Mathimatika a Lykeiou

Άλγεβρα Α Λυκείου

1 10.09

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

1. Ποιες από τις παρακάτω φράσεις είναι λογι-κές προτάσεις? Α) Ο αριθμός 8 είναι πρώτος Β) Η Κρήτη είναι νησί Γ) Αύριο θα βρέξει

Δ) Ο 2 είναι άρρητος

2. Να διατυπώσετε τις αρνήσεις των προτάσεων Α) Υπάρχει τρίγωνο που είναι ορθογώνιο Β) Μερικοί ακέραιοι είναι πρώτοι Γ) Υπάρχει πραγματικός αριθμός που το τετρά-γωνό του είναι αρνητικό Δ) Κάθε τετράπλευρο είναι τετράγωνο

3. Να διατυπώσετε τις αντίστροφες προτάσεις των προτάσεων:

Α) Αν α 3 τότε 2α 9 Β) Αν ένα τρίγωνο έχει δύο πλευρές ίσες, τότε θα έχει και δύο γωνίες ίσες Γ) Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες του ίσες τότε θα είναι ισοσκελές. Δ) Αν ένα τρίγωνο είναι ισόπλευρο τότε θα εί-ναι ισοσκελές.

4. Να αποδείξετε ότι p q q p

5. Να διατυπώσετε τις αντιθετοαντίστροφες προτάσεις των προτάσεων:

Α) Αν ο 2x είναι περιττός τότε και ο x είναι περιττός Β) Αν ένα τετράπλευρο έχει άνισες διαγωνίους, τότε αυτό δεν είναι ορθογώνιο. Γ) Αν ένα τρίγωνο έχει δύο πλευρές άνισες, τότε θα έχει και τις απέναντι (των πλευρών) γωνίες άνισες.

6. Να αποδείξετε ότι: Α) p q q p

Β) p q q p

Γ) p q p

Δ) p q q

Ε) p p q

7. Nα χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστή ή Λάθος κάθε μια από τις παρακάτω συνεπαγωγές A) α 2 α 2

B) 2α 4 α 2

Γ) 2α 4 2 α 2

ΣΥΝΟΛΑ

8. A) Να γράψετε με αναγραφή το σύνολο Α={ x / x ψηφίο του αριθμού 62345372}. B) Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων του το σύνολο Β={ x,y / x ακέραιος με 2 x 1 και y

πραγματικός με 2x y 1 }

Γ) Να γράψετε το σύνολο Γ={2,4,6,8} με περι-γραφή μιας ιδιότητας των στοιχείων του. Δ) Να περιγράψετε τα σύνολα Δ={1,2,5,-1} και Ε={ x/x λύση της εξίσωσης x 3 x 1 0 } , με τη

βοήθεια των διαγραμμάτων του Venn. Ε) Για τα προηγούμενα σύνολα να χαρακτηρί-σετε αν είναι σωστές ή λάθος οι παρακάτω προτάσεις: 3Α (0,2)Β 8Α -1 Γ 0 Γ 1Δ 3Ε x Ε

9. Να γραφούν με περιγραφή τα σύνολα :

A 0, 1, 2, 3 και Β 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3

10. Δίνονται τα σύνολα:

2 3A x R /(x 4)(x 1)(x 64) 0 και

2 2B y R /(y 2)(y 16)(y 9) 0

Α) Να τα γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τους Β) Να βρείτε τα σύνολα: A B και A B .

11. Να βρεθεί η ένωση και η τομή των συνόλων: α) A R 1, 2 και B R 1, 3

β) A R 1, 2 και B 1,

γ) A 3, και Β ,5

12. Αν Ω 1,2,3,4,5 , Α 2,3 Β 3,4

τότε να αποδείξετε ότι / / /Α Β Α Β και

/ / /Α Β Α Β

13. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω Ν Ζ ... , R Z ... , Q R ... , R Q ... , R N ...

14. Έστω ότι τα σύνολα Α και Β είναι υποσύ-νολα ενός συνόλου Ω (βασικό σύνολο ή σύνολο ανα-φοράς). Να χαρακτηρίσετε αν είναι σωστή ή λάθος κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις: Α) Αν A B τότε A B A .

Β) Αν B A τότε A B B .

Γ) Αν A B Ω και A B τότε A' B Δ) Το κενό σύνολο παριστάνεται με 0

Ε) Είναι A , A

Στ) Αν A B και B A τότε: A B

Ζ) Είναι A A' Ω

4ο ΓΕΛ Χανίων - 2010-11

Μ. Παπαγρηγοράκης - http://users.sch.gr/mipapagr

1.1 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΞΕΩΝ

15. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) 3[2(1 4x) 3(1 5x] 2[3(1 2x) x]

Β) 3[ 2β α(1 2β)] [3α (4β 5)]

16. Αν α 0,5 και β 0,001 να υπολογίσετε

την παράσταση 3(2α 3β) 4[ 3α 2(α 2β 1)]

17. Δίνεται ο αριθμός α με α 0 Να βρεθεί: A) αντίστροφος του αντίθετου του α Β) ο αντίθετος του αντιστρόφου του α

18. Να αποδείξετε ότι αν είναι αντίθετοι οι αριθμοί Α x 3y 4z και B y x 2z τότε y z

19. Αν οι αριθμοί: 2α α 1 και 2β β 1

είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι αντίθετοι

20. Αν α 3β 1 να βρεθεί η τιμή της παράστα-

σης Α α(α 1) 4β(2 α) β(α 8)

21. Αν xy(2y x) 0 , να αποδειχτεί ότι η πα-

ράσταση 1 1x 2y1 1

2y x

είναι ανεξάρτητη των x,y

22. Αν x y 3x y 2

, y 0 να βρεθεί ο λόγος xy

και η τιμή της παράστασης Α=2 2

2x y

2xy x

23. Αν ο α είναι περιττός ακέραιος να αποδείξε-

τε ότι ο αριθμός 2α 1 2α 2 είναι πολλαπλάσιο

του 4

24. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετρα-γώνων δύο διαδοχικών περιττών αριθμών είναι άρτιος.

25. Η περίμετρος ενός τριγώνου είναι 27 . Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του, αν είναι γνωστό ότι είναι ανάλογα με τους αριθμούς 2,3,4 αντίστοιχα.

26. Να βρεθούν οι αριθμοί που είναι ίσοι με τον αντίστροφό τους

27. Αν γα βx y ω να αποδειχτεί ότι:

ν 22ν 2 2 2 ν ν ν

2 2 2 ν ν να β γ α β γα

x x y ω x y ω

1.2 ΔΥΝΑΜΕΙΣ

28. Υπολογίστε τις παραστάσεις

Α) 17 110,25 8 Β) 3

231 (0,1) : 102

29. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

Α) 23 5

1

x x

x

Β)

22 3 2

13 2 2 4

α β α β

α β α β

Γ)

2 1 3

23x y 4x y

x y

30. Να γραφεί ως δύναμη του 2 ο 361 64

4

31. Αν x 0,03 και y 0,4 να βρεθούν οι α-

ριθμητικές τιμές των παραστάσεων:

α) 3 43 4 2 3x y : x : y β)

623 511

xx y :y

32. Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων:

Α) 2

35 2 xx xy :y

αν x 0,4 και y 2,5

Β) 22 13 1 1 3 3x y : x y x y

, αν 3x 10 και

2y 0,1

33. Α) Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις 32 22 27A

3 8

και 3 32 2

7 2 2 7

α β αβB

α β α β

Β) Για ποιες τιμές των α,β είναι Α Β

34. Αν ο ν είναι φυσικός με v 1 , να αποδείξε-

τε ότι: v v 1 v 2 v 3( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0

35. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπο-ρούμε να φτιάξουμε με: α) τρία δυάρια β) τρία τριάρια γ) τρία τεσσάρια

36. Για ποια τιμή του κ η παράσταση κ 1 2κα β

γράφεται με μορφή δύναμης με βάση αβ ;

37. Να βρεθεί ο ακέραιος ν αν 2ν 63ν 62 1

38. Να δείξετε ότι β γ γ αα β γβα

γ αβx x x 1

xx x

39. Να γράψετε ως δύναμη με βάση το 8 την παράσταση:

101 171 170 98 105 3 4 11 9 38A {2 : [(5 : 5 3) 2 : (2 ·2 ) (2 ) ]}·2


3

1.2 ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ-ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

40. Α) Ισχύει ότι 3 3x y x y

Β) Ισχύει ότι 2 2x y y x

Γ) Ισχύει ότι 2 2α β α β

Δ) Ισχύει ότι 2 2α β α β

Ε) Ισχύει ότι 2 2x y y x y x

Στ) Ισχύει ότι (α-β)(α2+αβ+β2)=(α-β)3-3αβ(α+β)

Ζ) Ισχύει ότι 22 2α β α β 2αβ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

41. Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να είναι τέλεια τετράγωνα οι παραστάσεις:

α) 16 8x ... β) 29 4 2 ... ...

42. Να απλοποιήσετε τη παράσταση 2 2(α β) (α β) και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι:

2 2999 1000 999 1000 41000 999 1000 999

.

