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8/17/2019 Materia Física 2da Unidad
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Universidad de las Fuerzas Armadas
“ESPE -L” UNIDAD 2
DINÁMICA DE LA PARTICULA
2.1. Leyes del Movimiento de Newton
Primera Ley
Una partícula originalmente en reposo moviéndose en línea recta con velocidadconstante permanecerá en ese estado siempre que no esté sometida a una fuerzadesbalanceadora.
Segunda Ley
Una partícula sobre la cual actúa una fuerza balanceadora, experimenta con fuerzadenominada que tiene la misma dirección que la fuerza y la magnitud directamente proporcional a la fuerza.
Tercera Ley
Las fuerzas mutuas de acción y reacción entre dos partículas son originales, opuestas ycolineales.
La segunda y tercera ley constituye la mayor parte de estudio en dinámica ya que
relaciona el movimiento, aceleración de la partícula con las fuerzas que actúa sobre ella.
Si la masa de la partícula es m, la segunda ley del movimiento de newton puede serexpresada en forma matemática como:
=
No valido cuando:
- Las partículas tienen tamaño de un átomo y se mueven una cerca de otra.
-
La rapidez de la partícula se acerca a la rapidez de la luz.
Ecuación de movimientouna de las fórmulas másimportantes de la mecánica.
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“ESPE -L” Ley de Atracción Gravitatoria de Newton
Ley que rige la atracción mutua entre dos partículas cualesquiera.
= 1 2²
Dónde:
F = fuerza de atracción entre dos partículas
G = constante universal de gravitación formula (G = 66.73x10− / )
m1 m2 = masa de cada partícula
r = distancia entre los centros de las dos partículas
Una partícula ubicada en cero cerca de la superficie de la tierra la única fuerzagravitatoria que tiene magnitudes considerables es aquella existente entre la tierra y la
partícula (peso) W.
Para este estudio será la única fuerza gravitatoria que consideremos.
Masa y Peso
Masa.- propiedad de la materia por medio de la cual podremos comparar la respuesta deun cuerpo con la de otro. Cantidad absoluta su medición pude efectuarse en cualquiersitio.
Peso.- no es absoluto es medido en un campo gravitatorio, su magnitud depende dedonde se efectué la medición.
Sea m2 la masa de la tierra y r la distancia entre el centro de la tierra y la partícula si:
= 22
= 1 2² = 1 2
²
1 = =
=
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“ESPE -L”
g esta media en un puto sobre la superficie de la tierra localizado a nivel del mar y a una
latitud de ubicación estándar.
Sistema de Unidades
Masa PesoKilogramos F = m a
W = mg N = kg (m/s²) Newton = (J . l)
Si el cuerpo está situado en la ubicación estándar g = 9.8065 m/s² para cálculos se usarag = 9.81 m/s².
= [] = 9.81 /²
Masa Peso
F = m a Libras (lb) W = m g m = lb/(ft/s²) Slug
Cuando mas de una fuerza actua sobre una particula, la fuerza resultante es determinadamediante la suma vectorial de fuerzas.
= = Σ
P = partícula
F1 F2 = Fuerzas
m1 = masa de la partícula
S.I.
FPS
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“ESPE -L” Diagrama de Cuerpo Libre
Representa la magnitud y dirección de cada fuerza que actúa
sobre la partícula.
Diagrama Cinético
Por su parte el diagrama cinético me indica la magnitud y dirección de la resultante.
Entonces: Reposo 0, se mueve constante.
En una condición de equilibrio estático o primera ley del movimiento.
En el siguiente sistema siguiente la partícula i-esima con masa m está sometida a unsistema de fuerzas internas y a una fuerza resultante externa.
F. internas: determina las fuerzas que otras partículas ejercen sobre la partícula i-esima.
F. externas: representa fuerza gravitatoria, magnética, eléctrica.
La suma de las fuerzas externas que actúa sobre elsistema de partículas es igual a la masa total de las
partículas multiplicando por la aceleración de sucentro de masa.
Σ F =
+ =
Si es un veedor de
posición que se localiza en elcentro de masa G de las partículas.
