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Mathematische Begriffsbildung
in den Anfangssemestern
Karlheinz Spindler Hochschule RheinMain
Hochschule RheinMain Kurt-Schumacher-Ring 18
Arbeitsgruppe Mathematik 65197 Wiesbaden
Nichttriviale Anwendungen erfordern nichttriviale Methoden.
Nichttriviale Anwendungen erfordern nichttriviale Methoden.
Betonung allgemeiner Strukturen
• Mengen, Abbildungen, Relationen
• Äquivalenzrelationen, Quotientenbildung
• Ordnungsrelationen• Symmetrie • Dualität
Nicht zurückscheuen vor
„unbequemen“ Begriffen!
• Infimum und Supremum
• Stetigkeit• Integrabilität • Basiswechsel • Mannigfaltigkeit
Formulierung von Begriffen in ihrer wesentlichen
Bedeutung
• lineare Abbildungen statt Matrizen
• quadratische Formen statt Matrizen
• Abbildungen auf einem Vektorraum statt Abbildungen in mehreren Variablen
Genauigkeit im DenkenSituation: Wir haben einen Stapel Karten, von denen jede
auf einer Seite einen Buchstaben und auf der anderen eine Zahl hat.
Behauptung: Wenn eine Karte auf einer Seite ein E hat, dann hat sie auf der anderen Seite eine 2.
Frage: Welche dieser vier Karten müssen wir umdrehen, um die Behauptung zu überprüfen?
Hervorragendes Training: Sudokus
Genauigkeit im DenkenBeispiel: Aus zwei rechteckigen und zwei dreieckigen
Brettern soll ein Trog mit dem Volumen V=500 l bei minimalem Materialverbrauch gebildet werden. Wie sind die Abmessungen zu wählen?
Genauigkeit im Denken
• Unterscheidung zwischen Existenz- und EindeutigkeitsaussagenBeispiele:• Primfaktorzerlegung• Klassifikation
quadratischer Formen
• Unterscheidung zwischen notwendigen und hinreichenden BedingungenBeispiele: • Extremwertaufgaben • Extrema unter
Nebenbedingungen
Hinterfragen von DefinitionenBeispiel: Ableitungsbegriff in
einer Variablen
Beispiel: Ableitungsbegriff in mehreren Variablen
Die Antwort ist jeweils nein.
Stärkung des Bewußtseins, daß selbst elementare
Sachverhalte das Potential für neue Fragestellungen bergen.
• Beispiel: schwacher Ableitungsbegriff• Beispiel: Formel von Faà di Bruno• Beispiel: Optimierung analytischer Funktionen
Produktregel:
Leibnizregel:
Kettenregel: Formel von Faà di
Bruno:
Zbl 1074.05014 Spindler, KarlheinzA short proof of the formula of Faà di Bruno. (English)[J] Elem. Math. 60, No. 1, 33-35 (2005). ISSN 0013-6018; ISSN 1420-8962
The paper gives a remarkably simple proof to the Faà di Bruno formula, which expresses higher derivatives of a composite function. The paper points out that a proof for composition of polynomials is sufficient, and then shows that the result for composition of polynomials is an easy consequence of the multinomial theorem.[László A. Székely (Columbia)]
Förderung der Fähigkeit zur Modellbildung
Modellbildung erfordert begriffliches Verständnis:
• Ableitungen als Änderungsraten• Integrale als Aggregate von
Einzelgrößen • Mannigfaltigkeiten als
Zustandsräume• Differentialformen als Flüsse• Integralsätze als Ausdruck von
Bilanzgleichungen• Gruppen als Ausdruck von
Systemsymmetrien
InterdisziplinaritätAnalogien zwischen mathematischen und
physikalischen Überlegungen (Bsp.: Kovarianzmatrix in der Statistik = Trägheitsmomententensor in der Mechanik)
Vorbereitung späterer Begriffsbildungen
bereits zu einem frühen Zeitpunkt
Beispiel: Einfach-/Mehrfachintegrale
Vorbereitung späterer Begriffsbildungen
bereits zu einem frühen Zeitpunkt
Beispiel: Riemannsches/Lebesguesches Integral
Heuristische Vorbereitung späterer Resultate
Beispiel: Lebesguesches Integrabilitätskriterium
Anwendung:
Beweis:
Heuristische Vorbereitung späterer Resultate
Beispiel: Transformationsregel für Integrale
Beispiel: äußere Ableitung einer Differentialform
Betonung struktureller Eigenschaft gegenüber
Rechenrezepten
Gute und schlechte Definitionen (1)
So?
Oder so?
Gute und schlechte Definitionen (2)
So?
Oder so?
Alternative InterpretationBahngeschwindigkeit eines Schaufelrades in
der Strömung
Bahngeschwindigkeit eines Schaufelrades in der Strömung
Rotation als Winkelgeschwindigkeit eines infinitesimalen Rades
Aussagekräftige Bilder Beispiel: Funktionen in mehreren Variablen
Aussage-kräftige Bilder Beispiel: Lagrange-
Multiplikatoren
Benutzung verallgemeinerungsfähiger
Definitionen• von vornherein Berücksichtigung vektorwertiger Funktionen
• Riemannsche Summen vs. Ober- und Untersummen
• koordinatenunabhängige Definitionen• Angabe verschiedener Charakterisierungen
eines Begriffs
Schlüsselrolle der Linearen Algebra• wesentlich für die
mehrdimensionale Analysis• grundlegend für die Funktionalanalysis (Übergang zu unendlichdimensionalen Räumen)• grundlegend für die Differentialgeometrie (Übergang zu nichtlinearen Räumen)
Beispiel: Extrema unter Nebenbedingungen
Hinreichende Bedingungen für Extrema unter
Nebenbedingungen (1)
Hinreichende Bedingungen für Extrema unter
Nebenbedingungen (2)
Mehr Zeit!„Man sollte eigentlich ein
nulltes Semester für die Mathematik einführen.“Wieviel Zeit wird verplempert, weil Anwendungen gebracht werden, bevor die benötigten mathematischen Begriffe und Methoden bereitstehen?
Rückbesinnung auf InhalteNoch so viel didaktischer Firlefanz
kann nicht fehlende inhaltliche Substanz ersetzen.
Wer ein 20stöckiges Hochhaus bauen will, darf nicht an den Fundamenten sparen.Die Mathematik sollte gegenüber anderen Fächern und der Hochschulpolitik selbstbewußter auftreten.
Man muß von hinten her denken: die Studienziele bestimmen, was am Anfang zu tun ist.