43. Να απλοποιήσετε την παράσταση 2α (α 1)(α 1) και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι:

21,3265 0,3265 2,3265 1 και 23,12345 2,12345 4,12345 1

44. Αν α β 2 να αποδείξετε ότι 2 2α β 4α 2αβ 4β 3 1

45. Να απλοποιήσετε τις ακόλουθες παραστά-σεις, αφού βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ορίζονται

A) 2 2

3x x 1 x 1

x 1 x 1

, Β) 2 3 2

31 x xx ,x (x 1)

Γ) 2

2(x x) 2x 2

x 1

, Δ)

2 2

2 2x 3x 2 x 2x

x x x x 2

46. Αν x 0,5 , y=-2 , να βρείτε την τιμή της

παράστασης Α= 2 2 2

x y xy1 1 1 1:x y 2 x y x y

47. Nα αποδείξετε ότι:

Α) Αν 22 22 α β α β τότε α β

Β) Αν 1 1α β 4α β

, αβ 0 τότε α β

48. Για κάθε α,β, γ R , να αποδείξετε ότι: αν 2 2 2α β γ αβ βγ γα τότε α β γ

49. Για κάθε x, y, ω R , να αποδείξετε ότι: αν

2 2 2 2x y ω 3 x y ω τότε x y ω

50. Αν α,β,γ είναι τα μήκη πλευρών τριγώνου

και ισχύει ότι 2α βγ 2α β γβ γ 2

, να αποδείξετε ότι το

τρίγωνο είναι ισόπλευρο

51. Αν β α 1 να αποδείξετε ότι:

2 2 4 4 8 8 16 16α β α β α β α β α β

52. Αν 22x α y β 4 αx βy τότε να

αποδείξετε ότι x α και y β

53. Αν 1α 5α

να βρείτε τα 2 32 3

1 1α , αα α

54. Αν x y 2 και xy 1 να υπολογιστούν τα

2 2x y , 3 3x y , 1 1x y , 2 2x y xy , 2 2

1 1x y

55. Aν 3x 4α 3α , 3y 4β 3β και 2 2α β 1 να αποδείξετε ότι 2 2x y 1

56. Αν α β 0 , β γ 0 , γ α 0 και

α β γ 0 , να αποδείξετε ότι: 2 2 2 2 2 2α β 2βγ β γ 2αγ γ α 2αβ 0

α β β γ α γ

57. Αν για τους θετικούς ακέραιους x,y,ω ισχύ-

ει ότι: 3 3

2

ωxyx y

ω2733

τότε να αποδειχτεί ότι x y ω

58. Αν α β γ 0 , α β γ 0 να δείξετε ότι 44 4

3 3 3 3 3 3γα β 0

β γ 3αβγ γ α 3αβγ α β 3αβγ

59. Για κάθε φυσικό ν να αποδείξετε ότι:

Α) Ο αριθμός 2 2987 985 είναι άρτιος

Β) Ο αριθμός 24 διαιρεί τον 2ν5 1

60. Αν αβγ 1 και βγ β 1 0 να αποδείξετε

ότι γα β 1αβ α 1 βγ β 1 γα γ 1

61. Να αποδείξετε ότι

Αν 1 1 1 0α β γ τότε 2 2 2

βγ γα αβ 3α β γ



ΔΙΑΤΑΞΗ - ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

62. Nα χαρακτηρίσετε κάθε μια από τις επόμενες προτάσεις με την ένδειξη Αληθής ή Ψευδής. Α) Αν x 2 και y 3 , τότε 3x 2y 0

Β) αν α β 0 τότε 2α αβ 0

Γ) Αν 2 2α β 0 τότε α 0 ή β 0

Δ) Αν α 0 β τότε 2 2α β

Ε) Αν x 0 τότε 2x x .

Στ) Αν 2α 0 τότε α 0 Ζ) Αν 2 α 4 και 1 β 2 τότε 1 α β 2

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

63. Αν 2 x 4 και 3 y 7 να βρείτε τις

τιμές που μπορεί να πάρουν οι παραστάσεις:

x y , x y , 1y

, 32xy

, 2x , 2y , 2 2x y

64. Αν είναι 2 x 8 να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις

Α) 2x 3 Β) 1 2x Γ) 11

1 x

Δ) 2x 3

x

65. Να δείξετε ότι x 1 y xy x y 1 0

66. Να αποδείξετε ότι:

Α) Aν 3α β τότε α β βα4 3

Β) Αν α 1 τότε 3 2α α α 1 Γ) Αν x y τότε x 7 y 5


Α) Αν α,β είναι ομόσημοι τότε βα 2

β α

Β) Αν α,β είναι ετερόσημοι τότε α β 2β α

Γ) Αν α 0 τότε 22α 1

α 1

68. Αν α, β, γ είναι πραγματικοί αριθμοί να

αποδείξετε ότι

A) 2 2α β 2αβ

B) 2 2 2α 1 β 1 γ 1 8αβγ

69. Αν α,β πραγματικοί αριθμοί να δείξετε ότι:

Α) 2 2α αβ β 0

Β) 2 2 2α β γ αβ βγ γα

70. Να συγκρίνετε τους αριθμούς 512 και 343

71. Αν α, β θετικοί, να αποδείξετε ότι

Α) αβ α βα β 4

Β) α β 2αβ

1 12α β

72. Αν α, β, γ είναι πλευρές τριγώνου και ισχύει

ότι 2 2α β 2γ α β γ , να αποδείξετε ότι το τρίγω-

νο αυτό είναι ισόπλευρο.

73. Για τους θετικούς αριθμούς α,β,γ , να απο-

δείξετε ότι: α β γ γα β1 α β γ 1 α 1 β 1 γ

.

74. Αν για τους θετικούς αριθμούς α,β,γ ισχύει

ότι β+γ γ+αα+βαβ γ βγ -α γα -β 02 2 2

να

αποδείξετε ότι αυτοί οι αριθμοί είναι ίσοι μεταξύ τους

75. Για κάθε *α,β, γ R , να αποδείξετε ότι: 2γ γβ βα α3

β γ α γ β α

76. Να αποδειχτεί ότι 1 1 1 1... 12 1001 1002 2000

77. Να δείξετε ότι 2γ γβ βα α3

β γ α γ β α

78. Να προσδιοριστεί το είδος του τριγώνου ΑΒΓ για τις πλευρές του οποίου ισχύουν οι σχέσεις

21 α 2α β γ , 21 β 2β γ α , 21 γ 2γ α β

79. Για κάθε α,β R να αποδείξετε ότι

Α) 2 2 2α β 2 α β

Β) 22 3 2 4 61 α α α 4 1 α α α

80. Αν α,β ακέραιοι θετικοί αριθμοί τέτοιοι

ώστε 3α 4β 120 . Να αποδειχτεί ότι 30 α β 40

81. Αν είναι x, y 0 και 3 2x y 64 να απο-

δείξετε ότι 4 3x y 512

82. Αν οι αριθμοί , μ, ν είναι θετικοί ακέραιοι

και ισχύει ότι μ 2 μ ν 1ν 24 4 2 να αποδείξετε ότι ο

ακέραιος μ νΑ 2 2 είναι πολλαπλάσιο του 34


5

1.6 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ

83. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Α) Η x δεν υπάρχει για κάθε x R

Β) Ισχύει ότι x 2y z x 2y z

Γ) Ισχύει x x 0 για κάθε x R

Δ) Ισχύει ότι x 3 x 3 για κάθε x R

Ε) Αν x y 0 τότε x 0 ή y 0

Στ) Αν x 1 0 τότε x 1

Ζ) Ισχύει ότι α α α α 0 , α R .

Η) Ισχύει ότι αν α β 0 τότε α β |

ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

84. Nα βρείτε τις απόλυτες τιμές

7 ... , 2 1 ..., 3 π ... , 2 2 ... ,

2 2 2α ..., 2 x ... , x π ... , 2 1 ... ,

32 163 4 ... 2x 4x 4 ... 0ημ38 1 ...

85. Αν α β γ να γράψετε χωρίς το σύμβολο

της απόλυτης τιμής την παράσταση Α 3 α β 2 γ α 3 β γ

86. Αν 3 x 2 γράψτε χωρίς τις απόλυτες

τιμές τις παραστάσεις: Α=2 x 3 6 x 2 x 1

B x 8 4x , Γ 2x 6 , Δ 2 x x 4

87. Nα γράψτε χωρίς τις απόλυτες τιμές τις πα-ραστάσεις: A x 8 2x , Β 2x 6

Γ x 4 3x Δ 2x 4 2x 4

Ε 2 x 3 2 x 1 2ΣΤ 2 x x 4

88. Αν α 1 5 και β 2 <3 να βρείτε που με-

ταβάλλεται η παράσταση α β

89. Να λυθούν οι ανισώσεις Α) x 1 7 Β) 5 x 6

Γ) 10 2x 3 1 Δ) 22x 1 7

Ε) 2x 3 0 Στ) 4x 1 7

Ζ) 2 x 2 3 2 2 x 1 3 x 2 4 3

90. Εάν |x| 2 , |y| 3 να δείξετε ότι:

Α) |x y| 5 Β) |2x y| 7

91. Να βρεθεί οι τιμές των 1 2 2011α ,α , ...,α αν

1 2 2011x 2011 x α x α ... x α 0

92. Αν ισχύει ότι: yκx , m|y| |κ| |κ| |y|

δείξτε ότι |x| |m| 1 .

93. Να λυθούν οι ανισώσεις Α) 2 x 1 x 3 2x Β) x 1 2x 1

Γ) x 1 2 3 Δ) 1 x 1 6


Α) yx 2y x , αν x,y 0

Β) 1 1x xx x

αν x 0

Γ) Αν x 3 , y 8 τότε 3x 5y 49

Δ) 2x 5y x1 15x 2y y

95. Να δείξετε ότι x 2 x 4 6

96. Να βρεθεί το x όταν:

Α) d x,3 7 Β) 9 d(x,3) 2 Γ) 1 d x,2 3

97. Αν x 2 0,1 και y 4 0,2 να εκτιμήσε-

τε την τιμή της περιμέτρου των σχημάτων:

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

98. Χαράξτε έναν άξονα και πάρτε πάνω σ’ αυ-τόν τα σημεία Α Β και Μ με συντεταγμένες 1, 2 και x αντίστοιχα, για κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώ-σεις: α) x 1, β) x 1, γ) 1 x 2, δ) x 2, ε) 2 x

Α)1) Τι παριστάνουν γεωμετρικά οι παραστάσεις x 1 , x 2 και x 1 x 2 .

2) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της παράστασης x 1 x 2 και πότε αυτή παρουσιάζεται;

3) Παίρνει η παράσταση αυτή μέγιστη τιμή; Β)1) Τι παριστάνει γεωμετρικά η παράσταση

x 1 x 2 ;

2) Ποια είναι η ελάχιστη και ποια η μέγιστη τιμή της παράστασης x 1 x 2 και πότε παρου-

σιάζονται;

y

x

y

y

x

x

x


6

1.7 ΡΙΖΕΣ

99. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

Α) Ισχύει ότι 8 2 4x y x y για κάθε x , y

Β) Ισχύει ότι 4 12 3x x για κάθε x R

Γ) Ισχύει ότι 3 33x 4 4x για κάθε x R

Δ) Ισχύει ότι 52 2 5x x για κάθε x R

Ε) Για κάθε x 0 ισχύει: 2x 1

x

Στ) Για κάθε x είναι 2( x) x

Ζ) Για κάθε πραγματικό α 0 ισχύει 33 2

α αα

Η) Ισχύει ότι 1 1 12 2

Θ) Αν x,y>0 τότε x y x y

Ι) Ισχύει ότι: 2 2α β α β

ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

100. Για κάθε x να απλοποιηθούν οι παραστά-

σεις: α) 6x β) 6 18x γ) 3 6x δ) 2x

x, x0, ε) 2(2x)

101. Αν 3 x 2 , να απλοποιήσετε την παρά-

σταση Α= 2 2x 2 x 6x 9

102. Να απλοποιηθεί η παράσταση 2 2x 4 x 4 x 4 x 4 αν x 2

x 2 x 2


Α) 8 20 3 80 2 500

Β) 12 27 75 48 108

Γ) 18 8 20 50 45 125

Δ) 1 1 11 2 2 3 3 4

104. Να υπολογίσετε τα 32 2 , 32 2 και

να απλοποιήσετε την 3 320 14 2 20 14 2

105. Να μετατραπούν οι παραστάσεις σε ισοδύ-

ναμες με ρητό παρονομαστή: 2 3 3 2A2 3 3 2

2

2

xB1 1 x

1Γ2 3 5

3

1Δ5 1


2 3 2 2 3 2 2 3 1


Α) 3 2 32 3 2

B) 3 55 25 25 5

Γ) 75 31 21 15 1

Δ) 2 2 5 3 5 3

108. Αν α 0 να δείξετε ότι

Α) α 1 α α Β) α 1 α α


Α) 4 2 3 , Β) 9 32 , Γ) 4 15

110. Να υπολογίσετε τον αριθμό

5 2 5 2 3 2 25 1

111. Να αποδείξετε ότι: 10 2 15 5 3

112. Να συγκρίνετε τους 2 και 2 10

113. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

Α) (3 3)x 2 3 1

Β) 224 x 6x 9 3 x

114. Για ποιές τιμές του xR έχουν έννοια οι πα-

ραστάσεις. Α= 42x 1

x 7x

Ε= xx 1 2

Ζ=x 1

x x


Α) 2 2

1 1 Q7 3 7 3

Β) 2 21 3 1 3 2 3

9 9 3

116. Να δείξετε ότι 7 3 2 53 5 5 7 3 7

117. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί

10 2 5α x2 , 5 1β=x

2 και γ=x , όπου x 0 ,

αποτελούν μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου.

01.01 Να βρεθεί η τιμή της παράστασης

A 1 1999 1 2000 4 2000 1 2003·2005


7

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

118. Να λύσετε τις εξισώσεις:

Α) 2 2x(x 2) x 4x 4

Β) 2 2(x 4)(x 1) (x 1)(x 2)

Γ) 3 2x 2x x 2 0


Α) 21 x

x 2 x 4

Β) 2

x 1x 1 x x

Γ) 2 2x 1 2 0x 1 x 2x 1

120. Να λυθούν οι εξισώσεις για κάθε λ

Α) 2λ 1 x λ 1 Β) 2λ x 1 λ x 1

Γ) 2λ x 3 λx 3 Δ) 2λ x 3 3x λ

121. Να λύσετε τις εξισώσεις

Α) 2 2x α x β 2α α β , α,β R

Β) 2 2 2α x α x α 4x α α

, α R

122. Α) Να λυθεί ο τύπος 0v v αt ως προς t .

Β) Να λυθεί ο τύπος 1 2

1 1 1R R R ως προς 1R .

Γ) Να λυθεί ο τύπος 1 1 2 2

1 2

P V P VT T

ως προς 2V

123. Α) Να λυθεί ο τύπος 2o

1s s gt2

ως προς g

Β) Από τους τύπους 20

1S v t αt2

και

0v v αt , να δείξετε ότι 0v vS t2

124. Ένα συνεταιρικό ελαιουργείο έχει δύο συ-γκροτήματα το Α και το Β. Όταν δουλεύουν και τα δύο μαζί τελειώνουν όλες τις ελιές μίας περιοχής σε 12 μέ-ρες. Τη φετινή χρονιά ξεκίνησαν μαζί και μετά από 2 μέρες το Α σταμάτησε οριστικά λόγω βλάβης ενώ το Β

συνέχισε να δουλεύει κανονικά. Το Β έχει τα 23

της

απόδοσης του Α. Να βρείτε σε πόσες μέρες συνολικά θα τελειώσουν όλες οι ελιές της περιοχής

125. Ένα βαρέλι Α περιέχει 524 κιλά κρασί των 2 ευρώ το κιλό και ένα βαρέλι Β περιέχει 456 κιλά κρασί των 1,5 ευρώ το κιλό. Αφαιρούμε από κάθε βαρέλι την ίδια ποσότητα κρασιού και βάζουμε αυτή που αφαιρέ-σαμε από το Α στο Β και αυτή που αφαιρέσαμε από το Β στο Α. Αν μετά το ανακάτεμα των κρασιών, το περιε-χόμενο των δύο βαρελιών έχει την ίδια αξία, να βρείτε πόσα κιλά μεταφέρθηκαν από το ένα βαρέλι στο άλλο.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ


Α) 2 x 2 8 0 Β) 4x 2 5

Γ) x 3 2x Δ) 7x 3 9x 5

Ε) 2x 4 x 5 Στ) 2x 5 2x 5

127. Να λύσετε τις εξισώσεις: A) x 1 x 5 20 B) x 1 2 1

Γ) 2 2x 9 x 5x 6 0 Δ) x x 4

128. Να λύσετε τις εξισώσεις: Α) 4 x x 3 Β) 1 x 0

Γ) x 2 3 1 Δ) x 2 3


Α) x 4 x 3 2 2x 15 2 3

Β) x 1 3 2 2x x 112 6 2 6

Γ) 2x 1 1 6x 3 2

1 1 2x4 8

130. Να λυθούν γεωμετρικά οι εξισώσεις: Α) x 1 x 3 Β) x 2 2 x 1 .


Α) 4x x Β) 4x x 0

Γ) 6 25x 3x 0 Δ)

10 32x x 0


Α) 8 4 15 5x 4 x 27 0

Β) 20062005x 2007 0

Γ) 3 3x α , α R

133. Α) Να λυθεί η εξίσωση 3x 8 0 (1)

Β) Αν η εξίσωση: 4 24α x 1 0 και η (1) έχουν κοινή λύση να βρείτε το α .

Γ) Αν η εξίσωση 5 10(β+1) x 32 0 και η (1)

έχουν κοινή λύση να βρείτε το α


Α) 5x 2 2 1 x Β) 216 x x 4 0

135. Α) Να δείξετε ότι x 1 x x 0x

, x 0

Β) Να λύσετε την εξίσωση 2xλ λ x λ 1x

για κάθε λ R



ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

136. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις

Α) 2x 4x 0 Β) 23x 4x

Γ) 22x x 15 0 Δ) 24x 1 0

Ε) 2x 6x 7 0 Στ) 23x x 0

137. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις ως προς x , για κάθε τιμή των παραμέτρων τους

Α) 2αβx αγ β x γ 0 , αβ 0

Β) 2αβx α β x 1 0 , α β 0

Γ) 2 2 2 2 2β x 2αβ x α β 1 0

138. Δίνεται η εξίσωση 2x 2x 2 αβ 1 0 . Αν

η εξίσωση έχει ως ρίζα τον αριθμό α β , τότε να απο-

δείξετε ότι α β 1 .

139. Να λύσετε την εξίσωση

2x Δ 6 x Δ 11 0 αν Δ είναι η διακρίνουσά της

140. Δίνεται η εξίσωση

2 2λ 3λ 2 x 2 λ 2 x 1 0 με λ R

Α. Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού; Β. Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές;

141. Δίνεται η εξίσωση 2λx x 5 0, λ R

Α) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει 1 ρίζα; Β) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει διπλή ρίζα; Γ) Να βρεθεί η διπλή ρίζα της εξίσωσης για την τιμή του λ που βρήκατε στο Β) ερώτημα. Δ) Αν ρ είναι η διπλή ρίζα της εξίσωσης να

υπολογίσετε την παράσταση 2Α x (x ρ) για κάθε

πραγματικό x

142. Ένας μαθητής αντί της εξίσωσης 2x αx β 0 (1), έλυσε την 2x βx α 0 και βρήκε

δύο ρίζες. Από αυτές η μία ήταν ίση με μία ρίζα της (1) και η δεύτερη ήταν μικρότερη κατά 3 της άλλης ρίζας της (1). Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β

143. Δίνεται η εξίσωση 2 2x 2λx λ λ 1 0 , λ R . Να βρεθεί η τιμή του λ R σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: Α) Η εξίσωση να έχει δύο ρίζες άνισες. Β) Η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Γ) Η εξίσωση να μην έχει πραγματικές ρίζες.

144. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε η

η εξίσωση 2 2λ 3λ 2 x λ 2 x 3 0 :

Α) να έχει μία μόνο ρίζα Β) να έχει διπλή ρίζα

145. Αν η εξίσωση 2 2λ x 5λ 2 x λ 2 0 ,

λ R έχει ρίζα τον αριθμό 1 να βρείτε το λ και μετά να δείξετε ότι το 1 είναι διπλή ρίζα.

146. Να βρεθούν οι α,β R για να είναι οι ρίζες

της εξίσωσης 2x αx β 0 ίσες με α και β

147. Δίνεται η εξίσωση 2λx 5x 10 0 , λ R : Α) Για ποια τιμή του λ έχει μία λύση; Β) Για ποια τιμή του λ έχει μια λύση διπλή; Γ) Να βρεθεί η διπλή ρίζα.

148. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

23x 2 α β γ x αβ αγ βγ 0 , α,β,γ R έχει

μια διπλή ρίζα, αν και μόνον αν α β γ .

149. Δίνεται η εξίσωση 22x 2x μ 3 0 ,

μ R . Να βρεθεί για ποιες τιμές του μ έχει:

Α) διαφορετικές ρίζες Β) μια διπλή ρίζα

150. Να αποδείξετε ότι αν η εξίσωση

22α β x 4αx 4β 0 , α,β R 0 έχει διπλή ρίζα,

τότε η εξίσωση 2 2 2α β x 2x 3 α β 0 έχει δύο

ρίζες άνισες.

151. Αν η εξίσωση 2x 2βx 2γ 0 , β,γ R ,

δεν έχει καμία ρίζα να δείξετε ότι η εξίσωση 2x 3βx 5γ 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες.

