Mathematik macht Freu(n)de Termrechnen & Gleichungen · Mathematik macht Freu(n)de Termrechnen & Gleichungen Inhaltsverzeichnis 1. GrundrechenartenundBruchrechnung2 2. Potenzen,WurzelnundLogarithmen4

Mathematik macht Freu(n)de Termrechnen & Gleichungen

TERMRECHNEN & GLEICHUNGEN

Die Schulbücher von Dr. Karl Rosenberg (1861-1936) wurden bis in die sechziger Jahre in Österreichverwendet. Damit wir uns hier bitte richtig verstehen: das war auch vor meiner Zeit. Ich erlebe abernicht selten, wie KollegInnen die Augen nass werden, wenn sie bei mir „einen Rosenberg“ liegensehen.

Wir haben eine Gruppe angehender Mathematik-Lehrpersonen gebeten, die gemeinfrei gewordenenBücher von Karl Rosenberg nach Aufgaben zu durchkämmen, auf die sie in ihrem Unterricht nichtverzichten wollen würden. Aus ihren Vorschlägen ist der erste Entwurf dieser Sammlung entstanden.

Dass viele dieser und ähnlicher Aufgaben aus dem Matura-Kanon verschwunden sind, liegt wohldaran, dass wir beim besten Willen keinen Kontext für sie finden, der nicht ganz an den Haarenherbeigezogen ist. Sie sind als Rechenübungen konstruiert und erfüllen diesen Zweck hervorragend.

Warum rechnen?

Wir erleben, dass Studierende immer weniger Rechenfertigkeit aus der Schule an die Universitätmitbringen. In einer Prüfung soll die ansprechende Summenformel

13 + 23 + . . .+ n3 = n2 · (n+ 1)2

4mit vollständiger Induktion (übrigens eine tolle Sache) bewiesen werden. Dabei ist es wichtig, denTerm (n+ 1)3 effizient auszumultiplizieren. Genau daran scheitern viele. Das ist sehr bitter für alle.

Mathematik geschieht, wenn Sie viele kleine Schritte mühelos zu etwas Eigenem aneinandersetzen.

Die vorliegende Sammlung ist recht umfangreich. Beginnen Sie unbedingt mit Aufgaben, die Ihnensympathisch und vertraut sind. Die mit gekennzeichneten Aufgaben finden wir besonders knifflig.

Wir wünschen Ihnen viele schöne Anfänge im Rahmen Ihres Studienbeginns.Wir freuen uns, dass wir Sie ein Stück weit begleiten dürfen.

Univ.-Prof. Dr. Michael Eichmair

Datum: 5. Oktober 2018.

1

Mathematik macht Freu(n)de Termrechnen & GleichungenInhaltsverzeichnis

1. Grundrechenarten und Bruchrechnung 22. Potenzen, Wurzeln und Logarithmen 43. Quadratische Polynome 74. Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme 85. Bruchterme und Bruchgleichungen 96. Exponential- und Logarithmusgleichungen 107. Wurzelgleichungen 118. Weitere nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme 129. Aufgaben zu den trigonometrischen Funktionen 14Literatur 17

1. Grundrechenarten und Bruchrechnung

1.1. Wer erinnert sich an Turmrechnen?

i) 42 · (1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9) ii) 152409601 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 iii) 1 · 3 · 5 · 7 · 9 · 11 · 13

1.2. In den 7 Bildern sind Rechenoperationen mit Brüchen veranschaulicht.Die Zerlegung der Flächen erfolgt jeweils in gleich große Teile.Ordne die 7 Rechenoperationen den Bildern zu und schreibe jeweils die dargestellte Rechnung an.i) Bruch kürzenii) Bruch erweiterniii) Bruch mit Bruch

multipliziereniv) Brüche addierenv) Brüche subtrahierenvi) Bruch mit natürlicher

Zahl multiplizierenvii) Bruch durch natürliche

Zahl dividieren

︷︸︸︷1 ︷︸︸

︷

1

︷︸︸

︷

2/3

︸︷︷︸3/5

· 3 =

= : 2 = + = = − =

2


1.3. Schreibe Zähler und Nenner jeweils als Produkt von Primzahlen und kürze so weit wie möglich.

i) 2521890 ii) 36

1080 iii) 420013 230 iv) 1225

6300 v) 55066 vi) 2700

1351.4. Stelle das Ergebnis als gekürzten Bruch dar.

i) 23 + 1

2 ii) 56 + 4

9 iii) 524 + 4

45 iv) 4+ 23 v) 7

12−310 vi) 7

4−16 + 3

15 vii) 4225−2


i) 32 −

58 + 1

6 −49 −

318 ii) 1− 1

2 + 13 −

14 + 1

5 −16 + 1

7 −18


i) 3 + 15 −

23 −

(79 −

1115

)ii) 5−

(14 −

17

)−(3

5 −1112

)1.7. Stelle das Ergebnis als gekürzten Bruch dar.

