Matemáticas y Medicina - USALdiarium.usal.es/delrey/files/2013/12/Matematicas-y-Medicina-2014.pdf · un modelo matemático que simula la propagación de la peste bubónica acaecida

Matemáticas y MedicinaÁngel Martín del Rey Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Salamanca [email protected]

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Bachillerato de Inves1gación, I.E.S. “Vaguada de la Palma”, 3 de diciembre de 2014

Ángel Mar1n del Rey, 2014

• Las Matemáticas son de gran utilidad en múltiples disciplinas de la Medicina:

‣ Epidemiología (propagación de enfermedades infecciosas).

‣Diagnóstico digital: imágenes médicas, TAC,…

‣Diseño de prótesis y fabricación de órganos.

‣ Planificación y evaluación de planes de control y prevención.

‣Control y análisis de experimentos clínicos.

‣ Farmacocinética.

‣ Impacto económico de las medidas sanitarias.

‣ Etc.

Introducción

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• La Modelización Matemática es una de las ramas de las Matemáticas de mayor uso en Medicina.

• Grosso modo, el objetivo fundamental de la Modelización Matemática es la descripción, simulación y predicción del comportamiento de fenómenos de todo tipo.

Introducción

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Problema existente en el

mundo real

Modelo de Trabajo

Modelo Matemático

Modelo Computacional

Resultados y Conclusiones

Simplificación

Representación

Implementación

Simulación

Interpretación


Introducción

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• ¿Qué buscamos con un modelo matemático?

‣Representación matemática de un determinado fenómeno de tal forma que su análisis teórico y numérico proporcione información para entender mejor los mecanismos que lo rigen.

‣ Implementación computacional para poder realizar simulaciones.

• ¿Cuál es el interés de la modelización matemática?

‣ Interés académico: estudio de las propiedades matemáticas del modelo y sus implicaciones.

‣ Interés práctico: dotar al gestor de una herramienta informática que permita predecir y simular comportamientos y tomar decisiones de control.


• Simulación del flujo sanguíneo por venas y arterias.

• Determinación de la mejor forma de redireccionar el flujo sanguíneo ante una obstrucción arterial

Aplicaciones: Cardiología

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• Simulación de la actividad eléctrica en el corazón


• Análisis de los niveles de los biomarcadores cancerígenos en sangre.

Aplicaciones: Oncología

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• Simulación del crecimiento de tumores.

• Planificación de la medicación anticancerígena.


• Simulación y construcción de superficies 3D:

Aplicaciones: Diseño de prótesis

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• Procesamiento digital de imágenes médicas

Aplicaciones: Imágenes Médicas

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Aplicaciones: Epidemiología Matemática

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• La Epidemiología Matemática es la disciplina científica que se ocupa del diseño y análisis de modelos matemáticos que simulan la propagación de las enfermedades infecciosas.

• La Epidemiología Matemática trata de dar respuesta a las siguientes preguntas:

‣¿Cuál será el alcance final de la epidemia?

‣¿Cuál será el efecto de las medidas de prevención y de control tomadas?

‣¿Qué medida tomada será más eficiente y eficaz?



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• El primer modelo epidemiológico de carácter matemático apareció en 1760 y es debido a Daniel Bernoulli.

‣ Estudiaba la propagación de la viruela.

‣ Estaba basado en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

u '(t) = − λ(t) + µ(t)( )u(t)

w '(t) = 1− c(t)( )λ(t)u(t) − µ(t)w(t)

⎧⎨⎪

⎩⎪

u(0) = 1w(0) = 0



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• En 1906, W.H. Hamer propuso un modelo matemático discreto para estudiar la propagación del sarampión.

‣Hamer sugiere que la evolución de una epidemia depende de la tasa de contacto entre los individuos susceptibles de contraer la enfermedad y los individuos infectados con capacidad de transmitirla (individuos infecciosos).

