MATEMÁTICAS DISCRETAS

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CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016

UTEPSA – Guía MAAP

MATEMÁTICAS DISCRETAS

Edición: 1 Año: 2019

Modalidad Semipresencial

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Misión de Ingeniería de Sistemas:

“Formar profesionales, con competencias cognitivas, actitudinales y

laborales suficientes como para diseñar, modelar, implementar,

operar, integrar, mantener, instalar, administrar, innovar y transferir

tecnologías de información y comunicación existentes y emergentes

en proyectos interdisciplinarios, tanto a nivel nacional e internacional,

para resolver problemas y dar soluciones a las necesidades del

entorno, con actitudes emprendedoras, creativas, analíticas y

comprometidas con el desarrollo sostenible.”

Visión de Ingeniería de Sistemas:

“Ser un referente en tecnología a nivel nacional, e internacional,

logrando que nuestros profesionales sean cotizados en el rubro de

tecnología en nuestro medio, reconocida y valorada por su excelencia

en contribuir con soluciones eficaces en el área de sistemas de

información en la sociedad”

Perfil profesional:

Empresas cuyos ejes de desarrollo e innovación tecnológica sean

estratégicos.

Empresas de desarrollo de software y/o las Tecnologías de

Información.

Ingeniero de software.

Desarrollador de aplicaciones móviles, videojuegos y seguridad

de información

Arquitecto de la infraestructura tecnológica de una organización,

diseñando la plataforma y los servicios de tecnologías de

información.

Investigador en nuevas tecnologías.

Analista y diseñador de sistemas de información.

Administrador de proyectos de Tecnologías de Información

Administrador de servicios de Tecnologías de Información.

Gerente de sistemas.

Emprendedor de su propio negocio de base tecnológica

Consultor especializado en soluciones de software y tecnologías

de información.

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¿Qué es la Guía MAAP?

Es un documento que marca los objetivos de cada asignatura y que a través de actividades y otros

contenidos, orienta los esfuerzos del estudiante para garantizar un exitoso desempeño y el máximo

aprovechamiento.

Esta herramienta, otorga independencia en el aprendizaje mediante trabajos, lecturas, casos, y otras

actividades que son monitoreadas por el profesor permitiendo a los participantes de la clase desarrollar

diferentes competencias.

I. Recordatorios y Recomendaciones

A su servicio Aunque las normas generales están claramente

establecidas, si a usted se le presenta una situación

particular o si tiene algún problema en el aula, o en

otra instancia de la Universidad, el Gabinete

Psicopedagógico y su Jefatura de Carrera, están para

ayudarlo.

Asistencia y puntualidad

Su asistencia es importante en TODAS las clases.

Por si surgiera un caso de fuerza mayor, en el

Reglamento de la Universidad se contemplan tres

faltas por módulo (Art. 13 Inc. b y c del

Reglamento Estudiantil UPTESA). Si usted

sobrepasa esta cantidad de faltas REPROBARÁ LA

ASIGNATURA.

Se considera “asistencia” estar al inicio, durante y

al final de la clase. Si llega más de 10 minutos

tarde o si se retira de la clase antes de que esta

termine, no se considera que haya asistido a

clases. Tenga especial cuidado con la asistencia y

la puntualidad los días de evaluación.

Comportamiento en clases

Los estudiantes y los docentes, bajo ninguna

circunstancia comen o beben dentro

el aula y tampoco organizan festejos

u otro tipo de agasajos en estos espacios,

para este fin está el Patio de Comidas.

Toda la comunidad estudiantil, debe respetar los

espacios identificados para fumadores.

También se debe evitar la desconcentración o

interrupciones molestas por el uso indebido de

equipos electrónicos como teléfonos y tablets.

Cualquier falta de respeto a los compañeros, al

docente, al personal de apoyo o al personal

administrativo, será sancionada de acuerdo al

Reglamento de la Universidad.

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II. Orientaciones para el aprendizaje

La Guía MAAP, contiene diferentes actividades de aprendizaje que han sido clasificadas y marcadas con

algunos símbolos.

La tabla a continuación, le permitirá comprender y familiarizarse con cada una de estas actividades:

Símbolo Actividad Descripción

Preguntas A través de cuestionarios, se repasan las bases teóricas generales para una mejor comprensión de los temas.

Prácticos y/o Laboratorios

Los prácticos permiten una experiencia activa; a través, de la puesta en práctica de lo aprendido las cuales, según la carrera, pueden desarrollarse en laboratorios.

