Material de Academia Estadistica Descriptiva

Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*1-1Captulo dosDescripcin de datos: distribuciones de frecuencia y presentacin grfica OBJETIVOSCuando haya terminado este captulo deber ser capaz de:UNO Elaborar un diagrama de tallo y hojas. DOS Organizar datos en una distribucin de frecuencia.TRES Presentar una distribucin de frecuencia en forma grfica, ya sea en un histograma, un polgono de frecuencia, una ojiva o un grfico circular.

Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial

Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Recordando..Estadstica descriptiva: organizacin, resumen y presentacin de los datos de manera informativa2-8


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial* Nos disponemos a ver algunas tcnicas de organizacin de datos, tales como el diagrama de tallo y hojas y la tabla de distribucin de frecuencia y otras tcnicas de presentacin grfica de datos, como son: el Histograma, el Polgono de frecuencias, la Ojiva y el Grfico Circular 2-8


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Diagrama de tallo y hojasDiagrama de tallo y hojas: tcnica estadstica que permite analizar un conjunto de datos y en la cual cada valor numrico se divide en dos partes: los dgitos principales (decenas) constituyen el tallo y los dgitos secundarios (unidades) forman las hojas.2-8


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*EJEMPLO El estudiante Colin obtuvo en doce exmenes de este semestre las siguientes calificaciones: 86, 79, 92, 84, 69, 88, 91, 83, 96, 78, 82, 85. Construya un diagrama de tallo y hojas para los datos anteriores. 2-9


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*EJEMPLO (solucin) El estudiante Colin obtuvo en doce exmenes de este semestre las siguientes calificaciones: 86, 79, 92, 84, 69, 88, 91, 83, 96, 78, 82, 85. El tallo estara constitudo por las decenas, es decir desde 6 hasta 92-9Tallo hojas 6 7 8 9


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*El estudiante Colin obtuvo en doce exmenes de este semestre las siguientes calificaciones: 86, 79, 92, 84, 69, 88, 91, 83, 96, 78, 82, 85. 2-9Tallo hojas 6 7 8 6 9y las hojas porEJEMPLO (solucin)


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*El estudiante Colin obtuvo en doce exmenes de este semestre las siguientes calificaciones: 86, 79, 92, 84, 69, 88, 91, 83, 96, 78, 82, 85. 2-9Tallo hojas 6 7 9 8 6 9EJEMPLO (solucin)


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*El estudiante Colin obtuvo en doce exmenes de este semestre las siguientes calificaciones: 86, 79, 92, 84, 69, 88, 91, 83, 96, 78, 82, 85. 2-9Tallo hojas 6 7 9 8 6 9 2EJEMPLO (solucin)


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*El estudiante Colin obtuvo en doce exmenes de este semestre las siguientes calificaciones: 86, 79, 92, 84, 69, 88, 91, 83, 96, 78, 82, 85. 2-9Tallo hojas 6 7 9 8 4 6 9 2EJEMPLO (solucin)


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*El estudiante Colin obtuvo en doce exmenes de este semestre las siguientes calificaciones: 86, 79, 92, 84, 69, 88, 91, 83, 96, 78, 82, 85. 2-9Tallo hojas 6 9 7 9 8 4 6 9 2EJEMPLO (solucin)


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*El estudiante Colin obtuvo en doce exmenes de este semestre las siguientes calificaciones: 86, 79, 92, 84, 69, 88, 91, 83, 96, 78, 82, 85. 2-9Tallo hojas 6 9 7 9 8 4 6 8 9 2EJEMPLO (solucin)


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*El estudiante Colin obtuvo en doce exmenes de este semestre las siguientes calificaciones: 86, 79, 92, 84, 69, 88, 91, 83, 96, 78, 82, 85. 2-9Tallo hojas 6 9 7 9 8 4 6 8 9 1 2EJEMPLO (solucin)


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*El estudiante Colin obtuvo en doce exmenes de este semestre las siguientes calificaciones: 86, 79, 92, 84, 69, 88, 91, 83, 96, 78, 82, 85. 2-9Tallo hojas 6 9 7 9 8 3 4 6 8 9 1 2EJEMPLO (solucin)


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*El estudiante Colin obtuvo en doce exmenes de este semestre las siguientes calificaciones: 86, 79, 92, 84, 69, 88, 91, 83, 96, 78, 82, 85. 2-9Tallo hojas 6 9 7 9 8 3 4 6 8 9 1 2 6EJEMPLO (solucin)


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*El estudiante Colin obtuvo en doce exmenes de este semestre las siguientes calificaciones: 86, 79, 92, 84, 69, 88, 91, 83, 96, 78, 82, 85. 2-9Tallo hojas 6 9 7 8 9 8 3 4 6 8 9 1 2 6EJEMPLO (solucin)


