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MATEMÁTICA 4
Horacio Eliseo Galván
1
MÓDULO N° 4
Contexto Problematizador:
Economía y Desarrollo Sustentable
Situación Problemática:
El avance de la ciencia y la tecnología en la industria y su incidencia en el
aumento de la tasa de desempleo por la reducción de la mano de obra calificada.
Las situaciones problemáticas generan un grado de conflictividad que requiere de
los sujetos el pensar y mirar críticamente la realidad en que están inmersos para
tomar conciencia de su importancia y poder generar acciones transformadoras. En
otras palabras, que logren identificarlas, describirlas y fundamentalmente,
problematizarlas.
Núcleos Conceptuales
Resolución de problemas en diversos contextos utilizando las TICs como
herramienta para la elaboración de modelos matemáticos. Número, operaciones y
lenguaje algebraico. Geometría y medida.
Aprendizajes Socialmente Significativos
Los aprendizajes socialmente significativos, parten de la vinculación de los sujetos
y su contexto y que se validan, no sólo desde la lógica disciplinar, sino que parten
fundamentalmente de los saberes construidos por los estudiantes y se vinculan
con la problematización de los diversos contextos.
Se destacan un conjunto de saberes que construye un sujeto como resultado de
las experiencias vividas, su historia, su cultura y los conocimientos formales que
propone la escuela. Estos saberes son necesarios para afrontar los desafíos del
mundo del trabajo, de la vida política y ciudadana. Esto implica la capacidad de
comprender, interpretar, criticar la realidad e interpelarla a través de nuevos
significados.
En este espacio se propone:
Convertir Magnitudes directas o inversamente proporcionales
Resolver problemas de regla de tres simple directa e inversa
Entender los alcances de las Magnitudes Proporcionales
Resolver Medidas de uso cotidiano
Uso del Sistema Métrico Decimal
Resolver problemas sobre Medidas de longitud, peso, tiempo
Resolver problemas sobre Medidas para líquidos y gases
Entender el concepto de Porcentajes
Resolución del Problemas Utilizando Regla de tres simple directa
Resolución del Problemas Utilizando razones y proporciones
Cálculo de Interés Simple
Interpretar el concepto de Monto, Tasa de Interés
Cálculo de Interés a plazos de 1 año
Cálculo de Interés a plazos anuales, mayores a 1 año
Cálculo de Interés a plazos parciales al año
Cálculo de Interés Compuesto, Monto, Interés, Capital Inicial
Cálculo de Interés Compuesto, Tasa, Período de tiempo, Capital Final
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Horacio Eliseo Galván
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CAPACIDADES ESPECÍFICAS
Usar magnitudes para contextualizar hechos determinados.
Estudiar y analizar solución de problemas con el uso de regla de tres simple
directa e inversa.
Explorar y argumentar relaciones y propiedades de Medidas de longitud,
peso, tiempo, líquidos y gases.
Comprender y encuadrar cantidades dentro de un porcentaje.
Reconocer y aplicar propiedades del Cálculo de Interés Simple y
Compuesto.
Comprender los múltiples usos de las operaciones financieras para
solucionar situaciones cotidianas.
Analizar e interpretar situaciones problemáticas en contextos de compra a
crédito.
Análisis de estrategias de cálculo, selección del tipo de cálculo: mental,
escrito, exacto y aproximado; con y sin uso de calculadora, evaluando la
razonabilidad del resultado obtenido.
Capacidades específicas del campo:
Elaborar mentalmente soluciones al problema presentado.
Intuir posibles caminos y resultados.
Interpretar los ejercicios, planteando coherentemente las soluciones.
Vincula el recurso digital con lo cotidiano, las ciencias naturales y la
tecnología.
Predecir resultados para luego calcular.
Identificar qué datos son conocidos y cuáles son los que debe hallar.
Demostrar cada resultado obtenido verificando su veracidad.
Analizar qué estrategia es la más adecuada para la resolución de un
determinado problema.
Analizar diferentes caminos.
Analizar la coherencia de los resultados.
Opinar sobre diferentes soluciones, planteando otras posibles.
Comparar procesos y resultados con otros compañeros.
Respetar las reglas y propiedades para la resolución de ejercicios y
problemas.
Aplicar la lógica frente a la resolución y a los resultados obtenidos.
Asumir el control de su trabajo, realizándolo de forma tanto autónoma como
colaborativa.
Plan de Acción
Su articulación es un proceso dialéctico de generación de la práctica a partir de
conocimientos teóricos y de construcción conceptual a partir de la práctica.
Los proyectos de acción no son aquí considerados como una estrategia de
aprendizaje más sino como una forma de apropiarse, construir y organizar el
conocimiento promoviendo aprendizajes socialmente significativos y productivos
para los jóvenes y adultos por lo que se los consideran generadores de procesos
de aprendizaje. “En qué consiste” y “por qué” se realizan y “para qué” y “cómo” se
desarrollan los proyectos de acción.
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Del docente:
Ejemplificación de problemas reales, a través de ejercicios de situaciones
problemáticas y su relación con cálculos matemáticos para encontrar resultados.
Adaptación de ejercicios según necesidades reales del alumno.
Vincular contenidos ya aprendidos con la aplicación actual fortaleciendo el hecho
de que matemática es un aprendizaje continuo.
Realización de actividades individuales y grupales para incentivar el trabajo en
equipo.
Fortalecer la interpretación de problemas y resolución mediante ejercicios
matemáticos y lógicos.
