Mathématiques SN La fonction EXPONENTIELLE. Rappels sur les lois des exposants Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - base exposant = puissance

Mathématiques Mathématiques SNSN

La fonctionLa fonction

EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE

Rappels sur les lois des exposantsRappels sur les lois des exposants

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE - -

basebase exposantexposant = = puissancepuissance

TERMINOLOGIETERMINOLOGIE

Ex. :Ex. : 3322 = = 99

LOIS DES EXPOSANTSLOIS DES EXPOSANTS

aam m • • aann = a = am + nm + n

aamm

aann= a= am – nm – n

(ab)(ab)m m = a= am m bbmm

aa

bb==

aamm

bbmm

mm

(a(amm))n n = a= amnmn

NOTATIONNOTATION

aa11 = a = a

aa00 = 1 = 1

a a - m - m ==11

aamm

aa½½ = a = a

aa⅓⅓ = = 33 a a

aa⅔⅔ = = 33 a a22

EXEMPLES sur les LOISEXEMPLES sur les LOIS

aam m • • aann = a = am + nm + n

Ex. #1 :Ex. #1 : 334 4 • • 3333 = = 3377

Ex. #2 :Ex. #2 : xx • • xx55 = = xx66

Ex. #3 :Ex. #3 : 77x + 8x + 8 = = 77x x • • 7788

aamm

aann= a= am – nm – n

Ex. #1 :Ex. #1 : 5588

5533

= 5= 555

Ex. #2 :Ex. #2 : xx

xx44

= x= x-3-3 == 11

xx33

Ex. #3 :Ex. #3 : 66x – 2x – 2 == 66xx

6622

(ab)(ab)m m = a = am m bbmm

Ex. #1 :Ex. #1 : (3x)(3x)4 4 = = 334 4 • • xx44

Ex. #2 :Ex. #2 : (xy)(xy)7 7 xx7 7 • • yy7 7 ==

aa

bb==

aamm

bbmm

mm

33

44==

3322

4422

22Ex. #1 :Ex. #1 :

xx

yy==

xx55

yy55

55Ex. #2 :Ex. #2 :

(a(amm))nn = a= amnmn

Ex. #1 :Ex. #1 : (3(344))2 2 = = 3388

Ex. #2 :Ex. #2 : (x(x88))½½ = = xx44xx88 = =

Équations et graphiqueÉquations et graphique


f(x) = f(x) = ccxx (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)

f(x) = f(x) = aaccbb(x – (x – hh)) + + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

f(x) = f(x) = aaccx – x – hh + + kk (forme CANONIQUE)(forme CANONIQUE)

f(x) = 2f(x) = 2xxExemple :Exemple :

f(x) = 3 f(x) = 3 • • 224(x – 3)4(x – 3) + 5 + 5Exemple :Exemple :

f(x) = 3 f(x) = 3 • • 22x – 3x – 3 + 5 + 5Exemple :Exemple :



xx f(x)f(x)

00 11

11 22

22 44

33 88

-1-1 ½½

-2-2 ¼¼

f(x) = f(x) = 22xx (forme générale de BASE où (forme générale de BASE où c c 1 1 ) )

11

11



xx f(x)f(x)

00 11

11 ½½

22 ¼¼

33 0,10,1

-1-1 22

-2-2 44

f(x) = ( )f(x) = ( )xx (forme générale de BASE où (forme générale de BASE où c c ] 0 ,1 [ ] 0 ,1 [ ) )11

22

11

11



xx f(x)f(x)

00 - 1- 1

11 - 2- 2

22 - 4- 4

33 - 8- 8

-1-1 - ½- ½

-2-2 - ¼- ¼

f(x) = - f(x) = - 22xx (forme générale TRANSFORMÉE où a = -1)(forme générale TRANSFORMÉE où a = -1)

11

11



xx f(x)f(x)

00 11

11 ½½

22 ¼¼

33 ⅛⅛

-1-1 22

-2-2 44

f(x) = f(x) = 22-x-x (forme générale TRANSFORMÉE où b = -1)(forme générale TRANSFORMÉE où b = -1)

