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Matemticas Preuniversitarias

Efran Soto Apolinar

TRMINOS DE USO

Derechos Reservados c 2010.Todos los derechos reservados a favor de Efran Soto Apolinar.

Soto Apolinar, Efran.Matemticas PreuniversitariasPrimera edicin.Mxico. 2010.

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Efran Soto A.

Prefacio

Este libro de matemticas preuniversitarias es una recopilacin de los libros Matemticas para Bachiller-ato I, II, III, IV, V, y VI escritos por el mismo autor, basado en los programas de estudio de la direccingeneral de bachillerato (DGB). El contenido del libro est dividido en partes, la parte I corresponde alprimer semestre, la parte II corresponde al segundo semestre y as sucesivamente.

Cada parte consta de varios captulos y a su vez cada uno de estos captulos contiene secciones donde seincluyen ejemplos resueltos de los problemas ms comnes que encontrars en un curso de matemti-cas preuniversitarias de ese semestre en particular.

Adems de los temas sugeridos por los programas de la DGB se incluyen los siguientes: desigualdades(parte I), y elipse e hiprbola (parte III).

La enseanza de las matemticas en todos los niveles acadmicos ha ganado una fama de permaneceren crisis durante mucho tiempo ya. Como respuesta a esta situacin se han desarrollado investigacionesen el rea de matemtica educativa en todo el mundo.

Con frecuencia se ensean las matemticas de manera aislada, como si el estudiante fuera matemtico:se dan conceptos, se enuncian teoremas, se demuestran stos, se deducen corolarios, etc. La mayorparte de la evidencia emprica indica que esta forma de enseanza ocasiona confusin en los estudi-antes, poca comprensin y alto nivel de reprobados.

En este libro nos hemos dado a la tarea de utilizar otra forma de trabajo, con la intencin de dar alestudiante la imagen de unas matemticas tiles, contrario a la imagen infrtil que obtiene el estudiantecuando recibe enseanza de las matemticas de manera formal.

En este libro se muestran muchos trucos que te ayudarn a resolver problemas y entender el porqude cada procedimiento. La idea es que cada vez ms personas entiendan las matemticas tan bien quesean capaces de explicarlas a otra persona o de utilizarlas para resolver problemas cotidianos.

Espero que este material sea de utilidad para tu mejor aprendizaje de las matemticas.

Efrain Soto Apolinar.Monterrey, N.L. Mxico.

2010.

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Efran Soto A.

ndice de contenidos

I lgebra vii

1 Introduccin al lgebra 1

1.1 Problemas Aritmticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Problemas Aritmticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Razones y Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Lenguaje algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.1 Algoritmos aritmticos y geomtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.2 Series y sucesin lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Polinomios de una variable 43

2.1 Propiedades de la igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2 Problemas geomtricos y algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.1 Reglas de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.2 Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.2.3 Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.2.4 Tringulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.2.5 Factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.2.6 Simplificacin de Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3 Ecuaciones de primer grado 107

3.1 Ecuaciones de Primer Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.1.1 Ec. de Primer Grado con una incgnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.1.2 Ec. de primer grado y la funcin lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.1.3 Interpretacin grfica (funcin lineal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.2 Sistemas de Ecuaciones lineales (2 incgnitas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.2.1 Mtodos algebraicos para resolver S.E.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.2.2 Mtodo de Sustitucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.2.3 Mtodo de Igualacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.2.4 Mtodo de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3.2.5 Interpretacin grfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

3.2.6 S.E.L. 33 con y sin solucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171


vi NDICE DE CONTENIDOS

4 Ecuaciones de segundo grado 179

4.1 Resolucin de Ecuaciones de Segundo Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.1.1 Mtodo de despeje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

4.1.2 Mtodo de factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

4.1.3 Mtodo de frmula general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.1.4 Mtodo Grfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

4.2 Desigualdades de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

4.2.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

4.2.2 Interpretacin Geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

4.2.3 Desigualdades con una incgnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

4.3 Desigualdades de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

4.3.1 Solucin de un sistema de desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

II Geometra Plana 245

5 ngulos y Tringulos 247

5.1 Definicin y clasificacin de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

5.2 ngulos en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

5.2.1 Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

5.2.2 Clasificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

5.2.3 Medicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

5.2.4 ngulos formados por dos rectas paralelas y una secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

5.3 Tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

5.3.1 Definicin y clasificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

5.3.2 Congruencia de tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

5.3.3 Teorema de Pitgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

6 Polgonos y Circunferencia 301

6.1 Definicin y Clasificacin de Polgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

6.1.1 Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

6.1.2 Clasificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

6.1.3 Suma de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

6.1.4 Triangulacin de polgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

6.1.5 Permetros y reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

6.2 Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

6.2.1 Definicin y elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

6.2.2 Rectas tangentes a una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

6.2.3 ngulos en la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

7 Funciones Trigonomtricas 325

7.1 Funciones trigonomtricas para ngulos agudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

7.1.1 Conversin de grados a radianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328


Efran Soto A.

NDICE DE CONTENIDOS vii

7.1.2 Funciones recprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

7.1.3 Clculos de valores para ngulos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

7.1.4 Resolucin de tringulos rectngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

7.1.5 F. Trig. para ngulos de cualquier magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

8 Leyes de Senos y Cosenos 343

8.1 Ley de senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

III Geometra Analtica 351

9 Sistemas de ejes coordenados 353

9.1 Coordenadas de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

9.1.1 Ejes Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

9.1.2 Lugares geomtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

9.2 Rectas, segmentos y polgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

9.2.1 Segmentos Rectilneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

9.2.2 Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

9.2.3 Polgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

Formulario de la Unidad Nueve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

10 La lnea recta 391

10.1 Ecuaciones y propiedades de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

10.1.1 Forma punto-pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

10.1.2 Forma pendiente-ordenada al origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

10.1.3 Forma simtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

10.1.4 Forma general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

10.1.5 Forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

10.1.6 Distancia entre un punto y una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

10.2 Ec. rectas notables en un tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

Formulario de la Unidad Diez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

11 La circunferencia 455

11.1 Caracterizacin geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

11.2 Ecuacin ordinaria de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

11.2.1 Circunferencia con centro en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

11.2.2 Centro fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

11.3 Ecuacin general de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

11.3.1 Conversin de forma ordinaria a forma general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

11.3.2 Conversin de la forma general a la forma ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

11.4 Circunferencia que pasa por tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

11.4.1 Condiciones analticas y geomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

11.5 Circunferencia y secciones cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499


viii NDICE DE CONTENIDOS

Formulario de la Unidad Once . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

12 La parbola 507


12.1.1 La parbola como lugar geomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

12.2 Ecuaciones ordinarias de la parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

12.2.1 Parbolas con vrtice en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

12.2.2 Parbolas con vrtice fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

12.3 Ecuacin General de la Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

12.3.1 Conversin de f. ordinaria a f. general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

12.3.2 Conversin de f. general a f. ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

Formulario de la Unidad Doce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

13 La elipse 547


13.1.1 La elipse como lugar geomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

13.1.2 Elementos asociados a la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

13.2 Ecuaciones ordinarias de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

13.2.1 Vrtice en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

13.2.2 Centro fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

13.3 Ecuacin general de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567


13.3.2 Conversin de la forma general a la forma ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572

Formulario de la Unidad Trece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580

14 La hiprbola 581


14.1.1 La hiprbola como lugar geomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

14.1.2 Elementos asociados a la hiprbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584

14.2 Ecuacin ordinaria de la hiprbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

14.2.1 Hiprbola con centro en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

14.2.2 Hiprbola con centro fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

14.3 Ecuacin general de la hiprbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601


14.3.2 Conversin de f. general a f. ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609

Formulario de la Unidad Catorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620

IV Funciones 621

15 Relaciones y funciones 623

15.1 Relaciones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

15.2 Clasificacin y transformacin de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635


Efran Soto A.

