Upload
ubaida-attieh
View
225
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
1/92
WOUŽ bL× Æ√ ©ÎUIM® bF 5D Æœ `U .dJ« b³Ž Æ√ q³I bL× Æ√
ÊuHR*«
U?O{U?|d?«
ÍuU« ‰Ë_« nBKwbMH«Ë Í—U−²«Ë WO½U½ù« ÂuKF«
5DK W˜
wUF« rOKF«Ë WOd« …—«“Ë
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
2/92
5DK WËœ w wUF« rOKF²«Ë WOÐd²« …—«“Ë —dÂ≤∞∞∂Ø≤∞∞µ wÝ«—b« ÂUF« s Ϋ¡bÐ UNÝ—«b w Íu½U¦« ‰Ë_« nBK UO{U¹d« »U² f¹—bð
U????????O{U¹d« ÃUNM* wMÞu« o¹dH« —U??H« “UMNý jO³{ ”UO« Æœ åÎUIMò bF 5D Æœ
d??ÐUł U½UO WH?OKš wKŽ Æœ bLŠ qOKš wKŽ p???A qz«Ë q??³I bL× Ê«bLŠ bL× Æœ
UdÐ bz«— ∫Í—«œ≈ ·«d?ý≈
ÍËUL× ‰UL ∫WŽU³DK VÝu;« œ«bŽù« »u³Š rÝUÐ w½U√ ∫r?OL?Bð
w¹b« Í“u ÊUNLÝ« ∫bO????CMð ÍËUL× ‰UL ∫ ·öG« rOLBð
Z¼UM*« e?d hL(«uÐ√ dLŽÆœ ∫ ÍuÐdð ·«dý≈
WOMH« …dz«b«
ÂUF« ·«d?ýù« hL(« uÐ√ rOF½ Æœ ∫Z¼UM*« W?M' fOz—
5ÝU¹ Õö Æœ ∫Z¼UM*« ed ÂUŽ d¹b
W×IM*« WM« ¡«dŁ≈ o¹d
…bFÝ uÐ√ qOLł Æ√ ∫ÂUŽ ·«d?ý≈
œU¹“ uÐ√ s1√ Æ√ åÎUIMò …dŽUOÝ bLŠ√ Æ√ `U b× ÆœW½U³ý fO Æ√ wUF qOLł Æ√ `U U½— Æ√
W×IM*« WO³¹d−²« WF³D«
?¼ ±¥≥µØ  ≤∞±¥Z¼UM*« edØwUF« rOKF²«Ë WOÐd²« …—«“u WþuH× l?³D« ‚uIŠ lOLł
WM¹b*« ed WNł s 5LO« vKŽ Ÿ—Uý ‰Ë√ ≠ b¼UF*« Ÿ—Uý ≠ ÊuOB*« wŠ ≠ Z¼UM*« ed5DK ≠ tK« «— ≠ ∑±π »Æ ’
´π∑∞≠≤≠≤π∂π≥∑∑ ∫fU ̈ ́ π∑∞≠≤≠≤π∂π≥µ∞ ∫ÊuHKð[email protected]
∫w½Ëd²Jô« b¹d³« ≠www.pcdc.edu.ps
∫WO½Ëd²Jô« W×HB«
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
3/92
r?|bI
UŠuLÞ oOIײ ªWOMODKH« WOuB)« wŽ«d¹ ÃUNM l{Ë …—Ëd{ wUF« rOKF²«Ë WOÐd²« …—«“Ë √— WOMÞu« …œUO« ¡UM³ ÎU
Ò LN ÎUÝUÝ√ bF¹ wMODK ÃUNM ¡UMÐ Ê≈ Æ»uFA« 5Ð t½UJ cšQ¹ v²Š wMODKH« VFA«
W«b²*« W¹dA³« œ—«u*« WOLMð …«œ√Ë ¨w½U½≈ oŠu¼Ë ¨WOÞ«du1b«Ë rOI« aOÝd² ÎUÝUÝ√Ë wMODKH« VFAKÆ…—«“uK WOL)« WD)« ∆œU³ UN²Ý— w²«
…—«“u« wuð «c ªlL²−*« ·«b¼√ oIײð UNöš s w²« rOKF²K WOzd« WKOÝu« t½√ w ÃUNM*« WOL¼√ sLJðË ¨VUD«Ë rKF*« bOÐ vË_« …«œ_«Ë ¨rKF²K jOÝu« —bB*« t½_ ªÃUNM*« dUMŽ bŠ√ ¨wÝ—b*« »U²JUÐ WUš W¹UMŽ jzUÝu« s U¼dOžË ÍdÝ_« rKF²«Ë WOK;« WUI¦«Ë »uÝU(«Ë X½d²½ù« ∫rKF²« qzUÝË s ÁdOž v≈ WU{≈
Æ…bŽU*« V²J ¨wMODKH« Z¼UMLK UN²Dš s WÝœU« WKŠd*« oO³Dð ©≤∞∞∂Ø≤∞∞µ® ÂUF« «c¼ …—«“u« d√ d¹uDð v≈ WU{ùUÐ ¨wMI²«Ë wMN*«Ë WO½U½ô« ÂuKF«Ë wLKF« tŽËdHÐ ©dAŽ ÍœU(« ® Íu½U¦« ‰Ë_« nB«
UNÐË ¨ÂœUI« ÂUF« w ©±≤®Íu½U¦« w½U¦« nB« ÃUNM V² UNF³²OÝË ¨©±∞≠±® WOÝUÝ_« WKŠd*« V² iFÐ ¨©±≤≠±® ·uHBK ÂUF« rOKF²K WOÝ—b*« V²J« lOLł œ«bŽ« XKL« b wUF« rOKF²«Ë WOÐd²« …—«“Ë ÊuJð WO1uIð UÝ«—œ qLŽË w½Ëd²Jô« rOKF²«Ë UJ³A« ‰U− w WO²×²« WOM³« lOÝuð vKŽ ÎUOUŠ …—«“u« qLFðË WOŽu½ 5%Ë ÍuÐd²« d¹uD²« WK«u* ¨©ÎU¹œuLŽË ÎUOI√® YŠU³*« lOLł w ¨Àö¦« qŠ«d*« Z¼UM* tOKOK%Ë
ÆwMODKH« rOKF²« Î̈UÐU² ∞µ≥ »—UI¹ U¼œbŽË ¨Êü« v²Š dAŽ bŠ_« ·uHBK e$√ w²« rKF*« Wœ√Ë WOÝ—b*« V²J« bFðË ªwIDMË qNÝ »uKÝQÐ X{d Ô Ž UuKFË ·—UF s tOKŽ qL²Að U0 ¨rKF²«Ë rOKF²« WOKLŽ w WOÝUÝ√ …eO— VOUÝ√Ë WDA½_«Ë qzUÝu«Ë ¨f¹—b²« oz«dDÐ qB²ð ¨W×{«Ë «dýR sLC²ð ¨WŽuM² «d³š dOu²
ÆÁöŽ√ …—uc*« WOL)« WD)« ∆œU³ l ¡ö²ðË ¨.uI²« ÊuuI¹ s¹c« ULKF*«Ë 5LKF*«Ë 5¹uÐd²« W—UA0 ÎUÒ ¹uMÝ U¼ƒ«dŁ ≈Ë UN×OIMðË V²J « WFł«d r²ðË Â¡ö²ð w ªd¹uD²«Ë q¹bF²K WKÐU WO³¹d& UF³Þ WFЫd« v« vË_« s UF³D« …—«“u« ÈdðË ¨UN¹—b²Ð —«bI0 œ«œeð wMODKH« wÝ—b*« »U²J« WLO Ê≈ Æ…UO(« «—UNË włuuMJ²«Ë wLKF« ÂbI²« w «dOG²« l s¹c« ¨WOÝ—b*« V²J« œ«bŽ≈ ‰U− w 5BB²*« s sJ2 œbŽ d³√ W—UA sË œuNł s tO ‰c³ð U Z¼UM*« ed UNÝ— WO−NM0 ¨WFł«d*« s WFÝ«u« UOKLF« ‰öš s ¨rOKF²« w ÎUÒ ¹d¼uł ΫdOOGð ÊuŁb×¹
ÆÁbOŠuð vKŽ qLF¹ Íc« sÞu« wdÞ w ëdšù«Ë n OQ²« wU− w ULEM*«Ë UÝR*« v≈ d¹bI²«Ë dJA« q¹e−Ð ÂbI²ð Ê√ ô≈ UNF¹ô wUF« rOKF²«Ë WOÐd²« …—«“Ë Ê≈
ÆZ¼UM*« ŸËdA* wU*« UNLŽb ªUJO−KÐ WuJŠ WUÐË WI¹bB«Ë WOÐdF« ‰Ëb«Ë ¨WOËb«
s w¹—U²« wMÞu« qLF« «c¼ “U$≈ w X—Uý w²« ¨WOMÞu« W¹uÐd²« «¡UHJUÐ dH² …—«“u« Ê√ UL VŠ y q ̈ …eOL*« r¼œuN−Ð rN²—UA vKŽ r¼dJAðË ̈ WOÝ—b*« V²J« œ«bŽSÐ ÂuIð w²« ̈ W¹uÐd²« ÊU−K« ‰öš ¨qLF« Uý—uÐ 5—UA*«Ë ¨s¹—d;«Ë ¨5HR*«Ë ¨—«dù«Ë ¨Z¼UM*«edË ¨W¹—«“u« Z¼UM*« ÊU' qLAðË ¨tFu ÆoO³D²« ¡UMŁ√ Ê«bO*« s WOÝ—b*« V²J« ¡«dŁ≈ w 5—UA*«Ë ̈ 5FÐUD«Ë ̈ 5Fł«d*«Ë ̈ 5UÝd«Ë ̈ 5LLB*«Ë
wUF« rOKF²«Ë WOÐd²« …—«“Ë
Z¼UM*« e?d
WOLKF« YŠU³LK WUF« …—«œù«
 ≤∞±∞ ÊU???O½
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
4/92
WbI
¨bFÐË 5*UF« »— tK bL(« UO{U¹d« »U² s ‰Ë_« ¡e'« W³KD« UMzUMÐ_Ë ULKF*«Ë 5LKF*« UMzöe ÂbI½ Ê√ U½d¹ Y׳* WbF*« WC¹dF« ◊uD)« oË wbMË Í—U&Ë WO½U½≈ ÂuKŽ ØÍu½U¦« ‰Ë_« nBK
ƉË_« wMODKH« ÃUNM*« WDš sL{ UO{U¹d« ¨‰UL²Šù«Ë ¡UBŠù«Ë ¨öK²*«Ë UOU²²*« ∫w¼ «bŠË ÀöŁ vKŽ ¡e'« «c¼ qL²ý« bI
ÆWOU*« UO{U¹d«Ë
tłuÐ WOU²²*« ÂuNH .bI² ◊U/_« UMb²Ý« ©öK²*«Ë UOU²²*«® vË_« …bŠu« wHÆWOÝbMN«Ë WOÐU(« öK²*«Ë UOU²²*« vKŽ eOd²« -Ë ÂUŽ
Í—UOF*« ·«d×½ù«Ë wÐU(« jÝuK WFł«d UMb ©‰UL²Šù«Ë ¡UBŠù«® WO½U¦« …bŠu« wË ◊ËdA*« ‰UL²Šù«Ë wFO³D« vM×M*«Ë W¹—UOF*« UöF« vKŽ eOd²« -Ë ̈ tMO½«uË ‰UL²Šù«Ë
ÆWze−²« W¹dE½Ë eOd²« -Ë WOD)« UM¹U³²*« WLE½_ WFł«d UMb ©WOU*« UO{U¹d«® W¦U¦« …bŠu« wË ÊË—bI¹ rNKF&Ë W³KD« WUIŁ s b¹eð WOKLŽ UIO³D² W¹œUF« UFb«Ë WOD)« W−d³« vKŽ
ÆUO{U¹dK WOHOþu« V½«u'« WO{U¹d« rO¼UH*« .bIð qONð vKŽ UMdŠ bI ¨—dI*« Èu²;« ÷dŽ WI¹dÞ YOŠ s U√ ◊U/_«Ë WO×O{u²« WK¦_UÐ ¡UH²ù«Ë ¨WIOb« WO{U¹d« 5¼«d³«Ë n¹—UF²« v≈ ¡u−K« ÂbŽË ‚ËdH«Ë Y׳LK …—dI*« hB(« œbŽ —U³²Žù« 5FÐ s¹cš¬ ¨qzU*«Ë s¹—UL²« s VÝUM*« œbF«Ë
ÆWOK³I²*« rNðUłUO²Š«Ë ¨W³KD« W¹œdH« lOLł s ULKFË 5LKFË ¨UdAË 5dA¨Ê«bO*« w ¡öe« qJ q¹e'« dJA« ÂbI½ w bIŽ w²« qLF« Wý—Ë w rN²—UA ‰öš s »U²J« ¡«dŁ≈ w «u—Uý s¹c«Ë UEU;«
»U²J« Èu²Ë W³KD« W×KB tO U* ö¹bF²«Ë UŠ«d²ô« .bIðË ¨tK« «dÐ Z¼UM*«ed oO³D²« l{u »U²J« l{Ë bFÐ UŠ«d²ô«Ë UEŠö*« s b¹e*« vIK²½ Ê√ UMdŠ vKŽ s¹bRÆtK« ¡Uý Ê≈ WOMODKH« UMÝ—«b w
oOu²« wË tK«Ë
ÊuHR*«
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
5/92
≤ öK²*«Ë UOU²²*«≥ ©UFÐU²²*«® UOU²²*« ± ≠ ±
∑ öK²*« ≤ ≠ ±π WOÐU(« UOU²²*« ≥ ≠ ±±≥ WOÐU(« WKK²*« ŸuL− ¥ ≠ ±±∑ WOÝbMN « UOU²²*« µ ≠ ±≤∞ WOÝbMN« WKK²*« ŸuL− ∂ ≠ ±≤≥ WUŽ s¹—U9
U???¹u??²;«
v ? Ë
_ « … b u
«
µ∑ WOU*« UO{U¹d«µ∏ s¹dOG²Ë dOG²0 vË_« Wł—b« s UM¹U³²*« ± ≠ ≥∂≥ WOD)« W−d³« ≠ WOKLŽ UIO³Dð ≤ ≠ ≥∑∞ UFb« ≥ ≠ ≥
W O U « … b u «
≤¥ ‰UL²Šù«Ë ¡UBŠù«
≤µ W¹—UOF*« WöF« ± ≠ ≤≥≤ ‰b²F*« wFO³D« vM×M*« ≤ ≠ ≤¥≤ tMO½«uË ‰UL²Šô« ÂuNH WFł«d ≥ ≠ ≤¥µ ◊ËdA*« ‰UL²Šô« ¥ ≠ ≤ ¥π Wze−²« W¹dE½ µ ≠ ≤µ≤ WKI²*« Àœ«u(« ∂ ≠ ≤µ∂ WUŽ s¹—U9
W U « … b u «
∏∞ WUŽ WFł«d∏≤ Í—UOF*« wFO³D« vM×M*« X% WŠU*« ©±® o×K∏≥ …bŠu« UNM q —«bI UFb WOK³I²*« WLOI« ©≤® o×K
∏¥ …bŠu« UNM q —«bI UFb WOU(« WLOI« ©≥® o×K∏µ WOLKF« W³ÝU(« Wü« «b²Ý« ©¥® o×K∏∂ lł«d*«
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
6/92
≤
±±b Šu «…b???Šu«
öK²*«Ë UOU²²*«
equen es
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
7/92
≥
∫q¦ œ«bŽ_« s ◊UL½√ ‰«uŠ_« s Ì dO¦ w UMNł«uðÆ Æ Æ ¨ ∏ ¨ ∂ ¨ ¥ ¨ ≤ √Æ Æ Æ ¨ ±µ ¨
±¥ ¨
±≥ ¨
±≤ »
Æ Æ Æ ¨ ∞,± ¨ ± ¨ ±∞ ¨ ±∞∞ ?łÆ Æ Æ¨ ∞ ¨ µ ¨ ±∞ ¨ ±µ œ
wH t WOÝUÝ√ WH b׫ VOðdðË ¨Î «bŠ UNO œbŽ q wL½Ë ¨©WFÐU²²® WOU²² ◊UL½_« Ác¼ s Î ö wL½
w½U¦« b׫ u¼ ¥ œbF« Ê√Ë ¨ ±Õ edUÐ t ed½Ë WOU²²L« w ‰Ë_« b׫ u¼ ≤ œbF« Ê√ kŠö½ oÐU« ©√® ‰U¦L« Æ Æ Æ «cJ¼Ë ≤Õ edUÐ t ed½Ë UNOø©»® ‰U¦L« w ±¥ œbF« VOðdð U
ø©?ł® ‰U¦L« w ¥Õ WLO U œËb׫ s bŠ Í√ WÐU²JÐ —«dL²Ýô« lOD²½ YO×Ð œËb׫ tÐ VUF²ð Î UUš Î UDL½ Ë√ Î UI½ „UM¼ Ê√ kŠö½ UL
Æ Æ Æ «cJ¼Ë ±≤ u¼ ©√® ‰U¦L« w ∂Õ Ë ¨µ≠ u¼ ©œ® ‰U¦L« w µÕ Î ö¦L ¨…bŠ«u« WOU²²L« w ¡UA½
