15
02/28/2014 Ratih Wulandari, ST.,MT 1 METODE STOKASTIK Model Antrian Menunggu dalam suatu antrian adalah hal yang paling sering terjadi dalam kehidupan sehari-hari Siapaun yang pergi berbelanja atau ke bioskop telah mengalami ketidaknyamanan dalam mengantri untuk membeli atau membayar tiket

Materi 3 Teori ANTRIAN - ratih_wulandari.staff.gunadarma.ac.idratih_wulandari.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/40858/Materi... · 02/28/2014 Ratih Wulandari, ST.,MT 1 METODE

  • Upload
    trandat

  • View
    245

  • Download
    4

Embed Size (px)

Citation preview

02/28/2014

Ratih Wulandari, ST.,MT 1

METODE STOKASTIK

Model Antrian

Menunggu dalam suatu antrianadalah hal yang paling sering terjadi

dalam kehidupan sehari-hari

Siapaun yang pergi berbelanja atau ke bioskop telah mengalami ketidaknyamanan

dalam mengantri untuk membeli atau membayar tiket

02/28/2014

Ratih Wulandari, ST.,MT 2

Dengan memperhatikan halini, banyak perusahaanmengusahakan untuk

mengurangi waktumenunggu sebagai

komponen utama dariperbaikan kualitas.

Umumnya, perusahaan dapatmengurangi waktu

menunggu dan memberikanpelayanan yang lebih cepatdengan menambah jumlahpelayanan, seperti jumlah

teller pada bank atau jumlahkasir pada supermarket.

� Teori Antrian� Ilmu pengetahuan tentang antrian

� Antrian� Orang-orang atau barang dalam barisan yang sedang

menunggu untuk dilayani

Situasi Yang datang padaantrian

Proses Pelayanan

Supermarket Orang berbelanja Membayar dikasir

Pintu tol Mobil Mengumpulkan uang

Praktek dokter Pasien Pelayanan dokter

Bank Pelanggan Transaksi oleh teller

Pelabuhan Kapal Pekerja bongkarmuat

02/28/2014

Ratih Wulandari, ST.,MT 3

Karakteristik Sistem Antrian

� Terdapat tiga komponen dalam sebuah sistem antrian:

1. Kedatangan atau masukan sistem. Kedatangan memiliki karakteristik seperti ukuran populasi, perilaku, dan sebuah distribusi statistik.

2. Disiplin antrian, atau antrian itu sendiri. Karakteristik antrian mencakup apakah jumlah antrian terbatas atau tidak terbatas panjangnya dan materi atau orang-orang yang ada di dalamnya.

3. Fasilitas pelayanan. Karakteristiknya meliputi desain dan distribusi statistik waktu pelayanan.

Karakteristik Kedatangan

� Sumber input yang menghadirkan kedatangan pelanggan bagi sebuah sistem pelayanan memiliki tiga karakteristik utama:1. Ukuran populasi kedatangan.

2. Perilaku kedatangan.

3. Pola kedatangan (distribusi statistik).

02/28/2014

Ratih Wulandari, ST.,MT 4

Karakteristik Kedatangan

� Ukuran Populasi Kedatangan� Tak terbatas

� Terbatas

� Perilaku kedatangan� Tidak sabar

� Yang sabar hanya mesin

Karakteristik Kedatangan

� Pola kedatangan pada sistem� Terjadwal

� Secara acak � distribusi Poisson

( )!x

exP x

λ

λ−

⋅=

P(x) = probabilitas kedatangan xx = Jumlah kedatangan persatuan waktuλ = Tingkat kedatangan rata-rataẻ = 2,7183 (dasar logaritma)

02/28/2014

Ratih Wulandari, ST.,MT 5

Mengukur Kinerja Antrian

� Model antrian membantu para manajer membuat keputusan untuk menyeimbangkan biaya pelayanan dengan menggunakan biaya antrian. Dengan menganalisis antrian akan dapat diperoleh banyak ukuran kinerja sebuah sistem antrian, meliputi hal berikut:1. Waktu rata-rata yang dihabiskan oleh pelanggan dalam antrian.2. Panjang antrian rata-rata3. Waktu rata-rata yang dihabiskan oleh pelanggan dalam sistem

(waktu tunggu ditambah waktu pelayanan).4. Jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem.5. Probabilitas fasilitas pelayanan akan kosong.6. Faktor utulisasi sistem.7. Probabilitas sejumlah pelanggan berada dalam sistem.

