Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE

Matemáticas Discretas

Cursos Propedéuticos 2011Ciencias Computacionales

INAOE

Dr. Enrique Muñoz de Cotejemc@inaoep.mx

http://ccc.inaoep.mx/~jemcOficina 8210

Diapositivas basadas en previas iteraciones de:

Dr. Enrique SucarDr. Luis Villaseñor

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4. Relaciones y funciones

Relaciones Propiedades de relaciones Clases de equivalencia Conjuntos parciales y totalmente ordenados Funciones

3

Producto cartesiano Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano

A×B se define por: A×B = { (x, y) | x∈A, y∈B}

Ejemplo: {a,b}×{1,2,3} = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)}

Note que los elementos (x, y) son pares ordenados: hay una diferencia entre (a, 2) y (2, a)

En general: A×B ≠ B×A

4

Relaciones Dados dos conjuntos A y B, una relación binaria R

de A a B es determinada por un subconjunto R ⊆ A×B Se dice que “aRb” si y solo si (a, b)∈R Si A=B, se dice que R es una relación en A

5

Ejemplo Sea U={1, 2, 3, …,7}, A={2, 3, 4} y B={4, 5}, las

siguientes son ejemplos de relaciones de A a B: Ø {(2, 4), (2, 5)} {(2, 4), (3, 4), (4, 5)} {(2, 4), (3, 4), (4, 4)}

6

Ejemplo La relación de menor que < en el conjunto de

números naturales N se describe por el conjunto: {(0,1),(0,2),(1,2),(0,3),…} ⊆ N×N

La relación de igualdad “=“ en R se define por el conjunto: {(x, x) | x∈R} ⊆ R×R

7

Propiedades de las relaciones Una relación R en A es reflexiva si:

Si (a, a) ∈ R para toda a ∈ A

Una relación R en A es antireflexiva si: Si (a, a) ∉ R para toda a ∈ A

8

Ejemplo Se A={1, 2, 3, 4}, considere las siguientes relaciones

R sobre A y determine si son reflexivas: R={(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

No es reflexiva

R={(x, y)| x, y ∈ A, x ≤ y} Es reflexiva

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Propiedades de las relaciones Una relación R en A es simétrica si:

Si (a,b)∈R entonces (b,a)∈R para todo a,b∈A

Una relación R en A es antisimétrica si: Si (a,b)∈R y (b,a)∈R entonces a=b

Una relación R en A es transitiva si: Si (a,b)∈R y (b,c)∈R entonces (a,c)∈R para todo a,b∈A

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Ejemplo Sea A={1, 2, 3} y R una relación en A

R={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} Simétrica y no reflexiva

R={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)} Reflexiva y no simétrica

R={(1,1),(2,3),(3,3)} No Simétrica y no reflexiva

11

Ejemplo Sea A={1, 2, 3, 4}

R={(1,1),(2,3),(3,4),(2,4)} Es una relación transitiva en A

R={(1,3),(3,2)} No es transitiva

12

Ejemplo Sea A={1, 2, 3}

R={(1,2),(2,1),(2,3)} No simétrica y no antisimetrica

R={(1,1),(2,2)} Simétrica y antisimetrica

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Ordenamientos Relaciones comunes tales como ≤ definen

ordenamientos Una relación R en A es un ordenamiento parcial si y

sólo si es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva

(A, R) es un conjunto ordenado parcialmente o poset si R es un ordenamiento parcial en A

14

Ordenamientos Si a ≤ b ó b ≤ a, entonces los elementos a y b son

comparables Si todos los pares a y b posibles son comparables, ≤

es un ordenamiento total o cadena

15

Ejemplo Sea A={1, 2, 3, 4, 6, 12} y sea R la relación en A

dada por (x, y) ∈ R si x divide exactamente a y R es reflexiva R es transitiva R es antisimétrica Por lo tanto R define un ordenamiento parcial en A

16

Particiones Una partición de un conjunto A es un conjunto de

subconjuntos {Aj} tal que: Ai∩Aj = ∅ para todo i≠j

A = ∪j Aj

17

Ejemplo Sea A={1, 2, 3, …,10}, las siguientes son ejemplos

de particiones de A: A1={1, 2, 3, 4, 5}, A2={6, 7, 8, 9, 10} A1={1, 3, 5, 7, 9}, A2={2, 4, 6, 8, 10} A1={1, 2, 3}, A2={4, 6, 7, 9}, A3={5, 8, 10} Ai={i, i+5}, 1 ≤ i ≤ 5