Casos de Estudio y ABP

Son planteamientos de situaciones reales, en los que se aplica los conocimientos adquiridos de manera analítica y propositiva.

Investigación Las actividades de investigación, generan nuevos conocimientos y aportes a lo aprendido.

Innovación y/o Emprendimiento

A través de esta actividad, se agrega una novedad a lo aprendido, con el fin de desarrollar habilidades emprendedoras.

Aplicación

Al final de cada unidad y después de haber concluido con todas las actividades, se debe indicar, cómo los nuevos conocimientos se pueden aplicar y utilizar a la vida profesional y a las actividades cotidianas.

Ética Responsabilidad

Social Formación

Internacional Idioma Ingles

Serán actividades transversales que pueden ser definidas en cualquiera de las anteriores actividades.


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III. Datos Generales

ASIGNATURA: Matemáticas Discretas SIGLA: SAL-304 PRERREQUISITO: Ninguno

APORTE DE LA ASIGNATURA AL PERFIL PROFESIONAL: El profesional que haya cursado la materia de Matemáticas Discretas desarrollará las competencias necesarias para comprender la teoría, la aplicabilidad y la implementación de los modelos matemáticos a través de un lenguaje de programación o software de análisis y modelamiento matemático, de manera que pueda resolver problemas matemáticos siguiendo una metodología de solución, basado en el análisis matemático, diseño lógico algorítmico, implementación y prueba. El entendimiento de las Matemáticas Discretas permitirá al estudiante comprender los modelos matemáticos y utilizarlas en la especificación y búsqueda de soluciones a problemas del campo de la computación. Con las bases matemáticas adquiridas el estudiante podrá hablar el lenguaje de las matemáticas discretas y utilizarlas como herramienta de resolución a problemas cotidianos, principalmente aplicados a la Ingeniería, lo que le permitirá desarrollar su razonamiento lógico, algorítmico y procedimental. Las Matemáticas Discretas son una parte de las matemáticas y tiene un impacto significativo en el desarrollo de las ciencias de la computación, tal como el análisis y diseño de redes de datos, redes eléctricas, circuitos electrónicos, máquinas teóricas computables, lenguajes formales, protocolos de comunicación y computación en la nube. OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA:

Conocer y aplicar conceptos básicos de las matemáticas discretas como la lógica, teoría

de conjuntos, combinatoria, relaciones y funciones para desarrollar la lógica de

programación en el estudiante.

Desarrollar la capacidad de cuantificar la información, expresarla en estructuras discretas,

describirla de manera lógica a través de lenguajes formales.

Conocer y aplicar los fundamentos de las matemáticas discretas, métodos y algoritmos

para la solución de problemas relacionados con las ciencias de la computación.

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ESTRUCTURA TEMÁTICA

Unidad 1 Tema: INTRODUCCIÓN Contenido

1.1. Matemáticas discretas 1.1.1. Historia de las matemáticas discretas 1.1.2. Conceptos de las matemáticas discretas 1.1.3. Estructuras discretas 1.1.1.1. Lógica matemática 1.1.1.2. Teoría de números 1.1.1.3. Combinatoria 1.1.1.4. Teoría de conjuntos 1.1.1.5. Teoría de grafos 1.2. Introducción a los lenguajes formales 1.3. Panorama de las matemáticas discretas

Unidad 2 Tema: LÓGICA MATEMÁTICA Contenido

2.1. Introducción 2.1.1. Lógica 2.1.2. Inferencia 2.1.3. Conclusión 2.2. Lógica proposicional 2.2.1. Proposición 2.2.2. Conectivos lógicos 2.2.3. Orden jerárquico de los conectivos lógicos 2.2.4. Operaciones proposicionales unarias y binarias 2.2.4.1. Negación 2.2.4.2. Conjunción 2.2.4.3. Disyunción 2.2.4.4. Disyunción exclusiva (XOR) 2.2.4.5. Condicional o implicación 2.2.4.6. Bicondicional o Doble condicional 2.2.5. Formulas proposicionales 2.2.5.1. Clasificación de las formulas proposicionales 2.2.5.2. Tablas de verdad 2.2.5.3. Construcción de tablas de verdad 2.2.5.4. Relación entre fórmulas proposicionales