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*El estudiante Colin obtuvo en doce exmenes de este semestre las siguientes calificaciones: 86, 79, 92, 84, 69, 88, 91, 83, 96, 78, 82, 85. 2-9Tallo hojas 6 9 7 8 9 8 2 3 4 6 8 9 1 2 6EJEMPLO (solucin)


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*El estudiante Colin obtuvo en doce exmenes de este semestre las siguientes calificaciones: 86, 79, 92, 84, 69, 88, 91, 83, 96, 78, 82, 85. 2-9Tallo hojas 6 9 7 8 9 8 2 3 4 5 6 8 9 1 2 6EJEMPLO (solucin)


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*El estudiante Colin obtuvo en doce exmenes de este semestre las siguientes calificaciones: 86, 79, 92, 84, 69, 88, 91, 83, 96, 78, 82, 85. Quedando el diagrama as:2-9Tallo hojas 6 9 7 8 9 8 2 3 4 5 6 8 9 1 2 6EJEMPLO (solucin)


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*El estudiante Colin obtuvo en doce exmenes de este semestre las siguientes calificaciones: 86, 79, 92, 84, 69, 88, 91, 83, 96, 78, 82, 85. 2-9Tallo hojas 6 9 7 8 9 8 2 3 4 5 6 8 9 1 2 6Nota.- Las hojas deben estar ordenadas de menor a mayorEJEMPLO (solucin)


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Ejercicio 2.1 En los siguientes 15 minutos elabora un diagrama de tallo y hojas con los datos que se muestran a continuacin: Los datos representan el nmero de preguntas contestadas correctamente en un prueba de aptitud en 50 aplicaciones2-9

112726997107739276867312612811812712482104132134839210896100921157691102819514181801068411911398756898115106951008594106119


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Ejercicio 2.1(solucin)El primer intento (sin ordenar) quedara as:

6987236365862311045972262158854107480266061128593591268741324141


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*y ordenando las hojas, quedara as:Ejercicio 2.1(respuesta)

6897233566801123456912224556788100024666781123558991246781324141


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Distribucin de frecuenciaDistribucin de frecuencia: es una tabla que indica el nmero de ocurrencias (frecuencia) de cada uno de los valores existentes o el nmero de datos (frecuencia) que hay en cada grupo de valores o clase.2-2


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Distribucin de frecuenciaSi la tabla indica el nmero de ocurrencias (frecuencia) de cada uno de los valores existentes se le llama distribucin de frecuencia NO AGRUPADA.Si los datos estn repartidos en grupos, clases o intervalos, la distribucin de frecuencia se llama AGRUPADA.2-2


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Distribucin de frecuenciaLas distribuciones de frecuencia NO AGRUPADA se usan principalmente para datos (o variables) cualitativos. Tambin se pueden usar para datos cuantitativos discretos, cuando existe un nmero de valores relativamente pequeo. Por ejemplo: si vamos a hacer una distribucin de frecuencias de los resultados de una encuesta aplicada a 55 personas, en la cual se pregunta por la religin profesada y tambin por el nmero de matrimonios realizados por esa persona, sus resultados se podran ordenar con una distribucin de frecuencia NO AGRUPADA.2-2


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Distribucin de frecuencia2-2

Religin ProfesadaFrecuenciaCristianismo35Budismo12Judasmo4Otra4total55

Nmero de MatrimoniosFrecuencia05128216344 o ms2total55


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Distribucin de frecuencia agrupadaCuando los datos son cuantitativos (continuos o discretos) es la distribucin de frecuencia agrupada la que se utiliza para ordenarlos.


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Caractersticas de una distribucin de frecuencia agrupada2-3UniformidadUnicidadCompletez


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Caractersticas de una distribucin de frecuencia agrupada2-3UniformidadTodos los grupos o clases deben ser del mismo tamao


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Caractersticas de una distribucin de frecuencia agrupada2-3UnicidadCualquiera de los datos debe pertenecer SOLO A UN grupo o clase. No debe haber ambigedad en la ubicacin de los datos


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Caractersticas de una distribucin de frecuencia agrupada2-3CompletezEl intervalo cubierto por todas las clases o grupos, debe ser suficiente para que se puedan ubicar TODOS los datos y que ninguno quede fuera de dicho intervalo


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Procedimiento para la construccin de una distribucin de frecuencia agrupada1.- Determinar el nmero de clases de la distribucin.2.- Calcular el tamao o intervalo de cada clase.3.- Definir los lmites (inferior y superior) de cada una de las clases.4.- Hacer un conteo de los datos que pertenecen a cada clase.5.- Presentar los resultados en una tabla.2-3


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Determinacin del nmero de clasesLa mayora de los autores recomienda que el nmero de clases sea entre 5 y 15 clases, inclusive; aunque algunos dicen que debe estar entre 5 y 20.Tambin existen varios procedimientos para determinar el nmero de clases aunque todos ellos se basan en el nmero total de datos.