NDICE DE CONTENIDOS ix

15.2.1 Tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

15.2.2 Funcin Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640

15.2.3 Funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648

15.3 Graficacin de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655

16 Funciones polinomiales 671

16.1 La funcin polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673

16.1.1 Concepto de funcin polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673

16.1.2 La funcin constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675

16.1.3 La funcin lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676

16.1.4 La funcin cuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685

16.1.5 Funciones polinomiales de grados 3 y 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697

17 Funciones racionales 709

17.1 La funcin racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711

17.1.1 Concepto de Funcin Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711

17.1.2 Grficas de las funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715

17.1.3 Variacin inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726

18 Funciones exponencial y logartmica 733

18.1 Funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735

18.1.1 Concepto de funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735

18.1.2 Variacin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

18.1.3 El nmero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743

18.2 Funcin logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749

18.2.1 Concepto de funcin logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749

18.2.2 Logaritmos comunes y naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755

18.2.3 Ecuaciones exponenciales y logaritmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756

V Clculo Diferencial 763

19 Lmites 765

19.1 Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767

19.1.1 Nocin intuitiva de lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767

19.1.2 Teoremas de los lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775

19.1.3 Lmites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780

19.1.4 Lmites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799

19.2 Teorema de continuidad de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813

19.2.1 Condiciones de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813

19.2.2 Teorema de valor intermedio y valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820

20 Razones de cambio y la derivada 825


x NDICE DE CONTENIDOS

20.1 La derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827

20.1.1 Razn de cambio promedio e instantnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827

20.1.2 La derivada como razn de cambio instantnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836

20.1.3 Interpretacin geomtrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844

20.1.4 Diferenciabilidad en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851

20.1.5 Reglas del producto y del cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859

20.1.6 Derivadas de funciones trigonomtricas y sus inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863

20.1.7 Derivadas de funciones exponenciales y logaritmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869

20.1.8 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871

21 Valores mximos y mnimos y sus aplicaciones 883

21.1 Aplicaciones de la primera derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885

21.1.1 Mximos y mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885

21.1.2 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901

21.1.3 Mximos y mnimos usando la segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910

21.1.4 Funciones crecientes y decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917

21.2 Concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923

21.2.1 Puntos de inflexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930

21.2.2 Trazado de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936

21.3 Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945

21.3.1 Problemas prcticos de mximos y mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945

21.3.2 Aplicaciones en ciencias naturales, econmico-administrativas y sociales . . . . . . . . . . . . . . . 955

VI Clculo Integral 965

22 Diferenciales e integral indefinida 967

22.1 La Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969

22.1.1 Reglas de diferenciacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 970

22.1.2 La diferencial como aproximacin al incremento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971

22.2 La integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983

22.2.1 Constante de integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984

22.2.2 Integral indefinida de funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988

22.2.3 Integracin por sustitucin trigonomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001

23 La integral definida y los mtodos de integracin 1011

23.1 La Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013

23.1.1 Notacin de sumatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013

23.1.2 rea bajo una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014

23.1.3 Diferencial de rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019

23.1.4 Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1020

23.2 Tcnicas de integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027

23.2.1 Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027


Efran Soto A.

NDICE DE CONTENIDOS xi

23.2.2 Integracin por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032

23.2.3 Integracin de funciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035

23.2.4 Integracin por fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042

23.2.5 Denominadores con factores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042

23.2.6 Denominadores con factores cuadrticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047

24 Teorema fundamental del Clculoy las aplicaciones de la integral definida 1057

24.1 El teorema fundamental y sus aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059

24.1.1 Integracin aproximada: Regla del trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059

24.1.2 Integracin aproximada: Regla de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066

24.2 rea entre dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071

24.3 Aplicaciones de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075

25 Apndices 1083

Ap. 25.A. lgebra bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084

Leyes de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084

Productos notables y factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084

Ap. 25.B. Geometra plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085

Ap. 25.C. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086

Ap. 25.D. Geometra Analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087

Sistemas de Ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087

La Lnea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088

La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089

La Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089

La Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1090

La Hiprbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091

Ap. 25.E. Trigonometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092

Ap. 25.F. Reglas de derivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094

Ap. 25.G. Tabla de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095

Referencias 1097


xii NDICE DE CONTENIDOS


Efran Soto A.

Parte I

lgebra


Captulo 1

Introduccin al lgebra

Por aprender...

1.1. Problemas aritmticos

1.1.1. Nmeros reales

1.1.2. Razones y proporciones

1.2. Lenguaje algebraico

1.2.1. Algoritmos aritmticos y geomtricos

1.2.2. Series y sucesin lineal

Por qu es importante...

En el aprendizaje de cualquier ciencia, es importante concer la terminologa con la que estamoshablando. El material que estudiaremos en esta unidad servir de base para entender el lgebra.


2 Introduccin al lgebra


Efran Soto A.

1.1 Problemas Aritmticos 3

1.1 PROBLEMAS ARITMTICOS

En esta seccin vamos a estudiar primero los distintos conjuntos de nmeros que se definen en matemti-cas. Despus, al conocerlos mejor, podremos resolver distintos problemas aritmticos.

Para simplificar el estudio de los nmeros, los matemticos los han clasificado de la siguiente manera:

Definicin 1

NMEROS NATURALESSon los nmeros que utilizamos para contar. El conjunto de los nmeros naturales se de-nota por N.

N= {1, 2, 3, 4, 5, }

Ntese que el cero no es un nmero natural, porque cuando alguien no posee nada, no tiene necesidadde contar.

En el lenguaje matemtico, escribimos: 1 N para indicar que el nmero 1 est dentro del conjunto delos nmeros naturales, es decir, el nmero 1 es un elemento de ese conjunto.

El smbolo: se lee: ...es un elemento del conjunto...

Para indicar que un nmero dado NO es un numero natural escribimos, por ejemplo: / N. Esto nosest diciendo en palabras: El nmero NO es un nmero natural.

De manera semejante, el smbolo / se lee: ...no es un elemento del conjunto...

ComentarioEs una buena idea notar que cuando sumamos dos nmeros naturales, el resultado es otronmero natural. Nunca obtendremos un nmero con decimales.

Definicin 2

NMEROS ENTEROSEs el conjunto formado por todos los nmeros naturales, el cero y los nmeros naturalesdotados del signo negativo. El conjunto de los nmeros enteros se denota por Z.

Z= { ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, }

Es importante notar que todos los nmeros naturales son tambin nmeros enteros, pero no todos losnmeros enteros son nmeros naturales.

Por ejemplo, el nmero 5 es un nmero entero que no es un nmero natural.

ComentarioDe nuevo, cuando sumamos dos nmeros enteros, el resultado es otro nmero entero.

Definicin 3

NMEROS RACIONALESEs el conjunto formado por todos los nmeros que pueden expresarse como el cociente dedos nmeros enteros, siendo el denominador distinto de cero. El conjunto de los nmerosracionales se denota porQ.

Q=

x |x =p

q; p , q Z, q 6= 0

Algunos ejemplos de nmeros racionales son los siguientes:

1

2

3

7

21

22

7

2

1

10

Pero no todas las fracciones se consideran nmeros racionales. Para que un nmero sea considerado



nmero racional, se requiere que tanto en el numerador como en el denominador tengamos un nmeroentero, aunque sea negativo.

Por ejemplo, los siguientes nmeros no son racionales, a pesar de que son fracciones:

1p

2

1p

5

2

10

0

4

Otra cosa importante consiste en que en el denominador no aparezca el cero. Por qu?

Ya debes saber que no es posible dividir por cero.

Por ejemplo, cuando queremos dividir 10 entre cero, no podemos encontrar una solucin.

Cuando dividimos cero entre diez, s podemos encontrar una solucin. Piensa en trminos de man-zanas: si tengo cero manzanas y las voy a repartir entre diez nios, cuntas manzanas les dar a cadanio? La respuesta es obvia, como tengo cero manzanas, a cada nio le corresponden cero manzanas.