152. Αν η εξίσωση 2x βx γ 0 , γ 0 , β R

έχει δύο ρίζες άνισες, συμπληρώστε δίπλα από κάθε εξίσωση το πλήθος των ριζών της:

Α) 2x βx γ 0 Β) 2γx βx 1 0 .

Γ) 2x βx γ 0 Δ) 2γx βx 1 0

Ε) 2γx βx 1 0

153. Για ποιες τιμές του α R οι εξισώσεις 2x αx 1 0 και 2x x α 0 έχουν μια κοινή ρίζα.

154. Αν η εξίσωση 2x μx κ 0 έχει διπλή ρίζα,

να αποδείξετε ότι το ίδιο θα συμβαίνει και για την εξί-

σωση 2 2

2μ μ1 κ+ x μ 1+κ x+κ κ-1 + 02 2


9

ΑΘΡΟΙΣΜΑ –ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ

155. Δίνεται η εξίσωση 2x 3x 1 0 με ρίζες

1 2x ,x . Χωρίς να υπολογιστούν οι ρίζες να βρεθούν:

Α) το 1 2S x x και το 1 2P x x

Β) Οι τιμές των παραστάσεων:

α) 2 21 2x x β) 3 3

1 2x x γ) 1 2

2 1

x xx 1 x 1

δ) 1 1x (x 3)

156. Δίνεται η εξίσωση 2x βx γ 0 με γ 0 .

A) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει άνισες ρίζες Β) Αν 1 2x , x οι δύο ρίζες της εξίσωσης να

γράψετε συναρτήσει των αριθμών β, γ τις παραστάσεις

1 2x x , 1 2x x , 2 21 2x x

Γ) Οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι αριθμοί ομό-σημοι ή ετερόσημοι;

Δ). Να αποδείξετε ότι: 1 2d x ,x Δ , όπου Δ

η διακρίνουσα της εξίσωσης.


2λx λ 1 x 2λ 2 0, λ R

Α) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να έχει δύο πραγματικές και ίσες ρίζες Β) Αν λ 0,25 και 1 2x , x είναι οι ρίζες της

εξίσωσης να βρείτε την τιμή της παράστασης

2 21 2 1 2

1 2

6 6A x x x xx x

158. Έστω η εξίσωση 2αx α β x β 0 ,

α,β R με α 0

Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για οποιεσδήποτε τιμές των α,β .

Β) Αν 1 2x , x οι δύο ρίζες της εξίσωσης να απο-

δείξετε ότι 1 2 1 2x x x x 1

Γ) Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός

α με α 1 ,να αποδείξετε ότι β α

159. Αν 1 2ρ , ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2αx βx γ 0 , α,β,γ R, α 0 και 1 2x , x οι ρίζες

της εξίσωσης 2κx λx μ 0 , κ, λ,μ R, κ 0 να βρεί-

τε εξίσωση που να έχει ως ρίζες τις παραστάσεις

1 1 2 2x ρ x ρ και 1 2 2 1x ρ x ρ .

160. Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της 2αx βx γ 0

με α,β, γ R 0 και 1 2ρ , ρ οι ρίζες της εξίσωσης:

2 21 2 2 1x x x x x x 0 , να αποδειχθεί ότι, αν οι

1 2x , x είναι ετερόσημες, τότε και οι 1 2ρ , ρ είναι ετερό-

σημες.

161. βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες η

εξίσωση 2x 2x λ 2 0 έχει:

Α) δύο ρίζες ετερόσημες Β) δύο ρίζες θετικές και άνισες Γ) δύο ρίζες αρνητικές Δ) δύο ρίζες αντίστροφες

162. Έστω η εξίσωση 22x 4x 1 0 2 και

1 2ρ , ρ οι ρίζες της

A) Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων:

α) 3 31 2ρ ρ , β)

2 21 2

2 1

ρ ρρ ρ

γ) 3 31 2 1 22 21 1 2 2

ρ ρ ρ ρ 1ρ 2ρ ρ ρ

δ) 1 2ρ ρ . ε) 1 2ρ ρ

B) Να σχηματίσετε εξίσωση β΄ βαθμού με ρίζες x1, x2 τις παραστάσεις δ, ε του προηγούμενου ερωτήμα-

τος και μετά να υπολογίσετε το 2 21 2x x .

163. Έστω η εξίσωση x2 –(λ-1)x-λ=0 (1) Α) Για ποιες τιμές του λ η (1) έχει ρίζες άνισες: Β) Να βρεθεί ο λ ώστε οι ρίζες της να είναι α-ντίθετες. Γ) Να λυθεί η ανίσωση d(x, λ) 5-λ όταν η

εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα

164. Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2x 2 λ 1 0 να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ,

έτσι ώστε να ισχύει 2 2 2 31 1 2 1 2 23x 8x x 8x x 3x 192

165. Αν για τους αριθμούς α,β, γ ισχύει:

γ α β γ 0 , α 0 ,να αποδείξετε ότι:

A) Η εξίσωση 2αx βx γ 0 δεν μπορεί να

έχει ρίζες τους αριθμούς 0 και 1.

B) Η εξίσωση 2αx βx γ 0 έχει δύο ρίζες

άνισες Γ) Αν 1 2x , x οι ρίζες της εξίσωσης να αποδείξε-

τε ότι: 1 1 1 2x x 1 x 1 x 0 .

Δ) Να αποδείξετε ότι μία μόνο ρίζα της εξίσω-σης θα είναι στο διάστημα 0, 1

166. Αν 1 2x ,x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2x 5x 7 0 , να βρεθεί εξίσωση που να έχει ρίζες τις

A) 1 1ρ 2x 1 και 2 2ρ 2x 1

B) 11

2

xρ

x και 2

21

xρ

x .

Γ) 1 1 2ρ x x και 2 1 2ρ x x



ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

167. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτή-

σεων Α) 2 2f(x) 4x 4x 3 3 x 2x

Β) 2f x x + 8x + 9 24

Γ) 2f(x) 3x 4x 1

168. Να λύσετε τις ανισώσεις:

Α) 11 2 2x 1 x 3x 2 x x 1 0

Β) 2 2 2x 7x 12 3x x x 2x 6 0

Γ) 2 2 2x x 3x 2 2x 5x 1 x x 0

169. Να λύσετε τις ανισώσεις:

Α) 2 2 6x 2 2x 5x 3 x 2 0

Β) 2x 5 x 1 x 2 x 3 0


2 2x 2λ 1 x λ λ 1 0 , λ R

Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ R η (1) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Β) Εάν 1 2x , x είναι οι ρίζες της (1) να βρείτε τις

τιμές του λ R για τις οποίες ισχύει 2

1 2 1 2x x 3x x 3λ 0

171. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε η

εξίσωση 2 2λ 3λ 2 x λ 2 x 3 0 :

Α) Να έχει μία μόνο ρίζα Β) Να έχει διπλή ρίζα Γ) Να είναι αδύνατη.

172. Να βρείτε το λ ώστε το τριώνυμο

2λ 1 x 4x λ 2 να έχει:

Α) σταθερό πρόσημο για κάθε x R Β) αρνητικό πρόσημο για κάθε x R .

173. Να βρείτε τις τιμές του λ R για τις οποίες η

ανίσωση: 2λ-1 x λ+1 x λ+1>0 να είναι αδύνατη

για κάθε x R

174. Να προσδιοριστεί ο *λ R ώστε η ανίσωση

2λx λ 1 x λ 1 0 να ισχύει για κάθε x R .

175. Να αποδειχθεί ότι για λ R , η εξίσωση

2 2x 2λ 1 x λ λ 1 0 έχει πραγματικές και άνι-

σες ρίζες. Στη συνεχεια να βρεθούν τα λ R για τα ο-

ποία ισχύει 2 21 2 1 2x x 3x x 0 όπου 1 2x , x είναι οι

λύσεις της εξίσωσης.

176. Δίνεται η εξίσωση 2 2x 2λx λ 1 0 . Α Να βρεθούν οι ρίζες της.

Β Να δειχθεί ότι: 21 2

1 1 2λx x λ 1

.

Γ Να βρεθεί το λ ώστε 1 2

1 1 1x x

.

177. Να λυθούν οι ανισώσεις

Α) 2

2- x + 5x + 6 0

x + x - 6

Β) 2x - 4x + 3 0

x - 2

Γ) 2 2

2(x 8x 7)(x 3x 9) 0

x 4

178. Να λυθούν οι ανισώσεις:

Α) x + 1 27 - x

Β) 2

2x x 1 2x x 2

Γ) 24x 1

23x - x

Δ) 2

22x - 4x + 5 1

x + 2

179. Για ποιες τιμές του x το τριώνυμο 2x 14x 50 παίρνει τιμές μεγαλύτερες του 5 και μι-

κρότερες του 26 ;

180. Να λυθεί η ανίσωση: 22x - 12 1

x - 3x + 2

181. Για ποιες τιμές του x συναληθεύουν οι ανι-

σώσεις: 3x + 5 03x - 7

και

212x 13x - 14 0x - 2

182. Δίνεται το τριώνυμο 2f(x) x x 4 .

Α) Να βρείτε το πρόσημο του f(x) , για τις διά-

φορες τιμές του x . Β) Να λύσετε την ανίσωση:

2x x 4 2(x 1) .

183. Δίνεται η εξίσωση 2x βx γ 0 . Να βρείτε

το πρόσημο των αριθμών β και γ ώστε να έχει νόημα

η ανίσωση 1 2 1 2x x 2 x x , με 1 2x ,x τις ρίζες της

εξίσωσης. Κατόπιν δείξτε ότι η ανίσωση , εφ’ όσον έχει νόημα , ισχύει πάντα

184. Να βρεθούν αν υπάρχουν οι τιμές του

λ R για τις οποίες η ανίσωση 2λ 2 x 2λx 3λ 0

να αληθεύει για όλες τις πραγματικές τιμές του x ;

4ο Γενικό Λύκειο Χανίων τμήματα Α3 – Α4 Σχ έτος 2009 2010

11

ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ - ΤΡΙΩΝΥΜΟ

185. Δίδεται η εξίσωση 2 2x 2λ 1 x 2λ λ 0

η οποία ι έχει δύο πραγματικές ρίζες, έστω 1 2x , x . Να

αποδείξετε ότι: 1 20 x x 2 και 2 21 20 x x 2

186. Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 22x 7x 2 0 έχει δύο θετικές ρίζες 1 2x , x

Β) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων

Α= 4 41 2 1 2x x B x x

187. Α. Δείξτε ότι η εξίσωση 2αx βx γ 0 , έχει

δύο ρίζες ετερόσημες αν και μόνο αν αγ 0

Β. Έστω η εξίσωση 2λ 1 3 x 2λx λ 1 3 0

Α) Βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μια διπλή ρίζα την οποία και να υπολογίσετε. Β) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσω-ση έχει δύο ρίζες ετερόσημες.