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Determinacin del nmero de clasesEl ms sencillo de esos procedimientos es el de tomar un nmero de clases igual al entero ms cercano a la raz cuadrada del nmero de datos, es decir, si n es el nmero de datos y k el nmero de clases entonces tenemos que:Nota.- k siempre debe ser el entero ms cercano al resultado de la raz cuadrada de n. Si este valor resulta menor que 5, se deber hacer igual a 5. Anlogamente, si es mayor que 15, se har igual a 15.Ejemplo.- Si tenemos 40 datos, el nmero de clases sera de 6, ya que la raz cuadrada de 40 es 6.32Ejemplo.- Si tenemos 50 datos, el nmero de clases sera de 7, ya que la raz cuadrada de 50 es 7.07


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Determinacin del nmero de clasesOtro procedimiento es el de elegir el nmero ms bajo (k) para el nmero de clases de modo que 2k sea mayor que el nmero de datos, es decir, si n es el nmero de datos y k el nmero de clases entonces tenemos que:Ejemplo.- Si se tienen 50 datos, el valor de k para este caso sera de 6 pues 26 = 64 y 64 es mayor que 50. Si dijramos que fuera igual a 5 el resultado sera menor que n, es decir 25 = 32 y no cumplira con la regla.

Ejemplo.- Si se tienen 80 datos, el valor de k para este caso sera de 7 pues 27 = 128 y ste es mayor que 80. Si dijramos que fuera igual a 6 el resultado sera menor que n, es decir 26 = 64 y no cumplira con la regla.

2k > n


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Determinacin del nmero de clasesUn tercer procedimiento es la regla de Sturges la cual dice que el nmero de clases se calcula as:Ejemplo.- Si se tienen 50 datos, el valor de k para este caso sera de 7 pues 3.3(log 50) es igual a 5.6 mas 1 dara 6.6, lo cual se redondea a 7.

Ejemplo.- Si se tienen 40 datos, el valor de k para este caso sera de 6 pues 3.3(log 40) es igual a 5.28 mas 1 tenemos 6.28 que se redondea a 6.k = 3.3(log n) + 1


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Determinacin del nmero de clasesSin embargo, optaremos por utilizar el ms sencillo de los procedimientos, o sea, el de tomar un nmero de clases igual al entero ms cercano a la raz cuadrada del nmero de datosYa que prcticamente no ocupamos la calculadora, pues una raz cuadrada es relativamente fcil de calcular.


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Ejemplo Si utilizamos los datos del ejemplo anterior para elaborar una distribucin de frecuencias agrupada y aplicamos la regla de la raz cuadrada, el nmero de clases para dicha distribucin ser de 7.2-9

112726997107739276867312612811812712482104132134839210896100921157691102819514181801068411911398756898115106951008594106119


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Procedimiento para la construccin de una distribucin de frecuencia agrupada1.- Determinar el nmero de clases de la distribucin.2.- Calcular el tamao o intervalo de cada clase.3.- Definir los lmites (inferior y superior) de cada una de las clases.4.- Hacer un conteo de los datos que pertenecen a cada clase.5.- Presentar los resultados en una tabla.2-3


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Clculo del tamao de claseYa que una distribucin de frecuencia debe ser uniforme, dividimos el intervalo total de los datos entre el nmero de clases obtenido en el paso anterior. Siguiendo con el mismo ejemplo, determinemos el intervalo de los datos encontrando el dato mayor y el dato menor.


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial* El dato mayor es 141 y el menor es 68, por lo tanto, el intervalo total de los datos (o rango) es 141-68 = 73. Haciendo la divisin 73/7 obtenemos 10.42857. lo cual no resulta prctico, pues este valor tiene muchos decimales y as no lo podemos utilizar.Clculo del tamao de clase

112726997107739276867312612811812712482104132134839210896100921157691102819514181801068411911398756898115106951008594106119


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial* 73/7 = 10.42857Analizando sto podramos decidir tomar un intervalo de clase de 10, pero si lo hacemos, nuestra distribucin no tendra COMPLETEZ, ya que si tenemos 7 clases con un intervalo de 10 cada una, estaremos cubriendo un intervalo total de 7x10 = 70, mientras que el intervalo total de los datos es de 73. Es decir, si slo cubrimos un intervalo de 70 con las 7 clases, habr algunos datos que quedarn fuera de dicho intervalo y no tendra COMPLETEZ.Clculo del tamao de clase


