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Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 1
� Ejercicio 1
Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un interés compuesto del 3%
, en la que pasados 3 años se pasa a ofrecer un interés compuesto continuamente del 9%
. Inicialmente depositamos 10 000 euros en la cuenta. ÈCuál será el capital en cueta pasados
10 años desde el comienzo de la inversión.
1L Tendremos un capital de ****1.***** euros.
2L Tendremos un capital de ****6.***** euros.
3L Tendremos un capital de ****9.***** euros.
4L Tendremos un capital de ****7.***** euros.
5L Tendremos un capital de ****8.***** euros.
� Ejercicio 2
El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos
0 2
1 3
3 -1
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona los fondos en la cuenta en cada año t. Utilizar
dicha función para pronosticar la cantidad disponible en el año 4.
1L Los fondos en la cuenta el año 4 son 12.
2L Los fondos en la cuenta el año 4 son -1.
3L Los fondos en la cuenta el año 4 son -6.
4L Los fondos en la cuenta el año 4 son -14.
5L Los fondos en la cuenta el año 4 son -13.
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=4 - 20 x3 + 25 x4 - 12 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
a
� Ejercicio 4
Calcular à-2 a
5 H-3 + 16 a t + 12 t2 + 6 a t2 + 4 t3Lât
1L -1 - 11 a
2L -6 - 13 a
3L El resto de las soluciones son incorrectas
4L 14 - 12 a
5L -6 - 6 a
6L -5 - 12 a
� Ejercicio 5
Comprobar si la upla H 5 4 -5 4 L es combinación lineal de la uplas
H -1 2 -2 -1 L, H -2 4 -4 -2 L,1L Si 2L No
2 Untitled-1
� Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X --5 -2
3 1.
-5 4
-9 7
-1
=37 -21
-30 17
1L K -2 *
* *O 2L K 0 *
* *O 3L K 1 *
* *O 4L K * 0
* *O 5L K * -1
* *O
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
2 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 3 x4 + 5 x5 � -3
4 x1 - x2 + 3 x3 + 4 x4 + 7 x5 � 0
-5 x2 + 7 x3 + 2 x4 + 3 x5 � -6
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierdaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
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Untitled-1 3
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 2
� Ejercicio 1
Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un interés compuesto del 6%
, en la que pasados 4 años se pasa a ofrecer un interés del 9% compuesto en 9 períodos
. Inicialmente depositamos 5000 euros en la cuenta. ÈCuál será el capital en cueta pasados
2 años desde el comienzo de la inversión.
1L Tendremos un capital de ****6.***** euros.
2L Tendremos un capital de ****1.***** euros.
3L Tendremos un capital de ****0.***** euros.
4L Tendremos un capital de ****8.***** euros.
5L Tendremos un capital de ****9.***** euros.
� Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx®¥2 + x - 9 x2 + 8 x3 + 2 x4
1L -7
2L 0
3L ¥
4L 1
5L -1
6L -6
7L -¥
4 Untitled-1
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=3 + 4 x3 - 3 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
a
� Ejercicio 4
Calcular à-a
-5H4 + 8 a + 16 t + 6 a t + 9 t2 - 12 a t2 - 16 t3Lât
1L 6 - 8 a
2L 539 H-5 + aL3L 15 - 8 a
4L 10 - 11 a
5L El resto de las soluciones son incorrectas
6L -4 - 2 a
� Ejercicio 5
Comprobar si la upla H 8 5 0 4 L es combinación lineal de la uplas
H 2 1 2 0 L, H 2 2 2 -2 L, H -2 -2 2 -1 L,1L Si 2L No
Untitled-1 5
� Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 2
-1 -1.X.
1 0
1 1=
-4 -1
3 1
1L K -1 *
* *O 2L K 0 *
* *O 3L K 1 *
* *O 4L K * -2
* *O 5L K * 0
* *O
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
-x1 + 5 x2 + 2 x3 + 2 x4 + x5 � -3
5 x1 - 5 x2 + x3 - 5 x4 - 2 x5 � -3
-4 x1 - 3 x3 + 3 x4 + x5 � 6
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierdaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
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-10
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6 Untitled-1
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 3
� Ejercicio 1
Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 4%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés del 7% compuesto en 7 períodos
. Inicialmente depositamos 14 000 euros en el banco A y 10 000
en el B. ÈCuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1L Tendrán que transcurrir **7.***** años.
2L Tendrán que transcurrir **9.***** años.
3L Tendrán que transcurrir **3.***** años.
4L Tendrán que transcurrir **1.***** años.
5L Tendrán que transcurrir **0.***** años.
� Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función fHxL=
-2 cosHxL + 2 sinHxL + 2 x £ 01
4H8 - 5 xL x 0 < x < 2
x - 2 Hx - 1L logHx - 1L + 2 2 £ x
1L Es derivable en todos los puntos.
2L No es derivable en ningún punto.
3L Es derivable en todos los puntos excepto en x=0.
4L Es derivable en todos los puntos excepto en x=2.
5L Es derivable en todos los puntos excepto en x=0 y x=2.
Untitled-1 7
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=4 - 48 x + 48 x2 - 20 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
� Ejercicio 4
El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
vHtL=H3 + 2 tLlogH2 tL millones de euros�año.Si en el año t=1 el capital del fondo de inversión era de 40
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados Hcon respecto a t=1L 5 años.
1L 16 - 4 Log@2D + 40 Log@10D millones de euros = 105.3308 millones de euros
2L 95
2- 4 Log@2D + 54 Log@12D millones de euros = 178.9124 millones de euros
3L 15
2- 4 Log@2D + 54 Log@12D millones de euros = 138.9124 millones de euros
4L 47
2- 4 Log@2D + 28 Log@8D millones de euros = 78.9518 millones de euros
8 Untitled-1
� Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
0 2 1 1
-2 3 1 2
-1 2 1 1
0 -1 0 0
.
1L? -1 -1 -2
1 ? 0 -1
-1 0 ? 1
0 0 0 ?
2L? -1 -1 1
1 ? 1 -1
1 1 ? 0
0 0 0 ?
3L? -1 0 0
-1 ? -1 0
1 0 ? 0
0 0 0 ?
4L
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0 ? 0 -1
0 -1 ? 1
1 1 -2 ?