i) 27 ·4 ii) 2

7 : 2 iii) 27 : 3 iv) 4

5 ·152 v) −3

2 ·76 vi) 1

9 ·(−15

11

)vii) −5

4 :(−15

6

)1.8. Stelle das Ergebnis als gekürzten Bruch dar.

i) 45 : 1

2 −(

2 · 315 + 3

10

)ii) 7

3 −13 ·(

2− 72

)iii) 1

2 ·[53 −

(25 −

13

)· 12

]1.9. Stelle das Ergebnis als gekürzten Bruch dar.

i)4723

ii)723 iii) 5

23

iv)3− 1

225 −

13

v)16 −

12 + 2

323 + 1

6 −12

1.10. Berechne (2 · 3) · 4 und 2 · (3 · 4) und vergleiche. Berechne nun (2÷ 3)÷ 4 und 2÷ (3÷ 4).Die Schreibweise 2 · 3 · 4 ist unbedenklich – wir können nämlich rechnen, wie wir wollen. Der Ausdruck 2÷ 3÷ 4 ist brandgefährlich.


i) 11 · 2 + 1

2 · 3 ii) 11 · 2 + 1

2 · 3 + 13 · 4 iii) 1

1 · 2 + 12 · 3 + 1

3 · 4 + 14 · 5

iv) Wie wohl sieht die folgende Zahl als gekürzter Bruch aus?1

1 · 2 + 12 · 3 + · · ·+ 1

n · (n+ 1) + · · ·+ 198 · 99 + 1

99 · 100Versuche deine Vermutung zu beweisen. Tipp: 1

n·(n+1) = (n+1)−nn·(n+1) = 1

n− 1n+1 .

1.12. Stelle die folgende Zahl als gekürzten Bruch dar.1

1 · 2 · 3 + 12 · 3 · 4 + . . . . . .+ 1

n · (n+ 1) · (n+ 2) + . . . . . .+ 197 · 98 · 99 + 1

98 · 99 · 1001.13. Das Produkt der irrationalen Zahlen π und e wird durch das Produkt der rationalen Zahlen3,1415 und 2,7182 angenähert. Erkläre anschaulich mit Rechtecksflächen, weshalb der Fehler dabeikleiner als 7 · 10−4 sein muss. Zeige ohne Taschenrechner, dass sich π/e und 3,1415/2,7182 um wenigerals 10−4 voneinander unterscheiden.

3


2. Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

2.1. Schaffst du die folgenden Rechnungen auch ohne Taschenrechner?

i) 63 · 53

ii) 253 · 46 · 2502

iii) 843 · 12 · 24

43 · 63 · 142

iv) 2575 · 4120

12551 · 2241

v) 223 · 353

554 · 143

vi) (−1)2019

2.2. Vereinfache so weit wie möglich.

i) (a32 · a16 · a8 · a4 · a2 · a) · a

ii) (5 · x2 · y3)−1

(25 · x−2 · y4)−2

iii) 2 · 3 · a−2 · b4

12 · a−2 · b−4

iv) 2 · (m2 · n5)−1

m−3 · n6

v) (a · 2√a · 4√a · 8√a · 16√a · 32√a) · 32√a

vi) 6√

(((2 ·m · n)−3)−1)−2

vii) 4√

92 · (x2 · y−12)2

viii)(x−

3/2 · y6/5)10/3


i) (x− x2−a) · (xa + x) ii) (m2 + n2)2

(m2 − n2)2 + (2 ·m · n)2


i) 2 ·√

5 + 2 ·√

45− 4 ·√

20 ii)√

3 · (√

50 + 7 ·√

2)(5 ·√

48− 8 ·√

27) ·√

2

2.5. Multipliziere aus und stelle das Ergebnis übersichtlich dar.

i) (1 + x) · (1− x) ii) (1 + x+ x2) · (1− x) iii) (1 + x+ x2 + . . .+ xn−1) · (1− x)

2.6 (Geometrische Summenformel). Zeige: Für jede Zahl q 6= 1 ist

1 + q + q2 + . . .+ qn−1 = 1− qn1− q .


i) (x− a) · (x+ a)

ii) (x− a) · (x2 + a · x+ a2)

iii) (x− a) · (xn + a · xn−1 + a2 · xn−2 + . . .+ an−2 · x2 + an−1 · x+ an)


4


i) (1 + x+ x2) · (1− x+ x2)

ii) (1 + x+ x2 + x3 + x4) · (1− x+ x2 − x3 + x4)

iii) (1 + x)5 + (1− x)5


i) (x2 + 1) · (x4 + 1)

ii) (x2 + 1) · (x4 + 1) · (x8 + 1)

iii) (x2 + 1) · (x4 + 1) · (x8 + 1) · (x16 + 1)

iv) (x2 + 1) · (x4 + 1) · (x8 + 1) · . . . · (x512 + 1) · (x1024 + 1)

2.10. Finde eine bequeme Formel, mit der du den Ausdruck

s = 1 + 2 · x+ 3 · x2 + . . .+m · xm−1

für beliebige Werte von x und z.B. m = 100 berechnen kannst. Tipp: Berechne s · (1− x).

