Momen yang bekerja pada sumbu bidang x’ di ekspresikan sbb :

M x=12

(M x+M y )+ 12

(M x−M y )cos2θ+M xy sinθ

.......... (1.13)

Mx ' y '

=−12

(M x−M y ) sin 2θ+M xy cos2θ

.......... (1.14)

Analog :

M y=12

(M x−M y )−12

(M xM y )cos2θ−M xysin 2θ

......... (1.15)

Orientasi sumbu prinsipal adalah .

tg 2θp=2M xy

M x . M y

.......... (1.16)

Momen-momen parsial dan momen lentur maksimal :

M 1,2=M x+M y

2±√(M x−M y )

2

2+M 2

......... (1.17) Dan

(M x, y)max=√(M x−M y

2 )2

(M2 xy )

.......... (1.18)

Subscript 1 dan 2 mengacu ke nilai maksimak dan minimal secara

berurutan.

1.4. Variasi Tegangan di dalam sebuah pelat.

Komponen tegangan umumnya menyimpang dari titik dalam suatu

pelat yang dibebani. Variasi-variasi ini diatur dengan kondisi

keseimbangan statis persyaratan penuh dari kondisi-kondisi ini

membangunan hubungan tertentu yang dikenal dengan

persamaan keseimbangan.

Gambar 1.5. Resultante-resultante tegangan positip dan beban pada suatu elemen pelat.

Pertimbangan suatu elemen dx dy pada suatu pelat yang

dipengaruhi oleh beban terbagi merata penuh per unit luas 𝞺. Kita

asumsikan berat pelat jumlahnya kecil, dalam 𝞺 tidak dapat

mempengaruhi akurasi hasil catatan juga karena elemen adalah

M xy

Q y=π r2

x

y zQ x=π r

2

P

M y=π r2

M x+∂M x

∂x∂x=π r

2d y=π r2

d x

M xy+∂M xy

∂x∂x

Q x+∂Qx∂x∂x

M x=π r2

M xy=π r2

M y+∂M y

d ydy Q y+

∂Q y

∂yd y

M xy+∂M xy

∂yd y=π r

2

kecil, untuk kepentingan kesederhanaan, komponen gaya dan

momen, dapat dipertimbangkan didistribusikan merata pada setiap

muka. Pada Gambar gaya-gaya tersebut ditunjukkan oleh vektor

tunggal mewakili nilai-nilai rata-rata yang bekerja pada pusat

setiap muka.

Dengan perubahan lokasi, sebagai contoh posisi kiri atas ke posisi

kanan bawah, satu dari komponen momen, katakan M x , bekerja

pada muka x positip, menyimpang akan nilai relatif terhadap muka

x positip variasi ini terhadap posisi boleh dinyatakan dalam

perluasa Truncted Taylaris.

M x+∂M x

∂xd x

Deffrensial parsial digunakan sebab M x adalah fungsi dari x dan y.

Perlakukan semua komponen dengan sama, keadaan semua

resultante tegangan ditunjukkan pada gambar diperoleh :

Kondisi jumlah dari gaya-gaya dalam arah z sama dengan nol

membawa/ memberikan :

∂Qx∂xd xd y+

∂Q y

∂yd xd y+ρd xd y=0

Dimana :

∂Qx∂x

+∂Q y

∂y+ ρ=0 .......... (a)

Keseimbangan Momen terhadap sumbu-sumbu x diatur dengan.

∂M xy

∂xd xd y+

∂M y

∂yd xd y−Q yd xd y=0

∂M xy

∂x+∂M y

∂y−Q y=0 .......... (b)

Hasil-hasil dari bagian yang sangat kecil, seperti momen dari 𝞺 dan momen dari akibat perubahan dalam Q y telah dihilangkan.

Secara sama, dari keseimbangan momen terhadap sumbu y, kita

mempunyai.

∂M xy

∂x+∂M y

∂y−Q x=0 .......... (c)

Akhirnya, pengenalan dari persamaan untuk Q x dan Q y dari persamaan (b) dan (c) kedalam (a) menghasilkan :

∂2M x

∂ x2+2∂2M xy

∂x∂y+∂2M y

∂ y2=− ρ

.......... (1.19)

Ini adalah persamaan keseimbangan didefferential untuk lentur

dari pelat tipis.

Ekspresi untuk gaya geser vertikal Q x dan Q y sekarang boleh

ditulei dalam istilah defleksi 𝟂 dari persamaan (b) dan (c)

bersama dengan persamaan.