Matemática · 2020. 10. 16. · IV MEDIO. 2 MATEMá TICA SEMANA 3 GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYO PARA Iv MEDIO ACTIVIDAD N° 1 La principal información que hemos escuchado en este

Material distribuido a establecimientos educacionalesdel Programa Escuelas Arriba y a Establecimientos rurales.

SEMANA 3

Matemática

GUÍA PARA ESTUDIANTES

Guía de actividades de apoyo

Estimado y estimada estudiante:

Las actividades desarrolladas para la presente guía están elaboradas para aplicar diversos modelos que describen fenómenos o situaciones de crecimiento o decrecimiento, que involucran las funciones exponenciales y logarítmicas.

NOMBRE:

CURSO: LETRA: FECHA:

ESTABLECIMIENTO:

IV MEDIO

2

MATEMáTICASEMANA 3

GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA Iv MEDIO

ACTIVIDAD N° 1

La principal información que hemos escuchado en este tiempo en las noticias es sobre un virus que se propaga por el mundo, virus que “crece exponencialmente”.

¿Sabes el significado de un crecimiento exponencial?

Mediante la función exponencial comprenderemos esta situación, a partir de un ejemplo.

Ejemplo:

Durante el invierno, es muy común que la población tenga gripe o resfriado. Supongamos que una persona lo adquiere y propaga al día siguiente a otras dos personas; cada una de ellas contagia a otras dos personas más y así sucesivamente, donde cada persona resfriada contagiará a dos personas.

¿Cuántas personas estarán resfriadas después del cuarto día?

Para responder esta pregunta, haremos un diagrama de árbol, donde el primer contagiado, es decir, quien propaga por primera vez la gripe será el día 0 (cero).

Día 0 1 2 3 4

Contagiados 1 2 4 8 16

3

MATEMáTICASEMANA 3


Este diagrama de árbol lo podemos ir resumiendo en la siguiente tabla:

N° de día 0 1 2 3 4 5 … 10N° de contagiados 1 2 4 8 16 32 … 1.024

Entonces, al cuarto día se determina por 2·2·2·2=16 contagiados, al siguiente contagio, el quinto, serán 2·2·2·2·2=32. Si bien aumenta la cantidad de contagiados, aún no es muy notorio el aumento.

Sin embargo, al décimo día tendremos 1.024 infectados, son muchos más, pero aún controlable.¿Pero qué pasa en el día 20? El contagio será 220=1.048.576, sobre el millar.Y al cabo de 30 días, tendremos 230=2·2·2·2…2=1.073.741.824, lo que representa la población de China o India.

A estas situaciones se les llama crecimiento exponencial.

Gráficos de una función exponencial

1. Una función exponencial es de la forma f(x)=ax=b donde a es la base de la potencia, la que presenta dos restricciones

• 𝑎 > 0 Puesto que si 𝑎=0 𝑎0=𝑎1=𝑎2=𝑎3=𝑎4= ⋯ =𝑎𝑛 00=01=02=03=04= ⋯ =0𝑛 = 0 no es exponencial

• 𝑎 ≠ 0 Puesto que si 𝑎=1 10=11=12=13=14= ⋯ =1𝑛 = 1 no es exponencial

• La variable “x” es independiente y estará en el exponente.

Entonces, el ejemplo mostrado con respecto a la persona que se enferma es un ejemplo de función exponencial f(𝑥)=a𝑥=b, donde nuestra variable, 𝑎>0 y 𝑎≠1 además, 𝑥 es una variable independiente que puede adquirir cualquier valor.

4

MATEMáTICASEMANA 3


Gráfico de una función exponencial donde 𝑎>1

2. Gráfico de 𝑓(𝑥)= 2𝑥

3. Representa sobre el mismo gráfico las siguientes funciones y escribe sus respectivas tablas de datos

• h(𝑥)=3𝑥• g(𝑥)=4𝑥

𝑥 𝑓 (𝑥) 𝑦 Par ordenado

-2 2-2 14 (-2, 14 )

-1 2-1 12 (-1, 12 )

0 20 1 (0,1)

1 21 2 (1,2)

2 22 4 (2,4)

3 23 8 (3,8)

4 24 16 (4,16)

𝑓 (𝑥)=2𝑥

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

5

MATEMáTICASEMANA 3



-2 3-2

-1 3-1

0 30

1 31

2 32

3 33

4 34


-2 4-2

-1 4-1

0 40

1 41

2 42

3 43

4 44

6

MATEMáTICASEMANA 3


ACTIVIDAD N° 2

Características de una función exponencial f (𝑥) = 𝑎x, para todo 𝑎>1

Observa los gráficos de las funciones 𝑓(𝑥)=2𝑥;𝑔(𝑥)=3𝑥;h(𝑥)=4𝑥. Se puede observar que en todas ellas se cumple.

