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CIEEM 2020/2021
Matemática
Clase del 4 de abril del 2020
Las letras en la traducción de enunciados. Desigualdades.
LAS LETRAS EN LA TRADUCCIÓN DE ENUNCIADOS
En la traducción de un enunciado que vale para cualquier número, o para un número que no
conocemos, reemplazamos los números por letras, por ejemplo:
El siguiente de n.
n + 1
El doble del siguiente de n.
2 (n + 1)
El cuadrado de c.
c2
El cuadrado de c disminuido en 4.
c2 – 4
La traducción al lenguaje coloquial de la expresión simbólica 2n + 1 es:
El siguiente del doble de n.
Cuando en una multiplicación un número
antecede o precede a un paréntesis, el
signo “.” puede no escribirse, por ejemplo:
2 . n = 2n ; 2 . n = 2 n
3 . (n + 1) = 3 (n + 1)
El triple de un número a
se traduce como 3a.
El anterior de un número b se
traduce como b – 1.
Cuando en una multiplicación hay factores iguales,
por ejemplo, c . c la multiplicación puede escribirse
como una potencia, o sea, c2.
Por ejemplo, la expresión 8 . 8 se puede escribir
como 82, es decir que: 8 . 8 = 82. Luego, 82 se puede
leer de cualquiera de estas dos maneras:
el cuadrado de 8;
8 al cuadrado.
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1. Completá esta tabla:
Expresión coloquial Expresión simbólica
El anterior a m. m - 1
El triple del anterior a m. 3. (m – 1)
El siguiente del triple de m. 3 . m + 1
El triple de m disminuido en 2. 3 m – 2
El anterior a m aumentado en 5. m – 1 + 5
El triple de: m disminuido en 2. 3. (m – 2)
El doble de m aumentado en 5. 2 m + 5
El cuadrado del siguiente de m. (m + 1)2
Para escribir en forma simbólica “El triple del anterior a m “
primero escribimos el anterior a m o sea m – 1
después, para indicar el triple de esa expresión la colocamos en un paréntesis para
multiplicarla por 3. Entonces: 3. (m – 1)
Para escribir en forma simbólica “El siguiente del triple de m “
primero escribimos el triple de m o sea 3.m
después, para indicar el siguiente del triple de m le sumamos 1.
Entonces: 3. m + 1
Al tener la expresión simbólica 3 m – 2, tenemos el triple de m o sea 3 m y a ese producto le
restamos dos unidades. Entonces la expresión coloquial será: el triple de m disminuido en 2.
Para escribir en forma simbólica “El anterior a m aumentado en 5“
primero escribimos el anterior a m o sea m – 1 , después, le sumamos 5 unidades.
Entonces: m – 1 + 5
Para escribir en forma simbólica “El triple de: m disminuido en 2“
primero escribimos m disminuido en 2 o sea m – 2 , después, tenemos que escribir el triple
de esa diferencia (porque en la expresión coloquial aparecen dos puntos :)
Para indicar el triple de esa diferencia colocamos paréntesis y la multiplicamos por 3.
Entonces: 3. (m – 2)
Al tener la expresión simbólica 2 m + 5, tenemos el doble de m o sea 2 m y a ese producto le
agregamos cinco unidades.
Entonces la expresión coloquial será: el doble de m aumentado en 5.
Al tener la expresión simbólica (m + 1)2, tenemos el siguiente de m o sea m + 1 y a esa suma
la elevamos al cuadrado.
Entonces la expresión coloquial será: el cuadrado del siguiente de m.
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Para que lo resuelvas solo…
Pág.16
15. Uní con una flecha cada expresión coloquial con su correspondiente traducción simbólica.
El triple del siguiente de h. 2h +1
El siguiente del doble de h. h – 1 – 2 .4
El anterior a 6 aumentado en el doble de h. 2 (h – 1) + 3
El anterior a h disminuido en el doble de 4. 3h + 1 – 5
El siguiente del triple de h disminuido en 5. 3 (h + 1)
El doble del anterior a h aumentado en 3. 6 – 1 + 2h
El siguiente de h es h + 1. El triple del siguiente de h es 3 (h + 1).
