พื้นฐานการพิสจูนท์างคณิตศาสตร ์

P. Pooksombat [2011/10/14]

Version 1.0

ตดิตามผลงาน และสอบถามไดท้ี่ ppooksombat.blogspot.com

1

บทที่ 1 : บทน า

เนือ่งจากผูเ้ขยีนไดเ้ห็นถึงปัญหาของนกัเรียนขัน้มธัยมศึกษาทัว่ไป ท่ีไมส่ามารถท าโจทยป์ระเภท

“พิสจูน”์ ได ้เพราะตามหลกัสตูรมธัยมศึกษานัน้ไมไ่ดม้ีเนือ้หาการพิสจูน ์จึงเขยีนเอกสารฉบบันีข้ึน้มาเพื่อ

เผยแพร่ความรูใ้หมท่างคณิตศาสตรท่ี์ใครหลายคนยงัไมท่ราบชดัเจนนกั และการพิสจูนน์ีเ้องก็เป็นสว่นหนึง่

ในขอ้สอบชิงทนุตา่งๆดว้ย จึงเป็นสิ่งส าคญัย่ิงส าหรบัผูเ้ตรียมตวัสอบทนุ และหวังเป็นอย่างย่ิงว่าเอกสาร

ฉบบันีจ้ะเป็นประโยชนต์อ่ผูอ้่าน ทัง้ในระดบัมธัยมศึกษา และระดบัมหาวิทยาลยัในเบ้ืองตน้

บทที่ 2 : เนือ้หาตอนที่ 1 การพิสจูนโ์ดยทัว่ไป

การพิสจูน ์คือการแสดงใหเ้ห็นว่าส่ิงท่ีโจทยก์ าหนดนัน้เป็นจริงตามท่ีสัง่ หรือโจทยอ์าจใหพิ้สจูนไ์ดว่้า

ขอ้ความตอ่ไปนี ้เป็นจริงหรือเป็นเท็จแลว้แตโ่จทยก์ าหนด

การพิสจูนข์อ้ความตา่งๆโดยทัว่ไป มีวิธีท าได ้3 แนวทางที่ถือเป็นพ้ืนฐานส าหรบัการพิสจูน ์ไดแ้ก ่

การพิสูจน์โดยตรง, การพิสูจน์แบบ Contradiction และการพิสูจน์แบบ Contrapositive ซ่ึงแตล่ะวิธีจะมี

กระบวนการตา่งๆกนัดงันี้

- การพิสจูนโ์ดยตรง คือการพิสจูนต์ามตวั ตอ้งท าการวิเคราะหเ์ป็นขัน้เป็นตอนตามปกต ิโดยอาจ

ใชท้ฤษฎีตา่งๆเขา้มาชว่ยในการวิเคราะหแ์ละอธิบายได ้หรือบางทีการพิสจูนว่์าไมจ่ริงก็อาจ

ยกตวัอย่างคา้นตรงๆไดเ้ชน่กนั

- การพิสจูนแ์บบ Contradiction คือการพิสจูนโ์ดยสมมตสิิ่งท่ีตรงขา้มกบัที่โจทยใ์หพิ้สจูนว่์าเป็น

จริง จากนัน้ก็ท าการวิเคราะหม์าเร่ือยๆจนกว่าจะเจอขอ้ขดัแยง้ ถึงสรปุไดว่้าท่ีเราสมมตไิวเ้ป็น

เท็จ นัน่คือเป็นการจบการพิสจูนว่์าโจทยท่ี์ใหเ้ป็นจริง (วิธีนีพ้บบ่อย)

- การพิสจูนแ์บบ Contrapositive คือการใชข้อ้ความท่ีสมมลูกนัพิสจูนแ์ทน โดยเปลี่ยนขอ้ความ

พิสจูนจ์าก “A แลว้ B” เป็น “~B แลว้ ~A” แทน ซ่ึงก็คือขอ้ความเดียวกนัแตอ่าจพิสจูนง์า่ยกว่า

นอกจากนีผ้ ูอ้า่นอาจเจอค าว่า “โดยไมเ่สียนยัทัว่ไป” หรือ “Without Loss of Generality” (WLOG)

ซ่ึงก็คือ การสมมตอิย่างใดอย่างหนึง่ ซ่ึงไมม่ีผลตอ่การพิสจูน ์(หรืออาจน ามาเรียงสบัเปลี่ยนไดใ้นภายหลงั

ส าหรบับางโจทย)์ โดยในบทถดัๆไปนัน้ ผูเ้ขยีนขอใชค้ าว่า “WLOG” แทนค าว่า “สมมตโิดยไมเ่สียนยั”

จากการอธิบายรายละเอียดแตล่ะวิธีไปแลว้ คาดว่าผูอ้า่นหลายท่านยงัสงสยัอยู ่ดงันัน้ผูเ้ขยีนจึงขอ

