Mathematics A Disposition (WIP)

IndholdsfortegnelseIndledning.......................................................................................................................................... 81 Polynomier...................................................................................................................................... 9

1.1 Beskrivelse............................................................................................................................... 91.1.1 Konstanternes betydning............................................................................................... 91.1.2 Diskriminanten................................................................................................................9

1.2 Udledning af løsningsformlen............................................................................................ 101.3 Faktorisering.......................................................................................................................... 11

1.3.1 Eksempel.........................................................................................................................111.3.1 Formel beviset.....................................................................................................................111.4 Taleksempler..........................................................................................................................12

1.4.1 Med løsningsformel...................................................................................................... 121.4.2 Uden løsningsformel.................................................................................................... 12

2 Vektorregning................................................................................................................................132.1 Beskrivelse............................................................................................................................. 132.2 Bevis for medianernes skæringspunkt.............................................................................. 13

2.2.1 Gennemgang af beviset................................................................................................ 142.2.2 Uddybende kommentarer............................................................................................14

2.3 Taleksempel........................................................................................................................... 142.4 Vektor regneregler.................................................................................................................15

2.4.1 Addition..........................................................................................................................152.4.1.1 Sætninger................................................................................................................ 152.2.1.2 Bevis.........................................................................................................................152.4.1.3 Eksempel.................................................................................................................15

2.4.2 Subtraktion.....................................................................................................................152.4.2.1 Sætninger................................................................................................................ 152.4.2.2 Bevis.........................................................................................................................152.4.2.3 Eksempel.................................................................................................................15

2.4.3 Skalering......................................................................................................................... 162.4.3.1 Eksempler............................................................................................................... 16

2.4.4 Sted- og egentlige vektorer.......................................................................................... 162.4.5 Enhedsvektor................................................................................................................. 162.4.8 Nulvektoren................................................................................................................... 162.4.9 ijk-vektorer..................................................................................................................... 16

2.5 Vektor formler....................................................................................................................... 172.5.1 Tværvektor.....................................................................................................................172.5.2 Determinant................................................................................................................... 172.5.3 Magnitude...................................................................................................................... 172.5.4 Afstandsformlen............................................................................................................172.5.5 …......................................................................................................................................172.5.6 …......................................................................................................................................17

3 Vektorregning................................................................................................................................183.1 Beskrivelse............................................................................................................................. 183.2 Skalarprodukt / Prikprodukt..............................................................................................18

3.2.1 Formler............................................................................................................................183.2.2 Vinkelsammenhæng..................................................................................................... 183.2.3 Taleksempler.................................................................................................................. 18

3.2.3.1 Ortogonale vektorer.............................................................................................. 183.2.3.2 Vinkelberegning.....................................................................................................18

3.3 Determinant........................................................................................................................... 193.3.1 Taleksempel (2D)...........................................................................................................19

3.3.1.1 Vilkarlige vektorer.................................................................................................193.3.1.2 Parallelle vektorer..................................................................................................19

3.3.2 Taleksempel (3D)...........................................................................................................19

3.4 Udledning af projektionsformlen....................................................................................... 204 Vektorregning................................................................................................................................21

4.1 Beskrivelse............................................................................................................................. 214.2 Planens ligning...................................................................................................................... 21

4.2.1 Vinkel mellem planer....................................................................................................214.2.2 Skæring mellem planer................................................................................................ 214.2.2 Formler til regning med planer...................................................................................21

4.2.2.1 Afstand fra punkt til plan.....................................................................................214.2.2.2 ….............................................................................................................................. 21

4.3 Normalvektorer.....................................................................................................................224.4 Krydsprodukt........................................................................................................................ 22

5 Vektorregning / Parameterfremstillinger................................................................................. 235.1 Beskrivelse............................................................................................................................. 235.2 Linjens parameterfremstilling.............................................................................................23

5.2.1 Parameterfremstilling i 2D...........................................................................................235.2.2 Parameterfremstilling i 2D...........................................................................................23

5.3 Planens parameterfremstilling............................................................................................245.4 Sammenligning..................................................................................................................... 24

6 Eksponentielle Funktioner.......................................................................................................... 256.1 Beskrivelse............................................................................................................................. 256.2 Konstanterne..........................................................................................................................25

6.2.1 Betydning....................................................................................................................... 256.2.2 Bestemmelse...................................................................................................................25

6.3 Grafen..................................................................................................................................... 256.3.1 Alm. kartesiske koordinatsystemer............................................................................ 256.3.2 Enkelt-logaritmisk koordinatsystem.......................................................................... 25

6.4 Regression.............................................................................................................................. 266.5 Udledning af grundtallet..................................................................................................... 266.6 Differentialkvotienten for f(x)=ax.......................................................................................27

6.6.1 Udledningen af differentialkvotienten for ax........................................................... 276.6.2 Udledningen af differentialkvotienten for ekx......................................................... 276.6.3 Sammenhængen mellem k og ln(a)............................................................................ 27

7 Differentialligninger.....................................................................................................................287.1 Beskrivelse............................................................................................................................. 287.2 Logistisk vækst......................................................................................................................28

7.2.1 Taleksempel....................................................................................................................287.3 Den logistiske differentialligning....................................................................................... 29

7.3.1 Konstanternes betydning............................................................................................. 297.3.2 Taleksempel....................................................................................................................29

7.4 Udledning af løsningsformlen............................................................................................ 308 Differentialligninger.....................................................................................................................31

8.1 Beskrivelse............................................................................................................................. 318.2 Eksakt løsning af lineær differentialligning......................................................................31

8.2.1 Udledning af løsningsformlen.................................................................................... 318.3 Numeriske metoder..............................................................................................................32

8.3.1 Euler's metode............................................................................................................... 328.3.2 Runge-Kutta...................................................................................................................33

8.4 Computer Algebra System (CAS).......................................................................................339 Differentialligninger / Modellering...........................................................................................34

9.1 Beskrivelse............................................................................................................................. 349.1.1 Kendte variabler............................................................................................................ 349.1.2 Systemets dynamik....................................................................................................... 34

9.2 Gennemgang..........................................................................................................................349.2.1 Stof ind (I).......................................................................................................................349.2.2 Stof ud (U)...................................................................................................................... 34

9.2.3 Opstilling af differentialligningen.............................................................................. 359.2.4 Løsning af differentialligningen..................................................................................35

9.3 Diskussion..............................................................................................................................369.3.1 Koncentrationen.................................................................................................................369.3.2 ….......................................................................................................................................... 36

10 Differentialregning..................................................................................................................... 3710.1 Beskrivelse........................................................................................................................... 37

10.1.1 Differentiabel i punkt..................................................................................................3710.1.2 Differentiabel funktion............................................................................................... 3710.1.3 Begrebet differenskvotient......................................................................................... 3710.1.4 Begrebet differentialkvotient..................................................................................... 37

10.2 Betydning og anvendelse af ƒ'...........................................................................................3710.2.1 Betydningen................................................................................................................. 3710.2.2 Anvendelsen................................................................................................................ 37

10.3 Udledning af differentialkvotient for ƒ(x)=x2................................................................ 3810.4 Differentiationsregneregler................................................................................................3810.5 Differentiation af en sum................................................................................................... 3910.6 Differentiation af sammensat funktion............................................................................39

11 Differentialregning / Vektorregning / Trigonometri............................................................ 4011.1 Beskrivelse............................................................................................................................4011.2 Overgangsformler............................................................................................................... 40

11.2.1 Sinus overgangsformler..............................................................................................4011.2.2 Cosinus overgangsformler......................................................................................... 40

11.3 Additionsformler.................................................................................................................4011.3.1 Sinus additionsformler............................................................................................... 4011.3.2 Cosinus additionsformler...........................................................................................40

