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Financeira
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MBA EM GESTO FINANCEIRA E CONTROLADORIA
DISCIPLINA MATEMTICA FINANCEIRA
PROF. Gustavo C. Cato
Maio/2015.
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Matemtica Financeira
PLANO DE ENSINO
Curso: MBA GESTO FINANCEIRA CONTROLADORIA E AUDITORIA
Disciplina : Matemtica Financeira
Carga Horria : 24h
Professor (a): Gustavo Campos Cato 1 Ementa Conceito de Juros. Custo/Ganho em operao financeira. Juros
Simples. Desconto Simples. Correao monetria. Taxa de desconto e Taxa de rentabilidade. Juros Compostos. Fator de Atualizao.Taxas de juros. Series Uniformes. Tipos de Series. Planos Equivalentes de Financiamento. Analise de um Fluxo de Caixa. Valor Presente Lquido (VPL) e Taxa Interna de Retorno (TIR)
2-Objetivo geral Apresentar ao aluno os conceitos de Matemtica Financeira a fim de compreender os mecanismos de Valor do Dinheiro no Tempo.
3-Objetivos especficos
Analisar diversos modelos de planos de financiamento; Entender os fluxos de caixa para otimizar os resutados
operacionais da empresa na escolha das alternativas. Solucionar problemas relativos a negociaes
calculando custos e ganhos reais; Conhecer programas de mquinas de calcular financeira
tipo HP-12c 4- Competncias e habilidades a serem desenvolvidas
Conhecer as tcnicas e ferramentas de matemtica financeira;
Compreender o conceito de valor do dinheiro no tempo. Conhecer o ferramental bsico sobre como utilizar uma
calculadora financeira tipo HP-12c. 5- Contedo Programtico
HP Primeiros passos Introduo ao uso de mquinas de calcular financeiras Fluxo de Caixa Representao Grfica
Interpretao das entradas e sadas de caixa. Conceito de Juros O valor do dinheiro no tempo; fator de correo
Custo/Ganho em operao financeira, juros, taxa unitria e taxa percentual.
Mark up e Margin Taxa de ganho sobre o custo
Taxa de ganho sobre a venda Correo monetria e correo cambial
Taxa aparente total; correo monetria e cambial.
Efeitos da perda cambial. Indexao e desindexao. Taxa de
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Matemtica Financeira
ganho real. Os juros simples
Crescimento Linear; progresso aritmtica Expresso Geral, fator de correo. Clculo do valor futuro, valor atual, taxa e
prazo. Os juros de mora
Operaes de desconto simples
Conceito de desconto. Taxa de desconto e custo efetivo. Desconto por fora e desconto por dentro Desconto comercial ou desconto
bancrio. Relaes entre tipos de taxa de juros
Taxa Efetiva x Taxa Nominal. Taxas Proporcionais e Taxas
Equivalentes. Os juros compostos
Crescimento exponencial; progresso geomtrica
Expresso Geral, fator de correo. Clculo do valor futuro, valor atual, taxa e
prazo. O efeito da capitalizao e da
descapitalizao. As sries uniformes ( o PMT)
Tipos de sries: postecipada e antecipada.
Formao de fundos para resgate futuro: aplicaes prefixadas programadas.
Financiamento em prestaes iguais. Planos com carncia. Planos com balo
A relao custo x benefcio
Valor presente lquido (VPL) de um fluxo e o seu significado.
Taxa interna de retorno.
6- Metodologia O contedo do curso ser apresentado atravs de aulas terico-prticas, intercaladas por exerccios para fixao dos principais conceitos, bem como estudos de caso para consolidao e integrao dos temas.
7- Avaliao Exerccios e Estudos de caso em sala 40% Prova final 60%
8- Bibliografia PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemtica Financeira:
objetiva e aplicada. Rio de Janeiro: LTC Livros Tcnicos e Cientficos S.A.
SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemtica Financeira: aplicaes Anlise de Investimentos. Prentice Hall. 3 ed. So Paulo, 2002.
O que uma HP-12C?
uma calculadora financeira que
utiliza a linguagem RPN, REVERSE
POLISH NOTATION.
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Matemtica Financeira
Outro tipo de linguagem a ALGBRICA. EXEMPLO: 4 + 9 = 13!
Voc aprendeu a ligar a sua HP-12c. Agora digite:
A HP-12c possui 4 memrias (PILHA OPERACIONAL); X, Y, Z e T:
OPERAO 13 ENTER +
T Z
Y 13 X 13 26
OUTROS DETALHES OPERACIONAIS:
A HP-12c tem 5 grupos de memrias:
Principais: x, y, z e t.
Secundrias: 20 (STO 0, STO 1, STO 2, ... )
PRESSIONE A TECLA ON
(A tecla ON liga e desliga a
calculadora
13 ENTER + 13 => 26
EXPLICA0
13 ENTER: voc arquivou o 13 nas memrias X e Y.
+: comando para executar o programa da ADIO.
A funo do ENTER exatamente essa: arquivar os
nmeros nas memrias X e Y.
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Matemtica Financeira
Financeiras: (n, i, PV, PMT, FV)
Estatisticas
De programao (99)
Observe que voc vai operar trs sistemas:
Branco: basta digitar a tecla.
Amarelo: digite antes a tecla amarela f.
Azul: digite antes a tecla azul g.
Nmero de casas decimais (mximo de 9):
Digite fe a seguir o nmero que deseja: f 3 ou f 5 ou f 2.
Funo da tecla: CHS CHANGE SIGN troca de sinal
Exemplo: 32 CHS => -32
Limpeza da memria x: CL x
Observao: o visor a leitura da memria X!
Limpeza de todos os registradores (no limpa programa): f CLx (REG)
COMO FUNCIONA A PILHA OPERACIONAL
ADIO 4 + 5
OPERAO 4 ENTER 5 +
T Z
Y 4 4 X 4 5 9
OUTRAS OPERAES SUBTRAO 13 - 5 => 13 ENTER 5 - => 8 MULTIPLICAO 8 x 7 => 8 ENTER 7 x => 56 DIVISO 51 3 => 51 ENTER 3 => 17
POTENCIAO: 35 3 ENTER 5 YX => 243 27 2 ENTER 7 YX => 128
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Matemtica Financeira
MAIS EXEMPLOS DA PILHA OPERACIONAL
Vejamos a expresso 37 4 x 5 na PILHA:
OP 37 ENTER 4 ENTER 5 X -
T Z 37 37
Y 37 4 4 37 X 37 4 5 20 17
E agora a expresso (125 8 x 5) (24 + 1) na PILHA
OP 125 8 5 x - 2 4 yx 1 +
T Z 125 125 85
Y 125 8 8 125 2 85 85
X 125 8 5 40 85 2 16 17 5
RADICIAO
625
=> 625 1/4 => 625 ENTER 4 1/x YX => 5
1331
=> 1331 1/3 => 1331 ENTER 3 1/x YX => 11
289
=> 289 1/2 => 289 ENTER 2 1/x YX => 17
A Radiciao a operao inversa da Potenciao
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Matemtica Financeira
Se a mquina no tem nenhum programa implantado, todas as 20 esto
disponveis.