11

11



xx f(x)f(x)

00 - 4,3- 4,3

11 - 3- 3

22 11

33 1313

-1-1 - 4,8- 4,8

-2-2 - 4,9- 4,9

f(x) = f(x) = 22 •• 33x – x – 11 – – 55 (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

11

11

y = - 5 (asymptote)y = - 5 (asymptote)



f(x) = f(x) = aa ccbb(x – (x – hh)) + + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

11

11

y = k (asymptote)y = k (asymptote)

y =y = kk Équation de Équation de l’l’asymptoteasymptote

Dom Dom ff = = Ima Ima ff = ] = ] k k , +∞, +∞

c c 1 1c c ] 0 ,1 [ ] 0 ,1 [

Résolutions d’équationsRésolutions d’équations


2 méthodes2 méthodes : : 1- Exprimer les 2 membres de l’équation avec la 1- Exprimer les 2 membres de l’équation avec la même base même base exponentielleexponentielle

2- Utiliser les 2- Utiliser les logarithmeslogarithmes

Exemple #1 :Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (7Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (72x – 12x – 1) – 539 .) – 539 .

7722 = 7 = 72x – 12x – 1

Exemple #1 :Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (7Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (72x – 12x – 1) – 539 .) – 539 .

0 = 11 (70 = 11 (72x – 12x – 1) – 539) – 539

RéponseRéponse : : x x { } { }

539 = 11 (7539 = 11 (72x – 12x – 1))

49 = 749 = 72x – 12x – 1

2 = 2x – 12 = 2x – 1

3 = 2x3 = 2x

= x= x33

22

33

22

Exemple #2 :Exemple #2 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = (6Trouver le zéro de la fonction f(x) = (6x+1x+1) – 108 .) – 108 .11

22

0 = (60 = (6x+1x+1) – 108) – 10811

22

108 = (6108 = (6x+1x+1))11

22

216 = 6216 = 6x+1x+1

6633 = 6 = 6x+1x+1

3 = x + 13 = x + 1

2 = x2 = x

RéponseRéponse : : x x { 2 } { 2 }

( )( )44 = ( ) = ( )3x3x

Exemple #3 :Exemple #3 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 625 ( )Trouver le zéro de la fonction f(x) = 625 ( )3x3x – 1 . – 1 .11

55

0 = 625 ( )0 = 625 ( )3x3x – 1 – 111

55

= ( )= ( )3x3x11

625625

= x= x RéponseRéponse : : x x { } { }

11

55

= ( )= ( )3x3x11

5544

11

55

11

55

11

55

4 = 3x4 = 3x

44

3344

33

22-16x-16x = 2 = 2-10x + 18-10x + 18

Exemple #4 :Exemple #4 : Résoudre ( )Résoudre ( )8x8x = 2 = 2-10x + 18-10x + 18 . .

( )( )8x8x = 2 = 2-10x + 18-10x + 18

RéponseRéponse : : x x { -3 } { -3 }

(2(2-2-2))8x8x = 2 = 2-10x +18-10x +18

-16x = -10x + 18-16x = -10x + 18

-18 = 6x-18 = 6x

-3 = x-3 = x

11

44

11

2222

Recherche de l’équationRecherche de l’équation


Exemple :Exemple : Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des

informations suivantes :informations suivantes :

a)a) La courbe passe par les points A(1, -20) et B(3, -500) et La courbe passe par les points A(1, -20) et B(3, -500) et

l’équation de l’asymptote est y = 0.l’équation de l’asymptote est y = 0.

