02(x22)(x 3) = 02

x2(2)2

(x 3) = 0Korzystamy z a2b2= (a b)(a +b)2(x 2)(x +2)(x 3) = 0pierwiastki: x1 = 2 x2 = 2 x3 = 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] korzystajc z dzielnikw:x32x25x + 6 = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki, korzystajc z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.x32x25x + 6 = 0Dzielniki 6 to: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 6, 6w(1) = (1)32(1)25(1) + 6 = 1 2 + 5 + 6 = 8w(1) = 1321251 + 6 = 1 2 5 + 6 = 0Liczba1jestpierwiastkiemwielomianu, awiczgodnieztwierdzeniemBezoutwielomianx32x25x + 6 dzieli si na x 1 bez reszty.(x32x25x + 6) : (x 1) = x2x 6x32x25x + 6 = (x 1)(x2x 6)(x 1)(x2x 6) = 0x2x 6 = (x + 2)(x 3)(x 1)(x + 2)(x 3) = 0pierwiastki: x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected](x32x25x+6) : (x 1) = x2x 6x3+x2= x25xx2x=6x+66x6==spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 6 = 0 = (1)241(6) = 1 + 24 = 25 = 25 = 5x1= (1) 521=1 52= 42= 2x2= (1) + 521=1 + 52=62= 3posta iloczynowa:

x (2)