Pero el otro caso: si tengo diez manzanas y las voy a repartir entre cero nios, cuntas manzanasles dar a cada nio?, tenemos un problema: cmo vamos a repartir las manzanas, si para empezar,tenemos cero nios?

Observa que cuando dividimos 10 entre 2, buscamos un nmero que multiplicado por 2, nos d comoresultado 5.

Cuando dividimos diez entre cero, tenemos que encontrar un nmero que multiplicado por cero nosd como resultado diez. Pero ya sabemos que cualquier nmero multiplicado por cero es igual a cero.Esto significa que no podemos encontrar algn nmero que multiplicado por cero d diez. Por eso nopodemos realizar la divisin.

Otro caso aparte es la divisin cero entre cero. Si buscamos un nmero que multiplicado por cero nos dcomo resultado cero, vemos que no hay solamente una solucin, sino un nmero infinito de soluciones,todas distintas. Por ejemplo el nmero cero, bien sirve como solucin de nuestra divisin, porque 00=0, pero igual sirve el nmero 1 como solucin, porque 10= 0, y as como cualquier nmero que se teocurra.

El problema aqu consiste en que cuando dividimos un nmero entre otro, siempre obtenemos unanica solucin, pero en este nico caso, al dividir cero sobre cero, no obtenemos una nica solucin,sino muchas.

Es importante mencionar que no es que la solucin de esta divisin sea infinito, porque cuando dividi-mos dos nmeros siempre obtenemos como resultado un nico nmero. Infinito no es un nmero, sinouna expresin que nos dice que algo no tiene fin. Por esta razn, no es correcto decir que al dividir entrecero obtenemos infinito como respuesta.

Observa que todos los nmeros enteros son nmeros racionales, porque podemos escribirlos con eldenominador igual a 1. Por ejemplo, el nmero 10, puede representarse como:

10=10

1Q

y cumple con la definicin de nmero racional, porque el denominador es distinto de cero.

ComentarioIgual que con los conjuntos de nmeros naturales y enteros, en el conjunto de los nmerosracionales, cuando sumamos dos de sus elementos, obtenemos otro elemento deQ.


Efran Soto A.


Definicin 4

NMEROS IRRACIONALESSon todos aquellos nmeros que no se pueden escribir como el cociente de nmeros en-teros, siendo el denominador distinto de cero. El conjunto de los nmeros racionales sedenota porQ.

Q =

x |x 6=p

q; p , q Z, q 6= 0

Observa que ningn nmero racional es un nmero irracional y de manera semejante, ningn nmeroirracional es un nmero racional.

Algunos ejemplos de nmeros irracionales son:

,p

2,p

3,p

6,

Definicin 5

NMEROS REALESEs el conjunto que contiene a todos los nmeros racionales y a todos los nmeros irra-cionales.

El siguiente diagrama te ayudar a visualizar mejor cmo se relacionan los distintos conjuntos de nmerosque hemos estudiado:

RQ Q

ZN

A partir de este diagrama podemos fcilmente darnos cuenta que todos los nmeros naturales pertenecenal conjunto de los nmeros enteros, es decir, todos los nmeros naturales son tambin nmeros enteros.

Pero todos los nmeros enteros son tambin nmeros racionales, por lo tanto, todos los nmeros nat-urales tambin son nmeros racionales.

Sin embargo, ningn nmero racional es un nmero irracional y viceversa. Esto nos indica que ningnnmero natural pertenece al conjunto de los nmeros irracionales. Esto mismo ocurre con los nmerosenteros.

Y es que si un nmero es racional no puede ser irracional.

Sin embargo, cuando juntamos a todos los nmeros racionales con todos los nmeros irracionalesobtenemos el conjunto de los nmeros reales. Es decir, todos los nmeros que enlistamos (naturales,enteros, racionales e irracionales) son tambin nmeros reales.

Ejemplo 1Verifica si es verdadero o falso lo que se dice de los siguientes nmeros.

El nmerop

9 es un nmero natural. V

El nmero

2es un nmero racional. F

El nmero 0 es un nmero irracional. F



El nmero1

5es un nmero entero. F

El nmerop

3


El nmero es un nmero real. V

Ejemplo 2Indica en cada caso a qu conjunto debe pertenecer el nmero que utilizaremos en cadacaso. Evidentemente, todos pertenecen al conjunto de los nmeros reales, as que mejormenciona otro de los conjuntos.

Volumen en mililitros de un vaso. Q

rea de un crculo de radio 1. Q

Peso de una bolsa de frijol con una precisin de gramos. N oQ

Nmero total de refrescos embotellados en un da en una embotelladora. N

Nmero total de hojas impresas en una fotocopiadora. N

Saldo de una cuenta bancaria, con una precisin de hasta centavos de peso. Q

Saldo de una cuenta bancaria, con una precisin de miles de pesos. Z

Velocidad de un coche. Q

Comentario

Cuando sumamos dos nmeros reales, cualesquiera que estos sean, el resultado es otronmero real. De manera semejante, cuando multiplicamos dos nmeros reales, el resul-tado es otro nmero real.

Definicin 6

CERRADURACuando a los elementos de un conjunto se les realiza una operacin, y el resultado es algnelemento del mismo conjunto, decimos que ese conjunto es cerrado bajo esa operacin.

Por ejemplo, los nmeros naturales son cerrados bajo la suma, porque cuando sumamos dos nmerosnaturales obtenemos otro nmero natural.

De manera semejante, cuando multiplicamos dos nmeros naturales, el resultado es otro nmero nat-ural. Entonces el conjunto N tambin es cerrado bajo la multiplicacin.

Enseguida se da la lista de las propiedades ms bsicas de los nmeros reales. Si a , b , c son nmerosreales, entonces:

Suma Multiplicacin Propiedad

a + b R a b R Cerraduraa + b = b +a a b = b a Conmutativa

(a + b ) + c = a + (b + c ) (a b ) c = a (b c ) Asociativaa +0= a a 1= a Neutro

a + (a ) = 0 a 1

a= 1 Inverso

a (b + c ) = a b +a c Distributiva


Efran Soto A.


1.2 PROBLEMAS ARITMTICOS

En las matemticas los nmeros y los conjuntos son la base de toda la dems teora.

Por eso es importante saber realizar las operaciones bsicas con ellos: suma, resta, multiplicacin ydivisin, y resolver problemas prcticos con ellos.

Ejemplo 3Un tringulo tiene una base de 5.1 metros y una altura de 12.25 metros. Cul es su rea?

Ya sabemos la frmula para calcular el rea de un tringulo:

A =b h

2

Ahora sustituimos los valores y realizamos las operaciones:

A =b h

2

=(5.1)(12.25)

2

=62.475

2= 31.2375

Es importante recordar que las unidades de rea en este caso son los metros cuadrados.

Entonces, el rea del tringulo con una base de 5.1 metros de longitud y una altura de 12.25 metrosde longitud es igual a 31.2375 metros cuadrados.

En la mayora de los problemas cotidianos tenemos que trabajar con las unidades de los objetos con losque estamos trabajando.

Es muy importante recordar al final que las unidades son tambin parte de la solucin.

Otra cosa muy importante es el orden en el cual debemos realizar las operaciones.

En el ejemplo anterior debamos multiplicar y dividir. En realidad no importa qu operacin realicesprimero, siempre obtenemos el mismo resultado.

Esto se debe a que dividir en realidad significa multiplicar. Por ejemplo, cuando vas a dividir por 2,obtienes el mismo resultado que si multiplicas por 12 , si quieres dividir por 3, obtienes lo mismo que simultiplicas por 13 , etc.

De manera semejante, sumar y restar son la misma operacin. Si quieres restar 2 a un nmero, obtieneslo mismo que si sumas 2.

En la siguiente lista se muestran las operaciones indicando su prioridad.



