299
PDF generado usando el kit de herramientas de fuente abierta mwlib. Ver http://code.pediapress.com/ para mayor información. PDF generated at: Sun, 19 Aug 2012 21:35:08 UTC MATE DISCRETA +

Mates Discretas +

  • Upload
    m1f2p3

  • View
    569

  • Download
    12

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Mates Discretas +

PDF generado usando el kit de herramientas de fuente abierta mwlib. Ver http://code.pediapress.com/ para mayor información.PDF generated at: Sun, 19 Aug 2012 21:35:08 UTC

MATE DISCRETA +

Page 2: Mates Discretas +

ContenidosArtículos

Núcleo (matemática) 1Conjunto imagen 2Dominio de definición 3Codominio 5Intervalo (matemática) 6Función continua 9Clasificación de discontinuidades 16Límite de una función 36Serie convergente 41Serie divergente 45Serie geométrica 47Progresión geométrica 49Criterio de d'Alembert 51Serie matemática 53Serie armónica (matemática) 55Serie alternada 58Algoritmo voraz 59Serie hipergeométrica 61Función de Bessel 62Símbolo de Pochhammer 76Función gamma 77Factorial 84Combinatoria 88Teoría de Ramsey 90Grupo simétrico 93Permutación 95Teorema de Cayley 98Combinaciones con repetición 99Ecuación diofántica 102Máximo común divisor 104Teorema chino del resto 106Números primos entre sí 108Congruencia (teoría de números) 109Número primo 111

Page 3: Mates Discretas +

Conjetura de Goldbach 129Iván Vinográdov 131Cribado grande 132Teoría de cribas 134Criba de Eratóstenes 135Conjetura de los números primos gemelos 147Números primos gemelos 148Constante de Brun 149Ley de Hardy-Weinberg 150Cuadro de Punnett 159Identidad de Bézout 160Bicondicional 161Condición necesaria y suficiente 162Algoritmo de Euclides 164Teoría de grafos 174Leyes de Kirchhoff 184Multigrafo 188Grafo dirigido 189Grafo etiquetado 191Grafo aleatorio 193Hipergrafo 194Hiperarista 195Optimización (matemática) 196Algoritmo símplex 197Conjetura de Hirsch 207Combinatoria poliédrica 208Geometría discreta 209Geometría computacional 211Computación gráfica 212Grafo conexo 215Diámetro 216Hipercubo 218George Dantzig 221Número de Fermat 223Regla y compás 225Teorema de la raíz racional 234Lema de Gauss 235Criterio de Eisenstein 236

Page 4: Mates Discretas +

Dominio de ideales principales 238Dominio de factorización única 238Elemento primo 239Origami 240Teorema de Mohr-Mascheroni 250Teorema de Poncelet–Steiner 251Tomografía axial computarizada 251Sólidos platónicos 256Gran círculo 259Trigonometría esférica 260Geometría no euclidiana 264Variedad de Riemann 268Geometría hiperbólica 271Disco de Poincaré 274Geometría elíptica 277Paralelismo (matemática) 279Perpendicularidad 281Lema de Euclides 284

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 286Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 290

Licencias de artículosLicencia 295

Page 5: Mates Discretas +

Núcleo (matemática) 1

Núcleo (matemática)En matemática, el núcleo de un operador A, denotado como Ker A o Nucl A, es el conjunto de todos los operandoscuya imagen sea el vector nulo. En notación matemática:

EjemplosConsidérese la función f(x, y)= x−y, definida para x e y números reales, que es lineal ya que se cumple que f(x+z,y+w)=(x+z)−(y+w)=f(x, y)+f(z, w). Su núcleo consiste en todos aquellos vectores cuya primera y segundacoordenada coinciden, en concreto el conjunto:

que es el mismo que la variedad lineal del vector (1,1), que describe la recta en el espacio vectorialortonormal .El núcleo del vector (1,2,3) al definirse una forma bilineal con una matriz de conexíon identidad (por ejemplo elproducto vectorial habitual) son todos aquellos vectores conjugados (también llamados ortogonales en un espaciovectorial no abstracto) cuyo producto sea nulo.

Deben cumplir la ecuación cartesiana:

o resolviendo el sistema (con dos parámetros cualesquiera) ser variedad lineal de los vectores:.

PropiedadesSi A es una matriz su núcleo es un subespacio vectorial del espacio vectorial total. La dimensión de este subespaciose llama nulidad de A. Se calcula como el número de filas que no tienen pivotes al reducir por filas la matriz A. Elteorema del rango establece que el rango de cualquier matriz más su nulidad es igual al número de columnas de lamatriz.

Enlaces externos• Weisstein, Eric W. «Kernel [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.• Kernel of a linear mapping [2] en PlanetMath

Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ Kernel. html[2] http:/ / planetmath. org/ ?op=getobj& amp;from=objects& amp;id=807

Page 6: Mates Discretas +

Conjunto imagen 2

Conjunto imagen

Ejemplo de imagen: La imagen del conjunto X esel conjunto Y, porque todos sus valores sonimagen de alguno del conjunto X. Imágenes

particulares de los valores: la imagen de 1 será D,la de 2 será B, la de 3 será C y la de 4 será C

también.

Ejemplo de Subconjunto imagen: Subconjuntoimagen de X (D,B,A) dentro del conjunto Y (aquíY no es imagen de X, porque no todos sus valores

son imagen de algún valor del conjunto de X).Imágenes particulares de los valores: La imagende 1 será D, la de 2 será B, la de 3 será A, y C no

es imagen de nadie (no tiene antiimagen).

En matemáticas, la imagen (conocida también como alcance,recorrido, campo de valores o rango) de una función esel conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar lafunción. Se puede denotar como , o bien yformalmente está definida por:

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Conjunto imagen [1]» (en inglés). MathWorld.Wolfram Research.

Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ Image. html

Page 7: Mates Discretas +

Dominio de definición 3

Dominio de definición

Ilustración que muestra f, una función de dominio X a codominio Y.El óvalo pequeño dentro de Y es la imagen de f, a veces llamado

rango de f.

En matemáticas, el dominio (conjunto de definición oconjunto de partida) de una función esel conjunto de existencia de ella misma, es decir, losvalores para los cuales la función está definida. Es elconjunto de todos los objetos que puede transformar, sedenota o bien . En se denominadominio a un conjunto conexo, abierto y cuyo interiorno sea vacío.

Definición

El dominio de definición de una función f:X→Y sedefine como el conjunto X de todos los elementos xpara los cuales la función f asocia algún y pertenecienteal conjunto Y de llegada, llamado codominio. Esto,escrito de manera formal:

Propiedades

Dadas dos funciones reales:

Se tienen las siguientes propiedades:

1.2.3.4.

Cálculo del dominio de una funciónPara el cálculo certero del dominio de una función, se debe introducir el concepto de restricción en el cuerpo real.Estas restricciones ayudarán a identificar la existencia del dominio de una función. Las más usadas son:

Raíz n-ésima de f(x)No existe restricción si n es impar, pero si n es par, la función f(x) necesariamente deberá ser mayor o igual que cero,ya que las raíces negativas no están definidas en el cuerpo real. Por ejemplo:

El índice de la raíz es par (2), por tanto ; despejando tenemos que x ≥ 3. El dominio entonces será elconjunto de todos los reales en el intervalo [3,+∞).

Page 8: Mates Discretas +

Dominio de definición 4

Logaritmo de f(x)La restricción está al estudiar las propiedades de los logaritmos las cuales dicen que estos no están definidos paranúmeros negativos, por tanto toda función contenida dentro de un logaritmo debe ser necesariamente mayor estrictode cero. Por ejemplo:

Por la propiedad anteriormente citada tenemos que para que esta función exista, necesariamente ;despejando obtendremos dos soluciones y . La unión de ambas soluciones representa el dominiode la función, que está definida como el conjunto (-∞, -3) U (3, +∞).

FraccionesVéase también: División por cero.Otras propiedades de las matemáticas pueden ayudar a obtener el dominio de una función y excluir puntos dondeesta no esté definida, por ejemplo, una función que tenga forma de fracción no estará definida cuando eldenominador valga cero, ya que esto es una indeterminación que daría una tendencia al infinito. Veamos:

la función no estará definida cuando , despejando , es decir la variable x

debe tener un valor diferente para poder existir, ya que en ese punto no está definida, por tanto el dominio de estafunción será el conjunto de todos los reales menos ese punto. Su notación será ℝ \ {1/5}, que se lee, el conjunto detodos los reales menos el punto un quinto.El grado de dificultad se incrementa cuando se busca el dominio de una función con variable en el denominadorcontenida dentro de un radical de índice par o logaritmo, ya que esto se traslada a resolver una desigualdad. Noobstante, el método de polos y ceros nos permite resolver esta clase de inecuaciones con facilidad.

Ejemplo

Para evidenciar este caso veamos este problema. Hallar el dominio de la siguiente función:

Para que esta función exista, necesariamente

Ya que no existe logaritmo de expresiones negativas. La solución de esta desigualdad, es explicada paso por paso enel artículo polos y ceros anteriormente citado, su solución constituirá el dominio de la función que en este caso será(-∞, -1/5) U (2/3, +∞).

EjemplosAlgunos dominios de funciones reales de variable real:

El dominio de esta función es .

El dominio de esta función es puesto que la función no está definida para x = 0.

El dominio de esta función es ya que los logaritmos están definidos sólo paranúmeros positivos.

El dominio de esta función es porque la raíz de un número negativo no existe en elcuerpo de los reales.

Page 9: Mates Discretas +

Dominio de definición 5

Enlaces externos• Weisstein, Eric W. «Domain [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Domain of definition [2]» (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer,

ISBN 978-1556080104

Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ Domain. html[2] http:/ / www. encyclopediaofmath. org/ index. php?title=Domain_of_definition& oldid=24822

Codominio

Imagen de una función f de dominio X y codominio Y. El óvalopequeño dentro del codominio es el rango de f.

En matemáticas, el codominio (conjunto final,recorrido o conjunto de llegada) de una función

es el conjunto que participa en esafunción, y se denota o o .

Sea la imagen de una función , entonces.

Ejemplo

Para una función

definida para

, o el equivalente ,el codominio de es , pero nunca toma unvalor negativo. Por lo tanto, la imagen de es el conjunto ; por ejemplo, el intervalo [0,∞).

Page 10: Mates Discretas +

Intervalo (matemática) 6

Intervalo (matemática)Un intervalo (del latín intervallum) es un conjunto comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervaloreal es un subconjunto conexo de la recta real , es decir, una porción de recta entre dos valores dados.

CaracterizaciónEl intervalo real es la parte de que verifica la siguiente propiedad:

Si e pertenecen a con , entonces para todo tal que , se tiene que pertenece a .

Notación

Intervalo abierto (a,b).

Intervalo cerrado [a,b].

Intervalo semiabierto [a,b).

Intervalo semiabierto (a,b].

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes ycorchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notacionesestán descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

Intervalo abierto

No incluye los extremos.

• o bien • Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

Intervalo cerrado

Sí incluye los extremos.

•• Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

Intervalo semiabierto

Incluye únicamente uno de los extremos.

• o bien , notación conjuntista:

• o bien , notación conjuntista: Nota• Si a > b, los intervalos descritos no poseen elementos y denotan al conjunto vacío.• (a,a), [a,a) y (a,a] denotan también al conjunto vacío.• [a,a] denota al conjunto unitario {a}, también llamado intervalo degenerado.• Estas notaciones también se utilizan en otras áreas de las matemáticas; por ejemplo, la notación , denota

un par ordenado en teoría de conjuntos; las coordenadas de un punto o un vector en geometría analítica y álgebralineal; un número complejo en álgebra.

• Ambas notaciones admiten el símbolo para indicar que no hay cota.

Page 12: Mates Discretas +

Intervalo (matemática) 8

ClasificaciónSe pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos)o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:

Notación Intervalo Longitud Descripción

Intervalo cerrado de longitud finita.

Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b).

Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b).

Intervalo abierto.

Intervalo semiabierto.

Intervalo semiabierto.

Intervalo semiabierto.

Intervalo semiabierto.

Intervalo a la vez abierto y cerrado.

Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).

x no existe Sin longitud. Conjunto vacío.

Propiedades• La intersección de intervalos de es también un intervalo.• La unión de intervalos de no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía).• Las partes conexas de son exactamente los intervalos.• Los intervalos cerrados sobre una recta se denominan «segmento de recta».• La imagen por una función continua de un intervalo de es un intervalo de . Esta es una formulación del

Teorema del valor intermedio.

Aritmética de intervalosSean I = [a, b] y J = [c, d] con a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.Entonces: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que• I + J = [ a + c , b + d ].• I - J = [ a - d, b - c ].• Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].

Page 13: Mates Discretas +

Intervalo (matemática) 9

GeneralizaciónUn intervalo n-dimensional se define como un subconjunto de , que es el producto cartesiano de n intervalos:

, uno en cada eje de coordenadas.

Entorno de centro a y radio ε.

En términos topológicos, en el espaciométrico usual los intervalos son lasbolas abiertas y cerradas. De manera másgeneral, se le llama vecindad o entorno decentro a y radio ε, al conjunto de puntos xcuya distancia a a es menor que ε.

Referencias• Skornyakov, L.A. (2001), «Interval and segment [1]», en Hazewinkel, Michiel (en inglés), Encyclopaedia of

Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104

• Weisstein, Eric W. «Interval [2]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Referencias[1] http:/ / www. encyclopediaofmath. org/ index. php?title=Interval_and_segment& oldid=14087[2] http:/ / mathworld. wolfram. com/ Interval. html

Función continuaEn matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio seproducen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua.Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmentela continuidad de funciones reales de una variable real.

Page 14: Mates Discretas +

Función continua 10

Funciones reales de una variable real

Informalmente hablando, una función fdefinida sobre un intervalo I es continua sila curva que la representa, es decir elconjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I,está constituida por un trazo continuo, esdecir un trazo que no está roto, ni tiene"hoyos" ni "saltos", como en la figura de laderecha.

El intervalo I de x es el dominio dedefinición de f, definido como el conjuntode los valores de x para los cuales f(x)existe.

El intervalo J de y es el rango (tambiénconocido como imagen) de f, el conjunto delos valores de y, tomados como y = f(x). Seescribe J = f(I). Notar que en general, no esigual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.)

El mayor elemento de J se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en eldominio I.

Continuidad de una función en un punto

Definición de continuidad en un puntoUna función f es continua en unpunto Xo en el dominio de la función

si: tal que para toda x

en el dominio de la función:

Otra manera más simple:Si x

o es punto de acumulación del dominio

de la función entonces f es continua en xo

siy sólo si . Cuando x

o

no es de acumulación del dominio, lafunción es continua en ese punto.

En el caso de aplicaciones de en , yde una manera más rigurosa se dice que unafunción es continua en un punto x

1 si

existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x

1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x

tiende hacia x1

por la izquierda, y además ambos coinciden con f(x1).

Page 15: Mates Discretas +

Función continua 11

Así pues, una función f continua en el punto x1

implica lo siguiente:

1. existe el límite por la derecha:

2. existe el límite por la izquierda:

3. La función tiene límite por la derecha y por la izquierda del punto x1

4. El límite por la derecha, el límite por la izquierda coinciden:

5. Si existen el límite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene límite en este punto:

6. Existe f(x1):

7. El límite y el valor de la función coinciden:

La función es continua en ese punto. Una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.Si f(x

1)= y

1, la continuidad en x

1 se expresa

así:

parafraseando, cuando x se aproxima a x1,

f(x) se aproxima a y1'. Por definición de los

límites, esto significa que para todointervalo abierto J, centrado en y

1, existe un

intervalo abierto I, centrado en x1, tal que

.

Si f ejecuta un salto en el punto, el teoremacae en falta. En efecto no todo intervalo Ialrededor de x

1 tiene su imagen en un

intervalo J centrado en y1, con un radio

inferior al salto de f, no importa lo pequeñoque este intervalo sea, hay valores de x delintervalo I alrededor de x

1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y

2, siendo y

1 y y

2 valores distintos, esto

es: x tiene imágenes que se salen de J.

La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

Page 16: Mates Discretas +

Función continua 12

Continuidad lateral

Una función es continua por la

izquierda en el punto si el límitelateral por la izquierda y el valor de lafunción en el punto son iguales. Es decir:

como en la figura.

Una función es continua por la derecha

en el punto si su límite lateral porla derecha y el valor de la función en elpunto son iguales. Es decir:

Una función es continua en un punto sies continua por la izquierda y es continuapor la derecha. Esto es:

Continuidad de una función en un intervalo abierto: (a,b)Un valor c, pertenece a un intervalo abierto I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= (a,b) si:

Una función, f es continua en un intervalo abierto I= (a,b), si y solo si la función es continua en todos los puntos delintervalo, es decir:

Continuidad de una función en un intervalo cerrado: [a,b]Un valor c, pertenece a un intervalo cerrado I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= [a,b] si:

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si la función es continua en el intervalo abierto (a,b) y escontinua por la derecha de a y continua por la izquierda de b:

Page 17: Mates Discretas +

Función continua 13

Algunas funciones continuas importantes

Funciones seno y coseno.

Las funciones polinomiales,trigonométricas: seno y coseno, lasexponenciales y los logaritmos soncontinuas en sus respectivos dominiosde definición.

La parábola, como función polinómica,es un ejemplo de función continua a lolargo de todo el dominio real.

En la gráfica se ve la función seno quees periódica, acotada y continua entodo el domino real, dado su carácterperiódico, con ver uno solo de losciclos es suficiente para comprobar lacontinuidad, porque el resto de losciclos son exactamente iguales.

Funciones definidas por intervalos

Las funciones definidas para distintosintervalos de x, puede ser discontinua en lospuntos de cambio de intervalo, como porejemplo:

• La Función parte entera de x, E(x), dondeE(x) es el mayor número entero inferior oigual a x, tal que:

E(x) ≤ x < E(x) + 1.Su curva es una sucesión de segmentoshorizontales a distintas alturas. Esta funciónno es continua en los enteros, pues loslímites a la izquierda y a la derecha difierende uno, pero es continua en los segmentosabiertos (n, n+1) donde es constante.•• Otras funciones definidas por intervalos

son:Función escalón unitarioFunción signo

Page 18: Mates Discretas +

Función continua 14

Función racional

Las funciones racionales son continuas enun intervalo adecuado. Un ejemplo de estoes la función inverso de x:

Esta función es una hipérbola compuesta pordos tramos. x < 0 y x > 0. Como vemos,efectivamente es continua en todo eldominio porque noestá definida en x= 0. Si se extiende eldominio de la función a R (dándole un valorarbitrario a f(0)) la función será discontinua.

Teoremas sobre funcionescontinuas

Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas.

1. Teorema de Weierstrass: Si f es continua en entonces presenta máximos y mínimos absolutos.2. Teorema de Bolzano: Si f es continua en y y , entonces tal que

3. Teorema del valor intermedio: Si f es continua en y entonces tal que

Derivada y continuidadLas funciones derivables son continuas. Si una función es derivable en x= a entonces es continua en x= a. De modoque la continuidad es una condición necesaria para la derivabilidad. O el conjunto de las funciones derivables esparte de las funciones continuas.

Demostración

:

Es importante notar que lo recíproco no es válido; es decir que nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de unafunción continua. Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absoluto f(x)= |x| que si bien es continua entodo su dominio no es derivable en x= 0. Incluso hay funciones continuas en todo pero no derivables en ningúnpunto (las funciones del movimiento browniano verifican esto con probabilidad 1). Sobre esto consultar Calculus deSpivak.

Page 19: Mates Discretas +

Función continua 15

Clase de continuidad

Una función , se dice:

• de clase si está definida en todo el dominio junto con sus derivadas hasta orden y todas ellasson continuas.

• Una función continua aunque no diferenciable en todo el domino, se dice que es de clase .• Una función es de clase si tiene derivadas continuas de cualquier orden. Aunque muchas sí lo son, no

toda función de este tipo es analítica.• Una función es de clase si es la derivada en el sentido de las distribuciones de una función de clase

.• Una función generalizada se dice de clase si es la derivada k-ésima en el sentido de las distribuciones

de una función de clase .

Funciones continuas en espacios topológicosSean e dos espacios topológicos. Una aplicación se dice que es continua si:

es un abierto de , cualquiera que sea el abierto de . Esta es la continudad vistaglobalmente, la que sigue es la continuidad en un punto del dominio.

Con la misma notación, si , diremos que es continua en cuando se obtiene que es unentorno de , cualquiera que sea el entorno de .Es "inmediato" entonces comprobar que es continua si y solo si es continua en , cualquiera que sea éste,es decir, cuando sea continua en cada uno de los puntos de su dominio.

Bibliografía• Serge Lang (1990): Introducción al análisis Matemático , Wilmington Delaware.• James R. Munkres (2002): Topología, Madrid.

Page 20: Mates Discretas +

Clasificación de discontinuidades 16

Clasificación de discontinuidadesLas funciones continuas son de suma importancia en matemática yen distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones soncontinuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todosu dominio de definición. Si una función no es continua en unpunto, se dice que la función tiene una discontinuidad en esepunto y que la función es discontinua. En este artículo se describela clasificación de discontinuidades para el caso más simple defunciones de una sola variable real.

Conceptos previos

Considérese una función y= f(x), de variable real x, definida paratodo valor de x excepto posiblemente para un cierto valor x= a. Esdecir, f(x) está definida para x < a y para x > a. Definamostambién:

Tendencia de una función

Consideremos el concepto de tendencia de la función: f(x), en laproximidad de un punto: a, antes de emplear el concepto de limite,más formal.

Diremos que una función f(x) tiende a un valor c, cuando x tiendea a por la izquierda, si a medida que x toma valores mas próximosa a, sin llegar nunca a ser a, e inferiores a a, el valor de la función f(x) se aproxima progresivamente a c, siendo c unnumero real, entonces decimos que la función converge por la izquierda en c, o que la función es convergente por laizquierda.

Si cuando x se aproxima a a, sin llegar al valor de a, y con valores inferiores a a, toma valores casa vez mayores, sinpoder determinar un valor real que el valor de la función no pueda superar, diremos que la función tiende a infinitocuando x tiende a a por la izquierda, del mismo modo si cuando x se aproxima progresivamente a a, sin llegar a ser ay con valores inferiores a a, el valor de la función toma valores inferiores cada vez, sin poder determinar un númeroreal mínimo que la función no pueda superar, decimos que la función tiende a menos infinito, cuando la variabletiende a a por la izquierda. En estos dos casos se dice que la función diverge cuando x tiende a a por la izquierda.Si cuando la variable x toma valores progresivamente mas próximos a a, pero distintos de a e inferiores a a, lafunción oscila entre un valor superior Ls y un valor inferior Li, siendo Ls el valor real mas pequeño que la funciónno puede superar cuando x tiende a a por la izquierda, y Li es el valor mas alto para el que la función permanece porencima cuando x tiende a a por la izquierda, diremos que la función oscila entre los valores Ls y Li cuando x tiendea a por la izquierda, y por lo tanto la función, en este caso no tiene limite.

Page 21: Mates Discretas +

Clasificación de discontinuidades 17

Si para valores de x próximos a a, inferiores a a, no existe por no estar definida o por no existir ningún número realcomo resultado de f(x), diremos que f(x) no existe a la izquierda de a.

Por el mismo razonamiento podemos determinar la tendencia de la función f(x), cuando x tiende a a, sin llegar a sera y con valores mayores que a, diciendo que x tiende a a por la derecha, con los mismos resultados que los obtenidospor la izquierda.

Según el caso que f(x) presente cuando x tiende a a por la derecha y por la izquierda y el valor de la función en elpunto a: f(a), podremos determinar la continuidad de la función en el punto a, o los distintos tipos de discontinuidad.

Límite de una funciónEl límite por izquierda en a, es decir, el límite al aproximarse al valor x= a mediante valores menores de a, como:

El límite por derecha en a, es decir, el límite al aproximarse al valor x= a mediante valores mayores de a, como:

Si estos dos límites en el entorno del punto a existen y son iguales se dice que la función tiene límite en este punto.

En cualquier otro caso se dice que la función no tiene limite en ese punto.

Page 22: Mates Discretas +

Clasificación de discontinuidades 18

Límite superior y límite inferiorA pesar de que una función exista pero no tenga limite en un punto, podemos diferenciar un limite superior einferior.Diremos que una función tiene limitesuperior por la izquierda, en un punto a, siexiste una cuota superior: Ls, que el limiteno supera cuando nos aproximamos a a porla izquierda:

Del mismo modo diremos que una funcióntiene limite inferior por la izquierda, en unpunto a, si existe una cuota inferior: Li, pordebajo de la cual el limite no puede estarcuando nos aproximamos a a por laizquierda:

Diremos que una función tiene limitesuperior por la derecha, en un punto a, siexiste una cuota superior: Ls, que el limiteno supera cuando nos aproximamos a a porla derecha:

Diremos tambien que una función tienelimite inferior por la derecha, en un punto a,si existe una cuota inferior: Li, por debajode la cual el limite no puede estar cuandonos aproximamos a a por la derecha:

Page 23: Mates Discretas +

Clasificación de discontinuidades 19

Si el limite superior por la derecha y por laizquierda coinciden, se habla sencillamentede limite superior, del mismo modo si ellimite inferior por la derecha y por laizquierda se menciona el limite inferior.

Pero esta coincidencia no tiene porque darseen todos los casos.

Función continua

Si una función tiene límite en un punto y suvalor coincide con el valor de la función enese punto, entonces la función es continuaen ese punto:

en cualquier otro caso es discontinua en ese punto.

Tipos de discontinuidadesLa discontinuidad de una función en un punto puede ser clasificada en:

Page 24: Mates Discretas +

Clasificación de discontinuidades 20

Discontinuidad evitableUna función presenta discontinuidad evitable en un punto a, si tiene límite en un punto, pero la función en ese puntotiene un valor distinto o no existe, veamos estos dos casos.Si el limite cuando x tiende a a, es c, y elvalor de la función evaluada en a es d, lafunción es discontinua en a.

Si la función tiene por limite cuando tiendea a, pero no existe en ese punto, la funciónes discontinua en a.

Page 25: Mates Discretas +

Clasificación de discontinuidades 21

Sabiendo que una función es continua en unpunto, cuando tiene limite en ese punto, y elvalor del limite es el mismo que el valor dela función en ese punto, las dosdiscontinuidades anteriores se pueden evitarasignando a la función, en el punto dediscontinuidad, el valor del limite en esepunto.

Discontinuidad esencial o no evitableSe dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientessituaciones:

Discontinuidad de primera especie: si los limites laterales son distintos, o al menos uno de ellos diverge.Discontinuidad de segunda especie: si la funcion, al menos en uno de los lados del punto, no existe o no tienelimite.

Discontinuidad de primera especie

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

Page 26: Mates Discretas +

Clasificación de discontinuidades 22

De salto finito

Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:

Si la función tiende a c, cuando x tiende a apor la izquierda, y tiende a d cuando lo hacepor la derecha, en el punto x = a, se presentaun salto, independientemente del valor de lafunción en ese punto.

Así podemos ver que son discontinuidades de salto finito:

Page 28: Mates Discretas +

Clasificación de discontinuidades 24

De salto infinito

Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derechainfinito:

Así podemos ver los casos:

como en el caso de que el límite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:

Page 29: Mates Discretas +

Clasificación de discontinuidades 25

Donde se puede ver:

Se dice que la discontinuidad es de salto infinito.

Page 30: Mates Discretas +

Clasificación de discontinuidades 26

Discontinuidad asintótica

Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota.

Page 32: Mates Discretas +

Clasificación de discontinuidades 28

Discontinuidad de segunda especie

Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de lafunción en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.

Un caso muy particular de discontinuidad de segunda especie es una función definida solo en un punto.

Page 35: Mates Discretas +

Clasificación de discontinuidades 31

Caso de continuidad

Una función y= f(x) es continua en un puntoa, si los límites por la derecha y la izquierdason iguales, y coinciden con el valor de lafunción en ese punto.

Continuidad lateralUna función a pesar de ser discontinua en un punto, puede tener lo que se denomina continuidad lateral.

Continua por la izquierda

Una función f(x) se dice que tienecontinuidad por la izquierda de un punto a,si el limite por la izquierda coincide con elvalor de la función en a.

Page 36: Mates Discretas +

Clasificación de discontinuidades 32

Continua por la derecha

Una función f(x) se dice que tienecontinuidad por la derecha de un punto a, siel limite por la derecha coincide con el valorde la función en a.

Ejemplos

Función del ejemplo 1, : una

discontinuidad evitable.

•• 1. Sea la función

El punto es una discontinuidad evitable. Esta función puedehacerse contínua simplemente redefiniendo la función en este puntopara que valga .

Función del ejemplo 2, : una

discontinuidad por salto.

•• 2. Sea la función

El punto es una discontinuidad por salto.

Page 37: Mates Discretas +

Clasificación de discontinuidades 33

Función del ejemplo 3, : una

discontinuidad esencial.

•• 3. Sea la función

El punto es una discontinuidad esencial, para lo cual hubiesebastado que uno de los dos límites laterales no exista o sea infinito (eneste caso se cumple para ambos límites laterales: para el límite porizquierda y para el límite por derecha).•• 4. Funciones que no son continuas en ninguna parteExisten funciones que no son continuas en ningún punto. La másconocida es la función característica de Q, es decir la función que toma como valor 1 cuando x pertenece al conjuntode los racionales, y 0 si no.

Obviamente, no se puede dibujar su curva, que está constituida por una infinidad de puntos en la recta y= 0, y unainfinidad (menor) de puntos en la recta y= 1.•• 5. Discontinuidad evitable.Una función presenta un punto de Discontinuidad evitable si en ese punto se cumple que:

1.2.Pueden ser transformadas en otra función continua, dándole a f(a) el valor adecuado que la hace continua. Simodificamos una función obtenemos otra función, no la misma, por ello se dice que son evitables.

ejemplo:La función:

Presenta los siguientes límites por laizquierda y por la derecha:

pero la función para x= 2 no esta definida:

en este un caso de discontinuidad evitable yademás de un modo sencillo:

lo que es lo mismo:

simplificando:

Page 38: Mates Discretas +

Clasificación de discontinuidades 34

esta función es continua para todo x de valorreal y es equivalente a la primera función,excepto en que la primera es discontinuapara x= 2.

•• 6. Discontinuidad de primera especie

Una función presenta una discontinuidadde primera especie en un punto x1, si eneste punto se cumple que:

se produce un salto en los extremos.Un ejemplo de función con discontinuidadde este estilo es por ejemplo:

Que es continua (y diferenciable) en todoslos puntos, excepto en los puntos con .

•• 7. Discontinuidad de segunda especie

Page 39: Mates Discretas +

Clasificación de discontinuidades 35

Son las que tienen puntos para los que existesolo uno de los límites laterales o ninguno.

o

Por ejemplo la función . Éstatiene una discontinuidad de segunda especieen 0 pues no existe el límite:

•• 8. Discontinuidad asintótica

La discontinuidad viene marcada por unaasíntota vertical. Se cumple lo siguiente:

En la gráfica podemos ver la función:

Donde es un valor conocido, quepresenta una asíntota vertical para

Enlaces externos

• Descartes 2D: Discontinuidades [1]

• Discontinuous [2] en PlanetMath• "Discontinuity" [3] by Ed Pegg, Jr., The

Wolfram Demonstrations Project, 2007.• Weisstein, Eric W. «discontinuidad [4]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.• Clasificación de discontinuidades [5]

• Continuidad. Clasificación de discontinuidades [6]

• Tipos de discontinuidades [7]

• Funciones Continuas [8]

• Sucesiones y funciones divergentes [9]

Page 40: Mates Discretas +

Clasificación de discontinuidades 36

Referencias[1] http:/ / recursostic. educacion. es/ descartes/ web/ materiales_didacticos/ Continuidad_clasificacion_discontinuidades/ discontinuidades. htm[2] http:/ / planetmath. org/ ?op=getobj& amp;from=objects& amp;id=4447[3] http:/ / demonstrations. wolfram. com/ Discontinuity/[4] http:/ / mathworld. wolfram. com/ Discontinuity. html[5] https:/ / www. itescam. edu. mx/ principal/ sylabus/ fpdb/ recursos/ r65416. PDF[6] http:/ / roble. pntic. mec. es/ ~rsoto1/ descartes/ continuidad. htm[7] http:/ / canek. uam. mx/ Calculo1/ Teoria/ Continuidad/ Tipos/ FETipos. pdf[8] http:/ / www. ugr. es/ ~fjperez/ textos/ 04_continuidad_limite_funcional_show. pdf[9] http:/ / www. ugr. es/ ~camilo/ calculo-ii-grado-en-matemat/ apuntes/ tema-2. pdf

Límite de una funciónEl límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite aplicado a lasfunciones.Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tancercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.

HistoriaAunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de unafunción se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.[1] Sin embargo, sutrabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haberexpresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.[2] La primera presentación rigurosa de la técnicahecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860[3] y desde entonces se ha convertido en el métodoestándar para trabajar con límites.La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course ofPure Mathematics en 1908.[2]

Page 41: Mates Discretas +

Límite de una función 37

Definición formal

Funciones de variable real

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Si la función tiene límite en podemos decir demanera informal que la función tiende hacia ellímite cerca de si se puede hacer que estétan cerca como queramos de haciendo que estésuficientemente cerca de siendo distinto de .Los conceptos cerca y suficientemente cerca sonmatemáticamente poco precisos. Por esta razón, se dauna definición formal de límite que precisa estosconceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo existe un tal que para todo número real x en eldominio de la función .

Esto, escrito en notación formal:

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la quequeda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límiteexiste, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entoncesla elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.No obstante, hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet definida como:

donde no existe un número c para el cual exista . Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es

necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.

Page 42: Mates Discretas +

Límite de una función 38

Límites laterales

El límite cuando: x → x0+ ≠ x → x0

-. Por lo tanto,el límite cuando x → x0 no existe.

De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores másgrandes que éste (derecha):

o tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los límitespueden ser escritos como:

Si los dos límites anteriores son iguales:

entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otromodo, si estos no son iguales a L entonces el límite, como tal, no existe.

Funciones en espacios métricosExiste otra manera de definir el límite que tiene que ver con el concepto de bolas y entornos:Supóngase f : (M, dM) → (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, c es un punto límite de M y L∈N. Se diceque "el límite de f en c es L" y se escribe:

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, c) < δ, tenemos dN(f(x), L) < ε.En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f(x) en x = c es L si se cumple que para todo ε > 0existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x:

si , entonces De la desigualdad 0 < | x - c | < δ se obtiene lo siguiente:1. x pertenece a la vecindad ( c - δ , c ) U ( c, c + δ ).2. x no es igual a c, pues 0 < | x - c | implica x distinto de c.3. La solución de | f(x) - L | < ε pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).Esto proporciona la clave de comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de x está en la vecindadhorizontal alrededor del punto c y agujereada en c con radio delta y centro c, aun cuando en ese punto c no estédefinida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(c) y radio épsilon.

Unicidad del límite

Teorema. Si el límite de una función existe, entonces es único.

Este teorema es válido en espacios topológicos Hausdorff.[4]

Supongamos que , veamos que no puede ser que también verifique la definición.Para ello tomamos un entorno E de L y un entorno E' de L' que no se intersequen. Por definición de límite

para todo x en algún entorno agujereado de c, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite seaL'.

Page 43: Mates Discretas +

Límite de una función 39

Propiedades de los límites

Propiedades generalesSi f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguiente propiedades:

Límite de Expresión

Una constante

La función identidad

El producto de una función y una constante

Una suma

Una resta

Un producto

Un cociente

Una potencia

Un logaritmo

El número e

Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal .

IndeterminacionesVéase también: Forma indeterminada.Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere como el límite que tiende a infinito y

al límite cuando tiende a 0; y no al número 0):

Operación Indeterminación

Sustracción

Multiplicación

División

Elevación a potencia

Ejemplo.0/0 es una indeterminación, es decir, no es posible, a priori, saber cual es el valor de un límite que tiende a cero sobreotro que también tiende a cero ya que el resultado no es siempre el mismo. Por ejemplo:

Page 44: Mates Discretas +

Límite de una función 40

Regla de l'HôpitalEsta regla hace uso de la derivada y tiene un uso condicional. Ésta sólo puede usarse directamente en límites que son«igual» a 0/0 o a ±∞/±∞. Otras formas indeterminadas requieren alguna manipulación algebraica, por lo general,establecer que el límite es igual a y, tomar el logaritmo natural en ambos miembros, y entonces aplicar la regla del'Hôpital.

Por ejemplo:

Límites trigonométricos

1.

2.

3.

4.

5.

Demostraciones

Algunas demostraciones, por ejemplo, el segundo de estos límites trigonométricos, se utilizará la inecuación sin(x) <x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sin(x),obteniendo:

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

Lo que es igual a:

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:

El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límiteanterior. Es decir:

Page 45: Mates Discretas +

Límite de una función 41

Referencias[1] MacTutor History of Bolzano (http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ Biographies/ Bolzano. html)[2] Jeff Miller's history of math website. (http:/ / members. aol. com/ jeff570/ calculus. html)[3] MacTutor History of Weierstrass. (http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ Biographies/ Weierstrass. html)[4] Kolmogorov, Andrei (1978). «Espacios métricos y topológicos» (en español). Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional (3

edición). Moscú: Mir.

Enlaces externos• Límites y continuidad de funciones (http:/ / sauce. pntic. mec. es/ ~jpeo0002/ Archivos/ PDF/ T09. pdf).• Weisstein, Eric W. « Limit (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Limit. html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram

Research.

Serie convergenteEn matemáticas, una serie (suma de los términos de una secuencia de números), resulta convergente si la sucesiónde sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De otro modo, constituiría lo que se denomina seriedivergente.

Definición formalLas series consideradas son numéricas (con términos reales o complejos) o vectoriales (con valores en un espaciovectorial normado).

La serie de término general converge cuando la sucesión de sumas parciales converge, donde paratodo entero natural n,

.

En este caso la suma de la serie es el límite de la sucesión de sumas parciales

.

La naturaleza de convergencia o no-convergencia de una serie no se altera si se modifica una cantidad finita detérminos de la serie.

EjemplosResultan convergentes las series de las secuencias:

• de los recíprocos de los enteros impares, con signos alternados , conocida

como de Leibniz:

;

• de los recíprocos de los números triangulares:

;

• de los recíprocos de los sucesivos factoriales (n!):

;

Page 46: Mates Discretas +

Serie convergente 42

• de los recíprocos de los sucesivos cuadrados perfectos (ver Problema de Basilea):

;

• de los recíprocos de las potencias de 2:

;

• de los recíprocos de las potencias de 2 con signos alternados:

;

• de los recíprocos de los números de Fibonacci (ver Constante de los inversos de Fibonacci):

;

• de los de recíprocos de los naturales con signos alternados :

.

Resultan divergentes las series de las secuencias:

• de los de recíprocos de los naturales :

(es la conocida como serie armónica);

• de los recíprocos de los números primos ( ):

.

Convergencia absoluta

Si es une serie a valores en un espacio vectorial normado completo, se dice que es absolutamente

convergente si la serie de término general es convergente.En este caso, la serie converge.

Series numéricasEn el caso de series numéricas, o a valores en un espacio de Banach, es suficiente con probar la convergenciaabsoluta de la serie para probar que es convergente, lo cual permite restringir el estudio a las series de términospositivos; para ello existen numerosos métodos, basados en el principio de comparación.

Page 47: Mates Discretas +

Serie convergente 43

Criterios de convergencia

Series de reales positivos

• Criterio de d'Alembert (Criterio del cociente o Criterio de la razón): sea una serie de términos

estrictamente positivos; si

,

entonces el Criterio de D'Alembert establece que si , la serie converge.• Criterio de la raíz: si los términos son estrictamente positivos y si existe una constante tal que

, entonces es convergente.

• Criterio de Raabe: sea una serie , tal que (serie de términos positivos). Si existe el límite

, siendo

entonces, si la serie es convergente y si la serie es divergente. (Nota: el Criterio de Raabe esrecomendado sólo en caso de fallar el Criterio de D'Alembert).• Criterio de la integral de Cauchy: si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el

intervalo

[1, ∞) tal que f(n) = an para todo n, entonces converge si y sólo si es finita.Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie

converge si y sólo si la integral

converge.

Otros métodos• Criterio de Cauchy: una serie a valores en un espacio vectorial normado completo es convergente si y solo si la

sucesión de sumas parciales es de Cauchy:

.

• Criterio de condensación de Cauchy: sea una serie monótona de números positivos decrecientes.

Entonces converge si y sólo si la serie converge.

• Criterio de Leibniz: una serie de la forma (con ) se llama serie alternada. Tal serie

converge si se cumplen las siguientes condiciones:a) para n par y n impar.

b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente, es decir que: .

Si esto se cumple, la serie es condicionalmente convergente, de lo contrario la serie diverge.

Page 48: Mates Discretas +

Serie convergente 44

Nota: Se debe descartar primero la convergencia absoluta de antes de aplicar este criterio, usando los

criterios para series positivas.

Criterios de convergencia comparativos

Son aplicables en caso de disponer de otra serie tal que se conozca su condición de convergencia o

no-convergencia.

Criterio de comparación directa(de la mayorante o de Gauss)

Si

• Si converge converge• Si diverge diverge

Criterio de comparación por paso al límite del cociente

Sean y series de términos no negativos. Si existe

, entonces:

• Si y la serie converge entonces converge.• Si y diverge entonces diverge.

• Si entonces las series y comparten la misma condición (ambas convergen, o

bien ambas son divergentes).

Teorema de Abel

Sea une serie compleja donde tales que:

• La sucesión es real, decreciente y tiende a 0.

• tal que .

Entonces es convergente.

Page 49: Mates Discretas +

Serie convergente 45

Referencias• Weisstein, Eric W. «ConvergentSeries [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.• Apuntes (Universidad de Zaragoza). [2]

Enlaces externosWikilibros• Wikilibros alberga contenido sobre Series.

Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ ConvergentSeries. html[2] http:/ / www. unizar. es/ analisis_matematico/ analisis1/ apuntes/ 08-series. pdf

Serie divergenteEn matemáticas, una serie divergente es una serie infinita que no converge.Si una serie converge, los términos individuales de la serie deben tender a cero. Por lo tanto toda serie en la cual lostérminos individuales no tienden a cero diverge. El ejemplo más simple de una serie divergente cuyos términos seaproximan a cero es la serie armónica

La divergencia de la serie armónica fue demostrada en forma elegante por el matemático medieval Nicole Oresme.A veces es posible asignarle un valor a las series divergentes utilizando un método de sumación. Por ejemplo, lasumación de Cesàro le asigna a la serie divergente de Grandi el valor ½

.

Propiedades de los métodos de sumaciónSi A es una función que le asigna un valor a una sucesión, es conveniente que posea ciertas propiedades si es que sepretende que sea un método de sumación útil.1. Regularidad. Un método es regular si, toda vez que la sucesión s converge a x, A(s) = x.2. Linearidad. A es lineal si es funcionalmente lineal sobre sucesiones convergentes, de forma tal que A(r + s) =

A(r) + A(s) y A(ks) = k.A(s), para k un escalar (real o complejo)3. Estabilidad. Si s es una sucesión que comienza en s0 y s′ es la sucesión obtenida al truncar el primer valor, por lo

que comienza en s1, entonces A(s) es definida si y solo si A(s′) es definida, y A(s) = A(s′ ).La tercer condición es menos importante, y existen algunos métodos destacados, por ejemplo el método de sumaciónde Borel, que no la satisfacen.Una propiedad deseable entre dos métodos de sumación A y B es que posean consistencia: A y B son consistentes sipara toda sucesión s a la que ambos le asignan un valor, A(s) = B(s). Si dos métodos son consistentes, y uno sumamás series que el otro, se suele decir que aquel que suma más series es más potente.De todas formas es conveniente notar que existen métodos de sumación poderosos que sin embargo no son nilineales ni regulares, por ejemplo transformaciones de sucesiones no-lineales como las transformaciones desucesiones tipo Levin y las aproximaciones de Padé.

Page 50: Mates Discretas +

Serie divergente 46

Promedio abelianoSea λn es una sucesión estrictamente creciente que tiende hacia ∞, y λ0 ≥ 0. Y sea an=sn+1-sn una serie infinita, cuyasucesión correspondiente es s. Y suponiendo que

converge para todos los números reales positivos x. Entonces el promedio abeliano Aλ se define como

Una serie de este tipo es llamada serie generalizada de Dirichlet; en el ámbito de la física, este método se lo conocecomo regularización del heat-kernel.Los promedios abelianos son regulares, lineales, y estables, pero no siempre resultan ser consistentes entre sí. Sinembargo, existen algunos casos especiales de promedios abelianos que son métodos de sumación muy importantes.

Sumación de AbelSi λn = n, entonces se obtiene el método de Sumación de Abel. Donde

con z = exp(-x). Y por lo tanto el límite de f(x) cuando x tiende a 0 desde los reales positivos es el límite de la seriede potencias para f(z) cuando z tiende a 1 por abajo desde los reales positivos, y la suma de Abel A(s) se definecomo

La sumación de Abel en parte es interesante porque es consistente con la sumación de Cesàro aunque es más potenteque esta; si Ck(s) = a para todo k positivo, entonces A(s) = a. Por lo tanto la suma de Abel es regular, lineal, estable,y consistente con la sumación de Cesàro.

Referencias• Divergent Series by G. H. Hardy, Oxford, Clarendon Press, 1949.• Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991.• Padé Approximants by G. A. Baker, Jr. and P. Graves-Morris, Cambridge U.P., 1996.

Page 51: Mates Discretas +

Serie geométrica 47

Serie geométricaEn matemática, una serie geométrica es una serie en la cual la razónentre los términos sucesivos de la serie permanece constante.

Por ejemplo la serie

es geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar elanterior por 1/2.

Razón común

Los términos de una serie geométrica forman una progresióngeométrica, es decir que la razón entre términos sucesivos permanececonstante.

El comportamiento de los términos depende de la razón común r:• Si los términos decrecen y se acercan a cero en el límite. En tal caso, la serie converge.• Si o los términos de la serie se incrementan en magnitud. La suma de los términos también

aumenta y la serie no tiene suma. La serie diverge.• Si r es igual a uno, todos los términos de la serie son iguales. La serie diverge.• Si r es igual a menos uno, los términos alternan su valor. La suma de los términos oscila; es un tipo distinto de

divergencia (véase por ejemplo la serie de Grandi).

Suma

Ilustración de una suma autosimilar.

La suma de una serie geométrica será finitasiempre y cuando los términos se aproximena cero; a medida que se acercan al cero, lascantidades se vuelven insignificantementepequeñas, permitiendo calcular la suma sinimportar el hecho que la serie sea infinita.La suma puede ser obtenida utilizando laspropiedades autosimilares de la serie.

Formula

Para , la suma de los primeros n términos de una serie geométrica es:

donde a es el primer término de la serie y r la razón común.

Demostración

Page 52: Mates Discretas +

Serie geométrica 48

•• Ejemplo:Dada la suma de la serie geométrica:

La razón común de esta serie es 2/3. Multiplicando por 2/3 cada término, se obtiene:

Esta nueva serie es como la original excepto por el primer término que falta. Restándolas, se obtiene:

, por lo que .Una técnica similar puede utilizarse al evaluar cualquier expresión autosimilar.

ConvergenciaLa serie geométrica real de término inicial no nulo y de razón es convergente si y solamente si

. En tal caso, su suma vale:

Referencias• Weisstein, Eric W. « Geometric Series (http:/ / mathworld. wolfram. com/ GeometricSeries. html)» (en inglés).

MathWorld. Wolfram Research.• geometric series (http:/ / planetmath. org/ ?op=getobj& amp;from=objects& amp;id=1188) en PlanetMath

Enlaces externosWikilibros• Wikilibros alberga contenido sobre Series.• Suma de la serie geométrica de razón 1/4. (http:/ / www. matematicasvisuales. com/ html/ analisis/ seriegeom/

seriegeom. html)

Page 53: Mates Discretas +

Progresión geométrica 49

Progresión geométrica

Serie geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... converge a 2.

Una progresión geométrica estáconstituida por una secuencia deelementos en la que cada uno de ellosse obtiene multiplicando el anterior poruna constante denominada razón ofactor de la progresión. Se suelereservar el término progresión cuandola secuencia tiene una cantidad finitade términos mientras que se usasucesión cuando hay una cantidadinfinita de términos, si bien, estadistinción no es estricta.

Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:15 = 5 × 345 = 15 × 3135 = 45 × 3405 = 135 × 3

y así sucesivamente.Aunque es más fácil aplicando la fórmula:

Siendo el término en cuestión, el primer término y la razón:

Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión

Ejemplos de progresiones geométricas• La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.• La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica

con razón 1/4.• La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de

progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.• Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7• Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no

consideran este caso como progresión y piden explícitamente que en la definición.

Page 54: Mates Discretas +

Progresión geométrica 50

Suma de términos de una progresión geométrica

Suma de los primeros n términos de una progresión geométricaSe denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica:

Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + anSi se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de laigualdad por la razón de la progresión r.

Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el términosiguiente de esa progresión,

Si se procede a restar de esta igualdad la primera:Sn r =a2+a3+ ... + an-1 + an + an r

Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an_______________________________Sn r - Sn = - a1 + an r

o lo que es lo mismo,Sn ( r - 1 ) = an r - a1

Si se despeja Sn,

De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y elúltimo término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de laprogresión an como

Así, al sustituirlo en la fórmula anterior se tiene lo siguiente:

con lo que se obtiene la siguiente igualdad:

Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saberel primer término a sumar y la razón de la progresión.Si queremos calcular el resultado de una suma de n términos consecutivos, pero sin que empiece en cero, debemosutilizar la expresión:

pero primero debe dar un ejemplo

Page 55: Mates Discretas +

Progresión geométrica 51

Suma de términos infinitos de una progresión geométrica

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad , la suma de los infinitos términos decrecientes dela progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si , tiende hacia 0, de modo que:

En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad se obtieneutilizando la siguiente fórmula:

Enlaces externos• Weisstein, Eric W. «Progresión geométrica [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ GeometricSeries. html

Criterio de d'Alembert

Jean le Rond d'Alembert.

El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergenciao divergencia de una serie de términos positivos cualquiera, y portanto, hacer una clasificación de la misma.

Definiendo con a la variable independiente de la sucesión, dichocriterio establece que si llamamos al límite para tendiendo a

infinito de se obtiene un número , con los siguientes casos:

• Si converge.• Si diverge.• Si , el criterio no decide y es necesario calcular el límite de

otro modo.

Definición

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas.Podemos enunciarlo de la siguiente manera:

Sea:

Tal que:

• (o sea una sucesión de terminos positivos) y• tienda a cero cuando tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)Se procede de la siguiente manera:

con tendiendo a infinito.

Así obtenemos y se clasifica de la siguiente manera:

Page 56: Mates Discretas +

Criterio de d'Alembert 52

• la serie converge• la serie diverge• el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.

Ejemplo

Sea:

Clasificar

a)

b) tiende a cero conforme crece (porque el factorial siempre es mayor)

c) Aplicando D'Alembert:

y como , la serie converge.

Enlaces externos• Weisstein, Eric W. «Ratio Test [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.• Ratio Test [2] en PlanetMath

Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ RatioTest. html[2] http:/ / planetmath. org/ encyclopedia/ RatioTest. html

Page 57: Mates Discretas +

Serie matemática 53

Serie matemáticaEn matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita.Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · ·  lo cual suele escribirse en forma máscompacta con el símbolo de sumatorio: .

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y medianteun pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita,cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tenerinfinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las seriesinfinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas.Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las seriesmatemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

Definiciones

Sumas Parciales

Para cualquier secuencia de números racionales, reales, complejos, sus funciones, etc., la serie asociada se

define como la suma formal ordenada: .

La sucesión de sumas parciales asociada a una sucesión está definida para cada como la suma dela sucesión desde hasta :

.

Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.

Convergencia

Por definición, la serie converge al límite si y solo si la sucesión de sumas parciales asociada

converge a . Esta definición suele escribirse como

.

Ejemplos• En una serie geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón r. En

este ejemplo, r = 1/2:

En general, una serie geométrica es convergente, sólo si |r| < 1, a:

• La serie armónica es la serie

Page 58: Mates Discretas +

Serie matemática 54

La serie armónica es divergente.• Una serie alternada es una serie donde los términos cambian de signo:

• Una serie telescópica es la suma , donde an = bn − bn+1:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

• Una serie hipergeométrica es una serie de la forma:

, con = .

Convergencia de seriesVéanse también: Serie convergente y Serie divergente.Una serie ∑an se dice que es convergente (o que converge) si la sucesión SN de sumas parciales tiene un límite finito.Si el límite de SN es infinito o no existe, se dice que la serie diverge. Cuando este límite existe, se le llama suma de laserie.

Si todos los an son cero para n suficientemente grande, la serie se puede identificar con una suma finita. El estudio dela convergencia de series, se centra en las propiedades de las series infinitas que incluyen infinitos términos no nulos.Por ejemplo, el número periódico

tiene como representación decimal, la serie

.

Dado que estas series siempre convergen en los números reales (ver: espacio completo), no hay diferencia entre estetipo de series y los números decimales que representan. Por ejemplo, 0.111… y 1/9; o bien 1=0,9999...

Referencias• K.R. Stromberg, T.J. Bromwich; K. Knopp, A. Zygmund, N.K. Bari (2001), « Series (http:/ / www.

encyclopediaofmath. org/ index. php?title=Series& oldid=13797)», en Hazewinkel, Michiel (en inglés),Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.

• Weisstein, Eric W. « Series (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Series. html)» (en inglés). MathWorld. WolframResearch.

• A history of the calculus (http:/ / www-groups. dcs. st-and. ac. uk/ ~history/ HistTopics/ The_rise_of_calculus.html) (en inglés).

Page 59: Mates Discretas +

Serie matemática 55

Enlaces externos• Apuntes_UPM (http:/ / www. dma. fi. upm. es/ gies/ informates/ Calculo/ calculo_6_2_2. pdf)

Serie armónica (matemática)En matemáticas, se define la serie armónica como la siguiente serie infinita:

Se llama así porque la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su longitudsegún la serie 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7...

Propiedades

Divergencia de la serie armónicaLa serie armónica es divergente, aunque diverge lentamente (los primeros 1043 términos de la serie suman menos de100). Esto se puede demostrar haciendo ver que la serie armónica es mayor, término por término, que esta otra serie:

que está claro que diverge. (Esto es bastante riguroso ya que los mismos términos se agrupan de la misma manera).Esta prueba, dada por Nicolás Oresme, fue un gran paso para las matemáticas medievales.Otras series, como la suma de los inversos de los números primos diverge, aunque esto ya es más difícil dedemostrar (véase la demostración aquí).

Convergencia de la serie armónica alternadaLa serie armónica alternada, sin embargo, converge:

Ésta es una consecuencia de la serie de Taylor del logaritmo natural.

Serie armónica parcial

RepresentaciónSi definimos el n-ésimo número armónico como:

entonces Hn crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de n. Esto es así porque la suma seaproxima a la integral

cuyo valor es log(n).

Page 60: Mates Discretas +

Serie armónica (matemática) 56

Con más precisión, tenemos el límite:

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni.Se puede demostrar que:1. El único Hn que es entero es H1.2. La diferencia Hm - Hn donde m>n nunca es entera.Entre las representaciones para Hn, en las que n puede ser un número fraccionario o negativo(no entero) están:

dada[1] por Leonhard Euler.Y también

donde Ψ(n+1) es la función digamma y γ es la constante de Euler-Mascheroni.

Conexión con la hipótesis de RiemannJeffrey Lagarias demostró en 2001 que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación:

donde σ(n) es la suma de los divisores positivos de n.[2]

Serie armónica generalizadaLas series armónicas generalizadas se definen de la siguiente forma:

Como principal propiedad tenemos que todas estas series son divergentes.

p-seriesLa p-serie es (cualquiera de) las series

para p número real positivo. La serie es convergente si p > 1 y divergente en otro caso. Cuando p = 1, la serie es laserie armónica. Si p > 1, entonces la suma de la serie es ζ(p), es decir, la función zeta de Riemann evaluada en p.Esto se puede utilizar para comprobar la convergencia de series.

Page 61: Mates Discretas +

Serie armónica (matemática) 57

Temas relacionados•• Media armónica•• Número armónico

Notas[1] Leonhard Euler, De summatione innumerabilium progressionum[2] (Véase, en inglés, An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volumen 109 (2002),

páginas 534--543.)

Referencias• Leonhard Euler, De summatione innumerabilium progressionum, Commentarii academiae scientiarum

Petropolitanae 5, 1738, pp. 91-105 Reprinted In Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp. 25 - 41• Many proofs of divergence of harmonic series : " The Harmonic Series Diverges Again and Again (http:/ /

faculty. prairiestate. edu/ skifowit/ htdocs/ harmapa. pdf)", The AMATYC Review, 27 (2006), pp. 31-43. (eninglés)

• An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volume 109(2002), pages 534--543.

Enlaces externos• Leonhard Euler, De summatione innumerabilium progressionum E020 (en latín) (http:/ / math. dartmouth. edu/

~euler/ docs/ originals/ E020. pdf)• Harmonic Series at mathworld.wolfram.com (en inglés) (http:/ / mathworld. wolfram. com/ HarmonicSeries.

html)• Jeffrey Lagarias, An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis (en inglés) (http:/ / arxiv. org/

abs/ math. NT/ 0008177/ )• Prueba corta de la divergencia de la serie armónica (http:/ / www. rinconmatematico. com/ series/ seriearmonica.

pdf) (http:/ / www. rinconmatematico. com/ series/ seriearmonica. htm)

Page 62: Mates Discretas +

Serie alternada 58

Serie alternadaEn matemáticas, una serie alternada es una serie infinita del tipo

con an ≥ 0. Una suma finita de este tipo es una suma alternada.

Condiciones de convergenciaUna condición suficiente para que la serie alternada converja es que sea absolutamente convergente. Pero la mismano es una condición necesaria, ya que existen series que no la satisfacen y aún así son convergentes. Por ejemplo, laserie armónica

diverge, mientras que su versión alternada

converge al logaritmo natural de 2.Un test más amplio de convergencia de una serie alternada es el test de Leibniz: si la sucesión es monótonadecreciente y tiende a cero, entonces la serie

converge.Se puede utilizar la suma parcial

para aproximar la suma de una serie alternada convergente. Si es monótona decreciente y tiende a cero, entoncesel error en esta aproximación resulta ser menor que .

Convergencia condicionalUna serie condicionalmente convergente es una serie infinita que converge, pero no converge absolutamente. Elsiguiente resultado anti intuitivo es verdadero: si la serie real

converge condicionalmente, entonces para todo número real existe un reordenamiento de la serie tal que

Como un ejemplo de esto, consideremos la serie precedente para el logaritmo natural de 2:

Una forma posible de reordenar la serie es (los paréntesis en el primer renglón están únicamente para mejorar lacomprensión):

Page 63: Mates Discretas +

Serie alternada 59

Una demostración de este postulado se basa en que el algoritmo voraz para σ es correcto.

Algoritmo vorazUn algoritmo voraz (también conocido como ávido, devorador o goloso) es aquel que, para resolver undeterminado problema, sigue una heurística consistente en elegir la opción óptima en cada paso local con laesperanza de llegar a una solución general óptima. Este esquema algorítmico es el que menos dificultades plantea ala hora de diseñar y comprobar su funcionamiento. Normalmente se aplica a los problemas de optimización.

EsquemaDado un conjunto finito de entradas , un algoritmo voraz devuelve un conjunto (seleccionados) tal que

y que además cumple con las restricciones del problema inicial. Cada conjunto que satisfaga lasrestricciones se le suele denominar prometedor, y si este además logra que la función objetivo se minimice omaximice (según corresponda) diremos que es una solución óptima.

Elementos de los que consta la técnica• El conjunto de candidatos, entradas del problema.• Función solución. Comprueba, en cada paso, si el subconjunto actual de candidatos elegidos forma una solución

(no importa si es óptima o no lo es).• Función de selección. Informa de cuál es el elemento más prometedor para completar la solución. Éste no puede

haber sido escogido con anterioridad. Cada elemento es considerado una sola vez. Luego, puede ser rechazado oaceptado y pertenecerá a .

• Función de factibilidad. Informa si a partir de un conjunto se puede llegar a una solución. Lo aplicaremos alconjunto de seleccionados unido con el elemento más prometedor.

• Función objetivo. Es aquella que queremos maximizar o minimizar, el núcleo del problema.

FuncionamientoEl algoritmo escoge en cada paso al mejor elemento posible, conocido como el elemento más prometedor.Se elimina ese elemento del conjunto de candidatos ( ) y, acto seguido, comprueba si la inclusiónde este elemento en el conjunto de elementos seleccionados ( ) produce una solución factible.En caso de que así sea, se incluye ese elemento en . Si la inclusión no fuera factible, se descarta el elemento.Iteramos el bucle, comprobando si el conjunto de seleccionados es una solución y, si no es así, pasando al siguienteelemento del conjunto de candidatos.

Page 64: Mates Discretas +

Algoritmo voraz 60

Ejemplos de algoritmos voraces•• Algoritmo de Kruskal•• Algoritmo de Prim•• Algoritmo de Dijkstra•• Algoritmo para la ubicación óptima

Temas relacionados•• Algoritmo•• Algoritmo heurístico

Referencias• Brassard, Gilles; Bratley, Paul (1997). «Algoritmos voraces». Fundamentos de Algoritmia. Madrid: PRENTICE

HALL. ISBN 84-89660-00-X.

Enlaces externosWikilibros• Wikilibros alberga un libro o manual sobre Algoritmia/Algoritmos voraces.En inglés:• Definición del NIST [1]

Referencias[1] http:/ / www. nist. gov/ dads/ HTML/ greedyalgo. html

Page 65: Mates Discretas +

Serie hipergeométrica 61

Serie hipergeométricaEn matemáticas, una serie hipergeométrica es una serie de potencias donde el k-ésimo coeficiente de la serie es unafunción racional de k. Si la serie converge, define una función hipergeométrica cuyo dominio es algún subconjuntode los números complejos. Generalmente, estas funciones hipergeométricas se representan mediante la notación

pFq(a1,a2,... ;b1, b2,...;z). El primer caso estudiado corresponde a la serie hipergeométrica ordinaria o gaussiana

2F1(a,b;c;z), que fue estudiada sistemáticamente por Carl Friedrich Gauss, aunque anteriormente, Leonhard Euler yahabía estudiado este tipo de estructura.(1)

DefiniciónDe la manera más general, se formulan de la siguiente manera:

donde

es el símbolo de Pochhammer.

ConvergenciaHay ciertos valores de aj y bk para los cuales el numerador o el denominador de los coeficientes es 0.• Si algún aj es un entero negativo (0, −1, −2, etc.) entonces la serie solo tiene un número finito de término, y es, de

hecho un polinomio de grado -aj.• Si algún bk es un entero negativo (exceptuando el caso previo con -bk < aj) entonces los denominadores se hacen 0

y la serie es indefinida.Excluyendo estos casos, el Criterio de d'Alembert puede ser aplicado y determina el radio de convergencia.• Si p=q+1 entonces el ratio de los coeficientes se aproxima a 1. Esto implica que el radio de convergencia es 1.• Si p≤q entonces el ratio de los coeficientes se aproxima a 0. Esto implica que el radio de convergencia es infinito.• Si p>q+1 entonces el ratio de los coeficientes tiende a infinito. Esto implica que el radio de convergencia es 0 y la

serie no define una función analítica.La cuestión de convergencia para p=q+1 cuando z está en el círculo unitario es más difícil. Está demostrado que lasserie convergen absolutamente en z=1 si

.

AplicacionesLas funciones hipergeométricas forman una vasta familia de funciones que incluye entre otras a las funciones deBessel, la función Gamma incompleta, la función error, integrales elípticas y polinomios ortogonales. El que esto seaasí, se debe a que las funciones hipergeométricas son soluciones de una clase muy general de ecuacionesdiferenciales ordinarias de segundo orden: las ecuaciones diferenciales hipergeométricas.

Referencias• Gauss, Carl Friedrich (1813). « Disquisitiones generales circa seriam infinitam  

(http:/ / books. google. com/ books?id=uDMAAAAAQAAJ)» (en

Latín). Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores (Göttingen) 2. (El manuscrito

Page 66: Mates Discretas +

Serie hipergeométrica 62

original de Gauss puede ser encontrado en Carl Friedrich Gauss Werke (http:/ / books. google. com/books?id=uDMAAAAAQAAJ), p. 125)

Enlaces externos• Weisstein, Eric W. « Generalized Hypergeometric Function (http:/ / mathworld. wolfram. com/

GeneralizedHypergeometricFunction. html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.• Weisstein, Eric W. « Hypergeometric Function (http:/ / mathworld. wolfram. com/ HypergeometricFunction.

html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.• Weisstein, Eric W. « Confluent Hypergeometric Function of the First Kind (http:/ / mathworld. wolfram. com/

ConfluentHypergeometricFunctionoftheFirstKind. html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.• Weisstein, Eric W. « Confluent Hypergeometric Limit Function (http:/ / mathworld. wolfram. com/

ConfluentHypergeometricLimitFunction. html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Función de BesselEn matemática, las funciones de Bessel, primero definidas por el matemático Daniel Bernoulli y más tardegeneralizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel:

(1)

donde es un número real o complejo. El caso más común es cuando es un entero , aunque la solución parano enteros es similar. El número se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.

Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, tiene dos soluciones linealmenteindependientes.Aunque y dan como resultado la misma función, es conveniente definir diferentes funciones de Bessel paraestos dos parámetros, pues las funciones de Bessel en función del parámetro son funciones suaves casi doquiera.Las funciones de Bessel se denominan también funciones cilíndricas, o armónicos cilíndricos porque son solución dela ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas.

AplicacionesLa Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de Laplace o a la ecuación de Helmholtzpor el método de separación de variables en coordenadas cilíndricas o esféricas. Por ello, las funciones de Bessel sonespecialmente importantes en muchos problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otroproblema descrito por las ecuaciones de Helmholtz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando seresuelven sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero ( ) y enproblemas resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de Bessel de orden semientero ( ), por ejemplo:• Ondas electromagnéticas en guías de onda cilíndricas.• Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas.•• Conducción del calor en objetos cilíndricos.•• Modos de vibración de una membrana delgada circular (o con forma de anillo).•• Difusión en una red.También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en procesado de señales.

Page 67: Mates Discretas +

Función de Bessel 63

Funciones de Bessel ordinariasLas funciones de Bessel ordinarias de orden , llamadas simplemente funciones de Bessel de orden sonsoluciones de la ecuación de Bessel (1). Existen dos formas simples de expresar la solución general de la ecuacióndiferencial de Bessel con parámetro , que están asociadas a las funciones de Bessel ordinarias de primera y desegunda especie.

Funciones de Bessel de primera especie: Las funciones de Bessel de primera especie y orden son las soluciones de la ecuación diferencial de Bessel queson finitas en el origen ( ) para enteros no negativos y divergen en el límite para negativo noentero. El tipo de solución y la normalización de están definidos por sus propiedades abajo indicadas. Esposible definir la función por su expansión en serie de Taylor en torno a :[1]

es la función Gamma de Euler, una generalización del factorial para números complejos.Estas funciones cumplen que:

• Si , entonces y son linealmente independientes, y por tanto una solución general de laecuación de Bessel puede expresarse como una combinación lineal de ellas.

• Si , entonces se cumple:[2]

por lo que las dos soluciones dejan de ser linealmente independientes. En este caso, la segunda solución linealmenteindependiente será una función de Bessel de segunda especie.Las funciones de Bessel son funciones oscilatorias (como las funciones seno o coseno) que decaenproporcionalmente a (como nos lo mostrarán las formas asintóticas de estas funciones más abajo), aunquelos ceros de estas funciones no son, en general, periódicos, excepto de forma asintótica para grandes x.Como casos particulares, se tienen las dos primeras funciones de Bessel enteras:

Integrales de Bessel

Para valores enteros de , se tiene la siguiente representación integral:

Que también se puede escribir como:

Esta es la forma usada por Bessel en su estudio de estas funciones, y a partir de esta definicion dedujo variaspropiedades de las mismas. Esta definición integral puede extenderse a órdenes no enteros añadiendo otro términointegral:

Page 68: Mates Discretas +

Función de Bessel 64

También se tiene, para

Relación con las series hipergeométricas

Las funciones de Bessel son un caso especial de función hipergeométrica

Esta fórmula está relacionada con la expansión de las funciones de Bessel en función de la función deBessel–Clifford.

Relación con los polinomios de Laguerre

Las funciones de Bessel pueden expandirse en serie de polinomios de Laguerre para cualquier parámetro arbitrario como[3]

Funciones de Bessel de segunda especie:

Las funciones de Bessel de segunda especie, denotadas por , son soluciones de la ecuación diferencial deBessel, Estas funciones divergen en el origen (x = 0).

Funciones de Bessel de segunda especie, Yα(x), para órdenes α=0,1,2.

A estas funciones también se les llama a veces funciones de Neumann o de Weber, y a veces se denotan por. Para ; no enteros, se definen a partir de las funciones de primera especie mediante la siguiente

fórmula:

En el caso en el que tengamos un orden entero n, la función es definida como el siguiente límite sólo válido para αenteros:

Page 69: Mates Discretas +

Función de Bessel 65

que nos da el siguiente resultado en forma integral:

Para el caso en el que tengamos α no enteros, la definición de es redundante (como queda claro por sudefinición de arriba). Por otro lado, cuando α es entero, es la segunda solucción linealmente independientede la ecuación de Bessel, además, de forma similar a lo que ocurría con las funciones de primera especie, se cumpleque:

Ambas y son funciones holomorfas de x en el plano complejo cortado por el eje real negativo.Cuando α es un entero, no hay puntos de ramificación, y las funciones de Bessel son funciones enteras de x. Sifijamos x, entonces las funciones de Bessel son funciones enteras respecto a la variable α.

Funciones de Hankel: Hα(1), Hα

(2)

Otra formulación importante de las dos solucciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel son lasfunciones de Hankel y así definidas:[4]

donde i es la unidad imaginaria. Estas combinaciones lineales son también conocidas como las funciones de Besselde tercera especie. Las funciones de Hankel de primera y segunda especie son usadas para representar lassolucciones de ondas entrantes y salientes de una ecuación de ondas en simetrías cilíndricas respectivamente (oviceversa dependiendo de la convección de signo de la frecuencia). Estas funciones son así nombradas en honor deHermann Hankel.Usando la definición dada arriba, estas funciones se pueden escribir en función de las funciones de Bessel de primerorden así:

Si α es un entero, se tiene que calcular de las expresiones de arriba así:

La siguiente relación es válida para todo valor de α, sea entero o no:[5]

Existe una representación integral de las funciones de Hankel (útil para el cálculo de propagadores de la ecuación deKlein-Gordon):[6]

Page 70: Mates Discretas +

Función de Bessel 66

Solución general de la ecuación de BesselLa solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro viene dada en términos de las funcionesde Bessel ordinarias o de las funciones de Hankel. Dicha solución general puede expresarse como:

(2)

Donde A y B son dos constantes arbitrarias.

Funciones de Bessel modificadas: Iα, KαLas funciones de Bessel ordinarias son válidas para valores complejos del argumento x, y un caso especialmenteimportante es aquel con argumento imaginario puro. En este caso, la ecuación de Bessel se transforma en laecuación de Bessel modificada[7]

(3)

y sus dos soluciones linealmente independientes son las funciones de Bessel modificadas de primer y segundo tipo:Iα(x) y Kα(x) respectivamente.[8]

Funciones de Bessel modificadas de primera especie: Las funciones de Bessel modificadas de primera especie y orden vienen dadas por:

Están relacionadas con las funciones de Bessel ordinarias mediante la siguiente igualdad:

.• Si entonces y son linealmente independientes, y por tanto dan una solución general de

la ecuación de Bessel.• Si entonces no está definida en x = 0.Casos particulares:

Page 71: Mates Discretas +

Función de Bessel 67

Funciones de Bessel modificadas de segunda especie: Las funciones de Bessel modificadas de segunda especie y orden se definen a partir de las funciones modificadasde primera especie para órdenes no enteros mediante las siguiente fórmula:

Para los casos en los que sea entero ( ), tenemos que tomar el límite del orden no entero al enteroasí:

Además se puede escribir esta función a partir de la función de Hankel de primera especie así:

Existen varias representaciones integrales de estas funciones. La siguiente de Kα (x) es útil para el cálculo delpropagador de Feynman en Teoría Cuántica de Campos:

Las funciones de Bessel modificadas de segunda especie han sido también llamadas:•• Funciones de Basset•• Funciones de Bessel modificadas de tercera especie•• Funciones de MacDonald• Funciones de Hankel modificadas[9]

Al contrario que las funciones de Bessel ordinarias, Jα and Yα, las cuales son funciones oscilatorias para argumentosreales, las funciones de Bessel modificadas, Iα and Kα, son exponencialmente creciente y decrecienterespectivamente. Como la función de Bessel ordinaria Jα, la función Iα va a cero en x = 0 para α > 0 y es finita en x =0 para α = 0. Análogamente, Kα diverge en x = 0.

Función de Bessel modificada de primera especie, Iα(x), para α=0,1,2,3. Función de Bessel modificada de segunda especie, Kα(x), para α=0,1,2,3.

Page 72: Mates Discretas +

Función de Bessel 68

Solución general de la ecuación de Bessel modificadaLa solución general de la ecuación diferencial de Bessel modificada con parámetro viene dada por:

(4)

Donde A y B son dos constantes arbitrarias.

Funciones esféricas de Bessel:

Funciones esféricas de Bessel de primer orden, jn(x), para n=0,1,2.

Funciones esféricas de Bessel de segundo orden, yn(x), para n=0,1,2.

Cuando se solucciona la ecuación deHelmholtz en coordenadas esféricas porseparación de variables, la ecuación radialtiene la forma:

Donde n es un entero positivo. Las dossolucciones linealmente independientes deesta ecuación se denominan funcionesesféricas de Bessel y , yestán relacionadas con las funciones deBessel ordinarias y por:[10]

se escribe también como o . Aesta función a veces se le llama funciónesférica de Neumann.

Las funciones esféricas de Bessel se puedenobtener a partir de las siguientes fórmulas:

La función de Bessel esférica es laFunción sinc desnormalizada.Para n = 0,1 y 2 tenemos:[11]

[12]

Page 73: Mates Discretas +

Función de Bessel 69

La fórmula general es:

Funciones de Hankel esféricas: h nLas funciones esféricas de Hankel se definen de forma análoga a las no esféricas:

De hecho, esto nos dice que existen expresiones cerradas de las funciones de Bessel de orden semientero en términode funciones trigonométricas y, por tanto, también de las funciones esféricas de Bessel. De esto se deduce que, paran entero no negativo se tiene:

y es la función compleja conjugada de esta (para real). De esta fórmula se pueden deducir las formascerradas de las funciones esféricas de Bessel ordinarias, por ejemplo, y

, y así para cualquier argumento n.