(x 3) = (x + 2)(x 3)x2x 6 = (x + 2)(x 3)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] korzystajc z dzielnikw:x34x23x + 18 = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki, korzystajc z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.x34x23x + 18 = 0Dzielniki 18 to: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9, 18, 18w(1) = (1)34(1)23(1) + 18 = 1 4 + 3 + 18 = 16w(1) = 1341231 + 18 = 1 4 3 + 18 = 12w(2) = (2)34(2)23(2) + 18 = 8 16 + 6 + 18 = 0Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu, a wic zgodnie z twierdzeniem Bezout wielomianx34x23x + 18 dzieli si na x (2) = x + 2 bez reszty.(x34x23x + 18) : (x + 2) = x26x + 9x34x23x + 18 = (x + 2)(x26x + 9)(x + 2)(x26x + 9) = 0x26x + 9 = (x 3)2(x + 2)(x 3)2= 0pierwiastki: x1 = 2 x2 = 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected](x34x2 3x+18) : (x + 2) = x26x + 9x32x2= 6x2 3x6x2+12x= 9x+189x18= =spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] + 9 = 0 = (6)2419 = 36 36 = 0x1= (6)21=62= 3posta iloczynowa: (x 3)2x26x + 9 = (x 3)2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] korzystajc z dzielnikw:x3x23x 9 = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki, korzystajc z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.x3x23x9 = 0Dzielniki -9 to: 1, 1, 3, 3, 9, 9w(1) = (1)3(1)23(1) 9 = 1 1 + 3 9 = 8w(1) = 131231 9 = 1 1 3 9 = 12w(3) = (3)3(3)23(3) 9 = 27 9 + 9 9 = 35w(3) = 333233 9 = 27 9 9 9 = 0Liczba3jestpierwiastkiemwielomianu, awiczgodnieztwierdzeniemBezoutwielomianx3x23x 9 dzieli si na x 3 bez reszty.(x3x23x 9) : (x 3) = x2+ 2x + 3x3x23x 9 = (x 3)(x2+ 2x + 3)(x 3)(x2+ 2x + 3) = 0x2+ 2x + 3 = 0= 22413 = 4 12 = 8 < 0, nie ma pierwiastkw(x 3)(x2+ 2x + 3) = 0pierwiastki: x1 = 3 nie maspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected](x3 x23x9) : (x 3) = x2+ 2x + 3x3+3x2= 2x23x2x2+6x= 3x93x+9==spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] liczboweliczby naturalne: N0,1,2,3,4,. . .liczby cakowite: C0,-1,1,-2,2,-3,3,. . .liczby wymierne: Wliczby, ktre moemy przedstawi w postacipq, gdzie p i qs liczbami cakowitymi.przykady: 0, 5, 4,12, 23, 415liczby niewymierne: R`Wprzykady:2,5, , 1 7liczby rzeczywiste: Rwszystkie liczby jakimi si posugujemy w szkole redniej.liczby pierwsze to liczby naturalne wiksze od 1, ktre dziel si tylko przez 1 i sam siebie:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, . . .spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wielomianowaPrzykady:x42x3+ 5x > 0 2x3+ 3x24 0 x(x 3)2(x + 4)3> 0Nierwnoci wielomianowe rozwizujemy najczciej tak:1. rozkadamy wielomian na czynniki2. odczytujemy pierwiastki3. odczytujemy krotno pierwiastkw4. zaznaczymy pierwiastki na osi liczbowej5. rysujemy przybliony wykres wielomianu zaczynajc zawsze od prawejstronyod gry, jeeli wielomian zaczyna si od liczby dodatniejod dou, jeeli wielomian zaczyna si od liczby ujemnej6. rysowany wykresprzecina o dla pierwiastkw o krotnoci nieparzystejodbija si od osi dla pierwiastkw o krotnoci parzystej7. zaznaczamy na zielono dla znakw:< cz wykresu pod osi x> ` cz wykresu nad osi x8. dla znakw ` zaznaczamy w miejscach zerowych< > zaznaczamy w miejscach zerowych9. rysujemy przedzia odpowiadajcy zielonej czci wykresu10. zapisujemy rozwizaniespis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] pierwiastka wielomianuKrotnopierwiastkatowartopotgiprzyxlubnawiasie,jeeliwielomianjestrozoonyna czynniki.Przykady:x2(x + 1)3(x 2)4pierwiastki: x1 = 0 x2 = 1 x3 = 2krotno: 2 3 4x(x 2)5(x + 3)pierwiastki: x1 = 0 x2 = 2 x3 = 3krotno: 1 5 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wymagania maturalne zdajcy potra: okrela krotno pierwiastka wielomianuRozwi nierwnoci: x(x 3)(x + 2) > 0x(x + 1)2(x 2)3` 0 x2(x 1) < 02x(x + 1)(x + 5)4(x 3) 0Rozwi nierwnoci: x3+ 2x23x > 0x3+ 3x2+ 3x + 9 0 2x3+ 18x248x + 32 > 0spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 0 3Rozwi nierwno:x(x 3)(x + 2) > 0Rozwizanie:Nierwnoci wielomianowex(x 3)(x + 2) > 0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 3 x3 = 2krotno: 1 1 1x (2, 0) (3, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 0 2Rozwi nierwno:x(x + 1)2(x 2)3` 0Rozwizanie:Nierwnoci wielomianowex(x + 1)2(x 2)3` 0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 1 x3 = 2krotno: 1 2 3x (, 0` '2, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 1Rozwi nierwno:x2(x 1) < 0Rozwizanie:Nierwnoci wielomianowex2(x 1) < 0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 1krotno: 2 1x (1, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] -1 0 3Rozwi nierwno:2x(x + 1)(x + 5)4(x 3) 0Rozwizanie:Nierwnoci wielomianowe2x(x + 1)(x + 5)4(x 3) 0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 1 x3 = 5 x = 3krotno: 1 1 4 1x 5 '1, 0` '3, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 0 1Rozwi nierwno:x3+ 2x23x > 0Rozwizanie:Nierwnoci wielomianowex3+ 2x23x > 0x(x2+ 2x 3) > 0x2+ 2x 3 = (x + 3)(x 1)x(x + 3)(x 1) > 0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 3 x3 = 1krotno: 1 1 1x (3, 0) (1, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]+ 2x 3 = 2241(3) = 4 + 12 = 16 = 16 = 4x1= 2 421= 62= 3x2= 2 + 421=22= 1posta iloczynowa:

x (3)

