Mathématiques :
Table des matières
1 Nombres et calcul : les ensembles de nombres 2 1.1 Les ensembles
de nombres N, Z, D, Q et R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 3
1.2 Calculer sur les nombres relatifs, sur les fractions et les
puissances . . . . . . . . . . . . . 5
2 Le calcul élémentaire et son enseignement 5
2.1 Enseigner les quatre opérations et leurs algorithmes de
résolution . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Fractions et décimaux à l'école primaire . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Les systèmes de numération 13
3.1 Approche historique de la numération . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Numération de position en base quelconque . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 D'autres systèmes utilisés aujourd'hui . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Arithmétique des entiers naturels 19
4.1 Multiples et diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Nombres premiers et critères de divisibilité . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Multiples et diviseurs communs à deux nombres . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Géométrie plane : rappels 21
5.1 Cercle et disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3 Polygones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.4 Quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.2 Programme de construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 28
7 Géométrie du triangle 28
7.1 Triangles superposables et triangles semblables . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.2 Théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 30 7.3 Théorème de Pythagore . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 32
7.4 Rappels sur la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 1
M1 - MEEF 1 Nombres et calcul : les ensembles de nombres
1 Nombres et calcul : les ensembles de nombres
Ce chapitre a comme objectif principal de faire le point sur les
ensembles de nombres (N, Z, D, Q, R) et leurs relations.
Les nombres entiers naturels sont l'ensemble de nombres le plus
simple à concevoir et à construire. On les nomme nombres entiers
naturels et on les désigne collectivement à l'aide du symbole N. Ce
sont les nombres que l'on utilise spontanément pour compter des
objets.
Historiquement, ce sont les premiers nombres à avoir été utilisés,
puis étudiés par les mathématiciens. On a toujours eu besoin de
dénombrer dans la vie de tous les jours : les collections obtenues
sont parfois représentées par des suites d'entailles sur des os, du
bois. . . Des techniques corporelles de dénombrement se mettent
ensuite en place, par exemple sur les doigts. La notion de
succession apparaît progressivement et une succession de termes est
utilisée pour dénombrer. Le nombre est ensuite associé à une
collection d'objets, indépendamment de l'ordre de comptage.
Les premiers systèmes écrits de numération apparaissent dès 4000
avant notre ère : les sumériens utilisent des calculi (cailloux ou
billes d'argile) pour désigner les diérents nombres en s'appuyant
sur un système de numération en base 60 1. L'invention du zéro est
beaucoup plus récente : il apparaît tout d'abord comme symbole pour
noter l'absence d'unité d'un certain ordre. Le zéro comme nombre à
part entière apparaît autour du Ve siècle en Inde, à peu près en
même temps que la numération indienne, qui deviendra le système
décimal utilisé aujourd'hui : le système de numération
indo-arabe.
Dénition : Pour dénir les nombres entiers naturels, on peut
utiliser une méthode intuitive. Le zéro (dont le symbole est 0 )
est le premier entier naturel. Pour obtenir un nouvel entier
naturel, il sut ensuite d'ajouter 1 à un entier existant. En
partant du zéro, on obtient 0 + 1 = 1 : 1 est donc un entier
naturel. 1+1 = 2, donc 2 est un entier naturel, 2+1 = 3, donc 3 est
un entier naturel, et ainsi de suite 2.
Il est important de distinguer nombre et chire : le chire est un
symbole, une représentation du nombre. Un nombre est donc composé
d'un ou plusieurs chires, tandis qu'un chire est seulement un
symbole graphique. Les chires 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 sont des
signes, des conventions qui permettent de représenter les diérents
nombres.
On distingue deux aspects importants du nombre, l'aspect cardinal
et l'aspect ordinal. Le premier correspond à l'idée de taille , le
second à celle de position .
Par cardinal, on désigne la propriété d'un ensemble d'objets
désignant sa taille : quatre est ainsi le cardinal des ensembles
correspondants au nombre des saisons, aux points cardinaux, au
nombre de couleurs dans un jeu de cartes, etc. En français, les
déterminants numéraux cardinaux désignent une quantité : un ,
quatre-vingt , mille-et-une , douze millions . . .
Par ordinal, on désigne le rang d'un objet dans une collection,
c'est-à-dire dans un ensemble. En français, les adjectifs ordinaux
désignent la position d'un objet pris dans un groupe : le premier ,
le quatre- vingtième . . .