As vezes, as mais altas .9, .8, etc, foram utilizadas pela programao e no
podero ser usadas.
De 0 a 7 esto sempre livres.
Para registrar, use a tecla STO, abreviao da palavra STORE (estocar, guardar).
Vamos guardar nmeros em algumas memrias:
21 STO 3 15 STO 1
Para recuperar, usa a tecla RCL (significa RECALL recuperar):
RCL 3 => 21 RCL 1 => 15
As MEMRIAS SECUNDRIAS
Alm das memrias principais (x, y, z e t), a
HP-12c possui 20 memrias secundrias:
0,1,2,3,4,5,6...
OPERANDO NAS MEMRIAS SECUNDRIAS
As memrias secundrias 0,1,2,3,4 so
operacionais, ou seja, podemos efetuar
clculos aritmticos:
Usando o exemplo anterior:
RCL 3 RCL 1 + => 36
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Matemtica Financeira
PERCENTAGEM DE UM VALOR: %
A Cia Tapero tomou um emprstimo de R$
20.000 que custou 6%, no perodo.
Quanto pagou de juros?
Qual o valor pago no vencimento?
Calculo do juros:
20000 ENTER 6 % => 1200
Calculo do valor a ser pago no vencimento:
+ 21.200,00
Sofia descontou um cheque de R$ 14.000 a
uma taxa de desconto de 5%, por um ms.
Qual o valor do desconto?
Qual o valor descontado lquido?
Calculo do desconto:
14000 ENTER 5 % => 700
Calculo do valor descontado:
- 13.300
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Matemtica Financeira
VARIAO PERCENTUAL: %
PERCENTUAL DO TOTAL: % T
As vendas da Cermica Carnauba em 2014 totalizaram R$ 120 milhes e em 2013, R$ 129 milhes. Qual o percentual de crescimento de vendas?
120 ENTER 129 % 7,5%
As vendas da Cia GRC em 2013 foram de R$ 84 milhes e em 2014, R$76,44 milhes. Qual o percentual de queda de vendas?
84 ENTER 76,44 % -9%
A MORANGO DO AMOR S.A em 2013, vendeu: R$ 350 milhes na Regio Sul;
R$ 220 Milhes na Regio Norte; R$ 180 Milhes na Regio Centro Oeste;
R$ 250 Milhes na Regio Sudeste; Qual o percentual por Regio?
Total: 350 ENTER 220 + 180 + 250 + 1.000
% do Sul: 350 %T 35%
% do Norte: CLx 220 %T 22%
% do Centro Oeste: CLx 180 %T 18%
% do Sudeste: CLx 250 %T 25%
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Matemtica Financeira
3. Unidade I
MATEMTICA FINANCEIRA APLICADA
Conceito de Fator
Conceito de Fluxo de Caixa
Correo Monetria
Juros Simples
Desconto Simples
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Matemtica Financeira
Conceito de Fator
Fluxo de caixa da operao
Calculando os juros: Utilizando o fator: Juros: Fator de correo: Resgate: Resgate:
CONCEITO FUNDAMENTAL DO VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
O VALOR FUTURO o produto do VALOR PRESENTE pelo FATOR DE CORREO
Apliquei R$ 4.000 no
Banco Meu S.A a uma
taxa lquida de 2,5%.
Quanto vou resgatar?
FV = PV x FATOR
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Matemtica Financeira
Conceito de Fator A Cia Industrial Charmosa tomou um emprstimo de capital de giro no Banco Coroa Grande S.A a uma taxa de 5,5%. No vencimento pagou R$ 44.310. Qual o valor do emprstimo?
FLUXO DE CAIXA DA CIA CHARMOSA
Utilizando o fator Fator de correo: EMPRSTIMO: CONSEQUNCIA DO CONCEITO FUNDAMENTAL DO
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
O VALOR PRESENTE igual ao VALOR FUTURO dividido pelo FATOR DE CORREO
PV = FV FATOR
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Matemtica Financeira
Conceito de Fator Com base no exemplo anterior, complete:
Se a taxa 4,5%, ento o FATOR
Se o FATOR 1,347, a taxa percentual
Se a taxa 0,75%, ento o FATOR
Se o FATOR 1,0351, a taxa unitria
Se a taxa 0,0256, ento o FATOR
Concluses:
Taxa percentual:
Taxa Unitria:
Fator de correo:
FV = PV x FATOR
o ganho ou custo para cada 100
o ganho ou custo para cada 1
VALOR FUTURO de 1
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Matemtica Financeira
Complete os exerccios abaixo 1. Tiago aplicou R$ 6.400,00 no FUNDO DE INVESTIMENTOS AZULO. A
remunerao, no perodo, foi de 3,5%. Fator de correo:
Valor de resgate: Juros:
2. A Cia Industrial Felizarda tomou um financiamento de capital de giro a
6,2%. Pagou juros de R$ 2.170. Valor do emprstimo (Valor Presente)
Fator de correo:
Valor a pagar no vencimento (Valor Futuro) 3. Alice aplicou no CDB no Banco Saquarema a uma taxa de 2,35% e resgatou
R$ 4.503,40.
Fator de correo: Valor presente:
Juros: 4. Luisa comprou dlares a R$ 1,725 e teve um ganho de 12% ao vende-los R$
11.592,00.
Valor da compra: Quantidade de dlares
5. Alberto opera na mesa do Banco Araruama. Aplicou nas Letras Fantsticas
de Camboinha obtendo PU de R$ 92,80. O valor nominal do papel era de R$ 100,00.
Fator de correo do papel: Taxa % do ganho:
6. Ana Maria opera na mesa do Banco Tapu. Aplicou nas Letras Maravilhosas
de Jacumo obtendo um ganho de 7,2%. O valor nominal do papel era de R$ 1.000,00.