• Las funciones son crecientes.• Las variables independientes 𝑥, se

comportan como asíntotas, es decir, la curva nunca tocará el eje 𝑥.

• Todas estas funciones pasan por el punto (0,1)

• El dominio de todas ellas son todos los reales (ℝ), Dom = {𝑥 e ℝ}

• El recorrido son todos los reales mayores que 0, es decir, Rec = {𝑦 ∈ ℝ > 0}

• A medida que 𝑎 aumenta, la curva se va ensanchando.

i. Grafica las siguientes funciones y analiza si son o no exponenciales mediante la comprobación de las características mencionadas.

• 𝑓(𝑥) = 12 · 2𝑥

• 𝑔(𝑥) = 3(𝑥+1)

𝑥 𝑓(𝑥) = 12 · 2𝑥 𝑦 (𝑥,𝑦)

-3

-2

-1

0

1

2

3

𝑥 𝑔(𝑥) = 3(𝑥+1) 𝑦 (𝑥,𝑦)

-3

-2

-1

0

1

2

3

7

MATEMáTICASEMANA 3


𝑓(𝑥) = 12 · 2𝑥 𝑔(𝑥) = 3(𝑥+1)

8

MATEMáTICASEMANA 3


Qué sucede en una función exponencial f (x) = ax, a < 1. Es decir 0 < a < 1, (a es menor que 0 y a es menor que 1).

1. Si existiera una vacuna que redujera el número de contagios a la mitad ( 12 ) cada día, y las vacunas se aplicaran cuando el número de contagiados es de 16.384 personas.

La función f(x)=16384 · ( 12 )x, nos permitirá determinar a los cuántos días se

terminarán los contagios.

Determina en qué día se terminarían los contagios y realiza el gráfico de la función que muestra el decaimiento de los contagios.

𝑥 𝑓(𝑥) = 16384 · ( 12 )𝑥 𝑦

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14𝑓(𝑥) = 16384 · ( 12 )

𝑥

9

MATEMáTICASEMANA 3


Es decir, a medida que pasan los días la vacuna va disminuyendo diariamente a la mitad los contagiados, hasta llegar al día 14 en que se alcanza 1 contagiado.

2. Grafica las siguientes funciones exponenciales, donde 0< 𝑎

10

MATEMáTICASEMANA 3


𝑓(𝑥) = ( 13 )𝑥 h(𝑥) = ( 14 )

𝑥

Analiza los gráficos y determina lo siguiente:

• ¿Estas curvas pasan por el punto (0, 1)? • Las curvas, ¿son crecientes o decrecientes? • Las curvas, ¿tocan el eje 𝑥? • ¿El eje 𝑥 se comporta como asíntota? • ¿Cuál es el dominio de ambas funciones? • ¿Cuál es el recorrido de ambas funciones?

11

MATEMáTICASEMANA 3


3. Ejercicios

• Un material radioactivo después de transcurrir � años, está dado por la función 𝑓(�)=𝑚·𝑒(-2�), donde 𝑚 es la cantidad de masa inicial. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa mejor la gráfica de la función?

12

MATEMáTICASEMANA 3


• En un cultivo, se duplica la población de bacterias cada un minuto. Si inicialmente había tres bacterias, ¿cuál es la función que describe la cantidad de bacteria p(t) después de 5 minutos?

° �(5)=3·25

° �(5)=65

° �(5)=3+2·5 ° �(5)=6(5-1)

° �(5)=(3·2)(5+1)

• Si 𝑓(�)=3�+ 23 , función exponencial, entonces 𝑓(-2) es igual a

° -2 ° 23 ° 113 ° 79 ° 293

• Si 𝑔(𝑥)=𝑎�+� y g(2)=18, entonces 𝑎 es igual

° -2 ° 2 ° 4 ° 7 ° 8

13

MATEMáTICASEMANA 3


ACTIVIDAD N° 3

1. En un mismo gráfico representa las funciones 𝑓(�)=�2 y la función h(�)=2�• ¿Ambas funciones representan una función exponencial?

