materi besok

BAB 1KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR

A. Posisi, Kecepatan dan Perpindahan Partikel pada Gerak Lurus

1. Posisi Partikel pada Suatu Bidang

Pada umumnya, posisi atau kedudukan suatu titik ditunjukkan dengan sebuah

koordinat. Sebuah koordinat memiliki suatu titik acuan (Tanpa kerangka acuan, atau

penentuan posisi awal yang dijadikan acuan, maka pengertian perpindahan akan sulit

dipahami) , atau suatu kerangka acuan. Berdasarkan kerangka acuan tersebut, akan dapat

digambarkan kedudukan suatu titik dalam koordinat tersebut. Data bahwa pesawat berada

pada jarak 20 km akan tidak bermakna, jika tidak disertai arah petunjuk dan titik

acuannya. Namun angka 20 km akan menjadi informasi penting jika dikatakan, bahwa

pesawat berada 20 km sebelah timur dari menara kontrol. Begitu juga dalam koordinat

kartesius, yang umumnya menempatkan koordinat (0,0) sebagai pusat acuannya.

Misalkan dalam koordinat kartesius titik A berada pada koordinat (2,4), dan titik B pada

koordinat (-2,3).

Jika digambarkan titik (0,0) yang dijadikan sebagai titik acuan, maka titik A dan

B dapat digambarkan sebagai berikut :

Selain menggunakan grafik kartesius, posisi suatu partikel dapat pula ditunjukkan

dengan menggunakan grafik koordinat polar (r , θ). Di mana r adalah jarak suatu titik ke

pusat koordinat, dan θ adalah sudut dari sumbu x positif dalam koordinat kartesius

menuju titik materi dengan arah berlawanan arah jarum jam. Hubungan antara koordinat

kartesius dan koordinat polar adalah :

x = r . cos θ y = r . sin θ

r = tan θ =

Misalnya, suatu titik berjarak 10 cm dari titik pusat koordinat dan membentuk

sudut 37° terhadap sumbu x positif, maka gambaran posisi titik tersebut dalam koordinat

polar adalah seperti berikut ini.

1

Kedudukan dalam koordinat polar dapat diubah dalam koordinat kartesius. Besar

nilai x dan y adalah :


x = 10 . cos 37° y = 10 . sin 37°

x = 10 . 0,8 y = 10 . 0,6

x = 8 satuan y = 6 satuan

Kedudukan atau posisi suatu benda dinyatakan dalam vektor satuan. Adapun

persamaan umum vektor posisi dalam dua dimensi adalah :

r = x i + y j di mana besar vektor satuan i = 1

dan besar vektor satuan j = 1

Penulisan suatu vektor satuan dinyatakan dalam huruf miring. Misalnya vektor

satuan yang searah sumbu x dinyatakan dengan i. Vektor itu sendiri diwakili dengan

huruf tebal, seperti vektor kedudukan atau vektor pisisi suatu titik dalam dua dimensi

adalah r.

Contoh :

1. Kedudukan suatu titik D ditunjukkan oleh koordinat kartesius (3,6). Nyatakan

koordinat titik tersebut dalam koordinat polar !

Jawab :

r = = 3 dan tan θ = maka θ = 63,4°

Jadi koordinat polarnya (3 ; 63,4°)

2. Titik H mempunyai kedudukan (4, 30°). Tentukan vektor posisi titik tersebut !

Jawab :

x = 4 . cos θ y = r . sin θ

x = 4 . cos 30° y = 4 . sin 30°

x = 4 . y = 4 .

x = 2 y = 2

jadi vektor posisinya adalah rH = 2 i + 2 j

2

2. Perpindahan

Pengertian perpindahan perlu dibedakan dengan jarak. Sebagai sebuah ilustrasi,

seandainya ada seorang anak yang berjalan ke timur sejauh10 m, kemudian kembali ke

arah barat 4 m, maka dikatakan bahwa perpindahan anak tersebut adalah 6 m, namun

jarak yang ditempuhnya sebesar 14 m. Dengan demikian, coba simpulkan perbedaan

perpindahan dan jarak itu!

Adanya perbedaan pengertian perpindahan dan jarak, akan berimplikasi terhadap

pengertian akan kecepatan (velocity) dan kelajuan (speed). Perpindahan yang ditempuh

oleh suatu benda tiap satuan waktu akan menunjukkan kecepatan, dan besarnya jarak

yang ditempuh oleh suatu benda tiap satuan waktu disebut dengan kelajuan.

Suatu benda dikatakan melakukan perpindahan jika posisi dari benda tersebut

mengalami perubahan terhadap titik acuan.

Dalam sistem koordinat kartesius, misalkan suatu titik N, mula-mula saat t = 0

berada di titik (1,1) m, kemudian saat t = 4 s berada pada titik (4,5) m, maka besaran-

besaran yang berkaitan dengan vektor perpindahan adalah :

Vektor posisi awal titik N :

rN1 = 1 i + 1 j

rN2 = 4 i + 5 j

Vektor perpindahan titik N :

Δ rN = rN2 – rN1

Δ rN = (4 i + 5 j) – (1 i + 1 j)

Δ rN = 3 i + 4 j

Komponen vektor perpindahan titik N pada sumbu x adalah 3

Komponen vektor perpindahan titik N pada sumbu y adalah 4

Besar vektor perpindahan titik N adalah :

Δ rN = = 5 m

Arah perpindahan titik N adalah :

tan θ =

tan θ =

maka θ = 53,1° terhadap sumbu x positif dengan arah berlawanan arah jarum jam.

3

Suatu vektor posisi dapat pula dinyatakan dalam sebuah persamaan yang

mengandung unsur t, seperti vektor posisi T = 5t i + 2 t2 j . Sehingga misalkan

ditanyakan vektor posisi titik T saat t = 3 s adalah T = 5 (3) i + 2 (3)2 j = 15 i + 18 j.

Contoh :

1. Titik R pada saat t = 1 s berada pada posisi (2,1) m, dan pada t = 4 s pada posisi

(6,4) m. Tentukan :

a. vektor perpindahannya

b. komponen vektor perpindahan pada sumbu x

c. komponen vektor perpindahan pada sumbu y

d. besar perpindahannya

e. arah perpindahannya

Jawab :

a. ΔrR = (6 i + 4 j) – (2 i + 1 j) = 4 i + 3 j

b. rRx = 4 m

c. rRy = 3 m

d. r = = 5 m

e. tan θ = = maka θ = 37°

3. Kecepatan

Bila suatu partikel mengalami perubahan kedudukan dalam suatu selang waktu

tertentu maka besar perubahan kedudukan dalam selang waktu tesebut disebut kecepatan.

Sebagai misal, jika seorang anak pergi ke arah timur sejauh 8 m dalam 4 sekon, maka

dikatakan kecepatan anak tersebut 2 m/s. Hal ini akan memiliki makna yang berbeda, jika

dalam 4 sekon berikutnya, anak tersebut kembali ke arah barat 8 m, maka kedudukan

anak tersebut berada di titik semula, sehingga dapay dikatakan anak tersebut tidak

melakukan perpindahan, sehingga kecepatannya nol.

a. Kecepatan rata-rata

kecepatan rata-rata dinyatakan sebagai hasil bagi perpindahan terhadap selang

waktu dari perpindahan itu dan dirumuskan:

= =

Dengan memperhatikan uraian sebelumnya tentang vektor posisi dari suatu titik,

maka vektor kecepatan rata-rata dapat ditentukan.

Contoh:

4

1.Titik materi D pada detik t = 1 s berada pada posisi (2,0) m dan pada t = 4 s berada

pada posisi (8,8) m. Tentukan :

a. vektor kecepatan rata-ratanya

b. komponen vektor kecepatan rata-rata pada sumbu x

c. komponen vektor kecepatan rata-rata pada sumbu y

d. besar vektor kecepatan rata-rata

e. arah kecepatan rata-ratanya

Jawab :

a. rD1 = 2 i + 0 j

rD2 = 8 i + 8 j

Δr = rD2 – rD1 = 6 i + 8 j dan Δ t = t2 – t1 = 4 s – 1 s = 3 s

= = = ( 2 i + 4/3 j ) m/s

b. = 2 m/s

c. = 4/3 m/s

d. = = 2,4 m/s

e. tan θ = = = 0,666 maka θ = 33,7°

b. Kecepatan Sesaat

Kecepatan sesaat didefinisikan sebagai kecepatan rata-rata untuk selang waktu Δt

yang mendekati nol, yang bila dinyatakan dalam persamaan limit dirumuskan :

v = =

Jika perpindahan suatu titik dilambangkan dalam sumbu x, dan waktu dalam

sumbu y, maka kecepatan sesaat pada suatu perpindahan ditunjukkan oleh kemiringan

garis singgung pada titik tersebut. Perhatikan gambar berikut!