5L? 0 -1 1
1 ? 1 1
1 0 ? -1
0 0 0 ?
6L? 0 0 -2
-2 ? 0 2
-1 0 ? -1
0 0 0 ?
7L? 0 0 -1
0 ? 0 -1
1 1 ? -3
-1 -1 0 ?
� Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 0
-3 -1
-1
.X +3 5
1 2=
2 5
4 2
1L K -1 *
* *O 2L K 0 *
* *O 3L K 2 *
* *O 4L K * -1
* *O 5L K * 0
* *O
Untitled-1 9
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
3 x1 + 5 x2 + 4 x3 + x4 � 0
-3 x1 - 4 x2 + x3 + 4 x4 � -6
x1 + 2 x2 + 3 x3 + 2 x4 � -2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derechaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1L?
2
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10 Untitled-1
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 4
� Ejercicio 1
Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 359 000 euros hasta un valor final de
149 000 euros a lo largo de 10 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1L El interés será del **6.*****%.
2L El interés será del **0.*****%.
3L El interés será del **5.*****%.
4L El interés será del **8.*****%.
5L El interés será del **9.*****%.
� Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx®-¥
-3 - 9 x - 5 x2
7 + 9 x - 7 x2
1L ¥
2L -1
2
3L -¥
4L -2
5L 1
6L 0
7L 5
7
Untitled-1 11
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=4 - 12 x2 +x4
2para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
� Ejercicio 4
El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
VHtL=H4 + 2 tLHcosH2ΠtL+1L euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
3 primeros meses del año Hentre t=0 y t=3L.1L 7 euros
2L -1 euros
3L 4 euros
4L 5
3euros = 1.6667 euros
� Ejercicio 5
ÈCuántas de las uplas
H -1 -1 1 2 2 L, H -2 0 -2 2 1 L, H -4 2 -4 2 -1 L, H -2 2 -2 0 -2 L,son independientes?
1L 1 2L 2 3L 3 4L 4
� Ejercicio 6
12 Untitled-1
�
Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X -0 -1
1 2.
1 1
-1 0=
-2 0
-1 -2
1L K 0 *
* *O 2L K -1 *
* *O 3L K 2 *
* *O 4L K * -2
* *O 5L K * -1
* *O
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
-9 x1 - 5 x2 + 6 x3 - x4 + 2 x5 � 2
-4 x1 + 5 x3 + 2 x4 - 3 x5 � -1
-5 x1 - 5 x2 + x3 - 3 x4 + 5 x5 � 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierdaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
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1
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-15
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Untitled-1 13
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 5
� Ejercicio 1
Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés del 6% compuesto en 3 períodos, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 9%
. Inicialmente depositamos 11 000 euros en el banco A y 5000
en el B. ÈCuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1L Tendrán que transcurrir **1.***** años.
2L Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3L Tendrán que transcurrir **6.***** años.
4L Tendrán que transcurrir **4.***** años.
5L Tendrán que transcurrir **5.***** años.
� Ejercicio 2
A partir de un capital inicial de 13000, el interés en cierta cuenta varía
de un año a otro de modo que el capital viene dado por la función CHtL=
13 000-7 + 7 t + t2
9 + 6 t + t2
-8+t+6 t2
. Determinar la tendencia de futuro calculando el
capital que podemos esperar en la cuenta pasado un gran número de años.
1L ¥
2L 0
3L 13 000
ã5
4L -¥
5L 13 000 ã
6L 13 000
7L 13 000
ã4
14 Untitled-1
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=5 - 12 x - 6 x2 + 4 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
� Ejercicio 4
El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
vHtL=H4 + 3 tLHsenH2ΠtL+2L millones de euros�año.Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 60
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 2 años.
1L 111 -9
2 Πmillones de euros = 109.5676 millones de euros
2L 55 +3
2 Πmillones de euros = 55.4775 millones de euros
3L 71 -3
2 Πmillones de euros = 70.5225 millones de euros
4L 88 -3
Πmillones de euros = 87.0451 millones de euros
Untitled-1 15
� Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 -2 0 0
0 1 0 0
-1 4 1 0
0 0 0 1
.
1L? 2 0 0
0 ? 0 0
1 -2 ? 0
0 0 0 ?
2L? -1 -2 1
0 ? 1 -1
0 0 ? -1
0 0 1 ?
3L? -1 -1 0
0 ? 0 1
0 0 ? -1
0 0 0 ?
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2 ? 0 1
-1 0 ? -1
1 0 0 ?
5L? -1 0 2
0 ? 0 0
0 -1 ? 0
-1 -1 0 ?
6L? -1 1 -1
1 ? 0 0
-1 1 ? 1
-1 1 -2 ?
7L? -1 2 -2
1 ? 1 -1
0 0 ? -1
0 0 0 ?
� Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
0 1
-1 1. X -
2 -1
1 0=
0 1
2 -1
1L K -1 *
* *O 2L K 1 *
* *O 3L K 0 *
* *O 4L K * -1
* *O 5L K * 2
* *O
16 Untitled-1
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
15 x1 + 4 x2 + 2 x3 + 2 x4 � -3
-4 x1 - x2 + 6 x4 � -7
-19 x1 - 5 x2 - 2 x3 + 4 x4 � -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derechaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1L1
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-6
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Untitled-1 17
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 6
� Ejercicio 1
Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 266 000 euros hasta un valor final de
374 000 euros a lo largo de 8 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1L El interés será del **4.*****%.
2L El interés será del **9.*****%.
3L El interés será del **3.*****%.
4L El interés será del **0.*****%.
5L El interés será del **7.*****%.
� Ejercicio 2
Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución Hen millones de eurosL:año fondos
0 16
4 16
8 -80
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
1 y 25. Determinar Hutilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolaciónL durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos Hes decir desde t=0 hasta t=8L.1L Se alcanzarán en el intervalo @1,5D.2L Se cumplirá en los intervalos: @-1,0D y @3,5D.3L Se alcanzarán en el intervalo @-1,1D.4L Se alcanzarán en el intervalo @1,8D.5L Se cumplirá en los intervalos: @0,1D y @3,5D.6L Se alcanzarán en el intervalo @5,8D.7L Se alcanzarán en el intervalo @0,1D.8L Se alcanzarán en el intervalo @0,5D.