(x 1) = (x + 3)(x 1)x2+ 2x 3 = (x + 3)(x 1)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] nierwno:x3+ 3x2+ 3x + 9 0Rozwizanie:Nierwnoci wielomianowex3+ 3x2+ 3x + 9 0x2(x + 3) + 3(x + 3) 0(x2+ 3)(x + 3) 0pierwiastki: nie ma x1 = 3krotno: 1x (, 3`spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 4Rozwi nierwno:2x3+ 18x248x + 32 > 0Rozwizanie:Nierwnoci wielomianowe2x3+ 18x248x + 32 > 02(x39x2+ 24x 16) > 0x39x2+ 24x 16 = (x 1)(x28x + 16)2(x 1)(x28x + 16) > 0x28x + 16 = (x 4)22(x 1)(x 4)2> 0pierwiastki: x1 = 1 x2 = 4krotno: 1 2x (, 1)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wielomian na czynniki, korzystajc z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.x39x2+ 24x16Dzielniki -16 to: 1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 8, 16, 16w(1) = (1)39(1)2+ 24(1) 16 = 1 9 24 16 = 50w(1) = 13912+ 241 16 = 1 9 + 24 16 = 0Liczba1jestpierwiastkiemwielomianu, awiczgodnieztwierdzeniemBezoutwielomianx39x2+ 24x 16 dzieli si na x 1 bez reszty.(x39x2+24x16) : (x 1) = x28x + 16x3+x2= 8x2+24x8x28x= 16x1616x+16= =x39x2+ 24x 16 = (x 1)(x28x + 16)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] + 16 = (8)24116 = 16 16 = 0x1= (8)21=82= 4posta iloczynowa: (x 4)2x28x + 16 = (x 4)2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wymierneFunkcja wymierna to funkcja postaci:y =w(x)p(x)w(x), p(x) wielomianyPrzykady:y =x2+ 3x23x + 1y =x + 5x 2y =x3+x215x2+ 4spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] funkcji wymiernejDziedzin funkcji wymiernej wyznaczamy znajdujc pierwiastki mianownika.Przykady:y =5x 2dla x = 2 mianownik jest rwny 0D = R` 2 wszystkie liczby rzeczywiste oprcz 2.y =2x + 4x29dla x = 3 lub x = 3 mianownik jest rwny 0D = R` 3, 3 wszystkie liczby rzeczywiste oprcz 3, 3.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k ijakub@matematyka.pisz.plwww.matematyka.pisz.plxyxyxyHiperbolaNajprostsze funkcje wymierne.Przykady:y =1xy =2xy = 2xWykres tych funkcji to hiperbola.Asymptota to prosta do ktrej wykres si zblia, lecz jej nie dotyka.O x to asymptota pozioma hiperboli.O yto asymptota pionowa hiperboli.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wymagania maturalne zdajcy potra: rozwizywa rwnania i nierwnoci zwizanez funkcj homogracznRozwi rwnania:

6x+1= 2 4x +6x+1= 4 x+2x+2x5x4=4x2Rozwi nierwnoci:

10x+3 ` 2 2xx+1 x + 24x x > 2 + 13x > 3 / : 3x > 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] nierwno:(0, 125)x` 4x3Rozwizanie:Wykorzystujc wzory, naley doprowadzi potgi w nierwnoci do jednakowych podstaw:

1251000

x` (22)x3

18

x` 22(x3)(81)x` 22x68x` 22x6(23)x` 22x623x` 22x6Podstawy potg s jednakowe i wiksze od 1. Funkcja wykadnicza jest wic rosnca, dlategonie odwracamy znaku nierwnoci.3x ` 2x 63x 2x ` 65x ` 6 / : (5)x 65x 115spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] nierwno:

23

4x2>

94

2x3Rozwizanie:Wykorzystujc wzory, naley doprowadzi potgi w nierwnoci do jednakowych podstaw:

23

4x2>

94

2x3

23

4x2>

32

2

2x3

23

4x2>

32

2(2x3)

23

4x2>

32

4x6

23

4x2>

23

1

4x6

23

4x2>

23

1(4x6)

23

4x2>

23

4x+6Podstawypotgsjednakowei mniejszeod1. Funkcjawykadniczajest wicmalejca,dlatego odwracamy znak nierwnoci.4x 2 < 4x + 6dalejspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 2 < 4x + 64x + 4x < 6 + 28x < 8 / : 8x < 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] nierwno:4(8)x3