CONTENIDO DEL MÓDULO 4
Primer Semestre Funciones Par Ordenado El Plano Cartesiano La función lineal Representación gráfica de la función lineal por tabla de valores Constante de una Función Función Creciente y Decreciente Pendiente y ordenada al origen
Segundo Semestre Noción de Porcentaje Matemática Financiera Interés Simple Monto Tasa de Interés Intereses a plazos de 1 año Intereses a plazos anuales, mayores a 1 año Intereses a plazos parciales al año Unidad de Tiempo Interés Compuesto Monto Interés Capital Inicial Tasa Período de tiempo Capital Final
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Del alumno:
Siendo como somos personas adultas, el acuerdo que se intentará llevar a cabo
es consensuado pero deberá cumplir con pautas claras y valederas. Sabido es
que se tendrán en cuenta las situaciones personales que surjan en el tiempo, que
serán atendidas con la mayor de las consideraciones posibles. Pero del mismo
modo se le pedirá al estudiante respeto por los acuerdos consensuados en la
asistencia a clases, atención durante las mismas, compañerismo y compromiso
con la tarea a realizar.
Visualizar e interpretar información matemática en lo cotidiano (cálculos
combinados, porcentajes, incógnitas, representación gráfica).
Presenciales: Regularidad y compromiso en las clases, realizando trabajos en
término. Participación en la ejemplificación de problemas y resolución de
ejercicios.
Autónomos: Realizando el trabajo alternativo, presentando regularmente avances
y defendiendo su trabajo final al momento de entrega.
Indicadores de las Capacidades
1. Reconocerse como sujeto histórico, político, social y cultural
• Compromiso de participación en espacios educativos y comunitarios.
• Respeto y compromiso ético en las relaciones interpersonales y sociales.
• Respeto por los acuerdos consensuados en diversos ámbitos.
2. Participar en prácticas de expresión y comunicación como proceso de
construcción creativa y solidaria, entre personas y comunidades tendiente a la
igualdad.
• Selección y uso de distintas formas de expresión, apropiadas a variadas
situaciones y contextos, para hacerse escuchar y lograr una efectiva
comunicación.
• Análisis e interpretación de significados que subyacen en los distintos discursos
durante el proceso de comunicación.
• Comunicación de sentimientos, emociones e ideas.
3. Usar en forma crítica, creativa y responsable cualquier artefacto cultural que
permita acceder, distribuir y transformar la información en conocimiento.
• Uso de diversidad de fuentes y artefactos en la presentación de trabajos, tanto
individuales como grupales.
• Selección de diversos medios, soportes o formatos que resulten más adecuados
conforme a la finalidad y al contexto de uso.
• Argumentación acerca de la propia posición en relación con información sobre
temas controversiales o de importancia social.
4. Emplear estrategias cognitivas y metacognitivas que posibiliten la construcción
de conocimientos para analizar, comprender e intervenir en el entorno social,
cultural y natural en el que está inserto.
• Proyección de estrategias de acción individual y colectiva para la construcción de
conocimiento situado. Planificación, monitoreo y evaluación del propio proceso de
aprendizaje.
5. Reconocer el derecho a participar digna y solidariamente en el mundo del
trabajo como realización personal y colectiva.
• Elaboración y/o planificación de proyectos personales -vocacionales u
ocupacionales- a partir de reconocer los intereses, potencialidades y límites que lo
caracterizan como sujeto.
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• Producción de estrategias en la búsqueda de empleo: interpretación de avisos
laborales, elaboración de currículos vitae, cartas de presentación, entrevistas,
entre otros.
• Búsqueda y comprensión de información para planificar acciones y tomar
decisiones en torno a la generación de micro-emprendimientos productivos,
privilegiando las propuestas asociativistas y cooperativistas.
Interpretación de normas que regulan las distintas alternativas del trabajo y la
producción.
6. Comprender y situarse en la complejidad de los contextos socio-culturales
propiciando un diálogo crítico y comprometido que promueva relaciones solidarias
y de respeto en la diversidad.
• Disposición y apertura al diálogo.
• Reconocimiento de prejuicios o condicionantes culturales de quien realiza juicios
de valor.
• Uso del marco jurídico y vías de gestión en situaciones de discriminación o lesión
de derechos individuales y colectivos garantizados por el Estado.
7. Reconocerse como sujetos de prácticas socialmente productivas, políticamente
emancipadoras, culturalmente inclusivas y ecológicamente sustentables.
• Reflexión crítica de la propia práctica social.
• Participación en proyectos y organizaciones socio-comunitarias y socio-
productivas sustentables.
• Cooperación en la elaboración y desarrollo de proyectos de cuidado de la Tierra
que habitan.
8. Aprender de forma autónoma a lo largo de toda la vida.
• Interés por aprender y confianza en sus posibilidades.
• Actitud creativa y responsable frente a los desafíos de aprendizaje.
• Autonomía para gestionar aprendizajes que contribuyan al desarrollo del
proyecto de vida.
Evaluación
Evaluar el proceso es una tarea en donde se deberá establecer una evaluación
inicial para determinar saberes previos.
Será tenido en cuenta además de la apropiación de saberes, el esfuerzo, la
asistencia y todas las cuestiones inherentes al alcance de los objetivos previstos
alcanzar en el módulo. Teniendo en cuenta el proceso del desarrollo de las
capacidades de todos y de cada uno de nosotros, docentes y estudiantes es el
compromiso de esta nueva forma de reparación de derechos en el marco de la
educación permanente.
