A revista que sabe o que os matemáticos gostam.

m a t h e m a t i k é

DA IDADE MÉDIA AOSTEMPOS RENASCENTISTAS

Um olhar cronológico pela Matemática

Uma publicação da ESCOLA SECUNDÁRIA 3EB DR. JORGE AUGUSTO CORREIA - TAVIRA

para a disciplina de Matemática A

Car

los T

eixe

ira,

Car

olin

a Ro

sa, D

anie

la

Sant

os, F

abia

na C

arm

o e

Mar

iana

Car

-lo

ta -

núm

eros

4, 7

, 9, 1

2 e

22 d

o 10

º A2

+ FIBONACCIConheça a sequência

mais famosa do Mundo

+ LOGARITMOSNunca os percebeu? Venha esmiuçá-los...

+ EQUAÇÕESSaiba como descobrir as raízes de equações de 3º grau

Pág. 8

Pág. 18

Pág. 21

Ediç

ão n

º1M

aio

2011

Men

sal

A Matemática é a ciência mais barata.

Ao contrário da Física ou da Química, não re-quer material caro. Todas as necessidades

para a Matemática são um lápis e papel.

Logo, estudar Matemática compensa.

A Matemática pura é, à sua maneira, a poesia das ideias lógicas. Com o intuito de construir parte desse poema, tor-nando cada verso renascentista ou medieval especial, lança-mos o nosso primeiro número. O tema desta edição: a história das Matemáticas Ocidentais na Idade Média e Renascimento.

Durante mais de um mês e meio, toda a redacção se em-penhou em atingir este resultado. Desde cedo, o grupo pôs em marcha a sua ideia, de forma a conseguir atingir os seus objectivos para este trabalho. Numa primeira fase, em reunião de grupo, toda a equipa fez o levantamento dos matemáticos a historiar, procedendo-se de seguida a uma discussão sobre a sua imperatividade. Durante semanas, re-correndo às mais variadas fontes documentais, o grupo ini-cia a sua pesquisa pelas entranhas do Universo Matemático.

Nesta edição, pretendemos reinventar a forma como a infor-mação chega até aos leitores, dando a conhecer a Matemáti-ca desde a Idade Média até ao Renascimento; recordar os contextos económico, social, político e cultural de cada uma destas alturas históricas; - estimular nos alunos o inter-esse por questões e modelos matemáticos que não são lec-cionados no decorrer do ano lectivo e percurso escolar;- Saber quais as personalidades de maior destaque no domínio da Matemática, nestas duas fases da História e os respectivos mentores e mentorandos; - Dominar as com-petências necessárias para a realização de um trabalho de investigação deste género, como capacidade de sín-tese, organização, selecção e apresentação; - Desenvolver as aptidões na área da oralidade e da presença em público.

Esperamos que este nosso trabalho o ajude a ver a Matemáti-ca como algo interessante e agradável. Até ao próximo número!

m a t h e m a t i k é

== editorialmathematiké

Maio 2011

TEMA

História das Matemáticas Ocidentais na Idade Média e Renascimento

CONCEPÇÃO

Carlos Teixeira, Carolina Rosa, Dan-iela Domingues, Fabiana Carmo e

Mariana Carlota

GRAFISMOS

Carlos Teixeira

IMAGENS

Carolina Rosa e Daniela Domingues

ARTIGOS

Carlos Teixeira, Carolina Rosa, Dan-iela Domingues, Fabiana Carmo e

Mariana Carlota

CONTEÚDOS ESPECIAIS

Fabiana Carmo e Mariana Carlota

Copyright 2011 Todos os direitos reservados

Carl

os

Teix

eira

Caro

lina

Ros

aD

anie

laSa

ntos

Fabi

ana

Carm

oM

aria

naCa

rlot

a

- 2 -

- 3 -http

://us

.123

rf.co

m/4

00w

m/4

00/4

00/d

ip/d

ip07

01/d

ip07

0100

067/

7301

35-b

ackg

roun

d-w

ith-n

umbe

rs.jp

g

- 4 -

SUMÁRIOSUMÁRIOEditorial :: Um projecto revolucionário Página 2Sumário Página 3

A Evolução da Matemática aos olhos da História Página 5

A IDADE MÉDIA

Leonardo de Pisa, o fibonacci Página 8 A Sequência Mais Famosa do Mundo Página 8Nicole Oresme, o eclesiástico Página 11 O Caso de Nicole Oresme Página 11

A RENASCENÇA

Tartaglia, o bresciano Página 13Cardano, o paviense Página 14Del Ferro, o bolonhês Página 15 Solução Del Ferro - Cardano - Tartaglia Página 15Bombelli, o engenheiro Página 17 A Notação Inovadora de Bombelli Página 18 O Caso Irredutível das Cúbicas Página 18Viète, o francês Página 19 O desafio de Van Roomen Página 19 A Sintaxe Algébrica Página 20Napier, o escocês Página 21 Logaritmos Neperianos Página 21

Dilemas e dicas que nunca mais irá esquecer Página 23Bibliografia e Webgrafia Página 24

A História relata o tempo, relacionando os factos, testemunhando o passado, modelando o presente e advertindo cada um de nós para o futuro. Para um melhor entendimento do progresso que a Matemática sofreu desde os tempos mais remotos, será impor-tante localizarmo-nos historicamente.

A EVOLUÇÃO DA MATEMÁTICAAOS OLHOS DA HISTÓRIA

http

://uw

dc.li

brar

y.wisc

.edu

/imag

es/c

olle

ctio

ns/H

istSc

iTec

h/H

istSc

iTec

hHom

e.jpg

http://ww

w.eschoolnews.com

/media/im

ages/math_im

age.jpg

Por ser muito difícil precisar o início e o fim da época medieval, considera-se, em maior parte das enciclopédias consultadas, o ano de 476, ano em que se deu a queda do Império Romano do Oci-dente, e 1453, ocupação de Constantinopla pelos Otomanos, as referências temporais de princípio e término deste período.