Funciones esféricas de Bessel modificadas: También existen análogos esféricos de las funciones de Bessel modificadas:

.

se pueden escribir de forma cerrada, usando la fórmula de dada arriba como:

Función generatriz

Se pueden obtener las funciones de Bessel esféricas a partir de las siguientes funciones generatrices:[13]

Page 74: Mates Discretas +

Función de Bessel 70

Relaciones diferenciales

La siguiente relación diferencial se cumple para

Funciones de Riccati-Bessel: Las funciones de Riccati-Bessel son una pequeña modificación de las funciones de Bessel esféricas:

Estas funciones satisfacen la siguiente ecuación diferencial:

Esta ecuación diferencial y sus soluciones, las ecuaciones de Riccati-Bessel, se usan para resolver el problema descattering de ondas electromagnéticas por una esfera, problema conocido como scattering de Mie tras la publicaciónpor vez primera de estos resultados por Mie en 1908. Véase por ejemplo, Du (2004).[14]

Según Debye (1909) se usa a veces la notación en vez de .

Expansiones asintóticasLas funciones de Bessel tienen las siguientes expansiones asintóticas para α no negativos. Para pequeño argumento

, se tiene:[15]

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni y es la función Gamma de Euler. Como aproximación asintóticaal infinito, (cuando tenemos un argumento tal que verifica ), se obtienen las siguientesaproximaciones:[15]

Para α=1/2 estas fórmulas son exactas. Las expansiones asintóticas del resto de funciones de Bessel se obtienen apartir de las mostradas arriba y de sus relaciones con las funciones de Bessel de primera especie. Así, lasaproximaciones asintóticas al infinito de las funciones de Bessel modificadas (es decir, para argumentos x queverifiquen ) se tiene:

Page 75: Mates Discretas +

Función de Bessel 71

Mientras que el límite de muy bajo argumento, , se obtiene:

PropiedadesPara enteros de orden α = n, se puede definir a partir de la serie de Laurent de la siguiente funcióngeneratriz:

aproximación tomada por P. A. Hansen en 1843. Esta expresión puede generalizarse a órdenes no enteros usandointegración de contorno u otros métodos. Otra expresión importante para órdenes enteros es la identidad deJacobi-Anger:

identidad que es usada para expandir ondas planas en una serie infinita de ondas cilíndricas o para encontrar la seriede Fourier de un tono de una señal de FM.Más generalmente, una función ƒ se puede expandir en una serie de la forma

que se denomina expansión de Neumann de ƒ. Los coeficientes de esta serie en el caso tienen la siguienteforma explícita

donde son los polinomios de Neumann.[16]

Existen funciones que admiten la siguiente representación especial

con

debido a la relación de ortogonalidad

Más generalmente, si f tiene un punto de ramificación donde

entonces

Page 76: Mates Discretas +

Función de Bessel 72

o

donde es la transformada de Laplace de ƒ.[17]

Otra manera de definir las funciones de Bessel son la representación de Poisson y la fórmula de Mehler-Sonine:

donde ν > −1/2 y z es un número complejo.[18] Esta fórmula es especialmente útil cuando se trabaja contransformadas de Fourier.

Las funciones , , y cumplen las siguientes relaciones de recurrencia:

Donde Z denota J, Y, H(1), o H(2).Estas dos identidades se suelen combinar para obtener otras relaciones distintas. Por ejemplo, se pueden calcularfunciones de Bessel de mayores órdenes (o mayores derivadas) a partir de funciones de Bessel de menor orden o dederivadas de menor orden. En particular, se cumple:

Las funciones modificadas de Bessel cumplen relaciones similares:

Las relaciones de recurrencia serán en este caso:

donde denotará a o a . Estas relaciones son útiles para problemas de difusión discreta.La división de la ecuación de Bessel por x es una ecuación hermítica o auto-adjunta, por lo que sus soluccionesdeben cumplir determinadas relaciones de ortogonalidad para unas condiciones de contorno adecuadas. Enparticular, se cumple:

donde , es la delta de Kronecker, y es el m-ésimo cero de . Esta relación de ortogonalidad puede ser usada para extraer coeficientes de las series de Fourier-Bessel, donde una función se expande en una base de funciones de Bessel para α fijo y m variable. (Obtener una relación análoga

Page 77: Mates Discretas +

Función de Bessel 73

para funciones de Bessel esféricas es trivial.)Se puede obtener de forma inmediata una relación análoga para funciones de Bessel esféricas:

Otra relación de ortogonalidad es la ecuación de cierre:

para y siendo la función delta de Dirac. Esta propiedad se usa para construir expansiones defunciones arbitrarias como series de funciones de Bessel mediante la transformada de Hankel.Para funciones de Bessel esféricas, la relación de cierre es:

para . Otra propiedad importante de la ecuación de Bessel, que se deriva de la identidad de Abel, es elWronskiano de las soluciones:

donde y son dos soluciones cualesquiera independientes de la ecuación de Bessel y es una constanteindependiente de x (que depende de α y de las funciones de Bessel consideradas). Por ejemplo, se cumple:

Existe un gran número de integrales e identidades que involucran a funciones de Bessel que no están aquíreproducidas, pero que se pueden encontrar en las referencias.

Teorema del ProductoLas funciones de Bessel verifican un teorema del producto

donde y son números complejos cualesquiera. Una fórmula similar se cumple para y el resto defunciones de Bessel[19] [20]

Hipótesis de BourgetBessel demostró que, para n no negativos, la ecuación

tiene un número infinito de soluciones en x.[21] Cuando las funciones se representan en la misma gráfica,ninguno de los diferentes ceros de cada función parece coincidir, excepto el cero situado en . Estefenómeno se conoce como Hipótesis de Bourget, en honor al matemático francés del siglo XIX que estudió lasfunciones de Bessel.La hipótesis dice que, para cualesquiera enteros and , las funciones y no tienenceros comunes, a excepción del cero en el origen . Esta hipótesis fue demostrada por Siegel en 1929.[22]

Page 78: Mates Discretas +

Función de Bessel 74

Derivadas de Jα, Yα, Iα, Hα, KαLas siguientes fórmulas pueden encontrarse en.[23]

Derivada bajando el índice p a p − 1Para

Mientras que para , se tiene

Derivada subiendo el índice p a p + 1 dependency

Para

Mientras que para , se tiene

Otras relaciones importantes

Para , se cumplen las siguientes relaciones:

Identidades Seleccionadas

Page 79: Mates Discretas +

Función de Bessel 75

Referencias

Notas[1] Abramowitz and Stegun, p. 360, 9.1.10 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_360. htm).[2] Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.5 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_358. htm).[3][3] Szegö, G. Orthogonal Polynomials, 4th ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1975.[4] Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.3, 9.1.4 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_358. htm).[5] Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.6 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_358. htm).[6] Abramowitz and Stegun, p. 360, 9.1.25 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_360. htm).[7] Abramowitz and Stegun, p. 374, 9.6.1 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_374. htm).[8] Abramowitz and Stegun, p. 375, 9.6.2, 9.6.10, 9.6.11 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_375. htm).[9] Referred to as such in: Teichroew, D. The Mixture of Normal Distributions with Different Variances, The Annals of Mathematical Statistics.

Vol. 28, No. 2 (Jun., 1957), pp. 510–512[10] Abramowitz and Stegun, p. 437, 10.1.1 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_437. htm).[11] Abramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.11, 10.1.12 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_438. htm);[12] Abramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.11 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_438. htm).[13] Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.39 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_439. htm).[14] Hong Du, "Mie-scattering calculation," Applied Optics 43 (9), 1951–1956 (2004)[15] Arfken & Weber.[16] Abramowitz and Stegun, p. 363, 9.1.82 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_363. htm) ff.[17] E. T. Whittaker, G. N. Watson, A course in modern Analysis p. 536 (http:/ / books. google. com/ books?id=Mlk3FrNoEVoC& lpg=PA522&

ots=SOShEJmay6& dq=bessel neumann series& hl=de& pg=PA536#v=onepage& q=bessel neumann series& f=false)[18] I.S. Gradshteyn (И.С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И.М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. Table of Integrals, Series, and

Products, seventh edition. Academic Press, 2007. ISBN 978-0-12-373637-6. Equation 8.411.10[19] Abramowitz and Stegun, p. 363, 9.1.74 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_363. htm).[20] C. Truesdell, " On the Addition and Multiplication Theorems for the Special Functions (http:/ / www. pnas. org/ cgi/ reprint/ 36/ 12/ 752.

pdf)", Proceedings of the National Academy of Sciences, Mathematics, (1950) pp.752–757.[21] F. Bessel, Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, Berlin Abhandlungen (1824), article 14.[22] Watson, pp. 484–5[23] "Advanced Calculus for Engineers", F. B. Hildebrand, 6th printing, pp. 163–164 (1956)

Bibliografía• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 9" (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/

page_355. htm), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, NewYork: Dover, pp. 355, MR 0167642 (http:/ / www. ams. org/ mathscinet-getitem?mr=0167642), ISBN978-0486612720, See also chapter 10 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_435. htm).

• Arfken, George B. and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition (Harcourt: San Diego,2005). ISBN 0-12-059876-0.

• Bayin, S.S. Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, 2006, Chapter 6.• Bayin, S.S., Essentials of Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, 2008, Chapter 11.• Bowman, Frank Introduction to Bessel Functions (Dover: New York, 1958). ISBN 0-486-60462-4.• G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen", Ann. Phys. Leipzig 25 (1908),

p. 377.• Olver, F. W. J.; Maximon, L. C. (2010), "Bessel function" (http:/ / dlmf. nist. gov/ 10), in Olver, Frank W. J.;

Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge UniversityPress, ISBN 978-0521192255

• B Spain, M.G. Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970.Chapter 9 deals with Bessel functions.

• Watson, G.N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition, (1995) Cambridge University Press.ISBN 0-521-48391-3.

Page 80: Mates Discretas +

Función de Bessel 76

Enlaces externos• Lizorkin, P.I. (2001), « Bessel functions (http:/ / www. encyclopediaofmath. org/ index.

php?title=Bessel_functions& oldid=14104)», en Hazewinkel, Michiel (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics,Springer, ISBN 978-1556080104

• Karmazina, L.N.; Prudnikov, A.P. (2001), « Cylinder function (http:/ / www. encyclopediaofmath. org/ index.php?title=Cylinder_functions& oldid=12530)», en Hazewinkel, Michiel (en inglés), Encyclopaedia ofMathematics, Springer, ISBN 978-1556080104

• Rozov, =N.Kh. (2001), « Bessel equation (http:/ / www. encyclopediaofmath. org/ index.php?title=Bessel_equation& oldid=14419)», en Hazewinkel, Michiel (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics,Springer, ISBN 978-1556080104

• Wolfram function pages on Bessel J (http:/ / functions. wolfram. com/ Bessel-TypeFunctions/ BesselJ/ ) and Y(http:/ / functions. wolfram. com/ Bessel-TypeFunctions/ BesselY/ ) functions, and modified Bessel I (http:/ /functions. wolfram. com/ Bessel-TypeFunctions/ BesselI/ ) and K (http:/ / functions. wolfram. com/Bessel-TypeFunctions/ BesselK/ ) functions. Pages include formulas, function evaluators, and plottingcalculators.

• Wolfram Mathworld – Bessel functions of the first kind (http:/ / mathworld. wolfram. com/BesselFunctionoftheFirstKind. html)

Símbolo de PochhammerSean z un número complejo y n un número entero, el símbolo de Pochhammer[1] está definido por

Si z y z+n no son enteros negativos, entonces

donde es la función gamma.Los símbolos de Pochhammer aparecen en la expansión en series de funciones especiales.

PropiedadesAlgunas de las propiedades de los símbolos de Pochhammer son las siguientes:

Page 81: Mates Discretas +

Símbolo de Pochhammer 77

AplicacionesComo se mencionó más arriba, los símbolos de Pochhammer se usan en la expansión en series de potencia defunciones. He aquí un par de ejemplos:1.1. El teorema del binomio de Newton puede expresarse:

2. La función hipergeométrica confluyente se puede expresar como:

Notas y referencias[1] Introducido por Leo August Pochhammer

___Seaborn, James B. (1991). Hypergeometric Functions and their applications. New York: Springer Verlag.0-387-97558-6.

Función gamma

Función Gamma en el eje real.

En matemáticas, la función Gamma(denotada como ) es una funciónque extiende el concepto de factorial alos números complejos. La notaciónfue ideada por Adrien-Marie Legendre.Si la parte real del número complejo zes positivo, entonces la integral

converge absolutamente, esta integralpuede ser extendida a todo el planocomplejo excepto a los enterosnegativos y al cero.Si n es un entero positivo, entonces

lo que nos muestra la relación de estafunción con el factorial. De hecho, lafunción Gamma generaliza el factorial para cualquier valor complejo de n.

La función Gamma aparece en varias funciones de distribución de probabilidad, por lo que es bastante usada tanto enprobabilidad y estadística como en combinatoria.

Page 82: Mates Discretas +

Función gamma 78

Valor absoluto de la función gamma en el planocomplejo.

Definición tradicional

La función gamma en el plano complejo.

Si la parte real del número complejo z es positiva (Re(z) > 0), entoncesla integral

converge absolutamente. Usando la integración por partes, se obtienela siguiente propiedad:

Esta ecuación funcional generaliza la relación delfactorial. Se puede evaluar analíticamente:

Combinando estas dos relaciones se obtiene que el factorial es un casoespecial de la función Gamma:

para los números naturales n.

La función Gamma es una función meromorfa de con polos simples en

y residuos .[1] Estas propiedades pueden ser usadas para extender desde su

definición inicial a todo el plano complejo (exceptuando los puntos en los cuales es singular) por continuaciónanalítica.

Definiciones alternativasLas siguientes definiciones de la función Gamma mediante productos infinitos, debidas a Euler y Weierstrassrespectivamente, son válidas para todo complejo z que no sea un entero negativo:

donde es la constante de Euler-Mascheroni.

Page 83: Mates Discretas +

Función gamma 79

Es sencillo mostrar que la definición de Euler satisface la ecuación funcional dada arriba como sigue. Dado

También puede obtenerle la siguiente representación integral:

Obtención de la ecuación funcional usando integración por partesObtener es sencillo:

Ahora obtendremos una expresión para como una función de :

Usamos integración por partes para resolver la integral

En el límite inferior se obtiene directamente .

En el infinito, usando la regla de L'Hôpital:

.

Por lo que se anula el primer término, , lo que nos da el siguiente resultado:

La parte derecha de la ecuación es exactamente , con lo que hemos obtenido una relación de recurrencia:.

Apliquemos la fórmula a unos pocos valores:

Page 84: Mates Discretas +

Función gamma 80

PropiedadesDe la representación integral se obtiene:

.

Otras ecuaciones funcionales importantes de la función Gamma son la fórmula de reflexión de Euler

y la fórmula de duplicación

La fórmula de duplicación es un caso especial del teorema de multiplicación

Una propiedad básica y muy útil de la función Gamma , que puede obtenerse a partir de la definición medianteproductos infinitos de Euler es:

Varios límites útiles para aproximaciones asintóticas:

Quizá el valor más conocido de la función Gamma con argumento no negativo es

La cual puede obtenerse haciendo en la fórmula de reflexión o en la fórmula de duplicación, usando larelación de la función Gamma con la función beta dada más abajo con o haciendo la sustitución

en la definición integral de la función Gamma, con lo que se obtiene una integral Gaussiana. En general,para valores impares de n se tiene:

    (n impar)

donde n!! denota al doble factorial.Las derivadas de la función Gamma vienen dadas por la función poligamma. Por ejemplo:

A partir de la representación integral de la función Gamma, se obtiene que su derivada n-ésima es:

La función Gamma tiene un polo de orden 1 en para todo número natural y el cero. El residuo en cadapolo es:

El teorema de Bohr-Mollerup dice que, entre todas las funciones que generalizan el factorial de los númerosnaturales a los reales, sólo la función Gamma es logaritmo convexa (o log-convexa), esto es, el logaritmo natural dela función Gamma es una función convexa.

El desarrollo en Serie de Laurent de para valores 0 < z < 1 es:

Page 85: Mates Discretas +

Función gamma 81

Donde es la función zeta de Riemann.

Función PiGauss introdujo una notación alternativa de la función Gamma denominada función Pi, que en términos de lafunción Gamma es:

Así, la relación de esta función Pi con el factorial es bastante más natural que en el caso de la función Gamma:

La fórmula de la reflexión toma la siguiente forma:

Donde sinc es la función sinc normalizada, el teorema de la multiplicación se escribe así:

A veces se encuentra la siguiente definición

donde es una función entera, definida para todo número complejo, pues no tiene polos. La razón de ello es quela función Gamma y, por tanto, la función Pi, no tienen ceros.

Relación con otras funciones• En la representación integral de la función Gamma, tanto el límite superior como el inferior de la integración

están fijados. La función gamma incompleta superior e inferior se obtienen modificando loslímites de integración superior o inferior respectivamente.

• La función Gamma está relacionada con la función beta por la siguiente fórmula

• La derivada logarítmica de la función Gamma es la función digamma . Las derivadas de mayor ordenson las funciones poligamma .

• El análogo de la función Gamma sobre un cuerpo finito o un anillo finito son las sumas gaussianas, un tipo desuma exponencial.

• La función gamma inversa es la inversa de la función gamma, que es una función entera.

Page 86: Mates Discretas +

Función gamma 82

• La función Gamma aparece en la definición integral de la función zeta de Riemann :

Fórmula válida sólo si . También aparece en la ecuación funcional de :

Valores de la función GammaArtículo principal: Valores de la función Gamma

AproximacionesLa función Gamma se puede calcular numéricamente con precisión arbitrariamente pequeña usando la fórmula deStirling o la aproximación de Lanczos.Para argumentos que sean múltiplos enteros de 1/24, la función Gamma puede ser evaluada rápidamente usandoiteraciones de medias aritmético geométricas (véase Valores de la función Gamma).Debido a que tanto la función Gamma como el factorial crecen muy rápidamente para argumentos moderadamentegrandes, muchos programas de computación incluyen funciones que devuelven el logaritmo de la función Gamma.Este crece más lentamente, y en cálculos combinatorios es muy útil, pues se pasa de multiplicar y dividir grandesvalores a sumar o restar sus logaritmos.

Aplicaciones de la función gamma

Cálculo fraccionario

La n-ésima derivada de (donde n es un número natural) se puede ver de la siguiente manera:

como entonces donde n puede ser cualquier número

donde gamma esté definido o se pueda definir mediante límites.De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de , de e inclusive de una constante :

Page 87: Mates Discretas +

Función gamma 83

Referencias[1] George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and

Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman)

• Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66,849-869 (1959)

• Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. En formatos PostScript (http:/ /numbers. computation. free. fr/ Constants/ Miscellaneous/ gammaFunction. ps) y HTML (http:/ / numbers.computation. free. fr/ Constants/ Miscellaneous/ gammaFunction. html).

• Bruno Haible & Thomas Papanikolaou. Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers (http:/ /www. informatik. tu-darmstadt. de/ TI/ Mitarbeiter/ papanik/ ps/ TI-97-7. dvi). Technical Report No. TI-7/97,Darmstadt University of Technology, 1997

• Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003• Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of

Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Función gamma. Commons

Sitios web• Ejemplos de problemas que involucran a la Función Gamma en Exampleproblems.com (http:/ / www.

exampleproblems. com/ wiki/ index. php?title=Special_Functions) (en inglés).• Cephes (http:/ / www. moshier. net/ #Cephes) - Librería de funciones especiales matemáticas de C y C++ (en

inglés).• Fast Factorial Functions (http:/ / www. luschny. de/ math/ factorial/ FastFactorialFunctions. htm) - Varios

algoritmos.• Approximation Formulas (http:/ / www. luschny. de/ math/ factorial/ approx/ SimpleCases. html) -

Aproximaciones.• Evaluador de la función Gamma de Wolfram con precisión arbitraria (http:/ / functions. wolfram. com/

webMathematica/ FunctionEvaluation. jsp?name=Gamma).• Volume of n-Spheres and the Gamma Function (http:/ / www. mathpages. com/ home/ kmath163. htm) en

MathPages (en inglés).• Herramienta online para obtener gráficas de funciones que contiene a la función Gamma (http:/ / sporkforge. com/

math/ fcn_graph_eval. php).

Page 88: Mates Discretas +

Función gamma 84

Lecturas adicionales• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and

Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6) (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/page_253. htm)

• G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter10.)

• Harry Hochstadt. The Functions of Mathematical Physics. New York: Dover, 1986 (See Chapter 3.)• W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK:

Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)

Factorial

0 1

1 1

2 2

3 6

4 24

5 120

6 720

7 5.040

8 40.320

9 362.880

10 3.628.800

15 1.307.674.368.000

20 2.432.902.008.176.640.000

25 15.511.210.043.330.985.984.000.000

50 30.414.093.201.713.378.043 × 1045

70 1,19785717... × 10100

450 1,73336873... × 101.000

3.249 6,41233768... × 1010.000

25.206 1,205703438... × 10100.000

100.000 2,8242294079... × 10456.573

El factorial Para todo entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define como el producto de todos losnúmeros enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n.

La multiplicación anterior se puede simbolizar también como

Page 89: Mates Discretas +

Factorial 85

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisismatemático. De manera fundamental, el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetosdistintos. Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el s. XII por los estudiosos indios. La notaciónactual n! fue usada por primera vez por Christian Kramp en 1803.La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendo sus propiedadesfundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente del análisis matemático

Cero factorialLa definición indicada de factorial es válida para números positivos. Es posible extender la definición a otroscontextos introduciendo conceptos más sofisticados, en especial es posible definirla para cualquier número realexcepto para los números enteros negativos y para cualquier número complejo exceptuando de nuevo los númerosenteros negativos.Una extensión común, sin embargo, es la definición de factorial de cero. De acuerdo con la convención matemáticade producto vacío, el valor de 0! debe definirse como 0!=1.Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo para justificar la elección, como sigue:• Para cada número entero positivo n mayor que 1, es posible determinar el valor del factorial anterior mediante el

uso de la siguiente identidad:

,

válida para todo número mayor o igual que 1.Así, si se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque

4!= ,

y por tanto 3! debe ser necesariamente 6 puesto que

3!= .

El mismo proceso justifica el valor de 2! = 2 y 1!=1 ya que

Si aplicamos la misma regla para el caso extremo en que n'=1 tendríamos que 0! corresponde a

Aunque el argumento puede resultar convincente, es importante tener en cuenta que no es más que un argumentoinformal y que la razón real por la cual se toma la convención de 0! = 1 es por ser un caso especial de la convenciónde producto vacío usada en muchas otras ramas de las matemáticas.

Page 90: Mates Discretas +

Factorial 86

AplicacionesLos factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton,que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n:

donde representa un coeficiente binomial:

Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también enel ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor). Segeneralizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en la teoría de números.Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial de n, dado por la fórmula de Stirling:

La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuandomayor sea n.El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la función gamma de manera que

Productos similares

PrimorialEl primorial (sucesión A002110 [1] en OEIS) se define de forma similar al factorial, pero sólo se toma el producto delos números primos menores o iguales que n.

Doble factorialSe define el doble factorial de n como:

Por ejemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 y 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. La sucesión de dobles factoriales (sucesiónA006882 [2] en OEIS) para empieza así:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...La definición anterior puede extenderse para definir el doble factorial de números negativos:

Y esta es la sucesión de dobles factoriales para :

El doble factorial de un número negativo par no está definido.1233Algunas identidades de los dobles factoriales:

1.2.

Page 91: Mates Discretas +

Factorial 87

3.

4.

5.

6.

Implementación en lenguajes de programaciónLa función factorial es fácilmente implementable en distintos lenguajes de programación. Se pueden elegir dosmétodos, el iterativo, es decir, realiza un bucle en el que se multiplica una variable temporal por cada número naturalentre 1 y n, o el recursivo, por el cual la función factorial se llama a sí misma con un argumento cada vez menorhasta llegar al caso base 0!=1.

Enlaces externos• Algoritmos interesantes [3](en inglés)• http:/ / factorielle. free. fr• Calculadora de factoriales [4] - Hasta 200.000!

Referencias[1] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis%3Aa002110[2] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis%3Aa006882[3] http:/ / www. luschny. de/ math/ factorial/ FastFactorialFunctions. htm[4] http:/ / nitrxgen. net/ factorialcalc. php

Page 92: Mates Discretas +

Combinatoria 88

CombinatoriaLa combinatoria es una rama de la matemática perteneciente al área de matemáticas discretas que estudia laenumeración, construcción y existencia de propiedades de configuraciones que satisfacen ciertas condicionesestablecidas.

Áreas de la combinatoriaNo existe una clasificación tajante de lo que constituye una subárea, sino que todas comparten cierto grado detraslape entre sí, al igual que con otras ramas de la matemática discreta. Diferentes autores proponen variasdivisiones de la combinatoria por lo que cualquier listado es meramente indicativo. Por ejemplo, algunos autoresconsideran la teoría de gráficas como una subárea de la combinatoria, mientras que otros la consideran un áreaindependiente.Entre las subdivisiones más comunes se encuentran las siguientes.

Combinatoria enumerativaLa combinatoria enumerativa o enumeración estudia los métodos para contar (enumerar) las distintasconfiguraciones de los elementos de un conjunto que cumplan ciertos criterios especificados.Esta fue una de las primeras áreas de la combinatoria en ser desarrollada, y como otras áreas más recientes seestudian sólo en cursos especializados, es común que se haga referencia a esta subárea cuando se mencionacombinatoria en entornos escolares.Ejemplo.

Considérese el conjunto . Podemos imaginar que estos elementos corresponden a tarjetasdentro de un sombrero.• Un primer problema podría consistir en hallar el número de formas diferentes en que podemos sacar las tarjetas

una después de otra (es decir, el número de permutaciones del conjunto).Por ejemplo, dos formas distintas podrían ser: EIAOU o OUAIE.

•• Después, se puede preguntar por el número de formas en que se puede sacar sólo 3 tarjetas del sombrero (es decir,el número de 3-permutaciones del conjunto).

En este caso, ejemplos pueden ser IOU, AEI o EAI.• También se puede preguntar sobre cuáles son los posibles grupos de 3 tarjetas que se pueden extraer, sin dar

consideración al orden en que salen (en otras palabras, el valor de un coeficiente binomial).Aquí, consideraríamos AOU y UAO como un mismo resultado.

•• Otro problema consiste en hallar el número de formas en que pueden salir 5 tarjetas, una tras otra, pero en cadamomento se regresa la tarjeta escogida al sombrero.

En este problema los resultados posibles podrían ser EIOUO, IAOEU o IEAEE.La combinatoria enumerativa estudia las técnicas y métodos que permiten resolver problemas anteriores, así comootros más complejos, cuando el número de elementos del conjunto es arbitrario. De esta forma, en el primer ejemplola generalización correspondiente es determinar el número de formas en que se pueden ordenar todos los elementosde un conjunto con n elementos, siendo la respuesta el factorial de n.

Page 93: Mates Discretas +

Combinatoria 89

Combinatoria extremalEl enfoque aquí es determinar qué tan grande o pequeña debe ser una colección de objetos para que satisfaga unacondición previamente establecida;Ejemplo.Considérese un conjunto S. con n elementos. A continuación se empieza a hacer un listado de subconjuntos de talmanera que cualquier pareja de subconjuntos del listado tenga algún elemento en común.

Para clarificar, sea y un posible listado de subconjuntos podría ser

Conforme aumenta el listado (y dado que hay una cantidad finita de opciones), el proceso se hace cada vez máscomplicado. Por ejemplo, no podríamos añadir el conjunto {A, D} al listado pues aunque tiene elementos en comúncon los últimos 3 subconjuntos del listado, no comparte ningún elemento con el primero.

La pregunta sobre qué tan grande puede hacerse el listado de forma que cualquier pareja de subconjuntos tenga unelemento en común es un ejemplo de problema de combinatoria extremal (o combinatoria extrema). La respuesta aeste problema es que si el conjunto original tiene n elementos, entonces el listado puede tener como máximo subconjuntos.

Referencias• Handbook of Combinatorics, Volumes 1 and 2, R.L. Graham, M. Groetschel and L. Lovász (Eds.), MIT Press,

1996. ISBN 0-262-07169-X• Enumerative Combinatorics, Volumes 1 and 2 [1], Richard P. Stanley, Cambridge University Press, 1997 and

1999, ISBN 0-521-55309-1N

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Combinatoria. Commons• Combinatoria. Actividades [2]

• Combinatoria. Técnicas de recuento [3]

Referencias[1] http:/ / www-math. mit. edu/ ~rstan/ ec/[2] http:/ / www. ematematicas. net/ combinafactorial. php[3] http:/ / www. juntadeandalucia. es/ averroes/ html/ adjuntos/ 2007/ 10/ 02/ 0013/ index. html

Page 94: Mates Discretas +

Teoría de Ramsey 90

Teoría de Ramsey

Según la teoría de Ramsey, del total de estrellas del cielo nocturno, siemprepodemos seleccionar un subconjunto de ellas para dibujar diferentes objetos como:

un triángulo, un cuadrilátero, un paraguas o un pulpo.

La teoría de Ramsey, llamada así por FrankP. Ramsey, es un campo de las matemáticasque estudia las condiciones bajo las cualesel orden debe aparecer. Los problemas de lateoría de Ramsey son típicamente de laforma: ¿Cuántos elementos debe conteneruna estructura para garantizar la existenciade una propiedad particular?

El desorden completo es imposibleTheodore S. Motzkin[1]

Ejemplos

Supongamos que n palomas han sidoalojadas en m nidos. ¿Qué tamaño ha detener n, con respecto a m, para que se puedagarantizar que al menos, un nido contengados palomas?. La respuesta esta dada por el Principio del palomar: si n> m, entonces, por lo menos, un nido tendrádos palomas. La teoría de Ramsey generaliza este resultado, como se explica a continuación.

Un resultado típico de la teoría de Ramsey se inicia con alguna estructura matemática que se corta en trozos. ¿Quétamaño ha de tener la estructura original con el fin de garantizar que al menos una de las piezas tenga una propiedadinteresante dada?Por ejemplo, consideremos un grafo completo de orden n, es decir, hay n vértices y cada vértice está conectado atodos los otros vértices por medio de una arista. Un grafo completo de orden 3 se llama triángulo. Ahora bien, cadaarista puede tener uno de los siguientes colores: rojo o azul. ¿Qué tan grande debe ser n con el fin de garantizar queexista un triángulo azul o un triángulo rojo?. Resulta que la respuesta es 6. Véase el artículo sobre el teorema deRamsey para una prueba rigurosa.Otra manera de expresar este resultado es el siguiente: en cualquier actividad con al menos seis personas, hay trespersonas que son mutuamente conocidas o mutuamente desconocidas. Véase el teorema de la amistad.Este es un caso especial del teorema de Ramsey, que dice que para cualquier entero dado c, y dado los enterosn1,...,nc, existe el número: R(n1,...,nc), llamado número de Ramsey, tal que si las aristas de un grafo completo deorden R(n1,...,nc) se colorean con c colores distintos, entonces para algún i entre 1 y c, debe contener un subgrafocompleto de orden ni cuyas aristas están todas coloreadas con el color i. El caso especial de arriba tiene c = 2 y n1 =n2 = 3.Para dos colores y valores de r y s a lo sumo 10 se conocen los siguientes valores exactos y cotas:

Page 95: Mates Discretas +

Teoría de Ramsey 91

r,s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 1 3 6 9 14 18 23 28 36 40–43

4 1 4 9 18 25 36–41 49–61 56–84 73–115 92–149

5 1 5 14 25 43–49 58–87 80–143 101–216 126–316 144–442

6 1 6 18 36–41 58–87 102–165 113–298 132–495 169–780 179–1171

7 1 7 23 49–61 80–143 113–298 205–540 217–1031 241–1713 289–2826

8 1 8 28 56–84 101–216 132–495 217–1031 282–1870 317–3583 331-6090

9 1 9 36 73–115 126–316 169–780 241–1713 317–3583 565–6588 581–12677

10 1 10 40–43 92–149 144–442 179–1171 289–2826 331-6090 581–12677 798–23556

Hay una simetría trivial con respecto la diagonal.Esta tabla está extraida del survey Small Ramsey Numbers de Stanisław Radziszowski [2] excepto R(4,6)≥36,probado por Geoffrey Exoo en 2012 .[3]

Para tres colores, el único valor exacto no trivial conocido es R(3,3,3)=17.De idéntica forma se puede definir el número de Ramsey de grafos que no sean completos, conociéndose para doscolores y grafos con a lo más 5 vértices, todos los valores exactos salvo los dos casos formados por dos grafoscompletos con 5 vértices y por uno completo de 5 vértices menos una arista y uno completo de 5 vértices.

ResultadosAlgunos resultados importantes de teoría de Ramsey son:• Teorema de Ramsey Infinito (1928). Si tenemos un conjunto infinito y distribuimos sus elementos en un

número finito de cajas, entonces hay una caja que contiene infinitos elementos.• Teorema de Bolzano. Toda sucesión infinita de números reales contiene una subsucesión infinita creciente o

decreciente.• Problema del final feliz (Erdős, Szekeres & Klein; 1933). Dados 5 puntos en el plano (de forma que cada 3 de

ellos no sean colineales), hay cuatro que forman un cuadrilátero convexo.• Teorema de la amistad (Ramsey; 1928). En cualquier reunión de 6 personas, o bien 3 de ellas se conocen entre

sí, o bien, 3 de ellas no se conocen entre sí.• Teorema de Erdős-Szekeres(1936). Si tenemos n2 + 1 números reales, n + 1 de ellos forman una sucesión

monótona.• Teorema de van der Waerden (1927). Para todo par de enteros l y c, existe un N tal que, dada una progresión

aritmética P de longitud a lo menos N (en un grupo aditivo Z), y si coloreamos la progresión P con c colores,entonces existe una sub-progresión aritmética Po monocromática de longitud l.

• Teorema de Hales-Jewett (1963): Para enteros n y c, existe el número H de manera que las celdas de un cuboH-dimensional n×n×n×...×n son coloreados con c colores, debe existir una fila, columna, etc. de longitud n endonde sus celdas estan coloreadas con un solo color. Esto es, si se juega el tres en línea en un tablero-hipercubode dimensiones suficientemente grandes, entonces no se puede terminar el juego en empate, no importando quetan grande sea n (la longitud de X ó 0 necesaria para ganar la partida), ni el número c de jugadores. El teorema deHales-Jewett implica el teorema de Van der Waerden.

Page 96: Mates Discretas +

Teoría de Ramsey 92

• Teorema de Schur. Para todo número c, hay un N tal que si los números 1,2,..., N son coloreados por c colores,existe un par de enteros x, y tal que x, y, x+y tienen el mismo color.

Naturaleza de los resultadosLos resultados en la teoría de Ramsey normalmente tienen dos características básicas. En primer lugar, generalmenteno son constructivas, los resultados muestran la existencia de alguna estructura, pero no se da una receta oprocedimiento para encontrarla (que no sea la Búsqueda de fuerza bruta). En segundo lugar, mientras los resultadosde la teoría de Ramsey nos dicen que un objeto lo suficientemente grande deberá contener necesariamente unaestructura dada, a menudo la prueba de estos resultados requiere que estos objetos sean enormemente grandes conlímites que crecen de manera exponencial.

Problemas abiertos• Problema de Erdős-Szekeres: este problema corresponde a la generalización del problema del final feliz, y es:

• Problema del Limite de Rk

= R(k,k;2). Existe , y de existir ¿Cuál es su valor?

Notas[1] "S. A. Soman" (21 de agosto de 2008). "Computational Methods for Large Sparse Power Systems Analysis". pp. 31.[2] http:/ / www. combinatorics. org/ Surveys/ index. html[3] G. Exoo, R(4,6)>35 (http:/ / ginger. indstate. edu/ ge/ RAMSEY/ r. 4. 6. html)

Referencias• R. Graham, B. Rothschild, J.H. Spencer, Ramsey Theory, John Wiley and Sons, NY (1990)• Landman and A. Robertson, Ramsey Theory on the Integers, Student Mathematical Library Vol. 24, AMS (2004)• F. P. Ramsey, On a Problem of Formal Logic (http:/ / dx. doi. org/ 10. 1112/ plms/ s2-30. 1. 264), Proc. London

Math. Soc., Vol. s2-30, no 1 (1930),• P. Erdös and G. Szekeres, A combinatorial problem in geometry (http:/ / www. numdam. org/

item?id=CM_1935__2__463_0), Compositio Math., Vol. 2, p. 463-470 (1935)• G. Boolos, J. P. Burgess and R. Jeffrey, Computability and Logic, Cambridge: Cambridge University Press.

(1974, revised 2004)

Page 97: Mates Discretas +

Grupo simétrico 93

Grupo simétrico

Grafo de Cayley de un grupo simétrico de orden 4 (S4)

En matemáticas, el grupo simétrico sobre un conjunto X,denotado por SX es el grupo formado por las funciones biyectivas(permutaciones) de X en sí mismo.

Los subgrupos de SX se denominan grupos de permutaciones. Elteorema de Cayley afirma que todo grupo G es isomorfo a ungrupo de permutaciones (ie: un subgrupo del simétrico).

De especial relevancia es el grupo simétrico sobre el conjuntofinito X = {1,...,n}, denotado por Sn. El grupo Sn tiene orden n! yno es abeliano para n≥3.

Composición de permutaciones

Hay diversas formas de representar una permutación. Podemosescribir una permutación σ en forma de matriz, situando enprimera fila los elementos del dominio 1, 2, 3..., y en la segunda las imágenes correspondientes σ(1), σ(2), σ(3),....

Dada dos permutaciones, su composición se realiza siguiendo las reglas usuales de composición de funciones:

Si y

su composición es:

El cálculo de la composición puede seguirse de un modo visual, recordando que al componer funciones se opera dederecha a izquierda:

Una presentación del grupo

GeneradoresRecordemos que una trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Toda permutación se descompone como producto de trasposiciones. De este modo, el conjunto de las trasposiciones forma un sistema generador de . Pero es posible reducir aún más este sistema restringiéndonos a las trasposiciones de la forma . En efecto, para i<j'' podemos descomponer cualquier trasposición en la forma: :

UNIQ-math-5-f3222155486be87f-QINU === Relaciones elementales === Estos generadores permiten definir una [[presentación de grupo|presentación]] del grupo simétrico, junto con las relaciones: * UNIQ-math-6-f3222155486be87f-QINU , * UNIQ-math-7-f3222155486be87f-QINU , *

Page 98: Mates Discretas +

Grupo simétrico 94

UNIQ-math-8-f3222155486be87f-QINU . === Otros generadores === Es posible igualmente usar como sistemade generadores: * Las trasposiciones de la forma ''(1 i)'', con ''i>1.• El conjunto formado por solo dos generadores:la trasposición σ=(1 2) y el ciclo c=(1 2 ... n).

Clases de conjugaciónRecordemos que toda permutación puede ser descrita como producto de ciclos disjuntos, y esta descomposición esúnica salvo el orden de los factores. Las clases de conjugación de Sn se corresponden con la estructura de dichadescomposición en ciclos: dos permutaciones son conjugadas en Sn si y sólo si se obtienen como composición delmismo número de ciclos disjuntos de las mismas longitudes. Por ejemplo, en S5, (1 2 3)(4 5) y (1 4 3)(2 5) sonconjugados; pero (1 2 3)(4 5) y (1 2)(4 5) no.El grupo S3, formado por las 6 permutaciones de tres elementos tiene tres clases de conjugación, listadas con susnúmeros de elementos:• La identidad (abc → abc) (1)• Las permutaciones que intercambian dos elementos (abc → acb, abc → bac, abc → cba) (3)• Las permutaciones ciclicas de los 3 elementos (abc → bca, abc → cab) (2)El grupo S4, consistente en las 24 permutaciones de 4 elementos tiene 5 clases de conjugación:•• La identidad (1)•• Las permutaciones que intercambian dos elementos (6)•• Las permutaciones que intercambian cíclicamente tres elementos (8)•• Las permutaciones cíclicas de los cuatro elementos (6)•• Las permutaciones que intercambian dos elementos entre sí, y también los dos restantes (3)En general, cada clase de conjugación en Sn se corresponderá con una partición entera de n y podrá ser representadagráficamente por un diagrama de Young. Así, por ejemplo, las cinco particiones de 4 se corresponderían con lascinco clases de conjugación listadas anteriormente:1.1. 1 + 1 + 1 + 12.2. 2 + 1 + 13.3. 3 + 14.4. 45.5. 2 + 2

Representaciones del grupoSi asociamos a cada permutación su matriz permutación obtenemos una representación que en general no esirreducible.[1]

Referencias[1] Sternberg, Shlomo Group Theory and Physics. Cambridge University Press, 1994. ISBN 0 521 24870 1

Page 99: Mates Discretas +

Permutación 95

PermutaciónEn matemáticas, llamamos permutación de un conjunto a cada una de las posibles ordenaciones de todos loselementos de dicho conjunto.Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación.Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

Definición formalLa definición intuitiva de p

Una permutación de un conjunto X es una función biyectiva de dicho conjunto en sí mismo.

Ejemplo de permutación considerada comofunción biyectiva.

Para ilustrar la definición, retomemos el ejemplo descrito en laintroducción. En el ejemplo, X={1, 2, 3}.

Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} así mismo equivale a una forma de ordenar los elementos.Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por• 1 → 1• 2 → 2• 3 → 3puede hacerse corresponder al ordenamiento "1, 2, 3".Por otro lado, la asignación biyectiva dada por• 1 → 3

• 2 → 2• 3 → 1puede hacerse corresponder al ordenamiento "3, 2, 1".En la definición de permutación, no se establece condición alguna sobre X, el cual puede incluso ser infinito. Sinembargo, es común considerar únicamente el caso en que X es un conjunto finito al estudiar permutaciones.

En combinatoriaLa combinatoria trata del número de diferentes maneras que existen de considerar conjuntos formados a partir deelementos de un conjunto dado, respetando ciertas reglas, como el tamaño, el orden, la repetición, la partición. Asíun problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre cómo deben ser las agrupaciones ydeterminar cuántas existen que cumplan dicha regla.Básicamente, dos asuntos: permutaciones y combinaciones(ambas sin repetición o con ella).Un tipo importante de esas agrupaciones son las llamadas permutaciones. Dada una n-tupla ordenada de elementosde un conjunto, el número de permutaciones es el número de n-tuplas ordenadas .

Page 100: Mates Discretas +

Permutación 96

Fórmula del número de permutacionesDado un conjunto finito de elementos, el número de todas permutaciones es igual a factorial de n:

.Demostración: Dado que hay formas de escoger el primer elemento y, una vez escogido éste, sólo tenemos

formas de escoger el segundo elemento, y así sucesivamente, vemos que cuando llegamos al elementok-ésimo sólo tenemos posibles elementos para escoger, lo que nos lleva a que tenemos

formas de ordenar el conjunto, justamente lo que enunciamos anteriormente. .Ejemplo: sea el conjunto A={1,2,3} en este caso hay 6 permutaciones, en forma compacta: 123, 132, 213, 231, 312,321. En álgebra, para estudiar los grupos simétricos se presentan entre paréntesis y en dos filas, en la primerasiempre aparece 1 2 3.Una variante de lo mismo, si se va a formar un comité que involucra presidente, tesorero y secretario, habiendo trescandidatos a, b, c ; cuando se elige por sorteo los cargos sucesivamente, hay seis posibilidades u ordenaciones: abc,acb, bca, bac, cab, cba.

En teoría de grupos

Notaciones

Representación gráfica de la permutación σ querevela su estructura compuesta por 2 ciclos de

longitud 4.

La primera forma de escribir una permutación σ, aunque no es la máscompacta, consiste en escribirla en forma de matriz de dos filas,situando en la primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3,...,n, y enla segunda las imágenes correspondientes a los elementos reordenadosσ(1), σ(2), σ(3),...,σ(n).Por ejemplo, dado el conjunto ordenado podemos expresaruna permutación sobre éste mediante una matriz decorrespondencias:

Claramente es biyectiva, ya que podemos encontrar una aplicación inversa de forma que su composicióngenera la aplicación identidad. Para ello, en primer lugar intercambiamos las filas y finalmente reordenamos lascolumnas de modo que los elementos del dominio queden ordenados de forma natural:

Notación de ciclosExiste otra notación más compacta, llamada notación de ciclos. Un ciclo de longitud s es una permutación queintercambia cíclicamente s elementos y fija los restantes.Esta notación revela mejor la estructura interna de la permutación. Para ello:1. Empezamos con cualquier elemento. Lo escribimos, a su derecha escribimos su imagen, a la derecha de esta, la

imagen de su imagen, y seguimos así hasta que se complete un ciclo.2.2. Luego cogemos cualquier elemento no contenido en el primer ciclo, volvemos a escribir su imagen a su derecha,

y continuamos hasta completar el segundo ciclo.3.3. El proceso continúa hasta que la permutación entera ha quedado descrita como producto de ciclos disjuntos.Siguiendo con el mismo ejemplo de antes, en notación de ciclos, quedaría expresada como composición de dosciclos:

Page 101: Mates Discretas +

Permutación 97

= (1 3 5 6 )(2 4 7 8)

Descomposición de una permutación en ciclos disjuntosLa descomposición realizada por el procedimiento anterior no es única en principio, pues podrían haberse obtenidocualquiera de estos resultados equivalentes:

= (1 3 5 6)(2 4 7 8)=(2 4 7 8) (1 3 5 6)= (8 2 4 7)(6 1 3 5)La descomposición canónica de una permutación como producto de ciclos se obtiene colocando en primer lugar decada ciclo el número más pequeño del mismo. Posteriormente se procede a la colocación de los ciclos, colocandoprimero el ciclo cuyo primer elemento sea menor. Frecuentemente, suelen omitirse los ciclos de longitud 1. Así lapermutación (1 3)(2)(4 5) se escribe simplemente como (1 3)(4 5).

Descomposición de una permutación en trasposicionesUna trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Dicho de otro modo, es unciclo de longitud 2. Una propiedad interesante es que cualquier permutación se puede construir como unacomposición de transposiciones, aunque no de manera única. Dadas dos descomposiciones en transposiciones de unapermutación se cumple que ambas usaran un número par o ambas usarán un número impar, eso permite definir demanera unívoca la signatura de una permutación.Las trasposiciones permiten descomponer una permutación cualquiera de una forma diferente a la descomposiciónen ciclos. En particular, las trasposiciones que aparezcan no tendrán que ser disjuntas: Por ejemplo, el ciclo (1 2 3 4)= (1 2) (2 3) (3 4). Aquí el orden de aplicación es importante: en primer lugar (3 4) deja el 4 en su sitio definitivo y el3 descolocado. Después (2 3) deja en su sitio definitivo el 3 y el 2 descolocado, que quedará recolocadodefinitivamente por (1 2).Para ver que cualquier permutación descompone como producto de trasposiciones bastará ver que todo ciclo lo hace.De hecho, la descomposición del ciclo de nuestro ejemplo se generaliza a la fórmula:

No habrá unicidad en la descomposición, ni siquiera en el número de trasposiciones necesarias. Pero se demuestraque si admite dos descomposiciones distintas con n y con m trasposiciones, entonces n y m tendrán la mismaparidad (serán simultáneamente pares o impares). Dada una permutación cualquiera, se define el siguiente morfismode grupos:

Donde es el grupo simétrico de n elementos y m es un número entero, tal que exiten transposiciones tales que:

Permutación par y permutación imparLlamaremos permutación par (resp. impar) a la que se escribe como composición de un número par (resp. impar)de trasposiciones.Como ejemplo, de las 6=3! permutaciones del conjunto {1, 2, 3}, escritas en notación de ciclos:•• (1 2), (2 3) y (1 3) son, de forma trivial, impares.•• (1 2 3) y (1 3 2) son pares, como es fácil de comprobar al aplicar la fórmula anterior de descomposición de un

ciclo en trasposiciones.•• e (la identidad) también es par.En general, se demuestra que la mitad de las n! permutaciones de un conjunto de n elementos son pares y la otramitad impares.

Page 102: Mates Discretas +

Permutación 98

Estructura de grupo

Dado un número natural , consideramos el conjunto . Definimos el grupo depermutaciones de elementos, que denotaremos por , o lo que es lo mismo, el conjunto de aplicacionesbiyectivas de a .Las permutaciones pares forman un subgrupo normal de índice 2 del grupo Sn, al que llamaremos grupo alternado, ynotaremos por .

Dato históricoEl estudio de las permutaciones de las raíces de ecuaciones algebraicas le permitió a Galois, elaborar los inicios de lateoría de grupos y usar este vocablo, por primera vez, en Matemática. Y empezó por los grupos no abelianos.

Teorema de CayleyEl Teorema de Cayley es un resultado de teoría de grupos que permite representar cualquier grupo como un grupo depermutaciones.

Todo grupo es isomórfico a un subgrupo de un grupo simétrico. Si el grupo es finito y tiene orden n, entonces es isomórfico a un subgrupode

Cayley

BibliografíaDavid Steven Dummit (2004). Abstract algebra (3rd edición). Wiley. ISBN 0471433349 Ficha en OpenLibrary [1].

Referencias[1] http:/ / openlibrary. org/ books/ OL3689578M/ Abstract_algebra

Page 103: Mates Discretas +

Combinaciones con repetición 99

Combinaciones con repeticiónEn combinatoria, las combinaciones con repetición de un conjunto son las distintas formas en que se puede haceruna selección de elementos de un conjunto dado, permitiendo que las selecciones puedan repetirse.De manera formal, una combinación con repetición es la selección de un multiconjunto cuyos elementos pertenezcana un conjunto dado.

Definición

De manera similar a como los coeficientes binomiales o combinaciones , corresponden al número de formas

en que se puede seleccionar un subconjunto de k elementos a partir de un conjunto dado con n elementos, es posibleplantear el problema de determinar el número de formas de escoger un multisubconjunto de un conjunto.Recordemos que en un multiconjunto es permitido repetir elementos aunque, al igual que en los conjuntos, el ordenen que se mencionan es irrelevante.

Por ejemplo, {a, e, e, i, o, o, o, u} es el mismo multiconjunto que {e, i, o, u, a, e, o, o}Para ilustrar el problema, consideremos el conjunto X={a, b, c, d}. Listemos todos los posibles multiconjuntos de 3elementos obtenidos del conjunto X. Para brevedad, indicaremos las letras como si fuesen una palabra:

aaa aab aac aad abb abc abd acc acd add

bbb bbc bbd bcc bcd bdd ccc ccd cdd ddd

Se recalca que el orden no importa, por esto es que no se lista por ejemplo, aca ya que el multiconjunto {a, c, a} es elmismo que el multiconjunto {a, a, c}. Estas selecciones donde se permite repetición pero no se toma en cuenta elorden se denominan combinaciones con repetición.

El número de formas en que se puede extraer un multiconjunto con k elementos de un conjunto con n elementos se denota[1][2]

y corresponde al número de k-combinaciones con repetición tomadas de un conjunto con n elementos.

Así, del listado inicial podemos deducir que .

Cálculo del número de combinaciones con repeticiónAntes de establecer una fórmula para el cálculo directo de combinaciones con repetición, plantearemos un ejemploclásico de problema relacionado con multiconjuntos.

Page 104: Mates Discretas +

Combinaciones con repetición 100

¿De cuántas maneras se puede repartir 10 caramelos a 4 niños?

Vamos a imaginar que los nombres son Alonso, Beto, Carlos y Daniel (que representaremos como A, B, C, D).Una posible forma de repartir los caramelos sería: dar 2 caramelos a Alonso, 3 a Beto, 2 a Carlos y 4 a Daniel. Dado que noimporta el orden en que se reparten, podemos representar esta selección como•• AABBBCCDDD

Otra forma posible de repartir los caramelos podría ser: dar 1 caramelo a Alonso, ninguno a Beto y Carlos, los 9 restantes selos damos a Daniel. Esta repartición la representamos como•• ADDDDDDDDDD

De manera inversa, cualquier serie de 10 letras A, B, C, D corresponde a una forma de repartir los caramelos. Por ejemplo,la serie AABBBBBDDD corresponde a:•• Dar dos caramelos a Alonso, 5 caramelos a Beto, ninguno a Carlos y 3 a Daniel.

De esta forma, por el principio de la biyección, el número de formas en que se puede repartir los caramelos es igual alnúmero de series de 10 letras (sin tomar en cuenta el orden) A, B, C, D. Pero cada una de ellas corresponde a unmulticonjunto con 10 elementos, por lo que concluimos que el número total de formas de repartir los caramelos es .

La solución del ejemplo anterior es conceptualmente correcta (da el resultado mediante una interpretacióncombinatoria) pero no es práctica ya que no proporciona realmente el número de formas en que se puede hacer larepartición. Para obtener la fórmula procedemos a usar la siguiente estratagema.

Queremos dividir 10 objetos (los caramelos) en 4 grupos. Para ello colocamos 10 objetos en línea e insertamos3 separadores para dividirlos en 4 secciones. Por ejemplo, si representamos los caramelos con asteriscos y losseparadores con barras, los ejemplos mencionados serían:

• AABBBCCDDD → **/***/**/***• ADDDDDDDDDD → *///*********• AABBBBBDDD → **/*****//***

Y cualquier serie de 10 asteriscos separados por 3 barras (permitiendo grupos vacíos) corresponde a una formade repartir y a su vez, a un multiconjunto:

• ****/***/**/* → AAAABBBCCD (4 caramelos para Alonso, 3 para Beto, 2 para Carlos y 1 para Daniel)• *****/*****// → AAAAABBBBB (5 caramelos para Alonso y 5 para Beto)

De esta forma, el número de formas de repartir corresponde al número de series de 10 asteriscos y 3 barras.Pero esto es precisamente el número de formas de elegir 3 objetos de un conjunto con 13 (de las 13 posiciones

se están escogiendo cuales 3 serán barras) y por tanto el resultado es el coeficiente binomial .

Este argumento se puede aplicar en general: repartir k objetos entre n personas, corresponde a formar multiconjuntosde tamaño k (los karamelos) escogidos de un conjunto con n (los niños), y a su vez esto puede enumerarse con una

serie de k asteriscos y n-1 barras, que puede realizarse de formas. Queda

establecido así el siguiente teorema.

El número de multiconjuntos con k elementos escogidos de un conjunto con n elementos satisface:• Es igual al número de combinaciones con repetición de k elementos escogidos de un conjunto con n elementos.• Es igual al número de formas de repartir k objetos en n grupos.

Y además

.

Page 105: Mates Discretas +

Combinaciones con repetición 101

Otras interpretaciones combinatorias

Existen dos otras interpretaciones combinatorias importantes para los coeficientes

La primera interpretación está relacionada con el número de soluciones de ciertas ecuaciones diofantinas.Retomando el ejemplo de los 10 caramelos y los 4 niños, observamos que cada repartición corresponde a unasolución de la ecuación

si cada variable puede tomar únicamente valores enteros no negativos.La correspondencia está dada por asignar a la variable i-ésima el número de caramelos recibidos por el i-ésimo niño.Como ejemplo:

• AABBBCCDDD → .• ADDDDDDDDDD → .• AABBBBBDDD → .

La generalización sería que representa el número de soluciones de la ecuación

,si las variables únicamente toman valores enteros no negativos

La segunda interpretación es que corresponde al número de sucesiones monótonas de k términos positivos,

acotadas por n, es decir, cuenta el número de formas de llenar la sucesión.

Esta interpretación se verifica a partir de la anterior tomando tantos términos iguales a i como tenga valor .Ejemplo:

• AABBBCCDDD: corresponde a la sucesión monótona.

• ADDDDDDDDDD: corresponde a la sucesión monótona.

• AAAABBBBBC: corresponde a la sucesión monótona.

El número de multiconjuntos con k elementos escogidos de un conjunto con n elementos puede interpretarse también como:• El número de soluciones enteras no negativas de la ecuación .• El número de sucesiones monótonas positivas .

Page 106: Mates Discretas +

Combinaciones con repetición 102

IdentidadesLas combinaciones con repetición satisfacen varias identidades que recuerdan o se asemejan a las identidades paracoeficientes binomiales.

Por ejemplo, la identidad de Pascal tiene su equivalente en la siguiente

identidad:

Para cualquier (exceptuando ) se cumple

Referencias[1] Eric W. Weisstein. « Multichoose (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Multichoose. html)». Wolfram Mathworld. Consultado el 15 de

diciembre de 2011.[2] Quinn, Benjamin Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003). Proofs that Really Count: The art of combinatorial proof. The Mathematical

Association of America. pp. 70-71. ISBN 0-88385-333-7.

Bibliografía• Arthur Benjamin (2003). Proofs that really count. Mathematical Association of America. ISBN 0883853337 Ficha en

OpenLibrary (http:/ / openlibrary. org/ books/ OL3697525M/ Proofs_that_really_count).• Miklos Bona (2006). A Walk Through Combinatorics (2 edición). World Scientific Publishing Company. ISBN

9812568859 Ficha en OpenLibrary (http:/ / openlibrary. org/ books/ OL9197589M/ A_Walk_Through_Combinatorics).

Ecuación diofánticaSe llama ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, generalmente de varias variables, planteada sobre elconjunto de los números enteros o los números naturales , es decir, se trata de ecuaciones cuyas solucionesson números enteros.

Ejemplo ilustrativo IUn ejemplo de ecuación diofántica es: Esta ecuación tiene infinitas soluciones en los números reales. Como regla general, sin embargo, las ecuaciones queaparecen en los problemas tienen restricciones que nos ayudan a limitarnos a un pequeño número de casos e inclusoa una única solución.Por ejemplo, en nuestra ecuación, si restringimos los posibles valores de e a los enteros positivos, tenemos 4soluciones para :

(1,4) (2,3) (3,2) (4,1).Un problema matemático muy famoso que se resuelve por medio de ecuaciones diofánticas es el del mono y loscocos.

Page 107: Mates Discretas +

Ecuación diofántica 103

Ecuación diofántica linealLa ecuación diofántica o identidad de Bézout tiene solución si y solo si d = mcd(A, B) (máximocomún divisor) es un divisor de C. En ese caso la ecuación tiene una infinidad de soluciones.Similarmente la ecuación tiene solución si y solo si d = mcd(a1, a2,...,an) es undivisor de C.

Solución generalSupongamos la ecuación diofántica . Solo tiene solución si . Para buscar el empleamos el algoritmo de Euclides. Si una ecuación diofántica tiene solución, necesariamente tiene infinitassoluciones y todas son de la forma:

Donde y e son una solución particular de la ecuación.

Solución particularPara encontrar una solución particular usamos la identidad de Bézout junto al algoritmo de Euclides. Esto nos da e . Veamos el ejemplo:Tenemos la ecuación diofántica 6x + 10y = 1041. Buscamos el d = mcd(6,10). A través de Euclides encontramos que d =22. Como d|C (donde "|" significa "divide a"), es decir, 2|104, Calculamos una solución particular mediante la

Identidad de Bézout: x1 = 2 e y1 = -1. La ecuación quedaría así: 6 · 2 + 10 · (-1) = 2.3. Ahora tenemos una solución para la ecuación 6x + 10y = 2. Con x1 = 2 e y1 = -1. Si multiplicamos cada parte de

la ecuación por C/d (104 / 2 = 52), tendremos la solución particular de nuestra ecuación original (6x + 10y = 104).La ecuación quedaría así: 6 · 2 · 52 + 10 · (-1) · 52 = 104

4.4. Con lo que hemos visto arriba, buscamos la solución general:

Ecuación pitagóricaSe llama ecuación pitagórica a la ecuación con . Cualquier terna (x, y, z) solución dela ecuación anterior se conoce como terna pitagórica. Además si (x, y, z) es una terna pitagórica solución de laecuación pitagórica también lo serán:1. La terna alternando x e y: (y, x, z).2. Una terna múltiplo (ky, kx, kz).3. Una terna con algún signo cambiado (-x, y, z), (x, -y, z) o (y, x, -z)4.4. Cualquier otra terna obtenida mediante una combinación de los procedimientos anteriores.Se dice que una terna es primitiva, si el máximo común divisor de x, y, z es la unidad, es decir, mcd(x,y,z) = 1. Entoda terna primitiva al menos uno de los números x o y es par y z es impar. Puede verse que en esas condicionestodas las ternas primitivas que son soluciones de la ecuación pitagórica son de la forma:

Page 108: Mates Discretas +

Máximo común divisor 104

Máximo común divisorEn matemáticas, se define el máximo común divisor (abreviado MCD) de dos o más números enteros al mayornúmero que los divide sin dejar resto. Por ejemplo, el MCD de 42 y 56 es 14. En efecto, y 3 y 4 sonprimos entre sí (no existe ningún número natural aparte de 1 que divida a la vez al 3 y al 4).

Cálculo del MCDLos dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:

Por descomposición en factores primosEl máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos delos dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será elMCD.Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorización en factores primos

El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:

En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo calcularla descomposición en factores primos de dos números cualesquiera.

Usando el algoritmo de EuclidesUn método más eficiente es el algoritmo de Euclides, que utiliza el algoritmo de la división junto al hecho que elMCD de dos números también divide al resto obtenido de dividir el mayor entre el más pequeño. Por ejemplo, si sedivide 60 entre 48 dando un cociente de 1 y un resto de 12, el MCD será por tanto divisor de 12. Después se divide48 entre 12 dando un resto de 0, lo que significa que 12 es el mcd. Formalmente puede describirse como:

En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general

Page 109: Mates Discretas +

Máximo común divisor 105

Usando el mínimo común múltiploEl máximo común divisor también puede ser calculado usando el mínimo común múltiplo. Si a y b son distintos decero, entonces el máximo común divisor de a y b se obtiene mediante la siguente fórmula, que involucra el mínimocomún múltiplo (mcm) de a y b:

MCD de tres o más números

El máximo común divisor de tres números se puede calcular como sigue: ,aunque hay métodos más prácticos y sencillos.

Método de NicómacoSu cálculo se basa en restar el resto, del mayor número entre el menor número, al número menor hasta que nos dé elmismo número:

60 | 48

12 | 36

| 24

| 12

M.C.D (60,48) = 12

Propiedades

1. Si entonces

2. Si es un entero, 3. Si es un número primo, entonces o bien 4. Si

, entonces 5. Si es un divisor común de y , entonces

6. Si , entonces 7. Si, entonces:

La última propiedad indica que el máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus factoresprimos comunes elevados al menor exponente.Geométricamente, el máximo común divisor de a y b es el número de puntos de coordenadas enteras que hay en elsegmento que une los puntos (0,0) y (a,b), excluyendo el (0,0).

Page 110: Mates Discretas +

Máximo común divisor 106

AplicacionesEl MCD se utiliza para simplificar fracciones. Por ejemplo, para simplificar la fracción se calcula primero elmcd(60, 48) = 12, dividiéndose el numerador y el denominador de la fracción inicial por 12 para obtener la fracciónsimplificada .El MCD también se utiliza para calcular el mínimo común múltiplo de dos números. En efecto, el producto de losdos números es igual al producto de su máximo común divisor por su mínimo común múltiplo. Así, para calcular elmínimo común múltiplo de 48 y de 60, calculamos primero su mcd, 12, siendo su mínimo común múltiplo .

Enlaces externos• Weisstein, Eric W. «Greatest Common Divisor [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.• El Máximo común divisor en Enciclopedia libre universal en español [2]

• MCD en números decimales [3]

Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ GreatestCommonDivisor. html[2] http:/ / enciclopedia. us. es/ index. php/ M%C3%A1ximo_com%C3%BAn_divisor[3] http:/ / www. cinosargos. com/ joaquimrehuesdomenech/

Teorema chino del restoEl teorema chino del resto es un resultado sobre congruencias en teoría de números y sus generalizaciones enálgebra abstracta. El enunciado dice:

Sean tales que (primos relativos).Entonces dados cualesquiera , existe un tal que:

y

Y además, si existen otros que satisfagan las dos congruencias anteriores entonces:

Enunciado del teoremaLa forma original del teorema, contenida en un libro del siglo III por el matemático chino Sun Zi[1][2] yposteriormente publicado en 1247 por Qin Jiushao, es un enunciado sobre congruencias simultáneas (ver aritméticamodular).Supongamos que n1, n2, …, nk son enteros coprimos dos a dos. Entonces, para enteros dados a1,a2, …, ak, existe unentero x que resuelve el sistema de congruencias simultáneas

Más aún, todas las soluciones x de este sistema son congruentes módulo el producto .

Page 111: Mates Discretas +

Teorema chino del resto 107

Algunas veces, las congruencias simultáneas pueden ser resueltas aun si los ni's no son coprimos a pares. Unasolución x existe si y sólo si:

Todas las soluciones x son entonces congruentes módulo el mínimo común múltiplo de los ni.Versiones del teorema chino del resto fueron también conocidas por Brahmagupta, y aparecen en el Liber Abaci deFibonacci (1202).

AplicacionesEl teorema chino del resto tiene importantes aplicaciones en criptografía, en especial para reducir operaciones connúmeros enormes mediante el paso a congruencias. En el algoritmo RSA, por ejemplo, los cálculos se hacen módulo

, donde es un producto de dos primos y . Tamaños habituales para son 1024, 2048 ó 4096 bits,haciendo que los cálculos requieran una gran cantidad de tiempo. Usando el teorema chino del resto los cálculospueden ser transportados del anillo al anillo . La suma de las longitudes de bit de y es lalongitud de bit de , haciendo y considerablemente menor que . Esto acelera mucho los cálculos. Nóteseque las implementaciones del algoritmo RSA usando el teorema chino del resto son más susceptibles a ataques de"fault injection".

AnécdotaHay una vetusta chirigota, viajera de siglos, cuya paternidad le otorgan a Sun Zi (s. I), que dice así: «Halle dosnúmeros enteros positivos mínimos que posean residuos 2, 3, 2 si se dividen entre 3, 5, 7, respectivamente».Procesando se hallan los dos números positivos mínimos 23 y 128. Resuelva para 3, luego para 5; en seguida para15, y, por último, para 3.5.7. Esto funciona si los módulos sucesivos son primos entre sí.[3]

Notas[1] « Truth and Lies. Mapping the most complex known mathematical object (http:/ / www. economist. com/ science/ displaystory.

cfm?story_id=8881479)» (en inglés). Higher Mathematics. The Economist (22/03/2007). Consultado el 26/12/2011. «This theorem iscontained in a book written in the late third-century AD by a mathematician called Sun Tzu (not to be confused with the military strategist ofthe same name). It is used to simplify large calculations by breaking them down into many smaller ones, the results of which can then berecombined to generate the answer to the original question.».

[2] Ribnikov, Historia de las matemáticas, p. 42.[3] Burton W. Jones, Teoría de números, p. 71.

Referencias• Koblitz, Neal (1998). A Course in Number Theory and Cryptography (2ª edición). EE. UU.: Springer. pp. 238.

ISBN 978-0-387-94293-3.

Page 112: Mates Discretas +

Números primos entre sí 108

Números primos entre síEn matemáticas, dos números enteros a y b son números primos entre sí (o coprimos, o primos relativos), si, pordefinición, no tienen ningún factor primo en común, o, dicho de otra manera, si no tienen otro divisor común másque 1 y -1. Equivalentemente son primos entre sí, si y sólo si, su máximo común divisor es igual a 1.Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3. El 1 es primorespecto de todos los enteros, mientras que 0 sólo lo es respecto de 1 y -1.Un medio rápido para determinar si dos números enteros son primos entre sí es el algoritmo de Euclides.

Propiedades

Básicas• El máximo común divisor de dos números primos entre sí a y b es 1. Por tanto, no existe ningún número primo

que divida a ambos.• Si dos números enteros a y b son primos entre sí, entonces existen dos enteros x e y tales que a·x + b·y = 1.

(Identidad de Bézout)• Si a y b son primos entre sí y a divide a un producto bc, entonces a divide a c. (Lema de Euclides)• Los números enteros a y b son primos entre sí cuando b tiene un inverso para el producto módulo a; es decir,

existe un número entero y tal que b·y ≡ 1 (mod a). Una consecuencia de esto es que si a y b son primos entre sí ybm ≡ bn (mod a), entonces m ≡ n (mod a). Dicho de otra manera, b es simplificable en el anillo Z/nZ de losenteros módulo a.

Otras propiedades

Los números 4 y 9 son coprimos. Por tanto, la diagonal del retículo 4 x 9 nointerseca con ninguno de los otros puntos del retículo.

Los dos números enteros a y b son primosentre sí, si y sólo si, el punto de coordenadas(a, b) en un sistema cartesiano decoordenadas es "visible" desde el origen(0,0) en el sentido en que no hay ningúnpunto de coordenadas enteras situado entreel origen y (a,b).

La probabilidad de que dos números enteroselegidos al azar sean primos entre sí es iguala 6/π².

Dos números naturales a y b son primosentre sí, si y sólo si, los números 2a-1 y 2b-1son primos entre sí.

El número de enteros que son primos entre sí a un entero positivo n, entre 1 y n, es dado mediante la función φ deEuler φ(n).

2 números son primos entre sí si son dos números consecutivos, ya que están separados por una distancia de unaunidad

Page 113: Mates Discretas +

Números primos entre sí 109

GeneralizaciónDos ideales I y J en un anillo conmutativo A son primos entre sí si I + J = A. Esto generaliza la identidad de Bézout.Si I y J son primos entre sí, entonces IJ = I∩J; además, si K es un tercer ideal tal que I contiene a JK, entonces Icontiene a K.Con esta definición, dos ideales principales (a) y (b) en el anillo de los números enteros Z son primos entre sí, si ysólo si, a y b son primos entre sí.

Enlaces externos• Weisstein, Eric W. «Relatively Prime [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.• Coprime [2] en PlanetMath

Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ RelativelyPrime. html[2] http:/ / planetmath. org/ ?op=getobj& amp;from=objects& amp;id=225

Congruencia (teoría de números)Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros y tienen elmismo resto al dividirlos por un número natural , llamado el módulo; esto se expresa utilizando la notación

que se expresa diciendo que es congruente con módulo . Las siguientes expresiones son equivalentes:• es congruente con módulo

• El resto de entre es el resto de entre

• divide exactamente a la diferencia de y

• se puede escribir como la suma de y un múltiplo de

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido deidentidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cadaprimo y cada entero no divisible por tenemos la congruencia:

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si unacongruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia

, tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por y, es decir puede ser cualquier entero de las sucesiones y .

Contrariamente la congruencia , no tiene solución.La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro DisquisitionesArithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar dedivisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos,etc.

Page 114: Mates Discretas +

Congruencia (teoría de números) 110

PropiedadesLa relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad, por citar alguna:• La congruencia para un módulo fijo es una relación de equivalencia ya que se verifican las propiedades:

1. reflexividad: 2. simetría: si entonces también 3. transitividad: si y entonces también .• Si es coprimo con y , entonces también es coprimo con .• Si y es un entero entonces también se cumple

•••

• Si además es coprimo con , entonces podemos encontrar un entero , tal que

y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que

donde por definición ponemos .•• Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:

y podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias

y

Enlaces externos• Weisstein, Eric W. «Congruence [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.• Congruencias. Lecciones de Algebra. Jaime Gutierrez Gutierrez y Carlos Ruiz de Velasco y Bellas [2]

Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ Congruence. html[2] http:/ / personales. unican. es/ ruizvc/ algebra/ congruencias1. pdf

Page 115: Mates Discretas +

Número primo 111

Número primo

La distribución de los números primos (línea azul) hasta el 400

En matemáticas, un número primo esun número natural mayor que 1 quetiene únicamente dos divisoresdistintos: él mismo y el 1. Los númerosprimos se contraponen así a loscompuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1. El número 1, porconvenio, no se considera ni primo ni compuesto.

Los números primos menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.[1]

La propiedad de ser primo se denomina primalidad. A veces se habla de número primo impar para referirse acualquier número primo mayor que 2, ya que éste es el único número primo par. A veces se denota el conjunto detodos los números primos por .El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, la rama de las matemáticas quecomprende el estudio de los números enteros. Los números primos están presentes en algunas conjeturas centenariastales como la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach. La distribución de los números primos es un temarecurrente de investigación en la teoría de números: si se consideran números individuales, los primos parecen estardistribuidos aleatoriamente, pero la distribución «global» de los números primos sigue leyes bien definidas.

Historia de los números primos

Matemáticas anteriores a la Antigua GreciaLas muescas presentes en el hueso de Ishango, que data de hace más de 20.000 años (anterior por tanto a la apariciónde la escritura) y que fue hallado por el arqueólogo Jean de Heinzelin de Braucourt,[2] parecen aislar cuatro númerosprimos: 11, 13, 17 y 19. Algunos arqueólogos interpretan este hecho como la prueba del conocimiento de losnúmeros primos. Con todo, existen muy pocos hallazgos que permitan discernir los conocimientos que teníarealmente el hombre de aquella época.[3]

Numerosas tablillas de arcilla seca atribuidas a las civilizaciones que se fueron sucediendo en Mesopotamia a lolargo del II milenio a.C. muestran la resolución de problemas aritméticos y atestiguan los conocimientos de la época.Los cálculos requerían conocer los inversos de los naturales, que también se han hallado en tablillas.[4] En el sistemasexagesimal que empleaban los babilonios para escribir los números, los inversos de los divisores de potencias de 60(números regulares) se calculan fácilmente, por ejemplo, dividir entre 24 equivale a multiplicar por 150 (2·60+30) ycorrer la coma sexagesimal dos lugares. El conocimiento matemático de los babilonios necesitaba una sólidacomprensión de la multiplicación, la división y la factorización de los naturales.En las matemáticas egipcias, el cálculo de fracciones requería conocimientos sobre las operaciones, la división denaturales y la factorización. Los egipcios sólo operaban con las llamadas fracciones egipcias, suma de fraccionesunitarias, es decir, aquellas cuyo numerador es 1, como , por lo que las fracciones de numeradordistinto de 1 se escribían como suma de inversos de naturales, a ser posible sin repetición en lugar de

.[5] Es por ello que, en cierta manera, tenían que conocer o intuir los números primos.[6]

Page 116: Mates Discretas +

Número primo 112

Antigua Grecia

Un fragmento de los Elementos de Euclides encontrado enOxirrinco.

La primera prueba indiscutible del conocimiento de losnúmeros primos se remonta a alrededor del año 300 a. C. yse encuentra en los Elementos de Euclides (tomos VII a IX).Euclides define los números primos, demuestra que hayinfinitos de ellos, define el máximo común divisor y elmínimo común múltiplo y proporciona un método paradeterminarlos que hoy en día se conoce como el algoritmode Euclides. Los Elementos contienen asimismo el teoremafundamental de la aritmética y la manera de construir unnúmero perfecto a partir de un número primo de Mersenne.

La criba de Eratóstenes, atribuida a Eratóstenes de Cirene,es un método sencillo que permite encontrar números primos. Hoy en día, empero, los mayores números primos quese encuentran con la ayuda de ordenadores emplean otros algoritmos más rápidos y complejos.