ø©?ł® ‰U¦L« w µÕ WLO Uø«–UL ø©»® ‰U¦L« w WOU²²L« œËbŠ bŠ√ ±±∞ œbF« q¼
∫ÂUŽ tłuÐÆWMOF …bŽU Ë√ jL½ oË œ«bŽ_« s VOðdð w¼ WOU²²L«
∫©±® ‰U¦
ÊuJ² Æ—UM¹œ ±∞∞ U¼—b W¹uMÝ …ËöŽ vDF¹ Ê√ vKŽ —UM¹œ ¥∞∞∞ Á—b ÍuMÝ Vð«dÐ qLFK nþu bUF𠨥≤∞∞ ¨ ¥±∞∞ ¨ ¥∞∞∞∫w¼ tKLŽ s vË_« X« «uM« w ÍuM« nþuL« Vð«— WOU²²
”œU« U¼bŠË ¨ ¥±∞∞ Ω w½U¦« b×«Ë ¨ ¥∞∞∞ Ω WOU²²L« w ‰Ë_« b׫ Æ¥µ∞∞ ¨ ¥¥∞∞ ¨¥≥∞∞ Æ¥µ∞∞ Ω
Sequences ©UFÐU²²*«® UOU²²*« ±≠±
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
8/92
¥
General Term ∫WOU²²LK ÂUF« b(« Í√ WdF lOD²½ YO×Ð WMOF …bŽU Ë√ jL½ oË œËb׫ Ác¼ ÊuJð Í√ ÂUE²½UÐ WOU²²L« œËbŠ v«u²ð ¨ÂUŽ tłuÐ b׫ Ë√ w½uM« b׫ vL¹ ¨Vłu `O× œbŽ Ê YOŠ¨Ê t³Oðdð Íc« b׫ Æb׫ VOðdð ·dŽ «–≈ WOU²²L« w bŠ
Æ ÊÕ edUÐ t ed¹Ë WOU²²LK ÂUF«
±¥ Ω ∑ x ≤ u¼ lÐU« b×«Ë ¨ ∏ Ω¥ x ≤ u¼ lЫd« b׫ ÊuJ¹ ÆÆÆ ¨ ∏ ¨ ∂ ̈ ¥ ¨ ≤∫WOU²²L« w ∫©≥® ‰U¦
ÆÊ≤ Ω ÊÕ u¼ ÂUF« b׫ Ê√ Í√ÆÊ≤ Ω Ê x ≤ u¼ w½uM« b׫Ë
∫©≤® ‰U¦q¼ WdF W³KD« bŠ√ b¹d¹Ë ¨ ©d¹UM¹® w½U¦« Êu½U dNý s w½U¦« Â≤∞∞µ ÂUŽ w vË_« WFL−« Âu¹ o«Ë
ÂU¹_ WKÐUIL« dNA« ÂU¹√ VOðd²Ð VUD« ÂU ÆÎ UC¹√ WFLł Âu¹ tH½ dNA« s ÊËdAF«Ë sU¦« Âu¹ ÊuJ¹
∫wK¹ UL WFL−«
a¹—U²« Ê√ Z²M²ÝU ≥∞ ¨ ≤≥ ¨ ±∂ ̈ π ¨ ≤ ∫WOU²²L« œËbŠ s Î «bŠ sJ¹ r ≤∏ œbF« Ê√ VUD« błË ÆsOuOÐ WU« WFL−« o³¹ t½_ ¡UFЗ√ Âu¹ o«u¹ UL½≈Ë ¨WFLł Âu¹ o«u¹ ô —ucL«
WFL−«vË_«WO½U¦«W¦U¦«WFЫd«WU«
ÂuO« a¹—Uð≤π±∂≤≥≥∞
≥ ´ Ê≤ Ω ÊÕ ÂUF« U¼bŠ w²« WOU²²L« V²√ ∫©µ® ‰U¦
ÂUF« b׫ Êu½U w ÆÆÆ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± ∫ Ê rO ÷uF½ ÆÆÆ ¨ ≥Õ ¨ ≤Õ ¨±Õ WOU²²L« œËbŠ vKŽ ‰uB×K∑ Ω ≥ ´ ≤ x ≤ Ω≤Õ µ Ω ≥ ´ ± x ≤ Ω±Õ
π Ω ≥ ´ ≥ x ≤ Ω≥Õ ÆÆÆÆ ¨ π ¨ ∑ ¨ µ ∫w¼ WOU²²L« ÊuJðË
ÆUNO sU¦« b׫ V²« rŁ ÆÆÆ ¨ ±∂ ¨ π ¨ ¥ ¨ ± ∫WOU²²LK ÂUF« b׫ V²√ ∫©¥® ‰U¦
ÆÆÆÆ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± œ«bŽ_« UFÐd sŽ …—U³Ž UN½√ kŠöð ¨WOU²²L« œËbŠ v« dEMUÐ∂¥ Ω ≤∏ Ω ∏Õ ÊuJ¹Ë ≤Ê Ω ÊÕ WOU²²LK ÂUF« b׫ ÊuJO
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
9/92
µ
ÊÕ ≥ ´ ≤ Ω ±´ÊÕ ¨ ± Ω ±Õ ‰Ë_« U¼bŠ WOU²² ∫©∂® ‰U¦ÆtI³¹ Íc« b×UÐ bŠ Í√ WöŽ ULKJUÐ n √
ÆWOU²²L« s vË_« WFЗ_« œËb׫ V²√ »
ULKJUÐ ‰uIðË ¨…dýU³ t oÐU« b×«Ë bŠ q sOÐ WöF« `{uð ÊÕ ≥ ´ ≤ Ω ±´ÊÕ …bŽUI« √ Æ…dýU³ t oÐU« b׫ ‰U¦√ WŁöŁ tO≈ Î UUC ≤ œbF« ÍËU¹ WOU²²L« w bŠ Í√ Ê≈
∫«cJ¼ ¥Õ ¨ ≥Õ ¨ ≤Õ ∫œËb׫ b−½ ≥ ¨ ≤ ¨ ±∫rOIUÐ Ê i¹uFðË …bŽUI« Ác¼ oO³D²Ð » µ Ω ± x ≥ ´ ≤ Ω ±Õ ≥ ´ ≤ Ω ≤Õ ¨ ± Ω Ê UbMŽ
±∑ Ω µ x ≥ ´ ≤ Ω ≤Õ ≥ ´ ≤ Ω ≥Õ ¨ ≤ Ω Ê UbMŽ
µ≥ Ω±∑x
≥ ´ ≤ Ω ≥Õ ≥´≤ Ω ¥Õ ¨ ≥ Ω Ê UbMŽ
ÆÆÆ ¨ ©± ´ ≤∑® ¨ ©± ´ π® ¨ ©± ´ ≥® ∫WOU²²LK ÂUF« b׫ V²√ ∫©∑® ‰U¦
∫Ê√ kŠö½
± ´ ±≥ Ω ± ´ ≥ Ω ±Õ ± ´ ≤≥ Ω ± ´ π Ω ≤Õ ± ´ ≥≥ Ω ± ´ ≤∑ Ω ≥Õ ÆÆÆ
Æ ± ´ Ê≥ Ω ÊÕ Ê–≈
∫WEŠö∫WOË_« œ«bŽ_« WOU²² w¼Ë …—uNAL« WOU²²L« q¦ WËdF …bŽUI lCð ô UOU²²L« iFÐ
ÆÆÆ ¨ ±± ¨ ∑ ¨ µ ¨ ≥ ¨ ≤
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
10/92
∂
©± ≠ ±® qzU?Ë s¹—U9
∫WOU²« UOU²²L« s vË_« WL« œËb׫ V²√ ±
± ≠ Ê≥ Ω ÊÕ √
± ´ ≤Ê Ω ÊÕ » ≤©± ´ Ê® Ω ÊÕ ?ł
µ ´ Ê Õ Ω ±´ÊÕ ¨ ≥ Ω ±Õ œ
∫WOU²« UOU²²LK ÂUF« b׫ V²√ ≤
ÆÆÆ ¨±µ ¨
±¥ ¨
±≥ ¨
±≤
√
ÆÆÆ ¨ ∂¥ ¨ ≤∑ ¨ ∏ ¨ ± » ÆÆÆ ¨ ∑ ¨ ∑ ¨ ∑ ¨ ∑ ?ł
ÆÆÆ ¨ ¥±¥ ¨≥
±≥ ¨≤
±≤ ¨±
±± œ
∫s Î ö błË√ Æ ≤Ê Ω Ê„ ÂUF« U¼bŠ Èdš√ WOU²²Ë ¨±µ ´ Ê≤ ΩÊÕ ÂUF« U¼bŠ WOU²² ≥
≥Õ
√
¥„ » øsO²OU²²L« w UNH½ WLOI« t Íc« b׫ u¼ U ?ł
∫wU{≈ ◊UA½
ÆÆÆ ̈ πππ ̈ ππ ̈ π ∫WOU²²LK ÂUF« b׫ V²√ ±
ÆWOU²« WŁö¦« œËb׫ V²√ rŁ ÆÆÆ ¨ ∏ ̈ µ ¨ ≥ ̈ ≤ ¨ ± ̈ ± ∫ WOU²²L« w jLM« nA²« ≤
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
11/92
∑
±∞ x µ ´ ÆÆÆ ´ ≥ x µ ´ ≤ x µ ´ ± x µ ∫WKK²L« WÐU²J ed« Âb²Ý« ∫©±® ‰U¦
©±∞ ´ ÆÆÆ ´ ≥ ´ ≤ ´ ± ® x µ qJAUÐ WK²L« WÐU² sJL¹
— ±∞
±Ω— µ w¼ WKK²L« Ê√ Í√
— µ ±∞
±Ω—
∫UN WI«dL« WKK²L« ÊuJð ±≠ Ê≤ Ω ÊÕ ÂUF« U¼bŠ w²« µ± ¨ ÆÆÆ ¨ µ ¨ ≥ ¨ ± WOU²²L« Ë
Æ©±≠—≤®≤∂
±Ω— …—uB« vKŽ V²JðË µ±´ Æ Æ Æ Æ ´ µ ´ ≥ ´±
å¨ò …—Uýù« U¼œËbŠ sOÐ qBH¹Ë WMOF …bŽU Ë√ jL½ oË œ«bŽ_« s VOðdð w¼ WOU²²L« Ê√ o³Ý ULO UMdŽ
WOU²² ÆÆÆ ̈ ∏ ¨ µ ¨ ≤ ∫Î ö¦L WKK² vLð WOU²²L« ÊS å´ò lL−« …—UýSÐ å¨ ò …—Uý≈ UMb³²Ý« «–≈ sJË∫WKK²L« UNI«dð ÆÆÆ ¨ ∏± ¨ ≤∑ ¨ π ¨ ≥ WOU²²L«Ë ÆWKK² vL² ÆÆÆ ´ ∏ ´ µ ´ ≤ ∫ …—uB« U√ ÆÆÆ ´ ∏± ´ ≤∑ ´ π ´ ≥
ÆŸuL−L« e— vKŽ ‰b¹Ë ̈ ©UL−OÝ √dI¹Ë® ’U« ed« «b²Ý« sJL¹ …dB² …—uBÐ öK²L« WÐU²J ∫…—uB« vKŽ UN³²J½ ≥≤ ´ ±∂ ´ ∏ ´ ¥ ´ ≤ ∫WKK²L« Î ö¦L
—≤
µ Ω—
±Ω— Ωµ≤ ´ ¥≤ ´ ≥≤ ´ ≤≤ ´ ±≤
WLO dš¬ v≈ ± w¼Ë WLO ‰Ë√ s dOG²¹ — ”_« UMKFłË ŸuL−L« e— ÂU√ —≤ ÂUF« b׫ UM³² UM½√ kŠôÆ…d q w ± …œU¹eÐ µ w¼Ë
ø©µ ´ —≤®¥
±Ω— ∫WKK²L« ŸuL− U ∫©≤® ‰U¦
ÂUF« b׫ w ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± ∫— rO ÷uF½ ¨WKK²L« œËbŠ WÐU²J©µ ´ ¥ x ≤® ´ ©µ ´ ≥ x ≤ ®´ ©µ´ ≤ x ≤® ´ ©µ ´ ± x ≤® Ω WKK²L« „uJH
¥∞ Ω ±≥ ´ ±± ´ π ´ ∑ Ω WKK²L« ŸuL− ÊS tOKŽË
Series öK²*« ≤≠±
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
12/92
∏
∫WOU²« öK²L« s q „uJH błË√ ±
©± ´ —≤® µ±Ω— √
±„
≥
±Ω„ »
—©±≠®∂
±Ω— ?ł
∫WOU²« öK²L« sŽ dO³F²K ed« Âb²Ý« ≤
XÐUŁ  ¨ ±∞ ´ Æ Æ Æ ´ Â≥ ´ Â≤ ´  √ ≥
≤∞ ´ Æ Æ Æ ´≥≥ ´
≥≤ ´
≥± »
∏∞ ´ Æ Æ Æ ´ ≤¥ ´ ±∂ ´ ∏ ?ł
≤© —≥
±Ω— ® Ω≥—
≥
±Ω— Ê√ s oI×ð ≥
∫WOðü« öK²L« s q ŸuL− błË√ ¥
©≤— ´ —®¥
±Ω— √
∑∂
±Ω— »
©≤ ≠ ±® qzU?Ë s¹—U9
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
13/92
π
∫wK¹ ULO U¼dOž s WOÐU׫ UOU²²L« e Ò O ∫©±® ‰U¦±
≤∞ ¨ Æ Æ Æ ¨±≥ ¨
±≤ ¨ ± ≤ Æ Æ Æ ¨ π¨ ∑ ¨ µ ¨ ≥ ±
≤Ê Ω ÊÕ ÂUF« U¼bŠ w²« WOU²²L« ¥ WOË_« œ«bŽ_« WOU²² ≥
≤ Ω XÐUŁ —«bI tIÐUÝ Ë bŠ q sOÐ ‚dH« Ê_ WOÐUŠ Æ Æ Æ ¨ π ¨ ∑ ¨ µ ¨ ≥ WOU²²L« ±
∫ Î ö¦L Î U²ÐUŁ fO tIÐUÝË bŠ q sOÐ ‚dH« Ê_ WOÐUŠ XO ±≤∞ ¨ Æ Æ Æ ¨ ±≥ ¨ ±≤ ¨ ± WOU²²L« ≤ ±∂ ≠ Ω
±≤ ≠
±≥ ULMOÐ ¨
±≤ ≠ Ω ± ≠
±≤
∫Î ö¦L Î U²ÐUŁ fO tIÐUÝË bŠ q sOÐ ‚dH« Ê_ WOÐUŠ XO ÆÆÆ ¨ ∑ ¨ µ ¨ ≥ ¨ ≤ ∫WOË_« œ«bŽ_« WOU²² ≥Æ ≤ Ω ≥ ≠ µ ULMOШ ± Ω ≤ ≠ ≥
µ Ω ¥ ≠ π ULMOÐ ¨≥ Ω ± ≠ ¥ Ê_ WOÐUŠ XO wN ÆÆÆ ¨ ±∂ ¨ π ¨ ¥ ¨ ± ∫ w¼ WOU²²L« ¥
Î «—UM¹œ ∑µ ¨ÁdH×¹ d² ‰Ë√ sŽ Î «—UM¹œ µ∞ Á—b Î UGK³ v{UI²¹ Ê√ vKŽ—U²√ ∂ UNILŽ Î «d¾Ð dH×¹ Ê√ ‰ËUI oHð«
Æ«cJ¼Ë Æ Æ Æ YU¦« d²L« sŽ —UM¹œ ±∞∞ ¨w½U¦« d²L« sŽÆtK d¾³« dHŠ tHKJ¹ rË ¨d¾³« s ”œU« d²L« dHŠ tHKJ¹ r WdF d¾³« VŠU b¹d¹ …œU¹“ u¼Ë tH½ oÐU« jLM« Î Ub² ÁdH×¹ d² q sŽ ‰ËUILK UNFbOÝ w²« …dł_« d¾³« VŠU V²
Ʊ∑µ ¨ ±µ∞ ¨ ±≤µ ¨ ±∞∞ ¨ ∑µ ¨ µ∞ ∫WOU²²L« V²J ¨ Î «—UM¹œ ≤µ U¼—b WLE²M ∫w¼ UNK d¾³« dHŠ nOUJð Ê√Ë ¨Î «—UM¹œ ±∑µ tHKJ¹ ”œU« d²L« Ê√ d¾³« VŠU Z²M²Ý«
ÆÎ «—UM¹œ ∂∑µ Ω ±∑µ ´ ±µ∞ ´ ±≤µ ´ ±∞∞ ´ ∑µ ´ µ∞
oÐU« b×«Ë bŠ q sOÐ ‚dH« Ê_ WOÐUŠ WOU²² ±∑µ ¨ ±µ∞ ¨ ±≤µ ¨ ±∞∞ ¨ ∑µ ¨ µ∞ ∫WOU²²L« vLð Æ Æ Æ ¨ ±¥ ¨ ±∂ ¨ ±∏ ¨ ≤∞ ∫tH½ V³K WOÐUŠ UOU²²L Èdš√ WK¦√ Ác¼Ë Æ Î ULz«œ XÐUŁ —«bI …dýU³ t
Æ Æ Æ ¨ ± ≥¥ ¨ ±±¥ ¨
≥ ¥ ¨
±¥
∫n¹dFðÆÎ U²ÐUŁ Î «—«bI …dýU³ t oÐU« b×«Ë bŠ q sOÐ ‚dH« UNO ÊuJ¹ w²« WOU²²L« w¼ WOÐU׫ WOU²²L«
Æ œ edUÐ Î …œUŽ t ed¹Ë ¨WOU²²L« ”UÝ√ XÐU¦« —«bIL« vL¹
Arithmetic Sequences WOÐU(« UOU²²*« ≥≠±
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
14/92
±∞
∫błË√ ÆÆÆ ¨ ±≥ ¨ ∑ ¨ ± ∫WOÐU׫ WOU²²L« w ∫©≥® ‰U¦øWOU²²L« œËbŠ bŠ√ u¼ ±≤≥ œbF« q¼ ≤ ±∞Õ ±
∂ Ω ± ≠ ∑ Ω œ ”UÝ_« ¨ ± Ω √ ‰Ë_« b׫µµ Ω ∂ x π ´ ± Ω œπ ´ √ Ω
±∞
Õ ±
WÐU²JÐ oI×ð Ƶ UNÝUÝ√Ë ≤ ‰Ë_« U¼bŠ w²« WOÐU׫ WOU²²L« w ”œU« b׫ błË√ ∫©≤® ‰U¦ÆWOU²²L« s vË_« W²« œËb׫
µ Ω œ ¨ ≤ Ω √ œ©± ≠ Ê® ´ √ Ω ÊÕ
µ x ©±≠∂® ´≤Ω∂Õ ≤∑ Ω µ x µ ´ ≤Ω ∂Õ
≤∑ ¨≤≤ ¨ ±∑ ¨ ±≤ ̈ ∑ ¨ ≤ w¼ WOU²²L« ∫oIײ«
ÆW×O× W−O²M« ¨≤∑ Ω ”œU« b׫