Fator de correo do papel: PU obtido por Ana Maria:
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Matemtica Financeira
Considerando-se o tempo total da operao, a uma taxa i:
FV = PV x FATOR PV = FV FATOR FV PV = FATOR
FV = PV x (1 + i) PV = FV (1+ i) FV PV = (1+i)
JUROS: remunerao do capital aplicado. Para o investidor: remunerao da aplicao.
Para o tomador: custo do capital tomado por emprstimo.
TAXA DE JUROS o nmero que mede quanto o ganho representa do capital aplicado. No caso do emprstimo, quanto o custo representa do capital tomado.
A TAXA DE JUROS pode ser: TAXA PERCENTUAL: 4,2% ao ms.
TAXA UNITRIA: 0,042 ao ms.
CONVERSO DA TAXA 1 + taxa unitria 1 + 0,042 = 1,042
FATOR DE CORREO: 1 + i PV valor inicial da operao PRESENT VALUE
FV valor final da operao - FUTURE VALUE
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Matemtica Financeira
CONCEITO DE FLUXO DE CAIXA
DO APLICADOR
DO CAPTADOR
APLICAO: 4.000,00
JUROS: 4.000,00 x 2,5% = 100,00
RESGATE: 4.000 + 100,00 = 4.100,00
A anlise de um problema de custo ou ganho deve ser sempre feita graficamente: no fluxo de caixa. Na reta, a unidade de medida corresponde unidade de tempo; setas voltadas para cima indicam entradas (+) e setas voltadas para baixo indicam sadas (-).
4.100,00
4.000,00
4.000,00
4.100,00
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Matemtica Financeira
CONCEITO DE JUROS MARK UP E MARGIN O custo unitrio de um galo de lubrificante na Cia Industrial FLOR DO CAMPO de R$ 16,00. O preo unitrio de venda R$ 17,28.
Lucro unitrio em R$
Mark up
Margin
Fator de correo do custo
MARK UP: taxa de ganho sobre o custo.
MARGIN: taxa de ganho sobre o preo de venda.
FATOR DE CORREO: 1+ i FV = PV x (1+ i)
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Matemtica Financeira
CONCEITO DE JUROS MARK UP E MARGIN O custo unitrio de uma lata de 5 litros de leo da Cia BORBOLETA DOURADA de R$ 25,00. O MARK UP de 12%.
O preo de venda de um alta de 5 litros de zarco na Cia. SAPO DANADO de R$ 3,60. A margem de 9%.
Lucro unitrio em R$
Preo de venda
Margin
Fator de correo do custo
Lucro unitrio em R$
Custo unitrio
Mark up
Fator de correo do custo
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Matemtica Financeira
CORREO MONETRIA David aplicou R$ 4.000,00 na CADERNETA DE POUPANA por 1 ms. A TR do perodo foi de 0,8%. Quanto resgatou?
CONCLUSO:
FV = PV x (1 + TR) x 1,005
ANALISANDO VALORES RACIOCNIO
Aplicao
Correo monetria
Valor Corrigido
Ganho Real
Resgate
ANALISANDO VALORES RACIOCNIO
Valor Corrigido
Valor Final
PV= 4.000,00
FV =
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Matemtica Financeira
CORREO MONETRIA Ao definir a correo do dinheiro, utiliza-se um ndice capaz de medir a variao ao longo do tempo. Essa correo, monetria ou cambial, protege o investimento ou aplicao da desvalorizao. Quando excede a variao do ndice escolhido, houve ganho real. Caso contrrio, perda real.
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
O FATOR DA CORREO TOTAL o produto do FATOR DA CORREO MONETRIA (ou CAMBIAL) pelo FATOR DE GANHO REAL.
kt = kcorr x kreal TAXA APARENTE: Ganho/custo total incluindo correo monetria e ganho/custo real. No exemplo anterior, calcule a taxa aparente (total):
TAXA DE CORREO MONETRIA (CAMBIAL): Mede a variao monetria ou cambial. No exemplo anterior, calcule a taxa de correo monetria:
TAXA DE GANHO OU PERDA REAL: Mede o ganho/perda, acima/abaixo da correo. No exemplo anterior, calcule a taxa de ganho real.
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Matemtica Financeira
COMPLETE OS EXERCCIOS ABAIXO: No encerramento de 2013 o Patrimnio Lquido da Cia. Guaran era de R$ 2.500.000. Em 2014 apurou um crescimento real de 12% em relao ao IGP-M anual de 1,82%. Analisemos os nmeros dessa empresa:
Fator de correo monetria (Base IGP-M)
Pat. Liq. corrigido monetariamente
Fator de crescimento real
Patrimnio Lquido no final de 2014
Correo monetria do Pat. Liq em R$
Crescimento real (R$)
JOO aplicou na CADERNETA DE POUPANA por 1 ms em que a TR foi de 0,75%. Resgatou R$ 1.620,06.
Fator de correo monetria
Fator de Juros Reais
Aplicao
Correo Monetria
Juros Reais
A famlia Pereira Melo pretendia viajar para Orlando. Para tal, resgatou suas aplicaes de um Fundo de Investimento e comprou dlares a R$ 1,22. Como os dois filhos ficaram em recuperao em 3 matrias no colgio, desistiram da viagem. Um ms depois venderam os dlares a R$ 1,94. Nesse perodo o Fundo de Investimento se valorizou 2,25%.
Fator de correo cambial
Fator de Correo do Fundo
Fator de ganho real em relao ao Fundo
Taxa de Ganho real em relao ao Fundo
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Matemtica Financeira
JUROS SIMPLES As Lojas Chocantes pagaram uma duplicata de R$ 3.600 com atraso de 22 dias. A Cia Industrial Liverpool cobrou juros de mora de 4,5% ao ms. Qual o valor pago?
SOLUO:
JUROS SIMPLES: Regime no qual os juros de cada perodo
so calculados sobre o capital inicial. OBS: os juros so proporcionais ao tempo
da aplicao. FV = PV x (1 + i.n)
TAXAS PROPORCIONAIS Produzem os mesmos juros quando aplicados no
mesmo prazo a juros simples. Exemplo: 4,5% ao ms.
Taxa proporcional para 22 dias : (4,5% 30) x 22 = 3,3%
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Matemtica Financeira
RAFAEL pagou seu seguro com atraso de 18 dias. No vencimento, o valor era R$ 840,00 e os juros de mora foram de 2,1% ao ms. Qual o valor pago?