El doble de h es 2 h. El siguiente del doble de h es 2h +1.
El anterior a 6 es 6 – 1. El doble de h es 2h. El anterior a 6 aumentado en el doble de h
es 6 – 1 + 2 h.
El anterior a h es h – 1. El doble de 4 es 2. 4 entonces el anterior a h disminuido en el
doble de 4 es h – 1 – 2.4.
El triple de h es 3h. El siguiente del triple de h es 3h + 1. El siguiente del triple de h
disminuido en 5 es 3h + 1 – 5.
El anterior a h es h – 1. El doble del anterior a h es 2(h – 1). El doble del anterior a h
aumentado en 3 es 2(h – 1) + 3 .
16. Tres amigos van a comprar comics. Si n representa la cantidad de dinero que tiene Nicolás,
s representa la cantidad de dinero que tiene Sebastián y j representa la cantidad de dinero que tiene
Javier, expresá en lenguaje coloquial cada una de las siguientes situaciones:
a) s + 240 = j b) s + j = 620 c) 4n = s + j
¿Cuánto dinero tiene cada uno de los tres amigos?
a) Por ejemplo: Javier tiene $240 más que Sebastián.
b) Por ejemplo: Sebastián y Javier tienen juntos $620.
c) Por ejemplo: Sebastián y Javier tienen juntos cuatro veces el dinero que tiene Nicolás.
Como Sebastián y Javier tienen juntos $620 y además Javier tiene $240 más que Sebastián,
entonces hacemos (620 – 240) : 2 = 380 : 2 = 190. Sebastián tiene $ 190.
Como Sebastián tiene $190, Javier tiene $240 más que Sebastián, entonces Javier tiene $430.
Además como Sebastián y Javier tienen juntos cuatro veces el dinero que tiene Nicolás,
entonces $620 es cuatro veces el dinero que tiene Nicolás. Entonces para calcular el dinero
que tiene Nicolás hacemos 620: 4 = 155. Nicolás tiene $155.
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17. En un depósito hay n cajas con 12 relojes y 10 cajas con 24 relojes cada una.
Marcá con una X en el correspondiente la o las opciones que expresan la cantidad de relojes
que hay en el depósito.
12 n + 24 12 n + 240 12 n + 10. 24 12 (n +10) + 120
n cajas con 12 relojes 12 n
10 cajas con 24 relojes cada una 10. 24
Las tres expresiones marcadas son equivalentes
12 n + 240 =12 n + 10. 24
12 (n +10) + 120 aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la
suma obtenemos 12 n + 12. 10 + 120 = 12 n + 120 + 120 = 12 n + 240
DESIGUALDADES
2. a) En cada caso, completá las líneas de puntos con < (menor) o > (mayor).
i. 403 ………. 304 ii. 0 ………. 525 iii. 8008 ………. 10000
b) Resolvé los cálculos y, en las líneas de puntos, colocá <, > o = según corresponda:
i. 12 + 2 . 8 ………… (12 + 2) . 8
ii. 12 : 6 . 2 ………… 12 : (6 . 2)
Para expresar las relaciones de orden
entre números naturales usamos símbolos:
significa menor que;
significa mayor que.
Para leer la expresión 110 > 25, podemos hacerlo:
de izquierda a derecha así: 110 es mayor que 25.
de derecha a izquierda como: 25 es menor que 100.
Si leemos la expresión 0 < 18, podemos hacerlo:
de izquierda a derecha así: 0 es menor que 18.
de derecha a izquierda como: 18 es mayor que 0.