∫WOÐU(« WOU²²LK ÂUF« b(«∫wU²« jLM« kŠö½Ë ¥ UNÝUÝ√ w²« ≤∑ ¨ ≤≥ ¨ ±π ¨ ±µ ¨ ±± ¨ ∑ ¨ ≥ ∫WOÐU׫ WOU²²L« cšQM
≥ Ω ±Õ ‰Ë_« b׫
¥x
©± ≠ ≤® ́ ≥ Ω ¥x
± ´ ≥ Ω ∑ Ω ≤Õ w½U¦« b׫¥ x ©± ≠ ≥® ́ ≥ Ω ¥ x ≤ ´ ≥ Ω±± Ω ≥Õ YU¦« b׫
Æ Æ Æ Æ
¥ x ©± ≠ ∑® ́ ≥ Ω ¥ x ∂ ´ ≥ Ω ≤∑ Ω ∑Õ lÐU« b׫
Æ”UÝô« x ©± ≠ b׫ W³ð—® ´ ‰Ëô« b׫ Ω bŠ q Ê√ kŠôÆ©p– s oI×ð® ‰Ë_« b׫ vKŽ Î UC¹√ o³DM¹ «c¼Ë
œ≤ ´ √ Ω YU¦« b׫ ¨ œ ´ √ Ω w½U¦« b׫ ÊS œ UNÝUÝ√Ë √ u¼ WOÐUŠ WOU²²L ‰Ë_« b׫ ÊU «–≈∫ÂUŽ tłuÐ œ©±≠ Ê® ´ √ Ω ÊÕ u¼ ©w½uM« b׫® ÂUF« b׫ ÊuJ¹Ë ÆÆÆ«cJ¼Ë ¨ œπ ´ √ Ω dýUF« b׫Ë
œ©±≠Ê® ´ √ Ω ÊÕ u¼ œ UNÝUÝ√Ë √ ‰Ë_« U¼bŠ WOÐUŠ WOU²² W¹_ ÂUF« b׫
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
15/92
±±
œ©± ≠ Ê® ´ √ Ω ±≤≥ Ω ÊÕ ∫ÊuJO ÊÕ u¼ ±≤≥ t²LO Íc« b׫ Ê√ ÷dH½ ≤ ∂ x ©± ≠ Ê® ´ ±Ω±≤≥
∂ x ©± ≠ Ê® Ω ±≤≤
± ≠ Ê Ω±≤≤
∂ ∂¥≥ Ω Ê Ê Ω± ´
±≤≤∂
Ʊ≤≥ t²LO WOU²²L« œËbŠ s bŠ błu¹ ô t½S Î U³łu Î U×O× Î «œbŽ XO Ê WLO Ê√ ULÐË
Æ ¥∞ UNM dAŽ lЫd« b×«Ë ±π WOÐUŠ WOU²² œËbŠ s lÐU« b׫ ÊU «–≈ ∫©¥® ‰U¦ÆUNO s¹dAF« b׫ bł rŁ WOU²²L« V²√
∫UNMË œ©± ≠ Ê® ́ √ Ω ÊÕ u¼ WOÐU׫ WOU²²LK ÂUF« b׫©±®ÆÆÆÆÆÆÆ œ∂ ´ √ Ω±π Ω ∑Õ ©≤®ÆÆÆÆÆÆÆ œ±≥ ´ √ Ω¥∞ Ω ±¥Õ
∫ÊuJO ÕdDUÐ ©≤® ̈ ©±® sO²œUFL« q×½∫sO²œUFL« ÈbŠ≈ w ≥ Ω œ WLO ÷uF½ Æ ≥ Ω œ œ∑ Ω ≤±
± Ω √ ≥ x ∂ ́ √ Ω±πÆ Æ Æ ¨ ±∞ ¨ ∑ ¨ ¥ ¨ ± ∫WOU²²L« Ê√ Í√
µ∏ Ω ≥ x ±π ´ ± Ω œ±π ´ √ Ω ≤∞Õ
Arithmetic Means ∫WOÐU(« ◊UÝË_«
Æs¹dšü« s¹b×K Î UOÐUŠ Î UDÝË ÊuJ¹ UNM jÝË_« b׫ ÊS WOÐUŠ WOU²² s WOU²² œËbŠ WŁöŁ U½cš√ «–≈ ±≥ ¨ µ s¹—ËU−L« s¹œbFK wÐU׫ jÝu« u¼ π œbF« Ê√ kŠö½ ±∑ ¨±≥ ̈ π ¨ µ ∫WOÐU׫ WOU²²L« wH
Ʊ∑ ¨ π t s¹—ËU−L« s¹œbFK wÐU׫ jÝu« u¼±≥ œbF« Ê√ UL ±≥ ´ µ≤ Ω π Ê_∫ÂUŽ tłuÐ
» ¨ » ´ √≤ ¨ √ œ«b???????????Ž_« q???J???A???ðË» ´ √
≤ Ω j????Ýu????« «c?????¼ Êu???J???O??? » ¨ √ s??? ?¹œb??? ?F????« s???O???Ð w???ÐU??????Š j?????ÝË ‰U???????šœ≈ s??J??L??¹» ¨ √ s??O??Ð Ê” ÆÆƨ≥” ¨ ≤” ¨ ±” ∫œ«b???????Ž√ …b????Ž ‰U??????šœ« U??M??M??J??L??¹ t???½S??? s???¹œb???Ž » ¨ √ ÊU?? ?? «–≈Ë ÆW???O???ÐU??????Š W??O??U??²??²?? Ê” Æ̈ÆÆ ¨≤” ¨±” œ«b?????????Ž_« w???L??????½ ÆW???O???ÐU??????Š W??O??U??²??²?? » ¨Ê”ÆÆÆ̈ ≤” ¨±” ¨√ ∫W???−???ðU???M???« W?? ?O?? ?U???²?? ?²?? ?L???« q?? ?J?? ?A???ð Y?? ?O?? ?×?? ?ÐÆW?? ?O?? ?U?? ?²?? ?²?? ?L?? ?« w???? ? t???? ? s????¹—ËU????−????L????« s???¹œb???F???K??? Î U???O???ÐU??????Š Î U???? ?D???? ?ÝË Êu????J????¹ U???N???M??? Î ö?????? Ê_ ¨» ¨ √ s????¹œb????F????« s???O???Ð W???O???ÐU??????Š Î U??????ÞU??????ÝË√
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
16/92
±≤
Æ≤π ¨ ¥ s¹œbF« sOÐ WOÐUŠ ◊UÝË√ ¥ qšœ√ ∫©µ® ‰U¦
≤π¨ ¥” ¨ ≥” ¨ ≤” ¨ ±” ¨ ¥ ∫u×M« vKŽ WOU²²L« `³Bð ≤π ¨ ¥ sOÐ WOÐUŠ ◊UÝË√ ¥ ‰Ušœ« bMŽ
≤π Ω ∂Õ ¨ ¥ Ω √ ÊuJðË œµ ´ √ Ω ∂Õ œ x µ ´ ¥ Ω ≤π
µ Ω œ œµ Ω ≤µ≤¥ ¨ ±π ¨ ±¥ ¨ π w¼ ◊UÝË_« ÊuJðË ≤π ¨ ≤¥ ¨ ±π ¨ ±¥ ¨ π ¨ ¥ ∫WOÐU׫ WOU²²L« `³Bð
øWOÐUŠ WOU²« UOU²²L« Í√ ±ÆÆÆÆ ¨ ¥ ¨ ∂ ¨ ∏ ¨ ±∞ ?ł ÆÆÆ ¨ µ≥ ¨
¥≥ ¨ ± ¨
≤≥ √
ÆÆƨ≥≠ ¨ ≥ ¨ ≥≠ ¨ ≥ œ ÆÆÆ ¨¥ ±µ ¨ ≥±¥ ¨≤
±≥ ¨ ±
±≤ »
ÆÆÆ ¨ ±≤ ¨ ±∞ ¨ ∏ WOÐU׫ WOU²²L« w dýUF« b׫ √ ∫błË√ ≤Æ©błË Ê≈® ÆÆÆ ¨ ±¥ ¨ π ¨ ¥ WOU²²L« w ±¥¥ t²LO Íc« b׫ W³ð— » øÆÆÆ ¨ ±≠ ̈ ¥≠ ¨ ≥ ¨ ±∞ WOU²²L« œËbŠ sL{ lI¹ ¥∏≠ œbF« q¼ ?ł
Æ’ ¨ ” s q WLO b− WOÐUŠ WOU²² œËbŠ µ≠ ¨ ’ ¨ ” ¨ ¥ ∫X½U «–≈ ≥
Ʊ ¨ ±∑ s¹œbF« sOÐ WOÐUŠ ◊UÝË√ ≥ qšœ√ ¥
∫błËQ WOÐUŠ WOU²² ≤≥ ¨ „≥ ¨ÆÆÆÆ ¨ „ ¨ µ ∫œ«bŽ_« X½u «–≈ µÆWOU²²L« Ác¼ œËbŠ œbŽ » Æ„ WLO √
W¹uMÝ …ËöŽ v{UI²¹ cš√Ë ¨—UM¹œ ≥∂∞∞ Á—b ÍuMÝ Vð«dÐ UdA« ÈbŠ≈ w tKLŽ nþu √bÐ ∂ø Î «—UM¹œ ¥∏∞∞ nþuLK ÍuM« Vð«d« `³B¹ WMÝ r bFÐ ÆÎ «—UM¹œ ∂∞ U¼—b W²ÐUŁ
©≥ ≠ ±® qzU?Ë s¹—U9
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
17/92
±≥
Ʊ∞∞ ́ÆÆÆ ´≥´≤ ´± Í√ ±∞∞ v≈ ± s W×O×B« œ«bŽ_« lOLł «uFL−¹ Ê√ ÁcOöð s rKF VKÞ Â±∑∏∑ ÂUŽ w
ÁUDŽ√ ÊQÐ ©YU¦« nB« w „«c½¬ ÊUË® ”ËUł vŽb¹Ë cOö²« bŠ√ ÁQłU v²Š WKOK ozUœ ÈuÝ iLð rø»«u−« vKŽ XKBŠ nO Î UA¼bM rKFL« tQÝ Æµ∞µ∞ u¼Ë `O×B« »«u−«
∫wK¹ UL q׫ ”ËUł V²∫«cJ¼ ”uJF qJAÐ tH½ ŸuL−L« V² rŁ ¨ ±∞∞ ´ Æ Æ Æ ´ ≥ ´ ≤ ´ ± Ω ?ł
± ´ Æ Æ Æ ´ π∏ ´ ππ ´ ±∞∞ Ω ?ł©±∞∞ œËb׫ œbŽ® ±∞± ´ Æ Æ Æ´ ±∞± ´ ±∞± ´ ±∞± Ω ?ł≤ ∫lL−UÐ
±∞∞ x ±∞± Ω ?ł≤µ∞µ∞ Ω ©±∞±®µ∞ Ω ±∞∞≤ x ±∞± Ω ?ł
w ©UO{U¹d« w Î «—uNA Î ULUŽ bFÐ ULO `³√ Íc«® ”ËUł UNÐ VŠ w²« WI¹dD« «b²Ý« UMMJL¹∫ «cJ¼ Ê ?ł edUÐ t ed¹Ë WOÐUŠ WKK² œËbŠ s Ê ŸuL− œb×ð w²« …bŽUI« ‚UI²ý«
©UNO dOš_« b׫ ∫‰® ‰ ´ Æ Æ Æ ´ ©œ≤ ´ √® ´ ©œ ´ √® ´ √ Ω Ê ?ł√ ´ Æ Æ Æ ´ ©œ≤≠ ‰® ´ ©œ ≠ ‰® ´ ‰ Ω Ê ?ł
©… Òd Ê® ©‰ ´ √® ´ Æ Æ Æ ´ ©‰ ´ √® ´ ©‰ ´ √® ´ ©‰ ´ √® Ω Ê ?ł≤ lL−UÐÊ x ©‰ ´ √® Ω Ê ?ł≤
©±® Æ Æ Æ Æ Æ Æ ©‰ ´ √® Ê≤ Ω Ê ?łœ©± ≠ Ê® ´ √ ΩÊÕ Ω‰ YOŠ Èdš√ WI¹dDÐ ©±® …bŽUI« WÐU² sJL¹Ë
©‰ ´ √® Ê≤ Ω Ê ?ł ∫ÊuJ¹ tOKŽËœ©± ≠ Ê® ́ √≤ Ê
≤ Ω œ©± ≠ Ê® ́ √ ́ √ Ê
≤ Ω
Ê
?ł
Sum of Arith.Series WOÐU(« WKK²*« ŸuL− ¥≠±
∫u¼ œ UNÝUÝ√Ë √ ‰Ë_« U¼bŠ WOÐUŠ WKK² œËbŠ s bŠ Ê ‰Ë√ ŸuL− ∫…bŽU©±® Æ Æ Æ Æ ©‰ ´ √ ® Ê≤ Ω Ê ?ł©≤® Æ Æ Æ Æ œ©± ≠ Ê® ́ √≤ Ê≤ Ω Ê ?ł Ë√
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
18/92
±¥
ÆÆÆ´±≥´∏´≥ ∫WKK²L« œËbŠ s Î «bŠ ≤∞ ‰Ë√ ŸuL− błË√ ∫©±® ‰U¦
µ Ω œ ¨ ≥ Ω √ ‰Ë_« U¼bŠ WOÐUŠ WKK² w¼ WKK²L«
œ©± ≠ Ê® ́ √≤ Ê≤ Ω Ê ?ł©πµ ´ ∂® ±∞ Ω ©µ x ±π ´ ≥ x ≤® ≤∞≤ Ω ≤∞ ?ł
±∞±∞ Ω ±∞± x±∞ Ω
¨vË_« WO½U¦« w Î Ub ±∂ WU lDI Î «dŠ Î UÞuIÝ Âb ±∂∞∞ ŸUHð—« s rł jIÝ ∫©≤® ‰U¦Æ«cJ¼Ë ÆÆÆW¦U¦« WO½U¦« w Î Ub ∏∞¨WO½U¦« WO½U¦« w Î Ub ¥∏
ÆWÝœU« WO½U¦« w r−« UNFDI¹ w²« WUL« ± ∫błË√ÆvË_« fL« w½«u¦« w WŽuDIL« UUL« ŸuL− ≤
ø÷—_« v≈ r−« qË v² ≥
UN Ê_ WOÐUŠ WOU²² Ác¼Ë ÆÆÆ ¨ ∏∞ ¨ ¥∏ ¨ ±∂ ∫w¼ WŽuDIL« UUL« WOU²²Æ≥≤ XÐU¦« ”UÝ_«
∂Õ Ω WÝœU« WO½U¦« w r−« UNFD w²« WUL« ± ÆÎ Ub±∑∂ Ω ±∂∞ ´ ±∂ Ω ≥≤ x µ ´ ±∂ Ω œµ ´ √ Ω∂Õ
µ ?ł Ω vË_« fL« w½«u¦« w WŽuDIL« UUL« ŸuL− ≤ œ©± ≠ Ê® ́ √≤ Ê≤ Ω Ê ?ł©≥≤ x ¥ ´ ±∂ x ≤® µ≤ Ω µ ?ł
ÆÂb ¥∞∞ Ω ±∂∞ x µ
≤ Ω ©±≤∏ ´ ≥≤® µ
≤ Ω
Æ ±∂∞∞ Ω se« «c¼ w WŽuDIL« UUL« ŸuL− ÊuJ² ¨WO½UŁ Ê bFÐ ÷—_« qË r−« Ê√ ÷dH½ ≥
±∂∞∞ Ω œ©± ≠ Ê® ́ √≤ Ê≤ ±∂∞∞ Ω Ê ?ł
±∂∞∞ Ω ©±≠Ê®±∂ ́ ±∂ Ê ±∂∞∞ Ω ≥≤x©± ≠ Ê® ´ ±∂ x ≤ Ê≤ Ʊ∞ Ω Ê ±∞∞ Ω ≤Ê ±∂∞∞ Ω ≤ʱ∂
ÆtÞuIÝ sÌ Ê«uŁ ±∞ bFÐ ÷—_« v≈ r−« qË Í√
±∂
¥∏
∏∞
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
19/92
±µ
µµ≠ ÍËU¹ UNÐd{ qUŠË ±µ ÍËU¹ WOÐUŠ WOU²² qJA𠜫bŽ√ WŁöŁ ŸuL− ÊU «–≈ ∫©≥® ‰U¦Æœ«bŽ_« Ác¼ błË√
VOðd²« vKŽ œ≤ ´ √ ¨ œ ´ √ ¨ √ w¼ WŁö¦« œ«bŽ_« Ê√ ÷dH½±µ Ω ©œ≤ ́ √® ́ ©œ ́ √® ́ √ ±µ Ω UNFLł qUŠ±µ Ω œ≥ ´ √≥
©±® ÆÆÆÆÆÆÆ µ Ω œ ́ √ ∫Z²M¹ ≥ vKŽ WLIUÐË©≤® ÆÆÆÆÆÆÆ µµ≠ Ω ©œ≤ ́ √® ©œ ́ √® ©√® µµ≠ Ω UNÐd{ qUŠ
∫i¹uF²UÐ ©≤® ¨ ©±® sO²œUFL« q×½
œ ≠ µ Ω √ ÊuJ¹ ©±® sµµ≠ Ω ©œ ´ µ® ©µ® ©œ ≠ µ® ∫©≤® WœUFL« `³Bð±±≠ Ω ©œ ´ µ® ©œ ≠ µ® ∫Z²M¹ µ vKŽ WLIUÐË
±±≠ Ω ≤œ ≠ ≤µ∂ Ω œ UNMË ≥∂ Ω ≤œ
∂ ≠ µ Ω √ ÊS ∂ Ω œ UbMŽ
±± ¨ µ ¨ ±≠ w¼ WÐuKDL« œ«bŽ_« ÊuJðË ̈ ±≠ Ω √±≠ ¨ µ ¨ ±± w¼ WÐuKDL« œ«bŽ_« ÊuJðË ¨ ±± Ω ∂ ´ µ Ω √ ÊS ∂≠ Ω œ UbMŽq×K Èdš√ WI¹dÞ
√ Ω jÝË_« b׫ Ê√ U½d³²Ž« «–≈ …dB² WI¹dDÐ ‰U¦L« qŠ sJL¹œ ´ √ ∫YU¦« b×«Ë ¨ œ ≠ √∫‰Ë_« b׫ ÊuJO
±µ Ω ©œ ´ √® ´ ©√® ´ ©œ ≠ √® ÊuJO
µ Ω √ ±µ Ω √≥µµ≠ Ω ©œ ´ √® ©√® ©œ ≠ √® ÊuJ¹Ë©µ vKŽ WLIUЮ µµ≠ Ω©œ ́ µ® ©µ® ©œ ≠ µ®
±±≠ Ω ©œ ´ µ® ©œ ≠ µ®∂ Ω œ ̈ ≥∂ Ω≤œ ±±≠ Ω ≤œ ≠ ≤µ
ÆvË_« WI¹dD« w UL q׫ qLJ½Ë
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
20/92
±∂
∫WOU²« WOÐU׫ öK²L« ŸuL− błË√ ±
¥∞ ´ ÆÆÆ ´±∞´ ∑ ´ ¥ √ ©≤±≠® ´ ÆÆÆ ´ ±∑ ´ ±π ´ ≤± » ©± ´ —≤®
±∞
±Ω— ?ł
Æ∏∞ UNM Î «bŠ ≤∞ ‰Ë√ ŸuL−Ë ≤ UNÝUÝ√ w²« WOÐU׫ WKK²L« w ‰Ë_« b׫ błË√ ≤