18 Untitled-1
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=5 + 2 x3 - 2 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
� Ejercicio 4
El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
VHtL=senH4 tL euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
Π primeros meses del año Hentre t=0 y t=ΠL.1L 50 euros
2L -90 euros
3L 90 euros
4L 0 euros
� Ejercicio 5
ÈCuántas de las uplas
H 2 -1 2 2 L, H 0 -2 0 2 L, H 2 -1 2 0 L, H -1 1 -2 2 L,son independientes?
1L 1 2L 2 3L 3 4L 4
Untitled-1 19
� Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 0
0 1
-1
.X.1 0
0 1=
0 -1
0 1
1L K -2 *
* *O 2L K -1 *
* *O 3L K 1 *
* *O 4L K * -2
* *O 5L K * -1
* *O
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
2 x1 + 3 x2 - 3 x3 � 3
-x1 - x2 - 3 x5 � 4
3 x1 + 4 x2 - 3 x3 + 3 x5 � -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derechaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1L-17
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+X-5
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3
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-6
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1
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4L6
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7
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7
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20 Untitled-1
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 7
� Ejercicio 1
Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 3% y en la que inicialmente depositamos 5000
euros. ÈCuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los 9000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1L Tendrán que transcurrir **2.***** años.
2L Tendrán que transcurrir **5.***** años.
3L Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4L Tendrán que transcurrir **9.***** años.
5L Tendrán que transcurrir **6.***** años.
� Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx®0
-1 + ãx - x -x2
2
x3
1L -1
2L 1
6
3L -¥
4L -2
5L 0
6L ¥
7L 1
Untitled-1 21
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=5 + 60 x2 + 100 x3 + 60 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
� Ejercicio 4
Calcular el área encerrada por la función fHxL=
x + x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-1 y x=5.
1L 347
6= 57.8333
2L 169
3= 56.3333
3L 178
3= 59.3333
4L 353
6= 58.8333
5L 163
3= 54.3333
6L 172
3= 57.3333
7L 175
3= 58.3333
8L 341
6= 56.8333
22 Untitled-1
� Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 -1 0 1
1 2 -1 0
-1 -1 1 -1
1 0 0 1
.
1L? -1 -1 0
1 ? 0 0
0 0 ? 0
0 0 0 ?
2L? -1 -1 2
-3 ? 1 -2
0 0 ? -1
0 0 -1 ?
3L? 1 1 0
-1 ? 0 1
-1 0 ? 2
-1 -1 -1 ?
4L
? -1 0 -1
0 ? 0 0
1 0 ? 0
2 0 1 ?
5L? -1 1 0
1 ? 0 -2
0 0 ? 2
0 0 0 ?
6L? 0 -2 0
0 ? 0 -1
1 0 ? 0
0 1 0 ?
7L? 0 -1 -1
-1 ? 1 1
0 -1 ? 0
-1 -1 3 ?
� Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 -1
-3 4.X -
2 5
1 3=
-1 -4
-5 -7
1L K -2 *
* *O 2L K -1 *
* *O 3L K * 0
* *O 4L K * -1
* *O 5L K * 1
* *O
Untitled-1 23
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
x1 + x2 - 5 x3 � 0
4 x1 + 5 x2 - 8 x3 - x4 � -1
2 x1 + 3 x2 + 2 x3 - x4 � -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derechaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1L5
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+X?
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-8
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-5
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-8
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9
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2L3
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+X18
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-4
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3L?
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2
+X19
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-3
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-1
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+X?
-12
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1
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-9
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3
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10
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1
\
24 Untitled-1
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 8
� Ejercicio 1
Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y otra en el
banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto continuamente del 6%
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 10%
. Inicialmente depositamos 15 000 euros en el banco A y 2000
en el B. ÈCuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1L Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2L Tendrán que transcurrir **8.***** años.
3L Tendrán que transcurrir **7.***** años.
4L Tendrán que transcurrir **2.***** años.
5L Tendrán que transcurrir **1.***** años.
� Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función fHxL=
-4 sin2I1 -x
2M x £ 2
2 x - 2 ãx-2 + 2 cosH2 - xL - 3 2 < x < 3
cosH3 - xL - sinH3 - xL + 2 cosH1L - 2 ã + 2 3 £ x
1L Es derivable en todos los puntos.
2L No es derivable en ningún punto.
3L Es derivable en todos los puntos excepto en x=2.
4L Es derivable en todos los puntos excepto en x=3.
5L Es derivable en todos los puntos excepto en x=2 y x=3.
Untitled-1 25
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=1 + 8 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
� Ejercicio 4
El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
vHtL=H5 + tLã1-t millones de euros�año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 40
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.
1L 40 -8
ã+ 6 ã millones de euros = 53.3667 millones de euros
2L 40 + 6 ã - 5 ã2 millones de euros = 19.3644 millones de euros
3L 33 + 6 ã millones de euros = 49.3097 millones de euros
4L 40 -9
ã2+ 6 ã millones de euros = 55.0917 millones de euros
26 Untitled-1
� Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
3 -3 2 5
0 1 0 -1
0 0 1 0
1 -2 1 3
.
1L? -1 0 -2
-1 ? -1 3
0 0 ? 0
-1 3 -1 ?
2L? -2 0 0
-1 ? 0 -1
0 1 ? 0
0 0 0 ?
3L? -1 0 0
1 ? 0 0
1 0 ? 1
0 0 2 ?
4L
? -1 1 -1
-1 ? -1 1
1 0 ? 0
0 0 0 ?
5L? 0 -1 1
1 ? -1 1
0 0 ? 0
-1 -1 0 ?
6L? 0 0 -1
-1 ? -1 -1
0 1 ? -1
0 0 0 ?
7L? 0 0 -1
1 ? -1 0
1 0 ? 1
0 0 0 ?
� Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X +3 5
1 2.
1 0
3 1=
18 5
8 2
1L K -1 *
* *O 2L K 0 *
* *O 3L K 2 *
* *O 4L K * -1
* *O 5L K * 1
* *O
Untitled-1 27
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
2 x1 + x2 + 5 x3 + 2 x4 � 2
x1 + x2 - 2 x3 - 5 x4 � -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derechaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1L7
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+X?