Para todas lasartículas
Σ Fi +Σ = Σ
Sera igual a cero.
Todas las fuerzasinternas ocurren enopuestos colineales
Σ Fi = Σ
Derivando 2 veces
Entonces
Σ F =
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“ESPE -L”
2.2. Ecuación de Movimiento Coordenadas Rectangular
Marco de referencia
x,y,z ----- i, j, k
Σ F =
Σ Fx i + Σ Fy j + Σ Fz k = + +
Igualando i, j , k
Σ Fx =
Σ Fy =
Σ Fz = Además para los ejercicios
Ecuación de fricción Resorte
= µ =
Dónde: Dónde:
F = Fuerza Fs = Fuerza en resorteµ= coeficiente de fricción cinética = rigidez del resorte
N = fuerza normal d = elongación resorte
=
Longitud deformadamenos longitud inicial
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“ESPE -L”
Cinemática
- Si a es una función del tiempo, usa = y = para obtener aceleración
y velocidad.- Si es una función de desplazamiento usa = - Si o constantes = +
= + + 12
Ejemplos:
El camión de equipaje A mostrado en la imagen tiene un peso de 900 lb y si jala un
carro B de 150 lb por corto tiempo, por la fuerza desarrolla por la rueda del camión esigual a Fa = (40t) lb donde t esta en segundos. Si se generara cual sería la fuerzahorizontal de acoplamiento y entre el cambio y el carro B y t = 2s calcule la rapidez eneste instante.
Ecuación del Movimiento:
Σ Fx =
Fa = +
+
40 = 900+550+22532.2
= 0.7256
= 40
Fuerza impulsiva que da a loscarros y al camión unaaceleración
=0
t = 2 s
Es la aceleración del movimiento
(movimiento en el eje horizontal)
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“ESPE -L” De cinemateca:
=
= 0.3628 ²
= 0.7256 = 1.46 /
= 0.7256
Σ Fx =
=
= 39.41
Una caja de 50 kg mostrada en la figura descansa sobre un plan horizontal, para lo cualel coeficiente de fricción cinética es de 0.3. Si la caja esta cometida a una fuerza de 400
N como se indica. Determine su velocidad con 3 segundos partiendo del reposo.
Diagrama de cuerpo libre:
Datos:m = 50 kg
µk = 0.3
F = 400 N
t = 3s
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“ESPE -L”
= La velocidad actúa en la dirección del moviente entonces la sumatoria de
todas las fuerzas t actuaran en dirección del movimiento.A mayor fuerza mayor rapidez.
= ² Siempre es positiva.
Entonces sumatoria de todas las fuerzas n actúa en esta dirección positiva
Ejercicios:El disco de la pista de salto para esquiadores requiere reconocer el tipo de fuerzas queserán ejercidas sobre el esquiador y si en este caso la pista puede aproximarse por la
parábola de la figura, determine la Fn sobre el esquiador de 150 lb de peso, en elinstante en el que llega al extremo de la pista.
a) Su velocidad a 65 ft/s b) ¿Cuál es la aceleración en ese punto?
Σ Fn =
1 5 0 = 15032.2 65
= 347
Σ Ft = = 0
= 1 + 1100 ²/ 1100
= 100
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“ESPE -L”
2.5. Ecuación de Movimiento Coordenadas Cilíndricas
,,
Σ F =
Σ Fr ur + Σ Fθ uθ + Σ Fz uz = +
P= fuerza que hace que la partícula se mueva a lo largo de la trayectoria
Fr= fuerza de fricción, actúa a lo lardo de la tangente en dirección contraria almovimiento
Ψ= ángulo para especificas dirección de N y Fr
Σ Fr =
Σ F θ =
Σ Fz =
=
= ∗ ²
θ = +2
=
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“ESPE -L” Ejercicio:
El cilindro C liso de 2 kg tiene un pasador P a través de su centro el cual para por la
ranura en el brazo OA. Si se hace que el brazo gire en el plano vertical a una razón de0.5 rad/s. Determine la fuerza que ejerce el brazo sobre la clavija en el instante θ = 60°.