Matemáticas modernas

Pierre de Fermat.

Después de las matemáticas griegas, hubo pocos avances enel estudio de los números primos hasta el siglo XVII. En1640 Pierre de Fermat estableció (aunque sin demostración)el pequeño teorema de Fermat, posteriormente demostradopor Leibniz y Euler. Es posible que mucho antes seconociera un caso especial de dicho teorema en China.

Fermat conjeturó que todos los números de la forma 22n+1eran primos (debido a lo cual se los conoce como númerosde Fermat) y verificó esta propiedad hasta n = 4 (es decir,216 + 1). Sin embargo, el siguiente número de Fermat232 + 1 es compuesto (uno de sus factores primos es 641),como demostró Euler. De hecho, hasta nuestros días no seconoce ningún número de Fermat que sea primo aparte delos que ya conocía el propio Fermat.

El monje francés Marin Mersenne investigó los númerosprimos de la forma 2p − 1, con p primo. En su honor, se losconoce como números de Mersenne.

En el trabajo de Euler en teoría de números se encuentranmuchos resultados que conciernen los números primos.Demostró la divergencia de la serie

, y en 1747 demostró que todos los números perfectos pares son de la forma 2p-1(2p - 1),donde el segundo factor es un número primo de Mersenne. Se cree que no existen números perfectos impares, perotodavía es una cuestión abierta.A comienzos del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron de forma independiente que, cuando n tiende a infinito,el número de primos menores o iguales que n es asintótico a , donde ln(n) es el logaritmo natural de n. Lasideas que Bernhard Riemann plasmó en un trabajo de 1859 sobre la función zeta, describieron el camino queconduciría a la demostración del teorema de los números primos. Hadamard y De la Vallée-Poussin, cada uno porseparado, dieron forma a este esquema y consiguieron demostrar el teorema en 1896.

Page 117: Mates Discretas +

Número primo 113

Actualmente no se comprueba la primalidad de un número por divisiones sucesivas, al menos no si el número esrelativamente grande.Durante el siglo XIX se desarrollaron algoritmos para saber si un número es primo o no factorizando completamenteel número siguiente (p+1) o el anterior (p-1). Dentro del primer caso se encuentra el test de Lucas-Lehmer,desarrollado a partir de 1856. Dentro del segundo caso se encuentra el test de Pépin para los números de Fermat(1877). El caso general de test de primalidad cuando el número inmediatamente anterior se encuentra completamentefactorizado se denomina test de Lucas.Posteriormente se encontraron algoritmos de primalidad con sólo obtener una factorización parcial de p+1 o p-1.Ejemplos de de estos algoritmos son el test de Proth (desarrollado alrededor de 1878) y el test de Pocklington (1914).En estos algoritmos se requiere que el producto de los factores primos conocidos de p-1 sea mayor que la raízcuadrada de p. Más recientemente, en 1975, Brillhart, Lehmer y Selfridge desarrollaron el test BLS de primalidadque sólo requiere que dicho producto sea mayor que la raíz cúbica de p. El mejor método conocido de esta clase es eltest de Konyagin y Pomerance del año 1997 que requiere que dicho producto sea mayor que p3/10.[7][8]

A partir de la década de 1970 varios investigadores descubrieron algoritmos para determinar si cualquier número esprimo o no con complejidad subexponencial, lo que permite realizar tests en números de miles de dígitos, aunqueson mucho más lentos que los métodos anteriores. Ejemplos de estos algoritmos son el test APRT-CL (desarrolladoen 1979 por Adleman, Pomerance y Rumely, con mejoras introducidas por Cohen y Lenstra en 1984), donde se usanlos factores de pm-1, donde el exponente m depende del tamaño del número cuya primalidad se desea verificar, eltest de primalidad por curvas elípticas (desarrollado en 1986 por S. Goldwasser, J. Kilian y mejorado por A. O. L.Atkin), que entrega un certificado consistente en una serie de números que permite después confirmar rápidamente siel número es primo o no. El desarrollo más reciente es el test de primalidad AKS (2002) que si bien su complejidades polinómica, para los números que puede manejar la tecnología actual es el más lento de los tres.Durante mucho tiempo, se pensaba que la aplicación de los números primos era muy limitada fuera de la matemáticapura.[9][10] Esto cambió en los años 1970 con el desarrollo de la criptografía de clave pública, en la que los númerosprimos formaban la base de los primeros algoritmos tales como el algoritmo RSA.Desde 1951, el mayor número primo conocido siempre ha sido descubierto con la ayuda de ordenadores. Labúsqueda de números primos cada vez mayores ha suscitado interés incluso fuera de la comunidad matemática. Enlos últimos años han ganado popularidad proyectos de computación distribuida tales como el GIMPS, mientras losmatemáticos siguen investigando las propiedades de los números primos.

Primalidad del número 1La cuestión acerca de si el número 1 debe o no considerarse primo está basada en la convención. Ambas posturastienen sus ventajas y sus inconvenientes. De hecho, hasta el siglo XIX, los matemáticos en su mayoría loconsideraban primo. Muchos trabajos matemáticos siguen siendo válidos a pesar de considerar el 1 como un númeroprimo, como, por ejemplo, el de Stern y Zeisel. La lista de Derrick Norman Lehmer de números primos hasta el10.006.721, reimpresa hasta el año 1956[11] empezaba con el 1 como primer número primo.[12]

Actualmente, la comunidad matemática se inclina por no considerar a 1 en la lista de los números primos. Estaconvención, por ejemplo, permite una formulación muy económica del teorema fundamental de la aritmética: «todonúmero natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden».[13][14] Además,los números primos tienen numerosas propiedades de las que carece el 1, tales como la relación del número con elvalor correspondiente de la función φ de Euler o la función suma de divisores.[15]

Page 118: Mates Discretas +

Número primo 114

Propiedades de los números primos

Teorema fundamental de la aritmética

Esta ilustración muestra que el 11 es un númeroprimo, pero el 12 no lo es.

El teorema fundamental de la aritmética establece que todo númeronatural tiene una representación única como producto de factoresprimos, salvo el orden. Un mismo factor primo puede aparecer variasveces. El 1 se representa entonces como un producto vacío.

Se puede considerar que los números primos son los «ladrillos» con losque se construye cualquier número natural. Por ejemplo, se puedeescribir el número 23.244 como producto de 22·3·13·149, y cualquierotra factorización del 23.244 como producto de números primos seráidéntica excepto por el orden de los factores.

La importancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1del conjunto de los números primos. Si se admitiera el 1 como númeroprimo, el enunciado del teorema requeriría aclaraciones adicionales.

A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros conceptos muy utilizados enmatemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y la coprimalidad de dos o másnúmeros. Así,• El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de todos ellos. Para

calcularlo, se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con sumáximo exponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=2·5 y 12=22·3 es 60=22·3·5.

• El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de todos ellos. Es igual alproducto de los factores comunes con su mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de10 y 12 es 2.

• Finalmente, dos o más números son coprimos, o primos entre sí, si no tienen ningún factor primo común; es decir,si su máximo común divisor es 1. Un número primo es, así, coprimo con cualquier número natural que no seamúltiplo de él mismo.

Otras propiedades• En su representación decimal, todos los números primos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 ó 9. En general, en

cualquier sistema de numeración, todos los números primos salvo un número finito acaban en una cifra que escoprima con la base.

• De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de la forma 4n + 1 o bien 4n - 1.Igualmente, todos los números primos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6n + 1 o 6n - 1.

• Lema de Euclides: Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisorde a o de b.

• Pequeño teorema de Fermat: Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces ap - a es divisiblepor p.

• Si p es primo distinto de 2 y 5, siempre es un número periódico en su representación decimal, de periodo p − 1

o un divisor de p − 1. Esto se puede deducir directamente a partir del pequeño teorema de Fermat. expresado en

base q (en lugar de en base 10) tiene propiedades similares, siempre que p no sea un factor primo de q.• Teorema de Wilson: Un número natural n > 1 es primo si y solo si el factorial (n - 1)! + 1 es divisible por n.

Asimismo, un número natural n > 4 es compuesto si y sólo si (n - 1)! es divisible por n.• La característica de todo cuerpo es, o bien cero, o bien un número primo.

Page 119: Mates Discretas +

Número primo 115

• Primer teorema de Sylow: Si G es un grupo finito, p primo y pn es la mayor potencia de p que divide el orden deG. Entonces, existe un subgrupo de G de orden pn.

• Teorema de Cauchy: Si G es un grupo finito y p es un número primo que divide al orden de G, entonces Gcontiene un elemento de orden p.

• La constante de Copeland-Erdős 0,235711131719232931374143…, obtenida por concatenación de los númerosprimos en el sistema decimal, es un número irracional.

• El valor de la función zeta de Riemann en cada punto del plano complejo se da como una continuaciónmeromorfa de una función definida por un producto sobre el conjunto de todos los primos para Re(s) > 1:

En la región donde es convergente, este producto indexado por los números primos se puede calcular,obteniéndose diversos valores, algunos de ellos importantes en teoría de números. Los dos primeros son:

(Correspondiente a la serie armónica, relacionado con la infinitud de números

primos).

(Correspondiente al problema de Basilea).

En general es un número racional cuando n es un número entero positivo par.

• El anillo es un cuerpo si y solo si p es primo. Equivalentemente: p es primo si y solo si φ(p) = p − 1.• Si p > 1, el polinomio x p-1+x p-2+ ··· + 1 es irreducible sobre si y sólo si p es primo.• Un número natural n es primo si y sólo si el n-ésimo polinomio de Chebyshov de la primera especie Tn(x),

dividido entre x, es irreducible en . Además, Tn(x) ≡ xn si y sólo si n es primo.

Números primos y funciones aritméticasLas funciones aritméticas, es decir, funciones reales o complejas, definidas sobre un conjunto de números naturales,desempeñan un papel crucial en la teoría de números. Las más importantes son las funciones multiplicativas, que sonaquellas funciones f en las cuales, para cada par de números coprimos (a,b) se tiene

.Algunos ejemplos de funciones multiplicativas son la función φ de Euler, que a cada n asocia el número de enterospositivos menores y coprimos con n, y las funciones τ y σ, que a cada n asocian respectivamente el número dedivisores de n y la suma de todos ellos. El valor de estas funciones en las potencias de números primos es

,,

.Gracias a la propiedad que las define, las funciones aritméticas pueden calcularse fácilmente a partir del valor quetoman en las potencias de números primos. De hecho, dado un número natural n de factorización

se tiene que

con lo que se ha reconducido el problema de calcular f(n) al de calcular f sobre las potencias de los números primosque dividen n, valores que son generalmente más fáciles de obtener mediante una fórmula general. Por ejemplo, paraconocer el valor de la función φ sobre n=450=2·32·52 basta con calcular

Page 120: Mates Discretas +

Número primo 116

.

Características del conjunto de los números primos

Infinitud de los números primosVéase también: Infinitud de los números primos.Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a. C. en el libro IXde su obra Elementos[16] Una adaptación común de esta demostración original sigue así: Se toma un conjuntoarbitrario pero finito de números primos p1, p2, p3, ···, pn, y se considera el producto de todos ellos más uno,

. Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de lalista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjuntooriginal. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p esalguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia , pero ningúnnúmero primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto original. Laconsecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no pertenecena él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome.Por tanto, el conjunto de los números primos es infinito.Si se toma como conjunto el de los n primeros números primos, entonces

, donde pn# es lo que se llama primorial de pn. Un número primode la forma pn# +1 se denomina número primo de Euclides en honor al matemático griego. También se puedeelaborar una demostración similar a la de Euclides tomando el producto de un número dado de números primosmenos uno, el lugar del producto de esos números primos más uno. En ese sentido, se denomina número primoprimorial a un número primo de la forma pn# ± 1.No todos los números de la forma pn# +1 son primos. En este caso, como se sigue de la demostración anterior, todoslos factores primos deberán ser mayores que n. Por ejemplo: 2·3·5·7·11·13+1=30031=59·509Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con diversos métodos procedentes de áreas delas matemáticas tales como al álgebra conmutativa y la topología.[17] Algunas de estas demostraciones se basan en eluso de sucesiones infinitas con la propiedad de que cada uno de sus términos es coprimo con todos los demás, por loque se crea una biyección entre los términos de la sucesión y un subconjunto (infinito) del conjunto de los primos.Una sucesión que cumple dicha propiedad es la sucesión de Euclides-Mullin, que deriva de la demostración euclídeade la infinitud de los números primos, ya que cada uno de sus términos se define como el factor primo más pequeñode uno más el producto de todos los términos anteriores. La sucesión de Sylvester se define de forma similar, puestoque cada uno de sus términos es igual a uno más el producto de todos los anteriores. Aunque los términos de estaúltima sucesión no son necesariamente todos primos, cada uno de ellos es coprimo con todos los demás, por lo quese puede escoger cualquiera de sus factores primos, por ejemplo, el menor de ellos, y el conjunto resultante será unconjunto infinito cuyos términos son todos primos.

Page 121: Mates Discretas +

Número primo 117

Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos

Un resultado aún más fuerte, y que implica directamente la infinitud de los números primos, fue descubierto porEuler en el siglo XVIII. Establece que la serie es divergente. Uno de los teoremas deMertens concreta más, estableciendo que

[18]

donde la expresión O(1) indica que ese término está acotado entre -C y C para n mayor que n0, donde los valores deC y n0 no están especificados.[19]

Otro resultado es el teorema de Dirichlet, que dice así:

En toda progresión aritmética an = a + n·q, donde los enteros positivos a, q ≥ 1 son primos entre sí, existen infinitos términos que sonprimos.

El postulado de Bertrand enuncia así:

Si n es un número natural mayor que 3, entonces siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n- 2.

Una manera más débil pero elegante de formularlo es que, si n es un número natural mayor que 1, entonces siempreexiste un número primo p tal que n < p < 2n. Esto supone que, en una progresión geométrica de primer términoentero mayor que 3 y razón igual a 2, entre cada término de la progresión y el siguiente, se tiene al menos un númeroprimo.

Frecuencia de los números primosVéase también: Teorema de los números primos.

10 4 −0,3 2,2 2,500

102 25 3,3 5,1 4,000

103 168 23 10 5,952

104 1.229 143 17 8,137

105 9.592 906 38 10,425

106 78.498 6.116 130 12,740

107 664.579 44.158 339 15,047

108 5.761.455 332.774 754 17,357

109 50.847.534 2.592.592 1.701 19,667

1010 455.052.511 20.758.029 3.104 21,975

... ... ... ... ...

Page 122: Mates Discretas +

Número primo 118

Comparación entre las funciones π(n) (azul), n / ln n (verde) y Li(n) (rojo); sepuede ver que la aproximación de π(n) con Li(n) es mejor que la que hay con

Una vez demostrado la infinitud de losnúmeros primos, cabe preguntarse cómo sedistribuyen los primos entre los númerosnaturales, es decir, cuán frecuentes son ydónde se espera encontrar el n-ésimonúmero primo. Este estudio lo iniciaronGauss y Legendre de forma independiente afinales del siglo XVIII, para el cualintrodujeron la función enumerativa de losnúmeros primos π(n), y conjeturaron que suvalor fuese aproximadamente

.[20]

El empeño de demostrar esta conjeturaabarcó todo el siglo XIX. Los primerosresultados fueron obtenidos entre 1848 y1859 por Chebyshov, quien demostróutilizando métodos puramente aritméticos la existencia de dos constantes A y B tales que

para n suficientemente grande. Consiguió demostrar que, si existía el límite del cociente de aquellas expresiones, éstedebía ser 1.

Hadamard y De la Vallée-Poussin elaboraron una demostración en 1896, independientemente el uno del otro, usandométodos similares, basados en el uso de la función zeta de Riemann, que había sido introducida por BernhardRiemann en 1859. Hubo que esperar hasta 1949 para encontrar una demostración que usara sólo métodoselementales (es decir, sin usar el análisis complejo). Esta demostración fue ideada por Selberg y Erdős. Actualmente,se conoce el teorema como teorema de los números primos.

El mismo Gauss introdujo una estimación más precisa, utilizando la función logaritmo integral:

.

En 1899 De la Vallée-Poussin demostró que el error que se comete aproximando de esta forma es

para una constante positiva a y para cada entero m. Este resultado fue ligeramente mejorado a lo largo de los años.Por otra parte, en 1901 Von Koch mostró que si la hipótesis de Riemann era cierta, se tenía la siguiente estimación,más precisa:[21]

Una forma equivalente al teorema de los números primos es que pn, el n-ésimo número primo, queda bienaproximado por nln(n). En efecto, pn es estrictamente mayor que este valor.

Page 123: Mates Discretas +

Número primo 119

Diferencia entre dos primos consecutivosLigado a la distribución de los números primos se encuentra el estudio de los intervalos entre dos primosconsecutivos. Este intervalo, con la única salvedad del que hay entre el 2 y el 3, debe ser siempre igual o mayor que2, ya que entre dos números primos consecutivos al menos hay un número par y por tanto compuesto. Si dosnúmeros primos tienen por diferencia 2, se dice que son gemelos, y con la salvedad del "triplete" formado por losnúmeros 3, 5 y 7, los números gemelos se presentan siempre de dos en dos. Esto también es fácil de demostrar: entretres números impares consecutivos mayores que 3 siempre hay uno que es múltiplo de 3, y por tanto compuesto. Losprimeros pares de números primos gemelos son (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) y (29, 31).Por otra parte, la diferencia entre primos consecutivos puede ser tan grande como se quiera: dado un número naturaln, se denota por n! su factorial, es decir, el producto de todos los números naturales comprendidos entre 1 y n. Losnúmeros

(n+1)!+2, (n+1)!+3,···,(n+1)!+n+1son todos compuestos: si 2 ≤ i ≤ n+1, entonces (n+1)!+i es divisible entre i, por tanto, es compuesto. La sucesión,que comprende n enteros consecutivos, no contiene ningún número primo. Por ejemplo, si n=5, estos valorescorresponden a:

6!+2=722=2·3616!+3=723=3·2416!+4=724=4·1816!+5=725=5·1456!+6=726=6·121

El siguiente valor, 6!+7=727, es primo.[22] De todas formas, el menor número primo que dista del siguiente en n esgeneralmente mucho menor que el factorial, por ejemplo, el caso más pequeño de dos primos consecutivos separadosde ocho unidades es (89, 97), mientras que 8! es igual a 40.320.La sucesión de las diferencias entre primos consecutivos[23] ha sido profusamente estudiada en matemáticas, yalrededor de este concepto se han establecido muchas conjeturas que permanecen sin resolver.

Conclusión

La distribución de todos los números primoscomprendidos entre 1 y 76.800, de izquierda a

derecha y de arriba abajo. Cada pixel representaun número. Los píxeles negros representan

números primos; los blancos representan númerosno primos.

El modelado de la distribución de los números primos es un tema deinvestigación recurrente entre los teóricos de números. La primalidadde un número concreto es (hasta ahora) impredecible a pesar de queexisten leyes, como el teorema de los números primos y el postuladode Bertrand, que gobiernan su distribución a gran escala. LeonhardEuler comentó:

Hasta el día de hoy, los matemáticos han intentado envano encontrar algún orden en la sucesión de los númerosprimos, y tenemos motivos para creer que es un misterioen el que la mente jamás penetrará.[24]

En una conferencia de 1975, Don Zagier comentó:Hay dos hechos sobre la distribución de los númerosprimos de los que espero convencerles de forma tanincontestable que quedarán permanentemente grabados ensus corazones. El primero es que, a pesar de su definición

Page 124: Mates Discretas +

Número primo 120

Imagen con 2310 columnas que conservamúltiplos de 2, 3, 5, 7 y 11 en las columnas

respectivas. Como cabe esperar, los númerosprimos caerán en columnas concretas si los

números están ordenados de izquierda a derecha yel ancho es un múltiplo de un número primo. Sin

embargo, los números primos también quedandistribuidos de manera ordenada en

construcciones espirales como la espiral de Ulam,ya que tienden a concentrarse en algunas

diagonales concretas y no en otras.

simple y del papel que desempeñan como ladrillos con losque se construyen los números naturales, los númerosprimos crecen como malas hierbas entre los númerosnaturales, y no parecen obedecer ninguna otra ley que ladel azar, y nadie puede predecir dónde brotará el siguiente.El segundo hecho es aún más asombroso, ya que dice justolo contrario: que los números primos muestran unaregularidad pasmosa, que hay leyes que gobiernan sucomportamiento, y que obedecen estas leyes con precisióncasi militar.[25]

Encontrar números primos

Tests de primalidadVéase también: Test de primalidad.

La criba de Eratóstenes fue concebida por Eratóstenes de Cirene, un matemáticogriego del siglo III a. C. Es un algoritmo sencillo que permite encontrar todos los

números primos menores o iguales que un número dado.

La criba de Eratóstenes es una manerasencilla de hallar todos los números primosmenores o iguales que un número dado. Sebasa en confeccionar una lista de todos losnúmeros naturales desde el 2 hasta esenúmero y tachar repetidamente los múltiplosde los números primos ya descubiertos. Lacriba de Atkin, más moderna, tiene unamayor complejidad, pero si se optimizaapropiadamente también es más rápida.También existe una reciente criba deSundaram que genera únicamente númeroscompuestos, siendo los primos los númerosfaltantes.

En la práctica, lo que se desea es determinarsi un número dado es primo sin tener queconfeccionar una lista de números primos.Un método para determinar la primalidad deun número es la división por tentativa, queconsiste en dividir sucesivamente ese número entre los números primos menores o iguales a su raíz cuadrada. Sialguna de las divisiones es exacta, entonces el número no es primo; en caso contrario, es primo. Por ejemplo, dado nmenor o igual que 120, para determinar su primalidad basta comprobar si es divisible entre 2, 3, 5 y 7, ya que elsiguiente número primo, 11, ya es mayor que √120. Es el test de primalidad más sencillo, y rápidamente pierde suutilidad a la hora de comprobar la primalidad de números grandes, ya que el número de factores posibles crecedemasiado rápido a medida que crece el número potencialmente primo.

En efecto, el número de números primos menores que n es aproximadamente

.

Page 125: Mates Discretas +

Número primo 121

De esta forma, para determinar la primalidad de n, el mayor factor primo que se necesita no es mayor que √n,dejando el número de candidatos a factor primo en cerca de

.

Esta expresión crece cada vez más lentamente en función de n, pero, como los n grandes son de interés, el número decandidatos también se hace grande: por ejemplo, para n = 1020 se tienen 450 millones de candidatos.Asimismo, existen otros muchos tests de primalidad determinísticos que se basan en propiedades que caracterizan alos números primos, pero su utilidad computacional depende mucho del test usado. Por ejemplo, se podría emplear elteorema de Wilson para calcular la primalidad de un número, pero tiene el inconveniente de requerir el cálculo de unfactorial, una operación computacionalmente prohibitiva cuando se manejan números grandes. Aquí entre en juegoel tiempo de ejecución del algoritmo empleado, que se expresa en la notación de Landau. Para poder determinar laprimalidad de números cada vez más grandes (de miles de cifras) se buscan aquellos algoritmos cuyo tiempo deejecución crezca lo más lentamente posible, a ser posible, que se pueda expresar como un polinomio. Si bien el testde primalidad AKS cumple con esta condición, para el rango de números que se usa en la práctica este algoritmo esextremadamente lento.Por otra parte, a menudo basta con tener una respuesta más rápida con una alta probabilidad (aunque no segura) deser cierta. Se puede comprobar rápidamente la primalidad de un número relativamente grande mediante tests deprimalidad probabilísticos. Estos tests suelen tomar un número aleatorio llamado "testigo" e introducirlo en unafórmula junto con el número potencialmente primo n. Después de varias iteraciones, se resuelve que n es"definitivamente compuesto" o bien "probablemente primo". Estos últimos números pueden ser primos o bienpseudoprimos (números compuestos que pasan el test de primalidad). Algunos de estos tests no son perfectos: puedehaber números compuestos que el test considere "probablemente primos" independientemente del testigo utilizado.Esos números reciben el nombre de pseudoprimos absolutos para ese test. Por ejemplo, los números de Carmichaelson números compuestos, pero el test de Fermat los evalúa como probablemente primos. Sin embargo, los testsprobabilísticos más utilizados, como el test de Miller-Rabin o el obsoleto test de Solovay-Strassen, superado por elanterior, no tienen este inconveniente, aun siendo igualmente tests probabilísticos.Algunos tests probabilísticos podrían pasar a ser determinísticos y algunos tests pueden mejorar su tiempo deejecución si se verifican algunas hipótesis matemáticas. Por ejemplo, si se verifica la hipótesis generalizada deRiemann, se puede emplear una versión determinística del test de Miller-Rabin, y el test de primalidad por curvaselípticas podría mejorar notablemente su tiempo de ejecución si se verificaran algunas hipótesis de teoría analítica denúmeros.

Algoritmos de factorizaciónUn algoritmo de factorización es un algoritmo que separa uno a uno los factores primos de un número. Losalgoritmos de factorización pueden funcionar también a modo de tests de primalidad, pero en general tienen untiempo de ejecución menos ventajoso. Por ejemplo, se puede modificar el algoritmo de división por tentativa deforma que no se detenga cuando se obtenga una división exacta, sino que siga realizando nuevas divisiones, y nosobre el número original, sino sobre el cociente obtenido. Después de la división por tentativa, los métodos másantiguos que se conocen son el método de Fermat, que se basa en las diferencias entre cuadrados y que esespecialmente eficaz cuando n es el producto de dos números primos próximos entre sí, y el método de Euler, que sebasa en la representación de n como suma de dos cuadrados de dos formas distintas.Más recientemente, se han elaborado algoritmos basados en una gran variedad de técnicas, como las fraccionescontinuas o las curvas elípticas, aunque algunos son mejoras de métodos anteriores (la criba cuadrática, por ejemplo,se basa en una mejora del método de Fermat y posee complejidad computacional subexponencial sobre el número decifras de n). Otros, como el método rho de Pollard, son probabilísticos, y no garantizan hallar los divisores de unnúmero compuesto.

Page 126: Mates Discretas +

Número primo 122

Hoy por hoy, el algoritmo determinístico más rápido de uso general es el general number field sieve, que tambiénposee complejidad computacional subexponencial sobre el número de cifras de n.[26] Se ha propuesto un algoritmocuyo tiempo de ejecución es polinómico sobre el número de cifras de n (el algoritmo de Shor), pero requiere serejecutado en un ordenador cuántico, ya que su simulación en un ordenador normal requiere un tiempo exponencial.No se conocen algoritmos para factorizar en una computadora tradicional en tiempo polinómico y tampoco sedemostró que esto sea imposible.

Fórmulas que sólo generan números primosVéase también: Fórmula de los números primos.A lo largo de la historia, se han buscado numerosas fórmulas para generar los números primos. El nivel más alto deexigencia para una fórmula así sería que asociara a cada número natural n el n-ésimo número primo. De forma másindulgente, se puede pedir una función f que asocie a cada número natural n un número primo de tal forma que cadauno de los valores tomados sólo aparezca una vez.Además, se desea que la función se pueda calcular en la práctica.[27] Por ejemplo, el teorema de Wilson asegura quep es un número primo si y sólo si (p-1)!≡-1 (mod p). Otro ejemplo: la función f(n) = 2 + ( 2(n!) mod (n+1)) generatodos los números primos, sólo los números primos, y sólo el valor 2 se toma más de una vez. Sin embargo, ambasfórmulas se basan en el cálculo de un factorial, lo que las hace computacionalmente inviables.En la búsqueda de estas funciones, se han investigado notablemente las funciones polinómicas. Cabe subrayar queningún polinomio, aun en varias variables, toma sólo valores primos.[28] Por ejemplo, el polinomio en una variablef(n) = n² − n + 41 devuelve valores primos para n = 0,…, 40, 43, pero f(41) y f(42) son compuestos. Si el términoconstante vale cero, entonces el polinomio es múltiplo de n, por lo que el polinomio es compuesto para valorescompuestos de n. En caso contrario, si c es el término constante, entonces f(cn) es múltiplo de c, por lo que si elpolinomio no es constante, necesariamente deberá incluir valores compuestos.Sin embargo, hay polinomios en varias variables cuyos valores positivos (cuando las variables recorren los númerosnaturales) son precisamente los números primos. Un ejemplo es este polinomio descubierto por Jones, Sato, Wada yWiens en 1976:[28]

Al igual que ocurre con las fórmulas con factoriales, este polinomio no es práctico de calcular, ya que, aunque losvalores positivos que toma son todos primos, prácticamente no devuelve otra cosa que valores negativos cuando sehacen variar las variables a a z de 0 a infinito.Otro enfoque al problema de encontrar una función que sólo genere números primos viene dado a partir del teoremade Mills, que indica que existe una constante θ tal que

es siempre un número primo, donde es la función piso.[29] Todavía no se conoce ninguna fórmula para calcularla constante de Mills, y las aproximaciones que se emplean en la actualidad se basa en la sucesión de los asíllamados números primos de Mills (los números primos generados mediante esta fórmula), que no pueden serobtenidos rigurosamente, sino sólo de manera probabilística, suponiendo cierta la hipótesis de Riemann.

Page 127: Mates Discretas +

Número primo 123

Clases de números primosDe mayor interés son otras fórmulas que, aunque no sólo generen números primos, son más rápidas de implementar,sobre todo si existe un algoritmo especializado que permita calcular rápidamente la primalidad de los valores quevan tomando. A partir de estas fórmulas se obtienen subconjuntos relativamente pequeños del conjunto de losnúmeros primos, que suelen recibir un nombre colectivo.

Primos primoriales y primos factorialesVéanse también: Número primo primorial y número primo factorial.Los números primos primoriales, directamente relacionados con la demostración euclidiana de la infinitud de losnúmeros primos, son los de la forma p = n# ± 1 para algún número natural n, donde n# es igual al producto2 · 3 · 5 · 7 · 11 · … de todos los primos ≤ n. Asimismo, un número primo se dice primo factorial si es de la forman! ± 1. Los primeros primos factoriales son:

n! − 1 es primo para n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, …[30]

n! + 1 es primo para n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, …[31]

Números primos de FermatVéase también: Número de Fermat.

Construcción de un pentágono regular. 5 es unnúmero primo de Fermat.

Los números de Fermat, ligados a la construcción de polígonosregulares con regla y compás, son los números de la forma

, con n natural. Los únicos números primos de Fermatque se conocen hasta la fecha son los cinco que ya conocía el propioFermat, correspondientes a n = 0, 1, 2, 3 y 4, mientras que para valoresde n entre 5 y 32 estos números son compuestos.[32]

Para determinar su primalidad, existe un test especializado cuyotiempo de ejecución es polinómico: el test de Pépin. Sin embargo, lospropios números de Fermat crecen tan rápidamente que sólo se lo hapodido aplicar para valores de n pequeños. En 1999 se lo aplicó para n= 24. Para determinar el carácter de otros números de Fermat mayoresse utiliza el método de divisiones sucesivas y de esa manera a fecha dejunio de 2009 se conocen 241 números de Fermat compuestos, aunqueen la mayoría de los casos se desconozca su factorización completa.[32]

Números primos de MersenneVéase también: Número primo de Mersenne.Los números de Mersenne son los de forma Mp = 2p – 1, donde p es primo.[33] Los mayores números primosconocidos son generalmente de esta forma, ya que existe un test de primalidad muy eficaz, el test de Lucas-Lehmer,para determinar si un número de Mersenne es primo o no.Actualmente, el mayor número primo que se conoce es M43.112.609 = 243.112.609 - 1, que tiene 12.978.189 cifras en elsistema decimal. Se trata cronológicamente del 45º número primo de Mersenne conocido y su descubrimiento seanunció el 23 de agosto de 2008 gracias al proyecto de computación distribuida «Great Internet Mersenne PrimeSearch» (GIMPS). Desde entonces, se han descubierto otros dos números primos de Mersenne, pero son menoresque el 45º.[34][35]

Page 128: Mates Discretas +

Número primo 124

Otras clases de números primosExisten literalmente decenas de apellidos que se pueden añadir al concepto de número primo para referirse a unsubconjunto que cumple alguna propiedad concreta. Por ejemplo, los números primos pitagóricos son los que sepueden expresar en la forma 4n+1. Dicho de otra forma, se trata de los números primos cuyo resto al dividirlos entre4 es 1. Otro ejemplo es el de los números primos de Wieferich, que son aquellos números primos p tales que p2

divide a 2p-1 - 1.Algunas de estas propiedades se refieren a una relación concreta con otro número primo:• Números primos gemelos: p y p+2 lo son si son los dos primos.• Número primo de Sophie Germain: dado p primo, es de Sophie Germain si 2p + 1 también es primo. Una

sucesión de números p1,p2,p3,··· ,pn todos ellos primos, tales que pi+1=2pi+1 para todo i ∈ {1,2,···,n-1 }, sedenomina cadena (completa) de Cunningham de primera especie, y cumple por definición que cada uno de lostérminos, salvo el último, es un número primo de Sophie Germain. Se cree que para todo n natural existeninfinitas cadenas de Cunningham de longitud n,[36] aunque hasta la fecha nadie ha proporcionado prueba de quedicha afirmación sea cierta.

• Número primo de Wagstaff: p lo es si , donde q es otro número primo.[37][38]

También se les da nombres especiales a algunas clases de primos que dependen de la base de numeración empleadao de la forma de escribir los dígitos, y no de una fórmula matemática. Es el caso de los números somirp (primos alrevés), que son aquellos números primos tales que el número obtenido al invertir el orden de sus cifras también esprimo. También es el caso de los números primos repunit, que son aquellos números primos que son concatenaciónde unos. Si, en lugar de considerarse el sistema de numeración decimal se considera el binario, se obtiene otroconjunto distinto de números primos repunit que, además, coincide con el de los números primos de Mersenne.Finalmente, los números primos triádicos son aquellos números que son primos, capicúas y simétricos respecto deuna recta horizontal.El que se le dé un nombre a una clase de números primos con una definición precisa no significa que se conozcaalgún número primo que sea de esa clase. Por ejemplo, no se conoce hasta el momento ningún número primo deWall-Sun-Sun, pero su relevancia radica en que en 1992, antes de la demostración de Wiles del último teorema deFermat, se descubrió que la falsedad del teorema para un número primo p dado implicaba que p era un número primode Wall-Sun-Sun. Esto hizo que, durante un tiempo, la búsqueda de números primos de esta clase fuera también labúsqueda de un contraejemplo del último teorema de Fermat.[39]

ConjeturasExisten numerosas preguntas abiertas acerca de los números primos. Muchas de ellas son problemas bien antiguos, yuna de las más significativas es la hipótesis de Riemann, varias veces mencionada en este artículo como unaconjetura que, de ser cierta, permitiría conocer numerosos resultados relevantes en diversos campos de lasmatemáticas.

Hipótesis de RiemannVéase también: Hipótesis de Riemann.Para entender la hipótesis de Riemann, una conjetura enunciada en 1859 pero que, hasta la fecha (2012), sigue sinresolverse, es necesario entender la función zeta de Riemann. Sea un número complejo con parte real mayor que1. Entonces,

La segunda igualdad es una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética, y muestra que la función zetaestá íntimamente relacionada con los números primos.

Page 129: Mates Discretas +

Número primo 125

Existen dos tipos de ceros de la función zeta, es decir, valores s para los cuales ζ(s) = 0: los triviales, que son s=-2,s=-4, s=-6, etc. (los enteros pares negativos) y los no triviales, que son aquellos ceros que no se encuentran en el ejereal. Lo que indica la hipótesis de Riemann es que la parte real de todos los ceros no triviales es igual a 1/2.La veracidad de la hipótesis implica una profunda conexión con los números primos, en esencia, en el caso deverificarse, dice que los números primos están distribuidos de la forma más regular posible. Desde un punto de vista«físico», dice grosso modo que las irregularidades en la distribución de los números primos sólo proceden de ruidoaleatorio. Desde un punto de vista matemático, dice que la distribución asintótica de los números primos (según elteorema de los números primos, la proporción de primos menores que n es ) también es cierta para intervalos

mucho menores, con un error de aproximadamente la raíz cuadrada de n (para intervalos próximos a n). Estáampliamente extendido en la comunidad matemática que la hipótesis sea cierta. En concreto, la presunción mássimple es que los números primos no deberían tener irregularidades significativas en su distribución sin una buenarazón.[40]

Otras conjeturas

Infinitud de ciertos tipos de números primos

Muchas conjeturas tratan sobre si hay infinitos números primos de una determinada forma. Así, se conjetura que hayinfinitos números primos de Fibonacci[41] e infinitos primos de Mersenne, pero sólo un número finito de primos deFermat.[42] No se sabe si hay infinitos números primos de Euclides.

Distribución de los números primos

También hay numerosas conjeturas que se ocupan de determinadas propiedades de la distribución de los númerosprimos. Así, la conjetura de los números primos gemelos enuncia que hay infinitos números primos gemelos, queson pares de primos cuya diferencia es de 2. La conjetura de Polignac es una versión más general y más fuerte de laanterior, ya que enuncia que, para cada entero positivo n, hay infinitos pares de primos consecutivos que difieren en2n. A su vez, una versión más débil de la conjetura de Polignac dice que todo número par es la diferencia de dosnúmeros primos.Asimismo, se conjetura la infinidad de los primos de la forma n2 + 1. Según la conjetura de Brocard, entre loscuadrados de primos consecutivos mayores que 2 existen siempre al menos cuatro números primos. La conjetura deLegendre establece que, para cada n natural, existe un número primo entre n2 y (n+1)2. Finalmente, la conjetura deCramér, cuya veracidad implicaría la de Legendre, dice que:

Teoría aditiva de números

Otras conjeturas relacionan algunas propiedades aditivas de los números con los números primos. Así, la conjeturade Goldbach dice que todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos números primos, aunquetambién existe una versión más débil de la misma conjetura según la cual todo número impar mayor que 5 se puedeescribir como suma de tres números primos. El matemático chino Chen Jingrun demostró, en 1966, que en efecto,todo número par suficientemente grande puede expresarse como suma de dos primos o como la suma de un primo yde un número que es el producto de dos primos. ("semi-primo").[43]

Page 130: Mates Discretas +

Número primo 126

Los cuatro problemas de LandauEn 1912, Landau estableció en el Quinto Congreso Internacional de Matemáticos de Cambridge una lista de cuatrode los problemas ya mencionados sobre números primos, que se conocen como los problemas de Landau. Ningunode ellos está resuelto hasta la fecha. Se trata de la conjetura de Goldbach, la de los números primos gemelos, la deLegendre y la de los primos de la forma n2 + 1.[44]

Generalización del concepto de número primoEl concepto de número primo es tan importante que se ha visto generalizado de varias maneras en diversas ramas delas matemáticas.

Elementos primos en un anillo

Representación de los primos gaussianos de norma menor o igual a500. Los primos gaussianos son, por definición, los enteros

gaussianos que son primos.

Se pueden definir los elementos primos y los elementosirreducibles en cualquier dominio de integridad.[45] Encualquier dominio de factorización única, como porejemplo, el anillo de los enteros, el conjunto deelementos primos equivale al conjunto de los elementosirreducibles, que en es {…, −11, −7, −5, −3, −2, 2,3, 5, 7, 11, …}.

Considérense por ejemplo los enteros gaussianos ,es decir, los números complejos de la forma a+bi con a,b ∈ . Este es un dominio de integración, y suselementos primos son los primos gaussianos. Cabedestacar que el 2 no es un primo gaussiano, porqueadmite factorización como producto de los primosgaussianos (1+i) y (1-i). Sin embargo, el elemento 3 síes primo en los enteros gaussianos. En general, losprimos racionales (es decir, los elementos primos delanillo ) de la forma 4k+3 son primos gaussianos,pero no lo son aquellos de la forma 4k+1.

Ideales primos

En teoría de anillos, un ideal I es un subconjunto de un anillo A tal que• si i, j ∈ I, entonces la suma i + j pertenece a I• y si x ∈ A, i ∈ I, entonces los productos a × i, i × a pertenecen a I.Un ideal primo se define entonces como un ideal que cumple también que:• para cualquier par de elementos a, b del anillo A tales que su producto a × b pertenece a I, entonces, al menos uno

de los dos elementos, a o b, está en I.• I no es el anillo A entero.Los ideales primos son una herramienta relevante en álgebra conmutativa, teoría algebraica de números y geometríaalgebraica. Los ideales primos del anillo de enteros son los ideales (0), (2), (3), (5), (7), (11), …Un problema central en teoría algebraica de números es la manera en que se factorizan los ideales primos cuando seven sometidos a una extensión de cuerpos. En el ejemplo de los enteros gaussianos, (2) se ramifica en potencia de unprimo (ya que y generan el mismo ideal primo), los ideales primos de la forma son inertes(mantienen su primalidad) y los de la forma pasan a ser producto de dos ideales primos distintos.

Page 131: Mates Discretas +

Número primo 127

Primos en teoría de la valoraciónEn teoría algebraica de números surge otra generalización más. Dado un cuerpo , reciben el nombre devaloraciones sobre determinadas funciones de en . Cada una de estas valoraciones genera una topologíasobre , y se dice que dos valoraciones son equivalentes si generan la misma topología. Un primo de es unaclase de equivalencia de valoraciones. Con esta definición, los primos del cuerpo de los números racionalesquedan representados por la función valor absoluto así como por las valoraciones p-ádicas sobre para cadanúmero primo p.

Nudos primos

Algunos nudos primos.

En teoría de nudos, un nudo primo es un nudo no trivial que no se puede descomponer en dos nudos más pequeños.De forma más precisa, se trata de un nudo que no se puede escribir como suma conexa de dos nudos no triviales.En 1949 Horst Schubert demostró un teorema de factorización análogo al teorema fundamental de la aritmética, queasegura que cada nudo se puede obtener de forma única como suma conexa de nudos primos.[46] Por este motivo, losnudos primos desempeñan un papel central en la teoría de nudos: una clasificación de los nudos ha sido desde finalesdel siglo XIX el tema central de la teoría.

Aplicaciones en la computaciónEl algoritmo RSA se basa en la obtención de la clave pública mediante la multiplicación de dos números grandes(mayores que 10100) que sean primos. La seguridad de este algoritmo radica en que no se conocen maneras rápidasde factorizar un número grande en sus factores primos utilizando computadoras tradicionales.

Números primos en el arte y la literaturaLos números primos han influido en numerosos artistas y escritores. El compositor francés Olivier Messiaen se valióde ellos para crear música no métrica. En obras tales como La Nativité du Seigneur (1935) o Quatre études derythme (1949-50) emplea simultáneamente motivos cuya duración es un número primo para crear ritmosimpredecibles. Según Messiaen, esta forma de componer fue «inspirada por los movimientos de la naturaleza,movimientos de duraciones libres y desiguales».[47]

En su novela de ciencia ficción Contact, posteriormente adaptada al cine, Carl Sagan sugiere que los números primospodrían ser empleados para comunicarse con inteligencias extraterrestres, una idea que había desarrollado de manerainformal con el astrónomo estadounidense Frank Drake en 1975.[48]

El curioso incidente del perro a medianoche, de Mark Haddon, que describe en primera persona la vida de un jovenautista muy dotado en matemáticas y cálculo mental, utiliza únicamente los números primos para numerar loscapítulos.En la novela PopCo de Scarlett Thomas, la abuela de Alice Butler trabaja en la demostración de la hipótesis deRiemann. El libro ilustra una tabla de los mil primeros números primos.[49]

La soledad de los números primos, novela escrita por Paolo Giordano, ganó el premio Strega en 2008.También son muchas las películas que reflejan la fascinación popular hacia los misterios de los números primos y lacriptografía, por ejemplo, Cube, Sneakers, El amor tiene dos caras y Una mente maravillosa. Esta última se basa enla biografía del matemático y premio Nobel John Forbes Nash, escrita por Sylvia Nasar.[50]

Page 132: Mates Discretas +

Número primo 128

Referencias[1] (sucesión A000040 (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis:a000040) en OEIS)[2] Marcus du Sautoy, La symphonie des nombres premiers P.42 (en francés)[3] Préhistoire de la géométrie: le problème des sources (http:/ / www. reunion. iufm. fr/ recherche/ irem/ telecharger/ Keller/ Keller3. pdf),

artículo de Olivier Keller (en francés)[4] « Nacimiento de las matemáticas. (http:/ / almez. pntic. mec. es/ ~agos0000/ Nacimiento. html)». Consultado el 7 de Junio de 2009.[5] Arnaldez, Roger y otros (1988). Las antiguas ciencias del Oriente.. Barcelona: Ediciones Orbis S.A.. ISBN 84-402-0159-1.[6] Planetmath.org. « History of prime numbers. (http:/ / planetmath. org/ encyclopedia/ HistoryOfPrimeNumbers. html)». Consultado el 7 de

junio de 2009.[7] Crandall, Richard (2001). Prime numbers, a computational perspective. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94777-9.[8] Bernstein, Daniel. « Prime tests (http:/ / cr. yp. to/ primetests. html)». Consultado el 1 de julio de 2009.[9] Singh, Simon (1998). «Pag. 126». El enigma de Fermat. Editorial Planeta S.A. ISBN 978-84-08-02375-3..[10] Carles Pina i Estany (2005). « Curiosidades sobre números primos. (http:/ / pinux. info/ primos/ curiosidades. html)». Consultado el 5 de

junio de 2009.[11] Hans Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. New York: Springer (1994): 36 (en inglés)[12] Richard K. Guy & John Horton Conway, The Book of Numbers. New York: Springer (1996): 129 - 130 (en inglés)[13] Gowers, T (2002). Mathematics: A Very Short Introduction. Oxford University Press. pp. 118. ISBN 0-19-285361-9. «La exclusión

aparentemente arbitraria del 1 de la definición de número primo … no expresa ningún conocimiento profundo sobre los números: se tratasimplemente de un convenio útil, adoptado para que sólo haya una manera de factorizar cualquier número en sus factores primos»

[14] " Why is the number one not prime? (http:/ / primes. utm. edu/ notes/ faq/ one. html)" (en inglés), accedido el 31-05-2009.[15] " Arguments for and against the primality of 1 (http:/ / www. geocities. com/ primefan/ Prime1ProCon. html)" (en inglés), accedido el

31-05-2009.[16]  , Euclides (1991-1996). «Vol. II, libro IX, proposición 20.». Elementos. Obra completa, Madrid, Editorial Gredos. ISBN

978-84-249-1463-9.[17] DiAmOnD (2008). « Demostración topológica de la infinitud de los números primos. (http:/ / gaussianos. com/

demostracion-topologica-de-la-infinitud-de-los-numeros-primos/ )». Consultado el 5 de junio de 2009.[18] Véase, por ejemplo, An Introduction to the Theory of Numbers, p. 24. (en inglés)[19] En general, en la notación de Landau, indica que está dominada asintóticamente por , es decir,

. Para más información, lea notación de Landau.[20] Con esta expresión se quiere decir que el límite de la razón entre las dos expresiones tiende a 1 cuando n tiende a infinito.[21] von Koch, Helge (1901). « Sur la distribution des nombres premiers (http:/ / www. springerlink. com/ content/ 077g4j008x57p021/ )».

SpringerLink. Consultado el 6 de junio de 2009.[22] Nótese que esto no tiene por qué ser verdad en general, por ejemplo, si n es impar, se tiene que n!+(n+1) es divisible entre 2.[23] (sucesión A001223 (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis:a001223) en OEIS)[24] Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant (tapa dura). Princeton: Princeton University Press (2003): 163 (en inglés)[25] Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant (tapa dura). Princeton: Princeton University Press (2003): 171[26] Eric W. Weisstein. « Number Field Sieve (http:/ / mathworld. wolfram. com/ NumberFieldSieve. html)» (en inglés). Consultado el 31 de

mayo de 2009.[27] Introducción del capítulo 3 del libro de Ribenboim The new book of prime number records.[28] Prime Glossary - Matijasevic's Polynomial (http:/ / primes. utm. edu/ glossary/ xpage/ MatijasevicPoly. html), accedido el 06-06-2009[29] W. H. Mills, A prime-representing function (1947) (en inglés)[30] (sucesión A002982 (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis:a002982) en OEIS)[31] (sucesión A002981 (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis:a002981) en OEIS)[32] Keller, Wilfrid (2009). « Fermat factoring status (http:/ / www. prothsearch. net/ fermat. html)». Consultado el 1 de junio de 2009.[33] DiAmOnD (2008). « Todo número de Mersenne con exponente compuesto es también compuesto (http:/ / gaussianos. com/

todo-numero-de-mersenne-con-exponente-compuesto-es-tambien-compuesto/ )». Consultado el 7 de junio de 2009.. Por contraposición, sededuce que, para buscar números primos de Mersenne, basta con buscar entre los números de Mersenne con exponente primo.

[34] DiAmOnD (2008). « ¡¡Tenemos dos nuevos primos de Mersenne!! (http:/ / gaussianos. com/ ¡¡tenemos-dos-nuevos-primos-de-mersenne/)». Consultado el 5 de junio de 2009.

[35] GIMPS (2009). « 47th Known Mersenne Prime Found! (http:/ / mersenne. org/ )». Consultado el 13 de junio de 2009.[36] Nicholas Anderson, Andrew J. Havens, Brian Hydefrost, Sean Murphy y Steve Sarasin. « Prime Numbers and the Riemann Hypothesis

(http:/ / www. gang. umass. edu/ ~franz/ teaching/ group1. pdf)» pág. 6. Consultado el 7 de junio de 2009.[37] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!. « A000979. Wagstaff primes. (http:/ / www. research. att. com/ ~njas/ sequences/

A000979)». Consultado el 23 de abril de 2010.[38] Eric W. Weisstein. « Wagstaff Prime (http:/ / mathworld. wolfram. com/ WagstaffPrime. html)» (en inglés). Consultado el 23 de abril de

2010.[39] Caldwell, Chris. « The Prime Glossary: Wall-Sun-Sun prime (http:/ / primes. utm. edu/ glossary/ page. php?sort=WallSunSunPrime)» (en

inglés). The Prime Pages. Universidad de Tennessee. . Consultado el 6 de junio de 2009.

Page 133: Mates Discretas +

Número primo 129

[40] Bombieri, Enrico (2000). « The Riemann hypothesis (http:/ / www. claymath. org/ millennium/ Riemann_Hypothesis/ riemann. pdf)» (eninglés). Clay Mathematics Institute. Consultado el 6 de junio de 2009.

[41] Caldwell, Chris. « The Top Twenty: Lucas Number (http:/ / primes. utm. edu/ top20/ page. php?id=48)» (en inglés). The Prime Pages.Universidad de Tennessee. . Consultado el 1 de junio de 2009.

[42] Por ejemplo, véase Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag, 1981, problema A3, pp. 7–8.[43] Tony Crilly (2011). 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.[44] Mathworld - Landau's Problems (http:/ / mathworld. wolfram. com/ LandausProblems. html) (en inglés)[45] « Números algebraicos (http:/ / www. iesmurgi. org/ matematicas/ materiales/ numeros/ node18. html)» (2004). Consultado el 7 de junio de

2009.[46] En Mathworld (http:/ / mathworld. wolfram. com/ PrimeKnot. html). (en inglés)[47] Peter Hill (1994). Amadeus Press. ed. The Messiaen companion. ISBN ISBN 0-931340-95-0..[48] Carl Pomerance, Prime Numbers and the Search for Extraterrestrial Intelligence (http:/ / www. math. dartmouth. edu/ ~carlp/ PDF/

extraterrestrial. pdf), accedido el 31-05-2009[49] A Mathematician reviews PopCo (http:/ / math. cofc. edu/ kasman/ MATHFICT/ mfview. php?callnumber=mf476) (en inglés), accedido el

31-05-2009[50] Music of the Spheres (http:/ / www. musicoftheprimes. com/ films. htm), Selección de Marcus du Sautoy de películas que versan sobre los

números primos (en inglés), accedido el 31-05-2009

Enlaces externos• The Prime Pages (http:/ / www. utm. edu/ research/ primes)• Sobre el artículo de Manindra Agrawal et al. PRIMES IS IN P, en donde afirman: "We present a deterministic

polynomial-time algorithm that determines whether an input number n is prime or composite" mathmistakes(http:/ / members. cox. net/ mathmistakes/ primes. htm)

• Algoritmos eficientes para calcular números primos, por Steve Litt (http:/ / www. troubleshooters. com/ codecorn/primenumbers/ primenumbers. htm)

• ¿Es este número primo? (http:/ / www. mste. uiuc. edu/ html. f/ resource/ prime. html)

Conjetura de GoldbachEn teoría de números, la conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas. Aveces se le califica del problema más difícil en la historia de esta ciencia[cita requerida]. Su enunciado es el siguiente:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Christian Goldbach (1742)

Cabe notar que se puede emplear dos veces el mismo número primo.Por ejemplo,

Page 134: Mates Discretas +

Conjetura de Goldbach 130

Historia

El número de las diferentes maneras en las que se puede expresar un número par ncomo la suma de dos números primos (4 ≤ n ≤ 1,000,000).

Esta conjetura había sido conocida porDescartes[cita requerida]. La siguienteafirmación es equivalente a la anterior y esla que se conjeturó originalmente en unacarta de Goldbach a Euler en 1742:

Todo número entero mayor que5 se puede escribir como sumade tres números primos.

Esta conjetura ha sido investigada pormuchos teóricos de números y ha sidocomprobada por ordenadores para todos losnúmeros pares menores que 1018. La mayorparte de los matemáticos creen que laconjetura es cierta, y se basanmayoritariamente en las consideracionesestadísticas sobre la distribuciónprobabilística de los números primos en el conjunto de los números naturales: cuanto mayor sea el número enteropar, se hace más «probable» que pueda ser escrito como suma de dos números primos.

Sabemos que todo número par puede escribirse de forma mínima como suma de a lo más seis números primos.Como consecuencia de un trabajo de Vinográdov, todo número par lo bastante grande puede escribirse como sumade a lo más cuatro números primos. Además, Vinográdov demostró que casi todos los números pares puedenescribirse como suma de dos números primos (en el sentido de que la proporción de números pares que puedenescribirse de dicha forma tiende a 1). En 1966, Chen Jing-run mostró que todo número par lo bastante grande puedeescribirse como suma de un primo y un número que tiene a lo más dos factores primos.Con el fin de generar publicidad para el libro El tío Petros y la conjetura de Goldbach de Apostolos Doxiadis, eleditor británico Tony Faber ofreció en 2000 un premio de un millón de dólares a aquel angloparlante que demostrasela conjetura antes de abril de 2002. Nadie reclamó el premio.Goldbach formuló dos conjeturas relacionadas entre sí sobre la suma de números primos[cita requerida]: la conjetura'fuerte' de Goldbach y la conjetura 'débil' de Goldbach. La que se discute aquí es la fuerte, y la que se suelemencionar como «conjetura de Goldbach» a secas.

Obras influenciadas por esta ConjeturaEn cine:• La conjetura de Goldbach forma parte de la trama de la película española La habitación de Fermat (2007).• También aparece en la película Proof, conocida en España como La verdad oculta (2005).• En la segunda película de Futurama, La bestia con un millón de espaldas (2008), el profesor Hubert Fansworth la

menciona.En literatura:• El tío Petros y la Conjetura de Goldbach es una novela de Apostolos Doxiadis que gira en torno a la vida de un

joven cuyo tío dedicó su vida a intentar resolver esta conjetura.

Page 135: Mates Discretas +

Conjetura de Goldbach 131

Enlaces externos• Carta original escrita por Christian Golbach para [[Euler [1]] (en alemán)]• Caldwell, Chris. «The Prime Glossary: Goldbach's conjecture [2]» (en inglés). The Prime Pages. Universidad de

Tennessee.• Weisstein, Eric W. «Goldbach's conjecture [3]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.• Ahuja, Anjana (16 de marzo de 2000). «A million-dollar maths question [4]». The Times.• Revilla, Fernando (2007). ref. 702. «Conjetura de Goldbach y aritmética de Peano. Un enfoque de la Conjetura de

Goldbach por medio de procesos dinámicos [5]». Actas del Primer Congreso Internacional de Matemáticas enIngeniería Civil y Arquitectura, sección de desarrollos teóricos de la matemática aplicada:  pp. 451-454. ISBN

978-84-7493-381-9.

Referencias[1] http:/ / www. math. dartmouth. edu/ %7Eeuler/ correspondence/ letters/ OO0765. pdf[2] http:/ / primes. utm. edu/ glossary/ page. php?sort=GoldbachConjecture[3] http:/ / mathworld. wolfram. com/ GoldbachConjecture. html[4] http:/ / www. times-archive. co. uk/ news/ pages/ tim/ 2000/ 03/ 16/ timfeafea02004. html[5] http:/ / www. caminos. upm. es/ matematicas/ maic/ congreso1/ texto_programacion. htm

Iván VinográdovIván Matvéyevich Vinográdov (Иван Матвеевич Виноградов: 14 de septiembre de 1891 – 20 de marzo de1983) fue un matemático ruso, uno de los creadores de la teoría analítica de números moderna y una figuradominante de la matemática soviética. Nació en el distrito Velíkiye Luki, en la óblast de Pskov. Se graduó de laUniversidad Estatal de San Petersburgo, donde empezó a ejercer en 1920 de profesor. A partir de 1934 fue directordel Instituto Steklov de Matemáticas, un cargo que conservó el resto de su vida, exceptuando el quinquenio1941–1946, en que el instituto fue dirigido por el académico Sergéi Lvóvich Sóbolev.

Contribuciones matemáticasEn teoría analítica de números, el método de Vinográdov se refiere a su principal técnica para resolver problemas queempleó en problemas sobre la estimación de sumas exponenciales. En su forma más básica, se emplea para estimarsumas sobre los números primos, o sumas de Weyl. Es una reducción de una suma complicada a numerosas sumasmás pequeñas que después se simplifican. La forma canónica para calcular sumas sobre números primos es

Gracias a este método, Vinográdov se empleó en problemas tales como la conjetura débil de Goldbach en 1937 (enla que usó el teorema de Vinográdov), y la región libre de ceros de la función zeta de Riemann. Vinográdov loempleó de forma inimitable. Comparándolo con técnicas posteriores, el método de Vinográdov se puede considerarun prototipo del método de la gran criba. En algunos casos, sus resultados no fueron sometidos a mejora algunadurante décadas.Vinográdov también se valió de esta técnica en el problema de los divisores de Dirichlet, permitiéndole estimar elnúmero de puntos naturales bajo una curva arbitraria. Este trabajo fue una mejora del de Georgi Voronói.

Page 136: Mates Discretas +

Iván Vinográdov 132

Aspectos políticos e institucionalesVinográdov fue un oficial del Partido Comunista.

CondecoracionesPor su labor recibió numerosos reconocimientos: fue galardonado con la medalla Lomonósov (el más altoreconocimiento científico soviético) en 1970, dos veces fue proclamado Héroe de la Unión Soviética y cinco vecesrecibió la Orden de Lenin. Fue admitido en la London Mathematical Society en 1939 y en la Royal Society en 1942.

Bibliografía• Selected Works, Berlin ; New York : Springer-Verlag, 1985, ISBN 0-387-12788-7• Vinogradov, I.M. Elements of Number Theory. Mineola, Nueva York: Dover Publications, 2003, ISBN

0-486-49530-2• Vinogradov, I.M. Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. Mineola, NY: Dover Publications,

2004, ISBN 0-486-43878-3• Vinogradov I.M. (Ed.) Matematicheskaya entsiklopediya. Moscú: Sov. Entsiklopediya 1977. Traducido al inglés

como Encyclopaedia of Mathematics.

Cribado grandeEn matemáticas, la criba grande, cribado grande o gran criba es un método en teoría analítica de números. Comosu nombre lo dice, esta se ha desarrollado en teoría de cribas, cribando una secuencia de enteros por condiciones decongruencia módulo primos en el cual un número relativamente grande de clases residuales para cada módulo sonexcluidas. Esto es, una gran criba, donde una proporción de clases residuales son tachadas, en principio es distingidapor una pequeña criba, en la cual quizas sólo una simple clase residual para un módulo dado es excluida de elconjunto a cribar. Como es típico en la teoría de cribas, todo esto toma lugar en un rango de valores para losparámetros en el cual se hacen fáciles los casos donde el teorema chino del resto nos da estimativos asintóticos.

HistoriaLa reciente historia de el cribado grande se remonta al trabajo hecho por Yu. B. Linnik, en 1941, trabajando sobre elproblema de el mínimo no residuo cuadrático. Subsecuentemente Alfréd Rényi trabajó sobre esto, usando métodosprobabilísticos. Dos décadas después, luego de un número de contribucioes de otros matemáticos, el cribado grandefue formulado de manera definitiva. Esto ocurrió a comienzos de los 60, en trabajos independientes de Klaus Roth yEnrico Bombieri. La naturaleza de la desigualdad principal, fruto de el cribado grande, se empezó a enteder de unamejor manera: este relaciona una suma exponencial evaluada en puntos del círculo unitario, que están en un sentido'bien distribuídos' (medidos por una distancia mínima), y el tipo de desigualdad es derivado de el principio deloperador normal de una matrix de caracteres sobre el círculo, evaluado en un conjunto finito de puntos, el cual esigual a la norma de el operador adjunto.

Page 137: Mates Discretas +

Cribado grande 133

DesarrolloEl cribado grande asegura que, dado un conjunto B finito no vacío de enteros, dado el conjunto de potencias deprimos. Suponga que para alguna función

Defina

entonces, si se cumple

Tenemos la desigualdad

donde es la función de von Mangoldt. Esta última se le atribuye a Gallagher

Véase•• Teoría de cribas• Teorema de Bombieri–Vinográdov

Referencias• Alina Carmen Cojocaru; M. Ram Murty. An introduction to sieve methods and their applications. London

Mathematical Society Student Texts. 66. Cambridge University Press. pp. 135–155. ISBN 0-521-61275-6.• Harold Davenport (2000). Multiplicative Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 74 (3rd ed. edición).

Springer-Verlag. ISBN 0-387-95097-4.• Christopher Hooley (1976). Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge University Press.

pp. 17–20. ISBN 0-521-20915-3.• Emmanuel Kowalski (2008). The Large Sieve and its Applications. Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge

University Press. ISBN 9780521888516.• Gérald Tenenbaum (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge studies in

advanced mathematics. 46. Cambridge University Press. pp. 62–73. ISBN 0-521-41261-7.

Page 138: Mates Discretas +

Teoría de cribas 134

Teoría de cribasLa teoría de cribas es un conjunto de técnicas generales en teoría de números, diseñadas para contar o estimar eltamaño de un conjunto de números enteros. El ejemplo primordial de un conjunto tamizado es conjunto de númerosprimos menores iguales a x. Correspodientemente, el ejemplo primordial es la criba de Eratóstenes, o más general, lacriba de Legendre. El ataque directo sobre los números primos usando estos métodos muestra obstáculosaparentemente insuperables, en el camino de la acumulación de términos de errores.Un resultado exitoso es la aproximación de un conjunto tamizado en específico (por ejemplo, el conjunto de númerosprimos) por otro conjunto simple (por ejemplo, el conjunto de los números casi primos), que suele ser un poco másgrande que el conjunto original y más fácil de analizar. Cribas más sofisticadas no trabajan directamente con elconjunto en si, sino que cuentan de acuerdo con funciones de peso cuidadosamente elegidas en el conjunto.

Tipos de cribasEntre las cribas modernas se encuentran la Criba de Brun, la criba de Atle Selberg y el cribado grande. Uno de losobjetivos generales de la teoría de cribas era la de tratar de aclarar las conjeturas en teoría de números, tales como laconjetura de los números primos gemelos. Aunque los objetivos originales no se han logrado, ha habido algunoséxitos parciales, especialmente en combinación con otras herramientas en teoría de números. Algunos aspectosdestacados son:1. Teorema de Brun, afirma que la suma de los inversos de los números primos gemelos converge (en contraste a

la suma de los inversos de los números primos, que diverge)2. Teorema de Chen, nos dice que existen infinitos números primos p tales que p+2 es primo o semiprimo (el

producto de dos primos). Este teorema está muy relacionado al teorema que dice que todo número parsuficientemente grande es la suma de dos primos o un primo y un semiprimo.

3. Lema fundamental de la teoría de cribas, afirma (de una manera aproximada) que si uno está cribando unconjunto de N números, entonces uno puede estimar el números de elementos restantes después de iteraciones para n suficientemente pequeño (fracciones de hasta 1/10 son típicas aquí). Este lema resulta por logeneral demasiado débil para cribar primos (algo que por lo general requiere unas iteraciones), pero puedeser suficiente para obtener resultados concernientes a los números casi primos.

4. Teorema de Bomberi-Friedlander-Iwaniec, afirma que hay infinitos números primos de la forma .

Métodos y técnicasLas técnicas de teoría de cribas pueden ser muy poderosas, pero parece ser limitado por un problema llamadoparidad, este problema asegura que dado un conjunto cuyos elementos son todos producto de un número par (oimpar) de factores primos, los métodos de teoría de cribas no están en condiciones para dar comportamientosasintóticos no triviales, de dicho conjunto.Comparado con otros métodos en teoría de números, la teoría de cribas es comparativamente elemental, en elsentido de que no es necesario requerir de conceptos sofisticados, bien sea de teoría algebraica de números o teoríaanalítica de números. Sin embargo las más avanzadas cribas pueden ser muy delicadas e intrigadoras (especialmentecuando combina técnicas de teoría de números) y muchos textos de la teoría de números se han dedicado a estesubcampo.

Page 139: Mates Discretas +

Teoría de cribas 135

Bibliografía• Cojocaru, Alina Carmen; Murty, M. Ram (2006), An introduction to sieve methods and their applications,

London Mathematical Society Student Texts, 66, Cambridge University Press, ISBN 0521848164.• H. Halberstam and H. E. Richert. Sieve Methods. London: Academic Press, 1974. ISBN 0-12-318250-6.• Terence Tao. Open question: The parity problem in sieve theory, (http:/ / terrytao. wordpress. com/ 2007/ 06/ 05/

open-question-the-parity-problem-in-sieve-theory)

Criba de EratóstenesLa criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos losnúmeros primos menores que un número natural dado N. Se forma unatabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y N y sevan tachando los números que no son primos de la siguiente manera:cuando se encuentra un número entero que no ha sido tachado, esenúmero es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos.El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmadocomo primo es mayor que N.

Pseudocódigo

Algoritmo Criba de Eratóstenes (Complejidad )

Entrada: Un número natural

Salida: El conjunto de números primos anteriores a (incluyendo )

1. Escriba todos los números naturales desde hasta 2. Para desde hasta haga lo siguiente:

1. Si no ha sido marcado entonces:de dos en dos asi sucesivamente

1. Para desde hasta haga lo siguiente:

1. Ponga una marca en 3. El resultado es: Todos los números sin marca

Acerca de la notación:

• es la función parte entera de • es el cociente de dividir entre Para su implementación en una computadora, normalmente se maneja un vector de tipo lógico con elementos. Deesta manera, la posición contiene el valor Verdadero como representación de que ha sido marcado y Falso enotro caso.

Page 140: Mates Discretas +

Criba de Eratóstenes 136

CódigoEn lenguaje Haskell

eratostenes :: [Int] -> [Int] -- Criba de eratostenes (de una lista dada

[2..n] t deja solo los numeros primos)

eratostenes [] = []

eratostenes (x:xs) | not (null xs) && x^2 > last xs = (x:xs)

| otherwise = x: eratostenes [y | y <- xs, y `mod` x /= 0]

En lenguaje Python

#!/usr/bin/python

nums=[]

prims=[]

num=input(">>> ")

for i in range(2, num+1):

nums.append(i)

while nums != []:

n=nums[0]

prims.append(n)

n=(float(n))

for j in nums:

if ((j % n ) == 0.0):

nums.remove(j)

print prims

En Lenguaje de programación Ada

procedure Eratosthenes(Result : out Integer) is

size : constant := 8190;

k, prime : Natural;

count : Integer;

type Ftype is array (0 .. Size) of Boolean;

Flags : Ftype;

begin

for Iter in 1 .. 10 loop

count := 0;

for i in 0 .. size loop

Flags (i) := True;

end loop;

for i in 0 .. size loop

if Flags (i) then

prime := i + i + 3;

k := i + prime;

Page 141: Mates Discretas +

Criba de Eratóstenes 137

while k <= size loop

Flags (k) := False;

k := k + prime;

end loop;

count := count + 1;

end if;

end loop;

end loop;

Result := count;

end Eratosthenes;

En lenguaje Basic

defint a-z

size=50

dim flags(50)

for i=2 to size

flags(i)=-1

next

for i=2 to sqr(size)

if flags(i) then

for k=i*i to size step i

flags(k)=0

next

end if

next

for i=0 to size

if flags(i) then print i;

next

print

En lenguaje Bash

#!/bin/bash

UPPER_LIMIT=$1

let SPLIT=UPPER_LIMIT/2

Primes=( '' $(seq $UPPER_LIMIT) )

i=1

until (( ( i += 1 ) > SPLIT ))

do

if [[ -n $Primes[i] ]]; then

t=$i

until (( ( t += i ) > UPPER_LIMIT ))

do

Page 142: Mates Discretas +

Criba de Eratóstenes 138

Primes[t]=

done

fi

done

echo ${Primes[*]}

exit 0

En lenguaje C

void criba(unsigned char m[], int tam){

int i, h;

m[0] = 0;

m[1] = 0;

for(i = 2; i <= tam; ++i) m[i] = 1;

for(i = 2; i*i <= tam; ++i) {

if(m[i]) {

for(h = 2; i*h <= tam; ++h)

m[i*h] = 0;

}

}

}

En lenguaje C++

void criba(bool m[], int tam){

m[0] = false;

m[1] = false;

for(int i = 2; i <= tam; ++i) m[i] = true;

for(int i = 2; i*i <= tam; ++i) {

if(m[i]) {

for(int h = 2; i*h <= tam; ++h)

m[i*h] = false;

}

}

}

En lenguaje Fortran

top = 50

logical*2 flags(top)

integer*2 i,j,k,count,iter,prime

n = long(362)

do 92 iter = 1,10

count=0

i=0

Page 143: Mates Discretas +

Criba de Eratóstenes 139

do 10 i = 1,top

10 flags(i) = .true.

do 91 i = 1,top

if (.not. flags(i)) go to 91

prime = i + i + 3

count = count + 1

k = i + prime

if (k .gt. top) go to 91

do 60 j = k, top, prime

60 flags(j) = .false.

91 continue

92 continue

write (9,*) count," primes in ",(long(362)-n)/60.0," seconds "

pause

end

En Lenguaje de programación Java

import java.util.ArrayList;

import java.util.List;

public class EratostenesMejorado {

public static void main(String[] args) {

int n = Integer.parseInt(args[0]);

int tope = (int) Math.floor(Math.sqrt(n)) + 1;

List<Long> compuestos = new ArrayList<Long>();

int pos = 0;

for (int i = 2; i <= tope; i++) {

if (!compuestos.contains(Long.valueOf(i))) {

for (int j = i; j <= n / i + 1; j++)

compuestos.add(Long.valueOf(i * j));

}

}

int c = 0;

for (pos = 2; pos < n; pos++) {

if (!compuestos.contains(Long.valueOf(pos)))

System.out.println(++c + ": " + pos);

}

}

}

En Lenguaje de programación Java (Opcion 2 JAOC USC)

import java.util.ArrayList;

import java.util.Scanner;

Page 144: Mates Discretas +

Criba de Eratóstenes 140

import java.util.List;

public class CribaDeEratostenes_NumerosPrimos {

List<Integer> num = new ArrayList<Integer>();

public void llenarVector(int numFinal) {

if(numFinal==0)

System.out.println("\n\n********** Gracias

**********");

else if (numFinal>=3)

{

int n = 3;

do {

num.add(n);

n = n + 2;

} while (n <= numFinal);

System.out

.println("\n****** Listado de numeros

impares a partir del 3 ******\n");

for (int i = 0; i < num.size(); i++)

System.out.println(i + 1 + " : " + num.get(i));

primos();

}

else

System.out.println("\n\n********** El numero a

digitar debe ser mayor que 2 **********\n\n");

}

public void primos() {

List<Integer> numSelect = new ArrayList<Integer>();

int aux;

int i = 0;

do {

aux = num.get(i);

if (aux != 0 && numSelect.contains(aux) == false) {

numSelect.add(aux);

int z = i;

for (z = i + aux; z < num.size(); z = z + aux) {

// System.out.println("Z : "+z+" num =

"+num.get(z)+" N = "+aux);

num.set(z, 0);

}

// System.out.println("i = "+i);

Page 145: Mates Discretas +

Criba de Eratóstenes 141

}

i++;

} while (i < num.size());

System.out

.println("\n"

+ "****************** RESULTADOS

==>> NUM. PRIMOS ******************"

+ "\n");

int y = 1;

for (int t = 0; t < num.size(); t++) {

if (num.get(t) != 0) {

System.out.println(y + " : " + num.get(t));

y++;

}

}

}

public static void main(String[] Args) {

Scanner ingreso = new Scanner(System.in);

int numLimite;

do

{

System.out.println("Para salir escribe 0");

System.out.println("Numeros primos desde 3 hasta: ");

numLimite = Integer.parseInt(ingreso.nextLine());

CribaDeEratostenes_NumerosPrimos p = new

CribaDeEratostenes_NumerosPrimos();

p.llenarVector(numLimite);

}while(numLimite!=0);

}

}

En Lenguaje de programación Pascal

program Eratosthenes;

const N=1000;

var a:ARRAY[1..N] of boolean;

i,j,m:word;

Page 146: Mates Discretas +

Criba de Eratóstenes 142

begin

for i:=1 TO N do A[i]:=TRUE;

m:=trunc(sqrt(N));

for i:=2 to m do

if a[i] then for j:=2 to N DIV i do a[i*j]:=FALSE;

for i:=1 to N do if a[i] then write(i:4);

end.