เสนอตวัอย่างโจทยใ์นบทถดัไปเลย

2

บทที่ 3 : เฉลยโจทยปั์ญหาตอนที่ 1 การพิสจูนโ์ดยทัว่ไป

1. ให ้𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 เป็นรากสมการ 𝑧3 + 𝑎1𝑧

2 + 𝑎2𝑧 + 𝑎3 = 0 โดยท่ี 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 เป็นจ านวนเชิงซอ้น และให ้

𝐴 = max{ 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 } จงพิสจูนว่์า 𝑧𝑖 < 1 + 𝐴 ทกุ 𝑖 = 1,2,3

พิสจูน ์ (วิธีตรง) ให ้z เป็นรากสมการดงักลา่ว แสดงว่า – 𝑧3 = 𝑎1𝑧2 + 𝑎2𝑧 + 𝑎3

ดงันัน้ |𝑧|3 = |𝑎1𝑧2 + 𝑎2𝑧 + 𝑎3|

แตโ่ดยอสมการสามเหล่ียม, 𝑎1𝑧2 + 𝑎2𝑧 + 𝑎3 ≤ 𝑎1 𝑧

2 + 𝑎2 𝑧 + |𝑎3|

ท าให ้ |𝑧|3 ≤ 𝑎1 𝑧 2 + 𝑎2 𝑧 + |𝑎3|

เนือ่งจาก 𝐴 = max{ 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 } แสดงว่า 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ≤ 𝐴

|𝑧|3 ≤ 𝐴 𝑧 2 + 𝐴 𝑧 + 𝐴

แต ่|𝑧|3 − 1 < 𝑧 3, |𝑧|3 − 1 < 𝐴{ 𝑧 2 + 𝑧 + 1}

เพราะว่า 𝑧 2 + 𝑧 + 1 > 0 จึงหารสองฝัง่อสมการไดเ้ลยเป็น 𝑧 − 1 < 𝐴

ได ้ 𝑧 < 1 + 𝐴 #

2. ก าหนด 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑚, 𝑛 > 0 โดยท่ี 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 = 𝑐𝑚 และ 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 = 𝑐𝑛 จงพิสจูนว่์า 𝑚 = 𝑛 เท่านัน้

พิสจูน ์ (Contradiction) สมมตว่ิา 𝑚 ≠ 𝑛 และเราสามารถ WLOG ว่า 𝑚 > 𝑛

จากสมการท่ีโจทยก์ าหนด ชดัเจนว่า 𝑐 > 𝑎 และ 𝑐 > 𝑏

ดงันัน้ 𝑐𝑚−𝑛 > 𝑎𝑚−𝑛 และ 𝑐𝑚−𝑛 > 𝑏𝑚−𝑛

𝑐𝑚−𝑛𝑎𝑛 > 𝑎𝑚 และ 𝑐𝑚−𝑛𝑏𝑛 > 𝑏𝑚

น าสองอสมการมาบวกกนัได ้ 𝑐𝑚−𝑛 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 > 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚

แทนสมการจากโจทยไ์ด ้ 𝑐𝑚−𝑛(𝑐𝑛) > 𝑐𝑚

𝑐𝑚 > 𝑐𝑚 เกิดขอ้ขดัแยง้

แสดงว่าท่ีสมมตไิวไ้มจ่ริง นัน่คือ 𝑚 = 𝑛 เท่านัน้ #

3

3. ในการแขง่ขนัเป่าย้ิงฉบุของคนกลุม่หนึง่ แขง่แบบพบกนัหมดทกุคู ่ถา้ชนะได ้1 คะแนน ถา้เสมอได ้½

คะแนน และถา้แพไ้มไ่ดค้ะแนน ถา้ในการแขง่ขนัครัง้นีม้ีผูท่ี้ไดค้ะแนนเท่ากนั จงพิสจูนว่์ามีบางคูท่ี่มีการเสมอ

กนั ไมเ่ชน่นัน้ก็จะเกิดเหตกุารณท่ี์ A ชนะ B, B ชนะ C และ C ชนะ A (เรียก 3-cycle)

พิสจูน ์ (Contrapositive) “ถา้มีคนไดค้ะแนนเท่ากนั แลว้มีบางคูเ่สมอ หรือ เกิด 3-cycle”

เราจะพิสจูน ์“ถา้ทกุคูไ่มม่ีการเสมอกนั และไมเ่กิด 3-cycle แลว้ไมม่ีคนไดค้ะแนนเท่ากนั” แทน

By Contradiction, สมมตว่ิามีบางคูไ่ดค้ะแนนเท่ากนั จากเงือ่นไขท่ีว่า ไมม่ีการเสมอ ไมม่ี 3-cycle

สมมตเิป็น M และ N ท่ีไดค้ะแนนเท่ากนั นัน่คือแตล่ะคนชนะคนอ่ืนมาแลว้ k คนเท่ากนั

แตเ่นือ่งจากไมมี่การเสมอ และการแขง่ขนัพบกนัทกุคู ่เราสามารถ WLOG ไดว่้า M ชนะ N

ฉะนัน้ M ชนะคนอ่ืนอีก k-1 คน แต ่N ชนะคนอ่ืนอีกถึง k คน

แสดงว่าในกลุม่ k คนท่ี N ชนะ มีบางคนท่ี M ไมไ่ดช้นะ เพราะถา้ทกุคนท่ี N ชนะถกู M ชนะหมด