Definicin 7

PRIORIDAD DE LAS OPERACIONESLas operaciones que aparecen al principio son las que debes realizar primero:

3 Lo que aparezca entre parntesis, por ejemplo, en la frmula:

L = L0 (1+)

primero debemos sumar lo que se indica entre parntesis.

3 Exponenciacin y radicacin, por ejemplo en la frmula:

Ek =1

2m v 2

primero debemos elevar al cuadrado la variable v .

3 Multiplicacin y divisin, por ejemplo, en la frmula:

y = 2 x +1

primero debemos multiplicar 2 por x y al resultado sumamos 1.

3 Suma y resta.

Ejemplo 4

Una estudiante de bachillerato contrat una lnea de celular en la que paga $1.45 pesos elprimer minuto de llamada local y $0.80 pesos cada minuto adicional. Una vez habl por elcelular con su mam y tard 15 minutos. Si tena un saldo de $125.35 pesos antes de iniciarla llamada, qu saldo le qued despus de terminarla?

En este caso primero debemos calcular el costo de la llamada y finalmente restar ese resultado alsaldo que tena antes de iniciar su llamada.

Vamos a calcular el costo de la llamada:

Para esto es importante considerar que el primer minuto cost $1.45 pesos, y el resto, o sea, losotros 14 minutos costaron $0.80 pesos cada uno...

Definimos C como el costo de la llamada:

C = 1.45+ (0.8)(14)

= 12.65

La llamada le cost $12.65 pesos, pero ella tena $125.35 pesos de saldo, entonces,

le quedaron: 125.35C= 125.3512.65= 112.70

Siempre que resolvemos un problema tambin es importante recordar que la solucin nos dice algoacerca del problema.

Algunas veces esa solucin nos ayuda a entender mejor un proceso o un fenmeno natural.

Los nmeros son importantes porque gracias a ellos hemos tenido un avance tecnolgico y cientficocomo el que ahora conocemos.


Efran Soto A.


Ejemplo 5

En las vacaciones nos fuimos a Cerro Azul, Ver., y mi mam compr varios recuerdos. Diezllaveros para mi tos, cinco playeras para mis primos, una imagen de la virgen para miabuelita y para m, dos libros para que me ponga a estudiar. Los precios de cada artculoestn en la siguiente tabla:

Artculo Precio

Llavero $12.00 pesosPlayera $45.00 pesosImagen de la Virgen $125.00 pesosLibro de Matemticas $120.00 pesos

Cunto gast en los recuerdos de mi pueblo?

El problema indica que cada llavero cuesta lo mismo, al igual que los dems artculos que com-pr... Entonces, por los llaveros gast:

Nmero de llaverosPrecio/llavero = Costo de llaveros(10)(12) = 120

Por las playeras gast:

Nmero de playerasPrecio/playera = Costo de playeras(5)(45) = 225

Por mis libros gast:

Nmero de librosPrecio/libro = Costo de libros(2)(120) = 240

En total gast: Por los llaveros: 120.00Por las playeras: 225.00Por la imagen de la virgen: 125.00por mis libros: 240.00

710.00

En total gast: $710.00 pesos.

Algunas veces, conocer algunas propiedades de los nmeros nos ayuda a resolver los problemas de unamanera ms sencilla. El siguiente ejemplo muestra una ancdota de uno de los mejores matemticosde la historia de la humanidad.

Ejemplo 6

Carl Friedrich Gauss fue un matemtico alemn. A los 8 aos, su maestro de primaria lepidi que sumara:

1+2+3+4+ +99+100

l utiliz el siguiente procedimiento...

Primero utiliz la propiedad que dice: si sumas varios nmeros, el orden no importa, siempreobtienes el mismo resultado...

Y l defini S como el resultado de la suma que estamos buscando...



Entonces, esto nos permite escribir:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + + 99 + 100S = 100 + 99 + 98 + 97 + + 2 + 1

2S = 101 + 101 + 101 + 101 + + 101 + 101

Pero el 101 se repite cien veces, porque cada lista de nmeros de los primeros dos renglones vadel 1 al 100 y del 100 al 1, respectivamente.

Entonces, podemos obtener ese resultado como:

2S = (101)(100)

En palabras, esto significa que 101100 es igual al doble de la suma que buscamos.

Si dividimos entre dos, obtenemos la suma que buscamos:

S =(101)(100)

2=

10 100

2= 5 050

Esto indica que: 1+2+3+4+ +99+100= 5 050

Si no crees, entonces haz la misma suma, pero a mano...

Ejemplo 7Marco puede pintar una barda en 10 horas. Carlos puede pintar la misma barda en 15

horas. Don Csar encarg a los dos que pintaran la barda juntos. Si avanzan al ritmo quese indica antes, cunto tiempo tardarn en pintarla?

Obviamente, Marco avanza ms rpido que Carlos, porque tarda menos en pintar toda la barda.

Nota que no tiene caso suponer que cada uno de ellos pint la mitad de la barda, porque no avan-zan al mismo ritmo al pintar.

Dado que Marco tarda 10 horas en pintar toda la barda, en una hora hace un dcimo del total.

Por su parte, Carlos tarda 15 horas en terminar toda la barda, por eso en una hora avanza unquinceavo de la barda.

Pintando juntos en una hora avanzan:

1

10+

1

15=

3+230=

5

30=

1

6

Esto significa que los dos juntos avanzan un sexto de la barda y por eso, tardan 6 horas en pintartoda la barda.

El siguiente ejemplo se trata de un truco para calcular el cuadrado de ciertos nmeros...

Ejemplo 8 Calcula los cuadrados de todos los nmeros de dos cifras que terminan en 5 en lasunidades.

Para elevar al cuadrado un nmero de dos cifras que termina en 5 en las unidades, tomamos eldgito de las decenas y lo multiplicamos por su consecutivo.


Efran Soto A.


A la derecha del resultado escribimos el nmero 25.

Por ejemplo, si quieres elevar el nmero 35 al cuadrado, el dgito de las decenas es 3, y su consec-utivo es el 4...

Los multiplicamos, y obtenemos: 34= 12.

Y ahora escribimos a la derecha del 12 el nmero 25. El resultado es el cuadrado de 35. Entonces,352 = 1 225

Ahora podemos calcular los cuadrados para llenar la siguiente tabla:

n k k (k +1) n 2

15 1 12= 2 22525 2 23= 6 62535 3 34= 12 1 22545 4 45= 20 2 02555 5 56= 30 3 02565 6 67= 42 4 22575 7 78= 56 5 62585 8 89= 72 7 22595 9 910= 90 9 025

Ahora podemos usar este truco para calcular el cuadrado de cualquier nmero de dos cifras quetermina en 5.

Verifica que en realidad los clculos son correctos.

Ejemplo 9

Un diseador industrial debe elegir las dimensiones de un envase de plstico en formade caja que contendr un lquido para una mquina. Las dimensiones de los envases semuestran en la siguiente tabla:

Envase Largo (cm) Ancho (cm) Fondo (cm)

A 25 15 32B 35 10 25C 20 17 35D 45 10 15

l desea encontrar la caja que tenga al menos un volumen de 11 500 cm3. Cul de esosenvases debe elegir?

Para saber si un envase de los propuestos cumplir con la condicin de que el volumen sea mayorque 11 500 cm3, debemos calcular el volumen de cada uno.

Para calcular el volumen de una caja multiplicamos largo por ancho por fondo.

Los clculos se muestran en la siguiente tabla:



Envase Largo Ancho Fondo Volumen(cm) (cm) (cm) (cm3)

A 25 15 32 12 000B 35 10 25 8 750C 20 17 35 11 900D 45 10 15 6 750

Los resultados de la columna de la derecha, que contiene el volumen de cada envase, se obtuvomultiplicando las dimensiones de cada envase, es decir, los valores que aparecen en las otrascolumnas.

