Mathématiques - irma.math. guillot/cours/cours-  · Cours Concis de Mathématiques Ce travail

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  • Cours Concisde

    Mathmatiques

    Ce travail est mis disposition selon les termesde la licence Creative Commons Paternit - PasdUtilisation Commerciale - Pas de Modifica-tion 3.0 non transcrit. Pour plus dinformation,voir http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/ ou crire Creative Commons, 444Castro Street, Suite 900, Mountain View, California,94041, USA.

    Pierre GuillotIRMA

    7 rue Ren Descartes67084 Strasbourg

    guillot@math.unistra.fr

  • Avant-propos

    Deux ans ! dit Dants, vous croyez que jepourrais apprendre toutes ces choses en deuxans ? Dans leur application, non ; dans leurs prin-cipes, oui : apprendre nest pas savoir ; il y a lessachants et les savants : cest la mmoire qui faitles uns, cest la philosophie qui fait les autres.[. . . ]Dants avait une mmoire prodigieuse, une fa-cilit de conception extrme : la dispositionmathmatique de son esprit le rendait apte tout comprendre par le calcul, tandis que laposie du marin corrigeait tout ce que pouvaitavoir de trop matriel la dmonstration rduite la scheresse des chiffres ou la rectitude deslignes.

    Alexandre Dumas, Le comte de Monte-Cristo

    Edmond Dants, le hros du roman dAlexandre Dumas,dispose de deux ans pour apprendre les mathmatiques, laphysique, lhistoire, et trois ou quatre langues vivantes , linsu des gardiens de sa prison. Votre tche est plus abordable :si en un an vous venez bout du prsent ouvrage, vous aurezcouvert les programmes danalyse et dalgbre de premire an-ne post-baccalaurat.

    Certains tudiants se contenteront, selon leur filire, duneslection de quelques chapitres. Par exemple lauteur a ensei-gn des lves chimistes, parcourant au premier semestre leschapitres 3, 4, 6, et le tout dbut des 8, 9 et 10, alors que ledeuxime semestre, ddi lalgbre, sest construit autour deschapitres 12, 13, 14, 15 et 16 (quelques morceaux choisis de lapartie Prliminaires tant dissmins au fur et mesure desbesoins). linverse, dautres lves amens tudier plus demathmatiques en premire anne, comme par exemple ceuxen classes prparatoires, exploreront tous les chapitres et d-tailleront mme les encadrs hors programme . Les ensei-gnants inflchiront, par le choix des exercices supplmentairesquils voudront bien proposer, votre course travers lanalyseet lalgbre.

    Les encadrs

    Au gr du texte vous verrezquelques encadrs, ayant lappa-rence de celui-ci. Ils contiennent descomplments qui sont clairement considrer comme du hors pro-gramme . Leur lecture demande

    plus dattention.Si un thme vous intresse, voustes invit faire quelques re-cherches, commencer par Wikipe-dia et autres, puis questionner vosenseignants.

    Le parti pris de ce coursLide de ce cours concis est de proposer, aux tudiants

    comme aux enseignants, un cours de mathmatiques essentiel-lement identique ce que lauteur produirait au tableau. (Ona bien sr incorpor dans le texte les nombreuses remarquesorales qui accompagneraient un tel cours.) Afin de tendre verscet objectif, on a dshabill ce livre du caractre encyclop-dique dont est empreinte la majorit des ouvrages de math-matiques lattention des lves de premire anne.

    Vous pourrez dailleurs, si telle est votre prfrence, faireune utilisation complmentaire de ce cours et dun ou plu-sieurs ouvrages vocation exhaustive.

    Les exercicesTout au long des chapitres, vous tes invits rsoudre un

    certain nombre dexercices. Toutefois, les noncs de ceux-ci nesont pas inclus dans le livre. Ils sont retrouver sur le site In-ternet exo7 , qui (au moment o cet avant-propos est rdig,en mai 2013) se trouve ladresse suivante :

    http://exo7.emath.fr/search.php

    Vous y trouverez un trs grand nombre dexercices suppl-mentaires, dont une bonne partie comprend une correction, etparfois mme une correction filme. Sur la page personnelle delauteur, que vous trouverez aisment laide dun moteur derecherche, vous pourrez galement tlcharger les exercices auformat PDF, ainsi quune version gratuite de ce livre.

    Dans le texte, les numros des exercices sont donns dansla marge. Ils peuvent tre reports directement dans le cadrede saisie dexo7.

    Les notes dans lamarge ont cetaspect.Prcisons une chose. La slection des exercices que nous

    avons opre est oriente vers la comprhension des conceptsles plus basiques ; de trs rares exceptions prs, les problmes rsoudre ne font pas appel des astuces. Le but est de vousassurer de votre bonne progression dans le cours, avec ce ba-romtre simple : vous devez tre capable de faire tous les exer-cices ou presque.

    Les exercices plus astucieux , qui peuvent trs bien treau got de lauteur par ailleurs, vous seront proposs par vosenseignants.