En lenguaje Perl

#!/usr/bin/perl

$n = 50;

for ( $i=1; $i<=$n; $i++ ) {

$p[$i] = $i;

}

$k = int( sqrt($n) );

$i=2;

while ( $i <= $k ) {

while ( $p[ $i ] == 0 ) {

$i ++;

}

for ( $j=2; $j<=$n; $j++ ) {

$a = $i * $j;

$p[ $a ] = 0;

}

$i++;

}

for ( $i=1; $i<=$n; $i++ ) {

if ( $p[$i] != 0 ) {

printf ( "%d\n", $p[$i] );

}

}

En lenguaje PHP

function eratosthenes($n)

{

$all=array();

$prime=1;

echo 1," ",2;

$i=3;

while($i<=$n)

{

if(!in_array($i,$all))

{

echo " ",$i;

$prime+=1;

$j=$i;

Page 147: Mates Discretas +

Criba de Eratóstenes 143

while($j<=($n/$i))

{

array_push($all,$i*$j);

$j+=1;

}

}

$i+=2;

}

echo "\n";

return;

}

eratosthenes(50);

En lenguaje Ruby

top = Integer(ARGV.shift || 100)

sieve = []

for i in 2 .. top

sieve[i] = i

end

for i in 2 .. Math.sqrt(top)

next unless sieve[i]

(i*i).step(top, i) do |j|

sieve[j] = nil

end

end

puts sieve.compact.join " "

En lenguaje Visual Basic .NET

Module Eratosthenes

Sub Main()

Dim number As Integer

number = 20

Dim IsPrime(number) As Boolean

For i As Integer = 2 To number

If IsPrime(i - 1) = False Then

For j As Integer = i To number / i

IsPrime((i * j) - 1) = True

Next

End If

Next

For x As Integer = 1 To number - 1

Page 148: Mates Discretas +

Criba de Eratóstenes 144

If IsPrime(x) = False Then

Console.WriteLine(x + 1)

End If

Next

End Sub

End Module

RefinamientoUna implementación más eficiente requiere crear un arreglo con solo los impares (pues los pares distintos de 2 ya sesabe que no son primos). En este caso se deben tachar los múltiplos impares de 3,4,5,7

Los múltiplos impares del primo son . Debemos tachar desde enadelante pues siempre se empieza a tachar desde . Note que si entonces el primer múltiplo de

es .Si corresponde tachar los múltiplos del primo ésimo , se inicia en pues antes de , ya se han tachado

(los pares), (los múltiplos de 3), ,..., .Así, si ya no habría algo que tachar, por eso terminamos ahí el programa.En la implementación se usa un arreglo "esPrimo()" tipo boolean. Aquí, "esPrimo(i)" representa al número impar

.

Note que si entonces está representado por "esPrimo((p-3)/2)".Así, si se sabe que es primo, sus múltiplos (impares) no son primos, es decir, debemos poner"esPrimo(((2k+1)p-3)/2)=false, k=i+1,i+2,..."

En la implementación iniciamos con el arreglo "esPrimo()" con todas sus entradas true. Iniciando en ,ponemos "esPrimo(((2k+1)3-3)/2)=false, k=0+1,0+2,..." y así sucesivamente: para cada nuevo primeropreguntamos si "esPrimo(i)=true", si es así, "tachamos" sus múltiplos poniendo la respectiva entrada "false".La siguiente función, en VBA, es una función que recibe y devuelve un arreglo con los primos (ver másdetalles en la segunda referencia)

Function ERATOSTENES(n) As Long()

Dim i, j, k, pos, contaPrimos

Dim max As Long

Dim esPrimo() As Boolean

Dim Primos() As Long

max = (n - 3) \ 2 ' División entera

ReDim esPrimo(max + 1)

ReDim Primos(max + 1)

For i = 0 To max

esPrimo(i) = True

Next i

contaPrimos = 0

Primos(0) = 2 'contado el 2

j = 0

While (2 * j + 3) <= n\(2 * j + 3)

k = j + 1

If esPrimo(j) Then

While (2 * k + 1) <= n\(2 * j + 3)

pos = ((2 * k + 1) * (2 * j + 3) - 3) \ 2

Page 149: Mates Discretas +

Criba de Eratóstenes 145

esPrimo(pos) = False

k = k + 1

End While

End If

j = j + 1

End While

For i = 0 To max

If esPrimo(i) Then

contaPrimos = contaPrimos + 1 '3,5,...

Primos(contaPrimos) = 2 * i + 3

End If

Next i

ReDim Preserve Primos(contaPrimos) 'Cortamos el vector

ERATOSTENES = Primos()

End Function

En Lenguaje de Programación Java

import javax.swing.JOptionPane;

public class Erastostenes

{

public static void main( String args[] )

{

// Contribución de David Jesús ( UNMSM - FISI )

int N = Integer.parseInt( JOptionPane.showInputDialog( "Limite

superior :" ) );

int k, pos;

int numMaxPrimos = ( N - 3 ) / 2 ;

int numPrimos = 0;

int[] Primos = new int[ numMaxPrimos + 1 ];

boolean[] esPrimo = new boolean[ numMaxPrimos + 1 ];

for( int i = 0; i < numMaxPrimos; i ++ )

esPrimo[ i ] = true;

for( int i = 0; i*i < N; i ++ )

{

k = i + 1;

if( esPrimo[ i ] )

{

for( k = i + 1; ( 2 * k + 1 ) * ( 2 * i + 3 ) <= N; k ++ )

{

pos = ( ( 2 * k + 1 ) * ( 2 * i + 3 ) - 3 ) / 2;

esPrimo[ pos ] = false;

Page 150: Mates Discretas +

Criba de Eratóstenes 146

}

}

}

// Mostramos y a la vez guardamos los numeros primos en el vector

Primos[ 0 ] = 2;

System.out.print( " 2" );

for( int i = 0; i <= numMaxPrimos; i ++ )

{

if( esPrimo[ i ] )

{

numPrimos ++;

Primos[ numPrimos ] = 2 * i + 3;

System.out.print( " " + Primos[ numPrimos ] );

}

}

}

}

Referencias• Samuel Horsley (1772). « . or, The Sieve of Eratosthenes. Being an

Account of His Method of Finding All the Prime Numbers, by the Rev. Samuel Horsley, F. R. S. [1]».Philosophical Transactions (1683-1775) 62.

• Walter Mora F.. «Criba de Eratóstenes [2]». Revista digital Matemática: Educación e Internet 7 (2).

Referencias[1] http:/ / links. jstor. org/ sici?sici=0260-7085(1772)62%3C327%3AOTSOEB%3E2. 0. CO%3B2-5[2] http:/ / www. cidse. itcr. ac. cr/ revistamate/ HERRAmInternet/ Criba/ Criba. pdf

Page 151: Mates Discretas +

Conjetura de los números primos gemelos 147

Conjetura de los números primos gemelosDos números primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro más dos unidades. Así pues, los númerosprimos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos. Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 ó 29 y31.Conforme se van considerando primos más grandes la frecuencia de aparición de pares de primos gemelos vadisminuyendo, pero aun así se ha visto computacionalmente que siguen surgiendo pares de primos gemelos aun entrenúmeros de tamaños enormes.La conjetura de los primos gemelos postula la existencia de infinitos pares de primos gemelos. Dado que es unaconjetura, está todavía sin demostrar.

Existe un número infinito de primos p tales que p + 2 también es primo.

La conjetura ha sido investigada por muchos teóricos de números. La mayoría de matemáticos cree que la conjeturaes cierta, y se basan en evidencias numéricas y razonamientos heurísticos sobre la distribución probabilística de losnúmeros primos.En 1849, Alphonse de Polignac formuló una conjetura más general según la cual, para todo número natural k existeninfinitos pares de primos cuya diferencia es 2·k. El caso k=1 es la conjetura de los números primos gemelos.

Resultados parcialesEn 1940, Erdös mostró que existe una constante c < 1 e infinitos primos p tales que p - p < c·ln(p), donde p denota elnúmero primo que sigue a p. Este resultado fue mejorado sucesivamente: en 1986 Maier mostró que podía emplearseuna constante c < 0,25. Daniel Goldston, János Pintz y Cem Yildirim lograron un gran avance en 2005 al probar queel resultado es válido para toda constante c>0.En 1973, Jing-run Chen publicó una prueba que existen infinitos números primos p tales que p+2 es un producto de,a lo más, dos factores primos. Para conseguir este resultado se basó en la llamada teoría de cribas, y consiguió tratarla conjetura de los primos gemelos y la conjetura de Goldbach de forma similar.

Conjetura de Hardy-LittlewoodTambién existe una generalización de la conjetura de los primos gemelos, conocida como la conjetura deHardy-Littlewood, sobre la distribución de los primos gemelos, de forma análoga al teorema de los númerosprimos. Denótese como π2(x) el número de primos p menores que x tales que p+2 también es primo. Defínase laconstante de los números primos C2 como el siguiente producto de Euler

para primos mayores o iguales que tres. La conjetura dice que:

en el mismo sentido en que el cociente de las dos expresiones tiende a 1 cuando x tiende a infinito.Esta conjetura puede justificarse (pero no demostrarse) si se supone, informalmente hablando, que el evento que n nosea divisible por p y el evento que n+2 no sea divisible por p son estadísticamente dependientes sólo en la medidaque el hecho que n no sea divisible por p hace que p|n+2 sea un evento entre p-1 eventos igualmente probables, y noun evento entre p eventos igualmente probables. La evidencia numérica que hay detrás de la conjetura deHardy-Littlewood es ciertamente impresionante.

Page 152: Mates Discretas +

Conjetura de los números primos gemelos 148

Enlaces externos• Caldwell, Chris. «The Top Twenty: Twin Primes [1]» (en inglés). The Prime Pages. Universidad de Tennessee.• Weisstein, Eric W. «Twin Primes [2]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Introduction to Twin Primes and Brun's Constant [3]

Referencias[1] http:/ / primes. utm. edu/ top20/ page. php?id=1[2] http:/ / mathworld. wolfram. com/ TwinPrimes. html[3] http:/ / numbers. computation. free. fr/ Constants/ Primes/ twin. html

Números primos gemelosEn matemáticas, y más concretamente en teoría de números, dos números primos (p, q) son números primosgemelos si están separados por una distancia de 2, es decir, si .Todos los números primos, excepto el 2, son impares. Los únicos dos números primos consecutivos son el 2 y el 3.La cuestión surge de encontrar dos números primos que sean impares consecutivos, es decir que se hallen a unadistancia de 2. El primero en llamarlos así fue Paul Stäckel.

PropiedadesA partir del par (5, 7), el número intermedio es siempre múltiplo de 6, por ende de 2 y de 3.Se sabe que la suma de los inversos de todos los números primos gemelos converge a un número,

A esta constante se le conoce como constante de Brun. Esto contrasta con la suma de los inversos de todos losprimos, que diverge.Se ha demostrado que el par n, n + 2 es de números primos gemelos si y sólo si:

Distribución de los números primos gemelosNo se sabe si existen infinitos números primos gemelos, aunque se cree ampliamente que sí. Éste es el contenido dela conjetura de los números primos gemelos. Una forma fuerte de la conjetura de los números primos gemelos, laconjetura de Hardy-Littlewood, postula una ley de distribución de los números primos gemelos similar al teorema delos números primos:

donde C2 es la constante de los números primos gemelos, definida mediante el siguiente producto de Euler:

Los números primos gemelos más grandes conocidos son el par 2003663613 · 2195000 - 1 y 2003663613 · 2195000 +1, que tienen 58711 dígitos.[1] Fueron descubiertos en 2007 por Vautier, McKibbon, Gribenko et al.Anteriormente, el par 100314512544015 · 2171960 - 1 y 100314512544015 · 2171960 + 1, que tiene 51.780 dígitos[2] y fue descubierto en el 2006 por los matemáticos húngaros: Zoltán Járai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, Janos Kasza y

Page 153: Mates Discretas +

Números primos gemelos 149

Antal Járai.

Duplas de primos gemelosHay 35 duplas de números primos gemelos entre los números enteros menores que 1000 y son (A077800):(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151),(179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421),(431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823),(827, 829), (857, 859), (881, 883).

Referencias[1] The Prime Pages (http:/ / primes. utm. edu/ bios/ code. php?code=x24) - el mayor par conocido de primos gemelos[2] The Prime Pages (http:/ / primes. utm. edu/ top20/ page. php?id=1)

Enlaces externos• Weisstein, Eric W. « Twin Primes (http:/ / mathworld. wolfram. com/ TwinPrimes. html)» (en inglés).

MathWorld. Wolfram Research.

Constante de BrunLa constante de Brun, B2, es el valor al que converge la suma de los inversos de los números primos gemelos:

En 1919 Viggo Brun demostró la convergencia de la serie. Esto contrasta con el hecho de que la suma de losinversos de todos los números diverge. Si la serie de Brun fuera divergente, demostraría la infinidad de los primosgemelos (conjetura de los números primos gemelos), pero como es convergente no es posible tal demostración.Calculando los primos gemelos hasta 1014 (y al mismo tiempo descubriendo el error de división del Intel Pentium),Thomas Nicely estimo la constante de Brun en 1,902160578. La mejor estimación hasta la actualidad es la de PascalSebah y Patrick Demichel publicada en el año 2002, con todos los primos gemelos hasta 1016:

B2 ≈ 1,902160583104También existe la constante de Brun por primos cuádruples. Un primo cuádruple es una pareja de primos gemelosseparados por 4 unidades (la distancia más pequeña posible). Los primeros primos cuádruples son (5, 7, 11, 13), (11,13, 17, 19) y (101, 103, 107, 109). Esta constante, B4, es la suma de los inversos de todos los primos cuádruples:

con un valor de:B4 = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005

Page 154: Mates Discretas +

Constante de Brun 150

Enlaces externos• Artículo sobre los números primos gemelos y la Constante de Brun [1] (en inglés)• Cálculo de la constante de Brun [3] (en inglés)

Referencias[1] http:/ / www. trnicely. net/ twins/ twins2. html

Ley de Hardy-Weinberg

El principio de Hardy-Weinberg para dos alelos: el eje horizontal muestra las dosfrecuencias alélicas p y q, el eje vertical muestra la frecuencia de los genotipos y los tres

posibles genotipos se representan por los distintos glifos.

En genética de poblaciones, elprincipio de Hardy-Weinberg (PHW)(también equilibrio deHardy-Weinberg, ley deHardy-Weinberg o caso deHardy-Weinberg ) establece que lacomposición genética de una poblaciónpermanece en equilibrio mientras noactúe la selección natural ni ningún otrofactor y no se produzca ningunamutación. Es decir, la herenciamendeliana, por sí misma, no engendracambio evolutivo. Recibe su nombredel matemático inglés G. H. Hardy ydel médico alemán Wilhelm Weinberg,que establecieron el teoremaindependientemente en 1908.[1]

En el lenguaje de la genética depoblaciones, la ley de Hardy-Weinbergafirma que, bajo ciertas condiciones, tras una generación de apareamiento al azar, las frecuencias de los genotipos deun locus individual se fijarán en un valor de equilibro particular. También especifica que esas frecuencias deequilibrio se pueden representar como una función sencilla de las frecuencias alélicas en ese locus. En el caso mássencillo, con un locus con dos alelos A y a, con frecuencias alélicas de p y q respectivamente, el PHW predice que lafrecuencia genotípica para el homocigoto dominante AA es p2, la del heterocigoto Aa es 2pq y la del homocigotorecesivo aa, es q2. El principio de Hardy-Weinberg es una expresión de la noción de una población que está en"equilibrio genético", y es un principio básico de la genética de poblaciones.

Page 155: Mates Discretas +

Ley de Hardy-Weinberg 151

SuposicionesLas suposiciones originales del equilibrio de Hardy-Weinberg (EHW) eran que el organismo en consideración:• Sea diploide, y el carácter en consideración no esté en un cromosoma que tiene un número distinto de copias en

cada sexo, como el cromosoma X en los humanos (es decir, que el carácter sea autosómico)• Se reproduzca sexualmente, bien monoicamente o dioicamente•• Tenga generaciones discretasAdemás, la población en consideración está idealizada, esto es:•• Existe apareamiento aleatorio en la población (a este tipo de población se le conoce como "población

panmíctica")• Tiene un tamaño infinito (o lo bastante grande para minimizar el efecto de la deriva genética)y no experimenta:•• Selección•• Mutación• Migración (flujo genético)El primer grupo de suposiciones son un requisito de las matemáticas implicadas. Es relativamente sencillo expandirla definición del EHW para que incluya modificaciones de estas suposiciones, por ejemplo las de los caracteresligados al sexo. Las otras suposiciones son inherentes al principio de Hardy-Weinberg.Cuando se discuten varios factores, se utiliza una población de Hardy-Weinberg como referencia. No essorprendente que estas poblaciones sean estáticas.

DerivaciónUna mejor, aunque equivalente, descripción probabilística del PHW es que los alelos de la siguiente generación paracualquier individuo se eligen aleatoria e independientemente unos de otros. Consideremos dos alelos A y a confrecuencias en la población de p y q respectivamente. Las distintas maneras de formar nuevos genotipos se puedenderivar utilizando un cuadro de Punnett, por el que la fracción en cada celda es igual al producto de lasprobabilidades de la fila y la columna.

Tabla 1: Cuadrado de Punnett para el equilibrio de Hardy-Weinberg

Hembras

A (p) a (q)

Varones A (p) AA (p2) Aa (pq)

a (q) Aa (pq) aa (q2)

Las tres posibles frecuencias genotípicas finales de la descendencia son:

•••Estas frecuencias se llaman frecuencias de Hardy-Weinberg (o proporciones de Hardy-Weinberg). Esto se consigueen una generación, y solo hace falta suponer un apareamiento aleatorio en una población de tamaño infinito.A veces una población se crea juntando machos y hembras con distintas frecuencias alélicas. En este caso, lasuposición de una sola población queda violada hasta la siguiente generación, de manera que la primera generaciónno tendrá equilibrio de Hardy-Weinberg. Las generaciones sucesivas sí tendrán equilibrio de Hardy-Weinberg.

Page 156: Mates Discretas +

Ley de Hardy-Weinberg 152

EjemploA continuación se ejemplifica la ley de Hardy-Weinberg a partir de un ejemplo real: la enfermedad metabólicahereditaria fenilcetonuria.[2]

Los niños con fenilcetonuria no pueden procesar la fenilalanina, un aminoácido de las proteínas, por lo que lafenilalanina se acumula en la sangre causando daños cerebrales y retraso mental. Esta enfermedad es provocada porun gen recesivo cuando se da una situación de homocigosis aa. Siendo p la frecuencia del alelo sano y q la del alelo"defectuoso", calcularemos la incidencia de los portadores de la combinación aa.Si realizamos un cruzamiento de dos portadores Aa, en donde permanece oculto el gen recesivo, los genotiposobtenidos en la siguiente generación serán los siguientes:

A (p) a (q)

A (p) AA (p²) Aa (pq)

a (q) Aa (pq) aa (q²)

Los tres genotipos AA : Aa : aa aparecen en una relación p² : 2pq : q². Si las sumamos, obtenemos la unidad:p² + 2pq + q² = (p + q)² = 1.La frecuencia de los genotipos enfermos de fenilcetonuria es de un 0,0001, un valor correspondiente a q². Lafrecuencia q del gen a será la raíz cuadrada de 0,0001, es decir, 0,01. La enfermedad tiene una incidencia de 1 cada10.000 individuos, pero la frecuencia del gen es 100 veces mayor, 1 cada 100. Los genes a se encuentran en el parAa con una frecuencia2pq = 2q(1 - q) = 2· 0,01·(1 - 0,01) = 0,0198.Cerca de un 2% de los individuos de la población europea porta, por lo tanto, este gen en el par Aa, lo que da unaidea de lo persistente que puede llegar a ser un gen recesivo manteniéndose "clandestino" en heterocigosidad.

Desviaciones del equilibrio de Hardy-WeinbergLas violaciones de las suposiciones de Hardy-Weinberg pueden causar desviaciones de los valores esperados. Cómoafecta esto a la población depende de las suposiciones que son violadas.• Apareamiento aleatorio. El PHW establece que la población tendrá las frecuencias genotípicas especificadas

(llamadas proporciones de Hardy-Weinberg) tras una generación de apareamiento aleatorio dentro de lapoblación. Cuando suceden violaciones de este requisito, la población no tendrá proporciones deHardy-Weinberg. Tres de estas violaciones son:• Endogamia, que provoca un aumento de la homocigosidad en todos los genes.• Emparejamiento selectivo, que causa un aumento en la homocigosidad de los genes implicados en el carácter

que se está seleccionando para el apareamiento (y de los genes que están en desequilibrio de ligamiento conellos).

• Población de poco tamaño, que causa un cambio aleatorio en las frecuencias genotípcas, especialmente si lapoblación es muy pequeña. Esto es debido al efecto de muestreo, y se llama deriva genética.

Las demás suposiciones afectan a las frecuencias alélicas, pero no afectan por sí mismas al apareamiento aleatorio.Si una población viola alguna de estas, la población seguirá teniendo proporciones de Hardy-Weinberg en cadageneración, pero las frecuencias alélicas cambiarán con esa fuerza.• La selección, en general, hace que cambien las frecuencias alélicas, a menudo con mucha rapidez. Aunque la

selección direccional conduce finalmente a la pérdida de todos los alelos excepto el favorecido, algunas formas deselección, como la selección estabilizadora, conducen a un equilibrio sin pérdida de alelos.

• La mutación tendrá un efecto muy sutil en las frecuencias alélicas. Los ritmos de mutación son del orden de 10-4 a 10-8 y el cambio en las frecuencias alélicas será, como mucho, del mismo orden. Las mutaciones recurrentes

Page 157: Mates Discretas +

Ley de Hardy-Weinberg 153

mantendrán a los alelos en la población, aunque haya una fuerte selección en contra de ellos.• La migración enlaza genéticamente dos o más poblaciones. En general, las frecuencias alélicas se harán más

homogéneas entre las dos poblaciones. Algunos modelos de migración incluyen inherentemente el apareamientono aleatorio (el efecto Wahlund, por ejemplo). Para esos modelos, las proporciones de Hardy-Weinberg no seránválidas en general.

Más adelante se explica cómo afectan estas violaciones a las pruebas estadísticas formales del EHW.Desafortunadamente, las violaciones de las suposiciones del principio de Hardy-Weinberg no significa que lapoblación violará el EHW. Por ejemplo, la selección estabilizadora conduce a una población en equilibrio conproporciones de Hardy-Weinberg. Esta propiedad que enfrenta a la selección con la mutación es la base de muchasestimaciones del ritmo de mutación (equilibrio mutación-selección).

Ligamiento al sexoCuando el gen A está ligado al sexo, el sexo heterogamético (por ejemplo, los machos en mamíferos y las hembrasen las aves) solo tiene una copia del gen (y se llaman hemicigotos), mientras que el sexo homogamético (porejemplo, las hembras humanas) tiene dos copias. Las frecuencias genotípicas en equilibrio son y para el sexoheterogamético pero , y para el sexo homogamético.Por ejemplo, en humanos, el daltonismo es un carácter recesivo ligado al cromosoma X. En los hombres europeos, elcarácter afecta a 1 de cada 12 ( ), mientras que solo afecta a 1 de cada 200 mujeres ( , quecomparado con está muy cerca de las proporciones de Hardy-Weinberg).Si una población se junta con otra, con machos y hembras con distintas frecuencias alélicas, la frecuencia alélica dela población masculina seguirá a la de la población femenina, porque todos reciben su cromosoma X de su madre. Lapoblación converge hacia el equilibrio muy rápidamente.

GeneralizacionesLa derivación simple de arriba puede ser generalizada por más de dos alelos y poliplodio.

Generalización para más de dos alelos

Considerar una frecuencia de extra alelo, . El caso de dos alelos es la expansión binomial de , y así elcaso de tres alelos es la expresión trinómica de .

Más generalmente, considerar los alelos A1, ... An dado por la frecuencia de los alelos a ;

dado por todos los homozigotos:

y para todos los heterozigotos:

Page 158: Mates Discretas +

Ley de Hardy-Weinberg 154

Generalización para la poliploidíaEl principio de Hardy-Weinberg también se puede generalizar para sistemas poliploides, esto es, organismos quetienen más de dos copias de cada cromosoma. Consideremos de nuevo solo dos alelos. El caso diploide es laexpansión binomial de:

y por tanto el caso poliploide es la expansión binomial de:

donde c es la ploidía. Por ejemplo, con un tetraploide (c = 4):

Tabla 2: Frecuencias genotípicas esperadas para la tetraploidía

Genotipo Frecuencia

Dependiendo de si el organismo es un tetraploide 'verdadero' o un anfidiploide quedará determinado el tiemponecesario para que la población alcance el equilibrio de Hardy-Weinberg.

Generalización completa

La fórmula completamente generalizada es la expansión multinomial de :

AplicacionesEl principio de Hardy-Weinberg se puede aplicar de dos maneras: o bien se considera que una población tieneproporciones de Hardy-Weinberg, en cuyo caso se pueden calcular las frecuencias genotípicas, o si las frecuenciasgenotípicas de los tres genotipos son conocidas, se pueden comprobar las desviaciones que sean estadísticamentesignificativas.

Aplicación a casos de dominancia completaSupongamos que los fenotipos de AA y Aa son indistinguibles, es decir, existe una dominancia completa.Suponiendo que el principio de Hardy-Weinberg se aplica a la población, entonces todavía se puede calcular apartir de f(aa):

y se puede calcular a partir de . Y también una estimación de f(A) y f(Aa) derivadas de y respectivamente. Sin embargo, hay que tener en cuenta que no se puede comprobar el equilibrio de una poblaciónutilizando los tests de significancia siguientes, porque esta se asume a priori.

Page 159: Mates Discretas +

Ley de Hardy-Weinberg 155

Tests de significancia de la desviaciónLa comprobación de la desviación del PHW se suele llevar a cabo utilizando la prueba χ² de Pearson, utilizando lasfrecuencias genotípicas observadas que se han obtenido de los datos y las frecuencias genotípicas esperadasobtenidas mediante el PHW. Para los sistemas en los que hay un gran número de alelos, esto puede ofrecer datos conmuchos genotipos vacíos posibles y poca cantidad de genotipos, porque a menudo no hay suficientes individuos enla muestra para representar adecuadamente todas las clases genotípicas. Si este es el caso, entonces la suposiciónasintótica de la distribución chi-cuadrado no se sostendrá y puede ser necesario utilizar una forma de test exacto deFisher, que requiere de una computadora para su resolución.

Test de desviación χ2 de ejemploEstos datos son de E.B. Ford (1971) sobre la polilla Callimorpha dominula, de la que se registraron los fenotipos deuna muestra de la población. La distinción entre el genotipo y el fenotipo se considera insignificante. La hipótesisnula es que la población tiene proporciones de Hardy-Weinberg, y la hipótesis alternativa es que la población notiene proporciones de Hardy-Weinberg.

Tabla 3: Cálculo de ejemplo del principio de Hardy-Weinberg

Genotipo Manchas blancas (AA) Intermedia (Aa) Pocas manchas (aa) Total

Número 1469 138 5 1612

De la que se pueden calcular las frecuencias alélicas:

y

Por lo que los valores esperados de Hardy-Weinberg son:

La prueba χ² de Pearson establece que:

Page 160: Mates Discretas +

Ley de Hardy-Weinberg 156

Hay 1 grado de libertad (los grados de libertad para el test de las proporciones de Hardy-Weinberg son número defenotipos - número de alelos). El nivel de significancia para 1 grado de libertad es 3,84, y como este valor de χ2 esmenor, se acepta la hipótesis nula que decía que la población tiene proporciones de Hardy-Weinberg.

Test exacto de FisherEl test exacto de Fisher se puede aplicar para comprobar si existen proporciones de Hardy-Weinberg. Como el testestá condicionado por las frecuencias alélicas, p y q, el problema se puede entender como la comprobación delnúmero adecuado de heterocigotos. De esta forma, la hipótesis de las proporciones de Hardy-Weinberg quedaviolada si el número de heterocigotos es muy grande o muy pequeño. Las probabilidades condicionadas para elheterocigoto, dadas las frecuencias alélicas, las proporciona Emigh (1980) de la forma

donde n11, n12 y n22 son los números observados para los tres genotipos, AA, Aa y aa respectivamente, y n1 es elnúmero de alelos A, donde .Un ejemplo Utilizando uno de los ejemplos de Emigh (1980), podemos considerar el caso en el que n = 100 y p =0,34. En la tabla 4 se muestran los heterocigotos observados posibles y su nivel de significancia exacto.

Tabla 4: Ejemplo del test exacto de Fisher para n=100, p=0,34.[3]

Número de heterocigotos Nivel de significancia

0 0,000

2 0,000

4 0,000

6 0,000

8 0,000

10 0,000

12 0,000

14 0,000

16 0,000

18 0,001

20 0,007

22 0,034

34 0,067

24 0,151

32 0,291

26 0,474

Page 161: Mates Discretas +

Ley de Hardy-Weinberg 157

30 0,730

28 1,000

Utilizando esta tabla, se busca el nivel de significancia del test basándose en el número observado de heterocigotos.Por ejemplo, si se han observado 20 heterocigotos, el nivel de significancia del test es 0,007. El gradiente de nivelesde significancia es bastante basto, como es normal en los tests exactos de Fisher con muestras pequeñas.Desafortunadamente, es necesario crear una tabla así para cada experimento, ya que las tablas dependen tanto de ncomo de p.

Coeficiente de consanguinidadEl coeficiente de consanguinidad F es 1 menos la frecuencia observada de los heterocigotos por encima de laesperada a partir del equilibrio de Hardy-Weinberg.

donde el valor esperado a partir del equilibrio de Hardy-Weinberg se obtiene mediante

Por ejemplo, para los datos de Ford anteriores:

Para dos alelos, la prueba chi-cuadrado sobre la calidad del ajuste con las proporciones de Hardy-Weinberg esequivalente al test de consanguinidad, F = 0.

HistoriaLa genética mendeliana fue redescubierta en 1900. Sin embargo, se mantuvo su controversia durante varios años, yaque entonces no se sabía cómo podía producir caracteres continuos. Udny Yule (1902) argumentó contra elmendelismo porque pensaba que los alelos dominantes aumentarían en número en una población. El estadounidenseWilliam E. Castle (1903) demostró que, sin selección, las frecuencias genotípicas permanecerían estables. KarlPearson (1903) halló una posición de equilibrio con los valores p = q = 0,5. Reginald Punnet, incapaz de responder alargumento de Yule, le presentó el problema a G. H. Hardy, un matemático británico con el que jugaba al cricket.Hardy era un matemático puro y mostraba cierto desprecio por las matemáticas aplicadas; su opinión sobre el usoque le daban los biólogos a las matemáticas quedó plasmada en un artículo de 1908 en el que lo describe como "muysimple".

Al Editor de Science: soy reacio a entrometerme en una discusión que concierne a temas de los que no tengoun conocimiento experto, y debería haber esperado que el sencillo argumento que deseo aportar fuerafamiliar para los biólogos. Sin embargo, ciertas observaciones del señor Udny Yule sobre las que el señor R.C. Punnett ha llamado mi atención sugieren que todavía merece la pena hacerlo...

Supongamos que Aa es un par de caracteres mendelianos, siendo el A dominante, y que en una generacióncualquiera el número de dominantes puros (AA), de heterocigotos (Aa) y de recesivos puros (aa) son p:2q:r.Finalmente, supongamos que los números son bastante grandes, de manera que se pueda considerar que elapareamiento es aleatorio, que los sexos están distribuidos uniformemente en las tres variedades y que todasson igualmente fértiles. Es suficiente un poco de mátematica del nivel de las tablas de multiplicar parademostrar que en la siguiente generación los números serán (p+q)2:2(p+q)(q+r):(q+r)2, o digamos p1:2q1:r1.

Page 162: Mates Discretas +

Ley de Hardy-Weinberg 158

La cuestión interesante es — ¿en qué circunstancias será esta distribución la misma que en la generaciónanterior? Es fácil ver que la condición para esto es q2 = pr. Y como q1

2 = p1r1, para cualquier valor de p, q yr, la distribución permanecerá en cualquier caso sin cambios tras la segunda generación.

Por aquel entonces, el principio se conocía como ley de Hardy en el mundo angloparlante, hasta que Curt Stern(1943) señaló que ya había sido formulado independientemente en 1908 por el físico alemán Wilhelm Weinberg (verCrow 1999). Otros han intentado asociar el nombre de Castle con la ley por su trabajo de 1903, pero raramente se laalude como ley de Hardy-Weinberg-Castle.Con la ley de Hardy-Weinberg se asentaron los cimientos de la genética de poblaciones, según la cual, la alteracióngenética de una población sólo puede darse por factores como mutaciones, selección natural, influencias casuales,convergencias o divergencias individuales, de modo que el cambio genético implica la perturbación del equilibrioestablecido por la ley de Hardy-Weinberg.

Referencias y notas

Referencias• Castle, W. E. (1903). The laws of Galton and Mendel and some laws governing race improvement by selection.

Proc. Amer. Acad. Arts Sci.. 35: 233–242.• Crow, J.F. (1999). Hardy, Weinberg and language impediments. Genetics 152: 821-825. enlace [4]

• Emigh, T.H. (1980). A comparison of tests for Hardy-Weinberg equilibrium. Biometrics 36: 627 – 642.• Ford, E.B. (1971). Ecological Genetics, London.• Hardy, G. H. (1908). "Mendelian proportions in a mixed population". Science 28: 49–50. copia de la ESP [5]

• Pearson, K. (1903). Mathematical contributions to the theory of evolution. XI. On the influence of naturalselection on the variability and correlation of organs. Philosophical Transactions of the Royal Society of London,Ser. A 200: 1–66.

• Stern, C. (1943). "The Hardy–Weinberg law". Science 97: 137–138. Enlace estable del JSTOR [6]

• Weinberg, W. (1908). "Über den Nachweis der Vererbung beim Menschen". Jahreshefte des Vereins fürvaterländische Naturkunde in Württemberg 64: 368–382.

• Yule, G. U. (1902). Mendel's laws and their probable relation to intra-racial heredity. New Phytol. 1: 193–207,222–238.

Notas[1] L. L. Cavalli-Sforza / W. F. Bodmer, Genética de poblaciones humanas, Ediciones Omega S. A. Barcelona 1981. ISBN: 84-282-0660-O[2] Evolutionibus (http:/ / evolutionibus. eresmas. net/ poblaciones. html)[3][3] Datos de ejemplo de Emigh (1980).[4] http:/ / www. genetics. org/ cgi/ content/ full/ 152/ 3/ 821[5] http:/ / www. esp. org/ foundations/ genetics/ classical/ hardy. pdf[6] http:/ / links. jstor. org/ sici?sici=0036-8075%2819430205%293%3A97%3A2510%3C137%3ATHL%3E2. 0. CO%3B2-8

Enlaces externos• Descripción de poblaciones mendelianas: equilibrio de Hardy-Weinberg (http:/ / www. ucm. es/ info/ genetica/

grupod/ Genetica evolutiva/ Hardy Weinberg/ HardyWeinberg. htm)• Calculadora del equilibrio de Hardy-Weinberg (http:/ / www. changbioscience. com/ genetics/ hardy. html)• Simulador de genética de poblaciones (http:/ / www. radford. edu/ ~rsheehy/ Gen_flash/ popgen)

Page 163: Mates Discretas +

Cuadro de Punnett 159

Cuadro de Punnett

Cuadro de Punnet, cruzamiento AaBb X AaBb.

El cuadro de Punnett es un diagrama diseñado porReginald Punnett y es usado por los biólogos paradeterminar la probabilidad de que un producto tenga ungenotipo particular. El cuadro de Punnett permiteobservar cada combinación posible de un alelo maternocon otro alelo paterno por cada gen estudiado.

Cruce monohíbrido clásico

En este modelo, ambos organismos poseen el genotipoBb, por lo que pueden producir gametos que contenganlos alelos "B" y "b" (se acostumbra en los estudios de lagenética usar mayúsculas para expresar los alelosdominantes y con minúscula a los recesivos). La probabilidad de que el producto tenga el genotipo BB es de 25%,con Bb es de 50% y con bb de 25%. Todos los genotipos son alelos, por lo tanto todos son conocidos como unpunnett normal o adyacente.

Materno

B b

Paterno B BB Bb

b Bb bb

Cabe señalar que el cuadro de Punnett solo muestra las posibilidades para genotipos, no para fenotipos. La forma enque los alelos B y b interactúan uno con el otro afectando la apariencia del producto depende de cómo interactúen losproductos de los genes (véanse las leyes de Mendel).Para los genes clásicos dominantes/recesivos, como los que determinan el color del pelo de una rata, siendo B el pelonegro y b el pelo blanco, el alelo dominante eclipsará al recesivo.

Cruce dihíbrido clásicoCruzamientos más complejos pueden presentarse cuando se contemplan dos o más genes. El cuadro de Punnett solofunciona si los genes son independientes entre ellos.El siguiente ejemplo ilustra un cruce dihíbrido entre dos plantas heterocigóticas de guisante. R representa el alelodominante de la forma (redondeada) mientras que r muestra el alelo recesivo (rugoso). Y es el alelo dominante delcolor (amarillo) cuando y es el alelo recesivo (verde). Si cada planta tiene el genotipo Rr Yy y los genes sonindependientes, estos pueden producir cuatro tipos de gametos con todas las posibles combinaciones: RY, Ry, rY y ry.

Page 164: Mates Discretas +

Cuadro de Punnett 160

RY Ry rY ry

RY RRYY RRYy RrYY RrYy

Ry RRYy RRyy RrYy Rryy

rY RrYY RrYy rrYY rrYy

ry RrYy Rryy rrYy rryy

Ya que los alelos dominantes eclipsan a los recesivos hay nueve combinaciones que tienen el fenotipo redondeadoamarillo, tres que son redondeado verde, tres de combinación rugoso amarillo y una con el fenotipo rugoso verde.La proporción se muestra como 9:3:3:1 y es la más usual para el cruce dihíbrido.

Enlaces externos• Calculadora con cuadro de Punnett [1] (en inglés)• Calculadora en línea cuadro de Punnett [2] (en inglés)

Referencias[1] http:/ / www. changbioscience. com/ genetics/ punnett. html[2] http:/ / www. bugaco. com/ calculators/ punnett_square. php

Identidad de BézoutLa identidad de Bézout o Lema de Bézout enuncia que si a y b son números enteros con máximo común divisor d,entonces existen enteros x e y tales que

AlgoritmoLos números x e y de la identidad de Bézout pueden determinarse mediante el algoritmo extendido de Euclides, perono se determinan de forma unívoca:

Para todo a, b, x, y y k. Así dando a k cualquier valor entero y definiendo:

se tiene que:

.

Page 165: Mates Discretas +

Identidad de Bézout 161

EjemploSe puede ilustrar, la no unicidad anterior, con un ejemplo: el máximo común divisor de 12 y 42 es 6, se puedeescribir:

(-3)·12 + 1·42 = 6y también

4·12 + (-1)·42 = 6.De manera que, una de las soluciones es x = −3 e y = 1, y la otra solución es x = 4 e y = −1.

GeneralizacionesLa identidad de Bézout no sólo funciona en el anillo de los enteros, sino que también es válido en cualquier otrodominio de ideales principales (DIP). Es decir, si R es un DIP, y a y b son elementos de , y d es el máximocomún divisor de a y b, entonces existen x e y elementos de tales que .

Enlaces externos• (inglés) Online calculator of Bézout's identity [1].• Sencilla calculadora online de la identidad de Bézout [2].

Referencias[1] http:/ / wims. unice. fr/ wims/ wims. cgi?module=tool/ arithmetic/ bezout. en[2] http:/ / pedrocarrasco. org/ projects/ criptografia/ bezout. php

Bicondicional↔ ⇔ ≡

Símbolos lógicosque representan ssi.En matemáticas y lógica, un bicondicional, (ssi, también llamado equivalencia o implicación doble), es unaproposición de la forma "P si y solo si Q", en la cual tanto P como Q son ambas ciertas o ambas falsas. También sedice que Q es una condición necesaria y suficiente para P.

SímbolosNormalmente se usa el símbolo ⇔ o ↔ para denotar esta coimplicación, quedando así: . En español se usanlas abreviaturas sii, ssi y syss, de modo que es equivalente a “p sii q”. En inglés se abrevia iff (If and onlyif).

DefiniciónLa tabla de verdad de p ↔ q es la siguiente:[1]

Page 166: Mates Discretas +

Bicondicional 162

ssi

p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

Tenga en cuenta que esta tabla es equivalente a la producida por la puerta lógica XNOR, y opuesta a la producida porla puerta XOR.

Definición semánticaEl valor de verdad de una bicondicional <<"p" solo si "q">> o «p si y solo si q» es verdadero cuando ambasproposiciones (p y q) tienen el mismo valor de verdad; de lo contrario, es falsa. Si p, entonces q, y, si q, entonces p.Escrito con símbolos lógicos: (p⇒q) ∧ (q⇒p).

Referencias[1] p <=> q (http:/ / www. wolframalpha. com/ input/ ?i=p+ <=>+ q). Wolfram|Alpha

Condición necesaria y suficienteEn lógica, las palabras necesario y suficiente describen la relación que mantienen dos proposiciones o estado de lascosas, si una es condicionante de la otra. Por ejemplo, alguien puede decir:• El tomar agua regularmente es necesario para que un humano se mantenga con vida.• El saltar es suficiente para despegarse de la tierra.• El tener una credencial de identificación es una condición necesaria y suficiente para ser admitido.Nota: este artículo discute solamente la relación lógica implícita en las palabras necesario y suficiente. Elsignificado causal de estas palabras es ignorado. Esto es potencialmente engañoso, ya que estas palabras a menudoimplican causalidad en su uso normal.

Condiciones necesariasAl decir que A es necesaria para B, estamos diciendo que B no puede ser verdadera a menos que A sea verdadera, oque cuando quiera, donde quiera, o como sea, A es verdadera, si B lo es.En pocas palabras: Si el consecuente es falso, el antecedente tiene que ser falso (ver Modus tollendo tollens).Nosotros podemos decir que el tener por lo menos 18 años es necesario para tener una licencia de conducir.En el sentido en el que utilizamos aquí la palabra «necesario», podemos decir también «el humo es necesario para elfuego». Esto es confuso, desde el momento en que el humo viene después del fuego; pero todo lo que nosotrosestamos diciendo es que donde quiera que exista B, ahí existe A, es decir, el fuego (A) no puede ocurrir sin queexista humo (B). Estamos tratando de no decir nada acerca de la dirección del tiempo. En el lenguaje ordinariodiríamos «El humo es una consecuencia necesaria del fuego».[1]

En cada caso, lo importante es notar que una cosa es asumida (el fuego, una licencia), y una segunda cosa esderivada como «necesaria consecuentemente». El tener 18 es una condición necesaria en el segundo caso; el humo esuna condición necesaria en el primer caso (sin embargo, nuevamente, originariamente no deberemos llamar esto una«condición»).

Page 167: Mates Discretas +

Condición necesaria y suficiente 163

Es importante saber que es muy posible que una condición necesaria ocurra por sí sola, por ejemplo, uno puede tener18 años y no tener la licencia de conducir, y hay formas de generar humo sin fuego.Si A es una condición necesaria para B, entonces la relación lógica entre A y B se expresa: «si B entonces A» o «Bsolo si A» o «B → A».

Condiciones suficientesAl decir que A es suficiente para B, estamos diciendo precisamente lo contrario: que A no puede ocurrir sin B, ocuando sea que ocurra A, B ocurrirá. Es decir, que el hecho de que exista fuego es suficiente para que haya humo.En pocas palabras si el antecedente es verdadero, el consecuente tiene que ser verdadero (ver Modus ponendoponens)Las condiciones necesarias y suficientes consecuentemente están relacionadas. A es una condición necesaria para Bsolo en el caso de que B sea una condición suficiente para A.En el sentido en el cual utilizamos la palabra «suficiente», podríamos también decir «tener una licencia es suficientepara tener dieciocho años». Esto es confuso, desde el momento en que tener una licencia no «causa» que tengasdieciocho años; no obstante, la percepción común es que si tú tienes una licencia, tú debes tener dieciocho años(consideramos la licencia como una prueba de edad debido a que la consideramos «suficiente» para demostar la edaden algo como en el sentido expuesto). Trate de ignorar la relación causal y la dirección del tiempo: Estamosponiendo atención solo en la relación lógica.En todo caso, note que una cosa es asumida (fuego, una licencia), y «esta misma cosa» la identificamos como lacondición suficiente para otra cosa (humo, edad) - suficiente en el sentido de «lo justo adecuado para que la otraexista».Debemos considerar que, una condición suficiente, por definición, es aquello que no puede ocurrir sin aquello paralo que es condición, así que, no puedes tener una licencia sin tener dieciocho años.Si A es una condición suficiente para B, entonces la relación lógica entre ellas es expresada como «Si A entonces B»o «A solo si B» o «A → B».

Condición necesaria y suficienteDecir que A es necesaria y suficiente para B es decir dos cosas simultáneamente:1.1. A es necesaria para B2.2. A es suficiente para B.Por ejemplo, Si Alicia siempre come bistec el lunes, pero nunca en otro día, podemos decir que «El hecho de que sealunes es una condición necesaria y suficiente para que Alicia coma bistec». Lo recíproco también es verdadero: «Elhecho de que Alicia esté comiendo bistec es una condición necesaria y suficiente para que sea lunes». De este modo,en el momento en que A es necesaria y suficiente para B, B es necesaria y suficiente para A.Una vez más, esto es confuso, desde que la acción de Alicia de comer bistec no causa que sea Lunes.Desde que la frase «necesaria y suficiente» puede expresar una relación entre oraciones o entre estado de las cosas,objetos, o eventos, esta no debe ser combinada demasiado rápido con equivalencia lógica. El hecho de que Aliciaeste comiendo bistec no es equivalentemente lógico para que sea Lunes.Sin embargo, «A es necesario y suficiente para B» expresa la misma cosa que «A si y solo si B».

Page 168: Mates Discretas +

Condición necesaria y suficiente 164

Notas[1] Para el propósito de este ejemplo, ignoraremos la posibilidad de que el fuego no cree humo.

Enlaces externos• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Necessary and Sufficient Conditions (http:/ / plato. stanford. edu/ entries/

necessary-sufficient/ )

Algoritmo de EuclidesEl algoritmo de Euclides es un método antiguo y eficaz para calcular el máximo común divisor (MCD). Fueoriginalmente descrito por Euclides en su obra Elementos. El algoritmo de Euclides extendido es una ligeramodificación que permite además expresar al máximo común divisor como una combinación lineal. Este algoritmotiene aplicaciones en diversas áreas como álgebra, teoría de números y ciencias de la computación entre otras. Conunas ligeras modificaciones suele ser utilizado en computadoras electrónicas debido a su gran eficiencia.

Algoritmo original de Euclides

AB y CD los segmentos conmensurables.

En la concepción griega de la matemática, los números se entendíancomo magnitudes geométricas. Un tema recurrente en la geometríagriega es el de la conmensurabilidad de dos segmentos: dos segmentos(números) AB y CD son conmensurables cuando existe un tercersegmento PQ el cual cabe exactamente un número entero de veces enlos primeros dos, es decir, PQ «mide» (mensura: medida) a lossegmentos AB y CD.

No cualquier par de segmentos es conmensurable, como encontraronlos pitagóricos cuando establecen que el lado y la diagonal de uncuadrado no son conmensurables, pero en el caso de dos segmentosconmensurables se desea hallar la mayor medida común posible.Euclides describe en la proposición VII.2 de sus Elementos un métodoque permite hallar la mayor medida común posible de dos números(segmentos) que no sean primos entre sí, aunque de acuerdo a la épocatal método se explica en términos geométricos, lo que se ilustra en lasiguiente transcripción.

Para encontrar la máxima medida común de dos númerosque no sean primos entre sí.

Page 169: Mates Discretas +

Algoritmo de Euclides 165

Ejemplo del algoritmo original de Euclides.

Sean AB y CD los dos números que no son primos uno al otro. Se necesita entonces encontrar la máximamedida común de AB y CD.Si CD mide AB entonces es una medida común puesto que CD se mide a sí mismo. Y es manifiesto quetambién es la mayor medida pues nada mayor a CD puede medir a CD. Pero si CD no mide a AB entoncesalgún número quedará de AB y CD, el menor siendo continuamente restado del mayor y que medirá al númeroque le precede. Porque una unidad no quedará pues si no es así, AB y CD serán primos uno del otro [Prop.VII.1], lo cual es lo contrario de lo que se supuso.Por tanto, algún número queda que medirá el número que le precede. Y sea CD midiendo BE dejando EAmenor que sí mismo y sea EA midiendo DF dejando FC menor que sí mismo y sea FC medida de AE.Entonces, como FC mide AE y AE mide DF, FC será entonces medida de DF. Y también se mide a sí mismo.Por tanto también medirá todo CD. Y CD mide a BE. Entonces CF mide a BE y también mide a EA. Así midea todo BA y también mide a CD. Esto es, CF mide tanto a AB y CD por lo que es una medida común de AB yCD.Afirmo que también es la mayor medida común posible porque si no lo fuera, entonces un número mayor queCF mide a los números AB y CD, sea éste G. Dado que G mide a CD y CD mide a BE, G también mide a BE.Además, mide a todo BA por lo que mide también al residuo AE. Y AE mide a DF por lo que G también midea DF. Mide también a todo DC por lo que mide también al residuo CF, es decir el mayor mide al menor, locual es imposible.Por tanto, ningún número mayor a CF puede medir a los números AB y CD. Entonces CF es la mayor medidacomún de AB y CD, lo cual se quería demostrar.

Page 170: Mates Discretas +

Algoritmo de Euclides 166

Euclides. Elementos VII.2

En lenguaje moderno, el algoritmo se describe como sigue:1. Dados dos segmentos AB y CD (con AB>CD), restamos CD de AB tantas veces como sea posible. Si no hay

residuo, entonces CD es la máxima medida común.2. Si se obtiene un residuo EA, éste es menor que CD y podemos repetir el proceso: restamos EA tantas veces como

sea posible de CD. Si al final no queda un residuo, EA es la medida común. En caso contrario obtenemos unnuevo residuo FC menor a EA.

3.3. El proceso se repite hasta que en algún momento no se obtiene residuo. Entonces el último residuo obtenido es lamayor medida común.

El hecho de que los segmentos son conmesurables es clave para asegurar que el proceso termina tarde o temprano

Algoritmo de Euclides tradicionalAl dividir entre (números enteros), se obtiene un cociente y un residuo . Es posible demostrar que elmáximo común divisor de y es el mismo que el de y (Sea c el máximo común divisor de y ,.Comoa=bq+r y c divide a y a divide también a r.Si existiera otro número mayor que c que divide a b y a r, tambiéndividiría a a , por lo que c no sería el mcd de y , lo que contradice la hipótesis). Éste es el fundamento principaldel algoritmo. También es importante tener en cuenta que el máximo común divisor de cualquier número y esprecisamente . Para fines prácticos, la notación significa máximo común divisor de y .Según lo antes mencionado, para calcular el máximo común divisor de 2366 y 273 se puede proseguir de la siguientemanera:

Paso Operación Significado

1 2366 dividido entre 273 es 8 y sobran 182

2 273 dividido entre 182 es 1 y sobran 91

3 182 dividido entre 91 es 2 y sobra 0

La secuencia de igualdades implicanque . Dado que , entonces se concluye que

. Este mismo procedimiento se puede aplicar a cualesquiera dos números naturales. Engeneral, si se desea encontrar el máximo común divisor de dos números naturales y , se siguen las siguientesreglas:1. Si entonces y el algoritmo termina2. En otro caso, donde es el resto de dividir entre . Para calcular se

utilizan estas mismas reglasAsuma que llamamos y . Aplicando estas reglas se obtiene la siguiente secuencia de operaciones:

Page 171: Mates Discretas +

Algoritmo de Euclides 167

Paso Operación Significado

1 dividido entre es y sobran

2 dividido entre es y sobran

3 dividido entre es y sobran

dividido entre es y sobran

dividido entre es y sobra

Como la sucesión de residuos va disminuyendo, eventualmente un residuo tiene que ser cero y es en ese momentocuando el algoritmo termina. El máximo común divisor es precisamente (el último residuo que no es cero).

GeneralizaciónEn realidad el algoritmo de Euclides funciona no sólo para los números naturales, sino para cualesquiera elementosdonde exista una "división con residuo". A este tipo de divisiones se les llama divisiones euclidianas y a losconjuntos donde se puede definir dicha división se les llama dominios euclídeos. Por ejemplo, el conjunto de losnúmeros enteros y el de los polinomios con coeficientes racionales son dominios euclídeos porque podemos definiruna división con residuo (véase División polinomial). De esta manera, se puede calcular el máximo común divisor dedos números enteros o de dos polinomios.

Por ejemplo, para calcular el máximo común divisor de los polinomios yel algoritmo de Euclides sugiere la siguiente secuencia de operaciones:

Paso Operación Significado

1 dividido entre es y sobra

2 dividido entre es y sobra

3 dividido entre es y sobra 0

De esta manera se concluye que su máximo común divisor es .

Descripción formal

Se puede expresar este algoritmo de manera más formal usando pseudocódigo. En este caso la expresión " " significa "el residuo de dividir entre " (véase Aritmética modular).

Algoritmo 1 de Euclides

Entrada: Valores y pertenecientes a un dominio euclídeo

Salida: Un máximo común divisor de y

1. , 2.3. Mientras haga lo siguiente:

1.2.

4. El resultado es:

Vale la pena notar que este algoritmo no es eficiente ser implementado directamente en una computadora, ya querequeriría memorizar todos los valores de .

Page 172: Mates Discretas +

Algoritmo de Euclides 168

Algoritmo de Euclides extendidoEl algoritmo de Euclides extendido permite, además de encontrar un máximo común divisor de dos números enteros

y , expresarlo como la mínima combinación lineal de esos números, es decir, encontrar números enteros y tales que . Esto se generaliza también hacia cualquier dominio euclideano.

FundamentosExisten varias maneras de explicar el algoritmo de Euclides extendido, una de las más comunes consiste en lasiguiente:1. Usar el algoritmo tradicional de Euclides. En cada paso, en lugar de " dividido entre es y de resto " se

escribe la ecuación (véase algoritmo de la división).2.2. Se despeja el resto de cada ecuación.3.3. Se sustituye el resto de la última ecuación en la penúltima, y la penúltima en la antepenúltima y así

sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación, y en todo paso se expresa cada resto como combinación lineal.Sin embargo, en aras de la comprensión y memorización de este algoritmo, es conveniente conocer la siguientecaracterización. Para multiplicar dos matrices de tamaño se usa la siguiente fórmula (véase Producto dematrices):

(1)

Supóngase que se utiliza el algoritmo de Euclides tradicional para calcular los valores y que ahí se describen.

Por cada valor calculado se puede formar la matriz . Usando la ecuación (1) de manera

repetida se puede calcular el producto las primeras matrices de este tipo:

Resulta ser que los valores y tienen la propiedad de que , es decir, expresan a como unacombinación lineal de y . Particularmente, como entonces se tiene

, lo cual es la solución del problema. Esta propiedad no debería ser sorprendente,pues esta multiplicación de matrices equivale al método antes descrito donde se substituye cada ecuación en laanterior. Es importante calcular en ese mismo orden. La matriz aparece en elextremo derecho y la matriz en el izquierdo.Regresando al primer ejemplo, la sucesión de cocientes es , y . Entonces se puede calcular

Utilizando el primer renglón de esta matriz se puede leer que , es decir, se haencontrado la manera de expresar al máximo común divisor de 2366 y 273 como una combinación lineal.

Page 173: Mates Discretas +

Algoritmo de Euclides 169

Descripción formalPara expresar el algoritmo de Euclides extendido es conveniente notar la manera en que se calculan los valores y

con la multiplicación de matrices:

De esta manera y además . Por lo tanto el algoritmo en pseudocódigose puede expresar como sigue:

Algoritmo 2 de Euclides extendido

Entrada: Valores y pertenecientes a un dominio euclídeo

Salida: Un máximo común divisor de y , y valores y tales que 1.2.3. Mientras haga lo siguiente:

1. Divida entre para obtener el cociente y el residuo 2.3.4.

4. El resultado es: es un máximo común divisor de y y se expresa

Aplicaciones

Simplificar fraccionesAl momento de hacer cálculos con fracciones, es de gran importancia saber cómo simplificarlas. Por ejemplo, lafracción es equivalente con (véase Número racional). De manera más general, siempre que .Para reducir una fracción cualquiera , sólo se necesita dividir y entre su máximo común divisor.Por ejemplo, si se desea reducir , primero se usa el algoritmo de Euclides para encontrar

. Se hacen las divisiones y . Luego entonces se concluyeque .

Fracciones continuasLa sucesión de divisiones que se efectúan al seguir algoritmo de Euclides puede ser utilizada para expresar unafracción cualquiera como fracción continua. Esto se debe a que si y , entonces

(3)

Por ejemplo, para encontrar el máximo común divisor de y el algoritmo genera la siguiente secuenciade divisiones:

Page 174: Mates Discretas +

Algoritmo de Euclides 170

Paso Operación Significado

1 93164 dividido entre 5826 es 15 y sobran 5774

2 5826 dividido entre 5774 es 1 y sobran 52

3 5774 dividido entre 52 es 111 y sobran 2

4 52 dividido entre 2 es 26 y sobra 0

Todas estas ecuaciones las podemos hacer parecidas a la ecuación ( 3):

1.

2.

3.4.Si se substituye la segunda ecuación en la primera, se obtiene

Si se repite este proceso de substitución entonces se obtiene la expresión deseada:

De manera más general, la fracción continua encontrada con este algoritmo siempre es de la forma

Inversos modularesDecimos que dos números enteros son congruentes módulo (aunque también se puede generalizar para cualquierotro dominio euclídeo) si al dividirlos entre obtenemos el mismo residuo (véase Congruencia). Por ejemplo, 7 escongruente con 12 módulo 5 porque al dividir 7 entre 5 y 12 entre 5, en ambos casos obtenemos el mismo residuo(que es 2). Cuando es congruente con módulo se escribe , en el ejemplo anterior setiene . Supóngase que se conocen los valores de , y , pero que se desconoce el valor

de la siguiente ecuación:(2)

Basta con encontrar un valor que tenga la característica de que , pues de esta maneraal multiplicar la ecuación (2) por se tendría la solución deseada:

Al valor se le llama inverso modular de módulo . Desafortunadamente este valor no siempre existe. Porejemplo, con y no existe ningún número entero entero tal que . Dehecho este valor existe si y sólo si (la condición de existencia de soluciones depende de que

, mientras que la unicidad depende de que el ). Más aún, si al usar el algoritmode Euclides extendido (ahora con ) se obtiene , entonces el valor es el inverso modularde módulo . Por ejemplo, se desea resolver la ecuación

Page 175: Mates Discretas +

Algoritmo de Euclides 171

Entonces con el algoritmo de Euclides extendido se calcula que . Comoentonces 5 tiene un inverso modular. Más aún, como , entonces ese inverso

es 2. Entonces

Es decir que el valor de es .

Complejidad del algoritmo

Gráfica del número de divisiones efectuadas en el algoritmo deEuclides. El rojo indica pocas operaciones, mientras que los

colores eventualmente más azules representan mayor númerode operaciones.

El teorema de Lamé afirma que el caso peor para estealgoritmo es cuando se le pide calcular el máximo comúndivisor de dos números consecutivos de la sucesión deFibonacci. Por ejemplo, si se desea calcular el máximocomún divisor de y se obtiene lasiguiente secuencia de operaciones:

Paso Operación Significado

1 89 dividido entre 55 es 1 y sobran 34

2 55 dividido entre 34 es 1 y sobran 21

3 34 dividido entre 21 es 1 y sobran 13

4 21 dividido entre 13 es 1 y sobran 8

5 13 dividido entre 8 es 1 y sobran 5

6 8 dividido entre 5 es 1 y sobran 3

7 5 dividido entre 3 es 1 y sobran 2

8 3 dividido entre 2 es 1 y sobran 1

9 2 dividido entre 1 es 2 y sobra 0

En este ejemplo se observa que con estos dos números de dos dígitos decimales, se necesita hacer 9 divisiones. Engeneral, el número de divisiones efectuadas por el algoritmo nunca supera 5 veces el número de dígitos que tienenestos números. En términos de complejidad computacional, esto significa que se requieren divisionespara calcular el máximo común divisor de y donde .El número promedio de divisiones efectuadas por el algoritmo se estuvo investigando desde 1968, pero sólo hasta apenas el año 2002, Brigitte Vallée demostró que si los dos números se pueden representar con bits, entonces el

Page 176: Mates Discretas +

Algoritmo de Euclides 172

número promedio de divisiones necesarias es .Sin embargo, no basta con saber el número de divisiones. Hay que recordar que el algoritmo de Euclides funcionatanto para polinomios como para números enteros, y en general, cualquier dominio Euclídeo. En cada caso, lacomplejidad del algoritmo depende del número de divisiones efectuadas y del costo de cada división. En el caso delos polinomios, el número de divisiones es donde es el grado de los polinomios.

Implementación en pseudocódigoEn general, los algoritmos 1 y 2 no son muy apropiados para implementarse directamente en un lenguaje deprogramación, especialmente porque consumen mucha memoria. Si no se necesitan los valores intermedios, y sólo sedesea calcular el máximo común divisor de dos números enteros, conviene usar estas variantes:

Algoritmo de Euclides tradicional implementado de manera recurrente

Función :

Si entonces:

El resultado es

En otro caso:

El resultado es

Algoritmo de Euclides tradicional implementado de manera iterativa

Función :

Mientras haga lo siguiente:

El resultado es

Algoritmo de Euclides extendido implementado de manera recurrente

Función :

Si entonces:

El resultado es En otro caso:

El resultado es

Algoritmo de Euclides extendido implementado de manera iterativa

Función :

Mientras haga lo siguiente:

Divida entre para obtener un cociente y un residuo

El resultado es

Algoritmo de Euclides extendido implementado de manera iterativa con matrices

Page 177: Mates Discretas +

Algoritmo de Euclides 173

Función :

Mientras haga lo siguiente:

Divida entre para obtener un cociente y un residuo

El resultado es

Acerca de la notación empleada:• significa "asigne a la variable el valor actual de ". En lenguajes como C, Java, C#, Python y Visual

Basic esto significa simplemente x = y. En otros lenguajes como Pascal se traduce en a := b, en Maxima esa : b, en R, S y Ocaml es x <- y, e inclusive se utiliza la flecha x ← y como el caso de APL.

• significa que primero se evalúan los valores y luego se asigna, etc. En lenguajes como Python, Ruby o Maxima esta instrucción tiene una estructura

muy similar, como por ejemplo en Python: (x,y,z) = (a,b,c). En otros lenguajes es necesario el uso devariables auxiliares, como por ejemplo en lenguaje C: aux1 = b; aux2 = c; x = a; y = aux1; z= aux2;.

• significa "el cociente de dividir entre ". A esta operación se le conoce también como la divisióntruncada porque trunca la parte fraccionaria del número. En muchos lenguajes de programación esto seimplementa simplemente como a/b. Otras maneras son a\b (Visual Basic) , a div b (Pascal) o bien a//b(Python 3).

• significa "el residuo de dividir entre ". A esta operación se le conoce simplemente como módulo.En muchos lenguajes de programación se implementa como a % b, mientras que en otros es a mod b (VisualBasic o Pascal) o bien a rem b (Ada).

Referencias• von zur Gathen, Joachim; Gerhard, Jürgen (2003). «The Euclidean Algorithm». Modern Computer Algebra (http:/

/ math-www. uni-paderborn. de/ mca/ ). Cambridge University Press. ISBN 0-521-82646-2.• Shoup, Victor (2008). «Euclid’s algorithm». A Computational Introduction to Number Theory and Algebra (http:/

/ www. shoup. net/ ntb/ ). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85154-1.• Johnsonbaugh, Richard (2005). «Introducción a la teoría de números». Matemáticas Discretas. México:

PEARSON EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0637-3.• Ralph P. Grimaldi (1998). «Propiedades de los números enteros: Inducción matemática». Matemáticas Discreta y

Combinatoria. México: Addison Wesley Longman de México. ISBN 968-444-324-2.• Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (2009). «Propiedades de los enteros». Matemáticas Discretas. McGraw-Hill.

ISBN 978-970-10-7236-3.• Brassard, Gilles; Bratley, Paul (1997). «Análisis de algoritmos». Fundamentos de Algoritmia. Madrid:

PRENTICE HALL. ISBN 84-89660-00-X.• Vallée, Brigitte (2002). « Dynamical Analysis of -Euclidean Algorithms (http:/ / users. info. unicaen. fr/

~brigitte/ Publications/ bourdon-daireaux-vallee. ps)». Journal of Algorithms 44 (1). ISSN 0196-6774 , pp. 246-285.• Cormen, Thomas; Leiserson, Charles; Rivest, Ronald; Stein, Clifford (2009). «Number-Theoretic Algorithms».

Introduction to Algorithms. The MIT Press. ISBN 978-0-262-53305-8.• Barrera Mora, Fernando (2005). «Definiciones y resultados generales». Introducción a la Teoría de Grupos (http:/

/ smm. org. mx/ publicaciones/ pe/ textos/ 2004/ v4/ pdf/ smm-pe-textos-2004-v4. pdf). PublicacionesElectrónicas de la Sociedad Matemática Mexicana. ISBN 968-9161-02-4.

Page 178: Mates Discretas +

Algoritmo de Euclides 174

• Cárdenas, Humberto; Lluis, Emilio; Raggi, Francisco; Tomás, Francisco (2004). «Divisibilidad». ÁlgebraSuperior. México: Trillas. ISBN 968-24-3783-0.

• Pérez Seguí, María Luisa (2006). «Divisibilidad». Teoría de Números. Instituto de Matemáticas, UNAM. ISBN

970-32-1170-0.• Sánchez Velázquez, Jesús (1998). «Algoritmos para números grandes». Introducción al análisis de algoritmos.

México: Trillas. ISBN 968-24-4341-5.• Baldor, Aurelio (2008). «Máximo común divisor». Álgebra. México: Grupo Editorial Patria. ISBN 978-970-817-000-0.

Enlaces externos• Divisibilidad. El algoritmo de Euclides. (http:/ / www. dma. fi. upm. es/ java/ matematicadiscreta/

aritmeticamodular/ divisibilidad. html)• Algoritmo de Euclides. (http:/ / huitoto. udea. edu. co/ SistemasDiscretos/ contenido/ alg_euclides. html)• Implementación del algoritmo de Euclides extendido en la web (http:/ / centros5. pntic. mec. es/ ies. de. bullas/

dp/ matema/ javas/ euclidesext. htm)• Euclidean Algorithm de Wolfram MathWorld (http:/ / mathworld. wolfram. com/ EuclideanAlgorithm. html)

Teoría de grafos

Los grafos son el objeto de estudio de esta rama de las matemáticas. Arriba el grafo pez, en medio el grafo arco yabajo el grafo dodecaedro.La teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) es un campo de estudio de las matemáticas y lasciencias de la computación, que estudia las propiedades de los grafos (también llamadas gráficas) estructuras queconstan de dos partes, el conjunto de vértices, nodos o puntos; y el conjunto de aristas, líneas o lados (edges eninglés) que pueden ser orientados o no.La teoría de grafos es una rama de la matemáticas discretas y aplicadas, y es una disciplina que unifica diversas áreascomo combinatoria, álgebra, probabilidad, geometría de polígonos, aritmética y topología.

Page 179: Mates Discretas +

Teoría de grafos 175

Actualmente ha tenido mayor preponderancia en el campo de la informática, las ciencias de la computación ytelecomunicaciones.

Historia

Los 7 puentes del río pregel en Königsberg.

El origen de la teoría de grafos se remonta al siglo XVIII con elproblema de los puentes de Königsberg, el cual consistía en encontrarun camino que recorriera los siete puentes del río pregel (54°42′12″N20°30′56″E) en la ciudad de Königsberg, actualmente Kaliningrado, demodo que se recorrieran todos los puentes pasando una sola vez porcada uno de ellos. El trabajo de Leonhard Euler sobre el problematitulado Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis[1] (Lasolución de un problema relativo a la geometría de la posición) en1736, es considerado el primer resultado de la teoría de grafos.También se considera uno de los primeros resultados topológicos engeometría (que no depende de ninguna medida). Este ejemplo ilustra laprofunda relación entre la teoría de grafos y la topología.

Luego, en 1847, Gustav Kirchhoff utilizó la teoría de grafos para el análisis de redes eléctricas publicando sus leyesde los circuitos para calcular el voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos, conocidas como leyes de Kirchhoff,considerado la primera aplicación de la teoría de grafos a un problema de ingeniería.En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores el cual afirma que es posible, utilizandosolamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca tengan elmismo color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por Kenneth Appel y Wolfgang Haken en1976, puede ser considerado como el nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los matemáticosdefinieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos.En 1857, Arthur Cayley estudió y resolvió el problema de enumeración de los isómeros, compuestos químicos conidéntica composición (formula) pero diferente estructura molecular. Para ello represento cada compuesto, en estecaso hidrocarburos saturados CnH2n+2, mediante un grafo árbol donde los vértices representan átomos y las aristas laexistencia de enlaces químicos.El termino «grafo», proviene de la expresión «graphic notation» usada por primera vez por Edward Frankland[2] yposteriormente adoptada por Alexander Crum Brown en 1884, y hacia referencia a la representación gráfica de losenlaces entre los átomos de una molécula.El primer libro sobre teoria de grafos fue escrito por Dénes Kőnig y publicado en 1936.[3]

AplicacionesGracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la síntesis de circuitossecuenciales, contadores o sistemas de apertura. Se utiliza para diferentes áreas por ejemplo, Dibujo computacional,en toda las áreas de Ingeniería.Los grafos se utilizan también para modelar trayectos como el de una línea de autobús a través de las calles de unaciudad, en el que podemos obtener caminos óptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmos como puede serel algoritmo de Floyd.Para la administración de proyectos, utilizamos técnicas como PERT en las que se modelan los mismos utilizandografos y optimizando los tiempos para concretar los mismos.La teoría de grafos también ha servido de inspiración para las ciencias sociales, en especial para desarrollar un concepto no metafórico de red social que sustituye los nodos por los actores sociales y verifica la posición,

Page 180: Mates Discretas +

Teoría de grafos 176

centralidad e importancia de cada actor dentro de la red. Esta medida permite cuantificar y abstraer relacionescomplejas, de manera que la estructura social puede representarse gráficamente. Por ejemplo, una red social puederepresentar la estructura de poder dentro de una sociedad al identificar los vínculos (aristas), su dirección eintensidad y da idea de la manera en que el poder se transmite y a quiénes.Los grafos son importantes en el estudio de la biología y hábitat. El vértice representa un hábitat y las aristas (o"edges" en inglés) representa los senderos de los animales o las migraciónes. Con esta información, los científicospueden entender cómo esto puede cambiar o afectar a las especies en su hábitat.

Mapas conceptuales Plano deestaciones del

metro.

Plano de autopistas. Circuito eléctrico

Sociograma de una red social Topología de red decomputadores

Organigramas Isomeros

Arquitectura de redesde telefonía móvil

Draws de eliminación directa (ej:tenis)

Tipos de grafos• Grafo simple. o simplemente grafo es aquel que acepta una sola una arista uniendo dos vértices cualesquiera.

Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Es la definiciónestándar de un grafo.

• Multigrafo. o pseudografo son grafos que aceptan más de una arista entre dos vértices. Estas aristas se llamanmúltiples o lazos (loops en inglés). Los grafos simples son una subclase de esta categoría de grafos. También seles llama grafos no-dirigido.

• Grafo dirigido. Son grafos en los cuales se ha añadido una orientación a las aristas, representada gráficamentepor una flecha

• Grafo etiquetado. Grafos en los cuales se ha añadido un peso a las aristas (número entero generalmente) o unetiquetado a los vértices.

• Grafo aleatorio. Grafo cuyas aristas están asociadas a una probabilidad.

Page 181: Mates Discretas +

Teoría de grafos 177

• Hipergrafo. Grafos en los cuales las aristas tienen más de dos extremos, es decir, las aristas son incidentes a 3 omás vértices.

• Grafo infinito. Grafos con conjunto de vértices y aristas de cardinal infinito.

Representación de grafosExisten diferentes formas de representar un grafo (simple), ademas de la geométrica y muchos métodos paraalmacenarlos en una computadora. La estructura de datos usada depende de las características del grafo y elalgoritmo usado para manipularlo. Entre las estructuras más sencillas y usadas se encuentran las listas y las matrices,aunque frecuentemente se usa una combinación de ambas. Las listas son preferidas en grafos dispersos porque tienenun eficiente uso de la memoria. Por otro lado, las matrices proveen acceso rápido, pero pueden consumir grandescantidades de memoria.

Estructura de lista• lista de incidencia - Las aristas son representadas con un vector de pares (ordenados, si el grafo es dirigido),

donde cada par representa una de las aristas.[4]

• lista de adyacencia - Cada vértice tiene una lista de vértices los cuales son adyacentes a él. Esto causaredundancia en un grafo no dirigido (ya que A existe en la lista de adyacencia de B y viceversa), pero lasbúsquedas son más rápidas, al costo de almacenamiento extra.

• lista de grados - También llamada secuencia de grados o sucesión gráfica de un grafo no-dirigido es unasecuencia de números, que corresponde a los grados de los vértices del grafo.

Estructuras matriciales• Matriz de incidencia - El grafo está representado por una matriz de A (aristas) por V (vértices), donde [arista,

vértice] contiene la información de la arista (1 - conectado, 0 - no conectado)• Matriz de adyacencia - El grafo está representado por una matriz cuadrada M de tamaño , donde es el

número de vértices. Si hay una arista entre un vértice x y un vértice y, entonces el elemento es 1, de locontrario, es 0.

Grafo G(V,A) Conjuntos Matriz de adyacencia Matriz de incidencia Secuencia degrados

Lista deAdyacencia

V = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } A ={ {1,1}, {1,2}, {1,5},{2,3}, {2,5}, {3,4},

{4,5}, {4,6} }

(4,3,3,3,2,1) { {1,2,5}, {3,5},{4}, {5,6} }

Page 182: Mates Discretas +

Teoría de grafos 178

Problemas de teoría de grafos

Ciclos y caminos hamiltonianos

Ejemplo de un ciclo hamiltoniano.

Un ciclo es una sucesión de aristas adyacentes, donde no serecorre dos veces la misma arista, y donde se regresa al puntoinicial. Un ciclo hamiltoniano tiene además que recorrer todos losvértices exactamente una vez (excepto el vértice del que parte y alcual llega).

Por ejemplo, en un museo grande (al estilo del Louvre), lo idóneosería recorrer todas las salas una sola vez, esto es buscar un ciclohamiltoniano en el grafo que representa el museo (los vértices sonlas salas, y las aristas los corredores o puertas entre ellas).

Se habla también de camino hamiltoniano si no se impone regresaral punto de partida, como en un museo con una única puerta deentrada. Por ejemplo, un caballo puede recorrer todas las casillasde un tablero de ajedrez sin pasar dos veces por la misma: es uncamino hamiltoniano. Ejemplo de un ciclo hamiltoniano en elgrafo del dodecaedro.

Hoy en día, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo hamiltoniano en tiempo polinómico, siendo labúsqueda por fuerza bruta de todos los posibles caminos u otros métodos excesivamente costosos. Existen, sinembargo, métodos para descartar la existencia de ciclos o caminos hamiltonianos en grafos pequeños.El problema de determinar la existencia de ciclos hamiltonianos, entra en el conjunto de los NP-completos.

Un grafo es plano si se puede dibujar sin cruces dearistas. El problema de las tres casas y los tres pozos

tiene solución sobre el toro, pero no en el plano.