Taxa de Juros do Perodo
Fator de Correo
Juros em R$
Valor pago em atraso
A LOJA VERDEJANTE pagou uma duplicata com atraso de 21 dias. A Cia. Enluarada cobrou juros de mora de 3,6% ao ms. O valor pago foi de R$ 8.406,64.
Taxa de Juros do Perodo
Fator de Correo
Juros em R$
Valor pago em atraso
OBSERVAO:
3,6% ao ms proporcional a
2,52% para 21 dias.
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Matemtica Financeira
DESCONTO SIMPLES A MOINHO PERAI LTDA descontou uma duplicata de R$ 18.000,00 no BANCO ESTRELA S.A. O prazo do ttulo era de 40 dias. A taxa de desconto foi de 4,2% ao ms.
Desconto em R$
Valor descontado (lquido)
Custo Efetivo no perodo (%)
FLUXO DE CAIXA DA MOINHO PERA DO BANCO
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Matemtica Financeira
DESCONTO SIMPLES Valor a ser descontado de um ttulo calculado a JUROS SIMPLES. O desconto bancrio tambm chamado de desconto comercial ou desconto por fora e calculado sobre o valor nominal do ttulo.
EXPRESSO GERAL DO VALOR DESCONTADO (Valor Presente)
Como o desconto deduzido do VALOR FUTURO, o VALOR PRESENTE :
PV = FV desconto PV = FV FV.d.n
PV = FV . (1 d.n) Onde d a taxa de desconto e n o prazo. No Brasil, opera-se em bancos e comercialmente com taxa de desconto mensal. Ento temos:
PV = FV . [(1 ( d.n 30)] Usando no exemplo: A MOINHO PERAI LTDA descontou uma duplicata de R$ 18.000,00 no BANCO ESTRELA S.A. O prazo do ttulo era de 40 dias. A taxa de desconto foi de 4,2% ao ms.
Taxa de desconto do perodo (%)
Fator de desconto
VALOR DESCONTADO
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Matemtica Financeira
COMPLETE OS EXERCCIOS ABAIXO A INDUSTRIAL FESTEIRA S.A descontou uma duplicata de R$ 14.000,00 no BANCO DO CU. O prazo do ttulo era de 46 dias. A taxa de desconto foi de 5,1% ao ms
Desconto em R$
Valor descontado (lquido)
Custo Efetivo no perodo (%)
JOO CRUISE descontou uma NO no BANCO VERDINHO S.A. O prazo do ttulo era de 41 dias. A taxa de desconto foi de 6% ao ms. O valor recebido no ato da operao foi de R$ 7.803,00.
Taxa de desconto no perodo
% correspondente ao Creditado
Valor Nominal da NP (Valor Futuro)
Custo Efetivo no Perodo (%)
TELMO KILMER, pretendendo casar, descontou uma NP numa empresa de Factoring. O prazo do ttulo era de 35 dias. A taxa de desconto foi de 7,2% ao ms.
Desconto em R$
Valor descontado (lquido)
Custo Efetivo no perodo (%)
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Matemtica Financeira
4. Unidade II
MATEMTICA FINANCEIRA APLICADA
Juros Compostos
Taxas Equivalentes
Equivalncia Aplicada ao CDB
Taxa Over Anualizada
Problemas do Nna HP-12c
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Matemtica Financeira
JUROS COMPOSTOS Apliquei R$ 4.200,00 no BANCO VITORIOSO S.A a 2,8% ao ms, por 2 meses e 19 dias, juros compostos. Quanto vou resgatar?
*O programa financeiro utiliza o conceito de Fluxo de Caixa: se o PV negativo, o FV ser positivo e vice e versa.
JUROS COMPOSTOS o regime no qual os juros so calculados, em cada perodo, sobre o saldo do incio do perodo, isto , os juros so incorporados ao capital e a cada perodo passam a render juros. Da serem chamados juros capitalizados.
FV = PV x (1 + i)n
RACIOCNIO MATEMTICO PROGRAMA FINANCEIRO NA HP 12-C FV = 4.200 x 1,02879/30 = 4200 x 1,07542931 RESGATE: 4.516,80 Na sua calculadora: 4200 ENTER 1,028 ENTER 79 ENTER 30 Yx x
F FIN (limpa registros financeiros) STO EEX ativa o c (juros compostos exponenciais) 4200 CHS* PV 2,8 i 79 ENTER 30 n FV 4.516,80 VALOR DO RESGATE.
79 0
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Matemtica Financeira
OUTRO EXEMPLO JEAN aplicou R$ 14.600,00 taxa de 13,8% ao ano, juros compostos, por 58 reservas. Qual o valor de resgate bruto?
RACIOCNIO ARITMTICO: FV = FV = FV =
NA CALCULADORA CLCULO ARITMTICO PROGRAMA FINANCEIRO
NAPOLEO emprestou um dinheiro ao primo a uma taxa de 5,4% ao trimestre, juros compostos, por 8 meses e 12 dias. O valor bruto do resgate foi R$ 7.878,85.
RACIOCNIO ARITMTICO: FV = FV = FV =
NA CALCULADORA CLCULO ARITMTICO PROGRAMA FINANCEIRO
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Matemtica Financeira
OUTRO EXEMPLO AUDREY aplicou R$ 26.600,00 em CDB a 14% a.a. (taxa over anualizada SELIC) no dia 3/01/2001 para resgate no dia 12/02/2001.
a) Qual o prazo da operao em dias corridos? E em reservas? b) Qual o valor bruto do resgate? c) Qual o rendimento bruto? d) Qual o valor do IR (alquota 22,5%)? e) Qual o valor do resgate lquido?
a) Qual o prazo da operao em dias corridos? E em reservas?
b) Qual o valor bruto do resgate?
c) Qual o rendimento bruto?
d) Qual o valor do IR (alquota 22,5%)?
e) Qual o valor do resgate lquido?
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Matemtica Financeira
COMPLETE OS EXERCCIOS ABAIXO a) A INDUSTRIAL BARULHENTA tomou um Capital de Giro no BALCO LINDO.
No vencimento, pagou R$ 25.906,84. O prazo da operao foi de 3 meses. Taxa de juros compostos foi de 5,6% ao ms. Qual o valor do emprstimo?