� Bagaimana pelanggan diseleksi dari antrian untukdilayani?

� First Come First Served (FCFS)/FIFO

� Shortest Processing Time (SPT)

� Priority (jobs are in different priority classes)

� Untuk kebanyakan model diasumsikan FCFS

02/28/2014

Ratih Wulandari, ST.,MT 6

Antrian

Fasilitas pelayanan

Kedatangan

Fasilitas pelayanan tahap 1

Fasilitas pelayanan tahap 2

Antrian

Keberangkatan setelah pelayanan

Keberangkatan setelah pelayanan

Kedatangan

Sistem jalur tunggal, satu tahap

Sistem jalur tunggal,tahapan berganda

Contoh

Kantor praktik dokter gigi keluarga

Dua jendela kendara-lewat (drive-through) di McDonald

Desain Sistem Antrian Dasar

Antrian

Fasilitas pelayanan jalur 2

Kedatangan

Fasilitas

jalur 1

Fasilitas pelayanan tahap 1 jalur 1

Fasilitas

jalur 1

Fasilitas pelayanan tahap 2 jalur 1

Antrian

Keberangkatan setelah pelayanan

Keberangkatan setelah pelayanan

Kedatangan

Sistem jalur berganda, satu tahap

Sistem jalur berganda,tahapan berganda

Hampir seluruh bank dan kantor pos

Beberapa kantor pendaftaran mahasiswa

Fasilitas pelayanan

jalur 1

Fasilitas pelayanan jalur 3

Fasilitas

jalur 2

Fasilitas pelayanan tahap 1 jalur 2

Fasilitas

jalur 2

Fasilitas pelayanan tahap 2 jalur 2

02/28/2014

Ratih Wulandari, ST.,MT 7

BIAYA SISTEM ANTRIAN

13

Tingkat pelayanantinggi

Biaya Perkiraan Total

BiayaWaktuTunggu

BiayaPengadaanLayanan

Biaya PelayananOptimal

Tingkat pelayananoptimum

Tingkat pelayananrendah

Jumlahbiayaminimal

Model A : M/M/1Model Antrian Jalur Tunggal dengan Kedatangan

Berdistribusi Poisson dan Waktu Pelayanan Eksponensial

1. Kedatangan dilayani atas dasar first-in, first-out (FIFO), dan setiap kedatangan menunggu untuk dilayani, terlepas dari panjang antrian.

2. Kedatangan tidak terikat pada kedatangan yang sebelumnya, hanya saja jumlah kedatangan rata-rata tidak berubah menurut waktu.

3. Kedatangan digambarkan dengan distribusi probabililtas poisson dan datang dari sebuah populasi yang tidak terbatas (atau sangat besar).

4. Waktu pelayanan bervariasi dari satu pelanggan dengan pelanggan yang berikutnya dan tidak terikat satu sama lain, tetapi tingkat rata-rata waktu pelayanan diketahui.

5. Waktu pelayanan sesuai dengan distribusi probabilitas eksponensial negatif.

6. Tingkat pelayanan lebih cepat daripada tingkat kedatangan.

02/28/2014

Ratih Wulandari, ST.,MT 8

� λ = jumlah kedatangan rata-rata persatuan waktu � µ = jumlah orang yang dilayani persatuan waktu

� Panjang antrian tak terbatas

� Jumlah pelanggan tak terbatas

Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam suatu sistem

antrian (baik sedang dalam antrian maupun sedang dilayani)

Probabilitas terdapat n pelanggan dalam suatu sistem antrian

Rata-rata jumlah pelanggan dalam suatu sistem antrian (yang menunggu untuk dilayani)

