MATERIAL PREPARADO POR SOLIS PARA LAS CLASES DE CONTROL AUTOMATICO ENERO 2010.docx

Manual de Sistemas de Controles Automáticos 2013

Universidad Tecnológica de Santiago (UTESA)Facultad de Ingeniería y Arquitectura

Sistema de Controles Automáticos, IEL – 900 – 001

Recopilación realizada por Ing. José M. Solís, [email protected]

Material extraído de los libros:

1. Barrientos, Antonio, Sanz, Ricardo, Matías, Fernando, Gambao, Ernesto. Control de Sistemas Continuos, Problemas Resueltos. Editorial Mc Graw – Hill. México.2. Distefano, Joseph, Allen Stubberud e Ivan Williams. Retroalimentación y Sistemas de Control, 2da Edición. Mc Graw – Hill. Santafé de Bogotá, Colombia. 1992.3. Dorf, Richard C, y Robert Bishop. Sistemas de Control Moderno, 10 ma. Edición. Prentice Hall. Madrid, España. 2005.4. Kuo, Benjamín C. Sistemas de Control Automático, 7ma Edición. Prentice Hall. México. 1996.5. Lewis, Paul y Chang Yang. Sistemas de Control en Ingeniería. Editorial Prentice Hall. Madrid, España. 1999.6. Ogata, Kasuhiko. Ingeniería de Control Moderna, 3ra edición. Editorial Prentice Hall. México. 1998.7. Ogata, Kasuhiko. Problemas de Ingeniería de Control utilizando MatLab, un enfoque práctico. Editorial Prentice Hall. Madrid. 1999.

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mailto:[email protected]


Introducción al Control Automático

La ingeniería trata de comprender y controlar los materiales y fuerzas de la naturaleza en beneficio de la humanidad. El ingeniero de sistemas de control está interesado en el conocimiento y control de una parte de su medio, frecuentemente denominado sistema, con el fin de proporcionar productos económicos útiles a la sociedad. Los objetivos de comprender y controlar son complementarios ya que, para poder controlar más efectivamente, se precisa que los sistemas sean entendidos y modelados. Además, la ingeniería de control con frecuencia deben considerar sistemas pocos conocidos, como los procesos químicos. El desafío actual para los ingenieros de control es el modelado y control de sistemas interrelacionados modernos y complejos, tales como los sistemas de control de tráfico, procesos químicos y sistemas robóticos. La ingeniería de control se basa en los fundamentos de la teoría de la retroalimentación y el análisis de sistemas lineales, e integra los conceptos de las teorías de redes y de comunicación. Por tanto, la ingeniería de control no está limitada a ninguna disciplina de la ingeniería, sino que es igualmente aplicable a las ingenierías aeronáutica, química, mecánica, del medio ambiente, civil y eléctrica. Por ejemplo, un sistema de control incluye a menudo componentes eléctricos, mecánicos y químicos. Además, al aumentar el conocimiento de la dinámica de los sistemas comerciales, sociales y políticos, también se incrementa la capacidad de control de estos sistemas. Un sistema de control es una interconexión de componentes que forman una configuración del sistema que proporcionará una respuesta deseada. La base para el análisis de un sistema es el fundamento proporcionado por la teoría de los sistemas lineales, que supone una relación entre causa y efecto para sus componentes. Por tanto, un componente o proceso que vaya a ser controlado puede representarse mediante un bloque tal como se muestra en la figura 1.1:

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Figura 1.1: Proceso a controlarLa relación entrada – salida representa la relación entre causa y efecto del proceso, que a su vez representa un procesamiento de la señal de entrada para proporcionar una señal de salida, frecuentemente con una amplificación de potencia. Un sistema de control en lazo abierto utiliza un regulador o actuador de control para obtener la respuesta deseada, tal y como se muestra en la Figura1.2:

Figura 1.2: Sistema de control en lazo abiertoEn contraste con un sistema de control en lazo abierto, un sistema de control en lazo cerrado utiliza una medida adicional de la salida real, para compararla con la respuesta de la salida deseada. La medida de la salida se denomina señal de retroalimentación. En la Figura 1.3 se muestra un sencillo sistema de control con retroalimentación en lazo cerrado. Un sistema de control con retroalimentación es aquel que tiende a mantener una relación prescrita de una variable del sistema con otra, comparando funciones de estas variables y usando la diferencia como medio de control.

Figura 1.3: Sistema de control en lazo cerrado

La entrada es el estimulo, la excitación o el mandato aplicado a un sistema de control, generalmente desde una fuente externa de energía, usualmente para producir una respuesta especifica del sistema de control.3


La salida es la respuesta real que se obtiene de un sistema de control. Puede ser o no igual a la respuesta implícita especificada por la entrada. Las entradas y las salidas pueden tener muchas formas diferentes. Las entradas, por ejemplo, pueden ser variables físicas o cantidades más abstractas, tales como valores de referencia, deajuste o deseados para la salida del sistema de control.Usualmente, el propósito del sistema de control es identificar o definir la entrada y la salida. Sise dan la entrada y la salida, es posible identificar, delinear o definir la naturaleza de los componentes del sistema.Los sistemas de control pueden tener más de una entrada o de una salida. A menudo, todas las entradas y salidas están bien definidas en la descripción del sistema. Pero algunas veces no. Por ejemplo, una tormenta eléctrica puede interferir intermitentemente con la recepción de radio, produciendo una salida no deseada en el altoparlante, en forma de estática. Esta salida de "ruido" es parte de la salida total que se definió antes, pero para los propósitos de identificar un sistema, normalmente no se consideran como entradas y salidas en la descripción del mismo, aquellas entradas espurias que producen salidas indeseables. Sin embargo, usualmente es necesario considerar cuidadosamente estas entradas y salidas extras cuando se examina en detalle el sistema.Los términos entrada y salida también pueden utilizarse en la descripción de cualquier tipo de sistema, sea o no un sistema de control, y un sistema de control puede ser parte d de otro mayor, en cuyo caso se llama subsistema o subsistema de control, y sus entradas y salidas pueden ser variables internas del sistema mayor.Ejemplos de sistemas de control.Ejercicios. Identificación elementos de los sistemas de control

1. Un calentador o un acondicionador de aire controlado termostáticamente que regula de manera automática la temperatura de un cuarto o un recinto es un sistema de control. La entrada a este sistema es una temperatura de referencia, usualmente especificada mediante un termostato ajustado 4


apropiadamente. La salida Esla temperatura real del cuarto o del recinto.Cuando el termostato detecta que la salida es menor que la entrada, el horno proporciona calor hasta quela temperatura del recinto se hace igual a la de la entrada de referencia. Entonces el horno se apaga automáticamente. Cuando la temperatura desciende un poco por debajo de la temperatura de referencia el horno se enciende de nuevo.

2. El acto de señalar un objeto con el dedo requiere un sistema de control biológico, el cual consiste, primordialmente, de los ojos, el brazo, la mano y el dedo, y el cerebro. La entrada es la dirección del objeto (en movimiento o no) respecto a alguna referencia, y la salida es la dirección real señalada en relación con la misma referencia. 3. Una tostadora automática es un sistema en malla abierta porque está controlada por un temporizador. El tiempo que se requiere para hacer una “buena tostada” debe ser calculado por el usuario quien no hace parte del sistema. El control del tostado (la salida) se retira una vez que el tiempo, que es la entrada y la acción de control, se ha determinado. Normalmente el tiempo se ajusta mediante un disco o un interruptor calibrado.

TERMINOLOGIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROLUn diagrama de bloques es una representación gráfica y abreviada de la relación de causa y efecto entre la entrada y la salida de un sistema

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físico. Proporciona un método útil y conveniente para caracterizar las relaciones funcionales entre los diversos componentes de un sistema de control.Los componentes del sistema se llaman de manera alterna elementos del sistema. La forma más simple de un diagrama de bloques es un solo bloque, con una entrada y una salida, como se muestra en la Figura 1.4.

Figura 1.4: Diagrama de bloqueEl interior del rectángulo que representa el bloque, usualmente contiene la descripción o el nombre del elemento, o el símbolo de la operación matemática que se va a efectuar sobre la entrada para producir la salida. Las flechas representan la dirección de la información o flujo de la señal. Los bloques que representan los diferentes componentes de un sistema de control están conectados de un modo que caracterizan sus relaciones funcionales dentro del sistema. En la figura 1.5 se ilustra la configuración básica de un sistema de control simple en malla cerrada (retroalimentado), con una sola entrada y una sola salida para un sistema con señales continuas únicamente.

Figura 1.5: Sistema de control en malla cerradaDe la figura 1.5, se desprenden las siguientes definiciones:6


La planta (proceso o sistema controlado) es el sistema o subsistema, proceso u objeto comandado por el sistema de control con retroalimentación.La salida controlada es la variable de salida de la planta bajo el mando del sistema de control con retroalimentación.La trayectoria directa es la ruta de transmisión del punto de suma al punto de salida controlada.Los elementos anticipativos (de control) son los componentes de la trayectoria directa que generan las señales de control aplicadas a la planta.La señal de control (o la variable manipulada) es la señal de salida de los elementos anticipativos, aplicada como entrada en la planta.La trayectoria de retroalimentación es la ruta de transmisión de la salida controlada que regresa al punto de suma.Los elementos de retroalimentación establecen la relación funcional entre la salida controlada y la señal primaria de retroalimentación.La entrada de referencia r es una señal externa aplicada al sistema de control con retroalimentación, usualmente en el primer punto de suma, para ordenar una acción específica a la planta. A menudo representa el comportamiento ideal (o deseado) de la salida en la planta.La señal primaria de retroalimentación b es una función de la salida controlada, sumada algebraicamente con la entrada de referencia r para obtener la señal actuante (error) e, esto es, r ± b=e. La señal actuante (error) es la señal de entrada de referencia r más o menos la señal primaria de retroalimentación b. La acción de control se genera por la señal actuante (error) en un sistema de control con retroalimentación. Retroalimentación negativa significa que el punto de suma es un sustractor, esto ese=r−b. Retroalimentación positiva significa que el punto de suma es un sumador, es decir, e=r+b.

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Otras definiciones relacionadas con el control automáticoTransductor es un dispositivo que convierte una forma de energía enotra. Por ejemplo, uno de los transductores m6s comunes en las aplicaciones de sistemas de controles el potenciómetro, el cual convierte una posici6n mecánica en un voltaje eléctrico.Un estimulo o entrada de prueba es cualquier señal de entrada introducida externamente (exógenamente) que afecta la salida controlada. Nota: la entradade referencia r es un ejemplo de un estimulo, pero no es la única clase de estimulo.Una perturbación (ruido de entrada) es un estímulo o una señal de entrada no deseados que afectan el valor c de la salida controlada. Puede entrar a la planta con u o m, como se muestra en el diagrama de bloques de la figura 1.5, en el primer punto de suma o en cualquier otro punto intermedio. La respuesta de tiempo de un sistema, subsistema o elemento es la salida como función de tiempo, usualmente seguida de la aplicación de una entrada prescrita bajo condiciones de operación especificadas.El término controlador en un sistema de control con retroalimentación, a menudo está asociado con los elementos de la trayectoria directa entre la señal actuante (error) e y la variable de control. Pero, algunas veces, incluye el punto de suma, los elementos de retroalimentaci6n o ambos..OPERACIONES ELEMENTALES ENTRE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUESPunto de suma:Las operaciones de adición y sustracción tienen una representación especial. El bloque se convierte en un pequeño círculo, llamado punto de suma con el signo apropiado de más o menos, asociado con las flechas que entran al círculo. La salida es la suma algebraica de las entradas. Cualquier número de entrada puede entrar a un punto de suma (ver figura 1.6).

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Figura 1.6: Puntos de suma

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Punto de toma:Para hacer que la misma señal o variable sea una entrada a mas de un bloque o un punto de suma, se utiliza el punto de toma. Este permite que la señal prosiga inalterada por diferentes trayectorias a varios destinos (ver la figura 1.7).

Figura 1.7: Puntos de tomaEjercicios. Introducción a los diagramas de bloques

1. Realice el diagrama de bloques de las siguientes ecuaciones:a) x3=a1 x1+a2 x2−5

b) x2=a1( dydt )

c) x3=d x2

d t 2 +d x1

dt−x1

d) x4=∫ x3 dt

2. Realice el diagrama de bloques para las siguientes actividades:a) El caminar de un humanob) Para un acondicionador de airec) Una tostadora automática

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I Fundamentos Matemáticos

No FUNCION DEL TIEMPO TRANSFORMADA DE LAPLACE

18 1

a2(1−e−at−ate−at ) 1

s (s+a )2

19 1

a2( at−1+e−at ) 1

s2 ( s+a )20

e−at sin ωtω

(s+a )2+ω2

21e−at cos ωt

s+a

(s+a )2+ω2

221−cosωt

ω2

s ( s2+ω2 )23

ωt−sin ωtω3

s ( s2+ω2 )24 sin ωt−ωt cos ωt 2ω3

(s2+ω2 )2

25 12 ω

t sin ωts

(s2+ω2 )2

26t cos ωt

s2−ω2

(s2+ω2 )2

27 1

ω22−ω1

2¿ s

(s2+ω12) (s2+ω2

2)28 1

2 ω(sin ωt+ωt cos ωt ) s2

(s2+ω2 )2

29 ( B−Aa ) t e−at+ A e−at As+B

(s+a )2

30e−at(A cosωt+

(B−Aa )ω

sin ωt) As+B

(s+a )2+ω2

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No FUNCION DEL TIEMPO TRANSFORMADA DE LAPLACE

1* ImpulsoUnitario δ ( t ) 1

2* EscalónUnitario1 ( t ) 1s

3 t 1

s2

4 t n−1

(n−1 ) !(n=1,2,3 …)

1

sn

5 t n(n=1,2,3 …) n !

sn+1

6* e−at 1s+a

7 te−at 1

(s+a )2

8 1(n−1 ) !

tn−1 e−at(n=1,2,3 …) 1

(s+a )n

9

t n e−at(n=1,2,3 …)n!