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2.2.5.4.1. Implicación lógica 2.2.5.4.2. Equivalencia lógica 2.2.5.4.3. Proposiciones asociadas a la condicional 2.2.5.4.4. Principio de sustitución 2.2.6. Leyes de la lógica proposicional 2.2.7. Simplificación de fórmulas proposicionales 2.3. Lógica de predicados 2.3.1. Inferencia lógica 2.3.2. Inferencia válida 2.3.3. Reglas de inferencia 2.3.4. Métodos de demostración 2.3.5. Conclusiones no válidas 2.3.6. Consistencia e inconsistencia de premisas 2.3.7. Esquema proposicional en una variable 2.3.7.1. Cuantificador existencial 2.3.7.2. Cuantificador universal 2.3.7.3. Operaciones lógicas con esquemas proposicionales en una variable 2.4. Lógica binaria 2.4.1. Algebra de Boole 2.4.2. Definición 2.4.3. Principios 2.4.4. Relación entre conectivos lógico y compuertas lógicas 2.4.5. Circuitos lógicos 2.4.6. Circuitos lógicos equivalentes 2.4.7. Diseño, simplificación y simulación de circuitos lógicos

Unidad 3 Tema: INDUCCIÓN Y RECURSIÓN Contenido

3.1. Axiomas de Peano 3.2. Sistemas Numéricos 3.2.1. Relación entre conjuntos numéricos 3.2.2. Relación biyectiva de los conjuntos numéricos 3.2.3. Propiedades de los conjuntos numéricos 3.2.3.1. Identidad respecto de la suma 3.2.3.2. Identidad respecto de la multiplicación 3.2.3.3. Inverso aditivo 3.2.3.4. Inverso multiplicativo 3.2.3.5. Conmutatividad 3.2.3.6. Asociatividad 3.2.3.7. Distributividad 3.3. Principios de la inducción 3.3.1. Demostraciones mediante inducción matemática

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3.4. Definiciones de la recursión 3.4.1. Funciones recursivas 3.4.2. Algoritmos recursivos 3.5. Dualidad entre inducción y recursión 3.6. Aplicaciones de la inducción y recursión 3.6.1. Sucesión 3.6.2. Sumatoria 3.6.3. Productoria 3.6.4. Combinatoria 3.6.5. Permutación

Unidad 4 Tema: RELACIONES Contenido

4.1. Relación de conjuntos 4.1.1. Definición de relación de conjuntos 4.1.2. Definición de par ordenado 4.1.3. Representación Gráfica 4.1.4. Dominio de una relación 4.1.5. Recorrido de una relación 4.2. Propiedades de las relaciones de orden 4.2.1. Reflexiva 4.2.2. Simétrica 4.2.3. Antisimétrica 4.2.4. Transitiva 4.3. Producto cartesiano 4.4. Inversa del producto cartesiano 4.5. Relación inversa de conjuntos 4.6. Relación de equivalencia entre conjuntos 4.7. Relaciones Binarias y N-arias 4.7.1. Composición de relaciones binarias y n-arias 4.7.2. Operaciones con relaciones binarias y n-arias 4.7.3. Aplicaciones de relaciones binarias y n-arias

Unidad 5 Tema: TEORÍA DE CONJUNTOS Contenido

5.1. Introducción 5.1.1. Teoría de conjuntos 5.1.2. Definición de conjuntos

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5.1.3. Descripción de los elementos de un conjunto 5.1.3.1. Extensión 5.1.3.2. Comprensión 5.1.4. Cardinalidad de un conjunto 5.2. Representación gráfica de conjuntos 5.2.1. Diagramas de Ven-Euler 5.2.2. Intervalos 5.3. Relaciones entre conjuntos y elementos 5.3.1. Relación de pertenencia 5.3.2. Relación de no pertenencia 5.4. Clasificación de los conjuntos según el número de elementos 5.4.1. Conjunto universal 5.4.2. Conjunto vacío 5.4.3. Conjunto unitario 5.4.4. Conjunto finito o contable 5.4.5. Conjunto infinito e incontable 5.5. Relaciones entre conjuntos 5.5.1.1. Conjunto potencia 5.5.1.2. Conjunto de conjuntos 5.5.1.3. Subconjunto (Inclusión) 5.5.1.3.1. Subconjunto propio (⊂) 5.5.1.3.2. Subconjunto impropio (⊆) 5.5.1.4. Disjuntos (No inclusión) 5.5.1.5. Comparables 5.5.1.6. Igualdad 5.5.1.7. Equivalencia 5.5.1.8. Conjunto solución 5.6. Operaciones con conjuntos o álgebra de conjuntos 5.6.1. Unión de conjuntos 5.6.2. Intersección de conjuntos 5.6.3. Diferencia de conjuntos 5.6.4. Diferencia simétrica 5.6.5. Complemento absoluto con el Universo 5.6.6. Complemento relativo con otro conjunto 5.7. Propiedades de los conjuntos 5.8. Demostración de las propiedades de conjuntos 5.9. Aplicaciones de conjuntos 5.9.1. Operaciones con conjuntos 5.9.2. Principios de las casillas de Dirichlet