Dengan grafik berikut, tentukan kecepatan saat t = 2 s !

Untuk menentukan kecepatan sesaat dari suatu grafik x – t, yang menunjukkan hubungan

antara perpindahan x terhadap waktu t, maka kecepatan sesaat ditunjukkan dari

5

kemiringan garis singgung pada titik yang dimaksud. Pada contoh soal di atas,

kemiringan garis singgung pada t = 2 s digambarkan oleh grafik sebagai berikut :

v = tan θ = = 1 m/s

Jika dalam suatu penentuan kecepatan sesaat dari suatu grafik bernilai negatif,

berarti arah kecepatan tersebut berlawanan dengan arah gerakan benda atau arah

perpindahan benda. Juga jika kecepatan saat itu adalah nol, maka benda dikatakan tidak

berpindah.

Selain kecepatan sesaat ditentukan dari kemiringan garis singgung di suatu titik,

kecepatan sesaat juga dapat diturunkan dari sebuah persamaan perpindahan.

Contoh:

1. Titik Y melakukan perpindahan dengan vektor perpindahan : r = ( 2 t 2 i + 5 t j ) m.

Tentukan :

a. vektor kecepatan sesaat

b. komponen sumbu x vektor kecepatan

c. komponen sumbu y vektor kecepatan

d. vektor kecepatan saat t = 2 s

e. besar kecepatan saat t = 2 s

Jawab :

a. v =

v = ( 4 t i + 5 j) m/s

b. vx = 4 t m/s

c. vy = 5 m

d. Saat t = 2 s , maka vektor kecepatan sesaat adalah : v = ( 4 (2) i + 5 j) m/s

v = ( 8 i + 5 j) m/s

e. v = = m/s

Latiahan Soal

6


koordinat titik tersebut dalam koordinat polar !

Jawab :

r = = 3 dan tan θ = maka θ = 63,4°

Jadi koordinat polarnya (3 ; 63,4°)

2. Kedudukan titik Y ditunjukkan oleh koordinat polar (4, 45°). Nyatakan koordinat

tersebut dalam koordinat kartesius !

Jawab :


x = 4 . cos 45° y = 4 . sin 45°

x = 4 . y = 4 .

x = 2 y = 2

3. Suatu titik A mempunyai kedudukan yang ditunjukkan koordinat kartesius (2,4).

Tentukan vektor posisi titik tersebut !

Jawab :

rA = 2 i + 4 j

4. Titik H mempunyai kedudukan (4, 30°). Tentukan vektor posisi titik tersebut !

Jawab :

x = 4 . cos θ y = r . sin θ

x = 4 . cos 30° y = 4 . sin 30°

x = 4 . y = 4 .

x = 2 y = 2

jadi vektor posisinya adalah rH = 2 i + 2 j

1. Titik R pada saat t = 1 s berada pada posisi (2,1) m, dan pada t = 4 s pada posisi

(6,4) m. Tentukan :






Jawab :

a. ΔrR = (6 i + 4 j) – (2 i + 1 j) = 4 i + 3 j

b. rRx = 4 m

c. rRy = 3 m

d. r = = 5 m

7

e. tan θ = = maka θ = 37°

2. Titik I mempunyai vektor posisi r = t 2 i + 2 t j. Tentukan :

a. Vektor posisi awal (saat t = 0 s)

b. Vektor posisi saat t = 2 s

c. Vektor posisi saat t = 4 s

d. Vektor perpindahan dari t = 2 s hingga t = 4 s

e. Besar vektor perpindahannya

Jawab :

a. r(t = 0s) = 0 i + 0 j

b. r(t =2s) = 22 i + 2.2 j = 4 i + 4 j

c. r(t=4s) = 42 i + 2.4 j = 16 i + 8 j

d. Δr = (16 i + 8 j) – (4 i + 4 j) = 12 i + 4 j

e. Δr = = 4 m

1. Gambarkan posisi atau kedudukan dari titik-titik berikut ini:

a. H (1,4) c. Y (5,45°)

b. A (-3,4) d. D (3, 60°)

2. Ubahlah koordinat polar berikut menjadi koordinat kartesius:

a. W (2, 37°) c. T (3, 30°)

b. A (6, 53°) d. I (4, 45°)

3. Ubahlah koordinat kartesius berikut menjadi koordinat polar:

a. K (3,4) d. T (1,2)

b. E (-6,-8) e. I (5,-5)

c. N (8,10) f. K (-4,5)

4. Titik I melakukan perpindahan dari koordinat (1,4) menuju (1,8). Tentukan vektor

perpindahannya!

5. Titik N berpindah dari (-1,1) ke (2,5). Tentukan:




d. besar vektor perpindahannya


6. Vektor posisi dari titik D dinyatakan dalam vektor posisi yang mengandung unsur

waktu, yaitu: r = 2t i + 4t2 j. Tentukan:

a. vektor posisi awal

b. vektor posisi saat t = 1 s

c. vektor posisi saat t = 2 s

8

d. vektor perpindahan dari t = 1 s hingga t = 2 s

e. komponen vektor perpindahan pada sumbu x

f. vektor perpindahan pada sumbu y

g. besar vektor perpindahan

7. Vektor posisi A dinyatakan dalam r = (2 + 3t) i + 2t j. Tentukan besar vektor

perpindahannya dari t = 2 s hingga t = 7 s!

8. Vektor posisi H dinyatakan dalam r = t2 i – 3 j. Tentukan vektor perpindahan dan

arah perpindahannya dari t = 1 s hingga t = 5 s!

1. Titik N pada t = 0 berada pada posisi (2,5) m, kemudian pada t = 2 s berada pada

posisi (2,8) m. Tentukan besar vektor kecepatan rata-ratanya!

2. Titik A berada dititik (0,0) saat t = 0 s. Jika pada t = 4 s, berada di (3,4) maka

tentukan vektor kecepatan rata-ratanya!

3. Titik R melakukan gerak dan digambarkan dalam grafik hubungan antara

perpindahan (x) dengan waktu (t). Tentukan besar kecepatan saat t = 5 s !

4. Partikel W melakukan perpindahan sesuai vektor perpindahan:

r = ( 3 t2 i + 4 t j ) m. Tentukan:

a. Vektor kecepatan sebagai fungsi waktu,

b. Besar vektor kecepatan saat t = 2 s.

5. Titik A melakukan gerakan pada arah mendatar dengan vektor kecepatan

v = ( 4 t i + 2 j ) m/s. Jika posisi awal titik berada di posisi 3 m, tentukan

vektor posisi titik saat t = 2 s!

6. Jika benda T bergerak pada suatu arah tertentu dengan persamaan kecepatan

v = (t2 - 2 ) m/s. Tentukan perpindahan dan jarak dari t = 0 s hingga t = 4 s !

7. Titik materi P melakukan gerak sesuai grafik berikut.

9

Gambar 8:Grafik hubungan perpindahan terhadap waktu.

Gambar 9:Grafik v – t dari gerak titik materi P

Tentukan :

a. Jarak yang ditempuh setelah t = 2 s

b. Jarak yang ditempuh setelah t = 4 s

c. Jarak yang ditempuh setelah t = 5 s

d. Jarak yang ditempuh setelah t = 6 s

e. Jarak yang ditempuh setelah t = 7 s

4. Percepatan

Perubahan kecepatan tiap satuan waktu disebut dengan percepatan. Sebagai

contoh, saat kamu berangkat ke sekolah naik motor, motor yang kamu kendarai tentu

10

tidak berjalan pada kecepatan yang tetap. Motor yang kamu naiki kadang bergerak

dengan kecepatan tinggi, kadang lambat, dan kadang harus berhenti karena terhalang

lampu pengatur lalu lintas.

a. Percepatan rata-rata

Adapun pengertian percepatan rata-rata adalah perubahan kecepatan dalam selang

waktu tertentu. Semakin besar perubahan kecepatan yang dilakukan, maka tentu

percepatan yang dihasilkan semakin besar. Begitu juga jika selang waktu yang digunakan

untuk melakukan perubahan semakin sempit, maka besar percepatan yang dilakukan

semakin besar. Adapun besar dari percepatan rata-rata dirumuskan :

= =

Penguraian besaran-besaran yang berhubungan dengan percepatan rata-rata

diperoleh dengan proses yang analogi dengan memperoleh kecepatan rata-rata seperti

diuraikan pada bagian sebelumnya.