ก็จะขดัแยง้ท่ี M ชนะเพียง k-1 คน แตค่นทีแพ ้N มีถึง k คนซ่ึงเยอะกว่า

นัน่คือ มีบางคนท่ี N ชนะ แต ่M ไมไ่ดช้นะ และจากท่ีไมม่ีการเสมอ บอกว่าคนนัน้ตอ้งชนะ M เท่านัน้

จึงเกดิ X ซ่ึง X ชนะ M, M ชนะ N และ N ชนะ X กลายเป็นว่าเกิด 3-cycle ขดัแยง้กบัที่ก าหนดไว ้

ฉะนัน้ไมม่ีคนบางคูซ่ึ่งไดค้ะแนนเท่ากนั #

(หมายเหต ุ: เราไดพิ้สจูนแ์ลว้ว่าขอ้ความ

“ถา้ทกุคูไ่มม่ีการเสมอกนั และไมเ่กิด 3-cycle แลว้ไมม่ีคนไดค้ะแนนเท่ากนั”

เป็นจริง ซ่ึงขอ้ความนีก็้สมมลูกบัขอ้ความ

“ถา้มีคนไดค้ะแนนเท่ากนั แลว้มีบางคูเ่สมอ หรือ เกิด 3-cycle”

จึงเป็นอนัจบการพิสจูน)์

4

4. ก าหนดจ านวนจริง 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≠ 0 ซ่ึง 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 และ 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 = 0 พิสจูนว่์า −4 ≤ 𝑥𝑦𝑧 < 0

พิสจูน ์ สมการที่มี 𝑥, 𝑦, 𝑧 เป็นค าตอบคือ 𝐴3 − 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝐴2 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 𝐴 − 𝑥𝑦𝑧 = 0

ให ้𝑝 = 𝑥𝑦𝑧 แสดงว่า 𝑝 = 𝐴3 − 3𝐴2 , By Contradiction, สมมตใิห ้𝑝 ≥ 0 หรือ 𝑝 < −4

ถา้ 𝑝 ≥ 0

𝐴3 − 3𝐴2 ≥ 0

𝐴2(𝐴 − 3) ≥ 0

𝐴 ≥ 3 นัน่คือ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ 3 ท าให ้𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 9 ขดัแยง้กบั 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3

และถา้ 𝑝 < −4

𝐴3 − 3𝐴2 < −4

𝐴 + 1 𝐴 − 2 2 < 0

𝐴 < −1 นัน่คือ 𝑥, 𝑦, 𝑧 < −1 ท าให ้𝑥 + 𝑦 + 𝑧 < −3 ขดัแยง้กบั 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3

ดงันัน้ −4 ≤ 𝑥𝑦𝑧 < 0 #

5. ก าหนดจ านวนนบั 𝑚, 𝑛 โดยท่ี 𝑚 ≠ 𝑛 และ 𝑚 + 𝑛 + 1 | 2 𝑚2 + 𝑛2 − 1 จงพิสจูนว่์า 𝑚 + 𝑛 + 1

เป็นจ านวนประกอบ (ไมเ่ป็นจ านวนเฉพาะ)

พิสจูน ์ By Contradiction, สมมตใิห ้𝑚 + 𝑛 + 1 เป็นจ านวนเฉพาะ

แตจ่าก 2 𝑚2 + 𝑛2 − 1 = 𝑚 + 𝑛 2 + 𝑚 − 𝑛 2 − 1

= 𝑚 + 𝑛 + 1 (𝑚 + 𝑛 − 1) + 𝑚 − 𝑛 2

ดงันัน้ 𝑚 + 𝑛 + 1 | 𝑚 − 𝑛 2

แต ่𝑚 + 𝑛 + 1 เป็นจ านวนเฉพาะ จึงสามารถพิจารณาเพียงก าลงั 1 ได ้

ไดเ้ป็น 𝑚 + 𝑛 + 1 | 𝑚 − 𝑛 ซ่ึงเป็นไปไมไ่ดเ้พราะว่า 𝑚 + 𝑛 + 1 > | 𝑚 − 𝑛| จะไปหารลงตวัไมไ่ด ้

สรปุไดว่้า 𝑚 + 𝑛 + 1 เป็นจ านวนประกอบ #

5

6. ก าหนดพหนุาม 𝑝(𝑥) ∈ ℝ[𝑥] (แปลว่า 𝑝(𝑥) มีสมัประสิทธ์ิเป็นจ านวนจริง) ซ่ึงสมการ 𝑝 𝑥 = 𝑥 ไมม่ี