Datos:
m = 2kg W = mg
θ = 0.5 rad/s W = (2kg)(9.81m/s²)
θ = 60° W = 19.62 N
r = 0.4/senθ
Ec. del movimiento:
Σ Fr = =
= ²
= 0.4 = 0.4 csc
= .04 ( ) +
=
=
=
= Σ Fθ =
+ = 2
= +2
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“ESPE -L”
=0.4( ) + csc +
)
=0.4( ) ᶟ( )
² ²)
|=60°
| = 0.5| = 0
|=60°
| = 0.5| = 0
|=60° | = 0.5| = 0
= ² = +2
= (0.192)-(0.462)(0.5)² = 2(-0.133)(0.5)= 0.077 m/s² = -0.133 m/s²
En la Ec. del movimiento:
Wr – Nr = m ar Wθ +Fp-Nθ = 2aθ
19.62 sen60° - N sen60°= 210.077 19.62cos60°+Fp-19.5 cos 60°= 2(-0.133)
N= 19.5N Fp = -0.356 N
La fuerza se encuentra al sentido
direccionado al sentido contrario.
2.6. Trabajo Realizado por una Fuerza
Se denomina trabajo cuando una fuerza moviliza un cuerpo y libera energía potencialdel mismo.
Se dice que una fuerza realiza un trabajo cuando altera el estado de movimiento de un
cuerpo.
0.4sec60°=0.462
0.4csc 60° 60°0.5= 0.133
0.4 csc 60° 60°0 60°0.5 60° 60° 0.5²
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“ESPE -L” Una fuerza F vector efectúa trabajo sobre una partícula solo cuando experimenta undesplazamiento en su dirección de la fuerza
Trabajo = Fuerza * segmento diferencial a lo largo de la trayectoria * ángulo de
formación entre dv y la .
= cos
=
Positivo: 0° menor igual θ menor igual 90° } fuerza y desplazamiento mismo sentido
Negativo: 90° menor igual θ menor igual 180° } fuerza y desplazamiento sentido
contrario
Si θ = 90° entonces Cos 90° = 0, dw = 0 y la fuerza es perpendicular al desplazamiento.
Unidad
Trabajo Joule S.I. (Newton * metro)
1J = Nm (fuerza longitud)
Trabajo, FPS, pies – lb (fuerza – longitud)
El trabajo es una cantidad escalar
Por su parte el movimiento es una cantidad vectorial y representa al igual que el trabajola fuerza por longitud.
Unidad S.I. FPS
N.m lb *ft
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“ESPE -L”
Trabajo de Una Fuerza Variable
Si la partícula experimenta un desplazamiento finito a lo largo de su trayectoria des 1 vector a r2 vector, desde s1 a s2 el trabajo se determina por integración.
Trabajo de Una Fuerza Constante que se Mueve a lo largo de una recta.
Si
tiene magnitud constante y θ es un ángulo constante el trabajo realizado por la
fuerza cuando la partucla es desplzada des s1 a s2 es determinado por:
Si F = F(s)
F es en función de s.
1 2 = ∫ ∗
1 2 = ∫ cos
Área bajo la curva desdela posición S1 hasta S2
1 2 =
cte (sale de la integral)
1 2 = 21
1 2 = 2 1
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“ESPE -L”
Trabajo de Peso de Rozamiento y de la Fuerza del Resorte
a)
Trabajo de PesoConsidere una partícula que se mueve hacia arriba a lo largo de la trayectoria Sdesde la posición S1 a S2 en un punto intermedio el desplazamiento es:
= + +
Trabajo:
1 2 =
1 2 =
+ +
1 2 =
1 2 =
1 2 = {21
1 2 = Ʌy
Peso W = - W (Dirigido hacia abajo)
Des lazamiento vertical
Magnitud del peso
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“ESPE -L”
b) Trabajo de la Fuerza de un ResorteLa magnitud de la fuerza desarrollada en un resorte elástico lineal cuando el
resorte es desplazado una distancia S desde su posición no alargada es:
=
Si el resorte es alargado o comprimido desde S1 el trabajo realizado sobre elresorte por Fs es positivo. Cuando la fuerza y el desplazamiento tienen la mismadirección.