BIBLIOGRAFÍA

BÁSICA:

Espinoza, A. (2015). Matematicas Discretas. Mexico: Alfaomega.

Johsongaug, R. (2015). Matematicas Discretas. Mexico: Pearson Education.

Johnsonbaugh, R. (2004). Discrete Mathematics. Londres, Inglaterra: Prentice Hall.

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LLamas Bello, C. (2014). Introduccion a la Informatica. España: Mac Graw Hill.

Grassmann, W., & Tremblay, J. (2003). Matemática discreta y lógica. Madrid, España: Prentice

Hall.

Braulio Cáceres Chacon (2015). Lógica Simbólica y Teoría de Conjuntos. Bolivia: Editorial e

Imprenta Universitaria

Braulio Cáceres Chacon (2015). Problemas Resueltos y Propuestos de Matemáticas Discretas.

Bolivia: Editorial e Imprenta Universitaria

Van Rossum, Guido. (2017). El tutorial de Python. Argentina: Comunidad Python

Bahit, Eugenia. (2012). Python para principiantes. Argentina, Buenos Aires.

Ceverance, Charles. (2009). Python para informáticos.

COMPLEMENTARIA:

Gutiérrez, J., Lanchares, V. (2010). Elementos De Matemática Discreta. España: Universidad La

Rioja

Grimaldi. (1997). Matemática Discreta y Combinatoria. México: Addison–Wesley.

PÁGINAS WEB:

Página oficial Python (2018). Documentación. Recuperado de https://www.python.org

Se sugiere visitar las siguientes páginas: (REDALYC y LATINDEX- revistas iberoamericanas)

http://www.redalyc.org

http://www.latindex.org

(COURSERA y KHAN ACADEMY- Cursos Gratuitos-MOOC)

http://www.coursera.org

http://khanacademy.org

(BIBLIOTECA DEL MINISTERIO DE EDUCACIÓN BOLIVIA- Acceder desde la biblioteca de la Universidad)

http://www.utepsa.edu/v2

http://www.redalyc.org/

http://www.redalyc.org/

http://khanacademy.org/

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IV. Sistema de Evaluación

A continuación, se presenta el sistema de evaluación sugerido para la asignatura:

NÚM. TIPO DE

EVALUACIÓN UNIDADES A EVALUAR PUNTOS SOBRE 100

1 PRUEBA PARCIAL Unidad 1, 2 15

2 PRUEBA PARCIAL Unidades 3, 4, y 5 25

3 TRABAJOS PRÁCTICOS

(PROBLEMAS ABP-EJERCICIOS)

Problemas y ejercicios que se solucionarán en clases y fuera de

clases como prácticas

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4 DEFENSA DEL PROYECTO

FINAL DE LA MATERIA

Identificar un problema para ser resuelto aplicando los contenidos

de la materia 40

Descripción de las características generales de las evaluaciones:

PRUEBA PARCIAL 1

Se evaluará los conceptos teóricos y prácticos correspondiente a la Unidad 1 y 2. 40 % de las preguntas serán teóricas y 60 % de las preguntas serán prácticas.

PRUEBA PARCIAL 2

Se evaluará los conceptos teóricos y prácticos correspondiente a la Unidad 3, 4 y 5. 40 % de las preguntas serán teóricas y 60 % de las preguntas serán prácticas. Cada pregunta práctica del examen está enfocado a la resolución de problemas utilizando computadoras.

TRABAJOS PRÁCTICOS

Conjunto de problemas que se solucionan utilizando los modelos de resolución de problemas basados en los contenidos de la materia.