รากเป็นจ านวนจริง พิสจูนว่์าสมการ 𝑝 𝑝 𝑥 = 𝑥 ก็ไมม่ีรากเป็นจ านวนจริงเชน่กนั

พิสจูน ์ เนือ่งจากพหนุามเป็นฟังกช์นัท่ีตอ่เนือ่งทกุจดุบนจ านวนจริง นัน่คือถา้พหนุาม 𝑄(𝑥) ∈ ℝ[𝑥]

มีบาง 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ซ่ึง 𝑎 < 𝑏 ท่ีท าให ้𝑄 𝑎 < 0 และ 𝑄 𝑏 > 0 (อาจสลบักนัได)้ แลว้จะมี 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏)

ท่ีท าให ้𝑄 𝑐 = 0 เสมอ พดูงา่ยๆคือจดุ (𝑎, 𝑄 𝑎 ) เชื่อมกบัจดุ (𝑏, 𝑄 𝑏 ) ตอ้งตดัแกน x เสมอ

ก็จะท าใหส้มการ 𝑄 𝑥 = 0 มีรากเป็นจ านวนจริง

ฉะนัน้ ถา้ 𝑄 𝑥 = 0 ไมม่ีรากจริงแลว้ 𝑄 𝑥 < 0 เสมอหรือไมก็่ 𝑄 𝑥 > 0 เสมอทกุ 𝑥 ∈ ℝ

กลบัมาท่ีโจทย,์ WLOG ว่า 𝑝 𝑥 − 𝑥 > 0 เสมอทกุจ านวนจริง x

By Contradiction, ใหม้ีบางจ านวนจริง r ซ่ึง 𝑝 𝑝 𝑟 = 𝑟 (นัน่ก็คือสมการมีรากเป็นจ านวนจริง)

จากเดมิมี 𝑝 𝑟 − 𝑟 > 0 แสดงว่า 𝑝 𝑟 > 𝑟

และ 𝑝 𝑝(𝑟) − 𝑝(𝑟) > 0 แสดงว่า 𝑟 > 𝑝(𝑟)

สองอสมการขดัแยง้กนัเอง จึงสรปุไดว่้าสมการ 𝑝 𝑝 𝑥 = 𝑥 ก็ไมม่ีรากเป็นจ านวนจริง #

(หมายเหต ุ: ถา้ไมแ่นใ่จท่ี WLOG ว่า 𝑝 𝑥 − 𝑥 > 0 ก็ลองท ากรณี 𝑝 𝑥 − 𝑥 < 0 เพิ่มดว้ยก็ได)้

7. ก าหนดจ านวนจริงตา่งกนั 𝑥, 𝑦, 𝑧 พิสจูนว่์า 𝑥 − 𝑦3 + 𝑦 − 𝑧3 + 𝑧 − 𝑥3

≠ 0

พิสจูน ์ เนือ่งจาก 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 3 − 3 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 + 3𝑎𝑏𝑐

ดงันัน้ ถา้ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 แลว้ 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 3𝑎𝑏𝑐

By Contradiction, สมมตใิห ้ 𝑥 − 𝑦3 + 𝑦 − 𝑧3 + 𝑧 − 𝑥3

= 0

โดยท่ีแสดงไวข้า้งตน้สรปุไดว่้า 𝑥 − 𝑦 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑥 = 3 𝑥 − 𝑦 𝑦 − 𝑧 (𝑧 − 𝑥)3

0 = 3 𝑥 − 𝑦 𝑦 − 𝑧 (𝑧 − 𝑥)3

0 = 𝑥 − 𝑦 𝑦 − 𝑧 (𝑧 − 𝑥)

นัน่คือ 𝑥 = 𝑦 หรือ 𝑦 = 𝑧 หรือ 𝑧 = 𝑥 ซ่ึงขดัแยง้กบัโจทย ์

ฉะนัน้ 𝑥 − 𝑦3 + 𝑦 − 𝑧3 + 𝑧 − 𝑥3

≠ 0 #

6

บทที่ 4 : เนือ้หาตอนที่ 2 การพิสจูนอ์ย่างมีระบบ

เม่ือเราท าการพิสจูนโ์ดยทัว่ไปไดแ้ลว้ ขัน้ตอ่ไปท่ีจะกลา่วถึงคือ “การพิสจูนอ์ย่างมีระบบ” ซ่ึงเป็น

พ้ืนฐานท่ีส าคญัอนัหนึง่ที่ใชพิ้สจูนท์ฤษฎีตา่งๆไดอ้ย่างดีกว่าท่ีจะท าตรงๆ

การพิสจูนอ์ย่างมีระบบระเบียบโดยพ้ืนฐานแลว้มี 2 วิธี อนัไดแ้ก ่การอปุนัยเชิงคณิตศาสตร์ และ

การอปุนัยเชิงคณิตศาสตร์อย่างเขม้ขน้ เรียกสัน้ๆว่า Induction และ Strong Induction ตามล าดบั โดย

แตล่ะวิธีมีขัน้ตอนการพิสจูนอ์ย่างงา่ยดงัตอ่ไปนี้

- การอปุนยัเชิงคณิตศาสตร ์(Induction) คือการก าหนดขอ้ความ 𝑃(𝑛) ขึน้มาขอ้ความหนึง่ เรา