1 2 =
1 2 =
1 2 =
2 2
1
1 2 = 2 2
2 1
Si una partícula (o un cuerpo) está unido a un resorte entonces la fuerza Fsejercida sobre la partícula es puesta ala ejercida sobre el resorte.
La fuerza realizara un trabajo negativo sobre la partícula cuando esta se muevamás (cuando alarga o comprime el resorte).
1 2 = 2 1 Trabajo negativo
Fuerza del resorteRi idez resorte Des lazamiento
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“ESPE -L”
2.7. Energía Cinética de una Partícula
Energía: capacidad de los cuerpos para realizar un trabajo, acción y producir cambiosen ellos mismos o en otros cuerpos.
Energía Cinética: la energía cinética de un cuerpo es energía que posee un cuerpodebido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo demasa determinado desde el reposo hasta la velocidad indicada.
Sistema de Coordenadas Inerciales
S = trayectoria
n = eje normalt = eje tangencial
p = partícula
= fuerzas externas
La ecuación del movimiento será:
Σ Ft =
=
=
Reemplazando: Integrando
Σ Ft = Σ ∫
= ∫
Σ Ft ds =
Σ ∫ cos
=
21
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“ESPE -L”
Como U 1 2 = ∫
Σ U 1 2 = 2
1²
La ecuación representa el principio del trabajo y energía para la partícula.
Tiene las mismas unidades que el trabajo [J] [ft * lb]
Σ U 1 2 = 2
1²
T2 T1
Σ U 1 2 = T2 T1
T1 + Σ U 1 2 = T2
+ =
Anotaciones
-
El principio del trabajo y la energía T1 + Σ U 1 2= T2
- La energía cinética en los puntos inicial y final siempre es positiva
= ²
- Una fuerza realiza un trabajo cuando se desplaza en la dirección de la fuerza.- El trabajo es positivo cuando actúa en el mismo sentido de la fuerza.- Las fuerzas que son funciones del desplazamiento deben integrarse para obtener
trabajo.
Sumatoria del trabajorealizado por todas lasfuerzas que actúan sobrela partícula cuando esta semueve del punto 1 al punto 2.
Energía Cinéticafinal de la partícula
Energía Cinética
inicial de la partícula
Ecuación inicialde la partícula
Trabajo realizado por todas lasfuerzas
Ecuación final dela partícula
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“ESPE -L” El trabajo del peso es Uw = ± Wy
Hacia abajo + hacia arriba - magnitud del peso desplazamiento vertical
- El trabajo de un resorte tiene la forma Us = ½ K S²
Ejercicios:
Durante un breve tiempo una grúa levanta una viga de 2.5 Mg con una fuerza de F= (28+ 3s²) KN. Determine la velocidad de la viga cuando alcanza 3 metros.
Principio de trabajo y energia:
T1 + Σ U 1 2= T2
= 12 2²
2.8+3
2.510ᶟ9.81 =12 2.510ᶟ²
2810ᶟ + 10ᶟᶟ24.52510ᶟ = 1 . 2 510ᶟ²
= 2.78 + 0.8 ᶟ
Cuando s = 3m
= 5.47 /
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“ESPE -L”
Fuerzas Conservativas
Fuerzas conservitas se denomina así cuando el trabajo realizado por una al mover una partícula de un punto a otro es independientemente de la trayectoria seguido por la partícula.
Ejemplo:
Peso = trabajo depende solo del desplazamiento
Conservativa
F en un resorte elástico = depende de la extensión o compresión delresorte.
Fuerza de fricción = depende de la trayectoria (no conservativa)
El trabajo se disipa en forma de calor. (Entre más larga latrayectoria mayor es el trabajo)
Energía Potencial
Es la capacidad de efectuar trabajo.
Energía Cinética.- Cuando la energía proviene del movimiento.
Energía Potencial.- Cuando proviene de la posición de la partícula medida desde un plano de referencia
La energía potencial representa una medida de la cantidad de trabajo que una fuerzaconservativa realizara cuando se mueva desde una posición dada hasta un punto fijo.