Rúbrica
Se establece una rúbrica para monitorear los avances de los estudiantes en
función del alcance de sus saberes, sus dificultades y capacidades para que en
cualquier momento pueda ser consultada por la dirección de la escuela como así
también pueda ser compartida la información entre los docentes, y la coordinación.
En dicha rúbrica se registrará diariamente la asistencia, el tema abordado en
clase, las dificultades visibilizadas y los logros conseguidos, mediante una serie de
letras y números que sean en momento de análisis, útiles para la evaluación de su
desempeño.
Material de Estudio y ejercitación
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Funciones
FUNCIÓN:
Si dos conjuntos de valores están relacionados, de manera tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un sólo elemento del segundo conjunto, se dice que dicha relación es una función.
El diagrama que encierra los valores que corresponden a los baldes de cal se llama Conjunto de salida.
El diagrama que encierra los valores que corresponden a los baldes de arena se llama Conjunto de llegada.
La relación entre baldes de cal y arena, nos da como resultado varios valores relacionados de a pares, se les llama pares de valores, se los escribe encerrados entre paréntesis.
Algunos de los pares de valores que se forman, a partir de la relación entre baldes de cal y arena son estos:
(1; 3) (2; 6) (3; 9) (6; 18)
Cada uno de estos pares de valores relacionados se llama par ordenado porque el primer elemento pertenece al conjunto de salida y el segundo elemento pertenece al conjunto de llegada.
PAR ORDENADO: Son dos elementos o números asociados por medio de una relación. El primer elemento pertenece al conjunto de salida y El segundo elemento pertenece al conjunto de llegada.
El primer valor, el 1, se marca en el eje horizontal (abscisas) y el segundo valor, el 3, en el eje vertical (ordenadas). Esos dos valores se les llaman coordenadas del punto. Ese par de valores es un par ordenado, porque “siempre” el primer valor corresponde a la coordenada x, (abscisa) y el segundo valor a la coordenada y (ordenada).
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EL PLANO CARTESIANO
Las relaciones entre números, pueden graficarse en el plano cartesiano, se dibuja a partir de dos rectas perpendiculares, llamadas Ejes Cartesianos, también se le llama Sistema de Ejes Cartesianos.
Al eje horizontal se lo llama eje de abscisas o eje x.
Al eje vertical se lo llama eje de las ordenadas o eje y.
Al punto donde se cortan los ejes se lo llama origen de coordenadas.
DIAGRAMA CARTESIANO
Un diagrama cartesiano es una gráfica en donde en uno de sus ejes (el horizontal)
representamos los valores de “x”. Mientras que en el otro eje (el vertical) los
valores de “y”.
LAS COORDENADAS EN EL PLANO CARTESIANO: Las coordenadas son dos números, es decir un par de valores, que se les denomina par ordenado. En el plano cartesiano se representan los pares de valores surgidos de una
relación, figura representado, con un punto, el par de valores (1; 3). Los puntos
correspondientes al siguiente par ordenado:
(1; 3)
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Representación gráfica de una relación: “1 de cal y 3 de arena”
Pero para poder hacer un gráfico sencillo, nos va a resultar más conveniente tomar, para las “x” como valores, números enteros entre -10 y 10, para de esta manera ubicarlos en el Plano cartesiano. Algunos de los pares ordenados que obtuvimos de la relación son:
(1; 3) (2; 6) (3; 9) (6; 18)
Poder unir los puntos con una línea. Quiere decir que están “alineados”. A partir de la relación establecida en el primer ejemplo, el de la mezcla de
construcción, obtuvimos un conjunto de pares de valores que se pueden
representar en el Plano cartesiano.
FUNCIÓN LINEAL
Una función lineal es una función cuya representación en el plano cartesiano es
una línea recta.
Un diagrama cartesiano es una gráfica en donde se representa la relación entre
dos magnitudes, donde observamos los puntos en donde convergen los valores de
ambos ejes.
Cuando los pares de valores que tenemos en la tabla, se pueden representar en el
Plano cartesiano y es posible trazar la línea recta. Estamos en presencia de una
función lineal.
Esa función lineal puede ser creciente o decreciente.
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FÓRMULA DE CONSTANTE (k) Buscamos entonces la constante “k” en esta relación.
𝑘 =𝑦
𝑥 𝑘 =
3
1
3 : 1 = 3 k = 3
CONVERCIÓN DE FÓRMULAS DESDE LA CONSTANTE (k)
PARA HALLAR VALORES DE (x) e (y)
Mediante el pasaje de términos despejamos “y” pasando “x” que está dividiendo al
otro lado de la igualdad multiplicando, para luego invertir la igualdad y presentar la
fórmula de: ”y”
k = 𝑦
𝑥 k · x = y y = k · x
Mediante el pasaje de términos despejamos “x” pasando “y” que está multiplicando
al otro lado de la igualdad dividiendo.
k = 𝑦
𝑥 k · x = y x =
𝑦
𝑘
LA FUNCIÓN LINEAL POR TABLA DE VALORES Siendo que los valores de cal están representados en el eje horizontal “x” y la cantidad de arena representada en el eje vertical “y”, la expresión algebraica de dicha relación sería: Para hacer la representación gráfica de una función lineal a partir de una tabla de valores, a la “x” podemos darle cualquier número y calcular el valor de “y” que le corresponde Aplicando la tabla de valores le asignamos cantidades a “x”
k · x = y
x 3 · x = y
1 3 · 1 = 3
2 3 · 2 = 6
3 3 · 3 = 9
4 3 · 4 = 12
5 3 · 5 = 15
GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN LINEAL CRECIENTE En una función de proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta, la
otra también aumenta y si una de las variables disminuye, la otra también
disminuye.