10
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13
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6
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3
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7
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9
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0
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-10
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0
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-7
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28 Untitled-1
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 9
� Ejercicio 1
Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 9%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 1%
. Inicialmente depositamos 1000 euros en el banco A y 9000
en el B. ÈCuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1L Tendrán que transcurrir **8.***** años.
2L Tendrán que transcurrir **1.***** años.
3L Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4L Tendrán que transcurrir **7.***** años.
5L Tendrán que transcurrir **5.***** años.
� Ejercicio 2
A partir de un capital inicial de 12000, el interés en cierta cuenta varía
de un año a otro de modo que el capital viene dado por la función CHtL=
12 0002 - 5 t - 3 t2 - 6 t3
-6 - t + t2 - 6 t3
9+2 t
. Determinar la tendencia de futuro calculando el
capital que podemos esperar en la cuenta pasado un gran número de años.
1L 12 000
ã4
2L 12 000 ã667�500
3L ¥
4L 12 000 ã4�3
5L -¥
6L 12 000
7L 0
Untitled-1 29
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=5 + 6 x2 + 8 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
� Ejercicio 4
El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
vHtL=H2 + 2 tLã3+t millones de euros�año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 70
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 2 años.
1L 70 - 2 ã2 millones de euros = 55.2219 millones de euros
2L 70 + 4 ã5 millones de euros = 663.6526 millones de euros
3L 70 + 2 ã4 millones de euros = 179.1963 millones de euros
4L 70 + 6 ã6 millones de euros = 2490.5728 millones de euros
30 Untitled-1
� Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 0
0 1 -1 -1
0 0 1 1
0 0 2 3
.
1L? -2 1 1
-1 ? 0 0
-1 -1 ? 0
1 0 0 ?
2L? 0 0 0
0 ? 1 0
0 0 ? -1
0 0 -2 ?
3L? -1 0 1
-1 ? 0 -1
0 0 ? -1
0 0 0 ?
4L
? -1 0 1
0 ? 0 1
0 0 ? 1
0 0 0 ?
5L? -1 1 1
-1 ? 0 0
1 -2 ? 3
-1 2 -2 ?
6L? 0 -2 1
1 ? 1 0
1 0 ? -1
1 0 2 ?
7L? 0 0 -1
-1 ? -1 2
0 1 ? 0
1 1 0 ?
� Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
5 3
-2 -1
-1
.X.1 -1
-1 2=
-1 5
2 -9
1L K -2 *
* *O 2L K -1 *
* *O 3L K 1 *
* *O 4L K * -1
* *O 5L K * 0
* *O
Untitled-1 31
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
x1 + 2 x2 + x3 - x4 � 0
-2 x2 + 4 x3 + 8 x4 � 4
x1 + 3 x2 - x3 - 5 x4 � -2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derechaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1L?
?
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-1
2L-8
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3L?
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1
+X-7
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5
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1
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4
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32 Untitled-1
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 10
� Ejercicio 1
Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 285 000 euros hasta un valor final de
126 000 euros a lo largo de 7 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1L El interés será del **1.*****%.
2L El interés será del **8.*****%.
3L El interés será del **4.*****%.
4L El interés será del **0.*****%.
5L El interés será del **6.*****%.
� Ejercicio 2
Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución Hen millones de eurosL:año fondos
0 21
4 -11
8 -11
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
-14 y 1. Determinar Hutilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolaciónL durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos Hes decir desde t=0 hasta t=8L.1L Se alcanzarán en el intervalo @0,2D.2L Se alcanzarán en el intervalo @7,8D.3L Se alcanzarán en el intervalo @2,5D.4L Se alcanzarán en el intervalo @0,7D.5L Se alcanzarán en el intervalo @2,7D.6L Se alcanzarán en el intervalo @2,8D.7L Se cumplirá en los intervalos: @2,5D y @7,8D.8L Se cumplirá en los intervalos: @0,5D y @7,10D.
Untitled-1 33
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=3 - 2 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
� Ejercicio 4
El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
VHtL=1 + 3 t + 3 t2 euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
5 primeros meses del año Hentre t=0 y t=5L.1L 7
10euros = 0.7 euros
2L 87
10euros = 8.7 euros
3L 16
5euros = 3.2 euros
4L 67
2euros = 33.5 euros
34 Untitled-1
� Ejercicio 5
ÈCuántas de las uplas
H 2 -1 1 -1 L, H 0 1 0 -2 L, H 2 2 2 -1 L,son independientes?
1L 1 2L 2 3L 3
� Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 0
-3 1.X +
3 4
2 3=
3 4
3 4
1L K -1 *
* *O 2L K 1 *
* *O 3L K 2 *
* *O 4L K * -1
* *O 5L K * 0
* *O
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
-5 x1 + 3 x2 - x3 + 8 x4 + 2 x5 � -4
2 x1 - x2 + 3 x3 - 5 x4 - 4 x5 � 1
-3 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 - 2 x5 � -3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derechaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1L?
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-3
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-10
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Untitled-1 35
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 11
� Ejercicio 1
Ciertos terrenos se revalorizan desde un valor inicial de
248 000 euros hasta un valor final de 417 000 euros a lo largo de 5
años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1L El interés será del **0.*****%.
2L El interés será del **3.*****%.
3L El interés será del **6.*****%.
4L El interés será del **9.*****%.
5L El interés será del **5.*****%.
� Ejercicio 2
Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución Hen millones de eurosL:año fondos
0 16
4 24
7 51
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
24 y 40. Determinar Hutilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolaciónL durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos Hes decir desde t=0 hasta t=7L.1L Se alcanzarán en el intervalo @0,4D.2L Se alcanzarán en el intervalo @4,7D.3L Se alcanzarán en el intervalo @-4,7D.4L Se alcanzarán en el intervalo @4,6D.5L Se alcanzarán en el intervalo @-4,4D.6L Se cumplirá en los intervalos: @-4,-2D y @6,7D.7L Se alcanzarán en el intervalo @-4,0D.8L Se alcanzarán en el intervalo @-4,-2D.
