Materi Pertemuan 3 Teori Antrian

Embed Size (px)

Text of Materi Pertemuan 3 Teori Antrian

  • http://fmipa.uny.ac.idTAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

    TEORI ANTRIANPertemuan 3, Rantai Markov pada teori antrian

    Nikenasih Binatarinikenasih@uny.ac.id

    http://uny.ac.idTAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

  • http://fmipa.uny.ac.idTAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

    1 Rantai Markov Berhingga ***

    2 Proses Poisson

    3 Rantai Markov waktu kontinu

    4 Proses Kelahiran dan kematian

    PRESENTATION PARTS

  • http://fmipa.uny.ac.idTAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

    I. Rantai Markov Berhingga

    Definisi 1.Diberikan T suatu himpunan dan t T suatuparameter, pada kasus ini merupakan waktu.Misalkan X(t) variabel random tT, himpunanvariabel random {X(t),tT} disebut dengan prosesstokastik.

    Interpretasi :X(t) state proses stokastik pada saat t.

  • http://fmipa.uny.ac.idTAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

  • http://fmipa.uny.ac.idTAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

    Jenis Stokastik Proses

    Jika T terhitung, stokastik proses dikatakanproses waktu diskrit.

    Jika T merupakan interval [0,), stokastik prosesdikatakan proses waktu kontinu.

    Himpunan nilai X(t) kemudian disebut state space.

  • http://fmipa.uny.ac.idTAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

    Definisi 2.Suatu stokastik proses {X(n), n N} disebut rantaimarkov jika untuk setiap waktu n N dan untuksetiap states (i0,i1,...,in) berlaku

    = 0 = 0, 1 = 1, , 1 = 1

    = = 1 = 1

  • http://fmipa.uny.ac.idTAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

    Definisi 3.Peluang bersyarat

    = |1 = , ,

    disebut dengan peluang transisi dari state i ke statej, dan dinotasikan dengan ().

  • http://fmipa.uny.ac.idTAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

    Definisi 4.Rantai markov dikatakan homogen terhadap waktujika tidak bergantung atas n. Dengan kata

    lain,

    = |1 = = + = |+1 =

    untuk m N dan m - ( n 1).

  • http://fmipa.uny.ac.idTAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

    Berikutnya, diasumsikan rantai markov homogen terhadap

    waktu. dinotasikan peluang transisi dari state i ke state j

    adalah . State yang mungkin 1,2, ..., N.

    Definisi 5.Matriks transisi P adalah matriks berukuran N x Ndengan entri ke (i,j) Pij adalah pij.

  • http://fmipa.uny.ac.idTAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

    Matriks transisi dari rantai markov harus merupakanmatriks stokastik. Dengan kata lain, entri matrikstransisi harus memenuhi 2 syarat :1. 0 1,1 ,

    2. =1 = 1,1

    Selanjutnya, dimisalkan distribusi peluang mula-mula (initial probability distribution) diketahui.

  • http://fmipa.uny.ac.idTAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

    Misalkan distribusi peluang mula-mula dengan 0 = , = 1,2, , .

    Definisi 6.Peluang n-langkah

    adalah peluang berada pada

    state j dengan n langkah dari state i. Dengan katalain, = = |0 = = + = | =

  • http://fmipa.uny.ac.idTAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

    Darisini diperoleh bahwa

    = =

    ,

    =

    = |0 =

    dengan S adalah state space.

  • http://fmipa.uny.ac.idTAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

    Sifat 7.Peluang transisi n-langkah

    merupakan entri ke-

    (i,j) dari matriks Pn.

    Akibatnya, = +1

  • http://fmipa.uny.ac.idTAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

    Misalkan distribusi peluang mula-mula dapatdinyatakan dalam vektor

    = 0 1 , 0 2 , , 0() ,

    maka distribusi pada saat waktu n, = = :

    = 0

  • http://fmipa.uny.ac.idTAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

    Referensi

    Constantin, Hannah. Markov Chains and QueueingTheory. 2011dapat diakses di alamat websitehttp://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2011/REUPapers/Constantin.pdf

  • http://fmipa.uny.ac.idTAKWA, MANDIRI, CENDEKIA

    THANK YOU

    Nikenasih Binatarinikenasih@uny.ac.id

    Karangmalang Sleman Yogyakarta