Mathematik - Analysis

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Formel

𝑔 (𝑎)=2𝑎+𝑏=2𝑎+ 1,445𝑘𝑚2

𝑎

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AUFGABE Funktion = Ableitung?

Untersuchen Sie für jede Teilaufgabe, ob gilt: .

a)

b)

c)

d)

𝑓 (𝑥 )=𝑒𝑥 e)

f)

g)

h)

𝑓 (𝑥 )=𝑒2𝑥

𝑓 (𝑥 )=𝑒𝑥+1

𝑓 (𝑥 )=𝑒𝑥−10

𝑓 (𝑥 )=𝑒−𝑥

𝑓 (𝑥 )=𝑒𝑥2

𝑓 (𝑥 )=2𝑥

𝑓 (𝑥 )=34 𝑥

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AUFGABE Parallele Tangenten

Gegeben sind die Funktion f und die Tangente t. Die Tangente t berührt die Funktion f an der Stelle im Punkt P (3|3).Finden Sie eine zweite Tangente, die die Funktion f an einer Stelle berührt und parallel zur Tangente t verläuft.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

𝑓 (𝑥 )= 2 𝑥𝑥−1

Mathematik - Analysis

Ordnen Sie die Funktionen f bis j den drei Aussagen zu.

AUFGABE Aussagen zuordnen

𝑓 (𝑥 )= (𝑥−3 ) ∙ (𝑥+2 )𝑥−3

𝑔 (𝑥 )= (𝑥−3 )2

𝑥 (𝑥−3 )

h (𝑥 )= 𝑥+23 (𝑥−3 )

𝑖 (𝑥 )= 𝑥(𝑥−3 )2

𝑗 (𝑥 )=𝑥2 ∙ (𝑥−3 )(𝑥−3 )2

Definitionslücke an der Stelle x0 = 3, aber keine Polstelle

Polstelle mit Vorzeichenwechsel an der Stelle x0 = 3

Polstelle ohne Vorzeichenwechsel an der Stelle x0 = 3

Mathematik - Analysis

AUFGABE Gewinnmaximierung eines Waldstücks

Der Waldbauer Berger besitzt ein Waldstück mit homogenem Baumbestand. Die Bäume wachsen und so nimmt der Holzbestand B jedes Jahr zu.Die Funktion beschreibt den Holzbestand (in ) in Abhängigkeit vom Alter der Bäume (in Jahren). Die Formel ist erst ab einem Alter von 20 Jahren gültig. Das Schaubild zeigt den Graphen der Funktion.Herr Berger möchte den durchschnittlichen, jährlichen Gewinn seines Waldstücks maximieren. Er kann das Holz für 70 verkaufen. Die Kosten für die Rodung und Wiederaufforstung des Waldstücks betragen einmalig 5.000 Euro.Nach wieviel Jahren sollte Waldbauer Berger das Holz einschlagen („ernten“)?

𝐵 (𝑡 )=ln( 𝑡13 ) ∙340

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 680

100

200

300

400

500

600

t (in Jahren)

B (in )

Mathematik - Analysis

AUFGABE Funktionsgraphen vergleichen

Gegeben sind die Funktionen f und g mit und .a) Skizzieren Sie die Funktionsgraphen von f und im g in einem Schaubild.b) Ergänzen Sie in diesem Schaubild den Graphen der Funktion h mit .c) Ergänzen Sie zusätzlich den Graphen der Funktion i mit .d) Füllen Sie die Wertetabelle aus.e) Beschreiben Sie die Zusammenhänge zwischen den vier Funktionen.

x = -3 x = -2 x = -1 x = 1 x = 2 x = 3

f(x)

g(x)

h(x)

i(x)

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AUFGABE Position der Münze

Eine kreisrunde Münze mit dem Durchmesser d = 2 rollt den Graphen der Exponentialfunktion f herunter und bleibt vor der y-Achse liegen.Bestimmen Sie die genaue Position der Münze (x- und y-Koordinate des Mittelpunkts mit 3 Nachkommastellen).

-1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

8

𝑓 (𝑥 )=14𝑒𝑥 Zur Lösung der Aufgabe

wird ein CAS benötigt!

x

y

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AUFGABE Schneidet die Winkelhalbierende?

Das Schaubild zeigt für vier unterschiedliche b die Graphen der Funktion f mit .Die beiden flacheren Funktionsgraphen schneiden die Winkelhalbierende .Die steileren Funktionsgraphen schneiden die Winkelhalbierende nicht.Für welche Werte von b schneidet die Funktion f die Winkelhalbierende?

Zur Lösung der Aufgabe wird ein CAS benötigt!

𝑓 1 (𝑥 )=1,6𝑥

𝑓 2 (𝑥 )=1,5𝑥

𝑓 3 (𝑥 )=1,4𝑥

𝑓 4 (𝑥 )=1,3𝑥

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

x

y