Por ejemplo, para calcular el volumen del envase D, multiplicamos: (45)(10)(15) = 6 750.

Entonces, los envases A y C son los posibles candidatos a ser elegidos por el diseador industrial.

Como puedes ver, la solucin a un problema de matemticas no siempre es nica.

En este ltimo ejemplo tenemos dos soluciones posibles al problema.

Otro punto importante a hacer notar es que la solucin en este caso no es un nmero, como suele es-perarse de la mayora de los problemas matemticos.

En este caso, la solucin consiste en indicar qu envases tienen un volumen mayor a 11 500 cm3.

El siguiente problema se queda como un reto.

Reto 1

Escribe los nmeros del 0 al 10 realizando una o varias de las siguientes operaciones: suma,resta multiplicacin, y divisin, elevar a una potencia o sacar raz cuadrada, utilizando 4veces el nmero 4. Por ejemplo, el nmero cero y el nmero dos pueden expresarse comosigue:

0 =44

44

2 =444+4

Ahora t, encuentra los nmeros del 0 al 10. Recuerda que es posible juntar nmeros paraformar 44, por ejemplo.

Ejercicios 1.2 Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios. No se permite el uso de calculadora.

1)p

7 es un nmero natural. F

2)p

100 es un nmero entero. V

3) 0 es un nmero irracional. F

4) es un nmero racional. F

5)p es un nmero real. V

6) 2 es un nmero natural. F

7)1+p

5


8) El conjunto de los nmeros pares es cerrado bajo la suma. V


Efran Soto A.


9) El conjunto de los nmeros impares es cerrado bajo la suma. F

10) El conjunto de los pares es cerrado bajo la multiplicacin. V

11) El conjunto de los impares es cerrado bajo la multiplicacin. V

12) Mara tiene que realizar 4 mediciones del volumen contenido en un frasco de licuado. Debe reportarsu medicin en litros. Indica a qu conjuntos pertenece el resultado de la medicin, en general:naturales, enteros, racionales, irracionales, reales. Racionales, Reales.

13) Luis compr un cinturn de 28 pulgadas de longitud. Si expresa esa longitud en centimetros ob-tiene 71.12 cm. Expresa este nmero en forma de una fraccin. Sugerencia: observa el nmero de

decimales que tiene el nmero.7112

100

14) A qu conjunto pertenece el nmero de habitantes de una poblacin? naturales, enteros, racionales,irracionales, reales. Naturales, Enteros, Racionales, Reales.

15) Un matemtico cre un nmero menor a uno. Despus del punto decimal escribi un uno,despusun cero, despus otro uno seguido de dos ceros, despus otro uno seguido de tres ceros, y as sucesi-vamente ad infinitum. Este nmero es un nmero real. A qu otro conjunto de nmeros perteneceeste nmero? Irracionales

16) Luis sale a correr cada maana. El lunes corri 12 kilmetros, el martes solamente 11 kilmetros, elmircoles, el jueves y el viernes corri 15 kilmetros cada da. Qu distancia recorri en esos cincodas? 62 km.

17) Mi to gana $1 200.00 pesos como mago. Generalmente tarda 3 horas y media en su trabajo. Enpromedio, cunto gana por minuto? $5.71 pesos/minuto.

18) El huracn Dean lleg a la ciudad de Chetumal, Q. R., Mxico, con rachas de viento de 250 kilmetrospor hora. Eso es equivalente a una velocidad del viento de 70 metros por segundo. La energa de unkilogramo de aire de ese viento se calcula elevando al cuadrado la velocidad del viento (en m/s) ysacando la mitad de ese resultado. Qu energa tenan los vientos del huracn Dean? 2450Unidades de energa.

19) En mis exmenes de matemticas he obtenido las siguientes calificaciones: 7, 9, 8, 9.2, 6. Qupromedio tengo hasta el da de hoy? 7.84

20) En tipografa, una lnea puede contener entre 80 y 130 letras para que sea legible. En una pgina,debe haber entre 35 y 50 renglones. Cules son los nmeros de letras mnimo y mximo que cabenen una pgina de acuerdo a las reglas tipogrficas? Mnimo: 2800 letras; mximo: 2500 letras.

21) Daniela es la responsable del convivio mensual en su saln. Ella recauda $30.00 pesos de cada unode sus 21 compaeros (ella tambin coopera) y con ese dinero compra comida, refrescos y un pastelpara festejar a los que cumplieron aos en ese mes. Todos quedaban sorprendidos por la comidatan buena que llevaba que le preguntaron cmo organizaba los gastos. Ella contest: Fcil: ocupoun dcimo en el pastel, y del dinero que queda, un onceavo corresponde a los refrescos. Cuntodinero ocupa en comprar comida? $540.00 en comida, $54.00 en refrescos y $66 en pastel.

22) Un huevo proporciona 82 caloras. Un nio utiliza 450 caloras cuando juega futbol en el recreo.Cuntos huevos debe ingerir en su ingesta para suministrar las caloras que quem en el recreo dehoy? 5.487 huevos.

23) El valor simplificado de:10

21+

3

7

7

12

es: 61/84.



24) Cul es el valor de 23+24+25? 56

25) En su primer examen, Rubn obtuvo 12 reactivos correctos de un total de 20. En el segundo examenrespondi 38 de las 40 preguntas correctamente. En qu porcentaje aument su calificacin? 35%

26) El corazn de un humano adulto late, en promedio, 70 veces por minuto. Cuntas veces late elcorazn de un adulto en un ao aproximadamente? Late 36 792 000 veces aprox.

27) Una moneda de $5.00 pesos pesa alrededor de 7 gramos. Cuntas monedas de $5.00 pesos igualantu peso? Depende del peso del estudiante.

28) Una persona camina a razn de un paso por segundo. Si utiliza 30 minutos en su caminata diaria, ycada paso mide 75 cm., qu distancia en metros recorre diariamente en su caminata? 1 350 m

29) Calcula la siguiente suma: 2+4+6+8+ +200 10 100

30) Calcula: 1+3+5+7+ +99 2 500

31) Calcula: 2+4+6+ +2 000 1 001 000

32) Calcula cada una de las siguiente sumas:

1 = 1

1+3 = 4

1+3+5 = 9

1+3+5+7 = 16

1+3+5+7+9 = 25

1+3+5+7+9+11 = 36

1+3+5+7+9+11+13 = 49

1+3+5+7+9+11+13+15 = 64

1+3+5+7+9+11+13+15+17 = 81

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 100

Encuentras algn patrn en las sumas? Obtenemos los cuadrados perfectos consecutivos sumandoimpares.

33) Una sucesin de nmeros que aparece frecuentemente en la naturaleza es la llamada Sucesin deFibonacci. Los primeros 10 trminos de esta sucesin son: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Encuentra losprimeros 20 trminos de esta sucesin. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,1597, 2584, 4181, 6765

34) Reto: Se puede aplicar el truco de elevar al cuadrado un nmero de dos cifras que termina en cincoen las unidades a los nmeros de 3 cifras que terminan en 5? Verifica realizando los clculos sincalculadora. S.


Efran Soto A.

1.3 Razones y Proporciones 15

1.3 RAZONES Y PROPORCIONES

En la vida real surgen muchas ocasiones en las que deseamos comparar dos cantidades. Para compara-rlas tenemos muchas opciones vlidas, pero la que nos provee de informacin ms rpidamente es larazn, que est relacionada con la proporcin.

Definicin 8

RAZNConsidere los nmeros a y b . La razn de ellos es el cociente obtenido al dividirlos:

a

b

En otras palabras, la razn de dos nmeros es igual al cociente entre ellos.

Las razones se definen a partir de la divisin y se explican con fracciones porque en realidad una fraccinnos indica una razn.

Por eso tenemos las fracciones equivalentes.

Ejemplo 10Las fracciones2

7y

10

35son equivalentes. Muestra utilizando la definicin de proporcin

que es as.