    Les deux lecturesUn certains nombre de dcoupages ont t faits, dans le but

    de sparer les choses les plus faciles des choses les plus ardues.Les encadrs, on la dit, contiennent des informations officiel-lement hors programme . Mais vous constaterez galementque la plupart des chapitres se partagent entre une premirelecture et une deuxime lecture . La deuxime lecture ren-ferme parfois les dmonstrations de certains rsultats annon-cs dans la premire ; parfois on y aborde dautres conceptsplus avancs.

    Prcisons quon attend dun lve de premire anne enfilire mathmatique luniversit quil connaisse le contenudes deuximes lectures (et les enseignants en deuxime an-ne supposeront que cest le cas). lextrme inverse, nousrecommandons aux tudiants presss (pour dsigner ainsiceux qui entament le travail quelques jours de lexamen) decommencer par les premires lectures de tous les chapitres(plutt que de lire quelques chapitres en entier).

    Notons que lon peut effectivement se contenter de la pre-mire lecture et passer aux chapitres suivants. Il y aura trspeu de rfrences ultrieures aux thormes des deuximes lec-tures ; et mme dans les rares cas o on le fait, on peut facile-ment remettre plus tard la lecture dtaille du passage indi-qu. Ceci permet de naviguer un peu dans les chapitres, mmesi par nature les mathmatiques, lheure o on les dcouvrepour la premire fois, permettent peu dexercer cette libert.

    savoir avant de commencerOn vous a peut-tre dit, ou vous vous tes peut-tre ima-

    gin, que les mathmatiques partir de luniversit repartaientde zro, et redfinissaient tous les concepts utiliss. Cest lafois vrai dun point de vue strictement logique, et charg dunecertaine hypocrisie.

    Il est indniable quune exposition pralable des ma-thmatiques va savrer indispensable la bonne comprhen-sion de ce qui suit. Pour prendre quelques exemples, nous neprendrons pas le temps ici de forger lintuition selon laquelledeux nombres rels reprent un point dans le plan, pas plusque nous naurons le loisir de dessiner de nombreux vecteurscomme des flches et de les additionner en construisant desparalllogrammes. Nous mentionnerons ces choses, mais unrythme qui nest raisonnable que parce que lon vous sait dj laise avec ces concepts.

    Une certaine familiarit avec le calcul est galement atten-due. Pensez que nous allons dfinir le concept de drive, dontvous devez avoir une connaissance informelle depuis le lyce,et que nous allons enfin dmontrer que les fonctions ayant unedrive positive sont croissantes ; mais apprendre calculer lesdrives est une gymnastique laquelle on vous suppose unpeu aguerris.

    Nous avons rassembl dans un appendice, la fin de la par-tie Prliminaires , une compilation des connaissances de Ter-minale qui vont tre les plus utiles la lecture du prsent ma-nuel.

    RemerciementsCe livre a t principalement crit en 2010-2011, Vancou-

    ver, alors que lauteur bnficiait dune dlgation au CNRSsans laquelle il naurait pu venir bout de ce projet. Depuis,de nombreux collgues ont apport leurs remarques construc-tives, au premier rang desquels Vianney Combet, qui je doisune relecture minutieuse et un nombre de corrections troplev pour tre rendu public. Je len remercie vivement.

    Jai t encourag finaliser ce cours, qui stagnait dans uneversion prliminaire, par lenthousiasme des lves de la pro-motion 2011-2012 de MPA luniversit de Strasbourg. Quilme soit donc permis de saluer Alexandre Amara, Vincent Beck,Yann Becker, Mike Beller, Arnaud Bonnet, Batrice Chetard,Sophie Hurier, Guillaume Klein, Kvin Pfeiffer, Philippe Ricka,Claire Roman et tienne Werly.

    http://exo7.emath.fr/search.php

  • Table des matires

    I Prliminaires 4

    1 Ensembles 5Premire lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    Ensembles et appartenance . . . . . . . . . . . . . 6Quelques constructions . . . . . . . . . . . . . . . 7Propositions mathmatiques . . . . . . . . . . . . 8Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    Deuxime lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Fonctions injectives . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Fonctions surjectives et bijectives . . . . . . . . . 11Exemples de bijections . . . . . . . . . . . . . . . 12Quelques oprations sur les fonctions . . . . . . . 13La mthode axiomatique . . . . . . . . . . . . . . 14

    2 Nombres 15Premire lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    Les premiers nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 16Les nombres dcimaux et les rels . . . . . . . . . 17Bornes suprieures . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Bornes suprieures dans R et racines carres . . . 19Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . 20

    Deuxime lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Calculs sur machine et corps . . . . . . . . . . . . 21Arithmtique de lhorloge . . . . . . . . . . . . . 22

    II Analyse 23

    3 Suites 24Premire lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    Suites de rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Combiner les limites . . . . . . . . . . . . . . . . 27Suites croissantes et dcroissantes . . . . . . . . . 28Convergence vers