Æ≤∞ UNŽuL− ÊuJO ≤≠ UNÝUÝ√Ë ±± ‰Ë_« U¼bŠ WOÐUŠ WKK² s Ácš√ V−¹ Î «bŠ r ≥Æ©øWQLK Î öŠ r®
Æ∑ vKŽ tLI« q³Ið w²«Ë ±∞∞ ¨ µ sOÐ …—uB×L« W×O×B« œ«bŽ_« ŸuL− błË√ ¥
Æœ«bŽ_« Ác¼ błË√ ≤∏ UNÐd{ qUŠË ±≤ ÍËU¹ WOÐUŠ WOU²² qJA𠜫bŽ√ WŁöŁ ŸuL− ÊU «–≈ µ
ÍuMÝ Vð«dÐ w½U¦«Ë —UM¹œ ∂∞∞∞ Á—b ©XÐUŁ® ŸuDI ÍuMÝ Vð«dÐ ‰Ë_« ∫Wdý w qLF« ÊUHþu √bÐ ∂ÆWOUð WMÝ q w —UM¹œ ±∞∞ Á—b XÐUŁ —«bILÐ œ«œe¹ËvË_« WM« w —UM¹œ ¥∏∞∞ mK³LÐ √b³¹
øÊU¹uM« sOHþuL« U³ð«— ÈËU²¹ WMÝ r bFÐ √ øw½U¦« nþuL« ÁU{UIð U ŸuL−L Î U¹ËU ‰Ë_« nþuL« ÁU{UIð U ŸuL− ÊuJ¹ WMÝ r bFÐ »
nB« w ÊU «–S ¨Î UH ≤∞ w W³ðd wÝ«dJ« s œbŽ UNO ”—«bL« ÈbŠ≈ w UŽUL²ł« WŽU ∑«cJ¼Ë ÆÆÆÎ UOÝd ±¥ YU¦« nB« wË ¨Î UOÝd ±≤ w½U¦« nB« wË wÝ«d ±∞ ‰Ë_«øWŽUI« ·uH s sU¦« nB« w …œułuL« wÝ«dJ« œbŽ U √
øWŽUI« w wÝ«dJ« ŸuL− U » ·uHB«Ë ¨sOLKFL«Ë ¡UÐü« fK− ¡UCŽ_ vË_« WŁö¦« ·uHB« w wÝ«dJ« XB Ò B Ô š «–≈ ?ł
øW³KD« œbŽ UL ¨WuGA WŽUI« bŽUI lOLł X½UË ¨W³KDK Èdš_«
©¥ ≠ ±® qzU?Ë s¹—U9
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
21/92
±∑
≥Â¥ ¨WO½U¦« WŽU« w ≥Â≤ ¨vË_« WŽU« w ¡UL« s ≥± Z¹dNB« w l{Ë Æ¡ULUÐ Z¹dN W¾³F𠜫d¹
WOL wHFC Î W¹ËU WŽUÝ W¹√ w Z¹dNB« w l{uð w²« ¡UL« WOL ÊuJð YO×Ð ÆÆÆ«cJ¼Ë W¦U¦« WŽU« wÆUN WIÐU« WŽU« w l{uð w²« ¡UL« Æ Æ Æ ¨ ±∂ ¨ ∏ ¨ ¥ ¨ ≤ ¨ ± ∫u×M« vKŽ w¼ WŽUÝ q w Z¹dNB« w Ÿu{uL« ¡UL« UOL Ê√ kŠö½Î U²ÐUŁ fO sOOU²² s¹bŠ q sOÐ ‚dH« Ê_ WOÐUŠ WOU²² XO UN½√ b−½ WOU²²L« Ác¼ œËbŠ UMKQð «–≈Ë
Æ Æ Æ Æ Æ ¨ ≤ Ω ¥ õ ∏ ¨ ≤ Ω ≤ õ ¥ ¨ ≤ Ω ± õ ≤ ∫Ê√ kŠö½ sJËÆWOÝbM¼ WOU²² ¨UOU²²L« s ŸuM« «c¼ wL½ ¨W²ÐUŁ W³½ w¼ …dýU³ t oÐU« b×«Ë bŠ q sOÐ W³M« Ê√ Í√
∫WOÝbM¼ WOU²« UOU²²L« s q ÊuJð V³« fHMÆ Æ Æ ¨ ∏∞ ¨ ¥∞ ¨ ≤∞ ¨ ±∞Æ Æ Æ ¨ ≤µ∞ ¨ µ∞ ¨ ±∞ ¨ ≤
Æ Æ Æ ¨ ±∏ ¨±¥ ¨
±≤ ¨ ±
∫n¹dFðW³½ …dýU³ t oÐU« b×«Ë Ì bŠ q sOÐ W³M« UNO ÊuJ¹ w²« WOU²²L« w¼ WOÝbMN« WOU²²L«
Æ — edUÐ t ed¹Ë ¨WOÝbMN« WOU²²L« ”UÝ« vLð W²ÐU¦« W³M« ÆW²ÐUŁWOÝbMN« WOU²²LK ÂUF« b(«
∫wU²« ‰U¦L« ”—b½ UMŽœ WOÝbMN« WOU²²LK ÂUF« b׫ …bŽU v≈ qu²KÆ W²ÐUŁ W³½ wN ≥ Ω ∂ õ ±∏ ̈ ≥ Ω ≤ õ ∂ Ê_ WOÝbM¼ WOU²² w¼ ÆÆÆ ¨ µ¥ ¨ ±∏ ¨ ∂ ¨ ≤ ∫WOU²²L«
≤ Ω ±Õ ‰Ë_« b׫±≥ x ≤ Ω ∂ Ω ≤Õ w½U¦« b׫
≤≥ x ≤ Ω π x ≤ Ω ±∏ Ω ≥Õ YU¦« b׫ÆÆÆ «cJ¼Ë ≥≥ x ≤ Ω ≤∑ x ≤ Ω µ¥ Ω¥Õ lЫd« b׫
jLM« fHMÐË Æ b׫ VOðdð sŽ± —«bILÐ qI¹ ”√ v≈ Î UŽud ”UÝ_« x ‰Ë_« b׫ Ω bŠ q Ê√ kŠô ±∂≤ Ω ¥≥ x ≤ Ω fU« b׫ ÊuJ¹
∫ÂUŽ tłuб≠Ê —√ Ω ÊÕ ∫u¼ WOÝbMN« WOU²²LK ÂUF« b׫ ÊS — UNÝUÝ√Ë √ WOÝbM¼ WOU²² s ‰Ë_« b׫ ÊU «–≈
Geometric Sequences WOÝbMN« UOU²²*« µ≠±
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
22/92
±∏
ÆUNO fU« b׫ błË√ Æ ≤ UNÝUÝ√Ë ≥ ‰Ë_« U¼bŠ WOÝbM¼ WOU²² ∫©±® ‰U¦
±≠Ê —√ Ω ÊÕ ¨ ≤ Ω — ¨ ≥ Ω √
¥∏ Ω ±∂ x ≥ Ω ¥≤ x ≥ Ω µÕ
ø ÆÆÆÆÆ ¨¥µ ¨ ±µ ¨ µ ∫WOÝbMN« WOU²²L« œËbŠ s ±≤±µ t²LO Íc« b׫ VOðdð U ∫©≤® ‰U¦
≥ Ω — ¨ µ Ω √ YOŠ ÊÕ u¼ ±≤±µ t²LO Íc« b׫ Ê√ ÷dH½±≠Ê
— √ Ω ±≤±µ Ω ÊÕ
©µ vKŽ WLIUЮ ±≠Ê≥ x µ Ω ±≤±µ±≠Ê≥ Ω ≤¥≥
©ø«–UL® µ Ω ± ≠ Ê ±≠Ê≥ Ω µ≥∂ Ω Ê
”œU« b׫ u¼ ±≤±µ t²LO Íc« b׫
•±∞ ‰bFLÐ WMÝ q hIMð …—UO« WLO X½U «–S ¨—UM¹œ ∏∞∞∞ mK³LÐ …—UOÝ qł— Èd²ý« ∫©≥® ‰U¦ÆUN«b²Ý« s WU« WM« W¹UN½ w …—UO« WLO błË√ ÆUN WIÐU« WM« w UN²LO sŽ
Æ—UM¹œ ∑≤∞∞ Ω ∞,π x ∏∞∞∞ Ω π∞±∞∞ x ∏∞∞∞ vË_« WM« W¹UN½ w …—UO« sLŁ
Æ—UM¹œ ∂¥∏∞ Ω ∞,
πx
∑≤∞∞ Ω WO½U¦« tM« W¹UN½ w …—UO« sLŁ«cJ¼Ë Æ Æ Æ Æ Æ—UM¹œ µ∏≥≤ Ω ∞,π x ∂¥∏∞ Ω W¦U¦« tM« W¹UN½ w …—UO« sLŁWOÝbM¼ WOU²² w¼Ë ÆÆÆ ¨ µ∏≥≤ ¨ ∂¥∏∞ ¨ ∑≤∞∞ ∫w¼ WMÝ q W¹UN½ w …—UO« —UFÝ« WOU²² Ê√ Í√
Æ∑≤∞∞ Ω √ ‰Ë_« U¼bŠË ¨ ∞,π UNÝUÝ«
µÕ Ω WU« WM« W¹UN½ w …—UO« WLO
Æ—UM¹œ ¥∑≤≥,π≤ Ω ¥©∞,π® x ∑≤∞∞ ΩµÕ
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
23/92
±π
∫wK¹ ULO WOÝbMN« UOU²²L« e Ò O ±
Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ ¨ ≤µ ¨ π ¨ ¥ ¨ ± √ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ ¨ ∞,∞∞± ¨ ∞,∞± ¨ ∞,± ¨ ± » µ ´ Ê∑ Ω ÊÕ ÂUF« U¼bŠ w²« WOU²²L« ?ł
Ê© ±≤ ® Ω ÊÕ ÂUF« U¼bŠ w²« WOU²²L« œ Æ¥∞ sŽ qIðË ± sŽ b¹eð w²« ≤ œbF« UHŽUC ?¼
∫ wK¹ U błË√ ¥Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ¨ π ¨ ≥ ¨ ± ∫WOÝbMN« WOU²²L« w ”œU« b׫ √
≥¥≥ ¨ ” ¨ ±∑ ∫WOÝbMN« WOU²²L« w ” rO »
ÆWOU²²L« Ác¼ V²√ Æ≤µ∂ ”œU« U¼bŠË ¥ YU¦« U¼bŠ WOÝbM¼ WOU²² ≥
Æ ?ł ¨ √ s Ì q WLO błËQ ÆWOÝbM¼ WOU²² ∏± ¨ ?ł ̈ √ ¨ ≥ ∫X½U «–≈ ¥
©µ ≠ ±® qzU?Ë s¹—U9
∫wU{≈ ◊UA½
Æ ?ł ¨ » ¨ √ s q WLO błËQ ¨WOÝbM¼ WOU²² ¥∏∂ ¨ ?ł ¨ » ¨ √ ¨ ∂ ∫X½U «–≈
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
24/92
≤∞
Ê√Ë ≤ UNÝUÝ« WOÝbM¼ WOU²² w¼ ±≤∏ Æ Æ Æ Æ Æ¨ ±∂ ¨ ∏ ¨ ¥ ¨ ≤ ¨ ± ∫WOU²²L« Ê√ UMdŽ Ê√ o³Ý
UM½S WKK²L« œËbŠ ŸuL− WLO œU−¹≈ U½œ—√ «–≈ Ʊ≤∏ ´ Æ Æ Æ ´ ∏ ´ ¥ ´ ≤ ´ ± w¼ UN WI«dL« WKK²L«∫wK¹ ULÐ ÂuI½ Ê√ sJL¹
©±® Æ Æ Æ ±≤∏ ´ ∂¥ ´ ≥≤ ´ ±∂ ´ ∏ ´ ¥ ´ ≤ ´ ± Ω ?ł lC½ ∫Z²M¹ ≤ œbF« w WœUFL« wdÞ »dCÐË
©≤® Æ Æ Æ ≤µ∂ ´ ±≤∏ ´ ∂¥ ´ ≥≤ ´ ±∂ ´ ∏ ´ ¥ ´ ≤ Ω ?ł≤≤µµ Ω ?ł ± ≠ ≤µ∂ Ω ?ł ≠ ?ł≤ ∫Z²M¹ sO²œUFL« ÕdDÐË
©±® Æ Æ Æ±≠Ê
—√
´
Æ Æ Æ ´ ≥
—√ ´ ≤
—√ ´ —√ ´ √ Ω Ê ?ł X½U «–≈ ∫ÂUŽ tłuЩ≤® Æ Æ Æ Ê—√ ´ ±≠Ê—√ ´ Æ Æ Æ ´ ≥—√ ´ ≤—√ ´ —√ Ω Ê ?ł— ÊS∫Z²M¹ sO²œUFL« ÕdDÐ
√ ≠ Ê—√ Ω Ê ?ł ≠ Ê ?ł—©± ≠Ê—®√ Ω ©± ≠ —® Ê ?ł
± — YOŠ ©± ≠ Ê—®√±≠ — Ω Ê ?ł
∫…bŽU∫ u¼ — UNÝUÝ√Ë √ ‰Ë_« U¼bŠ WOÝbM¼ WKK² œËbŠ s Ê ‰Ë√ ŸuL−
± — YOŠ ©± ≠ Ê—®√±≠ — Ω Ê ?ł
∫`³Bð WOÝbMN« WKK²L« sJË ÁöŽ√ …—ucL« …bŽUI« oO³Dð lOD²½ ô UM½S ± Ω — X½U «–≈ t½√ kŠô©ø«–UL® √ Ê Ω √ ́ Æ Æ Æ Æ Æ ́ √ ́ √ ́ √
Æ Æ Æ ́ ±≤ ´ ∂ ´ ≥ ∫WOÝbMN« WKK²L« œËbŠ s vË_« W²« œËb׫ ŸuL− błË√ ∫©±® ‰U¦Æ Æ
≤ Ω — ¨ ≥ Ω √©± ≠ Ê—®√
±≠ — Ω Ê ?ł
±∏π Ω ∂≥ x ≥ Ω ©± ≠ ∂¥®≥
±
Ω ©± ≠∂≤®≥
± ≠ ≤
Ω ∂ ?ł
Sum of Geo. Series WOÝbMN« WKK²*« ŸuL− ∂≠±
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
25/92
≤±
—µ¥
±Ω— błË√ ∫©≤® ‰U¦
¥µ ´ ≥µ ´ ≤µ ´ ±µ ∫w¼ WKK²L«
WOÝbM¼ WKK² WKK²L« —U³²ŽUÐ ŸuL−L« »UŠ sJL¹Ë ¨ ∑∏∞ Ω ∂≤µ ´ ±≤µ ´ ≤µ ´ µ ∫UN½√ Í√∑∏∞ Ω ±µ∂ x µ Ω ∂≤¥ x µ ¥ Ω
©± ≠¥µ®µ ± ≠ µ Ω ¥ ?ł ∫u¼ UNŽuL− ÊuJO µ UNÝUÝ«Ë µ ‰Ëô« U¼bŠ
s ≥rݱ w U¹dO²J³« œbŽ ÊU «–U ÆWŽUÝ nB½ q sO²MŁ« …bŠ«u« `³B² U¹dO²J³« dŁUJ²ð ∫©≥® ‰U¦øÎ UŠU³ WFÝU²« WŽU« w U¼œbŽ `³B¹ r Æ Î UŠU³ WU« WŽU« w U¹dO²JÐ ±∞∞∞∞ VOK׫
±∞∞∞∞ Ω Î UŠU³ WU« WŽU« w U¹dO²J³« œbŽ≤∞∞∞∞ Ω Î UŠU³ nBM«Ë WU« WŽU« w U¹dO²J³« œbŽ
¥∞∞∞∞ Ω Î UŠU³ WÝœU« WŽU« w U¹dO²J³« œbŽÆÆÆÆ
≤ Ω — UNÝUÝ√Ë ¨ ±∞∞∞∞ Ω √ ‰Ë_« U¼bŠ WOÝbM¼ WOU²² Ác¼Ëπ ¨ ∏ ±≤ ¨ ∏ ¨ ∑ ±≤ ¨ ∑ ¨ ∂ ±≤ ¨ ∂ ¨ µ ±≤ ¨ µ ∫WM“_« dþUM² U¼œËbŠ œbŽ U√π Ω œËb׫ œbŽ Ê√ Í√
± ≠ Ê— √ Ω π Õ u¼ lÝU²« b׫ ÊuJO∏≤ x ±∞∞∞∞ Ω
≤µ∂ x ±∞∞∞∞ Ω
≤µ∂∞∞∞∞ Ω≤µ∂∞∞∞∞ Ω WFÝU²« WŽU« w U¹dO²J³« œbŽ
π ‰Ë√ ŸuL− fOË WOÝbMN« WOU²²L« w lÝU²« b׫ WLO u¼ WFÝU²« WŽU« w U¹dO²J³« œbŽ Ê√ kŠô ÆWI«dL« WOÝbMN« WKK²L« s œËbŠ
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
26/92
≤≤
Æ Æ Æ ´ ¥ ´ ∏ ´ ±∂ ∫WOÝbMN« WKK²L« œËbŠ s œËbŠ ∂ ‰Ë√ ŸuL− błË√ ±
≤µµ Ω UNO vË_« WL« œËb׫ ŸuL−Ë ≤ Ω UNÝUÝ« WOÝbM¼ WKK² ≤ƉË_« U¼bŠ błË√
ÆvË_« WL« U¼œËbŠ ŸuL− błË√ ∏± Ω fU« U¼bŠË π Ω YU¦« U¼bŠ WOÝbM¼ WKK² ≥ø©WQLK Î öŠ r®
w œ«œe¹ ÷—_« dFÝ ÊU «–S ÆÂ≤∞∞∞ WMÝ —UM¹œ ±∞∞ ∞∞∞ …dO³ WM¹b w ÷—√ r½Ëœ sLŁ ÊU ¥ øÂ≤∞±∞ WMÝ UNO ÷—_« r½Ëœ sLŁ UL ¨ Î U¹uMÝ •∏ —«bILÐ WM¹bL« pKð
bFÐ ÊUJ« œbŽ UL Î U¹uMÝ •≤ ‰bFLÐ œ«œe¹ œbF« «c¼ ÊU «–« ÆWL½ n√ ≤µ∞ WM¹b ÊUJÝ œbŽ µø«uMÝ ±∞
rJ ¨Î U¹uMÝ • ≥ —«bILÐ hUM²ð …—UO« WLO X½U «–« Æ—ôËœ n√ ±µ dFÐ …—UOÝ …bOÝ d²ý« ∂ø«uMÝ µ —Ëd bFÐ …—UO« WLO `³Bð
Ʊ ¨ µ ¨ ≤µ ∫œ«bŽ_« p¹b √