PROYECTO FINAL

El Proyecto Final de la materia está enfocado en la identificación de un problema o necesidad del ámbito social o laboral, de manera que pueda ser solucionado utilizando un lenguaje de programación, la tecnología Arduino u otro que permita aplicar los contenidos teóricos de la materia. El planteamiento y solución del problema debe seguir el formato de la plantilla del proyecto, que sigue los lineamientos del método científico. Cada equipo de trabajo debe estar conformado por 2 o 4 estudiantes. El proyecto final de la materia implica la elaboración de:

1. Propuesta del proyecto final de la materia. 2. Presentación PowerPoint del proyecto final de la materia. 3. Informe del proyecto final de la materia. 4. Prototipo Software/Hardware del proyecto final de la materia. 5. Archivos o artefactos software complementarios (fotos y diagramas).

La defensa del proyecto final de la materia será de forma grupal. La evaluación de la defensa del proyecto final de la materia será de forma individual.

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V. Guía para el Trabajo Final

INSTRUCCIONES

Se indica los pasos y procedimientos a seguir para la realización del trabajo final.

El trabajo deberá presentarse en formato digital con las siguientes características:

Hoja de papel boom tamaño carta.

Margen superior de 2.5 cm. Inferior de 2.5 cm. derecho de 3 cm. e izquierdo 2.5 cm.

Letra Times New Roman 12, Interlineado de 1,5.

OBJETIVOS DEL TRABAJO FINAL:

Aplicar los conocimientos adquiridos durante el módulo, para la resolución un problema a través

de un caso de estudio real relacionado con el ámbito social o laboral del estudiante.

ESTRUCTURA DEL TRABAJO FINAL:

i) CARÁTULA

Nombre de la Universidad

Nombre de la Facultad a la que pertenece

Nombre de la Carrera

Nombre de la Materia

Nombre del Docente

Nombre de los Integrantes del grupo

Fecha y año

ii) CONTENIDO INTERNO

ÍNDICE I. INTRODUCCIÓN

Antecedentes. Breve descripción de la organización objeto de estudio.

II. OBJETIVOS 2.1. Objetivo general

Que se quiere lograr o donde se quiere llegar con la realización del trabajo

2.2. Objetivos específicos

Pasos a seguir para llegar al objetivo general

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III. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Realizar mínimo 15 conceptos teóricos relacionados con la aplicabilidad de la misma en el sustento o solución del problema que está tratando el proyecto final de la materia.

IV. TABULACIÓN DE DATOS 4.1. Formulas, Cálculos 4.2. Gráficos e interpretaciones

V. CONCLUSIONES

Conclusión general del grupo sobre resultados obtenidos en el trabajo.

V. RECOMENDACIONES

Conclusión general del grupo sobre resultados obtenidos en el trabajo. SUGERENCIAS PARA EL PROYECTO FINAL DE LA MATERIA:

Desarrollar una aplicación utilizando un lenguaje de programación o la tecnología

Arduino de manera que se aplique los contenidos de la materia para solucionar un

problema social, empresarial o medio ambiental.

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VI. Objetivos y Actividades de cada Unidad

Unidad No 1

INTRODUCCIÓN

Objetivos de Aprendizaje:

Conocer los personajes célebres y sus contribuciones al desarrollo de las Matemáticas Discretas.

Conocer los conceptos, definiciones y palabras técnicas de las Matemáticas Discretas.

Orientación para el aprendizaje:

Preguntas: El estudiante debe consultar el contenido del tema y las bibliografías publicadas para responder las siguientes preguntas:

1. ¿Qué es Mátemáticas discretas?

2. ¿Qué es teoría de la información?

3. ¿Qué es informática teórica?

4. ¿Qué es la lógica matemática?

5. ¿Qué es la teoría de conjuntos?

6. ¿Qué es la teoría de grafos?

7. ¿Qué es un lenguaje natural?

8. ¿Qué es teoría de números?

9. ¿Qué es un lenguaje formal?

10. ¿Qué conceptos o elementos conforman un lenguaje formal?

Investigación: El estudiante debe realizar siguientes actividades de investigación:

Investigar y elaborar la línea de tiempo de los personajes célebres, lugar de

nacimiento y aporte más significativo a las Matemáticas Discretas.

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Unidad No 2

LÓGICA MATEMÁTICA


Inducir al razonamiento lógico matemático al estudiante.

Utilizar la lógica simbólica para especificar y resolver problemas.

Manipular métodos formales de la lógica proposicional y la de predicados.

Simular el comportamiento de un circuito lógico a partir de una formula lógica.