RESPOSTA: b) Quanto a LOJA DO GATO BRANCO deve aplicar a juros compostos de 46%
ao ano (taxa over) para juntar um montante de R$ 2.332,78 em 100 dias teis?
RESPOSTA:
c) A Cia do CARNAVAL aplicou R$ 2.500,00 por 37 reservas, a juros compostos.
Resgatou, no vencimento, R$ 2.620,34. Qual a taxa percentual ao ano (over)?
RESPOSTA:
d) A Cia. Cu de Maio financiou uma venda de R$ 1 milho a uma taxa
trimestral de 18% num prazo de 10 meses e 20 dias. Quanto recebeu no vencimento?
RESPOSTA:
32
Matemtica Financeira
e) A Cia. ELEFANTE BLUE aplicou em CDB por 1.250 reservas e seu capital dobrou. Qual a taxa over percentual ao ano?
RESPOSTA: f) JUNINHO pagou o seguro de seu automvel financiado. O prazo da
operao correspondeu a 66 dias teis e os juros a 10% do valor do principal. Qual a taxa over anual equivalente dessa operao?
RESPOSTA:
g) ISADORA aplicou R$ 40.000,00 em CDB por 26 dias teis. Os juros lquidos
foram de R$ 444,33. Qual a taxa over anual da operao?
RESPOSTA:
h) A Cia LUMINOSA pagou uma duplicata com atraso de 25 dias e os juros de
mora foram R$ 112,50. A credora cobrou juros simples a 4,5% ao ms. Se fossem juros compostos, quanto pagaria de juros? Comente!
RESPOSTA:
33
Matemtica Financeira
TAXAS EQUIVALENTES So aquelas que, quando aplicadas sobre o mesmo principal durante o mesmo prazo, no regime de JUROS COMPOSTOS, produzem os mesmos montantes.
Complete os exerccios abaixo:
a) Qual a taxa trimestral equivalente a 1,8% ao ms?
b) Qual a taxa anual equivalente a 4,5% ao ms?
c) Qual a taxa mensal equivalente a 4,67% para 59 dias?
d) Qual a taxa trimestral equivalente a 11% para 115 dias?
e) Qual a taxa bimestral equivalente a 7,8% para 95 dias?
EXEMPLO:
2% ao ms e 26,82% ao ano so EQUIVALENTES.
PORQUE: 1,0212 = 1,2682
OBSERVE:
ianual = (1,02360/30 1) x 100
ianual = (1,0212 1) x 100
ianual = (1,2682 1) x 100
ianual = 0,2682 x 100
ianual = 26,82% iquero = [(1+i)
quero/tenho -1] x 100
34
Matemtica Financeira
EQUIVALNCIA APLICADA AO CDB Seu Manduca aplicou em CDB por 21 dias teis. A taxa foi de 14,2% ao ano. Qual a taxa bruta de ganho no perodo? Qual a taxa lquida (alquota do IR de 22,5%) Lina aplicou em CDB por 26 reservas e teve ganho lquido de 0,88% no perodo. Considerando a alquota do IR de 22,5%, qual a taxa bruta de ganho no perodo? Qual a taxa equivalente anual?
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TAXA OVER ANUALIZADA A partir de janeiro de 98 o mercado financeiro adotou uma nova medida de custo do dinheiro: a Taxa Over Anualizada. Essa taxa simplesmente significa: a taxa equivalente anual, considerando unicamente a quantidade de dias teis do ano (reservas ou saques) de 252 dias. Na verdade, mede-se o custo efetivo do dinheiro nos dias teis do perodo e calcula-se a equivalente para 252 reservas. EXEMPLOS 1. O banco Iraj fez um emprstimo de Capital de Giro por 50 dias, 35
reservas, a uma taxa Over anualizada de 79,6%. Qual o custo efetivo do perodo?
Fator de custo efetivo no perodo:
1,796 35/252 = 1,0847
Custo efetivo no perodo: (1,0847 1) x 100 = 8,47%
2. O banco Valqueire emitiu CDB de 32 dias, 23 reservas a uma taxa anual de
37,4%. Qual a Taxa Over Anualizada correspondente?
Fator de custo efetivo no perodo: 1,374 32/360 = 1,0286
Custo efetivo no perodo: 1,0286 252/23 = 1,362
Taxa Over Anualizada
(1,362 - 1) x 100 = 36,2%
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Complete os exerccios abaixo a) A Cia. Inhama tomou um capital de giro no Banco Pilares. O prazo da
operao foi de 65 dias, 44 reservas. A taxa aplicada foi de 45% ao ano (Over Anualizada). Qual o custo efetivo no perodo?
RESPOSTA:
b) No caso anterior, qual seria o custo equivalente anual?
RESPOSTA:
c) A Cia. DESLUMBRANTE tomou recursos por 39 dias, 28 reservas a um custo
efetivo de 6,45% no perodo. Qual a taxa equivalente anual? RESPOSTA:
d) No caso anterior, qual a Taxa Over Anualizada?
RESPOSTA:
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O Problema do N na HP-12c
Ora, s vezes, est arredondado por excesso, pois a HP-12c no l n
fracionrio. Ento ao buscar n voc deve usar a taxa diria equivalente para
evitar erro de aproximao de prazo.
EXEMPLO: A CIA. EXEMPLAR tomou um emprstimo de Capital de Giro no montante de R$ 45.000,00 a juros compostos. Pagou, no vencimentoo montante de R$ 50.836,55. A taxa anual de juros compostos foi de 84%. Quantos dias durou a aplicao? SE VC FIZER:
45000 CHS PV 50836,55 FV 84i n? A resposta ser : 1 (?) ano.
Mantenha o PV e o FV e transforme a taxa annual em equivalente diria. Registre-a na memria i. Pergunte o n:
1,84 ENTER 360 1/x Yx
1 100 x i N?
Na HP-12c, o n, quando resposta
sempre nmero inteiro!!!
A resposta ser 72 dias!!!!
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5. Unidade III
MATEMTICA FINANCEIRA APLICADA
Sries Uniformes
Sistemas de Amortizao
Plano com intermedirias
Fluxo de Caixa.
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SRIES UNIFORMES
o conjunto de entradas ou sadas de caixa que ocorrem periodicamente e so todas iguais. No programa financeiro das calculadoras, o pagamento peridico identificado pela funo PMT (periodic payment).