Contoh :

1. Hafidz menaiki motor dengan persamaan kecepatan v = ( 2t2 i + 8 t j ) m/s.

Tentukan:

a. vektor percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

b. komponen sumbu x percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

c. komponen sumbu y percepatan rata-rata t = 1 s hingga t = 3 s

d. besar percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

e. arah percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

Jawab:

a. = =

= = ( 8 i + 8 j ) m/s2

b. = 8 m/s2

c. = 8 m/s2

d. = = 8 m/s2

e. tan θ = maka θ = 45°

b. Percepatan sesaat

11

Percepatan sebagai perubahan kecepatan terhadap waktu dapat ditentukan dengan

analogi seperti kecepatan sesaat, maka percepatan sesaat dapat ditentukan dengan

menentukan kemiringan garis singgung pada kurva v - t.

Selain dengan menentukan kemiringan suatu grafik v - t, vektor percepatan dapat

juga ditentukan dengan menurunkan fungsi v terhadap t. Dengan demikian terdapat dua

cara yang dapat digunakan dalam menentukan percepatan sesaat, yaitu melalui

kemiringan grafik, atau dengan cara menurunkan fungsi dari kecepatan sesaat.

Contoh:

1. Tentukan percepatan saat t = 2 s, berdasar grafik v - t berikut ini:

Jawab:

Jika dianalisis, saat t = 2 s maka kemiringan garis singgungnya adalah:

a = tan θ

a = = 0,9 m/s2

12

Gambar 10:Grafik v - t untuk menentukan percepatan rata-rata.

Gambar 11:Menganalisis grafik v-t untuk menentukan percepatan rata-rata melalui kemiringan grafik pada suatu titik.

2. Kecepatan mobil Watik digambarkan oleh grafik berikut:

Tentukan percepatan mobil saat:

a. t = 1 s

b. t = 5 s

c. t = 7 s

Jawab:

a. a = tan θ = = 2 m/s2 (t = 1 s bagian kemiringan garis t = 0 sampai t =

2 s)

b. a = tan θ = = 0 m/s2

c. a = tan θ = = - 2 m/s2

3. Luqman menaiki motor dengan kecepatan v = (3 t2 -5) m/s

Tentukan percepatan motor Luqman saat t = 3 s!

Jawab:

a =

a = 6 t m/s2

saat t = 3 s, maka a = 6 .3 = 18 m/s2

4. Percepatan motor yang dinaiki Noval adalah a = 2t i + 3 t2 j

Jika kecepatan awal motor Noval adalah nol, tentukan kecepatan motor Noval

saat

t = 2 s!

Jawab :

v = vo + (2t i + 3 t2 j) dt

v = 0 + t2 i + t3 j

Saat t = 2 s maka v = 22 i + 23 j = 4 i + 8 j

3. Suatu titik zat bergerak dengan percepatan fungsi dari waktu yaitu a = 4t –2, dan

dengan kecepatan awal vo= 10 m/s. Ternyata pada suatu saat kecepatannya ialah v =

50 m/s. Berapa lama titik zat bergerak ?

to = 0 → Vo = 10 m/s

13

Gambar 12:Grafik hubungan v - t untuk menetukan percepatan sesaat.

t = …? → V = 50 m/s

a = 4t –2

dv = a dt

4. Suatu titik zat bergerak pada sumbu x secara GLBB dengan percepatan 5m/s2. Pada

saat bergerak 2 sekon kecepatannya 20 m/s. Mulai berangkat kedudukannya di x = -

15m. Tentukan persamaan posisi titik zat tersebut.

Persamaan posisi :

5. Sebuah partikel bergerak lurus dengan percepatan a = 12-3s dengan a dalam m/s2 dan

s dalam m.

Cari hubungan antara kecepatan dan perpindahan jika s = 2 m, v = 4 m/s

14

Jika dalam permasalahan yang ditemui adalah penentuan kecepatan dari grafik a – t atau

penentuan kecepatan dari fungsi percepatan, maka kecepatan suatu titik, dapat ditentukan

dari integral fungsi dari percepatan tersebut. Secara matematis, fungsi integral tersebut

senilai dengan luas daerah di bawah grafik. Dengan demikian, jika kita mengetahui luas

daerah dibawah grafik percepatan terhadap waktu maka nilai kecepatan sesaat dapat

ditentukan.

Persamaan vektor kecepatan dapat ditentukan dengan mengintralkan persamaan vektor

percepatan, sehingga persamaan vektor kecepatan

v = vX i + vY j → vX = v0X + aX dt

vY = v0Y + aY dtContoh:

1. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan v = ( t2 -5t) m/s

Tentukan percepatan mobil saat t = 4 s !

Jawab :

a =

a = 2t - 5 m/s2 = 2.4 – 5 = 3 m/s2

jadi a = 3 m/s2

2. Percepatan yang dimiliki mobil eko dalah a = t 3i + 3 t2 j

Jika kecepatan awal adalah 2i, tentukan vektor kecepatan mobil tersebut dan besarnya

kecepatan ketika t = 4 s !

Jawab :v = vo + ( t 3i + 3 t2 j ) dt

v = 2 i + t4 i + t3 j→ v = (2 + 44) i + 43 j→ v = 68 i +64 j

Vektor kecepatan mobil v = 68 i +64 j dan

besarnya = = = 93,4 m/s.

Demikian pula penentuan posisi dari grafik v – t atau penentuan posisi dari fungsi

kecepatan, maka posisi suatu titik, dapat ditentukan dari integral fungsi dari kecepatan

tersebut. Secara matematis, fungsi integral tersebut senilai dengan luas daerah di bawah

grafik. Dengan demikian, jika kita mengetahui luas daerah dibawah grafik kecepatan

terhadap waktu maka nilai posisi dapat ditentukan.

Rumus menentukan posisi dengan mengintegralkan kecepatan sebagai berikut.

r = x i + y j dimana x = x0 + vx dt dan y = y0 + vy dt

atau r = ro + dt

15

Contoh:

1. Suatu benda dari keadaan diam dan mengalami percepatan seperti grafik berikut ini.

Tentukan kecepatan saat:

a. t = 1 s

b. t = 5 s

c. t = 7 s

Jawab:

a. v = v0 + Luas segi tiga dengan alas 1

v = 0 + ½ . 1 . 3

v = 1,5 m/s

b. v = v0 + Luas segi tiga + Luas persegi panjang

v = 0 + ½ . 2 . 3 + 3 . 3

v = 12 m/s

c. v = v0 + Luas segi tiga + Luas persegi panjang + L trapesium

Mengingat saat t = 7 s, nilai a belum diketahui, maka langkah yang ditempuh

adalah dengan menetukan persamaan garis melalui (6,3) dan (8,0), yaitu:

y – y1 = m (x - x1) sehingga y = -1,5 x + 12,

maka saat t = 7 diperoleh nilai a = -1,5 . 7 + 12 = 1,5 m/s2

v = 0 + ½ . 2 . 3 + 4 . 3 + (3 + 1,5) . ½ . 1

v = 0 + 3 + 12 + 2,25 = 17,25 m/s

2. Suatu Partikel posisi awalnya berada pada (i + 2 j) bergerak dengan kecepatan v =

( 2 t2 i - t j ) m/s, maka tentukan vektor posisi partikel saat t = 1 s !

Jawab :

r = ro + dt

r = (i + 2 j) + dt

r = (i + 2j) + ( t3 i - t2 j)

Ketika t = 1 s maka r = (i + 2 j) + ( (1)3 i - 2

1(1)2 j) = 1 i - 1

2

1 j

16

Gambar 13:Grafik a – t untuk menentukan kecepatan sesaat.

r = ( i - j ) m/s

3. Sebuah benda bergerak sepanjang sumbu x dengan percepatan 4 ί m/s2 dan

kecepatan awal 20 ί m/s2. Jika posisi awal benda itu Xo = 10 ί meter, tentukan

persamaan benda untuk setiap saat.

Jawab : a = 4 ί m/s2 x = …?

νo = 20 ί m/s

Xo = 10 ί m

dv = a.dt

V - Vo =

V – 20 = 4t ]

V – 20 = 4t – 0

V = (4t + 20) ί m/s

dx = V.dt

x - xo =

x – 10 = 2t2 + 20t ]

x – 10 = 2t2 + 20t – 0 – 0

x = (2t2 + 20t +10) ί m

4. Suatu titik zat bergerak pada bidang datar pada sumbu cartesius yang

kecepatannya merupakan fungsi dari waktu dengan persamaan sebagai berikut :

vx = 4t + 4 (untuk t = 0 → x = 1)

vy = 4 (untuk t = 0 → y = 2)

Tentukan persamaan posisi titik zat tersebut.