Grafos planos

Cuando un grafo o multigrafo se puede dibujar en un plano sin quedos segmentos se corten, se dice que es plano.Un juego muy conocido es el siguiente: Se dibujan tres casas y trespozos. Todos los vecinos de las casas tienen el derecho de utilizarlos tres pozos. Como no se llevan bien en absoluto, no quierencruzarse jamás. ¿Es posible trazar los nueve caminos que juntanlas tres casas con los tres pozos sin que haya cruces?Cualquier disposición de las casas, los pozos y los caminosimplica la presencia de al menos un cruce.Sea Kn el grafo completo con n vértices, Kn, p es el grafo bipartitode n y p vértices.

El juego anterior equivale a descubrir si el grafo bipartitocompleto K3,3 es plano, es decir, si se puede dibujar en un plano sin que haya cruces, siendo la respuesta que no. Engeneral, puede determinarse que un grafo no es plano, si en su diseño puede encontrase una estructura análoga(conocida como menor) a K5 o a K3,3.

Establecer qué grafos son planos no es obvio, y es un problema que tiene que ver con topología.

Page 183: Mates Discretas +

Teoría de grafos 179

Coloración de grafosSi G=(V, E) es un grafo no dirigido, una coloración propia de G, ocurre cuando coloreamos los vértices de G demodo que si {a, b} es una arista en G entonces a y b tienen diferentes colores. (Por lo tanto, los vértices adyacentestienen colores diferentes). El número mínimo de colores necesarios para una coloración propia de G es el númerocromático de G y se escribe como C (G). Sea G un grafo no dirigido sea λ el número de colores disponibles para lacoloración propia de los vértices de G. Nuestro objetivo es encontrar una función polinomial P (G,λ), en la variableλ, llamada polinomio cromático de G , que nos indique el número de coloraciones propias diferentes de los vérticesde G, usando un máximo de λ colores.Descomposición de polinomios cromáticos. Si G=(V, E) es un grafo conexo y e pertenece a Ε , entonces: P (G,λ)=P(G+e,λ)+P (G/e,λ), donde G/e es el grafo se obtene por contracción de aristas.Para cualquier grafo G, el término constante en P (G,λ) es 0Sea G=(V, E) con |E|>0 entonces, la suma de los coeficientes de P (G,λ) es 0.Sea G=(V, E), con a, b pertenecientes al conjunto de vértices V pero {a, b}=e, no perteneciente a al conjunto dearistas E. Escribimos G+e para el grafo que se obtiene de G al añadir la arista e={a, b}. Al identificar los vértices a yb en G, obtenemos el subgrafo G++e de G.0000

Teorema de los cuatro colores

Mapa coloreado con 4-colores.

Grafo dual asociado al mapa con una 4-vértice coloración.Otro problema famoso relativo a los grafos: ¿Cuántos colores son necesarios para dibujar un mapa político, con lacondición obvia que dos países adyacentes no puedan tener el mismo color? Se supone que los países son de un solopedazo, y que el mundo es esférico o plano. En un mundo en forma de toroide; el teorema siguiente no es válido:Cuatro colores son siempre suficientes para colorear un mapa.El mapa siguiente muestra que tres colores no bastan: Si se empieza por el país central a y se esfuerza uno en utilizarel menor número de colores, entonces en la corona alrededor de a alternan dos colores. Llegando al país h se tieneque introducir un cuarto color. Lo mismo sucede en i si se emplea el mismo método.La forma precisa de cada país no importa; lo único relevante es saber qué país toca a qué otro. Estos datos estánincluidos en el grafo donde los vértices son los países y las aristas conectan los que justamente son adyacentes.Entonces la cuestión equivale a atribuir a cada vértice un color distinto del de sus vecinos.

Page 184: Mates Discretas +

Teoría de grafos 180

Hemos visto que tres colores no son suficientes, y demostrar que con cinco siempre se llega, es bastante fácil. Pero elteorema de los cuatro colores no es nada obvio. Prueba de ello es que se han tenido que emplear ordenadores paraacabar la demostración (se ha hecho un programa que permitió verificar una multitud de casos, lo que ahorrómuchísimo tiempo a los matemáticos). Fue la primera vez que la comunidad matemática aceptó una demostraciónasistida por ordenador, lo que ha creado una fuerte polémica dentro de la comunidad matemática, llegando enalgunos casos a plantearse la cuestión de que esta demostración y su aceptación es uno de los momentos que hangenerado una de las más terribles crisis en el mundo matemático.

Caracterización de grafos

Grafos simples

Un grafo es simple si a lo más existe una arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir queuna arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos.Un grafo que no es simple se denomina multigrafo.

Grafos conexos

Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices(a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b.Un grafo es doblemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos; es decir,es conexo y no existe un vértice tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.Es posible determinar si un grafo es conexo usando un algoritmo Búsqueda en anchura (BFS) o Búsqueda enprofundidad (DFS).En términos matemáticos la propiedad de un grafo de ser (fuertemente) conexo permite establecer con base en él unarelación de equivalencia para sus vértices, la cual lleva a una partición de éstos en "componentes (fuertemente)conexas", es decir, porciones del grafo, que son (fuertemente) conexas cuando se consideran como grafos aislados.Esta propiedad es importante para muchas demostraciones en teoría de grafos.

Grafos completos

Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de vértices. Es decir, todo par de vértices (a,b) debe tener una arista e que los une.El conjunto de los grafos completos es denominado usualmente , siendo el grafo completo de n vértices.

Un , es decir, grafo completo de vértices tiene exactamente aristas.

La representación gráfica de los como los vértices de un polígono regular da cuenta de su peculiar estructura.

Page 185: Mates Discretas +

Teoría de grafos 181

Grafos bipartitos

Un grafo G es bipartito si puede expresarse como (es decir, sus vértices son la unión de dosgrupos de vértices), bajo las siguientes condiciones:• y son disjuntos y no vacíos.• Cada arista de A une un vértice de V1 con uno de V2.• No existen aristas uniendo dos elementos de V1; análogamente para V2.Bajo estas condiciones, el grafo se considera bipartito, y puede describirse informalmente como el grafo que une orelaciona dos conjuntos de elementos diferentes, como aquellos resultantes de los ejercicios y puzzles en los quedebe unirse un elemento de la columna A con un elemento de la columna B.

Homeomorfismo de grafos

Dos grafos y son homeomorfos si ambos pueden obtenerse a partir del mismo grafo con una sucesión desubdivisiones elementales de aristas.

Árboles

Ejemplo de árbol.

Un grafo que no tiene ciclos y que conecta a todos los puntos, se llama unárbol. En un grafo con n vértices, los árboles tienen exactamente n - 1 aristas, yhay nn-2 árboles posibles. Su importancia radica en que los árboles son grafosque conectan todos los vértices utilizando el menor número posible de aristas.Un importante campo de aplicación de su estudio se encuentra en el análisisfilogenético, el de la filiación de entidades que derivan unas de otras en unproceso evolutivo, que se aplica sobre todo a la averiguación del parentescoentre especies; aunque se ha usado también, por ejemplo, en el estudio delparentesco entre lenguas.

Grafos ponderados o etiquetadosEn muchos casos, es preciso atribuir a cada arista un número específico, llamado valuación, ponderación o costesegún el contexto, y se obtiene así un grafo valuado.Formalmente, es un grafo con una función v: A → R

+.

Por ejemplo, un representante comercial tiene que visitar n ciudades conectadas entre sí por carreteras; su interésprevisible será minimizar la distancia recorrida (o el tiempo, si se pueden prever atascos). El grafo correspondientetendrá como vértices las ciudades, como aristas las carreteras y la valuación será la distancia entre ellas.Y, de momento, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo de valuación mínima, pero sí para los caminosdesde a hasta b, sin más condición.

Page 186: Mates Discretas +

Teoría de grafos 182

Diámetro

En la figura se nota que K4 es plano (desviando la arista ab al exteriordel cuadrado), que K5 no lo es, y que K3,2 lo es también (desvíos en

gris).

En un grafo, la distancia entre dos vértices es elmenor número de aristas de un recorrido entre ellos.El diámetro, en una figura como en un grafo, es lamayor distancia de entre todos los pares de puntosde la misma.

El diámetro de los Kn es 1, y el de los Kn,p es 2. Undiámetro infinito puede significar que el grafo tieneuna infinidad de vértices o simplemente que no esconexo. También se puede considerar el diámetropromedio, como el promedio de las distancias entredos vértices.

El mundo de Internet ha puesto de moda esa idea del diámetro: Si descartamos los sitios que no tienen enlaces, yescogemos dos páginas web al azar: ¿En cuántos clics se puede pasar de la primera a la segunda? El resultado es eldiámetro de la Red, vista como un grafo cuyos vértices son los sitios, y cuyas aristas son lógicamente los enlaces.

En el mundo real hay una analogía: tomando al azar dos seres humanos del mundo, ¿En cuántos saltos se puedepasar de uno a otro, con la condición de sólo saltar de una persona a otra cuando ellas se conocen personalmente?Con esta definición, se estima que el diámetro de la humanidad es de... ¡ocho solamente!Este concepto refleja mejor la complejidad de una red que el número de sus elementos.Véase también: Glosario en teoría de grafos.

Algoritmos importantes•• Algoritmo de búsqueda en anchura (BFS)•• Algoritmo de búsqueda en profundidad (DFS)•• Algoritmo de búsqueda A*•• Algoritmo del vecino más cercano•• Ordenación topológica de un grafo•• Algoritmo de cálculo de los componentes fuertemente conexos de un grafo•• Algoritmo de Dijkstra•• Algoritmo de Bellman-Ford•• Algoritmo de Prim•• Algoritmo de Ford-Fulkerson•• Algoritmo de Kruskal•• Algoritmo de Floyd-Warshall

Page 187: Mates Discretas +

Teoría de grafos 183

Investigadores relevantes en Teoría de grafos•• Alon, Noga•• Berge, Claude•• Bollobás, Béla•• Brightwell, Graham•• Chung, Fan•• Dirac, Gabriel Andrew•• Dijkstra, Edsger•• Erdős, Paul•• Euler, Leonhard•• Faudree, Ralph•• Golumbic, Martin•• Graham, Ronald•• Harary, Frank•• Heawood, Percy John•• Kőnig, Dénes•• Kuratowski, Kazimierz•• Lovász, László•• Nešetřil, Jaroslav•• Rényi, Alfréd•• Ringel, Gerhard•• Robertson, Neil•• Seymour, Paul•• Szemerédi, Endre•• Thomas, Robin•• Thomassen, Carsten•• Turán, Pál•• Tutte, W. T.•• Whitney, Hassler

Referencias[1] Euler, L. (1736). « Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (http:/ / math. dartmouth. edu/ ~euler/ docs/ originals/ E053. pdf)».

Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 8. 128-140. .[2] http:/ / booklens. com/ l-r-foulds/ graph-theory-applications pag 7[3] Tutte, W.T. (2001), Graph Theory (http:/ / books. google. com/ books?id=uTGhooU37h4C& pg=PA30), Cambridge University Press, p. 30,

ISBN 978-0-521-79489-3, .[4] Ejemplo de una lista de incidencia (http:/ / upload. wikimedia. org/ wikipedia/ commons/ thumb/ 1/ 18/ Incidence_list_2. svg/

500px-Incidence_list_2. svg. png)

Page 188: Mates Discretas +

Teoría de grafos 184

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Teoría de grafos. Commons• Páginas blancas de la Teoría de grafos (http:/ / www. math. gatech. edu/ ~sanders/ graphtheory/ ) (para más

investigadores y publicaciones).•• "Teoría de grafos" en la Enciclopedia Libre Universal en Español• Grafos (http:/ / arodrigu. webs. upv. es/ grafos): Es un software para la construcción, edición y análisis de grafos.

Forma parte de un proyecto (creative commons) de investigación y desarrollo de aplicaciones informáticas dediseño modular orientadas hacia la docencia, investigación y labores profesionales de Ingeniería de OrganizaciónIndustrial. También tiene un libro y otros documentos para descargar sobre teoría de grafos.

• GraphThing (http:/ / graph. seul. org/ ): Es un software para la construcción, edición y análisis de grafos, essoftware libre bajo la licencia gnu.

• aiSee (http:/ / www. absint. com/ aisee/ index_es. htm): Es un software para la visualización automática de grafosespecificados en formato GDL. No es libre, pero es gratuito para uso no comercial.

• AbuGraph (http:/ / sourceforge. net/ projects/ abugraph): Aplicación Java para el trazado y la visualización degrafos dirigidos. Soporta la creación dinámica de grafos en tiempo real recibiendo comandos desde otrasaplicaciones a través de una conexión TCP/IP.

• El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal (http:/ /enciclopedia. us. es/ index. php/ TeorÃa_de_grafos), publicada en español bajo la licencia Creative CommonsCompartir-Igual 3.0 (http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/ deed. es).

Leyes de KirchhoffLas leyes de Kirchhoff son dos igualdades que se basan en la conservación de la energía y la carga en los circuitoseléctricos. Fueron descritas por primera vez en 1845 por Gustav Kirchhoff. Son ampliamente usadas en ingenieríaeléctrica.Ambas leyes de circuitos pueden derivarse directamente de las ecuaciones de Maxwell, pero Kirchhoff precedió aMaxwell y gracias a Georg Ohm su trabajo fue generalizado. Estas leyes son muy utilizadas en ingeniería eléctricapara hallar corrientes y tensiones en cualquier punto de un circuito eléctrico.

Page 189: Mates Discretas +

Leyes de Kirchhoff 185

Ley de corrientes de KirchhoffVéase también: Análisis de nodos.

La corriente que pasa por un nodo es igual a la corrienteque sale del mismo. i1 + i4 = i2 + i3

Esta ley también es llamada ley de nodos o primera ley deKirchhoff y es común que se use la sigla LCK para referirse aesta ley. La ley de corrientes de Kirchhoff nos dice que:

En cualquier nodo, la suma de las corrientes que entran en ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. De forma equivalente, lasuma de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero

Esta fórmula es válida también para circuitos complejos:

La ley se basa en el principio de la conservación de la carga donde la carga en couloumbs es el producto de lacorriente en amperios y el tiempo en segundos.

Densidad de carga varianteLa LCK sólo es válida si la densidad de carga se mantiene constante en el punto en el que se aplica. Considere lacorriente entrando en una lámina de un capacitor. Si uno se imagina una superficie cerrada alrededor de esa lámina,la corriente entra a través del dispositivo, pero no sale, violando la LCK. Además, la corriente a través de unasuperficie cerrada alrededor de todo el capacitor cumplirá la LCK entrante por una lámina sea balanceada por lacorriente que sale de la otra lámina, que es lo que se hace en análisis de circuitos, aunque cabe resaltar que hay unproblema al considerar una sola lámina. Otro ejemplo muy común es la corriente en una antena donde la corrienteentra del alimentador del transmisor pero no hay corriente que salga del otro lado.Maxwell introdujo el concepto de corriente de desplazamiento para describir estas situaciones. La corriente que fluyeen la lámina de un capacitor es igual al aumento de la acumulación de la carga y además es igual a la tasa de cambiodel flujo eléctrico debido a la carga (el flujo eléctrico también se mide en Coulombs, como una carga eléctrica en elSIU). Esta tasa de cambio del flujo , es lo que Maxwell llamó corriente de desplazamiento :

Cuando la corriente de desplazamiento se incluye, la ley de Kirchhoff se cumple de nuevo. Las corrientes dedesplazamiento no son corrientes reales debido a que no constan de cargas en movimiento, deberían verse más como

Page 190: Mates Discretas +

Leyes de Kirchhoff 186

un factor de corrección para hacer que la LCK se cumpla. En el caso de la lámina del capacitor, la corriente entrantede la lámina es cancelada por una corriente de desplazamiento que sale de la lámina y entra por la otra lámina.Esto también puede expresarse en términos del vector campo al tomar la Ley de Ampere de la divergencia con lacorrección de Maxwell y combinando la ley de Gauss, obteniendo:

Esto es simplemente la ecuación de la conservación de la carga (en forma integral, dice que la corriente que fluye através de una superficie cerrada es igual a la tasa de pérdida de carga del volumen encerrado (Teorema deDivergencia). La ley de Kirchhoff es equivalente a decir que la divergencia de la corriente es cero, para un tiempoinvariante p, o siempre verdad si la corriente de desplazamiento está incluida en J.

Ley de tensiones de KirchhoffVéase también: Análisis de malla.

Ley de tensiones de Kirchhoff, en este caso v4= v1+v2+v3. No setiene en cuenta a v5 porque no hace parte de la malla que estamos

analizando.

Esta ley es llamada también Segunda ley deKirchhoff, ley de lazos de Kirchhoff o ley de mallasde Kirchhoff y es común que se use la sigla LVK parareferirse a esta ley.

En un lazo cerrado, la suma de todas las caídas de tensión es igual a la tensión total suministrada. De forma equivalente, la suma algebraicade las diferencias de potencial eléctrico en un lazo es igual a cero.

De igual manera que con la corriente, los voltajes también pueden ser complejos, así:

Esta ley se basa en la conservación de un campo potencial de energía. Dado una diferencia de potencial, una cargaque ha completado un lazo cerrado no gana o pierde energía al regresar al potencial inicial.Esta ley es cierta incluso cuando hay resistencia en el circuito. La validez de esta ley puede explicarse al considerarque una carga no regresa a su punto de partida, debido a la disipación de energía. Una carga simplemente terminaráen el terminal negativo, en vez de el positivo. Esto significa que toda la energía dada por la diferencia de potencial hasido completamente consumida por la resistencia, la cual la transformará en calor.

Page 191: Mates Discretas +

Leyes de Kirchhoff 187

En resumen, la ley de tensión de Kirchhoff no tiene nada que ver con la ganancia o pérdida de energía de loscomponentes electrónicos (Resistores, capacitores, etc. ). Es una ley que está relacionada con el campo potencialgenerado por fuentes de tensión. En este campo potencial, sin importar que componentes electrónicos esténpresentes, la ganancia o pérdida de la energía dada por el campo potencial debe ser cero cuando una carga completaun lazo.

Campo eléctrico y potencial eléctricoLa ley de tensión de Kirchhoff puede verse como una consecuencia del principio de la conservación de la energía.Considerando ese potencial eléctrico se define como una integral de línea, sobre un campo eléctrico, la ley de tensiónde Kirchhoff puede expresarse como:

Que dice que la integral de línea del campo eléctrico alrededor de un lazo cerrado es cero.Para regresar a una forma más especial, esta integral puede "partirse" para conseguir el voltaje de un componente enespecífico.

Enlaces externos• Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Ley de Corriente de Kirchhoff.Wikiversidad• Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Ley de Voltaje de Kirchhoff.WikiversidadWikilibros• Wikilibros alberga libro sobre Leyes de Kirchhoff.• Este artículo fue creado a partir de la traducción del artículo Kirchhoff's circuit laws de la Wikipedia en inglés,

bajo la licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0 Unported y la licencia de documentaciónlibre de GNU.

Page 192: Mates Discretas +

Multigrafo 188

Multigrafo

Un multigrafo con múltiples aristas (en rojo) ytres bucles (en azul). No todos los autores

permiten multigrafos con bucles.

Un multigrafo o pseudografo es un grafo que está facultado paratener aristas múltiples; es decir, aristas que relacionan los mismosnodos. De esta forma, dos nodos pueden estar conectados por más deuna arista. Formalmente, un multigrafo G es un par ordenado G:=(V,E) donde:

• V es un conjunto de vértices o nodos• E es un multiconjunto de pares no ordenados de nodos, llamados

aristas o líneas.

Ejemplo. Los multigrafos podrían usarse, por ejemplo, para modelarlas posibles conexiones de vuelo ofrecidas por una aerolínea. Para estecaso tendríamos un grafo dirigido, donde cada nodo es una localidad ydonde pares de aristas paralelas conectan estas localidades, según unvuelo es hacia o desde una localidad a la otra.

Algunos autores permiten que los multigrafos tengan bucles, es decir,que una arista conecte a un nodo consigo mismo.[1]

Un multidigrafo es un grafo dirigido que está facultado para tener aristas múltiples, es decir, aristas con los mismosnodos iniciales y finales. Formalmente, un multidigrafo G es un par ordenado G:=(V,A) donde:• V es un conjunto de vértices o nodos• A es un multiconjunto de pares ordenados de nodos, llamados aristas dirigidas, arcos o flechas.Un multidigrafo mixto G:=(V,E,A) puede definirse de la misma manera que un grafo mixto, es decir, con lacapacidad de poseer al mismo tiempo aristas dirigidas (A) y no dirigidas (E).

EtiquetadoLos multigrafos y multidigrafos pueden etiquetarse de manera análoga a un grafo tradicional. Sin embargo, sóloexiste consenso con respecto a la terminología para los multidigrafos.Un multidigrafo etiquetado G es un grafo etiquetado con arcos etiquetados. Formalmente, es una 8-tupla

donde:•• V es un conjunto de nodos y A un multiconjunto de arcos.• y son alfabetos finitos para las etiquetas de nodos y arcos.• y son dos funciones que indican la fuente y objetivo de los nodos de un arco.• y son dos funciones que asocian cada nodo y arco con una etiqueta.

Page 193: Mates Discretas +

Multigrafo 189

Notas[1][1] Por ejemplo, ver, Bollobas, p. 7 y Diestel, p. 25.

Referencias• Balakrishnan, V. K.; Graph Theory, McGraw-Hill; 1 edition (February 1, 1997). ISBN 0-07-005489-4.• Bollobas, Bela; Modern Graph Theory, Springer; 1st edition (August 12, 2002). ISBN 0-387-98488-7.• Diestel, Reinhard; Graph Theory, Springer; 2nd edition (February 18, 2000). ISBN 0-387-98976-5.• Gross, Jonathan L, and Yellen, Jay; Graph Theory and Its Applications, CRC Press (December 30, 1998). ISBN

0-8493-3982-0.• Gross, Jonathan L, and Yellen, Jay; (eds); Handbook of Graph Theory. CRC (December 29, 2003). ISBN

1-58488-090-2.• Harary, Frank; Graph Theory, Addison Wesley Publishing Company (January 1995). ISBN 0-201-41033-8.• Zwillinger, Daniel; CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, Chapman & Hall/CRC; 31st edition

(November 27, 2002). ISBN 1-58488-291-3.• Svante Janson, Donald E. Knuth, Tomasz Luczak, and Boris Pittel; The Birth of the Giant Component, Random

Structures Algorithms 4 (1993), no. 3, 231-358.

Grafo dirigido

Un grafo dirigido.

Un grafo dirigido o digrafo es un tipo de grafo en el cual el conjunto de losvértices tiene una dirección definida[1], a diferencia del grafo generalizado, en elcual la dirección puede estar especificada o no.

Al igual que en el grafo generalizado, el grafo dirigido está definido por un par deconjuntos , donde:

• , un conjunto no vacío de objetos simples llamados vértices o nodos.• es un conjunto de pares ordenados de

elementos de denominados aristas o arcos, donde por definición un arco vadel primer nodo (a) al segundo nodo (b) dentro del par.

A veces un digrafo es denominado digrafo simple para distinguirlo del caso general del multigrafo dirigido, dondelos arcos constituyen un multiconjunto, en lugar de un conjunto. En este caso, puede haber más de un arco que unados vértices en la misma dirección, distinguiéndose entre sí por su identidad, por su tipo (por ejemplo un tipo de arcorepresenta relaciones de amistad mientras que el otro tipo representa mensajes enviados recientemente entre losnodos), o por un atributo como por ejemplo su importancia o peso.A menudo también se considera que un digrafo simple es aquél en el que no están permitidos los bucles. Un bucle esun arco que une un vértice consigo mismo.

Page 194: Mates Discretas +

Grafo dirigido 190

Terminología básicaUn arco se considera dirigido desde x hacia y; y se denomina cabeza y x se denomina cola del arco.y se denomina también un sucesor directo de x; correspondientemente, se denomina a x un predecesor directo de y.Si existe un camino compuesto de uno o más arcos que una x con y, entonces a y se le denomina sucesor de x, aligual que a x se le denomina predecesor de y.

Al arco se le denomina arco invertido de .Un grafo dirigido G es llamado simétrico si, para cualquier arco que pertenece a G, el arco invertido correspondientetambién pertenece a G. Un grafo dirigido simétrico y sin bucles es equivalente a un grafo no dirigido; basta conreemplazar cada par de arcos dirigidos por un solo arco no dirigido.Una orientación de un grafo simple no dirigido se obtiene al asignar una orientación a cada uno de los arcosexistentes. Un grafo dirigido construido de esta manera se denomina un grafo orientado. Una manera de distinguirentre un grafo simple dirigido y un grafo orientado es que si x e y son vértices, un grafo simple dirigido permite tanto

como entre sus arcos, mientras que solo una de las dos posibilidades es admitida en un grafoorientado.[2][3]

Un digrafo ponderado es un digrafo en el que existen pesos asociados a cada uno de los arcos, de manera análoga algrafo ponderado. Un digrafo ponderado en el contexto de la teoría de grafos es denominado una red.La matriz de adyacencia de un digrafo (con bucles y arcos múltiples permitidos) es una matriz compuesta por valoresenteros, donde los índices de columnas y filas se corresponden con las identidades de los vertices . Un elementode esta matriz, representa el número de arcos existentes entre los nodos i y j. Un elemento en la diagonal de estamatriz, representa el número de bucles que existen en el nodo i. La matriz de adyacencia de un digrafo es unarepresentación única del digrafo, exceptuadas posibles permutacions de las filas y columnas.Otra representación común de un digrafo es la matriz de incidencia.

Referencias[1][1] Bang-Jensen,Gutin,2000. Diestel,2005, Section 1.10. Bondy,Murty,1976, Section 10.[2][2] Diestel,2005, Section 1.10.[3] Weisstein, Eric W. « Oriented Graph (http:/ / mathworld. wolfram. com/ OrientedGraph. html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Page 195: Mates Discretas +

Grafo etiquetado 191

Grafo etiquetadoEn matemáticas, en la disciplina de teoría de grafos, un grafo etiquetado es la asignación de etiquetas,tradicionalmente representada mediante enteros, a las aristas or vértices, o ambos, de un grafo.[1]

Formalmente, dado un grafo G, un vértice etiquetado es una función que hace corresponde vértices de G a unconjunto de etiquetas. Un grafo con tal función definida es llamado grafo de vértices etiquetados. De la mismamanera, una arista etiquetada es una función de asignación de aristas de G tal conjunto de «etiquetas». En este caso,G es llamado como grafo de aristas etiquetadas. Cuando las etiquetas de las aristas pertenecen a un conjuntoordenado (i.e., los números reales), ésta puede ser llamada como grafo ponderado.Cuando es usado sin calificación, el término grafo etiquetado reneralmente se refiere a un grafo con vérticesetiquetados con todas las etiquetas distintas. Tal grafo puede ser equivalentemente etiquetado mediante enterosconsecutivos {1, ..., n}, donde n es el número de vértices en el grafo.[1] Para muchas aplicaciones, a las aristas y losvérticesle corresponde etiquetas que tienen un significado en el dominio asociado. Por ejemplo, las aristas pueden serasignadas mediante pesos que representan el «coste» de atravesar entre los vértices implicados.[2]

En la definición de arriba se entiende como grafo un grafo simple indirecto finito. Sin embargo, la noción deetiquetado puede ser aplicada a todas las extensiones y generalizaciones de grafos. Por ejemplo, en teoría deautómatas y teoría de lenguaje formal es conveniente considerar multigrafos etiquetados, i.e., un par de vérticespuede ser conectado por varias aristas etiquetadas.[3]

HistoriaLa mayoría de los grafos etiquetados tienen sus origenesen los etiquetados presentados por Alex Rosa en un artículoen 1967.[4] Rosa identificó tres tipos de etiquetado, a los cuales llamó α-, β-, y ρ-etiquetado.[5] Los β-etiquetadosfueron más tarde renombrados como elegantes por S.W. Golomb y el nombre se ha hecho popular desde entonces.

Casos especiales

Etiquetado elegante

Un etiquetado elegante. Las etiquetas de losvértices están en negro, las etiquetas de las aristas

en rojo.

Un grafo es denominado como elegante cuando sus vértices sonetiquetados desde 0 a , el tamaño del grafo, y este etiquetadoinduce un etiquetado de aristas desde 1 a . Para cualquier aristae, los etiquetas de e son la diferencia positiva entre dos vérticesincidentes con e. En otras palabras, si e es incidente con los vérticesetiquetados k y j, e será etiquetado como . Así pues, ungrafo es elegante si y sólo si existe una inyección queinduce una biyección de E a los enteros positivos hasta .En su trabajo original, Rosa demostró que todos los grafos eulerianoscon órden equivalente a 1 o 2 (mod 4) no son elegantes. El si ciertas familias de grafos son elegantes o no es una áreade la teoría de grafos que está bajo intenso estudio. Podría decirse que, la conjetura no demostrada más grande deetiquetado de grafos es la conjetura de Ringel-Kotzig, la cual conjetura que todos los árboles son elegantes. Ésto hasido demostrado para todos los caminos, orugas, y muchas otras familias infinitas de los árboles. El mismo Kotzig hallamado al esfuerzo de demostrar la conjetura una «enfermedad».

Page 196: Mates Discretas +

Grafo etiquetado 192

Etiquetado armoniosoUn grafo armonioso es un grafo con k aristas que permiten una inyección de los vértices de G al grupo de enterosmodulo k que induce una biyección entre las aristas de G y los enteros positivos hasta . Para cualquier arista e,los etiquetados de e son la suma de las etiquetas de dos vértices incidentes con e (mod q).

Coloración de grafos

Una coloración por vértices para un grafo dePetersen, donde cada color representa una

etiqueta.

La coloración de grafos es un caso especial de grafos etiquetados, talesque los vértices adjacentes y las aristas coincidentes deben tenerdiferentes etiquetas.

Referencias[1] Weisstein, Eric W. « Labeled graph (http:/ / mathworld. wolfram. com/

LabeledGraph. html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.[2] "Different Aspects of Coding Theory", by Robert Calderbank (1995) ISBN

0-8218-0379-4, p. 53 (http:/ / books. google. com/ books?id=TcOzdq3nDp4C&pg=PA57& dq="labeled+ graph"& lr=#PPA53,M1)"

[3] "Developments in Language Theory", Proc. 9th. Internat.Conf., 2005, ISBN3-540-26546-5, p. 313 (http:/ / books. google. com/ books?id=QPgojKbuuUEC&pg=PA314& dq="labeled+ graph"#PPA313,M1)

[4] Gallian, J.. A Dynamic Survey of Graph Labelings, 1996-2005. The ElectronicJournal of Combinatorics.

[5] Rosa, A.. On certain valuations of vertices in a graph.

•• Rosa, A. "On certain valuations of the vertices of a graph." Theory of Graphs (Internat. Symposium, Rome, July1966), Gordon and Breach, N. Y. and Dunod Paris. (1967) 349-355.

• Gallian, Joseph A. "A Dynamic Survey of Graph Labeling." The Electronic Journal of Combinatorics (2005). 20Dec. 2006 (http:/ / www. combinatorics. org/ Surveys/ ds6. pdf).

Page 197: Mates Discretas +

Grafo aleatorio 193

Grafo aleatorio

Los grafos aleatorios poseen estructuras típicas de los procesosaleatorios.

En Matemáticas se denomina grafo aleatorio a ungrafo que es generado por algún tipo de procesoaleatorio. La teoría de los grafos aleatorios cae en laintersección entre la teoría de grafos y la teoría deprobabilidades y se fundamenta en el estudio de ciertaspropiedades de los grafos aleatorios. Uno de losmodelos matemáticos más aplicados en la generaciónde redes aleatorias es modelo Erdös–Rényi.[1][2]

Ramas de estudio

Una de las ramas más estudiadas en el área de las redesaleatorias es el de la teoría de la percolación (nivel depercolación) relacionado con el estudio de la fiabilidaden las redes de comunicación.[3] Un campo de estudioinicial fue el de redes sociales, estudios sobre latopología de redes evolutivas como puede ser internet,etc. Se ha visto que algunas de las redes actuales crecen según modelos predefinidos en su distribuciones de grado,como puede ser la redes libres de escala.

ConceptoLa idea de los grafos aleatorios está dentro de como enlazar de forma aleatoria un conjunto de N nodos, para realizaresto se pueden seguir diversas estrategias, cada una de ellas proporciona un modelo de redes (grafos) aleatorios. Unade los campos de estudio más activo es el de los grafos aleatorios dinámicos en los que se van añadiendo nodos amedida que pasa el tiempo, estos grafos muestran ciertas propiedades de las redes reales.[4]

TeoremasAlgunos teoremas se deducen del modelo, por ejemplo, si G(n; p) es un grafo aleatorio con n vértices donde cadaenlace tiene una posibilidad p de existir:Teorema 1

Dado un G(n, p) con un valor p constante e independiente de n, entonces el grafo seguro que posee casi seguroun diámetro igual a 2.

Teorema 2

Para un grafo G(n, p) aleatorio se establece que . Si c > 1 entonces casi todos los grafos no poseenvertices aislados y si c < 1 casi todos los grafos tienen al menos un vértice aislado.

Page 198: Mates Discretas +

Grafo aleatorio 194

Biografías• Béla Bollobás, Random Graphs, 2nd Edition, 2001, Cambridge University Press• Christine Nickel, Random Dot Product Graphs: A Model for Social Networks, Ph.D. Thesis, The Johns Hopkins

University, 2007.

Referencias[1][1] Erdős, P. and Rényi, A. "On the Evolution of Random Graphs." Publ. Math. Inst. Hungar. Acad. Sci. 5, 17-61, 1960.[2][2] Erdős, P. and Spencer, J. Probabilistic Methods in Combinatorics. New York: Academic Press, 1974.[3][3] Janson, S.; Łuczak, T.; and Ruciński, A. Random Graphs. New York: Wiley, 2000.[4][4] "Random Graph Dynamics", Rick Durrett, Cornell University, New York,2006

Hipergrafo

Ejemplo de hipergrafo H={e1,e2,e3,e4}=, definidosobre el conjunto base A = {v1, v2, v3, v4, v5, v6,v7}. Aquí H es propio, tiene dominio parcial, su

cardinalidad es 4 y su tamaño 28.

En matemática y ciencias de la computación, un hipergrafo es unageneralización de un grafo, cuyas aristas aquí se llaman hiperaristas, ypueden relacionar a cualquier cantidad de vértices, en lugar de sólo unmáximo de dos como en el caso particular.

Formalmente, dado un conjunto finito A llamado conjunto base, unhipergrafo H es una familia de subconjuntos de ; es decir, unsubconjunto de , que es el conjunto potencia de . Loselementos de un hipergrafo se llaman hiperaristas, las cuales a su vezson subconjuntos de .La cardinalidad de un hipergrafo es su número de hiperaristas, y sedenota |H|. El tamaño o volumen de un hipergrafo, se define como|A|·|H|.

Historia

Este término fue acuñado por el matemático francés Claude Berge en 1970.[1] Desde entonces, se ha desarrolladotoda una teoría de hipergrafos, que aunque a veces trata conceptos y problemas similares a los de la teoría de grafos,muchas veces se distancia de ésta última. Los hipergrafos se utilizan actualmente en distintas áreas, tales como lalógica, la optimización, teoría de juegos, inteligencia artificial, minería de datos, indexación de bases de datos, entremuchas otras.

Page 199: Mates Discretas +

Hipergrafo 195

Propiedades• Un hipergrafo es propio, si no es vacío ni contiene la hiperarista vacía.• Un hipergrafo tiene dominio total si la unión de las hiperaristas es igual al conjunto A; de lo contrario, se dice

que tiene dominio parcial.

Estructura de hipergrafosUna estructura de hipergrafos es un par ordenado G:=(H, K) de dos hipergrafos H y K, bajo el mismo conjuntobase.El tamaño o volumen de una estructura está dada por |A|·(|H|+|K|).

Ejemplo

Sea , entonces , con yes una estructura de hipergrafos, de tamaño 18.

Referencias[1] Berge, Claude. Graphes et hypergraphes (37 edición). Dunod, París: Monographies Universitaires de Mathématiques.

HiperaristaEn teoría de hipergrafos, una hiperarista es un elemento de un hipergrafo. Haciendo la analogía con la teoría degrafos, una hiperarista se puede ver además como una arista que puede relacionar a cualquier número de nodos.

Formalmente, dado un hipergrafo , definido sobre un conjunto base , una hiperarista se definecomo un conjunto . Toda hiperarista es un subconjunto del conjunto base sobre el cual se define unhipergrafo.

Ejemplo

Sea el hipergrafo definido sobre el conjunto base , entonces lostres conjuntos , y son hiperaristas de H.

Page 200: Mates Discretas +

Optimización (matemática) 196

Optimización (matemática)

El máximo de un paraboloide.

En matemáticas la optimización o programación matemática intentadar respuesta a un tipo general de problemas matemáticos donde sedesea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma mássimple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:

Donde es un vector y representa variables dedecisión, es llamada función objetivo y representa o mide lacalidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y esel conjunto de puntos o decisiones factibles o restricciones delproblema.Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones como solución de un sistema de igualdades odesigualdades.

Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad,eficiencia, etc.) o minimizar un criterio determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significanque no cualquier decisión es posible.

Tipos de optimizacionesSegún el nivel de generalidad que tome el problema:

Optimización clásicaSi la restricción no existe, o es una restricción de igualdad, con menor o igual número de variables que la funciónobjetivo entonces, el cálculo diferencial, da la respuesta, ya que solo se trata de buscar los valores extremos de unafunción.

Optimización con restricciones de desigualdadPara problemas con restricciones de tipo desigualdad también existen métodos que en muchos casos permitenencontrar los valores máximos o mínimos.Si tanto restricciones como función objetivo son lineales, el problema se llama de Programación lineal, yhabitualmente se aborda aplicando algoritmos basados en el álgebra lineal elemental, como los algoritmos de pivotey en especial los llamados algoritmos simplex primal y dual.Si estas condiciones no se cumplen, en algunos casos se puede aplicar las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker paraencontrar los puntos críticos, que incluyen los máximos y mínimos. No obstante, las condiciones deKarush-Kuhn-Tucker a veces no existen o son insuficientes para hallar extremos.

Page 201: Mates Discretas +

Optimización (matemática) 197

Optimización estocásticaCuando las variables del problema (función objetivo y/o restricciones) son variables aleatorias el tipo deoptimización realizada es optimización estocástica.

Optimización con información no perfectaEn este caso la cantidad de variables, o más aún la función objetivo puede ser desconocida o también variable. Eneste campo, la matemática conocida como matemática borrosa[1], está realizando esfuerzos, por resolver elproblema. Sin embargo, como el desarrollo de esta área de la matemática es aún demasiado incipiente, son escasoslos resultados obtenidos.

Referencias[1] http:/ / es. wikipedia. org/ wiki/ L%C3%B3gica_difusa

Algoritmo símplex

Un sistema de desigualdades lineales define un poliedro como unaregión factible. El algoritmo simplex comienza en un vértice y semueve a lo largo de las aristas del poliedro hasta que alcanza el

vértice de la solución óptima.

En optimización matemática, el término algoritmosímplex habitualmente se refiere a un conjunto demétodos muy usados para resolver problemas deprogramación lineal, en los cuales se busca el máximo deuna función lineal sobre un conjunto de variables quesatisfaga un conjunto de inecuaciones lineales. Elalgoritmo simplex primal fue desarrollado por elmatemático norteamericano George Dantzig en 1947, yprocede examinando vértices adyacentes del poliedro desoluciones. Un algoritmo simplex es un algoritmo depivote.

Un método llamado de manera similar, pero norelacionado al anterior, es el método Nelder-Mead (1965)o método de descenso (o ascenso) símplex; un métodonumérico que busca un mínimo (o máximo) local de unafunción cualquiera examinando en cada paso los vérticesde un simplex.

Entrada del problema

Considerar un problema de programación lineal,maximizar

sujeto a El algoritmo símplex requiere que el problema de programación lineal esté en la forma aumentada de laprogramación lineal. El problema puede ser escrito como sigue, en forma de matriz:

Maximizar en:

Page 202: Mates Discretas +

Algoritmo símplex 198

donde x son las variables desde la forma estándar, xs son las variables de holgura introducidas en el proceso deaumentación, c contiene los coeficientes de optimización, describe el sistema de ecuaciones contraídas, y Z es lavariable a ser maximizada.El sistema es típicamente no determinado, desde que el número de variables excede el número de ecuaciones. Ladiferencia entre el número de variables y el número de ecuaciones nos da los grados de libertad asociados con elproblema. Cualquier solución, óptima o no, incluirá un número de variables de valor arbitrario. El algoritmo símplexusa cero como valor arbitrario, y el número de variables con valor cero es igual a los grados de libertad.Valores diferentes de cero son llamados variables básicas, y valores de cero son llamadas variables no básicas en elalgoritmo símplex.Esta forma simplifica encontrar la solución factible básica inicial, dado que todas las variables de la forma estándarpueden ser elegidas para ser no básicas (cero), mientras que todas las nuevas variables introducidas en la formaaumentada, son básicas (diferentes de cero), dado que su valor puede ser calculado trivialmente ( paraellas, dado que la matriz problema aumentada en diagonal es su lado derecho)En cada una de las desigualdades que se plantean en el modelo matemático de programación lineal, se planteandesigualdades de <, >, <=, >=, o =; estas desigualdades se convierten en igualdades completando con variables deholgura si se trata de menor o igual que, o menor que; en el caso de que sea mayor o igual que o mayor que, secompleta con variables de excedente, estas con signo negativo ya que como su nombre lo indica, es una cantidad queesta de excedente y hay que quitar para convertirla en igualdad; en caso se maneje el =, se manejan las variablesartificiales.

Pasos del Método SimplexEste proceso que se repite una y otra vez, siempre inicia en un punto extremo de la región factible quenormalmente es el origen, en cada iteración se mueve a otro punto extremo adyacente hasta llegar a la soluciónóptima.Los pasos del Método Simplex son los siguientes:1)Utilizando la forma estándar, determinar una solución básica factible inicial igualando a las n-m variablesigual a cero (el origen).2)Seleccionar la variable de entrada de las variables no básicas que al incrementar su valor pueda mejorar elvalor en la función objetivo. Cuando no exista esta situación la solución actual es la óptima, si no ir alsiguiente paso.3)Seleccionar la variable de salida de las variables básicas actuales.4)Determinar la nueva solución al hacer la variable de entrada básica y la variable de salida no básica, ir alpaso 2 (actualizar).

Page 203: Mates Discretas +

Algoritmo símplex 199

Conceptos básicosForma estándar

Es la igualación de las restricciones del modelo planteado, así como el aumento de variables de holgura, o bienla resta de variables de exceso.

Forma canónica

En el método Simplex es de bastante utilidad la forma canónica, especialmente para explorar la relación dedualidad.Un problema de Programación Lineal se encuentra en la forma canónica si se cumplen las siguientescondiciones:Para el caso de la forma canónica de maximización:- La función objetivo debe ser de maximización.- Las restricciones son del tipo ≤.- Las variables de decisión son mayores o iguales a cero.Para el caso de la forma canónica de la dieta:- La función objetivo es minimizada.- Las restricciones son de tipo ≥.- Las variables de decisión son mayores o iguales a cero.

Page 204: Mates Discretas +

Algoritmo símplex 200

Variable de holguraSe usa para convertir en igualdad una desigualdad de tipo "≤". La igualdad se obtiene al adicionar en el ladoizquierdo de la desigualdad una variable no negativa, que representa el valor que le hace falta al lado izquierdo paraser igual al lado derecho. Esta se conoce como variable de holgura, y en el caso particular en el que las restriccionesde tipo ≤ se refieren al consumo máximo de un recurso, la variable adicionada cuantifica la cantidad sobrante derecurso (cantidad no utilizada) al poner en ejecución la solución óptima.Considerando el problema de programación lineal:

Minimiza la siguiente función

Sujeta a

Se añaden las variables de holgura s y t, que se representan en la tabla canónica

donde las columnas 5 y 6 representan las variables básicas s y t y la correspondiente solución básica posible es

Las columnas 2, 3 y 4 pueden ser seleccionadas como columnas pivotes, para este ejemplo se seleccionó la columna4. Los valores de x resultantes de la elección de las filas 2 y 3 como filas pivotes son 10/1 = 10 and 15/3 = 5respectivamente. De estos el mínimo es 4, por lo que la fila 3 sería la fila pivote. Operando los pivotes se produce

Ahora columnas 4 y 5 representan las variables básicas z y s y la solución óptima correspondiente es

Para el paso siguiente, no hay entradas positivas en la fila objetivo y de hecho

por lo que el valor mínimo de Z es −20.Variable de exceso

Se usa para convertir en igualdad una desigualdad del tipo "≥" Se realiza al restar en el lado izquierdo de ladesigualdad, una variable no negativa, que representa el valor en el cual el valor del lado izquierdo excede alderecho. A esta variable la llamaremos variable de exceso y en el caso particular en el que las restricciones de tipo ≥se refieran al contenido mínimo de un ingrediente en una mezcla, la variable adicionada indica cuánto ingrediente enexceso sobre el mínimo exigido contendrá la mezcla.EjemploMin z = 3X1 + 6X2 – X3s.aX1 + 6X2 – X3 >= 122X1 + X2 – 7X3 >= 18X1 + X2 – X3 >= 7

Page 205: Mates Discretas +

Algoritmo símplex 201

Xi >= 0 i=1-3Min z = 3X1 + 6X2 – X3s.aX1 + 6X2 – X3 – X4 = 122X1 + X2 –7 X3 – X5 = 18X1 + X2 – X3 – X6 = 7Xi >= 0 i=1-6Variables de exceso: X4, X5 y X6.Solución básica:

Si hay n variables y m restricciones, una solución es básica si n-m variables valen cero. Gráficamente, cualquierpunto de intersección es una solución básica.

Solución ÓptimaSiempre está asociada a un punto extremo de la región factible y satisface todas las restricciones si se evalúa en ellasasí como es el punto que en el caso de maximización hace que el valor de z sea el máximo (más grande) y el el casode minimización sea el mínimo (más pequeño).

Ejemplo Gráfico de la Solución óptima

Variables básicas y no básicas

Se denominan variables básicas a las variables del vector xB formadopor las m variables asociadas con la solución básica y variables nobásicas a las n-m restantes variables que se han igualado a cero.EjemploForma estándar del modeloMax z = 3X1 + 2X2s.aX1 + 2X2 + X3 = 6

2X1 + X2 + X4 = 8-X1 + X2 + X5 = 1

X2 + X6= 2

X1, X2 >=0Solución de la primera iteraciónX1=0, X2=0, X3=6, X4=8, X5=1, X6=2Variables básicas: X3, X4, X5, X6Variables no básicas: X1, X2

Page 206: Mates Discretas +

Algoritmo símplex 202

Solución óptima múltiple

Existen problemas lineales que no tienen una solución óptima única, sino que al contrario, tienen un número infinitode soluciones.Para detectar una solución múltiple en la tabla óptima, se deberá tener al menos una variable con suZj-Cj=0 no básica. Ejemplo: Modelo estándar Max z=3x1+2x2

x1+x3=4

2x2+x4=12

3x1+2x2+x5=18

x1,x2,x3,x4,x5>=0

X1 X2 X3 X4 X5 SOL

Zj-Cj 0 0 0 0 1 18

X1 1 0 1 0 0 4

X4 0 0 3 1 -1 6

X2 0 1 -3/2 0 1/2 3

Solución x1=4 x2=3 x4=6 x3=x5=0 z=18X3=0 es variable no básica por lo tanto se tiene una solución múltiple y para obtener alguna otra solución se deberáiterar tomando como variable de entrada en Zj-Cj=0Variable degenerada

Una variable degenerada es una variable básica que vale 0. Gráficamente esto puede ocurrir cuando más de dosrectas se intersecten en el mismo punto.Base

Conjunto de variables básicas. En el ejemplo anterior, la base es {X3, X4, X5, X6}Variable no restringida

Es aquella que puede tomar toda clase de valores positivos, cero y negativos puede escribirse como la diferencia dedos variables no-negativas.Ejemplo:Sea x1 una variable no restringida, entonces:x1=x2-x3donde x2>=0, Nótese que si x2>x3, eso implica que x1>0: si x2=x3, entonces x1=0: si x2<x3, se tiene que x1<0.Función objetivo:

Define la efectividad del modelo como función de las variables de decisión. Ejemplo: Max z= 5x1+2x2

Variables de entrada

Estas suelen encontrarse en un criterio que se conoce como “Condición de optimalidad”, en un modelo, ya sea deoptimización o minimización, y se refiere a la variable no básica en el renglón “z” con el coeficiente más negativo, sise trata de una maximización, o el coeficiente mas positivo, si se trata de una minimización, la cual, en el la tabla desolución anterior, a excepción de la primer tabla, esta variable era una variable básica.'Variables de salida

Esta variable es un punto extremo que se encuentra en un criterio conocido como “Condición de factibilidad”, en unmodelo, ya sea de optimización o minimización, y se refiere a la variable básica asociada con la mínima razón nonegativa con el coeficiente más negativo, si se trata de una maximización, o el coeficiente mas positivo, si se trata deuna minimización, la cual, en el la tabla de solución siguiente, pasará a ser variable no básica.

Page 207: Mates Discretas +

Algoritmo símplex 203

Variables básicas Variables no básicas Variable de entrada Variable de salida

A X3, X4, X5, X6 X1, X2 X1 X2

B X3, X4, X5, X1 X6, X2 X2 X3

C X2, X4, X5, X1 X6, X3 X6 X4

D X2, X6, X5, X1 X4, X3 X3 X1

E X2, X6, X5, X3 X4, X1 X4 X2

Solución degenerada

La degeneración ocurre cuando en alguna iteración del método simplex existe un empate en la selección de lavariable que sale. Este empate se rompe arbitrariamente. En este caso decimos que la nueva solución es degenerada.Sin embargo, cuando suceda esto una o más veces de las variables básicas, será necesariamente igual a cero en lasiguiente iteración. En el método simplex, la presencia de una variable básica igual a cero, no requiere ningunaacción especial; en todo caso, es necesario no descuidar las condiciones de degeneración. En términos geométricos,la degeneración ocurre cuando un vértice está definido por demasiadas restricciones.

Variable artificial

Se usa una variable artificial cuando las restricciones son “=” y “≥” y sucede cuando el origen no se encuentradentro de la región factible, tratando de llevar el modelo a otra “dimensión” en la cual el origen si exista en laregión.

Ejemplo:max z = 2x1 + x2s. a.10x1 + 10x2 <= 910x1 + 5x2 >=1x1,x2>=0Agregando variables artificiales:max z = 2x1 + x2s. a.10x1 + 10x2 + x3 = 910x1 + 5x2 - x4 + a1 = 1

Page 208: Mates Discretas +

Algoritmo símplex 204

x1,x2,x3,x4>=0 a1>=0Condición de optimalidad.

La variable de entrada en un problema de maximización es la variable que tiene el coeficiente mas negativo en elrenglón Zj-Cj y para el caso de minimización la variable de entrada corresponde al coeficiente mas positivo delrenglón Zj - Cj. La optimalidad se logra cuando en el renglón Zj-Cj ya no hay valores positivos (minimización) onegativos (maximización) según sea el caso.

En la tabla óptima

En el renglón Zj-Cj todos los valores son positivos por lo tanto llegamos a la optimalidad de la tabla.Condición de factibilidad

La variable de salida tanto en minimización como en maximización se elige a la variable básica que tiene la razón nonegativa mas pequeña.

Page 209: Mates Discretas +

Algoritmo símplex 205

Ejemplo de factibilidad en maximización.

El criterio de factibilidad se cumple ya que todos los bi (la columna solución) tienen valor no negativo por tanto esuna solución factible.Solución factible

Es aquel vector columna, XT=(X1,X2,…Xn) que satisface las restricciones: AX≤b X≥0Ejemplo:Maximizar Z = 3X1 + 5X2Sujeto aX1 ≤ 42X2 ≤ 123X1 + 2X2 ≤ 18X1 , X2 ≥ 0Solución Factible: X1=4, X2=3Solución factible básica

Aquella solución factible con no más de m componentes positivas. La solución factible se encuentra en un puntoextremo es decir en uno de los vértices de la región factible.Ejemplo:Maximizar Z = 3X1 + 5X2Sujeto aX1 ≤ 42X2 ≤ 123X1 + 2X2 ≤ 18X1 , X2 ≥ 0X1=0, X2=6; X1=0, X2=0; X1=4, X2=0; X1=4, X2=3; X1=2, X2=6 pueden ser soluciones factibles básicas.

Page 210: Mates Discretas +

Algoritmo símplex 206

Modelo AmpliadoCuando se introduce en cada restricción una variable artificial que no contenga una variable de holgura.

Ejemplo de un Modelo de Maximización en suForma Ampliada

Enlaces externos

• Actualización en Wikipedia del Método Simplex [1]Conceptos yejemplo elaborado por alumnos de la Licenciatura en MatemáticasAplicadas y Computación. FES Acatlán UNAM.

• A2 Actualización en Wikipedia del Método Simplex [2]Conceptos yejemplo elaborado por alumnos de la Licenciatura en MatemáticasAplicadas y Computación. FES Acatlán UNAM.

• Ejercicios resueltos utilizando el Método Simplex [3] Módulo deresolución para resolver modelos de Programación Lineal utilizandoel Método Simplex

• Ejemplos clásicos resueltos por el Método Simplex [4].• Ejemplo del método simplex [5]Conceptos y ejemplo elaborado por alumnos de la Licenciatura en Matemáticas

Aplicadas y Computación. FES Acatlán UNAM.• Conceptos y Ejemplo del Método Simplex aplicado a un problema de programación lineal. [6] Documento

elaborado por estudiantes de la carrera de Matemáticas aplicadas y computación. FES Acatlán UNAM.• Conceptos y ejemplo del Método Simplex [7]Conceptos y ejemplo elaborado por alumnos de la Licenciatura en

Matemáticas Aplicadas y Computación. FES Acatlán UNAM.

Referencias[1] https:/ / docs. google. com/ document/ d/ 1JGyeBwXdpD_jQy3zLqoWzp9qJ3h8HdTUFIKJ5B-L2bk/ edit[2] https:/ / docs. google. com/ document/ d/ 1UqVG6F64XDVT-nL6Rt70o15_AjWVRUtfs2wibsJv4Zo/ edit[3] http:/ / www. programacionlineal. net/ simplex. html[4] http:/ / www. phpsimplex. com/ ejemplo_problemas. htm[5] https:/ / docs. google. com/ document/ pub?id=1rm1EM-mEAfy9b9azYlSWQGAWId0yIXFLJpk1_3VMbfQ[6] https:/ / docs. google. com/ document/ pub?id=109SQJEroTPH68GmbsxPHpReyBji5Fd3jgl-4D5xrN6Y[7] https:/ / docs. google. com/ document/ pub?id=1T6SpMssibts-RsGjmNQ4HSzxbxPA9N0-H6s7Z7cpgr0

Page 211: Mates Discretas +

Conjetura de Hirsch 207

Conjetura de HirschEn optimización y en combinatoria poliédrica, la conjetura de Hirsch afirma que "si un poliedro está definido por ndesigualdades lineales en d variables siempre ha de ser posible viajar de cualquier vértice a cualquier otro vérticerecorriendo como mucho n-d aristas".[1] En términos un poco más técnicos, afirma que el grafo arista-vértice de unpolitopo de n-caras en un espacio euclidiano d-dimensional tiene un diámetro no mayor que n − d. Es decir, quecualquiera de dos vértices del politopo deben estar conectados el uno con el otro por una trayectoria de longitudn − d como máximo. La conjetura fue presentada primero en 1957 en una carta de Warren M. Hirsch a George B.Dantzig[2][3] y es motivada por el análisis del método simplex en programación lineal, a medida que el diámetro deun politopo proporciona un límite más bajo en el número de pasos necesarios por el método simplex.La conjetura de Hirsch fue probada para d < 4 y para varios casos especiales,[4] los límites superiores más conocidosmostraron solamente que los politopos tienen un diámetro sub-exponencial en función de n y d.[5] sin embargo,después de más de cincuenta años, un contraejemplo fue anunciado en mayo de 2010 por Francisco Santos Leal, dela Universidad de Cantabria.[6][7][8] el resultado debe ser presentado en la conferencia 100 Years in Seattle: TheMathematics of Klee and Grünbaum. Varias formulaciones equivalentes del problema habían sido dadas, porejemplo la conjetura d-paso, que indica que el diámetro de cualquier politopo de 2d-caras en un espacio euclidianod-dimensional no es mayor que d.[2][9] La conjetura de d-paso era conocida como verdadera para d < 6,[9] perocuando fue encontrado un contraejemplo el caso general también fue refutado, usando un politopo 43-dimensional de86 caras con un diámetro de más de 43.[6] El contraejemplo anunciado no tendría ninguna consecuencia directa parael análisis del método simplex, pues no eliminaría la posibilidad de un más grande pero todavía lineal o un númeropolinómico de pasos.

Notas[1] Francisco Santos Leal en De Verdad, año XXX, número 28, julio de 2010, pág. 7.[2][2] Ziegler (1994), p. 84.[3][3] Dantzig (1963), pp. 160 and 168.[4][4] E.g. see Naddef (1989) for 0-1 polytopes.[5][5] Kalai y Kleitman (1992).[6][6] Santos (2010).[7][7] Kalai (2010).[8] http:/ / gaussianos. com/ francisco-santos-encuentra-un-contraejemplo-que-refuta-la-conjetura-de-hirsch/[9][9] Klee y Walkup (1967).

Referencias• Dantzig, George B. (1963), Linear Programming and Extensions, Princeton Univ. Press.• Kalai, Gil (10 de mayo de 2010). « Francisco Santos Disproves the Hirsch Conjecture (http:/ / gilkalai. wordpress.

com/ 2010/ 05/ 10/ francisco-santos-disproves-the-hirsch-conjecture/ )». Consultado el 11 de mayo de 2010.• Kalai, Gil; Kleitman, Daniel J. (1992), «A quasi-polynomial bound for the diameter of graphs of polyhedra»,

Bulletin of the American Mathematical Society 26 (2): 315–316, doi: 10.1090/S0273-0979-1992-00285-9 (http:/ / dx. doi.org/ 10. 1090/ S0273-0979-1992-00285-9), arΧiv:math/9204233, MR 1130448 (http:/ / www. ams. org/mathscinet-getitem?mr=1130448).

• Klee, Victor; Walkup, David W. (1967), «The d-step conjecture for polyhedra of dimension d < 6», ActaMathematica 133: 53–78, doi: 10.1007/BF02395040 (http:/ / dx. doi. org/ 10. 1007/ BF02395040), MR 0206823 (http:/ /www. ams. org/ mathscinet-getitem?mr=0206823).

• Naddef, Denis (1989), «The Hirsch conjecture is true for (0,1)-polytopes», Mathematical Programming 45 (1):109–110, doi: 10.1007/BF01589099 (http:/ / dx. doi. org/ 10. 1007/ BF01589099), MR 1017214 (http:/ / www. ams. org/mathscinet-getitem?mr=1017214).

Page 212: Mates Discretas +

Conjetura de Hirsch 208

• Santos, Francisco (2010), «A counter-example to the Hirsch conjecture», 100 Years in Seattle: the mathematics ofKlee and Grünbaum.

• Ziegler, Günter M. (1994), «The Hirsch Conjecture», Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, 152,Springer-Verlag, pp. 83–93.

Combinatoria poliédricaLa combinatoria poliédrica es una rama de las matemáticas, dentro de la combinatoria y la geometría discreta, queestudia los problemas de contar y de describir las caras de poliedros convexos y de politopos convexos dedimensiones más altas.La investigación en combinatoria poliédrica cae en dos áreas distintas. Los matemáticos en esta área estudian lacombinatoria de politopos; por ejemplo, buscan las desigualdades que describen las relaciones entre los números devértices, las aristas, y las caras de dimensiones más altas en politopos arbitrarios o en ciertas subclases importantesde politopos, y también estudian otras características combinatorias de politopos tales como su conectividad ydiámetro (número de pasos necesarios para alcanzar cualquier vértice desde cualquier otro vértice). Además, muchoscientíficos computistas usan la frase "combinatoria poliédrica" para describir la investigación en descripcionesprecisas de las caras de ciertos politopos específicos (especialmente politopos 0-1, cuyos vértices son subconjuntosde un hipercubo) presentándose problemas de programación de números enteros.

Enlaces externos• Kalai, Gil (2008), Five Open Problems Regarding Convex Polytopes [1]

Referencias[1] http:/ / gilkalai. wordpress. com/ 2008/ 05/ 07/ five-open-problems-regarding-convex-polytopes/

Page 213: Mates Discretas +

Geometría discreta 209

Geometría discreta

Una colección de círculos y el correspondientegrafo de disco unitario

La geometría discreta y la geometría combinatoria son ramas de lageometría que estudian las propiedades combinatorias de objetosgeométricos discretos. La mayoría de las preguntas, en geometríadiscreta, implican conjuntos finitos o discretos de objetos geométricosbásicos, tales como puntos, líneas, planos, círculos, esferas, polígonos,y así sucesivamente. La geometría discreta se enfoca en laspropiedades combinatorias de estos objetos, por ejemplo: cómo seintersecan uno al otro, o cómo pueden ser arreglados para cubrir unobjeto más grande.

La geometría discreta tiene grandes áreas en común con la geometríaconvexa y la geometría computacional, y está estrechamente vinculadaa temas tales como geometría finita, optimización combinatoria,geometría digital, geometría diferencial discreta, teoría geométrica degrafos, geometría tórica, y topología combinatoria.

HistoriaAunque los poliedros y las teselaciones hayan sido estudiados durante muchos años por gente tal como Kepler yCauchy, la geometría discreta moderna tiene sus orígenes a finales del siglo XIX. Los primeros asuntos estudiadosfueron: la densidad del empaquetamiento de círculos de Thue, las configuraciones proyectivas por Reye y Steinitz, lageometría de números de Minkowski, y el coloreado de mapas por Tait, Heawood, y Hadwiger.

Tópicos en geometría discreta• Poliedros y politopos

•• Combinatoria poliédrica•• Politopo de reticulado convexo•• Polinomio de Ehrhart•• Teorema de Pick•• Conjetura de Hirsch

• Empaquetamiento, recubrimiento y teselación•• Empaquetamiento de círculos•• Empaquetamiento de esferas•• Conjetura de Kepler•• Cuasicristal•• Teselado aperiódico

• Rigidez estructural y flexibilidad•• Teorema de Cauchy•• Poliedro flexible

•• Estructuras de incidencia•• Configuración•• Arreglo de líneas•• Arreglos de hiperplanos• Building (matemática)???

Page 214: Mates Discretas +

Geometría discreta 210

•• Matroides orientados•• Teoría de grafo geométrico

•• Trazado de grafos•• Grafo poliédrico•• Polígonos de Thiessen•• Triangulación de Delaunay

•• Complejo simplicial•• Combinatoria topológica

•• Lema de Sperner•• Mapa regular

• Retículo y grupos discretos•• Grupo de reflexión• Grupo de triángulo???

•• Geometría digital•• Geometría diferencial discreta• Particionado de conjuntos geométricos y transversales

Referencias• Bezdek, András; Kuperberg, W. (2003). Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday. New

York, N.Y: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-0968-3.• Brass, Peter; BraB, Peter (2005). Research problems in discrete geometry. Berlin: Springer. ISBN 0-387-23815-8.• Goodman, Jacob E. and O'Rourke, Joseph (2004). Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second

Edition. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-301-4.• Gruber, Peter M. (2007). Convex and Discrete Geometry. Berlin: Springer. ISBN 3-540-71132-5.• Matoušek, Jiří (2002). Lectures on discrete geometry. Berlin: Springer. ISBN 0-387-95374-4.

Page 215: Mates Discretas +

Geometría computacional 211

Geometría computacional

Cilindro renderizado mediante un programa deordenador.

La geometría computacional es una rama de las ciencias de lacomputación dedicada al estudio de algoritmos que pueden serexpresados en términos de la geometría. Algunos de los problemaspuramente geométricos surgen del estudio de los algoritmos degeometría computacional, y este tipo de problemas también seconsidera parte de la geometría computacional.

Es una disciplina constructiva, de carácter abstracto, que utilizatécnicas de la geometría clásica, la topología, la teoría de grafos, lateoría de conjuntos y el álgebra lineal. La geometría computacional esindependiente de la tecnología de las máquinas de computación.

El principal impulso para el desarrollo de la geometría computacionalcomo disciplina se lo dio el avance la computación gráfica y el diseñoasistido por ordenador (CAD/CAM), pero muchos problemas en lageometría computacional son clásicos en la naturaleza.

Otras aplicaciones importantes de la geometría computacional incluyen la robótica (planificación de movimientos yproblemas de visualización), los sistemas de información geográfica (SIG) (localización y búsqueda geométrica,planificación de rutas), diseño de circuitos integrados (diseño geométrico y verifición de CI), ingeniería asistida porcomputadora (CAE) (programación de máquinas comtroladas numéricamente).Las principales ramas de la geometría computacional son:• Geometría combinatoria computacional, también llamada geometría algorítmica, que trata de objetos

geométricos como entidades discretas. Un libro sobre el tema por Preparata y Shamos fecha la primera utilizacióndel término "geometría computacional" en este sentido en 1975.[1]

• La geometría computacional numérica, también llamada geometría máquina, diseño geométrico asistido porcomputador (CAGD), o modelado geométrico, que trata principalmente con la representación de objetos delmundo real en la forma adecuada para los cálculos de ordenador en los sistemas CAD / CAM. Esta rama puedeser visto como un desarrollo de la geometría descriptiva y es a menudo considerado como una rama de losgráficos por ordenador o CAD. El término "geometría computacional", en este sentido ha estado en uso desde1971.

Referencias[1] Franco P. Preparata and Michael Ian Shamos (1985). Computational Geometry - An Introduction. Springer-Verlag. 1st edition: ISBN

0-387-96131-3; 2nd printing, corrected and expanded, 1988: ISBN 3-540-96131-3.

Enlaces externos• Geometría computacional (http:/ / webdelprofesor. ula. ve/ ciencias/ lico/ geome_comp/

geometria_computacional. pdf)

Page 216: Mates Discretas +

Computación gráfica 212

Computación gráficaEste artículo trata sobre la computación gráfica. Para el diario de la ACM véase SIGGRAPH.

Una captura de pantalla de Blender.

Una proyección 2D de una proyección 3D de un Pentácoron (4D)haciendo doble rotación con dos de sus planos ortogonales.

La computación gráfica o gráficos por ordenadores el campo de la informática visual, donde se utilizancomputadoras tanto para generar imágenes visualessintéticamente como integrar o cambiar lainformación visual y espacial probada del mundo real.

El primer mayor avance en la gráfica realizada porcomputadora era el desarrollo de Sketchpad en 1962por Ivan Sutherland.

Este campo puede ser dividido en varias áreas:Interpretado 3D en tiempo real (a menudo usado enjuegos de vídeo), animación de computadora, capturade vídeo y creación de vídeo interpretado, edición deefectos especiales (a menudo usado para películas ytelevisión), edición de imagen, y modelado (a menudousado para ingeniería y objetivos médicos). Eldesarrollo en la gráfica realizada por computadora fueprimero alimentado por intereses académicos ypatrocinio del gobierno. Sin embargo, cuando lasaplicaciones verdaderas mundiales de la gráficarealizada por computadora (CG) en televisión ypelículas demostraron una alternativa viable a efectosespeciales más a las tradicionales y las técnicas deanimación, los comerciales han financiado cada vezmás el avance de este campo.

A menudo se piensa que la primera película para usargráficos realizados por computadora era 2001: ASpace Odyssey (1968), que intentó mostrar como lascomputadoras serían mucho más gráficas en el futuro.Sin embargo, todos los gráficos de computadora enaquella película eran la animación dibujada a mano(por ejemplo en las pantallas de televisión se simulabael comportamiento de las computadoras con dibujos),y las secuencias de efectos especiales fue producida completamente con efectos ópticos y modelos convencionales.

Quizás el primer uso de la gráfica realizada por computadora expresamente para ilustrar gráfica realizada porcomputadora estaba en Futureworld (1976), que incluyó una animación de una cara humana y mano - producidopor Ed Catmull y Fred Parke en la Universidad de Utah.

Page 217: Mates Discretas +

Computación gráfica 213

Gráficos 2D de computadoraEl primer avance en la computación gráfica fue la utilización del tubo de rayos catódicos. Hay dos acercamientos a lagráfica 2d: vector y gráficos raster. La gráfica de vector almacena datos geométricos precisos, topología y estilocomo posiciones de coordenada de puntos, las uniones entre puntos (para formar líneas o trayectos) y el color, elgrosor y posible relleno de las formas. La mayor parte de los sistemas de vectores gráficos también pueden usarprimitivas geométricas de forma estándar como círculos y rectángulos etc. En la mayor parte de casos una imagen devectores tiene que ser convertida a una imagen de trama o raster para ser vista.Los gráficos de tramas o raster (llamados comúnmente Mapa de bits) es una rejilla bidimensional uniforme depixeles. Cada pixel tiene un valor específico como por ejemplo brillo, transparencia en color o una combinación detales valores. Una imagen de trama tiene una resolución finita de un número específico de filas y columnas. Lasdemostraciones de computadora estándares muestran una imagen de trama de resoluciones como 1280 (columnas) x1024 (filas) pixeles. Hoy uno a menudo combina la trama y lo gráficos vectorizados en formatos de archivocompuestos (pdf, swf, svg).

Gráficos 3D de computadoraCon el nacimiento de las estaciones de trabjy789pfajo (como las máquinas LISP, Paintbox computers y estaciones detrabajo Silicon Graphics) llegaron los gráficos 3D, basados en la gráfica de vectores. En vez de que la computadoraalmacene la información sobre puntos, líneas y curvas en un plano bidimensionales, la computadora almacena laposición de puntos, líneas y típicas caras (para construir un polígono) en un Espacio de tres dimensiones.Los polígonos tridimensionales son la sangre de prácticamente todos los gráficos 3d realizados en computadora.Como consiguiente, la mayoría de los motores de gráficos de 3D están basados en el almacenaje de puntos (pormedio de 3 simples coordenadas Dimensionales X,Y,Z), líneas que conectan aquellos grupos de puntos, las caras sondefinidas por las líneas, y luego una secuencia de caras crean los polígonos tridimensionales.El software actual para generación de gráficos va más lejos de sólo el almacenaje de polígonos en la memoria decomputadora. Las gráficas de hoy no son el producto de colecciones masivas de polígonos en formas reconocibles,ellas también resultan de técnicas en el empleo de Shading(Sombreadores), texturing(Texturizado o mapeado) y larasterización (En referencia a mapas de bits).

Shading - SombreadoEl proceso de sombreado o shading (en el contexto de los gráficos realizada por computadora) implica la simulaciónde computadora (o más exactamente; el cálculo) como las caras de un polígono se comportarán cuando es iluminadopor una fuente de la luz virtual. El cálculo exacto varía según no sólo que datos están disponibles sobre la carasombreada, sino también la técnica de sombreado.Generalmente este afecta propiedades de la especularidad y valores de intensidad, reflexión y transparencia.

Representación basada en Imagen - Image Based Rendering (IBR)La computación gráfica permite la obtención imágenes 2D desde modelos tridimensionales. A fin de hacerse muyexacto y obtener imágenes fotorealistas, la entrada de los modelos 3D debería ser muy exacta en términos degeometría y colores. La simulación de paisajes y escenas fotorealilstas que utilicen esta técnica requiere un granesfuerzo y talento con programas de CAD. En vez de obtener modelos 3D, Las representaciones basadas en imagen(IBR) usan imágenes tomadas de puntos de vista particulares y trata de obtener nuevas imágenes de otros puntos devista. Aunque el término Representación basada en Imagen fue acuñado recientemente, aunque en la práctica se usódesde el inicio de la investigación en la Visión obtenida por Computadora.

Page 218: Mates Discretas +

Computación gráfica 214

En 1996, se hicieron muy populares dos técnicas: los campos de luz (lightfield en inglés) y el lumigraph(que no tiene traducción asentada en español).

Estas técnicas recibieron la atención especial de la comunidad de investigación. Desde entonces, muchasrepresentaciones para IBR fueron propuestas. Un método popular es la texturas dependientes del punto de vista, unatécnica IBR de la Universidad del Sur de California. La Universidad de Oxford usó conceptos de la "Máquina deAprendizaje" para IBR.• Sombreador: generalmente se le aplica a los materiales en todo sistema de simulación 3d, se les conoce también

como shader.•• Sombreado Flat (plano): una técnica que sombrea cada polígono de un objeto basándose en su vector normal

(dirección hacia la que apunta un polígono) y la posición e intensidad de una fuente de la luz.•• Sombreado de Gouraud: Inventado por Henri Gouraud en 1971, una técnica rápida y consciente de los recursos

disponibles en una computadora, solía simular superficies suavemente sombreadas interpolando colores de vérticea través de la superficie de un polígono.

•• Mapeo de texturas (Correlación de textura): una técnica para simular detalle superficial trazando un mapa deimágenes (texturas) en polígonos.

•• Sombreado de Phong: Inventado por Bui Tuong Phong, una técnica de sombreado lisa que se acerca la superficiecurva iluminada por la interpolación de los vértices normales de un polígono a través de la superficie; el modeloiluminado incluye la reflexión de brillo con un nivel controlable del mismo.

•• Bump mapping (Correlación de relieve): Inventado por Jim Blinn, una técnica de perturbación normal(ladirección hacia donde apunta un polígono) solía simular superficies desiguales o arrugadas y con relieve.

• Ray Tracing (Trazador de rayos): un método basado en los principios físicos de la óptica geométrica que puedesimular reflexiones múltiples y la transparencia.

•• Radiosidad: una técnica para la iluminación global que usa la teoría de transferencia de radiación para simular lailuminación (reflejada) indirecta en escenas con superficies difusas.

• Blob: una técnica para representar superficies sin especificar una representación divisoria difícil, por lo generalpuesta en práctica como una superficie procesal como una Van der Waals equipotential (en química).

Texturing - TexturizadoLas superficies polígonales (secuencia de caras) pueden contener datos correspondiente de más de un color, pero enel software más avanzado, pueden ser una lona virtual para una imagen, u otra imagen rasterizada. Tal imagen escolocada en una cara, o la serie de caras y es llamada Textura.Las texturas añaden un nuevo grado de personalización en cuanto a como las caras y los polígonos que cuidarán porúltimo la forma en que serán sombreados, según el método de sombreado, y como la imagen es interpretada duranteel sombreado.

Page 219: Mates Discretas +

Grafo conexo 215

Grafo conexoEn teoría de grafos, un grafo se dice conexo si, para cualquier par de vértices a y b en G, existe al menos unatrayectoria (una sucesión de vértices adyacentes que no repita vértices) de a a b.

Conceptos relacionadosUn grafo dirigido tal que para cualesquiera dos vértices a y b existe un camino dirigido de ida y de regreso se dicegrafo fuertemente conexo.Un conjunto de corte de vértices U en un grafo G, es un conjunto de vértices de G, tal que G-U no es conexo otrivial. Similarmente, un conjunto de corte de aristas F es un conjunto de aristas tal que G-F no es conexo.