(s+a )n+1

10* sin ωt ω

s2+ω2

11* cos ωt s

s2+ω2

12 sinh ωt ω

s2−ω2

13 cosh ωt s

s2−ω2

14 1a

(1−e−at ) 1s (s+a )

15 1b−a

( e−at−e−bt ) 1(s+a ) ( s+b )

16 1b−a

( be−bt−ae−at ) s(s+a ) ( s+b )

17 1ab [1+ 1

a−b(b e−at−ae−bt ) ] 1

s (s+a ) (s+b )


I UTILIZACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACESuponiendo que el modelo matemático se tiene que aplicar a sistemas con señales de entrada definidas para t ≥ 0 y condiciones iníciales especificadas para t=0, entonces la forma deseada de la transformada de Laplace directa es la transformada unilateral con

F ( s )=L f ( t )= ∫0−¿¿

∞ f (t)e−st dt

Donde f (t) es la función a transformar. L denota la operación transformada de Laplace y F(s) es la correspondiente función transformada. La variable transformada s es compleja y la notación convencional por coordenadas rectangulares es s=σ+ jω. Por lo tanto, los valores se pueden visualizar en un plano complejo conocido como plano s con los componentes x y y determinadas por la parte real e imaginaria. ALGUNOS PARES DE TRANSFORMADAS Y TEOREMAS ÚTILESTeorema de diferenciación realLa transformada de Laplace de la derivada de una función f (t) se obtiene mediante

L[ ddx

f ( t)]=sF (s )−f (0)

En donde f (0) es el valor inicial de f (t) evaluado en t=0. 14


L[ d2

dt2 f (t)]=s2 F (s )−sf (0 )− f (0)

Teorema del valor finalEste teorema relaciona el comportamiento en estado estable de f (t) con el comportamiento de sF (s ) en la vecindad de s=0. Sin embargo, este teorema se aplica si y sólo si existelim

t →∞f ( t)[lo que significa que f(t) se asienta en unvalor definido para t → ∞. Si todos los polos de sF(s) se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s, existe lim

t →∞f ( t). Pero si sF(s) tiene polos en el eje imaginario 0 en elsemiplano derecho del plano s, f(t) contendrá funciones de tiempo oscilantes o exponencialmentecrecientes, respectivamente, ylim

t →∞f ( t) no existirá. El teorema de valor final nose aplica en tales casos. Por ejemplo, si f(t) es la función senoidal sen wt, sF(s) tiene polosen s s=± jωy lim

t →∞f ( t) no existe. Por tanto, este teorema no es aplicable a tal función.

El teorema de valor final se plantea del modo siguiente. Sif(t) y ddt

f ( t)se pueden transformar por el método de Laplace, si F(s) es la transformada de Laplace de f(t), y si existelimt →∞

f ( t), entonceslimt →∞

f ( t )=lims → 0

sF (s)

Considere la función:F ( s )= 5

s ( s2+s+2 )

Debido a que sF(s) es analítica sobre el eje imaginario y en el semiplano derecho del plano s, el teorema del valor final puede ser aplicado. limt →∞

f ( t )=lims → 0

sF (s)

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limt →∞

f ( t )=lims → 0

s5

s (s2+s+2 )= 5

(02+0+2 )=5

2=2.5

Teorema del valor inicialEl teorema de valor inicial es la contraparte del teorema de valor final. Este teorema nos permite encontrar el valor de f(t) en t = 0+ directamente, a partir de la transformada de Laplace de f(t). El teorema de valor inicial no proporciona el valor de f(t) en exactamente t = 0, sino en un tiempo ligeramente mayor que cero.El teorema de valor inicial se plantea del modo siguiente: si f(t) y df(t)/dt se puedentransformar por el método de Laplace y si existe lims → ∞

sF (s ), entonces, limt →0

f ( t)=lims → ∞

sF (s )

Al aplicar el teorema de valor inicial, no estamos limitados a las posiciones de los polosde sF(s). Por tanto, el teorema de valor inicial es válido para la función senoidal.Debe señalarse que el teorema de valor inicial y el teorema de valor final proporcionanuna verificación conveniente en la solución, dado que nos permiten predecir el comportamientodel sistema en el dominio de tiempo sin transformar en realidad las funciones ens de regreso a las funciones de tiempo.Teorema de la integración realSi f(t) es de orden exponencial, existe la transformada de Laplace de

L [∫ f ( t ) dt ]=F (s)s

+f−1(0)

s

En donde F ( s )=L [ f (t) ] y f−1(0)=∫ f (t ) dt, evaluados en t = 0.

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Singularidades de una función Las singularidades de una función son los puntos en el plano s en donde la función o sus derivadas no existen. La definición de un polo se puede enunciar como si una función G(s) es analítica y univaluada, en la vecindad de si, se dice que tiene un polo de orden r en s=si, si el

lims →si

[ ( s−si )r G(s )]

Límite tiene un valor finito diferente de cero. En otras palabras, el denominador de G(s) debe incluir el factor ( s−s i )r, por lo que cuando

s−si, la función se vuelve infinita. Si r = 1, el polo en s=si, la función se vuelve infinita. La función

G (s )= 10(s+2)s (s+1 ) ( s+3 )2

Tiene un polo de orden 2 (o de segundo orden) en s = -3 y polos sencillos en s = 0 y s = -1. También se puede decir que la función G(s) es analítica en el plano s, excepto en estos polos.Ceros de una funciónLa definición de un cero se puede enunciar como si una función G(s) es analítica en s=si, se dice que tiene un cero de orden r en s=si, si el límite

lims →si

[ ( s−si )r G(s )]

Tiene un valor finito diferente de cero. O, G(s) tiene un cero de orden r en s=si si 1G(s ) tiene un polo de orden r en s=si.

La ecuación:17


G (s )= 10(s+2)s (s+1 ) ( s+3 )2

Tiene un cero sencillo en s = 2. Si la función que se considera es una función racional de s, esto es, un cociente de dos polinomios en s, el número total de polos es igual al número total de ceros, al contar los polos y ceros de orden múltiple, y al tomar en cuenta los polos y ceros en el infinito. La función de la ecuación:

G (s )= 10(s+2)s (s+1 ) ( s+3 )2

Tiene 4 polos finitos en s =0, -1, -3 y -3; existe un cero finito en s = -2, pero hay tres ceros infinitos, ya que:lims → ∞

G (s )=lims →∞

10

s3=0

Por tanto, la función tiene un total de cuatro polos y cuatro ceros en el plano s, incluyendo los que están en el infinito.

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Ejercicio realizado con MATLAB:El denominador es igual a

>> num=[0 0 10 10];>> den=[1 7 15 9 0];>> m=tf(num,den) [enter]Transfer function: 10 s + 10--------------------------s^4 + 7 s^3 + 15 s^2 + 9 s>> pzmap(m)

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II TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE MEDIANTE LA EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALESEn la mayoría de los problemas de sistemas de control, la evaluación de la transformada inversa de Laplace no recae en el uso de la integral de inversión. Mas bien, la transformada inversa de Laplace que involucra funciones racionales se puede realizar mediante empleo de transformadas de Laplace y la expansión en fracciones parciales.Expansión en fracciones parcialesCuando la solución mediante transformada de Laplace de una ecuación diferencial es una función racional en s, se puede escribir como:

G (s )=Q(s)P(s)

En donde P(s) y Q(s) son polinomios en s. Se supone que el grado de P(s) en s es mayor que el de Q(s). el polinomio P(s) se puede escribir como:P (s )=sn+an−1 sn−1+⋯+a1 s+a0

En donde a0 , a1 ,⋯ , an−1son coeficientes reales.