De acuerdo a la definicin, la fraccin2

7indica la proporcin de los nmeros 2 y 7.

Esto significa que en el numerador hay 2 por cada 7 que hay en el denominador de la fraccin.

Si agrego 2 en el numerador, para seguir teniendo la misma proporcin, debo agregar siete en eldenominador.

2

7=

2+27+7

=4

7

Esto es equivalente a multiplicar tanto el numerador como el denominador por 2:

2

7=

4

7=(2)(2)(7)(2)

Igual, en lugar de multiplicar por 2 en el numerador y en el denominador, podemos multiplicarpor cualquier otro nmero distinto de cero y obtenemos una fraccin equivalente.

Si multiplicamos por 5 en el numerador y en el denominador, obtenemos:

2

7=(2)(5)(7)(5)

=10

35

Esto nos indica que ambas fracciones estn en la misma proporcin, es decir, son equivalentes.

Ejemplo 11En las pasadas elecciones de un pueblo el candidato A obtuvo 4 875 votos a su favor, mien-tras que el candidato B obtuvo 1 625. En qu proporcin estn sus respectivas votaciones?

Por definicin, debemos dividir el nmero de votos que obtuvo el candidato A entre el nmero devotos que obtuvo el candidato B.

Votos del candidato A

Votos del candidato B=

4 875

1 625= 3



Este resultado nos indica que el candidato A obtuvo 3 votos por cada voto que obtuvo el candidatoB.

Esta misma informacin obtenemos si encontramos la razn de los votos del candidato B conrespecto al candidato A:

Votos del candidato B

Votos del candidato A=

1 625

4 875=

1

3

La fraccin 1/3 nos dice que por cada voto que obtuvo del candidato B, el candidato A obtuvo 3.

En este ejemplo se conocan dos datos y stos no se pueden cambiar. En algunos casos tenemos msinformacin y la proporcin nos puede ayudar a calcular un dato desconocido.

Para esto, tenemos que saber que hay varios tipos de proporcin.

Definicin 9

PROPORCINEs una igualdad entre dos razones. Por ejemplo,

a

b=

c

d

Esta misma proporcin tambin podemos escribirla como: a : b :: c : d .

Definicin 10

PROPORCIN DIRECTACuando dos cantidades estn relacionadas de tal forma que cuando una cantidad crece laotra tambin crece el mismo nmero de veces, entonces tenemos una proporcin directa.

Ejemplo 12Un paquete con 600 ml de refresco cuesta $5.00 pesos. Cunto cuesta un litro de ese

refresco?

Sabemos que 600 ml de refresco cuestan $5.00 pesos.

La sexta parte de 600 ml debe costar la sexta parte de $5.00 pesos.

Es decir, 100 ml de ese refresco deben costar $5.00/6 pesos.

Un litro de refresco equivalen a 1 000 ml.

Y 1 000 ml equivalen a 10 veces 100 ml.

Entonces, 1 litro de ese refresco debe costar 10 veces ms que lo que cuestan 100 ml.

Esto es, 1 litro de ese refresco cuesta: (10) (5/6) = 50/6= $9.33 pesos.

Ejemplo 13Un vendedor de Hot Dogs puede preparar 20 Hot Dogs en 30 minutos. Cuntos puede

preparar en 45 minutos?

Nosotros sabemos que puede preparar 20 hot dogs en 30 minutos.

Entonces puede preparar el doble de hot dogs en el doble de tiempo.


Efran Soto A.


Y debe preparar la mitad de hot dogs en la mitad del tiempo.

Eso significa que puede preparar 10 hot dogs en la mitad de 30 minutos, es decir, en 15 minutos.

Entonces, si sumamos lo que puede preparar en 30 minutos con lo que puede preparar en 15minutos, obtenemos lo que puede preparar en 45 minutos.

En conclusin, puede preparar 20+10= 30 hot dogs en 45 minutos.

Ejemplo 14En un asilo se consumen 14 kg de harina por semana (7 das). Cuntos kilogramos de

harina se consumen en 30 das?

En la sptima parte del tiempo se consume la sptima parte de kilogramos de harina.

Esto significa que en un da se consumen 2 kilogramos de harina.

En 30 das se consumen 30 veces ms de harina que lo que se consume en un da,

Esto indica que en 30 das se consumen (2)(30) = 60 kilogramos de harina.

Los problemas de proporcin directa se resuelven de manera ms sencilla si utilizamos la regla de 3directa.

Por ejemplo, en el caso de los Hot Dogs, escribimos en una columna el nmero de Hot Dogs que puedepreparar y en otra la cantidad de minutos que requiere:

Hot Dogs MinutosDatos conocidos: 20 30

Para calcular: x 45

Para resolver este problema con este segundo mtodo observa que si dividimos 20 (Hot Dogs) entre 30(minutos) obtenemos la proporcin que indica cuntos Hot Dogs prepara el vendedor en un minuto1.Si multiplicamos este resultado por 45 (minutos) obtenemos la cantidad de Hot Dogs que prepara enesa cantidad de tiempo.

Entonces,

x = (45) 20

30= (3)(15)

2

3

= 30

Sabemos que en el asilo se consumen 14 kg de harina en 7 das, la razn 14 / 7 = 2 nos indica que seutilizan 2 kilogramos de harina por da en ese asilo. En 30 das se deben utilizar 30 veces ms, es decir,(30)(2) = 60 kilogramos de harina.

En forma de regla de tres directa, tenemos:

1En realidad, esta proporcin nos indica que el vendedor prepara 2 Hot Dogs en 3 minutos, o bien, dos tercios de Hot Dogs enun minuto.



kg de harina DasDatos conocidos: 14 7

Para calcular: x 30

Y al realizar las operaciones, obtenemos:

x = (30)

14

7

= (30)(2) = 60

Observa que debido a que la multiplicacin y la divisin tienen la misma prioridad como operaciones,en realidad no importa qu operacin realicemos primero. Bien podemos primero dividir y despusmultiplicar, bien podemos primero multiplicar y despus dividir... en ambos casos siempre obten-dremos el mismo resultado.

Por esto, es una costumbre utilizar la regla de tres directa de la siguiente manera:

kg de harina DasDatos conocidos: 14 7

Para calcular: x 30

empezamos multiplicando el nico nmero que conocemos del rengln donde se encuentra nuestra in-cgnita (30) por el nmero que se encuentra en el otro rengln y en la otra columna (14) y este resultadolo dividimos por el ltimo nmero conocido (7).

x =(30)(14)

7= (30)(2) = 60

Se queda como ejercicio para ti realizar este procedimiento para el caso del vendedor de Hot Dogs.

Una proporcin directa que es utilizada comnmente es el porcentaje.

Definicin 11

PORCENTAJEEs una proporcin de algo a cien. La palabra porciento indica cuntos se tomarn porcada cien.

Ejemplo 15Luisa compr un vestido. Como le hicieron un descuento del 25%, solamente pag $180.00pesos. Cul es el precio original (sin descuento) de ese vestido?

Para calcular el precio con descuento del vestido, debieron restar el 25%.

Definimos con P al precio original (sin descuento) del vestido,

Entonces, 0.25 P es el descuento que se le hizo,

Y el precio con descuento es:P 0.25 P = 0.75 P

Esto indica que pag solamente el 75% del precio original del vestido.

Y este precio fue de $180.00 pesos.


Efran Soto A.


Entonces,

0.75 P = 180 P =180

0.75=

180

3

4

=(4)(180)

3= (4)(60) = 240

Esto nos dice que el precio sin descuento del vestido era de $240.00 pesos.

En efecto, si calculamos el 25% de $240.00 pesos, entonces debemos sacar la cuarta parte,

es decir, $60.00 pesos es el 25% de $240.00

A $240.00 le restamos $60.00 y obtenemos $180.00 que es el precio con el 25% de descuento.

Ejemplo 16Un paquete de cereal contiene 15% ms gratis. Si el envase inicialmente contena 680 gr.,

cuntos gramos contiene ahora?