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En estos casos hablamos de una función lineal creciente, ya que a medida que los valores de “x” crecen los valores de “y” lo hacen también. El gráfico correspondiente a una relación de proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el punto de origen de un sistema de coordenadas cartesianas.
x - 2 - 1 0 1 2
y - 4 - 2 0 2 4
GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN LINEAL DECRECIENTE
En este caso hablamos de una función lineal decreciente, ya que a medida que los valores de “x” aumentan, los valores de “y” disminuyen.
x - 6 - 3 0 2 4
y 4 1 - 2 - 4 - 6
A partir de ir asignándole valores a “x” el resultado de la operación se anota en la tabla de valores generando valores de “y”; hallando pares ordenados que serán marcados en el eje cartesiano.
Para armar una mesa, se necesitan 30 tornillos. ¿Cuántos tornillos necesitamos para armar 6 mesas?,
Buscamos la constante y aplicando la fórmula de “y” y generamos una tabla de valores.
𝑘 = 𝑦 ∶ 𝑥 𝑘 = 30 ∶ 1
𝑘 = 30
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𝑘 · 𝑥 = 𝑦
30 x = y
x 30 · x y
1 30 · 1 30
2 30 ·2 60
3 30 ·3 90
4 30 ·4 120
5 30 ·5 150
6 30 ·6 180
Mesas x 1 2 3 4 5 6 7 8
Tornillos y 30 60 90 120 150 180 210 240
En la tabla de valores observamos que mientras la variable independiente:”x” (mesas), crece. La variable dependiente: ”y” (tornillos) también crece. Por lo que estamos frente a una proporcionalidad directa.
Función Creciente:
Ejemplo: y = 2x +1
x 2 ∙ x +1 = y
-8 2 ∙ (-8) +1= -16 +1= -15
-4 2 ∙ (-4) + 1 = -8 + 1= -7
-2 2 ∙ (-2) + 1 = -4 + 1= - 3
-1 2 ∙ (-1) + 1 = -2 + 1= - 1
0 2 ∙ ( 0 ) + 1 = 0 + 1 = 1
1 2 ∙ ( 1 ) + 1 = 2 + 1= 3
2 2 ∙ ( 2) + 1 = 4 + 1= 5
4 2 ∙ ( 4 ) + 1 = 8 + 1= 9
Función decreciente: Ejemplo: y = 5 – 4x
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x 5 – 4x = y
0 5 – 0 = 5
1 5 – 4 = 1
Función constante:
Una función constante es una función que asigna a cada valor de la variable
independiente x siempre el mismo valor de la variable dependiente. Si ese valor se
denota por k, la fórmula de este tipo de funciones es y = k (y permanece invariable
sea quien sea x).
Ejemplo: y = (x · 0) + 2
Todos los puntos de su gráfica tienen la misma ordenada k, por tanto dicha gráfica es una recta horizontal. Por ejemplo, la gráfica de la función constante y = 2 es:
Pendiente y ordenada al origen.
Una función lineal puede representarse en un diagrama cartesiano usando la
técnica de la pendiente y ordenada al origen.
La ordenada al origen representa al punto donde la recta corta al eje “y”.
La pendiente es el siguiente punto que al unirse con el punto de la ordenada traza
una línea.
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Para una función 𝑦 =3
2𝑥 − 4
ORDENADA AL ORIGEN
- 4 punto donde la recta corta al eje “y”
PENDIENTE
El denominador de la fracción indica las unidades desde el origen hacia la derecha.
El nominador de la fracción indica las unidades desde el nuevo punto hacia arriba
si es positivo y hacia abajo si la fracción es negativa.
Si el número no representa una fracción debemos expresarlo como tal, ya que
todo número entero puede representarse como fracción con denominador 1
3 =3
1
-3 Ordenada al origen (y)
2
3 es la pendiente
Observamos si los puntos de intersección coinciden con los valores de x =
Aplicando la tabla de valores, asignamos cantidades a “x”: -9, -6,-3, 0, 3, 6 y 9.
y =2
3𝑥 − 3
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x 2
3𝑥 − 3 = 𝑦 “y”
-9 2
3𝑥 − 3
2
3· (−9) − 3 −
18
3− 3 −6 − 3 -9
-6 2
3𝑥 − 3
2
3· (−6) − 3 −
12
3− 3 −4 − 3 -7
-3 2
3𝑥 − 3
2
3· (−3) − 3 −
6
3− 3 −2 − 3 -5
0 2
3𝑥 − 3
2
3· (0) − 3 0 − 3 -3
6 2
3𝑥 − 3
2
3· (6) − 3
12
3− 3 4 − 3 1
9 2
3𝑥 − 3
2
3· (9) − 3
18
3− 3 6 − 3 3
Usando el mecanismo de la tabla de valores verificamos que los puntos de
intersección de la recta confeccionada por el mecanismo de pendiente y ordenada
al origen son coincidentes.
Práctico 45
Porcentajes
La palabra porcentaje se refiere a “cuantos de cada 100”. El total de algo en matemática se representa con el número 100 seguido del símbolo %.
100% Cálculo de la cantidad que representa al 100%. Ejemplo: Si 11 alumnos representan el 55% de los chicos que participaron en los intercolegiales ¿Cuántos alumnos hay en total en el aula? Cuando pregunta por “el total de en el aula” se refiere al 100%.