11.4 Differentiation af sin(x)...................................................................................................... 4111.4.1 Første trin......................................................................................................................4111.4.2 Andet trin......................................................................................................................4111.4.3 Tredje trin......................................................................................................................41

12 Integralregning............................................................................................................................4212.1 Beskrivelse........................................................................................................................... 42

12.1.1 Begrebet stamfunktion............................................................................................... 4212.1.2 Integral regneregler.....................................................................................................42

12.2 Bestemte integraler............................................................................................................. 4312.3 Sammenhængen med areal............................................................................................... 43

12.3.1 Eksempel: Areal mellem kurver................................................................................4312.4 Omdrejningslegemet.......................................................................................................... 44

12.4.1 Bevis for rumfang af omdrejninglegemet................................................................4413 Trigonometri................................................................................................................................45

13.1 Beskrivelse........................................................................................................................... 4513.2 Retvinklede trekanter......................................................................................................... 45

13.2.1 Vinkelsum.....................................................................................................................4513.3 Trigonometriske funktioner...............................................................................................4513.4 Vilkarlige trekanter............................................................................................................. 46

13.4.1 Sinusrelationerne.........................................................................................................46 13.4.1.1 Sidebestemmelse.................................................................................................46 13.4.1.2 Vinkelbestemmelse.............................................................................................46

13.4.2 Cosinusrelationerne.................................................................................................... 4613.5 Harmonisk svingning.........................................................................................................47

13.5.1 Amplitude (a)...............................................................................................................4713.5.2 Frekvens (b)..................................................................................................................4713.5.3 Fase (c).......................................................................................................................... 4713.5.4 Forskydning (d)........................................................................................................... 47

"As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain;and as far as they are certain, they do not refer to reality"

– A. Einstein

Indledning

Indledning

8

1 Polynomier

1 Polynomier

?Udled løsningsformlen for en vilkarlig andengradsligning og gør rede for antallet af løsninger. Giv eksempler pa andengradsligninger der kan løses uden brug af den generelle løsningsformel.

Diskuter faktorisering og vis hvordan visse andengradspolynomier kan faktoriseres.

1.1 Beskrivelse

Forskriften for en vilkarlig andengradsligning ser saledes ud ax2+bx+c

1.1.1 Konstanternes betydning

a Determinere om hvorvidt parablen er sur eller glad.

Hvis a<0 vil parablen være sur, og hvis a>0 vil parablen være glad.

b → f ' (0) Skæringspunktet med y-aksen for f ' ( x) , da (ax2+bx+c) '=2ax+b og

2a ·0=0 , saledes star kun b tilbage – med andre ord; hældnings-

koefficienten for tangenten i punktet (0, f ' (0)) .

Hvis b=0 , sa ligger toppunktet pa y-aksen.

c Skæringspunktet med y-aksen for f (x) , da a·02+b·0=0 , saledes star

kun c tilbage.

Hvis bade a og b har samme fortegn, ligger toppunktet til venstre for y-aksen, ligeledes

hvis de har forskellige, vil toppunktet ligge højre for y-aksen.

1.1.2 Diskriminanten

Diskriminanten b2−4ac fortæller os om polynomiet har rødder (eller nulpunkter), og i sa

fald, hvor mange rødder der matte være – eller antallet af løsninger.

d<0 Ingen reelle løsninger, komplekse.

d=0 Én løsning (dobbelt-rod), i dette tilfælde vil grafen tangere pa x-aksen,

hvilket betyder at roden er faktisk ogsa et lokalt extremum.

d>0 2 løsninger.

9

1 Polynomier

1.2 Udledning af løsningsformlen

Nar vi gerne vil udlede løsnings-/nulpunkts-formlen, starter vi med at sætte udtrykket lig

med nul, da vi jo leder efter, hvor dette udtryk matte være nul.

(1.1) ax2+bx+c=0

Vi vil nu isolere x.

(1.2) x2+ ba

x+ ca=0 Dividerer med a pa alle led.

(1.3) x2+ ba

x=− ca

Flytter led der ikke indeholder x.

(1.4) (x+ b2a

)2

−( b2a

)2

=− ca

Omformulerer til kvadrattet pa to-ledet størrelse.

(1.5) (x+ b2a

)2

=( b2a

)2

− ca

Flytter igen led der ikke indeholder x.

(1.6) (x+ b2a

)2

= b2

4a2−4ac4a2

Ganger ud, og forlænger brøkerne med 4a.

(1.7) (x+ b2a

)2

=b2−4ac4a2

Samler de to brøker i én.

“

Vi bemærker pa nuværende tidspunkt at diskriminanten optræder i tælleren pa

højresiden, og at udtrykket pa venstresiden er sat i 2. Ud fra regnereglen om at,

ligegyldig hvilket tal der opløftes i 2., altid vil blive et positivt tal, kan vi nu konkludere at

hvis diskriminanten er mindre end nul, sa er der ingen løsninger.

(1.8) x+ b2a

=√ d

4a2Erstatter b2 – 4ac med d , og tager kvadratroden.

(1.9) x+ b2a

=± √d

4a 2Vi udregner nævneren, for at fa fælles nævner.

(1.10) x=−b ±√d2a

Flytter sidste led uden x.

Bemærk særligt under punkt 1.7, at udtrykket pa venstresiden var i anden, og da ethvert

tal ganget med sig selv giver et positivt tal, skal vi skrive ± ud fra kvadratroden.

10

1 Polynomier

1.3 Faktorisering

Ved faktorisering af et andengradsudtryk, sættes fællesfaktoren x udenfor en – eller flere –

parentes(er), derved reduceres udtrykket. I faktoriseringsudtrykket kan vi i øvrigt aflæse

alle nulpunkter direkte af, da de optræder i selve funktionsudtrykket – dog negerede.

Nulpunkter i 0 kan ikke direkte aflæses, men vil kunne findes vha. nulreglen, som siger at

hvis a·b=0 , sa er a=0∨b=0 .

Den faktoriserede form ser saledes ud a (x−r1)(x−r ...)(x−rn) , hvor n er antallet af rødder

– antallet af x'er afgør graden for polynomiet.

1.3.1 Eksempel

x2+4x→ x ( x+4) I eksemplet kan vi se, at -4 er et nulpunkt, anden rod vil være 0.

1.3.1 Formel beviset

Formel beviset føres ved, at indsætte nulpunktsformlen i det faktoriserede udtryk.

(2.1) a (x−−b+√d2a

)(x−−b−√d2a

) Opstilling af udtrykket.

(2.2) a (x2+x−b−√d2a

+x−b+√d2a

+−b−√d2a

−b+√d2a

) Ganger ud.

(2.3) a (x2+−2bx−x √d+x √d2a

+ b2+b √d−b √d−d

4a2) Ganger brøker.

(2.4) a (4a2 x2

4a 2+−4abx

4a2+b2−d

4a2) Forlænger brøkerne.

(2.5) a (4a2 x2−4abx+b2−b2+4ac

4a2) d erstattes.

(2.6)4a3 x2−4a 2bx+ab2−ab2+4a 2c

4a 2a ganges ind.

(2.7) ax2+bx+c Brøken udregnes.

Og saledes fandt vi frem til andengradsudtrykket, hvilket beviser formlen.

11

1 Polynomier

1.4 Taleksempler

Herunder gives eksempler pa løsning af andenligninger.

1.4.1 Med løsningsformel

x2+4x=0 d=b2−4ac→42−4 ·1 ·0=16

Da d>0 vil der være 2 løsninger

x=−b ±√d2a

→−4± √162 ·1

={x1=−4x2=0 }

1.4.2 Uden løsningsformel

Der er to metoder man kan anskueliggøre

løsning af andengradsligninger uden brug

af den generelle løsningsformel.

1. Udregn diskriminanten, hvis negativ

findes der ingen løsninger.

4x2+10=0 , d=−320 der er derfor

ingen rødder/løsninger.