2.11. Schreibe als gekürzten Bruch.

i) (1− 3 + 32 − 33 + 34 − 35 + 36 − 37 + 38 − 39)/(1 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39)

ii) (x6 − y6)/√

5, wobei x = (1 +√

5)/2 und y = (1−√

5)/2. Ist (x37 − y37)/√

5 eine rationale Zahl?

2.12. Kürze die folgenden Ausdrücke.

i) x6 − y6

x3 + y3

ii) x3 − y3

x− y

iii) x3 + y3

x+ y

iv) x4 − y4

x− y

v) x4 − y4

x+ y

vi) x5 − y5

x− y

vii) x5 + y5

x+ y

viii) x6 − y6

x− y

ix) x6 − y6

x2 − y2

2.13. Vereinfache den Ausdruck.

i)(√

a/b +√b/a)2−(√

a/b−√b/a)2

ii)(√

x+ y −√x+√y

)·(√

x+ y +√x−√y

)iii)

(√n+ 2 ·

√n− 1 +

√n− 2 ·

√n− 1

)2

iv)(√

u+√v −

√u−√v)2

5


2.14. Vereinfache den Ausdruck. Tipp: Quadriere aufs Geratewohl.

i)√

7 + 2 ·√

10 +√

7− 2 ·√

10

ii)√

8− 2 ·√

7−√

8 + 2 ·√

7

iii)√

7 ·√

2 + 4 ·√

6 +√

7 ·√

2− 4 ·√

6

iv)√a+√a2 − b2 +

√a−√a2 − b2

2.15. Es ist x1 = −p/2 +√

(p/2)2 − q und x2 = −p/2−√

(p/2)2 − q .

Berechne und vereinfache: i) x1 + x2 ii) x1 · x2 iii) (x− x1) · (x− x2)

2.16. In dieser Aufgabe ist log = loga für irgendein a > 0. Zerlege so weit wie möglich.

i) log (x2 · y3 ·√z) ii) log

(x+ y

z2

)iii) log

(5

√x3 · z2

y

)iv) log

(x2 − y2

3√az

)

2.17. In dieser Aufgabe ist log = loga für irgendein a > 0.Schreibe den gegebenen Ausdruck als Logarithmus eines möglichst einfachen Terms.

i) 5 · log(x)− 2 · log(y) + log(z

2

)ii) 3 · [log(5 · x) + log(x3)] iii) log(x)− log

(1x

)+ 42

2.18. Für welche reellen Zahlen x > 0 gelten die Ungleichungen? Hinweis: lg = log10

i) 1 ≤ lg x < 2 ii) 3 ≤ lg x < 5 iii) −3 < lg x ≤ 2 iv) −1/2 < log1/4 x < 2

2.19. Wie viele Stellen hat die Zahl (TR erlaubt)? i) 1000(10010) ii) (1000100)10 iii) 20182018

2.20. Ordne die Zahlen der Größe nach: 2, 3, log2(3), 3/2, log3(2),√

3. Tipp: Gib85zur Liste dazu.

2.21. Begründe jeden Schritt in der folgenden Gleichungskette:

3log3(4) · log4(3) =(3log3(4)

)log4(3)= 4log4(3) = 3.

Was also ist log3(4) · log4(3)?Ob das ein Zufall ist? Stelle eine allgemeine Vermutung auf und beweise sie.

2.22. Stelle die komplexe Zahl in der Form a+ b · i mit a, b ∈ R dar.

i) 12 · (3− 2 · i) + i+ 1

3 ii) 1i

iii) (3− 2 · i) · (i− 2)(2− i) · (1 + i) iv) 2− i

1 + 3 · i + 2− i1 + i

v) i2019

2.23. In dieser Aufgabe ist w = 1− i und z = 3 + 4 · i. Stelle die gegebene komplexe Zahl in derGaußschen Zahlenebene dar und beschreibe dann ihren geometrischen Zusammenhang mit w und z.

i) w + z ii) w · z iii) −z iv) z v) i · z vi) z

wvii) 1

wviii) 1

w

6


3. Quadratische Polynome

Wir erinnern mit einem Beispiel an die Methode des quadratischen Ergänzens. Schau genau zu:

x2 − 6 · x− 16 = x2 − 2 · 3 · x+ 9︸︷︷︸=(x−3)2

−9− 16 = (x− 3)2 − 25.