A) A) À partir d’éléments du À partir d’éléments du GRAPHIQUEGRAPHIQUE



RéponseRéponse : : f(x) = - 4 (5)f(x) = - 4 (5)xx

a)a) La courbe passe par les points A(1, - 20) et B(3, - 500) et La courbe passe par les points A(1, - 20) et B(3, - 500) et


f(x) = f(x) = aaccxx + + kk (forme CANONIQUE où h = 0)(forme CANONIQUE où h = 0)

- 20 = ac- 20 = ac11 + 0 + 0 (avec le point (avec le point AA))

- 500 = ac- 500 = ac33 + 0 + 0 (avec le point (avec le point BB))

(1)

(2)

(2) / (1) :

Système Système d’équationd’équation

- 500 = ac- 500 = ac33

- 20 = ac- 20 = ac11

25 = c25 = c22

5 = c5 = c (3)

(3) dans (1) : - 20 = a(5)- 20 = a(5)11

- 4 = a- 4 = a



RéponseRéponse : : f(x) = 8 (3)f(x) = 8 (3)xx + 5 + 5

b) La courbe passe par les points A(1, 29) et B(4, 653) et b) La courbe passe par les points A(1, 29) et B(4, 653) et


f(x) = f(x) = aaccxx + + kk (forme CANONIQUE où h = 0)(forme CANONIQUE où h = 0)

29 = ac29 = ac11 + 5 + 5 (avec le point (avec le point AA))

653 = ac653 = ac44 + 5 + 5 (avec le point (avec le point BB))

(1)

(2)

(2) / (1) :

Système Système d’équationd’équation

648 = ac648 = ac44

24 = ac24 = ac11

27 = c27 = c33

3 = c3 = c (3)

(3) dans (1) : 24 = a(3)24 = a(3)11

8 = a8 = a

24 = ac24 = ac11

648 = ac648 = ac44

B) B) À partir d’un problème de « À partir d’un problème de « TAUX D’INTÉRÊTSTAUX D’INTÉRÊTS »» ……

Formule « utile » pour ce genre de problème…Formule « utile » pour ce genre de problème…

C(t) = CC(t) = Coo (1 + ) (1 + )ktktii

kk

Capital Capital accumuléaccumulé

Capital Capital initialinitial Nombre de Nombre de

fois que C(t) fois que C(t) est capitaliséest capitalisé

Taux Taux d’intérêtd’intérêtTempsTemps

Exemple :Exemple : On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options.de 5%. On t’offre trois options.

a) a) L’intérêt est ajoutée au capital L’intérêt est ajoutée au capital annuellementannuellement..

b) b) L’intérêt est ajoutée au capital L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 moisaux 4 mois..

c) c) L’intérêt est ajoutée au capital L’intérêt est ajoutée au capital à chaque moisà chaque mois..

Laquelle est la plus avantageuse ?Laquelle est la plus avantageuse ?

C(t) : Ce qu’on chercheC(t) : Ce qu’on cherche

CCoo = 1000 $ = 1000 $

DonnéesDonnées

i = 5%i = 5%k = 1 fois par année (en a)k = 1 fois par année (en a)

3 fois par année (en b)3 fois par année (en b)

12 fois par année (en c)12 fois par année (en c)

C(t) = 1000 (1 + )C(t) = 1000 (1 + )1t1t

C(t) = 1000 (1,05)C(t) = 1000 (1,05)tt

C(3) = 1000 (1,05)C(3) = 1000 (1,05)33

Après 3 ans…Après 3 ans…a) a) Règle générale…Règle générale…

C(3) C(3) ≈≈ 1157,63 1157,63

RéponseRéponse : : 1157,63 $1157,63 $

0,050,05

11

Exemple :Exemple : On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options.de 5%. On t’offre trois options.

a) a) L’intérêt est ajoutée au capital L’intérêt est ajoutée au capital annuellementannuellement..

b) b) L’intérêt est ajoutée au capital L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 moisaux 4 mois..

c) c) L’intérêt est ajoutée au capital L’intérêt est ajoutée au capital à chaque moisà chaque mois..

Laquelle est la plus avantageuse ?Laquelle est la plus avantageuse ?