ÆWOÝbM¼ WOU²² qJAð WIÐU« œ«bŽ_« Ê√ X³Ł« ±µ ̈ ≤µ s¹œbFK wÐU׫ jÝu« u¼ ” ÊU «–≈ ≤Æ’ ¨ ” rO błËQ ± ¨ µ s¹œbFK wÐU׫ jÝu« u¼ ’ ÊUË
ø ±’ ´ ≤µ” WLO U ≥ÆWIÐU« WK¾Ý_« sŽ Vł«Ë WOÝbM¼ WOU²² qJAð Èdš√ œ«bŽ√ ≥ d²š« »
©∂ ≠ ±® qzU?Ë s¹—U9
∫wU{≈ ◊UA½
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
27/92
≤≥
Æ ed« «b²ÝUÐ ©≤∞≥xµ®´ Æ Æ Æ Æ ´ ©≥≥xµ® ´ ©≤≥xµ® ´ ©≥xµ® ´ µ ∫ŸuL−L« V²√ ±
∫WOU²« öK²L« ŸuL− błË√ ≤—≥
µ
±Ω— ≤ ©± ≠ —≥®±∞
±Ω— ±π∑≤ ´ Æ Æ Æ Æ ´ ≥∂ ́ ±≤ ́ ¥ ¥ ±∂´ Æ Æ Æ ´ ≤µ∂ ́ µ±≤ ́ ±∞≤¥ ≥
ÆU¼œËbŠ ŸuL− VŠ« rŁ ” WLO błË√ Æ ”¨≥≥ ¨ Æ Æ Æ Æ ̈ ”≤ ¨ ∂≥ U¼œËbŠ WOÐUŠ WOU²² ≥
ÆÎ U³łu Î U¹œd Î «œbŽ µ∞ ‰Ë√ ŸuL− bL× VŠË ¨Î U³łu Î UOłË“ Î «œbŽ µ∞ ‰Ë√ ŸuL− dOLÝ VŠ ¥Æ p– `{Ë Æ µ∞ sOŽuL−L« sOÐ ‚dH« Ê√ «błu
± Ω œ ´ √ ÊU «–S ¨ œ UNÝUÝ√Ë √ ‰Ë_« U¼bŠ WOÐUŠ WOU²² µÆœ ¨ √ rO błË√ Æ ±µ∞Ω±∞ ?ł
W−ðUM« tOU²²L« X׳√ ¥ YU¦« b׫ v≈ nO{√ «–≈Ë π UNŽuL− WOÐUŠ WOU²² ÊuJ𠜫bŽ√ WŁöŁ ∂ÆWŁö¦« œ«bŽ_« błË√ ÆWOÝbM¼
∫WUŽ s¹—ULð
© ±
≤± ≠ ±
≤∞ ® ´ Æ Æ Æ Æ ´ © ±
¥ ≠ ±
≥ ® ´ © ±
≥ ≠ ±
≤ ® ´ © ±
≤ ≠ ±® ∫WKK²L« p¹b µ
øp– dOž Â√ WOÝbM¼ Â√ WOÐUŠ WKK²L« q¼ √ ÆU¼œËbŠ ŸuL− błË√ »
∫wU{≈ ◊UA½
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
28/92
≤¥
≤b Šu «…b???Šu«
‰UL²Šù«Ë ¡UBŠù«
2
3
4
6
5
8
7
9
2
3
4
5
6
7
8
9
2
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
29/92
≤µ
Standard Score (z-score) W¹—UOF*« WöF« ±≠≤
∫«œdHLK Í—UOFL« ·«d×½ù«Ë wÐU׫ jÝu« błË√ ∫©±® ‰U¦
≤∞ ¨ ±∂ ¨ ±¥ ¨ ±≤ ¨ ∏
≤∞ ´ ±∂ ´ ±¥ ´ ±≤ ´ ∏µ Ω
—”Ê
±Ω— Ê Ω © ®wÐU׫ jÝu«
±¥ Ω ∑∞µ Ω
∫wðüU Î ôËbł ¡vAM½ Í—UOFL« ·«d×½ô« œU−¹ù
Í—UOF*« ·«d×½ù«Ë wÐU(« jÝu« WFł«d ≠ bON9
Î UC¹√ XÝ—œË ¨wÐU׫ jÝu« UNL¼√ s W¹edL« WŽeMK WHK² fO¹UI WOÝUÝ_« WKŠdL« w XÝ—œÆÍ—UOFL« ·«d×½ù« UNL¼√ s X²A²K WHK² fO¹UI
∫ÊS rOI« s WŽuL− Ê” ¨ÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ¨ ≤” ¨ ±” X½U «–SÊ” ´ ÆÆÆÆÆ ´ ≤” ´ ±”
Ê ΩrOI« ŸuL−
rOI« œbŽ Ω rOIK wÐU׫ jÝu«
—”Ê
±Ω—
Ê Ω
wÐU׫ UNDÝË sŽ rOI« U«d×½« UFÐd ŸuL− jÝu²L wFOÐd²« —c−« Ω rOIK Í—UOFL« ·«d×½ù«
≤© ≠ —” ® Ê
±Ω— Ê
Ω
©”® «œdHL«≠ —”≤© ≠ —”®∏∂≠≥∂
±≤≤≠¥±¥∞∞±∂≤¥≤∞∂≥∂
∏∞ ŸuL−L«
∏∞µ Ω
±∂ Ω
¥ Ω
≤© ≠ —” ® Ê
±Ω— Ê Ω
∞
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
30/92
≤∂
VUÞ qBŠ «–≈ Î ö¦L ¨sO²HK² sO²OzUBŠ≈ sO²ŽuL− s sOð–ušQ sO²LO sOÐ W½—UI ¡«dł≈ v≈Î «dO¦ ÃU²×½ ¨WOÐdF« WGK« ÊUײ« w ∏∞ WöF« vKŽ qBŠË ¨W¹eOK−½ô« WGK« ÊUײ« w ∑∞ WöF« vKŽ ·uHB« bŠ√ w
øqC√ VUD« qOB×ð Èu² ÊU sO¦×³L« Í√ wH Ác¼ sJ ¨d³√ UNO t²öŽ Ê_ qC√ WOÐdF« WGK« w VUD« qOB×ð Èu² Ê√ …dýU³L« WÐUłù« ÊuJð b ÆsOð—ucL« sO²öF« s q UNO≈ wL²Mð w²« UöF« WŽuL− ’«uš ‰uŠ UuKF W¹√ v≈ bM²ð ô WÐUłù«
vKŽ µ ¨∂∞ UL¼ W¹eOK−½ù« WGK« w »öD« UöF Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU׫ jÝu« Ê√ UM{d «–S ̈VOðd²« vKŽ ±∞ ̈ ∑µ UL¼ WOÐdF« WGK« w »öD« UöF Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU׫ jÝu« ÊUË ̈ VOðd²« nB« UöF wÐU׫ jÝu« sŽ b¹eð ∑∞ w¼Ë W¹eOK−½ù« WGK« w VUD« WöŽ Ê√ b−½ WU׫ Ác¼ w UM½S «–≈ wU²UÐË X²A²K ”UOI u¼ Í—UOFL« ·«d×½ô« Ê≈ ø…dOG Â√ …dO³ …œU¹e« Ác¼ q¼ ÆUöŽ ±∞ —«bILÐ
ÆsO¹—UOF sO«d×½« Í√ ≤ Ω µ õ ±∞ wMFð UöŽ ±∞ …œU¹e« ÊS ”UOIL« «c¼ UMb²Ý« Ác¼Ë UöŽ µ —«bILÐ nB« UöF wÐU׫ jÝu« sŽ b¹eð ∏∞ w¼Ë WOÐdF« WGK« w VUD« WöŽ ULMOÐ
W³MUÐ VUD« lu Í√® VUD« Èu² Ê√ wMF¹ «c¼Ë ¨Í—UOF ·«d×½« nB½ Í√ ±≤ Ω ±∞ õ µ q¦Lð …œU¹e« vKŽ√ W¹eOK−½ù« WGK« w jÝu« ‚u tFu Ê_ ¨WOÐdF« WGK« w tM qC√ W¹eOK−½ù« WGK« w ©tH »öÞ wU³
ÆWOÐdF« WGK« w jÝu« ‚u tFu s U¼dOHð qł√ sË ¨U¼œdHLÐ vMF «– XO UöŽ ©ÂU« ® WOK_« UöF« Ê√ Èd½ ”UÝ_« «c¼vKŽË WdF s bÐô UNO≈ wL²Mð w²« WOzUBŠù« WŽuL−L« w Î UCHM Ë√ Î UOUŽ Èu² q¦Lð UN½√ YOŠ s UNOKŽ rJ׫Ë√
ÆW¹—UOFL« WöF« Ë√ WLOI« …dJ QA½ UM¼ sË ¨WŽuL−LK Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU׫ jÝu«
∫n¹dFðUN«d×½«Ë μ wÐU׫ UNDÝË WOzUBŠ≈ WŽuL− w ©”® ÂU« WöFK WKÐUIL« ©Ÿ® W¹—UOFL« WöF« vDFðË ÆWŽuL−LK wÐU׫ jÝu« sŽ ÂU« WöF« U¼bF³ð w²« W¹—UOFL« U«d×½ô« œbŽ w¼ Í—UOFL«
™ μ ≠ ” Ω Ÿ ∫ …bŽUIUÐ
W¹—UOF*« WöF« ÂuNH
∫«œdHLK Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU׫ jÝu« błË√Æ∑∞ ¨ ∂∞ ¨ µ∞ ¨ ¥∞ ¨ ≥∞ ¨ ≤∞ ¨ ±∞
V¹—bð
ÆWMOF« jÝË u¼ Ó ”ÆWMOF« lL²− u¼ μ
ÆWMOFK Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU׫ jÝuUÐ UN«b³²Ý« r²OÝ t½S ¨·ËdF dOž lL²−LK Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU׫ jÝu« Ê√ ULÐ
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
31/92
≤∑
∫W¹—UOFL« WöF« …—Uý« ± ·«d×½ô« «bŠuÐ μ wÐU׫ jÝu«Ë ©”® ÂU« WöF« sOÐ ‚dH« q¦Lð ©Ÿ® W¹—UOFL« WöF« Ê√ YOŠ «–≈ W³UÝ ÊuJðË wÐU׫ jÝu« s d³√ ÂU« WöF« X½U «–≈ W³łu ÊuJð ©Ÿ®W¹—UOFL« WöF« ÊS ¨Í—UOFL«
ÆwÐU׫ jÝu« ÍËUð ÂU« WöF« X½U «–≈ Î «dH ÊuJðË ¨wÐU׫ jÝu« s dG√ ÂU« WöF« X½U∫W¹—UOFL« UöFK Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU׫ jÝu« ≤
∫Ê√ U³Ł≈ sJL¹ t½S WKÐUI W¹—UOF UöŽ v≈ U Ì l¹“uð w ÂU« UöF« lOLł XuŠ «–≈©Î «dH Ω W¹—UOFL« UöF« lOLł ŸuL− Ê√ Î UC¹√ wMF¹ «c¼Ë® Î «dH Ω W¹—UOFL« UöF« lOL− wÐU׫ jÝu« √
±Ω W¹—UOFL« UöF« lOL− Í—UOFL« ·«d×½ô« »∫sO²IOI׫ sOðU¼ W× `{u¹ wU²« ‰U¦L«
±∞¨∑µ UL¼ π∞ ¨ ∏∞ ¨ ∑µ ¨ ∑∞ ¨ ∂∞∫UöFK Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU׫ jÝu« ∫©≥® ‰U¦ UL¼ …dþUML« W¹—UOFL« UöFK Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU׫ jÝu« Ê√ ` Ò {Ë ÆVOðd²« vKŽ
ÆVOðd²« vKŽ ±¨ ∞
Æ μ ≠ ” Ω Ÿ t¹—UOFL« WöF« YOŠ W¹—UOF UöŽ v≈ ÂU« UöF« ‰ Òu×½
¨±∞ ÍËU¹ Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë ∑∂ ÍËU¹ Î U³UÞ ¥∞ UöF wÐU׫ jÝu« ÊU «–≈ ∫©≤® ‰U¦ø∂∂ ¨ π± sO²öF« s qJ …dþUML« W¹—UOFL« WöF« U
μ
≠ ” Ω Ÿ W¹—UOFL« WöF«±,µ Ω ±µ±∞ Ω
∑∂ ≠ π±±∞ Ω π± WöFK WKÐUIL« W¹—UOFL« WöF«
ÆÍ—UOF ·«d×½« ±,µ —«bILÐ nB« UöF wÐU׫ jÝu« sŽ b¹eð π± WöF« Ê√ Í√
±≠ Ω ±∞≠±∞ Ω ∑∂ ≠∂∂±∞ Ω ∂∂ WöFK WKÐUIL« W¹—UOFL« WöF«
ÆbŠ«Ë Í—UOF ·«d×½« —«bILÐ nB« UöF wÐU׫ jÝu« sŽ qIð ∂∂ WöF« Ê√ Í√
W¹—UOF*« UöF« hzUBš
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
32/92
≤∏
©Ÿ® W¹—UOFL« WöF«≠ Ÿ ≤ © ≠Ÿ®±,µ≠±,µ≠≤,≤µ∞,µ≠∞,µ≠∞,≤µ
∞∞∞∞,µ∞,µ∞,≤µ±,µ±,µ≤,≤µ
ŸuL−L«∞µ
∫wðüU Î ôËbł TAM½ W¹—UOFL« UöFK Í—UOFL« ·«d×½ô« œU−¹ùË
ÆwÐU׫ UNDÝË sŽ UöF« U«d×½« UFÐd ŸuL− jÝu²L wFOÐd²« —c−« Ω Í—UOFL« ·«d×½ô«
± Ω ± Ωµ
µ Ω≤© ≠ Ÿ ®
Ê Ω
W¹—UOF*« UöF« WŽuL−U¼œbŽ Ω W¹—UOFL« UöFK wÐU׫ jÝu«
dH Ω dHµ Ω±,µ ´ ∞,µ ´ ∞ ´ ∞,µ≠ ´ ±,µ≠
µ ΩŸ
Ê Ω
∫wðüU W−O²M« X½UJ W¹—UOF ©rO® UöŽ v≈ rO ©∂® s W½uJ WŽuL− w «œdH*« X = u Ô Š ∫©¥®‰U¦ø ?ł WLO U Æ ?ł ¨ ± ¨ ±[µ ¨ ∞ ¨ ±,µ≠ ¨ ∞,µ≠
dH Ωl¹“uð Í√ w W¹—UOF*« UöF« ŸuL−dH Ω ?ł ´ ± ´ ±[µ ´ ∞ ´ ©±,µ≠® ´ ©∞,µ≠® Ê–≈
dH Ω ?ł ´ ∞,µ∞,µ≠ Ω ?ł
∫p– s oI×ð Æ©Ÿ ®WKÐUIL« W¹—UOFL« WöF«Ë ©”® ÂU« WöF« sO³¹ wðü« ‰Ëb−«
”∂∞∑∞∑µ∏∞π∞Ÿ ±,µ≠∞,µ≠∞∞,µ±,µ
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
33/92
≤π
∏ Ω ≤ ´ ∂ Ω …b¹b−« ÂU« VUD« WöŽ √ ≤ Æ©WU{ô« fHMÐ dŁQ²¹ jÝu« Ê_ ® ∑ Ω≤ ´ µ Ω »öD« UöF b¹b−« wÐU׫ jÝu«
ÆWU{ôUÐ dŁQ²¹ ô t½_ ±,µ tH½ u¼ »öD« UöF b¹b−« Í—UOFL« ·«d×½ô«≤
≥ Ω±∞
±µ Ω±
±,µ Ω∑ ≠ ∏±,µ Ω …b¹b−« W¹—UOFL« VUD« WöŽ
ÆWU{ùUÐ dŁQ²ð r …b¹b−« W¹—UOFL« WöF« Ê√ Í√
∂∞ Ω ±∞ x ∂ Ω …b¹b−« ÂU« VUD« WöŽ » Æ»dC« qUŽ fHMÐ dŁQ²¹ jÝu« Ê_ µ∞ Ω±∞xµ Ω ÂU« UöFK b¹b−« wÐU׫ jÝu«
qUŽ fHMÐ dŁQ²¹ Í—UOFL« ·«d×½ô« Ê_ ±µ Ω±∞x ±,µ ÂU« UöFK b¹b−« Í—UOFL« ·«d×½ô«ÆVłuL« »dC«
≤
≥ Ω±∞
±µ Ωµ∞ ≠ ∂∞
±µ Ω …b¹b−« W¹—UOFL« VUD« WöŽÆVłu œbFÐ »dCUÐ dŁQ²ð r W¹—UOFL« WöF« Ê√ Í√