2. Faktorisér udtrykket.

2x2+2x−4→ x (x+2)(x−1)

12

2 Vektorregning

2 Vektorregning

?Med udgangspunkt i beviset om koordinaterne til medianernes skæringspunkt i en trekant,skal du fortælle om vektorer og vektor regneregler.

Bring gerne et taleksempel.

2.1 Beskrivelse

Medianernes skæringspunkt i en trekant bestemmes ved nedenstaende formel.

( ax+bx+cx

3,a y+b y+c y

3 )

2.2 Bevis for medianernes skæringspunkt

Ud fra bevisførelsen af formlen for koordinaterne til medianernes skæringspunkt, vil vi

undervejs papege de anvendte vektor regneregler.

Fig. 1 – Trekant ABC, hvor medianerne,samt punktet D er vist.

A(1,1) B(2,3) C (4,2)

M a=( bx+cx

2,b y+cy

2 )M b=(a x+cx

2,a y+c y

2 )M c=( a x+bx

2,a y+b y

2 )D=( ax+bx+c x

3,a y+b y+c y

3 )

Vi kan bevise formlen pa 2 forskellige mader, hvoraf den letteste er at indse, at punktet D's

koordinater er faktisk bare et gennemsnit af de øvrige i trekanten – hvilket formlen ogsa

reflekterer. Den anden made er, at anskue punktet D som en vektor, dvs. OD=OA+ AD .

13

2 Vektorregning

2.2.1 Gennemgang af beviset

Vi starter med at tage udgangspunkt i en hypotese om, at AD=23

AM a .

(3.1) 23

AM a=( 23 ·bx+cx

2−23· a x ,

23·by+c y

2−23· a x)

“ ab·xa=a · x

a ·b= x

b

(3.2) 23

AM a=( bx+cx

3−23· ax ,

b y+c y

3−23· a x)

Nu har vi AD , og vi vil nu beregne OD – dvs. OD=OA+ AD .

(4.1) OD=( ax−23· a x+

bx+cx

3

a y−23· a y+

b y+cy

3) (4.2) OD=(

ax

3+

bx+c x

3a y

3+

by+c y

3)

2.2.2 Uddybende kommentarer

3.1 Her anvendes vektor regnereglen om, hvordan vektorer dannes (dvs.

slut-punkt minus start-punkt), reglen om skaléring af vektorer (dvs. en

vektor multipliceret med en skalar, altsa et tal – se evt. 2.4.3 Skalering, s. 16),

samt formlen for midtpunktet mellem to vektorer.

4.1 Her anvendes regnereglen om vektor addition (se evt. 2.4.1 Addition, s. 15).

2.3 Taleksempel

Ud fra trekant ABC vist pa fig. 1, vil jeg beregne det konkrete eksempel.

D=( ax+bx+cx

3,a y+by+c y

3 )=(1+2+43,1+3+23 )=(73 ,2)

14

2 Vektorregning

2.4 Vektor regneregler

2.4.1 Addition

Ved addering af to vektorer afgives en ny vektor som beskriver endepunktet af de vektorer

i forlængelse af hinanden.

2.4.1.1 Sætninger

” a+b=b+a

2.2.1.2 Bevis

a+b=(ax+bx

a y+b y)=c

b+a=(bx+a x

b y+a y)=c

2.4.1.3 Eksempel

a=(23) b=(31) a+b=(2+33+1)=(54)= c

2.4.2 Subtraktion

Subtraktion to af vektorer fas en ny vektor som beskriver vektoren imellem de to vektorer.

2.4.2.1 Sætninger

” a−b ≠ b−a

2.4.2.2 Bevis

a−b=(ax−bx

a y−b y)=ba

b−a=(bx−a x

b y−a y)=ab

2.4.2.3 Eksempel

a=(23) b=(31) a−b=(2−33−1)=(−12 )=ba

15

2 Vektorregning

2.4.3 Skalering

Multiplikation af vektor med et tal skalerer vektoren, dvs. at vektoren peger da stadig

samme retning, medmindre den skaleres med et negativt tal, men magnituden vil da enten

blive større eller mindre, afhængig af om multipliceringstallet er større eller mindre end 1.

Tilsvarende kan vektorer ogsa skaleres ved division, det anvendes f. eks. nar vi danner en

enhedsvektor ved division med vektorens egen magnitude (se evt. punkt 2.4.5

Enhedsvektor, s. 16).

2.4.3.1 Eksempler

a=(12) 2 a=(24) 12a=(0.51 ) −a=(−1−2)

2.4.4 Sted- og egentlige vektorer

En stedvektor har sit udgangspunkt i origo,

for en egentlig vektor er dette ikke et krav.

2.4.5 Enhedsvektor

Vektor hvis magnitude er lig med 1.

e v=v∣v∣

2.4.8 Nulvektoren

Nulvektoren er en vektor uden magnitude.

2.4.9 ijk-vektorer

Vektor hvis retning er parallel med en af

akserne, og har magnituden 1.

16

2 Vektorregning

2.5 Vektor formler

Nedenstaende er en samling af formler for vektorregning.

2.5.1 Tværvektor

En tværvektor ( v ) er en vektorer som ligger

vinkelret pa den oprindelige vektor.

a=(−a y

a x)

2.5.2 Determinant

Afgiver et tal, der svarer til det udspændte

parallelogram af de to vektorer.

det ( a , b)=∣ax bx

a y b y∣=a · b=ax b y−a y bx

Se evt. punkt 3.3 Determinant, s. 19.

2.5.3 Magnitude

Magnituden (eller længden) af en vektor er

givet ved formlen (jf. Pythagoras').

∣v∣=√v12+v...

2+vn2

2.5.4 Afstandsformlen

Afstanden mellem to vektorer er givet ved.

∣ab∣=√(a1−b1)2+(a ...−b...)

2+(an−bn)2

2.5.5 …

…

2.5.6 …

…

17

3 Vektorregning

3 Vektorregning

?Fortæl om skalarprodukt og determinant.

Udled formlen for projektion af en vektor pa en anden.

Bring ogsa et taleksempel.

3.1 Beskrivelse

Vi bruger skalarproduktet til, at analysere vektorer i forhold til hinanden, hvor meget de

”følger” hinanden. Determinanten bruger vi til, at beregne noget ud fra vektorerne.

3.2 Skalarprodukt / Prikprodukt

Skalarproduktet, eller prikproduktet, er en operation, som udelukkende hører under

vektorregning. Operationen afgiver et tal, som fortæller os noget om vinklen mellem de to

vektorer der prikkes.

3.2.1 Formler

a · b=∑i=1

n

a i bi

a · b=∣a∣∣b∣cos(θ)

v · v=∣v∣2

3.2.2 Vinkelsammenhæng

a · b<0 Stump vinkel

a · b=0 Ret vinkel

a · b>0 Spids vinkel

3.2.3 Taleksempler

Følgende er 2 forskellige taleksempler pa udregning af skalarproduktet / prikproduktet.

3.2.3.1 Ortogonale vektorer

a=(24) b=(−21 )a · b=2 ·(−2)+4 ·1=0

3.2.3.2 Vinkelberegning

a=(32) b=( 4−2)

θ=arccos ( 3 ·4+2 ·(−2)

√32+22·√42+(−2)2 )≈ 60 °

18

3 Vektorregning

3.3 Determinant

Determinanten er faktisk ikke direkte vektorregning, idet at operationen stammer fra

lineær algebra (matriceregning). I lineær algebra betragter man matricens kolonner som

sakaldte kolonne-vektorer, og grunden til at determinanten ikke fungerer i 3D, pa samme

made som i 2D er, at determinanten er kun defineret for kvadratiske matricer.

det ( a , b)=a · b=∣a x bx

a y b y∣=ax b y−a y bx

Nar vi beregner determinanten af vektorer i 2D, er resultatet et tal, som svarer til arealet af

det udspændte parallelogram – hvis negativt, tager man den numeriske værdi.