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial* Por otro lado, si decidimos hacer el intervalo de 11, cubriramos un intervalo total de 7x11 = 77, en el cual cabran todos los datos, sin embargo, la ltima clase quedara un poco vaca.Vemoslo grficamente:Clculo del tamao de claseIntervalo total de los datos igual a 73 68141Intervalo cubierto por 7 clases de 10 c/u 68138Intervalo cubierto por clases de 11 c/u 68145


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial* Lo que vamos a hacer es redondear el resultado obtenido (10.42857) a un NMERO INMEDIATO SUPERIOR pero que tenga, a lo ms, un decimal ms de los que tienen los datos; es decir, si nuestros datos no tienen decimales, entonces el tamao de clase deber ser 10.5 ya que ste es un nmero inmediato superior a 10.42857 con un slo decimal. As, de este modo, el intervalo cubierto por las clases es lo ms cercano al intervalo de los datos:Clculo del tamao de claseIntervalo total de los datos igual a 73 68141Intervalo cubierto por 7 clases de 10.5 c/u 68141.568 + 7x10.5 = 141.5


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Procedimiento para la construccin de una distribucin de frecuencia agrupada1.- Determinar el nmero de clases de la distribucin = 7.2.- Calcular el tamao o intervalo de cada clase = 10.5.3.- Definir los lmites (inferior y superior) de cada una de las clases.4.- Hacer un conteo de los datos que pertenecen a cada clase.5.- Presentar los resultados en una tabla.2-3


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Definicin de los lmites de claseYa decidimos que nuestra distribucin sea de 7 clases de 10.5 unidades de tamao cada una. Ahora vamos a definir los lmites de cada una de ellas. El lmite inferior de la primera clase lo haremos igual al dato menor (68) y el superior ser entonces igual a 68 + 10.5, es decir, 78.5. A su vez, ste ltimo es el lmite inferior de la segunda clase y el superior de la misma ser: 78.5 + 10.5 = 89, y as sucesivamente. En resumen, tenemos:

ClaseLmite inferiorLmite superiorI6878.5II78.589III8999.5IV99.5110V110120.5VI120.5131.VII131141.5


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Definicin de los lmites de claseAparentemente estamos listos para el siguiente paso que es el CONTEO, pero nuestra tabla, as como est ahora, no tiene la caracterstica de UNICIDAD. Supongamos que tenemos un dato igual a 110, as como est planteada nuestra tabla, ese dato quedara ubicado en la clase IV y a la vez en la V



Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Definicin de los lmites de clasePara evitar la ambigedad, le vamos a agregar unos smbolos de desigualdad a los lmites de clase, de tal manera que se especifique perfectamente la ubicacin de cada dato.



Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Definicin de los lmites de claseAs, la tabla de distribucin estar como se muestra ahora. En la primera clase entran todos los datos (X) que sean mayores o iguales que 68 (68X ), pero que sean menores que 78.5 ( X< 78.5). Si queremos ubicar ahora al supuesto dato de 110, notaremos que SLO cabe en la clase V, ya que en sta, estarn los datos mayores o iguales que 110 y menores que 120.5.

ClaseLmitesI68 X< 78.5II78.5 X< 89III89 X< 99.5IV99.5 X< 110V110 X< 120.5VI120.5 X< 131VII131 X< 141.5


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Conteo por marcasAhora ya se puede hacer el conteo por marcas, analizando en cual clase queda ubicado cada uno de los datos


112726997107739276867312612811812712482104132134839210896100921157691102819514181801068411911398756898115106951008594106119

Frecuencia


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Conteo por marcasSe debe escribir una marca l en la clase a la cual pertenece cada uno de los datos.Empezando por los datos de la primera fila, las marcas correspondientes seran las que se muestran:


112726997107739276867312612811812712482104132134839210896100921157691102819514181801068411911398756898115106951008594106119

Frecuenciall

lll


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Conteo por marcasContinuando con la segunda fila de datos.


112726997107739276867312612811812712482104132134839210896100921157691102819514181801068411911398756898115106951008594106119

Frecuencialllllllll


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Conteo por marcasUna vez que terminamos de hacer el conteo, anotamos los totales de cada clase. Note que la suma de las frecuencias debe ser igual al total de datos (50), de otra manera es seguro que hay error. total 50


112726997107739276867312612811812712482104132134839210896100921157691102819514181801068411911398756898115106951008594106119

Frecuenciallll lll 8llll lll 8llll llll l 11llll llll 9llll ll 7llll 4lll 3


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Conteo de datosOtra opcin ms sencilla es usar el diagrama de tallo y hojas elaborado anteriormente y hacer el conteo con l, marcando los lmites de clase sobre el diagrama y contando directamente el nmero de datos dentro de los lmites.I68I-II78.5II-III89III-IV99.5V-VI121.5IV-V110VI-VII131VII141.5


Frecuencia88119743

6897233566801123456912224556788100024666781123558991246781324141


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Presentacin de los resultadosLo nico que resta, es presentar la tabla obtenida, y de este modo, hemos terminado de elaborar una distribucin de frecuencia agrupada para los datos que se tenan.