Rata-rata jumlah pelanggan yang berada dalam baris antrian

Waktu rata-rata dihabiskan seorang pelanggan dalam

keseluruhan sistem antrian (yaitu, waktu menunggu dan

dilayani) λλL

W =−

1

) - µ(µ

2

λλ=qL

) - (µ λλ=L

0.µ

PPn

n

= λ

µ

- 1 P0

= λ

02/28/2014

Ratih Wulandari, ST.,MT 9

Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang

pelanggan untuk menunggu dalam

antrian sampai dilayani

Probabilitas bahwa pelayan sedang sibuk

(yaitu, probabilitas seorang pelanggan harus

menunggu), dikenal dengan faktor utilisasi

Probabilitas bahwa pelayan menganggur / unit pelayanan kosong

)( λµµλ−

=qW

011 PUI =−=−=µλ

µλ=wP

Contoh 1

� Seorangmontir di bengkel dpt memasang knalpotbaru rata-rata 3 buah per jam (1 knalpot per 20 menit) Yang mengikuti distribusi exponensialnegatif. Pelanggan tiba rata-rata 2 orang perjam dg distribusi poisson. Mereka dilayani dengan aturanFIFO dan datang dari populasi yang sangat besar(tak terbatas)

� λ = 2 mobil tiba per jam� µ = 3 mobil dilayani per jam� . = 2 mobil rata-rata dlm sistem

12

2)- (3

2 ==L

02/28/2014

Ratih Wulandari, ST.,MT 10

� .

� . 1,33 mobil rata-rata menunggu dlmantrian

� . 40 menit waktu tunggu rata-rata mobil

� . 66,6% montir sibuk

� . 0.33 probabilitas o mobil dlmsistem

123

1 =−

=W 1 jam rata-rata waktu menunggu dlmsistem

34

)2 - 3(3

22

==qL

32

)23(3

2 =−

=qW

=3

2P

33,03/13

21 ==−

Biaya Yang terlibat

� Jika waktu tunggu pelanggan adalah $10/jam berapabiaya waktu tunggu perhari (8 jam kerja, 2 mobil tibaperjam)?

WAKTU TUNGGU RATA-RATA MOBIL 2/3 JAM = 40 MENIT

BANYAKNYA MOBIL = 16

TOTAL WAKTU MENUNGGU = 16 X 2/3 JAM = 10 2/3 JAM

BIAYA WAKTU MENUNGGU = 10 2/3 JAM X $10 = $107/HARI

32

)23(3

2 =−

=qW

02/28/2014

Ratih Wulandari, ST.,MT 11

M/M/S

Model Antrian Jalur Ganda

Berikut ini disajikan formula antrian untuk sistem pelayanan multiple. Formula inidikembangkan berdasarkan asumsi :

�Disiplin antrian pertama datang pertama dilayani (FIFO)

�Kedatangan Poisson

�Waktu pelayanan eksponensial

�Populasi yang tidak terbatas

Parameter model pelayanan multiple adalah sebagai berikut

λ = tingkat kedatangan

µ = tingkat pelayanan

c = jumlah pelayan

cµ = rata-rata pelayanan efektif sistem tersebut, dimana nilainya harus melebihi tingkatkedatangan (cµ > λ)

02/28/2014

Ratih Wulandari, ST.,MT 12

Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam sistem tersebut

Probabilitas terdapat n pelanggan dalam sistem antrian tersebut

Jumlah rata-rata pelanggan dalam

sistem antrian tersebut

Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem antrian tersebut

+

=

∑−=

= λµµ

µλ

µλ

c

c

cn

Pcncn

n !1

!1

11

0

0

cnuntukPn

PcnuntukPPnn

cnnn

cc≤

=>

= − 1

; 1

,0,0

! µλ

µλ

( ) ( ) µλ

λµµλλµ +−−

= 0

2!1

)/(P

cc

cL

λL

W =

Dalam formula di atas jika c=1(yaitu, terdapat satu pelayan), maka formula tersebutmenjadi formula pelayanan tunggal.

Jumlah rata-rata pelanggan dalam antrian tersebut

Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam antrian menunggu untuk dilayani

Probabilitas seorang pelanggan yang datang dalamsistem tersebut harus menunggu untuk dilayani

µλ−= LLq

λµq

q

LWW =−= 1

0

!