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Composiciones La composición T = R1•R2 ⊆ A×C de dos relaciones

R1⊆A×B y R2⊆B×C es una relacion de A en CT = { (x,z) | tal que existe x∈A, z∈C, y∈B tal que (x,y)∈R1 y (y,z)∈R2 }

19

Ejemplo Sea A={1, 2, 3, 4}, B={w, x, y, z} y C={5, 6, 7},

R1⊆A×B={(1,x),(2,x),(3,y),(3,z)} y R2⊆B×C={(w,5),(x,6)}

R1•R2={(1,6), (2,6)} es una relacion de A en C Si R3⊆B×C={(w,5),(w,6)} entonces R1•R3=

Composiciones La composición de relaciones es asociativa Para relaciones R en A se pueden definir potencias:

R1 = R y Rn+1 = R•Rn para todo entero n

20

21

Matrices y relaciones Una relación R de A = {a1,…,am} a B = {b1,…,bn}

puede representarse por una matriz M(R) de dimensión m×n de (0,1) : Si aiRbj ∈ R entonces el elemento (i, j) en M(R) es 1, Si aiRbj ∉ R entonces el elemento (i, j) en M(R) es 0.

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Matrices y relaciones Si se utiliza la “adición booleana” 1+1=1, entonces la

composición de dos relaciones se puede calcular mediante la matriz producto: M(R•S) = M(R)∙M(S)

Un repaso de lo visto hasta ahora

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24

EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, ... , 7}, A = {2, 3, 4}, B = {4, 5}. Entonces,

a) A × B = {(2, 4), (2, 5), (3, 4),(3, 5),(4, 4), (4, 5)}.

b) B × A = {(4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}.

c) B2=B × B = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}

d) B3=B × B × B = ; (4, 5, 5)∈B3.( ){ }Bcbacba ∈,,,,

Producto Cartesiano

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EJEMPLO Si U =R, R × R = se conoce como el plano real de la geometría coordenada y del cálculo bidimensional. El subconjunto R+×R+ es el interior del primer cuadrante de este plano. Así mismo, R3 representa el espacio euclidiano tridimensional donde las superficies tridimensionales, como esferas y planos, son subconjuntos importantes.

Producto Cartesiano

26

EJEMPLO Un experimento E se desarrolla de la siguiente forma: se lanza un sólo dado y se anota el resultado; a continuación, se lanza una moneda al aire y se anota el resultado. Determínese un espacio muestral M para E.

Denótese por E1 la primera parte del experimento E y sea M1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} un espacio muestral para E1. Así mismo sea M2={CA,CZ} un espacio muestral para E2, la segunda parte del experimento. Entonces, M = M1 × M2 es un espacio muestral para E.

Producto Cartesiano

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Este espacio muestral se puede representar gráficamente con un diagrama de árbol.

Producto Cartesiano

28

EJEMPLO En el torneo de tenis de Wimbledon, las mujeres juegan a lo sumo 3 sets en un partido. Triunfa quien gane primero 2 sets. Si N y E representan a las 2 jugadoras, el diagrama de árbol refleja las 6 maneras en que puede ganarse el encuentro.

Producto Cartesiano

29

EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, ... , 7}, A = {2, 3, 4}, B = {4, 5}. Las siguientes son relaciones de A a B.

a) ∅ b) {(2,4)} c) {(2, 4), (2, 5)}

d) {(2, 4), (3, 4), (4, 4)} e) {(2, 4), (3, 4), (4, 5)}

f) A × B.

¿cuántas relaciones de A a B existen?

Relaciones

30

En general, para conjuntos finitos A, B donde = m y , hay 2mn relaciones de A a B, incluyendo la relación vacía y la propia relación A × B.

€

A

€

B = n

Relaciones

Como = 6, por la definición se deduce que hay 26 relaciones posibles de A a B.

€

A × B

31

EJEMPLO Sea B = {1, 2} ⊆ N, U = P(B) y A = U ={∅, {1}, {2}, {1, 2}}. El siguiente es un ejemplo de relación binaria en A: R = {(∅, ∅), (∅, {1}), (∅, {2}), (∅, {1, 2}), ({1}, {1}), ({1},{1,2}), ({2}, {2}), ({2}, {1,2}), ({1,2}, {1,2})}.