Tentukan pula posisi pada t = 1 sekon

Jawab :

4t + 4 =

dx = ( 4t + 4) dt

∫ dx = ∫ (4t + 4) dt

x = 2t2 + 4t + c

t = 0 → x = 1

1 = 2.02 + 4 + 1

C = 1

Maka x =2t2 + 4t +m 1

dy = 4 dt

∫dy = ∫ 4t + C

t = 0 → y = 2

2= 4.0 + C

C = 2

Maka y = 4t + 2

= x ί + y j

17

= (2t2 + 4t + 1) ί + (4t +2)j

Atau dengan integral batas sebagai berikut :

to = 0 → xo = 1

t

to

x

xo4)dt(4tdx

x-xo = 2t2 + 4t ]

x-1 = 2t2 + 4t – (2.02 + 4.0)

x = 2t2 + 4t + 1

to = 0 → yo = 2

y – yo = 4t ]

y –2 = 4t – 4.0

y = 4t + 2

= (2t2 + 4t + 1)ί + (4t + 2) j

Uji Kompetensi

Kerjakan soal-soal berikut bersama kelompokmu!

1. Doni mengendarai motor dengan vektor kecepatan v = 7 t2 i – 3 t j. Tentukan:


b. besar vektor percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

2. Witri mengendarai motor dengan kecepatan seperti grafik berikut:

Tentukan percepatan saat:

a. t = 2 s

b. t = 8 s

c. t = 12 s

3. Akmal mengendarai mobil dengan vektor kecepatan v = (3 t – 2 ) i + 4 t2 j

Tentukan:

a. vektor percepatannya

b. komponen sumbu x vektor percepatannya

c. komponen sumbu y vektor percepatannya

d. besar percepatan saat t = 2 s

e. arah percepatan saat t = 2 s

4. Mobil Pak Tomy mula-mula diam, kemudian selama 4 s dipercepat dengan

percepatan a = 2 t i + 3 t2 j

18

Gambar 14 :Grafik v – t untuk menentukan percepatan sesaat, dengan menentukan kemiringan dari grafik pada suatu saat.

Tentukan:

a. vektor kecepatannya

b. komponen sumbu x vektor kecepatannya

c. komponen sumbu y vektor kecepatannya

d. besar kecepatan mobil Pak Tomy saat t = 2 s

5. Mobil Ajeng yang mula-mula diam, kemudian bergerak dengan percepatan seperti

grafik berikut ini:

Tentukan kecepatan saat:

a. t = 5 s

b. t = 15 s

c. t = 18 s

6. Sebuah titik D melakukan perpindahan yang ditunjukkan dengan vektor

perpindahan sebagai berikut:

r = (4 t2 + 6 t) i + (8 + 2 t3) j m

Tentukan:

a. vektor kecepatannya

b. kecepatan saat t = 4 s

c. vektor percepatan

d. percepatan saat t = 2 s

7. Jika mobil Husien mula-mula diam dan berada di pusat koordinat, kemudian diberi

percepatan selama 3 s, maka tentukan besar perpindahannya, jika vektor

percepatannya adalah:

a = 3 t i + 2 j

8. Balon gas terbang keatas mula-mula berada pada kecepatan v 0 = i + 2 j. Kemudian

selama 2 s dipercepat dengan percepatan a = ( t 3 -2t) i + 3 t2 j

Tentukan :

a. vektor kecepatannya sebagai fungsi waktu

b. besarnya kecepatan ketika t = 4 sekon.

c. Vektor posisi sebagai fungsi waktu jika posisi mula-mula. (2,4 ) m.

19

Gambar 15:Grafik a – t untuk menentukan kecepatan sesaat dengan menghitung luas daerah di bawah kurva

d. Tentukan perpindahan dan jarak yang ditempuh dari t = 0 sampai t = 4 sekon.

9. Sebuah titik A melakukan perpindahan dengan vektor perpindahan sebagai berikut :

r = (3 t2 + 3 t) i + (2 + 4 t3) j m

Tentukan :

a. vektor kecepatannya sebagai fungsi waktu

b. kecepatan saat t = 2 s

c. vektor percepatan sebagai fungsi waktu

d. percepatan saat t = 2 s

10. Suatu benda bergerak dengan persamaan kecepatan v = (3t2 – 3t-6) m/s.Tentukan

perpindahan dan jarak antara t = 0 hingga t = 4 s !

B. Gerak Parabola

Gerak parabola merupakan kombinasi dua gerak sekaligus, yaitu gerak mendatar

dengan kecepatan tetap, artinya tanpa percepatan, dan gerak vertikal yang merupakan

gerak berubah beraturan, yang artinya mempunyai percepatan tetap.

Gerak parabola dapat diamati pada pertandingan sepak bola. Saat kiper

melakukan tendangan gawang, umumnya kiper akan melakukan tendangan yang jauh ke

depan, menuju daerah lawan dengan menggunakan tendangan yang menghasilkan

lintasan berupa gerak parabola atau gerak peluru. Pada sudut berapakah tendangan kiper

tersebut akan mencapai jarak tendangan yang terjauh? Diskusikanlah bersama teman

sebangkumu!

Kegiatan Kelompok :

Lakukanlah kegiatan kelompok sebagai berikut :

1. Ambil dua bola ping pong!

2. Letakkan dua bola ping pong tersebut di tepi sebuah meja yang cukup tinggi!

3. Jatuhkan secara bersamaan kedua bola tersebut dengan ketentuan sebagai berikut:

a. Bola pertama jatuh bebas dari tepi meja

b. Bola kedua diberi kecepatan mendatar sejajar meja

4. Catat waktu yang diperlukan bola pertama dan kedua untuk sampai di tanah!

5. Buat perbandingan kesimpulan dari kedua waktu tibanya kedua bola di tanah!

6. Analisislah gerakan kedua bola tersebut!

Beberapa asumsi penyederhanaan yang digunakan dalam membahas gerak parabola

dalam kajian ini adalah bahwa hambatan udara dan rotasi bumi tidak mempengaruhi

dalam perhitungan, dan nilai pecepatan gravitasi bumi dianggap 10 m/s2, kecuali terdapat

penjelasan dalam soal.

20

Gambar 16: Grafik lintasan parabola.

Beberapa persamaan yang berhubungan dengan gerak parabola adalah :

Sumbu X :

vox = vo . cos θ

vx = vo . cos θ

x = vx . t = vo . cos θ . t

Sumbu Y :

voy = vo . sin θ

vy = vo . sin θ – g . t

y = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2

Persamaan kecepatan dan arah gerakan partikel :

v =

tan α =

Keterangan :

1. vo = kecepatan awal (m/s)

2. vox = kecepatan awal pada sumbu x (m/s)

3. voy = kecepatan awal pada sumbu y (m/s)

4. vx = kecepatan pada sumbu x (m/s)

5. vy = kecepatan pada sumbu y (m/s)

6. v = kecepatan pada suatu saat (m/s)

7. x = kedudukan atau posisi pada sumbu x (m)

8. y = kedudukan atau posisi pada sumbu y (m)

9. α = arah gerakan partikel (°)

10. θ = sudut elevasi (°)

11. g = percepatan gravitasi bumi (m/s2)

21

Beberapa hal penting berkaitan dengan gerak parabola:

1. Persamaan yang tersebut pada bagian awal didasarkan pada gerakan benda yang

mengarah ke atas, sedang arah percepatan gravitasi bumi ke bawah, sehingga

persamaan di atas menggunakan tanda negatif (-) untuk nilai g. Namun jika

gerakan diawali dengan gerak ke bawah, seperti gerakan bom yang dijatuhkan dari

pesawat, maka arah gerak benda searah dengan percepatan gravitasi, sehingga

persamaan yang mengandung unsur g yang semula negatif, berubah menjadi positif,

karena arah gerak benda searah dengan arah percepatan benda.

2. Pada titik tertinggi nilai vy = 0 m/s, sehingga nilai v = vox = vx

3. Pada titik terjauh nilai y = 0. Jika saat mencari t dari y = 0, diperoleh dua nilai t, di

mana salah satu nilainya umumnya nol, maka nilai t yang digunakan adalah yang

besar.