188. Δίνεται η εξίσωση 2x 10x 20 0 η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς 1x και 2x . Να βρείτε το πρό-

σημο του αριθμού 20051 2x x

189. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

2 2 2 2 2 2γ x γ α β x β 0 όπου τα α,β,γ είναι

μήκη πλευρών ενός τριγώνου δεν έχει πραγματικές ρίζες

190. Nα λυθεί η εξίσωση 22x 1 x 3x 2 0

191. Δίνεται η εξίσωση 2x βx γ 0 και ισχύει

η σχέση: 23β 16γ .

Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και ομόσημες, τις 1ρ και 2ρ .

Β) Να αποδείξετε ότι 1 2ρ 3ρ

Γ) Αν για το άθροισμα S των ριζών ισχύει

S 4 , να λύσετε την ανίσωση βx 1 γ 0

192. Έχουμε δύο διαλύματα ενός φυτοφαρμάκου όπου το πρώτο περιέχει 800 gr καθαρού φυτοφαρμά-

κου ενώ το δεύτερο 600 gr . Όταν ενώσουμε τα δύο

διαλύματα δημιουργούμε ένα νέο διάλυμα βάρους 10 Kgr . Η περιεκτικότητα σε φυτοφάρμακο στο πρώτο

διάλυμα είναι κατά 10% μεγαλύτερη από το δεύτερο. Να βρείτε τα βάρη των διαλυμάτων. (Απ. 4 και 6)

193. Ένας επενδυτής πούλησε μια μετοχή αντί 21 euro και υπολόγισε ότι ζημιώθηκε τόσο επί τοις εκατό όσο την αγόρασε. Να βρείτε πόσα euro έχασε (2 λύσεις)

194. Ένα βαρέλι περιέχει 54 lt κρασί. Βγάζουμε μια ποσότητα κρασί και προσθέτουμε την ίδια ποσότη-τα νερού. Μετά ξαναβγάζουμε την ίδια ποσότητα από το μείγμα. Στο βαρέλι παραμένει ένα μείγμα που περιέ-χει 24 lt καθαρό κρασί. Να βρείτε πόσα λίτρα κρασί βγάλαμε αρχικά. (Απ. 18)

195. Σε μια γεωργική περιοχή αναλογεί ως έκτα-κτη ενίσχυση, εξ΄ αιτίας φυσικής καταστροφής, το ποσό των 3000 euro. Σε κάθε παραγωγό αναλογεί το ίδιο ποσό. Επειδή είχε γραφτεί κατά λάθος ένας παραγωγός παραπάνω, τον έσβησαν και οι υπόλοιποι πήραν, ο καθένας 100 euro περισσότερα. Να βρείτε πόσοι ήταν τελικά οι δικαιούχοι. (Απ: 5)

196. Έστω 2f x (λ 2)x 2λx 3λ , λ 2

Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η ανίσω-ση f(x) 0 αληθεύει για όλες τις τιμές του x

Β) Αν λ 4 να λύσετε την εξίσωση f x 8x 18

197. Δίνεται το τριώνυμο 2P x αx βx 2001

με α 0 Να αποδείξετε ότι:

A) Αν P x 0 για κάθε x R τότε

P 2004 0

B) Αν είναι α β 2001 1 τότε η εξίσωση 2αx βx 2001 0 έχει ρίζες πραγματικές .

198. Δίνεται η εξίσωση (λ-1)x2 -λx +2λ=0 λ 1 i) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει ρίζες στο R ii) Αν x1, x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης για

ποιες τιμές του λ είναι 1 2

2 1 1 2

x x λ λx x x x

199. Να απλοποιηθούν τα κλάσματα : 2 2

2 2x αx 6αA

x 5αx 6α

,

2 2

2 2x α β x 2α 2αβ

Bx 4α β x 3α 3αβ

200. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή το Κ 1,0 και η απόσταση του σημείου τομής

της με τον άξονα y y από το Κ είναι 2

201. Το κόστος της ημερήσιας παραγωγής x μο-νάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος είναι

2K x x x ενώ η είσπραξη από την πώληση x μο-

νάδων είναι 2E x x 99x 1000 σε χιλιάδες δραχ-

μές. Να βρεθεί η ημερήσια παραγωγή x μονάδων του εργοστασίου για την οποία το κέρδος γίνεται μέγιστο .



ΚΕΦ2 ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

202. Να γράψετε πιο απλά τον τύπο της συνάρ-

τησης: 2x 4x 4 αν x 2f x x 2

3 αν x 2

και να βρείτε

την τιμή της παράστασης: f 1 f 0 2f 2

203. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με τύπους 2x , x 1f(x)

2x , x 1

,ι

-x 1 x 0g(x)

x x 0

. Να βρείτε

f( 1), f(0), f( 3), f(3/4), g(0), g( 5), g(5).

204. Αν είναι f x 2x 6 , να βρεθούν οι πραγ-

ματικοί α και β ώστε να ισχύει: f α 8 και f 8 β .

205. Aν για την συνάρτηση 3f x αx 2βx ι-

σχύουν f 1 2 και f 2 20 να βρείτε το f 3 .

206. Aν f(x)=2αx βx x 1

2x β x 1

να υπολογίσετε τα

α, β ώστε να ισχύει f(3)=1 και f(1)=3

207. Δινεται η συναρτηση αx 4 , x 1

f(x)αx 2β ,x 1

.

Να βρεθουν τα α,β ώστε f(-1)=f(2)

208. Αν f(x)=2x x 3

5x 1 x 5

Nα βρείτε την τιμή

του πραγματικού λ ώστε να ισχύει –2f(-1)+λf(10)=157

209. Αν f x 2x 1 και για κάθε x R , να υ-

πολογίσετε τις παραστάσεις: Α) f x 3

Β) 2f 1 x Γ) f 2x f(0) Δ) f x f(x)

210. Για τη συνάρτηση f x 3x , να δείξετε ότι:

A) f α 1 f α 2 f α 3 3f α 18

B) f κα λβ μγ κf α λf β μf γ .

211. Αν 22

1f x xx

τότε ισχύει 1f x f 0x

212. Αν 2f x x , x R να αποδείξετε ότι για

κάθε α,β R ισχύει: α βf α f β 2f2

213. Αν 2f x x x να λύσετε την εξίσωση

f x 1 2f x 3f 0 f 1 .

ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ

214. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των:

Α) 22xf x

9 x

,

2

2x +4h x

x 4x 3

,

B) x 1 4-xf xx-3

2

2xf xx 1

Γ) 3f xx 2 1

21f x

|x| x

.

Δ) f x 2 |x 3| 2f xx 1

Ε) x 1 x 4f x|x| 2

34 xf x

x x

215. Για ποιες τιμές του α R η συνάρτηση

f(x) = 23x - 1

x α έχει πεδίο ορισμού το σύνολο R;

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ – ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ

216. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα A 1,2 , B 0,1 , Γ 2,1 είναι ορθογώνιο και ισοσκε-

λές.

217. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= 2x . Να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α 1,f(1) και Β 1,f( 1)

218. Να βρεθεί σημείο Γ του άξονα xx΄ τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με ίσες πλευ-ρές τις ΑΓ, ΒΓ , όπου Α(1,1), Β(4,2)

219. Δίνονται τα σημεία Α(-1,-1), Β(2,4). Να βρεί-τε σημείο Μ της ευθείας y=x ώστε το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ισοσκελές με ίσες πλευρές τις ΜΑ και ΜΒ.

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ

220. Δίνονται τα σημεία Α 3,4α 2 B 3, 2

Γ 4,2β 6 , Δ 3γ 1, 4 , Ε 1, 1 και Ζ 2δ, 1 .

Να βρείτε τους πραγματικούς α, β, γ, δ αν γνωρίζετε

ότι: Τα Α και Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα x x , τα Ε και Ζ είναι συμμετρικά ως προς το 0,0 , το

Γ βρίσκεται πάνω στον x x και το σημείο Δ βρίσκε-ται στον y y

221. Να βρεθεί η τιμή του λ ώστε τα σημεία :

Α) 2Α λ , λ 2 , B 3,4 5λ να είναι συμμε-

τρικά ως προς το σημείο Ο 0,0 .

Β) 2A λ ,4λ , 2Β λ 3, λ να είναι συμμετρι-

κά ως προς την ευθεία y x

Γ) A 4,3 , 2B 4, λ 1 να είναι συμμετρικά

ως προς τον άξονα x x .


13

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ-ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ

222. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= α x 3 . Nα βρε-θεί το α R ώστε η Cf να διέρχεται από το Μ(4,2)

223. Δίνεται η συνάρτηση f x 2x 1x 2

. Να

βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες y y , x x και την την ευθεία y 1

224. Δίνεται η συνάρτηση: f(x)=(3μ-1)x+2 με μ<0. Να βρεθεί το μ ώστε το Cf να τέμνει τους άξονες σε ση-

μεία που απέχουν απόσταση ίση με 5 .

225. * Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα είναι γραφική παράσταση συνάρτησης; Στις περιπτώσεις που είναι να σημειώσετε το πεδίο ορισμού και σύνολο τι-μών.

0x´

y´

y

x

x´

y´

y

x0 x´

y´

y

x0

x´

y´

y

x0x´

y´

y

x0

A. B.

Δ. Ε.Γ.

226. Να βρείτε τα κοινά σημεία τομής των γραφι-κών παραστάσεων των συναρτήσεων: Α). f(x) = x - 1 και g(x) = -x+ 1 Β) f(x) = x3 - x και g(x) = x2 - 1

227. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f(x)=x+2 , g(x)=-x+3, h(x)=2x+1 στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων και να υπολογίσετε το εμβα-δόν της περιοχής που περικλείεται από αυτές.

228. Nα κάνετε τη γραφική παράσταση της συ-

νάρτησης f(x)=x 4

0x 3

, x 1

, 1 x 2,x 2

229. Δίνονται οι συναρτήσεις:

f(x)=2x

1 2x

,,

x 0x 0

και g(x)=x+2 . Nα βρεθούν τα

σημεία τομής των Cf , Cg καθώς και η απόστασή των.

