Upload
trandat
View
245
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
02/28/2014
Ratih Wulandari, ST.,MT 1
METODE STOKASTIK
Model Antrian
Menunggu dalam suatu antrianadalah hal yang paling sering terjadi
dalam kehidupan sehari-hari
Siapaun yang pergi berbelanja atau ke bioskop telah mengalami ketidaknyamanan
dalam mengantri untuk membeli atau membayar tiket
02/28/2014
Ratih Wulandari, ST.,MT 2
Dengan memperhatikan halini, banyak perusahaanmengusahakan untuk
mengurangi waktumenunggu sebagai
komponen utama dariperbaikan kualitas.
Umumnya, perusahaan dapatmengurangi waktu
menunggu dan memberikanpelayanan yang lebih cepatdengan menambah jumlahpelayanan, seperti jumlah
teller pada bank atau jumlahkasir pada supermarket.
� Teori Antrian� Ilmu pengetahuan tentang antrian
� Antrian� Orang-orang atau barang dalam barisan yang sedang
menunggu untuk dilayani
Situasi Yang datang padaantrian
Proses Pelayanan
Supermarket Orang berbelanja Membayar dikasir
Pintu tol Mobil Mengumpulkan uang
Praktek dokter Pasien Pelayanan dokter
Bank Pelanggan Transaksi oleh teller
Pelabuhan Kapal Pekerja bongkarmuat
02/28/2014
Ratih Wulandari, ST.,MT 3
Karakteristik Sistem Antrian
� Terdapat tiga komponen dalam sebuah sistem antrian:
1. Kedatangan atau masukan sistem. Kedatangan memiliki karakteristik seperti ukuran populasi, perilaku, dan sebuah distribusi statistik.
2. Disiplin antrian, atau antrian itu sendiri. Karakteristik antrian mencakup apakah jumlah antrian terbatas atau tidak terbatas panjangnya dan materi atau orang-orang yang ada di dalamnya.
3. Fasilitas pelayanan. Karakteristiknya meliputi desain dan distribusi statistik waktu pelayanan.
Karakteristik Kedatangan
� Sumber input yang menghadirkan kedatangan pelanggan bagi sebuah sistem pelayanan memiliki tiga karakteristik utama:1. Ukuran populasi kedatangan.
2. Perilaku kedatangan.
3. Pola kedatangan (distribusi statistik).
02/28/2014
Ratih Wulandari, ST.,MT 4
Karakteristik Kedatangan
� Ukuran Populasi Kedatangan� Tak terbatas
� Terbatas
� Perilaku kedatangan� Tidak sabar
� Yang sabar hanya mesin
Karakteristik Kedatangan
� Pola kedatangan pada sistem� Terjadwal
� Secara acak � distribusi Poisson
( )!x
exP x
λ
λ−
⋅=
P(x) = probabilitas kedatangan xx = Jumlah kedatangan persatuan waktuλ = Tingkat kedatangan rata-rataẻ = 2,7183 (dasar logaritma)
02/28/2014
Ratih Wulandari, ST.,MT 5
Mengukur Kinerja Antrian
� Model antrian membantu para manajer membuat keputusan untuk menyeimbangkan biaya pelayanan dengan menggunakan biaya antrian. Dengan menganalisis antrian akan dapat diperoleh banyak ukuran kinerja sebuah sistem antrian, meliputi hal berikut:1. Waktu rata-rata yang dihabiskan oleh pelanggan dalam antrian.2. Panjang antrian rata-rata3. Waktu rata-rata yang dihabiskan oleh pelanggan dalam sistem
(waktu tunggu ditambah waktu pelayanan).4. Jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem.5. Probabilitas fasilitas pelayanan akan kosong.6. Faktor utulisasi sistem.7. Probabilitas sejumlah pelanggan berada dalam sistem.
� Bagaimana pelanggan diseleksi dari antrian untukdilayani?
