C.Maksum

Materi 3Penarikan sampling bertahap (Multi-Stage Sampling)

Penarikan sampel bertahap sebenarnya tidak jauh berbeda dengan penarikan sampel satu tahap (single stage sampling), hanya saja ada perluasan dalam penarikan sampelnya. Penarikan sampel satu tahap penarikan sampel langsung pada unit-unit yang terdaftar pada kerangka sampel Penarikan sampel bertahap didasarkan pada pertimbangan-pertimbangan yang rasional yang meliputi - tidak tersedianya kerangka sampel yang memuat unit-unit sampel yang terkecil (ultimate sampling unit); - untuk membangun kerangka sampel yang memuat unit-unit sampel yang terkecil memerlukan biaya, tenaga, dan waktu yang besar - dengan menerapkan penarikan sampel bertahap, pengawasan lapangan lebih dapat ditingkatkan sehingga non sampling error dapat ditekan - dari segi biaya, penarikan sampel bertahap jauh lebih efisien dibandingkan penarikan sampel acak sederhana.

1) Pengertian dan pertimbangan

C.Maksum

Definisi: suatu metode penarikan contoh dimana pengambilan pertama memilih sampel dari unit-unit pertama (primary sampling unit/penraikan sampel tahap pertama/pstp) dan kemudian pada pengambilan kedua memilih sejumlah elemen dari elemen-elemen yang ada di unit pertama terpilih (secondary sampling unit/pemilihan sampel tahap kedua/pstd).

Keuntungan1.Psu lebih mudah disiapkan2.Ssu hanya diperlukan pada psu terpilih saja3.Pengawasan lapangan lebih dapat ditingkatkan sehingga nonsampling error dapat ditekan;4.Dari segi biaya, lebih efisien dibandingkan dengan penarikan sampel acak sederhana.

KelemahanHampir tidak memiliki kelemahan, namun bisa dikatakan bahwa bila elemen dalam unit utama yang sama sangat dekat, timbul persoalan kurangnya keseimbangan antara ketelitian secara statistik dan biaya.

C.Maksum

2) Penarikan sampel dua tahap

Misalkan jumlah unit yang dapat dijadikan dasar untuk penarikan sampel tahap pertama ( pstp atau first stages sampling unit – fsu) adalah N, dan jumlah unit yang dapat dijadikan dasar penarikan sampel tahap kedua ( pstd atau secondary sampling unit – ssu) pada setiap unit penarika sampel tahap pertama yang ke-i adalah Mi . Contoh : Sampel dua tahap dengan jumlah unit sama

N = 81, n = 5, M = 9, m = 2      

N = 81 unit

n = 5 unit

m = 2 subunit

M = 9 subunit M = 9 subunit M = 9 subunit M = 9 subunit M = 9 subunit

m = 2 subunit

m = 2 subunit

m = 2 subunit

m = 2 subunit

C.Maksum

s ss

s

s

ss

sss

s ssu terpilih

Sampel terpilih n = 5, M = 9, m = 2

C.Maksum

a). Mendapatkan rerata dan varian pada sampling dua tahap

nilai harapan untuk sampel secara keseluruhan

nilai harapan untuk sampel pada tahap pertama

nilai harapan untuk sampel pada tahap ke dua

varian utk penarikan sampel tahap ke dua.

Utk membuktikan hal di atas misal , maka

dari

21 EEE

E

1E

2E

2121 VEEVV

2V

E

2

21

2

EEEV

……….. ( 1 )

……….. ( 1 )

C.Maksum

22

2

2

2

2 2

EEE

Menurut definisi : 222

EEEEV

VEE22

222

2

2

2

2 2

EVEE

Ambil rerata pada penarikan tahap pertama ( ), dan subsitusi bahwa : 1E

21EE

22121

2

21

2

21 2

EEVEEEEE

221

2

21

2

21

VEEEEE

212

2

21 VEEE

Dari konsep varian di atas:

2221

2

212

2121

22

EEEEEEEVEEV

Masukkan ke persamaan di atas, menjadi:

2121 VEEVV

V ……….. ( 2 )

( 2 )

C.Maksum

b). Total dan rerata populasi Misalkan jumlah unit yang dapat dijadikan dasar untuk penarikan sampel tahap pertama ( pstp atau first stages sampling unit – fsu) adalah N, dan jumlah unit yang dapat dijadikan dasar penarikan sampel tahap kedua ( pstd atau secondary sampling unit – ssu) pada setiap unit penarikan sampel tahap pertama yang ke-i adalah Mi. Bila menyatakan nilai karakteristik Y pada unit pstd ke-j

dalam unit pstp ke-i, maka nilai total dan rerata dapat dinyatakan sebagai berikut:   

- total nilai karakteristik Y pada pstp ke-i adalah:

-  rerata nilai karakteristik pstp ke-i adalah:

-  total nilai karakteristik dalam populasi adalah:     - rerata nilai karakteristik per unit pstp dalam populasi:     

- rerata nilai karakteristik per unit pstd

iM

jiji yY

1

i

ii M

YY

N

i

N

iii

N

ii

M

jij YMYyY

i

1 111

ijy

N

ii

N

iiiN

ii

opstd MYM

M

Y

M

YY

11

1

N

iiipstp YM

NN

YY

1

1

C.Maksum

c). Penarikan sampel dua tahap, kedua tahap acak sederhana Dari N unit pstp dipilih n unit, dan dari Mi unit pstp pada setiap ke-i dipilih sebanyak

mi unit. Penarikan sampel pada kedua tahap menerapkan metode penarikan sampel

acak sederhana tanpa pemulihan. Banyaknya sampel pada pstd adalah m1+m2+…+mn.