จะเร่ิมพิสจูนว่์า 𝑃(1) เป็นจริงกอ่น พอพิสจูนเ์สร็จเราก็สมมตว่ิา 𝑃(𝑘) เป็นจริง แลว้ตอ้งพิสจูนต์อ่

ใหไ้ดว่้า 𝑃(𝑘 + 1) ก็เป็นจริง จึงเป็นอนัจบการพิสจูน ์(เพราะถา้พิสจูนไ์ดแ้ลว้ ในเมื่อ 𝑃(1) เป็นจริง

ก็ท าให ้P(2) เป็นจริงดว้ย และยงัท าให ้𝑃(3) เป็นจริงอีก... เราจึงเรียกการพิสจูนน์ีว่้า Induction

ซ่ึงแปลว่าการเหนีย่วน านัน่เอง)

- การอปุนยัเชิงคณิตศาสตรอ์ย่างเขม้ขน้ (Strong Induction) คลา้ยกบั Induction ธรรมดา

เพียงแตเ่ปลี่ยนขัน้ตอนสองโดยก าหนดให ้𝑃(1), 𝑃(2), …𝑃(𝑘) เป็นจริง แลว้พิสจูนใ์หไ้ดว่้า

𝑃(𝑘 + 1) ก็เป็นจริงดว้ย (ขัน้ตอนแรกอาจพิสจูน ์𝑃(2) หรือ 𝑃(3) เพิ่มขึน้ก็ได ้ขึน้อยู่กบัความ

ตอ้งการของการพิสจูน)์

ในการพิสจูนด์ว้ยวิธีสองวิธีนี ้อาจเร่ิมตน้จาก 𝑃(𝑎) ใดๆก็ได ้ไมจ่ าเป็นว่าตอ้งขึน้ดว้ย 1 เสมอไป

สว่นรายละเอียดการพิสจูนท่ี์ละเอียดและวิธีการท่ีมากกว่านีส้ามารถหาอ่านไดใ้นหนงัสือ ทฤษฎีจ านวน ของ

สอวน.

7

บทที่ 5 : เฉลยโจทยปั์ญหาตอนที่ 2 การพิสจูนอ์ย่างมีระบบ

1. จงพิสจูนว่์า 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛 𝑛+1

2 ทกุจ านวนนบั n

พิสจูน ์ (Induction) ให ้𝑃(𝑛) แทนขอ้ความ 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛 𝑛+1

2

เราตอ้งแสดงว่าเป็นจริงตัง้แต ่𝑛 = 1,2,3, …

ขัน้แรก พิจารณา 𝑃(1) กลา่วคือ 1 =1 2

2 ซ่ึงเป็นจริง

ตอ่ไปสมมตว่ิา 𝑃(𝑘) เป็นจริง ตอ้งแสดงว่า 𝑃(𝑘 + 1) ก็เป็นจริงดว้ย

นัน่คือ สมมตว่ิา 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 =𝑘 𝑘+1

2

บวก 𝑘 + 1 ทัง้สองฝัง่ได ้ 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + 𝑘 + 1 =𝑘 𝑘+1

2+ 𝑘 + 1

จดัรปูเป็น 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + 𝑘 + 1 = 𝑘+1 (𝑘+2)

2

แสดงว่า 𝑃(𝑘 + 1) ก็เป็นจริงดว้ย จึงไดข้อ้สรปุว่าขอ้ความ 𝑃(𝑛) ก็เป็นจริงทกุจ านวนนบั n

ซ่ึงก็คือ 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛 𝑛+1

2 ทกุจ านวนนบั n #

ค าถาม ∶ ท าไมตอ้งพิสจูนด์ว้ยว่า 𝑃(1) เป็นจริง?

ค าตอบ ∶ ถา้ 𝑃(1) ไมจ่ริงแลว้เราจะร ูไ้ดอ้ย่างไรว่า 𝑃(2) เป็นจริงหรือเปลา่

ค าถาม ∶ อา้ว แลว้ถา้เราร ูแ้ลว้ละ่ว่า 𝑃(1) เป็นจริง จะร ูไ้ดไ้งว่า 𝑃(2) ก็เป็นจริงไปดว้ย?

ค าตอบ ∶ ก็เราพิสจูนแ์ลว้ไงครบั ว่า “ถา้ 𝑃(𝑘) เป็นจริงแลว้ 𝑃(𝑘 + 1) ก็เป็นจริงดว้ย”

ฉะนัน้ พอเราไดแ้ลว้ว่า 𝑃(1) จึงร ูท้นัทีว่า 𝑃(2) เป็นจริงดว้ย

ค าถาม ∶ แลว้ 𝑃(3) ละ่?