A sociedade estava altamente hierarquizada, dividindo-se em nobreza – camada social detentora de grande riqueza quer fundiária quer militar -, clero – classe sacerdotal ou clerical com grande

- 5 -

http://faculty.evansville.edu/rl29/art105/img/raphael_schoolathens.jpg

http

://2.

bp.b

logs

pot.c

om/_

EAuJ

Es9x

J5I/

TMO

Jryw

5pkI

/AA

AA

AA

AA

Dno

/TK

KU

-M

sLzn

U/s

1600

/mid

dle_

ages

.jpg

“O Renascimento consiste no período histórico que abrange os séculos XV e XVI, e que con-duziu à génese de uma visão renovada na Ciência, na Litera-tura e noutras artes, através do estudo e da aplicação dos princí-pios da Antiguidade greco-latina.”

domínio na vida político-social - e povo – estrato com grandes dificuldades económi-cas, maioritariamente constituído por camponeses. Ao longo da Idade Média aparece, à margem da sociedade feudal, um novo grupo social, a burguesia, que se dedicará ao comér-cio, à indústria e à banca e que terá um papel importantíssimo nos séculos da Idade Moderna.

A economia tinha por base a actividade agrícola. Com o feudalismo a predominar, os nobres co-bravam pesados impostos, os religiosos recolhiam o dízimo, ambos não pagavam impostos e detin-ham diversos latifúndios. Os mais desfavorecidos continuavam à mercê dos mais ricos. Na política, em países como a França, no final da idade medieval, predomina o regime absolutista, levando a uma acentuação ainda maior das diferenças entre os diversos estratos sociais. O poder judicial, ex-ecutivo e legislativo estavam concentrados na autoridade divina, o rei. Em Itália, surge aquilo que podemos apelidar de comuna ou república medieval. Com este regime político e de forma a con-seguirem defender os seus interesses económicos, mercadores e artesãos italianos organizam-se em estados autónomos, reduzindo o número de contribuições tributárias a pagar e promovendo um espírito dinâmico. A nível intelectual, começaram a notar-se divergências entre Ciência e Teologia.

O Renascimento foi um movimento cultural que teve influências profundas na cultura de quase todos os países europeus. As mudanças de mentalidade e de condições de vida foram o cerne da origem deste movimento cultural. Embora o objectivo deste tempo histórico fosse regressar às formas da An-tiguidade Clássica, novos valores surgiram com o passar dos anos.

“A Idade Média é o período histórico que se iniciou com a que-da do Império Roma-no do Ocidente (476) e que terminou com a to-mada de Constantino-pla pelos Turcos (1453).”

- 6 -

in Dicionário Universal da Língua Portu-guesa, Círculo de Leitores

in Dicionário Universal da Língua Portu-guesa, Círculo de Leitores

A dimensão socioeconómica italiana, aquando da génese deste movimento, encontrava-se fragilizada pelo clima tenso que se vivia entre os estados (que constituíam Itália), o Papa-do e o Sacro Império Romano-Germânico. Itália, país de origem de maior parte dos matemáti-cos renascentistas, encontrava-se dividida em pequenos estados independentes - graças à república medieval que surgiu no século XI -. O Estado italiano encontrava-se fragmen-tado, ao contrário de outros países europeus, cujo poder estava fortemente centralizado.

Desta forma, uma burguesia empreendedora e capitalista, apologista da seculari-zação e com um papel importantíssimo no poder político, permite o brotar do Renasci-mento. Este caracteriza-se por subscrever uma visão antropocêntrica - o Homem rep-resenta o centro do Universo – e por desvalorizar a tese teocêntrica, que colocava Deus no centro de tudo.

A manifestação intelectual que se observa durante este período designa-se de Human-ismo. Para esta corrente, o Homem é um ser absoluto, universal, cosmopolita e que divulga os seus pensamentos e ideias. Foi com Dante, Petrarca e Boccaccio, em Itália, que a visão racion-alista da vida teve início. Pelo facto de Itália ter sido o “berço” da Renascença, foi aí que a nova arte alcançou o seu maior esplendor, em duas fases: Quattrocento (séc. XV) e Cinqueccento (séc. XVI). Arquitectura, escultura e pintura desenvolveram-se largamente em núcleos populacion-ais como Florença, Roma e Veneza. O mecenato de grandes príncipes, como os Médicis, favore-ceu este avanço artístico-científico. A Matemática não fugiu à regra e teve, nesta altura, um dosseus expoentes máximos.

- 7 -

http

://im

ages

.wik

ia.c

om/a

ssas

sinsc

reed

br/p

t/im

ages

/a/a

2/A

nato

mia

_leo

nard

o_da

_vin

ci.jp

g

LEONARDO DE PISA, o fibonacci

Graças à sua função profissional, viajou por todo o Mediterrâneo, tendo estudado com diversos matemáticos árabes daquele tempo que lhe forneceram importantes bas-es para os seus estudos futuros. A sua formação matemática foi obtida em instituições no Norte de África, o que lhe permitiu, através da sua obra Liber Abacci, cultivar na Eu-ropa a utilização sistema de numeração árabe. A corte de Frederico II reconheceu a im-portância do trabalho deste grande matemático, conferindo-lhe um salário anual como reconhecimento. Publicou algumas obras como: Liber Abacci (1202), Pratica Geome-triae (1220) - dados acerca de Geometria e Trigonometria - e Liber quadratorum (1225).