2216

1xRozwizanie:Wykorzystujc wzory, naley doprowadzi potgi w nierwnoci do jednakowych podstaw:4(8)x3

2216

1x22 (812)x3

221224

1x22 812(x3)

21+1224

1x22 (23)12(x3)

211224

1x22 232(x3) (21124)1x22+32x92 (2212)(1x)22+32x412 2212(1x)Podstawy potg s jednakowe i wiksze od 1. Funkcja wykadnicza jest wic rosnca, dlategonie odwracamy znaku nierwnoci.2 +32x 412 212(1 x)dalejspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] + 32x 412 212(1 x)2 412 + 32x 212 + 212x212 + 32x 212 + 212x32x 212x 212 + 21232x 52x 022x 0x 0 / : (1)x ` 0spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected], twierdzenia, denicjelogarytmwykres funkcji logarytmicznejwzoryrozwizane zadaniaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:log2 8 logarytm o podstawie 2 z 8log4 16 logarytm o podstawie 4 z 16log 1000 logarytm dziesitny z 1000 (ma w podstawie 10)logarytm o podstawie a z liczby b:logabwarunki dla podstawy a: a > 0 i a = 1warunki dla liczby b: b > 0Denicja logarytmu:logab = x jeeli ax= bPrzykady:log2 8 = 3 dlatego, e 23= 8log4 16 = 2 dlatego, e 42= 16log 1000 = 3 dlatego, e 103= 1000spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]: Przykady:loga 1 = 0 log3 1 = 0 log121 = 0logaa = 1 log3 3 = 1 log1212= 1logaak= k log2 23= 3 log5 53= 3logaxk= k logax log3 25= 5 log3 2 log 34= 4 log 3aloga x= x 3log3 5= 5 (12)log 127= 7loga(xy) = logax + logay log2(35) = log2 3 + log2 5log3(93) = log3 9 + log33logaxy= logax logay log235= log2 3 log2 5log339= log33 log3 9logab =logcblogcalog2 3 =log11 3log11 2c dowolna liczba speniajca warunki log2 3 =log15 3log15 2logab =1logbalog3 8 =1log8 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] funkcji logarytmicznejWykres funkcji logarytmicznej:y = logaxzaley od podstawy a.Dla a > 1 funkcja logarytmiczna jest rosnca:Przykady:y = log2xy = log5xy = log2xDla 0 < a < 1 funkcja logarytmiczna jest malejca:Przykady:y = log0,3xy = log12xFunkcja logarytmiczna jest rnowartociowaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wymagania maturalne zdajcy potra: posugiwa si wasnociamifunkcji logarytmicznejoblicz: log3 9log313 log2 0, 5log4 4 log55log3 1log 100log 0, 1 log1000log5 0, 04oblicz: log2 22log3 927log5525 log10101000oblicz: log4 8log25 5log10 100log22 4spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:log3 9Rozwizanie:Wykoszystujc wzory, doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog3 9 = log3 32= 2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:log313Rozwizanie:Wykoszystujc wzory, doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog313= log3 31= 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:log2 0, 5Rozwizanie:Wykoszystujc wzory, doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog2 0, 5 = log212= log2 21= 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:log4 4Rozwizanie:Wykoszystujc wzory, doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog4 4 = log4 41= 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:log55Rozwizanie:Wykoszystujc wzory, doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog55 = log5 512=12spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:log3 1Rozwizanie:Wykoszystujc wzory, doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog3 1 = log3 30= 0spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:log 100Rozwizanie:Wykoszystujc wzory, doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog 100 = log 102= 2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:log 0, 1Rozwizanie:Wykoszystujc wzory, doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog 0, 1 = log110= log 101= 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:log1000Rozwizanie:Wykoszystujc wzory doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog1000 = log 100012= log(103)12= log 1032=32spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:log5 0, 04Rozwizanie:Wykoszystujc wzory doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog5 0, 04 = log54100= log5125= log5 251= log5(52)1= log5 52= 2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:log2 22Rozwizanie:Wykorzystujemy loga(xy) = logax + logay, a nastpnie za pomoc wzorw, doprowa-dzamy logarytm do postaci: logaak= klog2 22 = log2 2 + log22 = 1 + log2 212= 1 + 12= 112spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:log3 927Rozwizanie:Wykorzystujemy loga(xy) = logax + logay, a nastpnie za pomoc wzorw, doprowa-dzamy logarytm do postaci: logaak= klog3 927 = log3 9 + log327 = log3 32+ log3 2712= 2 + log3(33)12== 2 + log3 332= 2 + 32= 2 + 112= 312spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:log5525Rozwizanie:Wykorzystujemy logaxy= logax logay, a nastpnie za pomoc wzorw, doprowadzamylogarytm do postaci: logaak= klog5525= log55 log5 25 = log5 512log5 52=12 2 = 112spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:log 10101000Rozwizanie:Wykorzystujemy logaxy= logax logayi loga(xy) = logax + logay,anastpnieza pomoc wzorw, doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog 10101000= log 1010 log 1000 = log 10 + log10 log 103== 1 + log 10123 = 1 + 12 3 = 112 3 = 112spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:log4 8Rozwizanie:Wykorzystujemy logab =logcblogca, a nastpnie za pomoc wzorw,doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog4 8 =log2 8log2 4=log2 23log2 22=32spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:log25 5Rozwizanie:Wykorzystujemy logab =logcblogca, a nastpnie za pomoc wzorw,doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog25 5 =log5 5log5 25=1log5 52=12spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:log10 100Rozwizanie:Wykorzystujemy logab =logcblogca, a nastpnie za pomoc wzorw,doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog10 100 =log 100log10=log 102log 1012=212= 2 :12= 2 21= 4spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected]:log22 4Rozwizanie:Wykorzystujemy logab =logcblogcaloga(xy) = logax + logay, a nastpnie za pomocwzorw, doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog22 4 =log2 4log2 22=log2 22log2 2 + log22=log2 22log2 2 + log2 212=21 +12== 2 : 112= 2 :32= 2 23=43= 113spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected], denicje, twierdzenia (Logarytmy)LogarytmWzoryWykres funkcji logarytmicznejspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wymagania maturalne zdajcy potra: rozwizywa rwnania logarytmiczneRozwi rwnanie: log2x = 3log0,5x = 4Rozwi rwnanie: 2 + log3(2x + 1) = log3(5x + 22)log2(x + 1) + log2(x + 3) = 3 log5(x 1) log5(4x + 1) = log5x55spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie:log2x = 3Rozwizanie:Korzystamy z denicji logarytmu:log2x = 3x = 23x = 8spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie:log0,5x = 4Rozwizanie:Korzystamy z denicji logarytmu:log0,5x = 4x = 0, 54x =