Il faut bien maîtriser ces deux aspects cardinal et ordinal du
nombre. Au-delà du concours - où ils sont importants - ils jouent
un rôle crucial à l'école maternelle, c'est-à-dire au tout début de
l'apprentissage des nombres entiers. Les enfants commencent par
évoquer des quantités, puis des rangs dans une liste ordonnée.
C'est alors qu'est apprise la comptine orale des nombres : un,
deux, trois, quatre ...
Il est cependant dicile d'estimer la maîtrise qu'ont les enfants
des nombres. Utiliser des mots-nombres ne signie pas nécessairement
que les aspects cardinal et ordinal du nombre sont compris. Un
élève peut savoir réciter mécaniquement la comptine numérique sans
savoir compter. Le professeur doit donc mener une étude
systématique des nombres et présenter des problèmes variés :
construire des collections de même taille, dénombrer des
collections, se souvenir de la position d'un objet dans une liste,
comparer des
1. Voir la suite du cours p. 15 2. On sent intuitivement que
l'ensemble des entiers naturels est inni. En eet, on ne peut penser
qu'il existe un plus
grand entier naturel . La dénition que nous avons proposée nous
permet d'aller un peu plus loin : si n est un entier naturel, alors
n + 1 l'est aussi. S'il existait un entier naturel a qui soit le
plus grand , alors a + 1 serait lui aussi un entier naturel, ce qui
est une contradiction.
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 2
M1 - MEEF 1 Nombres et calcul : les ensembles de nombres
collections, compléter des collections, trouver la quantité obtenue
après ajout ou soustraction d'objet, déplacer des pions sur une
piste graduée.
⇒ Pour approfondir, voir par exemple Michel Fayol, L'acquisition du
nombre, Paris, PUF, 2012, en particulier les pages 55 à 72.
1.1 Les ensembles de nombres N, Z, D, Q et R
Reprenons l'ensemble des entiers naturels N. Pour indiquer qu'un
élément appartient à cet ensemble, par exemple 4 est un entier
naturel , on écrit 4 ∈ N.
L'ensemble des entiers naturels possède plusieurs propriétés
:
Tout nombre possède un successeur (soit le nombre a ∈ N, alors a+ 1
∈ N) Cet ensemble est donc inni (on ne trouve pas un nombre n plus
grand que tous les autres). Entre deux nombres a et b donnés, il
n'existe qu'un nombre ni d'entiers naturels.
Cet ensemble contient une innité de nombres, mais cela ne signie
pas qu'il contient tous les nombres. On remarque rapidement des
phénomènes surprenants : toute addition de nombres entiers
appartient à l'ensemble des nombres entiers, par exemple
3 + 5 = 8 (et 8 ∈ N)
Cette observation n'est cependant pas vraie pour la soustraction
:
6− 4 = 2 ∈ N,
mais 4− 6 = (−2) /∈ N.
De même, si toute multiplication de nombres entiers donne bien un
nombre entier (∀ a, b ∈ N : a×b ∈ N), ce n'est pas le cas de la
division :
6÷ 2 = 3 ∈ N,
mais 2÷ 6 = 1 3 /∈ N.
Les nombres négatifs, certaines fractions ou racines carrées sont
donc bien des nombres, mais qui n'appar- tiennent pas à l'ensemble
des entiers naturels. On va ainsi dénir de nouveaux ensembles, qui
contiennent l'ensemble des entiers naturels :
Z : l'ensemble des nombres entiers relatifs. Il s'agit de
l'ensemble des nombres entiers munis d'un signe positif ou négatif.
Pour chaque nombre entier naturel a, son opposé (-a) est un nombre
relatif 3.
D : l'ensemble des nombres décimaux. Ce sont tous les nombres qui
peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur
est une puissance de 10. Autrement dit, ce sont tous les nombres
que l'on peut écrire de manière décimale nie. Ces deux dénitions
sont équivalentes, puisque par exemple 18
100 = 0, 18. Q : l'ensemble des nombres rationnels, noté Q comme
quotient . Ce sont l'ensemble des
nombres que l'on peut écrire sous la forme de fractions, c'est à
dire a b avec a, b ∈ Z. Pour chaque
nombre rationnel (que l'on écrit a b ), son inverse b
a est lui aussi rationnel. ⇒ On remarquera que tous les nombres
décimaux sont aussi des nombres rationnels : d ∈ D ⇒
d ∈ Q. R : l'ensemble des nombres réels. Il existe des nombres qui
ne sont ni entiers naturels, ni entiers
relatifs, ni décimaux, ni même rationnels : on les nomme nombres
irrationnels. On peut penser à √ 2 ou bien au nombre pi (π). Ces
nombres, même s'ils sont parfois facile à construire (
√ 2 est la
diagonale d'un carré de côté 1, π s'obtient en traçant un cercle),
ne peuvent s'écrire sous forme de fraction. Si l'on prend tous les
ensembles de nombres précédemment étudiés et que l'on y ajoute
ceux-ci, on obtient l'ensemble des nombres réels.