Frecuencia88119743

112726997107739276867312612811812712482104132134839210896100921157691102819514181801068411911398756898115106951008594106119


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Ejercicio 2.2En un tiempo de 15 minutos mximo, elabore una tabla de distribucin de frecuencia agrupada, para los datos que se muestran a continuacin.

1714168311614917112524281048241213432432373342113416412115


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Ejercicio 2.2 (solucin)De acuerdo al procedimiento, lo primero es determinar el nmero de clases: como son 30 datos, k = 30, que da como resultado 5.47 y se redondea a 5.En seguida, calculamos el tamao del intervalo. Dato mayor 48 y dato menor 8. Intervalo total 48-8 = 40. Tamao de clase, 40/5 = 8. Como el resultado es entero, se toma tal cual. Intervalo de clase = 8


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Ejercicio 2.2 (solucin)Los lmites sern entonces:

ClaseLmite inf.Lmite sup.I8+816II16+824III24+832IV32+840V40+848


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Ejercicio 2.2 (respuesta)Agregando los smbolos de desigualdad y haciendo el conteo, tenemos:Nota.- Advierta que la ltima clase tiene el signo de igualdad tambin en el lado derecho, ya que si no se hiciera sto, el dato mayor quedara fuera de la ltima clase. sto sucede siempre que el tamao de la clase es el resultado directo de la operacin para obtenerlo, sin hacer redondeo.

ClaseLmites.FrecuenciaI8X

Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Maneras de presentar la frecuenciaExisten diferentes formas de representar la frecuencia y se dan a continuacin:Frecuencia real o absolutaFrecuencia relativaFrecuencia acumuladaFrecuencia relativa acumuladaPorcentajePorcentaje acumuladoDatos mayores o iguales que:Datos menores que:


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Definiciones Frecuencia real o absoluta ( f ): es el valor obtenido en el conteo.Frecuencia relativa (frel): es la frecuencia real de la clase i dividida entre el total de datos. frel = fi /nFrecuencia acumulada (facum): es la suma de la frecuencia de la clase i con la frecuencia de las clases anteriores. facum i=

Frecuencia relativa acumulada(frel acum): es la suma de la frecuencia relativa de la clase i con las frecuencias relativas de las clases anteriores o la frecuencia acumulada de la clase i dividida por el total de datos. f rel acum i = = facum i / n


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Definiciones Porcentaje (%): es el porcentaje que representa la frecuencia de la clase i con respecto al total de datos, se puede calcular fcilmente multiplicando la frecuencia relativa por 100. % i = frel i x 100Porcentaje acumulado(%acum): es el porcentaje de la clase sumado a los porcentajes de las clases anteriores. %acum i =

Datos mayores o iguales que: es el nmero de datos que estn en o por encima de cierto valor o lmite.Datos menores que: es el nmero de datos que estn por debajo de un valor o lmite.


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Aplicacin de las definicionessta es la tabla que habamos obtenido.

ClaseLmites LI X< LSFrecuencia realFrecuencia relativaFrecuencia acumuladaFrecuencia rel. acumulada%% acumuladoI68 -78.58II78.5 -898III89 -99.511IV99.5-1109V110 -120.57VI120.5 - 1314VII131 -141.53


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial* total 50 La frecuencia relativa la calculamos a partir de la frecuencia real o absoluta y el total de datos (50)

ClaseLmites LI X< LSFrecuencia realFrecuencia relativaFrecuencia acumuladaFrecuencia rel. acumulada%% acumuladoI68 -78.588/50II78.5 -8988/50III89 -99.51111/50IV99.5-11099/50V110 -120.577/50VI120.5 - 13144/50VII131 -141.533/50


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial* total 50 1,00 La frecuencia relativa la calculamos a partir de la frecuencia real o absoluta y el total de datos (50)La suma de todas las frecuencias relativas debe dar igual a uno.