ÆÂU« UöF« dOG²Ð W¹—UOFL« UöF« dŁQð ≥ÆWOK_« ÂU« UöF« s WöŽ qJ √ q¦ XÐUŁ —«bI nO{√ «–≈ W¹—UOFL« UöF« dŁQ²ð ô √
dOG²ðË ¨Vłu œbŽ » YOŠ » q¦ XÐUŁ —«bILÐ ÂUš WöŽ q XÐd{ «–≈ W¹—UOFL« UöF« dŁQ²ð ô »ÆVUÝ œbŽ » YOŠ » XÐUŁ —«bILÐ ÂUš WöŽ q XÐd{ «–≈ jI W¹—UOFL« WöF« …—Uý≈
ÍËU¹ Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë µ ÍËU¹ UöFK wÐU׫ jÝu« ÊUJ tÐöD Î «—U³²š« rKF Èdł√ ∫©µ® ‰U¦Æ©±∞ ÍËUð WKUJ« WöF«® ±,µ
ø∂ —U³²šô« w t²öŽ X½U Íc« bLŠ√ VUDK W¹—UOFL« WöF« U ± ∫sO²Oðü« sO²U׫ s Ì q w bLŠ_ W¹—UOFL« WöF« `³Bð r ≤
ønB« w VUÞ qJ sO²öŽ rKFL« ·U{√ «–≈ √ ø±∞ w VUÞ q WöŽ rKFL« »d{ «–≈ »
μ ≠ ” Ω Ÿ W¹—UOFL« WöF« ± ≤
≥ Ω±∞
±µ Ω±
±,µ Ω µ ≠ ∂±,µ
Ω
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
34/92
≥∞
∂∏ UöFK wÐU׫ jÝu« ÊUJ ·uHB« bŠ√ w tÐöD Î «—U³²š« UO{U¹d« rKF Èdł√ ∫©∂®‰U¦Æ ∏∞ —U³²šô« w t²öŽ X½UË nB« »öÞ bŠ√ dOLÝ Æ ∏ Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë
øW¹—UOF*« dOLÝ WöŽ U √ øW¹—UOF*« t²öŽ `³Bð rË dOLÝ WöŽ `³Bð r ÆnB« w VUÞ qJ UöŽ µ rKF*« ·U{√ «–≈ »
μ ≠ ” Ω Ÿ √
±,µ Ω ±≤∏ Ω∂∏ ≠ ∏∞
∏ Ω W¹—UOFL« dOLÝ WöŽ
∏µ Ω µ ´ ∏∞ ∫WU{ù« bFÐ dOLÝ WöŽ `³Bð »
W¹—UOF*« dOLÝ WöŽ Ê–≈ tKÐUI*« W¹—UOF*« WöF« s dOG¹ ô ÂUš WöŽ qJ XÐUŁ —«bI WU{≈ Ê≈ YOŠËƱ,µ Í√ tU{ô« q³ UNH½ w¼ WU{ù« bFÐ
ÆVOðd²« vKŽ ≥ ¨ ≤≠ ÊU²¹—UOF*« ÊU²öF« ULNKÐUIð ∏¥ ¨ ¥¥ ÊU²öF« X½U «–≈ ∫©∑®‰U¦øWOK_« UöF« l¹“u² Í—UOF*« ·«d×½ù«Ë wÐU(« jÝu« u¼ U
μ
≠ ” Ω Ÿ©±®ÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ≤≠ Ω μ ≠ ¥¥ ∫ wœU³²« »dCUÐË μ ≠¥¥ Ω ≤≠ ∫ Ê–≈
μ ≠ ∏¥ Ω ≥©≤®ÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ≥ Ω μ ≠ ∏¥ ∫ wœU³²« »dCUÐË
∫·c(UÐ ©≤® ̈ ©±® 5²œUF*« q×½
≤≠ Ω
μ ≠ ¥¥≥ Ω μ ≠ ∏¥
ÕdDUÐ
µ≠ Ω ¥∞≠
∏ Ω ¥∞≠µ≠ Ω∂∞ Ω μ Ê√ Z²M¹ ©≤® ̈ ©±® 5²œUF*« ÈbŠ« w i¹uF²UÐË
∏ Ω Í—UOF*« ·«d×½ô«Ë ∂∞ Ω wÐU(« jÝu« Ê–≈
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
35/92
≥±
Ʊ∞ ÍËU¹ Í—UOFL« t«d×½«Ë µ∂ ÍËU¹ wÐU׫ tDÝË Í—«dJð l¹“uð ±øWOðü« ÂU« ©UöF«® rOI« s
Ì qJ …dþUML« W¹—UOFL« ©UöF«® rOI« w¼ U
∑∞ ̈ µ∂ ̈ ¥∞ÆrÝ ±∞ ÍËU¹ UN Í—UOF*« ·«d×½ô«Ë rÝ ±∂∏ ÍËU¹ ‰«uÞ_« s WŽuL−* wÐU(« jÝu« ≤
ø±[≤ W¹—UOF*« WLOI« tKÐUIð Íc« ‰uD« u¼ U
Ʊ∞ ÍËU¹ UöFK Í—UOF*« ·«d×½ô«Ë ∑∏ ÍËU¹ UöFK wÐU(« jÝu« ÊU ¨wzUNM« ¡UBŠù« ÊUײ« w ≥
øVOðd²« vKŽ ∂≤ ¨ π≥ 5²öF« vKŽ öBŠ 5³UD ÊU²¹—UOF*« ÊU²öF« UL¼ U ±øVOðd²« vKŽ±,¥ ¨ ∞,∂≠ 5²¹—UOF*« 5²öF« vKŽ öBŠ 5³UD ÂU)« ÊU²öF« UL¼ U ≤
∫wðü« ‰Ëb'« w w¼ UL YŠU³ WŁöŁ w VUÞ UöŽ X½U ¥
Y׳L«wÐU׫ jÝu«Í—UOFL« ·«d×½ô«VUD« WöŽWOÐdF« WGK«∏≤∂∑∞UO{U¹d«∂¥±∞∂∏œUB²ô«∑∂∏∏∞
øWŁö¦« YŠU³L« w W¹—UOFL« VUD« UöŽ w¼ U ±øvKŽ_« u¼ tH »öD t³MUÐ VUD« qOB×ð Èu² ÊU WŁö¦« YŠU³L« Í√ w ≤
∫wðüU X½UJ W¹—UOF UöŽ v≈ WOzUBŠ≈ WŽuL− w œ«dH*« X ÒuŠ µø√ WLO UÆ √≥ ¨ √ ¨ ∞,µ≠ ¨ ∞ ¨ ± ¨ ±≠ ¨ ±,µ≠
± ¨ ∞,∏≠ ÊUðdþUM*« ÊU²¹—UOF*« UL¼U²öŽ X½UË ∏∏¨ ∑∞ UOłuuMJ²« ÊUײ« w 5³UÞ U²öŽ X½U «–≈ ∂ øÊUײô« w UöFK Í—UOF*« ·«d×½ô«Ë wÐU(« jÝu« u¼ U ÆVOðd²« vKŽ
©± ≠ ≤® qzU?Ë s¹—U9
ÆVOðd²« vKŽ π ¨ ∑≤ UL¼ rOI« s WŽuL−L Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU׫ jÝu« ∑øµ¥ WLOIK WKÐUIL« W¹—UOFL« WöF« w¼ U ±
WöF« ’¨ q¹uײ« q³ ÂU« WöF« ” YOŠ ≤∞ ´ ” ± ≤ Ω ’ WöF« VŠ ÂU« rOI« X ÒuŠ ≤
øq¹uײ« «c¼ bFÐ µ¥ WLOIK W¹—UOFL« WöF« `³Bð r Æq¹uײ« bFÐ ÂU«
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
36/92
≥≤
vM×ML«Ë Í—«dJ²« lKCL«Ë Í—«dJ²« ×bL« UNM W¹—«dJ²« ‰Ë«b−« qO¦L² tHK² WO½UOÐ Î UdÞ Î UIÐUÝ XLKFð
ÆÍ—«dJ²«∫WOðü« ‰UJý_« UNL¼√ s WHK² Î ôUJý√ Í—«dJ²« vM×ML« c²¹Ë
Æl¹“u²« w …dO³J« rOI« u×½ Í√ vM×ML« s sL¹_« ·dD« w rOI« rEF UNO ed²ð w²« WU׫ ©±® qJý q¦L¹
Æl¹“u²« w …dOGB« rOI« u×½ Í√ vM×ML« s d¹_« ·dD« w rOI« rEF UNO ed²ð w²« WU׫ ©≥® qJý q¦L¹Ë jÝu« sŽ …bOF³« tdD²L« rOI« U√Ë l¹“u²« jÝË w rOI« rEF UNO ed²ð w²« WU׫ q¦LO ©≤® qJý U√Æ…—œU½Ë WKOK ÊuJ² ÈdO«Ë vMLO« sO²N−« s
UOM×M UNM »d²Ið w²« WOł–uLM« …—uB« u¼Ë ‰b²FL« Ë√ wFO³D« vM×ML« vL¹ ©≤® qJý w vM×ML« Ê≈ «œdHL« œbŽ œ«œe¹ UbMŽ p–Ë ¡Uc« V½Ë UöF«Ë Ê«“Ë_«Ë ‰«uÞ_« q¦ WOKLF« …UO׫ w UF¹“u²« s dO¦
ÆÎ «bł …dO³ …œU¹“ WUŠ q w UN²Ý«—bÐ ÂuI½ w²«
©±® qJý qŁUL² dOž Í—«dJð vM×M
©¡«u²ù« Vłu Ë√ sOLO« u×½ Ì u²K®
©≤® qJý qŁUL² vM×M
©‰b²F wFO³Þ®
©≥® qJý qŁUL² dOž Í—«dJð vM×M
©¡«u²ù« VUÝ Ë√ —UO« u×½ Ì u²K®
ÆÍ—«dJ²« v×M*UÐ Î UO½UOÐ ‰Ëb'« q¦ ÆwU²« ‰Ëb'« w WŽ“u hý n√ q² wðü« ‰Ëb'« q¦1 ∫©±®‰U¦
U¾H«±π≠±∞≤π≠≤∞≥π≠≥∞¥π≠¥∞µπ≠µ∞∂π≠∂∞∑π≠∑∞∏π≠∏∞ππ≠π∞±∞π≠±∞∞
—«dJ²«∂≤∏∏∏±∏∞≤¥∑≤∂∞±≥≥¥≤±±µ
Æ©rG »d_® hý ±∞∞∞ q² l¹“u² Í—«dJ²« ‰Ëb−«
Normal Curve ‰b²F*« wFO³D« vM×M*« ≤≠≤
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
37/92
≥≥
∫wFO³D« vM×M*« hzUBš
¨d«uL¹œ q¦ ¡ULKF« s dO¦ ÂU ¨vM×ML« «c¼ WOL¼_ t²Ý«—bÐ dAŽ lÝU²«Ë dAŽ sU¦« sO½dI« w ”ËUłË ¨”öÐôË ”ËUł w½UL_« rUF« v≈ ÈeF Ô ¹Ë t«uš s dO¦J« «uHA²«Ë ÈdðË vM×MLK WO{U¹d« WœUFL« v≈ ‰uu« © ±∏µµ≠ ±∑∑∑® vM×ML« UNOKŽ ÂuÝd WO½UL« WKLŽ vKŽ ”ËUł rUF« …—uB« w
Æ t²œUFË wFO³D«
∫oÐU« ‰Ëb−« q¦L¹ wU²« Í—«dJ²« vM×ML«
∏¥,µ∑¥,µ∂¥,µµ¥,µ¥¥,µ≥¥,µ≤¥,µ±¥,µ ±∞¥,µπ¥,µ
≤∞∞
≤µ∞
±µ∞
±∞∞
µ∞
— « d J ² «
U¾H« e«d
∫vM×M*« ’«ušÆl¹“u²K wÐU׫ jÝu« q¦Lð wI_« —u×L« l qŁUL²« —u× ¡UI²« WDI½Ë jI …bŠ«Ë WL t qŁUL² vM×M ±
«œdHL« Ác¼ qIð rŁ jÝu« w «œdHL« s dO³ œbŽ vKŽ Íu²×¹ uN ”d−« qJý t³A¹ qJý vM×MLK ≤ÆqŁUL² qJAÐË sO³½U−« vKŽ Î UO−¹—bð
s W¹UN½ ô U v≈ Î U¹dE½ Ê«b²L¹ vM×ML« wdÞ Ê√ Í√ ÁUFDI¹ Ê√ ÊËœ wI_« —u×L« s vM×ML« UdÞ »d²I¹ ≥
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
38/92
≥¥
ÆsO¼U−ðô« ö Î ö¦L l¹“u²K Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU׫ jÝu« vKŽ p– nu²¹Ë tHK² Î ôUJý√ wFO³D« vM×ML« c²¹ ¥
∫sOOðü« sOKJA« kŠô
∫YO×Ð wFO³D« l¹“u²« qJý c²ð w²« «œdHL« Ÿ“u²ð µ
bŠ«Ë Í—UOF ·«d×½« sL{ lIð ©a≈ ÆÆÆ UöF« Ë√ q²J« Ë√ ‰«uÞ_« s Í√® ôU׫ s •∂∏ w«uŠ √ bŠ«Ë Í—UOF ·«d×½« —«bILÐ l¹“u²K wÐU׫ jÝu« sŽ qIð w²« WLOI« sOÐ lIð Í√ ¨jÝu« w³½Uł vKŽ
ÆbŠ«Ë Í—UOF ·«d×½« —«bILÐ l¹“u²K wÐU׫ jÝu« sŽ b¹eð w²« WLOI« sOÐË sŽ qIð w²« WLOI« sOÐ lIð Í√ ¨jÝu« w³½Uł vKŽ sO¹—UOF sO«d×½« sL{ lIð ôU׫ s •πµ w«uŠ » —«bILÐ l¹“u²K wÐU׫ jÝu« sŽ b¹eð w²« WLOI« sOÐË sO¹—UOF sO«d×½« —«bILÐ l¹“u²K wÐU׫ jÝu«
ÆsO¹—UOF sO«d×½«
wÐU׫ jÝu« w ÊUHK²¹Ë tH½ Í—UOFL« ·«d×½ô« ULN ÊUOFO³Þ ÊUOM×M
∑∂ Ω ≤
μ
±≤ Ω ≤ µ≤ Ω
±
μ
±≤ Ω ±
µ≤ ±±≤±∞∞∏∏∑∂¥∞ ∂¥≤∏±∂
Í—UOFL« ·«d×½ô« w ÊUHK²¹Ë tH½ wÐU׫ jÝu« ULN ÊUOFO³Þ ÊUOM×Mµ≤ ∏∏∑∂¥∞ ∂¥≤∏±∂
µ≤ Ω ≤μ ±≤ Ω ≤
µ≤ Ω ±
μ
∂ Ω ±
ÆwFO³D« l¹“u²K wÐU׫ jÝu« vKŽ WôbK μ Xb²Ý«
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
39/92
≥µ
w²« WLOI« sOÐ lIð Í√ ¨jÝu« w³½Uł vKŽ W¹—UOF U«d×½« WŁöŁ sL{ lIð ôU׫ s •ππ w«uŠË ?ł ≥ —«bILÐ l¹“u²K wÐU׫ jÝu« sŽ b¹eð w²« WLOI« sOÐË ¨W¹—UOF U«d×½« ≥ —«bILÐ jÝu«sŽ qIð
ÆW¹—UOF U«d×½«
ÆWIÐU« VM« `{uð w²« WOðü« ‰UJý_« kŠô
W×H Î UIÐUÝ Ád– d Íc« hý ±∞∞∞ q² l¹“u² Í—«dJ²« ‰Ëb−« ©±® ‰U¦ v≈ …œuFUÐË wIO³Dð ‰U¦LË
∫ÊS rG±µ ÍËU¹ Í—UOFL« ·«d×½ù« Ê√Ë rG µ∑ ÍËU¹ l¹“u²K wÐU׫ jÝu« ÊQÐÎ ULKŽË ≥≤ + μ ¨ - μ sOÐ …—uB× rNK² ÊuJð Î UBý ∂∏∞ w«uŠ Í√ ’Uý_« s Î U³¹dIð •∂∏ ©±®ÆrG ∑≤¨¥≤ 5½“u« 5Ð Í√ ±µ ́ µ∑ ̈ ±µ ≠µ∑ 5Ð Í√
≤´ μ ¨ ≤ ≠ μ sOÐ …—uB× rNK² ÊuJð Î UBý πµ∞ w«uŠ Í√ ’Uý_« s •µπ w«uŠ ©≤®ÆrG ∏∑¨≤∑ 5²K²J« 5Ð Í√ ±µ x ≤ ´ µ∑ ¨ ±µ x ≤ ≠ µ∑ 5Ð Í√
≥ ´ μ ¨ ≥ ≠ μ sOÐ …—uB× rNK² ÊuJð Î UBý ππ∞ w«uŠ Í√ ’Uý_« s •ππ w«uŠ ©≥®ÆrG ±∞≤¨±≤ 5²K²J« 5Ð Í√ ±µx ≥ ´ µ∑ ¨ ±µx ≥ ≠ µ∑ 5Ð Í√