Proporcionar herramientas útiles para la escritura y presentación formal de ideas.



1. ¿Qué es la lógica?

2. ¿Qué es la lógica simbólica como ciencia y cómo técnica?

3. ¿Qué es un axioma?

4. ¿Qué es una proposición?

5. ¿Por qué y para qué estudiar lógica matemática?

6. ¿Cómo ayuda la lógica matemática para resolver problemas de la vida diaria?

7. ¿Qué habilidades entrega lógica matemática para las Ciencias de la Computación?

8. ¿En qué consiste el principio de no contradicción, el principio de tercero excluido y

el principio de identidad?.

Investigación: El estudiante debe realizar siguientes actividades de investigación:

Elaborar una lista de las aplicaciones y/o tecnologías más relevantes donde las

Matemáticas Discretas ha tenido una participación activa en su desarrollo.

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Prácticos: El estudiante debe resolver los siguientes ejercicios:

Escriba 5 proposiciones simples.

Ejemplo:

p = “La matemática es una ciencia exacta”

Escriba 5 proposiciones compuestas.

Ejemplo:

q = “Carlos maneja la bicicleta y canta en la piscina”

Copiar 3 veces cada una de las tablas de verdad de las operaciones unarias y binarias.

Realizar 5 operaciones proposicionales con cada uno de los operadores lógicos de la

negación, conjunción, disyunción, disyunción exclusiva, condicional y bicondicional

Ejemplo:

Sea:

p ="El universo es infinito"

q ="7 es un número primo"

Determinar:

𝐩 ∧ 𝐪

Solución:

𝐩 ∧ 𝐪 = "El universo es infinito y 7 es un número primo"

Utilizando tabla de verdad demostrar si una formula proposicional es tautología,

contradicción o contingencia.

Ejemplo:

Sea la formula proposicional:

(𝐩 ∧ 𝐪) → ~𝐩

Solución:

𝐩 𝐪 (𝐩 ∧ 𝐪) ~𝐩 (𝐩 ∧ 𝐪) → ~𝐩 V V V F F V F F F V F V F V V F F F V V

Por lo tanto, la fórmula proposicional (𝐩 ∧ 𝐪) → ~𝐩 es una

Contingencia.

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Formulas Proposicionales propuestas:

(p ∨ q) ∨ (∼ p ∧∼ q) Tautología

∼ (p ∨∼ q) → (∼ p ∨ q) Tautología

[(p → q) ∧∼ q] →∼ p Tautología

[(p → q) ∧ p] ∧ ~q Contradicción

(p ∨ q) ∧ (∼ p ∧∼ q) Contradicción

[(q ∨ p) ∧ p] ∧ ~q Contingencia

p → [~r ∨ (~q ⊻ r)] Contingencia

{~[(p ∧ r) ∨ q] → (~r ⊻ ~p)} ↔ r Contingencia

(~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q) Contingencia

(p ∨ ~q) → (~r ∧ p) Contingencia

Utilizando la tabla de verdad demostrar si una formula proposicional es una implicación lógica o una equivalencia lógica.

Determinar si: 𝐟𝟏 ⇒ 𝐟𝟐

f1 = (p → q) ∧ (r → s) ∧ (~q ∨ ~s)

f2 = ~p ∨ ~r

Determinar si: 𝐟𝟏 ⇒ 𝐟𝟐 f1 = [(p → q) ∧ (q → r)] f2 = (p → r)

Determinar si: 𝐟𝟏 ⇒ 𝐟𝟐 f1 = [(p ∧ q) → r] f2 = [q → (p → r)]

Determinar si: 𝐟𝟏 ⇔ 𝐟𝟐 f1 = (p ⟷ q) f2 = [(p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)]

Determinar si: 𝐟𝟏 ⇔ 𝐟𝟐 f1 = [p ∧ (q ∨ r)] f2 = [(p ∧ q) ∨ (q ∧ r)]

Determinar si: 𝐟𝟏 ⇔ 𝐟𝟐

f1 = [(p → q) ∧ (q → p)] f2 = (q ⟷ p)

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Utilizando las leyes de la lógica proposicional simplificar las siguientes formulas proposicionales hasta su mínima expresión.