> < <
>
< 12 + 2 . 8 (12 + 2) . 8
<
12 + 16
28
14 . 8
112
12 : 6 . 2 12 : (6 . 2)
>
2 . 2
4
12 : 12
1
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iii. 4 . 32 : 9 - 1 ………… 4 . (32 : 9 – 1)
c) Para cada ítem, completá las líneas de puntos con <, > o =, sin resolver las cuentas.
i. (96 + 1) . 17 ………… (96 – 1) . 17
ii. 13 . 37 – 13 . 28 ………… 13 . (37 – 28)
iii. 640 . 110 . 1000 ………… 10 . 64 . 11 . 10 . 100
En una caja Bruno tiene menos de 30 revistas.
Reparte entre sus amigos 24 revistas.
¿Cuántas revistas le pueden sobrar?
Si tiene menos de 30 y reparte 24, la cantidad de revistas que le pueden sobrar son 1, 2, 3, 4 o
5 según cuál sea la cantidad que haya en la caja. Para escribir ese conjunto de números posibles
Para expresar las relaciones de orden
entre números naturales también podemos
usar estos símbolos:
significa menor o igual que;
significa mayor o igual que.
> 4 . 32 : 9 - 1 4 . (32 : 9 – 1)
>
4 . 9 : 9 - 1
36 : 9 - 1
4 – 1
3
4 . (9 : 9 – 1)
4 . (1 – 1)
4 . 0
0
>
=
>
96 + 1 > 96 – 1 y ambos resultados están multiplicados
por el mismo número, 17. Por lo tanto:
El resultado de (96 + 1) . 17 es mayor que (96 – 1) . 17
Ambas expresiones tiene el mismo resultado, ya que se aplica la
propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la
sustracción.
El resultado de la primera expresión es mayor al de la segunda porque en
la primera al resultado de 640 . 110 se lo multiplica por 1000 y en la
segunda al mismo resultado se lo multiplica por un número menor, 100.
640 110
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podemos usar la letra n para expresar la cantidad de revistas que le pueden sobrar a Bruno.
Luego, para expresar esto podemos escribir cualquiera de las siguientes dos expresiones:
n < 6 y leemos: n es menor que 6;
n 5 y leemos: n es menor o igual que 5.
3. Escribí todos los números naturales n que cumplan lo que se indica en cada caso:
i. n < 9;
ii. n 9.
i. n < 9; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8
n < 9 se lee : todos los números naturales menores que 9.
Podemos observar en la recta numérica cuales son esos números
ii. n 9. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9
n 9 se lee: todos los números naturales menores o iguales que 9.
A diferencia del ítem anterior en este caso incluimos en la respuesta al número 9.
De las 24 revistas que reparte, más de 16 son de deporte. ¿Cuál puede ser la cantidad de
revistas de deporte?
La cantidad de revistas de deporte puede ser 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 o 24. Si llamamos d a
la cantidad de revistas de deporte que reparte, se puede escribir la respuesta utilizando
cualquiera de las siguientes expresiones que indican los posibles valores de d:
d > 16 y d ≤ 24 y leemos: d es mayor que 16 y menor o igual que 24;
16 < d ≤ 24 y leemos: d es mayor que 16 y menor o igual que 24;
17 ≤ d ≤ 24 y leemos: d es mayor o igual que 17 y menor o igual que 24.
1 0
7 4
8 5
9 6
10 11
2 3
12
I I I I I I I I I I I I I
1 0
7 4
8 5
9 6
10 11
2 3
12
I I I I I I I I I I I I I
Recordemos que:
Llamaremos N al conjunto formado por los números naturales y
N0 al conjunto formado por los números naturales y el cero.
N= {1, 2, 3, 4, 5, …} N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
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4. Para cada ítem, escribí los números naturales n que cumplen estas desigualdades:
i. n > 12 y n ≤ 15;
ii. 24 n < 31.
i. n > 12 y n ≤ 15; 13, 14 y 15
ii. 24 n < 31. 24, 25, 26, 27, 28, 29 y 30
La expresión 16 < d ≤ 24 podemos leerla así:
16 < d ≤ 24
Entonces, la lectura de la expresión anterior es la siguiente:
d es mayor que 16 y menor o igual que 24.