Æ—uc*« ‰Ëb'« w …œ—«u« UODF*« l œ«bŽ_«Ë VM« Ác¼ o«uð Èb s oIײ« sJ1Ë
V¹—bð∫UNO dB×Mð w²« rOI« bł ¨µ Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë ̈ ∑∞ «b¼UALK wÐU׫ jÝu« Ê√ błË ̈ wFO³Þ wzUBŠ« l¹“uð w
Æ«b¼UAL« s •ππ w«uŠ » Æ«b¼UAL« s •πµ w«uŠ » Æ«b¼UAL« s • ∂∏ √ ≠±ÆwÐU׫ UDÝu« sŽ ∏≤ WöF« U¼bF³ð w²« U«d×½ô« œbŽ U ≠≤
+ μ ≠μ
•∂∏
wÐU(« jÝu«μ) ≤+μ ≤≠ μ
•πµ
wÐU(« jÝu«μ)
≥ +μ ≥ ≠μ
•ππ
wÐU(« jÝu«μ)
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
40/92
≥∂
∫Í—UOF*« wFO³D« vM×M*«
s×½ Íc« l¹“u²K Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU׫ jÝuK Î UF³ð …œbF² Î ôUJý√ c²¹ wFO³D« vM×ML« Ê√ UMLKŽ «c¼ oOI×ð UMMJL¹Ë ¨tO »užd d√ u¼ WOFO³D« UF¹“u²« lOL− bŠu vM×M vKŽ ‰uB׫ Ê√ pý ôË ¨ÁœbBÐ
w W¹—UOFL« UöFK wÐU׫ jÝu« Ê√ –≈ ¨wFO³D« l¹“u²« w ÂU« rOI« s Î ôbÐ W¹—UOFL« ©rOI«® UöF« «b²ÝUÐ ·bN« ÆÍ—UOFL« wFO³D« vM×ML« ZðUM« wFO³D« vM×ML« vL¹Ë Î «bŠ«Ë ÍËU¹ Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë Î «dH ÍËU¹ wFO³Þ l¹“uð Í√
∫wðü« qJA« kŠô
∫Í—UOF*« wFO³D« vM×M*« X% WŠU*« ‰Ëbł
WŠUL« W³½ sO³ð WUš ‰Ë«bł ¡ULKF« l{Ë bË ¨±ÍËUð Í—UOFL« wFO³D« vM×ML« X×ð WOKJ« WŠUL«ÆW¹—UOFL« UöF« s WMOF rOIÐ …œËb×L«Ë vM×ML« X×ð
bL²FMÝË lł«dL«Ë V²J« lOLł w …bŠ«Ë WGO c²ð ô ‰Ë«b−« Ác¼Ë jÝu« sOÐ …—uB×L« WŠUL« wDF Ô ¹ Íc«Ë »U²J« W¹UN½ w o×KL« ‰Ëb−«
w WKKEL« WŠUL« q¦ Í√ Vłu œbŽ Ÿ YOŠ Ÿ W¹—UOFL« WöF«Ë wÐU׫ vM×ML« w qŁUL²« WH Âb²M W³U« Ÿ rOI U√¨—ËU−L« qJA«
ÆWœUI« WK¦_« w `C²OÝ UL
∞ ± ≤ ≥±≠≤≠≥≠
•∂∏
•πµ
•ππ
Ÿ ∞
W¹—UOFL« UöF« Í—UOFL« wFO³D« vM×ML«
rOI Í—UOFL« wFO³D« vM×ML« X×ð WŠUL« sO³¹Ë —ucL« ‰Ëb−« s ¡eł WOU²« W×HB« vKŽ lDIL«Æ±,¥π ¨ ÆÆƨ ∞,∞≥ ¨ ∞,∞≤ ¨ ∞,∞± ¨ ∞ Ω Ÿ
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
41/92
≥∑
π ∏ ∑ ∂ µ ¥ ≥ ≤ ± ∞ Ÿ ∞[∞≥µπ∞[∞∑µ¥∞[±±¥±∞[±µ±∑∞[±∏∑π
∞[∞≥±π∞[∞∑±¥∞[±±∞≥∞[±¥∏∞∞[±∏¥¥
∞[∞≤∑π∞[∞∂∑µ∞[±∞∂¥∞[±¥¥≥∞[±∏∞∏
∞[∞≤≥π∞[∞∂≥∂∞[±∞≤∂∞[±¥∞∂∞[±∑∑≤
∞[∞±ππ∞[∞µπ∂∞[∞π∏∑∞[±≥∂∏∞[±∑≥∂
∞[∞±∂∞∞[∞µµ∑∞[∞π¥∏∞[±≥≥±∞[±∑∞∞
∞[∞±≤∞∞[∞µ±∑∞[∞π±∞∞[±≤π≥∞[±∂∂¥
∞[∞∞∏∞∞[∞¥∑∏∞[∞∏∑±∞[±≤µµ∞[±∂≤∏
∞[∞∞¥∞∞[∞¥≥∏∞[∞∏≥≤∞[±≤±∑∞[±µπ±
∞[∞∞∞∞∞[∞≥π∏∞[∞∑π≥∞[±±∑π∞[±µµ¥
∞[∞∞[±∞[≤∞[≥∞[¥
∞[≤≤≤¥∞[≤µ¥π∞[≤∏µ≤∞[≥±≥≥∞[≥≥∏π
∞[≤±π∞∞[≤µ±∏∞[≤∏≤≥∞[≥±∞∂∞[≥≥∂µ
∞[≤±µ∑∞[≤¥∏∂∞[≤∑π¥∞[≥∞∑∏∞[≥≥¥∞
∞[≤±≤≥∞[≤¥µ¥∞[≤∑∂¥∞[≥∞µ±∞[≥≥±µ
∞[≤∞∏∏∞[≤¥≤≤∞[≤∑≥¥∞[≥∞≤≥∞[≥≤∏π
∞[≤∞µ¥∞[≤≥∏π∞[≤∑∞¥∞[≤ππ∂∞[≥≤∂¥
∞[≤∞±π∞[≤≥µ∑∞[≤∂∑≥∞[≤π∂∑∞[≥≤≥∏
∞[±π∏µ∞[≤≥≤¥∞[≤∂¥≤∞[≤π≥π∞[≥≤±≤
∞[±πµ∞∞[≤≤π±∞[≤∂±≤∞[≤π±∞∞[≥±∏∂
∞[±π±µ∞[≤≤µ∏∞[≤µ∏∞∞[≤∏∏±∞[≥±µπ
∞[µ∞[∂∞[∑∞[∏∞[π
∞[≥∂≤±∞[≥∏≥∞∞[¥∞±µ∞[¥±∑∑∞[¥≥±π
∞[≥µππ∞[≥∏±∞∞[≥ππ∑∞[¥±∂≤∞[¥≥∞∂
∞[≥µ∑∑∞[≥∑π∞∞[≥π∏∞∞[¥±¥∑∞[¥≤π≤
∞[≥µµ¥∞[≥∑∑∞∞[≥π∂≤∞[¥±≥±∞[¥≤∑π
∞[≥µ≥±∞[≥∑¥π∞[≥∑¥¥∞[¥±±µ
∞[¥≤∂µ
∞[≥µ∞∏∞[≥∑≤π∞[≥∑≤µ∞[¥∞ππ ∞[¥≤µ±
∞[≥¥∏µ∞[≥∑∞∏∞[≥π∞∑∞[¥∞∏≤ ∞[¥≤≥∂
∞[≥¥∂±∞[≥∂∏∂∞[≥∏∏∏∞[¥∞∂∂ ∞[¥≤≤≤
∞[≥¥≥∏∞[≥∂∂µ∞[≥∏∂π∞[¥∞¥π ∞[¥≤∞∑
∞[≥¥±≥∞[≥∂¥≥∞[≥∏¥π∞[¥∞≥≤ ∞[¥±π≤
±[∞±[±±[≤±[≥±[¥
W³łu*« Ÿ ¨ dH 5Ð Í—UOF*« wFO³D« vM×M*« X% WŠU*«
Ÿ ∞
Ʊ,±µ Ω Ÿ ¨ ∞ Ω Ÿ sOÐ …—uB×L«Ë Í—UOFL« wFO³D« vM×ML« X×ð WŠUL« błË√ ∫©±®‰U¦
µ œuLF«Ë ±,± Ω Ÿ nB« lÞUIð bMŽ l«u« œbF« v≈ dEMM ‰Ëb−« s …dýU³ WŠUL« √dI½∞,≥∑¥π œbF« b−M¨©∞,∞µ Í√®
∞,≥∑¥π w¼ WÐuKDL« WŠUL«
Ʊ,≤ Ω Ÿ X×ð WF«u«Ë Í—UOFL« wFO³D« vM×ML« X×ð WŠUL« błË√ ∫©≤®‰U¦
©∞ Ω Ÿ X×ð WŠUL«® ´ ©±,≤ Ω Ÿ ¨ ∞ Ω Ÿ sOÐ WŠUL«® Ω WÐuKDL« WŠUL«∞,µ ´ ∞,≥∏¥π Ω
∞,∏∏¥π Ω±,≤ Ω Ÿ ∞
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
42/92
≥∏
Æ∞,∑µ≠ Ω Ÿ X×ð WF«u«Ë Í—UOFL« wFO³D« vM×ML« X×ð WŠUL« błË√ ∫©≥®‰U¦
∞,∑µ Ω Ÿ ‚u WŠUL« ÍËUð ∞,∑µ≠ Ω Ÿ X×ð WŠUL«
Æ—ËU−L« qJA« kŠô©∞,∑µ= Ÿ ¨ ∞ Ω Ÿ sOÐ WŠUL«® ≠ ∞,µ Ω ©∞,∑µ Ω Ÿ® ‚u WŠUL«∞,≤∑≥¥ ≠ ∞,µ Ω
∞,≤≤∂∂ Ω∞,≤≤∂∂ w¼ ©∞,∑µ≠ Ω Ÿ® X×ð WŠUL« Ê–≈
∞,∑µ∞∞,∑µ≠ Ÿ
ø∞,∂µ w¼ UN²×ð WF«u« Í—UOFL« wFO³D« vM×ML« WŠU ÊuJð w²« Ÿ W¹—UOFL« WöF« w¼ U ∫©¥®‰U¦ Ÿ
ø Ω Ÿ ∞
sOÐ WŠUL« ÊuJðË ¨W³łu Ÿ Ê–≈ ∞,µ s d³√ ∞,∂µ WŠUL« Ê√ ULÐ ∞,±µ Ω ∞,µ ≠ ∞,∂µ w¼ W³łuL« Ÿ Ë ©∞ Ω Ÿ®
∞,±µ œbF« sŽ Y׳½Ë ‰Ëb−« w UŠUL« v≈ dEM½
∞,±µ±∑ ¨ ∞,±¥∏∞ s¹œbF« b−M tO≈ œbŽ »d√ Ë√ÁbMŽ ÊUFÞUI²¹ s¹c« œuLF«Ë nB« v≈ dEM½Ë u¼ Á—U²½ UM½S ∞,±µ œbF« v≈ »d√ ∞,±µ±∑ œbF« Ê√ ULÐË Æ∞,≥π Í√ ∞,∞π ´ ∞,≥ ∫ WÐuKDL« Ÿ ÊuJ² π œuLF«Ë ∞,≥ nB« b−M
ÆÎ U³¹dIð ∞,≥π w¼ ∞,∂µ UN²×ð WŠUL« ÊuJð w²« Ÿ WLO
∫błË√ ±∞ Ω Í—UOF ·«d×½«Ë ∂µ Ω wÐUŠ jÝuÐ wFO³D« l¹“u²« s W³¹d ÂUŽ ÊUײ« ZzU²½ X½U ∫©µ®‰U¦
Æ∂µ sŽ qIð UöŽ vKŽ «uKBŠ s¹c« W³KD« W³½ √ Ƶ∞ sŽ qIð UöŽ vKŽ «uKBŠ s¹c« W³KD« W³½ » Æ∑∞ sŽ b¹eð UöŽ vKŽ «uKBŠ s¹c« W³KDK W¹u¾L« W³M« ?ł
∂µ jÝu«∞ Ω Ÿ
w¼ ∂µ sŽ qIð UöŽ vKŽ «uKBŠ s¹c« W³KD« W³½ √•µ∞ Í√ ¨ ∞ µ∞ ÍËUðË ¨qJA« w WKKEL« WŠUL«
Æ©WU« WU׫ Ác¼ w ‰Ë«b−« ‰ULF²Ýô …—Ëd{ ô ®
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
43/92
≥π
µ∞ sŽ qIð UöŽ vKŽ «uKBŠ s¹c« W³KD« W³½ » WŠUL« Ác¼ œU−¹ôË qJA« w WKKEL« WŠUL« ÍËUð
ÆW¹—UOF WöŽ v≈ µ∞ ÂU« WöF« ‰u×½
±,µ≠ Ω ±µ ≠±∞ Ω ∂µ ≠ µ∞ ±∞ Ω μ ≠ ” ΩŸqŁUL²UÐ UN W¹ËUL« WŠUL« b−½ UM½S W³UÝ Ÿ YOŠË
∫qÐUIL« qJA« s©±,µ Ω Ÿ® ‚u WŠUL« Ω ©±,µ≠ Ω Ÿ® X×ð WŠUL«
©±,µ Ω Ÿ® Ó Ë jÝu« sOÐ WŠUL« ≠ ∞,µ Ω
∞,¥≥≥≤ ≠ ∞,µ Ω∞,∞∂∂∏ Ω•∂,∂∏ Í√ ¨ ∞,∞∂∂∏ w¼ µ∞ s q√ vKŽ «uKBŠ s¹c« W³KD« W³½ Ê√ Í√
∑∞ sŽ b¹eð UöŽ vKŽ «uKBŠ s¹c« W³KD« W³½ ?ł ÆqJA« w WKKEL« WŠUL« W³½ ÍËUð
∫W¹—UOF WöŽ v≈ ∑∞ ÂU« WöF« ‰u×½
∞,µ Ω µ±∞ Ω ∂µ ≠ ∑∞ ±∞ Ωμ
≠ ” Ω Ÿ
©∞,µΩŸ® Ë jÝu« sOÐ WŠUL« ≠ ∞,µ Ω WKKEL« WŠUL«∞,±π±µ ≠ ∞,µ Ω
∞,≥∞∏µ Ω∞,≥∞∏µ w¼ ∑∞ sŽ b¹eð UöŽ vKŽ «uKBŠ s¹c« W³KD« W³½ Ê√ Í√
•≥∞,∏µ Ω •±∞∞ x ∞,≥∞∏µ Ω W¹u¾L« W³M«
∂µ∞ Ω Ÿ
µ∞±,µ ≠
±,µ±,µ≠ ∞
∂µ
∞
∑∞
∞,µ
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
44/92
¥∞
ÍËU¹ q²JK Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë rG∂µ ÍËU¹ hý ±∞∞∞ q²J wÐU׫ jÝu« ∫©∂®‰U¦sOÐ rNK² lIð s¹c« ’Uý_« W³½ w¼ UL ¨wFO³D« l¹“u²« l³²ð q²J« X½U «–≈ ÆrG±∞
ø’Uý_« ¡ôR¼ œbŽ UË ørG∏µ ¨ rG∂µ
ÆqJA« w WKKEL« WŠUL« W³½ Ω rG∏µ ¨ rG∂µ sOÐ lIð rNK² s¹c« ’Uý_« W³½∫W¹—UOF WöŽ v≈ ∏µ ÂU« WLOI« ‰u×½
≤ Ω ≤∞±∞ Ω∂µ ≠ ∏µ
±∞ Ωμ ≠ ” Ω Ÿ
©»U²J« W¹UN½ w ‰Ëb−« s® ∞,¥∑∑≤ Ω WŠUL« W³½•¥∑,∑≤ Ω ∞,¥∑∑≤ Ω ’Uý_« W³½ Ê√ Í√
W³M« x wKJ« œbF« Ω ’Uý_« œbŽ∞,¥∑∑≤x ±∞∞∞ Ω
¥∑∑,≤ ΩÆ Î U³¹dIð Î UBý ¥∑∑ Ω
∂µ∞
∏µ≤
Í—UOF ·«d×½UÐ WŽUÝ ±≥∞∞ u¼ l½UBL« bŠ√ UN−²M¹ w²« WOzUÐdNJ« `OÐUBL« —ULŽ_ wÐU׫ jÝu« ∫©∑®‰U¦¨ Î UOz«uAŽ ̀ OÐUBL« bŠ√ dO²š«ËÆwFO³D« l¹“u²« l³²ð —ULŽ_« Ác¼ X½U «–S ÆWŽUÝ≤∞∞ Á—«bI
øWŽUÝ ±∏∞∞ s ‰uÞ√ …bL Î U×U vI³¹ Ê√ ‰UL²Š« UL
ÆqJA« w WKKEL« WŠUL« W³½ Ω WŽUݱ∏∞∞ sŽ b¹eð …bL Î U×U ÕU³BL« vI³¹ Ê√ ‰UL²Š«∫W¹—UOF WöŽ v« ±∏∞∞ œbF« ‰u×½
≤,µ Ω µ∞∞≤∞∞ Ω ±≥∞∞ ≠ ±∏∞∞ ≤∞∞ Ω μ ≠ ” ΩŸ
≤,µ Ω Ÿ Ó Ë jÝu« sOÐ WŠUL« ≠ ∞,µ Ω ©≤,µ Ω Ÿ® ‚u WŠUL«∞,¥π≥∏ ≠∞,µ Ω
∞,∞∞∂≤ Ω∞,∞∞∂≤ Ω »uKDL« ‰UL²Šô«
±∏∞∞
≤,µ
±≥∞∞
∞
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
45/92
¥±
Æ©»U²J« W¹UN½ w Í—UOFL« wFO³D« vM×ML« X×ð WŠUL« ‰Ëbł Âb²Ý«®
∫WOðü« ôU׫ s Ì q w Í—UOFL« wFO³D« vM×ML« X×ð WŠUL« błË√ ±©±,≤¥ Ω Ÿ® X×ð WF«u« √
©±,∞∑ Ω Ÿ® ‚u WF«u« » ©±,µ Ω Ÿ® Ó Ë ©≤≠ Ω Ÿ® sOÐ WF«u« ?ł
øWOðü« ôU׫ s q w ©Ÿ ® W¹—UOFL« WöF« w¼ U ≤
∞,
∏µ w¼ Ÿ X×ð WŠUL« √ ∞,∞≤≤∏ w¼ Ÿ ‚u WŠUL« » ∞,∂ w¼ Ÿ ¨ Ÿ≠ sOÐ WŠUL« ?ł
Í—UOF ·«d×½«Ë rž≤∞∞ ÍËU¹ wÐUŠ jÝuÐ wFO³Þ qJAÐ Î U³¹dIð Ÿ“u²¹ e³ t−²M¹ Íc« e³« nOž— WK² ≥Ærž±∞ ÍËU¹
ørž≤±µ sŽ UN²K² qIðË lMBL« UN−²M¹ w²« WHž—_« W³½ U √
ørž±π∂ sŽ UN²K² qIðôË lMBL« UN−²M¹ w²« WHž—_« W³½ U »
∑≤ ÍËU¹ wÐUŠ jÝuÐ wFO³D« l¹“u²« Î U³¹dIð l³²ð UO{U¹d« —U³²š« w ·uHB« bŠ√ W³KÞ UöŽ X½U «–≈ ¥π Ω Í—UOF ·«d×½«Ë