Sabemos que originalmente el envase contena 680 gramos.

El 10% de esa cantidad es la dcima parte, porque 10 es la dcima parte de 100.

Y el porcentaje se refiere a la proporcin por cada cien...

La dcima parte de 680 gr., es 68 gr.

Entonces, el 10% de 680 es 68.

La mitad del 10% es el 5%.

Entonces, el 5% de 680 es la mitad de 68, es decir, 34.

Si sumamos el 10% de 680 y el 5% de 680 obtenemos el 15% de 680.

Esto es, el 15% de 680 es 68+34= 102

Entonces, el envase contiene 102 gramos de ms...

Si originalmente contena 680 gramos, junto con los 102 gramos gratis (el 15%) obtenemos unnuevo total de 782 gramos.

Definicin 12

PROPORCIN INVERSADos cantidades estn en proporcin inversa si al crecer una, la otra decrece, en la mismarazn.

Por ejemplo si una aumenta al doble, la otra disminuye a la mitad.

Ejemplo 17Dos trabajadores tardan 32 horas en pintar una barda. Cuntos trabajadores se requierenpara que realicen la tarea en 4 horas?

Si se asignan el doble de trabajadores deben tardar la mitad del tiempo.



Entonces, si hay

3 4 trabajadores deben tardar 16 horas,

3 y 8 trabajadores deben tardar 8 horas,

3 y 16 trabajadores deben tardar 4 horas,...

Todo esto, suponiendo que los trabajadores siempre trabajan al mismo ritmo y que no se estorbanentre ellos para realizar la tarea.

Las proporciones inversas aparecen muy frecuentemente. Sin embargo, debido a que mucha gente noconoce su nombre, no las reconoce como tal.

Ejemplo 18En un viaje, 300 personas requieren de 975 litros de agua para consumo (elaboracin de

alimentos y bebidas) durante un da. Si hacemos caso del dicho: una persona necesita dedos litros de agua diarios, para cuntas personas alcanzar el agua?

La respuesta es inmediata: como cada persona requiere de dos litros, dividimos el nmero delitros de agua que llevan consigo y obtenemos el resultado de nuestro problema:

975

2= 487.5

Esto nos dice en palabras que si cada persona consume dos litros de agua por da, entonces 975litros podrn dar a 487.5 personas agua en un da.

Sin embargo debes observar que inicialente haba 300 personas asignadas a los 975 litros de agua.

Esto significa que (en promedio) consuman ms de 2 litros de agua:

975

300= 3.25

Entonces, este problema tiene relacionadas sus variables con una proporcin inversa: cuandoaumenta el nmero de litros de agua que consume diariamente una persona, pueden dar agua amenos personas...

Y cuando disminuye el nmero de personas a las que se les va a repartir el agua, pueden que darlesms litros de agua a cada uno de ellos.

Estos dos tipos de variaciones no son los nicos. Existen otros tipos de variaciones.

Por mencionar un ejemplo, tenemos la energa que contiene el viento. Cuando la velocidad del vientoaumenta al doble, la energa que contiene un kilogramo de ese aire en movimiento aumenta ocho ve-ces. Si se triplica la velocidad del viento, la energa aumenta 27 veces, y si la velocidad incrementa alcudruplo, la energa se multiplica por 64.

Entonces, si la velocidad del viento se multiplica por k , la energa contenida ah se multiplica por k 3.

Este tipo de variacin se conoce como variacin cbica, por obvias razones2.

Otro tipo de variacin consiste en la variacin exponencial. Este tipo de variacin es la que se utiliza paradeterminar la edad de los huesos de dinosaurios y seres que existieron en nuestro planeta hace millones

2Observa que el nmero que utilizaste para multiplicar a la velocidad del viento se elev al cuadrado para conocer en quproporcin aument la energa que contiene.


Efran Soto A.


de aos. En este tipo de variacin la cantidad que aumenta o disminuye depende de la cantidad quequedaba antes.

Por ejemplo, es posible definir que una proporcin exponencial vare de un da a otro con la mitad de loque haba al da anterior. Si el lunes tena 16 gramos de una sustancia que vara de esa forma, entoncesel martes habr la mitad, es decir, 8 gr., el mircoles habr la mitad de lo que quedaba el martes, es decir,4 gr., el jueves habr 2 gr., el viernes 1 gr., y as sucesivamente.

Las poblaciones de algunas especies tienen un crecimiento exponencial tambin3.

Como puedes ver, las razones y proporciones aparecen en muchas reas distintas, adems de que hayotras formas de variacin entre dos cantidades que hemos dejado sin estudiar.

Ejercicios1.3.0

Resuelve cada uno de los siguientes problemas. Identifica primero si se trata de una pro-porcin directa o inversa.

1) Don Macario compr cubetas a $12.00 pesos cada una y las est vendiendo a $20.00 pesos cada una.Cul es la proporcin entre los precios de compra y el precio de venta de las cubetas de Don Macario?12/20= 3/5= 0.6

2) Qu indica la proporcin del ejercicio anterior? Cada cubeta le cuesta el 60%, es decir, 3/5, delprecio de venta.

3) A la gasolina se le aument un 5.5% en su precio por litro. Su precio incial era de $5.32 pesos por litro.Qu precio tiene ahora, despus de haber afectado el precio? $5.61 pesos.

4) Una mquina puede pintar 12 kilmetros de la lnea de la carretera federal en una hora. Cuntotiempo requiere para pintar 108 kilmetros? 9 hr.

5) Carlos compr 12 lpices por $10.00 pesos. Cunto debe pagar por 30 lpices? $25.00 pesos.

6) Tres lpices cuestan $17.00 pesos. Cunto debo pagar por doce de esos lpices? $68.00 pesos.

7) Marco compr un pantaln. Cuando pag le dijeron que el precio que tena el pantaln inclua un15% de descuento. Si el pantaln le cost $255.00 pesos, cul era el precio del pantaln sin des-cuento? $300.00pesos.

8) Andrei Jagodzinski es un pianista polaco. En su ltimo contrato gan 2.3 veces ms que en el anterior.En qu porcentaje aument su ingreso por concierto? 230%

9) En la pelcula King Kong en Nueva York, un gorila fue filmado y al editar en doble cmara el gorilaapareca enorme. En la realidad, el gorila meda 1.45 metros. Si de acuerdo a mediciones realizadasen la pelcula, la escala indica que tena 12 metros de alto, por qu nmero multiplicaron la alturaverdadera del animal? 8.2

10) Si una persona de 1.75 metros de altura hubiera sido aumentada en sus dimensiones al igual que elgorila en la pelcula de King Kong, qu tan alto se vera? 14.48 m

11) De entre 35 000 personas encuestadas, 86% opina que los problemas ms serios que enfrenta la hu-manidad actualmente estn relacionadas con problemas ambientales. Cuntas personas en totalopin eso? 30 100

12) Un complemento alimenticio lquido embotellado de 2.5 litros cuesta $15.00 pesos. Cunto cuestauna porcin de 500 ml? $3.00 pesos

3Dentro de ciertos lmites.



13) Un tornillo pesa aproximadamente 15 gramos. Cuntos de esos tornillos hay en una bolsa de unkilogramo? 67 tornillos aprox.

14) Un kilogramo de huevo de gallina contiene 18 huevos. Cul es el peso aproximado de un huevo degallina? 55.5 gr aprox.

15) Cuntos huevos habr, aproximadamente, en 2 kg de huevos? 36 huevos aprox.

16) Considerando la informacin de los dos ejercicios anteriores, y sabiendo que una tapa de huevocontiene 30 huevos y una caja contiene 12 tapas, cunto debe pesar una caja de huevos? (ignoraque el peso de las tapas y de la caja que los contiene). 20 kg aprox.

17) Un envase de 100 ml tiene 7/8 ocupados con agua. Qu volumen de agua tiene? 87.5 ml de agua.