Tablas de valores

� 𝑓(�)=�2 � (�,�) � h(�)=2𝑥 � (�,�)

14

MATEMáTICASEMANA 3


15

MATEMáTICASEMANA 3


ACTIVIDAD N° 4

En un mismo gráfico representa las funciones 𝑓(�)= 3� y 𝑔(�)= ( 13 )�

𝑥 𝑓(�)= 3� 𝑦 𝑥 𝑔(�)= ( 13 )� 𝑦

16

MATEMáTICASEMANA 3


17

MATEMáTICASEMANA 3

SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA Iv MEDIO

ACTIVIDAD N° 1

La principal información que hemos escuchado en este tiempo en las noticias es sobre un virus que se propaga por el mundo, virus que “crece exponencialmente”.

¿Sabes el significado de un crecimiento exponencial?

Mediante la función exponencial comprenderemos esta situación, a partir de un ejemplo.

Ejemplo:

Durante el invierno, es muy común que la población tenga gripe o resfriado. Supongamos que una persona lo adquiere y propaga al día siguiente a otras dos personas; cada una de ellas contagia a otras dos personas más y así sucesivamente, donde cada persona resfriada contagiará a dos personas.

¿Cuántas personas estarán resfriadas después del cuarto día?

Para responder esta pregunta, haremos un diagrama de árbol, donde el primer contagiado, es decir, quien propaga por primera vez la gripe será el día 0 (cero).

Día 0 1 2 3 4

Contagiados 1 2 4 8 16

SOLUCIONARIO DE LA GUÍA

18

MATEMáTICASEMANA 3


Este diagrama de árbol lo podemos ir resumiendo en la siguiente tabla:

N° de día 0 1 2 3 4 5 … 10N° de contagiados 1 2 4 8 16 32 … 1.024

Entonces, al cuarto día se determina por 2·2·2·2=16 contagiados, al siguiente contagio, el quinto, serán 2·2·2·2·2=32. Si bien aumenta la cantidad de contagiados, aún no es muy notorio el aumento.

Sin embargo, al décimo día tendremos 1.024 infectados, son muchos más, pero aún controlable.¿Pero qué pasa en el día 20? El contagio será 220=1.048.576, sobre el millar.Y al cabo de 30 días, tendremos 230=2·2·2·2…2=1.073.741.824, lo que representa la población de China o India.

A estas situaciones se les llama crecimiento exponencial.

Gráficos de una función exponencial

1. Una función exponencial es de la forma f(x)=ax=b donde a es la base de la potencia, la que presenta dos restricciones

• 𝑎 > 0 Puesto que si 𝑎=0 𝑎0=𝑎1=𝑎2=𝑎3=𝑎4= ⋯ =𝑎𝑛 00=01=02=03=04= ⋯ =0𝑛 = 0 no es exponencial

• 𝑎 ≠ 0 Puesto que si 𝑎=1 10=11=12=13=14= ⋯ =1𝑛 = 1 no es exponencial

• La variable “x” es independiente y estará en el exponente.

Entonces, el ejemplo mostrado con respecto a la persona que se enferma es un ejemplo de función exponencial f(𝑥)=a𝑥=b, donde nuestra variable, 𝑎>0 y 𝑎≠1 además, 𝑥 es una variable independiente que puede adquirir cualquier valor.

19

MATEMáTICASEMANA 3


Gráfico de una función exponencial donde 𝑎>1

2. Gráfico de 𝑓(𝑥)= 2𝑥

3. Representa sobre el mismo gráfico las siguientes funciones y escribe sus respectivas tablas de datos

• h(𝑥)=3𝑥• g(𝑥)=4𝑥


-2 2-2 14 (-2, 14 )

-1 2-1 12 (-1, 12 )

0 20 1 (0,1)

1 21 2 (1,2)

2 22 4 (2,4)

3 23 8 (3,8)

4 24 16 (4,16)

𝑔 (𝑥)=4𝑥 h (𝑥)=3𝑥

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

20

MATEMáTICASEMANA 3



-2 3-2 19 (-2, 19 )

-1 3-1 13 (-1, 13 )

0 30 1 (0,1)

1 31 3 (1,3)

2 32 9 (2,9)

3 33 27 (3,27)

4 34 81 (4,81)


-2 4-2 116 (-2, 116)

-1 4-1 14 (-1, 14 )

0 40 1 (0,1)

1 41 4 (1,4)

2 42 16 (2,16)

3 43 64 (3,64)

4 44 256 (4,256)

21

MATEMáTICASEMANA 3


ACTIVIDAD N° 2

Características de una función exponencial f (𝑥) = 𝑎x, para todo 𝑎>1

Observa los gráficos de las funciones 𝑓(𝑥)=2𝑥;𝑔(𝑥)=3𝑥;h(𝑥)=4𝑥. Se puede observar que en todas ellas se cumple.

• Las funciones son crecientes.• Las variables independientes 𝑥, se

comportan como asíntotas, es decir, la curva nunca tocará el eje 𝑥.