Die quadratische Polynomfunktion f mit

f(x) = x2 − 6 · x− 16

nimmt also ihren kleinsten Wert an der Stelle xS = 3 an. Dieser kleinste Wert beträgt yS = −25.Siehst du auch, weshalb das so ist?

Wir interessieren uns auch für die Nullstellen der Funktion.

f(x) = 0 ⇐⇒ (x− 3)2 = 25 ⇐⇒ x− 3 = ±√

25 ⇐⇒ x = 3± 5

Die Nullstellen von f liegen also bei x1 = −2 und x2 = 8.

Schauen wir uns noch ein zweites Beispiel an.

−6 · x2 + x+ 1 = −6 ·(x2 − 1

6 · x)

+ 1 = −6 ·(x2 − 2 · 1

12 · x+ 1144

)+ 1

24 + 1 =

= −6 ·(x− 1

12

)2+ 25

24 .

Die quadratische Polynomfunktion g mit

g(x) = −6 · x2 + x− 1

nimmt also ihren größten Wert yS = 25/24 an der Stelle xS = 1/12 an.Der Scheitelpunkt ist also S(1/12 | 25/24)Die Nullstellen liegen bei x1 = −1/3 und x2 = 1/2.

Auf die gleiche Weise können wir mit quadratischer Ergänzung jedes quadratische Polynom in dieScheitelpunktform bringen:

a · x2 + b · x+ c = a · (x− xS)2 + yS mit xS = − b

2 · a und yS = c− b2

4 · a.

Diese Scheitelpunktform ist nun wirklich eine tolle Sache. Sowohl Extremstelle und Extremwert alsauch die Nullstellen einer quadratischen Polynomfunktion lassen sich leicht aus dieser Darstellunggewinnen. Profis ergänzen quadratisch.

Die Aufgaben in diesem Abschnitt lassen sich mit der Scheitelpunktform lösen.

7


3.1. Ermittle die Extremstelle, den Extremwert sowie die Nullstellen der Polynomfunktion.

i) x 7→ x2 − 15 · x+ 26

ii) x 7→ x2 + 3 · x− 18

iii) x 7→ 12 · x2 − x− 1

iv) x 7→ −4 · x2 + 12 · x− 9

v) x 7→ 2 · x2 + 11 · x+ 12

vi) x 7→ 3 · x2 − 4 · x+ 4

3.2. Für welche Werte von k hat die gegebene Gleichung genau eine reelle Lösung?

i) x2 + 2 · k · x− (10 · k + 9) = 0 ii) 4 · x2 = (2 · k · x− 12)2 + 3

3.3. Stelle das quadratische Polynom x2 + p · x + q in Scheitelpunktform dar. Leite daraus dieKleine Lösungsformel für die quadratische Gleichung x2 + p · x + q = 0 mit Koeffizienten p, q ∈ Rher.

3.4. Wir nehmen zwei reelle Zahlen mit Summe 10 und bilden ihr Produkt. Was ist das größteProdukt, das man auf diese Weise bilden kann?

3.5. Wir schreiben einem rechtwinkeligen Dreieck mit Katheten der Länge a und b Rechtecke mitSeiten parallel zu den Katheten ein. Was ist die größte Fläche, die ein solches Rechteck haben kann?

3.6. Wir schreiben einem Halbkreis mit Radius r > 0 Rechtecke ein, sodass eine Seite auf demDurchmesser zu liegen kommt. Was ist die größte Fläche, die ein solches Rechteck haben kann?

3.7. Der Punkt (−2 | 4) liegt auf der Parabel y = x2. In wie vielen Punkten schneidet die Ge-rade durch den Punkt (−2 | 4) und mit Steigung k die Parabel? Interpretiere dein Ergebnis auchgeometrisch.

3.8. Wir suchen nach jenem Punkt der Ebene, für den die Summe der Quadrate der Abständezu den drei Punkten A = (1 | −4), B = (2 | −7) und C = (3 | 5) so klein wie möglich ist.

3.9 (Berührbedingungen). Seien a, b ∈ R mit a, b > 0. Zeige, dass sich die Gerade mit Gleichungy = k ·x+ d und die Ellipse mit Gleichung b2 ·x2 + a2 · y2 = a2 · b2 genau dann in genau einem Punktschneiden, wenn a2 · k2 + b2 = d2 gilt.

4. Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme

4.1. Löse die folgenden Gleichungen über der Grundmenge R.

i) x6 + 3 · x4 = 2 · x+ 1 ii) 4 · (x− 2)− 3 · x = x

5 iii) 2 · x3 = x− x

34.2. Für welche Werte von a und b hat das gegebene Gleichungssystem genau eine reelle Lösung?Gib jeweils alle möglichen Werte für a und b an.

i)

3 · x + a · y = 7

−5 · x− 6 · y = bii)

3 · x+ 2 · y = 18

a · x+ b · y = 30iii)

a · x + 5 · y = 40

b · x− 2 · y = 12

8


4.3. Für welche reellen Werte von a und b hat das gegebene Gleichungssystem1) keine reelle Lösung? 2) genau eine reelle Lösung? 3) unendlich viele reelle Lösungen?Gib jeweils alle möglichen Werte für a und b an.

i)

3 · x− 4 · y = 5

a · x + 16 · y = bii)

4 · x+ a · y = 15

3 · x+ 2 · y = biii)

10 · x+ a · y = 18

b · x+ 4 · y = 12

4.4. Löse die folgenden Gleichungssysteme.

i)

1x− 1

y= 4

1x

+ 1z

= 61y− 1

z= 8

ii)

x− y − z = 2 · a

x + y − z = 2 · b

x− y + z = 2 · c

iii)

x+ y

2 + z4 = 21

x+ y3 + z

6 = 15

x+ y4 + z

8 = 12

iv)

x+3y−3 = 1y+2z−2 = 2z+1x−1 = 3

4.5. Löse die folgenden Gleichungssysteme.

i)

3 · x− 5 · y = 2

−4 · x + 3 · y = −10ii)

−x+ 7 · y = 12

2 · x+ 5 · y = −5

iii)

2 · x− 3 · y = 5

−4 · x + 6 · y = −10iv)

−4 · x + y = 3

8 · x− 2 · y = 5

5. Bruchterme und Bruchgleichungen

5.1. Kürze die Bruchterme soweit wie möglich.

i) 54 · a3 · b5 · c3

24 · b2 · c7 · d5 ii) 21 · f 3 · g2 · (2 · k − 3 ·m)56 · f 4 · g · (3 ·m− 2 · k) iii) 35 · p2 · q2 + 49 · p · q3

70 · p · q + 98 · q2


i) 3 · x10 + 5

7 ·x− 3 · x35 + x

14 ii) a+ 14 + 2 + 3 · a

12 − 1− a8 − 2 · a− 5

6 iii) y5 + 3− y+ 2 · y3 − 1− y


i) 2 · y − 1y − 2 − 3 · y

y2 − 4 ii) x+ 52 · x+ 3 −

x+ 42 · x− 3 + 21

4 · x2 − 9 iii) 4 · n2 + 16n4 − 16 − n

n+ 2 + 1


i)cd− d

ccd

+ 2 + dc

ii)(

5 · r4

3 · t2 −3 · t2

5

):(r2

3 · t −t

5

) iii)2·xy− 1

2·xy

+ 1 ·4 · x2 + 4 · x · y + y2

4 · x2 − 4 · x · y + y2

iv) 11a− 1

b

· a− bb

5.5. Löse die Formel 11a

+ 1b

+ 1c

= d nach a auf. (a, b, c, d > 0)

9


5.6. Löse die Gleichung über der Grundmenge R.

i) x− 36x

= 5

ii) 45 · x + 1

3 · x −5

6 · x = 110

iii) 11 + x

= 1x

+ 1

iv) 23 · y + 9 −

15 = y + 2

5 · y − 15 −715

v) 1z − 1 = 3

z + 1 −2

z + 2

vi)1 + 1

x

2 + 12·x

=x4 −

136

x9

vii) x

1 + 23+x

= 4 + x

viii) 2 · x− 32 · x+ 3 + 2 · x+ 3

2 · x− 3 = 504 · x2 − 9

ix) 4− 5 · xx+ 1 + x2 + 8 · x

x2 − 1 = 3 + 4 · x1− x + 17

1− x2

x) x

x+ 1 + 5x2 + x

= 1 + 1x

5.7. Welchen Ausdruck muss man vom Zähler und vom Nenner eines allgemeinen Bruches subtra-hieren, um den Kehrwert dieses Bruches zu erhalten?

5.8. Welchen Ausdruck muss man vom Zähler und vom Nenner eines allgemeinen Bruches subtra-hieren, um den negativen Wert dieses Bruches zu erhalten? Für welche Zahl gibt es keinen solchenAusdruck?

5.9. Gibt es eine Zahl, die die folgende Bedingung erfüllt? „Vermehrt man den Zähler von 57 um diese

Zahl und vermindert gleichzeitig den Nenner um dieselbe Zahl, so erhält man 2.“

5.10. Gibt es eine Zahl, die die folgende Bedingung erfüllt? „Der Kehrwert der um 1 vermehrtenZahl ist gleich dem um 1 vermehrten Kehrwert der Zahl.“