Solución computacionalEl problema computacional de determinar si un grafo es conexo puede ser resuelto con algunos algoritmos como elMFMC (max-flow, min-cut).

AlgoritmoEjemplo de algoritmo iterativo implementado en C++ para determinar si un grafo es conexo utilizando búsqueda enprofundidad, donde _n es la cantidad de vértices y _graph denota la matriz de adyacencia.

bool Graph::is_connected()

{

if (_n <= 1)

return true;

vector<bool> visit(_n);

vector<bool>::iterator iter;

for(iter = visit.begin(); iter != visit.end(); iter++)

*iter = false;

set<int> forvisit;

set<int>::iterator current;

forvisit.insert(0);

while (!forvisit.empty())

{

current = forvisit.begin();

if (!visit[*current])

{

for (int i = 0; i < _n; i++)

{

if (_graph[*current][i] == 1 && !visit[i])

forvisit.insert(i);

}

}

Page 220: Mates Discretas +

Grafo conexo 216

visit[*current] = true;

forvisit.erase(current);

}

bool result;

for (iter = visit.begin(); iter != visit.end(); iter++)

result = result && *iter;

return result;

}

DiámetroEl diámetro es el segmento de recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de una circunferencia, unasuperficie esférica o una curva cerrada:El diámetro de una esfera es el segmento que pasando por el centro, tiene sus extremos en la superficie de esta.

Diámetro de un círculo

Relación entre la longitud de la circunferencia y el diámetro: π.

Euclides de Alejandría define así eldiámetro en su tratado llamadoElementos:

«Un diámetro de un círculo esuna recta cualquiera (segmento)que pasa por el centro y queacaba en ambas direcciones en lacircunferencia del círculo; estalínea recta también divide elcírculo en dos partes iguales»

Euclides de Alejandría, Elementos, libro I, definición 17.La relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es una constante que se conoce como π (pronunciado«pi»), y su valor se encuentra próximo a 355/113 (ó 3,14159...)Como en una circunferencia el diámetro mide el doble del radio, la longitud de la circunferencia respecto su radio res: 2πr.

Page 221: Mates Discretas +

Diámetro 217

Símbolo de diámetroEn ingeniería y otras áreas técnicas, el símbolo o variable para el diámetro es similar en tamaño y diseño a ø.Unicode ofrece el carácter 8960 (hexadecimal 2300) para el símbolo, el cual puede ser codificado en páginas webHTML como ⌀ o ⌀. Sin embargo, una adecuada presentación de dicho carácter es improbable en casi todas lassituaciones ya que la mayoría de tipos de letra no lo tienen incluido. (El navegador muestra ⌀ y ⌀ en el tipo de letraactual). Casi siempre ø es aceptable, obtenido en Windows presionando la tecla [Alt] mientras se ingresa 0 24 8 en el teclado numérico.Es importante no confundir el símbolo de diámetro (ø) con el símbolo de conjunto vacío, similar pero en mayúsculas(Ø). El diámetro es a veces llamado también phi (pronunciado «fi»), aunque esto parece provenir del hecho que Ø y øse parecen a Φ y φ, la letra phi del alfabeto griego.Se llega a abreviar como: día. o D.

Diámetro de un conjunto arbitrarioEn matemáticas es común extender la noción de diámetro a un conjunto arbitrario dentro de un espaciométrico , en ese contexto el diámetro se define como el número real tal que:

El nombre «diámetro» se debe a que dentro de un espacio euclídeo la anterior medida coincide con el diámetro delmínimo diámetro de un círculo circunscrito que contiene al conjunto arbitrario.

Triángulo equilatero mostrando la relación entre eldiámetro del triángulo, que coincide con el lado, y el

radio de la circunferencia circunscrita

Si el conjunto cuyo diámetro conocemos es un conjunto medibledel espacio euclídeo bidimensional entonces se tiene la siguienterelación entre el área SA y el diámetro:

El establecimiento de la desigualdad anterior es un problemaclásico de isoperimetría. Otro problema clásico establece unarelación entre el diámetro de un conjunto acotado, y el radio delmenor circunferencia circunscrita que contiene a dicho conjunto:

La igualdad se da por ejemplo para un triángulo equilátero cuyacircunferencia circunscrita tiene un diámetro . Elresultado es un caso particular del teorema de Jung que generalizael resultado anterior para un espacio euclídeo de cualquier númerode dimensiones.

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre DiámetroCommons.• Wikcionario tiene definiciones para diámetro.Wikcionario

Page 222: Mates Discretas +

Hipercubo 218

Hipercubo

Teseractos

Diagrama SchlegelTipo Politopo regular

Familia Hipercubo

Celdas 8 (4.4.4) Caras 24 {4}

Bordes 32

Vértices 16

Figura de vértice (3.3.3)

Símbolo de Schläfli {4,3,3}{4,3}x{}{4}x{4}{4}x{}x{}{}x{}x{}x{}

Diagrama Coxeter-Dynkin

Grupo de simetría B4, [3,3,4]

Doble 16-celdas

Propiedades convexo

Page 223: Mates Discretas +

Hipercubo 219

Proyección de un hipercubo, con una transformación similar a la quese puede aplicar a un cubo de tres dimensiones.

Elementos de P( P( P(P({})))) en Diagrama de Hasse.

En geometría, un teseracto o hipercubo es una figuraformada por dos cubos tridimensionales desplazados enun cuarto eje dimensional (llamemos al primerolongitud, el segundo altura y el tercero profundidad).En un espacio tetradimensional, el teseracto es un cubode cuatro dimensiones espaciales. Se compone de 8celdas cúbicas, 24 caras cuadradas, 32 aristas y 16vértices, esto tomando en cuenta el desarrollo delpolinomio donde el valor de n equivale alnúmero de dimensiones (en este caso particular 4) y xes el largo, alto, ancho, etc., de la figurapolidimensional equilátera.

Este término fue acuñado por primera vez en 1888 porel matemático inglés Charles Howard Hinton en unaobra llamada A New Era of Thought, una especie demanual que buscaba entrenar la intuición hiperespacialmediante ejercicios de visualización con cubos decolores en torno a un hipercubo imaginario.

Un hipercubo se define como un cubo desfasado en eltiempo, es decir, cada instante de tiempo por el cual semovió pero todos ellos juntos. Por supuesto nopodemos ver un hipercubo en la cuarta dimensión, yaque solo se verían los puntos que tocan nuestrouniverso, así que solo veríamos un cubo común.No podemos ver un hipercubo porque estamos sujetos atres dimensiones, por lo que solo podemos ver laproyección de lo que seria un hipercubo. Se parece ados cubos anidados, con todos los vértices conectadospor líneas. Pero en el teseracto real de cuatrodimensiones todas las líneas tendrían la misma longitudy todos los ángulos serían ángulos rectos.

Coordenadas

Un hipercubo de unidad con n dimensiones es laenvoltura convexa de los puntos dados por todas laspermutaciones de par de las coordenadas cartesianas

. Tiene una longitud delado de arco de 1 y un volumen n-dimensional de 1.

Computación

El hipercubo es una de las topologías de multicomputadoras con conmutador, la cual trata de redes de interconexiónde CPU donde cada uno tiene su propia memoria exclusiva.Un hipercubo es un cubo n-dimensional, por ejemplo dos cubos cada uno con 8 vértices y 12 aristas, cada vértice esuna CPU y cada arista sería una conexión entre 2 CPU de esta manera se conectan los vértices correspondientes a

Page 224: Mates Discretas +

Hipercubo 220

cada vértice de los cubos.Para extender el cubo a 5 dimensiones, podríamos añadir a la figura otro conjunto de dos cubos conectados entre sí yconectar las aristas correspondientes en las dos mitades y así sucesivamente.Para un cubo de n-dimensiones, cada CPU tiene n conexiones con otras CPU así, la complejidad del cableadoaumenta en proporción logarítmica con el tamaño, puesto que sólo se conectan los vértices vecinos más cercanosmuchos mensajes deben realizar varios saltos antes de poder llegar a su destino, la trayectoria más grande tambiéncrece en forma logarítmica con el tamaño.

Bases de datosLos hipercubos en aplicaciones de bases de datos se utilizan comúnmente para generar resúmenes, estadísticas,proyecciones y otros tipos de procesos de información. Cuando se tiene fuentes de datos detalladas que constan demillones de registros, usando la metodología OLAP por medio de un hipercubo, los millones de registros, sepreprocesan generando acumulados siguiendo los criterios requeridos por el usuario que finalmente utilizará lainformación ya procesada por este medio. Asimismo, el usuario final tiene la capacidad para especificar diversoscriterios que definen cual y de que forma será presentada, acumulada y ordenada la información, obteniéndose losresultados a una velocidad muy superior de la que se obtendría con un sistema de bases de datos relacional o aobjetos. (complementar)

Ficción• En la película Cube 2: Hypercube (2002)[1] se realiza una conjetura fantástica de lo que podría ser la construcción

de un hipercubo con seres humanos dentro. La película trata del intento de escapar de este hipercubo que funcionacomo prisión y que cruza diferentes espacios y tiempos.

• El relato de Robert A. Heinlein, "...Y construyó una casa torcida", se basa en el intento de un arquitecto visionariode construir una casa en forma de teseracto.

• En la serie canadiense El Colegio del Agujero Negro, en el episodio 30, titulado «Tesseract», el colegio se vetransformado en un hipercubo.

• En la serie de ciencia ficción Terminator: The Sarah Connor Chronicles se observa en la oficina del personajeCatherine Weaver un modelo de teseracto como objeto de decoración.

• En la serie animada Adventure Time, en el episodio "El verdadero tu" Finn crea un Hipercubo que a su vez es unAgujero negro

• En la película The Avengers (película de 2012), el cubo cosmico con propiedades interdimensionales, que es elcentro de la trama argumental, recibe el nombre de "Tesseracto".

• En la película Flatland: The Movie, se habla y muestra un hipercubo que visita la tercera dimension

Referencias[1] Información en IMDb sobre Cube 2: Hypercube. (http:/ / www. imdb. com/ title/ tt0285492/ releaseinfo)

Page 225: Mates Discretas +

George Dantzig 221

George DantzigGeorge Bernard Dantzig (8 de noviembre de 1914 – 13 de mayo de 2005) fue un matemático reconocido pordesarrollar el método simplex y es considerado como el "padre de la programación lineal". Recibió muchos honores,tales como la Medalla Nacional a la Ciencia en 1975 y el premio de Teoría John von Neumann en 1974.Fue miembro de la Academia Nacional de Ciencias, la Academia Nacional de Ingeniería y la Academia Americanade Artes y Ciencias.Obtuvo su licenciatura en Matemáticas y Física en la Universidad de Maryland en 1936, su grado de máster enMatemáticas en la Universidad de Míchigan, y su doctorado en la Universidad de California, Berkeley en 1946.Recibió además un doctorado honorario de la Universidad de Maryland en 1976.El padre de Dantzig, Tobías Dantzig, fue un matemático ruso que realizó estudios con Henri Poincaré en París.Tobías se casó con una estudiante de la universidad de la Sorbona, Anja Ourisson, y la pareja emigró a los EstadosUnidos.

La verdad de un mitoUn hecho real en la vida de Dantzig dio origen a una famosa leyenda en 1939, cuando era un estudiante en Berkeley.Al comienzo de una clase a la que Dantzig acudía con retraso, el profesor Jerzy Neyman escribió en la pizarra dosejemplos famosos de problemas estadísticos aún no resueltos.Al llegar Dantzig a clase, pensó que los dos problemaseran tarea para casa y los anotó en su cuaderno. De acuerdo con Dantzig, los problemas "le parecieron ser un pocomás difíciles de lo normal", pero unos pocos días después obtuvo soluciones completas para ambos, aún creyendoque estos eran tareas que debía entregar. Seis semanas después, Dantzig recibió la visita de un excitado profesorNeyman, quien había preparado una de las soluciones de Dantzig para ser publicadas en una revista matemática.Años después otro investigador, Abraham Wald, publicó un artículo en el que llegaba a la conclusión del segundoproblema, y en el cual incluyó a Dantzig como coautor.Esta historia comenzó a difundirse, y fue usada como una lección motivacional demostrando el poder delpensamiento positivo. A través del tiempo el nombre de Dantzig fue removido y los hechos fueron alterados, pero lahistoria básica persiste en la forma de mito .

El Nacimiento de la Programación LinealCuando comenzó la Segunda Guerra Mundial, Dantzig interrumpió sus estudios en Berkeley y este se convirtió en lacabeza de la Rama de Análisis de Combate de los Cuarteles Centrales Estadísticos de Fuerza Aérea de los EstadosUnidos, lo cual lo llevó a lidiar con las logísticas de la cadena de abastecimiento y gestión de cientos de miles deítems y personas. El trabajo proporcionó los problemas del "mundo real" que la programación lineal vendría aresolver.George Dantzig se doctoró en Berkeley en 1946. Inicialalmente iba a aceptar un puesto como profesor en Berkeley,pero fue persuadido por su esposa y colegas del Pentágono para volver ahí como consejero matemático de la USAF.Fue ahí, en 1947 donde por primera vez presentó un problema de programación lineal, y propuso el Método Simplexpara resolverlo. En 1952 se convirtió en investigador matemático en la Corporación RAND,en cuyos ordendadorescomenzó a implementar la programación lineal. En 1960 fue contratado por su alma máter, donde enseñó ciencias dela computación, convirtiéndose en presidente del Centro de Investigación de Operaciones. En 1966 ocupó un cargosimilar en la Universidad de Stanford. Se quedó en Stanford hasta su retiro en los años 90.Además de su trabajo significativo en el desarrollo del método simplex y la programación lineal, Dantzig también hizo avances en los campos de la teoría de la descomposición, análisis de sensibilidad, métodos de pivot complementarios, optimización a gran escala, programación no lineal, y programación bajo incertidumbre. El primer

Page 226: Mates Discretas +

George Dantzig 222

ejemplar del SIAM Jornal on Optimization en 1991 fue dedicado a él.

OtrosLa Sociedad de Programación Matemática honró a Dantzig creando el Premio Dantzig, otorgado cada tres añosdesde 1982 a una o dos personas que hayan logrado un impacto significativo en el campo de la programaciónmatemática.Dantzig murió el 13 de mayo de 2005 en su casa en Stanford, California, debido a complicaciones producto de ladiabetes y problemas cardiovasculares.

Referencias• G. B. Dantzig 1940. On the non-existence of tests of "Student's" hypothesis having power functions independent

of , Annals of Mathematical Statistics, Volume 11, number 2, pp186-192

Enlaces externos• Snopes.com La leyenda urbana de Dantzig [1]

• Stanford Celebra el cumpleaños número 80 de Dantzig [2]

• Entrevista a George Bernard Dantzig publicada en The College Mathematical Journal, en marzo de 1986 [3]

• Obituario de George Dantzig [4]

Referencias[1] http:/ / www. snopes. com/ college/ homework/ unsolvable. asp[2] http:/ / www. stanford. edu/ group/ SOL/ dantzig. html[3] http:/ / www. phpsimplex. com/ entrevista_Dantzig. htm[4] http:/ / supernet. som. umass. edu/ photos/ gdobit. html

Page 227: Mates Discretas +

Número de Fermat 223

Número de FermatUn número de Fermat, nombrado en honor a Pierre de Fermat, quien fue el primero que estudió estos números, esun número natural de la forma:

donde n es natural. De particular interés son los números primos de Fermat.Pierre de Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma

con n natural eran números primos (después de todo, los cinco primeros términos, 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257(n=3) y 65537 (n=4) lo son), pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtieneun número compuesto:

4294967297 es el número más pequeño que, siendo número de Fermat, no es primo.Actualmente, sólo se conocen cinco números primos de Fermat, que son los que ya se conocían en tiempos delpropio Fermat, y, a fecha de enero de 2009 sólo se conoce la factorización completa de los doce primeros númerosde Fermat (desde n=0 hasta n=11). Estas son algunas de las conjeturas que existen hoy día sobre estos números:1.1. ¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?2.2. ¿Existen infinitos primos de Fermat?

Algunos números de Fermat y su factorizaciónLos nueve primeros números de Fermat son los siguientes:

F0 = 21 + 1 = 3

F1 = 22 + 1 = 5

F2 = 24 + 1 = 17

F3 = 28 + 1 = 257

F4 = 216 + 1 = 65.537

F5 = 232 + 1 = 4.294.967.297

= 641 × 6.700.417

F6 = 264 + 1 = 18.446.744.073.709.551.617

= 274.177 × 67.280.421.310.721

F7 = 2128 + 1 = 340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457

= 59.649.589.127.497.217 × 5.704.689.200.685.129.054.721

F8 = 2256 + 1 = 115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937

= 1.238.926.361.552.897 × 93.461.639.715.357.977.769.163.558.199.606.896.584.051.237.541.638.188.580.280.321

Page 228: Mates Discretas +

Número de Fermat 224

Propiedades de los números de Fermat1. Un número de Fermat es igual al producto de todos los anteriores más 2. Esto se puede demostrar por inducción

como sigue:• Si n=1, es verdad: F1 = F0 + 2 (5 = 3 + 2).• Si se cumple para k igual a n-1, se cumple para n:

1. Corolario de la propiedad anterior: Ningún número de Fermat puede ser la suma de dos números primos. Comotodos los números de Fermat son impares, uno de los sumandos debe ser 2. Entonces, el otro tendrá que ser, obien 1 (en el caso de F0 = 3) o bien el producto de todos los anteriores... pero precisamente al ser un producto denúmeros naturales no puede ser primo.

2. Dos números de Fermat distintos siempre son primos entre sí (es decir, no tienen ningún factor común). Se sabeque Fn = F0·F1·...·Fn-1 + 2. Como todos los números de Fermat son impares (y por tanto 2 no puede ser un factorcomún), se concluye que Fn no es divisible por ninguno de los factores de los anteriores números de Fermat. Uncorolario de esto es una demostración de la infinitud de los números primos (ver artículo).

3. Carl Friedrich Gauss demostró que existe una relación entre la construcción de polígonos regulares con regla ycompás y los números primos de Fermat: un polígono regular de n lados puede ser construido con regla y compássi y sólo si n es, o bien una potencia de 2, o bien el producto de una potencia de 2 y primos de Fermat distintosentre sí.

4. Todo número compuesto de Fermat se puede descomponer en factores primos de la forma k·2n+2

+ 1, con k entero positivo.5. La representación hexadecimal de un número de Fermat mayor es especialmente sencilla: para cada n mayor o

igual que 2, Fn = 10...01hex, donde hay 2n-2 - 1 ceros.

Enlaces externos• Weisstein, Eric W. «Fermat Number [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.• Generalized Fermat Prime search [2]

• http:/ / primes. utm. edu/ glossary/ page. php?sort=Fermats• http:/ / www. prothsearch. net/ fermat. html (Factorización de los números de Fermat)

Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ FermatNumber. html[2] http:/ / perso. wanadoo. fr/ yves. gallot/ primes/ gfn. html

Page 229: Mates Discretas +

Regla y compás 225

Regla y compás

Construcción de un hexágono regular con regla ycompás

Construcción de un pentágono regular

La construcción con regla y compás[1] es el trazado de puntos,segmentos de recta y ángulos usando exclusivamente una regla ycompás idealizados. La geometría clásica griega impuso esa normapara las construcciones, aunque los griegos también investigaron lasque pueden obtenerse con instrumentos menos básicos.

A la regla se le supone longitud infinita, carencia de marcas quepermitan medir o trasladar distancias, y un solo borde. Del compás sesupone que se cierra súbitamente cuando se separa del papel, demanera que no puede utilizarse directamente para trasladar distancias,porque "olvida" la separación de sus puntas en cuanto termina de trazarla circunferencia. Esta restricción del compás parece muy incómodapara los usuarios de compases reales, pero carece por otro lado deimportancia matemática, porque el traslado de distancias se puederealizar de forma indirecta.Cualquier punto que sea obtenible usando regla y compás puedeconseguirse también usando únicamente compás; lo que evidentementeno se puede hacer es trazar el segmento de recta entre dos puntospreviamente construidos. Como se verá, algunos problemas degeometría plana clásica imponen la restricción de "sólo compás".Los problemas más famosos que se propusieron para su resolución"con regla y compás" son la proverbial cuadratura del círculo, laduplicación del cubo y la trisección del ángulo, a los que a veces seañade la construcción del heptágono regular, el primero de losinfinitos polígonos regulares imposibles de trazar mediante regla ycompás. Tienen en común ser de resolución imposible: estámatemáticamente demostrado que no se puede cuadrar el círculo, niduplicar el cubo, ni trisecar el ángulo, ni trazar un heptágono regularusando exclusivamente la regla y el compás idealizados de la geometría griega.

Pese a esa "imposibilidad lógica" insalvable, muchos persisten en el intento de resolver estos famosos problemas.[2]

Quizás, porque no aciertan a explicarse la imposibilidad, dado que son resolubles si se permiten transformacionesgeométricas que no pueden realizarse con regla y compás "euclídeos". Duplicar el cubo es posible utilizando algunasconstrucciones geométricas que sólo requieren un poco más que la regla y el compás clásicos.

Page 230: Mates Discretas +

Regla y compás 226

La regla y el compás de la geometría clásica

Compás idealizado. William Blake.

La regla y el compás de las construcciones geométricas sonidealizaciones de las reglas y compases del mundo real. Son conceptosmatemáticos abstractos, como pueda serlo la raíz cuadrada, y noinstrumentos físicos.• El compás puede trazar circunferencias de cualquier radio dado,

pero a diferencia de la mayoría de compases reales, no tieneninguna marca que permita repetir una abertura predeterminada.Sólo puede abrirse entre puntos que hayan sido previamenteconstruidos, así que en realidad su única función es trazar unacircunferencia, o parte de ella, con un centro predeterminado y unradio también determinado por un punto prefijado. Además, se tratade un compás "idealizado", que en cuanto deja de tocar el papel secierra, perdiendo todo recuerdo del radio de la circunferencia queacaba de trazar.

• La regla es "infinitamente larga" (es decir, puede prolongar unarecta tanto como se quiera), carece de marcas que permitan medircon ella, y sólo tiene un borde, cosa insólita en las reglas mundanas(si tuviera, por ejemplo, dos bordes, permitiría trazar rectas paralelas). Puede usarse sólo con un fin modesto:trazar una recta entre dos puntos que ya existan en el papel, o bien prolongar (tanto como se desee, eso sí) una deesas rectas.

Por supuesto, la regla y compás ideales deben usarse para hacer construcciones ideales. Los dibujos del mundo realtienen imperfecciones: los puntos son en realidad manchas tridimensionales, los segmentos de recta son en realidadcuasi-paralelepípedos o "franjas" algo irregulares de cierta anchura y altura, etc. Estas manchas proyectan sombrascuando son iluminadas por lámparas especiales de luz rasante, que se utilizan profesionalmente para el estudio de lasfalsificaciones, pues permiten distinguir si un trazo está por encima de otro observando las sombras. Pero lasconstrucciones con regla y compás de la geometría clásica se hacen en la mente, más que en el papel, y son tanidealmente precisas como el álgebra.Puestas así las cosas, parecería que las construcciones con regla y compás son un simple "juego", más que unadisciplina científica seria. Buscar la solución a cualquier construcción particular es un pasatiempo interesante, pero elverdadero interés científico, que estuvo abierto durante más de dos mil años hasta ser resuelto en el siglo XIX,coincidiendo con la demostración de los teoremas fundamentales sobre ecuaciones polinómicas, con la comprensiónprofunda de los números irracionales y trascendentes y con la aparición del álgebra abstracta, está en los problemasque desbordan los límites de lo factible con regla y compás. Lo interesante es lo que no se puede hacer con regla ycompás.Los tres problemas insolubles clásicos de construcción con regla y compás son:

Page 231: Mates Discretas +

Regla y compás 227

Ilustración de un diccionario de arquitecturafrancesa.

• Cuadratura del círculo: Se trata de dibujar un cuadrado que tengala misma superficie que un círculo dado. Se aporta como dato departida el círculo a cuadrar (su centro y uno de los puntos de sucircunferencia), y se considera resuelto el problema cuandoconsigue trazarse el segmento de recta que es un lado del cuadradoque iguala el área de dicho círculo.

• Duplicación del cubo: Ha de dibujarse el lado de un cubo cuyovolumen duplique al de otro cubo del que se da el lado como datode partida.

• Trisección del ángulo: Debe dividirse un ángulo dado en tresángulos más pequeños, los tres del mismo tamaño, cuya suma seaigual al ángulo dado. Se aporta como dato el ángulo a trisecar (lasdos rectas que lo forman, o puntos que permitan trazarlas) y seconsideraría resuelto el problema cuando se traza un ángulo cuya apertura es un tercio de la del ángulo dado.

Estos problemas resistieron durante 2000 años los incontables intentos de encontrar construcciones que losresolvieran con regla y compás, de acuerdo con las normas antes indicadas. A mediados del siglo XIX se demostrómatemáticamente que es imposible hacerlo.Los tres problemas clásicos no son los únicos cuya solución se ha demostrado imposible. La construcción dedeterminados (infinitos) polígonos regulares, como por ejemplo el heptágono (polígono regular de 7 lados) o elendecágono (polígono regular de 11 lados) también es imposible con regla y compás.

Las construcciones básicasTodas las construcciones con regla y compás son aplicaciones sucesivas de cinco construcciones básicas, usando encada una los puntos, líneas y círculos que se hayan creado en fases anteriores. Esas cinco únicas construccionesposibles son:1.1. Crear el segmento de recta que une

dos puntos preexistentes (enrealidad, la recta: recuérdese que laregla es de longitud infinita).

2.2. Crear el círculo con centro en unpunto dado y cuya circunferenciatoca otro punto dado

3.3. Crear el punto en el que seintersecan dos rectas no paralelas.

4.4. Crear el punto, o la pareja depuntos, en los que se intersecan (silo hacen) una línea y unacircunferencia.

5.5. Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersecan (si lo hacen) dos circunferencias.Por ejemplo, partiendo de dos puntos dados, se puede crear una recta, o bien se pueden crear dos círculos (cadapunto hace de centro de un círculo y de extremo de otro). Si optamos por los dos círculos, su intersección dará lugara dos nuevos puntos. Si trazamos segmentos de recta entre los puntos originales y uno de los nuevos puntos,habremos construido un triángulo equilátero. Así pues, el problema: "construir un triángulo equilátero dado uno desus lados (o los puntos extremos de uno de sus lados) es trivialmente resoluble con regla y compás.

Page 232: Mates Discretas +

Regla y compás 228

Puntos y longitudes construiblesHay muchas formas distintas de demostrar que algo es imposible. La estrategia que se seguirá en este artículo parapresentar un esquema informal de las demostraciones de imposibilidad de los problemas clásicos es la de determinaren primer lugar los límites de la regla y el compás —lo que se puede hacer y lo que no se puede hacer con ellos—, ymostrar seguidamente que para resolver los problemas deberían superarse tales límites.Usando regla y compás se pueden definir coordenadas en el plano. Se parte de dos puntos que han de considerarse"dados", y se traza la recta que pasa por ambos. Se llama al resultado "eje ", y se define la longitud entre los dospuntos dados como unidad de longitud.Por tanto, tener dos puntos como datos de partida es equivalente a tener un eje de coordenadas y una unidad delongitud.Ahora bien: una de las construcciones más sencillas con regla y compás es la de trazar una recta perpendicular a otradada, así que se hace precisamente eso, con lo que se obtiene un "eje ".Así pues, tener dos puntos como datos es equivalente a tener un sistema de coordenadas cartesianas, con ejes e

, y con unidad de distancia.

Por otro lado, un punto en el plano euclídeo puede identificarse con el número complejo . En laconstrucción con regla y compás, se empieza con un segmento de recta de longitud unitaria. Si se es capaz deconstruir un punto dado, un punto cualquiera, en el plano complejo, entonces se podrá decir que ese punto es unnúmero complejo construible.Por ejemplo, si se dan dos puntos como datos, los números complejos , , , , etc. son fácilmenteconstruibles.De hecho, con construcciones conocidas de la geometría euclidiana se pueden construir los números complejos de laforma x + yi siempre que x e y sean números racionales. De modo más general, usando las mismas construcciones,uno puede, dados dos números complejos a y b, construir a + b, a − b, a × b, y a/b.Esto muestra que los números construibles forman un cuerpo, que por tanto es un subcuerpo de los númeroscomplejos. Puede demostrarse algo más: dada una longitud construible es posible construir su conjugado y su raízcuadrada.Como se ha visto, las únicas formas de construir puntos nuevos es como intersección de dos rectas, o de una recta yuna circunferencia, o de dos circunferencias. Usando las ecuaciones de las rectas y de las circunferencias, puededemostrarse que los puntos en los que se intersecan yacen en una extensión cuadrática del cuerpo más pequeño, F,que contenga dos puntos en la recta, el centro del círculo, y el radio del círculo. Es decir, que los puntos conintersección son de la forma , donde , y están en F.

Dado que el cuerpo de los puntos construibles es cerrado para las raíces cuadradas, contiene a todos los puntos quepuedan obtenerse por una secuencia finita de extensiones cuadráticas con coeficientes racionales del cuerpo de losnúmeros complejos. Por lo dicho en el párrafo anterior, se puede demostrar que todo punto construible puedeobtenerse por una tal secuencia de extensiones. Como corolario, se encuentra que el grado del polinomio mínimopara un número construible (y por tanto para cualquier longitud construible) es una potencia de  2. En particularcualquier punto o longitud construible es un número algebraico, sin embargo no cualquier número algebraicopuede ser construido.

Page 233: Mates Discretas +

Regla y compás 229

Ángulos construiblesHay una biyección entre los ángulos construibles y los puntos que son construibles en cualquier circunferenciaconstruible. Los ángulos construibles forman un grupo abeliano bajo la suma-módulo (que se corresponde con lamultiplicación de los puntos sobre la circunferencia unitaria, considerados como números complejos). Los ángulosconstruibles son exactamente aquellos cuya tangente (o equivalentemente, su seno o su coseno) es un númeroconstruible. Por ejemplo, el heptadecágono regular (polígono de 17 lados iguales) es construible porque...

como descubrió Gauss.[3]

El grupo de los ángulos construibles es cerrado bajo la operación que biseca los ángulos (que se corresponde con laobtención de raíces cuadradas). Los únicos ángulos de orden finito que pueden construirse empezando con dospuntos son aquellos cuyo orden es el producto de una potencia de 2 por un elemento de un conjunto de diversosnúmeros primos de Fermat. Además, hay un conjunto denso de ángulos construibles de orden infinito.

Construcciones con regla y compás como operaciones de aritmética complejaDado un conjunto de puntos en el plano euclídeo, basta seleccionar cualquiera de ellos para llamarlo 0 y cualquierotro para llamarlo 1, y elegir arbitrariamente una orientación, para poder considerar los puntos como un conjunto denúmeros complejosDada cualquiera de tales interpretaciones de un conjunto de puntos como números complejos, los puntos construiblesutilizando construcciones válidas con regla y compás son precisamente los elementos del mínimo cuerpo quecontiene al conjunto de puntos original, y que es cerrado con respecto a las operaciones de conjugación de complejosy raíz cuadrada (para evitar ambigüedades, puede limitarse la raíz cuadrada, imponiendo que el argumento complejosea menor de ).Los elementos de este cuerpo son precisamente aquellos que pueden expresarse como una fórmula en la queintervienen los puntos originales y que sólo incluye las operaciones de suma, resta, multiplicación, división,complejo conjugado y raíz cuadrada. Es fácil demostrar que los elementos así obtenidos son un subconjuntonumerable, pero denso, del plano complejo. Cada una de las seis operaciones citadas se corresponde con unaconstrucción simple con regla y compás. Por tanto, de la fórmula que define un número puede extraerse directamentela secuencia de construcciones simples con regla y compás que hay que realizar para construir el punto reflejado porla fórmula.En suma: si se aporta un conjunto de puntos (números complejos) como datos iniciales, y se pide la construcción deotro número complejo, que depende de los datos a través de una fórmula que sólo contiene sumas, restas,multiplicaciones, divisiones, conjugación de complejos y raíces cuadradas, ese número "objetivo" es siempreconstruible en un número finito de pasos (de las construcciones básicas que se han descrito arriba), pasos que ademásse deducen automáticamente de la fórmula, aunque en muchos casos pueden encontrarse construcciones alternativasmás eficientes, atajos de menos pasos.Hay una alternativa que evita la elección arbitraria de dos puntos para que hagan de 0 y de 1. Dada una orientaciónarbitrariamente elegida, un conjunto de puntos determina un conjunto de ratios complejas dadas por la razón entrelas diferencias de cualesquiera dos pares de puntos. El conjunto de ratios de ese tipo construible usando regla ycompás a partir de tal conjunto inicial de ratios es precisamente el cuerpo más pequeño de los que contienen losratios originales, y es cerrado para la conjugación compleja y la raíz cuadrada.Por ejemplo, la parte real, imaginaria, y el módulo de un punto o ratio (eligiendo uno de los dos puntos de vistaantes descritos, el de asignar arbitrariamente puntos 0 y 1 o el de trabajar con ratios) son construibles, dado quepueden expresarse como:

Page 234: Mates Discretas +

Regla y compás 230

La duplicación del cubo y la trisección del ángulo requieren ratios que son solución de ecuaciones cúbicas, en tantoque la cuadratura del círculo requiere un ratio trascendente. Ninguno de esos casos forma parte de los cuerpos antesdescritos, y por tanto no existe construcción con regla y compás para estos problemas. Una excepción, en el caso dela trisección del ángulo, se da con ángulos especiales como cualquier tal que sea un número racional que

tenga como denominador el producto de una potencia de dos y de distintos números primos de Fermat.

Construcciones imposibles

Cuadratura del círculo

Cuadratura del círculo

El más famoso de los problemas griegos, la cuadratura del círculoplantea la construcción de un cuadrado cuya superficie sea la misma dela un círculo dado; y, por supuesto, resuelto con regla y compás.

Se ha demostrado que cuadrar el círculo de esta forma es imposible,

dado que implica encontrar un número trascendente, a saber .

Usando regla y compás sólo es posible generar números algebraicos.La frase "cuadratura del círculo" o "cuadrar el círculo" se usafrecuentemente con el sentido de "hacer algo imposible". Con granfortuna, puesto que es tan imposible como obtener algo distinto de cuatro sumando dos más dos, o dibujar en elplano euclídeo un triángulo que tenga los tres ángulos obtusos.

Sin embargo, si no se exige resolver el problema con sólo regla y compás, resulta sencillo hacerlo con una ampliavariedad de métodos geométricos y algebraicos. El problema fue resuelto de esta forma muchas veces, ya en laantigüedad.

Duplicación del cuboDuplicar el cubo consiste en construir el lado de un cubo que tenga el doble de volumen que otro cubo cuyo lado seda como dato del problema. Por supuesto, debe hacerse con regla y compás. Es imposible, porque la raíz cúbica de 2,pese a ser un número algebraico, no puede obtenerse de los números enteros por suma, resta, multiplicación, divisióny extracción de raíces cuadradas, que son las únicas operaciones que pueden hacerse con regla y compás. Esto es asíporque el polinomio mínimo de la raíz cúbica de 2 sobre los racionales tiene grado 3. Basta con que se permitautilizar una regla con dos marcas y un compás para que sea posible duplicar el cubo.

Page 235: Mates Discretas +

Regla y compás 231

Trisección del ánguloPartiendo de un ángulo dado, trisecarlo significa construir un ángulo que mida justo un tercio del ángulo dado. Sedemuestra que ello requiere obtener la raíz cúbica de un número complejo cualquiera, con valor absoluto 1. Resultaimposible hacerlo sólo con regla y compás.Se puede esbozar una demostración más completa para el caso de que el ángulo sea de 60°. Si fuera trisecable,entonces el polinomio mínimo de cos 20° tendría que ser de un grado potencia de dos (2,4,8,...). Esto es así porque,como se ha visto antes, construir un ángulo equivale a construir un punto en la circunferencia que subtienda eseángulo, por lo que tangente, seno y coseno del ángulo deberían ser números construibles, y ya se ha visto que sólolos que resultan de polinomios de grado potencia de 2 son construibles.Usando la identidad trigonométrica

cos(3α) = 4cos³(α) − 3cos(α),se obtiene, haciendo cos 20° = y,

8y³ − 6y − 1 = 0,de modo que, con el cambio de variable, x = 2y,

x³ − 3x − 1 = 0.Si ese polinomio pudiera reducirse a grado 2, tendría una raíz racional, que por el teorema de la raíz racional, deberíaser 1 o −1, que evidentemente no son raíces. Por lo tanto, el polinomio mínimo para cos 20° es de grado 3, de modoque cos 20° no es construible y por tanto el ángulo de 60° no puede ser trisecado.La trisección del ángulo, como muchas otras construcciones imposibles con regla y compás, puede llevarse a cabofácilmente con el sistema más potente, aunque físicamente sea muy sencillo, de papeles doblados denominadoorigami. Los axiomas de Huzita (tipos de operaciones de doblado) permiten construir extensiones cúbicas (raícescúbicas) de longitudes dadas, en tanto que con regla y compás sólo pueden construirse extensiones cuadráticas(raíces cuadradas). Ver matemáticas de la papiroflexia

Construyendo polígonos regularesAlgunos polígonos regulares (un ejemplo es el pentágono) son fácilmente construibles con regla y compás; otros no.Esto nos lleva a la pregunta: ¿es posible construir cualquier polígono regular con regla y compás?El primer avance relevante para resolver este problema se debe a Gauss, que mostró en 1801 que un polígono regularde n lados puede construirse con regla y compás siempre que los factores primos impares de n sean primos deFermat distintos. Gauss conjeturó que esta condición debía ser también necesaria, pero no aportó una demostraciónde este hecho, que fue lograda por Pierre Wantzel en 1837.

Construcciones sólo con regla, o sólo con compásEs posible, de acuerdo con el teorema de Mohr-Mascheroni, obtener sólo con compás cualquier construcción quepueda hacerse con regla y compás (excepto el hecho de trazar una recta). Es imposible obtener una raíz cuadradasólo con regla, de modo que muchas construcciones factibles con compás no lo son con regla. Pero el teorema dePoncelet-Steiner demuestra que basta con disponer previamente de un único círculo y su punto central para que todolo construible con compás lo sea también sólo con regla (y el círculo y su centro previamente trazados).

Page 236: Mates Discretas +

Regla y compás 232

Construcciones extendidas

Reglas marcablesArquímedes y Apolonio de Pérgamo realizaron construcciones con "regla marcable", una regla en la que se puedandibujar rayas para guardar memoria exacta de distancias. Esto les permitía, por ejemplo, partir de un segmento derecta, dos rectas (o círculos) y un punto, y trazar una nueva recta que pasara por el punto dado y se intersecara conlas dos rectas iniciales, de modo que la distancia entre los puntos de intersección igualara la longitud del segmentodado. Esta construcción, llamada neusis (inclinación, tendencia), crea un segmento de recta de tamaño prefijado, quecumple la condición de tocar en sus extremos las dos rectas dadas, y además pasa por el punto dado, al que suelellamarse "polo".Esto extendió la geometría más allá de los Elementos de Euclides. Euclides no tenía ningún axioma, ni podíademostrar ningún teorema, que mostrara siquiera la existencia de la neusis, de modo que no podía usarla en lasconstrucciones. En esta geometría expandida, cualquier distancia cuya razón a una distancia dada sea la solución deuna ecuación cúbica o cuártica es construíble. De manera que si se permite usar reglas marcables, y comoconsecuencia se permite la neusis, la trisección del ángulo[4] y la duplicación del cubo pueden conseguirse. Lacuadratura del círculo, en cambio, sigue siendo imposible. Algunos polígonos regulares no construibles con regla ycompás clásicos, como el heptágono, lo son con regla marcable.[5] Con neusis y todo, sin embargo, sigue siendoimposible construir muchos (de hecho, infinitos) polígonos regulares, empezando por el de once lados (endecágono).

OrigamiDe modo similar, la teoría matemática del origami, o papiroflexia sin ningún instrumento, sólo hojas de papel,resulta más potente que la regla y compás clásicos. Igual que la regla marcable, el origami permite resolverecuaciones cúbicas, lo que a su vez abre la resolución de cuárticas, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo.Se ha demostrado que los puntos construibles por papiroflexia son exactamente los mismos que con regla marcable ycompás; en particular, tampoco el origami permite resolver la cuadratura del círculo. Se pueden hacer tambiénfiguras de diversos modelos con el origami o papiroflexia tan solo con una hoja de papel.

El cuerpo extendidoEn términos abstractos, el uso de estas herramientas más potentes, ya sea la neusis de la regla marcable o el origamio papiroflexia, extienden el cuerpo de los números construíbles a un subcuerpo más amplio de los númeroscomplejos, que no sólo contiene la raíz cuadrada, sino también la raíz cúbica de cualquier elemento (Como siempre,podemos evitar la ambigüedad sobre de qué raíz cúbica estamos hablando quedándonos sólo con los argumentoscomplejos menores que , para que haya una sola). Las fórmulas aritméticas de los puntos construíbles que hemos

descrito más arriba tienen sus análogas en este cuerpo extendido, permitiendo ahora fórmulas que incluyen tambiénraíces cúbicas.

Page 237: Mates Discretas +

Regla y compás 233

Investigaciones recientesSimon Plouffe ha escrito un artículo en el que muestra cómo la regla y el compás pueden usarse como una sencillacomputadora, dotada de insospechada potencia de cálculo.[6]

Referencias

Notas[1] La primera edición de este artículo es casi en su totalidad una traducción del artículo compass and straightedge de la Wikipedia en lengua

inglesa. Salvo indicación en contrario, las referencias y vínculos externos son las originales de dicho artículo[2] El matemático Underwood Dudley ha trabajado en la recopilación de falsas demostraciones "con regla y compás", así como de otras

excentricidades matemáticas, que ha compilado en varios libros.[3] coseno de pi/17 en MathWorld, Wolfram (http:/ / mathworld. wolfram. com/ TrigonometryAnglesPi17. html)[4] ver * Bogomolny, Alexander. « Archimedes' trisection (http:/ / www. cut-the-knot. org/ pythagoras/ archi. shtml)» (en inglés). Interactive

Mathematics Miscellany and Puzzles (http:/ / www. cut-the-knot. org/ index. shtml).[5] John H. Conway ha aportado construcciones de algunos. Conway, John H. and Richard Guy: The Book of Numbers[6] Simon Plouffe. "The Computation of Certain Numbers Using a Ruler and Compass." Journal of Integer Sequences, Vol. 1 (1998), Article

98.1.3.

Enlaces externos• Online ruler-and-compass construction tool (http:/ / wims. unice. fr/ ~wims/ en_tool~geometry~rulecomp. en.

phtml)• Squaring the circle (http:/ / www-gap. dcs. st-and. ac. uk/ ~history/ HistTopics/ Squaring_the_circle. html)• Impossibility of squaring the circle (http:/ / www. geom. umn. edu/ docs/ forum/ square_circle/ )• Doubling the cube (http:/ / www-gap. dcs. st-and. ac. uk/ ~history/ HistTopics/ Doubling_the_cube. html)• Angle trisection (http:/ / www. geom. umn. edu/ docs/ forum/ angtri/ )• Trisection of an Angle (http:/ / www. jimloy. com/ geometry/ trisect. htm)• Regular polygon constructions (http:/ / mathforum. org/ dr. math/ faq/ formulas/ faq. regpoly. html)• Simon Plouffe's use of ruler and compass as a computer (http:/ / www. math. uwaterloo. ca/ JIS/ compass. html)• Why Gauss could not have proved necessity of constructible regular polygons (http:/ / www. math-cs. cmsu. edu/

~mjms/ 1996. 2/ clements. ps)• Bogomolny, Alexander. « Angle Trisection by Hippocrates (http:/ / www. cut-the-knot. org/ Curriculum/

Geometry/ Hippocrates. shtml)» (en inglés). Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (http:/ / www.cut-the-knot. org/ index. shtml).

• Bogomolny, Alexander. « Geometric Construction with the Compass Alone (http:/ / www. cut-the-knot. org/do_you_know/ compass. shtml)» (en inglés). Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (http:/ / www.cut-the-knot. org/ index. shtml).

• Archimedes' neusis construction (http:/ / agutie. homestead. com/ files/ ArchBooLem08. htm) by AntonioGutiérrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.

• Weisstein, Eric W. « Angle Trisection (http:/ / mathworld. wolfram. com/ AngleTrisection. html)» (en inglés).MathWorld. Wolfram Research.

• Various constructions using compass and straightedge (http:/ / www. mathopenref. com/ tocs/ constructionstoc.html) With interactive animated step-by-step instructions

Page 238: Mates Discretas +

Teorema de la raíz racional 234

Teorema de la raíz racionalEn álgebra, el teorema de la raíz racional o la prueba de la raíz racional indica una restricción en las solucionesracionales (o raíces) de la ecuación polinómica con coeficientes enteros:

Si a0 y an son diferentes de cero, entonces cada solución racional x, cuando está escrita como fracción x = p/q en sustérminos más bajos (es decir, el máximo común divisor de p y q es 1), satisface• p es un factor del término constante a0, y• q es un factor del coeficiente del término an.

Así, una lista de las posibles raíces racionales de la ecuación se puede derivar usando la fórmula .

El teorema de la raíz racional es un caso especial (para un solo factor lineal) del lema de Gauss en la factorización depolinomios. El teorema de la raíz entera es un caso especial del teorema de la raíz racional si el coeficiente principalan = 1.

DemostraciónSea P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 para algún a0, ..., an ∈ Z, y suponga P(p/q) = 0 para algún coprimo p, q ∈Z:

Cambiando el término constante y multiplicando por qn,

Todos los términos en estas ecuaciones son enteros, lo que implica p | a0qn y q | anpn. Pero p, qn y q, pn soncoprimos. Por lo tanto, por el Lema de Euclides, p | a0 y q | an.[1]

EjemploPor ejemplo, cada solución racional de la ecuación

debe estar entre los números indicados simbólicamente por

± Lo que da la lista de posibles respuestas:

Estos candidatos de raíces pueden ser probados usando la regla de Horner (por ejemplo). En este caso particular hayexactamente una raíz racional. Si un candidato a raíz no satisface la ecuación, puede ser usado para acortar la lista delos candidatos restantes. Por ejemplo, x = 1 no satisface la ecuación puesto que el lado izquierdo es igual a 1. Estosignifica que substituyendo x = 1 + t produce un polinomio en t con el término constante 1, mientras que elcoeficiente de t3 permanece igual que el coeficiente de x3. Aplicando el teorema de la raíz racional produce así lassiguientes posibles raíces para t:

Por lo tanto,

Page 239: Mates Discretas +

Teorema de la raíz racional 235

Los candidatos de raíces que no ocurren en ambas listas son eliminados. La lista de candidatos racionales se haencogido así a apenas x = 2 y x = 2/3.Si es encontrada una raíz r1, la regla de Horner también proporcionará un polinomio de grado n − 1 cuyas raíces,junto con r1, son exactamente las raíces del polinomio original. Puede también ser el caso que ningunos de loscandidatos sea una solución; pero en este caso, la ecuación tiene como solución racional x = 2/3. Si la ecuacióncarece de un término constante a0, entonces 0 es una de las raíces racionales de la ecuación.

Referencias[1] D. Arnold, G. Arnold (1993). Four unit mathematics. Edward Arnold. pp. 120–121. ISBN 0340543353.

Enlaces externos• Another proof that nth roots of integers are irrational, except for perfect nth powers (http:/ / www. cut-the-knot.

org/ Generalization/ RationalRootTheorem. shtml) by Scott E. Brodie

Lema de GaussEn la teoría de polinomios, el lema de Gauss, o Criterio de la irreducibilidad de Gauss, afirma que si es undominio de factorización única (DFU) y es su cuerpo de cocientes (o cuerpo de fracciones), entonces elcontenido de dos polinomios dados con coeficientes en es el producto de contenidos y todo polinomio primitivo

es irreducible en si y sólo si lo es en .El Criterio de irreducibilidad de Gauss proporciona un resultado muy útil para demostrar ciertas propiedades dedivisibilidad en anillos de polinomios: por la equivalencia que señala el criterio entre la irreducibilidad de unpolinomio primitivo en y la irreducibilidad del mismo polinomio en , puede demostrarse que al ser

un DFU también lo es .Así, se tiene como corolario que si es un DFU entonces también lo es , sea o no este último anillo undominio de ideales principales (DIP). Por ejemplo, no es un DIP pero sí es un DFU.También se puede usar el lema para demostrar el criterio de Eisenstein, muy útil para identificar polinomiosirreducibles en los racionales.

Page 240: Mates Discretas +

Criterio de Eisenstein 236

Criterio de EisensteinEn matemáticas, el criterio de Eisenstein proporciona una condición suficiente para que un polinomio seairreducible sobre el conjunto de los números racionales.Si tenemos el siguiente polinomio con coeficientes enteros:

y un número primo tal que• divide a todo para i ≠ n• no divide a • no divide a entonces es irreducible.

EjemplosConsidérese .Probaremos los siguientes primos .• p = 2

2 no divide a 15, entonces probaremos• p = 3

3 no divide a 10, entonces probaremos• p = 5

5 divide a 15, el coeficiente de x, y a 10, el término constante. Además, 5 no divide a 3, el primer coeficiente;y 25 = 52 no divide a 10. Concluiremos, por lo tanto, que g(x) es irreducible.

En algunos casos, la elección del primo puede ser poco clara, pero puede llegar a revelarse por un cambio de variabley = x + a. Por ejemplo, consideremos h(x) = x2 + x + 2. Es aparentemente difícil, ya que ningún primo divide a 1, elcoeficiente de x. Pero si cambiamos h(x) en h(x + 3) = x2 + 7x + 14 veremos inmediatamente que el primo 7 divide alcoeficiente de x y al término constante, y que 49 no divide a 14. Así, con el cambio introducido, logramos que elpolinomio satisficiera el criterio de Eisenstein.Otro caso notable es el del polinomio ciclotómico para un primo p. Esto es:(xp − 1)/(x − 1) = xp − 1 + xp − 2 + ... + x + 1.Aquí, el polinomio satisface el criterio de Eisenstein, en una nueva variable y, después de establecer x = y + 1. Elcoeficiente constante será entonces p; los otros coeficientes son divisibles por p por las propiedades de loscoeficientes binomiales C(p,k) que son p! dividido por algo que no involucra a p.

Prueba elementalConsidérese f(x) como un polinomio módulo p; esto es, redúzcanse los coeficientes al cuerpo Z/pZ. Entonces serác.xn para una constante c distinta de cero. Dado que dichos polinomios tienen una factorización única, cualquierfactorización de f mod p resultará en monomios. Ahora, si f no fuese irreducible como polinomio entero, podríamosescribirlo como g.h, y f mod p como el producto de g mod p y h mod p. Estos últimos deben ser monomios, comoacabamos de afirmar, por lo que tendremos que g mod p es d.xk y h mod p es e.xn-k donde c = d.e.Vemos ahora que las condiciones dadas sobre g mod p y h mod p significan que p2 dividirá a a0, lo que contradicenuestra hipótesis. De hecho a0 será g(0).h(0) y p divide a ambos factores, como hemos dicho más arriba.

Page 241: Mates Discretas +

Criterio de Eisenstein 237

Explicación avanzadaAplicando la teoría del polígono de Newton para el campo de los números p-ádicos, para un polinomio deEisenstein, se supone que tomaremos la menor envoltura convexa de los puntos.

(0,1), (1, v1), (2, v2), ..., (n − 1, vn-1), (n,0),donde vi es la evaluación p-ádica de ai (es decir, la mayor potencia de p que lo divide). Ahora, los datos que tenemossobre los vi for 0 < i < n, es decir, que existe por lo menos uno, es lo que necesitamos para concluir que la menorenvoltura convexa es exactamente el único segmento de (0,1) a (n,0), con pendiente −1/n.De la teoría general sabemos que p se ramifica completamente en la extensión de los números p-ádicos generadospor una raíz de f. Por esa razón, f es irreducible sobre el campo p-ádico, y a fortiori sobre el campo de los númerosracionales.Esta prueba es mucho más complicada que el argumento directo por reducción módulo p. Sin embargo, permite ver,en términos de teoría algebraica de números, la frecuencia con que puede aplicarse el criterio de Eisenstein despuésde algún cambio de variable; y así limita marcadamente la posible elección de p.De hecho sólo los primos p que se ramifiquen en la extensión de Q generada por una raíz de f tienen algunaposibilidad de servir. Pueden ser hallados en términos del discriminante de f. Por ejemplo, en el caso de x2 + x + 2dado más arriba, el discriminante es −7, de modo que 7 es el único primo con posibilidades de satisfacer el criterio.Se torna, mod 7, en:

(x − 3)2

— es inevitable la repetición de una raíz, ya que el discriminante es 0 mod 7. Por lo tanto el cambio de variable esalgo realmente predecible.Una vez más, para el polinomio ciclotómico se torna en:

(x − 1)p − 1 mod p;Por métodos de álgebra lineal puede demostrarse que el discriminante es pp − 2 (excepto variación de signo).

Enlaces externos• La versión inicial de este artículo es una adaptación de en:Eisenstein's criterion de Wikipedia en inglés bajo

licencia GFDL y Creative Commons.• Weisstein, Eric W. «Eisenstein's Irreducibility Criterion [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ EisensteinsIrreducibilityCriterion. html

Page 242: Mates Discretas +

Dominio de ideales principales 238

Dominio de ideales principalesUn dominio de ideales principales (DIP) es un dominio de integridad en el que todo ideal es principal (estágenerado por un sólo elemento). Cualquier dominio de ideales principales es también un dominio de factorizaciónúnica, pero no al revés. En estos dominios existe siempre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo,hecho que no ocurre en los dominios de integridad en general. El máximo común divisor de y en un DIP es elelemento del anillo tal que .

EjemplosEl anillo de los números enteros es un ejemplo de dominio de ideales principales.

Si es un cuerpo y es su anillo de polinomios en dos variables, entonces es un dominio defactorización única que no es dominio de ideales principales.

Dominio de factorización únicaUn dominio de factorización única (DFU) es una estructura algebraica, específicamente, es un dominio deintegridad en el cual todo elemento se descompone de forma única (salvo producto por unidades) como producto deelementos irreducibles. En los DFU se verifica que un elemento es primo si y sólo si, es irreducible.

EjemplosPor ejemplo, el anillo de los números enteros es un caso particular de DFU, pero por lo general, no todo anillo esDFU; es fácil comprobar que en el anillo ciertos elementos admiten más de una factorización.

Así, , y los cuatro factores son irreducibles y no son unidades. Es unejemplo de Anillo de factorización, pero no única. De hecho en este mismo anillo los cuatro factores no son idealesprimos, pues los ideales que generan en no lo son:

por lo tanto

Un resultado importante sobre este tipo de anillos es que si A es un DFU entonces A[X] también lo es.

Enlaces externos• UFD [1] en PlanetMath• Weisstein, Eric W. «Unique Factorization Domain [2]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Referencias[1] http:/ / planetmath. org/ ?op=getobj& amp;from=objects& amp;id=671[2] http:/ / mathworld. wolfram. com/ UniqueFactorizationDomain. html

Page 243: Mates Discretas +

Elemento primo 239

Elemento primoEn álgebra abstracta, un elemento de un anillo es primo si satisface una condición similar a la establecida por ellema de Euclides.

Si R es un anillo conmutativo, un elemento p de R es primo si

1. p no es el elemento cero2. p no es una unidad3. Cada vez que p divida a un producto ab, entonces necesariamente divide a alguno de los dos factores: p divide a a o p divide a b.

Esto es equivalente a la condición que el ideal principal generado por el elemento p sea un ideal primo distinto decero.

Relación con elementos irreduciblesLa definición usual de número primo estable que es aquél que sólo tiene por factores a sí mismo y a la unidad. Estacondición se generaliza en teoría de anillos en el concepto de elemento irreducible:

R es un anillo conmutativo, un elemento q de R es irreducible si para cualquier factorización q=ab entonces alguno de los dos factores esuna unidad del anillo.

Sin embargo, en un dominio de factorización única ambos conceptos son equivalentes (un elemento primo esirreducible y viceversa). Sin embargo, dicha relación no es válida en general.

Referencias• John B. Fraleigh (2002) (en inglés). A First Course of Abstract Algebra (7a edición). Addison-Wesley. ISBN

9780201763904.• Michael Artin (1991). «Factorization» (en inglés). Algebra. Prentice Hall. ISBN 0130047635.• David S. Dummit; Richard M. Foote (2004) (en inglés). Abstract Algebra (3a edición). Wiley. ISBN 0471433349.• I. Martin Isaacs (2009). Algebra. American Mathematical Society. ISBN 9780821847992 Ficha en OpenLibrary [1].

Referencias[1] http:/ / openlibrary. org/ books/ OL22666331M/ Algebra

Page 244: Mates Discretas +

Origami 240

Origami

Grulla de papel.

El origami (折 り 紙?) es el arte de origen japonés consistente en elplegado de papel para obtener figuras de formas variadas. En españolse denomina usualmente papiroflexia, aunque su nombre oriental(origami) también está muy extendido. Otra palabra para referirse aeste arte es cocotología.

En el origami no se utilizan tijeras ni pegamento o grapas, tan sólo elpapel y las manos. Aún así, con sólo algunas hojas de papel puedenobtenerse distintos cuerpos geométricos (incluso poliedros) y figurasparecidas a la realidad (animales, personas, flores, objetos, etc). Lasdistintas figuras obtenidas a partir de una hoja de papel puedenpresentar diferentes áreas (según la porción de papel que queda debajode otra) y varios volúmenes.

Origen del término

Primer libro de origami de 1797

El origen de la palabra procede de los vocablos japoneses "oru"(plegar) y "kami" que designa al papel (origami = 折 り 紙).

Origami en la actualidad

El origami es definido como un arte educativo en el cual las personasdesarrollan su expresión artística e intelectual. También lo exponencomo la esencia que se esconde tras los dedos de quienes plieganpapeles para darle nacimiento a innumerables figuras.

La particularidad de esta técnica es la transformación del papel enformas de distintos tamaños y simbología partiendo de una base inicialcuadrada o rectangular que pueden ir desde sencillos modelos hastaplegados de gran complejidad. Los sujetos preferidos para modelar sonanimales y otros elementos de la naturaleza como flores y árboles entreotros motivos.

Tipos de Origami

Origami de acciónEl origami no sólo representa figuras inmóviles, también existen objetos móviles donde las figuras pueden moversede maneras ingeniosas. El origami de acción incluye modelos que vuelan, que requieren ser inflados paracompletarlos o que presionando o tirando de cierta región del modelo se consigue que la figura mueva un miembro,aletee, etc. Algunos sostienen que, en realidad, sólo este último es realmente “reconocido” como origami de acción.El origami de acción, habiendo aparecido primero con el pájaro aleteador japonés tradicional, es bastante común. Unejemplo son los instrumentalistas de Robert Lang; cuando se hallan las cabezas de las figuras en sentido contrario asus cuerpos, sus manos se moverán, asemejándose a la acción de tocar música.

Page 245: Mates Discretas +

Origami 241

Origami modular (Kusudama)

Ejemplo de origami modular

El origami modular consiste en poner una cantidad de piezas idénticasjuntas para formar un modelo completo. Las piezas son normalmentesimples pero el conjunto final puede ser complicado. Muchos de losmodelos modulares de origami son bolas decorativas como elkusudama, sin embargo la técnica difiere en que el kusudama permiteque las piezas sean puestas juntas usando hilo o pegamento.La papiroflexia china incluye un estilo llamado "Origami 4D" dondeuna gran cantidad de piezas se juntan para hacer modelos elaborados.A veces se utilizan billetes para los módulos. Este estilo fue creado poralgunos refugiados chinos mientras fueron detenidos en América y seconoce también como "Golden Venture" en honor al barco en el queviajaron.

Plegado en húmedoEl plegado en húmedo es una técnica de origami para producir modelos con curvas finas en vez de plieguesgeométricos rectos y superficies planas. Consiste en humedecer el papel para que pueda ser moldeado fácilmente. Elmodelo final mantiene su forma cuando se seca. Puede ser utilizado por ejemplo para producir modelos de animalesde apariencia muy natural.

Pureland origamiSe trata de un estilo en el que solamente se puede hacer un pliegue a la vez y no se permiten pliegues más complejoscomo los invertidos. Todos los pliegues deben tener localizaciones directas. Fue desarrollado por John Smith en losaños 70 para ayudar a plegadores novatos o a aquellos con habilidades motoras limitadas. A algunos diseñadorestambién les gusta el desafío de crear buenos modelos dentro de límites tan estrictos.

Teselados o TeselacionesEsta rama del origami ha crecido recientemente en popularidad, pero tiene una historia extensa. Un teselado es unaregularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana sin dejar huecos nisuperponer las figuras. Los teselados de origami se hacen normalmente con papel pero se pueden utilizar otrosmateriales que retengan el pliegue. La historia del vestir incluye teselados hechos en tela que han sido registradosdesde la época de los egipcios.Fujimoto, uno de los primeros maestros japoneses del Origami, publicó libros que incluían teselados y en los años 60hubo una gran exploración de los teselados por Ron Resch. Chris Palmer es un artista que también ha trabajadoextensivamente con los teselados y ha encontrado maneras de crear teselados de origami detallados a partir de laseda. Robert Lang y Alex Bateman son dos diseñadores que utilizan programas de computadora para diseñarteselados de origami. El primer libro estadounidense sobre el tema fue publicado por Eric Gjerde y el campo se haido ampliando rápidamente. Hay numerosos artistas de teselados, incluyendo Chris Palmer (E.E.U.U.), Eric Gjerde(E.E.U.U.), Polly Verity (Escocia), Joel Cooper (E.E.U.U.), Christine Edison (E.E.U.U.), Ray Schamp (E.E.U.U.),Roberto Gretter (Italia), Goran Konjevod (E.E.U.U.), Christiane Bettens (Suiza), Carlos Natan López (México)cuyos trabajos son geométricos y representativos.

Page 246: Mates Discretas +

Origami 242

Aprendiendo origami

Base del Cometa

El bloque básico en el diseño de las figuras son las bases, quetradicionalmente son cuatro:•• La base del cometa: de donde se origina la figura del cisne.•• La base del pez: de ella surge un pez.•• La base del pájaro: la grulla es un ejemplo que la ocupa.•• La base de la rana: que resulta en la rana.A partir de ellas se originan cientos de figuras y pueden emplearse paracrear extremidades extra en los diseños más complejos. La base delpajaro se ocupa generalmente para crear aves porque da origen a 4solapas que pueden transformarse en una cabeza, una cola y dos alas,aunque ciertas figuras, como el caracol, también parten de esta base.

Diseño de Figuras

Empaquetado de círculos: Cuando se desea construir una nueva figuralo primero que se debe hacer es contar el número de solapas que tendrála figura, por ejemplo si se quisiera diseñar un perro este tiene unacabeza, una cola y cuatro patas, por lo tanto la figura debe tener 6solapas. Cada solapa tiene un largo del radio de un círculo. En el inicio del diseño en el papel cuadrado se dibujanestos 6 círculos con la restricción de que sus centros siempre queden dentro del papel y que no se superponga uncírculo con otro. Después se conectan los centros de los círculos contiguos con un doblez. Posteriormente se añadendobleces secundarios. Finalmente se encuentra una secuencia de doblado que origine el patron de dobleces. Seconsigue así una base para la figura quedando por añadir tan sólo los detalles.<-Insertar referencia a Origami Design secrets!>

Kirigami y MakigamiOtras formas de arte con papel son el kirigami y el makigami, totalmente distintos al origami.El kirigami es el arte y la técnica de cortar el papel dibujando con las tijeras. Se diferencia de los "recortables" enque estos últimos necesitan de un trazo o dibujo previo y en el kirigami se recortan las figuras directamente con lastijeras, lo que lo convierte en una técnica muy creativa. Su término deriva de las palabras japonesas kiru, quesignifica cortar, y gami, papel. El kirigami tiene muchas variantes. El kirigami milenario practicado en orientedesarrolla modelos decorativos y muy artísticos. Hay un kirigami arquitectónico que usando cuchillas desarrollamodelos muy elaborados. También existe una variante educativa del kirigami, desarrollada especialmente enSudamérica, la cual se usa como técnica y material educativo. Para ello se han creado dinámicas, juegos yaplicaciones didácticas del recorte del papel.El makigami es el arte y técnica de trabajar el papel rasgando, uniendo, doblando y arrugando únicamente con lasmanos. Podemos entenderla como "kirigami con las manos". Estas técnicas permiten y promueven el trabajo enconjunto, el desarrollo de la creatividad, la integración de áreas y tiene una fuerte influencia en el desarrollo de lainteligencia emocional de los niños al influir en su autoestima positiva. Se tiene que aclarar que, tanto en el origamicomo en el kirigami y el makigami, sus beneficios y sus metas concuerdan, pero la técnica es la que se debediferenciar; aunque en el origami también esta permitido el uso de pinzas y tijeras especialmente para darle la formadeseada para generar la figura antes de comenzar a plegar la hoja de papel.

Page 247: Mates Discretas +

Origami 243

El Origami en OccidenteEl origami llegó a Occidente cuando había terminado la Ruta de la Seda al Este Cercano. El papel hizo su aparicióncuando Marco Polo llevó el origami en el siglo XIII, pero no fue bien recibido por los europeos. En el Occidenteprefirieron el pergamino para empapelar.El papel no duró más que el pergamino pero se aceptó finalmente por las ventajas que tenía a favor: porque era másfácil de manipular y el producto era menos caro. La invención de la prensa ayudó después en su aceptación.Sus orígenes también se remontan a la Invasión árabe en el siglo VIII, cuando trasladaban los prisioneros chinos aSamarcanda en el año 751. De los prisioneros aprendieron a hacer y a doblar papel, inicialmente figuras clásicassimples como animales. Desde que la religión musulmana prohibió la representación del ser humano y las formasanimales en el arte, por la creencia de la idolatría a imágenes, entonces sus investigaciones en papiroflexia ibandirigidas al estudio de formas geométricas y el estudio matemático de los patrones lineales que quedan al doblar elpapel. Como máxima expresión de esta actividad fueron los edificios de arquitectura morisca, en la cual utilizaronesos mismos patrones para su diseño.Existen actualmente una infinidad de teoremas y principios relacionados con el doblado de papel, muchos de loscuales han desarrollado nuevos conceptos de matemática aplicada, como por ejemplo en la topografía. Después deque los árabes fueran expulsados de España durante la Reconquista, los españoles se quedaron con los diseños ydesarrollos, incorporando formas que representaban la naturaleza.

Encuentro entre Oriente y Occidente

Castillo de papel creado por los Shumakov

Hace unos 100 años tuvieron lugarcambios decisivos en Japón, ya que losnorteamericanos querían extender sucomercio hacia Asia y necesitabanconcesiones y socios en esta región.Bajo la amenaza de emplear las armasobligaron a los japoneses a abrir suspuertos. Japón reabrió sus puertas almundo en el año 1854 gracias alcomodoro norteamericano Perry,después de siglos de aislamiento.

Todos estos acontecimientos sociales yculturales repercutieron de formasignificativa en el Origami clásico (elOrikata), naciendo así el Origamimoderno. En el Origami clásico serecortaba, pegaba y pintaba. Para elOrigami "las tijeras son tabú", "la pintura se debe evitar" y "la utilización del pegamento es impensable". La formapura, lograda solamente mediante el plegado, debe responder de sí misma. No existe otro elemento de configuraciónque el material en su estructura, dibujo o color. Así los maestros japoneses crearon las nuevas normas para el origamimoderno.

En la Exposición Universal de París en 1878, durante el Período Meiji, se fusionan los conocimientos orientales y occidentales, creando así un solo origami, un solo arte, el cual había evolucionado aisladamente. A finales del siglo XIX, Friedrich Fröebel, incorpora y desarrolla el origami en sus técnicas de enseñanza a nivel escolar, siendo adoptado rápidamente en los jardines infantiles japoneses por la utilidad en el preescolar para enseñar las figuras geométricas, entre otros beneficios que brinda el origami en la educación. Por esta época, un vendedor europeo llevó

Page 248: Mates Discretas +

Origami 244

a Tokio papel de colores, desconocido allá, este tuvo una amplia acogida que hizo que el origami mejorara su calidaden la realización de los modelos.

Miguel de Unamuno, la llegada al mundo hispanoEn lo que respecta a los países hispanohablantes, tanto en España como América del Sur, quien introdujo realmentey propulsó el origami, fue el escritor español Miguel de Unamuno alrededor de la década de 1930. Ya que hastaentonces, el origami apenas había tenido influencia en la península, pues pese a haber sido introducido por losárabes, en la Europa Medieval lo que se utilizaba era el papiro, un material bastante 'tosco' si lo comparamos con elligero papel de arroz oriental. Por eso, cobra notoria importancia Miguel de Unamuno pues es el primero querealmente se tomó en serio hacer "pajaritas de papel".Otro de los aspectos por los que se destacó fue por escribir, además de multitud de obras literarias de granrelevancia, una especie de tratado acerca de la 'cocotología'; término creado por el propio Unamuno para designar alorigami, que deriva de 'cocotte' que significa algo así como 'gallina' o 'pajarita' en francés. Además, Miguel deUnamuno publicó varios libros de plegado, entre ellos el ensayo "Amor y Pedagogía", donde habla del origami en elapéndice.Así pues, Miguel de Unamuno además de su consecuencias en la península ibérica, tuvo también una enormeinfluencia en América del Sur. Es más, podríamos decir que es el padre de la papiroflexia hispanoamericana pues, aligual que en España, la papiroflexia tenía hasta entonces muy poca relevancia. Sin embargo, la papiroflexia como tal,tuvo mayor aceptación en América del Sur donde hoy día tiene muchos seguidores y han surgido grandespapirofléxicos como por ejemplo los argentinos Vicente Solórzano Sagredo y Ligia Montoya quienes practicaron lapapiroflexia, dándole gran importancia a este arte de plegados y figuras inimaginables, entre otros.

Popularización del arteDurante esta misma década, los educadores impusieron que los estudiantes en sus creaciones mostraran originalidady creatividad, por lo tanto, el origami fue rechazado por faltar en los requisitos anteriores, pero asegurado elpaperfolding por su historia milenaria, recobró su popularidad una vez más gracias al revolucionario del Origami delsiglo XX: Akira Yoshizawa -el genio del origami, quien ha realizado más de 50.000 trabajos y hoy en día creanuevos modelos prodigiosos- fue quien desarrolló las nuevas formas de sobrevivir a los modelos tradicionalesrestableciendo el origami como forma de arte creativa, poniendo énfasis en la sensibilidad de la forma y exactitud enel plano a trabajar. Los hechos y el renacimiento que sufrió el origami ocurrió en el Período Taisho.Trabajando en las ideas que ayudaron a seguir en pie al origami, a mediados del Período Showa, Yoshizawa, conocea Sam Randlett y hacia la década de 1950 crearon un código internacional para representar los dobleces quecomponían las figuras para poder ser realizadas, las cuales son las que actualmente se utilizan como herramienta parael desarrollo de los plegados. A partir de este sistema de líneas, la publicación de libros aumentó considerablemente,inicialmente en el Japón con Isao Honda y luego en Inglaterra con Robert Harbin. Esto hizo que la gente comenzaraa agruparse y en 1958 se creó FOCA ("Friends of Origami Center of América", actualmente Origami USA), en 1967la British Origami Society y así se desarrollaron grupos en todos los países como Francia (1978) y España (1981).Actualmente existen autores de renombre mundial como Kunihiko Kasahara y Tomoko Fuse en Japón, Robert Langy John Montroll en Estados Unidos, Vicente Palacios en España, Peter Budai en Hungría (quien publicó su primerlibro a los 12 años). Aparte de eso hay muchos origamistas, que aunque no han publicado mucho son muy conocidosen el mundo de origami, como Jeremy Shafer, Tom Hull y Mette Pederson en Estados Unidos, Joseph Wu enCanadá; Alfredo Guinta en Italia, Marteen Van Gelder en Holanda y otros muchos que harían una lista interminable.Prontamente, la papiroflexia pasa rápidamente al olvido, pero seguía latente en sus raíces, de este modo se volvió arecordar este precioso arte reanudando la tradición del noshi, colocándolo en un regalo para recordar que elobsequiar este plegado, según la tradición japonesa, da buena suerte a quien lo recibe.

Page 249: Mates Discretas +

Origami 245

Actualmente el origami está en el Período Heisei, el cual es una etapa de un cambio en su concepción. Añosanteriores se lo consideraba como una artesanía, ahora como un arte incluido entre las aficiones intelectuales ycientíficas.

Una rana de papel.

Con el origami se hace posible elaborar lo pensado y lo inimaginable,todo lo que constituye el medio que nos rodea y en el cual vivimos:Fauna y flora de todos los continentes, la vida urbana, herramientas denuestra cotidianidad, dinosaurios, dragones, estrellas y otros astros queimiten el universo.

La materialización de las ideas y el uso queofrece

Toda innovación del ser humano es para beneficio de él mismo, pese aque no se tenga en mente, para bien o para mal. El origami no es la excepción, pues si se analiza desde unaperspectiva más objetiva, se encuentra en los lugares menos pensados, como la pedagogía.

El origami es una gran ayuda en la educación, trayendo a quien lo ejercita grandes beneficios y grandes cualidades,no sólo a los estudiantes que lo realicen, sino también le será bueno a cualquier persona; algunas de ellas son:• Desarrollar la destreza, exactitud y precisión manual, requiriendo atención y concentración en la elaboración de

figuras en papel que se necesite.• Crear espacios de motivación personal para desarrollar la creatividad y medir el grado de coordinación entre lo

real y lo abstracto.•• Incitar al alumno a que sea capaz de crear sus propios modelos.•• Brindar momentos de esparcimiento y distracción.• Fortalecimiento de la autoestima a través de la elaboración de sus propias creaciones.Si se incentiva en un niño el trabajo manual desde pequeño, seguramente crecerá desarrollando habilidades artísticasy estará en capacidad de ubicar espacialmente un objeto cualquiera en un papel, acción que muchos niños no puedenhacer, precisamente porque no potenció en los primeros años de su vida el trabajo manual.Lo ideal es que comiencen una actividad manual a edad temprana, ya que está comprobado que el entrenamiento delos dedos de un bebé acelera el proceso de maduración del cerebro, porque el ejercitar el movimiento de los dedos deambas manos es realmente una base de desarrollo bilateral del cerebro y el adelanto del desarrollo intelectual,aprovechando que el cerebro está en su mayor plasticidad.El trabajo de coordinación de ambas manos, el trabajo activo de la inteligencia y la atención es necesaria en eldesarrollo y en el empleo del origami porque necesita la memoria, la imaginación y el pensamiento. Como seenvuelven las manos activamente en trabajo, hay un masaje natural en la punta de los dedos por turnossaludablemente, afectando el equilibrio dinámico de los procesos de excitación en la corteza cerebral, frenando en lasáreas corticales del cerebro. El espectro de movimientos de las palmas y dedos también se extiende por el impulsomotor de las zonas de la corteza de los largos hemisferios que están activados. Las ricas comunicaciones delanalizador del impulso con varias estructuras del cerebro, permite la actividad se transfiera de últimas. El trabajo decoordinación con las manos, requiere suficiente actividad del cerebro y un armonioso trabajo con las diferentesestructuras.El origami por su naturaleza es un arte para ambas manos y da una compensación directa en satisfacción de unacierta condición creadora, es por ello que esta técnica servirá de soporte en la formación integral del profesional,adquiriendo así nuevas formas de comunicarse con los demás, e implícitamente crear un ambiente que le permitainteractuar con una población determinada.