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“ESPE -L”
Energía Potencial Gravitatoria
Energía Potencial Elástica (Ve)
Cuando el resorte es alargado o comprimido una distancia S desde su posición no
alargada entonces:
= ² (Es positivo)
La fuerza del resorte siempre tiene la capacidad de efectuar trabajo positivo sobre la partícula cuando el resorte retorna a su posición noalargada.
Función Potencial
Si una partícula está sometida a fuerzas gravitacionales y elásticas, su energía potencial puede ser expresada domo una suma algebraica (Fuerza Potencial)
= +
Depende de la ubicación de la partícula V(x,y,z)
El trabajo realizado por una fuerza conservativa al mover la partícula desde (x,y,z) a(x2,y2,z2) es medido por la diferencia de:
1 2 = 1 2
= +
=
Energía potencial gravitacional
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“ESPE -L”
CONSERVACION DE LA ENERGIA
Si solo fuerzas conservativas son aplicadas al cuerpo entonces:
1 + 1 = 2 + 2
Conservación de la conservación de la energía mecánica
Durante el movimiento la suma de las energías cinéticas y potencial permanececonstante.
Para que esto ocurra la energía cinética debe transformarse en energía potencial yviceversa.
Para un Sistema de Partículas
Σ T1 + ΣV1 = Σ T2 + ΣV2
La suma de las energías cinética y potencial iniciales del sistema es igual a la suma delas energías finales cinética y potencial del sistema.
Peso
Conservatorio Resorte
Fricción
No Conservatorio Fuerzas resistentes al arrastre porque se disipa en forma decalor.
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“ESPE -L”
Ejercicios:
El pórtico que aparece en la figura se usa para probar la respuesta de un avión duranteun choque, el avión tiene una masa 8 Mg y es levantado hacia atrás hasta un ángulo de60° y luego el cable AC que lo ha alado se libera.
Determine la rapidez del avión justo antes de estr ellarse contra el suelo con θ = 15°¿Cuál es la tensión máxima desarrollada en el cable del soporte durante el movimiento?Desprecie el tamaño del avión y el efecto de elevación causado por las alas en elmovimiento.
Conservación de la Energía:
+ = +
08000 9.81 20cos 60° = 1
2 8000²8000 9.81 20cos15°
=13.52 /
Ecuación del movimiento:
Σ Fn = m an
80009.81 cos15°=800013.52/20
= 149
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“ESPE -L”
2.14. Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento
Se obtiene integrando la ecuación del movimiento respeto al tiempo.
Σ = 2
1
Principio de impuso y momento lineal
Reescribiendo
1 + Σ = 2
Momento Lineal
Es un vector de la forma
=
Impulso Lineal
Mide el efecto de una fuerza durante el tiempo que esta actúa.
=
Impulso actúa en la misma dirección a la fuerza de unidades
Unidades = N S Lb S
Momento linealde la partícula en
el t1Suma de todos losimpulsos aplicadosa la partícula desde
t1 a t2
Momento final de la partícula en t2
Tiene la mismadirección que la
velocidad.
Unidades kg m/sslug ft/s
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“ESPE -L”
Ecuación Escalares
1 + Σ = 2
Si cada vector se coloca en sus componentes escalares x,y,z.
1 + Σ =
2
1 + Σ =
2
1 + Σ = 2
Generalmente el impulso es igual al área bajo la curva Fuerza – Tiempo
Ejercicio:
La piedra de 100 kg esta originalmente en reposo sobre la superficie lisa horizontal. Siuna fuerza de 200 N que actúa a un ángulo de 45° se aplica a la piedra durante 10segundos. Determine la Fuerza normal de la superficie y la velocidad final sobre la
piedra durante el intervalo de tiempo.