36 Untitled-1
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=1 + 2 x3 + 2 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
� Ejercicio 4
El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
VHtL=H-7 + 4 tLsenHtL euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
2 Π primeros meses del año Hentre t=0 y t=2 ΠL.1L -14 + 12 Π
2 Πeuros = 3.7718 euros
2L -14 + 4 Π
2 Πeuros = -0.2282 euros
3L -14 - 4 Π
2 Πeuros = -4.2282 euros
4L -4 euros
Untitled-1 37
� Ejercicio 5
ÈCuántas de las uplas
H 1 2 -1 1 L, H -1 1 -2 0 L, H 2 1 1 1 L, H -2 -4 0 2 L, H -1 -2 0 1 L,son independientes?
1L 1 2L 2 3L 3 4L 4 5L 5
� Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X -1 0
2 1.
3 -5
2 -3=
-5 8
-8 13
1L K -2 *
* *O 2L K 0 *
* *O 3L K * -2
* *O 4L K * 1
* *O 5L K * *
-2 *O
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
3 x1 - 5 x2 + 2 x3 + 3 x4 - 5 x5 � -1
-2 x1 + 4 x2 + 4 x3 - 10 x4 + 10 x5 � 10
2 x1 - 3 x2 + 4 x3 - 2 x4 � 4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derechaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1L?
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0
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+X?
-8
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38 Untitled-1
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 12
� Ejercicio 1
Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés del 1% compuesto en 9 períodos, en la que pasado 1 año se pasa a ofrecer un
interés compuesto continuamente del 7%. Inicialmente depositamos
11 000 euros en la cuenta. ÈCuál será el capital en cueta pasados
3 años desde el comienzo de la inversión.
1L Tendremos un capital de ****0.***** euros.
2L Tendremos un capital de ****2.***** euros.
3L Tendremos un capital de ****4.***** euros.
4L Tendremos un capital de ****3.***** euros.
5L Tendremos un capital de ****6.***** euros.
� Ejercicio 2
Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución Hen millones de eurosL:año fondos
0 13
2 -3
5 3
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
-3 y 3. Determinar Hutilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolaciónL durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos Hes decir desde t=0 hasta t=5L.1L Se alcanzarán en el intervalo @4,5D.2L Se cumplirá en los intervalos: @0,2D y @4,5D.3L Se alcanzarán en el intervalo @1,4D.4L Se alcanzarán en el intervalo @1,5D.5L Se alcanzarán en el intervalo @1,2D.6L Se cumplirá en los intervalos: @1,2D y @4,5D.7L Se alcanzarán en el intervalo @0,1D.8L Se alcanzarán en el intervalo @0,4D.
Untitled-1 39
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=1 + 40 x3 + 40 x4 + 15 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
2
� Ejercicio 4
Calcular à2
5 -2 - 5 a - t + 5 a t
-2 + t + t2ât
1L 4 a LogB74
F - 2 Log@4D
2L 5 a LogB74
F - 5 Log@4D
3L -a LogB74
F - 3 Log@4D
4L a LogB74
F - 5 Log@4D5L El resto de las soluciones son incorrectas
6L 5 a LogB74
F - Log@4D
40 Untitled-1
� Ejercicio 5
Comprobar si la upla H -7 -3 1 L es combinación lineal de la uplas
H -1 -2 -1 L, H -1 -1 -1 L, H 2 0 -1 L,1L Si 2L No
� Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 0
-2 1
-1
. X -1 0
1 1=
0 0
0 0
1L K 1 *
* *O 2L K 0 *
* *O 3L K 2 *
* *O 4L K * 1
* *O 5L K * 2
* *O
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
-5 x1 + x2 + 3 x3 - x4 - x5 � 4
6 x1 - 4 x2 - 7 x3 + 3 x4 + 4 x5 � -6
4 x1 + 2 x2 + x3 - x4 - 2 x5 � -2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierdaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1L?
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9
+X?
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10
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3
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-5
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-9
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10
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-14
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3
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1
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Untitled-1 41
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 13
� Ejercicio 1
Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 1% y en la que inicialmente depositamos 9000
euros. ÈCuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
14 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1L Tendrán que transcurrir **4.***** años.
2L Tendrán que transcurrir **1.***** años.
3L Tendrán que transcurrir **5.***** años.
4L Tendrán que transcurrir **2.***** años.
5L Tendrán que transcurrir **0.***** años.
� Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx®-1
-1 - x + x2 + x3
3 + 4 x + x2
1L -2
2L ¥
3L -¥
4L 1
5L -1
6L 0
7L -2
3
42 Untitled-1
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=4 - 6 x2 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
� Ejercicio 4
Calcular el área encerrada por la función fHxL=
-12 + 2 x + 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-1 y x=3.
1L 64
3= 21.3333
2L 113
3= 37.6667
3L 110
3= 36.6667
4L 223
6= 37.1667
5L 211
6= 35.1667
6L 119
3= 39.6667
7L 98
3= 32.6667
8L 107
3= 35.6667
Untitled-1 43
� Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
2 0 1 1
-2 1 0 -2
0 0 0 1
1 0 0 1
.
1L? 0 -1 1
0 ? 0 2
1 0 ? -2
0 0 1 ?
2L? -1 -1 0
0 ? 0 0
-1 -1 ? 1
-1 -1 -1 ?
3L? 0 -1 1
0 ? 1 0
-1 -1 ? -1
1 -1 -3 ?
4L
? 0 0 -1
0 ? 0 -1
1 2 ? -2
1 -3 0 ?
5L? 0 0 -1
1 ? 0 2
1 0 ? 3
1 0 0 ?
6L? 0 0 0
-1 ? 1 -1
0 -1 ? 0
1 1 0 ?
7L? 0 0 0
0 ? 1 -1
0 1 ? 0
-1 1 -2 ?
� Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X +0 -1
1 0.
7 2
-4 -1
-1
=-8 -14
-5 -9
1L K -2 *
* *O 2L K -1 *
* *O 3L K 0 *
* *O 4L K * -2
* *O 5L K * 1
* *O
44 Untitled-1
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
4 x1 - 2 x2 - 3 x3 - 4 x4 � 0
-4 x1 + 5 x2 + 2 x3 + 3 x4 � 1
-4 x1 - x2 + 4 x3 + 5 x4 � -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierdaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1L?
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2
+X?
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7
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4
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2
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+X?
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5
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11
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Untitled-1 45
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 14
� Ejercicio 1
Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y otra en el
banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto continuamente del 5%
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 1%
. Inicialmente depositamos 1000 euros en el banco A y 5000
en el B. ÈCuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1L Tendrán que transcurrir **5.***** años.