Como principais influências, podemos destacar al-Khwárizmi, Omar Khayy-am, Diofanto e al-Fakhrizmi de al-Karaji. Apesar do importantíssimo pa-pel que teve no incremento da numeração arábica, as suas obras tiveram pou-ca preponderância no desenvolvimento da Matemática, nos séculos que se seguiram.

A SEQUÊNCIA MAIS FAMOSA DO MUNDO

Leonardo de Pisa, também conhe-cido por Fibonacci (vocábulo italiano que significa filho de Bonacci), era um mercador da região de Pisa.

Nascido em 1175, é considerado um dos matemáticos mais talentosos da Idade Média. O seu interesse pela Matemática surge pelo facto do seu pai ser um funcionário diplomático logo, conseguia viajar facilmente, e de ele também ter estado, des-de cedo, em actividades que utili-zavam o cálculo como ferramenta.

http

://w

ww.

educ

.fc.u

l.pt/i

cm/ic

m20

02/ic

m10

1/im

ages

/Fib

onac

ci.jp

g Pisa, (1175 - 1250)

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

- 8 -

A sequência resulta de um problema apresentado pelo próprio na sua obra Liber Abacci:

“Quantos casais de coelhos podem ser produzidos num ano, a partir de um único casal se:

a) cada casal originar um novo casal a cada mês que passa e cada casal estiver pronto a ter filhos

dois meses após o seu próprio nascimento;

b) não ocorrem mortes.

Esquema adaptado de http://e-repository.tecminho.uminho.pt/poaw/MATNum20.web/

Para se perceber o nº de casais existentes, dever-se-á fazer uma leitura horizontal. Assim sendo, no 1º e 2º mês, apenas

existe o casal inicial, que se reproduzirá nos meses seguintes.

As bolas a cheio representam casais que se conseguem repro-duzir e os círculos listados simbolizam casais em maturação.

Através desta síntese esquemática, percebemos quais os elementos que farão parte da sequência,visto que cada termo desta resulta da soma dos dois valores anteriores. A resposta ao problema é 144 pares de coelhos, como se verifica, de seguida:

Uma das correlações que normalmente se costuma fazer ao nível desta sequência é a sua ligação com o Triângulo de Pascal. Se repararmos, as setas ilustradas na figura da página ao lado, aponta para cada diagonal deste Triângulo.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

- 9 -

http

://ad

eelsa

stro

logy

.com

/wp-

cont

ent/u

ploa

ds/2

011/

01/r

abbi

t.png

Se somarmos as caixas com a mesma cor que a respectiva di-

agonal, obtemos todos os termos da sequência de Leonardo de Pisa.

Vejamos:

1ª diagonal: 1; 2ª diagonal: 1; 3ª diagonal: 2; 4ª diagonal: 3; 5ª diagonal: 5; 6ª diagonal: 8;

(...)

O triângulo de Pascal representa um conjunto de números cujos elementos são obtidos através da soma dos números próximos e posicionados na linha imediatamente acima. Com as diagonais, verifica-se o elo comum a estes dois fenómenos da Matemática.

Como conseguimos somar os n primeiros termos da sequência?

Esta operação pode ser realizada através da expressão abaixo representada. Utilizemos n = 4, para tentar verificar a condição:

Como fazer o produto de dois termos de Fibonacci alternados?

Nesta operação, verificou-se que multiplicar o termo 4 com o termo 6 equivale ao quadrado do termo entre eles, ou ainda, a essa multiplicação acrescentando-lhe uma unidade. Se o termo n seleccionado for par, acrescenta-se uma unidade. Caso seja ímpar, retira-se uma.

Esta famosa sequência verifica-se muitas vezes na Natureza, quer com o número de pétalas nas flores quer nos ramos das árvores. A grande complementaridade que existe dentro da Matemática, nos mais variados tópicos, é algo absolutamente estrondoso.

- 10 -

Adapt

ado d

e http

://www.ed

uc.fc

.ul.pt

/icm

/

icm99

/icm

31/im

ages/

pasca

l2.gif

NICOLE ORESME, o eclesiástico

O matemático eclesiástico mais importante da Idade Média era francês e chamava-se Nicole Oresme. Era Bispo de Lisieux, na Normandia e foi uma das person-alidades, cujos resultados, sin-graram durante muitos séculos.

Foi igualmente um filósofo bastante prestigiado dos tempos medi-evais, interessando-se ainda por áreas como a Física e a Economia.

Allemagne, (1320 - 1382)

http

s://r

qchp

.ca/

__gr

oups

__/lo

cal.r

qchp

web

/Hist

oire

/Equ

atio

ns_e

n_ph

ysiq

ue/O

resm

e.jpg

Em 1348, Oresme consegue uma bolsa de estudos para o Colégio de Navarre, na prestigiada Universidade de Paris. Aí tirou um mestrado em Teologia, tendo exercido funções de consel-heiro com o rei francês Carlos V. Trabalhou com séries harmónicas e potências fraccionárias.

Combateu fortemente a astrologia, defendeu a existência de outros planetas com vida no Espaço e preconizou a Ciência e pensamento modernos. Na Matemática, o principal destaque vai para a representação gráfica de funções, neste caso, de um gráfico velocidade-tempo. Terá sido o matemático responsável pela invenção da geometria coordenada antes de Descartes.

Influenciou certamente Descartes, Galileu e Copérnico, sendo estes dois últimos através de uma perspectiva relacionada com a Linguagem Física do Mundo. Que se saiba, não houve qualquer preponderância de algum matemático no seu trabalho algébrico-geométrico.