Relaciones

32

EJEMPLO Si A = U =Z+, se define una relación binaria R en el conjunto A como . Se trata de la conocida relación “es menor o igual que” para el conjunto de los enteros positivos,

€

x,y( ) x ≤ y{ }

Se observa que (7,7),(7,11)∈R, y (8,2)∉R, (7,11)∈R también se puede denotar como 7R 11; (8,2)∉R se transforma en 8R 2 son ejemplos de notación infija en una relación.

Relaciones

33

Para cualquier conjunto A ⊆ U , A × ∅ = ∅. Así mismo ∅ × A = ∅.

Relaciones

34

Para cualquier conjunto A ⊆ U , A × ∅ = ∅. Así mismo ∅ × A = ∅.

Relaciones

Si A × ∅ ≠ ∅, sea (a, b) ∈ A × ∅. Entonces, a ∈A y b∈ ∅ , lo cual es imposible.

35

Teorema Para conjuntos arbitrarios A, B, C ⊆ U.

a)

b)

c)

d)

( ) ( ) ( )CABACBA ×∩×=∩×

( ) ( ) ( )CABACBA ×∪×=∪×

( ) ( ) ( )CBCACBA ×∩×=×∩

( ) ( ) ( )CBCACBA ×∪×=×∪

RelacionesEl producto cartesiano y las operaciones binarias de unión e intersección están interrelacionados con el siguiente teorema.

36

EJEMPLO Dado un conjunto finito A con =n, resulta que = n2, de modo que hay relaciones en A.

¿Cuántas son reflexivas? €

2n 2

€

A

€

A × A

Relaciones

37

Si A ={a1, a2, ... ,an}, una relación R en A es reflexiva si . ⊆ R . Al considerar los otros n2–n pares ordenados de A × A (los de la forma , 1 ≤ i, j ≤ n, i ≠ j) conforme se construye una relación reflexiva R en A, se incluye o excluye cada uno de estos pares ordenados, hay relaciones reflexivas en A. €

ai,ai( ) 1≤ i ≤ n{ }

€

ai,a j( )

( )nn −2

2

Relaciones

38

Recordando una relación R en un conjunto A se llama simétrica si (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R para x, y ∈ A.

¿Cuántas son simétricas?

Relaciones

39

Para contar las relaciones simétricas en A={a1,a2, ... ,an}, se escribe A×A como A1∪A2, donde A1= y A2= de modo que cada par en A×A está exactamente en uno de los conjuntos A1, A2.

Para A2, |A2| = |A×A| – |A1| = n2–n = n(n–1), un entero par.

El conjunto A2 contiene (1/2)(n2–n) subconjuntos de la forma {(ai,aj),(aj,ai)},1≤i<j≤n. Al establecer una relación simétrica R en A, para cada par ordenado de A1, se dispone de la selección usual de exclusión o inclusión. Para los (1/2)( n2 – n) subconjuntos de pares ordenados en A2, se dispone de las mismas opciones. Por tanto, por la regla del producto, hay = relaciones simétricas en A.

( ){ }niaa ii ≤≤1,( ){ }jinjiaa ji ≠≤≤ ,,1,

( ) ( )nnn −⋅22/122 ( ) ( )nn +22/12

40

Relaciones

¿Cuántas son reflexivas y simétricas?

41

Se tiene sólo una opción para cada par ordenado en A1. De modo que hay relaciones en A que son reflexivas y simétricas.

Relaciones

¿Cuántas son reflexivas y simétricas?

( ) ( )nn −22/12

42

Recordando una relación R en A es un ordenamiento parcial si y sólo si es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva

Sea A un conjunto y R una relación en A. El par (A, R) se llama conjunto parcialmente ordenado si la relación R en A es un orden parcial, o una relación de ordenamiento parcial. Si a A se le denomina conjunto parcialmente ordenado, se sobre entiende que hay un orden parcial R en A que convierte a A en este conjunto parcialmente ordenado.

Relaciones de Orden

43

EJEMPLO Sea A el conjunto de cursos ofrecidos en una universidad. Defínase la relación R en A mediante x R y si x e y son el mismo curso o si x es un requisito previo para y. Entonces, R transforma a A en un conjunto parcialmente ordenado.

EJEMPLO Defínase R en A = {1, 2, 3, 4} por x R y, si , es decir, x divide a y. Entonces, R ={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4)} es un orden parcial y (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado.

Relaciones de Orden

44

EJEMPLO En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, la relación R en A, definida por x R y si x ≤ y, es un orden parcial, que transforma a A en un conjunto parcialmente ordenado que se puede denotar por (A, ≤).

Si B = {1, 2, 4} ⊂ A, el conjunto ={(1, 1), (2, 2), (4, 4), (1, 2), (1, 4), (2, 4)} es un orden parcial en B.