Diskusi Kelompok

Buatlah kelompok maksimum 5 orang untuk berdiskusi secara matematis dan

membuktikan persamaan matematis berikut ini :

a. Koordinat titik puncak (xMAX , y MAX )

dimana xMAX = , y MAX = , α = sudut elevasi

g = percepatan gravitasi bumi (m/s2)

vo = kecepatan awal (m/s)

b. Waktu untuk mencapai titik tertinggi atau tinggi maksimum tP =

Waktu untuk mencapai jarak mendatar terjauh atau jatuh kembali ke tanah tJ = 2. tP

22

Gambar 17: berbagai posisi pada lintasan gerak parabola

X

y

c. Jarak mendatar terjauh x Jauh = 2 xMAX

Jarak mendatar mencapai maksimum ketika sudut elevasi α = 450

d. Pasangan sudut elevasi (α1 dan α2 ) akan mencapai jarak mendatar terjauh yang

sama jika

α1 + α2 = 900

Contoh :

1. Sebuah panah dilepaskan dari busur dengan kecepatan awal 100 m/s dan sudut

elevasi 37° Tentukan :

a. vektor posisi panah saat t = 1 s

b. vektor posisi ketika panah mencapai titik tertinggi.

c. vektor posisi di titik mendatar terjauh

d. vektor kecepatan dan besarnya saat t = 1 s

e. arah kecepatan saat t = 1 s

Jawab :

a. x = vo . cos θ . t = 100 . cos 37° . 1 = 100 . 0,8 = 80 m

y = vo . sin θ . t – ½ g t 2 = 100 . sin 37° . 1 – ½ .10.12 = (100 .0,6– 5) = 55 m

Jadi vektor posisi panah setelah 1 s adalah r = (80 i + 55 j) m

b. Pada titik tertinggi vy = 0 sehingga :

vy = vo sin θ – g . t

0 = 100 . sin 37° – 10 . t maka diperoleh nilai t

t = 6 s

Nilai t tersebut kemudian dimasukkan pada

x = vo . cos θ . t = 100 . cos 37° .6 = 100 . 0,8 . 6 = 480 m

y = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2 = 100 . sin 37° 6– ½ .10. (6)2 = 360 – 180 =180 m

Jadi vektor posisi panah pada titik tertinggi adalah r = (480 i + 180 j) m

c. Pada titik mendatar terjauh y = 0, kemudian nilai t tersebut dimasukkan ke x

y = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2

0 = 100 . sin 37° . t – ½ .10. t2 → 0 = 60 t – 5 t2

- 60 t = - 5 t2 → t = 12 sekon

maka x = vo . cos θ . t = 100 . cos 37° .12 = 720 m

Jadi vektor posisi panah di titik mendatar terjauh adalah r = (720 i + 0 j) m

d. vx = vo . cos θ = 100 . cos 37° = 100 . 0,8 = 80 m/s

vy = vo . sin θ – g . t = 100 sin 37° – 10 . 1 = (60 - 10) = 50 m/s

jadi vektor kecepatan panah v = vX i + vY j = 80 i + 50 j

Besarnya v = = = = 94,33 m/s

23

e. tan = = = 0,625 maka = 32°

2. Ketika terjadi bencana Tsunami, banyak daerah yang membutuhkan bantuan

makanan dan alat-alat kesehatan, akan tetapi lokasi bantuan sulit terjangkau. Untuk

mengatasinya bahan makanan dan bantuan alat kesehatan tersebut dijatuhkan dari

pesawat militer. Jika bantuan makanan dijatuhkan pada ketinggian 500 dari pesawat

pengangkut yang bergerak mendatar dengan kecepatan 50 m/s, maka hitunglah

jarak mendatar dari pesawat ke lokasi agar bantuan makanan jatuh tepat pada

sasaran ?

Jawab :

x = ....? y0 = 500 m y = 0 θ = 0 0

y = y0 + vo . sin θ . t + ½ . g . t 2

0 = 500 + 0 - ½ . 10 . t 2 maka t = 10 s

x = vox . t = vo . cos θ . 10 . = 50 . 1 .10 = 500 m

3. Sebuah bola ditendang dengan sudut elevasi 45° dan kecepatan awal 20 m/s.

Tentukan:

a. posisi saat t = 1 s

b. koordinat titik tertinggi

c. koordinat titik terjauh

d. kecepatan saat t = 1 s

e. arah kecepatan saat t = 1 s

Jawab :

a. x = vo . cos θ . t = 20 . cos 45° . 1 = 10 m/s

y = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2 = 20 . sin 45° . 1 – ½ .10.12 = (10 – 5) m/s

Jadi posisi bola setelah 1 s adalah (10 ; 10 – 5) m/s

b. Pada titik tertinggi vy = 0 sehingga :

vy = vo . sin θ – g . t

0 = 20 . sin 45° – 10 . t maka diperoleh nilai t

t = s

Nilai t tersebut kemudian dimasukkan pada:

x = vo . cos θ . t = 20 . cos 45° . = 20 m/s

y = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2 = 20.sin 45° . – ½ .10. ( )2 = 10 m/s

Jadi posisi bola pada titik tertinggi adalah (20, 10) m/s.

c. Pada titik terjauh y = 0, kemudian nilai t tersebut dimasukkan ke x

y = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2

0 = 20 . sin 45° . t – ½ .10. t2

maka diperoleh nilai t = 0 atau t = 2 s. Gunakan t = 2 s maka

x = vo . cos θ . t = 20 . cos 45° . 2. = 40 m

24

Jadi posisi bola di titik terjauh adalah (40 , 0) m

d. vx = vo . cos θ = 20 . cos 45° = 10 m/s

vy = vo . sin θ – g . t = 20 . sin 45° – 10 . 1 = (10 - 10) m/s

v = = = 10 m/s

e. tan α = = = 0,293 maka α = 16,3°

4. Dari puncak gedung setinggi 125 m, Arsa melempar bola mendatar dengan

kecepatan 10 m/s. Tentukan :

a. waktu yang diperlukan bola untuk mencapai tanah

b. jarak mendatar yang ditempuh bola

Jawab :

a. vox = 10 m/s dan voy = 0 m/s

y = vo . sin θ . t + ½ . g . t 2

125 = 0 + ½ . 10 . t 2 maka t = 5 s

b. x = vox . t = 10 . 5 = 50 m

Uji Kompetensi

1. Sebuah anak panah dilepaskan dari busur dengan kecepatan awal 50 m/s dan sudut

elevasi 60°. Tentukan vektor posisi ketika anak panah menyentuh tanah.

2. Jika sebuah rudal kendali dijatuhkan dari pesawat pada ketinggian 1000 m di atas

permukaan tanah, dengan kecepatan mendatar 100 m/s, maka tentukan jarak

mendatar yang ditempuh rudal kendali.

3. Sebuah bola ditendang dengan kecepatan awal 50 m/s dengan sudut elevasi 53°

membentuk lintasan gerak parabola dengan percepatan gravitasi bumi g =10 m/s.

Tentukan :

a. vektor posisi bola ketika t = 2 sekon.

b. vektor posisi dan kecepatan bola ketika mencapai titik tertinggi.

c. vektor kecepatan dan besar kecepatan bola saat t = 4 sekon.

d. arah kecepatan bola ketika t = 4 sekon.e. vektor posisi bola ketika mencapai tanah.f. waktu untuk mencapai tanah.

4. Anggun melemparkan bola basket dengan vektor posisi r = 2 t i + (4 t2 -2) j.

Tentukan vektor posisi dan vektor kecepatan ketika bola mencapai tertinggi.

25

5. Perhatikan gambar di bawah. Sebuah anak panah dilepaskan dengan vektor

kecepatan vektor v = 2 i + 8t j maka tentukan vektor posisi sebagai fungsi waktu

dan vektor kecepatan panah ketika tiba ditanah.

Kegiatan Kelompok

Bentuklah sebuah kelompok yang beranggotakan 3 – 5 orang!

Diskusikan dalam kelompokmu tentang beberapa jenis gerak yang ada di sekitar kita

yang termasuk gerak parabola! Apakah gerakan pesawat terbang saat naik termasuk

gerak parabola? Apakah gerak bom atom saat dijatuhkan dari pesawat pengebom di

Hirosima termasuk gerak parabola? Apakah gerakan roket Eksoset saat diarahkan ke

pesawat tempur merupakan gerak parabola? Apakah gerak peluru yang ditembakkan

ke atas merupakan gerak parabola?

Pekerjaan Rumah

1. Yanti memukul shuttle cock dengan kecepatan awal 20 m/s dan sudut elevasi 60°.

Tentukan jarak terjauh yang ditempuh shuttle cock tersebut !

2. Sebuah bom dijatuhkan dari pesawat di ketinggian 2.000 m di atas permukaan

tanah, dengan kecepatan mendatar 200 m/s. Tentukan jarak mendatar yang

ditempuh bom!

3. Sebuah bola ditendang dengan kecepatan awal 10 m/s sehingga mengenai dinding

setinggi 20 m dan jarak mendatar 40 m. Tentukan sudut elevasinya !