Como principais obras, referem-se De configurationibus (1350) e Algorimus proportionum.

O CASO DE NICOLE ORESME

- 11 -

http://thumb18.shutterstock.com/thumb_sma

(fonte: Matemágica - ver bibliografia)

Imaginemos um carro que está em repouso. De seguida, começa a acelerar, mas não num movimento rectilíneo uniforme, ou seja, com variações de velocidade.

No primeiro segundo, desloca-se 5 metros; no segundo seguinte, 15 metros; no terceiro in-stante, 25 metros; no quarto, 35 metros e assim sucessivamente (ver tabela abaixo). Constrói-se o gráfico (fonte: Matemágica - ver bibliografia), com diversos triângulos, sendo que cada um dos triângulos corresponde a 5 unidades, ou seja, 5 metros percorridos no contexto do problema.

Oresme concluiu que a distância percorrida num determinado instante é igual à área ocupada pelos triângulos representados no gráfico até esse tempo. Por exem-plo, ao segundo momento, foram percorridos 20 metros: 4 triângulos x 5 = 20 metros.

A cada segundo, obtém-se um quadrado com lado correspondente ao nº de se-gundos. t = 1, quadrado com lado 1; t = 2, quadrado com lado 2, etc. Multiplican-do a área do referido quadrado por 5, obtemos, neste caso, a distância percorrida:

A DISTÂNCIA VARIA COM O QUADRADO DO TEMPO

PROCESSO 1: Uma das formas de calcular a distância percorrida, com recurso ao gráfico, é somando a área dos triângulos que vão constituíndo o gráfico:

PROCESSO 2: Pode ainda, aplicando o que Oresme concluiu, achar a distância percorrida:

O GRÁFICOresultante

No gráfico, designou a variável de-pendente (velocidade) de latitude e a independente (tempo) de longitude.

- 12 -

TARTAGLIA, o bresciano

http

://w

ww.

espn

.edu

.pt/m

atem

atic

a/po

linom

ios/

imag

es/T

arta

glia

.gif

Este matemático, de nome Nico-lo Fontana, deve a sua “alcunha” graças a um combate aquando da In-vasão Francesa em Brescia, a sua ci-dade natal. Aos 7 anos, ficou grave-mente ferido na boca e rosto, devido à investida de um soldado francês.

Desde então, teve problemas na fala, que nunca acabaram por desaparecer, mesmo apesar do empenho da sua família. É, por isso, apelidado de Tart-aglia que, em italiano, significa “gago”.

Brescia, (1500- 1577)

O seu pai, que era carteiro, morreu quando tinha 6 anos. Como a mãe não trabalhava, a família passou por grandes dificuldades económicas. Por isso, só aos 14 anos é que apren-deu a ler e a escrever, visto que não tinha como subsidiar um professor para o acom-panhar. Foi professor de Matemática em cidades como Verona e Piacenza, tendo tam-bém sido engenheiro. Dedicou-se a áreas como a Geometria, a Álgebra, entre outras.

Escreveu algumas de como são exemplo: Nova scientia inventia (1537), Quesiti et inventioni diverse (1546), Regola Generale per sollevare ogni affondata Nave, intitolata l la Travagliata Inven-zione (1551). Traduziu para italiano a obra euclidiana “Elementos” e livros aristotélicos. No seu trabalho datado de 1546, para além de expor assuntos de índole militar, o matemático aborda ainda uma questão acerca da equação quártica que, mais tarde, veio a ser resolvida por Ludovico Ferrari.

Como sua referência, podemos assinalar Euclides e Omar Khayyam, que introdu-ziu pela primeira vez a divisão das equações de 3º grau em 14 tipos. Tartaglia e Carda-no deram o passo em direcção à resolução das equações cúbicas... Influenciou di-versos matemáticos que se seguiram no estudo das equações de grau 3 e 4, como, por exemplo, Cardano e Bombelli, no primeiro tipo e Viète, nas equações quárticas.

- 13 -

http://3.bp.blogspot.com/_1FqlfeuqI-8/S8Z6qV

8ls7I/A

AA

AA

AA

AC

U8/3zm

DO

vs4v88/s1600/vector-art-equations-graphs.jpg

CARDANO, o paviensePavia, (1501- 1576) Para além do interesse pela Matemáti-ca, a Medicina constituiu uma das suas áreas profissionais. Publicou várias obras: De malo recentiorum medi-corum medendi usu libellus (1536) - livro de medicina -, Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus (1545) - também pode ser chamadao de Ars Magna - e Practica arithmeti-ca et mensurandi singularis (1519).

Foi detido e ficou preso durante al-guns meses, a mando da Inquisição.

Jerome Cardan, como também é conhecido, dedicou-se à Medicina e à Física. Nes-ta primeira vertente, tinha grande reputação e foi o primeiro a indicar o método para tra-tar a sífilis, assim como, o pioneiro no que toca ao relato da febre tifóide. Com 33 anos, vai para Milão, onde exerce a função de professor quer de Física quer de Matemática.

No seu maior trabalho matemático, Ars Magna, escreve os métodos de resolução de equações de 3º e 4º grau, descobertos por Del Ferro e Tartaglia e por Ferrari, respectivamente. A publicação destas expressões realizou-se, mesmo apesar das grandes quezílias entre os diversos investiga-dores. A forma de resolução das equações cúbicas é, muitas vezes, apelidada de fórmula Del Ferro - Cardano - Tartaglia, protagonizando a introdução dos números imaginários e a legitimidade dosnúmeros negativos.