230. Εξηγήστε γιατί ο κύκλος δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.

ΕΥΘΕΙΕΣ

231. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ευθεία

y= 3 x+3 με τον άξονα xx΄

232. Δίνεται η ευθεία ε: y= 3 2 λλ 2 xλ λ

. Να

προσδιοριστεί ο λ ώστε η ε να είναι : Α) παράλληλη στην ευθεία y=-2 Β) παράλληλη στην ευθεία x y 5

Γ) κάθετη στην ευθεία 2y=-8x+1 Δ) να διέρχεται από το σημείο (3,-1)

233. Αν οι ευθείες ε1: y= 2λ 1 x λ και

ε2 : y=2λx είναι παράλληλες να δείξετε ότι οι ευθείες

ε3: y=2λ 3 x 14

και ε4: y=λ(1+x)+8, είναι κάθετες

ΑΡΤΙΕΣ ΠΕΡΙΤΤΕΣ

234. Σε κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις εξετάστε ποια είναι άρτια και ποια είναι περιττή. Α) f(x)= x 1 x 1 2

Β) f: (-1,2] R με f(x)= 3x x

235. Α) Έστω f , περιττή συνάρτηση. Να αποδεί-ξετε ότι αν f0 D τότε f 0 0

Β) Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή κάθε μια από τις συναρτήσεις:

Α) 1 x x 0

f x1 x x 0

Β)

3x 4f x

3x 4

x 0x 0

236. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι f 2 4 . Nα βρεθεί το f 2 αν γνωρίζετε ότι :

Α) η f είναι άρτια Β) η f είναι περιττή

237. Δίνεται συνάρτηση f : R R με την ιδιότη-

τα για κάθε x,y R ισχύει f x y f x f y . Δείξ-

τε ότι: f 0 0 και ότι η f είναι περιττή

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

238. Να βρείτε τη μονοτονία των συναρτήσεων

Α) f(x)=-2x+3 f(x)= 2 3x 1

Β) f(x)= 34x 1 f(x)= xx 1

στο ( ,1 )

239. Δίνεται η συνάρτηση: f(x)= (|λ| 3)x 10 .

Να προσδιοριστεί ο λ ώστε η f να είναι γν. αύξουσα.

240. Η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο

R με f(x)>0 για κάθε xR. Nα δείξετε ότι η 1g(x)f(x)

είναι γνησίως φθίνουσα στο R.



ΑΚΡΟΤΑΤΑ

241. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων

Α) f(x)=-2(x+1)2+3 f(x)=1+ 2x 3 Β) f(x)=x4+x2-1 f(x)=- x 5 +3

Γ) f(x)=1-(2x-4)4 f(x) 6 x 2

Δ) f(x)=-3x+4 αν έχει πεδίο ορισμού το Α=[-1,2].

ΚΕΦ2 - ΓΕΝΙΚΕΣ-

242. Να αποδείξετε ότι Α) μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση δεν μπορεί να είναι άρτια. Β) η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότο-νης συνάρτησης τέμνει τον x΄x σε ένα το πολύ σημείο

243. Για την ευθεία λ 4ε: y x 5λ-1

. Nα βρείτε:

Α) Τις τιμές του λ ώστε η ευθεία ε να είναι πα-ράλληλη προς την ευθεία δ: y 6x 1 .

Β) Τις τιμές του λ ώστε το σημείο A(2, 3) να

ανήκει στην γραφική παράστάση της ευθείας ε. Γ) Τις τιμές του λ ώστε η ευθεία ε να είναι πα-ράλληλη προς τον άξονα xx . Δ) Τα σημεία τομής της με τους άξονες.

244. Για ποιες τιμές του λ η ε1 : y= 3x λ 1 x5

είναι κάθετη στην ευθεία ε2: y= λ 3 λx2 3

.

245. Δίνεται η συνάρτηση 2x 2 x 1f x

2x 1 x 1

Α) Να λυθεί η εξίσωση f x 2f 2 0

Β) Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή Γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία της στο [1,+) Δ) Να γίνει η γραφική της παράσταση.

246. Έστω η συνάρτηση f(x)=λx+2, λ<0.Να βρείτε: Α) Τα σημεία τομής της γραφικής της παράστα-σης με τους άξονες. Β) Το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση και τους άξονες. Γ) Την τιμή του λ ώστε το εμβαδόν του παρα-πάνω τριγώνου να είναι 2 τετραγωνικές μονάδες.

247. Δίνεται η συνάρτηση f x λx 2 , λ 0 .

Να βρείτε: Α) Τα σημεία τομής της γραφικής της παράστα-σης με τους άξονες. Β) Το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση και τους άξονες. Γ) Την τιμή του λ ώστε το εμβαδόν του παρα-πάνω τριγώνου να είναι 2 τετραγωνικές μονάδες.

248. Να επιλυθούν γραφικά ανισώσεις: 2x 4 0 , 2x 4 0 , x 2 και x 2.

249. Δίνεται η συνάρτηση f x x 2 1

Α) Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή Β) Να βρείτε το ακρότατο της f Γ) Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία Δ) Να γραφτεί ο τύπος της χωρίς την απόλυτη τιμή Ε) Να γίνει η γραφική της παράσταση Στ) Να βρείτε –αν υπάρχουν- τα σημεία στα ο-ποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες Ζ) Να βρείτε τα σημεία τομής της συνάρτησης με την ευθεία y=3 Η) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που πε-ρικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτη-σης και την ευθεία y 3

Θ) Να δείξετε ότι το τρίγωνο αυτό είναι ισο-σκελές

250. Να προσδιοριστεί ο κ ώστε όταν η συνάρτη-

ση f(x)= 2(3κ 1)x παρουσιάζει ελάχιστο και η συνάρ-

τηση g(x)= 2(3 |κ 2|)x να παρουσιάζει για την ίδια

τιμή του x μέγιστο

251. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το R A) Να βρείτε το f(0) και f(1)

B) Να λύσετε την εξίσωση: f(x) 0

Γ) Να λύσετε την ανίσωση: f(x) 0

Δ) Να λύσετε την ανίσωση: f(x) 0

252.

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-2 -1 0 1 2 3 4 5


15

ΚΕΦ2 - ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

253. Δίνονται οι ευθείες : ε1: y 3λ(λ 1)x 12

και ε2: 1y x - 1

-3λ - 9 με λR

Α) Να ελέγξετε αν υπάρχει τιμή του λ για την οποία η ευθεία ε2 περνάει από την αρχή των αξόνων. Β) Να βρεθεί ο λR ώστε το σημείο Μ(-1,-6), να είναι σημείο της ευθείας ε1. Γ) Να αποδείξετε ότι οι ε1 και ε2 είναι κάθετες, στην περίπτωση που ο λ ισούται με την μεγαλύτερη από τις τιμές, που βρήκατε στο Β) ερώτημα. Δ) Να βρείτε την απόσταση των σημείων στα οποία η ε2 τέμνει τους άξονες, όταν ο λ ισούται με την μικρότερη από τις τιμές, που βρήκατε στο Β) ερώτημα.

254. Έστω μια συνάρτηση y=g(x), της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Πα-ρατηρώντας την γραφική παράσταση να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα Α). Ποιό είναι το πεδίο ορισμού της g; Β). Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της g (γνήσια αύξουσα, γνήσια φθίνουσα) Γ). Να βρείτε για ποιες τιμές του x ,η g παρου-σιάζει ακρότατα, και ποια είναι αυτά. Δ). Να ελέγξετε αν η g άρτια ή περιττή. Ε). Να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

g(2) g( 2) g( 3)

Στ). Είναι σωστό ότι g(0)>g(3); (γιατί;) Ζ). Για ποιες τιμές του x ισχύει ότι g(x)=1 ; Η). Για ποιες τιμές του x ισχύει ότι g(x) >1 ;

255. Δίνονται οι ευθείες (ε 1) : y = 2x – 3 ,

(ε2) : 2 3y λ x 24

, λR *.

Α. Να βρείτε το λ ώστε οι ευθείες να είναι κάθε-τες Β. Για το λ του Α ερωτήματος, να βρείτε : Το σημεία Α στο οποίο η ευθεία (ε 1) τέμνει τον άξονα y΄y και το σημείο Β στο οποία η (ε

256. Δίνεται η συνάρτηση f(x) x 1

Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της Β) Να αποδειχτεί ότι είναι άρτια Γ) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x x Δ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y y

257. Έστω η συνάρτηση f με

f(x) κ x+1 , x 1 , κ R .

A) Να βρεθεί η τιμή του κ ώστε το σημείο Α(3 , 8) να ανήκει στη γραφική παράσταση της f . Για την τιμή του κ που βρήκατε στο Α. ερώτημα : Β.1 Να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α(3 , 8) και Β(8 , f(8)) . Β.2 Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή .

258. Έστω η συνάρτηση f με |x 1| 2f(x)x 4

.

Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f . Β. Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες και σε ποια σημεία ; Γ. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης

9f( 1) 3f(7) 2f(12) f( 5)8

259. Δίνονται τα σημεία Α(κ, 2) και Β(1 , 2κ), κ R Α)) Να αποδείξετε ότι AB 5 κ 1

ΒΒ) Αν AB 5 να βρείτε τις τιμές του κ

Γ) Αν κ 0 να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξί-σωση y 2x 2 διέρχεται από τα σημεία Α και Β.

260. Δίνεται η συνάρτηση 210x 2 xf x

2 10 x

.

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f , Αf Β. Να δείξετε ότι f(x) = x, για κάθε xΑf

Γ. Να λύσετε την εξίσωση 2x 9x 2

= f(x) .