3.3.1 Taleksempel (2D)

Følgende er 2 forskellige taleksempler pa udregning af determinanten.

3.3.1.1 Vilkarlige vektorer

a=(32) b=(14)det ( a , b )=3 ·4−1 ·2=10

3.3.1.2 Parallelle vektorer

a=(21) b=(42)det ( a , b )=2 ·2−4 ·1=0

3.3.2 Taleksempel (3D)

Hvis vi ønsker at beregne arealet af det udspændte parallelogram i 3D, anvender vi

krydsproduktet (se punkt 4.4 Krydsprodukt, s. 22). I krydsproduktet optræder der 3

determinant udregninger, en for hver koordinat.

a=(243)b=(615)

c=a×b=(∣a y b y

a z bz∣

∣a z bz

a x bx∣

∣ax bx

a y b y∣)=(

∣4 13 5∣

∣3 52 6∣

∣2 64 1∣

)=(4 ·5−1 ·33 ·6−5·22 ·1−6 ·4)=( 178−22)

∣c∣=√172+82+(−22)2=3√93≈ 29

19

3 Vektorregning

3.4 Udledning af projektionsformlen

Vi betragter vektorerne a og b , som har samme startpunkt (O), men forskellige

slutpunkter.

Fig. 2 – Viser vektorerne a og b , samt punkterneA og B , og AB som de to kontrolpunkter udgør,

og projektionen af a på b .

Observationer

• Vi kan se, at OA=OB+ AB ,

dvs. a=a b+ AB .

• AB og b er ortogonale,

altsa b · AB=0 .

Ud fra observationerne, kan vi opsætte en ligning der inddrager projektionsvektoren a b .

(5.1) a · b=( a b+ AB ) · b (5.2) a · b=ab· b+ AB· b

(5.3) a · b=ab· b+0 (5.4) a · b=a

b· b

Da a b og b er parallelle, kan vi finde en skaleringsværdi (se punkt 2.4.3 Skalering, s. 16)

t til b , hvor den er lig med længden af a b – vi forkorter faktisk bare b indtil b=ab

.

Vi leder nu efter en værdi for t i ligningen a b=t · b

(6.1) a · b=ab· b (6.2) a · b=t · b · b

“ b · b=∣b∣∣b∣cos(0° )=∣b∣∣b∣·1=∣b2∣

(6.3) a · b=t ·∣b2∣ (6.4) t= a · b

∣b∣2

Vi har nu et udtryk for t , og kan derfor erstatte dette i ligningen ab=t · b ; a b=

a · b

∣b∣2· b .

20

4 Vektorregning

4 Vektorregning

? Gør rede for planens ligning, normalvektorer og krydsprodukt.

4.1 Beskrivelse

…

4.2 Planens ligning

Planens ligning bestar af et udgangspunkt og en normalvektor.

a (x – P x)+b( y – P y)+c( z – P z)=0

For at danne en plan skal man kende udgangspunktet P , og enten kende normal-

vektoren, eller lave den ud fra 2 retningsvektorer, som er diskuteret under næste punkt.

4.2.1 Vinkel mellem planer

Vinklen mellem to planer kan beregnes ud

fra deres normalvektorer.

Eksempelvis, hvis vi har to planer α og β ,

sa beregner vi vinklen derimellem ved;

θ=180°−arccos( α ·β∣nα∣∣nβ∣)

4.2.2 Skæring mellem planer

…

4.2.2 Formler til regning med planer

4.2.2.1 Afstand fra punkt til plan

Afstanden fra punkt til plan er givet ved.

Dist (P ,α)=∣ax+by+cz+d∣

√a2+b2+c2

4.2.2.2 …

…

…

21

4 Vektorregning

4.3 Normalvektorer

En normalvektor i 3D, er en vektor som star vinkelret i relation til noget andet. I planens

ligning, star normalvektoren vinkelret pa planen.

For at danne normalvektoren til planen, skal man bruge 2 retningsvektorer (i planens

parameter fremstilling er disse ofte angivet som hhv. u og v , se evt. punkt 5.3 Planens

parameterfremstilling, s. 24). Dannelsen foretages ved at krydse (se punkt 4.4

Krydsprodukt, s. 22) de to retningsvektorer.

4.4 Krydsprodukt

Krydsproduktet danner en ny vektor, som star vinkelret pa begge vektorer der krydses.

Krydsproduktet dannes ved 3 determinanter (se evt.

punkt 3.3 Determinant, s. 19) – en for hver komposant.

Hvis man ser det som en matrice, som bestar af 3

rækkevektorer, hvor den øverste er ijk-vektoren (1,1,1) ,

kan man huske formlen pa, at man i den første ser bort

fra i-rækken, i den anden ser bort fra j-rækken og i den

tredje ser bort fra k-rækken.

22

c=a×b=(∣a y b y

a z bz∣

∣a z bz

a x bx∣

∣ax bx

a y b y∣)

5 Vektorregning / Parameterfremstillinger


? Gør rede for linjens og planens parameterfremstillinger (3D) og drag sammenligning til deres respektive ligninger.

5.1 Beskrivelse

…

5.2 Linjens parameterfremstilling

Linjens parameterfremstilling i 3D, bestar af et udgangspunkt og en retningsvektor, og

skaleringsfaktoren t (se punkt 2.4.3 Skalering, s. 16). Linjer har ikke en ligning i 3D.

(xyz )=(P x

P y

P z)+t (rx

r y

r z) , t∈ℝ

5.2.1 Parameterfremstilling i 2D

Hvis vi starter med, at tage udgangspunkt i linjens ligning (2D), sa ser vi at vi kan danne

parameterfremstillingen ud fra aflæsning.

y=ax+b

Vi skal bruge et punkt, og det kan vi nemt finde ved, da vi ved at skæringspunktet med y-

aksen vil være (0,b) . Dernæst skal vi bruge en retningsvektor, hvilket vi ogsa har, idet vi

ved, nar vi gar 1 hen pa x-aksen, har vi en relativ tilvækst i y pa a. Altsa er

retningsvektoren givet ved (1,a) .

( xy)=(0b)+t(1a)

5.2.2 Parameterfremstilling i 2D

At komme fra 2D til 3D, kræver ingen yderligere bevis end blot, at tilføje en dimension til

udgangspunktet og retningsvektoren — dette er fordi de anvendte vektor regneregler

gælder bade i planen, savel som i rummet (se evt. punkt 2.4.1 Addition, s. 15 og punkt

2.4.3 Skalering, s. 16).

23


5.3 Planens parameterfremstilling

Planens parameterfremstilling bestar af et udgangspunkt og 2 retningsvektorer, og

skaleringsfaktorerne s og t (se punkt 2.4.3 Skalering, s. 16).

(xyz )=(P x

P y

P z)+s(ux

u y

uz)+t (vx

v y

v z) , s , t∈ℝ

5.4 Sammenligning

…

24

6 Eksponentielle Funktioner


?Gør rede for de eksponentielle funktioner og deres grafiske billeder i forskellige koordinatsystemer. Kom i denne forbindelse ogsa ind pa (eksponentiel) regression.

Udled formlen til bestemmelse af grundtallet a, og gør rede for differentialkvotientenaf ƒ(x) = ax.

6.1 Beskrivelse

Forskriften for en eksponentialfunktion ser saledes ud ba x .

6.2 Konstanterne

6.2.1 Betydning

a F-faktor for relativ y-tilvækst.

a>1 Voksende funktion.

0<a<1 Aftagende funktion.

b → f (0) Skæringspunkt med y-

aksen.