1P

c

c

cP

c

w

λµµ

µλ

−=

02/28/2014

Ratih Wulandari, ST.,MT 13

Contoh berikut ini mengilustrasikan analisis sistem antrian pelayanan

tunggal dan pelayanan multipel, termasuk penentuan karakteristik operasi

untuk tiap-tiap sistem.

KasusKasusKasusKasus

Petugas baru untuk pelayanan pinjaman pada Bank BCD mewawancara seluruhnasabah yang ingin membuka rekening pinjaman baru. Tingkat kedatanganpara nasabah tersebut adalah 4 nasabah per jam berdasarkan distribusi Poisson, dan petugas rekening tersebut menghabiskan waktu rata-rata 12 menit untuksetiap nasabah yang ingin membuka rekening baru.

A. Tentukan karakteristik operasi (P(P(P(P0000,,,, L,L,L,L, LLLLqqqq,,,, W,W,W,W, WWWWqqqq,,,, dandandandan PPPPwwww)))) untuk sistem ini.

B. Tambahkan seorang petugas baru pada sistem atas masalah tersebut sehinggasekarang sistem tersebut menjadi sistem antrian pelayanan multiple dengan duasaluran dan tentukan karakteristik operasi yang diminta pada bagian A

A. Karakteristik Operasi untuk sistem pelayanan tunggal

λ = 4 nasabah per jam kedatangan

μ = 5 nasabah per jam yang dilayani

Probabilitas tidak adanya nasabah dalam sistem

Jumlah nasabah rata-rata dalam sistem antrian

Jumlah nasabah rata-rata dalam baris antrian

0.20 5

4 - 1

µ - 1 P0 =

=

= λ

2.3)4 - 5(5

) - µ(µ

422

===λ

λqL

4)4 - (5

4

) - (µ===

λλ

L

02/28/2014

Ratih Wulandari, ST.,MT 14

A. Karakteristik Operasi untuk sistem pelayanan tunggal

Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan dalam keseluruhan sistemantrian

Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu dalamantrian sampai dilayani

Probabilitas petugas rekening baru akan sibuk dan nasabah harus menunggu

menit 48jam 0.8)45(5

4

)(==

−=

−=

λµµλ

qW

8.05

4 ===µλ

wP

jam 145

1

µ

1 =−

=−

W

B. Karakteristik Operasi untuk sistem pelayanan multipel

λ = 4 nasabah per jam kedatangan

μ = 5 nasabah per jam yang dilayani

c = 2 petugas yang datang

Probabilitas tidak adanya nasabah dalam sistem

Jumlah nasabah rata-rata dalam sistem antrian429.0

45.25.2

54

!21

54

!11

54

!01

1

!1

!1

1

110

1

0

0

=

+

+

=

+

=

∑−=

= λµµ

µλ

µλ

cc

cn

Pcncn

n

( ) ( )

( )952.0

5

4429.0

245.2!1

)5/4( 25.4

2!1

)/(0

=

+−

=

+−−

=µλ

λµµλλµ

Pcc

cL

02/28/2014

Ratih Wulandari, ST.,MT 15

B. Karakteristik Operasi untuk sistem pelayanan multipel

Jumlah nasabah rata-rata dalam baris antrian

Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan dalam keseluruhan sistem

antrian

Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu dalam antriansampai dilayani

Probabilitas petugas rekening baru akan sibuk dan nasabah harus menunggu

152.05

4952.0 =−=−=

µλ

LLq

jam 238.04

952.0 ===λL

W

jam 038.04

152.0 ===λ

q

q

LW

229.0429.045.2

5.2

!2

1

!

1

54

2

0 =−

=−

=

P

c

c

cP

c

w

λµµ

µλ

Satu Petugas Dua Petugas

Po 0,20 0,429

L 4 0,952

Wo 1 0,238 = 14,28 menit

Lq 3.2 0,152

Wq 0,8 = 48 menit 0,038 = 2.28 menit

Pq 0,8 0,229

Po = probabilitas tidak ada pelanggan dlm sistemL = jumlah nasabah rata-rata dlm sistem antrianWo = waktu yg dihabiskan pelanggan dlm antrianLq = Jumlah nasabah dlm baris antrianWq = Waktu yg dihabiskan utk menunggu dilayaniPq = Probabiltas petugas sibuk dan nasabah menunggu