ค าตอบ ∶ ตอบเหมือนในบทเนือ้หาครบั ก็เพราะว่าเราไดแ้ลว้ว่า 𝑃(2) เป็นจริง

เราก็ไดต้อ่ไงครบัว่า 𝑃(3) ก็เป็นจริง เชน่เดียวกนั พอได ้𝑃(3) เป็นจริง

ก็จะได ้𝑃(4) เป็นจริง … ไปเร่ือยๆ สรปุไดว่้าเป็นจริงทกุจ านวนนบั 𝑛 นัน่เอง

8

2. พิสจูนว่์า ถา้ 𝜃 เป็นจ านวนจริงที่ท าให ้cos 𝜃 ∈ ℚ แลว้ cos 𝑛𝜃 ∈ ℚ ทกุจ านวนนบั n ดว้ย

พิสจูน ์ (Strong Induction) ใหข้อ้ความ 𝑃(𝑛) แทน cos 𝑛𝜃 ∈ ℚ

ขัน้แรกตอ้งเร่ิมจาก 𝑛 = 2 กอ่น เพราะโจทยก์ าหนด 𝑛 = 1 เป็นจริงมาแลว้

cos 2𝜃 = 2 cos2 𝜃 − 1 ∈ ℚ เพราะ cos 𝜃 ∈ ℚ

เพ่ือความมัน่ใจ พิสจูน ์𝑛 = 3 ไปเผื่อดว้ย, cos 3𝜃 = 4 cos3 𝜃 − 3 cos 𝜃 ∈ ℚ เพราะ cos 𝜃 ∈ ℚ

ตอ่ไปสมมตใิห ้𝑃 1 , 𝑃(2), … , 𝑃(𝑘) เป็นจริงหมด ตอ้งพิสจูนว่์า 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจริงดว้ย

cos 𝑘 + 1 𝜃 = cos 𝑘𝜃 + 𝜃 = cos k𝜃 cos 𝜃 − sin 𝑘𝜃 sin 𝜃

= cos k𝜃 cos 𝜃 −12

(cos 𝑘 − 1 𝜃 − cos 𝑘 + 1 𝜃)

จดัรปูสมการเป็น cos(𝑘 + 1)𝜃 = 2 cos k𝜃 cos 𝜃 − cos 𝑘 − 1 𝜃

แตท่ัง้ cos 𝜃 , cos 𝑘 − 1 𝜃 , cos 𝑘𝜃 ตา่งเป็นจ านวนตรรกยะหมด จึงท าให ้cos(𝑘 + 1)𝜃 ∈ ℚ

ดงันัน้ cos 𝑛𝜃 ∈ ℚ ทกุจ านวนนบั n #

3. พิสจูนว่์า 𝑛! < 2𝑛 !

2𝑛 ทกุจ านวนนบั 𝑛 ≥ 2

พิสจูน ์ ให ้𝑃(𝑛) แทนขอ้ความ 𝑛! < 2𝑛 !

2𝑛

พิจารณา 𝑃(2) คือ 2! < 4!

22 ซ่ึงเป็นจริงเพราะ 2 < 6

ให ้𝑃(𝑘) เป็นจริง นัน่คือ 𝑘! < 2𝑘 !

2𝑘

𝑘 + 1 ! < (𝑘 + 1) 2𝑘 !

2𝑘

แต ่ 𝑘 + 1 = 𝑘2 + 2𝑘 + 1 < 2𝑘2 + 3𝑘 + 1 = 2𝑘+2 (2𝑘+1)2

ดงันัน้ 𝑘 + 1 ! < 2𝑘+2 (2𝑘+1) 2𝑘 !

2∙2𝑘 =

2𝑘+2 !

2𝑘+1

𝑃(𝑘 + 1) เป็นจริงดว้ย นัน่คือ 𝑛! < 2𝑛 !

2𝑛 ก็เป็นจริงทกุจ านวนนบั 𝑛 ≥ 2 #

9

บทที่ 6 : โจทยปั์ญหาที่เกี่ยวกบัการพิสจูน ์

1. ส าหรบัจ านวนนบั 𝑛 ≥ 2 และจ านวนจริง 𝑎0, 𝑎1,… , 𝑎𝑛 > 0 ซ่ึงทกุ 𝑘 = 1,2, … , 𝑛 − 1 จะสอดคลอ้งกบั

𝑎𝑘−1 + 𝑎𝑘 (𝑎𝑘 + 𝑎𝑘+1) = 𝑎𝑘−1 − 𝑎𝑘+1 พิสจูน ์𝑎𝑛 <1

𝑛−1

2. ก าหนดพหนุาม 𝑃(𝑥) ∈ ℝ[𝑥] (แปลว่ามี สปส. เป็นจ านวนจริง) เป็นพหนุามโมนคิ (แปลว่ามี สปส. น า

เป็น 1) มีดีกรีค่ี และพหนุาม 𝑄 𝑥 = 𝑃 𝑥 + 120 เป็นพหนุามท่ีมีรากเป็นจ านวนเต็มอย่างนอ้ย 7 ตวั