6.2.2 Bestemmelse

a=∆ x√ y2y1

b=yn

a xn

6.3 Grafen

Grafen for en eksponentialfunktion kan visualiseres pa to mader, hvoraf den ene er

specifikt udformet til eksponentialfunktionen egenskaber.

6.3.1 Alm. kartesiske koordinatsystemer 6.3.2 Enkelt-logaritmisk koordinatsystem

25


6.4 Regression

Regression er en metode hvorved man danner et funktionsudtryk for et data-sæt som kan

udtrykkes vha. en funktionsforskrift med god tilnærmelse – fx. en eksponential-funktion.

Regression udregnes hovedsageligt vha. CAS-værktøj eller lign., da udregning i handen –

selvom muligt – er et meget langt regnestykke. Der findes op til flere metoder hvorpa

regression kan udregnes, dette afhænger af værktøjet.

Ved udregningen afgives ogsa en sakaldt forklaringsgrad ( r2 ), som viser hvor rimeligt

funktionsudtrykket passer til data-sættet – er denne værdi højere end 0.95 kan det antages

at udtrykket er acceptabelt.

6.5 Udledning af grundtallet

Nar vi vil udlede grundtallet a for den eksponentielle funktion starter vi med at

perspektivere over hvordan vi kommer fra et punkt til et andet.

Vi har to punkter pa grafen for en vilkarlig eksponentialfunktion; P1(x1, y1) og P2(x2, y2) .

For at komme fra y1 til y2 skal vi gange y1 med fremskrivningsfaktoren a opløftet i

∆x , sa har vi et udtryk vi kan ga fra.

(x.1) y2= y1 · a∆ x

Herfra skal vi blot isolere a .

(x.2)y2y1

=a∆ x (x.3) a=∆ x√ y2y1

26


6.6 Differentialkvotienten for f(x)=ax

Vi følger tretrinsreglen og udleder differentialkvotienten for ax og ekx .

6.6.1 Udledningen af differentialkvotienten for ax

1. ∆ f∆x

= a x+∆ x−a x

( x+∆ x)−x

2. ax a∆ x−1∆ x

Bemærk her, at ax stilles udenfor brøken.

3. ax · lim∆ x→0 ( a

∆ x−1∆x ) Bemærk her, at ax ikke har nogen indflydelse.

6.6.2 Udledningen af differentialkvotienten for ekx

1.∆ f∆x

=ek ( x+∆ x)−ekx

( x+∆ x)−x

2. ekx ekx ∆ x−1∆ x

Bemærk her, at ekx stilles udenfor brøken.

3. ekx · lim∆ x→0 ( e

kx ∆ x−1∆ x )=kekx Hvilket beviser, at (ekx) '=kekx .

6.6.3 Sammenhængen mellem k og ln(a)

(x.1) ax=e kx Opstiller en ligning til sammenligningen.

(x.2) x · ln (a)=kx ·ln (e) Trækker eksponenten ned vha. ln.

(x.3)x · ln (a)

x= k x · ln (e )

xDividerer x ud af ligningen.

(x.4)ln (a )ln (e)

=k Isolerer k.

(x.5) ln (a )=k ln (e) bliver 1, og gar dermed ud.

Saledes kan vi konkludere, at ved omskrivning vil k svarer til ln (a) .

27

7 Differentialligninger


?Gør rede for logistisk vækst og for den logistiske differentialligning y' = k · y · (m – y),hvor k > 0 og m > 0.

Inddrag gerne et taleksempel.

7.1 Beskrivelse

Den logistiske differentialligning, hvis løsning er den logistiske vækst (se punkt 7.2

Logistisk vækst, s. 28), anvendes i matematiske modeller, som kræver en øvre grænse.

7.2 Logistisk vækst

Logistisk vækst er løsningen til den logistiske differentialligning.

y ( x)= M

1+c1 · e−aMx

Det karakteristiske ved den logistiske vækst er den indlagte dæmpning, dvs. den øvre

grænse (eller bæreevne), som er defineret i ligningen som M. Som vi ogsa kan se pa

udtrykket, nar x gar imod ∞ , gar funktionen y ( x) imod M.

7.2.1 Taleksempel

… evt.

28


7.3 Den logistiske differentialligning

Det karakteristiske ved den logistiske differentialligning er, at vækstraten lineært

aftagende med størrelsen af y, som er det, der far grafen til at finde en ligevægt.

y '=k · y ·(M − y )

Løsningen til den logistiske differentialligning er af den logistiske væksttype (se punkt 7.2

Logistisk vækst, s. 28).

7.3.1 Konstanternes betydning

k …

M = ba

Konstanten M er en sammentrækning af de to konstanter a og b.

M definerer den øvre grænse for grafen.

7.3.2 Taleksempel

…

29


7.4 Udledning af løsningsformlen

Vi ønsker at udlede en formel for samtlige løsninger af den logistiske differentialligning.

(x.1) y ( x)= 1z (x)

Omformer til at y beskrives saledes.

Bemærk her, at y ≠ 0 .

(x.2) (1z ) '=a ·1z·(M −1

z) Erstatter y med udtrykket fra ovenstaende ligning.

“KæderegelDen ydre funktion differentieres, lader den indre sta, hertil ganges den indres afledte.( f (g (x)))'=( f ∘ g )'= f ' (g (x)) · g ' (x )

(x.3) − 1

z2· z '=a ·

1z·(M −1

z) Udregner venstresiden.

(x.4) z '=a·1z·(M −1

z)·(−z2) Isolerer z'.

(x.5) z '=−a ·(Mz−1) Reducerer udtrykket, ved at gange ud.

(x.6) z '=−aMz+a Reducerer igen, ved at gange ind i parentesen.

! Vi bemærker nu, at dette er en differentialligning af typen y '=b – ay , hvis løsning er den forskudte eksponentielle vækst.

(x.7) z (x )= aaM

+ce−aMx Indsætter i løsningsformlen y=−ba+c · eax .

! Vi gør nu brug af den oprindelige omskrivelse af y (x) beskrevet vha. z (x )

(x.8)y ( x)= 1

1M

+c · e−aMx z (x ) erstattes af y ( x) .

(x.9) y ( x)= M

1+M ·c · e−aMx Sammentrækker brøkerne.

(x.10) y ( x)= M

1+c1 · e−aMx Erstatter M ·c med konstanten c1 .

Og saledes er formlen for samtlige løsninger til den logistiske differentialligning bevist.

30



? Eksakt løsning af lineær differentialligning; numeriske metoder og CAS.

8.1 Beskrivelse

Eksakt løsning af differentialligninger betyder, at forskriften for den oprindelige funktion

bliver fundet.

8.2 Eksakt løsning af lineær differentialligning

Den lineære differentialligning har forskriften y '= f (x )· y+g ( x ) , og den generelle

løsningsformel y=eF (x) · z (x )=eF ( x) ·∫(e−F ( x) · g (x))dx+c · eF ( x) .

8.2.1 Udledning af løsningsformlen

Vi antager at f ( x) er kontinuert, sa vi er sikre pa at den har en stamfunktion. Nu gætter

vi pa, at y (x)=eF ( x) · z(x) .

Observationer

· y er løsning til y '= f (x )· y+g (x )

· e F (x ) · z er løsning til y '= f (x) · y+g ( x)

· z er løsning til (eF ( x)· z) '= f (x )· e F (x) · z (x)+g (x)

(eF ( x)· z) '= f (x )· e F (x ) · z ( x)+g ( x) Vi kan nu se, at denne ligning kan vi løse.

Højresiden kan bestar af en sammensat funktion, og et produkt af to funktioner. Vi regner

først produkt funktionen ud vha. regnereglen ( f (x )· g (x)) '= f ' (x) · g (x )+ f (x )· g ' (x) .

(eF ( x)· z) '=(eF (x )) ' · z+eF (x )· z '

Sa udregner vi den sammensatte funktion ( ( f (g (x)))'=( f ∘ g )'= f ' (g (x)) · g ' (x ) ).