A sua obra, Liber de ludo aleae, reflecte o interesse deste matemático nos chamados “jogos de azar”. Nela, aborda análises matemáticas de jogos e tópicos relacionados com o estudo das probabilidades. Como seus mentores, Del Ferro, Ferrari e Tartaglia, cujas reso-luções foram alvo de reflexão na obra Ars Magna. Como adeptos do seu trabalho, Rafael Bom-belli, François Viète e Leibniz deram continuidade aos raciocínios deste matemático italiano.

- 14 -

http://ww

w.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/sem

inario/euler/images/C

ardano.jpg

DEL FERRO, o bolonhêsBolonha, (1465-1526)

Filho de Filippa Ferro e de Floriano, é um matemático sobre o qual não se sabe muito, no que toca à sua vida pessoal. Suspeita-se que terá feito o seu percurso escolar na cidade natal. Em 1496, foi convidado para ser professor de Geometria e Aritmética na Universidade de Bolonha, local onde estudara e trabalhara até ao fim da sua vida.

Dedicou-se a problemas matemáticos que envolviam desde a racionalização de fracções até à famosa resolução das equações cúbicas. Del Ferro nunca revelou publicamente o seu método de resolução, tendo apenas compartilhado tal processo revolucionário com os seus alunos e familiares. Segundo o que se sabe, um genro

seu fora o portador do seu livro de anotações, tendo-o passado a Girolamo Cardano e Ludovico Ferrari - discípulo de Cardano -, após a morte de Del Ferro, para que aproveitassem as suas descobertas.

Mais tarde, o próprio Cardano veio atribuir os créditos da resolução a Del Ferro, em detrimento de Tart-aglia. Em 1572, Pompeo Bolognetti, professor catedrático na Universidade de Bolonha, confirmou a ge-nialidade do método de Del Ferro. Cardano e Bombelli foram alguns dos matemáticos influenciados pelo trabalho de Del Ferro.

A SOLUÇÃO DEL FERRO-CARDANO-TARTAGLIA

PONTO DE PARTIDA:

FÓRMULA OBTIDA:

-x = A partir de uma determinada equação do 3º grau, um longo processo de substituição de incógnitas ocorre, de forma a que se obtenha a equação cúbica sem o termo quadrático, possibilitando aplicar a ex-pressão obtida por Del Ferro, Tartaglia e Cardano. Essa expressão deverá ficar com o seguinte aspecto:

- 15 -

http

://m

s-ab

uboo

.com

/mat

h%20

sym

bols.

jpg

http

://w

ww.

appr

endr

e-en

-lign

e.net

/eph

emer

ides

/mat

heux

/m10

-5.jp

g

x =

x =

x =

O 1º passo ilustra o binómio discriminante desta fórmula, ou seja, a parte que é comum nas duas raizes cúbicas. Este indica-nos que tipo de soluções podemos esperar da equação.

Com ele, conseguimos obter a primeira raiz da equação. De seguida, poderemos obter as outras duas, pois, dividindo o polinómio ini-cial por (x-3), obtemos uma função quad-rática, da qual sabemos descobrir zeros.

Vejamos:

POLINÓMIO DECOMPOSTO:

Com a fórmula resolvente, conclui-se que a fracção -3/2 é raiz dupla da equação cúbi-ca que usámos como exemplo.

O gráfico desta equação encon-tra-se representado ao lado, tendo sido construído, tendo em conta os respectivos zeros, 3 e -3/2.

Esta expressão determinada pe-los três matemáticos italianos anteriormente referenciados é bastante útil para descobrir quando uma determinada fun-ção cúbica f, possui f(x) = 0.

- 16 -

http://3.bp.blogspot.com/_1FqlfeuqI-8/S8Z6qV8ls7I/

BOMBELLI, o engenheiroBolonha - Roma, (1526-1572) Foi um engenheiro hidráuli-co, empenhando-se em transfor-mar pântanos em terrenos férteis.

Desde sempre, tentou incenti-var e convencer os alunos a estudar Matemática, empenhou-se em mel-horar o ensino e diminuir dificuldades.

No que diz respeito à notação sim-bólica, inovou por representar na sua grande obra, a raiz quadrada (r.q.), a raiz cúbica (r.c.), o mais (p) e o menos (m).

Rafael não recebeu qualquer educação universitária. Os ensinamentos que pos-suía advinham do que Pier Francesco Clementi, um engenheiro, lhe transmitiu. Ao que se diz, terá sido este convívio entre ambos que terá levado Rafael para a engenharia.

Como a sua obra-prima surge Álgebra (1572), que é considerada, por mui-tos, como a teoria matemática mais relevante do Renascimento. Era para ser pub-licada em cinco volumes, mas o facto é que acabaram por ser apenas três...

Este matemático reveu concepções matemáticas de autores como Diofanto e Omar Khayyam, tendo também tido influências de Tartaglia, Cardano e Del Ferro, cuja proposta estava a ser alvo de polémica, na altura em que Rafael cresceu. Diudonné, Leibniz e John Crossley foram alguns matemáticos que se debruçaram e subscreveram as observações dos diversos trabalhos desenvolvidos por Bombelli.

- 17 -

http

://w

ww.

appr

endr

e-m

ath.

info

/hist

ory/

phot

os/B

ombe

lli.jp

eg

A NOTAÇÃOINOVADORA

BOMBELLIDE

EQUAÇÃO INICIAL: Bombelli sabia que um dos zeros da equação era 4. por isso, empenhou-se em ten-tar prová-lo. Aplicando a expressão obtida por Del Ferro, Tartaglia e Cardano, Bombelli deparava-se com duas raízes quadradas negativas, após fazer as substituições na fórmula:

Empenhado, o matemático desenvolveu um método em que igualava cada uma das raizes a uma expressão que relacionava as incógnitas p e q do método de Del Ferro (figura à esquerda). Através de uma série de operações, consegue provar que, nesta equação, p = 2 e q = 1 (figura à direita).