Expansión en fracciones parciales con Polos simplesSi todos los polos son simples y reales, la ecuación:

G (s )=Q(s)P(s)

Se puede escribir como:

G (s )=Q(s)P(s)

=Q(s)

( s+s1 ) ( s+s2 )⋯ ( s+sn )

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En donde s1 ≠ s2⋯≠ sn. Al aplicar la expansión en fracciones parciales, la ecuación anterior se escribe como:G (s )=

Q(s)P(s)

=A s 1

( s+s1 )+

A s 2

( s+s2 )+⋯+

A sn

(s+sn )

Dada la función G(s) obtener g(t):G (s )= 5 s+3

(s+1 ) (s+2 ) (s+3 )

Solución:G (s )= 5 s+3

(s+1 ) (s+2 ) (s+3 )=

A1

( S+1 )+

A2

(S+2 )+

A3

( S+3 )

A1=[ (s+1 ) 5 s+3( s+1 ) (s+2 ) (s+3 ) ]s=−1

=5 (−1 )+3

(−1+2 ) (−1+3 )=−1⇒ A1=−1

A2=[ (s+2 ) 5 s+3( s+1 ) ( s+2 ) (s+3 ) ]s=−2

=5 (−2 )+3

(−2+1 ) (−2+3 )=7⇒ A2=7

A3=[ (s+3 ) 5 s+3(s+1 ) ( s+2 ) ( s+3 ) ]s=−3

=5 (−3 )+3

(−3+1 ) (−3+2 )=−6⇒ A3=−6

G (s )= 5 s+3(s+1 ) (s+2 ) (s+3 )

= −1( S+1 )

+ 7(S+2 )

+ −6( S+3 )

Ahora aplicamos la transformada de Laplace y obtenemosg(t )=−e−t+7 e−2t−6 e−3 t

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Expansión en fracciones parciales con Polos de orden múltipleSi r de los n polos de G(s) son idénticos, o se dice que el polo en s=−si es de multiplicidad r, G(s) se escribe:

G (s )=Q(s)P(s)

=Q (s)

( s+s1 ) ( s+s2 )⋯ ( s+sn−r ) (s+si )r

( i≠ 1,2 …, n−r ). Entonces G(s) se puede expandir como:

Las ecuaciones para determinar los coeficientes que corresponden a los polos de orden múltiple se describen como sigue:

Obtenga g(t) de la expresión:G (s )= 1

s (s+1 )3 ( s+2 )

Solución:23


G (s )= 1

s (s+1 )3 ( s+2 )=

K1

s+

K2

s+2+

A1

s+1+

A2

(s+1 )2+

A3

(s+1 )3

Polos simples:K1=[s 1

s (s+1 )3 ( s+2 ) ]s=0

=1

(0+1 )3 (0+2 )=

12=0.5

K2=[ (s+2 ) 1

s (s+1 )3 (s+2 ) ]s=−2

=1

−2 (−2+1 )3=

12=0.5

Polos repetidos:

Ahora, estos valores los sustituimos en la ecuación:G (s )=

K1

s+

K2

s+2+

A1

s+1+

A2

(s+1 )2+

A3

(s+1 )3=0.5

s+ 0.5

s+2+ 1

s+1+ 0

(s+1 )2+ −1

(s+1 )3

24


25


Aplicamos la anti transformada de Laplace y se obtiene:g ( t )=0.5

s+ 0.5

s+2+ 1

s+1+ 0

(s+1 )2+ −1

(s+1 )3=1

2δ+ 1

2e−t+e−t−t2 e−t

g (t )=12

δ+ 12

e−t +e−t−t2 e−t

Expansión en fracciones parciales con Polos complejosSea una función en la cual algunas raíces del polinomio del denominador soncomplejas:

F ( s )= 16 s+26

s ( s2+4 s+13 )

Solución: 1. Reconociendo que dos de los polos son complejos:

La técnica del desarrollo en fracciones se puede modificar para utilizar un desarrollo parcialmente completo tal que:F ( s )= A

s+ Bs+C

( s2+4 s+13 )

El factor de segundo orden que genera las raíces complejas no se desarrolla. El valor de A se puede evaluar multiplicando F(s) por s y haciendo s = 0. Aunque B y C no se pueden calcular de esta forma, los valores se pueden determinar utilizando una comparación de los coeficientes del numerador. Una comparación de los numeradores da:26


A=[ s16 s+26

s ( s2+4 s+13 ) ]s=0

=16(0)+26

(02+4 (0)+13 )=

2613

=2

16 s+26

s ( s2+4 s+13 )= A

s+ Bs+C

s2+4 s+13

16 s+26= As

s (s2+4 s+13 )+ Bs+C

s2+4 s+13s (s2+4 s+13 )

16 s+26=As2+4 As+13 A+B s2+Cs

16 s+26 ≡ ( A+B ) s2+( 4 A+C ) s+13 A

Establecemos la comparación entre las variables faltantes:( A+B ) s2=0

( A+B ) s2=0 → B=−A=−2

16 s= (4 A+C ) s→ C=16−4 A=16−4 (2 )=8

Con el resultado de A = 2, B = -2 y C = 8. El desarrollo es entonces:F ( s )=2

s+ −2 s+8

(s2+4 s+13 )

Se necesita alguna manipulación algebraica para obtener expresiones para las cuales se reconocen las transformadas inversas, tales como la suma de una función senoamortiguada y una función coseno amortiguada:e−at sin ωt= ω

( s+a )2+ω2

e−at cos ωt= s+a

(s+a )2+ω2

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F ( s )=2s+ −2 s+8

(s2+4 s+13 )=2

s+

−2(s+2)(s+2)2+32 +

4(3)(s+2)2+32

f (t)=2−2 e−2 t cos3 t+4 e−2 t sin 3 t

El mismo ejercicio podemos hacerlo de manera directa, es decir, utilizando las tablas de transformadas una vez conocidos los factores. Veamos:

e−at(A cosωt+(B−Aa )

ωsin ωt)= As+B

(s+a )2+ω2

F ( s )=2s+ −2 s+8

[ (s+2 )2+32 ]

Sustituimos los valores de: A=−2 ;B=8 ;a=2 y ω=3 en la ecuación compleja:2s+e−at(A cosωt+

(B−Aa )ω

sin ωt )=¿

¿ 2s+(−2 cos3 t+

(8−(−2)2 )3

sin 3 t)=2−2e−2 t cos3 t+4 e−2 t sin 3 t

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Expansión en fracciones parciales utilizando MATLABDada la función G(s) obtener g(t):

G (s )= 5 s+3(s+1 ) (s+2 ) (s+3 )

Introducimos los datos siguientes:>> a=[0 0 5 3];>> b=[1 6 11 6];>> m=tf(a,b)Transfer function: 5 s + 3----------------------s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6>> [r,p,k]=residue(a,b)r = -6.0000 7.0000 -1.0000p =

-3.0000 -2.0000 -1.0000k = []

Estos resultados lo colocamos en la expresión:29


G (s )= 5 s+3(s+1 ) (s+2 ) (s+3 )

= −6( S+3 )

+ 7(S+2 )

− 1(S+1 )

Ahora, buscamos la anti transformada de Laplace utilizando el programa MATLAB:>> syms sf=-6/(s+3);ilaplace(f)ans =-6*exp(-3*t)------------------------------------------------------------------------------------------------------------>> f1=7/(s+2);>> ilaplace(f1)ans =7*exp(-2*t)>> f2=-1/(s+1);>> ilaplace(f2)ans =-exp(-t)------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejercicio de problemas con Polos de orden múltiple

G (s )= 1

s (s+1 )3 ( s+2 )

Solución:Al igual que en el ejercicio anterior, debemos desarrollar el polinomio del denominador, con el objetivo de introducir los datos en MATLAB

30


>> num=[0 0 0 0 0 1];>> den=[1 5 9 7 2 0];>> m2=tf(num,den)Transfer function: 1---------------------------------s^5 + 5 s^4 + 9 s^3 + 7 s^2 + 2 s>> [r,p,k]=residue(num,den)r = 0.5000 -1.0000 -0.0000 -1.0000 0.5000

p = -2.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 0k = []

Ahora sustituimos los valores encontrados en la ecuación:G (s )=0.5

s+ 0.5

s+2− 1

s+1+ 0

( s+1 )2− 1

(s+1 )3

¿ g1=0.5 /s ;¿ ilaplace(g1)

ans=1/2

Los otros valores ya sabemos cómo buscarlos, a excepción de:¿ g 2=1/ (s+1)3 ;¿ ilaplace(g2)

ans=1/2∗t2∗exp(−t)

31


Lo cual coincide con la respuesta ya buscada.

III APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES.Procedimiento:

1. Transformar la ecuación diferencial al dominio de s mediante la transformada de Laplace, utilizando la tabla de transformadas de Laplace.2. Manipular las ecuaciones algebraicas transformadas y resolverlas para la variable de salida.3. Realizar la expansión en fracciones parciales de la ecuación algebraica transformada.4. Obtener la transformada inversa de Laplace de la tabla de transformadas de Laplace.

Considere la ecuación:d2 y ( t)

dt2 +3dy (t)

dt+2 y (t)=5 us(t)

32


Dondeus(t)= es la función escalón unitario. Las condiciones iniciales son:y (0 )=−1 y y (1 ) (0 )= dy (t)

dt |t=0

=2.

Solución:

Obtenemos la transformada de Laplace de la expresión:

d2 y ( t)dt2 =s2Y ( s)−sy (0 ± )− y (0 ± )=s2Y (s )+s−2

3dy (t)

dt=3 {sY (s )− y (0±)}=3 {sY ( s )+1}=3 sY ( s )+3

2 y (t)=2Y (s)

5 us ( t )=5s

s2 Y ( s )+s−2+3 sY (s )+3+2 Y ( s )=5s

Y (s ) {s2+3 s+2}+s+1=5s

Y (s ) {s2+3 s+2 }=5s−1−s=5−s−s2

s

Y (s )= 5−s−s2

s (s2+3 s+2 )

Obtenemos las raíces del denominador por si queremos encontrar los valores de forma analítica:

33


O expandimos el polinomio del denominador, si lo que queremos encontrar utilizando MATLAB:

Resolviendo de forma analítica, tenemos:Y (s )= 5−s−s2

s (s2+3 s+2 )= 5−s−s2

s ( s+1 ) ( s+2 )= A

s+ B

s+1+ C

s+2

A=[ s5−s−s2

s ( s+1 ) (s+2 ) ]s=0

= 5−0−02

(0+1 ) (0+2 )=2.5

B=[(s+1) 5−s−s2

s (s+1 ) (s+2 ) ]s=−1

=5−(−1)−(−1)2

−1 (−1+2 )=−5

34


C=[(s+2) 5−s−s2

s (s+1 ) ( s+2 ) ]s=−2

=5−(−2)−(−2)2

−2 (−2+1 )=1.5

Y (s )= As

+ Bs+1

+ Cs+2

=2.5s

− 5s+1

+ 1.5s+2

Aplicamos la anti transformada de Laplace:y (t )=2.5

s− 5

s+1+ 1.5

s+2=2.5−5 e−t+1.5 e−2 t

IV LINEALIZACION DE MODELOS MATEMATICOS NO LINEALESAl analizar la respuesta dinámica de-los procesos industriales, una de las mayores dificultades es el hecho deque no es lineal, es decir, no se puede representar mediante ecuacioneslineales. Para que una ecuación sea lineal, cada uno de sus términos no debe contenermás de una variable o derivada y esta debe estar a la primera potencia. Desafortunadamente, con la transformada de Laplace, solamente se pueden analizar sistemas lineales. Otra dificultad es que noexiste una técnica conveniente para analizar un sistema no lineal, de tal manera que sepueda generalizar para una amplia variedad de sistemas físicos.

35


En esta sección se estudia la técnica de linealización, mediante la cual es posible aproximarlas ecuaciones no lineales que representan un proceso a ecuaciones lineales quese pueden analizar mediante transformadas de Laplace. La suposiciónbásica es que larespuesta de la aproximación lineal representa la respuesta del proceso en la región cercanaal punto de operación, alrededor del cual se realiza la linealización.El manejo de las ecuaciones linealizadas se facilita en gran medida con la utilizaciónde las variables de desviación o perturbación, mismas que se definen a continuación.Variables de desviaciónLa variable de desviación se define como la diferencia entre el valor de la variable o señaly su valor en el punto de operación:

X ( t )=x ( t )−x

X ( t ) : es la variablede desviaciónx (t ) :es la variable absolutacorrespondiente

x0=x=esel valor de x enel punto deoperación (valor base)

En otras palabras, la variable de desviación es la desviación de una variable respecto asu valor de operación o base. Como se ilustra en la figura 2.1, la transformación del valorabsoluto de una variable al de desviación, equivale a mover el cero sobre el eje de esa variable hasta el valor base.

Figura 2.1: Variable de desviación 36


Considere un sistema cuya entrada es x(t) y cuya salida es y(t). la relación entre y(t) y x(t) se obtiene mediante:Y=f (x )

Si la condición de operación normal corresponde a x0, y0, la ecuación y=f (x ) se expande en serie de Taylor alrededor de este punto, del modo siguiente:

Y=f ( x0 )+ dfdx

( x−x0 )+ 12!

d2 fdx2 ( x−x0 )2+⋯

En donde las derivadas se evalúan en x=x0. Si la variación x−x0 es pequeña, es posible no considerar los términos de orden superior en x−x0. A continuación la ecuación:

Y=f ( x0 )+ dfdx

( x−x0 )+ 12!

d2 fdx2 ( x−x0 )2+⋯

Se escribe como:y= y0+K (x−x0)

En donde:y0=f (x0)

K= dydx |

x= x0La ecuación y= y0+K (x−x0) puede reescribirse como:y− y0=K (x−x0)

Lo cual indica que y− y0 es proporcional a (x−x0).

37


A continuación, considere un sistema no lineal cuya salida y es una función de dos entradas x1 y x2, de modo que:

y=f (x1 , x2)

A fin de obtener una aproximación lineal para este sistema no lineal, es posible expandir la ecuación anterior en series de Taylor alrededor del punto de operación normal x1 , x2. Después, esta ecuación se convierte en:y=f ( x1 , x2 )+[ ∂ f

∂ x1( x1−x1 )+ ∂ f

∂ x2( x2−x2 )]+ 1

2 ! [ ∂2 f∂ x1

2 ( x1−x1 )2+2∂2 f

∂ x1 ∂ x2( x1−x1 ) ( x2−x2 )+ ∂2 f

∂ x22 ( x2−x2 )2]+⋯

En donde las derivadas parciales se evalúan para x1=x1, x2=x2.El modelo matemático lineal de este sistema no lineal alrededor de la condición de operación se obtiene mediante:

y− y=K1 ( x1−x1 )+K2 ( x2−x2 )

En donde:y=f ( x1 , x2 )

K1=∂ f∂ x1

|x1= x1 , x2=x2

K2=∂ f∂ x2

|x1= x1 , x2= x2

Ejercicio:1)Suponga que el flujo Q y la altura H en un sistemade nivel de líquido se relacionan mediante

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Q=0.002 √ HObtenga un modelo matemático linealizado que relacione el flujo y la altura cerca del punto de operación en estado estable (Q0 , H 0 ), en donde H 0=2.25 m y Q0=0.003 m3 /seg.