ตา่งกนั จงพิสจูนว่์า 𝑃(𝑥) มีรากบางตวัเป็นจ านวนอตรรกยะ

3. ก าหนด 𝑃 𝑧 = 𝑧2 + 𝑎𝑧 + 𝑏 เป็นพหนุามซ่ึง 𝑃(𝑥) ∈ ℂ[𝑥] และสอดคลอ้งเงือ่นไขว่า ถา้ |𝑧| = 1 เมื่อ

𝑧 ∈ ℂ แลว้ 𝑃 𝑧 = 1 จงแสดงว่า 𝑎 = 𝑏 = 0 เท่านัน้

4. ส าหรบั 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 ∈ ℂ ซ่ึง 𝑧1 = 𝑧2 = 𝑧3 = 𝑟 และ 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 ≠ 0 จงพิสจูนว่์า

𝑧1𝑧2 + 𝑧2𝑧3 + 𝑧3𝑧1

𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 𝑟

5. ให ้A เป็น Triangular Matrix มิต ิ3 × 3 ท่ีไมเ่ป็น 0 มีสมบตัว่ิา 𝐴𝑛 = 𝐴 ทกุ 𝑛 ∈ ℕ จงพิสจูนว่์ามี

สมาชิกบางตวัใน A เป็น 1

6. พิจารณาว่า 𝑓 𝑥 = ln(tan 𝑥 + sec 𝑥) เป็นฟังกช์นัคูห่รือฟังกช์นัค่ีหรือไมเ่ป็นทัง้สองเลย พรอ้มทัง้

พิสจูน ์และหาอินเวอรส์ของฟังกช์นันีบ้นชว่ง 𝑥 ∈ (−𝜋2

,𝜋2

) โดยนยิาม

ถา้ 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ทกุ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 เรียก 𝑓 ว่าเป็นฟังกช์นัคู่

ถา้ 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) ทกุ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 เรียก 𝑓 ว่าเป็นฟังกช์นัค่ี

7. จงพิสจูนว่์า 1 ∙ 1! + 2 ∙ 2! + ⋯ + 𝑛 ∙ 𝑛! = 𝑛 + 1 ! − 1 ทกุจ านวนนบั n

8. จงพิสจูนว่์า 1

1+

1

2+ ⋯ +

1

𝑛> 𝑛 ทกุจ านวนนบั 𝑛 ≥ 2

10

9. จงพิสจูนว่์า 1

12 +1

22 +1

32 + ⋯ +1

𝑛2 ≤ 2 −1

𝑛 ทกุจ านวนนบั n

10. จงแสดงว่า 3! 𝑛 | 3𝑛 ! ส าหรบัจ านวนเต็ม 𝑛 ≥ 0

11. พิสจูนว่์าจ านวนเฉพาะมีมากมายเป็นอนนัต ์

12. พิสจูนว่์าไมม่ีฟังกช์นัพหนุาม 𝑃(𝑥) ∈ ℤ[𝑥] ซ่ึง 𝑃(𝑛) เป็นจ านวนเฉพาะทกุ 𝑛 = 0,1,2, …

(หมายเหต ุ: ℤ คือเซตของจ านวนเต็ม บางต าราอาจใชส้ญัลกัษณ ์𝕀 ก็ได)้

13. จงแสดงว่า ถา้ 𝑥 +1𝑥

= 2 cos 𝛼 แลว้ 𝑥𝑛 +1𝑥𝑛 = 2 cos 𝑛𝛼 ทกุจ านวนนบั n

14. ก าหนดจ านวนเต็มตา่งกนั 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 และพหนุาม 𝑝 𝑥 = 𝑥 − 𝑎1 2 𝑥 − 𝑎2

2 … 𝑥 − 𝑎𝑛 2 + 1

พิสจูนว่์า 𝑝 𝑥 ไมส่ามารถลดทอนไดเ้หนอื ℤ

(หมายเหต ุ: ไมส่ามารลดทอนไดเ้หนอื 𝕏 หมายถึง ไมส่ามารถแยกตวัประกอบเป็นอย่างนอ้ยสองแฟคเตอร์

ท่ีแตล่ะแฟคเตอรมี์สมัประสิทธ์ิเป็นจ านวนใน 𝕏)

15. ก าหนดพหนุาม 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 ∈ ℤ โดย 𝑎0 เป็นจ านวนเฉพาะ และสอดคลอ้งกบั

𝑎0 > 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 พิสจูนว่์า 𝑓 𝑥 ไมส่ามารถลดทอนไดเ้หนอื ℤ

16. ให ้P และ Q เป็นจดุตา่งกนับนระนาบ สรา้งวงกลมสองวงสมัผสักนัภายนอก โดยมีจดุ P และ Q เป็นจดุ

ศนูยก์ลาง และให ้AB เป็นเสน้สมัผสัร่วมของวงกลมทัง้สอง เมื่อจดุ A, B อยู่บนวงกลม P, Q ตามล าดบั จง