• Todas estas funciones pasan por el punto (0,1)

• El dominio de todas ellas son todos los reales (ℝ), Dom = {𝑥 e ℝ}

• El recorrido son todos los reales mayores que 0, es decir, Rec = {𝑦 ∈ ℝ > 0}

• A medida que 𝑎 aumenta, la curva se va ensanchando.

i. Grafica las siguientes funciones y analiza si son o no exponenciales mediante la comprobación de las características mencionadas.

• 𝑓(𝑥) = 12 · 2𝑥

• 𝑔(𝑥) = 3(𝑥+1)

𝑥 𝑓(𝑥) = 12 · 2𝑥 𝑦 (𝑥,𝑦)

-3 𝒇(-3) = 12 · 2-3 116 (-3, 116)

-2 𝒇(-2) = 12 · 2-2 18 (-2, 18 )

-1 𝒇(-1) = 12 · 2-1 14 (-1, 14 )

0 𝒇(0) = 12 · 20 12 (0, 12 )

1 𝒇(1) = 12 · 21 1 (1,1)

2 𝒇(2) = 12 · 22 2 (2,2)

3 𝒇(3) = 12 · 23 4 (3,4)

𝑥 𝑔(𝑥) = 3(𝑥+1) 𝑦 (𝑥,𝑦)

-3 𝒈(-3) = 3(-3+1) 19 (-3, 19 )

-2 𝒈(-2) = 3(-2+1) 13 (-2, 13 )

-1 𝒈(-1) = 3(-1+1) 1 (-1,1)

0 𝒈(0) = 3(0+1) 3 (0,3)

1 𝒈(1) = 3(1+1) 9 (1,9)

2 𝒈(2) = 3(2+1) 27 (2,27)

3 𝒈(3) = 3(3+1) 81 (3,81)

22

MATEMáTICASEMANA 3


𝑓(𝑥) = 12 · 2𝑥 𝑔(𝑥) = 3(𝑥+1)

23

MATEMáTICASEMANA 3


Qué sucede en una función exponencial f (x) = ax, a < 1. Es decir 0 < a < 1, (a es menor que 0 y a es menor que 1).

1. Si existiera una vacuna que redujera el número de contagios a la mitad ( 12 ) cada día, y las vacunas se aplicaran cuando el número de contagiados es de 16.384 personas.

La función f(x)=16384 · ( 12 )x, nos permitirá determinar a los cuántos días se

terminarán los contagios.

Determina en qué día se terminarían los contagios y realiza el gráfico de la función que muestra el decaimiento de los contagios.

𝑥 𝑓(𝑥) = 16384 · ( 12 )𝑥 𝑦

0 (𝒙) = 16384 · ( 12 )𝑥 16.384

1 (𝒙) = 16384 · ( 12 )𝑥 8.192

2 (𝒙) = 16384 · ( 12 )𝑥 4.096

3 (𝒙) = 16384 · ( 12 )𝑥 2.048

4 (𝒙) = 16384 · ( 12 )𝑥 1.024

5 (𝒙) = 16384 · ( 12 )𝑥 512

6 (𝒙) = 16384 · ( 12 )𝑥 256

7 (𝒙) = 16384 · ( 12 )𝑥 128

8 (𝒙) = 16384 · ( 12 )𝑥 64

9 (𝒙) = 16384 · ( 12 )𝑥 32

10 (𝒙) = 16384 · ( 12 )𝑥 16

11 (𝒙) = 16384 · ( 12 )𝑥 8

12 (𝒙) = 16384 · ( 12 )𝑥 4

13 (𝒙) = 16384 · ( 12 )𝑥 2

14 (𝒙) = 16384 · ( 12 )𝑥 1

𝑓(𝑥) = 16384 · ( 12 )𝑥

Se eliminarán los contagios cuando solamente tengamos un contagiado, lo que implica

1 = 16384 · ( 12 )𝑥 ⟹ 116384 = log 1

2

( 116384) = � ⟹�=14

24

MATEMáTICASEMANA 3


Es decir, a medida que pasan los días la vacuna va disminuyendo diariamente a la mitad los contagiados, hasta llegar al día 14 en que se alcanza 1 contagiado.

2. Grafica las siguientes funciones exponenciales, donde 0< 𝑎

25

MATEMáTICASEMANA 3


𝑓(𝑥) = ( 13 )𝑥 h(𝑥) = ( 14 )

𝑥

Analiza los gráficos y determina lo siguiente:

• ¿Estas curvas pasan por el punto (0, 1)? • Las curvas, ¿son crecientes o decrecientes? • Las curvas, ¿tocan el eje 𝑥? • ¿El eje 𝑥 se comporta como asíntota? • ¿Cuál es el dominio de ambas funciones?