2L Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3L Tendrán que transcurrir **3.***** años.
4L Tendrán que transcurrir **4.***** años.
5L Tendrán que transcurrir **9.***** años.
� Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx®¥7 - 4 x + x2 - 6 x3 - 7 x4
1L -4
2L -5
3L -¥
4L -9
5L ¥
6L 1
7L 0
46 Untitled-1
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=2 + 12 x + 9 x2 + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
� Ejercicio 4
El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
vHtL=1 + 3 t + t2 millones de euros�año.Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de
50 millones de euros, calcular los fondos disponibles pasado 1 año.
1L 151
2millones de euros = 75.5 millones de euros
2L 298
3millones de euros = 99.3333 millones de euros
3L 182
3millones de euros = 60.6667 millones de euros
4L 317
6millones de euros = 52.8333 millones de euros
Untitled-1 47
� Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 -1
-2 1 1 1
-1 1 2 0
-2 1 2 2
.
1L? -2 -4 2
0 ? -1 1
0 0 ? 0
1 -3 -6 ?
2L? -2 0 -1
1 ? 0 -1
0 -1 ? -2
0 0 1 ?
3L? -1 -3 0
1 ? -1 0
0 0 ? 0
1 0 0 ?
4L
? 0 -1 1
4 ? -2 1
-1 -1 ? 0
1 0 -1 ?
5L? -1 0 0
0 ? 1 0
1 -1 ? 0
-1 0 -1 ?
6L? -1 0 0
1 ? 0 0
-1 0 ? 0
0 0 0 ?
7L? -1 1 2
1 ? 1 1
1 -1 ? 2
0 -1 1 ?
� Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 -2
1 -1.X +
3 -2
-1 1=
4 1
0 3
1L K -2 *
* *O 2L K -1 *
* *O 3L K 0 *
* *O 4L K 1 *
* *O 5L K * -2
* *O
48 Untitled-1
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
4 x1 + x2 + x3 + 2 x4 � -4
-x1 + 3 x3 + x4 � -9
-9 x1 - 2 x2 + x3 - 3 x4 � -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derechaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1L6
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+X?
-16
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-8
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-1
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-15
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-8
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7
5L?
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0
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1
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Untitled-1 49
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 15
� Ejercicio 1
Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 4% y en la que inicialmente depositamos 12 000
euros. ÈCuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
18 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1L Tendrán que transcurrir **6.***** años.
2L Tendrán que transcurrir **1.***** años.
3L Tendrán que transcurrir **3.***** años.
4L Tendrán que transcurrir **0.***** años.
5L Tendrán que transcurrir **5.***** años.
� Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx®-1
-3 - 5 x - x2 + x3
x + 2 x2 + x3
1L -2
2L 0
3L 4
4L ¥
5L -¥
6L 1
7L -1
50 Untitled-1
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=1 - 40 x3 - 15 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
� Ejercicio 4
Calcular el área encerrada por la función fHxL=
-6 x - 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-4 y x=4.
1L 256
3= 85.3333
2L 310
3= 103.3333
3L 319
3= 106.3333
4L 322
3= 107.3333
5L 635
6= 105.8333
6L 96
7L 316
3= 105.3333
8L 78
Untitled-1 51
� Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 0
0 1 -1 0
1 0 1 0
0 -1 0 1
.
1L? -2 0 1
0 ? 0 0
0 0 ? 0
-1 -4 0 ?
2L? 0 0 0
-1 ? 1 0
-1 0 ? 0
-1 1 1 ?
3L? -1 0 1
1 ? 0 1
0 -2 ? 0
0 0 0 ?
4L
? -1 1 -1
1 ? 2 -2
-1 1 ? 1
2 -2 1 ?
5L? 0 0 -1
-1 ? -1 2
0 0 ? 0
0 -2 0 ?
6L? 0 0 -1
0 ? 0 1
-1 -1 ? 0
0 0 0 ?
7L? 0 0 -1
0 ? 1 -1
-1 0 ? 2
0 0 -1 ?
� Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 1
0 -1. X -
0 -1
1 2=
-2 -5
1 3
1L K -2 *
* *O 2L K 1 *
* *O 3L K 2 *
* *O 4L K * -2
* *O 5L K * -1
* *O
52 Untitled-1
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
2 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 2 x4 � -3
5 x1 + 2 x2 + x3 + x4 � -1
-3 x1 + 2 x2 + 2 x3 + x4 � -2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierdaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1L?
0
?
?
+X?
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8
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,
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0
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2L2
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4
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5L?
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1
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5
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,
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-3
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Untitled-1 53
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 16
� Ejercicio 1
Ciertos terrenos se revalorizan desde un valor inicial de
219 000 euros hasta un valor final de 495 000 euros a lo largo de 6
años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1L El interés será del **1.*****%.
2L El interés será del **7.*****%.
3L El interés será del **6.*****%.
4L El interés será del **4.*****%.
5L El interés será del **9.*****%.
� Ejercicio 2
Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución Hen millones de eurosL:año fondos
0 15
4 -1
7 29
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
-1 y 5. Determinar Hutilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolaciónL durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos Hes decir desde t=0 hasta t=7L.1L Se cumplirá en los intervalos: @0,2D y @4,5D.2L Se alcanzarán en el intervalo @1,2D.3L Se alcanzarán en el intervalo @1,4D.4L Se alcanzarán en el intervalo @4,7D.5L Se cumplirá en los intervalos: @1,2D y @4,5D.6L Se alcanzarán en el intervalo @0,4D.7L Se alcanzarán en el intervalo @0,1D.8L Se alcanzarán en el intervalo @1,7D.
54 Untitled-1
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=5 + 2 x3 + 2 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
� Ejercicio 4
El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
VHtL=3 + 2 t + 2 t2 euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
9 primeros meses del año Hentre t=0 y t=9L.1L 66 euros
2L 46
27euros = 1.7037 euros
3L 14
27euros = 0.5185 euros
4L 4 euros
� Ejercicio 5
ÈCuántas de las uplas
H -3 -4 -1 -1 -2 L, H 1 2 -1 -2 0 L,H 1 2 0 2 2 L, H -3 -4 0 3 0 L, H -2 -2 -1 1 0 L,
son independientes?