261. Δίνεται η συνάρτηση :

2

1 x αν x 0f(x)

x 6λ λ αν x 0

με λ R

Α) Να βρείτε το λ ώστε f 0 f 8

Β) Αν λ 3 τότε: α) Να βρείτε την απόσταση των σημείων

A 3, f(3) και B 5,f( 5)

β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστα-

σης P 2 2f 1 4 f 9 4

262. Δίνεται η συνάρτηση 31 x

f xx x

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο O 0,0


Μ. Παπαγρηγοράκης

263. Δίνονται οι ευθείες 1ε : 2y λ x 5 και

2ε : y 5λ 6 x 8 όπου ο λ R

Α) Να υπολογίσετε το λ ώστε οι ευθείες 1ε

και 2ε να είναι παράλληλες

Β) Για λ 2 α) να αποδείξετε ότι το σημείο A 1,1

είναι σημείο της ευθείας 1ε και ότι το σημείο

B 1,4 , είναι σημείο της ευθείας 2ε

β) να υπολογίσετε την απόσταση των ση-μείων A 1,1 και B 1,4

264. Δίνονται οι ευθείες: 1ε : y λ 4 x 11

και 2ε : y 11 2λ x 2 με λ R .

Α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε οι 1ε και

2ε να είναι παράλληλες.

Β) Για λ 5 α) Να γράψετε τη μορφή που παίρνουν οι 1ε

και 2ε

β) Αν A είναι το σημείο στο οποίο η 1ε τέ-

μνει τον άξονα x x και B το σημείο στο οποίο η 2ε

τέμνει τον άξονα y y , να βρείτε την απόσταση AB

265. Δίνεται η συνάρτηση 1f xx 4 x

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Να αποδείξετε ότι είναι περιττή Γ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

2 2f(2) 1 f( 2) 1

266. Δίνεται η συνάρτηση 2

2x 3 , x 2f(x)

2x ,x 2

.

Να λυθεί η ανίσωση: f(2)x 3 f(1)4


2

1 x αν x 0f(x)

x 6λ λ αν x 0

με λ R

Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε f(0) f 8

Β) Αν λ 3 τότε: α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστα-

σης 33 f 18

β) Να βρείτε την απόσταση των σημείων 3,f 3 και 0,f 0


1xxf x

x 1

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να α-πλοποιήσετε τον τύπο της Β) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή Γ) Να λύσετε την ανίσωση f x 1

269. Δίνεται η συνάρτηση 2|x| 3f(x)x 9

Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f Β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι άρτια. Γ. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης f(2008) f( 2008)

270. Δίνονται οι ευθείες 1ε : 2y λ 6 x 5

και 2ε : y 5λx 8 με λ R

Α) Να βρείτε –αν υπάρχει- τιμή του λ ώστε η

1ε να διέρχεται από το σημείο 2,4

Β) Να βρείτε το λ ώστε οι ευθείες 1ε και

2ε να είναι παράλληλες

Γ) Αν λ 3 να βρείτε τα σημεία στα οποία η

2ε τέμνει τους άξονες

271.

272.

273. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Δίνεται ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 20 cm και το μέσον Ο της ΑΔ. Ένα κινητό σημείο Μ ξεκινά από το Α και, δια-γράφοντας την πολυγωνική γραμμή ΑΒΓΔ, καταλήγει στο Δ. Αν με x συμβολίσουμε το μήκος της διαδρομής που έκανε το κινητό Μ και με f(x) το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου,

Α) Να βρείτε τον τύπο της f και να την παραστήσετε γραφικά Β) Να βρείτε την τιμή του x για την οποία ισχύει f(x) 120 cm2 .

Δ A Δ A Δ

Γ Β Γ Β Γ Β

Ο Ο Ο

Μ

Μ

Μ

A



ΚΕΦ3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ- ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

274. Δίνεται το σύστημα: λx y λ 1x 2λy λ

, λ R

Α) Να λυθεί το σύστημα Β) Να υπολογίσετε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε για τη λύση του συστήματος (x,y) που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα να ισχύει: x y 0


2

1 x αν x 0f(x)

2x λ 3 αν x 0

με λ R

Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε f(0) 1

Β) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρ-τησης f στην περίπτωση που ο λ ισούται με την μεγαλύ-τερη από τις τιμές που βρήκατε στο α) ερώτημα. Γ) Για την συνάρτηση f του β) ερωτήματος: α) να βρεθούν τα f( 2) , f(3, 5) ,

β) Να λύσετε το σύστημα : f( 2)x 4y 126x f(3,5)y 10

276. Να λύσετε το (Σ): 7|x 2| |3 y| 313|x 2| 4|3 y| 0

277. Δίνεται το (Σ):

μ 2 x 5y 5 x μ 2 y 5

, μ R

Α) Να βρείτε την ορίζουσα του συστήματος (D)

καθώς και τις ορίζουσες xD και yD του συστήμα-

τος. Β) Για ποιες τιμές του μ έχει άπειρες λύσεις Γ) Για ποιες τιμές του μ έχει μοναδική λύση Δ) Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση o ox ,y ,

να βρείτε τη λύση αυτή. Ε) Να υπολογίσετε τις τιμές του πραγματικού αριθμού μ ώστε για τη λύση του συστήματος o ox ,y ,

του δ) ερωτήματος, να ισχύει: ο o2x y 5

278. Δίνεται ένα σύστημα (Σ) 2 γραμμικών εξι-σώσεων με 2 αγνώστους x και ψ και D , Dx , Dψ οι ορίζουσες του συστήματος οι οποίες ικανοποιούν το παρακάτω σύστημα : Σ1: D.Dx + Dψ = 0 Dx + D.Dψ = 0 Α) Να λύσετε το Σ1 , με αγνώστους τους Dx , Dψ Β) Να λύσετε το (Σ) .

279. Δίνεται το (Σ) (λ 1)x y 2

, λ Rx (λ 1)y 2

Α) να λύσετε το σύστημα (Σ) για κάθε λ στο R Β) Στην περίπτωση που το (Σ) έχει μοναδική

λύση (χο,y0) και ισχύει 4 20 0x y 2 να βρεθεί το λ στο R.

280. Δίνεται το σύστημα: μ - 2) x + 5y = 5 x + μ + 2) y = 5 Α) Αποδείξτε ότι το σύστημα αυτό έχει μία λύση για οποιαδήποτε πραγματική τιμή του μ εκτός του 3 και του -3. Β) Να λύσετε το παραπάνω σύστημα, όταν: α) μ = 3 β) μ = - 3

281. Δίνεται το σύστημα (Σ): x 2y 63x y λ

Α) Αποδείξτε ότι έχει μοναδική λύση 0 0x ,y .

Β) Για ποιες τιμές του λ ισχύει : 0 0x y 0

282. Δίνεται το σύστημα 2λ x y 1 0

(Σ) : 2x y 1

λ R

Α) Να υπολογίσετε τις ορίζουσες x yD, D , D του

συστήματος (Σ) .

Β) Για ποιες τιμές του λ R το σύστημα (Σ)

έχει μοναδική λύση; Ποια είναι αυτή; Γ) Αν λ 1 , ποια είναι η σχετική θέση των ευ-θειών που αντιστοιχούν στις εξισώσεις του (Σ) ;

283. Να σχηματιστεί εξίσωση δευτέρου βαθμού

με ρίζες x1 , x2 ώστε :

1 2 1 2

1 2 1 2

λx x λ+1 x x 2λ-1 x x λ x x 3

284. Δίνεται το σύστημα 2

1λx y λ Σx λy 1

και τα

τριώνυμα 2 2f x x 3x λ, g x x λx 3 .

Α. Να βρεθεί το λ ώστε το σύστημα να έχει μο-ναδική λύση, η οποία να υπολογιστεί συναρτήσει του λ. Β. Εάν η μοναδική λύση του παραπάνω συστή-ματος είναι 0 0x , y και ισχύει 0 0x 3y 3 0 , να

λυθεί η ανίσωση f x g x .

Γ. Βρείτε τη λύση του γραμμικού συστήματος

1 x 2 x yD λ D λ D D 0 όπου 1λ και 2λ είναι

οι τιμές για τις οποίες το 1Σ είναι αδύνατο και έχει

άπειρες λύσεις αντίστοιχα.

285. Ένας κτηνοτρόφος έχει στη στάνη του 50 ζώα, πρόβατα και κότες. Αν όλα τα ζώα έχουν 164 πό-δια, πόσα χρήματα θα εισπράξει αν πουλήσει τα μισά πρόβατα προς 200 ευρώ το καθένα και το 1/3 από τις κότες προς 20 ευρώ τη κάθε μία.



ΚΕΦ4 ΓΕΝΙΚΕΣ - ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

286. Δίνεται η εξίσωση λx2–(λ–1)x+2λ–2=0 (1),λR Α. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να έχει 2 πραγματικές και ίσες ρίζες Β. Αν 4λ 1 και x 1 , x 2 είναι οι ρίζες της εξί-σωσης (1), να βρείτε την τιμή της παράστασης:

2 21 2 1 2

1 2

6 6A x x x xx x

287. Δίδονται τα τριώνυμα Ρ(x) = – x 2 + 4x – 4 , Q(x) = x 2 + 1 , K(x) = x 2 – 5x + 6 . Α. Να βρεθεί το πρόσημο σε κάθε ένα από τα παραπάνω τριώνυμα για κάθε xR

Β. Να λυθεί η ανίσωση Ρ(x) Q(x) 0K(x)

288. Δίνεται η εξίσωση α x2 + ( α +β)x +β = 0 με α>0, β R .

α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για όλες τις τιμές των α , β β. Αν 1x , 2x είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης να

αποδείξετε ότι 1 2 1 2x x x x 1

γ. Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός

α ,με α 1 ,να αποδείξετε ότι β = α

289. Δίνεται η συνάρτηση

2 2f x 2x λ 1 x κ 2κ , x R και κ, λ R .

