數學歸納法 舉例 數學歸納法原理 說明 證明最初的猜測

作者：張雅超

舉例Q: Sn=1+3+5+……(2n-1)=?觀察一下 n=1 S1=1=12

n=2 S2=1+3=4=22

n=3 S3=1+3+5=9=32

n=4 S4=1+3+5+7=16=42

猜測 : Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2

但是這樣不夠喔！我們並不知道，對於所有的自然數 n，是否我們的猜測都對？

數學歸納法原理對所有自然數 n ，對應有一數學命題

p(n) p(1) 成立， 對任意自然數 k ， p(k) 成立

p(k+1) 成立則對所有自然數 n ， p(n) 都成立。

說明數學歸納法可用下列的比喻來說明：

想要推倒一排並列的腳踏車。

p(1) 成立 首先，一定先看看第一台有沒有被推倒。

p(1) 成立 p(2) 成立

p(2) 成立 p(3) 成立接著看看，如果第一台推倒，第二台會不會跟著倒。

如果第二台推倒，第三台會不會跟著倒。

p(k) 成立 p(k+1) 成立要是能證明 “如果第 k 台倒了，第 k+1 台也會跟著倒”，那不管有幾台腳踏車，總有一天也會全被推倒。

證明最初的猜測 證明：對所有的自然數 n ， 1+3+5+…..

+(2n-1)=n2。 <pf> 當 n=1 時， 1=12 等式成立。 設 n=k 時，等式成立 即 1+3+5+…..+(2k-1)=k2

則 1+3+5+…..+(2k-1)+(2k+1)=k2+(2k+1) =(k+1)2

得證 n=k+1 時等式也成立由數學歸納法得知，原等式恆成立。