4. Kopral Jono menembakkan peluru dengan sudut elevasi 45° dan kecepatan awal

100 m/s. Tentukan koordinat titik tertingginya!

5. Dimas melempar bola dengan vektor posisi r = 5 t i + (2 t2 -1) j, tentukan vektor

posisi titik tertinggi yang dicapai bola.

26

Gambar 18: Anak panah dilepaskan membentuk lintasan parabola.

1,5 m

6. Nouval melempar batu dengan vektor posisi r = 2 t2 i + (4 t2 - 8t) j. Tentukan vektor

posisi pada jarak terjauhnya!

C. Posisi Sudut, Kecepatan Sudut, dan Percepatan Sudut pada Gerak Melingkar

1. Posisi Sudut

Posisi sudut akan menggambarkan kedudukan dari suatu sudut dalam gerak

melingkar beraturan. Tentu saja pusat gerak melingkar tersebut akan dijadikan sebagai

pusat titik acuan. Seperti telah disampaikan terdahulu, bahwa semua gerak tetap

memerlukan suatu titik acuan.

Besarnya sudut yang ditempuh gerak melingkar tersebut tiap satuan waktu disebut

dengan kecepatan sudut. Dalam hal ini, satuan dari kecepatan sudut dapat dinyatakan

dalam rad/s atau putaran per menit (rpm). Perubahan kedua satuan tersebut didasarkan

bahwa satu putaran senilai dengan 2 π radian.

Sedangkan percepatan sudut adalah laju perubahan kecepatan sudut yang terjadi

tiap satuan waktu. Semakin besar perubahan kecepatan sudut yang terjadi, maka akan

semakin besar pula kecepatan sudut yang terjadi pada gerak melingkar tersebut.

Demikian juga jika semakin besar pengurangan kecepatan sudut yang dilakukan gerak

melingkar maka semakin besar nilai perlambatan sudut dari gerak melingkar itu.

2. Kecepatan Sudut

Jika kita memperhatikan seorang pesenam di atas lantai es yang licin saat ia

melakukan gerak melingkar, maka gerakan tubuhnya yang semula bergerak melingkar

beraturan akan berubah menjadi bergerak melingkar berubah beraturan semakin cepat

saat ia mengubah posisi dari tangannya, serta memberikan sejumlah gaya pada dirinya.

a. Kecepatan sudut rata-rata

Kecepatan sudut rata-rata sebagai hasil bagi perpindahan sudut dengan selang

waktu yang ditempuh dapat dirumuskan:

=

b. Kecepatan sudut sesaat

Sedang kecepatan sudut sesaat adalah turunan pertama dari posisi sudut, atau dapat

pula ditentukan dari kemiringan garis singgung grafik posisi sudut terhadap waktu.

Kecepatan sudut sesaat dirumuskan:

3. Percepatan Sudut

27

a. Percepatan sudut rata-rata

Percepatan sudut rata-rata adalah hasil bagi kecepatan sudut dengan selang waktu

yang ditempuh. Percepatan sudut rata-rata dirumuskan:

=

b. Percepatan sudut sesaat

Percepatan sudut sesaat adalah turunan pertama dari kecepatan sudut, atau dapat

pula ditentukan dari kemiringan garis singgung grafik kecepatan sudut terhadap waktu.

Percepatan sudut sesaat dirumuskan:

Coba kamu amati gerak roda motor dalam perjalanan menuju ke sekolah! Selama

perjalanan roda tersebut tidak mungkin memiliki kecepatan sudut yang tetap. Roda itu

kadang berputar pelan, karena harus menghindari rintangan, atau kadang harus berputar

lebih cepat karena melewati jalan lurus dan sepi tanpa hambatan. Bahkan roda itu kadang

harus berhenti karena lampu merah pengatur jalan raya menyala. Adanya perubahan

kecepatan sudut dari roda tersebut akan menunjukkan besar dari percepatan sudut yang

terjadi pada roda.

Contoh :

1. Posisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan :

θ = (3 t2 + 2) rad, maka tentukan :

a. posisi sudut saat t = 0 s

b. posisi sudut saat t = 2 s

c. kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 s hingga t = 2 s

d. kecepatan sudut saat t = 3 s

Jawab :

a. θ = (3 (0)2 + 2) = 2 rad

b. θ = (3 (2)2 + 2) = 14 rad

c. = = = 6 rad/s

d. ω = = (6 t ) = ( 6 . 2 ) = 12 rad/s

2. Posisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan:





28


Jawab :

a. θ = (2 (0)2 + 5) = 5 rad

b. θ = (2 (3)2 + 5) = 23 rad

c. = = = 6 rad/s

d. ω = = (4 t ) = ( 4 . 3 ) = 12 rad/s

3. Posisi sudut sebuah titik yang bergerak melingkar pada tepi sebuah roda adalah:

θ = (4 t3 + 5 t2 + 2 t + 6 ) rad

Tentukan :

a. Kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 4 s

b. Percepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 4 s

c. Kecepatan sudut saat t = 2 s

d. Percepatan sudut saat t = 2 s

Jawab :

θ = (4 t3 + 5 t2 + 2 t + 6 ) rad

ω = (12 t2 + 10 t + 2 ) rad/s

α = (24 t + 10 ) rad/s2

a. θ = (4 t3 + 5 t2 + 2 t + 6 ) rad

θ1 = (4 .03 + 5 .02 + 2 .0 + 6 ) rad = 6 rad

θ2 = (4. 43 + 5 .42 + 2 .4 + 6 ) rad = 350 rad

= = = 86 rad/s

b. ω = (12 t2 + 10 t + 2 ) rad/s

ω1 = (12.02 + 10.0 + 2 ) rad/s = 2 rad/s

ω2 = (12.42 + 10.4 + 2 ) rad/s = 234 rad/s

= = = 58 rad/s2

c. ω = (12 .22 + 10 . 2 + 2 ) = 70 rad/s

d. α = (24. 2 + 10 ) = 58 rad/s2

Uji Kompetensi

1. Posisi sudut sebuah titik yang berada pada ujung roda sepeda ditentukan oleh

persamaan :

θ = (2 t3 + 2t) rad, maka tentukan :



29



e. persamaan percepatan sudut sebagai fungsi waktu

2. Posisi sudut sebuah titik yang bergerak melingkar pada terpi sebuah roda adalah:

θ = ( t3 + t2 + t + 1 ) rad

Tentukan :





3. Sebuah roda mobil mula-mula diam, kemudian dalam 3 sekon dipercepat sehingga

menempuh sudut 2 putaran. Tentukan besar kecepatan sudut setelah 3 sekon dan

kecepatan sudut rata-ratanya ?

4. Sebuah roda sepeda mula-mula diam, kemudian dalam 2 sekon dipercepat sehingga

menempuh sudut 4 putaran. Tentukan besar kecepatan sudut rata-ratanya!

5. Jika posisi sudut dari suatu gerak melingkar beraturan dirumuskan dalam

persamaan θ = ( t3 + 5 t2 + 4) rad, maka tentukan kecepatan sudut saat t = 4

sekon!

Pekerjaan Rumah

Lakukan pengamatan terhadap beberapa gerak melingkar sebagai berikut bersama

kelompokmu !

1. Gerakan roda sepeda yang berjalan mengelilingi lapangan sekolah.

2. Gerakan kipas angin.

3. Amati juga tiga gerak melingkar lainnya di sekitarmu

4. Buatlah analisis dari gerakan-gerakan tersebut dan buatlah kesimpulannya!

Apakah gerakan-gerakan tersebut memiliki karakteristik gerakan yang sama?

Pengintegralan Fungsi pada Gerak Melingkar

Posisi sudut θ suatu fungsi dapat juga ditentukan dari pengintegralan persamaan

kecepatan sudut dengan rumus :

θ = θ0 + dt

Persamaan kecepatan sudut dapat ditentukan dengan pengintegral persamaan percepatan

sudut.

