I UVODNI DIO

Naslovna tema mog rada je matematička logika, skupovi i relacije to ujedno predstavlja i predmet moga rada. Neću se baviti dubljim istraživanjem ove teme već pokušati objasniti osnovne pojmove, osobine matematičke logike, skupova i relacija.

II CENTRALNI DIO

MATEMATIČKA LOGIKA

Matematička logika je disciplina koja proučava vrste pravilnog mišljenja i zaključivanja.Otac matematičke logike je Aristotel(384-322 pne).Osnove logike postavljene su u njegvom djelu Organon. U Organonu su po prvi put sistematizovana logička znanja i logika zasnovana kao nauka. " Organon " znači "oruđe" a, logika po Aristotelu treba da bude oruđe kojim se služe druge nauke. Od antičkog doba, pa sve do srednjeg vijeka, trajao je period velike stagnacije matematičke logike. Logiku je iz stagnacije pokrenuo britanski matematičar Džordž Bul (1815-1864). On je preveo logiku na jezik matematike ili tačnije na jezik algebre, i time stvorio teoriju koju danas zovemo matematička logika.

Iskazna logikaIskaz je svako tvrđenje koje ima smisla i koje ima jednu i smo jednu istinitost, tj. Ono može biti istinito (tačno) ili neistinito (netačno).Iskaze označavamo slovima : p , q, r, ...p: 4+3=7

7=7 τ ( p )= ┬ istinito (tačno)

q: 4+2=7 6=7 τ ( q )= ┴ neistinito (netačno)

Od iskaza pravimo definisane logičke operacije.

1

KONJUNKCIJAiskaza p i q je iskaz p q (čita se i), koji je tačan samo u slučaju ako su oba iskaza tačna.

DISJUNKCIJAiskaza p i q je iskaz p q (čita se ili), koji je tačan ako je bar jedan od iskaza tačan.

IMPLIKACIJA iskaza p i q je iskaz p q (čita se povlači,implicira), koja je tačna u svim slučajevima , osim u slučaju kada je p tačan, a q netačan.

EKVIVALENCIJAiskaza p i q je iskaz p q (čita se p ako i samo ako q), koja je tačna samo u slučaju ako su iskayi p i q istovremeno i tačni i netačni.

NEGACIJA iskaz p u oznaci ┐p (čita se nije p) je tačna ako je p netačno i obrnuto.

p q p q┬ ┬ ┬

┬┴ ┴

┴┬

┴

┴ ┴ ┴

p q p q┬ ┬ ┬

┬┴

┬

┴┬ ┬

┴ ┴ ┴

p q p q┬ ┬ ┬

┬┴ ┴

┴┬ ┬

┴ ┴┬

p q p q┬ ┬ ┬

┬┴ ┴

┴┬

┴

┴ ┴┬

p ┐p┬

┴

┴┬

2

Iskazna formula je indentički istinita (tautologija) ako je uvijek istinita, nezavisno od toga kakvu vrijednost istinitosti imaju iskazi koji je obrazuju.Iskazna formula se gradi na sledeći način:

1. iskazna slova i konstante (potpuno određeni matematički objekti) su iskazne formule.

2. ako su p i q iskazne formule onda su iskazne formule (p q), (p q ), (pq), (p q), (┐p)

3. iskazna formula se može dobiti samo ako se 1 i 2 primjenjuju konačno mnogo puta.

Metode dokazivanja tautologija:1. tablična metoda2. svođenje na protivriječnost3. svođenje na konjuktivni oblik4. diskusija po iskaznom slovu

Primjer (tablična metoda):Provjeriti da li je iskazna formula tautologija

(p q) r (p r ) (q r )

p q r pq

(p q) r

p r q r (p r ) (q r ) (p q) r (p r ) (q r )

┬ ┬ ┬ ┬ ┬ ┬ ┬ ┬ ┬

┬ ┬┴

┬ ┬ ┬ ┬ ┬ ┬

┬┴

┬┴

┬ ┬ ┬ ┬ ┬

┬┴ ┴ ┴ ┴

┬┴ ┴

┬

┴┬ ┬

┴┬ ┬ ┬ ┬ ┬

┴┬

┴ ┴ ┴ ┴┬

┴┬

┴ ┴┬

┴┬ ┬ ┬ ┬ ┬

┴ ┴ ┴ ┴ ┴┬

┴ ┴┬

Formula je tautologija.

3

SKUPOVISkup je osnovni pojam koji se ne definiše.Skup se sastoji od elemenata. Ako je x element skupa S to se obilježava x S.Negacija ovog iskaza obilježava se x S.Skup se određuje nabrajanjem svih njegovih elemenata ili navođenjem osobina koje posjeduju svi njegovi elementi. Skup prvih 6 prirodnih brojeva

1. nabrajanjem svih njegovih elemenata S={1,2,3,4,5,6}2. navođenjem osobina S={x | x＜ 7}3. Vevovim dijagramom

S

Skupovi se obeležavaju velikim slovima A,B,C,D…, a elementi skupova malim a,b,c,d,… Skup koji ne sadrži ni jedan element nazivamo prazan skup i obilježavamo ga

.