En 1º lugar escribo el planteo % alumnos
55 11 100 x
La proporción que obtenemos de este planteo es 55
100=
11
x
Si aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones
55 ∙ x = 100 ∙ 11
Resolvemos el 2º miembro 55 ∙ x = 1100
Pasamos al 2º miembro el 20 que está multiplicando, dividiendo
x = 1100 : 55
Resolvemos el 2º miembro x = 20
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Respuesta: El total de los alumnos en el aula es de 20.
20
Cálculo de una cantidad menor al 100%. Ejemplo: En una escuela, 11 de 20 alumnos participaron en las competencias intercolegiales. ¿Qué porcentaje representan los competidores sobre el total de los alumnos?
Si lo expresamos como una razón , 11 de cada 20, quedaría así:
11
20
Para reducir a fracción decimal equivalente, multiplicamos el numerador y el denominador por “5”
11 ∙ 5
20 ∙ 5=
55
100
Lo que quiere decir que en principio que
11
20 equivale a
55
100
Expresado como porcentaje quedaría así 55
100 equivale a 55%
Respuesta: El 55% de los alumnos participa de los intercolegiales
55%
Porcentajes
Resolución del Problemas
Utilizando Regla de tres simple DIRECTA:
En principio determinamos que es una regla de tres simple directa porque menor cantidad de alumnos, equivale a menor cantidad de porcentaje. Dado que 20 alumnos es el 100% y 11 alumnos es una parte de ese total, debemos determinar el porcentaje que éstos representan.
La proporción que obtenemos de este planteo es 20
11=
100
x
Si aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones
20 ∙ x = 11 ∙ 100
Resolvemos el 2º miembro 20 ∙ x = 1100
Pasamos al 2º miembro el 20 que está multiplicando, dividiendo
x = 1100 : 20
Resolvemos el 2º miembro x = 55
Respuesta: El 55% de los alumnos participa de los intercolegiales
55%
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Utilizando razones y proporciones Ejemplo: de un total de 12 alumnos, hoy asistieron 9 ¿Qué porcentaje de alumnos están presentes?
12 alumnos …………….100% 9 alumnos………………x %
Aplicando
12
100=
9
𝑥
Planteamos una igualdad multiplicando el nominador de la primera fracción (12) por el denominador de la segunda (9). Y el denominador de la primera fracción (100) por el nominador de la segunda (9)
12 ∙ x = 100 ∙ 9
Resolvemos el segundo miembro 12 ∙ x = 900
Despejamos la incógnita (x) pasando el (12) que está multiplicando al otro miembro dividiendo
x = 900 : 12
Resolvemos el segundo miembro X = 75
Están presentes el 75% de los alumnos 75%
Ejercicio
1. Calcular el 83% de 9500 2. Calcular el 100% de una cantidad cuyo 83% es 9500 3. ¿Qué porcentaje representa $450 de un total de $600? 4. ¿Qué porcentaje representa $560 de un total de $800? 5. Para un producto de $1800 pesos. Si se agrega el IVA. ¿Cuál es el precio
final? 6. Una máquina fabrica al día 450 piezas de las que 18 presentan algún
defecto y se desechan. ¿Qué porcentaje de piezas defectuosas fabricó la máquina?
7. Un partido político obtuvo el 42,5% de los votos. Sobre un total de 4600 votantes. ¿Cuántas personas lo han votado?
8. El precio de una computadora es de $4400. Por pago al contado el descuento es del 15% ¿Cuál es el precio final?
9. ¿Cuánto deberá abonarse por una factura de $250, pagada fuera de vencimiento, si se le recarga un 2%?
10. ¿Qué porcentaje de bonificación se habrá aplicado a un producto cuyo precio de lista era de $25 y se vendió a $23?
Representar en un gráfico circular 11. El 33% de $3000 12. El 75% de $5000
Ejercicio
a) Calcular el porcentaje.
a) En una escuela, hay 150 alumnos. 90 alumnos fueron de viaje de
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estudio. ¿Qué porcentaje representa? b) En el aula somos 30 alumnos, en el examen de matemáticas, aprobaron 24 alumnos. ¿Cuál es el porcentaje de aprobados? c) Para ingresar a la Escuela de Policía, se presentan 180 aspirantes, 81 mujeres y el resto varones. ¿Cuál es el porcentaje de varones y de mujeres que se presentan para ingresar?
b) Calcular la cantidad que representa al porcentaje. a) En una escuela de 150 alumnos, el 72% son mujeres. ¿Cuántas mujeres hay? b) Un empleado cobra un sueldo de $2500. Se le descuenta el 15% para la Obra social. ¿Cuánto dinero es el descuento? c) Para ingresar a la Escuela de Policía, se presentan 180 aspirantes, el 30% no ha ingresado. ¿Cuántos aspirantes no lograron ingresar?
c) Calcular la cantidad que representa al 100%. a) El 70% de los alumnos aprobaron el examen de matemáticas. ¿Si 21 son los alumnos que aprobaron, cuantos alumnos hay en total? b) En la última elección Presidencial, en un pueblo, no concurrieron a votar 300 personas, que representan el 12% del padrón. ¿Cuántas personas en total estaban habilitadas para votar? c) En la Escuela de Policía, en el año 2000, ingresaron 32 personas, que representaron el 80% de los aspirantes. ¿Cuántos aspirantes hubo en total?