Ejemplo: Dada la siguiente fórmula proposicional, simplificarla hasta su mínima expresión.

f =∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) Sea: ∼ (𝐩 ∨ 𝐪) ∨ (∼ 𝐩 ∧ 𝐪) ⇔ (∼ p ∧∼ q) ∨ (∼ p ∧ q) Ley de De Morgan

⇔ ∼ p ∧ (∼ q ∨ q) Distributividad ⇔ ∼ p ∧ (q ∨∼ q) Conmutatividad ⇔∼ p ∧ T Principio de Tercero Excluido ⇔∼ 𝐩 T es elemento neutro de la ∧

Por lo tanto:

∼ (𝐩 ∨ 𝐪) ∨ (∼ 𝐩 ∧ 𝐪) ⇔∼ 𝐩


𝐟 = (r ∧∼ p) ↔ (∼ q → r) ∨ r

𝐟 = (q →∼ p) ↔∼ q

𝐟 =∼ (𝑟 ↓∼ p) ∨ (∼ r → q)

𝐟 = (q →∼ p) ∨∼ (p ∧ q) ∧ p

𝐟 = p → [∼ r ∨ (∼ q ∨ r)]

Laboratorio: El estudiante debe realizar las siguientes actividades guiados por el docente:

Codificar las tablas de verdad de las operaciones unarias y binarias.

Codificar las fórmulas proposicionales utilizando tablas de verdad y determinar si es

Tautología, Contradicción o Contingencia y en que medida es una Contingencia.

Elaborar el circuito lógico para las siguientes formulas proposicionales equivalentes

utilizando el software Logic.ly u otro.

Ejemplo: Dada la siguiente fórmula proposicional, construir el circuito lógico.

p → [∼ r ∨ (∼ q ∨ r)] ⇔∼ p ∨ q ∨∼ r

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∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) ⇔∼ p

∽ [(∽ p ∨∽ q) ∨∼ q] ⇔ (p ∧ q)

[(∽ p ∨ q) ∧ (∽ r ∨ s) ∧ (p ∨ r)] ⇒ (q ∨ s)

∼ [∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q)] ∨ (∼ p ∧ q) ⇔ (p ∨ q)

∼ (p →∽ q) ∧ (p ↓ q) ⇔ F

(p ⟷ q) ∨ ∼ p ⇔∼ (p ∨ q) ∨ ∼ p

(q →∽ p) ∨∼ (p ∧ q) ∧ p ⇔ (∼ p ∨∼ q)

Unidad No 3

INDUCCIÓN Y RECURSIÓN


Conocer las relaciones existentes entre los sistemas numéricos.

Conocer las propiedades y características de los sistemas numéricos.

Dar una justificación del método conocido como inducción y el método recursión.

Conocer el comportamiento la sumatoria y sucesiones para elaborar programas recursivos

Conocer la teoría y aplicación de la combinatoria y las permutaciones para su especificación aplicación algorítmica

Aplicar el contenido de la unidad para solucionar problemas de cotidianos

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1. ¿Qué es un sistema numérico?

2. Utilizando diagramas de Ven-Euler dibuje la relación existente entre los conjuntos

numéricos.

3. ¿Qué indican los axionas o postulados de Peano?

4. ¿En qué consiste el principio de inducción y qué aplicación tiene?

5. ¿En qué consiste el principio de recursión y qué aplicación tiene?

Prácticos: El estudiante debe realizar las siguientes tareas:

Realizar las siguientes demostraciones del principio de inducción completa.

Pn = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n =n(n+1)

2

Pn = 7 + 13 + 19 + ⋯ + (6𝑛 + 1) = 𝑛(3𝑛 + 4) ; ∀n ∈ ℕ ; n ≥ 1

Pn = 3n − 1 es divisible entre 2 ; ∀n ∈ ℕ

Laboratorio: El estudiante debe realizar las siguientes actividades guiados por el docente:

Implementar un algoritmo en un lenguaje de programación que gener los número

pares

Implementar un algoritmo en un lenguaje de programación que gener los número

impares

Implementar un algoritmo en un lenguaje de programación que gener los números

multiplos de n

Implementar dos algoritmos en un lenguaje de programación que aplique la teoría de

la sumatoria y productoria.

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Implementar el algoritmo en un lenguaje de programación que genere la serie

Fibonacci de forma recursiva.

Utilizando excel o un lenguaje de programación calcular la combinatoria y

permutación de n elementos

Unidad No 4

RELACIONES


Identificar, clasificar y abstraer relaciones.

Entender, aprender y utilizar las propiedades de las relaciones.

Entender y definir el concepto de relación, así como las diferentes representaciones de una relación.