1L 1 2L 2 3L 3 4L 4 5L 5
� Ejercicio 6
Untitled-1 55
�
Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 0
0 1. X -
-1 -4
1 3=
2 3
-1 -4
1L K -2 *
* *O 2L K 1 *
* *O 3L K 2 *
* *O 4L K * 1
* *O 5L K * 2
* *O
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
-x1 + x2 - 4 x3 + 3 x4 - 5 x5 � 5
-3 x1 + 2 x2 - x3 + 5 x4 - 9 x5 � 0
-2 x1 + x2 + 3 x3 + 2 x4 - 4 x5 � -5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derechaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1L?
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-1
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+X8
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3L-10
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+X10
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-6
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7
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-1
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4L?
8
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-9
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7
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5L?
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0
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+X7
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-1
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6
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56 Untitled-1
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 17
� Ejercicio 1
Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto del 7%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés del 3% compuesto en 10 períodos
. Inicialmente depositamos 4000 euros en el banco A y 10 000
en el B. ÈCuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1L Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2L Tendrán que transcurrir **8.***** años.
3L Tendrán que transcurrir **4.***** años.
4L Tendrán que transcurrir **5.***** años.
5L Tendrán que transcurrir **2.***** años.
� Ejercicio 2
Una factoría fabrica cierto tipo de dispositivos. El coste marginal Hcostede fabricar una unidadL se reduce cuando producimos grandes cantidades
de dispositivos y viene dado por la función CHxL=9 + 3 x + 6 x2 + 5 x3
3 + 6 x + 2 x2 + 3 x3 + 7 x4
. Determinar el coste por unidad esperado cuando se producen grandes cantidades de unidades.
1L ¥
2L -¥
3L -1
3
4L 0
5L -2
5
6L 13 000
7L -1
Untitled-1 57
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=4 - 4 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
� Ejercicio 4
El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
vHtL=H5 + 3 tLã-2+t millones de euros�año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 40
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.
1L 40 -1
ã3-
2
ã2millones de euros = 39.6795 millones de euros
2L 48 -2
ã2millones de euros = 47.7293 millones de euros
3L 40 -2
ã2+ 11 ã millones de euros = 69.6304 millones de euros
4L 40 -2
ã2+5
ãmillones de euros = 41.5687 millones de euros
58 Untitled-1
� Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
-1 1 1 -1
-4 2 2 -3
-1 0 1 0
1 0 0 1
.
1L? -1 0 -1
-1 ? -1 2
2 -1 ? -1
-2 1 0 ?
2L? -1 -1 2
0 ? 2 -3
0 0 ? -3
0 -2 -1 ?
3L? -1 0 -2
1 ? -1 2
0 0 ? 0
1 0 0 ?
4L
? -1 0 -1
-1 ? -1 -1
0 0 ? 1
0 0 0 ?
5L? 0 -1 -1
0 ? -1 0
0 0 ? -1
0 -1 2 ?
6L? 0 0 -1
0 ? 0 -2
0 0 ? 0
0 0 0 ?
7L? 0 0 0
-1 ? 0 1
0 1 ? 0
-1 -1 0 ?
� Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-5 3
-2 1.X -
-5 6
4 -5=
0 -3
-6 6
1L K -1 *
* *O 2L K 0 *
* *O 3L K 2 *
* *O 4L K * -1
* *O 5L K * 0
* *O
Untitled-1 59
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
x1 + x2 - 3 x3 � -5
-x1 - 3 x2 - 7 x3 - 6 x4 � -5
x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 � 0
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derechaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1L?
?
0
?
+X?
?
?
4
,
?
10
?
?
,
?
?
?
-3
,
?
-8
?
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2L?
3
?
?
+X?
?
?
-6
,
?
?
2
?
,
?
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1
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3L?
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-2
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+X11
?
?
?
,
?
-1
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4L?
4
?
?
+X?
-7
?
?
,
?
-5
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5L?
5
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?
+X8
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?
,
?
-3
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?
\
60 Untitled-1
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 18
� Ejercicio 1
Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 5% y en la que inicialmente depositamos 11 000
euros. ÈCuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
14 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1L Tendrán que transcurrir **8.***** años.
2L Tendrán que transcurrir **4.***** años.
3L Tendrán que transcurrir **2.***** años.
4L Tendrán que transcurrir **1.***** años.
5L Tendrán que transcurrir **0.***** años.
� Ejercicio 2
El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos
0 2
2 12
3 23
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona los fondos en la cuenta en cada año t. Utilizar
dicha función para pronosticar la cantidad disponible en el año 4.
1L Los fondos en la cuenta el año 4 son 38.
2L Los fondos en la cuenta el año 4 son 3.
3L Los fondos en la cuenta el año 4 son 57.
4L Los fondos en la cuenta el año 4 son 14.
5L Los fondos en la cuenta el año 4 son 12.
Untitled-1 61
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=4 + 480 x + 120 x2 - 120 x3 - 15 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
� Ejercicio 4
Calcular el área encerrada por la función fHxL=
3 - 2 x - x2 y el eje horizontal entre los puntos x=0 y x=3.
1L 9
2L 46
3= 15.3333
3L 49
3= 16.3333
4L 89
6= 14.8333
5L 43
3= 14.3333
6L 101
6= 16.8333
7L 37
3= 12.3333
8L 95
6= 15.8333
62 Untitled-1
� Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 0
-1 1 0 0
1 0 1 0
0 -1 1 1
.
1L? -2 -2 0
-1 ? -1 0
1 1 ? 0
0 0 0 ?
2L? 0 0 0
1 ? 0 0
-1 0 ? 0
2 1 -1 ?
3L? -1 0 1
-1 ? 1 -1
1 -1 ? 0
-1 2 2 ?
4L
? -1 0 1
0 ? 0 0
0 0 ? 0
0 0 0 ?
5L? -1 1 0
1 ? 0 0
0 0 ? 0
0 0 -1 ?
6L? 0 -1 0
0 ? 0 0
0 0 ? 0
2 0 -2 ?
7L? 0 0 -1
-1 ? 0 1
1 0 ? 0
0 0 0 ?
� Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
3 -4
1 -1.X.