ESTUDO DE CASO Cristiane comprou uma geladeira na Loja Brilhante nas seguintes condies: R$ 320,00 de entrada mais 3 prestaes mensais, iguais e sucessivas de R$ 400,00. vista pagaria R$ 1.320,00. Qual a taxa mensal de juros praticada na loja? SOLUO ALGBRICA : Nesse caso, deveramos resolver a equao:
400
1 + +
400
1 + +
400
1 + = 1.000
Uma das razes da equao 0,097 ou 9,70%, isto = 9,70% ao ms.
Resolvendo na HP 12-c
f FIN g END
1000 PV 400 CHS PMT
3 n i?
Limpeza dos registros financeiros Identificando uma srie uniforme postecipada
Registrando o valor financiado Registrando a prestao mensal
Registrando o nmero de pagamentos mensais Perguntando a taxa mensal
1.000,00
400,00 400,00 400,00
0 1 2 3
40
Matemtica Financeira
ESTUDO DE RICHARD PRICE
1 + +
(1 + )++
(1 + )
=
A soluo dessa equao levaria a:
= . (1 + )
(1 + ) 1
O fator que determina o valor da prestao a partir do valor financiado (PV), identificado no quadro o FATOR DA TABELA PRICE. No caso de Cristiane, poderamos calcular a prestao usando a frmula:
= 10000,097. (1 + 0,097)
(1 + 0,097) 1
PMT = 1000 X 0,400 = 400 Onde 0,400 FATOR DA TABELA PRICE!!
0 1 2 3 n
PMT PMT PMT
PV
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MODELOS DE SRIES UNIFORMES
FV
PMT
POSTECIPADA
(END)
Com PMT E FV
FV
PMT
ANTECIPADA
(BEGIN)
Com PMT E FV
PV
PMT
POSTECIPADA
(END)
Com PMT E PV
PV
PMT
ANTECIPADA
(BEGIN)
Com PMT E PV
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OUTRO ESTUDO DE CASO Para tirar frias, RICHARD, resolveu juntar dinheiro: durante 4 meses consecutivos, aplicou R$ 100,00 por ms, a 10% ao ms. Logo aps a 4 aplicao, antes de se retirar da agncia, dirigiu-se ao caixa eletrnico e verificou seu saldo:
Considerando cada aplicao de R$ 100,00 um PV, o FV ser o somatrio dos
FVs respectivos, a 10% ao ms.
FV = 133,10 + 121,00 + 110 + 100 = 464,10
Resolvendo na HP 12-c
f FIN g END
100 CHS PMT 1O i 4 n FV?
Limpeza dos registros financeiros Identificando uma srie uniforme postecipada
Registrando as aplicaes mensais Registrando a taxa mensal
Registrando o nmero de aplicaes mensais Perguntando o total acumulado.
100 100 100 100
464,10
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COMPLETE OS EXERCCIOS ABAIXO a) A Loja Castelo do Lar est vendendo televisores nas seguintes condies:
vista R$ 800,00 ou a prazo, em 3 prestaes mensais de R$ 300,00, a 1 a 30 dias. Que taxa mensal de juros a Loja est praticando?
b) A casa Kremlin est vendendo forno micro-ondas nas condies: vista por
R$ 700,00 ou em 3 prestaes mensais de R$ 250,00, a 1 no ato. Qual a taxa mensal utilizada?
c) O BANCO TAQUARARA S.A lanou um tipo de captao muito interessante:
se voc fizer 4 aplicaes mensais e sucessivas de R$ 500,00, sempre na mesma data, no dia em que fizer a 4 aplicao, o seu saldo ser de R$ 2.100,00. Qual a taxa que o Banco remunera o aplicador?
d) O BANCO FREGUESIA S.A querendo competir com o TAQUARA, lanou
tambm uma captao prefixada programada: se voc fizer 5 aplicaes iguais, mensais e sucessivas, sempre na mesma data, de R$ 400,00, um ms aps a ltima aplicao o seu saldo ser de R$2.200,00. Qual a taxa mensal utilizada?
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e) A FORMULA 1 MOTOCICLETAS est com uma promoo muito interessante:
uma entrada de R$ 400,00 mais 6 prestaes mensais de R$ 520,00. Se a taxa mensal de 7%, qual o preo da motocicleta vista?
f) ngela comprou um automvel pagando da seguinte forma: Entrada de R$
6.000,00. A 90 dias do contrato: R$ 3.000,00 mais 6 prestaes mensais de R$ 1.917,74, a 1 a 120 dias do contrato. A taxa mensal de juros foi de 5%. Qual o valor do automvel vista?
g) A Cia Area SANTA CRUZ est fazendo uma promoo nas passagens para o
Pantanal: vista com desconto de 10% ou em 4 prestaes mensais e iguais, sem acrscimo, a 1 no ato. Qual a taxa mensal de juros que esto praticando?
h) A FELIZTOUR est fazendo uma promoo de viagens para os EUA: vista
com desconto de 30% ou com acrscimo de 20%, em 3 prestaes mensais iguais, a 1 no ato do contrato. Que taxa mensal esto praticando?
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O SISTEMA DE AMORTIZAO A FINANCEIRA DO FAROL opera CDC nas seguintes condies: um financiamento de R$ 5.000,00 dever ser pago em 4 prestaes mensais iguais a uma taxa mensal de 10%.
Analisando essa operao, temos:
f FIN
g END
5000 CHS PV
1O i
4 n
PMT? 1.577,35
Limpeza dos registros financeiros
Identificando uma srie uniforme postecipada
Registrando o valor financiado
Registrando a taxa mensal
Registrando o nmero de aplicaes mensais
Perguntando a prestao mensal.
APLICANDO O SISTEMA DE AMORTIZAO NA HP-12C
2 f AMORT
x >< y
RCL PV
500,00
1.077,35
3.922,65
Calcula os juros pagos na 1 prestao
Calcula o principal pago na 1 prestao
Recupera o saldo devedor na memria PV
MS PRESTAO JUROS AMORTIZAO SALDO DEVEDOR
1
2
3
4
TOTAL
46
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O PLANO COM INTERMEDIRIAS A TIGRE FINANCEIRA opera CDC a uma taxa mensal de 8% utilizando vrios planos. Analisemos um financiamento de R$ 10.000,00 em 6 meses.
PLANO AZUL 6 prestaes mensais e iguais
PLANO VERMELHO 6 prestaes mensais de R$ 1.700,00 e duas prestaes intermedirias (bales) no 3 e no 6 ms.
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FLUXO DE CAIXA MONTGOMERY E TYRONE esto analisando um arrojado projeto cuja vida til de 2anos. O capital inicial necessrio de R$ 400.000.