ClaseLmites LI X< LSFrecuencia realFrecuencia relativaFrecuencia acumuladaFrecuencia rel. acumulada%% acumuladoI68 -78.580,16II78.5 -8980,16III89 -99.5110,22IV99.5-11090,18V110 -120.570,14VI120.5 - 13140,08VII131 -141.530,06


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial* total 50 1,00 La frecuencia acumulada, como su nombre lo indica, se va acumulando desde la primera clase hasta la ltima:

ClaseLmites LI X< LSFrecuencia realFrecuencia relativaFrecuencia acumuladaFrecuencia rel. acumulada%% acumuladoI68 -78.580,160+8=8II78.5 -8980,168+8=16III89 -99.5110,2216+11=27IV99.5-11090,1827+9=36V110 -120.570,1436+7=43VI120.5 - 13140,0843+4=47VII131 -141.530,0647+3=50


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial* total 50 1,00 La frecuencia acumulada, como su nombre lo indica, se va acumulando desde la primera clase hasta la ltima.Quedando de esta manera. Note que el valor de la ltima clase debe ser siempre igual a n

ClaseLmites LI X< LSFrecuencia realFrecuencia relativaFrecuencia acumuladaFrecuencia rel. acumulada%% acumuladoI68 -78.580,168II78.5 -8980,1616III89 -99.5110,2227IV99.5-11090,1836V110 -120.570,1443VI120.5 - 13140,0847VII131 -141.530,0650


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial* total 50 1,00 La frecuencia relativa acumulada, la podemos calcular sumando las frecuencias relativas hasta la clase deseada o dividiendo la frecuencia acumulada entre el total de datos (50)

ClaseLmites LI X< LSFrecuencia realFrecuencia relativaFrecuencia acumuladaFrecuencia rel. acumulada%% acumuladoI68 -78.580,1680+0,16 =0,16II78.5 -8980,16160,16+0,16 =0,32III89 -99.5110,22270,32+0,22 =0,54IV99.5-11090,183636/50V110 -120.570,144343/50VI120.5 - 13140,084747/50VII131 -141.530,065050/50


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial* total 50 1,00 La frecuencia relativa acumulada, la podemos calcular sumando las frecuencias relativas hasta la clase deseada o dividiendo la frecuencia acumulada entre el total de datos (50)Haciendo los clculos, la tabla queda as:

ClaseLmites LI X< LSFrecuencia realFrecuencia relativaFrecuencia acumuladaFrecuencia rel. acumulada%% acumuladoI68 -78.580,1680,16II78.5 -8980,16160,32III89 -99.5110,22270,54IV99.5-11090,18360,72V110 -120.570,14430,86VI120.5 - 13140,08470,94VII131 -141.530,06501,00


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial* total 50 1,00 Finalmente, obtenemos los valores del porcentaje y porcentaje acumulados, multiplicando la frecuencia relativa por cien y la frecuencia relativa acumulada por cien, respectivamente.



Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial* total 50 1,00 100Finalmente, obtenemos los valores del porcentaje y porcentaje acumulados, multiplicando la frecuencia relativa por cien y la frecuencia relativa acumulada por cien, respectivamente.



Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial* total 50 1,00 100Ahora tenemos la tabla de distribucin de frecuencias completa. En ella podemos ver la misma informacin expresada de diferente manera para darle diferentes enfoques a la misma.



Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial* total 50 1,00 100Por ejemplo: Podemos observar que la clase IV tiene una frecuencia absoluta de 9, lo cual representa el 18% del total de datos y que esta clase, junto con las anteriores, contienen el 72 % de los datos o 0,72 de uno. Inclusive, podemos observar que tiene 9 de los 36 datos contenidos en las cuatro primeras clases, etc



Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Otras dos maneras de presentar la misma informacin, son las tablas de datos mayores o iguales que: y datos menores que

Datos mayores o iguales que:Nmero de datos685078,542893499,52311014120,571313141,50


Frecuencia88119743


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Otras dos maneras de presentar la misma informacin, son las tablas de datos mayores o iguales que: y datos menores que

Datos menores que:Nmero de datos141,55013147120,5431103699,527891678,58680


Frecuencia88119743


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Note que estas dos tablas son complementarias. Las sumas de los pares de datos indicados, siempre debe dar el total de datos:

Datos menores que:Nmero de datos141,55013147120,5431103699,527891678,58680

Datos mayores o iguales que:Nmero de datos685078,542893499,52311014120,571313141,50


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Ejercicio 2.3Completa la tabla siguiente calculando los valores que se indican:


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Ejercicio 2.3 (solucin)Lo primero es calcular el nmero de datos = 30 y luego dividir todas las frecuencias entre ese nmero para obtener las frecuencias relativas:


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Ejercicio 2.3 (solucin)La frecuencia acumulada la obtenemos solo sumando la columna de frecuencia:


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Ejercicio 2.3 (solucin)La frecuencia relativa acumulada la obtenemos dividiendo entre 30 la columna de frecuencia acumulada:


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Ejercicio 2.3 (solucin)Y los porcentajes, multiplicando por cien las dos columnas de frecuencia relativa, quedando completa la tabla.