• ¿Cuál es el recorrido de ambas funciones?

Sí, ambas curvas pasan por el punto (0, 1).Son decrecientes.

No, ninguna tocará el eje de las ordenadas o 𝒙.El eje 𝒙 es asíntota de las funciones.

El dominio de ambas funciones son los

El recorrido de ambas funciones son los números reales (ℝ).

reales mayores que 0.

26

MATEMáTICASEMANA 3


3. Ejercicios

• Un material radioactivo después de transcurrir � años, está dado por la función 𝑓(�)=𝑚·𝑒(-2�), donde 𝑚 es la cantidad de masa inicial. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa mejor la gráfica de la función?

27

MATEMáTICASEMANA 3


• En un cultivo, se duplica la población de bacterias cada un minuto. Si inicialmente había tres bacterias, ¿cuál es la función que describe la cantidad de bacteria p(t) después de 5 minutos?

° 𝒑(5)=3·25

° �(5)=65

° �(5)=3+2·5 ° �(5)=6(5-1)

° �(5)=(3·2)(5+1)

• Si 𝑓(�)=3�+ 23 , función exponencial, entonces 𝑓(-2) es igual a

° -2 ° 23 ° 113 ° 79 ° 293

• Si 𝑔(𝑥)=𝑎�+� y g(2)=18, entonces 𝑎 es igual

° -2 ° 2 ° 4 ° 7 ° 8

28

MATEMáTICASEMANA 3


ACTIVIDAD N° 3

1. En un mismo gráfico representa las funciones 𝑓(�)=�2 y la función h(�)=2�• ¿Ambas funciones representan una función exponencial?

Tablas de valores

� 𝑓(�)=�2 � (�,�)

-4 𝒇(-4)=(-4)2 16 (-4,16)

-3 𝒇(-3)=(-3)2 9 (-3,9)

-2 𝒇(-2)=(-2)2 4 (-2,4)

-1 𝒇(-1)=(-1)2 1 (-1,1)

0 𝒇(0)=(0)2 0 (0,0)

1 𝒇(1)=(1)2 1 (1,1)

2 𝒇(2)=(2)2 4 (2,4)

3 𝒇(3)=(3)2 9 (3,9)

4 𝒇(4)=(4)2 16 (4,16)

� h(�)=2𝑥 � (�,�)

-4 𝒈(-4)=2-4 116 (-4, 116)

-3 𝒈(-3)=2-3 18 (-3, 18 )

-2 𝒈(-2)=2-2 14 (-2, 14 )

-1 𝒈(-1)=2-1 12 (-1, 12 )

0 𝒈(0)=20 1 (0,1)

1 𝒈(1)=21 2 (1,2)

2 𝒈(2)=22 4 (2,4)

3 𝒈(3)=23 8 (3,8)

4 𝒈(4)=24 16 (4,16)

29

MATEMáTICASEMANA 3


𝑓(�)=�2 𝑓(�)=2x

30

MATEMáTICASEMANA 3


ACTIVIDAD N° 4

En un mismo gráfico representa las funciones 𝑓(�)= 3� y 𝑔(�)= ( 13 )�

𝑥 𝑓(�)= 3� 𝑦

-4 𝒇(-4)=(3)-4 181

-3 𝒇(-3)=(3)-3 127

-2 𝒇(-2)=(3)-2 19

-1 𝒇(-1)=(3)-1 13

0 𝒇(0)=(3)0 1

1 𝒇(1)=(3)-1 3

2 𝒇(2)=(3)2 9

3 𝒇(3=(3)3 27

4 𝒇(4)=(3)4 81

𝑥 𝑔(�)= ( 13 )� 𝑦

-4 𝒈(-4) = ( 13 )-4 81

-3 𝒈(-3) = ( 13 )-3 27

-2 𝒈(-2) = ( 13 )-2 9

-1 𝒈(-1) = ( 13 )-1 3

0 𝒈(0) = ( 13 )0 1

1 𝒈(1) = ( 13 )1 1

3

2 𝒈(2) = ( 13 )2 1

9

3 𝒈(3) = ( 13 )3 1

27

4 𝒈(4) = ( 13 )4 1

81

31

MATEMáTICASEMANA 3


𝑓(�)=3x g(�)= 13x

Documents

Matemática · 2020. 10. 16. · IV MEDIO. 2 MATEMá TICA SEMANA 3 GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYO PARA Iv MEDIO ACTIVIDAD N° 1 La principal información que hemos escuchado en este