Desde la d hacia la izquierda
leemos: d es mayor que 16 (d > 16).
Desde la d hacia la derecha
leemos: d es menor o igual que 24 (d ≤ 24).
La “y” significa que las dos expresiones (d > 16; d ≤ 24) se deben cumplir simultáneamente.
Como se tiene que cumplir una condición “y” la otra también, la
respuesta son los números que cumplen ambas: 13, 14 y 15.
16 13
17 14
15
11
12
I I I I I I I I I I I I I
“y” n > 12 se lee:
todos los números naturales
mayores que 12.
13, 14, 15 , 16, 17, 18, 19, ……..
n ≤ 15 se lee:
todos los números naturales
menores o iguales que 15.
…… , 8, 7, 8, 9, 10, 11, 12 , 14, 15
I I I I I I I I I I I I I 28 25
29 26
27
23
24
30 31
9
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5. Escribí, en cada caso, dos números naturales m que cumplan lo que se indica.
i. (5 – 1)2 < m < 33;
ii. 71 ≤ 2m < 80.
i. (5 – 1)2 < m < 33;
ii. 71 ≤ 2m < 80.
6. Joaquín, Luz y Pablo tienen camisetas de fútbol. Joaquín tiene 8 y Luz por lo menos 5
(significa 5 o más) pero menos que el doble de las que tiene Joaquín. Pablo tiene 4 más que las
que tiene Luz.
a) ¿Cuántas camisetas de fútbol puede tener Pablo? Escribí todas las posibilidades.
Como se tiene que cumplir una condición “y” la otra también, la respuesta son
los números que cumplen ambas: 24, 25, 26, 27, 28, 29 y 30
“y” 24 n se lee:
todos los números naturales
mayores o iguales que 24.
24, 25 , 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, ……..
n < 31 se lee:
todos los números naturales
menores que 31.
…… , 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 , 29, 30
24 n < 31
42 < m < 33
16 < m < 27
Las dos condiciones que se tienen que cumplir son que
los números naturales sean mayores que 16 (m > 16) y
que sean menores que 27 (m < 27).
Los números son: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 y 26.
Realizamos la verificación de la respuesta con el menor y el mayor de los números que
le asignamos a m:
Si m = 36, entonces 71 ≤ 2 . 36 < 80
71 ≤ 72 < 80
6
Si m = 39, entonces 71 ≤ 2 . 39 < 80
71 ≤ 78 < 80
Las dos condiciones que se tienen que cumplir son que los
números naturales m multiplicados por 2 sean mayores o
iguales que 71 (71 ≤ 2m) y que los números naturales m
multiplicados por 2 sean menores que 80 (2m < 80).
Los números son: 36, 37, 38 y 39
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Comenzamos traduciendo al lenguaje simbólico los datos que figuran en el enunciado del
problema. Para ello llamamos l a la cantidad de camisetas de fútbol que tiene Luz. Luego:
Luz tiene por lo menos 5 camisetas pero menos que el doble de las que tiene Joaquín.
Entonces: 5 l < 16. Por lo tanto, la cantidad de camisetas de fútbol que puede tener Luz es
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 o 15.
Como Pablo tiene 4 camisetas más que las que tiene Luz entonces la cantidad de camisetas
de fútbol que puede tener Pablo es la siguiente: 5 + 4, 6 + 4, 7 + 4, 8 + 4, 9 + 4, 10 + 4,
11 + 4, 12 + 4, 13 + 4, 14 + 4 o 15 + 4, es decir, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 o 19.
b) Si llamamos p a la cantidad de camisetas de fútbol que tiene Pablo, ¿cuál o cuáles de las
siguientes expresiones indican esa cantidad? Marcá con una X en el o los correspondientes la
o las expresiones pedidas.