Za dva data skupa A i B kaže da su jednaka ako i samo ako se sastoje od istih elemenata.To se obilježava A=B, pa jeA=B ( x )( x A x B)

Ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B, tada se za skup A kaže da je sadržan u skupu B, odnosno, skup A je podskup B.

4

. 1. 2 . 3 . 5 . 4 . 6

B

A

Simbol (čita se "za svako") je univerzalni kvantifikator.

UNIJA dva skupa A i B, koja se označava sa jeste skup svih elemenata koji pripadaju jednom od skupova A i B.

PRESJEK dva skupa A i B,koji se označava sa , jeste skup sastavljen od elemenata koji pripadaju istovremeno i skupu A i skupu B.

RAZLIKA dva skupa A i B, koja se označava A\B, je skup obrazovan od svih elemenata skupa A koji ne pripadaju skupu B.

Neka su A i B dva neprazna skupa i neka su A\ B i B\ A njihove razlike.Unija skupova A\B i B\A naziva se SIMETRIČNA RAZLIKA.A∆B (A \ B) ( B \ A)

Neka je A podskup skupa S.KOMPLEMENT SKUPA A u odnosu na skup S,

koji se označava sa , jeste skup koji je sastavljen od svih elemenata

skupa S koji nisu elementi skupa A.

Ako je A proizvoljan neprazan skup a P(A) skup svih njegovih podskupova, onda se P(A) naziva PARTITATIVNI SKUP skupa A. P(A)=

UNIVERZALNI SKUP

Svi posmatrani skupovi se nalaze u jednom univerzalnom skupu. Univerzalni skup U je skup koji sve posmatrane skupove sadrži kao svoje podskupove.

KOMPLEMENT SKUPA je skup elemenata iz U koji se ne nalaze u A. U \ A

5

A∆B (A \ B) ( B \ A)

6

Univerzalni skup

RELACIJEBinarnu relaciju na nepraznom skupu A definišemo kao bilo koji podskup

Dekartovog kvadrata : .

Ako kažemo da je x u relaciji sa y.

U ovom primjeru (a,b) pripada relaciji šro pišemo a b dok (c,d) .

Osobine relacije:1. je refleksivna relacija na skupu A akko

2. je simetrična relacija na skupu A akko

3. je tranzitivna relacija na skupu A akko

4. je antisimetrična relacija na skupu A akko

7

akko-ako i samo akoBinarna relacija je RELACIJA EKVIVALENCIJE na skupu A akko je refleksivna, simetrična, tranztivna na skupu A. ( RST )Relaciju ekvivalencije označavamo sa (čita se tilda) Binarna relacija je RELACIJA PORETKA na skupu A akko je refleksivna,antisimetrična, tranztivna na skupu A. ( RAT )Relaciju poretka označavamo sa Neka je relacija ekvivalencije na nepraznom skupu A. KLASA EKVIVALENCIJA elemenata a iy A je skup svih elemenata skupa A koji su u relaciji sa A.

8

III ZAKLJUČNI DIO

Ovim svojim radom sam pokušla objasniti osnovne pojmove,veze i osobine zadane teme.Ova tema je jako široka i ja nemam dovoljno znanja da bi ulazila u dublju analizu i istraživanje.Moj rad se svodi na kratka,sažeta i pecizna objašnjenja pojmova u matematičkoj logici, skupovima, relacijama.

IV BIBLIOGRAFIJA

DR GRADIMIR VOJVODIĆ, PREDAVANJA IZ MATEMATIČKE LOGIKE I ALGEBRE,UNIVERZITET U NOVOM SADU,NOVI SAD, 1998

D. S. MITRINOVIĆ,D. MIHAJLOVIĆ, P.M. VASIĆ, LINENEARNA ALGEBRA, GRAĐEVINSKA KNJIGA, BEOGRAD, 1990

MR VENE T. BOGOSLAVOV, ZBIRKA RJEŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 1, ZAVOD ZA UDŽBENIKE I NASTAVNA SREDSTVA, BEOGRAD,1999

9

V SADRŽAJ

UVODNI DIO 1

CENTRALNI DIO 1

MATEMATIČKA LOGIKA 1

ISKAZNA LOGIKA 1

LOGIČKE OPERACIJE

KONJUNKCIJADISJUNKCIJAIMPLIKACIJAEKVIVALENCIJANEGACIJA 2

ISKAZNE FORMULE 3

SKUPOVI 4

UNIJA 5PRESJEK 5RAZLIKA 5SIMETRIČNA RAZLIKA 5KOMPLEMENT SKUPA 5PARTITATIVAN SKUP SKUP 5UNIVERZALAN SKUP 5GRAFIČKI PRIKAZ OSOBINA SKUPA 6RELACIJE 7OSOBINE RELACIJE 7RELACIJA EKVIVALENCIJE 8RELACIJA PORETKA 8ZAKLJUČNI DIO 9BIBLIOGRAFIJA 9

SADRŽAJ 1010