MATES II PAC1 Villarreal Quintana Jaume

7/31/2019 MATES II PAC1 Villarreal Quintana Jaume

1/10

MATEMTIQUES-II per a Multimdia - PAC1

- 1 -

PAC1: CODIFICACI

A. PREGUNTES TEST

Nom i cognomsJaume Villarreal Quintana

Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8Resposta B C B A B C B B

1- Una de les segents afirmacions s FALSA:

a) 53 en binari s 110101

b) El nombre que falta en el NIF 43.629._36 F s el 3.

c) El codi Morse de 5 es . . . . .

La resposta falsa s la B

Al dividir 43.629.336 entre 23 el residu

resultant s 15. Aix no s congruent amb

la lletra F, que segons el codi establert es

correspon amb 7(md23).

43.629.336!15(md23)

15 = S

Tot i que l'activitat no ho requereix hem intentat trobar quin seria el dgit necessari perqu

el DNI fos correcte amb aquesta lletra. Per fer-ho hem seguit el segent procediment:

1. Establim la incgnita i l'allem. 43.629.X36 = 43.629.036 + 100X

2. Establim una igualtat a partir dels mduls. 43.629.036 + 100X = 7(md23)

3. Trobem la congruncia amb mdul23 de

cadascun dels termes situats a l'esquerra

de la igualtat.

43.629.036!14(md23)

100 ! 8(md23)

4. Tornem a establir la igualtat. 14 + 8X = 7

5. Allem la variable.X=

7!14

8

6. Com que aquests valors no ens permeten

resoldre la igualtat, busquem un mdul

equivalent a 7(md23) que ens permeti

operar.

7(md23) s equivalent a 30(md23)

X=30!14

8= 2

7. El dgit que falta s el 2 perqu s l'nic

que compleix la condici.

43.629.236 ! 7(md23)


2/10


- 2 -

2- El nombre d'errors que podem corregir amb el codi C s:

C = {011011, 111101, 100011, 100000}

a) 3

b) 1

c) 0La resposta correcta s la C

Establim una taula de diferncies per a

identificard(distncia mnima), obviant

sempre els zeros.

d 011011 111101 100011 100000

011011 0

111101 3 0

100011 3 4 0

100000 4 4 2 0

Un cop identificada la distncia mnima

trobem e (nombre d'errors).e =

d!1

2

"

#"$

%$=

2!1

2

"

#"$

%$= 0'5"# $%= 0

3- Si tenim H matriu de comprovaci de paritat:

H=

1 0 0 1 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 1

!

"

###

$

%

&&&

Quina de les segents paraules pertanyen al codi?

a =

1

0

0

0

1

!

"

######

$

%

&&&&&&

b =

0

0

1

1

1

!

"

######

$

%

&&&&&&

c =

0

1

1

0

0

!

"

######

$

%

&&&&&&

La resposta correcta s la B

Comprovem una per una les paraules multiplicant-les per la matriu de paritat. Per ser

pertanyents al codi hauran de donar com a resultat un vector 0.

PARAULA a

1 0 0 1 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 1

!

"

###

$

%

&&&

1

0

0

0

1

!

"

######

$

%

&&&&&&

=

0

0

1

!

"

###

$

%

&&&


3/10


- 3 -

PARAULA b

1 0 0 1 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 1

!

"

###

$

%

&&&

0

0

1

1

1

!

"

#####

#

$

%

&&&&&

&

=

0

0

0

!

"

###

$

%

&&&

PARAULA c

1 0 0 1 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 1

!

"

###

$

%

&&&

0

1

1

0

0

!

"

######

$

%

&&&&&&

=

0

1

1

!

"

###

$

%

&&&

4- Encriptem una paraula m amb el mtode de Verman. La clau privada utilitzada s:

k= 00110011 00010001 01001100 11110000 00001111 01010010 01010101

i el missatge rebut s:

c= 01111110 01010000 01011000 10111000 01001010 00011111 00010100

Quina era la paraula que havem enviat ?

a) m = MATHEMA

b) m = CIENCIA

c) m = PHISICA

La resposta correcta s la A

Per desencriptar el missatge haurem de restar la clau al missatge encriptat (m = c - k). Es

dna la conincidncia que en Z2 la suma i la resta ofereixen el mateix resultat.

c 01111110 01010000 00011000 10111000 01001010 00011111 00010100

k 00110011 00010001 01001100 11110000 00001111 01010010 01010101

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

m 01001101 01000001 01010100 01001000 01000101 01001101 01000001

Seguint el codi ASCII, m=MATHEMA

5-Per p=23 i q=17, quina de les segents opcions s pot considerar una clau pblica?a) (2, 391)

b) (3, 391)

c) (11, 391)


La clau pblica i privada es basen en la relaci factorial de dos nombres primers a partir

dels quals extreiem les claus. Per fer-ho procedim de la segent manera:


4/10


- 4 -

Trobem el valor de n. n = pq = 2317= 391

n =391

Trobem la quantitat de nombres

inversos que hi ha a Z391. Per

fer-ho trobarem el valor de

!(n) .