6. Exponential- und Logarithmusgleichungen

6.1. Löse die Gleichung über der Grundmenge R. Hinweis: lg = log10

i) 1 + lg(x/4)3 = 2 ii) 2x2−2·x−5 − 8 = 0 iii) lg(x) + lg(10 · x) + lg(100 · x) = −3


i) 2x · 5x−1 = 2000

ii) 54·x−5 · 4 3+x2 = 52·x+1 · 22·x

iii) 9 · 4x−3 − 9x−3 = 22·x−3

iv) 3 · 4x + 12 · 9

x+1 = 6 · 4x+1 − 13 · 9

x+2

10



i) lg(x− 8) + lg(x− 6) = lg(3)

ii) lg[(2 · x− 1)2] + lg[(4 · x− 3)2] = 2

iii) lg(2 · x) = 2 · lg(3 · x− 8)

iv) 14− lg(x) + 2

2 + lg(x) = 1

v) [lg(x)]2 − lg(x)− 6 = 0

vi) lg[(5 · x− 5)2] = 1 + lg(2 · x− 2)

6.4. Löse die Gleichung über der Grundmenge der positiven reellen Zahlen.

i) x2+4·lg(x) = 100 ii) logx(4) − 2 · log4(x) = 1iii) (x/3)3+lg(x) = 30 000 [1, 2440]

7. Wurzelgleichungen

Beachte beim Lösen von Wurzelgleichungen, dass Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist. Nachdem Quadrieren kann eine Gleichung nämlich mehr Lösungen als zuvor haben.

Welche Lösungen haben zum Beispiel die Gleichung x = 1 und die quadrierte Gleichung x2 = 1?

Die Lösungen der quadrierten Gleichung sind zunächst einmal nur Lösungskandidaten. Um die tat-sächlichen Lösungen der ursprünglichen Gleichung von bloßen Scheinlösungen zu trennen führen wireine Probe durch.


i) x+ 10 ·√x− 24 = 0 ii)

√2 · x− 5− 25√

2 · x− 5+ 24 = 0


i)√

2 · x+ 6 +√

3− 2 · x = 3

ii)√x+ 1 +

√x− 6 =

√2 · x+ 19

iii)√x+ 6−

√x− 2 =

√x+ 3

iv)√x+ 24 +

√x− 8 =

√x+ 34


i) 3√

72− x− 3√

16− x = 2 [1, 2250]

ii)√

4− xx+ 3 +

√x+ 34− x = 5

2

iii)√a+ x+

√b+ x√

a+ x−√b+ x

= 5 (a > b > 0)

11


8. Weitere nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme


x · (2 · x+ 14) · (x2 + 8 · x+ 15) = 0


i) x2 − 4 · x = 0ii) x3 − 4 · x = 0

iii) x3 + 4 · x = 0iv) x3 + 4 · x2 = 0

v) x4 − 4 · x2 = 0vi) x4 + 4 · x2 = 0


i) x4 − 13 · x2 + 36 = 0

ii) 3 · x4 − 17 · x2 − 28 = 0

iii) x6 + 28 · x3 + 27 = 0

iv) x8 − 25 · x4 + 144 = 0

v) x2 − 144x2 = 7

vi) x2 − 2 · x−( 15x− 1

)2= 15

8.4. Ermittle die Null- und Extremstellen der zugehörigen Polynomfunktion.

i) x4 − 8 · x2 + 7ii) −x4 + 6 · x2 + 27

iii) x4 + 2 · x2 + 2iv) x6 − 26 · x3 − 27.

Zum Beispiel ist x4 − 8 · x2 + 7 = (x4 − 2 · 4 · x2 + 16)− 16 + 7 = (x2 − 4)2 − 9.

8.5. Zeige, dass die Ungleichung für alle x ∈ R gilt. Für welche Werte von x gilt Gleichheit?

i) −1 ≤ 4 · sin2 x− 4 · sin x ii) 4 · sin2 x− 4 · sin x ≤ 8 iii) 3√x2 − 4 · x+ 13

≤ 1


i) x3 − 2 · x2 + 27 · (2− x) = 6 · x · (x− 2)

ii) x2 · (x− 6)2 − 2 · x · (x− 6)− 35 = 0

iii) 3 · (x2 − 8 · x+ 21) = (x2 − 8 · x) · (x2 − 8 · x+ 1)

8.7. Zerlege in Linearfaktoren. Tipp: Suche nach ganzzahligen Nullstellen.

i) x2 − 3 · x+ 2ii) x2 + 96 · x− 97iii) x2 − 6 · x− 91

iv) x4 − 10 · x3 + 35 · x2 − 50 · x+ 24v) x3 + 3 · x2 + 2 · xvi) 2 · x4 − 3 · x3 − x2 + 3 · x− 1

8.8. Zerlege in Linearfaktoren.

i) x2 − 3 · x− 40 ii) 6 · x2 − x− 1 iii) a2 − 3 · a · b− 40 · b2 iv) 6 · a2 − a · b− b2

12


8.9. Für welche x ∈ R gilt die Ungleichung?

i) (x− 2) · (x− 3) > 0ii) x2 + 1 > 2 · xiii) x2 + 2 > 2 · x

iv) x3 + x > 2 · x2

v) x4 + 4 ≤ 5 · x2

vi) x4 + x2 + 2 · x > 2 · x3 + 2.