(eF ( x)) '=eF ( x) · F ' (x)

Nu star vi med udtrykket (eF ( x)· z) '=eF ( x)· f (x) · z+eF ( x ) · z ' , dette indsætter vi i

differentialligningen e F (x) · f (x) · z+eF (x ) · z '= f (x )· eF ( x) · z (x)+g (x) , og ser at vi kan

forkorte udtrykket og isolere z' e F (x ) · z '=g (x)→ z '=e−F (x )· g (x) .

31


Som observeret, var z løsning til den oprindelige differentialligning, og samtlige løsninger

er derfor givet ved følgende.

z=∫ e−F (x) · g ( x)dx+c

Nu har vi et udtryk for z (x ) , og vi kan nu erstatte dette i den egentlige differentialligning.

y (x)=eF ( x) · z (x )→ eF ( x) ·∫ e−F (x ) · g (x )dx+eF ( x) · c

Og dermed er den generelle løsningsformel for lineære differentialligninger bevist.

8.3 Numeriske metoder

Selvom mange differentialligninger kan løses (f. eks. hvis de er af en kendt form, herunder

lineære, logistiske, etc.), eller med CAS-værktøj, sa er der nogle, hvor det ikke kan lade sig

gøre. Disse kan løses numerisk i stedet, hvilket vil sige, at vi kommer frem til en

estimering af løsningen. I de numeriske metoder finder man saledes ikke en forskrift, men

en serie af tabelværdier for hhv. x , y , y ' og ∆ y , som tilnærmelsesvis ligger sig op af

den egentlige funktion, men vil altid være en smule ved siden af, da den følger tangenten,

fremfor den egentlige graf.

8.3.1 Euler's metode

Vi tager udgangspunkt i en simpel differentialligning, og løser denne numerisk.

y '=2x+ y

Da y' beskriver hældningen for grafen i et givent punkt, kan vi vælge et vilkarligt punkt,

og beregne hældningen i netop dette – eksempelvis P(1,2) , som vist nedenfor.

P(1,2) y '=2 · P x+ f (P x)=2 ·1+2=4

Vi kan nu tegne linjeelementet for differentialligningen i punktet, og fortsætte denne

procedure indtil vi har et overblik over, hvordan grafen til løsningerne forløber.

Tangenterne kan nu bruges til at approximere grafen/funktionen. Dette gør vi ved, at

indsætte vores fundne værdier i tangentens ligning.

t (x)= f ' (x0)( x− x0)+ f ( x0)=4(x−1)+2=4x−2

32


Hvis vi nu følger tangenten, vil vi tilnærmelsesvis ogsa følge grafen, og vi kan derfor sige;

f (x0+∆ x)≈ f ' (x0) · ∆ x+ y0

Tydeligvis, jo mindre delta-værdien er, desto mere øges præcisionen af approximeringen,

og ∆x bør derfor være sa lille som muligt.

Nar vi har fundet det nye punkt, ud fra tangenten, bruger vi dette til at fortsætte med at

finde nye punkter og tilhørende tangenter, som i sidste ende samles i en tabel og denne

serie af tabelværdier udgør resultatet af den numeriske løsningsmetode.

8.3.2 Runge-Kutta

… s. 213

8.4 Computer Algebra System (CAS)

CAS-værktøjer (ie. Mathematica) har en række algoritmer, som kan løse differential-

ligninger eksakt. Nar vi benytter funktioner (ie. DSolve), sa tager CAS-værktøjet

argumenterne og kører en algoritme pa dataene, og giver dens bedste bud pa en eksakt

løsning tilbage. Da CAS-værktøjer bruger forskellige algoritmer, afhængigt bade af

argumenterne og præcisionen, som brugeren har specificeret, kan løsningen være

forskellig fra CAS-værktøj til CAS-værktøj, men selve løsningen er stadig korrekt.

33

9 Differentialligninger / Modellering


? Gennemga eksemplet med forurening af en sø, dvs. opstil modellen med konstant volumen og diskuter løsningen af differentialligningen.

9.1 Beskrivelse

Vi far oplyst, at en sø tilføres et forurenende stof (f. eks. fra en fabrik, eller udvaskning af

gødningsstoffer fra nærliggende marker). Vi vil undersøge forureningen af denne sø, og

opstille en matematisk model vha. en differentialligning, som beskriver koncentrationen af

giftstof i søen til et vilkarligt tidspunkt.

9.1.1 Kendte variabler

• Søens volumen (V) er 1000m3

9.1.2 Systemets dynamik

• Der tilføres 6 gram giftstof pr. minut

• Gennemstrømning er 2m3 pr. minut

9.2 Gennemgang

Ud fra de kendte variabler og systemets dynamik, kan vi opstille en funktioner som

udtrykker disse.

9.2.1 Stof ind (I)

Der tilføres 6 gram giftstof pr. minut.

I=6 · ∆t

Det antages i øvrigt, at det tilførte giftstof er

ligeligt fordelt i søen – koncentrationen af

giftstof vil derfor være den samme i søen.

9.2.2 Stof ud (U)

Mængden af giftstof pr. 2m3 der vil

udskylles pr minut er volumen af vand

udskyllet over søens volume (V) gange

mængden af giftstof (M).

U=2 · ∆ t1000

· M

Fig. x — Kompartmentdiagram over ændringen i forureningen i søen

34


9.2.3 Opstilling af differentialligningen

Nar vi har udtrykkene for bade tilførelsen og udvaskningen af giftstoffet, kan vi opstille et

udtryk for ændringen af stofmængden over tid.

∆M =I−U=6 · ∆t− 2 · ∆t1000

· M →(6−0.002M )∆ t

Hvis vi dividere med ∆t pa begge sider, far vi et udtryk der beskriver den gennemsnitlige

ændring af stofmængden pr. tidsenhed (i det her tilfælde pr. minut).

∆M =(6−0.002M )∆ t → ∆M∆ t

=(6−0.002M )

Lader vi ∆t ga imod 0 i differenskvotienten, som vi har opstillet, vil den nærme sig

differentialkvotienten, dvs. vi far altsa differentialligningen.

∆M∆t

=(6−0.002M )→ dMdt

=(6−0.002M )

9.2.4 Løsning af differentialligningen

Differentialligningen er af formen y '=ay+b , dvs. den fuldstændige løsning er givet ved;

y=−ba+c · eax , hvor c∈ℝ a=−0.002 og b=6

Løsningen er altsa;

M ( t)=− 6−0.002

+c · e−0.002t

Konstanten c bestemmes ud fra begyndelsesværdien M (0) , dvs. mængden af giftstof til

tiden 0. Hvis vi f. eks. antager den til at være 500, sætter vi M (0)=500 ;

500=− 6−0.002

+c · e−0.002 ·0→ c=−2500

35


9.3 Diskussion

Vi kan umiddelbart se, at i differentialligningen optræder der en del parametre, som nemt

kan justeres, saledes at ligningen kan bruges til at beskrive samme eller lignende situation

for en anden sø. Ligeledes kan vi ogsa omformulere ligningen til, at beskrive andre dele, f.

eks. koncentrationen til tiden t (se punkt 9.3.1 Koncentrationen, s. 36).

9.3.1 Koncentrationen

Koncentrationen til tiden t, gives ved at dividere M(t) med volumen pa 1000m3.

K (t )=3000+(M (0)−3000) · e−0.002t

1000→3+(M (0)

1000 )e−0.002t

Vi kan umiddelbart se, at koncentrationen vil nærme sig 3 gram/m3, nar t gar imod ∞ .

36

10 Differentialregning


?

Gør rede for begreberne differentiabel funktion, differenskvotient og differentialkvotient. Udled udtrykket for differentialkvotienten af ƒ(x) = x2.