3. Attention, a est aussi un nombre relatif. Le symbole Z vient de
l'allemand Zahl, qui signie nombre (entier).
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 3
M1 - MEEF 1 Nombres et calcul : les ensembles de nombres
Source : Zach Weinersmith, Saturday Morning Breakfast Cereal
4.
Il est intéressant d'étudier les relations qui existent entre ces
ensembles. Si l'on prend un nombre entier naturel (par exemple 3),
il appartient aussi à l'ensemble des entiers relatifs, mais
également à celui des décimaux (on a par exemple 3 = 3, 0), à celui
des rationnels (3 = 30
10 ) et nalement à celui des réels.
On dit qu'il y a une relation d'inclusion entre ces ensembles : N ⊂
Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. On peut représenter cette relation par un schéma
:
Remarque : Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec
une virgule et un nombre ni de chires à droite de la virgule, ou
pour le dire autrement, comme une fraction dont le dénominateur est
une puissance de 10. Tout nombre décimal est donc rationnel (D ⊂
Q). Mais l'inverse n'est pas forcément vrai : 2
3 est rationnel mais n'est pas décimal (Q 6⊂ D). Pour savoir si une
fraction représente un nombre décimal, il faut obtenir sa fraction
irréductible et vérier si son dénominateur peut s'écrire comme
produit de puissances de 5 et de puissances de 2. Par exemple
:
7 40 = 7
23×5
Sept quarantièmes est donc un nombre décimal. Puisque l'on a montré
qu'il peut s'écrire sous forme de fraction décimale, on peut aller
plus loin et chercher cette fraction :
7 40 = 7
103
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 4
M1 - MEEF 2 Le calcul élémentaire et son enseignement
Il est important de distinguer nombre décimal et écriture décimale.
On peut avoir une écriture décimale pour des nombres qui sont par
exemple entiers (et donc décimaux), par exemple 5 = 5, 00. Les
nombres rationnels non décimaux ont également une écriture
décimale. Ainsi le nombre 2
3 est un rationnel non décimal (il ne peut s'écrire sous la forme
a
10n ), mais il possède une écriture décimale : 2 3 = 0, 6 = 0,
666666 . . . . Ce nombre n'est cependant pas décimal, car son
développement décimal est illimité.
1.2 Calculer sur les nombres relatifs, sur les fractions et les
puissances
Un nombre important de connaissances est nécessaire pour pouvoir
bien suivre le reste du cours. Il faut savoir distinguer l'opposé
d'un nombre et son inverse. Il faut maîtriser la règle des signes
et savoir ce qu'est la distance à zéro d'un nombre relatif, ou ce
que sont une troncature et un arrondi (par défaut ou par excès). Il
faut utiliser ecacement le calcul fractionnaire, ainsi que les
diérentes formules de calcul avec les racines et les puissances,
maîtriser les développements et factorisations, etc.
Nous n'aurons pas le temps de revoir toutes ces notions
importantes. Vous pouvez réaliser ce travail de manière autonome,
en utilisant le manuel Sesamath. Celui-ci propose en accès libre
cours et exercices de niveau collège à l'adresse suivante :
http://manuel.sesamath.net/?page=telechargement_cycle4_ 2016. Il
est aussi disponible en version papier à la médiathèque de l'ESPE
5.
Voir en particulier les chapitres : A2 sur les nombres relatifs. A3
sur les nombres rationnels A4 sur les puissances Attention, les
racines se trouvent dans le chapitre sur les triangles rectangles
(D3 Triangles Rec-
tangles)
Les racines carrées : on dénit la racine carrée du nombre réel
positif a, notée √ a, comme le nombre
dont le carré est égal à a, c'est-à-dire tel que :
( √ a)2 = a
Historiquement, on a très tôt rencontré des racines carrées. Il sut
par exemple de construire un carré de côté 1 et de chercher à
mesurer sa diagonale. Une utilisation simple du théorème de
Pythagore nous permet de constater que sa diagonale est égale
à
√ 2.