8.10. Wir wählen eine Zahl a ∈ ]0; 4].Betrachte die Funktion f : [0; 1]→ R mit f(x) = a · x · (1− x).

(i) Erkläre, weshalb 0 ≤ f(x) ≤ 1 für alle x ∈ [0; 1].(ii) Für welche x ∈ [0; 1] gilt f(x) = x?(iii) Für welche x ∈ [0; 1] gilt f( f(x) ) = x? Tipp: Zwei Lösungen kennst du schon.

8.11. Löse das Gleichungssystem über R.

i)

x2 + y2 − 4 · x− 6 · y − 37 = 0

3 · x− y = 13

ii)

4 · x2 − 3 · y2 = 882 · x− 3 · y = 4

iii)

x2 + y2 + 2 · x+ 4 · y − 80 = 0x2 + y2 − 12 · x− 24 · y + 130 = 0

iv)

3 · x2 + 5 · y2 = 1929 · x2 − 4 · y2 = 405

v)

2 · x2 + 5 · y2 = 308x− 3 · y2 = 0

vi)

x2 − y2 = 128x2 + y2 − 16 · x+ 32 = 0

vii)

x− y +√x− y = 6x3 − y3 = 19

viii)

3√x− 3√y = 8

3√x2 + 3

√y2 = 34

ix)

√

5·xx+y +

√x+y5·x = 2

x · y − (x+ y) = 6

x)

x+ y + x · y = 3x2 + y2 + x · y = 39

8.12. Seien x, y ∈ R. Erkläre:x2 − y2 = −3

2 · x · y = 4.⇐⇒ (x+ y · i)2 = −3 + 4 · i.

8.13. Löse die Gleichung über der Grundmenge C.

i) z2 = 1 ii) z2 = −i iii) z2 = −1 iv) z2 = −3 + 4 · i v) z2 = 5− 12 · i vi) z2 = −8 + 6 · i

13


8.14 (Komplexe Wurzeln ziehen). Sei w ∈ C. Zeige, dass die Gleichung

z2 = w

immer eine Lösung über der Grundmenge C hat. Wie viele Lösungen hat die Gleichung?Tipp: Schreibe w = a+ b · i mit a, b ∈ R und suche nach x, y ∈ R mit x2 − y2 = a und 2 · x · y = b.

9. Aufgaben zu den trigonometrischen Funktionen

Damit die trigonometrischen Funktionen beim Studienbeginn nicht ganz unter den Tisch fallen, habenwir in diesem Abschnitt einige Leckerbissen vor allem rund um die Additionstheoreme zusammengestellt.

9.1. Wie sind die Werte der Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens für einen spitzen Winkelals Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck festgelegt? Verwende geeignete Dreiecke, um dieWerte von sin(α), cos(α), tan(α) in den folgenden Fällen zu berechnen:

i) α = π/6

ii) α = π/4

iii) α = π/3

iv) α = π/8 und α = π/12.

Tipp: Bei der letzten Teilaufgabe kann man sich mit einem gleichschenkeligen Dreieck mit Öffnungswinkel 2 ·α und Schenkeln der Länge 1

helfen. Wie kann man sich die Höhe auf die Basis und die halbe Länge der Basis dieses Dreiecks ausrechnen, wenn cos(2 · α) und sin(2 · α)

bekannt sind?

9.2. Von einem spitzen Winkel α weiß man, dass tan(α) = 3/4. Wie groß sind sin(α) und cos(α)?

9.3. Durch den Eckpunkt eines Würfels laufen drei Seitendiagonalen und eine Raumdiagonale. Inwelchen Winkeln schneiden sich je zwei dieser Diagonalen? Hinweis: Hier ist der Taschenrechner erlaubt.

9.4. Berechne das Volumen und die Oberfläche einer dreiseitigen Pyramide, in der alle Seitenkantendie Länge a haben. Was sind Sinus, Cosinus und Tangens des Winkels, in dem die Seitenflächeneinander treffen? Hinweis: So eine Pyramide heißt dann Tetraeder.

9.5. Berechne das Volumen und die Oberfläche einer quadratischen Pyramide, bei der alle Seiten-kanten Länge a haben. In welchem Winkel treffen die Seitenflächen einander? In welchem Winkelstehen die Seitenflächen auf die Basis? Hinweis: Hier ist der Taschenrechner erlaubt.

9.6. Ordne jeweils der Größe nach.

i) sin(7 · π

27

), cos

(7 · π27

), tan

(7 · π27

)Tipp: Skizziere die Werte im Einheitskreis.

ii) π, 172 · sin

(2 · π17

), 17 · tan

(π

17

)Tipp: Regelmäßige Vielecke im Einheitskreis und um ihn herum

14


iii) x, sin(x), tan(x) wobei 0 < x < 12 · π Tipp: Vergleiche Flächen am Einheitskreis. Zeige damit, dass limx→0

sin(x)x

= 1.