øsO׳UM« W³KDK W¹u¾L« W³M« UL ∂∞Ω—U³²šô« w ÕU−M« WöŽ X½U «–≈ √ øπ∞ s d³√ t²öŽ ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« UL Î UOz«uAŽ W³KD« bŠ√ dO²š« «–≈ »
ø…ezUł ‰UMO VUÞ UNOKŽ qB×¹ WöŽ q√ UL W¹d¹bIð ez«uł W³KD« s •±∞ qC√ ¡UDŽ≈ —dIð «–≈ ?ł
Ærݱ∞ Í—UOF ·«d×½«Ë rݱ∂µ ÍËU¹ wÐUŠ jÝuÐ wFO³D« l¹“u²« l³²ð W³KD« s WŽuL− ‰«uÞ√ X½U «–≈ µørݱ∏∞ ¨rݱµ∞ sOÐ rN«uÞ√ dB×Mð Íc« W³KD« W³½ U √
øVUÞµ∞∞∞ u¼ t³KDK wKJ« ŸuL−L« ÊU «–≈ W³KD« ¡ôR¼ œbŽ U » øt²×ð W³KD« s •∏≤,≥∏ lI¹ Í c« ‰uD« u¼ U ?ł
©≤ ≠ ≤® qzU?Ë s¹—U9
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
46/92
¥≤
tMO½«uË ‰UL²Šô« ÂuNH ∫WFł«d ≥≠≤Æ WOz«uAF« »—U−²« vL¹ U Î UÝUÝ√ ôUL²Šô« W¹dE½ ‰ËUM²ð
WŽuL− b¹b×ð lOD²½ UMMJË ¨UNz«dł≈ q³ UN²−O²½ b¹b×ð lOD²½ ô w²« WÐd−²« w¼ ∫WOz«uAF« WÐd−²« WOzeł WŽuL− q vLðË ̈ © ® WÐd−²K wMOF« ⁄«dH« WŽuL−L« Ác¼ vLð ÆWÐd−²K WMJLL« ZzU²M« lOLł
Æ©Õ ® Î UŁœUŠ wMOF« ⁄«dH« s sOOF² Æ©Õ ®‰ ÀœU׫ ‰UL²Š« vL¹Ë ÀœU׫ «c¼ ŸuË Wd Ë√ WO½UJ≈ sŽ d³F¹ œbŽ ÀœUŠ qJÐ j³ðd¹ÀœU׫ ŸuË «d œbŽ sOÐ W³M« Í√ ¨ÀœU×K w³M« —«dJ²« vL¹ U v≈ Î UOKLŽ ¡u−K« sJL¹ ¨‰UL²Šô« «c¼ —«dJ²« tM »d²I¹ Íc« œbF« vL¹Ë ÆÀœU×K w³¹d−²« ‰UL²Šô« vŽb¹ U «c¼Ë WÐd−²« ¡«dł≈ «d œbŽË
ÆÀœU׫ ‰UL²Š« vL¹ Î «bł …dO³ …œU¹“ WÐd−²« ¡«dł≈ «d …œU¹“ bMŽ ÀœU×K w³¹d−²« ‰UL²Šô« Ë√ w³M« ⁄«dH« wL½ UM½S ¨Ÿuu« w UNH½ WdH« wMOF« ⁄«dH« dUMŽ lOL− UNO ÊuJ¹ w²« WU« WU׫ w
ÀœU׫ dUMŽ œbŽ dUMŽ œbŽ
Ω ©Õ ®‰ Î U¹dE½ Î ôUL²Š« czbMŽ ÀœU×K sOF½Ë Î ULE²M Î UOMOŽ Î Už«d wMOF«
∫ôUL²Šô« 5½«u
©∞ Ω © ®‰
® ∞ Ω qOײL« ÀœU׫ ‰UL²Š« ±
©± Ω © ®‰® ± Ω bRL« ÀœU׫ ‰UL²Š« ≤©± ©Õ ®‰ ∞® ± ¨ ∞ sOÐ dB×M¹ Õ ÀœUŠ Í√ ‰UL²Š« ≥
w½U¦« ‰UL²Š« ´ ‰Ë_« ‰UL²Š« Ω sOKBHM sOŁœUŠ œU×ð« ‰UL²Š« ¥ ©≤Õ ®‰ ´ ©±Õ ®‰ Ω ©≤Õ ±Õ ®‰ ÊS Ω ≤Õ ±Õ ÊU «–≈ t½√ Í√
ÆsOŁœU׫ lÞUIð ‰UL²Š« ≠ w½U¦« ‰UL²Š« ´ ‰Ë_« ‰UL²Š« ΩsOŁœUŠ Í√ œU×ð« ‰UL²Š« µ©≤Õ ±Õ ®‰ ≠ ©≤Õ ®‰ ´ ©±Õ ®‰ Ω ©≤Õ ±Õ ®‰ Ê√ Í√
± Ω ÀœU׫ p– WLL² ‰UL²Š« ´ ÀœUŠ ‰UL²Š« ∂± Ω ©Õ ®‰ ´ ©Õ ®‰ Ê√ Í√
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
47/92
¥≥
ŸuL−L«≤≥¥µ∂∑∏π±∞±±±≤
—«dJ²«∞µ∏∑µ∑∂≤∂¥∞
ÆsO¹uKF« sONłu« vKŽ s¹œbF« ŸuL− WEŠöË sOLE²M œd½ Íd−Š ¡UI≈ s WÐd−ð ÊuJ²ð ∫©±® ‰U¦∫WOðü« ZzU²M« q−ÝË …d µ∞ WÐd−²« —«dJ²Ð VUÞ ÂU
ø© ∂ Ω ŸuL− vKŽ ‰uB׫ ® ÀœU× w³¹d−²« ‰UL²Šô« U ± ø© ∂ Ω ŸuL− vKŽ ‰uB׫ ® ÀœU× ÍdEM« ‰UL²Šô« U ≤
©∂® ŸuL−L« vKŽ ‰uB׫ «d œbŽWÐd−²« ¡«dł« «d œbŽ Ω ÀœU×K w³M« —«dJ²« Ω w³¹d−²« ‰UL²Šô« ±
∞,± Ω µµ∞ Ω Õ dUMŽ œbŽ dUMŽ œbŽ Ω ÍdEM« ‰UL²Šô« ≤
{©±¨ µ® ¨ ©≤ ¨ ¥® ¨ ©≥ ¨ ≥® ¨ ©¥ ¨ ≤® ¨ ©µ ¨ ±® } Ω Õ{©∂ ¨ ∂® ¨ÆÆÆÆÆ ¨ ©≤ ̈ ±® ¨ ©± ¨ ±® } Ω
∞,±≥π Ω µ≥∂ Ω ©Õ ®‰
«dL« s Î «bł Î «dO³ Î «œbŽ WÐd−²« X¹dł√uË ÍdEM« ‰UL²Šô«Ë w³¹d−²« ‰UL²Šô« w²LO sOÐ ‚dH« kŠô ÆÍdEM« ‰UL²Šô« s w³¹d−²« ‰UL²Šô« »d²ô
Æ¥∞ v≈ ± s ÂU—_« qL×ð WUDÐ ¥∞ tÐ ‚ËbM s Î UOz«uAŽ …bŠ«Ë WUDÐ X³×Ý ∫©≤® ‰U¦∫WÐu×L« WUD³« vKŽ œbF« ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« U
øÎ UOłË“ Î «œbŽ ±
øµ vKŽ WLI« q³I¹ Î «œbŽ ≤
øµ vKŽ WLI« q³I¹ Ë√ Î UOłË“ Î «œbŽ ≥
{¥∞ ¨ ÆÆÆÆÆ ¨ ≤ ¨ ± } ΩÆwłË“ œbŽ vKŽ ‰uB׫ ÀœUŠ ∫ ±Õ sJO
Ƶ vKŽ WLI« q³I¹ œbŽ vKŽ ‰uB׫ ÀœUŠ ∫ ≤Õ
≤∞ dUMF« œbŽË {¥∞ ¨ÆÆÆÆÆ ¨ ∂ ¨ ¥ ¨ ≤ } Ω ±Õ
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
48/92
¥¥
∏ dUMF« œbŽË {¥∞ ¨ ÆÆÆ ¨ ±µ ¨ ±∞ ¨ µ} Ω ≤Õ ±≤ Ω
≤∞¥∞ Ω
Õ dUMŽ œbŽ dUMŽ œbŽ Ω ©±
Õ ®‰
±µ Ω ∏¥∞ Ω Õ dUMŽ œbŽ dUMŽ œbŽ Ω ©≤Õ®‰
©≤Õ ±Õ ®‰ ≠ ©≤Õ®‰ ´ ©±Õ®‰ Ω ©≤Õ ±Õ ®‰
©≤Õ ±Õ ®‰ ≠ ±µ ´ ±
≤ Ω±
±∞ Ω¥
¥∞ Ω ©≤Õ ±Õ ®‰ ∫ Ê–≈ {¥∞ ¨ ≥∞ ¨ ≤∞ ¨ ±∞ } Ω ≤Õ ±Õ sJ
∂±∞ Ω ±±∞ ≠ ±µ ´ ±≤ Ω ©≤Õ ±Õ ®‰
©≥ ≠ ≤® qzU?Ë s¹—U9
ÆÊ«d¼UE« Ê«œbF« kŠuË Èdš_« ¡«—Ë …bŠ«u« ÊUðd X³×Ý Æ≥ ¨ ≤ ¨ ± WLdË WKŁUL² «d ≥ tÐ fO ±ÆŸUł—ù« l V׫ ÊU «–≈ √ ∫WÐd−²K wMOF« ⁄«dH« u¼ U
ÆWO½UO³« …d−AUÐ sF²Ý« ÆŸUł—≈ ÊËœ V׫ ÊU «–≈ » Æ…d¼UE« WŁö¦« tłË_« XEŠuË WLE²M œuI½ lD ≥ XOI√ ≤
ÆWÐd−²K wMOF« ⁄«dH« V²√ √ ∫UNM q ‰UL²Š« VŠ« rŁ WOðü« Àœ«u׫ V²√ »
Æq_« vKŽ …bŠ«Ë …—u vKŽ ‰uB׫ ÀœUŠ ∫ ±ÕÆUÐU² ≥ Ë√ —u ≥ vKŽ ‰uB׫ ÀœUŠ ∫ ≤Õ
Æd¦_« vKŽ sO²ÐU² vKŽ ‰uB׫ ÀœUŠ ∫ ≥Õ
∞[≥ Ω ©≤Õ ±Õ ®‰ ¨ ∞,∑ Ω ©≤Õ®‰ ¨ ∞,µ Ω ©±Õ ®‰ YO×Ð sOŁœUŠ ≤Õ ¨ ±Õ ÊU «–≈ ≥Æ©≤Õ ±Õ ®‰ √ ∫błË√Æ©≤Õ ±Õ ®‰ »
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
49/92
¥µ
b ≤Õ dš¬ Î UŁœUŠ ÊQÐ Î ULKŽ Ë√ ◊dAÐ ±Õ sOF ÀœUŠ ŸuË ‰UL²Š« u¼Ë ◊ËdAL« ‰UL²Šô« Î UIÐUÝ XdFð∫«cJ¼ · ] dF Ô ¹Ë ©≤Õ Ø ±Õ®‰ edUÐ ‰UL²Šô« «cN ed¹ ÆlË
∫ÊU «–≈ ¨d¼UE« œbF« WEŠöË ¨…bŠ«Ë …d rE²M œd½ d−Š ¡UI≈ WÐd−ð w ∫©±®‰U¦
¥ sŽ qI¹ œbŽ —uNþ ÀœUŠ ∫±ÕwłË“ œbŽ —uNþ ÀœUŠ ∫≤Õ©≤Õرծ‰ ∫ błËQ
∂ ¨ µ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± Ω≥¨ ≤ ¨ ± Ω ±Õ
∂¨ ¥ ¨ ≤ Ω ≤Õ© ≤Õ ±Õ ®‰©≤Õ®‰ Ω©≤Õرծ‰
±
∂ Ω ©≤Õ ±Õ ® ‰ Ê–≈ ≤ Ω ≤Õ ±Õ sJ±
≤ Ω≥
∂ Ω≤Õ dUMŽ œbŽ
dUMŽ œbŽ Ω ©≤Õ® ‰±
≥ Ω≤
± x
±
∂ Ω±
≤ õ±
∂ Ω ©≤Õرծ ‰ Ê√ Í√s ÊuJL«Ë ≤Õ Ê√ UMLKŽ «–≈ ±Õ ÀËb× …bŠ«Ë Wd „UM¼ Ê√ YOŠ WuNÐ q׫ W× WEŠö pMJL¹
±≥ Ω ©≤Õرծ ‰ Ê√ Í√ W¹ËU² ’d ÀöŁ sOÐ s …bŠ«Ë Wd „UM¼ Ê√ Í√ oI×ð b dUMŽ WŁöŁ
±Õ ≤Õ ¥x
∂x ≤x≥x
±xµx
∫n¹dFð∞ Ω ©≤Õ ®‰ ¨
©≤Õ ±Õ®‰©≤Õ®‰
Ω ©≤Õ Ø±Õ® ‰
Conditional Probability ◊ËdA*« ‰UL²Šù« ¥≠≤
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
50/92
¥∂
±
≥ Ω ©≤Õرծ‰ ULMOШ±
≤ Ω ©±Õ® ‰ Ê√ b−½ oÐU« ‰U¦L« wH ©≤Õرծ‰ ¨ ©±Õ® ‰ sOÐ ‚d „UM¼ ± ≤Õ ŸuuÐ UMLKŽ ÊS wFO³Þ d√ «c¼Ë ©±Õ® ‰ WLO s dOž lË b ≤Õ ÊQÐ WOU{ ù« UuKFL« Ê√ Í√
Æ fOË ≤Õ u¼ b¹bł hKI wMOŽ ¡UC v≈ Î UÐuM ±Õ ŸuË ‰UL²Š« qF−¹ ◊ËdAL« ‰UL²Šô« Êu½UI Èdš√ WGO oO³Dð UMMJL¹ ≠oÐU« ‰U¦L« w UL≠ rE²ML« ‰UL²Šô« ôUŠ w ≤∫wU²U w¼Ë
© ≤Õ ±Õ ®dUMŽ œbŽ ©≤Õ®dUMŽ œbŽ Ω©≤Õرծ‰
±
≥ Ω© ≤Õ ±Õ ®dUMŽ œbŽ
©≤Õ®dUMŽ œbŽ Ω ©≤Õرծ‰ ¨ oÐU« ‰U¦L« wH
ÆrE²ML« ‰UL²Šô« ôUŠ w UNULF²Ý« l−A¹Ë WDOÐ WGO w¼Ë
œbF« ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« u¼ U ¨s¹d¼UE« s¹œbF« WEŠöË …bŠ«Ë …d sOLE²M œd½ Íd−Š w— WÐd−ð w ∫©≤®‰U¦øπ Ω s¹d¼UE« s¹œbF« ŸuL− ÊQÐ Î ULKŽ ≥ Ω sONłu« bŠ√ vKŽ d¼UE«
π s¹œbF« ŸuL− ÀœUŠ∫ ≤Õ ¨sONłu« bŠ√ vKŽ ≥ œbF« —uNþ ÀœUŠ ∫±Õ sJO∫Ê–≈ rE²M ‰UL²Šô« ¡UC© ≤Õ ±Õ ®dUMŽ œbŽ
©≤Õ®dUMŽ œbŽ Ω ©≤Õ Ø ±Õ®‰
©≥ ¨ ∂® ¨ ©¥ ¨ µ® ¨ ©µ ¨ ¥® ¨©∂ ̈ ≥® Ω ≤Õ sJsONłu« bŠ√ vKŽ ≥ vKŽ ‰uB׫ ÀœUŠ ∫ ≤Õ ±Õ
π Ω s¹œbF« ŸuL−Ë©≥ ¨ ∂® ¨ ©∂ ¨ ≥ ® Ω
±
≤ Ω≤
¥ Ω ©≤Õ Ø ±Õ®‰
oIײ¹ ±Õ ÀœU×U ¡UMŽ ÊËœ q׫ W× WEŠö pMJL¹ËsOÐ s ÊU²d „UMN ¨oI×ð b ≤Õ Ê√ UM²dF bFÐ ©≥ ̈ ∂® ̈ ©∂ ̈ ≥ ® ∫sO²−O²M« vKŽ ‰uB׫ bMŽ
±
≤ Ω≤
¥ Í√ W¹ËU² ’d ¥
x
±≤
≥¥µ∂
± ≤ ≥ ¥ µ ∂
x x x x
x
x
x
x
±Õ
‰Ë_« œdM« d−Š
w ½ U ¦ « œ d M « d − Š
∫ U?EŠö
≤Õ x
x
8/18/2019 Math Adabi 11 P1
51/92
¥∑
∫◊ËdA*« ‰UL²Šö »dC« …bŽU
©±®ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ© ≤Õ ±Õ ®‰
©≤Õ®‰ Ω ©≤Õرծ‰ ∫Ê√ rKF½
©≤®ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ © ±Õ ≤Õ ®‰©±Õ®‰ Ω ©±ÕØ≤Õ®‰
∫ÊuJ¹ © ±Õ ≤Õ ®‰ Ω © ≤Õ ±Õ ®‰ Ê√ WEŠöË ©≤® ¨ ©±® sO²œUFL« w wœU³²« »dC« WOKLŽ ¡«dłSÐ
©≤Õرծ‰ x ©≤Õ®‰ Ω © ≤Õ ±Õ ®‰©±ÕØ≤Õ®‰ x ©±Õ®‰ Ω
ƉË_« ŸuË ◊dAÐ dšü« ŸuË ‰UL²Š«x
UL¼bŠ√ ŸuË ‰UL²Š« ÍËU¹ Î UF sOŁœUŠ ŸuË ‰UL²Š« Ê√ Í√
ÆŸUł—≈ ÊËœ Î UOz«uAŽ w«u²« vKŽ ÊUðd X³×Ý Æ¡UCOÐ …d ±≤ ¨¡«œuÝ «d ∏ UNÐ W³OIŠ ∫©≥® ‰U¦øs¹Ë«œuÝ ÊUðdJ« ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« U
Æ¡«œuÝ vË_« …dJ« ÀœUŠ∫ ±Õ sJOÆ¡«œuÝ WO½U¦« …dJ« ÀœUŠ ∫ ≤Õ©≤Õ ±Õ®‰ Ωs¹Ë«œuÝ ÊUðdJ« ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« Ê–≈
©±ÕØ≤Õ ®‰ x ©±Õ® ‰ Ω∑
±π x ∏
≤∞ Ωµ∂
≥∏∞ Ω
¡UCOб±
±π
¡«œuÝ
¡«œuÝ