Fluxo de caixa ANO ENTRADAS SAIDAS SALDO LIQUIDO
1 375.000 175.000 200.000
2 580.000 220.000 360.000
1 HIPTESE:
Suponhamos que os scios tenham uma taxa de atratividade de 20% a.a. Ora,
descapitalizando os saldos lquidos a 20%:
200
1,20+
360
1,20 400 = 16,67
Conclumos ento que o projeto vivel pois, na data zero, o VALOR ATUAL LQUIDO (NET PRESENT VALUE) positivo. 2 HIPTESE:
A taxa de atratividade dos scios de 30%:
200
1,30+
360
1,30 400 = 33,14
Nesse caso, o projeto no vivel, pois apresenta um NPV negativo, o que mostra que haveria uma perda em relao ao custo de oportunidade dos scios.
200
360
400
0 1 2
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Matemtica Financeira
FLUXO DE CAIXA o conjunto de entradas e sadas de caixa ao longo do tempo.
a soma algbrica dos valores atuais dos saldos lquidos de caixa, descapitalizados a uma mesma taxa de juros compostos. Para se determinar o VALOR ATUAL LQUIDO (NPV) de um determinado fluxo de caixa, leva-se data ZERO todos os saldos lquidos descapitalizados a uma mesma taxa de juros compostos.
Agora analisemos, a uma taxa de 20%a.a o NPV foi positivo e a 30% negativo. Deve existir, portanto, uma taxa maior do que 20% e menor do que 30% de tal forma que o NPV seja zero. Essa taxa ser obtida na soluo da equao:
200
(1 + )+
360
(1 + ) 400 = 0
Uma das razes da equao 0,2311 ou 23,11%, isto , i = 23,11%a.a. a taxa de juros compostos para o qual o VALOR ATUAL LQUIDO (NPV) do fluxo de caixa zero.
Valor Atual Lquido de um Fluxo de Caixa
(NET PRESENT VALUE - NPV)
TAXA INTERNA DE RETORNO
(IRR INTERNAL RATE OF RETURN)
0 1 2
200
400
360
49
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Resolvendo na HP-12c
400 CHS g CFo
200 g CFj
360 g CFj
2O i
f NPV
30 i
f NPV
f IRR
Registra o investimento inicial
Registra o saldo lquido do ano 1
Registra o saldo lquido do ano 2
Registra a taxa anual de 20%
Pergunta o NPV 16,67
Registra a taxa anual de 30%
Pergunta o NPV -33,14
Pergunta o IRR 23,11%
0 1 2
200
400
360
50
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COMPLETE OS EXERCCIOS ABAIXO Os scios da CIA DE AVENTURAS esto analisando um projeto cuja vida til de 3 anos. O investimento inicial de R$ 420.000. Analisemos o Fluxo de caixa em R$ mil:
ANO ENTRADAS SADAS SALDOS LQUIDOS
1 338.000 176.000
2 370.000 190.000 3 395.000 230.000
A Taxa Interna de Retorno do projeto Se as oportunidades de aplicao no mercado internacional remuneram a 12,81%a.a, o projeto vivel? Por qu? R: Porque Para que a IRR fosse igual taxa de mercado, o investimento inicial deveria ser de reais.
0 1 2 3
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JENNIFER E GRACE contrataram a GRC Treinamentos e Consultoria para o estudo de viabilidade de um projeto cuja vida til so 4 meses. O investimento inicial de R$ 80.000,00. Analisemos o FLUXO DE CAIXA:
ANO ENTRADAS SADAS SALDOS LQUIDOS
1 34.000 20.000
2 48.500 25.000
3 52.800 29.300
4 73.950 43.500
a) Qual a taxa interna de retorno (IRR)?
Resposta: b) Se o investimento inicial fosse de R$ 84.000, qual seria a IRR?
Resposta: c) E se alm disso, o saldo lquido de caixa do 1 ms fosse de R$ 18.200,00,
qual seria a nova IRR? Resposta:
0 1 2 3 4
52
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6. Atividades Complementares
Caando Patos
O GRUPO que caar os 4 PATOS em primeiro lugar o vencedor!!!
AMARELO
VERMELHO
APLICAO R$ 140,00 APLICAO
RESGATE R$ 142,52 RESGATE
JUROS JUROS R$ 22,40
% DE GANHO % DE GANHO 8%
FATOR FATOR
BRANCO
VERDE
APLICAO R$ 840,00 APLICAO
RESGATE RESGATE R$ 2.442,00
JUROS JUROS
% DE GANHO % DE GANHO
FATOR 1,025 FATOR 1,0175
53
Matemtica Financeira
Caando Patos
O GRUPO que caar os 4 PATOS em primeiro lugar o vencedor!!!
AMARELO
VERMELHO
CUSTO R$ 140,00 CUSTO
VENDA R$ 161,00 VENDA
LUCRO LUCRO R$ 22,40
MARK UP MARK UP 8%
FATOR FATOR
MARGIN MARGIN
BRANCO
VERDE
CUSTO R$ 495,00 CUSTO
VENDA VENDA
LUCRO LUCRO R$ 8,00
MARK UP MARK UP
FATOR FATOR
MARGIN 10% MARGIN 3,2%
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Matemtica Financeira
GINCANA DA CORREO
CADERNETA DE POUPANA
APLICAO R$ 8.000,00
VARIAO DA TR 1,85%
VALOR DO RESGATE
GANHO REAL EM R$
TAXA DE GANHO REAL
VARIAO CAMBIAL
VENDA VISTA
VARIAO CAMBIAL 2,2%
VALOR COBRADO A 30 DIAS
GANHO REAL EM R$ R$ 245,28
TAXA DE GANHO REAL 0,6%
BASE IGP-M
APLICAO R$ 18.400,00
VARIAO DO IGP-M
VALOR DO RESGATE R$ 18.992,02
GANHO REAL EM R$
TAXA DE GANHO REAL 0,7%
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Matemtica Financeira
Jon Snow e o Caminho das Pedras
Jon Snow to distrado que atrasou o pagamento da prestao do seguro do carro. O banco cobrou juros de mora de 6% ao ms. Foi uma despesa de R$ 15,60 pelos 12 dias. Qual o valor da prestao?