Relaciones de Orden

45

En general si R es un orden parcial en A, entonces para cualquier subconjunto B de A, convierte a B en un conjunto parcialmente ordenado, donde el orden parcial de B se induce de R.

( ) R∩× BB

Relaciones de Orden

46

Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado, un elemento max ∈ A se llama maximal de A si para toda a ∈ A, max R a

Un elemento min ∈ A se denomina minimal de A si para toda b ∈ A, b R min

Relaciones de Orden

47

EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3} y A = P(U).

Sea R la relación de subconjunto en A. Entonces U es maximal, mientras que ∅ es minimal para este conjunto parcialmente ordenado.

Para B, la colección de subconjuntos propios de {1, 2, 3}, sea R la relación de subconjunto en B . En el conjunto parcialmente ordenado (B, ⊆), {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} son elementos maximales, mientras que ∅ es el único elemento minimal.

Relaciones de Orden

48

Teorema Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado y A finito, entonces A tiene elementos maximal y minimal.

Demostración Sea a1∈A. Si no hay elemento a ∈ A, a ≠ a1 con a1 R a , entonces a1 es maximal. De no ser así, hay un elemento a2 ∈ A , a2 ≠ a1, con a1 R a2.

Relaciones de Orden

49

Si ningún elemento a ∈ A, a ≠ a2 , cumple a2 R a, entonces a2 es maximal. De lo contrario se puede encontrar a3 ∈ A, a3 ≠ a2 , a3 ≠ a1 (¿por qué?) con a1 R a2 y a2 R a3. Siguiendo así, como A es finito, se alcanza un elemento an ∈ A con an R a para cualquier a ≠ an ∈ A, de modo que an es maximal.

Relaciones de Orden

50

Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado, un elemento x ∈ A se denomina elemento mínimo si x R a, para todo a ∈ A. El elemento y ∈ A se denomina máximo si a R y para toda a ∈ A.

Relaciones de Orden

51

EJEMPLO Sean U = {1, 2, 3} y R la relación de subconjunto.

a) Con A = P(U), (A, ⊆) tiene a ∅ como elemento mínimo y a U como máximo.

b) Para B = la colección de subconjuntos no vacíos de U, (B, ⊆) tiene a U como elemento máximo. No existe elemento mínimo, pero si tres elementos minimales.

Relaciones de Orden

52

Para un conjunto parcialmente ordenado (A, R), es posible tener varios elementos maximales y minimales. ¿Qué sucede con los elementos mínimo y máximo?

Relaciones de Orden

53

Teorema Si el conjunto parcialmente ordenado (A, R) tiene algún elemento máximo (mínimo), ese elemento es único.

Demostración Supóngase que x, y ∈A y que ambos son elementos máximos. Como x es un elemento máximo, yR x. Así mismo, x R y, pues y es un elemento máximo. Como R es antisimétrico, x = y.

Relaciones de Orden

54

Recordemos que R en un conjunto A es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.

Relaciones de equivalencia

EJEMPLO Sea n∈Z+. Para x, y ∈ Z, se define la relación R de módulo n por medio de x R y si y sólo si, x – y es un múltiplo de n. Con n = 7, se halla que 9 R 2, -3 R 11, (14,0) ∈ R pero 3 R 7.

55

Si R es una relación en A, R será una relación de equivalencia y un orden parcial en A si y sólo si es la relación de igualdad en A.

Para cualquier conjunto A, es una relación de equivalencia en A, y si A = {a1, a2, ... , an}, la relación de equivalencia más pequeña en A es R = .

AA×

( ){ }niaa ii ≤≤1,

Relaciones de equivalencia

56

EJEMPLO Sea A=R y para cada i∈Z, sea Ai=[i, i+1). Entonces constituye una partición de R.

Definición Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A. Para cualquier x ∈ A, la clase de equivalencia de x, denotada por [x], se define mediante

{ }xyAyx R][ ∈=

Relaciones de equivalencia

57

EJEMPLO Defínase la relación R en Z, por xRy, si 4 divide a (x–y). Para esta relación se encuentra que

[0] = {..., -8, -4, 0, 4, 8, 12, ...} = {4k k∈Z}

[1] = {..., -7, -3, 1, 5, 9, 13, ...} = {4k + 1 k∈Z }

[2] = {..., -6, -2, 2, 6, 10, 14, ...} = {4k + 2 k∈Z }

[3] = {..., -5, -1, 3, 7, 11, 15, ...} = {4k + 3 k∈Z }

{[0], [1], [2], [3]} proporciona una partición de Z.