Solución:dQdQ|

Q0=0( Q−Q0 )=0.002

d H12

dH |H 0=0

( H−H0 )

Q=Q 0+0.002( 12 )H 0

−1/2 ( H−H 0 )=Q 0+0.001 ( H−H 0 )

√ H 0

Q=0.003 m3/ seg+0.001 ( H−2.25m )

√2.25 m

2)Linealice la ecuación no lineal:z=xy

En la región 5 ≤ x ≤7 ,10 ≤ y ≤12. Encuentre el error si se usa la ecuación linealizada para calcular el valor de z cuando x = 5, y = 10.Solución:

1) Tomamos x0=6 , y0=11

2) z0=x0 y0=(6 ) (11 )=66

3) Linealizamos la ecuación z=xy

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dzdz|z0=0

( z−z0 )=xdydy|

y0=0( y− y0 )+ y

dxdx|x0=0

( x−x0 )

( z−z0 )=x0 ( y− y0 )+ y0 ( x−x0 )

z−66=6 ( y−11 )+11 ( x−6 )o ∆ z=6∆ y+11 ∆ x

Otra respuesta pudo haber sido:z=6 ∆ y+11∆ x+66

b) Determinar el errorSolución:Cuando x = 5, y = 10

z=6 ( y−11)+11 ( x−6 )+66=6 (10−11 )+11 (5−6 )+66

z=−6−11+66=49

El valor verdadero de z es z=xy= (5 ) (10 )=50

En términos de porcentaje, el error es de %=(50−49 )

50× 100=2

40


V FUNCION DE TRANSFERENCIAEn la ingeniería de control se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones entrada – salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo.La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante con el tiempo se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero.

G (s )= L [ salida ]L [ entrada ]|condiciones iniciales cero

=Y (s )X ( s )

Comentarios sobre la función de transferencia:1. La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es un método operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada.2. La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación.3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo, no proporciona información acerca de la estructura física del sistema. (Las funciones de transferencia de muchos sistemas físicamente diferentes pueden ser idénticas.)4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuestapara varias formas de entrada, con la intención de comprender la naturaleza del sistema.

41


5. Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vez establecida una función de transferencia, proporciona una descripción completa delas características dinámicas del sistema, a diferencia de su descripción física.

III DIAGRAMAS DE BLOQUES

Diagrama de BloquesEn general, un diagrama de bloques consiste en una configuración específica de cuatro tiposde elementos: bloques, puntos de suma, puntos de toma y flechas que representan la señal de flujo unidireccional:

Figura 3.1 Elementos del diagrama de bloque

Bloques en cascadaCualquier número finito de bloques en serie se puede combinar algebraicamente por medio de la multiplicación de funciones de transferencias, esto es, n componentes o bloques de funciones de transferencias conectados en cascada, son equivalentes a un solo elemento G conuna función de transferencia dada por G:

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G=G1 . G2 . G3⋯Gn=∏i=1

n

Gi

Siempre que no haya confusión, se puede omitir el signo de multiplicación. Ejemplo:

La multiplicación de las funciones de transferencia es conmutativa, esto es,Gi G j=G jGiEjemplo:

Formas canónicas de un sistema de control con retroalimentaciónLos dos bloques que se presentan en la figura 3.2 representan lo que se denomina forma canónicadel sistema de control retroalimentado:

Figura 3.2Forma canoníca de representación

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Las siguientes definiciones parten de la figura 3.2G ≡ función de transferencia directa≡ función de transferencia

H ≡ función de transferencia de laretroalimentación

GH ≡ función de transferencia de la malla=función de transferencia encircuitoabierto

CR

≡ función de transferenciaen mallacerrada ≡relación decontrol

ER

≡ relaciónde señal actuante≡ relación deerror

BR

≡relación de retroalimentación primaria

En las siguientes ecuaciones, el signo (-) se refiere a un sistema con retroalimentación positiva,y el signo (+) a un sistema con retroalimentaci6n negativa:CR

= G1± GH

ER

= 11 ± GH

BR

= GH1 ± GH

Teoremas de transformación de diagramas de bloquesLos diagramas de bloques de sistemas de control complicados se pueden simplificar utilizando transformaciones fácilmente derivables. La figura 3.3 presenta una tabla de los principales teoremas de transformación de los diagramas de bloques.

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Figura 3.3teoremas de la transformación de los diagramas de bloques45


Retroalimentación unitariaUn sistema con retroalimentación unitaria es aquel en el cual la retroalimentación primaria B es exactamente igual a la salida controlada C (figura 3.4)

Figura 3.4: Retroalimentación unitaria

Superposición de entradas múltiples Algunas veces es necesario evaluar el desempeño de un sistema cuando se aplican simultáneamente varias entradas en diferentes puntos de dicho sistema.

Figura 3.5: Sistema de entradas múltiplesSi en un sistema lineal están presentes entradas múltiples, cada una se trata independientemente.La salida debida a los estímulos que actúan juntos se encuentra así: Suponemos condicionesiniciales cero, ya que buscamos cómo responde el sistema físicamente a las entradas.

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Paso 1: Igualar todas las entradas, excepto una, a cero.Paso 2: Transformar el diagrama de bloques a la forma canónica.Paso 3: Calcular la respuesta debida a la entrada escogida cuando ésta actúa sola.Paso 4: Repetir los pasos I al 3 para cada una de las entradas restantes.Paso 5: Sumar algebraicamente todas las respuestas (salidas) determinadas en los pasos 1 al4. Esta suma es la salida total del sistema cuando todas las entradas actúan simultáneamente.Reducción de diagramas de bloquesLos diagramas de bloques de sistemas de control con retroalimentación prácticos, a menudo son bastante complicados. Estos pueden presentar varias mallas directas o de retroalimentación y entradas múltiples.Mediante una reducción sistemática del diagrama de bloques, todo sistema de retroalimentación lineal de mallas múltiples se puede reducir a la forma canónica. Las técnicasdesarrolladas en los párrafos anteriores proporcionan las herramientas necesarias.Ejemplo: Reduzcamos a la forma canónica el siguiente diagrama de bloque:

Figura 3.6: Diagrama de BloquesPaso 1: combinamos los bloques en serie

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Figura 3.7: Diagramas de bloques en serie

Paso 2: combinamos los bloques en paralelo

Figura 3.8: Diagramas de bloques en paraleloPaso 3: reducimos la retroalimentación unitaria:

Figura 3.9: Reducción de bloques en retroalimentación Las reducciones que se han realizado, nos han dejado con el diagrama de bloques de esta manera:

Figura 3.10: Simplificación de los diagramas de bloques

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Para que esté en la forma canoníca, solo hace falta reducir los diagramas que están en serie, resultando:

Figura 3.11: Diagrama de bloques en forma canónica

IV GRAFICAS DE FLUJO DE SEÑAL

Grafo de flujo de señal Una gráfica de flujo de señal (GFS) se puede ver como una versión simplificada de un diagrama de bloques. Se puede definir como un medio gráfico de retratar las relaciones entrada – salida entre las variables de un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales.Elementos básicos de una gráfica de flujo de señalCuando se construye una GFS, los puntos de unión o nodos, se utilizan para representar variables. Los nodos están conectados por segmentos lineales llamados ramas, de acuerdo con las ecuaciones de causa y efecto. Las ramas tienen ganancias y direcciones asociadas. Una señal se puede transmitir a través de una rama solamente en la dirección de la flecha. En general, dado un conjunto de ecuaciones, la construcción de una GFS consiste en seguir las relaciones de causa y efecto relacionando cada variable en términos de si misma y de las otras. Por ejemplo, considere que un sistema lineal está representado por la ecuación algebraica sencilla:

y2=a12 y1

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Figura 3.12: Gráfica de flujo de señal En donde y1es la entrada, y2 la salida y a12 la ganancia o transmitancia, entre las dos variables.