C(t) = 1000 (1 + )C(t) = 1000 (1 + )3t3t

C(t) = 1000 (1,01667)C(t) = 1000 (1,01667)3t3t

C(3) = 1000 (1,01667)C(3) = 1000 (1,01667)3(3)3(3)

Après 3 ans…Après 3 ans…b) b) Règle générale…Règle générale…

C(3) C(3) ≈≈ 1160,40 1160,40

Réponse :Réponse : 1160,40 $1160,40 $

0,050,05

33

C(t) = 1000 (1 + )C(t) = 1000 (1 + )12t12t

C(t) = 1000 (1,0041667)C(t) = 1000 (1,0041667)12t12t

C(3) = 1000 (1,0041667)C(3) = 1000 (1,0041667)12(3)12(3)

Après 3 ans…Après 3 ans…c) c) Règle générale…Règle générale…

C(3) C(3) ≈≈ 1161,47 1161,47

Réponse :Réponse : 1161,47 $1161,47 $

0,050,05

1212

C(t) = 1000 (1 + )C(t) = 1000 (1 + )1t1t

C(t) = 1000 (1,05)C(t) = 1000 (1,05)tt

C(3) = 1000 (1,05)C(3) = 1000 (1,05)33

Après 3 ans…Après 3 ans…a) a) Règle générale…Règle générale…

C(3) C(3) ≈≈ 1157,63 1157,63

Réponse :Réponse : 1157,63 $1157,63 $

0,050,05

11

C) C) À partir d’un problème de « À partir d’un problème de « BACTÉRIESBACTÉRIES »» ……

Exemple :Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de 128 000 ?de 128 000 ?

N(t) = 500 (2)N(t) = 500 (2)t/5t/5

128 000 = 500 (2)128 000 = 500 (2)t/5t/5

256 = (2)256 = (2)t/5t/5

2288 = 2 = 2t/5t/5

8 =8 = tt

55

40 = t40 = t

RéponseRéponse : : Après 40 heures.Après 40 heures.

Base naturelle « Base naturelle « ee » »

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE--

Il existe un nombre irrationnel (comme Il existe un nombre irrationnel (comme ) qui se nomme « ) qui se nomme « constante de Néperconstante de Néper » » et qui est symbolisée par la lettre « et qui est symbolisée par la lettre « ee » dont la valeur est environ : » dont la valeur est environ :

e e ≈≈ 2,7182818… 2,7182818…

Donc, lorsque ce nombre constitue la base d’un nombre exponentiel, on a que :Donc, lorsque ce nombre constitue la base d’un nombre exponentiel, on a que :

C’est une constante mathématique très utilisée en science et que l’on retrouve dans de C’est une constante mathématique très utilisée en science et que l’on retrouve dans de nombreuses modélisations de phénomènes naturels. nombreuses modélisations de phénomènes naturels.

ee11 ≈≈ 2,7182818… 2,7182818…

ee22 ≈≈ 7,39 7,39

ee33 ≈≈ 20,0855 20,0855

etc.etc.

Graphique de la fonction f(x) = Graphique de la fonction f(x) = eexx

xx f(x)f(x)

00 11

11 ~ ~ 2,722,72

22 ~ ~ 7,397,39

33 ~ ~ 20,0920,09

-1-1 ~ 0,37~ 0,37

-2-2 ~ ~ 0,140,14

f(x) = f(x) = eexx (forme générale de BASE où (forme générale de BASE où c c 1 1 ) )

11

11

Résolutions d’inéquationsRésolutions d’inéquations


Exemple :Exemple : Trouver l’ensemble-solutions de -26 + 234 (3Trouver l’ensemble-solutions de -26 + 234 (3-0,08x-0,08x) ) < 52< 52 . .

-26 + 234 (3-26 + 234 (3-0,08x-0,08x) ) < < 5252

y = - 26 (asymptote)y = - 26 (asymptote)

y = 52y = 52

33

1010

234 (3234 (3-0,08x-0,08x) ) < 78< 78

33-0,08x-0,08x <<

33-0,08x-0,08x < 3< 3-1-1

-0,08x -0,08x < -1< -1

x x 12,5 12,5

11

33

RéponseRéponse : : x x ] 12,5 , + ∞] 12,5 , + ∞

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