Relaciones de equivalencia

58

Demostración

a) Este resultado se obtiene de la propiedad reflexiva de R

b) Si x R y , sea w ∈[x]. Entonces, w R x; además como R es transitiva, w R y. Por tanto, w ∈ [y] y [x] ⊆ [y]. Con R simétrica, x R y ⇒ y R x. De este modo, si t∈ [y], entonces t R y y por la propiedad transitiva, t R x. De ahí que t ∈ [x] e [y] ⊆[x]. Por tanto [x] = [y]. A la inversa sea [x] = [y]. Como por el apartado a) x ∈ [x], entonces x ∈ [y] o x R y.

c) Esta propiedad plantea que las clases de equivalencia sólo se pueden relacionar de dos maneras: son idénticas o disjuntas…

Teorema Si R es una relación de equivalencia en un conjunto A y x, y ∈A, entonces: a) x∈ [x]; b) x R y si y sólo si [x] = [y] y c) [x] = [y] o [x] ∩ [y] = ∅.

59

c) Continuación... partimos de que [x] ≠ [y] y [x] ∩ [y]≠ ∅. Si [x] ∩ [y] ≠ ∅, entonces sea v ∈ A con v ∈ [x] y v ∈ [y]. Por tanto, v R x, v R y ⇒ x R y. Además por el apartado b), x R y ⇒ [x] = [y]. Esto contradice la hipótesis de que [x] ≠ [y], por tanto se rechaza la hipótesis de que [x] ∩ [y] ≠ ∅, y de ahí se obtiene el resultado.

Relaciones de equivalencia

60

Obsérvese que si R es una relación de equivalencia en A, entonces, de acuerdo con a) y c) del teorema anterior, las distintas clases de equivalencia determinadas por R constituyen una partición de A.

EJEMPLO Si A ={1, 2, 3, 4, 5} y R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}, entonces R es una relación de equivalencia en A, [1] = {1}, [2] = {2,3}=[3], [4]={4,5}=[5] y A = [1] ∪ [2] ∪ [4].

Relaciones de equivalencia

61

Funciones Una función f:A→B del conjunto A a B es la relación

f⊆A×B tal que cada a∈A está relacionada con un único b tal que (a,b)∈f

Notación f(a)=b, o f:a → b A es el dominio de f y B es el codominio El valor f(a)=b es la imagen de a∈A bajo f El conjunto { f(a) | a∈A } es el rango de f

62

Ejemplo Sea A={1, 2, 3} y B={w, x, y, z}:

¿Es f={(1, w), (2, x)} una función de A a B? No

¿Es f={(1, w), (2, w), (2, x), (3, z)} una función de A a B? No

¿Es f={(1, w), (2, x), (3, x)} una función de A a B? Si

63

Ejemplo ¿Cuál es el dominio (dominio máximo ) de la función

h dada por?

-2 < w < 3

€

h(w) =1

w − w2 + 6

64

Composición de funciones Sean f: A → B y g: B → C dos funciones. La

composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función: (g o f): A → C tal que Para todo a ∈ A, (g o f)= g(f(a))

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Tipos de funciones Una función es inyectiva o uno a uno si para cada

x ∈ A tiene una única imagen f(a): Si f(x)=f(y) entonces x=y. Elementos distintos de A tienen siempre imágenes distintas

Sea f: R → R donde f(x)= 3x + 7 para toda x Es una función uno a uno

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Ejemplo Sea A={1, 2, 3} y B={1, 2, 3, 4, 5}. ¿Es g={(1, 1),(2, 3),(3, 3)} una función uno a uno de

A a B? No

67

Tipos de funciones Una función es sobre o suprayectiva si para cada

y∈B existe una x∈A tal que f(x)=y: Si y∈B entonces existe una x∈A tal que f(x)=y

Sea f: R → R donde f(x)= x3 para toda x ¿Es una función sobre o suprayectiva?

Si

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Tipos de funciones Una función es una biyección entre A y B si es una

función uno a uno y suprayectica

Sea A={1, 2, 3 , 4} y B={w, x, y, z}. ¿Es f={(1, w), (2, x), (3, y), (4, z)} de A a B una biyección?

Si

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Ejemplos La función lineal f:Z→Z, definida por f(x)=x+2

Es inyectiva Es suprayectiva Es biyectiva

La identidad I:A→A es siempre una biyección