Algebra de los grafos de flujo de señal1. Regla de adición

El valor de la variable designada por un nodo es igual a la suma de todas las señales que entran en él. En otras palabras, la ecuación:X i=∑

j=1

n

A ij X j

Se representa por la figura 3.13:

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Figura 3.13: Regla de adición Ejemplo: En la figura 3.14 se muestra el GFS para la ecuación de una línea, Y=mX+b, en el sistema de coordenadas rectangulares. Puesto que b, la intersección con el eje Y, es una constante; ésta puede representar un nodo (variable) o una función de transmisión.

Figura 3.14: Representación de la ecuación Y=mX+b2. Regla de transmisión El valor de la variable designada por un nodo se transmite en todas las ramas que parten de él. En otras palabras, la ecuación:

X i=A ik X k i=1,2 ,⋯ , n ,k

Se representa por la figura 3.15:

Figura 3.15: Regla de transmisión Ejemplo:

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Las ecuaciones simultáneas Y=3 X , Z=−4 X están representadas en la figura 3.16

Figura 3.16: Representación de las ecuaciones Y=3 X , Z=−4 X

3. Regla de la multiplicación Una conexión en cascada (en serie) de n – 1 ramas con funciones de transmisión A21 , A32 , A43⋯ An (n−1) puede remplazarse por una sola rama con una función de transmisión igual al producto de todas las ramas. Esto es,

X n=A21 ∙ A32 ∙ A43⋯ An(n−1) ∙ X1

Figura 3.17: Regla de la multiplicación EjemploLa figura 3.18 representa el GFS para las ecuaciones simultáneas Y=10 X , Z=−20 Y

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Figura 3.18: Representación de las ecuaciones Y=10 X , Z=−20 Y

Definiciones. La terminología a utilizar está relacionada con la figura 3.19

Figura 3.19: Grafo de flujo de señalDefinicionesTrayectoria. Es una sucesión continua unidireccional de ramas a lo largo de las cuales no se pasa un nodo más de una vez. Por ejemplo,X1 a X2 a X3 a X 4; X2 a X3y de nuevo a X2, y de X1 a X2 a X 4 son trayectorias.

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Figura 3.20: Trayectorias Nodo de entrada o fuente. Es aquel desde el cual solamente salen ramas a lo largo de las cuales no se pasa un nodo más de una vez. Por ejemplo, X1es un nodo de entrada. Nodo de salida o sumidero. Es aquel al cual solamente llegan ramas. Por ejemplo, X 4es un nodo de salida. Trayectoria directa. Es una trayectoria de un nodo de entrada a un nodo de salida. Por ejemplo, X1 a X2 a X3 a X 4 y X1 a X2 a X 4, son trayectorias

directas.

Malla. Una malla es una trayectoria que se origina y termina en el mismo nodo y en donde ningún otro nodo se encuentra más de una vez. Por ejemplo, X2 a X3y de nuevo a X2, es una trayectoria de retroalimentación.

Auto malla. Es una malla de retroalimentación que consta de una sola rama. Por ejemplo, A33es una auto malla.La ganancia de una rama es la función de transmisión de esa rama, cuando la función de transmisión es un operador multiplicativo. Por ejemplo, A33es la ganancia del auto malla.

La ganancia de la trayectoria es el producto de las ganancias de rama encontradas a lo largo de una trayectoria. Por ejemplo, la ganancia de la trayectoria directa de X1 a X2 a X3 a X 4es A21 A32 A43.

La ganancia de malla es el producto de las ganancias de rama de la malla. Por ejemplo, la ganancia de malla, en la malla de retroalimentación de X2 a X3y de regreso a X2 es A32 A23.

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Muy a menudo, una variable en un sistema es función de la variable de salida. Hay casos en los que es necesario agregar una rama con función de transmisión de unidad que entre a un nodo “hipotético”. Por ejemplo, los dos grafos de la figura 3.21 son equivalentes.

Figura 3.21: Trayectorias equivalentes

Construcción de grafos de flujo de señalesEl grafo de flujo de señales de un sistema de control lineal con retroalimentación cuyos componentes se especifican mediante funciones de transferencia no interactivas, puede construirsemediante referencia directa al diagrama de bloques del sistema. Cada variable del diagrama debloques se convierte en un nodo, y cada bloque será una rama. En la figura 3.22 se presenta el diagrama de bloques y su diagrama de flujo de señal equivalente.

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Figura 3.22, (a) Diagrama de bloques de un sistema de control. (b) Gráfica de flujo de señal equivalente

Fórmula de ganancia para gráficas de flujo de señalDada una GFS con N trayectorias directas, y L mallas, la ganancia entre el nodo de entrada y el nodo de salida es:

M=y sal

yent

=∑k=1

N M k ∆k

∆

En donde:

Lmr=producto de la ganancia de lacombinación posible m−ésima (m=i , j , k ,⋯ ) de las mallas deno contacto (1≤ r ≤ L)

O ∆=1−¿ (suma de las ganancias de todas las mallas individuales) + (suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos mallas que no se tocan) – (suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de tres mallas que no se tocan) + …

∆k=¿ la ∆ para aquella parte del GFS que no toca la k – ésima trayectoria directa.

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57


Respuesta en frecuenciaEl término respuesta en frecuencia se define como la respuesta en estado estable de un sistema a una entrada senoidal; la respuesta se monitorea sobre un intervalo de frecuencias. La respuesta en estado estable es la que permanece después de que todos los transitorios han decaído a cero. Si a un sistema lineal se aplica una entrada senoidal, la salida es también una senoidal y la de la misma frecuencia. La salida puede diferir de la entrada en amplitud y en fase. El cociente de la amplitud de la salida entre la amplitud de la entrada en general se conoce como magnitud, aunque algunas veces se denomina amplitud o ganancia. El corrimiento de fase de la senoidal de salida en relación con aquel de la senoidal de entrada se denomina fase. La variación de la magnitud y la fase con la frecuencia se denomina respuesta en frecuencia del sistema. La función de transferencia G(s) de un sistema en general se puede representar mediante

G (s )=K (s−z1 ) (s−z2 )⋯(s−zn)

(s−p1) ( s−p2 )⋯ (s−pn)

Donde K es la ganancia; z1, z2⋯ zn, los ceros del sistema, y ; p1 , p2⋯ pn, los polos, habiendo m ceros y n polos. De este modo, puesto que G(s) es el cociente de la salida entre la entrada, es decir, G (s )=Y (s)R(s)

,entonces la salida está dada porY (s)=

K (s−z1 ) ( s−z2 )⋯ (s−zn )( s−p1 ) ( s−p2 )⋯ ( s−pn )

R (s )

De esta manera, si se considera una entrada senoidal:r ( t )=a senωt

Donde a es la amplitud de la entrada y ω la frecuencia angular en rad/seg, entonces:R (s )= aω

s2+ω2

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Y la ecuación Y (s)=K (s−z1 ) ( s−z2 )⋯ (s−zn )( s−p1 ) ( s−p2 )⋯ ( s−pn )