Assim, torna-se mais fácil demonstrar que 4 é zero da equação inicial (figura em baixo). De-pois desta descoberta, dever-se-á dividir o polinómio inicial por (x-4), para obter uma função quadrática e obter os zeros restantes, tal como se observa na página 16.

- 18 -

O CASO IRREDUTÍVELDAS EQUAÇÕES CÚBICAS

http

://w

ww.

bras

ilesc

ola.

com

/imag

ens/

biog

rafia

/Raf

aBno

t.jpg

François fez todo o percurso educativo até ao Ensino Superior em Fontenay-le-Comte. Estudou Direito, tal como o seu progenitor, em Poiters. Em 1593, Van Roomen, um matemático holandês, propôs um desafio ao rei parisiense - uma equação de grau 45 - afirmando peremp-toriamente que nenhum francês seria capaz de resolvê-la.

Desta forma, Henrique IV convoca Viète que resolve este problema de forma exemplar. Para além disto, este matemático integrou letras em vez de números, no que toca às expressões algébricas, sendo as vogais para as incógnitas e as consoantes para números conhecidos.

Como as principais inspirações do francês, podemos considerar Thomas Har-riot, Sharaf al-Din al-Tusi, Theon de Alexandria, Euclides, Regiomontano, Rheti-cus, Copérnico e Ptolomeu, sendo estes dois últimos na área da geometria do Uni-verso e planetas. Como principais mentorandos de Viète, Descartes, Record, Wallis e Fermat receberam, desta forma, um impulso para continuar o desenvolvimento algébrico.

Canon Mathematicus (1579), In Artem Analyticem Isagoge (1591) e Ad Logisticem Speciosam Notoe Priores (1631) foram algumas das publicações deste matemático.

VIÈTE, o francêsPoitou - Paris, (1540-1603)

O seu verdadeiro nome é Franciscus Vi-eta. Foi estudante de Direito e iniciou a sua carreira de advocacia, função profis-sional que o seu pai também exercia.

Chegou a ser conselheiro dos reis Henrique III e IV, tendo, ao serviço deste último, deci-frado o código secreto que os Espanhóis uti-lizaram nas guerras religiosas francesas.

Interessa-se pela Astronomia, é considerado o precursor da álgebra moderna e criou ex-tensas tábuas de funções trigonométricas.

O DESAFIO DE VAN ROOMEN Um embaixador dos Países Baixos afirmou perante Henrique IV que nenhum matemático francês seria capaz de resolver a equação de 45º grau proposta pelo algébrico Van Roomen. Para tal, o rei francês convoca François Viète que, surpreendentemente, resolve a equação em poucos minutos.

- 19 -

http://3.bp.blogspot.com/_thYJZjRN

KH

s/TH_6BelE4eI/A

AA

AA

AA

AA

A4/Q

Ily7pA0j2Q

/s1600/viete.jpg

Segundo se sabe, a equação proposta foi resolvida de imediato pelo juris-ta graças à relação do primeiro membro com a expressão trigonométrica de seno.

A expressão de grau 45 original é:

Viète pensou que, dado o sen 45º.n, a equação era então possível de se resolver, utilizando para isso as cordas dos diferentes ângulos.O matemático holandês propôs ainda a análise de casos especiais, como o que se apresenta na figura abaixo:

E estava certo. Obteve 23 soluções (excluíndo raízes negativas), sendo que duas foram demon-stradas ao rei no momento em que recebeu o desafio. Acabou por publicar a resolução do “enigma”, em 1595, no tratado intitulado “Ad problema, quod omnibus mathematicis totius orbis construen-dum proposuit Adrianus Romanus, responsorum”.

A SINTAXE O matemático François Viète destacou-se ainda na refor-mulação da sintaxe algébrica, protagonizando a sugestão de utilizar letras maiúsculas como símbolos para quantidades.

Assim, definiu as consoantes como símbolos para valores desconhecidos e as vogais para números que conhecemos. Mais tarde, Descartes viria a fazer uma adaptação desta ideia de Viète, definindo que as letras do fim do alfabeto devem ser utilizadas para incógnitas e letras do início do abecedário em valores cujo coeficiente conhecemos (mudança essa que perdura até hoje).

Vejamos o seguinte exemplo:

“B in A area, plus D in A, aequari Z”corresponde na notação actual a uma função quadrática:

ALGÉBRICA

François Viète indicava como plus a operação que nós conhecemos como a adição, como minus (m) a subtracção, como in a multiplicação e como aequari o sinal de igual.

Quando o expoente de uma potência era 2, escrevia-o através da palavra area ou quadratum e o expoen-te 3 pela palavra cube. Mais tarde, os sinais das diversas operações acabaram por substituir as palavras...

- 20 -

http://students.umf.m

aine.edu/jena.c.harvey/public.ww

w/im

ages/math%

20board.png

NAPIER, o escocêsEdimburgo, (1550-1617) O matemático escocês foi o responsáv-el pela invenção dos logaritmos - aglu-tinação dos vocábulos gregos logos e aritmos, significando razão de números.

Dedicou-se à Teologia, a sua área de es-tudos, tendo sido responsável por diver-sos ataques à Igreja Católica, em Roma.

Interessou-se também pela criação de diversas máquinas bélicas, ape-sar de o seu papel fundamental ter sido reconhecido na Matemática.

O seu percurso académico decorreu de forma muito precoce, pois, com apenas 13 anos matriculou-se na Universidade irlandesa de Saint-Andrews. Licenciou-se em Te-ologia e foi um verdadeiro cosmopolita ao viajar por toda a Europa com 21 anos.