12

4x =116spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] rwnanie:2 + log3(2x + 1) = log3(5x + 22)Rozwizanie:Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Logarytmowa moemy tylko liczby dodatnie, dlatego:2x + 1 > 0 i 5x + 22 > 02x > 1 / : 2 5x > 22 / : 5x > 12x > 225x > 425D = (12, )2 + log3(2x + 1) = log3(5x + 22)x = 1Rozwizanie naley do dziedziny.Odp. x = 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] + log3(2x + 1) = log3(5x + 22)Korzystamy z logaak= klog3 32+ log3(2x + 1) = log3(5x + 22)log3 9 + log3(2x + 1) = log3(5x + 22)Korzystamy z loga(xy) = logax + logay:log3 9(2x + 1) = log3(5x + 22)Funkcja logarytmiczna jest rnowartociowa, wic moemy opuci logarytmy:9(2x + 1) = 5x + 2218x + 9 = 5x + 2218x 5x = 22 913x = 13 / : 13x = 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] -1Rozwi rwnanie:log2(x + 1) + log2(x + 3) = 3Rozwizanie:Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Logarytmowa moemy tylko liczby dodatnie, dlatego:x + 1 > 0 i x + 3 > 0x > 1 x > 3D = (1, )log2(x + 1) + log2(x + 3) = 3x1 = 5 x2 = 1Tylko x1 = 1 naley do dziedziny.Odp. x = 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected](x + 1) + log2(x + 3) = 3Korzystamy z loga(xy) = logax + logay:log2(x + 1)(x + 3) = 3Korzystamy z denicji logarytmu:(x + 1)(x + 3) = 23(x + 1)(x + 3) = 8x2+ 3x +x + 3 = 8x2+ 3x +x + 3 8 = 0x2+ 4x 5 = 0 = 4241(5) = 16 + 20 = 36 = 36 = 6x1= 4 621= 102= 5x2= 4 + 621=22= 1x1 = 5 x2 = 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 5Rozwi rwnanie:log5(x 1) log5(4x + 1) = log5x 55Rozwizanie:Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Logarytmowa moemy tylko liczby dodatnie, dlatego:x 1 > 0 i 4x + 1 > 0 ix55> 0 /5x > 1 4x > 1 / : 4 x 5 > 0x > 14x > 5D = (5, )log5(x 1) log5(4x + 1) = log5x 55x1 = 0 x2 = 6Tylko x2 = 6 naley do dziedziny.Odp. x = 6spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected](x 1) log5(4x + 1) = log5x 55log5(x 1) = log5x 55+ log5(4x + 1)Korzystamy z loga(xy) = logax + logay:log5(x 1) = log5x 55 (4x + 1)Funkcja logarytmiczna jest rnowartociowa, wic moemy opuci logarytmy:x 1 =x 55 (4x + 1) /55(x 1) = (x 5)(4x + 1)5x 5 = 4x2+x 20x 55x 5 = 4x219x 55x 5 4x2+ 19x + 5 = 04x2+ 24x = 04(x26x) = 04x(x 6) = 0x1 = 0 x2 = 6spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wymagania maturalne zdajcy potra: rozwizywa nierwnoci logarytmiczneRozwi nierwnoci: log3(x 3) > 2log0,5(3x 2) ` 1 log3(2x 7) 2 log3(8 x)log13(4x + 1) > 2 log13(2x 3)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 12Rozwi nierwno:log3(x 3) > 2Rozwizanie:Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Logarytmowa moemy tylko liczby dodatnie, dlatego:x 3 > 0x > 3D = (3, )log3(x 3) > 2x (12, )Zaznaczamy na jednym rysunku dziedzin i rozwizanie nierwnoci:Rozwizanie to cz wsplna:x (12, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected](x 3) > 2Korzystamy z logaak= klog3(x 3) > log3 32Podstawy logarytmw s jednakowe i wiksze od 1. Funkcja logarytmiczna jest wic rosnca,dlatego nie odwracamy znaku nierwnoci.x 3 > 32x 3 > 9x > 9 + 3x > 12x (12, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] nierwno:log0,5(3x 2) ` 1Rozwizanie:Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Logarytmowa moemy tylko liczby dodatnie, dlatego:3x 2 > 03x > 2 / : 3x >23D=

23,

log0,5(3x 2) ` 1x

, 113

Zaznaczamy na jednym rysunku dziedzin i rozwizanie nierwnoci:Rozwizanie to cz wsplna:x

23, 113

spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected],5(3x 2) ` 1Korzystamy z logaak= klog0,5(3x 2) ` log0,5 0, 51Podstawy logarytmw s jednakowe i mniejsze od 1. Funkcja logarytmiczna jest wic male-jca, dlatego odwracamy znak nierwnoci.3x 2 0, 513x 2

12

13x 2 2 3x 2 + 23x 4 / : 3x 43x 113x

, 113

spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 6128Rozwi nierwno:log3(2x 7) 2 log3(8 x)Rozwizanie:Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.D =

312, 8

log3(2x 7) 2 log3(8 x)x (, 5`

612,


312, 5

612, 8

spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected](2x 7) 2 log3(8 x)Wyznaczamy dziedzin. Logarytmowa moemy tylko liczby dodatnie, dlatego:2x 7 > 0 i 8 x > 02x > 7 / : 2 x > 8 / : (1)x >72x < 8x > 312D =