Page 250: Mates Discretas +

Origami 246

Geometría en el OrigamiEl origami, como se ha dicho anteriormente, ayuda y realiza conexiones con otras asignaturas, pero su mayorcontacto es con la geometría, ya que si se tiene una metodología con poca manipulación de objetos y procesosmatemáticos, no se podría lograr el objetivo de que el niño aprenda correctamente la figura, lo que se quiere decir esque si se le enseña al estudiante sólo a memorizar, los efectos de la enseñanza memorística y repetitiva en losprimeros niveles y sus consecuencias serían la adquisición de conceptos limitados o erróneos y el desinterés de losestudiantes a mediano y largo plazo.

Programas para diseño y diagramasExisten dos programas conocidos Doodle y TreeMaker Doodle creado por Jérôme Gout, Xavier Fouchet, VincentOsele, y otros voluntarios. Usa código ASCII para generar diagramas de origami, el resultado es elegante, perodifícil de usar. http:/ / doodle. sourceforge. net/ permite crear el diagrama de una figura de origami a partir de líneasde un código propio un archivo *.ps ,semejante al formato pdf, que contiene los pasos con texto y figura. Desde el2001 el proyecto parece estar en desarrollo para conseguir una versión para usuario final, aunque pareciera estarcongelado por falta de programadores. Doodle en su version funcional está escrito en C y es open source, en cambioDoodle 2 también open source está escrito en java y pretende tener una interfaz gráfica.TreeMaker por Robert Lang http:/ / www. langorigami. com/ science/ treemaker/ treemaker5. php4 que estáorientado solamente al diseño, crea el patrón de pliegues (no realiza diagramas). Crea en la hoja los plieguesnecesarios para doblar mostrando solamente una vision de los montes y valles (como cuando se realiza una figura yse desarma completamente). Con ello es posible saber que partes del papel darán origen a la cola, patas, cabeza si esque se diseñara un animal. TreeMaker está programado en C y es open source.Foldinator http:/ / zingman. com/ origami/ foldinator3OSMEpaper. php pretende ser un programa para el diseño dediagramas.

Psicología y pedagogía en el OrigamiAhora relacionemos la rama de la pedagogía con su compañera de siempre: La psicología.Se ha comprobado que la papiroflexia ayuda a los problemas psíquicos y psicológicos, ya que el estar concentradorealizando una actividad manual ayuda al desahogo, estimula los procesos mentales que, su finalidad es alejar alpaciente de sus obsesiones y temores. En algunas universidades israelíes se realizan estudios vinculados conestudiantes que presentan déficit atencional y que son fuertemente estimulados mediante el mecanismo de doblarpapel; en el Hospital Carlos Holmes Trujillo, de Cali, este arte se está utilizando desde hace unos años en eltratamiento de niños con problemas emocionales como dificultades de atención, expresión e hiperactividad.La papiroflexia utilizada como herramienta o como terapia, en una sesión, se comparten sentimientos yconocimientos, ayuda a resolver los problemas, se experimenta una comunicación no verbal, un escenario de metas uobjetivos, una oportunidad de un acercamiento no amenazante, un apoyo psicológico (llevar al sentimiento de laaceptación cuando se toma tiempo para demostrar lo positivo), una oportunidad para disfrutar y relajar un futuropasatiempo, entre otras experiencias que se viven cuando se aplica el origami para la rehabilitación del paciente.

Page 251: Mates Discretas +

Origami 247

Matemáticas en el OrigamiYa desde la misma invención del papel se estaba haciendo ciencia sin saberlo, por casualidad, pero la tecnología,buscaba por necesidad un producto flexible y duradero para escribir. Tratando de encontrar sus funcionalidades leinspiró al hombre este invento.El origami también tiene una vertiente científica, dependiendo de las preferencias de cada plegador, o de su sistemade creación. Los pliegues no son más que operaciones de simetría, a veces bastante complejas, y pueden ser ideadasy estudiadas metodológicamente en términos geométricos. El carácter matemático que pueda tener el plegado depapel no está reñido con el lado artístico, aunque tampoco tiene por qué coincidir. Por ejemplo del aspecto científicodel origami, podemos mencionar a los aficionados que se dedican a demostrar teoremas geométricos utilizando sóloel papel y las hipótesis a punto de ser teoremas, incluso hay trabajos publicados sobre la resolución de ecuaciones de3er grado sólo doblando el papel. Como consecuencia lógica de este campo es la versatilidad que ha dado el origamia la enseñanza en las clases de matemáticas a nivel preuniversitario. Además, el origami ofrece un ingredienteespecial, en tanto se incentive al practicante a crear sus propios modelos, se estará despertando y fomentando lacuriosidad científica, ya que, como las matemáticas, el origami es infinito.

Personajes del mundo de la papiroflexiaPersonajes en el mundo de la papiroflexia que han demostrado teoremas que llevan su nombre son: Humiaki Huzita,Jun Maekawa, Toshikazu Kawasaki, Robert Lang, Shuzu Fujimoto, Chris Palmer, entre otros.En el campo de la informática, el Dr. Robert Lang, en Física aplicada en Caltech, ha desarrollado el origamicomputacional, que es una serie de algoritmos para el doblado de las figuras. Actualmente el Dr. Robert Langtrabaja desarrollando proyectos que vinculan al origami con problemas de ingeniería. Su libro[ref origami designsecrets] es una excelente referencia para aprender a diseñar figuras nuevas y mejorar las existentes, en el se puedenaprender las tecnicas modernas para crear figuras con todas sus partes.La mayoría de la gente conoce el origami por sus avioncitos de papel o por sus barquitos, con los cuales sehacen competencias de niños. Pero esto de hacer avioncitos salió desde el siglo pasado cuando varios eruditosintentaron hacer una figura con papel que volase, o por lo menos que se mantuviera en el aire, esto se consiguió congran éxito y hasta la fecha es por ahí donde se ha trasmitido de padres a hijos el origami. Pero más que unentretenimiento debemos mencionar el deseo del hombre por alcanzar el cielo y en su afán buscó todos los mediospara poner a volar su imaginación. Gracias a los modelos de aviones de papel, podían hacer estudios detallados delcomportamiento del viento con respecto a las alas, o, la influencia del peso en un modelo, y otros muchos factoresque ayudaron a mejorar las técnicas de vuelo, la influencia del aire en los alerones y todo un sin fin de operacionesde ingeniería en torno a un avión, un simple avión de papel con el que juegan los niños.En muchos países los origamistas trabajan como comisionistas, desarrollan proyectos para publicidad y páginas webde renombradas empresas, son profesores de distintas asignaturas cuyo propósito es hacer conexiones con lapapiroflexia, entre otros trabajos.Sabiendo ahora que es realmente el arte de realizar figuras en papel y el gran campo que abarca, comprendiendo sumilenaria pero interesante historia y analizando pero a la vez realizando cada uno nuestra crítica hacia esta hermosa ycompleja arte sólo queda hacer la invitación para que tomen una hoja y experimenten esa bonita sensación que, comodijo Katsushika Hokusai: “Un mago es capaz de convertir las hojas de papel en pájaros”.

Page 252: Mates Discretas +

Origami 248

Galería: Museo de Origami

Variantes•• Kusudama•• Origami•• Pepakura•• Kirigami•• Makigami

Bibliografía

En castellano• Robinson, Nick (2005). Enciclopedia de Origami: guía completa y profusamente ilustrada de la papiroflexia.

Barcelona: Editorial Acento. ISBN 978-84-95376-62-6.• Kasahara,Kunihiko (2004). Papiroflexia, Origami,para Expertos. Editorial Edaf, S.A. ( Madrid). ISBN

84-414-0686-3.

En francés• Hirota, Junko (2005). Initiation à I'origami. Groupe Fleurus (París). ISBN 978-2-215-07743-5.

En inglés• Boutique-Sha Staff (2001). 3D Origami: Step by Step Illustrations. ISBN 4-88996-057-0.• Fuse, Tomoko (2000). Home Decorating with Origami. ISBN 4-88996-059-7.• Halle (2001). Cartoon Origami. ISBN 4-88996-057-0.• Montroll, John (2002). A Plethora of Polyhedra in Origami. ISBN 0-486-42271-2.• Shafer, Jeremy (2001). Origami to Astonish and Amuse. ISBN 978-0-312-25404-9.• Robert J. Lang (2003). Origami Design Secrets: Mathematical Methods for an Ancient Art. ISBN 1-56881-194-2.

Page 253: Mates Discretas +

Origami 249

En alemán• Kasahara, Kunihiko (2000). Figürlich und geometrisch. ISBN 3-8043-0664-0.

Referencias• Historia y Origen del Origami [1]

• Artículo "Matemáticas y papiroflexia" [2]

• Breve historia del antiguo arte de la papiroflexia [3]

• ¿Qué es Origami? [4]

•• [5]

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Origami. Commons• La página web del Grupo Zaragozano de Papiroflexia [6]

• Página de la Asociación Española de Papiroflexia [7]

• Página de la asociación Chilena de Origami (en español) [8]

• Página con animaciones 3D para construir figuras (en inglés) [9]

• Diversos modelos y diagramas de Origami (en español) [10]

• Página de la Asociación Argentina de Origami (en español) [11]

• Origami Modular en Argentina (español / inglés) [12]

Referencias[1] http:/ / www. papiroflexia. net/ papiroflexia_historia. html[2] http:/ / www. cimat. mx/ Eventos/ TJCsecundaria2008/ 03_Mats-y-Papiroflexia. PDF[3] http:/ / www. matematicas. net/ paraiso/ origami. php?id=orihist[4] http:/ / www. netverk. com. ar/ ~halgall/ origami1. htm[5] http:/ / www. origamimodular. com. ar/ intro_sp. htm[6] http:/ / www. gruzapa. org[7] http:/ / www. pajarita. org[8] http:/ / www. origamichile. cl/[9] http:/ / www. origami. org. uk/[10] http:/ / www. sectormatematica. cl/ origami. htm[11] http:/ / www. origamiargentina. com. ar/[12] http:/ / www. origamimodular. com. ar/

Page 254: Mates Discretas +

Teorema de Mohr-Mascheroni 250

Teorema de Mohr-MascheroniEn geometría euclídea, el teorema de Mohr-Mascheroni establece que todas las construcciones geométricas quepueden realizarse con regla y compás pueden realizarse únicamente con compás. Hay que notar que aunque no puedetrazarse con un compás una línea recta; dados dos puntos de la misma, es posible obtener un conjunto denso depuntos en la recta dada.

Enunciado e historia del teoremaEn 1797 el matemático italiano Lorenzo Mascheroni publicó la obra en verso dedicada a Napoleón Bonaparte Lageometria del compasso donde demostró el siguiente teorema:

Todos los problemas de construcción que se resuelven con ayuda del compás y la regla, pueden resolverse con precisión empleando solo uncompás

Lorenzo Mascheroni (1797)[1]

Aunque Mascheroni demostró el teorema en 1797, en 1928 el matemático danés Guelmslev encontró en una tiendade libros de Copenhague el libro Euclides danés de Georg Mohr, publicado en Amsterdam en 1672, donde sesolucionaba el mismo problema que Mascheroni.

Referencias[1] Kostovski, A. N.. Construcciones geométricas mediante un compás (Editorial MIR edición).

Bibliografía• Gardner, Martin. «Capítulo 17. Construcciones de Mascheroni». Circo matemático (Alianza Editorial, El libro de

bolsillo 937 edición). ISBN 84-206-1937-X.

Page 255: Mates Discretas +

Teorema de PonceletSteiner 251

Teorema de Poncelet–SteinerEn geometría, el teorema de Poncelet–Steiner establece que todas las construcciones geométricas que puedenrealizarse con regla y compás pueden realizarse únicamente con regla conocido un único círculo y su centro. Portanto, todas las construcciones que pueden realizarse con regla y compás puede realizarse con regla utilizando unaúnica vez el compás.El resultado, ya conjeturado por Jean-Victor Poncelet en 1822, fue demostrado por primera vez por el matemáticosuizo Jakob Steiner en su obra de 1833 «Die geometrischen Constructionen ausgeführt mittels der geraden Linie undeines festen Kreises».[1]

Referencias[1][1] Die geometrischen Constructionen ausgeführt mittels der geraden Linie und eines festen Kreises (1883): Construcciones geométricas

mediante linea recta y círculo.

Bibliografía• Kostovski, A. N.. Construcciones geométricas mediante un compás. Editorial MIR.

Tomografía axial computarizadaLa tomografía axial computarizada (TAC), o tomografía computarizada (TC), también denominada escáner, esuna técnica de imagen médica que utiliza radiación X para obtener cortes o secciones de objetos anatómicos confines diagnósticos.Tomografía viene del griego τομον que significa corte o sección y de γραφίς que significa imagen o gráfico. Portanto la tomografía es la obtención de imágenes de cortes o secciones de algún objeto. La posibilidad de obtenerimágenes de cortes tomográficos reconstruidas en planos no transversales, ha hecho que en la actualidad se prefieradenominar a ésta técnica tomografía computarizada o TC en lugar de TAC.En lugar de obtener una imagen de proyección, como la radiografía convencional, la TC obtiene múltiples imágenesal efectuar la fuente de rayos X y los detectores de radiación movimientos de rotación alrededor del cuerpo. Larepresentación final de la imagen tomográfica se obtiene mediante la captura de las señales por los detectores y suposterior proceso mediante algoritmos de reconstrucción.

HistoriaEn los fundamentos de esta técnica trabajaron de forma independiente el ingeniero electrónico y físico sudafricanonacionalizado norteamericano Allan McLeod Cormack y el ingeniero electrónico inglés Godfrey NewboldHounsfield, que dirigía la sección médica del Laboratorio Central de Investigación de la compañía EMI. Ambosobtuvieron de forma compartida el Premio Nobel de Fisiología o Medicina en 1979.En 1967 Cormack publica sus trabajos sobre la TC siendo el punto de partida de los trabajos de Hounsfield, quediseña su primera unidad. En 1972 comenzaron los ensayos clínicos cuyos resultados soprendieron a la comunidadmédica, si bien la primera imagen craneal se obtuvo un año antes.Los primeros cinco aparatos se instalaron en Reino Unido y Estados Unidos; la primera TC de un cuerpo entero seconsiguió en 1974.En el discurso de presentación del comité del Premio Nobel se destacó que previo al escáner, “las radiografías de la cabeza mostraban sólo los huesos del cráneo, pero el cerebro permanecía como un área gris, cubierto por la neblina.

Page 256: Mates Discretas +

Tomografía axial computarizada 252

Súbitamente la neblina se ha disipado”.En recuerdo y como homenaje a Hounsfield, las unidades que definen las distintas densidades de los tejidosestudiadas en TC se denominan unidades Hounsfield.

Principio de funcionamiento

Interior de un Tomografo axial computarizado.

El aparato de TC emite haz colimado de rayos X que incide sobre elobjeto que se estudia. La radiación que no ha sido absorbida por elobjeto es recogida por los detectores. Luego el emisor del haz, quetenía una orientación determinada (por ejemplo, estrictamente verticala 90º) cambia su orientación (por ejemplo, haz oblicuo a 95º). Esteespectro también es recogido por los detectores. El ordenador 'suma'las imágenes, promediándolas. Nuevamente, el emisor cambia suorientación (según el ejemplo, unos 100º de inclinación). Losdetectores recogen este nuevo espectro, lo 'suman' a los anteriores y'promedian' los datos. Esto se repite hasta que el tubo de rayos y losdetectores han dado una vuelta completa, momento en el que sedispone de una imagen tomográfica definitiva y fiable.Para comprender qué hace el ordenador con los datos que recibe lomejor es examinar el diagrama que se aprecia líneas abajo.

La figura '1' representa el resultado en imagen de una sola incidencia o proyección (vertical, a90º). Se trata de una representación esquemática de un miembro, por ejemplo un muslo. El colornegro representa una densidad elevada, la del hueso. El color gris representa una densidad media,los tejidos blandos (músculos).

En la figura '4' el ordenador dispone de datos de cuatro incidencias: 45º, 90º, 135º y 180º. Losperfiles de la imagen son octogonales, lo que la aproximan mucho más a los contornos circularesdel objeto real.

Una vez que ha sido reconstruido el primer corte, la mesa donde el objeto reposa avanza (o retrocede) una unidad demedida (hasta menos de un milímetro) y el ciclo vuelve a empezar. Así se obtiene un segundo corte (es decir, unasegunda imagen tomográfica) que corresponde a un plano situado a una unidad de medida del corte anterior.A partir de todas esas imágenes transversales (axiales) un computador reconstruye una imagen bidimensional quepermite ver secciones de la pierna (o el objeto de estudio) desde cualquier ángulo. Los equipos modernos permitenincluso hacer reconstrucciones tridimensionales. Estas reconstrucciones son muy útiles en determinadascircunstancias, pero no se emplean en todos los estudios, como podría parecer. Esto es así debido a que el manejo deimágenes tridimensionales no deja de tener sus inconvenientes.Un ejemplo de imagen tridimensional es la imagen 'real'. Como casi todos los cuerpos son opacos, la interposición decasi cualquier cuerpo entre el observador y el objeto que se desea examinar hace que la visión de éste se veaobstaculizada. La representación de las imágenes tridimensionales sería inútil si no fuera posible lograr que cualquiertipo de densidad que se elija no se vea representada, con lo que determinados tejidos se comportan comotransparentes. Aun así, para ver completamente un órgano determinado es necesario mirarlo desde diversos ánguloso hacer girar la imagen. Pero incluso entonces veríamos su superficie, no su interior. Para ver su interior debemos

Page 257: Mates Discretas +

Tomografía axial computarizada 253

hacerlo a través de una imagen de corte asociada al volumen y aun así parte del interior no siempre sería visible. Poresa razón, en general, es más útil estudiar una a una todas las imágenes consecutivas de una secuencia de cortes querecurrir a reconstrucciones en bloque de volúmenes, aunque a primera vista sean más espectaculares.

Fundamento técnicoLas fórmulas matemáticas para reconstruir una imagen tridimensional a partir de múltiples imágenes axiales planasfueron desarrolladas por el físico J. Radon , nacido en Austria en 1887.Tras sus trabajos las fórmulas existían (Transformada de Radon), pero no así el equipo de rayos X capaz de hacermúltiples “cortes” ni la máquina capaz de hacer los cálculos automáticamente.Para aplicarlo a la medicina hubo que esperar al desarrollo de la computación y del equipo adecuado que mezclase lacapacidad de obtener múltiples imágenes axiales separadas por pequeñas distancias, almacenar electrónicamente losresultados y tratarlos. Todo esto lo hizo posible el británico G. H. Hounsfield en los años 70.

Usos de la TC

Pantalla típica del software de diagnóstico,mostrando una vista 3D y tres vistas MPR.

La TC, es una exploración o prueba radiológica muy útil para el diaje oestudio de extensión de los cánceres en especial en la zona craneana,como el cáncer de mama, cáncer de pulmón y cáncer de próstata o ladetección de cualquier cáncer en la zona nasal los cuales en su etapainicial pueden estar ocasionando alergia o rinitis crónica. Otro uso es lasimulación virtual y planificación de un tratamiento del cáncer conradioterapia es imprescindible el uso de imágenes en tres dimensionesque se obtienen de la TC.

Las primeras TC fueron instaladas en España a finales de los años 70del siglo XX. Los primeros TC servían solamente para estudiar elcráneo, fue con posteriores generaciones de equipos cuando pudoestudiarse el cuerpo completo. Al principio era una exploración cara ycon pocas indicaciones de uso. Actualmente es una exploración derutina de cualquier hospital, habiéndose abaratado mucho los costes.Ahora con la TC helicoidal, los cortes presentan mayor precisión distinguiéndose mejor las estructuras anatómicas.Las nuevas TC multicorona o multicorte incorporan varios anillos de detectores (entre 2 y 320), lo que aumenta aúnmás la rapidez, obteniéndose imágenes volumétricas en tiempo real.Esquema de una TC de cuarta generación. El tubo gira dentro del gantry que contiene múltiples detectores en toda sucircunferencia. La mesa con el paciente avanza progresivamente mientras se realiza el disparo.Entre las ventajas de la TC se encuentra que es una prueba rápida de realizar, que ofrece nitidez de imágenes quetodavía no se han superado con la resonancia magnética nuclear como es la visualización de ganglios, hueso, etc. yentre sus inconvenientes se cita que la mayoría de veces es necesario el uso de contraste intravenoso y que al utilizarrayos X, se reciben dosis de radiación ionizante, que a veces no son despreciables. Por ejemplo en una TCabdominal, se puede recibir la radiación de más de 500 radiografías de tórax, el equivalente de radiación natural demás de cinco años.

Page 258: Mates Discretas +

Tomografía axial computarizada 254

EjemplosUn gráfico de volumen muestra claramente los huesos de gran densidad.

Huesos reconstruidos en 3D

Después de usar una herramienta de segmentación para ocultar los huesos, los vasos sanguíneos anteriormenteocultos, quedan expuestos.

BeneficiosPor medio de la visualización a través de la exploración por TC un radiólogo experto puede diagnosticar numerosascausas de dolor abdominal con una alta precisión, lo cual permite aplicar un tratamiento rápido y con frecuenciaelimina la necesidad de procedimientos de diagnóstico adicionales y más invasivos. Cuando el dolor se produce acausa de una infección e inflamación, la velocidad, facilidad y precisión de un examen por TAC puede reducir elriesgo de complicaciones graves causadas por la perforación del apéndice o la rotura del divertículo y la consecuentepropagación de la infección. Las imágenes por TC son exactas, no son invasivas y no provocan dolor. Una ventajaimportante de la TAC es su capacidad de obtener imágenes de huesos, tejidos blandos y vasos sanguíneos al mismotiempo. A diferencia de los rayos X convencionales, la exploración por TAC brinda imágenes detalladas denumerosos tipos de tejido así como también de los pulmones, huesos y vasos sanguíneos. Los exámenes por TC sonrápidos y sencillos; en casos de emergencia, pueden revelar lesiones y hemorragias internas lo suficientementerápido como para ayudar a salvar vidas. Se ha demostrado que la TC es una herramienta de diagnóstico por imágenesrentable que abarca una amplia serie de problemas clínicos. La TAC es menos sensible al movimiento de pacientesque la RMN. La TAC se puede realizar si usted tiene implante de dispositivo médico de cualquier tipo, a diferenciade la RMN. El diagnóstico por imágenes por TAC proporciona imágenes en tiempo real, haciendo de éste una buenaherramienta para guiar procedimientos mínimamente invasivos, tales como biopsias por aspiración y aspiracionespor aguja de numerosas áreas del cuerpo, particularmente los pulmones, el abdomen, la pelvis y los huesos. Undiagnóstico determinado por medio de una exploración por TC puede eliminar la necesidad de una cirugíaexploratoria y una biopsia quirúrgica. Luego del examen por TAC no quedan restos de radiación en su cuerpo. Engeneral, los rayos X utilizados en las exploraciones por TC no tienen efectos secundarios.

RiesgosSiempre existe la leve posibilidad de cáncer como consecuencia de la exposición excesiva a la radiación. Sinembargo, el beneficio de un diagnóstico exacto es ampliamente mayor que el riesgo. La dosis efectiva de radiaciónde este procedimiento es de aproximadamente 10 mSv, que es casi la misma proporción que una persona, enpromedio, recibe de radiación de fondo en tres años. Las mujeres siempre deben informar a su médico y al tecnólogode rayos X o TC si existe la posibilidad de que estén embarazadas. En general, el diagnóstico por imágenes por TC

Page 259: Mates Discretas +

Tomografía axial computarizada 255

no se recomienda para las mujeres embarazadas salvo que sea médicamente necesario debido al riesgo potencial parael bebé. Las madres en período de lactancia deben esperar 24 horas después de que hayan recibido la inyecciónintravenosa del material de contraste antes de poder volver a amamantar. El riesgo de una reacción alérgica grave almaterial de contraste que contiene yodo muy rara vez ocurre, y los departamentos de radiología están bien equipadospara tratar tales reacciones. Debido a que los niños son más sensibles a la radiación, se les debe someter a un estudiopor TC únicamente si es fundamental para realizar un diagnóstico y no se les debe realizar estudios por TC en formarepetida a menos que sea absolutamente necesario.

Enlaces externos• ¿En qué consiste una tomografía axial computarizada (TAC)? [1]

• SERAM Sociedad Española de Radiología Médica [2]

• SEEIC Sociedad Española de Electromedicina e Ingeniería Clínica [3]

• International Journal of Tomography & Statistics (IJTS) [4]

• Tomografía axial computarizada CT Cases.net [5]

Referencias• Radiological Society of North America, Inc. (RSNA) [6] TAC – Abdomen y pelvis.

Referencias[1] http:/ / eltamiz. com/ 2008/ 01/ 22/ %C2%BFen-que-consiste-una-tomografia-axial-computarizada-tac/[2] http:/ / www. seram. es/[3] http:/ / www. seeic. org/[4] http:/ / www. ceser. res. in/ ijts. html[5] http:/ / www. ctcases. net/[6] http:/ / www. radiologyinfo. org/ sp/ info. cfm?pg=abdominct

Page 260: Mates Discretas +

Sólidos platónicos 256

Sólidos platónicosLos sólidos platónicos son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices seunen el mismo número de caras. Reciben este nombre en honor al filósofo griego Platón (ca. 427 adC/428 adC – 347adC), a quien se atribuye haberlos estudiado en primera instancia. También se conocen como cuerpos platónicos,cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedrosregulares convexos.Los sólidos platónicos son el tetraedro, el cubo (o hexaedro regular), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Estalista es exhaustiva, ya que es imposible construir otro sólido diferente de los anteriores que cumpla todas laspropiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad.

HistoriaLas propiedades de estos poliedros son conocidas desde la antigüedad clásica, hay referencias a unas bolas neolíticasde piedra labrada encontradas en Escocia 1000 años antes de que Platón hiciera una descripción detallada de losmismos en Los elementos de Euclides. Se les llegó a atribuir incluso propiedades mágicas o mitológicas; Timeo deLocri, en el diálogo de Platón dice «El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, deicosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedropentagonal, para que sirva de límite al mundo». Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo, yfuentes (como Proclo) atribuyen a Pitágoras su descubrimiento. Otra evidencia sugiere que sólo estaba familiarizadocon el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Teeteto,un matemático griego contemporáneo de Platón. En cualquier caso, Teeteto dio la descripción matemática de loscinco poliedros y es posible que fuera el responsable de la primera demostración de que no existen otros poliedrosregulares convexos.

Propiedades

RegularidadTal y como se ha expresado para definir estos poliedros:•• Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.•• En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de vértices.•• Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.• Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.•• Todos sus vertices son convexos a los del icosaedro.

SimetríaLos sólidos platónicos son fuertemente simétricos:• Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus

caras, de sus vértices y de sus aristas.• Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de

simetría anterior.• Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales),

que los dividen en dos partes iguales.Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares,todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:

Page 261: Mates Discretas +

Sólidos platónicos 257

• Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.•• Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.• Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetríadel poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyenpolígonos esféricos regulares.

ConjugaciónSi se traza un poliedro empleando como vértices los centros de las caras de un sólido platónico se obtiene otro sólidoplatónico, llamado conjugado del primero, con tantos vértices como caras tenía el sólido inicial, y el mismo númerode aristas. El poliedro conjugado de un dodecaedro es un icosaedro, y viceversa; el de un cubo es un octaedro; ypoliedro conjugado de un tetraedro es otro tetraedro.

EsquemaEl Teorema de poliedros de Euler fija que el número de caras de un poliedro platónico más su número de vértices essiempre igual a su número de aristas más dos, es decir:

Tabla comparativa

Sólidos Platónicos Tetraedro Hexaedro,Cubo

Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Desarrollo

Número de caras 4 6 8 12 20

Polígonos que forman lascaras

Triángulos Equiláteros Cuadrados TriángulosEquiláteros

Pentágonos Regulares Triángulos Equiláteros

Número de aristas 6 12 12 30 30

Número de vértices 4 8 6 20 12

Caras concurrentes encada vértice

3 3 4 3 5

Vértices contenidos encada cara

3 4 3 5 3

Grupo de simetría Tetraédrico (Td) Hexaédrico(Hh)

Octaédrico (Oh) Icosaédrico (Lh) Icosaédrico (Lh)

Poliedro conjugado Tetraedro(autoconjugado)

Octaedro Hexaedro, Cubo Icosaedro Dodecaedro

Símbolo de Schläfli {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5}

Page 262: Mates Discretas +

Sólidos platónicos 258

Símbolo de Wythoff 3 | 2 3 3 | 2 4 4 | 2 3 3 | 2 5 5 | 2 3

Ángulo diedro 70.53° = arccos(1/3) 90° 109.47° =arccos(-1/3)

116.56° 138.189685°

Radio externo

Radio interno

Poliedros regulares en la naturalezaEn la naturaleza hay estructuras que son poliedros regulares casi perfectos, por ejemplo, la estructura básica del VIHes un icosaedro regular[cita requerida].

CuriosidadesLos dados de rol utilizados en algunos juegos de rol tienen las formas de los sólidos platónicos: dado de veinte(D20), dado de doce (D12), dado de diez (D10, aunque no es un sólido platónico; es un sólido formado por dospirámides pentagonales unidas por su base), dado de ocho (D8), dado de seis (D6) y dado de cuatro (D4). Cada dadose utiliza para uno o más propósitos particulares dependiendo de cada juego.

Bibliografía• Sutton, David (2005). Sólidos platónicos y arquimedianos. Oniro S. A. ISBN 84-9754-131-6.• QUINCE SALAS, Ricardo. Propiedades elementales de los poliedros regulares. Santander: [s.n.], 1974. 17 p.

Comunicación presentada a las Reuniones sobre Geometría aplicada a la Arquitectura y a la Ingeniería Civil.• QUINCE SALAS, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Teoría y ejercicios. Santander: Escuela

Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 202 p.• QUINCE SALAS, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Tomo 2: soluciones. Santander: Escuela

Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 124 p.

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Sólidos platónicosCommons.• Fórmulas importantes [1].• Información sobre las características e historia de dichos sólidos [2]

• Imagen del virus del SIDA [3]

Referencias[1] http:/ / www. luventicus. org/ articulos/ 03Tr001/[2] http:/ / www. luventicus. org/ articulos/ 03Tr001/ index. html[3] http:/ / home. cc. umanitoba. ca/ ~shivaku/ HIV-AIDS/ virus. jpg

Page 263: Mates Discretas +

Gran círculo 259

Gran círculoPara otros usos de círculo, véase Círculo (desambiguación)

Un gran círculo divide la esfera en doshemisferios iguales.

El gran círculo, denominado también círculo mayor o círculomáximo, es el círculo resultante de una sección realizada a una esferamediante un plano que pase por su centro y la divida en doshemisferios idénticos; la sección circular obtenida tiene el mismodiámetro que la esfera.

La distancia más corta entre dos puntos de la superficie de una esferasiempre es el arco de círculo máximo que los une.

Aplicaciones de círculos máximos

Geometría riemanniana

En la geometría riemanniana este concepto sirve para ilustrar como hayespacios donde hay puntos (los antipodales) que admiten más de unageodésica contrastando lo que sucede en espacios euclídeos donde por cualquiera dos puntos arbitrarios sólo pasauna única geodésica.

Triángulos esféricos

Aplicación de círculos máximos en triángulo esférico.

Si tres puntos de la superficie esférica sonunidos por arcos de círculo máximomenores a 180º, la figura obtenida sedenomina triángulo esférico. Los lados delpolígono así formado se expresan porconveniencia como ángulos cuyo vértice esel centro de la esfera y no por su longitud.Este arco medido en radianes y multiplicadopor el radio de la esfera es la longitud delarco. En un triángulo esférico los ánguloscumplen que: 180° < + + < 540°

Geografía y cartografía

En geografía y cartografía, los círculosmáximos que pasan por los polosdeterminan las líneas de longitud (meridianos). En la latitud, en cambio, existe sólo un círculo máximo: el ecuadorterrestre. Las demás latitudes están determinadas por círculos menores paralelos al ecuador (paralelos).

Page 264: Mates Discretas +

Gran círculo 260

La trayectoria del gran círculo de una ruta aérea (línea roja)La trayectoria siguiendo una corriente en chorro (línea verde).

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. Great Circle FromMathWorld. [1] (en inglés)

• Um simulador de rotas ortodrómicas [2]

(en portugués)• Esfera armilar, un suporte a la

Navegación Astronómica [3](enportugués)

• esferas Armilares perfeitas - Construavoce mesmo [4]

Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ GreatCircle. html[2] http:/ / sites. google. com/ site/ inventosdescobertasepatentes/ Home[3] http:/ / br. oocities. com/ simaowilson/ navisfera. html[4] https:/ / sites. google. com/ site/ esferasarmilares/ home

Trigonometría esférica

Triángulo esférico trirectángulo (sus ángulos suman : 270°).

La trigonometría esférica es la parte de la geometríaesférica que estudia los polígonos que se forman sobrela superficie de la esfera, en especial, los triángulos. Laresolución de triángulos esféricos tiene especialrelevancia en astronomía náutica y navegación paradeterminar la posición de un buque en altamarmediante la observación de los astros.

La esfera

Una esfera E, de centro en el punto (a,b,c) y radio k, esel dominio de ℝ³ definido por todos aquellos puntos enel espacio tridimensional que cumplen con la siguientedefinición:

Page 265: Mates Discretas +

Trigonometría esférica 261

Círculo máximo

Distancia ortodrómica entre dos puntos a lo largode un círculo máximo sobre la superficie de una

esfera.

La intersección de una esfera con un plano que contenga su centrogenera un círculo máximo y una circunferencia máxima sobre lasuperficie de la esfera. Un círculo máximo divide a la esfera en doshemisferios iguales. La distancia entre dos puntos de la superficie de laesfera, unidos por un arco de círculo máximo, es la menor entre ellos yse denomina distancia ortodrómica.

Como ejemplos de círculos máximos en la superficie de la Tierratenemos los meridianos o la línea del ecuador.

Volumen y superficie de la esfera

El volumen de una esfera es el volumen de revolución engendrado porun semicírculo que gira alrededor del diámetro. Según esta definición,si su radio es r, su volumen será:

La superficie es la superficie lateral de un cuerpo de revolución y vendrá dada por:

Dominio sobre la superficie esféricaUn dominio de superficie esférica es un recinto o área sobre la superficie de la esfera limitado por curvas contenidasen dicha superficie.

Triángulo esférico

Triángulo esférico.

Si tres puntos de la superficie esféricason unidos por arcos de círculomáximo menores a 180º, la figuraobtenida se denomina triánguloesférico. Los lados del polígono asíformado se expresan por convenienciacomo ángulos cuyo vértice es el centrode la esfera y no por su longitud. Estearco medido en radianes y multiplicadopor el radio de la esfera es la longituddel arco. En un triángulo esférico losángulos cumplen que: 180° < + + < 540°

Fórmulas fundamentales

: ángulo formado entre los arcosAC y AB

: ángulo formado entre los arcos AB y BC: ángulo formado entre los arcos AC y BC

Page 266: Mates Discretas +

Trigonometría esférica 262

Fórmula del coseno

Fórmula del seno

Los senos de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Fórmula de la cotangente

La fórmula de la cotangente también se denomina fórmula de los elementos consecutivos. Ver en la figura lossiguientes elementos consecutivos:

ángulo ; lado ; ángulo ; lado .

Cosenos de los elementos medios, es igual a: menos seno del ángulo medio por la cotangente del otro ángulo, másseno del lado medio por la cotangente del otro lado.

Fórmula de Bessel

Desde las fórmulas de los cosenos, obtenidas en la sección anterior, se pueden obtener de inmediato un conjunto devarias fórmulas conocidas como "relaciones del seno por el coseno" o también denominadas Fórmulas de Bessel, otercera fómula de Bessel. Fueron deducidas por primera vez por el gran matemático Friedrich Wilhelm Bessel(Westfalia, Alemania, 1784-Kaliningrado, Rusia, 1846).

cos( a / k ) = cos( b / k )· cos( c / k ) + sen( b / k )· sen( c / k) · cos( A )

cos( b / k ) = cos( c / k )· cos( a / k ) + sen( c / k )· sen( a / k )· cos( B )

cos( c / k ) = cos( a / k )· cos( b / k ) + sen( a / k )· sen( b / k )· cos( C )

El conjunto de las fórmulas de Bessel puede escribirse, para la esfera de radio unidad, esto es, la esferatrigonométrica, de la forma:sen c · cos B = cos b · sen a - cos a · sen b · cos Csen c · cos A = cos a · sen b - cos b · sen a · cos Csen b · cos A = cos a · sen c - cos c · sen a · cos Bsen b · cos C = cos c · sen a - cos a · sen c · cos Bsen a · cos B = cos b · sen c - cos c · sen b · cos Asen a · cos C = cos c · sen b - cos b · sen c · cos A

Presentación matricial de las fórmulas del triángulo esférico

El conjunto de las fórmulas del seno, del coseno (llamadas por algunos segunda y primera fórmula de Bessel), y la(tercera) fórmula de Bessel, pueden expresarse de forma matricial:

siendo a, b y c los lados; y A, B y C los ángulos del triángulo esférico.

Page 267: Mates Discretas +

Trigonometría esférica 263

Triángulo esférico rectángulo

Al triángulo esférico con al menos un ángulo recto, se lo denomina triángulo rectángulo. En un triángulo esférico sustres ángulos pueden ser rectos, en cuyo caso su suma es 270°. En todos los otros casos esa suma excede los 180° y aese exceso se lo denomina exceso esférico; se expresa por la fórmula: E: E = + + − 180°.Cualquier triángulo esférico puede descomponerse en dos triángulos esféricos rectángulos.

Pentágono de NeperEl pentágono de Neper es una regla nemotécnica para resolver triángulos esféricos rectángulos; toma este nombre enmemoria del científico inglés John Napier, y se construye de la siguiente forma:Se colocan en cada sector circular: cateto - ángulo - cateto - ángulo - cateto, consecutivamente, tal como aparecenordenados en el triángulo, exceptuando el ángulo recto C.Se remplazan los ángulos B, C, y la hipotenusa a por sus complementarios:

B por (90° - B)C por (90° - C)a por (90° - a)

Se establecen dos reglas:•• el seno de un elemento es igual al producto de las tangentes de los elementos adyacentes:

seno(a) = tg(b) tg(90° - B), o su equivalente: seno(a) = tg(b) ctg(B)•• el seno de un elemento es igual al producto de los cosenos de los elementos opuestos:

seno(a) = coseno(90° - A) coseno(90° - c), o su equivalente: seno(a) = seno(A) seno(c)

Bibliografía•• Apuntes de trigonometría esférica. Escuela Nacional de Náutica Manuel Belgrano (Argentina).•• Apuntes de Trigonometría esférica. Universidad de Cádiz.•• Astronomía Náutica (tomo primero). Luis Virgile. Imprenta Escuela Naval Militar (Argentina).

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Trigonometría esférica. Commons• Great Circle Mapper [1]

• Great Circle Calculator [2]

• Matemática del Círculo Máximo [1] (en inglés)• Las fórmulas de la Trigonometría Esférica [3] (en español)

Referencias[1] http:/ / gc. kls2. com/[2] http:/ / williams. best. vwh. net/ gccalc. htm[3] http:/ / personales. ya. com/ casanchi/ mat/ formulaesferica. pdf

Page 268: Mates Discretas +

Geometría no euclidiana 264

Geometría no euclidiana

Los tres tipos de geometrías homogéneas posibles, además de la geometría euclidea decurvatura nula, existen la geometría elíptica de curvatura positiva, y la geometría

hiperbólica de curvatura negativa. Si se consideran geometrías no-euclídeas homogéneasentonces existe una infinidad de posibles geometrías, descritas por las variedades

riemannianas generales.

Se denomina geometría no euclidianao no euclídea, a cualquier forma degeometría cuyos postulados ypropiedades difieren en algún punto delos establecidos por Euclides en sutratado Elementos. No existe un sólotipo de geometría no euclídea, sinomuchos, aunque si se restringe ladiscusión a espacios homogéneos, enlos que la curvatura del espacio lamisma en cada punto, en los que lospuntos del espacio son indistinguibles pueden distinguirse tres tipos de geometrías:

• La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero.• La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa.• La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.Todos estos son casos particulares de geometrías riemannianas, en los que la curvatura es constante, si se admite laposibilidad de que la curvatura intrínseca de la geometría varíe de un punto a otro se tiene un caso de geometríariemanniana general, como sucede en la teoría de la relatividad general donde la gravedad causa una curvatura nohomogénea en el espacio tiempo, siendo mayor la curvatura cerca de las concentraciones de masa, lo cual espercibido como un campo gravitatorio atractivo.

HistoriaEl primer ejemplo de geometría no euclidiana fue la hiperbólica, teorizada inicialmente por ImmanuelKant[cita requerida], formalizada posterior e independientemente por varios autores a principios del siglo XIX talescomo Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, János Bolyai y Ferdinand Schweickard.Los desarrollos de geometrías no euclídeas se gestaron en sus comienzos con el objetivo de construir modelosexplícitos en los que no se cumpliera el quinto postulado de Euclides.La geometría Euclideana había sido desarrollada por los griegos y expuesta por Euclides en la obra Los elementos.En su primera obra publicada, "Pensamientos sobre la verdadera estimación de las fuerzas vivas" (Gedanken von derwahren Schätzung der lebendigen Kräfte und Beurteilung der Beweise derer sich Herr von Leibniz und andererMechaniker in dieser Streitsache bedient haben) (1746), Immanuel Kant considera espacios de más de tresdimensiones y afirma:

Una ciencia de todas estas posibles clases de espacio sería sin duda la empresa más elevada que unentendimiento finito podría acometer en el campo de la Geometría... Si es posible que existanextensiones con otras dimensiones, también es muy probable que Dios las haya traído a la existencia,porque sus obras tienen toda la magnitud y variedad de que son capaces.

Esas posibles geometrías que Kant entrevé son las que hoy se llaman geometrías euclidianas de dimensión mayorque 3.Por otra parte, ya desde la antigüedad se consideró que el quinto postulado del libro de Euclides no era tan evidente como los otros cuatro pues, al afirmar que ciertas rectas (las paralelas) no se cortarán al prolongarlas indefinidamente, habla de una construcción mental un tanto abstracta. Por eso durante muchos siglos se intentó sin éxito demostrarlo a partir de los otros cuatro. A principios del siglo XIX, se intentó demostrarlo por reducción al

Page 269: Mates Discretas +

Geometría no euclidiana 265

absurdo, suponiendo que es falso y tratando de obtener una contradicción. Sin embargo, lejos de llegar a un absurdose encontró que existían geometrías coherentes diferentes de la euclídea. Se había descubierto así la primerageometría no euclídea (en concreto el primer ejemplo que se logró era una geometría llamada hiperbólica).

Geometrías de curvatura constante

Geometría hiperbólica

Modelo del disco Poincaré para la geometría hiperbólica con una teselación{3,7} de rombos truncados.

A principios del siglo XIX, y de modoindependiente, Gauss (1777-1855), Lobachevsky(1792-1856), János Bolyai y FerdinandSchweickard lograron construir la geometríahiperbólica, a partir del intento de negar elquinto postulado de Euclides y tratar de obteneruna contradicción. En lugar de obtener unacontradicción lo que obtuvieron fue una curiosageometría en la que los tres ángulos de untriángulo sumaban menos de 180º sexagesimales(en la geometría euclídea los ángulos decualquier triángulo suman siempre exactamente180º).

La naturalidad de esta geometría quedóconfirmada a finales del siglo, cuando Beltramidemostró que la geometría hiperbólica coincidecon la geometría intrínseca de cierta superficie yKlein dio la interpretación proyectiva de lageometría hiperbólica. Ambos resultadosprueban que es tan consistente como la Geometría euclídea (es decir, si la geometría hiperbólica lleva a algunacontradicción, entonces la geometría euclídea también).

Algunos afirman que Gauss fue el primero en considerar la posibilidad de que la geometría del Universo no fuera laeuclídea. Sabiendo que en la geometría hiperbólica la suma de los ángulos de cualquier triángulo es menor quedos rectos, se dice que subió a la cima de tres montañas con un teodolito, aunque la precisión de sus instrumentos nofue suficiente para decidir la cuestión con tal experimento. Sin embargo, otros afirman que cuando escribió quetrataba de corregir los efectos de posibles curvaturas se refería a corregir el efecto de la curvatura terrestre en losestudios cartográficos que estaba realizando.

Page 270: Mates Discretas +

Geometría no euclidiana 266

Geometría elíptica

La esfera es un modelo de geometría elípticabidimensional, los meridianos resultan ser líneasgeodésicas mientras que los paralelos son líneas

de curvatura no mínima.

La geometría elíptica es el segundo tipo de geometría no-euclídeahomogénea, es decir, donde cualquier punto del espacio resultaindistinguible de cualquier otro. Una variedad de Riemann decurvatura positiva constante es un ejemplo de geometría elíptica. Unmodelo clásico de geometría elíptica n-dimensional es la n-esfera.

En la geometría elíptica las líneas geodésicas tienen un papel similar alas líneas rectas de la geometría euclídea, con algunas importanesdiferencias. Si bien la mínima distancia posible entre dos puntos vienedada por una línea geodésica, que además son líneas de curvaturamínima, el quinto postulado de Euclídes no es válido para la geometríaelíptica, ya que dada una "recta" de esta geometría (es decir, una líneageodésica) y un punto no contenido en la misma no se puede trazarninguna geodésica que no corte a la primera.

Geometría euclídea

La geometría euclídea es claramente un caso límite intermedio entre la geometría elíptica y la geometría hiperbólica.De hecho la geometría euclídea es una geometría de curvatura nula. Puede demostrarse que cualquier espaciogeométrico o variedad de Riemann cuya curvatura es nula es localmente isométrico al espacio euclídeo y por tanto esun espacio euclídeo o idéntico a una porción del mismo.

Aspectos matemáticosLos espacios de curvatura constante el tensor de curvatura de Riemann viene dado en componentes por la siguienteexpresión:

donde es el tensor métrico expresado en coordenadas curvilíneas cualesquiera. En tensor de Ricci y lacurvatura escalar son proporcionales respectivamente al tensor métrico y a la curvatura:

y donde es la dimensión del espacio.Otro aspecto interesante es que tanto en la geometría hiperbólica, como en la geometría elíptica homogéneas elgrupo de isometría del espacio completo es un grupo de Lie de dimensión , que coincide con la dimensióndel grupo de isometría de un espacio Euclideo de dimensión n (aunque los tres grupos son diferentes).

Geometrías de curvatura no constante

Geometría riemanniana generalA propuesta de Gauss, la disertación de Riemann versó sobre la hipótesis de la Geometría. En su tesis, Riemannconsidera las posibles geometrías que infinitesimalmente (i.e. en regiones muy pequeñas) sean euclídeas, cuyoestudio se conoce hoy en día como geometrías riemannianas. Estas geometrías resultan en general no-homogéneas:algunas de las propiedades del espacio pueden diferir de un punto a otro, en particular el valor de la curvatura.Para el estudio de estas geometrías Riemann introdujo el formalismo del tensor de curvatura y demostró que lageometría euclídea, la geometría hiperbólica y la geometría elíptica son casos particulares de geometríasriemanninanas, caracterizadas por valores constantes del tensor de curvatura. En una geometría riemanninanageneral, el tensor de curvatura tendrá valores variables a lo largo de diferentes puntos de dicha geometría.

Page 271: Mates Discretas +

Geometría no euclidiana 267

Eso hace que la geometría no sea homogénea, y permite distinguir unos puntos de otros. Esto es relevante en lateoría de la relatividad general, ya que en principio es posible hacer experimentos de medición de distancias yángulos que permitan distinguir unos puntos del espacio de otros, tal como especifican numerosos experimentosmentales imaginados por Einstein y otros en los que un experimentador encerrado en una caja puede realizarexperimentos para decidir la naturaleza del espacio-tiempo que le rodea.Finalmente un aspecto interesante de la geometría riemanniana es que si la curvatura no es constante entonces elgrupo de isometría del espacio tiene dimensión estrictamente menor que siendo la dimensión delespacio. En concreto según la relatividad general un espacio-tiempo con una distribución muy irregular de la materiapodría tener un grupo de isometría trivial de dimensión 0.

Geometría del espacio-tiempo y teoría de la relatividadBasándose en la ideas y resultados de Riemann, hacia 1920 Einstein aborda en su Teoría de la Relatividad general lacuestión de la estructura geométrica del Universo. En ella muestra cómo la geometría del espacio-tiempo tienecurvatura, que es precisamente lo que se observa como campo gravitatorio, y cómo, bajo la acción de la gravedad,los cuerpos siguen las líneas más rectas posibles dentro de dicha geometría, líneas que se denominan geodésicas.Además, la Ecuación de Einstein afirma que para cada observador, la curvatura media del espacio coincide, salvo unfactor constante, con la densidad observada, dando cumplimiento así a la fantástica visión de Gauss: la geometríadesentrañada por los griegos es la estructura infinitesimal del espacio; al generalizar dicha estructura geométrica,tiene curvatura.

Referencias

Bibliografía• N. A'Campoy A. Papadopoulos (2012) Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry,

pp. 1-182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European MathematicalSociety (EMS), 461 pages, SBN ISBN 978-3-03719-105-7, DOI 10.4171/105.

• Anderson, James W. Hyperbolic Geometry, second edition, Springer, 2005• Blumenthal, Leonard M. (1980), A Modern View of Geometry, New York: Dover, ISBN 0-486-63962-2

• H. S. M. Coxeter (1942) Non-Euclidean Geometry, University of Toronto Press, reissued 1998 by MathematicalAssociation of America, ISBN 0-88385-522-4 .

• Jeremy Gray (1989) Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic, 2nd edition, Clarendon Press.• Manning, Henry Parker (1963), Introductory Non-Euclidean Geometry, New York: Dover• Milnor, John W. (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years (http:/ / projecteuclid. org/ euclid. bams/

1183548588), Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9–24.• John Stillwell (1996) Sources of Hyperbolic Geometry, American Mathematical Society ISBN 0-8218-0529-0 .

Page 272: Mates Discretas +

Variedad de Riemann 268

Variedad de Riemann

Ejemplo de variedad de Riemann bidimensional con unsistema de coordenadas ortogonales definido sobre ella, y

varias subvariedades curvas de la misma.

En la geometría de Riemann, una variedad de Riemann esuna variedad diferenciable real en la que cada espaciotangente se equipa con un producto interior de manera quevaríe suavemente punto a punto. Esto permite que se definanvarias nociones métricas como longitud de curvas, ángulos,áreas (o volúmenes), curvatura, gradiente de funciones ydivergencia de campos vectoriales.

Introducción

Una variedad de Riemann es una generalización del conceptométrico, diferencial y topológico del espacio euclídeo aobjetos geométricos que localmente tienen la mismaestructura que el espacio euclídeo pero globalmente puedenrepresentar forma "curva". De hecho, los ejemplos mássencillos de variedades de Riemann son precisamentesuperificies curvas de y subconjuntos abiertos de .

La estructura matemática de la geometría riemanniana permite extender a subconjuntos curvos o hipersuperficies delespacio euclídeo, las nociones métricas de longitud de una curva, área de una superficie, (hiper)volumen o ánguloentre dos curvas. Esto se realiza definiendo en cada punto un objeto matemático llamado tensor métrico que permiteespecificar un procedimiento para medir distancias, y por tanto definir cualquier otro concepto métrico basado endistancias y sus variaciones.

Desde el punto de vista matemático una variedad de Riemann es una tripleta del tipo:

Donde:

es una variedad diferenciable en la que se ha especificado el conjunto de cartas locales.es una aplicación bilineal definida positiva desde el espacio tangente a la variedad:

En particular, la métrica g permite definir en cada espacio tangente una norma ||.|| mediante

Variedades riemannianas como subvariedadesUna forma sencilla de construir variedades riemanninas es buscar subconjuntos "suaves" del espacio euclídeo. Dehecho, cada subvariedad diferenciable de Rn tiene una métrica de Riemann inducida: el producto interior en cadafibra tangente es la restricción del producto interno en Rn.De hecho, como se sigue del teorema de inmersión de Nash, todos las variedades de Riemann se pueden considerarsubvariedades diferenciables de , para algún D. En particular se puede definir una variedad de Riemann comoun espacio métrico que es isométrico a una subvariedad diferenciable de RD con la métrica intrínseca inducida. Estadefinición puede no ser teóricamente suficientemente flexible, pero es muy útil al construir las primeras intuicionesgeométricas en la geometría de Riemann.En general una subvariedad de , dimensión m, vendrá definida localmente por un conjunto de aplicacionesdiferenciables del tipo:

Page 273: Mates Discretas +

Variedad de Riemann 269

Por lo que matricialmente se tendrá en cada punto de coordenadas asociadas ui que el tensor métrico puedeexpresarse en coordenadas locales en términos de la matriz jacobiana de f:

En este caso las harían el papel de coordenadas locales sobre la subvariedad.

Variedades riemannianas como secciones diferenciablesUna variedad de Riemann se define generalmente como variedad diferenciable con una sección diferenciable deformas cuadráticas positivo-definidas en el fibrado tangente. Entonces se tiene trabajo en demostrar que puede serconvertido en un espacio métrico:Si γ: [a, b] → M es una curva continuamente diferenciable en la variedad de Riemann M, entonces se define sulongitud L(γ) como

(nótese que el γ'(t) es un elemento del espacio tangente a M en el punto γ(t); ||.||denota la norma resultante delproducto interior dado en ese espacio tangente.)Con esta definición de longitud, cada variedad de Riemann conexa M se convierte en un espacio métrico (e inclusoun espacio métrico con longitud) de un modo natural: la distancia d(x, y) entre los puntos x y y en M se define como

d (x, y) = inf { L(γ): γ es una curva continuamente diferenciable que conecta a x y y }.

Conceptos métricos

Líneas geodésicasAunque las variedades de Riemann son generalmente "curvas", no obstante, podemos encontrar que dados dospuntos diferentes y suficientemente cercanos existe una curva de longitud mínima (aunque esta no tiene porqué serúnica). Estas líneas de mínima longitud se llaman líneas geodésicas y son una generalización del concepto "línearecta" o "línea de mínima longitud". Éstas son las curvas que localmente conectan sus puntos a lo largo de lastrayectorias más cortas.

Así dada una curva contenida en una variedad riemanniana M, definimos la longitud de dichacurva L(γ) mediante el vector tangente a la misma y las componentes gij del tensor métrico g del siguiente modo:

Donde xi(t) es la expresión paramétrica de los puntos de la curva parametrizada mediante el parámetro t. Usando lossímbolos de Christoffel asociadas a la conexión sin torsión, la curva geodésica de mínima longitud que pasan por unpunto x0 y tiene el vector tangente v satisface la siguiente ecuación:

Puede probarse que la ecuación anterior puede obtenerse por métodos variacionales, concretamente podemos de lasecuaciones de Euler-Lagrange para un lagrangiano construido a partir de la forma cuadrática asociada al tensormétrico.

Page 274: Mates Discretas +

Variedad de Riemann 270

Longitud, ángulo y volumenEn una variedad riemanniana la existencia de un tensor métrico permite extender las nociones euclideas de longitud,ángulo entre dos curvas en un punto (o dos vectores del espacio tangente de un punto) o el volumen de una región dedicha variedad.• La longitud de un segmento de una curva dada parametrizada por , desde hasta , se define como:

• El ángulo entre dos vectores U y V (o entre dos curvas cuyos vectores tangentes sean U y V ) se define como:

• El n-volumen de una región R de una variedad de dimensión n viene dado por la integral extendida a dicha regiónde la n-forma de volumen:

Además de esto se pueden definir medidas de dimensionalidad 1< d < n para regiones de subvariedades contenidasen la variedad original, lo cual permite definir d-áreas ciertos subconjuntos de la variedad.

Producto interiorEl producto interior en Rn (el producto escalar euclidiano familiar) permite que se defina longitudes de vectores yángulos entre vectores. Por ejemplo, si a y b son vectores en Rn, entonces a² es la longitud al cuadrado del vector, ya * b determina el coseno del ángulo entre ellos (a * b = ||a|| ||b|| cos θ). El producto interior es un concepto delálgebra lineal que se puede definir para cualquier espacio vectorial. Desde el fibrado tangente de una variedaddiferenciable (o de hecho, cualquier fibrado vectorial sobre una variedad) es, considerado punto a punto, un espaciovectorial, puede llevar también un producto interior. Si el producto interior en el espacio tangente de una variedad sedefine suavemente, entonces los conceptos que eran solamente punto a punto definido en cada espacio tangente sepueden integrar, para rendir nociones análogas en regiones finitas de la variedad. En este contexto, el espaciotangente se puede pensar como traslación infinitesimal en la variedad. Así, el producto interno en el espacio tangenteda la longitud de una traslación infinitesimal. La integral de esta longitud da la longitud de una curva en la variedad.Para pasar de un concepto algebraico lineal a uno geométrico diferencial, el requisito de suavidad es importante, enmuchos casos.

CurvaturaEn una variedad riemanniana las geodésicas alrededor de un punto exhbien comportamientos atípicos respecto ageometría euclídea. Por ejemplo en un espacio euclídeo puden darse líneas rectas paralelas cuya distancia semantiene constante, sin embargo, en una vareidad riemanniana los haces de geodésicas tienen a divergir (curvaturanegativa) o a convergir (curvatura positiva), según sea la curvatura seccional de dicha variedad. Todas las curvaturaspueden ser representadas adecuadamente por el tensor de curvatura Riemann que es definible a partir de derivadas depirmer y segundor orden del tensor métrico. El tensor de curvatura en términos de los símbolos de Christoffel yusando el convenio de sumación de Einstein viene dado por:

Una relación interesante que aclara el significado del tensor de curvatura es que si se consideran coordenadasnormales centradas en un punto p en un entorno de dicho punto la métrica de toda variedad riemanninapuede escribirse como:

Page 275: Mates Discretas +

Variedad de Riemann 271

Puede verse que si el tensor de Riemann se anula idénticamente entonces localmente la métrica se aproxima a lamétrica euclídea y la geometría localmente es euclídea. En caso del que el tensor no sea nula, sus componentes danuna idea de cuanto se alejan la geometría de la variedad riemanniana de la geometría de un espacio euclídeo de lamisma dimensión.

Generalizaciones de las variedades de Riemann• Variedad pseudoriemanniana, en las que se retira el requisito de que el tensor métrico dé lugar a una forma

cuadrática definida positiva sobre cada punto en el espacio tangente, y se sustituye por el requisito más débil deque el tensor métrico sea sencillamente no degenerado. Toda variedad riemanniana es también una variedadpseudoriemanniana.

• Variedad de Finsler, en la que se elimina el requisito de existencia de un tensor métrico definido positivo, y sesustituye esa condición por el requisito más débil la existencia de una norma sobre el espacio vectorial tangente acada punto. Toda variedad riemanniana es por tanto una variedad de Finsler.

Referencias

Bibliografía• Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.• Lee, J.M. Riemannian manifolds: an introduction to curvature. GTM 176. ISBN 0-387-98271-X

Geometría hiperbólicaLa geometría hiperbólica (o lobachevskiana) es un modelo de geometría que satisface solo los cuatro primerospostulados de la geometría euclidiana. Aunque es similar en muchos aspectos y muchos de los teoremas de lageometría euclidiana siguen siendo válidos en geometría hiperbólica, no se satisface el quinto postulado de Euclidessobre las paralelas. Al igual que la geometría euclideana y la geometría elíptica, la geometría hiperbólica es unmodelo de curvatura constante:• La geometría euclideana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero.• La geometría hiperbólica satisface solo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa.• La geometría elíptica satisface solo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.

HistoriaDesde la antigüedad se realizaron esfuerzos por deducir el quinto postulado de Euclides referente a las paralelas delos otros cuatro. Uno de los intentos más amplios y ambiciosos fue el de Giovanni Gerolamo Saccheri en el sigloXVIII quien, contradictoriamente creó lo que podríamos considerar modelo incipiente de geometría hiperbólica. Sinembargo, Saccheri creyó que no era consistente y no llegó a formalizar todos los aspectos de su trabajo. TambiénJohann Heinrich Lambert encontró algunas fórmulas interesantes referentes a lo que hoy llamaríamos triángulos dela geometría hiperbólica, probando que la suma de los ángulos es siempre menor que 180º (o π radianes), la fórmulade Lambert establecía que para uno de estos triángulos se cumplía:

Donde:

, es la suma de los ángulos del triángulo (expresada en radianes).

, es el área total del triángulo.

Page 276: Mates Discretas +

Geometría hiperbólica 272

es una constante de proporcionalidad positiva relacionada con la curvatura constante del espaciohiperbólico en que se halla inmerso el triángulo.

Más adelante Carl Friedrich Gauss trabajó en un modelo similar pero no publicó sus resultados. En los años 1820dos jóvenes matemáticos que trabajaban de modo independiente, János Bolyai y Nikolai Ivanovich Lobachevsky,publicaron sus modelos por los cuales establecían la posibilidad de un tipo de geometría alternativa, totalmenteconsistente, que es el que conocemos como geometría hiperbólica.

Introducción

Paralelas en la geometría hiperbólica

Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R

Un triángulo en un plano con forma de una silla de montar (unparaboloide hiperbólico), así como dos rectas paralelas divergentes.

El axioma de Bolyai, equivalente al quinto postuladode Euclides sobre las rectas paralelas dice que «dadauna recta r y un punto P externo a ella, hay una ysolo una recta que pasa por P que no interseca a'r''». Comúnmente, la recta que posee esta cualidadrecibe el nombre de "paralela" a través de P.

En geometría hiperbólica, este postulado resultafalso porque siempre hay al menos dos rectasdistintas que pasan por P y las cuales no intersecan ar. De hecho para la geometría hiperbólica es posibledemostrar una interesante propiedad: hay dos clasesde rectas que no intersecan a la recta r. Sea B unpunto que pertenece a r tal que la recta PB esperpendicular a r. Considere la recta l que pasa porP, tal que l no interseca a r y el ángulo theta entre PBe l (en sentido contrario a las manecillas del reloj,desde PB) es lo más pequeño posible (es decir,cualquier ángulo más pequeño que theta, forzará a larecta a intersecar a r). Esta (l) , es denominada rectahiperparalela (o simplemente, recta paralela) en lageometría hiperbólica.

En forma similar, la recta m que forma el mismoángulo theta entre PB y ella misma, pero ahora ensentido de las manecillas del reloj desde PB, tambiénserá hiperparalela, pero no pueden haber otras.Todas las otras rectas que pasan por P y que nointersecan a r, forman ángulos más grandes que thetacon PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas). Note que, al haber un númeroinfinito de ángulos posibles entre θ y 90º, cada uno de estos determinará dos rectas que pasan por P y que sondisjuntamente paralelas a r, tendremos entonces, un número infinito de rectas ultraparalelas. Por consiguiente,tenemos esta forma modificada del Postulado de las Rectas Paralelas: «En geometría hiperbólica, dada una recta r yun punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P, las cuales son hiperparalelas a r, e infinitasrectas que pasan por P y son ultraparalelas a r».

Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas, también pueden ser vistas de la siguiente forma: la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja infinitamente de PB por la recta R. Sin

Page 277: Mates Discretas +

Geometría hiperbólica 273

embargo, la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r. Elángulo de paralelismo en la geometría Euclideana es una constante, es decir, cualquier longitud BP, determinará unángulo de paralelismo igual a 90 grados. En la geometría hiperbólica, el ángulo de paralelismo varía con la que esllamada la función Π(p). Esta función, descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky, produce un ángulo único deparalelismo para cada longitud dada BP. Mientras la longitud BP se haga más pequeña, el ángulo de paralelismo seacercará a 90º. Si la longitud BP incrementa sin límites, el ángulo de paralelismo se acercará a cero. Note que,debido a este hecho, mientras las distancias se hagan más pequeñas, el plano hiperbólico se comportará cada vez máscomo la Geometría Euclidiana. Por lo tanto, a pequeñas escalas, un observador en el plano hiperbólico tendrádificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano Euclideano. En la geometríaeuclídea la suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre 180°. En la geometría hiperbólica esta suma essiempre menor de 180°, siendo la diferencia proporcional al área del triángulo.

Geometría hiperbólica y físicaPodría muy bien suceder que la geometría hiperbólica fuera realmente verdadera en nuestro mundo a escalacosmológica. Sin embargo, la constante de proporcionalidad entre el déficit de ángulo para un triángulo y su áreatendría que ser extraodinariamente pequeña en este caso, y la geometría euclídea sería una excelente aproximación aesta geometría para cualquier escala ordinaria.

Modelos euclídeos de la geometría hiperbólica

Modelo del disco Poincaré con una teselación {3,7} de rombos truncados.

Existen cuatro modelos orepresentaciones "euclídeas" de lageometría hiperbólica: larepresentación de Klein, el modelo deldisco de Poincaré, el modelo delsemiespacio de Poincaré y el modelode Lorentz. Curiosamente los tresprimeros modelos fueron propuestos ypublicados originalmente por EugenioBeltrami en 1868, sin embargo,alcanzaron notoriedad por el uso quetanto Felix Klein como Henri Poincaréhicieron de ellos, estos dos modelosson modelos de la geometríahiperbólica de dos dimensiones, y songeneralizables a más dimensiones.

• La representación de Klein,también conocida como el modeloproyectivo del disco o modelo deBeltrami-Klein, usa el interior deun círculo como plano hiperbólico,y las cuerdas como líneas del círculo. Este modelo tiene como ventaja su simplicidad, pero como desventaja quelos planos hiperbólicos están distorsionados.

• El modelo de Poincaré usa también el interior de un círculo plano, y en él las líneas rectas de la geometríahiperbólica vienen representadas por arcos de circunferencia que cortan el borde del círculo plano en ángulorecto.

Page 278: Mates Discretas +

Geometría hiperbólica 274

Además este modelo es un modelo de curvatura constante negativa, que admite una representación como variedadriemanniana con un tensor métrico dado por:

Donde a es una constante relacionada con la curvatura K = -1/a2

Referencias

Bibliografía• A'Campo, Norbert and Papadopoulos, Athanase, (2012) Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master

class on Geometry, pp. 1--182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich:European Mathematical Society (EMS), 461 pages, SBN ISBN 978-3-03719-105-7, DOI 10.4171/105.

• Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.• Lee, J.M. Riemannian manifolds: an introduction to curvature. GTM 176. ISBN 0-387-98271-X

Disco de Poincaré

Disco de Poincaré de gran rombitruncado {3,7}teselado.

Bola de Poincaré en un 3-espacio hiperbólico.

En geometría, el modelo del disco de Poincaré, también llamadorepresentación conforme, es un modelo de la geometría hiperbólican-dimensional en el que los puntos de la geometría están en un discon-dimensional , o bola unitaria, y las líneas rectas de la geometríahiperbólica son segmentos de círculos contenidos en el disco ortogonala la frontera del disco, o bien diámetros del disco. Junto con el modelode Klein y el modelo del semiespacio de Poincaré, fue propuesto porEugenio Beltrami quien utilizó estos modelos para mostrar que lageometría hiperbólica era equiconsistente con la geometría euclidiana.

Métrica

Si u y v son dos vectores en un espacio vectorial real n-dimensional Rn

con la norma euclidiana usual, ambos de norma inferior a uno,entonces se puede definir un invariante isométrico por

donde denota la norma euclidiana usual. La función de distanciaes

Esta función de distancia está definida para cualesquiera dos vectoresde norma inferior a uno, y el conjunto de tales vectores forman unespacio métrico que es un modelo de espacio hipérbólico de curvaturaconstante −1. El modelo tiene la propiedad conforme que el ánguloentre las dos curvas que se intersecan en el espacio hipérbólico es elmismo que el ángulo en el modelo.

El tensor métrico asociado al disco de Poincaré está dado por

Page 279: Mates Discretas +

Disco de Poincaré 275

donde las xi son las coordenadas cartesianas del espacio euclídeo ambiente. Las geodésicas del modelo del disco soncírculos perpendiculares a la esfera frontera Sn−1.

Relación con el modelo del hiperboloideEl modelo del disco de Poincaré, así como el modelo de Klein, se relacionan con el modelo del hiperboloideproyectivamente. Dado un punto [t, x1, ..., xn] sobre la hoja superior de un hiperboloide del modelo del hiperboloide,se define un punto del modelo del hiperboloide, que se puede proyectar sobre la hipersuperficie t = 0 haciendo laintersección con una línea trazada desde [−1, 0, ..., 0]. El resultado es el correspondiente punto del disco de Poincaré.Para las coordenadas cartesianas (t, xi) del hiperboloide e (yi) del plano, las fórmulas de conversión son :

Compárese las fórmulas con la proyección estereográfica entre una esfera y un plano.

Construcciones de geometría analítica en el plano hiperbólicoUna construcción básica de la geometría analítica es la de hallar una recta que pase por dos puntos dados. En elmodelo del disco de Poincaré, las rectas del plano se definen por porciones de círculos con ecuaciones de la forma

que es la forma general de un círculo ortogonal al círculo unitario, o sino por diámetros. Dados dos puntos u y v en eldisco que no estén en un diámetro, se puede resolver para el círculo de esta forma pasando por ambos puntos, yobtener

Si los puntos u y v son puntos de la frontera del disco que no están en los extremos de un diámetro, esto se simplificaa

ÁngulosPuede calcularse el ángulo entre el arco circular cuyos extremos (puntos ideales) están dados por vectores unitarios uy v, y el arco cuyos extremos son s y t, dada una fórmula. Dado que los puntos ideales son los mismos en el modelode Klein y en el modelo del disco de Poincaré, las fórmulas son idénticas para ambos modelos.Si las rectas de ambos modelos son diámetros, de modo que v = −u y t = −s, entonces meramente se encuentra elángulo entre dos vectores unitarios, y la fórmula para el ángulo θ es

Si v = −u pero no t = −s, la fórmula se convierte, en términos del producto exterior, en

Page 280: Mates Discretas +

Disco de Poincaré 276

donde

Si ambas cuerdas no son diámetros, la fórmula general obtiene

donde

Utilizando la identidad de Binet–Cauchy y el hecho de que estos vectores son unitarios, las expresiones precedentespueden rescribirse en términos puramente del producto escalar, como

Realizaciones artísticasLa edición Circle Limit IV [1] por M.C. Escher, es una visualización artística del disco de Poincaré.

Referencias• James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, second edition, Springer, 2005• Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II 2 (1868),

232-255• Saul Stahl, The Poincaré Half-Plane, Jones and Bartlett, 1993

Referencias[1] http:/ / www. mcescher. com/ Gallery/ recogn-bmp/ LW436. jpg

Page 281: Mates Discretas +

Geometría elíptica 277

Geometría elíptica

La superficie de la esfera constituye un ejemplo de geometría elíptica bidimensional.Sobre una esfera, la suma de los ángulos de un triángulo esférico no es igual a 180º. La

superficie de una esfera no es un espacio euclídeo, aunque localmente ambas geometríasse parecen mucho, para grandes distancias es detectable la curvatura de la esfera. Esto se

refleja en que triángulos pequeños sobre la superficie dela esfera suman casi 90º,triángulos de mayor tamaño clarametne suman más de 180º.

La geometría elíptica (llamada aveces riemanniana) es un modelo degeometría no euclideana de curvaturaconstante que satisface sólo los cuatroprimeros postulados de Euclides perono el quinto. Aunque es similar enmuchos aspectos y muchos de losteoremas de la geometría euclidianasiguen siendo válidos en geometríaelíptica, no se satisface el quintopostulado de Euclides sobre lasparalelas. Al igual que la geometríaeuclideana y la geometría hiperbólicaes un modelo de geometría decurvatura constante, siendo ladiferencia entre estos tres modelos elvalor de la curvatura:

• La geometría euclideana satisfacelos cinco postulados de Euclides ytiene curvatura cero.

• La geometría hiperbólica satisfacesólo los cuatro primeros postuladosde Euclides y tiene curvatura negativa.

•• La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.

Historia

Una vez aceptado como igualmente natural el modelo de geometría hiperbólica en que se rechazaba el quintopostulado de Euclides sobre las rectas paralelas, los matemáticos buscaron nuevos sistemas geométricos queincumplieran el quinto postulado. Uno de esos modelos lo constituye la superficie de una esfera, consideradabidimensional.

En la geometría hiperbólica, dado un punto exterior a una recta siempre es posible obtener más de una "rectaparalela" a la primera que pase por dicho punto. En la geometría elíptica, dada una "recta" –de esta geometría– y unpunto exterior a la misma, no existe ninguna "recta paralela" que no interseque a la primera. De hecho, en el modeloconvencional de geometría elíptica estas "rectas" corresponden localmente a "segmentos" de mínima longitud y decurvatura mínima, siendo arcos de círculo máximo de la esfera que sirve como modelo de la geometría hiperbólica(no son rectas del espacio euclídeo). Debe tenerse en cuenta que de acuerdo con la teoría de modelos los conceptos"punto", "recta" y "paralela" pueden interpretarse como distintos tipos de entidades, según el modelo elegido pararepresentar los axiomas de la geometría.

Page 282: Mates Discretas +

Geometría elíptica 278

Modelos de la geometría elípticaExisten diversas "realizaciones euclídeas" de la geometría elíptica, es decir, existen modelos que satisfacen lospostulados de la geometría euclídea que pueden ser visualizados como objetos inmersos dentro de un espacioeuclídeo de dimensión superior:• Modelo (hiper)esférico, una superficie esférica bidimensional, inmersa en un espacio euclídeo tridimensional es

el modelo más simple que satisface los postulados de la geometría elíptica bidimensional. Análogamente elconjunto de vectores unitarios de también denominado n-esfera es un modelo de geometría elíptican-dimensional.

• Modelo proyectivo.• Proyección estereográfica.Este modelo de curvatura constante positiva admite también una representación como variedad riemanniana con untensor métrico dado por:

Donde a es una constante relacionada con la curvatura K = 1/a2, y las coordenadas (x, y) cubren un conjunto abiertode la superficie esférica dado por:

Igualmente, una hiperesfera de dimensión n, que está inmersa en el espacio euclídeo n+1 dimensional es un modelode geometría n-dimensional.

Referencias

Bibliografía• Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.• Lee, J.M. Riemannian manifolds: an introduction to curvature. GTM 176. ISBN 0-387-98271-X

Page 283: Mates Discretas +

Paralelismo (matemática) 279

Paralelismo (matemática)

Dos rectas paralelas.