Matemática Financiera
Interés Simple
Monto (M): Es el capital más el interés generado durante un período de tiempo
Capital (C): Es la cantidad de dinero prestado
Interés (I): Es la renta que se paga por el uso del dinero ajeno
La relación entre las tres variables anteriores: M = C + I
Tabla de Fórmulas
cuál es el Monto (M):
M = C + I
cuál es el Capital (C)
modificamos la fórmula pasando de
términos para despejar el capital
M – I = C C = M – I
cuál es el Interés (I)
modificamos la fórmula pasando de
términos para despejar el Interés
M – C = I I = M – C
Ejemplo: Una persona solicita un préstamo de $5000 y después de un año lo regresó pagando por el uso del dinero en concepto de interés, $2500 ¿Cuál es el monto total que pagó?
MATEMÁTICA 4
Horacio Eliseo Galván
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Monto (M)
=……...? Capital (C)= $5000
Interés (I) = $2500
Monto (M): M = C + I
M = C + I M = $5000 + $2500 M = $7500
Ejemplo: Una persona devolvió a su banco la suma de $7500 luego de un año, abonando los $2500 que en concepto de interés le cobraran. ¿Cuál fue el capital solicitado?
Monto (M) = $7500 Capital (C)=
……...?
Interés (I) = $2500
Capital (C): C = M – I
C = M – I C = $7500 - $2500 C = $5000
Ejemplo: Una persona solicita un préstamo de $5000 y después de un año canceló pagando en total, $7500 ¿Cuál es el importe del interés que pagó?
Monto (M) = $7500 Capital (C)= $5000
Interés (I) =
……...?
Interés (I): I = M – C
I = M – C I = $7500 - $5000 I = $2500
Tasa de Interés (i): Es el porcentaje en el cual se incrementó en un tiempo el
capital original
La tasa de interés es el resultado de la división del interés por el capital= i = I : C
Tabla de Fórmulas
cuál es la tasa (i) i = I : C
cuál es el Interés (I)
modificamos la fórmula pasando de
términos para despejar el Interés
i ∙ C = I I = i ∙ C
cuál es el Capital (C)
modificamos la fórmula pasando de
términos para despejar el capital
i ∙ I = C C = i ∙ I
Ejemplo: Una persona devolvió a su banco la suma de $7500 luego de un año, abonando los $2500 que en concepto de interés le cobraran. Sabiendo que el Capital solicitado fue de $5000. ¿Cuál fue la tasa que le cobraron por el préstamo?
Capital (C) = $5000
Interés (I)= $2500 Tasa de Interés (i) = ?
i = I : C
i = $2500 : $5000 i = 0,50 i = 50%
Respuesta: La tasa es del 50% anual
Ejemplo: Una persona solicita un préstamo de $5000 al 50% anual ¿Cuál es el importe del interés que pagó, al finalizar el año?
MATEMÁTICA 4
Horacio Eliseo Galván
19
Capital (C) = $5000
Interés (I) = ? Tasa de Interés (i) = 50%
I = i ∙ C
I =50
100 ∙ 5000 I =
250000
100
I = 2.500 Respuesta: El interés fue de
$2.500.-
Ejemplo: Una persona paga por un préstamo al 50% anual un interés de $2500.- al finalizar el año ¿Cuál es el importe del capital solicitado?
Capital (C) = ?
Interés (I) = $2500 Tasa de Interés (i)
= 50%
C = i ∙ I
C =50
100 ∙ 2500 C =
125.000
100 C = 1250
Intereses a plazos de 1 año
Tabla de Fórmulas
cuál es el interés (I) I = C ∙ i
cuál es el capital (C) I ∶ i = C C = I ∶ i
cuál es la tasa (i) I ∶ C = i i = I ∶ C
Ejemplo sobre cuál es el interés anual de un capital a una tasa anual
Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 5 000 pesos invertido durante 1 año a una tasa del 50 % anual.
interés (I) = ? capital (C) = 5.000 tasa (i)= 50% anual
I = C ∙ i
I = 5000 ∙50
100 I =
250000
100 I = 2.500
Ejemplo sobre cuál es el capital invertido para que nos dé un interés anual a una tasa anual Calcular cuánto un fue el capital invertido durante 1 año a una tasa del 50 % anual para que nos reditúe un interés de 2.500 pesos.
interés (I) =2.500 capital (C) = ? tasa (i)= 50% anual
C = I : i
C = 1500 ∶50
100 C = 1500 ∙
100
50
C =150000
50
C = 3000
Ejemplo sobre cuál es la tasa anual para que un capital invertido nos dé un interés anual Calcular cuál es la tasa anual para que un capital de 5.000 pesos invertido durante 1 año nos reditúe un interés de 2.500 pesos.
MATEMÁTICA 4
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interés (I) =2.500 capital (C) = 5.000 tasa (i) = ?
i = I : C
i = 2500 ∶ 5000 i = 0,50 i = 50%
Intereses a plazos anuales, mayores a 1 año
El interés crece cada período que transcurre en la misma cantidad, a la fórmula
original se le agrega multiplicar por el tiempo (n) transcurrido I = C ∙ i ∙ n
Tabla de Fórmulas
cuál es el interés (I) I = C ∙ i ∙ n
cuál es el capital (C) I ∶ i ∶ n = C C = I ∶ i : n
cuál es el tiempo (n) I ∶ C ∶ i = n n = I ∶ C ∶ i
cuál es la tasa (i) I ∶ C ∶ n = i i = I ∶ C ∶ n
Ejemplo sobre cuál es el interés, sabiendo el capital, el tiempo y la tasa Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 5 000 pesos invertido durante 2 años a una tasa del 50 % anual.