8 < p 20 X p > 8 y p 19
X p > 8 y p < 20 X 9 p 19
La opción 8 < p 20 no es correcta porque 20 no es uno de los posibles valores de p.
l ≥ 5 2 . 8
l < 2 . 8
y
l ≥ 5 y l < 2 . 8
5 l y l < 2 . 8
5 l < 2 . 8
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MÁS PROBLEMAS… (Selección de algunos problemas)
Pág. 39
76. Colocá <, > o = según corresponda y sin resolver las cuentas. Explicá cómo pensaste en cada
caso.
a) 42 . (21 – 5) ….<…. 42 . 21 + 42 . 5
Como la multiplicación es distributiva con respecto a la sustracción, entonces el cálculo
42 . (21 – 5) puede escribirse así: 42 . 21 – 42 . 5. Luego, en ese cálculo, 42 . 21 y 42 . 5
están restando, con lo cual el resultado del cálculo 42 . 21 – 42 . 5 es menor que el
resultado del cálculo 42 . 21 + 42 . 5 en donde 42 . 21 y 42 . 5 figuran sumando.
b) 150 . (13 + 10) ….=…. 150 .10 + 150 . 13
Como la multiplicación es distributiva con respecto a la adición, entonces el cálculo
150 . (13 + 10) puede escribirse así: 150 . 13 + 150 . 10. Luego, como la adición es
conmutativa, entonces el cálculo 150 . 13 + 150 . 10 puede escribirse de esta manera:
150 . 10 + 150 . 13.
c) 25 . 5 + 5 . 12 ….>…. (25 + 12) . 4
Como la multiplicación es conmutativa, entonces el cálculo 5 . 12 puede escribirse así:
12 . 5. Luego, el cálculo 25 . 5 + 5 . 12 puede plantearse de esta forma: 25 . 5 + 12 . 5.
Como la multiplicación es distributiva con respecto a la adición, entonces el cálculo
25 . 5 + 12 . 5 puede escribirse de la siguiente manera: (25 + 12) . 5. Luego, como 5 > 4,
entonces, (25 + 12) . 5 > (25 + 12) . 4.
d) 12 . 8 – 12 . 3 ….=…. 12 . 4 + 12 . 1
Como la multiplicación es distributiva con respecto a la sustracción, entonces el cálculo
12 . 8 – 12 . 3 puede escribirse así: 12 . (8 – 3). Además, como la multiplicación es
distributiva con respecto a la adición, el cálculo 12 . 4 + 12 . 1 puede plantearse de esta
forma: 12 . (4 + 1). Luego, como 8 – 3 = 4 + 1, entonces 12 . (8 – 3) = 12 . (4 + 1).
79. Si p= 3 y q = 10, calculá:
a) p + 2 = 3 + 2 = 5
b) 2 (p + q) = 2 . (3 + 10) = 2 . 13 = 26
c) 2p + q2 = 2. 3 + 102 = 2 . 3 + 102 = 6 + 100 = 106
d) 2 p + q : 5 = 2 . 3 + 10 : 5 = 6 + 2 = 8
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82. Completá:
a) p + q = 33, entonces:
i. p + q – 10 = 33 – 10 = 23
ii. 2 (p + q) + 5 = 2 . 33 + 5 = 66 + 5 = 71
b) ab = 10, bc = 8, entonces:
i. 3ab = 3 . 10 = 30
ii. 2ab – bc = 2 . 10 – 8 = 20 – 8 = 12
iii. ab2c = a . b . b . c = (a . b) . (b . c) = 10 . 8 = 80
Recordá que:
ab2 es distinto de (ab)2 porque:
ab2 = a . b2 = a . b . b
(ab)2 = (ab) . (ab) = ab . ab = a . b . a . b