W = mg
W = 100kg * 9.81m/s²
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“ESPE -L”
Principio del impulso y del momentum:
En X ----> +
1 + Σ =
2
Σ 200 cos 45° = 100 2
200cos45° 100 =1002
2 = 14.4 /
1 + Σ =
2
0 + 10 98110 +200 45° 10 = 0
= 840
2.15. Impacto Central Directo, Impacto Central Oblicuo
El impacto ocurre cuando dos cuerpos chocan. Durante el periodo corto, lo que hace quese ejerzan fuerzas impulsadoras relativamente grandes ante lo cuerpos, ejemplo, elgolpe de un martillo sobre un clavo.
Tipos
Central: Cuando la dirección del movimiento de los centros de masa de las partículasvan a lo largo de una línea recta que pasa a través de los centros de masa de las
partículas. (La línea del impacto es perpendicular al plano de contacto)
Línea de impacto
Plano de contacto
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“ESPE -L” Oblicuo: cuando el movimiento de una de las dos partículas forman un ángulo con lalínea de impacto.
Plano de contacto
Impacto Central
Antes del impacto
> Para la deformación
Impuso de Deformación
Durante la colisión las partículas se consideran
deformadas.
Impulso de deformación ∫ efecto B enA
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“ESPE -L” Deformación Máxima
Ambas partículas se desplazan con velocidad constante.
Restitución
Las partículas recuperan su forma original o permanecerán deformadas permanentemente.
Impulso de resituación ∫
Después del impacto
Subíndice 2 indica después del impactoSubíndice 1 indica antes del impacto
8/17/2019 Materia Física 2da Unidad
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Universidad de las Fuerzas Armadas
“ESPE -L” Coeficiente de Restitución
= −− Velocidad de la separación de las perticulas justo despuésdel impacto.
Velocidad relativa de aproximación de las partículas justoandes del impacto.
e = valor entero
Impacto Plástico Impacto Elástico
Irrestitución = 0 Ideformación = Irrestitución
Ambas partículas se acoplano permanecen en contacto ose mueven en una velocidaden común.
Pérdida de Energía Σ U 1 2 = Σ T2 Σ T1
Es la diferencia de energía cinética de las partículas
Se genera perdida por:
- Se transforma en energía térmica- Se genera ruido- Se genera deformaciones
Impacto Elástico: no se pierde energía en la colisión
Impacto Plástico: la pérdida de energía es máxima
Impacto Central: la conservación de la cantidad de movimiento es aplicable al sistemade partículas.
Σ m V1 = Σ m V2
Si V da negativo, la V actúa en sentido contrario
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Universidad de las Fuerzas Armadas
“ESPE -L”
Impacto Oblicuo: las fuerzas impulsadoras de deformaciones y restitución actúa en la
dirección de x.Σ m Vx1 = Σ m Vx2
Ejercicio:
La bola A con peso de 6 lb es liberada del reposo en la posición de θ = 0° después de
caer a θ = 90° la bolsa golpee una caja B de 18 lb de forma central si el coeficiente derestitución entre la bolsa y la caja es de e = 0.5. Determine las velocidades de la bolsa yda la caja justo después del impacto y la perdida de energía durante la colisión.
Conservación de la energía:
+ = 1 + 1
=
= + (No hay resorte)
= (Está en el punto de referencia)
1 = 12 ²
1=
1=1+1 (No hay resorte)
8/17/2019 Materia Física 2da Unidad
http://slidepdf.com/reader/full/materia-fisica-2da-unidad 33/34
8/17/2019 Materia Física 2da Unidad
http://slidepdf.com/reader/full/materia-fisica-2da-unidad 34/34
Universidad de las Fuerzas Armadas
“ESPE -L”
Reemplazo 2 en 1:
6. 95= 13. 9 32
42=13.9+6.93
2 = 5.21 / Sentido correcto a la izquierdo
Coloco (VB)2 en 2 para hallar (WA)2
(VA)2 = 5.21 - 6.93(VA)2 = -1.74 ft/s (Sentido incorrecto es a la derecha)
Pérdida de Energía:
Σ U 1 2 = T2 T1
Σ U 1 2 = 12 6
32.2 1.74 + 12 18
32.2 5.21 12 6
32.2 13.9²
Σ U 1 2 = 18.165+488.5931159.2664.4
Σ U 1 2 = 10.5 ft . lb