I = C ∙ i ∙ n I = 5000 ∙50
100 ∙ 2 I =
250000
100 ∙ 2 I = 5000
Ejemplo sobre cuál es el capital invertido, sabiendo el tiempo, los intereses y la tasa Calcular cuánto un fue el capital invertido durante 2 años a una tasa del 50 % anual para que nos reditúe un interés de 5000 pesos
C = I ∶ i ∶ n C = 5000 ∶
50
100∶ 2
C = 5000 ∙100
50: 2 C =
500000
50: 2
C = 10.000: 2 C = 10.000 ∙ 1
2 C =
10.000
2 C = 5.000
Ejemplo sobre cuál es el tiempo transcurrido, sabiendo el capital, los intereses y la tasa Calcular cuánto un fue el tiempo transcurrido para que a una tasa del 50 % anual nos reditúe un interés de 5000 pesos habiendo invertido un capital de 5000 pesos
n = I ∶ C ∶ i n = 5000 ∶50
100∶ 5000
n = 5000
∙100
50: 5000
n =500000
50: 5000
n = 10.000: 5000 n
= 10.000 ∙ 1
5000
n = 10000
5000 n = 2
Ejemplo sobre cuál es la tasa, sabiendo el capital, los intereses y el tiempo transcurrido Calcular cuánto un fue la tasa aplicada, para que un capital invertido de 5000 pesos nos reditúe un interés de 5000 pesos habiendo transcurrido 2 años
i = I ∶ C ∶ n i = 5000 ∶ 5000
∶ 2 i = 1 ∶ 2
i = 0,50
i = 50%
MATEMÁTICA 4
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Intereses a plazos parciales al año
Es posible que los plazos no sean anuales
La Tasa de interés (i) y el plazo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo.
A la fórmula original se le agrega dividir por la unidad de tiempo en que se ha
expresado la tasa
Unidad de Tiempo (ut): Cuando la duración del préstamo o inversión no es exactamente años exactos,
debemos incorporar a la fórmula, el concepto (ut) unidad de tiempo. Por ejemplo si
la tasa es anual y el plazo está expresado en meses entonces la (ut) será de “12”
(meses)
Tabla de Fórmulas
cuál es el interés (I) I =C ∙ i ∙ n
100 ∙ ut
cuál es el capital (C) I ∙ 100 ∙ ut
i ∙ n= C C =
I ∙ 100 ∙ ut
i ∙ n
cuál es el tiempo (n) I ∙ 100 ∙ ut
i ∙ C= n n =
I ∙ 100 ∙ ut
i ∙ C
cuál es la tasa (i) I ∙ 100 ∙ ut
C ∙ n= i i =
I ∙ 100 ∙ ut
C ∙ n
Ejemplo sobre cuál es el interés, sabiendo el capital, el tiempo y la tasa
Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 5 000 pesos invertido durante 1 año y 6 meses (18 meses), a una tasa del 50 % anual.
I =C ∙ i ∙ n
100 ∙ ut I =
5000 ∙ 50 ∙ 18
100 ∙ 12 I =
4500000
1200 I = 3750
Ejemplo sobre cuál es el capital invertido, sabiendo el tiempo, los intereses y la tasa Calcular cuánto un fue el capital invertido durante 1 año y 6 meses (18 meses), a una tasa del 50 % anual para que nos reditúe un interés de 3750 pesos
C =I ∙ 100 ∙ ut
i ∙ n C =
3750 ∙ 100 ∙ 12
50 ∙ 18 C =
4500000
900 C = 5.000
Ejemplo sobre cuál es el tiempo transcurrido, sabiendo el capital, los intereses y
la tasa Calcular cuánto un fue el tiempo transcurrido para que a una tasa del 50 % anual nos reditúe un interés de 3750 pesos habiendo invertido un capital de 5000 pesos
n =I ∙ 100 ∙ ut
i ∙ C n =
3750 ∙ 100 ∙ 12
50 ∙ 5000 n =
4500000
250000 n = 18
Ejemplo sobre cuál es la tasa, sabiendo el capital, los intereses y el tiempo
transcurrido Calcular cuánto un fue la tasa aplicada, para que un capital invertido de 5000 pesos nos reditúe un interés de 3750 pesos habiendo transcurrido 1 año y 6 meses (18 meses)
i =I ∙ 100 ∙ ut
C ∙ n i =
3750 ∙ 100 ∙ 12
5000 ∙ 18 i =
4500000
90000 i = 50
Matemática Financiera
Interés Compuesto
MATEMÁTICA 4
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Las operaciones financieras alcanzadas por el interés compuesto se caracterizan porque los intereses a medida que se van generando se van incorporando al capital, se van acumulando produciendo en nuevos períodos más interés ya que el capital se ha incrementado. Para calcular el interés compuesto se necesita saber las variables que lo generan:
(Cf ) o Monto
Ci i
n I
: es el Capital Final o Monto : es el Capital Inicial
: es la tasa de interés expresada como número decimal (
4 % = 0,04) : es el número de períodos de tiempo
: es el interés
Las fórmulas que se utilizan para calcular el interés compuesto son las siguientes:
Capital Final (Cf ) Capital Inicial (Ci ) Interés (I) Tasa (i)
𝐌 = 𝐂𝐢 (𝟏 + 𝐢)𝐧 𝐂𝐢 = 𝐌
(𝟏 + 𝐢)𝐧 𝐈 = 𝐌 − 𝐂𝐢 𝐢 = √
𝐌
𝐂𝐢
𝐧
− 𝟏
Ejemplo: Calcular el monto y los intereses obtenidos al invertir $430, al 5% anual durante 10 años de capitalización compuesta.