An de manipuler aisément les racines, il faut connaître la liste
des carrés parfaits pour les nombres de un à quinze :
nombre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 carré 1 4 9 16 25 36 49
64 81 100 121 144 169 196 225
2 Le calcul élémentaire et son enseignement
Les quatre opérations élémentaires enseignées en primaire sont
:
l'addition la soustraction (basée sur l'addition) la multiplication
la division (basée sur la multiplication)
Ces opérations possèdent des propriétés variées, que l'on utilise
presque inconsciemment en calculant, mais que l'on doit enseigner
aux élèves. Il est important de les connaître pour savoir
décomposer et analyser les opérations du calcul mental ou écrit. Il
devient ainsi possible de comprendre les dicultés d'apprentissage
et de cerner d'où viennent les erreurs des élèves.
5. An de se rapprocher de l'esprit des programmes actuels, il n'y a
qu'un seul manuel pour tout le cycle 4 (5e/4e/3e).
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 5
M1 - MEEF 2 Le calcul élémentaire et son enseignement
L'addition : elle peut être dénie de plusieurs façons. On peut se
focaliser sur l'aspect cardinal, sur l'idée de quantité. Dans ce
cas, l'addition de deux ensembles ou groupes d'objets A et B
composés respectivement de a et b éléments est le nombre a + b. Par
exemple 3 pommes plus 18 pommes donnent 21 pommes.
La somme a + b est par ailleurs égale à la position atteinte en
comptant b nombres consécutifs dans la suite ordonnée des nombres
naturels à partir de a. C'est l'aspect ordinal de l'addition. Pour
réaliser 2 + 7, on peut partir de 2 et compter 7 nombres en suivant
: 2 → 3→ 4→ 5→ 6→ 7→ 8→ 9.
Propriétés de l'addition dans N :
(a+ b) + c = a+ (b+ c) associativité de +, on peut donc écrire a+
b+ c a+ b = b+ a commutativité de +, on peut donc permuter a et b
a+ 0 = a 0 est élément neutre pour l'addition
La soustraction peut être dénie de manière similaire.
Aspect cardinal : si A et B sont deux ensembles, B étant un
sous-ensemble de A, a - b est le nombre d'objets qui appartiennent
à A sans appartenir à B.
Aspect ordinal : la diérence a - b est égale au nombre obtenu si
l'on remonte b positions à partir de a.
La soustraction n'est ni associative ni commutative : a− (b− c) 6=
(a− b)− c et a− b 6= b− a, ce qui peut rapidement se vérier par des
exemples. Il faut bien réaliser à quel point il est contre intuitif
que 2 + 5 soit égal à 5+ 2 alors que 5− 2 n'est pas égal à 2− 5.
Elle possède d'autres propriétés, qui concrètement sont les règles
que l'on a le droit d'utiliser pour réaliser les opérations de
calcul. Ces propriétés sont :
conservation de la diérence : 6− 3 = (6 + 4)− (3 + 4) ajout d'une
diérence : 6 + (7− 2) = (6 + 7)− 2
soustraction d'une somme : 6− (3 + 2) = 6− 3− 2 soustraction d'une
diérence : 6− (3− 2) = 6− 3 + 2
La multiplication : Elle peut également être dénie de deux
manières. Dénition à partir de l'addition : soit a et b deux
nombres entiers naturels. La multiplication (ou le produit) de a
par b est la somme de b nombres entiers naturels égaux à a,
c'est-à-dire :
a× b = a+ a+ · · ·+ a b fois
Seconde dénition, basée sur l'idée de dénombrement : soit a et b
deux nombres entiers naturels. Le produit de a par b est le nombre
de couples (x, y) qui peuvent être construits, avec x appartenant à
un ensemble composé de a éléments, et y appartenant à l'ensemble
composé de b éléments.
Propriétés de la multiplication :
a× (b× c) = (a× b)× c associativité de ×, on peut donc écrire abc
a× b = b× a commutativité de ×, on peut donc permuter a et b a× 1 =
a 1 est élément neutre pour × a× 0 = 0 0 est élément absorbant pour
×
On dit enn que la multiplication est distributive sur l'addition et
la soustraction, ce qui s'exprime par l'égalité suivante :
a× (b+ c) = a× b+ a× c = ab+ ac
La division : On distingue généralement la division exacte et la
division euclidienne (la plus courante dans N). Dans la division
exacte, il n'existe pas de reste et le quotient est un nombre
rationnel. Dans la division euclidienne, il existe un reste
éventuellement nul et le quotient est forcément entier.
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 6
M1 - MEEF 2 Le calcul élémentaire et son enseignement
Division euclidienne : soit a et b deux nombres entiers naturels.
La division euclidienne de a (le divi- dende) par b (le diviseur),
est l'opération par laquelle on associe à a et b les nombres
entiers naturels q et r tels que a = (b× q) + r q est le quotient
entier ou euclidien r < b r est le reste
2.1 Enseigner les quatre opérations et leurs algorithmes de
résolution
Par algorithme de résolution, on désigne les techniques usuelles
par lesquelles on résout les quatre opé- rations. Le mot algorithme
vient de la latinisation de Al-Khwarizmi , célèbre mathématicien de
langue arabe ayant vécu à Bagdad au IXe siècle et acteur important
dans le développement de l'algèbre. Un algorithme est un ensemble
de règles opératoires dont l'application permet de résoudre un
problème au moyen d'un nombre ni d'opérations 6. C'est en fait une
suite d'instructions qui amène toujours à un résultat correct. Il
est important de distinguer entre l'opération d'une part et ses
algorithmes de résolution de l'autre.
Les élèves commencent généralement par apprendre les procédures sur
des exemples simples, en faisant appel à du calcul mental ou du
calcul en ligne (du type 12 × 15 = 10 × 15 + 2 × 15 = 150 + 30 =
180. Les élèves doivent ensuite maîtriser les algorithmes
opératoires, c'est-à-dire les méthodes pour poser addition,
soustraction, multiplication et division. Le but n'est pas d'en
faire des experts en calcul mental ou écrit, puisqu'il existe
aujourd'hui des calculatrices et ordinateurs. Ils doivent cependant
savoir le faire et surtout comprendre les mécanismes en jeu.
L'enseignement et la maîtrise des algorithmes de calcul posé est
l'aboutissement d'un travail de compréhension sur la nature des
opérations. Il est fondamental que l'élève apprenne à élaborer des
stratégies de calcul à l'oral et à l'écrit 7. En d'autres termes,
savoir calculer signie, pour un calcul donné, identier quel est
l'algorithme pertinent et savoir le mettre en oeuvre.
Prenons l'exemple de la division : des problèmes de partage sont
ainsi abordés informellement dès la ma- ternelle, puis
systématiquement au cycle 2, pour introduire le sens de la division
(partages équitables, groupements). Ces exercices peuvent être
résolus par des additions itérées ou des multiplications. On passe
ensuite à des divisions en ligne reposant uniquement sur la
maîtrise des tables de multiplications et enn en CE2 à une
technique de division posée (diviseur à un chire). On continue à
travailler l'opération au cycle 3, en introduisant les diviseurs
supérieur à 9 et les dividendes décimaux.
Les calculatrices peuvent être utilisées dès le cycle 2. Le but
n'est pas de remplacer le calcul, mais d'utiliser ces outils pour
comprendre et maîtriser de nouvelles méthodes : division avec
reste, rôle des parenthèses, fonction mémoire. Autoriser la
calculatrice est aussi un moyen de jouer sur les variables
didactiques : si l'on veut que les élèves se concentrent sur un
aspect particulier de l'exercice, on peut les décharger du calcul
en autorisant la calculatrice.
Pour travailler le calcul mental, le calcul en ligne et le calcul
posé, les jeux sont un outils ecace. Si l'on cherche à approfondir
la conception des opérations, on pourra par exemple utiliser
certaines ressources proposées par
[email protected], un outil développé
par l'académie de Lille. Pour s'entraîner et réinvestir,
c'est-à-dire travailler la mémorisation des tables et la mise en
place de stratégies de calcul, il existe de nombreux jeux comme le
Compte est bon ou le Mathador. Attention cependant : chaque jeu n'a
pas de raison d'être précisément adapté à la séquence que vous
préparez. Il sera alors important de faire varier le matériel et
les règles pour l'adapter à votre enseignement, sans quoi les
élèves peuvent s'amuser sans travailler précisément ce que vous
souhaitez.
6. Dénition du dictionnaire Larousse. 7. Programme pour les cycles
2, 3 et 4, p. 77.
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 7
M1 - MEEF 2 Le calcul élémentaire et son enseignement
Extrait de Cap Maths, cycle 2, CE2, 2017, table des contenus. A
l'intérieur d'une même unité, on note un travail simultané sur
diérentes opérations, mais aussi diérentes approches des
calculs.
Il faut en particulier remplacer la dichotomie traditionnelle entre
calcul mental et calcul écrit par la dichotomie calcul automatisé /
calcul rééchi. Un calcul est automatisé lorsqu'on le fait de tête,
ou lorsqu'on suit une procédure courante (poser une
multiplication). Il est rééchi quand, par exemple pour gagner du
temps, on adopte une procédure spécique pour résoudre un calcul
spécique (par exemple, pour faire 43 + 19, calculer 43 + 20−
1).
Enseigner addition et soustraction
L'apprentissage de l'addition et de la soustraction sur les nombres
entiers naturels se fait au cours du cycle 2. Ces compétences sont
ensuite étendues aux nombres décimaux et aux fractions au cours du
cycle 3.
Il faut bien distinguer diérents types de problèmes en lien avec
l'addition et la soustraction 8. S'ils peuvent sembler similaires,
leur structure et leurs variables didactiques vont amener des
procédures de résolution bien diérentes chez les élèves. On
commence par gurer la réalité en dénombrant, avant de compter par
palier. La procédure experte, où l'élève reconnaît le calcul
mathématique abstrait à eectuer, arrive plus tardivement.
Les procédures de résolution ne sont pas employées au hasard. Elles
dépendent d'une part des capacités de chaque élève, mais aussi
également des variables didactiques en jeu. Parmi les variables
importantes pour les algorithmes de résolution de l'addition et de
la soustraction, on peut ainsi citer :
la grandeur des nombres utilisés : 5+8 ou 542+67 sont deux
additions, mais qui impliquent des méthodes très diérentes.
leur écart : calculer 659− 656 et 54− 28 sont là encore deux
opérations diérentes, et la première se résout avec des outils plus
simples, même si les nombres sont plus grands .
la conguration des nombres : sont-ils simples (nombres de 1 à 9,
dizaines, centaines, nombres divisibles par 5) ou bien sont-ils
premiers, impairs ou sans relation ? Demander 1000 + 500 et 17 + 29
n'implique pas la même procédure de la part de l'élève.
le contexte : est-il familier ou au contraire complètement inconnu
? la présentation de l'exercice : l'exercice est-il dicté ou sur
une feuille ? Le calcul est-il donné,
ou bien est-ce un problème qui doit être modélisé ? Le résultat
est-il un chire ou une réponse qui a du sens ?
les outils de résolution disponibles : a-t-on une calculatrice ?
Une frise des nombres ? Une droite graduée ? des jetons ? des
cartes numérotées ? L'élève doit-il utiliser uniquement sa mémoire,
ou peut-il écrire des résultats partiels ? Même une simple addition
comme 18+13 ne se résout pas de la même manière selon que l'on
travaille de tête ou bien avec un cahier.
Au cours du cycle 2, les élèves doivent acquérir le répertoire
additif : connaître les tables d'addition des chires de 1 à 9
permet d'en disposer en mémoire de long terme. Ainsi, ils peuvent
s'attaquer à d'autres problèmes et utiliser instantanément ces
résultats, sans les recalculer à chaque fois. Connaître le
répertoire additif, c'est notamment savoir réaliser les opérations
suivantes (et donc, pour un enseignant,
8. Voir par exemple les travaux de Gérard Vergnaud, qui distingue
composition d'état (Il y a huit enfants, trois sont des lles,
combien y a-t-il de garçons ?), transformation d'un état (J'ai
quatre euros et on m'en donne cinq, combien en ais-je ?), . . .
Lire Gérard Vergnaud, Psychologie du développement cognitif et
didactique des mathématiques. Un exemple : les structures additives
, in Petit x, 22, 1989, pp. 51-69.
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 8
M1 - MEEF 2 Le calcul élémentaire et son enseignement
poser des exercices pour apprendre ces résolutions) :
ajouter ou retrancher 1 et 2 à un nombre inférieur à 10 : calculer
6 + 2 ou 5− 1. connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 :
8 est le double de 4. les décompositions avec 5 : 6 = 5 + 1.
connaître les compléments à 10 : pour aller à 10 depuis 6, il faut
ajouter 4. comprendre que l'addition est commutative : 2 + 6 est
égal à 6 + 2 (plus facile à calculer).
Algorithme de l'addition : rien de particulier. L'opération peut
être posée en colonne ou en ligne.
Soustraction posée en colonne : trois techniques principales
cohabitent. Si l'on veut par exemple réaliser la soustraction
suivante : 273− 125 = 148.
⇒ Méthode par emprunt : pour chaque colonne, soit la soustraction
est directement possible, soit il faut enlever ( emprunter ) un
élément dans la colonne suivante, et en ajouter 10 dans la colonne
présente.
Par rapport à l'addition, il faut non seulement connaître les
équivalences 1 millier = 10 centaines, 1 centaine = 10 dizaines,
mais aussi connaître la table de soustraction jusqu'à 20.
⇒ Méthode traditionnelle : très similaire. Au lieu de poser la
retenue en haut (en soustrayant 1 à l'élément du haut) on ajoute un
élément au deuxième terme (à l'élément du bas). Ici, au lieu de
faire pour les dizaines (7− 1)− 2 on fera (6− 2)− 1.
⇒ Méthode par complément : pour chaque colonne, on pose la question
combien faut-il ajouter au deuxième élément pour obtenir le premier
? . Le système de retenue fonctionne de la même manière. Dans notre
exemple, que faut-il ajouter à 5 pour obtenir 3 ? Comme ce n'est
pas possible, on ajoute une dizaine en posant une retenue.
Ici, il faut avoir compris l'équivalence entre a− b = x et b+ x =
a, et savoir trouver le complément d'un nombre jusqu'à 20.
Enseigner multiplication et division
Comme pour l'addition et la soustraction, on peut bien distinguer
diérentes types de problèmes en lien avec la multiplication et la
division. Ils vont également amener des procédures de résolution
diérentes chez les élèves. Pour la multiplication, on distingue
:
Proportionnalité simple avec présence de l'unité. Exemple : Nous
avons x bouquets avec y eurs par bouquets, combien y a-t-il de eurs
au total ?
Produit de mesures. Exemple : Combien de repas diérents peut-on
composer avec x entrées et y plats diérents ?
On voit bien ici que les procédures de résolution de ces problèmes
dépendent en particulier de la variable didactique grandeur des
nombres . Si l'on a trois bouquets et quatre eurs, il sut soit de
connaître les tables de multiplication, soit de mettre en place une
procédure de type additif : 3×4 = 3+3+3+3 = 12. On pourrait ajouter
d'autres solutions : faire un dessin, utiliser des jetons . .
.
Si l'on a 23 bouquets de 16 eurs chacun, il va falloir poser une
multiplication et utiliser l'algorithme classique de résolution.
Pour les produits de mesures, on peut penser à des schémas, des
tableaux à double entrée, etc.
Pour la division, on peut utiliser les procédures suivantes, sans
oublier toutes les procédures mixtes qu'un élève peut mettre en
place :
procédures imagées. procédures additives ou soustractives
procédures multiplicatives. utilisation de la division euclidienne
ou de la division classique.
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 9
M1 - MEEF 2 Le calcul élémentaire et son enseignement
Multiplication posée en colonnes : il faut distinguer un cas
simple, où le multiplicateur est inférieur à 10, et le cas général.
Dans le cas simple, il faut calculer le produit du multiplicateur
avec les unités du multiplicande, puis ses dizaines, . . . Il faut
faire attention à enseigner correctement le principe de la retenue.
Si l'on prend par exemple 623× 5, on peut bien sûr réaliser la
multiplication mécaniquement. Il sut alors de connaître les tables
de multiplication pour des nombres inférieurs à 10.
Mais pour vraiment comprendre pourquoi l'algorithme fonctionne,
l'élève doit avoir compris la dis- tributivité de la multiplication
sur l'addition : ici on a en fait utilisé implicitement que 623 × 5
= (600 + 20 + 3)× 5 = 600× 5 + 20× 5 + 3× 5.
Si le multiplicateur est supérieur à 10, il faut commencer par le
chire des unités (voir méthode précé- dente). On passe ensuite au
chire des dizaines, en commençant par inscrire un zéro à droite du
résultat. Il connaître non seulement la distributivité de la
multiplication sur l'addition, mais aussi la propriété
d'associativité de la multiplication. Si l'on prend l'exemple 623×
205 :
La distributivité de la multiplication sur l'addition permet de
découper la multiplication géné- rale en opérations plus simples à
résoudre : 623× 205 = 623× (5+200) = (623× 5)+ (623× 200).
L'associativité de la multiplication est utilisée dans les calculs
au rang des dizaines, centaines, . . .. C'est elle qui explique
pourquoi on décale le calcul de 1, 2. . . rangs : 623×200 =
623×(2×100) = (623× 2)× 100. Et multiplier par 100, c'est in ne
ajouter deux zéros.