Conocer y clasificar los tipos de relaciones: o de equivalencia o de orden o función.

Aplicar las propiedades de las relaciones a problemas de la vida cotidiana y base de datos



1. ¿En qué consiste la relación entre conjuntos?

2. ¿Qué es un par ordenado?

3. ¿Qué tipo de relaciones existen?

4. ¿Qué es el producto cartesiano?

5. Explique la relación biyectiva respecto de los números naturales.

6. ¿Dónde se puede aplicar las relaciones dentro del área de la carrera que está

estudiando y las actividades de la vida real?

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Escriba el producto cartesiando de 3 conjuntos de manera que cumpla con la

propiedad inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Escriba 5 ejemplos de relaciones entre conjuntos de la vida real.

Laboratorio: El estudiante debe realizar el siguiente laboratorio guiados por el docente:

El estudiante debe codificar los siguientes programas para:

o Relacionar dos listas (País y PIB) de manera que sea posible conocer el PIB de un

País.

o Obtener el nombre de un estudiante a partir de su número de registro.

o Obtener la marca de un vehículo a partir del número de placa

Unidad No 5

CONJUNTOS


Identificar los conceptos fundamentales de la Teoría de Conjuntos.

Representar gráficamente conjuntos y sus elementos.

Interpretar los axiomas asociados a la teoría de conjuntos.

Conocer y desarrollar conocimientos de la teoría de conjuntos y su aplicación.

Utilizar la teoría de conjuntos de un modo intuitivo a través de la aritmética, algebra y la lógica.

Aplicar conjuntos en la representación de la realidad.

Aplicar los conceptos fundamentales de la Teoría de Conjuntos en la solución de problemas.

Aplicar los conceptos de conjuntos para comprender las bases de datos

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1. ¿Qué es la teoría de conjuntos?

2. ¿Qué es un conjunto?

3. ¿Qué es la cardinalidad de un conjunto?

4. ¿Qué es un conjunto finito o contable?

5. ¿Qué es un conjunto infinito e incontable?

6. ¿Existe una relación directa entre la realidad y los conjuntos?

7. ¿Cómo aplico la teoría de conjuntos para comprender mi entorno?

8. ¿Qué utilidad tiene representar de manera gráfica los conjuntos?

9. ¿Dónde puede aplicar la teoría de conjuntos desde el punto de vista de su carrera?

10. ¿Qué es el conjunto Potencia?


Escriba 5 conjuntos por extensión.

Ejemplo: 𝐁 = {000, 001,010,011,100, 101, 110, 111}

Escriba 5 conjuntos por comprensión.

Ejemplo: 𝐇 = {𝒙/𝒙 = 𝟐𝒏 − 𝟏, 𝒏𝝐ℕ, 𝟑 ≤ 𝒏 ≤ 𝟏𝟏}

Escriba el conjunto potencia si la cardinalidad del conjunto es 3, 4 y 5.

Ejemplo: Sea:

𝐂 = {𝒙, 𝒚, 𝒛}

Si: |C| = 3

Entonces: | (C)| = 2|C| = 23 = 8 “subconjuntos”

Luego: (C) = { , {𝑥, 𝑦, 𝑧}, {𝑥}, {𝑦}, {𝑧}, {𝑥, 𝑦}, {𝑥, 𝑧}, {𝑦, 𝑧}}

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Realizar 5 demostraciones de conjuntos utilizando las propiedades de conjuntos.

Investigación: El estudiante debe realizar la siguiente actividad de investigación, consultando los contenidos bibliográficos de la materia y la información publicada en la Internet.

Realice 3 operaciones conjuntistas basados en la cardinalidad

Ejemplifique el principio de las casillas de Dirichlet a dos casos prácticos.

Laboratorio: El estudiante debe realizar el siguiente laboratorio guiados por el docente:

El estudiante debe codificar los siguientes programas para:

o Llenar una lista con números impares.

o Llenar una lista con números pares.

o Llenar una lista con números múltiplos de n.

o Llenar una lista con números de la serie de Fibonacci.

o Implementar las operaciones conjuntistas basado en listas.

VII. Aplicabilidad de la Guía

La presente Guía MAAP se desarrolló en función del (los) documento(s):

Detalle Programa(s) Analítico(s)

SAL-304 MATEMÁTICAS DISCRETAS 46P2E1

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MATEMÁTICAS DISCRETAS