!(n) = (p!1)(q!1)

!(n) = (23!1)(17!1)

!(n) = 2216

!(n) = 352

El nombre e (clau pblica) ha de

ser un relatiu primer de !(n) ,

s a dir, e no pot compartir cap

divisor amb !(n) .

Lnic nombre que compleix aquesta condici s 3.

El 2 i l'11 comparteixen divisors amb !(n) .

6- Beatriu (e = 677, d = 4413, n = 6319) coneix la clau pblica de David (e = 13, d = 997, n =

1517) i li vol enviar un missatge (m = 131723) de manera que s'asseguri la mxima

autenticitati confidencialitat possible. El missatge enviat ser:

a) 1214

b) 6047

c) 632

La resposta correcta s la C

Una de les premisses que ha de seguir la nostra encriptaci de clau pblica s que

asseguri la mxima autenticitat i confidencialitat. D'aquesta manera obviem la simpleencriptaci del missatge. Tot i que a l'aplicar al missatge la clau pblica d'en David (EeDavid)

ens dna 1214 (resposta A), aquesta opci d'entrada es descarta perqu no segueix cap

dels procediments sobre autenticitat i confidencialitat.

Per fer-ho hem de seguir el procediment enunciat a continuaci. Cal fer constar aqu que la

manera correcta de procedir ens obligaria a trencar el missatge en cadenes ms petites

que (n) per en aquest cas concret no s aix. Aix doncs, l'explicaci presenta el

desenvolupament metodolgic teric tot i que les operacions s'han fet sense trencar el

missatge.

LA SIGNATURA DIGITAL

1. Dividim el missatge en dues cadenes que tinguin una

longitud de n-1. Com que la signatura l'encriptem partir de

la funci de clau privada de l'emissorDdBea, la longitud de

les cadenes en qu trencaremm m ser nBea-1. En el

nostre cas nBea s 6319, de tal manera que m quedaria

dividit en dues cadenes de tres dgits (131 723).

2. Apliquem a cada fragment de codi la clau privada de la

Bea. Les dues cadenes resultants encriptaran el codi un

primer cop, generant la signatura digital (s).

s =DdBea

(m)

s =1317234413

= 5406


5/10


- 5 -

ENCRIPTAR EL MISSATGE

1. Ara caldr encriptar (s) mitjanant la funci de clau

pblica d'en David (EeDavid). Seguint el mateix

procediment, dividirem el codi en cadenes de longitud

n-1, en el nostre cas nDavid t una longitud de 4, aixdoncs (s) s'agrupar en blocs de 3.

2. Apliquem a les cadenes de codi la funci de clau

pblica d'en David (EeDavid) i obtindrem (c).

c = EeDavid

(s)

c = 540613= 632

Tot i que aqu no es demana, en David podr revertir el procs aplicant sobre c primer la seva clau privada i

desprs la clau pblica de la Bea, de tal manera que en un sol enviament obtindr el missatge i l'autencitat de

l'emissor.

7- La taxa de compressi quan saplica el mtode Huffman a la paraula PATATAS s:

a) 0%b) Entre 1% i 15%

c) Ms de 15%


Partim de la premissa que la codificaci de la paraula PATATAS es basa codi binari.

Aquesta paraula consta de 4 carcters diferents, fet que ens permet adjudicar 2 bits a cada

lletra. El total de bits per a tota la paraula codificada ser de 14.

1. Establim la freqncia d'aparici de

cadascuna de les lletres.P!

1

7= 0'142!14'2%

A!3

7= 0'428! 42'8%

T!2

7= 0'285! 28'5%

S!1

7= 0'142!14'2%

2. A partir d'aquest clcul tracem un arbre de

freqencies que ens permetr adjudicar a cada

lletra un codi binari.

A = 0

T = 10

P = 110

S = 111

3. Segons aquesta nova codificaci la paraula

PATATAS es transformaria en la segent

paraula.

110 0 10 0 10 0 111

4. Ara ja podem calcular la taxa de compressi,

que resulta de la diferncia entre el total de bits

sense comprimir el total de bits comprimits

entre els total de bits sense comprimir.

14!13

14=

1

14= 0'071" 7'1%


6/10


- 6 -

8- Hem d'emmagatzemar una imatge monocromtica de 320x280 pxels en una escala

de 256 tons de grisos, aplicant una compressi diferencial obtenint com a diferncia

una srie de nombres compresos entre el -32 i el 31. Quina s la taxa de

compressi?

a) Entre 10 i 15%b) Entre 15% i 25%

c) Ms de 25%


Calculem el nombre de px de la imatge. 320280 = 8960px

Calculem el nombre total de bits que tindr la

imatge sense comprimir. Com que el document

est predeterminat sobre una escala de 256 tons

de grisos, cada pxel tindr una profunditat de 8

bits.