Du skal ogsa komme ind pa betydningen af differentialkvotient, samt pa anvendelse af ƒ'.

Opstil regnereglerne for differentiable funktioner, og bevis herunder sætningen om differentiation af en sum.

10.1 Beskrivelse

10.1.1 Differentiabel i punkt

Hvis grænseværdien for en funktion

eksistere i et punkt P , er funktionen

differentiabel i punktet P .

lim∆ x→0

( f (P x+∆x )− f (P x)∆ x )∃!

10.1.2 Differentiabel funktion

Hvis grænseværdien for x∈Dm( f ) – alle

x-værdier i Dm for funktionen ƒ –, sa er

funktionen differentiabel.

lim∆ x→0 (∆ f

∆ x )∃

10.1.3 Begrebet differenskvotient

Differenskvotient er udtrykket for

sekantens hældning mellem to punkter pa

grafen for en funktion.

∆ f∆x

=f (x+∆ x)− f (x)

∆ x

10.1.4 Begrebet differentialkvotient

Differentialkvotienten udtrykkes nar vi

lader differenskvotientens ∆x ga mod nul.

f ' ( x)= lim∆ x →0 ( ∆ f

∆ x )

10.2 Betydning og anvendelse af ƒ'

Begrebet f ' er den afledte funktion af f – dvs. at f er stamfunktion til f ' .

10.2.1 Betydningen

Den afledte funktion, f ' , beskriver

hældningen af tangenten til grafen for f .

10.2.2 Anvendelsen

Vi anvender f ' til at bestemme

hældningen af tangenten til grafen for f i

bestemte punkter.

37


10.3 Udledning af differentialkvotient for ƒ(x)=x2

1. Vi opstiller udtrykket efter tretrinsreglen.

∆ f∆x

=(x+∆x )2−x2

( x+∆ x )−x

2. Vi reducerer udtrykket for sekantens hældning.

∆ f∆x

= x2+∆ x2+2x ∆ x−x2

(x+∆ x)−x→ ∆ x2+2x ∆ x

∆ x→ ∆x

∆x+2x∆ x

3. Vi lader ∆x ga imod 0.

lim∆ x →0 (∆ x

∆ x+2x∆ x )=2x

10.4 Differentiationsregneregler

1. Sumreglen (bevist i 10.5 Differentiation af en sum, s. 39.)

( f (x)± g (x )) '= f ' ( x)± g ' ( x)

2. Konstantreglen

(k · f ( x) ' )=k · f ' (x)

3. Produktreglen

( f (x) · g (x)) '= f ' (x) · g ( x)+ f (x )· g ' (x)

4. Divisionsreglen

( f (x)g ( x) )'= f ' (x) · g (x )− f ( x) · g ' (x )

(g (x ))2

5. Sammensat funktion (bevist i 10.6 Differentiation af sammensat funktion, s. 39)

( f (g (x ))) '=( f (x)∘g (x))= f ' (g (x )) · g ' (x)

38


10.5 Differentiation af en sum


∆ f +∆ g∆ x

→ f (x+∆x )+g (x+∆ x)− f (x)−g (x)(x+∆ x)−x

2. Vi reducerer udtrykket for sekantens hældning.

f (x+∆ x)+g ( x+∆ x)− f ( x)−g (x )(x+∆ x)−x

→ f (x+∆ x )− f (x)∆ x

+ g (x+∆ x)−g ( x)∆x


lim∆ x→0 ( f (x+∆ x)− f ( x)

∆ x+

g (x+∆ x )−g (x)∆ x )= f ' (x )+g ' (x)

10.6 Differentiation af sammensat funktion


∆( f ∘g )∆ x

→ f (g (x+∆x ))+g (x+∆x )− f (g (x))∆ x

2. Vi kigger pa formlen vi bør ende op med, og omformulerer udtrykket lidt.

Til omformuleringen antages det, at;

· ∆g (x)≠ 0

f (g ( x+∆ x))+g (x+∆ x)− f (g (x))∆ x

→f (g (x+∆ x))+g (x+∆ x)− f (g (x))

∆g (x)·∆ g (x )∆ x

→f (g (x+∆ x ))+g (x+∆ x)− f (g (x ))

∆ g ( x)·∆ g (x)∆ x

→f (g (x)+∆ g (x))+g (x+∆ x)− f (g (x))

∆ g (x )·∆g (x)∆ x


lim∆ x→0 ( f (g (x)+∆ g (x))+g ( x+∆ x)− f (g ( x))

∆g (x)·∆ g (x)∆ x )= f ' (g (x)) · g ' (x)

Bemærk, at tretrinsreglen ikke helt holder stik.

39

11 Differentialregning / Vektorregning / Trigonometri


? Gør rede for differentiation af sin(x) (eller cos(x) efter eget valg), dvs. udled differentialkvotienten under anvendelse af overgangsformler og additionsformler .

11.1 Beskrivelse

… brug projekt opgaven (sæt 9)

11.2 Overgangsformler

11.2.1 Sinus overgangsformler

sin(π−θ)=sin(θ)

sin(−θ)=−sin (θ)

sin( π2−θ)=cos (θ)

11.2.2 Cosinus overgangsformler

cos (π−θ)=−cos(θ)

cos (−θ)=cos(θ)

cos ( π2−θ)=sin (θ)

11.3 Additionsformler

11.3.1 Sinus additionsformler

sin(u± v)=sin (u) ·cos(v)± cos(u) · sin(v)

11.3.2 Cosinus additionsformler

cos (u ± v)=cos(u )·cos(v)∓ sin(u )· sin(v)

40


11.4 Differentiation af sin(x)

Følgende er differentiering af sin(x) vha. tretrinsreglen.

11.4.1 Første trin

Vi opstiller efter tre-trinsreglen funktionenstilvæksten for f (x)=sin( x+∆x )− sin( x) , som

her er omskrevet efter additionsformlen sin(u+v)=cos(u )· sin(v)+sin(u) ·cos(v) .

Vi har derfor at sin(x+∆ x)−sin (x)=sin(x) ·cos(∆ x)+cos(x) ·sin (∆ x)−sin (x ) , og vi ser her,

at vi kan sætte sin(x) uden for en parentes sin(x) ·(cos(∆ x)−1)+cos( x) ·sin (∆ x) .

11.4.2 Andet trin

Vi opstiller nu sekanthældningen og reducerer.

(x.1)sin(x) ·(cos(∆ x)−1)+cos(x )· sin(∆ x)

∆ x

(x.2)sin (x )·(cos(∆ x)−1)

∆ x+cos (x )· sin(∆ x)

∆ x

(x.3) sin(x) ·(cos(∆ x)−1)

∆ x+cos (x )·

sin(∆ x)∆ x

11.4.3 Tredje trin

Vi ser, at i tredje trin kan vi differentiere de to led hver for sig.

(x.1) lim∆ x→0 (sin( x) · (cos(∆ x)−1)

∆x ) (x.1) lim∆ x→0 (cos( x) · sin (∆ x )

∆ x )

“ KoefficientreglenKoefficienter kan rykkes udenfor limes-operationen, da koefficienter bliver staende.

(x.2) sin(x) · lim∆ x→0 ( (cos(∆ x)−1)

∆x ) (x.2) cos (x )· lim∆ x →0 (sin (∆ x) · 1

∆ x )(x.3) sin( x) ·0 (x.3) cos (x )·1

Vi far derfor, at differentialkvotienten til sin(x) bliver cos( x) , og vi har hermed bevist at

sin(x) '=cos(x) – samme kan gøres for cos( x) ' og tan (x )' .

41

12 Integralregning

12 Integralregning

?Gør rede for begrebet stamfunktion og for regnereglerne for bestemte integraler.

Gør rede for sammenhængen mellem areal og integral.