9.7 (Additionstheorem für den Cosinus). Die Winkel α, β ∈ R sind gegeben. Damit bilden wirdie drei Vektoren

#»u = ( cosαsinα ), #»v = ( cosα

− sinα ) und #»w = ( cosβsinβ ).

Rechts sind drei Vektoren #»u , #»v und #»w mit 0 < α, β < π/2im Einheitskreis dargestellt.

Welchen Winkel schließen die drei Vektoren jeweils mit derpositiven x-Achse ein?

Wie lang sind die Vektoren jeweils?

Welchen Winkel schließen die Vektoren #»v und #»w ein?

Erinnere, wie der Cosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren mithilfe des Skalarprodukts berechnetwerden kann. Erkläre so, weshalb

cos(α + β) = cos(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β).

Der in Aufgabe 9.7 hergestellte Zusammenhang beruht letztlich auf dem Cosinussatz im Dreieck mitden Eckpunkten (cosα | − sinα), (0 | 0), (cos β | sin β). In der Fachliteratur hören solche Identitätenauf den Namen Additionsheorem oder auch Summensatz. Die Standardpalette solcher Identitätenfür die trigonometrischen Funktionen lautet

cos(α + β) = cos(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β) (1)

cos(α − β) = cos(α) · cos(β) + sin(α) · sin(β) (2)

sin(α + β) = sin(α) · cos(β) + sin(β) · cos(α) (3)

sin(α − β) = sin(α) · cos(β) − sin(β) · cos(α). (4)

Sie gelten alle für beliebige Winkel α, β ∈ R.

9.8. Erkläre, wie die Formeln (2)–(4) aus Formel (1) folgen.Tipp: Ersetze β durch −β beziehungsweise durch π/2 + β in (1).

15


9.9 (Additionstheorem für spitze Winkel). Vom dargestellten Dreieck mit Höhe 1 kennst du dieeingezeichneten Winkel α und β.

i) Wie kannst du mit α und β die vier eingezeichneten Streckenlängen berechnen?ii) Berechne den Flächeninhalt des großen Dreiecks auf zwei verschiedene Arten.iii) Begründe damit das Additionstheorem

sin(α + β) = sin(α) · cos(β) + cos(α) · sin(β)

für spitze Winkel α und β.

9.10 (Doppelwinkelformel). Zeige, dass

sin(2 · α) = 2 · sin(α) · cos(α) und cos(2 · α) = cos2(α)− sin2(α).

9.11 (Halbwinkelformel). Zeige, dass

sin2(γ/2) = 1− cos(γ)2 und cos2(γ/2) = 1 + cos(γ)

2 .

Verwende diese Formeln, um sin(π/12) und cos(π/12) exakt zu berechnen.

9.12. Zeige, dass sin(5 · α) = [16 · sin4(α)− 20 · sin2(α) + 5] · sin(α).Verwende diese Identität um zu zeigen, dass

sin(π

5

)=√

5−√

58 .

9.13. Dem Einheitskreis wird ein regelmäßiges Fünfeck eingeschrieben.

(i) Zeige, dass die Seitenlänge dieses Fünfecks

s =√

5−√

52

beträgt. Tipp: Eine frühere Aufgabe ist hier nützlich.

16


(ii) Unter diesem Link findest du ein Video, in dem die Konstruktion mit Zirkel und Lineal einesregelmäßigen Fünfecks im Einheitskreis erklärt wird. Rechne nach, dass diese Konstruktion zurselben Seitenlänge s führt.

(iii) Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges Fünfeck mit Seitenlänge 3 cm.

9.14 (Multiplikation in der Gaußschen Zahlenebene).Die Winkel α, β ∈ R sind gegeben. Erkläre, weshalb(

cos(α) + sin(α) · i)·(

cos(β) + sin(β) · i)

= cos(α + β) + sin(α + β) · i

und1

cos(α) + sin(α) · i = cos(−α) + sin(−α) · i.

Veranschauliche diese beiden Zusammenhänge in der Gaußschen Zahlenebene mit Beispielen wo0 < α, β < π

2 . Lass dir das auf der Zunge zergehen. Verwende diese Zusammenhänge, um[cos

(2 · π99

)+ sin

(2 · π99

)· i]33

und (1−√

3 · i)−100

zu berechnen. Tipp: 1−√

3 · i = 2 ·(

cos( 5·π3 ) + sin( 5·π

3 ) · i).

Literatur

[1] Rosenberg: Methodisch geordnete Sammlung von Aufgaben aus der Arithmetik und Algebra. 16. Auflage. Hölder-Pichler-Tempsky A.G., 1937. – Verfügbar auf: http://phaidra.univie.ac.at/o:560369

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