Matemأ،ticas Discretas 2007-09-24آ  Historia Historia Historia Idea Formulacionآ´ Metodoآ´ Ejemplo 1

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  • Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 1/34

    Matemáticas Discretas TC1003

    Inducción Matemática Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes

    ITESM

  • Historia Historia Historia Idea Formulacíon Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6

    Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 2/34

    Inducción Matemática: Historia

    Inducción Matemática es un método de prueba relativa- mente reciente: el primer uso conocido lo hizo el sacerdo- te italiano Francesco Mauroli- co (1494-1575) en su publica- ción “Arithmeticorum libri duo” (1575).

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    Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 3/34

    Inducción Matemática: Historia

    En el siglo 17 tanto Piere de Fermat como Blaise Pascal uti- lizaron inducción matemática para hacer demostraciones.

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    Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 4/34

    Inducción Matemática: Historia

    En 1883 Augustus De Morgan fue el primero que describió el proceso cuidadosamente y le nombró inducción matemática.

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    Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/34

    Inducción Matemática: Idea Intuitiva

    Suponga una fila interminable de fichas de dominó.

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    Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/34

    Inducción Matemática: Idea Intuitiva

    Suponga una fila interminable de fichas de dominó. Supon- ga que las fichas están estra- tegicamente colocadas de tal forma que si cualquiera caye- ra hacia adelante tumbaría la siguiente ficha hacia adelan- te. (Paso Inductivo) Suponga también que la primera ficha cae hacia adelante.(Base In- ductiva) ¿Qué pasará con las fichas de dominó? ¡Caerán todas!

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    Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 6/34

    Inducción Matemática: Formulación

    Suponga que una propiedad (fórmula, desigualdad, condición etc) P(n) que está definida para los enteros apartir de un entero fijo a (Para n = a, para n = a + 1, para n = a + 2, . . . ) Suponga que las dos siguientes afirmaciones son ciertas: ■ P(a) es verdadero. ■ Para cualquier entero k mayor o igual que a:

    Si P(k) es cierto, entonces P(k + 1) es cierto.

    Entonces la afirmación:

    Para todos los enteros n ≥ a, P(n)

    es verdadera.

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    Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 7/34

    Inducción Matemática: El Método

    Para demostrar que es verdadera una afirmación:

    Para todos los enteros n ≥ a, P(n)

    Pruebe que: ■ Paso 1 (Base Inductiva): P(a) es verdadero. ■ Paso 2 (Paso Inductivo): Muestre que para

    cualquier entero k ≥ a . . . ◆ suponiendoque P(k) es verdadera (Hipótesis

    inductiva) ◆ entonces muestreque P(k + 1) también es

    verdadera.

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    Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 8/34

    Inducción Matemática: Ejemplo 1

    Suponiendo como válidas las reglas de derivación

    d dx

    x = 1

    y que

    d dx

    ( f (x) · g(x)) = g(x) · d dx

    f (x) + f (x) · d dx

    g(x)

    Demuestre que para todo entero n ≥ 1

    d dx

    xn = n xn−1

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    Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 9/34

    Demostracíon De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 1. La fórmula que debemos demostrar para n = 1 queda:

    d dx

    x1 = 1 x1−1

    es decir, d dx

    x = 1

    pero esto es uno de los datos que tenemos en el problema. Por tanto, la afirmación es cierta para n = 1.

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    Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 10/34

    Paso inductivo: Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera se cumple:

    d dx

    xk = k xk−1

    Mostremos que entonces se cumple:

    d dx

    xk+1 = (k + 1) xk+1−1 = (k + 1) xk

    (La igualdad anterior se debe probar) Trabajemos con el lado izquierdo de la igualdad que queremos demostrar y hagamos un truco matemático:

    d dx

    xk+1 = d dx

    (

    xk · x )

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    Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 11/34

    Si tomamos como f (x) = xk y como g(x) = x y utilizamos como probada al fórmula dada al inicio del problema tenemos´:

    d dx

    xk+1 = d dx

    (

    xk · x )

    = x d dx

    xk + xk d dx

    x

    Por la hipótesis inductiva ddx x k = k xk−1, entonces

    tenemos que la igualdad anterior queda:

    d dx

    xk+1 = x d dx

    xk + xk d dx

    x = x·k xk−1 + xk · 1

    Si hacemos álgebra en el lado derecho obtenemos:

    d dx

    xk+1 = (k + 1) xk

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    Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 12/34

    Que era la fórmula que debíamos demostrar. Por tanto hemos probado que si ddx x

    k = k xk−1 es

    verdadera, entonces ddx x k+1 = (k + 1) xk es también

    verdadera. Es decir, hemos probado el paso inductivo. Por haber probado la base inductiva y el paso inductivo, el principio de inducción matemática dice que la afirmación es cierta:

    Para todo entero n ≥ 1, d dx

    xn = n xn−1.

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    Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 13/34

    Inducción Matemática: Ejemplo 2

    Demuestre que para enteros n ≥ 3:

    2n + 1 ≤ 2n

    Demostracíon De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 3. La desigualdad que debemos demostrar para n = 3 queda:

    2 · 3+ 1 ≤ 23

    es decir, 7 ≤ 8, pero esto es verdadero. Por tanto, la afirmación es cierta para n = 3.

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    Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 14/34

    Paso inductivo: Supongamos que para un entero k ≥ 3 cualquiera se cumple:

    2k + 1 ≤ 2k

    Mostremos que entonces se cumple:

    LHS = 2 (k + 1)+ 1 ≤ 2k+1

    (La desigualdad anterior se debe probar) Trabajemos con el lado izquierdo de la desigualdad que queremos demostrar:

    LHS = 2 (k + 1)+ 1 = 2k + 1+ 2

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    Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 15/34

    Por la hipótesis inductiva 2k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3, 2 ≤ 2k, lo anterior queda:

    LHS = 2 (k + 1)+ 1 = 2k + 1+ 2 ≤ 2k + 2 ≤ 2k + 2k

    Por tanto, hemos probado que

    2 (k + 1)+ 1 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1

    Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado el paso inductivo. Por el principio de inducción matemática la afirmación es verdadera:

    Para cualquier entero n ≥ 3, 2n + 2 ≤ 2n

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    Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 16/34

    Note que en la demostración anterior hemos hecho uso de lo siguiente: ■ Si A ≤ B, entonces A +C ≤ B +C. ■ Si A ≤ B y B ≤ C, entonces A ≤ C.

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    Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 17/34

    Inducción Matemática: Ejemplo 3

    Demuestre que para enteros n ≥ 4:

    n2 ≤ 2n

    Demostracíon De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 4. La desigualdad que debemos demostrar para n = 4 queda:

    42 ≤ 24

    es decir, 16≤ 16, pero esto es verdadero. Por tanto, la afirmación es cierta para n = 4.

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