AZUL VERMELHA AMARELA VERDE
R$ 260,00 R$ 2.600,00 R$ 650,00 R$ 3.900
A namorada de Jon descontou uma NP de R$ 2.800,00 no Banco Braavos, a uma taxa de desconto de 3,9% ao ms, a 34 dias do vencimento. Qual o valor creditado?
AZUL VERMELHA AMARELA VERDE
R$ 2.716,00 R$ 2.676,24 R$ 123,76 R$ 84,00
A sogra de Jon tem uma boutique que desconta todos os cheques na FACTORING WESTEROS. Se paga uma taxa de 5,1% ao ms, qual o valor nominal de um cheque que foi descontado a 19 dias, sendo de R$ 774,16 o valor lquido creditado?
AZUL VERMELHA AMARELA VERDE
R$ 800,00 R$ 915,76 R$ 25.300,00 R$ 2.530,00
Jon Snow descontou uma duplicata no Banco Braavos a 42 dias do vencimento. A taxa de desconto mensal utilizada foi de 3,6%. Qual o custo efetivo no perodo?
AZUL VERMELHA AMARELA VERDE
R$ 5,04% 2,57% 3,73% 5,307%
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Matemtica Financeira
MISCELNEA DO CINEMA MUNDIAL
Jason Bourne ganho uma herana e aplicou em Caderneta
de Poupana. Os juros reais foram de R$ 8,12 e a TR foi 1,5%.
Valor aplicado por ele foi de:
Dr. David Webb aumentou o preo de sua consulta em
8,641%. Nesse perodo, o IPC variou em 6,72%. O aumento real
em relao ao IPC foi de:
Don Corleone aplicou R$ 8.000,00 em CDB ps-fixado,
com base na variao do IGP-M e a taxa de ganho real foi de 0,95%. O resgate foi de R$
8.399,04. A variao do IGP-M foi de:
Michael Clayton pagou uma duplicata com atraso de 20 dias com juros de mora de 4,8% ao
ms mais uma multa de 2% sobre o total. Se a multa foi de R$ 82,56, o valor do ttulo no
vencimento era:
Lupita Ramos descontou uma duplicata a 22 dias do
vencimento e pagou um custo efetivo de 4,4%, no perodo. A
taxa mensal de desconto praticada pelo Banco foi de:
Lucy descontou uma duplicata a 37 dias do vencimento a uma
taxa de desconto de 3,15% a.m e recebeu R$ 28.834,50. O valor nominal da duplicata era de:
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Matemtica Financeira
SALADA DE FRUTAS
A BOUTIQUE SALIENTE est oferecendo vestidos de crepe da NAMIBIA em promoo legal: vista por R$ 118,08 ou entrada de R$
30,00 mais 4 prestaes mensais de R$ 29,00. Qual a taxa mensal praticada?
MAA BANANA MORANGO
22,16% 19,30% 12%
A FINANCEIRA DALATA padronizou operaes de crdito pessoal: taxa antecipada de 3%, acrscimo total de 35% sobre valor
contratado para pagamento em 6 prestaes mensais, iguais e sucessivas. Qual a taxa mensal praticada?
ABACAXI PSSEGO LARANJA
10,355 9,31% 8,32%
BRAD CRUISE pretende comprar um uno Mille: 12 prestaes mensais de R$ 1.100,00 ou 12 prestaes mensais de R$ 800,00 e 4
prestaes intermedirias trimestrais de R$ 980. Qual o custo efetivo equivalente anual da operao?
UVA CEREJA MAMO
8,64% 103,68% 170,32%
TOM KILMER pretende programar sua vida futura. A PREVIASTRO oferece um plano interessante: uma remunerao mensal fixa de 2%
ao ms para 5 anos. Qual deve ser o investimento mensal para obter um fundo de R$ 400.000,00, um ms aps a ltima?
TANGERINA AMEIXA KIWI
AS LOJAS DO BOM ASTRAL esto em promoo: vista com desconto de 40% ou, sem acrscimo, em 4 prestaes mensais,
iguais, a 1 no ato da compra. Qual a taxa mensal de juros praticada?
FRAMBOESA ABACATE JACA
50,46% 24,10% 60,72%
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Matemtica Financeira
GRANDE BINGO DA REVISO
3. A BOUTIQUE NENEM CHORO descontou uma duplicata de R$ 12.000,00 a 42 dias do vencimento no BANCO VEM taxa de desconto (simples) de 6,3% a.m. Qual o valor creditado?
4. A CIA. BORBOLETA CHEIROSA financiou uma venda a uma taxa de JUROS COMPOSTOS DE 74,76%a.a. No vencimento, o valor era o dobro do inicial. Qual o prazo da operao em dias?
5. A COMERCIAL DO SOL opera com desconto simples de 7,2% ao ms. Numa venda paga com antecipao de 50 dias recebeu R$ 12.320,00. Qual seria o valor no vencimento?
6. ROSE HEART aplicou em caderneta de poupana por 1 ms em que a TR foi de 2,35%. Recebeu R$ 8.228,94. Qual o valor aplicado?
7. A CONCESSIONRIA MALUQUINHA est com promoo para veculos importados: 15% de desconto para pagamento vista ou acrscimo de 32% para pagamento em parcelas iguais, a 1 no ato da compra. Qual a taxa mensal praticada?
8. A CIA. MAA DO AMOR financiou uma venda de 200 unidades ao preo unitrio de R$ 2,80 para pagamento a 35 dias a juros compostos de 50% a.a. Quanto recebeu de juros?
9. PRATICK CORUJA fez 13 aplicaes mensais e sucessivas de R$ 320,00 taxa de R$ 2,45 ao ms. Sacou 1 ms aps a ltima aplicao. Quanto recebeu?
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Matemtica Financeira
DOMIN DOS JUROS
1. LILI aplicou R$ 22.167,30 em CDB por 33 reservas a
27,8%a.a. No resgate, pagou o Imposto de Renda de 22,5%
sobre juros.
Valor de resgate lquido:
2. Do valor, usou R$ 2.746,20 para pagar dvidas e reaplicou o
restante num Fundo de Investimento em aes.
Na data da aplicao, a cota valia R$ 6,25 e resgatou quando
a cota valia 6,875. O Imposto de Renda foi de 20% sobre os
juros. Se o prazo da aplicao no fundo foi de 100 reservas, a
taxa equivalente anual do ganho lquido foi de:
3. LILI resgatou o Fundo de Investimento em aes e aplicou
em Caderneta de Poupana. A remunerao total (correo
e ganho real) foi de R$ 662,75.
A TR foi: