Mathématique 306 Chapitre 1 LES NOMBRES

Section 1.1 La racine cubique, la notation exponentielle et les

lois des exposants

Section 1.2

La notation scientifique

Section 1.3

Les ensembles de nombres

Cahier des

tâches

Septembre

2015

Nom : ___________________________________

Groupe : 31 32 33 34

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3

SECTION 1.1

LA RACINE CUBIQUE, LA NOTATION EXPONENTIELLE ET LA LOI DES EXPOSANTS LA RACINE CUBIQUE

Le symbole 3 signifie racine cubique. Extraire la racine cubique consiste à chercher le

nombre qui, multiplié trois fois par lui-même, donne le nombre qui se trouve sous le radical. Il

s’agit de l’opération inverse d’élever au cube.

L’expression 3 a se lit « racine cubique de a ».

L’expression a3 se lit « a au cube ».

Si xa 3 , alors ax 3 .

Les nombres cubiques sont : 1, 8, 27, 64, 125, 216, … Exemple :

51253 , puisque 12553 .

Exemple :

Calcule :

a) √273

= __________

b) √1253

= _________

c) √10003

= _________

d) √13

= ________

e) √273

= ________

f) √203

= _________

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LES EXPOSANTS FRACTIONNAIRES

Il est possible de représenter les racines carrées et cubiques, et même les racines énièmes,

par des exposants fractionnaires de forme n

1. Ainsi, pour tout nombre a positif :

Exemple :

Calcule

a) 2161/3 = _________

b) 641/3 = _________

c) 251/2 = _________

d) 3431/3= _________

e) 811/2= _________

f) 161/2 = _________

g) 331/3= _________

2

1

a est équivalent à a

3

1

a est équivalent à 3 a

na1

est équivalent à n a

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NOTATION EXPONENTIELLE L’exponentiation est l’opération qui consiste à affecter une base d’un exposant afin d’obtenir une

puissance : baseexposant = puissance. Par exemple, dans l’expression 45 = 1024, la base est 4,

l’exposant est 5 et la puissance est 1024.

Notation et signification Exemple

Pour une base a et un exposant entier m > 1 :

𝑎𝑚 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 ×…× 𝑎⏟ 𝑚 fois

L’exposant m indique le nombre de fois que la base a apparaît comme facteur dans un produit.

37 =

Pour une base a et l’exposant 1 :

a1 = a -5,71 =

Pour une base a ≠ 0 et l’exposant 0 :

a0 = 1 18,20 =

Pour une base a ≠ 0 et l’exposant entier m < 0 :

𝑎-m =1

𝑎m 5-3 = =

Pour une base a > 0 et l’exposant 1

2 :

𝑎12 = √𝑎

2512 = =

Pour une base a et l’exposant 1

3 :

𝑎13 = √𝑎

3 64

13 = =

Exemple : Calcule

a) 45 = __________

b) 271 = __________

c) 330 = __________

d) 2-2 = __________

e) 161/2 = __________

f) 271/3 =__________

g) 15780 = __________

h) _________ = __________

i) _________ = __________

j) _________ = __________

k) _________ = __________

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LES LOIS DES EXPOSANTS Voici des lois qui facilitent le calcul d’expressions comprenant des exposants. Ces lois

s’appliquent aussi aux exposants négatifs.

Loi

Exemple Produit de puissances de même base

Le résultat est la base affectée de la somme des exposants des

puissances.

a m x a n = a m + n

Quotient de puissances de même base

Le résultat est la base affectée de la différence des exposants

des puissances (exposant du dividende moins exposant du

diviseur). a m + a n = a m – n

a ≠ 0

Puissance d’une puissance

Le résultat est la base affectée du produit des exposants.

(a m )n = a mn

D’autres lois des exposants Ce tableau présente deux nouvelles lois des exposants. Il reprend également la loi du calcul d’une puissance d’une puissance que tu as vue à la page 12, mais en y ajoutant cette fois un exemple avec des exposants fractionnaires.

Loi Exemples Puissance d’une puissance Le résultat est la base affectée du produit des exposants.

mnnm aa )(

Puissance d’un produit La puissance d’un produit est égale au produit des puissances de même exposant.

mmm baba )(

Puissance d’un quotient La puissance d’un quotient est égale au quotient des puissances de même exposant.

m

mm

b

a

b

a)(

0b

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1.2 NOTATION SCIENTIFIQUE

LA NOTATION SCIENTIFIQUE

C’est une façon d’écrire les nombres qui sont très petits ou très grands.

Par exemple, on peut écrire que 30 000 = 3 × 10 000 = 3 × 104

Cette dernière façon est la notation scientifique. Il suffit de repérer le premier chiffre significatif

multiplié par une puissance de 10.

Donc, 1200 = ___________________

Pour vous aider voici un tableau

En transcrivant le nombre dans ce tableau, comment s’écrit 4 620 000 en notation scientifique?

__________________________

Et comment serait 0,00034? _________________________

… 106 105 104 103 102 101 100 , 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 …

Premier facteur (appelé « la mantisse »)

Nombre décimal supérieur ou égal à 1, mais inférieur à 10, formé de chiffres

significatifs.

Deuxième facteur

Puissance de 10 en notation exponentielle, qui

indique l’ordre de grandeur du nombre.

3,05 X 106

Premier chiffre

significatif non nul Autres chiffres

significatifs

conservés

►Si le nombre initial est supérieur à 1, l’exposant est positif. ►Si le nombre initial est compris

entre 0 et 1, l’exposant est négatif.

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Autres exemples :

a) 0,000 000 000 036 _____________ g) -0,000 000 679 5 _______________ b) -256 700 000 000 ______________ h) 4 000 000 000 _______________ c) 0,000 007 _______________ i) 600 000 _______________ d) 34 000 000 000 000 _____________ j) -675 895 000 __________ ____ e) -0,000 000 002 567 _____________ k) 0,000 000 000 4 ______________ f) 7000 _____________ l) 0,004 ______________ Sachant que le tableau indique la position de chacun des chiffres, on fait la même chose lorsqu’on veut écrire en notation décimale un nombre déjà en notation scientifique. Donc 3 x 10-5 = 0,00003 Exemples :

a) 11106,5 _________________ d)

91032,7 _________________

b) 810967,8 _________________ e)

1210534,2 _________________

c) 510778,8 _________________ f)

610234,8 _________________

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Les calculs avec des nombres exprimés en notation scientifique

La notation scientifique facilite le calcul d’expressions qui comprennent de très grands

nombres et de très petits nombres.

Voici les étapes de la multiplication de 2,5 x 108 et 4,8 x 105.

Par commutativité de la multiplication, regrouper les

mantisses ensemble et les puissances de 10

ensemble.

Par associativité de la multiplication, calculer le

produit des mantisses et des puissances de 10.

Exprimer le résultat en notation scientifique.

On procède de façon similaire pour calculer le quotient de deux

nombres exprimés en notation scientifique.

Voici les étapes de la division de 2,7 x 1012 et 3 x 104.

Par associativité, regrouper les mantisses

ensemble et les puissances de 10 ensemble.

Calculer le quotient des mantisses et des

puissances de 10.

Exprimer le résultat en notation scientifique.

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1.3 L’ENSEMBLE DES NOMBRE

LES ENSEMBLES DE NOMBRES Le tableau suivant présente les ensembles de nombres de façon détaillée.

Ensemble

de nombres

(symbole)

Définition

Exemple

Nombres

naturels

( )

Nombres qui servent à

dénombrer :

Nombres

entiers

( )

Nombres naturels et leurs

opposés :

Nombres

rationnels

( )

Nombres qui peuvent

s’exprimer comme

le quotient de deux

nombres entiers :

Nombres

irrationnels

( )

Nombres qui ne peuvent pas

s’exprimer comme le quotient de

deux nombres entiers,

possèdent une suite de décimales

infinie et non périodique. On ne

peut pas les représenter de façon

précise à l’aide de la notation

décimale.

Nombres

réels

( )

Ensemble qui correspond à

l’union des nombres

rationnels et des nombres

irrationnels.

Ce diagramme illustre la relation entre les ensembles de nombres.

Il est impossible d’écrire la suite de décimales d’un nombre irrationnel, car celle-ci est infinie et non périodique. C’est pourquoi on désigne les nombres irrationnels à l’aide de symboles comme

ou

Pièges et astuces

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Voici des symboles couramment utilisés en notation ensembliste.

Symbole (signification)

Exemple

(est élément de)

Le nombre 3 est élément de (ou appartient à) l’ensemble .

(n’est pas élément de)

Le nombre 4

3 n’est pas élément de (ou n’appartient pas à) l’ensemble .

+ (positif)

+ Tous les éléments de qui sont positifs.

- (négatif)

Tous les éléments de qui sont négatifs.

* (non nul)

(le symbole se lit « étoilé ») Tous les nombres naturels sauf 0.

= {1,2,3,4, …}

´

(est complément de)

(le symbole se lit « prime »)

Tous les éléments qui n’appartiennent pas à l’ensemble . est complément

de , car il représente tous les nombres qui ne sont pas rationnels.

(union)

Union des éléments des ensembles et pour n’en former qu’un seul, soit

.

(intersection)

L’intersection de et de correspond à l’ensemble des éléments communs

aux deux ensembles. Or, aucun élément n’appartient à la fois à et à . Le résultat de l’opération est donc l’ensemble vide : { }.

Remarque : On dit que deux ensembles sont égaux lorsqu’ils sont composés de tous les mêmes éléments. On utilise le symbole d’égalité (=) pour les associer.

Opéra

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