� First Come First Served (FCFS)/FIFO
� Shortest Processing Time (SPT)
� Priority (jobs are in different priority classes)
� Untuk kebanyakan model diasumsikan FCFS
02/28/2014
Ratih Wulandari, ST.,MT 6
Antrian
Fasilitas pelayanan
Kedatangan
Fasilitas pelayanan tahap 1
Fasilitas pelayanan tahap 2
Antrian
Keberangkatan setelah pelayanan
Keberangkatan setelah pelayanan
Kedatangan
Sistem jalur tunggal, satu tahap
Sistem jalur tunggal,tahapan berganda
Contoh
Kantor praktik dokter gigi keluarga
Dua jendela kendara-lewat (drive-through) di McDonald
Desain Sistem Antrian Dasar
Antrian
Fasilitas pelayanan jalur 2
Kedatangan
Fasilitas
jalur 1
Fasilitas pelayanan tahap 1 jalur 1
Fasilitas
jalur 1
Fasilitas pelayanan tahap 2 jalur 1
Antrian
Keberangkatan setelah pelayanan
Keberangkatan setelah pelayanan
Kedatangan
Sistem jalur berganda, satu tahap
Sistem jalur berganda,tahapan berganda
Hampir seluruh bank dan kantor pos
Beberapa kantor pendaftaran mahasiswa
Fasilitas pelayanan
jalur 1
Fasilitas pelayanan jalur 3
Fasilitas
jalur 2
Fasilitas pelayanan tahap 1 jalur 2
Fasilitas
jalur 2
Fasilitas pelayanan tahap 2 jalur 2
02/28/2014
Ratih Wulandari, ST.,MT 7
BIAYA SISTEM ANTRIAN
13
Tingkat pelayanantinggi
Biaya Perkiraan Total
BiayaWaktuTunggu
BiayaPengadaanLayanan
Biaya PelayananOptimal
Tingkat pelayananoptimum
Tingkat pelayananrendah
Jumlahbiayaminimal
Model A : M/M/1Model Antrian Jalur Tunggal dengan Kedatangan
Berdistribusi Poisson dan Waktu Pelayanan Eksponensial
1. Kedatangan dilayani atas dasar first-in, first-out (FIFO), dan setiap kedatangan menunggu untuk dilayani, terlepas dari panjang antrian.
2. Kedatangan tidak terikat pada kedatangan yang sebelumnya, hanya saja jumlah kedatangan rata-rata tidak berubah menurut waktu.
3. Kedatangan digambarkan dengan distribusi probabililtas poisson dan datang dari sebuah populasi yang tidak terbatas (atau sangat besar).
4. Waktu pelayanan bervariasi dari satu pelanggan dengan pelanggan yang berikutnya dan tidak terikat satu sama lain, tetapi tingkat rata-rata waktu pelayanan diketahui.
5. Waktu pelayanan sesuai dengan distribusi probabilitas eksponensial negatif.
6. Tingkat pelayanan lebih cepat daripada tingkat kedatangan.
02/28/2014
Ratih Wulandari, ST.,MT 8
� λ = jumlah kedatangan rata-rata persatuan waktu � µ = jumlah orang yang dilayani persatuan waktu
� Panjang antrian tak terbatas
� Jumlah pelanggan tak terbatas
Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam suatu sistem
antrian (baik sedang dalam antrian maupun sedang dilayani)
Probabilitas terdapat n pelanggan dalam suatu sistem antrian
Rata-rata jumlah pelanggan dalam suatu sistem antrian (yang menunggu untuk dilayani)
Rata-rata jumlah pelanggan yang berada dalam baris antrian
Waktu rata-rata dihabiskan seorang pelanggan dalam
keseluruhan sistem antrian (yaitu, waktu menunggu dan
dilayani) λλL
W =−
=µ
1
) - µ(µ
2
λλ=qL
) - (µ λλ=L
0.µ
PPn
n
= λ
µ
- 1 P0
= λ
02/28/2014
Ratih Wulandari, ST.,MT 9
Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang
pelanggan untuk menunggu dalam
antrian sampai dilayani
Probabilitas bahwa pelayan sedang sibuk
(yaitu, probabilitas seorang pelanggan harus
menunggu), dikenal dengan faktor utilisasi
Probabilitas bahwa pelayan menganggur / unit pelayanan kosong
)( λµµλ−
=qW
011 PUI =−=−=µλ
µλ=wP
Contoh 1
� Seorangmontir di bengkel dpt memasang knalpotbaru rata-rata 3 buah per jam (1 knalpot per 20 menit) Yang mengikuti distribusi exponensialnegatif. Pelanggan tiba rata-rata 2 orang perjam dg distribusi poisson. Mereka dilayani dengan aturanFIFO dan datang dari populasi yang sangat besar(tak terbatas)
� λ = 2 mobil tiba per jam� µ = 3 mobil dilayani per jam� . = 2 mobil rata-rata dlm sistem
12
2)- (3
2 ==L
02/28/2014
Ratih Wulandari, ST.,MT 10
� .