1 1
0 1=
1 5
0 1
1L K -2 *
* *O 2L K -1 *
* *O 3L K 1 *
* *O 4L K * -2
* *O 5L K * -1
* *O
Untitled-1 63
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
4 x1 - 3 x2 + 9 x3 + 4 x4 � 1
2 x1 - x2 + 5 x3 - 4 x4 � -1
-x1 + x2 - 2 x3 - 4 x4 � -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derechaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1L?
?
?
-6
2L?
-1
?
?
+X?
?
5
?
,
?
?
?
4
,
-6
?
?
?
\
3L-3
?
?
?
+X-5
?
?
?
,
5
?
?
?
\
4L?
?
?
0
+X?
-1
?
?
,
8
?
?
?
\
5L-5
?
?
?
+X?
1
?
?
,
7
?
?
?
\
64 Untitled-1
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 19
� Ejercicio 1
Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés del 1% compuesto en 2 períodos y en la que inicialmente depositamos 7000
euros. ÈCuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
12 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1L Tendrán que transcurrir **6.***** años.
2L Tendrán que transcurrir **5.***** años.
3L Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4L Tendrán que transcurrir **4.***** años.
5L Tendrán que transcurrir **2.***** años.
� Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx®1
25
4- 12 x + 9 x2 - 4 x3 +
3 x4
4+ LogAx3E
-1 + 5 x - 10 x2 + 10 x3 - 5 x4 + x5
1L 1
2L -1
3L -2
4L 0
5L 3
5
6L ¥
7L -¥
Untitled-1 65
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=1 + 48 x - 24 x2 - 4 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
� Ejercicio 4
Calcular el área encerrada por la función fHxL=
-3 + 4 x - x2 y el eje horizontal entre los puntos x=0 y x=4.
1L 7
2L 15
2= 7.5
3L 13
2= 6.5
4L 11
2= 5.5
5L 4
3= 1.3333
6L 6
7L 8
8L 4
66 Untitled-1
� Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 -3 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 1
.
1L? -2 1 0
-2 ? -2 -1
0 -1 ? 0
-2 6 -2 ?
2L? -1 -2 -1
-1 ? 1 1
-1 1 ? 1
0 0 1 ?
3L? -1 -1 0
0 ? 0 0
0 0 ? 0
-1 1 0 ?
4L
? 0 3 0
0 ? 0 0
0 0 ? 0
0 0 -1 ?
5L? -1 0 0
-1 ? 1 -1
1 -1 ? -1
0 0 -1 ?
6L? -1 0 1
0 ? 0 1
0 1 ? -2
0 -1 0 ?
7L? -1 1 1
2 ? -1 -1
0 0 ? 0
-1 0 0 ?
� Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-2 1
3 -2.X -
2 -1
1 0=
1 2
-6 -1
1L K 0 *
* *O 2L K 1 *
* *O 3L K 2 *
* *O 4L K * -1
* *O 5L K * 1
* *O
Untitled-1 67
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
4 x1 - 4 x2 + 2 x3 - x4 � 5
2 x1 - 4 x2 - 7 x3 + 4 x4 � -3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierdaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1L0
?
?
?
+X?
?
?
-32
,
?
?
?
36
\
2L?
-3
?
?
+X?
?
-15
?
,
?
?
23
?
\
3L?
?
?
2
4L?
2
?
?
+X4
?
?
?
,
-9
?
?
?
,
0
?
?
?
\
5L?
-3
?
?
+X?
?
?
-34
,
?
?
?
39
\
68 Untitled-1
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2017/2018 Examen final convocatoria enero para el número de serie: 20
� Ejercicio 1
Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 2% y en la que inicialmente depositamos 11 000
euros. ÈCuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
18 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1L Tendrán que transcurrir **8.***** años.
2L Tendrán que transcurrir **4.***** años.
3L Tendrán que transcurrir **2.***** años.
4L Tendrán que transcurrir **6.***** años.
5L Tendrán que transcurrir **0.***** años.
� Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx®-3
-81 - 54 x + 6 x3 + x4
-9 + 3 x + 5 x2 + x3
1L 1
2L -1
3L ¥
4L -¥
5L -1
3
6L -2
3
7L 0
Untitled-1 69
� Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de la función fHxL=4 + 40 x3 + 45 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1L 2L
3L 4L
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
� Ejercicio 4
Calcular el área encerrada por la función fHxL=
4 x + 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-3 y x=5.
1L 425
3= 141.6667
2L 400
3= 133.3333
3L 422
3= 140.6667
4L 416
3= 138.6667
5L 853
6= 142.1667
6L 841
6= 140.1667
7L 847
6= 141.1667
8L 128
70 Untitled-1
� Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 0
1 1 1 0
1 0 1 0
0 -1 0 1
.
1L? 0 0 0
0 ? -1 0
-1 0 ? 0
0 1 -1 ?
2L? -1 0 1
1 ? 0 0
-1 1 ? 0
0 0 0 ?
3L? -1 1 0
-1 ? -1 1
-1 2 ? 0
0 0 0 ?
4L
? -1 2 -1
2 ? -1 0
1 0 ? 1
1 0 0 ?
5L? -1 2 1
1 ? 1 3
0 0 ? 0
0 1 0 ?
6L? 0 -2 0
0 ? 1 0
0 0 ? 0
0 0 0 ?
7L? 0 -1 0
-1 ? 1 1
0 0 ? -1
0 0 1 ?
� Ejercicio 6
Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X -0 -1
1 1.
-1 1
-2 1=
-5 3
0 0
1L K 0 *
* *O 2L K 1 *
* *O 3L K * 0
* *O 4L K * 2
* *O 5L K * *
0 *O
Untitled-1 71
� Ejercicio 7
Encontrar la solución del sistema
2 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 3 x4 � 4
-3 x1 + 5 x2 - 3 x3 - 3 x4 � 4
-x1 + 2 x2 + 2 x3 � 8
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras Hes decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derechaL. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1L?
?
1
?
+X-17
?
?
?
,
?
-4
?
?
\
2L?
2
?
?
+X?
?
-2
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\
3L?
?
?
1
+X-14
?
?
?
,
-5
?
?
?
\
4L?
-9
?
?
+X?
-3
?
?
,
?
?
?
6
,
?
?
?
-5
\
5L?
?
?
0
+X-16
?
?
?
,
-6
?
?
?
\
72 Untitled-1