Γνωρίζουμε ότι για x 1 η f έχει ελάχιστο το 3 . Α. Να βρείτε τα κ και λ Β. Αν κ 1 και λ 3 τότε:

α) Να λυθεί η εξίσωση 2 2f x 2x 2x f x

β) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

g με 2g x x f x 4

290. Δίνεται η εξίσωση 2λx (λ 1)x λ 1 0 ,

λ 0 Α) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και ίσες Β) Για τις τιμές του λ που βρήκατε στο Α) ερώ-τημα, να αποδείξετε ότι οι ευθείες y (2λ 1)x 2 και

y 3λ(λx 1) είναι παράλληλες

291. Οι αριθμοί ρ1 και ρ2 είναι οι ρίζες εξίσωσης 2ου βαθμού με S = ρ1+ρ2, P=ρ1ρ2 τέτοια ώστε Ρ+2S = 2 και Ρ 2S = 10. Α. Να δείξετε ότι S = 3 και Ρ = 4 Β. Να βρείτε την εξίσωση x2+κx+λ = 0 που έχει ρίζες τους ρ1+2 και ρ2+2 Γ. Να λύσετε την ανίσωση x2+κx+λ 0

292. Έστω η εξίσωση

2λ 2 x 2λx 3λ 0 με λ 2

Α) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει ρίζα το 1; Β) Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες; Γ) Αν 1 2ρ , ρ είναι οι δύο οι ρίζες της παραπά-

νω εξίσωσης να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε για αυτές να ισχύει η ανίσωση: 1 2 1 2ρ ρ 2ρ ρ

293. Έστω 2f x (λ 2)x 2λx 3λ , λ 2

Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση f(x) 0 αληθεύει για όλες τις πραγματικές

τιμές του x Β) Αν λ 4 να λύσετε την εξίσωση

f x 8x 18

294. Δίνεται συνάρτηση f με 2f(x) x 42x

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

Β) Να λυθεί η εξίσωση 2 2x f(1) x f(1) 2004

295. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες

η ανίσωση: 22λx (5λ 2)x 4λ 1 0,λ 0 , αληθεύει

για όλες τις πραγματικές τιμές του x.

296. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (λ1)x2 λ2x + 3 με λIR.+, της οποίας η γραφική παράσταση είναι μια παραβολή που περνά από το σημείο Α(1,0) Α. Να βρείτε το λ Β. Για την τιμή λ=2 να μελετήσετε την συνάρ-τηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα, Γ. Να σχηματίσετε την εξίσωση που έχει ρίζες

τις ρ1=1

1x

, ρ2=2

1x

, όπου x1, x2 οι ρίζες της f(x)=0.

297. Έστω η συνάρτηση 2f(x) x (λ-1)x-λ

Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η f να έχει δύο ρίζες άνισες Β) Αν x1, x2 ρίζες της συνάρτησης f να βρεθεί η

τιμή του λ R ώστε: 1 2

1 1 1x x

Γ) Να λυθεί η ανίσωση d(x, λ) 5-λ όταν η f

έχει μία διπλή ρίζα

298. Δίνεται η συνάρτηση : 2x 6f x

x x 6

Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της . Β) Να βρεθούν τα σημεία τομής Α , Β της fC

με τους άξονες x x και y y .

Γ) Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΒ .


19

299. Δίνεται το τριώνυμο

2f x λ 2 x 2 λ x λ με λ R 2 .

A) Να βρείτε το λ , ώστε το τριώνυμο f(x) να

έχει ελάχιστο στο 2 . B) Αν λ 4 και 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσω-

σης f x 0 , να λύσετε την ανίσωση 1 2

f x 2 x x8x

300. Δίνονται οι Α(x) = x2 4, Β(x) = 2x2+3x2. Α. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α(x) και Β(x) Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να α-

πλοποιήσετε την παράσταση (x 2)Β(x)

f xΑ(x)

Γ. Να λύσετε την ανίσωση f(x) 0

301. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=κx2-x+κ , κ R A) Αν k 0 ,για ποιες τιμές του κ, η συνάρτηση f γράφεται σαν τέλειο τετράγωνο ;

B) Για κ=0 να λυθεί η ανίσωση 100f(x)x

Γ α. Bρείτε την τιμή κ R ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Μ(1,3). β. Για την τιμή του κ που βρήκατε στο ερώ-τημα (α) να βρείτε, αν υπάρχουν, τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες.

302. Έστω η εξίσωση 2x λx λ-1 0 με λ 2 . Α) Να αποδείξετε ότι έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες 1 2x ,x .

Β) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις 1 2x x και

1 2x x .

Γ) Να βρείτε το λ ώστε: 21 2 1 2x x 5 2 x x

303. Δίνεται η εξίσωση 2x x λ-1 0 (1) με ρίζες 1 2x , x .

A) Να βρείτε για ποια τιμή του λ είναι: 1 2 1 2x x 3 x x 5 0

Β) Για την τιμή αυτή του λ να λυθεί η (1) Γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε να σχηματί-σετε άλλη εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες

2 21 1 2 2ρ x , ρ x

304. Δίνεται η παράσταση 2

23x 3x 2Α2x x 3

A Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α B Να απλοποιηθεί η παράσταση Α Γ Να λυθεί η ανίσωση Α 1

305. Έστω η συνάρτηση 2f(x) x (λ-1)x-λ

Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η f να έχει δύο ρίζες άνισες Β) Αν x1, x2 ρίζες της συνάρτησης f να βρεθεί η

τιμή του λ R ώστε: 1 2

1 1 1x x

Γ) Να λυθεί η ανίσωση d(x, λ) 5-λ όταν η f

έχει μία διπλή ρίζα

306. Δίνεται η εξίσωση 2 2x (α 1)x α 0 ,

α R (1)

Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει δύο ρί-ζες άνισες για κάθε τιμή του α . Β) Αν 1 2x ,x είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1):

α) να βρείτε τις τιμές του α ώστε,

1 2x x 2005

β) για α 2 , να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες 1 2x 2 και x 2

307. Δίνεται η συνάρτηση

2 2f x 2x λ 1 x κ 2κ με x R και κ, λ R

παράμετροι. Γνωρίζουμε ότι για x 1 η f έχει ελάχι-στο το 3 Α. Να βρεθούν τα κ και λ Β. Να λυθεί η εξίσωση f x 1 4x 2 .

Γ. Να βρεθεί για ποιες τιμές του x ορίζεται η

συνάρτηση 2g x x f x 4 .

Δ. Εάν α, β είναι οι τετμημένες των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της g τέμνει τον x x με α β , θεωρούμε τα σημεία Μ 1, β , Ν 10, 2α

Δείξτε ότι το τρίγωνο ΟΜΝ είναι ορθογώνιο.

Ε. Να λυθεί η ανίσωση 2

1 14f x 3

.

308. Έστω η εξίσωση: 2λ-2 x 2λx λ 2 0 με

λ R 2 .

Α) Δείξτε ότι για κάθε λ R 2 η παραπάνω

εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις. Β) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε 1 2x x 3

όπου 1 2x ,x οι άνισες ρίζες της παραπάνω εξίσωσης.

Γ) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε το τριώνυμο

f(x) 2λ-2 x 2λx λ 2 με λ R 2 να έχει ελά-

χιστο το 2.

309. Να λυθεί το σύστημα: 2

2

x 4 0

x 7x 6 0



310. Έστω η εξίσωση : 28λ-6 x 8λx 1 0 1

Α) Για ποια τιμή του λ η 1 είναι δευτέρου

βαθμού; Β) Για ποιες τιμές του λ η 1 έχει μία διπλή

ρίζα;

311. Έστω οι συναρτήσεις: 2f(x) (λ 1)x 4λx 3 και 2g(x) x 4μx μ με

μ 0

Α) Να βρεθεί η τιμή του λ R ώστε η γραφική παράσταση της f να είναι ευθεία Β) Να βρεθεί η τιμή του μ R ώστε η γραφική

παράσταση της g να εφάπτεται στον άξονα x x΄ Γ) Για τις τιμές των λ , μ που βρήκατε να βρείτε τα κοινά σημεία των f gC ,C

Δ) Να βρεθούν τα σημεία που τέμνει η Cf τους άξονες x x΄και y y΄ και να βρεθεί το μήκος της υποτεί-νουσας του ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζεται

312. Έστω η εξίσωση 2 2x 3x μ =0, μ R (1)

Α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει δύο

ρίζες άνισες για κάθε μ R

Β. Αν 1 2ρ ,ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1) , να

βρείτε για ποιες τιμές του μ :

α) η παράσταση 1 2 1Α ρ μ+ρ (μ ρ ) παίρνει το

πολύ την τιμή 2

β) οι ευθείες 21 1ε : y ρ x 2006 και

22 2ε : y (27 ρ )x 2007 είναι παράλληλες

313. Δίνεται η ευθεία ε με εξίσωση ax y 4 η

οποία διέρχεται από το σημείο M( 1, 6) .

Α) Να βρεθεί η τιμή του α Β) Να βρεθούν τα κοινά σημεία της ευθείας ε με τους άξονες Γ) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ε Δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ευθείας ε με

την παραβολή 2 13 17y x x4 4


2

x αν x 1f x 1 αν x 1

x

Α) Να βρείτε τα f 3 , f 1 , 1f2

και f 2

Β) Να υπολογίσετε την απόσταση των σημείων 1,f 1 και 2,f 2

Γ) Να βρείτε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με

ρίζες τους αριθμούς f 1 και 1f2

315. Δίνεται ο πραγματικός αριθμός λ και η εξί-

σωση 2x 1 λ x 1 0 , η οποία έχει δύο ρίζες

πραγματικές και άνισες, τις 1x και 2x

Α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία παίρνει τιμές ο λ Β) Να λύσετε την ανίσωση

2 21 2 1 2 1 2x x 1 x x 2x x 0 , ως προς λ

316. Δίνονται τα τριώνυμα: 2P x x 5x 4 ,

2Q x 9 x και 2K x x x 1 .

Α) Να λύσετε κάθε μια από τις ανισώσεις: P x 0 , Q x 0 και K x 0

Β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

K 1f x P xQ x

317. Δίνεται η εξίσωση: x2 – (λ – 3 )x + 2 λ – 4 = 0 Α) Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της συναρτήσει του λ Β) Να βρείτε το λ, ώστε να ισχύει η σχέση :

1 2

1 1 1ρ ρ λ

, όπου ρ1 , ρ2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης

318. Δίνεται η συνάρτηση 24 xf x

x 2

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Να εξετάσετε αν έχει, άξονα συμμετρίας τον άξονα y y , ή κέντρο συμμετρίας το O 0,0 .

Γ) Να εξετάσετε αν η ευθεία y x 3 1 διέρ-

χεται από το σημείο 1,f 1


2x 16f xx 4x

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να α-πλοποιήσετε τον τύπο της Β) Να λύσετε την εξίσωση f x 2

Γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ι-

σχύει 0 f x 2


2

x x 2 4f(x)

x 6x 8

Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της A

Δ2. α. Να αποδείξετε ότι: 2x x 2 0 , για κάθε πραγματικό αριθμό x (Μονάδες 5) β. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης

f απλοποιείται στη μορφή x 1f(x)x 4

, x A

Δ3. Να λύσετε την ανίσωση f(5)x f(x)2

Documents

Mathimatika a Lykeiou