‣ Este principio de acción de masas establece que la incidencia (número de nuevos casos por unidad de tiempo) es proporcional al producto de la densidad de individuos susceptibles por la densidad de individuos infecciosos.



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• En 1911, R. Ross desarrolla un modelo matemático basado en ecuaciones diferenciales para predecir el comportamiento de un brote infeccioso de malaria.

‣ En dicho modelo se explica la relación entre el número de mosquitos y la incidencia de la malaria en humanos.



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• Se puede afirmar que la Epidemiología Matemática moderna surge en 1927 con el trabajo de W.O. Kermack y A.G. McKendrick en el que se presenta un modelo matemático que simula la propagación de la peste bubónica acaecida en Londres desde 1665 a 1666 y que se saldó con la muerte del 20% de la población.

• Está basado en el uso de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.

• La gran mayoría de los modelos propuestos desde entonces se basan en el paradigma establecido por Kermack y McKendrick.



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• Su característica fundamental es que se trata del primer modelo compartimental en el que la población es dividida en tres clases diferentes:

‣ Individuos Susceptibles.

‣ Individuos Infecciosos.

‣ Individuos Recuperados

• Otra aportación extremadamente importante de este trabajo es la introducción del Teorema Umbral que permite determinar cuando un brote infeccioso se convierte en epidémico.



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• El modelo de Kermack-McKendrick es un modelo SIR:

• La población se mantiene constante a lo largo del tiempo:

Suscep'ble Infectado Recuperado

S(t) : Individuos susceptibles en el instante t,I (t) : Individuos infectados en el instante t,R(t) : Individuos recuperados en el instante t.

S(t) + I (t) + R(t) = N .



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• En el modelo se tienen en cuenta sólo dos parámetros:

‣ Tasa de infección: a (probabilidad de que un individuo susceptible se infecte al entrar en contacto con un infectado).

‣ Tasa de recuperación: b = 1/T (T: tiempo promedio de infección) .

Suscep'ble Infectado Recuperadoa b



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• Las ecuaciones (discretizadas en el tiempo) del modelo son las siguientes:

S t +1( ) = S t( ) − a ⋅S t( ) ⋅ I t( )

I t +1( ) = I t( ) + a ⋅S t( ) ⋅ I t( ) − b ⋅ I t( )

R t +1( ) = R t( ) + b ⋅ I t( )

S 0( ) > 0, I 0( ) > 0, R 0( ) = 0.

Individuos susceptibles que se han infectado en el instante de tiempo t (Principio de acción de masas)

Individuos infectados que se han recuperado en el instante de tiempo t



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• Teorema Umbral: Existe un valor umbral de S(0) por encima del cual el número de individuos infectados crece, produciéndose una epidemia:

‣ Si S(0) < b/a entonces el número de individuos infectados decrecerá progresivamente y el brote desaparecerá (no se producirá epidemia).



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• El Teorema Umbral permite definir el número reproductivo básico:

‣ Si R0 < 1 no se producirá un brote epidémico.

‣ Si R0 > 1 se producirá un brote epidémico.

R0 =ab⋅S(0).

• El número reproductivo básico se puede definir como el número de nuevos casos infecciosos que un único individuo infectado genera en una población enteramente susceptible durante el tiempo de duración de la enfermedad (número de infecciones secundarias).



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• Ejemplo: Desarrollo de un brote de gripe en un internado escolar en 1978 en el que convivían N = 763 estudiantes y los parámetros asociados eran a = 0.00218, b = 0.4404.

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10 20 30 40 50horas

100

200

300

400

500

600

700

personas

S(0) = 762,I (0) = 1,

R0 =aS(0)b

= 3.77193 >1.



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• Ejemplo (continuación):

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horas

100

200

300

400

500

600

700

personas

Recuperados

Susceptibles

Infectados

a = 0.00055,b = 0.4404,S(0) = 762,I (0) = 1,

R0 =aS(0)b

= 0.951635 <1.



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• Ejemplo: Brote de ébola



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• Ejemplo: Brote de ébola (continuación)



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