� . 1,33 mobil rata-rata menunggu dlmantrian
� . 40 menit waktu tunggu rata-rata mobil
� . 66,6% montir sibuk
� . 0.33 probabilitas o mobil dlmsistem
123
1 =−
=W 1 jam rata-rata waktu menunggu dlmsistem
34
)2 - 3(3
22
==qL
32
)23(3
2 =−
=qW
=3
2P
33,03/13
21 ==−
Biaya Yang terlibat
� Jika waktu tunggu pelanggan adalah $10/jam berapabiaya waktu tunggu perhari (8 jam kerja, 2 mobil tibaperjam)?
WAKTU TUNGGU RATA-RATA MOBIL 2/3 JAM = 40 MENIT
BANYAKNYA MOBIL = 16
TOTAL WAKTU MENUNGGU = 16 X 2/3 JAM = 10 2/3 JAM
BIAYA WAKTU MENUNGGU = 10 2/3 JAM X $10 = $107/HARI
32
)23(3
2 =−
=qW
02/28/2014
Ratih Wulandari, ST.,MT 11
M/M/S
Model Antrian Jalur Ganda
Berikut ini disajikan formula antrian untuk sistem pelayanan multiple. Formula inidikembangkan berdasarkan asumsi :
�Disiplin antrian pertama datang pertama dilayani (FIFO)
�Kedatangan Poisson
�Waktu pelayanan eksponensial
�Populasi yang tidak terbatas
Parameter model pelayanan multiple adalah sebagai berikut
λ = tingkat kedatangan
µ = tingkat pelayanan
c = jumlah pelayan
cµ = rata-rata pelayanan efektif sistem tersebut, dimana nilainya harus melebihi tingkatkedatangan (cµ > λ)
02/28/2014
Ratih Wulandari, ST.,MT 12
Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam sistem tersebut
Probabilitas terdapat n pelanggan dalam sistem antrian tersebut
Jumlah rata-rata pelanggan dalam
sistem antrian tersebut
Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem antrian tersebut
−
+
=
∑−=
= λµµ
µλ
µλ
c
c
cn
Pcncn
n !1
!1
11
0
0
cnuntukPn
PcnuntukPPnn
cnnn
cc≤
=>
= − 1
; 1
,0,0
! µλ
µλ
( ) ( ) µλ
λµµλλµ +−−
= 0
2!1
)/(P
cc
cL
λL
W =
Dalam formula di atas jika c=1(yaitu, terdapat satu pelayan), maka formula tersebutmenjadi formula pelayanan tunggal.
Jumlah rata-rata pelanggan dalam antrian tersebut
Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam antrian menunggu untuk dilayani
Probabilitas seorang pelanggan yang datang dalamsistem tersebut harus menunggu untuk dilayani
µλ−= LLq
λµq
q
LWW =−= 1
0
!
1P
c
c
cP
c
w
λµµ
µλ
−=
02/28/2014
Ratih Wulandari, ST.,MT 13
Contoh berikut ini mengilustrasikan analisis sistem antrian pelayanan
tunggal dan pelayanan multipel, termasuk penentuan karakteristik operasi
untuk tiap-tiap sistem.