Planos paralelos.

En geometría, el paralelismo es una relación que seestablece entre cualquier variedad lineal de dimensiónmayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos ydemás).

En geometría clásica, las rectas o planos paralelos sonlos equidistantes entre sí y por más que losprolonguemos no pueden encontrarse.

En geometría afín, expresando una variedad linealcomo V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, sedice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F estácontenido en G ó G está contenido en F, donde A y Bson subvariedades lineales de la misma variedad linealV y F y G son subespacios vectoriales del mismoespacio vectorial E. En el plano (afín) (V = ), estose traduce de la siguiente manera: dos rectas sonparalelas si tienen un mismo vector director.

Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, unarecta y un plano pueden ser paralelos, y también que lacoincidencia de variedades lineales es un casoparticular de paralelismo.Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas sio bien son una y la misma recta (son rectascoincidentes) o, por el contrario, no comparten ningúnpunto.

De manera análoga, en el espacio, dos planos sonparalelos si bien son uno y el mismo plano o bien nocomparten ningún punto.

Rectas paralelas

Notación

(recta a paralela a b)

Page 284: Mates Discretas +

Paralelismo (matemática) 280

Axioma de unicidadEl axioma que distingue a la geometría euclídea de otras geometrías es el siguiente:

En un plano, por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralela a dicha recta.

Propiedades•• Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma:

a || a•• Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera:

Si a || b b || aEstas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad.•• Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera:

Si a || b b || c a || c

Teoremas• En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.•• Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las parelelas de esta (en un plano).Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad.

Referencias• Weisstein, Eric W. "Parallel." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http:/ / mathworld. wolfram. com/

Parallel. html

Page 285: Mates Discretas +

Perpendicularidad 281

PerpendicularidadPara el término náutico semejante, véase encontramos un pene gigante

perpendicular de proa y popa.

La semirrecta AB es perpendicular a la recta CD, porque los dosángulos que conforma son de 90 grados (en naranja y azul,

respectivamente).

En matemáticas, la condición de perpendicularidad(del latín per-pendiculum «plomada») se da entre dosentes geométricos que se cortan formando un ángulorecto. La perpendicularidad es una propiedadfundamental estudiada en geometría y trigonometría,por ejemplo en los triángulos rectángulos, que poseen 2segmentos «perpendiculares».

La noción de perpendicularidad se generaliza a la deortogonalidad.

Relaciones

La relación de perpendicularidad se puede dar entre:• Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares

cuando, al cortarse, dividen al plano en cuatroregiones iguales, cada una de los cuales es un ángulorecto. Al punto de intersección de dos rectasperpendiculares se le llama pie de cada una de ellas en la otra.

• Semirrectas: dos semirrectas son perpendiculares, cuando conforman ángulos rectos teniendo o no el mismopunto de origen.

• Planos: dos planos son perpendiculares cuando conforman cuatro ángulos diedros de 90º.• Semiplanos: dos semiplanos son perpendiculares cuando conforman ángulos diedros de 90°; generalmente,

compartiendo la misma recta de origen.Además, puede existir una relación de perpendicularidad entre los cuatro elementos anteriores, tomados de dos endos.Si dos rectas al cortarse forman ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares. Por analogía, si dos planos alcortarse forman ángulos diedros adyacentes congruentes, son perpendiculares. Los lados de un ángulo diedro y sussemiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares.

Page 286: Mates Discretas +

Perpendicularidad 282

Construcción de la perpendicular a una recta por un punto dado

Construcción de la perpendicular (azul) a la línea AB a través delpunto P.

Para construir una perpendicular a la línea AB a travésdel punto P usando regla y compás, se procede comosigue:

• Paso 1 (rojo):se dibuja uncírculo concentro en Ppara crear lospuntos A' yB' en la líneaAB, loscuales sonequidistantesa P.

•• Paso 2(verde): se dibujan dos círculos centrados en A' y B', pasando los dos porP. Sea Q el otro punto de intersección de estos dos círculos.

•• Paso 3 (azul): se unen P y Q para obtener la recta perpendicular PQ.Para probar que PQ es perpendicular a AB, se utiliza el criterio de congruencia LLL para los triángulos QPA' y QPB'para demostrar que los ángulos OPA' y OPB' son iguales. Luego se usa el criterio LAL para los triángulos OPA' yOPB' para demostrar que los ángulos POA y POB son iguales.

Page 287: Mates Discretas +

Perpendicularidad 283

Postulado de unicidadEn un plano, por un punto perteneciente o exterior a una recta pasa una y solo una recta perpendicular.

Con relación a líneas paralelas

Las líneas a y b son paralelas, como se ve por loscuadrados, y están cortadas por la línea perpendicular

c.

Como se ve en la figura, si dos líneas (a y b) son perpendiculares auna tercera línea (c), todos los ángulos formados en la tercera líneason ángulos rectos. Por lo tanto, en Geometría euclidiana,cualquier par de líneas que son perpendiculares a una tercera líneason paralelas entre sí, debido al quinto postulado de Euclides. Porel contrario, si una línea es perpendicular a una segunda línea,también es perpendicular a cualquier línea paralela a la segundalínea.

En la figura, todos los ángulos naranjas son congruentes entre sí ytodos los ángulos verdes son congruentes entre sí, porque losángulos opuestos por el vértice son congruentes y los ángulosalternos interiores formados por un corte transversal de líneasparalelas son congruentes. Por lo tanto, si las líneas a y b sonparalelas, cualquiera de las conclusiones siguientes conduce atodas las demás:

•• Uno de los ángulos del diagrama es un ángulo recto.•• Uno de los ángulos naranja es congruente con uno de los

ángulos verdes.• La línea c es perpendicular a la línea a.• La línea c es perpendicular a la línea b.

Referencias• Perpendicular [1]; Perpendiculares y paralelas [2], sitio «Disfruta las matemáticas».• Líneas perpendiculares [3] sitio «Diccionario visual de matemáticas».• Simmons, Bruce (2011), «perpendicular [4]» (en inglés), Mathwords.

Enlaces externos• Definición: perpendicular [5] Con animación (en inglés)• Cómo dibujar un bisector perpendicular de una línea con regla y compás [6] Con animación (en inglés)• Cómo dibujar una perpendicular al final de una línea con regla y compás [7] Con animación (en inglés)

Page 288: Mates Discretas +

Perpendicularidad 284

Referencias[1] http:/ / www. disfrutalasmatematicas. com/ definiciones/ perpendicular. html[2] http:/ / www. disfrutalasmatematicas. com/ geometria/ perpendiculares-paralelas. html[3] http:/ / www. rpdp. net/ mathdictionary/ spanish/ vmd/ system/ grd-k12-index. htm[4] http:/ / www. mathwords. com/ p/ perpendicular. htm[5] http:/ / www. mathopenref. com/ perpendicular. html[6] http:/ / www. mathopenref. com/ constbisectline. html[7] http:/ / www. mathopenref. com/ constperpendray. html

Lema de Euclides

Portada Los elementos de Euclides, publicada en 1570por Sir Henry Billingsley.

El lema de Euclides (del griego λῆμμα) es una generalización dela proposición 30 del libro VII de Elementos de Euclides. El lemaasegura que:

Si n es un número entero y divide a un producto ab y es coprimo con uno de los factores, entonces n divide al otro factor.

Euclides, 300 a. C.

Esto puede escribirse en notación moderna como:

La proposición 30 original, más conocida como primer teorema de Euclides dice que:

Si p es un número primo y divide al producto de dos enteros positivos, entonces el número primo divide al menos a uno de los números.

Euclides, 300 a. C.

En notación moderna

Page 289: Mates Discretas +

Lema de Euclides 285

El lema de Euclides se utiliza generalmente para demostrar otros teoremas, por ejemplo, es usado para demostrar elteorema fundamental de la aritmética.

Demostración• Supongamos, sin pérdida de generalidad, que p es coprimo con a y veamos que p divide a b. Por definición, p y ason coprimos si y sólo si mcd(a, p) = 1; y la identidad de Bézout nos asegura que existen números enteros x e y talesque:

• Que p divida a ab significa que existe un número entero r tal que pr = ab. Volviendo a la primera ecuación ymultiplicando en ambos miembros por b, se obtiene:

•• y, en consecuencia

• Sabiendo que pr = ab, se obtiene

• sacando p como factor común, queda:

• como rx+by es un número entero, se concluye que p divide a b. Q.E.D.

Referencias• Trygve, N. (2001). Introduction to Number Theory. New York: Chelsea. ISBN 0-8218-2833-9• Tom M., Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN

0-387-90163-9

Enlaces externos• The Elements of Euclid, por Isaac Todhunter - Wikisource• Elementos [1] de Euclides.

Referencias[1] http:/ / www. euclides. org/ menu/ elements_esp/ indiceeuclides. htm

Page 290: Mates Discretas +

Fuentes y contribuyentes del artículo 286

Fuentes y contribuyentes del artículoNúcleo (matemática)  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57294880  Contribuyentes: Ingenioso Hidalgo, Jerowiki, Raulshc, Repos34, Segedano, 5 ediciones anónimas

Conjunto imagen  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58876569  Contribuyentes: Beto29, EmmanuelyDios, Farisori, HUB, Ingenioso Hidalgo, JRGL, Jagarsoft, Jmvgpartner,Juan Mayordomo, Leonpolanco, Matdrodes, Neodop, Nixón, Orgullomoore, Raulshc, Rehernan, SuperBraulio13, Tano4595, Tromersebastian, Txo, 21 ediciones anónimas

Dominio de definición  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58664066  Contribuyentes: DARIO SEVERI, DRaco Heroicus, Davius, Elwikipedista, Farisori, Gastonguridi,Gimlinu, Götz, HUB, Ingenioso Hidalgo, Javier Arturo Ollarves Rojas, Jkbw, Matdrodes, Moriel, Nopradu, Raulshc, Rehernan, Renacimiento, Renly, Resped, Spirit-Black-Wikipedista,Tano4595, 60 ediciones anónimas

Codominio  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57772182  Contribuyentes: Diegusjaimes, Emiduronte, Farisori, HUB, Helmy oved, Magister Mathematicae, Raulshc, Rehernan,Rαge, SaeedVilla, Savh, Technopat, 22 ediciones anónimas

Intervalo (matemática)  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58623637  Contribuyentes: -jem-, 4lex, Aalcocer, Andreasmperu, Angel GN, Antonorsi, Argentinoo, Belb,BlackBeast, Cansado, Cobalttempest, Crixo8, Davius, Diegusjaimes, Dinomal, Dodo, Durero, Edc.Edc, Edmenb, Egaida, Error de inicio de sesión, Fibonacci, Gafotas, Götz, Hprmedina,Ingenioso Hidalgo, Interwiki, Jerowiki, Jimmy45s, Jjafjjaf, Jkbw, JorgeGG, Joseaperez, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Julian Mendez, Knopfkind, Leonpolanco, Llsalcedo, Marianov,Markoszarrate, Matdrodes, Mister, Moriel, Netito777, Nicop, Nixón, PabloCastellano, Raulshc, Ricardogpn, Romero Schmidtke, Rsg, Rubpe19, Sabbut, Sandrostone, Sauron, Savh, Tano4595,Technopat, Tirithel, Wilfredor, 163 ediciones anónimas

Función continua  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58256195  Contribuyentes: Alberto Leguiza, Alefisico, Alexav8, Andrestellez84, Antur, Banana04131, Claudlovsgerd,Cobalttempest, Davius, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo, Especiales, Farisori, Faustito, Fsd141, Galandil, Gengiskanhg, HUB, Heriotza, HiTe, Hprmedina, Humbefa, Ialad, Ingenioso Hidalgo,Jerowiki, Jkbw, Joseaperez, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Julio grillo, MadriCR, Manolo456, Matdrodes, Mister, Moriel, Nachotraidor, Nanymontanari, Netito777, Pececito, Pino, Porao,Proferichardperez, Pybalo, Rastrojo, Romero Schmidtke, Savh, Sheldonspock, Snakeyes, SuperBraulio13, Tomatejc, Truor, Tuncket, VanKleinen, Wewe, Wikiléptico, Xenoforme, Ángel LuisAlfaro, 128 ediciones anónimas

Clasificación de discontinuidades  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58893479  Contribuyentes: Alberto Leguiza, Alefisico, David0811, Davius, Dnu72, Farisori, Götz,Ignacioerrico, Jerowiki, Juan Mayordomo, Maleiva, 31 ediciones anónimas

Límite de una función  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57833723  Contribuyentes: -jem-, Andreasmperu, Camiloalcubo2, Charly genio, Cobalttempest, David0811, Davius,Diegusjaimes, Dnu72, Dreitmen, Emiduronte, Euandeu, Farisori, Filipo, Folkvanger, Gengiskanhg, Ggenellina, Goica, Gusgus, HiTe, Isha, Javiermarinros, Jerowiki, Jkbw, Juan Mayordomo,Kike1008, Leonpolanco, Manuel 91, Marianov, Matdrodes, Muro de Aguas, Mushii, Nachotraidor, Netito777, Nicoguaro, Nioger, Proferichardperez, Qebm, Raulshc, Roberto Fiadone, Taichi,Tano4595, Technopat, TheSensei, Tirithel, Ucevista, Vivero, Wilfredor, 197 ediciones anónimas

Serie convergente  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58686876  Contribuyentes: CentroBabbage, Jerowiki, PabloCastellano, Riviera, 5 ediciones anónimas

Serie divergente  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56250363  Contribuyentes: FAR, GermanX, Jbgg, Jerowiki, Mushii, Pan con queso, Pólux, Qwertyytrewqqwerty, Sabbut,Tano4595, Uruk, 12 ediciones anónimas

Serie geométrica  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=54790650  Contribuyentes: Diegusjaimes, Jerowiki, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Leonpolanco, Nethac DIU, 4ediciones anónimas

Progresión geométrica  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57448745  Contribuyentes: Airunp, Alexav8, Algarabia, Alhen, Amanuense, Antonorsi, Ascánder, Beto29, Cheveri,Cinabrium, D. Fonseca Cruz, DBM2, David0811, Davidsevilla, Dermot, Dianai, Diegusjaimes, Diosa, Dodo, Dreitmen, Eduardosalg, El Caro, Fernandov2012, Gaeddal, Gusbelluwiki, Götz,Jbgg, Jerowiki, Jkbw, Juan Mayordomo, Magister Mathematicae, Maldoror, Manuelt15, Marcosy, Matdrodes, NanoOs, Netito777, Néstor Amigo Cairo, Raulshc, Raystorm, RoyFocker, Shalbat,Taichi, Tano4595, Tirithel, Victorlj92, Yrithinnd, 213 ediciones anónimas

Criterio de d'Alembert  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57002169  Contribuyentes: Anca7, Dusan, Magister Mathematicae, PabloCastellano, Pino, Raulshc, Sabbut, Surscrd,Taichi, Tano4595, 16 ediciones anónimas

Serie matemática  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58689562  Contribuyentes: Alefisico, Alexav8, AnthonnyAG, Antur, Aracne, Armonizador, ArwinJ, Belgrano, Beto29,Brioix, C'est moi, CentroBabbage, Charlitos, Cookie, Damian cf, Damifb, Dankz, Diegusjaimes, Dodo, Dusan, Flakinho, Ggenellina, Goht 932, Gusgus, HUB, Hosg, Ingenioso Hidalgo, Jerowiki,Jkbw, Jl.hinojosapescador, Juan Marquez, Juanalmenara, Juanignaciozaracho, Julian Mendez, Kevinkuja, Kiroh, LMLM, LarA, Leonardo09, MadriCR, Maldoror, Matdrodes, Moriel,Mortadelo2005, Netito777, Osado, Paintman, Parodrilo, Pino, Portland, Pybalo, Ramrebol, Raulshc, Rdaneel, Sabbut, Sanbec, Sergio Alvaré, Snakeyes, Taichi, Tano4595, Tirabo, Uruk, VicFede, Vivero, Waka Waka, Yeza, Yuyo 84, 269 ediciones anónimas

Serie armónica (matemática)  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56560862  Contribuyentes: GermanX, Ingenioso Hidalgo, Jerowiki, Matdrodes, Raulshc, Roman Munich,Sabbut, Tano4595, Yrithinnd, 10 ediciones anónimas

Serie alternada  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=53690513  Contribuyentes: LeinaD natipaC, Metalzonix, Raulshc, Resped, Segedano, Tano4595, Uruk, 1 ediciones anónimas

Algoritmo voraz  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56688846  Contribuyentes: AlfonsoERomero, AntonioLG, Arlekean, Danieldmoreno, Dromero, Edmenb, Esf3ra, Estigma,Gothmog, JMPerez, Jurgens, Karj, Kn, LordT, LuchoX, Manz, Nabil py, Porao, Ricki.rg, Riviera, San650, Sanbec, Tano4595, TheOm3ga, 36 ediciones anónimas

Serie hipergeométrica  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50265373  Contribuyentes: BetoCG, Davius, Espilas, Jerowiki, Jtico, Mariagar, Nebu F1, PabloCastellano, Raulshc,Ucevista

Función de Bessel  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58828181  Contribuyentes: Akhram, Alexirae, Bencmq, Cesar.romero.avello, Davius, Dreamworks88, Dusan, Felipebm,Flobo, Gfrubi, Grillitus, Jkbw, Jtico, Kuroisam, Parodrilo, Raulshc, Ricardogpn, 26 ediciones anónimas

Símbolo de Pochhammer  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=53245148  Contribuyentes: Davius, Farisori, Jtico, Raulshc, Sabbut, 4 ediciones anónimas

Función gamma  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58086809  Contribuyentes: Alefisico, Cdlfd, Davius, El que siembra, Ingenioso Hidalgo, Ishu 2, Jtico, Juan Mayordomo, Kn,Kurt86, Maltusnet, Mister, Parodrilo, Pino, Raidezero, Raulshc, Sabbut, Tano4595, Technopat, 37 ediciones anónimas

Factorial  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58630053  Contribuyentes: Acratta, Adso Cacer, Airunp, Alejandroadan, Andres ernesto guzman, Andreszules, Antur,AquiLesBailoYo, Açipni-Lovrij, Barredex, BetoCG, Brayandjok, Carmel2007, Chvsanchez, Cusell, Daniel JG, Ddiazcas, Diegusjaimes, Dusan, Echani, Eduardosalg, Emijrp, Euclides, Exos,Fide07, Fsd141, Gaba p, Ginés90, Globalphilosophy, Greek, Götz, Habbit, HiTe, Hosg, Hprmedina, Ingenioso Hidalgo, JAGT, Jack.chessire, Jerowiki, Jkbw, Jluisgc, Jtico, Kn, Laura rico garcia,Magister Mathematicae, Manuelt15, Matdrodes, Mel 23, Miguelo on the road, Moriel, Mr freeze360, Neochalo, Netito777, Nitrxgen, OrionNebula, Oscar ., Pablo.cl, Pavina, Pino,Proferichardperez, Qwertyytrewqqwerty, Raulshc, Rbonvall, Ricciardelli, Romero Schmidtke, Rsg, Sabbut, Sclark2006, Sigmanexus6, SmartGenius, Snakeyes, Srbanana, Student 1000,SuperBraulio13, Superzerocool, TXiKi, Tano4595, Txuspe, UA31, XD YO, 203 ediciones anónimas

Combinatoria  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56579083  Contribuyentes: Adrruiz, Alhen, Aruku, Chomolungma, Desatonao, Diegusjaimes, Doreano, Drever, Egaida,Elwikipedista, Emijrp, Euler, Gargo, GermanX, HeLL, Hiperfelix, Hosg, Hu12, Ingenioso Hidalgo, Isha, JMCC1, Jmcalderon, JorgeGG, Jotego, Joxemai, Keont, Klondike, Kmhkmh, LucienleGrey, Lungo, Maestro de matemáticas, Magister Mathematicae, Maleiva, MasterJ, Moriel, Neodop, Paco Cuenca MR, Proferichardperez, Ramon Margarida, Template namespace initialisationscript, 78 ediciones anónimas

Teoría de Ramsey  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58635895  Contribuyentes: CommonsDelinker, Javierme, Jfreyreg, Raulshc, Rovnet, Ruben.mg, SpanishMath, 11ediciones anónimas

Grupo simétrico  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56920222  Contribuyentes: Airunp, Angelito7, Davius, Diegusjaimes, Elwikipedista, Gato ocioso, GermanX, Jarke, Jirka62,Juan Marquez, KELPER, Lipedia, Magister Mathematicae, Romero Schmidtke, Sabbut, 18 ediciones anónimas

Page 291: Mates Discretas +

Fuentes y contribuyentes del artículo 287

Permutación  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58051060  Contribuyentes: Agualin, Airunp, Alefisico, Angel GN, Antur, Arcibel, Balderai, BlackBeast, CaStarCo, Dark Bane,Davius, Diegusjaimes, ERFon, Eduardo Lima, Elwikipedista, Er Komandante, Erwin Ried, Farisori, Focojoaco, Gaston 74, Gato ocioso, Gengiskanhg, GermanX, HiTe, Icvav, JAGT, Jarisleif,Jerowiki, Jkbw, Jotego, Juan Manuel, Juan Mayordomo, Julie, Julio grillo, Krycho, Kved, Magister Mathematicae, Matdrodes, Mau86, Miss Manzana, PabloCastellano, Patxi Aguado, Paz.ar,Predalien Runner, Pólux, Raulshc, Santiago Hernández, Sigmanexus6, Sil vis 2n, SuperBraulio13, Tano4595, Tirithel, UA31, Ukrayina, Varano, Xmontero, Xsm34, 160 ediciones anónimas

Teorema de Cayley  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=52619198  Contribuyentes: Magister Mathematicae

Combinaciones con repetición  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=54750821  Contribuyentes: Euclides, Farisori, Magister Mathematicae, Mar del Sur

Ecuación diofántica  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58362439  Contribuyentes: Artra, Cdlfd, Davius, Don arcay, Gauss, GermanX, HUB, Jkbw, Joseaperez, Kuragari,Manwë, Pino, Raulshc, Rsg, Sanbec, XalD, Yerco, 22 ediciones anónimas

Máximo común divisor  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58812029  Contribuyentes: 2rombos, Aalcocer, Acratta, Amanuense, Amoceann, Andreasmperu, Aquamane,Açipni-Lovrij, Baiji, Balderai, Banfield, BlackBeast, Carmin, Cruel Assassin, Daniel lopez avellaneda, Diegusjaimes, Dnu72, Drake 81, Edslov, Edubucher, Emiduronte, FAR, Farisori,Fernando101, Foundling, GNM, Galio, GermanX, Gimlinu, Gmrunzam, Greek, Halfdrag, Harpagornis, Helmy oved, House, Hugo.arg, Humberto, Ingenioso Hidalgo, Interwiki, Isha, Jarisleif,Jerowiki, Jfcardenas, Jjafjjaf, Jkbw, JorgeGG, Joseaperez, Jtico, Juan Mayordomo, Juen, LadyInGrey, Laura Fiorucci, Leonpolanco, MadriCR, Mafores, Magister Mathematicae, Manuel TrujilloBerges, Manwë, Marciana trece, Marianov, Matdrodes, MercurioMT, Miss Manzana, Muro de Aguas, Netito777, Nina Flor, Nioger, Nmds, Osado, Pan con queso, Pedro Nonualco, Petruss,Pieter, Platonides, Pólux, Raulshc, Ricardogpn, Rlago, Sabbut, SaeedVilla, Saloca, Srcpiimolist, SuperBraulio13, Tano4595, Technopat, Tirithel, Tláloc, Tortillovsky, Tostadora, Triku, UA31,Vedranell, Veguiita maria, Vodkano, Vubo, Walppeople, Xgarciaf, Yrithinnd, ZOiDberg, 329 ediciones anónimas

Teorema chino del resto  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=53136905  Contribuyentes: Alfredobi, Belgrano, DEEJAY, Diegusjaimes, Farisori, Ginés90, JViejo, MagisterMathematicae, Raulshc, Tabeissan, Tano4595, 33 ediciones anónimas

Números primos entre sí  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57460420  Contribuyentes: Alexav8, Alexsmpre, Amoceann, Cinabrium, Digigalos, Dorieo, Jkbw, Joseaperez, JuanMarquez, Kokoo, Raulshc, Sabbut, Sophistical, Tano4595, Valentin estevanez navarro, YoaR, 40 ediciones anónimas

Congruencia (teoría de números)  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58710097  Contribuyentes: Alexav8, Algiebo, Arnanz, Banfield, Bcoto, Calsbert, Diegusjaimes, Digigalos,Ecv, Eseotres, Farisori, FrancoGG, Jjafjjaf, Jjhhoojjaann, Jkbw, Jorge c2010, Juan Mayordomo, Kemt, Kn, Leonpolanco, Libertad y Saber, Lourdes Cardenal, Marsal20, Mel 23, Mpagano,Petruss, Raulshc, Roberpl, RoyFocker, Wilfredor, 62 ediciones anónimas

Número primo  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58668074  Contribuyentes: 4lex, ALEJANDRO PRENSA MARTINEZ, Adrruiz, Airunp, Alejandrocaro35, Aleph0,Allforrous, Alpertron, Andreasmperu, Angelsaracho, Antur, Antón Francho, Arturo Reina, Ascatala, Ascánder, Asimal, AstroNomo, B25es, Baiji, Barcex, Barct, Beto29, BlackBeast, Brindys,Bryant1410, Bucho, C'est moi, CaStarCo, Carlos Alberto Carcagno, Carlosblh, Cgb, Charly genio, Cobalttempest, Comae, Comu nacho, Corrector1, Dangelin5, Daniel JG, Dark, Davius,Delphidius, Diegusjaimes, Diogeneselcinico42, Dnu72, Dorieo, EL Willy, Eamezaga, Edmenb, Edslov, Eduardosalg, El nawe, Emijrp, Er Komandante, Ezarate, Farisori, Fernando101, Frutoseco,GermanX, Ggenellina, HUB, Heliocrono, Heriotza, Hpasten, Hugone, Humberto, Icvav, Ingenioso Hidalgo, Interscope, Interwiki, JMCC1, Jarisleif, Javierito92, Jerowiki, Jjafjjaf, Jo-Con-El,JorgeGG, Joseantoniopeke, Joseaperez, Juan Mayordomo, Julio grillo, Kn, KnightRider, Kronin, L'abbaco spagnolo, Lagarto, Leon-sotelo, Macarse, Mafores, Magister Mathematicae, Maldoror,ManelC, Manwë, Mar del Sur, Marianorbc, Mario peral manzo, Matdrodes, MatiasBellone, Metrónomo, Miguel.izquierdo.garcia, Moriel, Mrbrocoli, Muro de Aguas, Mushii, Ncc1701zzz,NeVic, Netito777, NicolasAlejandro, Nixón, Noluz, Nueva era, P.o.l.o., Pabloallo, Paintman, Paulienator, Pedro.patino, Petronas, Pieter, Pyr0, Pólux, Qwertyytrewqqwerty, RGLago, Raulshc,Ricardogpn, Roberpl, Roberto Fiadone, Rodri cyberdog, Rrecillas, Rupert de hentzau, S80236g, Sabbut, Sanbec, Schummy, Siddhartazen, Sive, Slimtrax, Snakeeater, Sofista, Strato79,SuperBraulio13, Tamorlan, Tano4595, Thebossking13, Tirithel, Tomatejc, Toshi8956, Userwiki, Vitamine, Wilfredor, Yeza, Youandme, Youssefsan, ^ DeViL ^, Ñuño Martínez, 448 edicionesanónimas

Conjetura de Goldbach  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58548408  Contribuyentes: Amadís, Assdl, Bibliofilotranstornado, Boja, DJ Nietzsche, Diogeneselcinico42, Emijrp,Erufailon, Farisori, FedericoFel, Ferejim, GermanX, Gizmo II, Halfdrag, Interwiki, Javierito92, Jmvkrecords, Joseaperez, Josemiguelito, Juan Mayordomo, Leonudio, Matdrodes, Mcetina,Moriel, Mrbitman, Neodop, Petronas, Quimicefa, Raulshc, Raúl González Molina, Rimac, Sabbut, Santyno, Sergiosh, SrSpock, SuperBraulio13, Tano4595, Titanico81, Xatufan, Yuiop, Zoid, 66ediciones anónimas

Iván Vinográdov  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57786833  Contribuyentes: Ceancata, Endriago, Gerwoman, Rosarinagazo, Sabbut, 1 ediciones anónimas

Cribado grande  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56962165  Contribuyentes: Deltasubk, Juan Mayordomo, Juank111, Raulshc, 1 ediciones anónimas

Teoría de cribas  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56853765  Contribuyentes: Dagane, Deltasubk, Dmlambea, Folkvanger, GermanX, Jerowiki, Juan Mayordomo, Raulshc, 4ediciones anónimas

Criba de Eratóstenes  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58894485  Contribuyentes: Acai, Alejandrorazgado, Alexav8, Alvlin, Andreasmperu, Ascánder, Açipni-Lovrij, Baiji,Camilo, Daniel Ajoy, Deltasubk, Desatonao, Diablo Cris, Diegusjaimes, Dodo, Edmenb, Entilete, Faelomx, Falkdav, Galandil, GermanX, Götz, Humberto, Interwiki, Jeiferotero, Jkbw, JuanMayordomo, Kalith, Kn, LadyInGrey, Leonpolanco, Lucien leGrey, Manwë, Matdrodes, Miguelzilli, Mutari, Netito777, Numbo3, Octubre1987, Pólux, Raulshc, Renacimiento, Richy, RomildaVane, Rosarino, RoyFocker, Rubpe19, Sabbut, Santhy, Savh, Sergio Andres Segovia, Tomatejc, Wikiléptico, Wmora2, Xabier, 155 ediciones anónimas

Conjetura de los números primos gemelos  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=53377405  Contribuyentes: Antonorsi, Banderas, Davidsevilla, Diegovazgonz, Farisori,GermanX, Hprmedina, Juan Mayordomo, Manuribadeo, Manwë, Moriel, Omega, Rafa3040, Raulshc, Rodr, Sabbut, SpeedyGonzalez, Tano4595, Veremos, 10 ediciones anónimas

Números primos gemelos  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56787737  Contribuyentes: BarakKhazad, Ciencia Al Poder, Dibujon, Dlyons493, Emiliano Calavera Feliz,Foundling, Jerowiki, Joseaperez, Juan Mayordomo, Moriel, Muro de Aguas, Numbo3, Raulshc, Sabbut, Tamorlan, Tano4595, WikiCholi, Zifra, 19 ediciones anónimas

Constante de Brun  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=39804021  Contribuyentes: GermanX, Karshan, Poc-oban, 3 ediciones anónimas

Ley de Hardy-Weinberg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58566458  Contribuyentes: Abece, Alvaro qc, Antur, CASF, Chewie, CommonsDelinker, Daniel Medina,Diegusjaimes, Gizmo II, Hugue, Humbefa, Juan Mayordomo, Lauranrg, Matdrodes, Mr Mixto, Neimis, Nemo, Retama, Rjgalindo, Xosema, 24 ediciones anónimas

Cuadro de Punnett  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58944122  Contribuyentes: Airunp, Angel the father, Antonorsi, Baiji, BuenaGente, Cobalttempest, Cratón, David0811,Diegusjaimes, Eduardo sabe, Humberto, Isha, Javierito92, Jkbw, Leonpolanco, Lu Tup, MadriCR, Manwë, Martunibo, Neodop, Netito777, Ortisa, Rafamaldo, Retama, Rosarino, Ryan Vesey,Sergio Andres Segovia, Starproject, SuperBraulio13, Superzerocool, Zeroth, Érico Júnior Wouters, 145 ediciones anónimas

Identidad de Bézout  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58468791  Contribuyentes: Blare, Davius, GermanX, Govi108, JMCC1, Jsanchezes, Juan Mayordomo, Kikekikee,Raulshc, Sabbut, 5 ediciones anónimas

Bicondicional  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57655086  Contribuyentes: Agrs700, Amadís, Amoceann, Angel GN, AnthonnyAG, Camilo, Carturo222, DefLog,Diegusjaimes, Domaniom, Ejrrjs, El Moska, Elwikipedista, Ensada, Farisori, Gswarlus, Götz, HUB, Ivn, JMCC1, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Lagarto, Luis Felipe Schenone, MagisterMathematicae, Mahadeva, Maldoror, Matdrodes, Muro de Aguas, Murphy era un optimista, Nicop, Niqueco, Platonides, SMP, Sabbut, Tacirupeca zula, Tirithel, Tusito, Xgarciaf, 46 edicionesanónimas

Condición necesaria y suficiente  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=55830254  Contribuyentes: Andres Rojas, Antonorsi, Davius, Dodo, Domaniom, Er Komandante, Götz,HUB, JMCC1, Jkbw, LidZeppelen, Muro de Aguas, R2D2!, Raulshc, Rosarinagazo, Sabbut, Tintinando, Tusito, Xatufan, 36 ediciones anónimas

Algoritmo de Euclides  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58844336  Contribuyentes: Agussell, Antón Francho, Arkady, Ascánder, Axelbrz, Carmin, Daniel Ajoy, Daniel JG,Dark, DarkSulivan, Dodo, Ecv, Jkbw, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Kn, Laura Fiorucci, LordT, Lourdes Cardenal, Magister Mathematicae, Manuel Trujillo Berges, Marianov, Matdrodes,Neoriddle, Obelix83, PabloCastellano, Pjferra, Pybalo, Pólux, Qwertymith, Qwertyytrewqqwerty, Raulshc, Rigenea, Riviera, Romero Schmidtke, RoyFocker, Sabbut, Santiperez, Savh, Sr JoseRamon Real, SuperBraulio13, Tano4595, Vitorbraziledit, Xgarciaf, 119 ediciones anónimas

Teoría de grafos  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58690282  Contribuyentes: A.garridob, Aalvarez12, Adama, Aikasse, Alejozsz, Alexav8, AlfonsoERomero, Andrestand, Angenio2, Ascánder, Baiji, Boku wa kage, Dark Bane, Davidrodriguez, Diegusjaimes, Diogeneselcinico42, Eduardosalg, El Quinche, Elmermosher, Emijrp, Equi, Esteban fcr, Farisori, Feministo, Ferminmx, Foundling, Galileicanarias, Gato ocioso, Gullo, Habilbakhat, Hawking, Humberto, Ilan.ag1, Ingenioso Hidalgo, Ingridchan, Inmortra, JMCC1, Jkbw, Jorge c2010, Juan Mayordomo, Julian Colina, Khaos258, La Mantis, Leonpolanco, LordT, Ludoviko, Macarse, Marioxcc, Matdrodes, Mcetina, Mencey, Mundokeko, Nando.sm, Neodop, Nihilo, Numbo3, Otermin, Pablo Olmos, Pabloallo, PeiT, Pino, Pólux, Raul.lara, Raulshc, Rdaneel, Ricardo Castelo, Rmolina, Roberpl, Rondador, Rosarino, Rovnet, Rumpelstiltskin, Sapiensjpa, Schwallex, Seba.29.8,

Page 292: Mates Discretas +

Fuentes y contribuyentes del artículo 288

Tano4595, Taxman, Tessier, Tomatejc, Tortillovsky, Vic Fede, Wsu-dm-jb, XinuXano, Zifra, 187 ediciones anónimas

Leyes de Kirchhoff  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58814495  Contribuyentes: Alhen, Andreasmperu, Anfe92, Antonorsi, Arcibel, Ars, Barbol, Barteik, Beto29, BetoCG,BlackSalamander, Cachitanova, Camilo, Cesaranieto, Charlykes, Ctrl Z, David.iesm, David0811, Deleatur, Diegusjaimes, Dnu72, Durero, Echani, Emijrp, Erbrumar, Fernando Suárez, FrancoGG,Grachifan, HUB, Homo logos, Humberto, Igna, Ingold, Ipintza, Isha, JaCCeR, Jaguzmanv, Jarisleif, Javierito92, Jkbw, Jomra, Jorge Gómez Tejeda Zañudo, Klystrode, Kved, Laura Fiorucci,Leonpolanco, Leonudio, Linkedark, Loco085, Locos epraix, MadriCR, Mafores, Magister Mathematicae, Mahadeva, Maju241, Mancontr, Manuelt15, Matdrodes, Mister-efe, OboeCrack, Ortisa,Oscar ., PACO, Paintman, Petar, Pino, Platonides, Poco a poco, Ponalgoyya, Predalien Runner, Pólux, Rastrojo, Raulshc, Ricardofs, Rojasyesid, RubiksMaster110, Savh, Sc16 angel, Sebrev,Segedano, Sergio Andres Segovia, Simeón el Loco, Superzerocool, Tano4595, Technopat, Titoxd, Tomatejc, Veon, Violainstrument, 376 ediciones anónimas

Multigrafo  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=54210056  Contribuyentes: Farisori, 3 ediciones anónimas

Grafo dirigido  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58891385  Contribuyentes: Farisori, Jerowiki, Juan Mayordomo, LogC

Grafo etiquetado  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56144816  Contribuyentes: Farisori, Raulshc

Grafo aleatorio  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58814718  Contribuyentes: Dorieo, Tamorlan, Wikisilki, 1 ediciones anónimas

Hipergrafo  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58429123  Contribuyentes: Diego Caro, Farisori, GermanX, Rovnet, RoyFocker, 1 ediciones anónimas

Hiperarista  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=15062930  Contribuyentes: Farisori

Optimización (matemática)  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57245605  Contribuyentes: AlfonsoERomero, Antur, Banfield, Chfiguer, Davidsevilla, Davius, Ef sacco, Enen,Farisori, Fibonacci, FrancoGG, Fvmeteo, Gafotas, Gerkijel, Guevonaso, Gusgus, HUB, Heinrich Puschmann, Hflores, Ignacio Icke, Ingenioso Hidalgo, Jcuesta, Jkbw, Juan Mayordomo,Kavanagh, Krzysiulek, Libertad y Saber, Magister Mathematicae, Marianov, Matdrodes, Millars, Moriel, Mparri, Mushii, Ncespedes, Nigro, Numbo3, Periku, Raulshc, Rhernan, Ricardo OliverosRamos, RoyFocker, Segedano, Spangineer, SpeedyGonzalez, Superzerocool, Tano4595, Tessier, Tirithel, Tostadora, TuringTest, Іванко1, 83 ediciones anónimas

Algoritmo símplex  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58345273  Contribuyentes: Ana Daleth, Anonymous, Axxgreazz, Diosa, Edgar Silva, Efrain arellanes, Egozcue, Ensada,Exterforce, Gama dlw, GermanX, Gmagno, HanPritcher, Happygilly123, Heinrich Puschmann, Hispa, Humbefa, Ingenioso Hidalgo, Janis.lukas, Kat1308, Luisunam01, MaribelLoGo, Muro deAguas, NACLE, Nataly Rivas, Paintman, Pedrojs, Petronas, Ralgis, Riviera, Rubenskazul, Sabbut, Secharte, Shakoran, Simeón el Loco, Tano4595, Technopat, Tessier, Will vm, Yleon,Yul.ivette, Yuraszeck, 43 ediciones anónimas

Conjetura de Hirsch  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=55091159  Contribuyentes: GermanX, Ricardogpn, 1 ediciones anónimas

Combinatoria poliédrica  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50617496  Contribuyentes: GermanX

Geometría discreta  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=52366897  Contribuyentes: GermanX

Geometría computacional  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=48098148  Contribuyentes: Farisori, Juan Mayordomo, Leugim1972, Nixón, Raulshc, Sabbut, Waeswaes,Wikielwikingo, Xigurat

Computación gráfica  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58463896  Contribuyentes: Andrei030, Antipatico, BetoCG, Chien, Corrector de redirecciones, Cruento, DeXusta,Diegusjaimes, Dodo, Ejrrjs, El bart089, ElVaka, Ernesto Bueno, Farisori, Gratiman, Greek, Guillermo-, Hiperfelix, Humberto, J. WIlson López M., Jkbw, Juan Pablo Montoya, KnightRider,Laura Fiorucci, MaSt, Mafores, Miraut, Moriel, NaBUru38, Narayan82, Nerika, Obelix83, Pablo323, Pertile, Pinar, Shooke, Soulreaper, Srengel, Tano4595, Technopat, Tituslenin, Tupy4, Unf,Zoid, 50 ediciones anónimas

Grafo conexo  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57880821  Contribuyentes: Airunp, Dem, Diegoignaciosanzo, Farisori, Ignacioerrico, Kirishima, LP, Ludoviko, Mctpyt, Rupertde hentzau, 10 ediciones anónimas

Diámetro  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58927750  Contribuyentes: Adaso, Açipni-Lovrij, Baiji, Banfield, Black king99, Cally Berry, Danielbmz, Davius, Diegusjaimes,Dossier2, Eduardosalg, Emiduronte, FAL56, Fkuyenray, Folkvanger, GermanX, Isha, Ivanics, JMCC1, Jarisleif, Javierito92, Jkbw, Jsv, Lasai, LosLuna, Mafores, Mansoncc, Matdrodes,Mdiagom, Mel 23, Netito777, OMenda, Pólux, Rastrojo, Rosarino, Sabbut, Sebrev, SuperBraulio13, Superzerocool, Tirithel, Tortillovsky, Vitamine, YoaR, 141 ediciones anónimas

Hipercubo  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58927878  Contribuyentes: Afnosol Bsaatenmtu, Alexan, Aswarp, Banfield, Brindys, Carlosccvm, Chuffo, Cinabrium, DivByZ,Dodo, Duuk-Tsarith, Ecemaml, Echani, Elabra sanchez, Ente X, Farisori, Humberto, Icvav, JMCC1, Jesuja, Jkbw, Khiari, Klausmeyer, KnightRider, Krun00, Leugim1972, Lipedia, Lopezmts,LordT, Magister Mathematicae, Matdrodes, MaxSaver, Moraleh, Nenuco1971, Nikotina2003, Nixón, Paintman, Paleqeleqe1y3, Periergeia, Porao, Raulshc, Reginocova, Retama, Ricardogpn,Rondador, Sabbut, Segedano, Simeón el Loco, Srengel, Superzerocool, Swazmo, Taty2007, Tetrabrain, TheTheMemo, Tilman Piesk, Wilfredor, Xenoforme, 86 ediciones anónimas

George Dantzig  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57931404  Contribuyentes: ARHEKI, Beagle, Carlos Alberto Carcagno, Ceancata, Chfiguer, Gaudio, GermanX, JuanMayordomo, Lobo, Maxreaper, Taty2007, Tostadora, 15 ediciones anónimas

Número de Fermat  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50350569  Contribuyentes: Angela, Asimal, Cdlfd, Emijrp, Jarke, Joseaperez, Juan Mayordomo, Mercenario97, Moriel,Peejayem, Raulshc, Sabbut, Sive, Swazmo, Tano4595, Tuertooriginal, Vivero, Yrithinnd, 7 ediciones anónimas

Regla y compás  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57087989  Contribuyentes: Aesakmi, AldanaN, Andreasmperu, Banfield, Carlos Alberto Carcagno, Charly genio, Dangelin5,Diegusjaimes, Ggenellina, Igna, Ivanics, JMCC1, Jerowiki, Jtico, Juan Mayordomo, Leonpolanco, Manuribadeo, Matdrodes, Muro de Aguas, Oscacabs, PuppeT, Rafagb, Retama, Rovnet, Savh,Tano4595, Tirithel, UA31, Ucevista, Ugly, Vivero, Yilku1, 59 ediciones anónimas

Teorema de la raíz racional  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=53626881  Contribuyentes: GermanX, Juan Mayordomo, Magister Mathematicae, 6 ediciones anónimas

Lema de Gauss  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57039567  Contribuyentes: Alephcero, Biasoli, Farisori, Juan Mayordomo, Misigon, Rovnet, Tacirupeca zula, Vitamine, 1ediciones anónimas

Criterio de Eisenstein  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58708971  Contribuyentes: Albankillapi, Ascánder, Cinabrium, Farisori, Ingenioso Hidalgo, Maleiva, Raulshc,Tacirupeca zula, 3 ediciones anónimas

Dominio de ideales principales  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=51514658  Contribuyentes: Albert11235, Castelo, Jgomez53, Saraedum, Vivero, 2 ediciones anónimas

Dominio de factorización única  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58322986  Contribuyentes: Albramallo, El.tobal, Jerowiki, Jgomez53, Proferichardperez, Raulshc, 2ediciones anónimas

Elemento primo  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56258413  Contribuyentes: Cesaro2012, Euclides

Origami  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58875442  Contribuyentes: .José, 217-126-250-33.uc.nombres.ttd.es, 2deseptiembre, A ver, Abece, Adrianiks, Adrruiz,Alonsoquijano, Andre Engels, Andreasmperu, Anfegua, Angel GN, Antur, Aparejador, Aquitaki, Archivaldo, Beita1810, Belios, Boja, Calandraca, Camilo, Cantus, Carnendil, Carrampla,Carrousel, Cibercrank, CommonsDelinker, Cookie, Daimond, David0811, Davidsevilla, Dianai, Diegusjaimes, Digigalos, Dodo, Dr. Conde, Durero, Echando una mano, Edgar, El Pitufo,Elliniká, Emijrp, Fauntos, Federico1984, Fremen, Gallowolf, Gavaro, Germanpacello, Greek, Grizzly Sigma, Haitike, Humberto, Icvav, Ignaciohm, J. A. Gélvez, JMCC1, Jarisleif, Jcb,Jejaramillo, Jjvaca, Jkbw, Juan Mayordomo, Juanitorreslp, Kbrita04, Kezzo, Kinori, KundaliniZero, Laura Fiorucci, Leonpolanco, Llarensj, Lobillo, Luis Manuel Herrera, MI GENERALZAPATA, Magister Mathematicae, Mahadeva, Mansoncc, ManuelGR, Marcosroza, Maricela4, Marinha vs, Matdrodes, Matreo, Maveric149, Mechita korn, Moran-Tao, Moriel, Mortadelo2005,Muro de Aguas, Murphy era un optimista, Natrix, Nixón, OboeCrack, Opinador, OrigamistFan, Pablo323, Palcianeda, Patrick McKleinschuss, Phirosiberia, Pilaf, Pingüi06, Quatus,Qwertyytrewqqwerty, Relleu, RobAn, Roche, Rocío7-1, Rosarino, Rαge, SCAM-BDC, Sabbut, Savh, Sergigres, Sophos, Sr.XD, Superzerocool, Swivelfold, Taichi, TheSeeker, TheSeeker1,Tirithel, Victor darkdemon90, Viento Turquesa, Wilfredor, Xabier, Yas, Yayoloco, conversion script, 371 ediciones anónimas

Teorema de Mohr-Mascheroni  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=51802702  Contribuyentes: Alfredobi, Davius, Juan Mayordomo

Teorema de Poncelet–Steiner  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57510015  Contribuyentes: Alfredobi, Banfield, Juan Mayordomo, Spirit-Black-Wikipedista, 2 edicionesanónimas

Page 293: Mates Discretas +

Fuentes y contribuyentes del artículo 289

Tomografía axial computarizada  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58107724  Contribuyentes: 3republica, Abajo estaba el pez, AleixRuiz, Alvaro qc, Carabás, Cookie, Ctrl Z,DJ Nietzsche, Diegusjaimes, Dodo, Dsavall, Eduardosalg, Edwod2001, Elkte, Ezarate, F3RN4ND0X, Ganímedes, GermanX, Grillitus, Gurgut, Hégésippe Cormier, Igna, Isha, Jkbw, JoaquínMartínez Rosado, JorgeGG, JoseRRoman, Joseaperez, Jsanchezes, Juan renombrado, Julperez, Kabri, Kolocho, Leonpolanco, Leonudio, Luckas Blade, MILO, Magaur, Matdrodes, Meltryth,Monicagcvalle, Neodop, Odworld, Pacolacalle, PayoMalayo, Purodha, Roberpl, Rufflos, Salva.SBS, Santiti, Sauron, Savh, Sfs90, SpeedyGonzalez, Suisui, Tano4595, Taraborn, Technopat,Trapingus Parish, Xavier Canals-Riera, 124 ediciones anónimas

Sólidos platónicos  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58429132  Contribuyentes: 3coma14, Airunp, Aperezdecastro, Beto29, BlackBeast, Buenavista125, Chlewey, Cinabrium,Csoliverez, Dhidalgo, Diegusjaimes, Egaida, Emijrp, Farisori, Fernando Estel, FrancoGG, Igna, JMCC1, Jarfil, Jessu, Jkbw, Joseaperez, Juan José Moral, Julie, Julius C, Jurock, Kved, LauraFiorucci, Lcgarcia, Lourdes Cardenal, Luis Felipe Schenone, Maldoror, Matdrodes, Muro de Aguas, Nethac DIU, Nihilo, Ononazo, Pacomeco, Pieter, Pólux, Raulshc, Rectas, Ricardogpn,Rondador, Sanctiacobvs, Swazmo, Tano4595, Technopat, Togo, Tomatejc, Tute, Txo, UA31, VanKleinen, Vito 15, W. Lainus, Xenoforme, 139 ediciones anónimas

Gran círculo  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56743795  Contribuyentes: Agustobulo, Alanfeynman, AntBiel, Claudio Elias, Davius, Didac, Digigalos, GermanX,Gusbelluwiki, J. A. Gélvez, JMCC1, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Naranjon, Ronaldo16, Sentanumarola, Sigmanexus6, Tano4595, Taragui, 10 ediciones anónimas

Trigonometría esférica  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58516333  Contribuyentes: .José, Alexav8, Allforrous, Açipni-Lovrij, Claudio Elias, David0811, Egaida, El Caro,Espilas, Fergon, Gusbelluwiki, JMCC1, Jkbw, Lydia 85, Muro de Aguas, Oblongo, Quatus, Ramjar, Ricardogpn, Sentanumarola, Tano4595, Trabajoswiki.uv, 38 ediciones anónimas

Geometría no euclidiana  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56674222  Contribuyentes: .José, Alonso de Celada, Altair Lemos, Axxgreazz, Azofeifa82, Camima, Cancerberosgx, Davidsevilla, Davius, Dibujon, FAR, Gcatalan, GermanX, Gustronico, HAG, JMCC1, Kriztoval, Latiniensis, Mmucino, Nanovapor9, Paintman, Pati, Queninosta, SpeedyGonzalez,Tano4595, Tituslenin, Unf, Xareu bs, 50 ediciones anónimas

Variedad de Riemann  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58309936  Contribuyentes: Davius, DefLog, Jerowiki, Manufl, Nanovapor9, Pabloab, ReiVaX, Snakefang, Tzihue,Wewe, 6 ediciones anónimas

Geometría hiperbólica  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=54745661  Contribuyentes: .José, Anacleto, Aradan, Argaldo, Bismillah, Carturo222, Davius, FAR, GermanX, JRGL,Jerowiki, Juan Mayordomo, Nanovapor9, Omeñaca, Raulshc, Rimac, Tirabo, 32 ediciones anónimas

Disco de Poincaré  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=54466079  Contribuyentes: Jerowiki, Raulshc

Geometría elíptica  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=52125422  Contribuyentes: Davius, Diegusjaimes, GermanX, Ggenellina, JMCC1, Nanovapor9, SaeedVilla, 8 edicionesanónimas

Paralelismo (matemática)  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58429522  Contribuyentes: 4lex, BlackBeast, Cheveri, Dark Bane, Diegusjaimes, Dodo, Er Komandante, Euclides,Fefriixxss, Fibonacci, Gafotas, GermanX, Guanxito, Guimis, JMCC1, Jarisleif, Jerowiki, Jesebi, Jkbw, Jsanchezes, Jtico, Jugones55, Kaka.schuman, Larocka, Leonpolanco, Lionni, Mac m 13,Maldoror, Manuelt15, Manwë, Matdrodes, Merrick, Netito777, Nicop, Pan con queso, Periku, Pirulle, Ppja, Pólux, QuidEstVeritas?, Sawi, SuperBraulio13, Superzerocool, Tacirupeca zula,Tano4595, Tirabo, Tostadora, Wilfredor, 117 ediciones anónimas

Perpendicularidad  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58834670  Contribuyentes: Ale flashero, AngelCaído, Balderai, Corek, David0811, Davius, Diegusjaimes, Dorieo,Elisardojm, Ferrer.jorge, Gusgus, HUB, Humberto, JMCC1, Javierito92, Jerowiki, Jkbw, Jorge c2010, Josemi.r.l.95, Juan Mayordomo, Larocka, Luisgdelarosa, Maldoror, MarcoAurelio, MartinEmmanuel, Martinus10, Matdrodes, Mel 23, Nethac DIU, Netito777, Nicop, Porao, Pólux, Retama, Rosarino, Sigmanexus6, Snakeyes, Technopat, VanKleinen, Vic Fede, Yufradt, 116 edicionesanónimas

Lema de Euclides  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56811234  Contribuyentes: Airunp, Alpertron, Ascánder, Correogsk, Damifb, Farisori, Juan Mayordomo, Lopezpablo 87,Mito pm, Pjferra, Raulshc, Taichi, 4 ediciones anónimas

Page 294: Mates Discretas +

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 290

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Surjection.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Surjection.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Darapti, SlArchivo:Injection.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Injection.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Sl, 2 ediciones anónimasImage:Codomain2.SVG  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Codomain2.SVG  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Damien Karras (talk). Original uploader wasDamien Karras at en.wikipediaImage:Codomain.SVG  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Codomain.SVG  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported  Contribuyentes:Cronholm144, DaraptiArchivo:Intervalo abierto.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Intervalo_abierto.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: proximo.xvAutor: proximo.xvArchivo:Intervalo cerrado.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Intervalo_cerrado.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: proximo.xvAutor: proximo.xvArchivo:Intervalo semiabierto 02.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Intervalo_semiabierto_02.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:proximo.xv Autor: proximo.xvArchivo:Intervalo semiabierto 01.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Intervalo_semiabierto_01.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:proximo.xv Autor: proximo.xvArchivo:Função quadrática restrita a um intervalo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Função_quadrática_restrita_a_um_intervalo.svg  Licencia: CreativeCommons Attribution-Share Alike  Contribuyentes: HelderArchivo:Transformación lineal de intervalos 02.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Transformación_lineal_de_intervalos_02.svg  Licencia: Creative CommonsAttribution-Share Alike  Contribuyentes: Dnu72Archivo:Translin.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Translin.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: omArchivo:Number-line.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Number-line.gif  Licencia: desconocido  Contribuyentes: Original uploader was MathsIsFun at en.wikipediaArchivo:1 Zahl mit Epsilon Umgebung.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:1_Zahl_mit_Epsilon_Umgebung.svg  Licencia: Creative CommonsAttribution-ShareAlike 3.0 Unported  Contribuyentes: 2_Zahlen_mit_Epsilon_Umgebung.svg: Epsilon_Umgebung.svg: Konvergenz.svg: Matthias Vogelgesang (Youthenergy) derivative work:Stephan Kulla (User:Stephan Kulla) derivative work: Stephan Kulla (User:Stephan Kulla) derivative work: Robot8A (talk)Archivo:Función Continua 011.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_011.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HiTeArchivo:Función Continua 014.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_014.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HiTeArchivo:Función Continua 022.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_022.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HiTeArchivo:Función Continua 024.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_024.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HiTeArchivo:FunTriR110.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunTriR110.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Share Alike  Contribuyentes: Dnu72Archivo:Función Continua 050.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_050.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HiTeArchivo:Función Continua 033.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_033.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HiTearchivo:Funcion continua 08.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Funcion_continua_08.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HiTearchivo:Continuidad función 28.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Continuidad_función_28.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Share Alike Contribuyentes: Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 473a.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_473a.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 543a.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_543a.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 453a.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_453a.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 464.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_464.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 112.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_112.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 113.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_113.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 111.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_111.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 124.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_124.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 121.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_121.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 122.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_122.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 123.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_123.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 133.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_133.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 143.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_143.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 213.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_213.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 313.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_313.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 222.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_222.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 232.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_232.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 322.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_322.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 332.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_332.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 173.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_173.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 513.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_513.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72

Page 295: Mates Discretas +

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 291

archivo:FunciónDiscontinua 571.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_571.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 153.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_153.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 413.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_413.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 453.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_453.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 171.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_171.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72archivo:FunciónDiscontinua 511.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_511.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72Archivo:Discontinuity removable.eps.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Discontinuity_removable.eps.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Adammajewski, Darapti, MaksimArchivo:Discontinuity jump.eps.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Discontinuity_jump.eps.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Darapti, Maksim,Tano4595Archivo:Discontinuity essential.eps.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Discontinuity_essential.eps.png  Licencia: Public domain  Contribuyentes: en:User:OlegAlexandrovArchivo:Función Continua 005.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_005.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HiTeArchivo:Función Continua 006.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_006.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HiTeArchivo:Función Continua 044.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_044.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HiTeArchivo:Función Continua 031.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_031.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HiTeArchivo:Límite 01.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Límite_01.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HiTeImage:Upper semi.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Upper_semi.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: MktyscnArchivo:Wikibooks-logo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Wikibooks-logo.svg  Licencia: logo  Contribuyentes: User:Bastique, User:Ramac et al.File:GeometricSquares.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:GeometricSquares.svg  Licencia: Public domain  Contribuyentes: en:User:Jim.belk (original); Pbroks13(talk) (redraw)File:GeometricCircles.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:GeometricCircles.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Jim.belkImage:Geometric progression convergence diagram.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Geometric_progression_convergence_diagram.svg  Licencia: PublicDomain  Contribuyentes: Mike1024Archivo:Jean d'Alembert.jpeg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Jean_d'Alembert.jpeg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Beria, Bohème, Cherry,Ecummenic, FSII, Finavon, G.dallorto, Jastrow, Kilom691, Maksim, Mattes, Themightyquill, Thorvaldsson, 1 ediciones anónimasArchivo:Bessel Functions (2nd Kind, n=0,1,2).svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Bessel_Functions_(2nd_Kind,_n=0,1,2).svg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: InductiveloadArchivo:BesselI Functions (1st Kind, n=0,1,2,3).svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:BesselI_Functions_(1st_Kind,_n=0,1,2,3).svg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: InductiveloadArchivo:BesselK Functions (n=0,1,2,3).svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:BesselK_Functions_(n=0,1,2,3).svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes:InductiveloadArchivo:Spherical Bessel j Functions (n=0,1,2).svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Spherical_Bessel_j_Functions_(n=0,1,2).svg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: InductiveloadArchivo:Spherical Bessel y Functions (n=0,1,2).svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Spherical_Bessel_y_Functions_(n=0,1,2).svg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: InductiveloadArchivo:Gamma plot.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Gamma_plot.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported  Contribuyentes:Alessio DamatoArchivo:Gamma abs 3D.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Gamma_abs_3D.png  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes: Geek3Archivo:Complex gamma.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Complex_gamma.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Jan HomannArchivo:Commons-logo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg  Licencia: logo  Contribuyentes: SVG version was created by User:Grunt andcleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab.Archivo:Pleiades large.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Pleiades_large.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: NASA, ESA, AURA/Caltech, PalomarObservatoryArchivo:Symmetric group 4; Cayley graph 4,9.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Symmetric_group_4;_Cayley_graph_4,9.svg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: GrapheCayley-S4-Plan.svg: Fool (talk) derivative work: Lipedia (talk)Archivo:composicion de permutaciones.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Composicion_de_permutaciones.svg  Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: DriniFile:Permutación de 1,2,3.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Permutación_de_1,2,3.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: MagisterMathematicaeArchivo:050712 perm 1.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:050712_perm_1.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: en:User:WzwzArchivo:coprime-lattice.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Coprime-lattice.svg  Licencia: Public domain  Contribuyentes: Original uploader was Dmharvey aten.wikipediaArchivo:Prime num le 400.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Prime_num_le_400.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Guybrush Threepwood, Juicedlemon, PetakArchivo:Oxyrhynchus papyrus with Euclid's Elements.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Oxyrhynchus_papyrus_with_Euclid's_Elements.jpg  Licencia:desconocido  Contribuyentes: -Archivo:Pierre de Fermat.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Pierre_de_Fermat.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: -Archivo:Prime rectangles.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Prime_rectangles.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Fredrik JohanssonArchivo:PrimeNumberTheorem.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PrimeNumberTheorem.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:FredStoberArchivo:PrimeNumbersSmall.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PrimeNumbersSmall.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Original uploader wasJabberWok at en.wikipediaArchivo:Primenumbers2310inv.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Primenumbers2310inv.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:Original uploader was Flimsy.twiddle at en.wikipediaArchivo:Sieve_of_Eratosthenes_animation.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Sieve_of_Eratosthenes_animation.gif  Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: 6Sixx, Brian0918, Jahobr, JohnBlackburne, Ricordisamoa, Travürsa, Waldir, WillNess, 4 ediciones anónimasArchivo:Pentagon construct.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Pentagon_construct.gif  Licencia: Public domain  Contribuyentes: TokyoJunkie at the EnglishWikipediaArchivo:Gaussian primes.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Gaussian_primes.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HackArchivo:TrefoilKnot-01.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:TrefoilKnot-01.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: AnyFile, Maksim, Marnanel,Schneelocke, 2 ediciones anónimas

Page 296: Mates Discretas +

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 292

Archivo:PrimeKnot-4-1.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PrimeKnot-4-1.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: AnonMoos, Guybrush Threepwood,Karlfk, Maksim, 1 ediciones anónimasArchivo:Knot-cinquefoil-sm.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Knot-cinquefoil-sm.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: AnonMoos,AnyFile, Maksim, Svgalbertian, 2 ediciones anónimasArchivo:PrimeKnot-5-2.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PrimeKnot-5-2.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Guybrush Threepwood, Karlfk, Maksim,1 ediciones anónimasArchivo:Goldbach-1000000.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Goldbach-1000000.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Originaluploader was Reddish at en.wikipediaArchivo:Hardy-Weinberg.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hardy-Weinberg.gif  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: BarbirossaArchivo:Cuadro punnet.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Cuadro_punnet.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Bestiasonica, Griffinofwales,Pfctdayelise, Rafamaldo, 6 ediciones anónimasArchivo:Segmentos conmensurables.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Segmentos_conmensurables.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: DriniArchivo:Algoritmo de Euclides geométrico.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Algoritmo_de_Euclides_geométrico.svg  Licencia: GNU Free DocumentationLicense  Contribuyentes: DriniArchivo:Euclides VII-2.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Euclides_VII-2.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: DriniArchivo:Euclidean algorithm running time X Y.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Euclidean_algorithm_running_time_X_Y.png  Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:FredrikArchivo:Fish graph.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Fish_graph.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0,2.5,2.0,1.0  Contribuyentes: Koko90Archivo:Dart graph.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Dart_graph.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0,2.5,2.0,1.0  Contribuyentes:Koko90Archivo:Dodecahedral graph.neato.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Dodecahedral_graph.neato.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: Koko90Archivo:7 bridges.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:7_bridges.svg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Booyabazooka, Rocket000,Ronaldino, Squizzz, 1 ediciones anónimasArchivo:Diagrama Conceptual ejemplo.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Diagrama_Conceptual_ejemplo.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes:Friviere, Kaizen, Túrelio, 3 ediciones anónimasArchivo:Madrid-metro-map.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Madrid-metro-map.png  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5  Contribuyentes:User:MontrealaisArchivo:West Midlands UK location map.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:West_Midlands_UK_location_map.svg  Licencia: Creative CommonsAttribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes: Nilfanion, created using Ordnance Survey dataArchivo:CircuitoDosMallas.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:CircuitoDosMallas.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: José Luis GálvezArchivo:Social-network.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Social-network.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:WykisArchivo:Mesh topology.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Mesh_topology.png  Licencia: GNU General Public License  Contribuyentes: YannickvArchivo:Ministry of Defence Guatemala organisation chart.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ministry_of_Defence_Guatemala_organisation_chart.svg Licencia: Public Domain  Contribuyentes: BenchillArchivo:Monocrotophos isomers.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Monocrotophos_isomers.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: JüArchivo:Gsm network architecture.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Gsm_network_architecture.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: GrenoArchivo:Mitbat-2007-bracket-large.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Mitbat-2007-bracket-large.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Original uploaderwas Aerion at en.wikipediaArchivo:6n-graph2.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:6n-graph2.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Booyabazooka, Dcoetzee, 1 ediciones anónimasArchivo:Hamiltonian path.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hamiltonian_path.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: Christoph SommerArchivo:Grafo ejemplo 6.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Grafo_ejemplo_6.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Original uploaderwas Romero Schmidtke at es.wikipediaArchivo:Grafo ejemplo 5 países.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Grafo_ejemplo_5_países.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipediaArchivo:Grafo ejemplo 5 conecsi.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Grafo_ejemplo_5_conecsi.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipediaArchivo:grafoConexo.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:GrafoConexo.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Fran VHArchivo:Grafo ejemplo 3 árbol.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Grafo_ejemplo_3_árbol.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipediaArchivo:Grafo ejemplo 7.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Grafo_ejemplo_7.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Original uploaderwas Romero Schmidtke at es.wikipediaArchivo:KCL.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:KCL.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Glenn, M0tty, Pieter Kuiper, SteveZodiacArchivo:Kirchhoff voltage law.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Kirchhoff_voltage_law.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: KwinkunksArchivo:Wikiversity-logo-Snorky.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Wikiversity-logo-Snorky.svg  Licencia: desconocido  Contribuyentes: -Archivo:Multi-pseudograph.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Multi-pseudograph.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes:0x24a537r9Imagen:Directed.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Directed.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Grafite, Jcb, Josette, 2 ediciones anónimasArchivo:Graceful labeling.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Graceful_labeling.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Original uploader was Arichnad aten.wikipediaArchivo:Petersen graph 3-coloring.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Petersen_graph_3-coloring.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Booyabazooka,Dcoetzee, LipediaArchivo:Pseudoforest.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Pseudoforest.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: David EppsteinArchivo:Hypergraph-wikipedia.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hypergraph-wikipedia.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0,2.5,2.0,1.0 Contribuyentes: Hypergraph.svg: Kilom691 derivative work: Pgdx (talk)Archivo:MaximumParaboloid.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:MaximumParaboloid.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Originaluploader was Sam Derbyshire at en.wikipediaArchivo:Simplex description.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Simplex_description.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Czupirek, Kocur, Maksim,Martynas Patasius, 1 ediciones anónimasArchivo:Ej2.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ej2.png  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes: User:Luisunam01Archivo:Ej3.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ej3.png  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes: User:Luisunam01Archivo:Sol. óptima.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Sol._óptima.jpg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes: User:ShakoranArchivo:dege.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Dege.jpg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes: User:Kat1308Archivo:2tabla.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:2tabla.png  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes: User:Rubenskazul

Page 297: Mates Discretas +

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 293

Archivo:Optimalidad.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Optimalidad.png  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes:User:RubenskazulArchivo:3tabla.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:3tabla.png  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes: User:RubenskazulArchivo:Modelo ampliado.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Modelo_ampliado.jpg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes:User:ShakoranArchivo:Unit disk graph.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Unit_disk_graph.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: David Eppstein at en.wikipediaArchivo:Cilindro comp.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Cilindro_comp.jpg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: LeonardoG, Rovnet,Siebrand, 1 ediciones anónimasArchivo:Blender 2.45 screenshot.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Blender_2.45_screenshot.jpg  Licencia: GNU General Public License  Contribuyentes: Ausis,Bayo, Damian Yerrick, Fred J, Matthias M., Msikma, WikipediaMaster, 1 ediciones anónimasArchivo:5-cell.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:5-cell.gif  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Original uploader was JasonHise at en.wikipediaArchivo:Diameter.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Diameter.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: EugeneZelenko, Krishnavedala,Martin, Rimshot, W!B:, 1 ediciones anónimasArchivo:Diameter and Pi 1.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Diameter_and_Pi_1.gif  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: user:1 3 2

人 目

Archivo:Regular triangle 1.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Regular_triangle_1.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: D V S, DaraptiArchivo:Wiktionary-logo-es.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Wiktionary-logo-es.png  Licencia: logo  Contribuyentes: es:Usuario:PybaloArchivo:Hypercubecentral.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hypercubecentral.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: LipediaArchivo:Hexahedron.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hexahedron.png  Licencia: desconocido  Contribuyentes: TomruenArchivo:CDW_ring.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:CDW_ring.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: TomruenArchivo:CDW_4.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:CDW_4.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: TomruenArchivo:CDW_dot.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:CDW_dot.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: TomruenArchivo:CDW_3.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:CDW_3.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: TomruenArchivo:CDW_2.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:CDW_2.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: TomruenArchivo:8-cell.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:8-cell.gif  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: see aboveArchivo:Nested_set_V4;_elements_in_Hasse_diagram.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Nested_set_V4;_elements_in_Hasse_diagram.svg  Licencia: PublicDomain  Contribuyentes: LipediaArchivo:HexagonConstructionAni.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:HexagonConstructionAni.gif  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:Jonathan48Archivo:Blake ancient of days.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Blake_ancient_of_days.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: William BlakeArchivo:Architectes.medievaux.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Architectes.medievaux.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Buzz, Gryffindor,Tvanhulzen, Wst, 1 ediciones anónimasArchivo:Basic-construction-demo.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Basic-construction-demo.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:Qef, Vivero, 1 ediciones anónimasArchivo:Cuadratura-circulo-02.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Cuadratura-circulo-02.png  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Contribuyentes: User:HaylliArchivo:Origami-crane.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Origami-crane.jpg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5  Contribuyentes: AndreasBauer Origami-KunstFile:Hiden Senbazuru Orikata-S17-2.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hiden_Senbazuru_Orikata-S17-2.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Dmcq,TavinArchivo:Origami ball.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Origami_ball.jpg  Licencia: Creative Commons Attribution 2.0  Contribuyentes: Dmcq, FlickrLickr,FlickreviewR, Leoboudv, Para, Roomba, WstArchivo:BaseCometa.pdf  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:BaseCometa.pdf  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: ZikerArchivo:Castle shumakov.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Castle_shumakov.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:ArchivaldoArchivo:Una rana de papel.JPG  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Una_rana_de_papel.JPG  Licencia: Creative Commons Attribution 3.0  Contribuyentes: ArchivaldoArchivo:DSCF03972.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:DSCF03972.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: DANIEL PICHARDOArchivo:DSCF02902.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:DSCF02902.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: DANIEL PICHARDOArchivo:DSCF03162.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:DSCF03162.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: DANIEL PICHARDOArchivo:DSCF03172.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:DSCF03172.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: DANIEL PICHARDOArchivo:ct-internals.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ct-internals.jpg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Bjecas, Delldot, Hehkuviini,Nevit, 8 ediciones anónimasArchivo:tac1.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Tac1.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Original uploader was Sauron ates.wikipediaArchivo:tac4.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Tac4.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Original uploader was Sauron ates.wikipediaArchivo:Ct-workstation-neck.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ct-workstation-neck.jpg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:en:User:ChumpusRexArchivo:Bonereconstruction.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Bonereconstruction.jpg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Originaluploader was Zgyorfi at en.wikipediaArchivo:Tetrahedron.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Tetrahedron.jpg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Dbenbenn, Kjell André,Matthias M., Quasipalm, SharkD, WardenArchivo:Hexahedron.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hexahedron.jpg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Dbenbenn, Kjell André,Matthias M., Quasipalm, SharkD, Str4nd, WikipediaMaster, 1 ediciones anónimasArchivo:Octahedron.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Octahedron.jpg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Original uploader was Cyp aten.wikipedia Later versions were uploaded by Fropuff at en.wikipedia.Archivo:Dodecahedron.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Dodecahedron.jpg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Dbenbenn, Juicedlemon, Kjell André, Matthias M., Quasipalm, SharkD, 1 ediciones anónimasArchivo:Icosahedron.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Icosahedron.jpg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Bukk, Dbenbenn, Juicedlemon, Kjell André, Matthias M., Nevit, Quasipalm, SharkDFile:tetraedro_desarrollo.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Tetraedro_desarrollo.gif  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: User:RectasFile:cubo_desarrollo.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Cubo_desarrollo.gif  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: User:RectasFile:octaedro_desarrollo.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Octaedro_desarrollo.gif  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: User:RectasFile:dodecaedro_desarrollo.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Dodecaedro_desarrollo.gif  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: User:RectasFile:icosaedro_desarrollo.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Icosaedro_desarrollo.gif  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes: User:RectasArchivo:Sphere halve.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Sphere_halve.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Kieff, SharkD, Tamorlan, Verne Equinox, 2ediciones anónimas

Page 298: Mates Discretas +

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 294

Archivo:Spherical triangle 3d.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Spherical_triangle_3d.png  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: DemonDeLuxe (Dominique Toussaint)Archivo:Greatcircle Jetstream routes.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Greatcircle_Jetstream_routes.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: ChaosNilArchivo:Triangle trirectangle.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Triangle_trirectangle.png  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0,2.5,2.0,1.0 Contribuyentes: Coyau, JMCC1Archivo:ortodroma.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ortodroma.svg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: OremArchivo:Noneuclid.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Noneuclid.svg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: derivative work: Pbroks13(talk) Noneuclid.png: Original uploader was Joshuabowman at en.wikipediaArchivo:Hyperbolic tiling omnitruncated 3-7.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hyperbolic_tiling_omnitruncated_3-7.png  Licencia: Public Domain Contribuyentes: Davius, Jean-Christophe BENOIST, Kilom691, Marcus erroniusArchivo:Sphere wireframe 10deg 6r.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Sphere_wireframe_10deg_6r.svg  Licencia: Creative Commons Attribution 3.0 Contribuyentes: Geek3Archivo:Saddle pt.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Saddle_pt.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:StuRatArchivo:Hyperbolic.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hyperbolic.jpg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: AradanArchivo:Hyperbolic triangle.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hyperbolic_triangle.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Bender235, Kieff, 1 edicionesanónimasImage:Hyperbolic tiling omnitruncated 3-7.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hyperbolic_tiling_omnitruncated_3-7.png  Licencia: Public Domain Contribuyentes: Davius, Jean-Christophe BENOIST, Kilom691, Marcus erroniusFile:Hyperb icosahedral hc.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hyperb_icosahedral_hc.png  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: Claudio RocchiniImage:Triangles (spherical geometry).jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Triangles_(spherical_geometry).jpg  Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Lars H. Rohwedder, SarregousetArchivo:Two parallel lines a b.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Two_parallel_lines_a_b.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: MasurArchivo:Planes parallel.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Planes_parallel.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: QefArchivo:Perpendicular-coloured.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Perpendicular-coloured.svg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:JMCC1, Nk, RDBury, 2 ediciones anónimasArchivo:Perpendicular-construction.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Perpendicular-construction.svg  Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Darapti, NkArchivo:perpendicular transversal v3.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Perpendicular_transversal_v3.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike3.0 Unported  Contribuyentes: Benzi455Archivo:Title page of Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570 (560x900).jpg  Fuente:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Title_page_of_Sir_Henry_Billingsley's_first_English_version_of_Euclid's_Elements,_1570_(560x900).jpg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: Charles Thomas-Stanford

Page 299: Mates Discretas +

Licencia 295

LicenciaCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/