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*ResumenLos datos obtenidos en un estudio estadstico se pueden ordenar elaborando un diagrama de tallo y hojas o una distribucin de frecuencia agrupada o no agrupada, segn sea el tipo de los datos.El diagrama de tallo y hojas y las distribuciones de frecuencia agrupada se utilizan para datos cuantitativos, mientras que las distribuciones de frecuencia no agrupadas se usan principalmente para datos cualitativos


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*ResumenLas distribuciones de frecuencia agrupadas, deben tener las tres caractersticas siguientes: Uniformidad, Unicidad y Completez. La uniformidad se obtiene dividiendo el rango de los datos entre el nmero de clases escogido. La unicidad se obtiene utilizando smbolos de desigualdad en los lmites de clase y la completez escogiendo un intervalo de clase apropiado que garantice que se cubra el rango total de datos con las clases obtenidas.


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*ResumenLas distribuciones de frecuencia agrupadas, se elaboran siguiendo los pasos que se indican:Seleccin del nmero de clasesDeterminacin del tamao de claseIdentificacin de los lmites de claseConteo de los datos por marcasPresentacin de la tabla de frecuencias.


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*ResumenLa frecuencia se puede presentar de diferentes maneras, a saber:Frecuencia real o absoluta y acumuladaFrecuencia relativa y relativa acumuladaPorcentaje individual y acumuladoDatos mayores o iguales que y menores que.


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Presentaciones grficasHistogramaGrfico de barras con eje horizontal indicando los lmites de clase ( o valores cualitativos) y el eje vertical indicando la frecuencia real, la relativa o el porcentajePolgonoGrfico de lneas cuyo eje horizontal indica los puntos medios de cada clase (marca de clase) y el vertical la frecuencia real, la relativa o el porcentajeOjivaGrfico de lneas con los lmites de clase en el eje horizontal y la frecuencia acumulada, la relativa acumulada o el porcentaje acumulado en el eje vertical.Circular (de pastel)Un crculo se divide de forma proporcional a la frecuencia real, la relativa o el porcentaje y las reas del crculo se asignan a los diferentes clases o a diferentes valores.


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*EJEMPLO 2-6La tabla de frecuencias siguiente se obtuvo de una encuesta entre estudiantes respecto al tiempo dedicado al estudio por semana.


Horas de estudio

Frecuencia, f

7.5 hasta 12.5

1

12.5 hasta 17.5

12

17.5 hasta 22.5

10

22.5 hasta 27.5

5

27.5 hasta 32.5

1

32.5 hasta 37.5

1

Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Histograma (de frecuencia real) 2-6Graficando los lmites de clase como base de cada barra y la frecuencia como altura, obtenemos el histograma.1211109876543210FRECUENCIA

7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*2-13


Grfico1

0

1

12

10

5

1

1

0

Marcas de clase

Frecuencia

Polgono de frecuencias

Hoja1

12-

10-

8-

6-

4-

2-

0-

7.512.517.522.527.532.533.5

101520253035

Marcas de clase

0

7.5101

1011512

12.52010

1512255

17.5301

2010351

22.50

255

27.5

301

32.5

351

37.5

Hoja1

0

0

0

0

0

0

0

0

Marcas de clase

Frecuencia


Hoja2

Hoja3

Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*


Grfico2

0

1

13

23

28

29

30

lmites de clase

frec.acumulada

Ojiva

Hoja1

12-

10-

8-

6-

4-

2-

0-

7.512.517.522.527.532.533.5

101520253035

Marcas de clase

07.50

7.510112.51

101151217.513

12.5201022.523

151225527.528

17.530132.529

201035137.530

22.50

255

27.5

301

32.5

351

37.5

Hoja1

0

0

0

0

0

0

0

0

Marcas de clase

Frecuencia


Hoja2

0

0

0

0

0

0

0

lmites de clase

frec.acumulada

Ojiva

Hoja3

Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*El histograma para datos cualitativos se le conoce simplemente como diagrama de barras y los datos que se muestran en la tabla siguiente se grafican as2-16


Ciudad

Nmero de desempleados por cada 100,000 habitantes

Atlanta, GA

7300

Boston, MA

5400

Chicago, IL

6700

Los ngeles, CA

8900

Nueva York, NY

8200

Washington, D.C.

8900

Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial* Diagrama de barras para los datosde desempleados2-17


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Grfico circular o diagrama de pastelUna manera fcil de elaborar este grfico, es tomar los datos de frecuencia relativa acumulada y multiplicarlos por 360 que tiene el crculo en total y el valor obtenido es el ngulo que debe tener la lnea radial con respecto al radio vertical superior, con el sentido de las manecillas del reloj.2-18


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Grfico circular o diagrama de pastelEJEMPLO: se tom una muestra aleatoria de 200 corredores para que indicaran su marca de zapato deportivo favorito.2-18


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Construccin del grficoTomando los datos de frecuencia del ejemplo, calculamos la frecuencia acumulada, la convertimos sta a relativa y la multiplicamos por 360 para encontrar el ngulo al que debemos trazar las lneas.2-18