As suas principais obras são: Mirifici logarithmorum canonis descriptio - descrição das normas dos logaritmos - e Mirifici logarithmorum canonis constructio - cálculo das normas doslogaritmos -. O seu objectivo era construir duas sucessões de números em que quan-do uma delas aumentasse aritmeticamente, a outra decrescesse a nível geométrico.

A religião ocupou muito tempo de Napier, tendo até escrito uma obra criticando o Papa e o Catolicismo. Projectou, tal como Arquimedes, máquinas de guerra como o carro ani-mado móvel e o espelho metálico mortífero. Henry Briggs foi um professor do Gresham College, em Londres, que deu continuidade ao trabalho de Neper (como também é conhe-cido). Kepler, Vlacq, Euler e Ezechiel de Decker foram outros seguidores do seu trabalho.

LOGARITMOS NEPERIANOS Para perceber o conceito de logaritmo, será muito importante compreender o conceito de potência. A potência poderá ser racional ou irracional. A potência fraccionária foi alvo de reflexão e estudo por parte do matemático francês da Idade Média - sobre o qual já falámos - Nicole Oresme.

Vejamos, com recurso a alguns exemplos, o que define cada um deles:

- 21 -

http://ww

w.mathem

atik.ch/mathem

atiker/Napier.jpg

O conjunto dos números racionais é um conjunto representado pela letra Q e que é composto pelos números inteiros e pelos números fraccionários. Por outro lado, os números irracionais são aqueles que não é possível escrever como fracção de dois números inteiros. A raiz quadrada de 2 e o pi são exemplos de números irracionais.

No exemplo abaixo, como a raiz quadrada de 2 é um número irracional, coloca-se no expoente uma aproximação de forma a obter um valor aproximado da dita potência.

POTÊNCIAS RACIONAIS

POTÊNCIAS IRRACIONAIS

Conclui-se assim que, para qualquer caso:

Estas duas noções são importantíssimas, pois um logaritmo traduz-se no seguinte:

Aplicando os conhecimentos que agora foram adquiridos, vamos realizar as diversas operações através do método com que Napier, na sua época, conseguiu realizá-las:

A B

C D

(A) - multiplicação; (B) - divisão; (C) - potência de um número; (D) - raiz de um número. Nestes casos, foram utilizadas potências de base 3, apesar de também poderem ser utilizadas potências de base 2. Napier criou o seu próprio número irracional e transcendente, que se costuma representar pela letra e = 2,7182818285 (aproximadamente). Resulta do cálculo da sucessão: (1 + 1/n) levantado a n, sendo n qualquer número natural.

- 22 -

O número de ouro é representado pela letra grega fi, em memória do escultor grego Fídias que terá usado esta proporção para a sua actividade artística. Este é definido pela seguinte expressão:

A sequência de Fibonacci, cujos termos da sequência são 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, (...), têm uma relação bastante curiosa com o fenómeno matemático do número de ouro. Qual será?

A divisão dos termos da sequência demonstra que o quociente vai se aproximando cada vez mais do número de ouro (como se pode ver abaixo):

DILEMAS E DICAS QUE NUNCA

MAIS IRÁ ESQUECER

Se quiser, experimente continuar a sequência de divisões que aqui iniciámos e verá que tal relação é verificável...

Assim se descobre mais uma fantástica complementaridade entre raciocíni-os matemáticos, elaborados com séculos de diferença! Um verdadeiro exemplode que a Matemática é intemporal e não tem quaisquer fronteiras!

- 23 -

- O logaritmo de um número irracional pode dar origem a um número racional;

- A calculadora que usas deve ter as teclas log e ln. Deve estar con-fuso, porque não sabe em caso deve usar cada uma delas...

Então, log usa-se para logaritmos de base 10 (log x = log10x) que normalmente são apelidados de comuns e ln para logaritmos natu-

rais ou de Neper (ln x = logex). Esses mesmos logaritmos comuns foram descobertos por Briggs, que deu continuidade ao trabalho de

Napier, tendo elaborado diversas tabelas de logaritmos;

- Viète conseguiu determinar 10 casas decimais do pi e representou-o, pela primeira vez, como um número infinito, através do produto de

uma série de razões trigonométricas (neste caso, co-senos).http

://w

ww.

open

clip

art.o

rg/im

age/

250p

x/sv

g_to

_png

/pur

zen_

Icon

_with

_que

stio

n_m

ark.

png

http://freethumbs.dream

stime.com

/203/big/free_2036759.jpg

- 24 -

BOYER, Carl B., MERZBACH, Uta C., 2011, A History of Mathematics, Est. Unidos da América, John Wiley and Sons

CONTADOR, Paulo Roberto, 2005 e 2003, Matemática: uma breve história (vol. III) e (vol. II), Brasil, Livraria da Física

GARBI, Gilberto Geraldo, O Romance da Equações Algébricas, 1997, Brasil, Makron Books

GOFF, Jacques Le, 2007, A Idade Média Explicada aos Meus Filhos, Brasil, Agir

LIMA, Elon Lages, O meu Professor de Matemática e Outras Histórias, Colecção do Professor de Matemática, 1991, Brasil

LIVIO, Mario, La ecuación jamás resuelta, 2007, Espanha, Editorial Ariel

MAIA, Cristina, BRANDÃO, Isabel Paulos, Viva a História - 8º Ano, 2009, Lisboa, Porto Editora

SAMPAIO, Fausto Arnaut, Matemágica: História, Aplicações e Jogos Matemáticos, 2006, Brasil, Papirus Editora

SERRES, Michel (dir.), 1996, Elementos para uma História das Ciências - vol. II - Do Fim da Idade Média a Lavoisier, Lisboa, Terramar