= 0 + dt

30

Contoh:

1. Jika kecepatan sudut sebuah roda dinyatakan dalam sebuah persamaan :

ω = (3 t2 + t ) rad/s, tentukan:

a. kecepatan sudut saat t = 1 s

b. kecepatan sudut saat t = 4 s

c. percepatan sudut rata-rata dari t = 1 s hingga t = 4 s

d. percepatan sudut saat t = 5 s

e. posisi sudut saat t = 2 s, jika posisi sudut awal 2 rad

Jawab :

a. ω = (3 (1)2 + 1 ) = 4 rad/s

b. ω = (3 (4)2 + 4 ) = 52 rad/s

c. = = = 16 rad/s

d. = (6 t + 1) maka saat t = 5 s besar

e. θ = θo +

θ = 2 + t3 + ½ t2 , saat t = 2 s, maka diperoleh

θ = 12 rad

2. Kecepatan sudut sebuah roda dinyatakan dalam sebuah persamaan :

ω = (4 t3 + 2t ) rad/s, maka tentukan :






Jawab :

a. ω = (4 (1)3 + 2.1 ) = 6 rad/s

b. ω = (4 (2)3 + 2.2 ) = 36 rad/s

c. = = = 30 rad/s2

d. = (12 t 2+ 2) maka saat t = 2 s besar

= (12 2 2+ 2) = 50 rad/s2

e. θ = θo +

θ = 5 + t4 + t2 , saat t = 2 s, maka diperoleh

θ = 25 rad

31

Uji Kompetensi

1. Kecepatan sudut sebuah roda dinyatakan dalam sebuah persamaan :

ω = ( t3 + 2t +3 ) rad/s, maka tentukan :






2. Percepatan sudut sebuah titik yang bergerak melingkar dinyatakan dengan

= 3t + 2.dan kecepatan sudut awal 3 rad/s sedangkan posisi mula-mula 2 rad

Tentukan :

a. Persamaan kecepatan sudut sebagai fungsi waktu


c. Persamaan vektor posisi sebagai fungsi waktu.

d. kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 hingga t = 2 s.

Ulangan BAB 1

Soal-soal Uraian

Jawablah soal-soal berikut dengan tepat!


koordinat titik tersebut dalam koordinat polar!

2. Kedudukan titik Y ditunjukkan oleh koordinat polar (2, 135°). Nyatakan koordinat

tersebut dalam koordinat kartesius!

3. Suatu titik A mempunyai kedudukan yang ditunjukkan koordinat kartesius (2,-4).

Tentukan vektor posisi titik tersebut!

4. Titik H mempunyai kedudukan (10, 60°). Tentukan vektor posisi titik tersebut!

5. Titik N pada saat t = 0 s berada pada posisi (2,1) m, dan pada t = 4 s pada posisi

(5,5) m. Tentukan:






6. Titik A mempunyai vektor posisi r = t 2 i + 2 t j. Tentukan:

a. Vektor posisi awal (saat t = 0 s)

b. Vektor perpindahan dari t = 2 s hingga t = 4 s

32

c. Besar vektor perpindahannya

7. Vektor posisi dari titik R dinyatakan dalam vektor posisi yang mengandung unsur

waktu, yaitu: r = 2t i + 4t2 j. Tentukan:

a. vektor perpindahan dari t = 1 s hingga t = 2 s

b. besar vektor perpindahan

8. Vektor posisi W dinyatakan dalam r = (2 + 3t) i + 2t2 j. Tentukan besar vektor

perpindahannya dari t = 0 s hingga t = 7 s !

9. Vektor posisi A dinyatakan dalam r = t2 i – 3 j. Tentukan vektor perpindahan dan

arah perpindahannya dari t = 1 s hingga t = 5 s !

10. Titik materi T pada detik t = 1 s berada pada posisi (2,0) m dan pada t = 4 s berada

pada posisi (8,8) m. Tentukan:

a. vektor kecepatan rata-ratanya

b. besar vektor kecepatan rata-rata

11. Titik I melakukan perpindahan dengan vektor perpindahan:

r = ( 2 t 2 i + 5 t j ) m.

Tentukan :

a. vektor kecepatan saat t = 2 s

b. besar kecepatan saat t = 2 s

12. Indah melempar benda dengan persamaan kecepatan v = (2t2 – 12) m/s.Tentukan

perpindahan dan jarak antara t = 0 hingga t = 4 s !

13. Fitri mengendarai sepeda dengan kecepatan seperti grafik berikut :

Tentukan :

a. Jarak yang ditempuh setelah sepeda Fitri bergerak 7 s

b. Jarak total yang ditempuh Fitri selama 8 s

14. Partikel D melakukan perpindahan sesuai vektor perpindahan :

r = ( 2 t2 i + t j ) m. Tentukan :

a. Vektor kecepatan sebagai fungsi waktu

b. Besar vektor kecepatan saat t = 2 s

15. Titik materi I melakukan gerak sesuai grafik berikut.

33

Grafik hubungan v dan t yang menggambarkan gerakan sepeda yang dilakukan Fitri

Tentukan :

a. Jarak yang ditempuh setelah t = 1 s

b. Jarak yang ditempuh setelah t = 3 s

c. Jarak yang ditempuh setelah t = 5,5 s

16. Pak Karta menaiki motor dengan persamaan kecepatan

v = ( 2t2 i + 8 t j ) m/s Tentukan:


b. besar percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

17. Percepatan yang dimiliki motor Dydy adalah a = t2 i + 3 t2 j

Jika kecepatan awal motor Dydy adalah nol, tentukan kecepatan motor Dydy saat

t = 2 s !

18. Suatu benda dari keadaan diam dan mengalami percepatan seperti grafik berikut ini.

Tentukan kecepatan saat 5 s !

19. Sebuah titik D melakukan perpindahan yang ditunjukkan dengan vektor

perpindahan sebagai berikut:

r = (2 t2 + 3 t) i + (1 + 2 t3) j m

Tentukan:

a. vektor kecepatan saat t = 4 s

b. vektor percepatan saat t = 2 s

20. Sebuah bola ditendang Akmal dengan sudut elevasi 45° dan kecepatan awal

40 m/s. Tentukan:

a. koordinat titik tertinggi

b. koordinat titik terjauh

34

Grafik v - t

Grafik a – t untuk menentukan kecepatan sesaat

21. Jika bola ditendang dengan kecepatan awal 20 m/s sehingga mengenai dinding

setinggi 40 m dan jarak mendatar 40 m, maka tentukan sudut elevasinya!

22. Jika Nambuhan menembakkan peluru dengan sudut elevasi 45° dan kecepatan awal

200 m/s, maka tentukan koordinat titik terjauhnya!

23. Jika Hafidz melempar bola dengan vektor posisi r = 8 t i + (2 t2 -2) j, maka

tentukan vektor posisi titik tertinggi yang dicapai bola.

24. Posisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan:






25. Posisi sudut sebuah titik yang bergerak melingkar dinyatakan:

θ = (2 t3 + 3 t2 + 2 t + 2 ) rad

Tentukan :





Soal Pilihan Ganda

Pilihlah jawaban yang benar!

1. Seorang anak mengendarai sepeda sejauh 3 km dengan arah 30° timur laut. Jika

arah timur dijadikan sumbu x positif maka notasi vektor perpindahannya adalah....

a. Δ r = (1,5 i + 1,5 j) d. Δ r = (3 i + 1,5 j)

b. Δ r = (2,5 i + 1,5 j) e. Δ r = (3 i + 3 j)

c. Δ r = (3 i + 1,5 j)

2. Posisi dari suatu partikel memenuhi persamaan r = 2t + t2 dengan r dalam meter dan

t dalam sekon. Kecepatan partikel saat t = 5 sekon adalah ....

a. 3 m/s d. 12 m/s

b. 5 m/s e. 15 m/s

c. 8 m/s

3. Sebuah sepeda bergerak dengan kecepatan 20 m/s dalam arah 210° berlawanan

dengan arah jarum jam terhadap sumbu x positif. Komponen vektor kecepatan

terhadap sumbu x dan sumbu y adalah ....

a. vx = -10 m/s vy = - 5 m/s d. vx = -10 m/s vy = - 8 m/s

b. vx = -10 m/s vy = - 5 m/s e. vx = -10 m/s vy = - 10 m/s

c. vx = -12 m/s vy = - 6 m/s

35

4. Sebuah sepeda motor bergerak dalam sebuah kecepatan yang dilukiskan dengan

grafik kecepatan terhadap waktu berikut ini:

Besar perpindahan sepeda motor selama 15 sekon adalah ....

a. 40 m d. 400 m

b. 100 m e. 500 m

c. 150 m

5. Posisi ketinggian sebuah balon udara dinyatakan dalam persamaan : y = 20 t – 5t2,

dengan y dalam meter dan t dalam sekon. Kecepatan awal balon adalah ....

a. 2 m/s d. 20 m/s

b. 5 m/s e. 50 m/s

c. 10 m/s

6. Sebuah mobil mainan bergerak dengan persamaan kecepatan v = 3t2 – 6t – 9,

dimana v dalam m/s dan t dalam sekon. Jarak yang ditempuh mobil mainan antara t

= 1 s hingga t = 4 sekon adalah ....

a. 10 m d. 45 m

b. 20 m e. 47,5 m

c. 23 m

7. Sebuah sepeda motor bergerak dengan

kecepatan yang digambarkan seperti

grafik di samping.