18) Cuando Doa Pifa compra 12 panes debe pagar $54.00 pesos. Cunto debe pagar por 20 de esospanes? $90.00 pesos

19) Lalito compr un disco duro externo de 160 Gb de capacidad para almacenar la informacin de suLapTop, porque deba formatearla. La capacidad del disco duro de su LapTop es de 120 Gb. Cul esla razn de las capacidades de los discos duros? (Simplifica el resultado) Externo:Laptop = 4/3.Laptop:externo = 3/4.

20) La razn de la altura a la base de una puerta es 12 : 5. Si sta tiene una altura de 2.1 metros, cul esla longitud de su base? 0.875 metros = 87.5 cm.

21) Qumica: Una solucin utilizada como tinta para marcar huellas digitales utiliza 2 ml de sales dehierro, 1.33 ml de sales de potasio, 0.17 ml de amonio y 16.5 ml de agua. Encuentra los mililitros quese deben utilizar de cada qumico para preparar 2 litros de la solucin. Recuerda que 1 litro equivalea 1 000 ml. 200 ml sales de hierro, 133 ml s. potasio, 17 ml amonio y 1650 ml agua.

22) Qumica: En una mina se extrae material que contiene 93% de hierro, 3% de carbn, 2% de azufrey el resto son trazas de otros metales. Cuntos kilogramos de carbn se extraen en una semana (7das) si diariamente se extrae 2.5 toneladas de material? (Recuerda que una tonelada equivale a 1 000kg.) 525 kg.

23) Medicina: En fsica la densidad se define como la razn de la masa al volumen. Los dentistas utilizanel mercurio para colocar amalgamas en los dientes que han sufrido de caries leves. Un frasco de 15ml de mercurio pesa 203.91 gramos. Cul es la densidad del mercurio? 13.594 gr/ml

24) Fsica: El coeficiente de dilatacin lineal trmica en un material se refiere al cociente del incrementoen la longitud L de una varilla debido al aumento de temperatura entre su longitud inicial L . Siuna varilla de L = 1 m aumenta su temperatura de 20oC a 21oC su longitud se incrementa en 0.005metros. Cul es el coeficiente de dilatacin lineal trmica de ese material? 0.005

25) Fsica: La presin se define como el cociente de la magnitud de la fuerza F al rea A sobre la cual sedistribuye. Qu informacin nos da esa razn? Cuntas unidades de fuerza soporta cada unidadde rea.

26) Qumica: Se sabe que 18 gr de agua pura contienen 6.02351023 molculas de agua. Considerandoque una molcula de agua tiene dos tomos de hidrgeno y uno de oxgeno, cuntos tomos dehidrgeno hay en esos 18 gr de agua? 1.20471024 tomos de H

27) Qumica: Cuando 37.9968 gr de flor gaseoso reacciona con suficiente hidrgeno gaseoso se pro-ducen 40.01268 gr de cido fluorhdrico. Si se requieren preparar 100 gr de ese cido, cuntosgramos de flor se deben hacer reaccionar con hidrgeno? 94.9619 gr.


Efran Soto A.


28) Qumica: La reaccin qumica del ejercicio anterior es la siguiente:

H2(g) + F2(g) 2HF(g) + 128 Kcal2.016 gr + 37.99 gr 40.006 gr

El ltimo trmino de la primera ecuacin: 128 Kcal, indica que cuando reaccionan 2.016 gr de H2(hidrgeno) con 37.99 gr de F2 (flor) se producen 128 Kcal adems de los 40.006 gr de HF (cidofluorhdrico). Cuntos gramos de H2 deben reaccionar para generar 50 Kcal? 0.7875 gr

29) Reto: (Fsica) La aceleracin de un objeto se define como el cociente del cambio de velocidad entreel tiempo que requiri ese cambio. Matemticamente:

a =v f vit f ti

=v

t=

Incremento de velocidad

Intervalo de tiempo

Fsicamente, qu informacin nos dice la aceleracin?

30) Reto: (Fsica) El calor especfico de una sustancia es numricamente igual a la cantidad de calor Qque hay que suministrar por cada unidad de masa m de esa sustancia para aumentar su temperaturaun grado centgrado. Qu frmula calcula el calor especfico c de una sustancia si se conocen Q ym? c =Q/m

31) Reto: (Demografa) La poblacin de un municipio ha crecido durante los ltimos diez aos a raznde 3% por ao. Si la poblacin en el ao 2 000 era de 1 250 000, y suponiendo que la poblacin seguircreciendo a la misma razn, cul ser la poblacin en el ao 2 010?

32) Reto: (Economa) Durante los ltimos cinco aos, la inflacin en el pas X ha crecido en promedioun 5% por ao. En el ao 2 000 la despensa de la canasta bsica para una semana de una familiacostaba $750.00 pesos. Si la inflacin contina as, cunto costar esa despensa en el ao 2 010?

33) Reto: (Matemticas) El rea de un crculo de radio r puede calcularse con la siguiente frmula:A = r 2. Esta rea puede pensarse como el rea que barre un radio cuando gira un ngulo de 360o.Encuentra una frmula para calcular el rea de un sector del crculo de ngulo a o. Ax = a r 2/360.

34) Reto: Cuando se incrementan las dimensiones de un cuadrado al doble, el rea crece, pero no aldoble. Cuando las dimensiones se aumentan al triple, el rea de nuevo crece, pero no al triple.Puedes describir cmo crece el rea dependiendo del crecimiento de las longitudes de los ladosdel cuadrado?




Efran Soto A.

1.4 Lenguaje algebraico 25

1.4 LENGUAJE ALGEBRAICO

Las matemticas son un lenguaje, hecho por los humanos para los humanos.

Como todo lenguaje, tiene sus reglas, y si conoces sus reglas, podrs entender todas las matemticas.

Evidentemente, la base est en este lenguaje que nos ayuda a describir con palabras lo que dicen losobjetos matemticos, es decir, las ecuaciones, funciones, grficas, vectores, etc.

Para poder entender las matemticas ms elementales, debes conocer el significado de las siguientespalabras:

Palabra Significa

Suma resultado de una sumaDiferencia resultado de una restaProducto resultado de una multiplicacinCociente resultado de una divisin

Doble, triple,... multiplicar por 2, 3, etc.Mitad, tercio,... dividir entre 2, 3, etc.

Cuadrado resultado de elevar al cuadradoCubo resultado de elevar al cubo

Cuarta potencia elevar a la potencia 4Raz cuadrada calcular raz cuadrada

Raz cbica calcular raz cbica

En realidad esta lista ya debes conocerla. Cuando una persona te pide: suma 3 al nmero 2, en realidadentiendes lo que debes hacer.

Sin embargo, algunas palabras prcticamente nunca las utilizamos, a pesar de que ya sabemos realizarla operacin.

Ejemplo 19Traduce a lenguaje matemtico, es decir, a una expresin algebraica, el siguiente enunci-ado:

EL DOBLE DE UN NMERO MENOS EL CUADRADO DE OTRO.

Vamos a trabajar con dos cantidades desconocidas, la primera la llamaremos x y a la segunda y .

Como ya sabemos, la palabra doble nos indica que multipliquemos por dos: 2 x indica el dobledel primer nmero.

El cuadrado del otro quiere decir: multiplica el nmero por s mismo dos veces, es decir,elevalo al cuadrado.

Entonces, la expresin algebraica que expresa matemticamente esa frase es: y 2.

Finalmente, la frase El doble de un nmero menos el cuadrado de otro, matemticamente seescribe:

2 x y 2

Con lo que hemos traducido al lenuaje matemtico la frase.

Cualquier expresin matemtica, por ms compleja que parezca, siempre puede expresarse en palabrasa travs del lenguaje algebraico.

Otras palabras que se usan frecuentemente en el lenguaje algebraico son las siguientes:



Palabra Significa

Aumentado ms o

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