R (s ), se convierte en:Y (s)=

K (s−z1 ) ( s−z2 )⋯ (s−zn )( s−p1 ) ( s−p2 )⋯ ( s−pn )

aωs2+ω2

Esta ecuación se puede solucionar usando fracciones parciales y obtener una relación de la forma:Y (s )=términos transitorios+términos enestado estableLos términos transitorios desaparecen con el tiempo. De esta manera, si sólo se tiene interés en el estado estable, la solución que se obtiene es:

y (t )=a|G( jω)|sen (ωt+θ )

La salida en estado estable es senoidal con la misma frecuencia angular ω que la entrada. |G( jω)| es la magnitud de la función de transferencia G (s ) cuando s se reemplaza por jω. La función G ( jω ) la cual se obtiene al reemplazar G (s ), se denomina función de transferencia en frecuencia. Ejemplo 1: Considere la función de transferencia

G (s )= 1s+2Se hace s= jω, entonces

G ( jω )= 1jω+2Multiplicamos la expresión anterior por el complejo conjugado que es

2− jω, y obtenemos:G ( jω )= 1

jω+2×

2− jω2− jω

= 2− jω

2 jω− j2ω2+4−2 jω=2− jω

ω2+4= 2

ω2+4− ω

ω2+4j

La magnitud está dada por r=√x2+ y2Y el ángulo por:

59


θ=tan−1 yxTomando en cuenta el signo.

|G( jω)|=2√( 2ω2+4 )

2

+( ωω2+4 )

2

=2√ 4

(ω2+4 )2+ ω2

(ω2+4 )2= 2√ (ω+4 )

(ω2+4 )2

|G( jω)|=2√ (ω+4 )

( ω2+4 )2= 1

√ω2+4Y la fase θ está dada porθ ¿ tan−1

−ω

ω2+42

ω2+4

=tan−1 −ω2

Ejemplo 2: ¿Cuáles son la magnitud y la fase de salida en estado estable de un sistema que está sujeto a una entrada senoidal de r (t )=2sin (3 t+60o ) , si éste tiene una función de transferencia de:

G (s )= 4s+1Se hace s= jω, entonces

G ( jω )= 4jω+1

×1− jω1− jω

= 4−4 jω

jω− j2ω2+1− jω=4−4 jω

ω2+1= 4

ω2+1− 4 ω

ω2+1j

|G( jω)|=2√( 4ω2+1 )

2

+( 4 ωω2+1 )

2

= 2√ 16

(ω2+1 )2+ 16 ω2

(ω2+1 )2=2√ 16 (ω2+1 )

( ω2+1 )2

|G( jω)|=2√ 16 (ω+1 )

( ω2+1 )2= 4

√ω2+1

Y la fase θ está dada porθ=tan−1

−4 ω

ω2+14

ω2+1

=tan−1−ω

60


Y, dado que y es negativa y x positiva, es el ángulo mediante el cual la salida se atrasa respecto a la entrada. Para una entrada específica ω=3 rad / se g, tendríamos:

|G( jω)|= 4

√32+1= 4

3.16=1.27

ϕ=tan−1−ω=tan−1−3=1.25 radianes=71.56 grados

y (t )=a|G( jω)|sen (ωt+θ+ϕ)=2 (1.27 ) sen(3t +60−71.56)

y (t )=2.54 sen(3 t−72)

Ejemplo 3: Para un sistema que tiene una función de transferencia

G (s )= 3s+2

Determinar:a) La magnitud y la fase de la respuesta en frecuenciab) Hacer una tabla que muestre los valores de la magnitud y la fase con la frecuencia angular para ω=0 , 2 ,10 , 100 ,∞ rad /seg

Hacemos s= jω, entoncesG ( jω )= 3

jω+2×

2− jω2− jω

= 6−3 jω

2 jω− j2ω2+4−2 jω=6−3 jω

ω2+4= 6

ω2+4− 3 ω

ω2+4j

|G( jω)|=2√( 6ω2+4 )

2

+( 3ωω2+4 )

2

=2√ 36

(ω2+4 )2+ 9ω2

(ω2+4 )2= 2√ 9 (ω2+4 )

( ω2+4 )2

|G( jω)|= 3

√ω2+4Y la fase θ está dada por

61


θ=tan−1

−3 ω

ω2+46

ω2+4

=tan−1 −12

ω

Frecuencias Magnitud Angulo de desfaseω |G( jω)|= 3

√ω2+4ϕ=tan−1 −1

2ω

0 3

√02+4= 3

√4=1.5 ϕ=tan−1 −1

2(0 )=tan−1 0=0

2 3

√22+4= 3

√8=1.06 ϕ=tan−1 −1

2(2 )=tan−1−1=−45

10 3

√102+4= 3

√104=0.29 ϕ=tan−1 −1

2(10 )=tan−1−5=−78.69

100 3

√1002+4= 3

√10004=0.03 ϕ=tan−1 −1

2(100 )= tan−1−50=−88.85

∞ 3

√∞2+4= 3

√∞=0 ϕ=tan−1 −1

2( ∞ )=tan−1 ∞=90

Respuesta en frecuencia de un sistema de Primer OrdenUn sistema de primer orden tiene una función de transferencia de la forma

G (s )= 1τs+1Donde τ es la constante de tiempo. La función de respuesta en frecuencia, G ( jω ), se puede obtener reemplazando s por jω. Por lo tanto

G ( jω )= 1jωτ +1Al multiplicar la expresión anterior por su conjugado, tenemos

G ( jω )= 1jωτ +1

×1− jωτ1− jωτ

= 1− jωτ

jωτ− j2ω2τ 2+1− jω= 1− jωτ

τ2 ω2+1

62


G ( jω )= 1− jωτ

τ2 ω2+1= 1

τ2 ω2+1− jωτ

τ2 ω2+1

|G( jω)|=2√( 1τ2 ω2+1 )

2

+( ωττ2 ω2+1 )

2

= 2√ 1

(τ2 ω2+1 )2+ τ2 ω2

( τ2 ω2+1 )2

|G( jω)|= 1

√τ2ω2+1Y la fase θ está dada porθ=tan−1

−ωτ

τ2ω2+11

τ2ω2+1

=tan−1−ωτ

El ángulo de fase es la cantidad por la cual la salida se atrasa respecto a la entrada dado por el término y es negativo y el x, es positivo.

63


Respuesta en frecuencia de un sistema de Segundo OrdenUn sistema de primer orden tiene una función de transferencia de la forma

G (s )=ωn

2

s2+2ωn ξs+ωn2Donde ωn es la frecuencia angular natural y ξ, es el factor de amortiguamiento relativo. La respuesta en frecuencia se obtiene al reemplazar s por jω de este modo, la función de respuesta en frecuencia,G ( jω ), está dada por

G ( jω )=ωn

2

( jω)2+2ωnξ ( jω)+ωn2 =

ωn2

−ω2+2 j ωn ωξ+ωn2

Al multiplicar la expresión anterior por su conjugado, tenemosG ( jω )= 1

[1−( ωωn

)2]+[2 jξ( ω

ωn)]

Al multiplicar la expresión anterior por el complejo conjugado, tendremos:G ( jω )=

1−( ωωn )

2

−2 jξ( ωωn )

[1−( ωωn

)2]

2

+[2 ξ( ωωn

)]2

La magnitud está dada por |G( jω)|= 1

√[1−( ωωn

)2]

2

+[2ξ ( ωωn

)]2

La fase está dada por la ecuación

64


ϕ=tan−1

2 ξ ( ωωn

)1−( ω

ωn)

2

El signo menos indica que la salida está retrasada respecto a la entrada.

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MATERIAL PREPARADO POR SOLIS PARA LAS CLASES DE CONTROL AUTOMATICO ENERO 2010.docx