Besar percepatan saat t = 12 sekon

adalah ....

a. - 2 m/s2

b. - 5 m/s2

c. - 8 m/s2

d. -10 m/s2

e. -12 m/s2

8. Seekor burung terbang dengan persamaan lintasan y = 27 t – t3, di mana y dalam

meter dan t dalam sekon. Tinggi maksimum burung adalah ....

a. 108 m d. 27 m

b. 81 m e. 3 m

c. 54 m

36

9. Sebuah peluru ditembakkan sehingga mempunyai persamaan perpindahan sebagai

berikut : r = 30 t i + (30 t – 5 t2) j, dengan r dalam meter, t dalam sekon, tinggi

maksimum yang dicapai peluru adalah ....

a. 135 m d. 180 m

b. 135 m e. 270 m

c. 180 m

10. Sebuah benda bergerak dengan persamaan kecepatan v = 2t + 5 , di mana v dalam

m/s dan t dalam sekon. Bila saat t = 0 benda berada pada x = 4 m, maka posisi

benda saat t = 4 s adalah ....

a. 20 m d. 35 m

b. 25 m e. 40 m

c. 30 m

11. Roda sepeda berputar pada porosnya dengan persamaan posisi sudut θ = 3 t + 2 t2,

di mana θ dalam radian, dan t dalam sekon. Posisi sudut saat t = 2 sekon adalah ....

a. 3 rad d. 14 rad

b. 5 rad e. 18 rad

c. 12 rad

12. Jika roda mobil berputar dengan persamaan posisi sudut θ = 2 t + 2 t2, di mana θ

dalam radian, dan t dalam sekon, maka kecepatan sudut roda mobil saat t = 2 sekon

adalah ...

a. 4 rad/s d. 12 rad/s

b. 7 rad/s e. 15 rad/s

c. 10 rad/s

13. Jika persamaan kecepatan sudut suatu gerak melingkar dinyatakan dalam ω = 3

t2 + 2 t + 2, di mana ω dalam rad/s dan t dalam sekon, jika posisi sudut awal gerak

melingkar 2 rad, maka posisi sudut gerak melingkar saat t = 1 s adalah ....

a. 6 rad d. 3 rad

b. 5 rad e. 2 rad

c. 4 rad

14. Sebuah peluru yang ditembakkan dengan kecepatan awal vo dan sudut elevasi α

pada saat mencapai tinggi maksimum ...

a. tenaga kinetiknya maksimum

b. tenaga potensialnya maksimum

c. tenaga potensialnya minimum

d. tenaga totalnya maksimum

e. kecepatannya maksimum

15. Terhadap koordinat x horisontal dan y vertikal, sebuah benda yang bergerak

mengikuti gerak peluru mempunyai komponen-komponen kecepatan yang ....

37

a. besarnya tetap pada arah x dan berubah-ubah pada sumbu y

b. besarnya tetap pada arah y dan berubah-ubah pada arah x

c. besarnya tetap, baik pada arah x maupun pada arah y

d. besarnya berubah-ubah, baik pada arah x maupun pada arah y

e. besar dan arah terus-menerus berubah terhadap waktu

16. Sebuah kapal laut sejauh 10 km dengan arah 53° timur laut. Jika arah timur

dijadikan sumbu x positif, maka vektor perpindahannya adalah....

a. Δ r = (0,6 i + 0,8 j) d. Δ r = (60 i + 80 j)

b. Δ r = (0,8 i + 0,6 j) e. Δ r = (80 i + 60 j)

c. Δ r = (6 i + 8 j )

17. Posisi suatu partikel memenuhi persamaan r = 3t + 2t2 dengan r dalam meter dan t

dalam sekon.Kecepatan partikel saat t = 5 sekon adalah ....

a. 28 m/s d. 15 m/s

b. 25 m/s e. 12 m/s

c. 23 m/s

18. Posisi ketinggian sebuah balon udara dinyatakan dalam persamaan : y = 50 t – 5t2,

dengan y dalam meter dan t dalam sekon. Kecepatan awal balon adalah ....

a. 2 m/s d. 20 m/s

b. 5 m/s e. 50 m/s

c. 10 m/s

19. Sebuah anak panah meluncur dengan persamaan kecepatan v = 3t2 – 6t – 9, dimana

v dalam m/s dan t dalam s. Jarak yang ditempuh mobil mainan antara t = 1 s hingga

t = 4 sekon adalah ....

a. 10 m d. 45 m

b. 20 m e. 47,5 m

c. 23 m

20. Seekor burung terbang dengan persamaan lintasan y = 20 t – t2, dimana y dalam

meter dan t dalam sekon. Tinggi maksimum burung adalah ....

a. 100 m d. 16 m

b. 20 m e. 3 m

c. 19 m

21. Sebuah peluru ditembakkan sehingga mempunyai persamaan perpindahan sebagai

berikut : r = 30 t i + (20 t – 5 t2) j, dengan r dalam meter, t dalam sekon, tinggi

maksimum yang dicapai peluru adalah ....

a. 13 m d. 80 m

b. 20 m e. 200 m

c. 60 m

38

22. Sebuah benda bergerak dengan persamaan kecepatan v = 2t + 10 , dimana v dalam

m/s dan t dalam sekon. Bila saat t = 0 benda berada pada x = 6 m, maka posisi

benda saat t = 2 s adalah ....

a. 20 m d. 35 m

b. 25 m e. 40 m

c. 30 m

23. Roda sepeda berputar pada porosnya dengan persamaan posisi sudut θ = 4 t + 2 t2,

dimana θ dalam radian, dan t dalam sekon. Posisi sudut ketika kecepatan sudut

mencapai maksimum adalah adalah ....

a. 3 rad d. 14 rad

b. 6 rad e. 18 rad

c. 12 rad

24 . Jika persamaan kecepatan sudut suatu gerak melingkar dinyatakan dalam ω = 3 t2 +

2, dimana ω dalam rad/s dan t dalam sekon, jika posisi sudut awal gerak melingkar

3 rad, maka posisi sudut gerak melingkar saat t = 1 s adalah ....

a. 6 rad d. 3 rad

b. 5 rad e. 2 rad

c. 4 rad

25. Gerak sebuah benda memiliki persamaan posisi r = (8t – 4 ) i + (-3t 2 + 6 t ). Semua

besaranmenggunakan satuan dasar SI. Dari pernyataan berikut :

1. benda bergerak lurus berubah beraturan

2. memiliki koordinat awal ( -4, 0)m

3. setelah 1 s perpindahannya 5 m

4. setelah 1 s kecepatannya menjadi 8 m/s.

Pernyataan yang benar adalah :

a. 1, 2 dan 3 c. 1 dan 4

b. 1 dan 3 d. 2 ,3 dan 4

e. 2 dan 4

26. Posisi sudut sebuah partikel pada tepi sebuah roda yang sedang berputar dinyatakan

oleh = 4 t – 3 t2 + t3 , dengan dalam radian dan t dalam sekon. Kecepatan sudut

ratarata antara t = 0 sampai t = 2 sekon adalah ...rad/s

a. 1 b. 2 c.3 d. 4 e. 5

27. Sebuah peluru ditembakan dengan sudut elevasi 370 dan kecepatan awal 50 m/s.

Maka perbandingan tinggi peluru ketika t= 1s dan t = 2s adalah .....

a. 1/5 b. ¼ c. 3/4 d. 3/5 e. 5/8

28. Sebuah 2 bola kasti menggelinding masing-masing kecepatan v1 dan v2 dengan arah

mendatar jatuh dari lantai satu h1 = 2h dan lantai dua h2 =3h. Membentuk lintasan

parabola. Maka perbandingan v1/v2 adalah ......

39

a. . b. . c. /2 d.2 /3 e. 1

29. Suatu benda dikatakan bergerak melingkar beraturan bila ....

1. perpindahannya konstan

2. kecepatan sudutnya konstan

3. momentum liniernya konstan

4.percepatan sudutnya konsta

Pernyataan yang benar adalah ...

a. 1, 2 dan 3 b. 1 dan3 c. 2 dan 4 d. 4 e. 1, 2 , 3 dan 4

30. Sebuah peluru ditembakkan dengan arah horisontal dan dengan kecepatan awal v

dari ketinggian awal h dari permukaan tanah. Jarak horisontal yang ditempuh

peluru tergantung pada ....

1. kecepatan awal v

2. ketinggian h

3. percepatan gravitasi

4. massa peluru

Pernyataan yang benar adalah :

a. 1, 2 dan 3 b. 1 dan3 c. 2 dan 4 d. 4 e. 1, 2 , 3 dan 4

40

Documents

materi besok