KasusKasusKasusKasus
Petugas baru untuk pelayanan pinjaman pada Bank BCD mewawancara seluruhnasabah yang ingin membuka rekening pinjaman baru. Tingkat kedatanganpara nasabah tersebut adalah 4 nasabah per jam berdasarkan distribusi Poisson, dan petugas rekening tersebut menghabiskan waktu rata-rata 12 menit untuksetiap nasabah yang ingin membuka rekening baru.
A. Tentukan karakteristik operasi (P(P(P(P0000,,,, L,L,L,L, LLLLqqqq,,,, W,W,W,W, WWWWqqqq,,,, dandandandan PPPPwwww)))) untuk sistem ini.
B. Tambahkan seorang petugas baru pada sistem atas masalah tersebut sehinggasekarang sistem tersebut menjadi sistem antrian pelayanan multiple dengan duasaluran dan tentukan karakteristik operasi yang diminta pada bagian A
A. Karakteristik Operasi untuk sistem pelayanan tunggal
λ = 4 nasabah per jam kedatangan
μ = 5 nasabah per jam yang dilayani
Probabilitas tidak adanya nasabah dalam sistem
Jumlah nasabah rata-rata dalam sistem antrian
Jumlah nasabah rata-rata dalam baris antrian
0.20 5
4 - 1
µ - 1 P0 =
=
= λ
2.3)4 - 5(5
) - µ(µ
422
===λ
λqL
4)4 - (5
4
) - (µ===
λλ
L
02/28/2014
Ratih Wulandari, ST.,MT 14
A. Karakteristik Operasi untuk sistem pelayanan tunggal
Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan dalam keseluruhan sistemantrian
Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu dalamantrian sampai dilayani
Probabilitas petugas rekening baru akan sibuk dan nasabah harus menunggu
menit 48jam 0.8)45(5
4
)(==
−=
−=
λµµλ
qW
8.05
4 ===µλ
wP
jam 145
1
µ
1 =−
=−
=λ
W
B. Karakteristik Operasi untuk sistem pelayanan multipel
λ = 4 nasabah per jam kedatangan
μ = 5 nasabah per jam yang dilayani
c = 2 petugas yang datang
Probabilitas tidak adanya nasabah dalam sistem
Jumlah nasabah rata-rata dalam sistem antrian429.0
45.25.2
54
!21
54
!11
54
!01
1
!1
!1
1
110
1
0
0
=
−
+
+
=
−
+
=
∑−=
= λµµ
µλ
µλ
cc
cn
Pcncn
n
( ) ( )
( )952.0
5
4429.0
245.2!1
)5/4( 25.4
2!1
)/(0
=
+−
=
+−−
=µλ
λµµλλµ
Pcc
cL
02/28/2014
Ratih Wulandari, ST.,MT 15
B. Karakteristik Operasi untuk sistem pelayanan multipel
Jumlah nasabah rata-rata dalam baris antrian
Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan dalam keseluruhan sistem
antrian
Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu dalam antriansampai dilayani
Probabilitas petugas rekening baru akan sibuk dan nasabah harus menunggu
152.05
4952.0 =−=−=
µλ
LLq
jam 238.04
952.0 ===λL
W
jam 038.04
152.0 ===λ
q
q
LW
229.0429.045.2
5.2
!2
1
!
1
54
2
0 =−
=−
=
P
c
c
cP
c
w
λµµ
µλ
Satu Petugas Dua Petugas
Po 0,20 0,429
L 4 0,952
Wo 1 0,238 = 14,28 menit
Lq 3.2 0,152
Wq 0,8 = 48 menit 0,038 = 2.28 menit
Pq 0,8 0,229
Po = probabilitas tidak ada pelanggan dlm sistemL = jumlah nasabah rata-rata dlm sistem antrianWo = waktu yg dihabiskan pelanggan dlm antrianLq = Jumlah nasabah dlm baris antrianWq = Waktu yg dihabiskan utk menunggu dilayaniPq = Probabiltas petugas sibuk dan nasabah menunggu