Mathematik macht Freu(n)de AB - Logarithmusfunktionen

Ein Kapital von 500 e wächst jährlich um 2 %. Das Kapital nach n Jahren beträgt also

K(n) = .

Wie viele Jahre würde es dauern, bis das Kapital auf 1 Million e anwächst?Taste dich mit dem Taschenrechner an das Ergebnis heran.

Es würde rund Jahre dauern, bis das Kapital auf 1 Million e anwächst.

Lösung einer Exponentialgleichung ertasten

Die Lösung x der Gleichung ax = b heißt Logarithmus von bzur Basis a:

ax = b ⇐⇒ x = loga(b) a > 0, a 6= 1, b > 0

Sprechweise: „x ist der Logarithmus von b zur Basis a.“

Rechts siehst du den Graphen der Exponentialfunktion f(x) = ax.Beschrifte die markierte Stelle.

Logarithmus

Wenn wir loga(b) berechnen, denken wir: „a hoch welche Zahl ergibt b?“ a? = b

a) log10(1000) = , weil 10 = 1000.

b) log7(49) = , weil .

c) log2(16) = , weil .

d) log2(0,5) = , weil .

e) log11(√

11) = , weil .

f) loge(e2) = , weil .

g) logb(b) = , weil .

h) logb(1) = , weil .

Logarithmen händisch berechnen

Zwei besondere Basen sind so wichtig, dass dein Taschenrechner eigene Tasten dafür hat:

Zehnerlogarithmus (Basis 10)log10(b) ; Taschenrechner: LOGKurzschreibweise: lg(b)

Natürlicher Logarithmus (Basis e)loge(b) ; Taschenrechner: LNKurzschreibweise: ln(b)

Logarithmus am Taschenrechner

Du kannst auch Logarithmen mit jeder anderen Basis a berechnen. a > 0, a 6= 1

Die Formel dafür ist loga(b) =lg(b)lg(a)

=ln(b)ln(a)

.

Umrechnungsregel zwischen Logarithmen mit verschiedenen Basen

Löse die Gleichung 500 · 1,02n = 1 000 000 nach n auf.

Exponentialgleichungen exakt lösen

Datum: 21. September 2018

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Für Logarithmen gelten die folgenden Rechenregeln:

1) loga(x · y) = loga(x) + loga(y) Aus „mal“ wird „plus“.

2) loga

(x

y

)= loga(x) − loga(y) Aus „durch“ wird „minus“.

3) loga (xr) = r · loga(x) Aus „hoch r“ wird „mal r“.

Rechenregeln für Logarithmen

Zerlege die Terme so weit wie möglich:

a) ln(

5 · x2

y · z

)=

b) lg(

(42 · x2 − 1)10

y5 + 3

)=

c) ln(

e2 · x2

y ·√

z

)=

d) lg(

100 · (x + y)2

x− y

)=

Logarithmen zerlegen

Löse die Gleichung 500 · 1,02n = 1 000 000 mit Rechenregel 3) nach n auf.

Alternativer Lösungsweg

Isoliere die Potenz mit der gesuchten Variable auf einer Seite. Logarithmiere dann auf beiden Seiten.

Löse die Gleichung 7 · 23·x−1 − 350 = 0.

Exponentialgleichung nach Kochrezept lösen

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Der Graph der Exponentialfunktion f(x) = 2x ist dargestellt.

Lies die folgenden Werte möglichst genau ab.Vergleiche mit den Ergebnissen des Taschenrechners.

a) 21,5 ≈

b) 2−0,9 ≈

c) log2(1,5) ≈

d) log2(3,2) ≈

Logarithmenwerte ablesen

Die Logarithmusfunktion

g(x) = loga(x), a > 0, a 6= 1

ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

f(x) = ax.

Die Graphen von f und g sind also an der 1.Medianegespiegelt. Für jeden Punkt (x | ax) des Graphen von fliegt der gespiegelte Punkt (ax | x) auf dem Graphen von g.

Skizziere rechts den Graphen der Funktion x 7→ log2(x).

Erkläre, warum der Logarithmus loga(x) nur für positive Zahlen x sinnvoll ist.

Logarithmus als Umkehrfunktion

Wie viele Lösungen hat die Gleichung 1x = 3?

Zeichne rechts den Graphen der Funktion f(x) = 1x ein.Spiegle diesen Graphen an der 1.Mediane.Warum hat die Funktion f keine Umkehrfunktion?

Deshalb ist der Logarithmus zur Basis 1 nicht sinnvoll.

Basis 1

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Aus der Definition des Logarithmus

ax = b ⇐⇒ x = loga(b) a > 0, a 6= 1, b > 0

folgt, dass aloga(b) = . „a hoch“ und „Logarithmus zur Basis a“ heben einander auf.

Das hilft uns, wenn die gesuchte Variable im Argument eines Logarithmus vorkommt:

lg(,) = � ⇐⇒ 10lg(,) = 10� ⇐⇒ , = 10�

ln(,) = � ⇐⇒ eln(,) = e� ⇐⇒ , = e�

Logarithmen aufheben

Isoliere den Logarithmus loga(,) mit der gesuchten Größe im Argument. Rechne dann „a hoch“ auf beiden Seiten.

a) Löse die Gleichung ln(5− 42 · x)3 − 4 = 0.

b) Löse die Gleichung 5lg(x2 − 1) = 15.

Logarithmusgleichung nach Kochrezept lösen

Jeder Rechenregel für Logarithmen entspricht eine Rechenregel für Potenzen:

1) aloga(x)+loga(y) = aloga(x) · aloga(y) = . Also ist loga(x · y) = .

2) aloga(x)−loga(y) = aloga(x)

aloga(y) = . Also ist loga

(x

y

)= .

3) ar·loga(x) =(aloga(x)

)r= . Also ist loga (xr) = .

Welche Rechenregeln für Potenzen werden jeweils verwendet?

Rechenregeln begründen

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