STRUIK, Dirk Jan, 1992, História Concisa das Matemáticas, Lisboa, Colecção Ciência Aberta, Gradiva Editores

BIBLIOGRAFIA

John Napier: “Logaritmos” (http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm18/logaritmos.html http://www.math.utah.edu/~alfeld/math/log.html) - consultado a 22/04/2011;“Potências Racionais e Irracionais” (http://matemaniaco.no.sapo.pt/ - ficheiro PDF cedido pelo detentor do site) - consultado a 22/04/2011; “John Napier” (http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm12/Mat_j.htm#John%20Napier; http://www.learn-math.info/portugal/historyDetail.htm?id=Napier; http://www.mat.pt/index.php?option=com_content&task=view&id=105&Itemid=78#title; http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medi-alib/custom3/bios/napier.htm; http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Napier.html;) - consultados a 21/04/2011; “Número de Neper” (http://www.infopedia.pt/$numero-de-neper) - consultado a 22/04/2011;

François Viète: “François Viète” (http://www2.stetson.edu/~efriedma/periodictable/html/V.html; http://www.infopedia.pt/$francois-viete; http://www.mat.pt/index.php?option=com_content&task=view&id=86&Itemid=78#title; http://www.apprendre-math.info/portugal/historyDetail.htm?id=Viete; http://www-histo-ry.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Viete.html;) - consultados a 18/04/2011; “François Viète, o despontar da álgebra simbólica” (http://repositorio-aberto.up.pt/bitstream/10216/9979/2/3596_TM_01_C.pdf) - consultado a 17/04/2011;

Scipione del Ferro: “Scipione del Ferro” (http://www.infopedia.pt/$scipione-del-ferro; http://www.mat.pt/index.php?option=com_content&task=view&id=42&Itemid=78#title; http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/renascenca/scipionedelferro.htm) - consultados a 14/04/2011;

Tartaglia: “Tartaglia” (http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Tartaglia.html; http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/renascenca/tartaglia.htm; http://www.infopedia.pt/$niccolo-fontana; http://www.mat.pt/index.php?option=com_content&task=view&id=41&Itemid=78&limit=1&limitstart=2#title) - consultados a 23/04/2011; “Equações Cúbicas de Cardano e Tartaglia” (http://www.profcardy.com/cardicas/cardano.php) - consultados a 24/04/2011;

Cardano: “Cardano” (http://www.mat.pt/index.php?option=com_content&task=view&id=36&Itemid=78&limit=1&limitstart=3#title; http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/renascenca/cardano.htm; http://www.infopedia.pt/$girolamo-cardano;) - consultados a 30/04/2011

Leonardo de Pisa: “Leonardo de Pisa/Fibonacci” (http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm31/Fibonacci.htm; http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm101/biografiadeFibonacci.html; http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Fibonacci.html) - consultados a 09/04/2011; “Sequência de Fibonacci: apli-cações, número de ouro e triângulo de Pascal” (http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm31/pascal.htm; http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm31/numouro.htm; http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm31/natureza.htm; http://e-repository.tecminho.uminho.pt/poaw/MATNum20.web/index.html;) - consultados a 10/04/2011;

Nicole Oresme: “Nicole Oresme” (http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Oresme.html; http://www.encyclopedia.com/topic/Nicole_Oresme.aspx; http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/oresme.htm; http://www.newadvent.org/cathen/11296a.htm) - consultados a 05/05/2011;

Bombelli: “Bombelli” (http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Bombelli.html; http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/renascenca/bombelli.htm; http://matematicarev.blogspot.com/2010/03/rafael-bombelli.html) - consultados a 08/05/2011;

Perspectiva Histórica: Idade Média. In Infopédia [Em linha]. Porto: Porto Editora, 2003-2011. [Consult. 2011-05-09]. Disponível na www: <URL: http://www.info-pedia.pt/$idade-media>; Renascimento das Cidades (sécs. XI a XIII). In Infopédia [Em linha]. Porto: Porto Editora, 2003-2011. [Consult. 2011-05-12]. Disponível na www: <URL: http://www.infopedia.pt/$renascimento-das-cidades-(secs.-xi-a-xiii)>. Economia e Propriedade na Idade Média (sécs. X-XIII). In Infopédia [Em linha]. Porto: Porto Editora, 2003-2011. [Consult. 2011-05-17]. Disponível na www: <URL: http://www.infopedia.pt/$economia-e-propriedade-na-idade-media-(secs.>. Europa do Renascimento (sécs. XIV-XVI). In Infopédia [Em linha]. Porto: Porto Editora, 2003-2011. [Consult. 2011-05-17]. Disponível na www: <URL: http://www.infopedia.pt/$europa-do-renascimento-(secs.-xiv-xvi)>. Antigo Regime. In Infopédia [Em linha]. Porto: Porto Editora, 2003-2011. [Consult. 2011-05-17]. Disponível na www: <URL: http://www.infopedia.pt/$antigo-regime>.

WEBGRAFIA @

“Durante os primeiros séculos do feudalismo ocidental encontramos pouco interesse pe-las matemáticas. Quando as aldeias, na Europa Ocidental, cresceram e tornaram-se bur-gos, estas cidades começaram a estabelecer relações comerciais com o Oriente, que ainda era o centro da civilização. A Espanha e a Sicília eram os pontos de contacto mais próximos en-tre o Oriente e o Ocidente. Ela simboliza as circunstâncias sob as quais foram estabelecidos os fundamentos não só da nova matemática, mas também da ciência e da filosofia modernas.”

Adaptado do livro, História Concisa das Matemáticas, Dirk Jan Struik