12.1 Beskrivelse

12.1.1 Begrebet stamfunktion

Da integralregning er differentialregningen's modsætning, vil integration – eller

stamfunktionsbestemmelse – afgive et funktionsudtryk som, hvis differentieret, ville være

den oprindelige funktion – vi betegner stamfunktion som regel ved stort bogstav af den

oprindelige.

∫ f (x)dx=F (x) ∴ F ' (x)= f (x)

Som vist ovenfor er F ( x) stamfunktion til f (x) , derfor (∴ er et matematisk logik tegn for

'derfor') ma f ( x) være den afledte funktion af F ( x) .

12.1.2 Integral regneregler

Alle regneregler for integralregning bevises vha. differentiering af udtrykkene.

1. Generel integrationsformel

an+1

xn+1

2. Sumreglen

∫a

b

f (x)± g (x)dx=∫a

b

f (x)dx ±∫a

b

g (x )dx

3. Konstantreglen

∫a

b

c · f (x)dx=c ·∫a

b

f (x)dx

42

12 Integralregning

12.2 Bestemte integraler

Det bestemte integral beskriver arealet under kurven i et bestemt interval – deraf bestemt

integral. I modsætning til et ubestemt integral, som afgiver et funktionsudtryk, afgiver

bestemte et tal-resultat – f. eks. arealet under kurven.

Nar vi opskriver et bestemt integral kalder vi startværdien af arealet for den nedre grænse,

og slutværdien for den øvre grænse – vi altsa integrerer fra nedre grænse til øvre grænse.

12.3 Sammenhængen med areal

Hvis vi nu tager en vilkarlig funktion f (x)=−3x2+15x og vil finde arealet under kurven

i intervallet [0;5], sa integrerer vi i dette interval.

A=∫0

5

f (x)dx=[F (x)=7.5x2−x3]05→F (5)−F (0)=62.5

Vi gennemgar lige hele udtrykket, led for led, og angiver dets betydning.

A Variablen A beskriver det færdige resultat, arealet.

∫0

5

f (x)dx Integral opstilling, bestemt i intervallet [0;5] – dx betyder mht. x.

[F ( x)=7.5x2−x3]05 F (x) beskriver stamfunktionen, og klammerne er intervallet.

F (5)−F (0) Dette er en simplificering af interval-udregningen.

Man skal være opmærksom pa at, nar man integrerer for at bestemme arealet under

kurven at, kurven kan være negativ i nogle intervaller – dette gør man op for ved at

integrerer over flere intervaller, og vender fortegnet de steder hvor der matte være

negative y-værdier – tilhørende Vm.

12.3.1 Eksempel: Areal mellem kurver

For at bestemme arealet mellem to kurver integrerer vi begge funktioner og trækker den

overlappende graf fra den underliggende – dvs. A2− A1 .

A=∫a

b

f ( x)−g (x)dx=[F (x )]05−[G (x)]0

5→(F (5)−F (0))−(G (5)−G (0))

43

12 Integralregning

12.4 Integration ved substitution

Der kan forekomme integraler, som vi ikke kan integrere vha. de almindelige regneregler

for integraler, hertil anvender vi en teknik der kaldes integration ved substitution.

∫ f (g ( x))· g ' (x)dx=∫ f (t)dt

12.4.1 Taleksempel

Givet funktionen f (x) , ønsker vi at finde stamfunktionen.

f (x)=sin(x)5+cos(x)

Vi bemærker her, at formen kan ses som 1t

.

∫ sin (x)5+cos

dx →∫ 1tdt Opstilling af integralet.

Vi identificerer først den indre funktion, og dens (omformulerede) afledte funktion.

t=5+cos( x)dtdx

=−sin(x)→ dt=−sin (x )dx

Nu kan vi fortsætte integralet.

∫ 1t·−sin( x)dx Erstatter dt med det fundne udtryk ovenfor.

−∫ 1t·−sin (x)dx Vi tager højde for det ændrede fortegn.

−ln (5+cos(x)) Og nu kan den integreres.

12.5 Omdrejningslegemet

π∫a

b

( f ( x))2dx Omkring x-aksen.

2π∫a

b

(x f (x))dx Omkring y-aksen.

44

13 Trigonometri

13 Trigonometri

?Gør rede for retvinklede trekanter og de trigonometriske funktioner sin cos.

Gør rede for vilkarlige trekanter samt cos- og sin- relationerne.

Redegør for den harmoniske svingning.

13.1 Beskrivelse

… brug projekt sæt 9 og tidl. disposition

13.2 Retvinklede trekanter

Den retvinklede trekant (ogsa kaldt en Pythagoriansk trekant) har den egenskab, at dens

ene vinkel er 90° – eller vinkelret, deraf retvinklet.

13.2.1 Vinkelsum

Enhver trekant har en vinkelsum pa 180°, for udledning af formel af denne sætning skal

man undersøge forholdet mellem vinkelsummen og polygonet's sideantal.

180° 360° 540° 720°

Ud fra dette kan vi se at vinkelsummen stiger med 180° for hver kant tilføjet til polygonen.

Vi kan derfor opstille en formel som beskriver denne relation V n=180° ·(n−2) .

13.3 Trigonometriske funktioner

De trigonometriske funktioner kan visualiseres vha. enhedscirklen, hvor vi aflæser cosinus

pa første-aksen (x-aksen) og sinus pa anden-aksen (y-aksen).

De to trekanter afbilledet er ensvinklede, hypotenusen i

den lille er lig med 1, da punktet P ligger pa

enhedscirklen – derfor ma forstørrelsesfaktoren være c.

Ud fra dette kan vi se følgende.

b=c ·cos(A)→cos(A)=bc

og a=c ·sin (A)→cos (A)=ac

45

13 Trigonometri

13.4 Vilkarlige trekanter

13.4.1 Sinusrelationerne

Sinusrelationerne anvendes hvis man skal finde en sidelængde eller vinkel, hvor man har

én ubekendt i et par – forstaet pa den made at hver af udtrykkene er et par.

13.4.1.1 Sidebestemmelse

asin (A)

= bsin (B)

= csin(C )

=2R Hvor R er den omskrevne cirkels radius.

13.4.1.2 Vinkelbestemmelse

sin (A)a

=sin (B)b

= sin (C )c

Vinkelbestemmelse (kan give 2 løsninger).

Man kan gøre prøve om den rigtige vinkel er fundet ud fra vinkelsummen (180°).

13.4.2 Cosinusrelationerne

Cosinusrelationerne anvendes nar man ikke kender et par, som i sinusrelationerne,

anvendelsen er den samme ellers – side- og vinkelbestemmelse.

a2=b2+c2−2 bc ·cos (A) cos (A)=b2+c2−a2

2bc

b2=a2+c2−2 ac ·cos (B) cos (B)=a2+c2−b2

2ac

c2=a2+b2−2 ab·cos(C ) cos (C )=a2+b2−c2

2 ab

46

13 Trigonometri

13.5 Harmonisk svingning

Den harmoniske svingning bestar af en sinus-funktion, og 4 kontrol variabler, som ændrer

sinusbølgen's karakteristik – herunder amplitude (a), frekvens (b), fase (c) og forskydning (d).

asin (bx+c)+d

Følgende er eksempler pa ændring i variablerne. Hver figur bygger pa den forrige.

13.5.1 Amplitude (a)

Regulerer bølgens udsving.

2sin( x)

Fig. x – Amplitude eksempel

13.5.2 Frekvens (b)

Regulerer bølgefrekvensen.

2sin(2x)

Fig. x – Frekvens eksempel

13.5.3 Fase (c)

Forskydning over x-aksen.

2sin(2x+π)

Fig. x – Fase eksempel

13.5.4 Forskydning (d)

Forskydning over y-aksen.

2sin(2x+π)+1

Fig. x – Forskydning eksempel

47

Documents

Mathematics A Disposition (WIP)