Calculamos el Monto 𝐌 = 𝐂𝐢 (𝟏 + 𝐢)𝐧
M = 430 (1 + 0,05)10 M = 430 (1,05)10 M = 430 (1,63) M = 700
Calculamos el Interés 𝐈 = 𝐌 − 𝐂𝐢
M = 700 Ci = 430 I = 700 − 430 I = 270
Comprobación: Utilizando los datos obtenidos calculamos el Capital Inicial, para ver si coincide aproximadamente, con el planteo.
𝐂𝐢 = 𝐌
(𝟏 + 𝐢)𝐧
Ci = 700
(1 + 0,05)10 Ci =
700
(1,05)10 Ci =
700
1,62 Ci = 432
Comprobación: Utilizando los datos obtenidos calculamos la tasa, para ver si coincide aproximadamente, con el planteo. 𝐢 = √
𝐌
𝐂𝐢
𝐧
− 𝟏
i = √700
430
10
− 1 i = √1,6210 − 1 i = 1,05 − 1 i = 0,05
i = 5%
Ejemplo: ¿Qué intereses producirán $520.- invertidos durante 4 años al 7% anual?
Calculamos el Monto 𝐌 = 𝐂𝐢 (𝟏 + 𝐢)𝐧
MATEMÁTICA 4
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23
M = 520 (1 + 0,07)4 M = 520 (1,07)4 M = 520 (1,31) M = 681,20
Calculamos el Interés 𝐈 = 𝐌 − 𝐂𝐢
M = 681,20 Ci = 520 I = 681,20 − 520 I = 161,20
Comprobación: Utilizando los datos obtenidos, sabiendo entonces el Monto y la tasa. Calculamos el Ci para ver si coincide con el planteo
𝐂𝐢 = 𝐌
(𝟏 + 𝐢)𝐧
Ci = 681,20
(1 + 0,07)7 Ci =
681,20
(1,07)7 Ci =
681,20
1,31 Ci = 520
Comprobación: Utilizando los datos obtenidos, sabiendo entonces el Monto, el
Ci y el tiempo. Calculamos la tasa para ver si coincide con el planteo
𝐢 = √𝐌
𝐂𝐢
𝐧
− 𝟏
i = √681,20
520
4
− 1 i = √1,314 − 1 i = 1,07 − 1 i = 0,07 i = 7%
Ejemplo: ¿Qué Capital se debe invertir para que al cabo de 2 años podamos disponer de $1500 al 11% anual?
Calculamos el Capital Inicial 𝐂𝐢 = 𝐌
(𝟏 + 𝐢)𝐧
Ci = 1500
(1 + 0,11)2 Ci =
1500
(1,11)2 Ci =
1500
1,23 Ci = 1219,51
Comprobación: Utilizando los datos, calculamos el Monto para ver si coincide con el planteo.
M = Ci (1 + i)n 1219,51 (1,11)2 1219,51 ∙ (1,23) M = 1.500
Comprobación: Utilizando los datos, calculamos la tasa para ver si coincide con el planteo.
Calculamos la tasa 𝐢 = √𝐌
𝐂𝐢
𝐧
− 𝟏 i = √1500
1219,51
2
− 1 i = √1,232 − 1
i = √1,232 − 1 i = 1,11 − 1 i = 0,11 i = 11%
Determine la tasa de interés anual a la que debieron invertirse $1200.-para que en 2 años se obtenga un monto de $1500.-
MATEMÁTICA 4
Horacio Eliseo Galván
24
Calculamos la tasa 𝐢 = √𝐌
𝐂
𝐧
− 𝟏
i = √1500
1200
2
− 1 i = √1,252
− 1 i = 1,11 − 1 i = 0,11
i = 11%
Comprobación: Utilizando los datos obtenidos, sabiendo
entonces el Ci y la tasa calculo el Monto para ver si coincide con el planteo. El resultado es similar ya que se ajustaron decimales
M = Ci (1 + i)n
M = 1200 (1 + 0,11)2 M = 1200 (1,11)2 M= 1200 ∙ (1,23)
M = 1476
Comprobación: Utilizando los datos obtenidos, sabiendo entonces la tasa y el Monto calculo el Capital Inicial para ver si coincide con el planteo. El resultado es similar ya que se ajustaron decimales
Ci = M
(1 + i)n
Ci = 1500
(1 + 0,11)2 Ci =
1500
(1,11)2 Ci =
1500
1,23 Ci = 1219.51
n: es el número de períodos de tiempo
Los intereses son productivos, lo que significa que a medida que se generan, se
acumulan al capital inicial para producir mayores intereses en los períodos
siguientes.
El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al
inicio del mismo los intereses generados durante el período anterior
Este carácter acumulativo de los intereses modifica el Monto o Capital Final si se
capitalizan los intereses mayor cantidad de veces en el año.
Ejemplo:
M = Ci (1 + i)n
12 meses ÷ 1 = 12 12 meses ÷ 2 = 6 12 meses ÷ 4 = 3
Interés anual del 12% Interés semestral del 6% Interés trimestral del 3%
M = 1.000 ∙ (1 + 0,12)1 M = 1.000 ∙ (1 + 0,06)2 M = 1.000 ∙ (1 + 0,03)4
M = 1.000 ∙ (1,12)1 M = 1.000 ∙ (1,06)2 M = 1.000 ∙ (1,03)4
M = 1.000 ∙ 1,12 M = 1.000 ∙ 1,1236 M = 1.000 ∙ 1,1255
M = 1.120,00 M = 1.123,60 M = 1.125,50
Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalización de los intereses
se está realizando con diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en
los diferentes tipos aplicados