89608= 71680bits

Ens movem en un rang de -32 a 31, fet que

implica que tenim 64 nombres que es poden

codificar en dgits de 6 bits (64 = 26).

Aix doncs, podem arribar a la segent conclusi.

8+89596 = 53762bits

Ara ja podem calcular la taxa de compressi, que

resulta de la diferncia entre el total de bits

sense comprimir el total de bits comprimits entre

els total de bits sense comprimir.

71680!53762

71680= 0'2499" 24'99%


7/10


8/10


- 8 -

3- CODIFIQUEM EL NOSTRE MISSATGE.

m=21 34 37 37 26 43 43 30 26 37 16 46 34 39 45 26 39 26 62 09 26 46 38 30 62 35 47 34 37

37 26 43 43 30 26 37 42 63 46 40 28 64 30 29 46 62 45 26 43 32 30 45 26 62 54 56

3 - ESTABLIM EL VALOR DE LES QUATRE CLAUS.k1 = 04 k2 = 12 k3 = 05 k4 = 08

4 - ENCRIPTEM EL NOSTRE MISSATGE.

Per fer-ho emprem un sistema de clau privada basat en el mtode de Vignere a partir de les

quatre claus establertes en el pas anterior. De manera consecutiva anem sumant les quatre

claus (04120508) a m. Per raons d'espai presentem el procs de codificaci en un document a

part. Aqu tan sols mostrem el codi ja encriptat.

c=25 46 42 45 30 55 48 38 30 49 21 54 39 51 50 34 43 38 02 17 30 58 43 38 01 47 52 42 41

49 31 51 47 42 31 45 46 10 51 48 32 11 35 37 50 09 50 34 47 44 35 53 30 09 59 64 L'encriptaci resultant est formada, a l'igual que m, per 56 paraules.

5 - COMPRIMIM EL NOSTRE MISSATGE.

Tal i com s'especifica en l'enunciat, un cop hem aconseguit la nostra cadena encriptada a partir

del mtode Vignere de quatre claus, hem de procedir a la seva compressi mitjanat el

mtode Huffman.

Per fer-ho el primer que fem s traar un arbre de freqncies, on els dgits s'ordenaran per

nivells de freqncia d'aparici, dels menys freqents a la part superior als ms freqents a la

part inferior.


9/10


- 9 -

El resultat que obtenim s el segent:

paraula freqncia codifaci binria1 30 4 00002 42 3 0001

3 38 3 01014 51 3 01005 50 3 00116 47 3 00107 45 2 011008 46 2 100109 48 2 10011

10 35 2 1010011 34 2 1010112 43 2 1011013 31 2 1011114 45 2 0110015 09 2 1000016 25 1 0110117 55 1 0111018 21 1 0111119 54 1 11000020 39 1 11000121 02 1 1100102 17 1 110011

23 58 1 11011124 01 1 11010125 52 1 11011026 41 1 11011127 10 1 111000

28 32 1 11100129 11 1 11101030 37 1 11101131 44 1 11110032 53 1 11110133 59 1 11111034 64 1 111111

Aix doncs, el nostre missatge comprimit quedar format per un total de 277 dgits:

0110110010000101100000001110100110101000010001011111100001100010100001110101

1011001011100101100110000110100101100101110101001011011000011101111000110111

0100001000011011101100100101110000100100111110011110101010011101100111000000

1110101001011110010100111101000010000111110111111

6- CALCULEM LA TAXA DE COMPRESSI.

Per calcular la taxa de compressi hem d'obtenir dues dades:

1. en primer lloc el nombre dgits en codificaci binria que obtenim amb el missatge

encriptat.

2. en un segon lloc el nombre de dgits en codificaci binria que obtenim amb el

missatge comprimit.


10/10


- 10 -

En el nostre cas, aquestes dades es concreten de la segent manera:

el nostre missatge encriptat consta de 34 carcters que presenten diferents freqncies

d'aparici, obtenint un total de 56 carcters. Una codificaci binria amb paraules de 5

dgits no ens resultaria vlida perqu 25=32, fet que tan sols ens permetria codificar fins

a 32 carcters diferents. Aix vol dir que cada carcter estar format per una paraulade 6 dgits (2

6=64). [56*6 = 336 dgits]

el nostre missatge comprimit consta de 277 dgits.

Ara ja podem calcular la nostra taxa de compressi:

taxa de compressi =336!277

336=

59

336" 0'175#17'5%

Documents

MATES II PAC1 Villarreal Quintana Jaume