312, 8

spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected](2x 7) 2 log3(8 x)log3(2x 7) + log3(8 x) 2Korzystamy z loga(xy) = logax + logay:log3(2x 7)(8 x) 2Korzystamy z logaak= klog3(2x 7)(8 x) log3 32Podstawy logarytmw s jednakowe i wiksze od 1. Funkcja logarytmiczna jest wic rosnca,dlatego nie odwracamy znaku nierwnoci.(2x 7)(8 x) 32(2x 7)(8 x) 916x 2x256 + 7x 916x 2x256 + 7x 9 02x2+ 23x 65 0x (, 5`

612,

spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] 6122x2+ 23x 65 0Rozwizujemy nierwno kwadratow: = 2324(2)(65) = 529 520 = 9 = 9 = 3x1= 23 32(2)= 264= 624= 612x2= 23 + 32(2)= 204= 5x (, 5`

612,

spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] nierwno:log13(4x + 1) > 2 log13(2x 3)Rozwizanie:Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.D=

112,

log13(4x + 1) 2 log13(2x 3)x

34, 2


112, 2

spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected](4x + 1) > 2 log13(2x 3)Wyznaczamy dziedzin. Logarytmowa moemy tylko liczby dodatnie, dlatego:4x + 1 > 0 i 2x 3 > 04x > 1 / : 4 2x > 3 / : 2x > 14x >32x > 112D =

112,

spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected](4x + 1) > 2 log13(2x 3)log13(4x + 1) + log13(2x 3) > 2Korzystamy z loga(xy) = logax + logay:log13(4x + 1)(2x 3) > 2Korzystamy z logaak= klog13(4x + 1)(2x 3) > log13