วิเคราะหว่์าจดุกึ่งกลาง AB เป็นภาคตดักรวยชนดิใดหรือไม ่ถา้เป็นแลว้เป็นชนดิใด

17. เมื่อเราวาดกราฟของ 𝑦 = 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 sin 𝑥 ไมว่่าจะใชจ้ านวนจริง 𝑎, 𝑏 ใดๆ ก็จะไดร้ปูร่างคลา้ย sine

curve ธรรมดา แตม่ีคา่สงูสดุและต า่สดุอยู่ท่ี ± 𝑎2 + 𝑏2 เสมอ จงใหเ้หตผุลอธิบายเหตกุารณเ์หลา่นี ้

11

18. จงพิสจูนว่์า ฟังกชั์นแกมมา (Gamma Function) นยิามโดย

Γ 𝑥 = 𝑒−𝑡𝑡𝑥−1 𝑑𝑡∞

0

เป็นการวางนยัทัว่ไปของ 𝑥 − 1 ! กลา่วคือ Γ 𝑥 = 𝑥 − 1 ! เมื่อ 𝑥 > 0

(ค าแนะน า : ใชก้ารอินทิเกรตแยกส่วน (Integration by Parts), 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢 )

19. ก าหนดให ้ cos2𝑥−1 𝜃 sin2𝑦−1 𝜃 𝑑𝜃𝜋/2

0=

Γ 𝑥 Γ 𝑦

2Γ 𝑥+𝑦 และฟังกชั์นบีตา (Beta Function) นยิามโดย

B 𝑥, 𝑦 = 𝑡𝑥−1 1 − 𝑡 𝑦−1 𝑑𝑡1

0

พิสจูนว่์า B 𝑥, 𝑦 =Γ 𝑥 Γ 𝑦

Γ 𝑥+𝑦 ส าหรบัจ านวนจริง 𝑥, 𝑦 > 0

(หมายเหต ุ: จริงๆเรายงัไมไ่ดพ้ดูถึงกรณีท่ี 𝑥, 𝑦 ≤ 0 เลยใสเ่งือ่นไขเพียงเท่านี้)

(ค าแนะน า : แทน 𝑡 = cos2 𝜃 ลงในปริพนัธข์องนยิามฟังกช์นับีตา)

20. ให ้Â เป็นตวัด าเนนิการซ่ึงใชก้บัฟังกช์นัใดๆเพื่อใหเ้กิดฟังกช์นัใหม ่กลา่วคือ Â𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥)

เชน่ Â = 2 −𝑑𝑑𝑥

และ 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 ก็จะได ้Â𝑓 𝑥 = 2𝑒𝑥 −𝑑𝑑𝑥

𝑒𝑥 = 2𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 และนยิาม

ถา้มีฟังกช์นั 𝑓(𝑥) ซ่ึง Â𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑓(𝑥) แลว้

เราจะเรียก 𝑓(𝑥) ว่าเป็นฟังกชั์นไอเกน (𝑒𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛) ของ Â

และเรียก 𝑎 ว่าเป็นค่าไอเกน (𝑒𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒) ของ Â

ĜĤ = ĤĜ ก็ตอ่เมื่อ Ĝ(Ĥ𝑓(𝑥)) = Ĥ(Ĝ𝑓(𝑥)) ส าหรบัฟังกช์นั 𝑓(𝑥) ใดๆ

พิสจูนว่์า ถา้ 𝑓(𝑥) เป็นฟังกช์นัไอเกนของ 𝐴 และ 𝐴 𝐵 = 𝐵 𝐴 แลว้ 𝑓(𝑥) ก็เป็นฟังกช์นัไอเกนของ 𝐵 ดว้ย

21. จงแสดงว่าฟังกช์นั 𝜓1 = 𝑎𝑒−𝑥2/2 และ 𝜓2 = 𝑏𝑥𝑒−𝑥2/2 เมื่อ 𝑎, 𝑏 เป็นคา่คงที่ ตา่งเป็นฟังกช์นัไอเกน

ของ 𝐴 =12

(x2 −𝑑

2

𝑑𝑥2 ) และหาคา่ไอเกนในแตล่ะกรณี

12

22. พิสจูนว่์า sin 𝜃 + sin 2𝜃 + ⋯ + sin 𝑛𝜃 =sin𝑛𝜃

2sin 𝑛+1 𝜃

2

sin𝜃2

23. พิสจูนว่์า cos 𝜃 + cos 2𝜃 + ⋯ + cos 𝑛𝜃 =sin𝑛𝜃

2cos 𝑛+1 𝜃

2

sin𝜃2

24. (Bonus) ใชผ้ลจากขอ้ 23 ในการหาคา่ของ sin2 𝜃 + sin2 2𝜃 + ⋯ + sin2 𝑛𝜃 และ cos2 𝜃 +

cos2 2𝜃 + ⋯ + cos2 𝑛𝜃

25. (Bonus) พิสจูนว่์า 1 − 1 − 1 − … หาคา่ไมไ่ด ้(หาคา่ไมไ่ดจ้ริงๆนะครบั และไมใ่ช ่ 5−1

2 ดว้ย)