Marcaff acumf rel. acumngulo de la lneaNike92920,46166Adidas491410,71254Reebok371780,89320Asics131910,96344Otras92001360


Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Construccin del grficoEl primer valor a graficar es el de 1662-18

Marcangulo de la lneaNike166Adidas254Reebok320Asics344Otras360


Grfico1

166

194

Hoja1

12-

10-

8-

6-

4-

2-

0-

7.512.517.522.527.532.533.5

101520253035

Marcas de clase

07.50

7.510112.51

101151217.513

12.5201022.523

151225527.528

17.530132.529

201035137.530

22.50

255

27.5

301

32.5

351

37.5

Hoja1

0

0

0

0

0

0

0

0

Marcas de clase

Frecuencia


Hoja2

0

0

0

0

0

0

0

lmites de clase

frec.acumulada

Ojiva

Hoja3

Nike92920.46165.6

Adidas491410.705253.8

Reebok371780.89320.4

Asics131910.955343.8

Otras92001360

166166

194

Hoja3

0

0

Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Construccin del grficoEl primer valor a graficar es el de 166Luego el de 2542-18



Grfico4

166

88.2

106.2

Hoja1

12-

10-

8-

6-

4-

2-

0-

7.512.517.522.527.532.533.5

101520253035

Marcas de clase

07.50

7.510112.51

101151217.513

12.5201022.523

151225527.528

17.530132.529

201035137.530

22.50

255

27.5

301

32.5

351

37.5

Hoja1

0

0

0

0

0

0

0

0

Marcas de clase

Frecuencia


Hoja2

0

0

0

0

0

0

0

lmites de clase

frec.acumulada

Ojiva

Hoja3

Nike92920.46165.6165.6

Adidas491410.705253.888.2

Reebok371780.89320.466.6

Asics131910.955343.823.4

Otras9200136016.2

166166

194

166

25488.2

106.2

Hoja3

0

0

0

0

0

Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Construccin del grficoY as sucesivamente hasta terminar.2-18



Grfico5

165.6

88.2

66.6

23.4

16.2

Hoja1

12-

10-

8-

6-

4-

2-

0-

7.512.517.522.527.532.533.5

101520253035

Marcas de clase

07.50

7.510112.51

101151217.513

12.5201022.523

151225527.528

17.530132.529

201035137.530

22.50

255

27.5

301

32.5

351

37.5

Hoja1

Marcas de clase

Frecuencia


Hoja2

lmites de clase

frec.acumulada

Ojiva

Hoja3

Nike92920.46165.6165.6

Adidas491410.705253.888.2

Reebok371780.89320.466.6

Asics131910.955343.823.4

Otras9200136016.2

166166

194

166

25488.2

106.2

Hoja3

Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Construccin del grficoQuedando finalmente as:Nota.- Se puede rotular con la frecuencia y/o el porcentaje2-18


Grfico7

92

49

37

13

9

Hoja1

12-

10-

8-

6-

4-

2-

0-

7.512.517.522.527.532.533.5

101520253035

Marcas de clase

07.50

7.510112.51

101151217.513

12.5201022.523

151225527.528

17.530132.529

201035137.530

22.50

255

27.5

301

32.5

351

37.5

Hoja1

0

0

0

0

0

0

0

0

Marcas de clase

Frecuencia


Hoja2

0

0

0

0

0

0

0

lmites de clase

frec.acumulada

Ojiva

Hoja3

Nike92920.46165.6165.6

Adidas491410.705253.888.2

Reebok371780.89320.466.6

Asics131910.955343.823.4

Otras9200136016.2

166166

194

166

25488.2

106.2

Hoja3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Por: Jos Antonio Torres T. Departamento de Ingeniera Industrial*Grfico circular o de pastelPara el ejemplo del nmero de respuestas contestadas correctamente en una prueba de aptitud que trabajamos anteriormente, el grfico circular sera as:2-18


Grfico9

8

8

11

9

7

4

3

% de pruebas por clase

Hoja1

12-

10-

8-

6-

4-

2-

0-

7.512.517.522.527.532.533.5

101520253035

Marcas de clase

07.50

7.510112.51

101151217.513

12.5201022.523

151225527.528

17.530132.529

201035137.530

22.50

255

27.5

301

32.5

351

37.5

Hoja1

Marcas de clase

Frecuencia


Hoja2

lmites de clase

frec.acumulada

Ojiva

Hoja3

Nike92920.46165.6165.6

Adidas491410.705253.888.2

Reebok371780.89320.466.6

Asics131910.955343.823.4

Otras9200136016.2

166166

194

166

25488.2

106.2

Hoja3

ClaseFrecuencia real

I-68,5 X

Documents

Material de Academia Estadistica Descriptiva