13

2Podstawy logarytmw s jednakowe i mniejsze od 1. Funkcja logarytmiczna jest wic male-jca, dlatego odwracamy znak nierwnoci.(4x + 1)(2x 3) 0Przykady:3, 6, 9, 12,. . . an = 3n1, 4, 9, 16,. . . an = n21, 3, 5, 7,. . . an = 2n 1Denicja cigu malejcegoDla kadego n naturalnego: an+1 an< 0Przykady:3, 6, 9, 12, . . . an = 3n1, 4, 9, 16, . . . an = n21, 3, 5, 7, . . . an = 2n + 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] arytmetycznya1 pierwszy wyraz cigur rnica cigu arytmetycznegoDenicja:Kolejny wyraz cigu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego rnicy r.an+1 = an +rPrzykady:a1 = 2 r = 3 2, 5, 8, 11, 14, 17, . . .a1 = 4 r = 2 4, 2, 0, 2, 4, 6, . . .a1 = 5 r = 4 5, 1, 3, 7, 11, 15, . . .nty wyraz cigu arytmetycznegoan = a1 + (n 1)rsuma npocztkowych wyrazw cigu arytmetycznegoSn =a1 +an2 nwasno cigu arytmetycznegoan =an1 +an+12spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] i ich granicewzory, twierdzenia, denicjemonotoniczno cigucig arytmetycznycig geometrycznykapitalizacja odseteknieskoczony cig geometrycznyproste granice cigurozwizane zadaniaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] wymagania maturalne zdajcy potra: bada czy cig jest arytmetycznyZbadaj, czy cig jest arytmetyczny. an = 3n + 2an = n2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] poniszych cigw arytmetycznych podaj pierwszy wyraz a1i rnic r. Oblicz wartoa30i a40.2, 5, 8, 11, 14, . . .Rozwizanie:a1 = 2Korzystamy z denicjia2 = a1 +r5 = 2 +r5 2 = rr = 3Korzystamy z an = a1 + (n 1)ra30 = 2 + (30 1)3 = 2 + 293 = 89a40 = 2 + (40 1)3 = 2 + 393 = 119spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] poniszych cigw arytmetycznych podaj pierwszy wyraz a1i rnic r. Oblicz wartoa30i a40.10, 7, 4, 1, 2, . . .Rozwizanie:a1 = 10Korzystamy z denicjia2 = a1 +r7 = 10 +r7 10 = rr = 3Korzystamy z an = a1 + (n 1)ra30 = 10 + (30 1)(3) = 10 + 29(3) = 10 87 = 77a40 = 10 + (40 1)(3) = 10 + 39(3) = 10 117 = 107spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] poniszych cigw arytmetycznych oblicz sum pierwszych dwudziestu wyrazw.3, 5, 7, 9, 11, . . .Rozwizanie:Korzystamy z Sn =a1 +an2 nS20 =a1 +a202 20a1 = 3a20liczymy korzystajc z an = a1 + (n 1)r.Najpierw trzeba jednak policzy r.a2= a1 +r5 = 3 +r5 3 = rr = 2a20 = 3 + (20 1)2 = 3 + 192 = 41S20 =a1 +a202 20 =3 + 412 20 =442 20 = 2220 = 440spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] poniszych cigw arytmetycznych oblicz sum pierwszych dwudziestu wyrazw.4, 1, 2, 5, 8, . . .Rozwizanie:Korzystamy z Sn =a1 +an2 nS20 =a1 +a202 20a1 = 4a20liczymy korzystajc z an = a1 + (n 1)r.Najpierw trzeba jednak policzy r.a2= a1 +r1 = 4 +r1 + 4 = rr = 3a20 = 4 + (20 1)3 = 4 + 193 = 53S20 =a1 +a202 20 = 4 + 532 20 =492 20 = 4910 = 490spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected], czy cig jest arytmetyczny.an = 3n + 2Rozwizanie:Korzystamy z denicjian+1 = an +rr = an+1anCig jest cigiem arytmetycznym, jeeli an+1 anjest stae (niezalene od n).an = 3n + 2an+1 = 3(n + 1) + 2 = 3n + 3 + 2 = 3n + 5an+1 an = 3n + 5 (3n + 2) = 3n + 5 3n 2 = 5 2 = 3Odp. Cig an = 3n + 2 jest arytmetyczny.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected], czy cig jest arytmetyczny.an = n2Rozwizanie:Korzystamy z denicjian+1 = an +rr = an+1anCig jest cigiem arytmetycznym, jeeli an+1 anjest stae (niezalene od n).an = n2an+1 = (n + 1)2= n2+ 2n + 1 an+1 an = n2+ 2n + 1 n2= 2n + 1 (zalene od n)Odp. Cig an = n2nie jest arytmetyczny.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] monotoniczno cigu arytmetycznego.an = 5n 2Rozwizanie:Korzystamy z denicjian = 5n 2an+1 = 5(n + 1) 2 = 5n + 5 2 = 5n + 3an+1 an = 5n + 3 (5n 2) = 5n + 3 5n + 2 = 3 + 2 = 5 > 0Odp. Cig an = 5n 2 jest rosncy.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] monotoniczno cigu arytmetycznego.an = 3 2nRozwizanie:Korzystamy z denicjian = 3 2nan+1 = 3 2(n + 1) = 3 2n 2 = 1 2nan+1 an = 1 2n (3 2n) = 1 2n 3 + 2n = 1 3 = 2 < 0Odp. Cig an = 3 2n jest malejcy.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] cig arytmetyczny majc dane.a2 = 5 a3 = 7Rozwizanie:Wyznaczy cig arytmetyczny oznacza, e naley poda jego pierwszy wyraz a1i rnic r.Korzystamy z denicjia3 = a2 +r7 = 5 +r7 5 = rr = 2a2 = a1 +r5 = a1 + 25 2 = a1a1 = 3Odp. a1 = 3 r = 2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k [email protected] cig arytmetyczny majc dane.a5 = 18 a6 = 21Rozwizanie:Wyznaczy cig arytmetyczny oznacza, e naley poda jego pierwszy wyraz a1i rnic r.Korzystamy z denicjia6 = a5 +r21 = 18 +r21 18 = rr = 3a1policzymy z an = a1 + (n 1)ra5 = a1 + (5 1)r18 = a1 + 4318 = a1 + 1218 12 = a1a1 = 6Odp. a1 = 6 r = 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowsz

Documents

matematyka po polsku