Misalkan yij adalah nilai karakteristik Y pada unit pstd ke-j dan pstp ke-i yang terpilih

(j=1,2,…,mi) dan (i=1,2,3,…,n). Secara skematis penarikan sampel acak sederhana dua

tahap dapat disajikan pada gambar berikut.

          

6 

7  

                                                         

                                                         

                                                         

  

                                     

        

 

                                                         

                                                         

                                                         

                                                         

Keterangan:

    Unit pstp terpilih     : Unit pstd terpilih        

                                                         

Penarikan Sampel Acak Dua Tahap(N=12, n=4 , m1=3, m2=2, m3=5, m4=3)

1 2 3 4 5

8 9 10 11 12

C.Maksum

 

d) Penduga Parameter (1) Penarikan sampel dua tahap dengan metode SRSWR (PSAS DP) Rancangan penarikan sampel yang digunakan adalah rancangan penarikan sampel 2 tahap, dengan tahapan sebagai berikut : Tahap pertama, dari N unit sampling tahap pertama dipilih n unit dengan menerapkan metode PSAS DP. Tahap kedua, misalkan pada setiap unit pstp yang terpilih memuat Mi

unit pstd, selanjutnya dipilih mi unit dengan menerapkan metode PSAS DP. Dari uraian

rancangan penarikan sampel yang direncanakan dapat ditentukan peluang, dan fraksi sampling pada setiap tahap penarikan sampel seperti tercantum pada tabel di bawah ini.

Tabel 3.1 : Penarikan sampel dua tahap dengan metode PSAS DP 

N

1N

n

iM

1

i

i

M

m

Tahap

Banyaknya unit di dalamMetode

penarikan sampel

Peluang pemilihan

sampel

Fraksi sampling

Populasi Sampel

Pertama N n PSAS-DP

Kedua Mi mi PSAS-DP

C.Maksum

Dengan demikian selanjutnya dapat ditentukan besarnya faktor pengali (inflation factor) pada masing-masing tahapan penarikan sampel yang merupakan kebalikan dari fraksi sampling dan factor pengali-pengalinya (overall inflation factor) adalah: Faktor pengali pstp    Faktor pengali pstd   Faktor pengali keseluruhan, yang berbeda antar pstp, kecuali bila F2i = F2

konstan, F = F1.F2 merupakan desain tertimbang sendiri

(self-weighting design).n

N

fF

11

1

i

i

ii m

M

fF

22

1iFFF 21.

Misal yij menyatakan nilai karkteristik Y pada pengamatan ke-j dalam unit pstp ke-i, maka

rumus umum estimasi yang tak bias bagi total adalah

dengan

Ambil wij dan diletakkan pada rumus umum, maka akan diperoleh estimasi bagi total

karakteristik Y berdasarkan nilai-nilai sampel, yaitu :

ji

ijijsampel

iji ywyFFY,

21.ˆ

i

iiij m

M

n

NFFw 21.

n

i

m

jij

i

ii

ym

M

n

NY

1 1

ˆi

n

ii yM

n

N

1

C.Maksum

dan varian penarikan sampel bagi adalah

dengan dan

dan masing-masing adalah varian antar unit penarikan sampel tahap pertama dan varian di dalam unit penarikan sampel tahap kedua pada unit penarikan sampel tahap pertama ke-i.

Dalam penarikan sampel dengan pemulihan, penduga tak bias bagi total karakteristik Y dapat didekati untuk n = 1, melalui estimasi yang diperoleh dari masing-masing unit penarikan sampel tahap pertama ke-i adalah

Y

n

ii

i

ib S

m

M

n

NS

n

MNYV

1

22

222

)ˆ(

2

1.

2

1

1

N

iNib YY

NS

2

1

2

1

1

iM

iiij

ii YY

MS

N

iiMNN

MM

1

0 1 1N

nN1

i

ii

M

mM

2bS

2iS

im

jij

i

ii y

m

NMY

1

ˆ

C.Maksum

Jadi ada sebanyak n estimasi dari setiap pstp. Dengan demikian penduga tak bias bagi varian adalah

Y

n

ii YY

nnYVYv

1

2ˆˆ)1(

1)ˆ(ˆ)ˆ(

n

ii

m

jij

n

i i

i Yn

ym

M

n

NY

i

111

ˆ1ˆ

Apabila penarikan sample tanpa pemulihan maka setiap pstp tidak merupakan estimasi yang bebas satu sama lain. Varian harus dihitung melalui pstp dan pstd.

i

in

ii

b

m

sM

n

N

n

sMNYv

2

1

22

22 '')ˆ(

n

inib yy

nMs

1

2.2

2 )'()1('

1

n

iii

n

iii

n

M

yMy 1

.

'

1

2.

2 )()1(

1

jiij

ii yy

ms

C.Maksum

Rumus klaster yang kedua

Dalam suatu survei dengan skala besar biasanya perkiraan varian didekati dengan penghitungan dengan pemulihan. 

Tugas: Kembangkan untuk penduga tak bias bagi rata-rata, baik equal maupun unequal first stage unit, serta without replacement tanpa mengabaikan faktor koreksi.

n

iiMn

M1

1'