La multiplication à virgule , c'est-à-dire la multiplication avec
un multiplicande possédant une partie décimale, est introduite à la
n du cycle 3. Elle ne bouleverse pas l'algorithme, mais nécessite
une bonne compréhension du sens de l'opération. Il est bien sûr
nécessaire de savoir expliquer le placement de la virgule et ne pas
se contenter de donner une règle mécanique. Il est à nouveau
nécessaire de présenter l'intérêt du calcul rééchi.
Extrait de Cap Maths, cycle 3, CM2, programmes 2016, p. 124.
Multiplication par jalousie selon l'Arithmeticae logistica de J.R.
von Graenried, 1619 (tiré de Schärlig, Compter en 1619 p.
79).
Division euclidienne : parmi les diérents types de division, la
division euclidienne est la plus cou- rante ; c'est en particulier
la première qui est enseignée en primaire. On distingue deux grands
types de problèmes faisant intervenir la multiplication :
problèmes de division-partition ou de partage, où l'on recherche la
valeur d'une part. On divise une somme x entre y personnes, on fait
x rubans dans une bande de longueur y, et on cherche la valeur
d'une part. Elle est (un peu) plus simple conceptuellement car il y
a une homogénéité des grandeurs.
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 10
M1 - MEEF 2 Le calcul élémentaire et son enseignement
problèmes de division-quotition ou de groupement, où l'on recherche
le nombre de parts. On fait des groupements de x éléments dans un
ensemble de y éléments, on fait des rubans de x centimètres dans
une bande de y centimètres, et on cherche le nombre de parts. Il
faut surmonter la diculté suivante : ce qui est donné (dividende)
n'est pas de même nature que ce qui est cherché (quotient).
On pose l'opération en potence . Il faut connaître la propriété
implicite de division d'une somme : 6326÷ 12 = (6000 + 300 + 20 +
6)÷ 12. Il faut ensuite savoir réaliser les multiplications et
soustractions intermédiaires. On note ici un fort risque de
surcharge cognitive (voir ci-dessous), qui peut être réduit en
adoptant une présentation détaillée avec les produits partiels et
les soustractions successives :
6 3 2 6− 6 0 3 2− 2 4 8 6− 8 4 2
1 2 5 2 7
Extrait de Cap Maths, cycle 3, CM2, programmes 2016, p. 92.
Remarque : Pour résoudre un calcul, un individu utilise sa mémoire
de travail pour stocker les résultats intermédiaires Mais cette
mémoire est limitée en capacité (pas plus de 6 ou 7 éléments
simultanés) et en durée. Si un élève doit gérer simultanément
plusieurs activités il y a rapidement risque de surcharge
cognitive. Un moyen d'éviter le problème est d'acquérir des
automatismes, c'est-à-dire concrètement de travailler les
procédures jusqu'à ce qu'elles soient stockées en mémoire de long
terme. C'est pour cela qu'on apprend par c÷ur les tables
d'additions et de multiplications. Une autre piste est d'utiliser
le brouillon pour prendre des notes et ainsi décharger la mémoire
de travail.
2.2 Fractions et décimaux à l'école primaire
Les nombres rationnels (les fractions) peuvent être utilisés pour
exprimer des mesures. C'est d'ailleurs un moyen de les introduire,
ou du moins une première application immédiate. Au cours du cycle
3, on doit enseigner à utiliser des fractions pour : rendre compte
de partage de grandeurs ou de mesure de grandeurs dans des cas
simples ; exprimer un quotient. Situation permettant de relier les
formulations la moitié, le tiers, le quart et 1
2 de, 1 3 de, 1
4 de, etc. (fractions vues comme opérateurs). Par exemple, en
utilisant une demi-droite graduée, les élèves établissent que
5
10 = 1 2 , que
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 11
M1 - MEEF 2 Le calcul élémentaire et son enseignement
sous forme de somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1
9.
Un soin particulier est à apporter, du point de vue didactique, à
l'introduction des fractions. Selon le programme du cycle 3 :
Les fractions puis les nombres décimaux apparaissent comme de
nouveaux nombres introduits pour pallier l'insusance des nombres
entiers, notamment pour mesurer des longueurs, des aires et repérer
des points sur une demi-droite graduée. Le lien à établir avec les
connaissances acquises à propos des entiers est essentiel. Avoir
une bonne compréhension des relations entre les diérentes unités de
numération des entiers (unités, dizaines, centaines de chaque
ordre) permet de les prolonger aux dixièmes, centièmes, . . . Les
caractéristiques communes entre le système de numération et le
système métrique sont mises en évidence. L'écriture à virgule est
présentée comme une convention d'écriture d'une fraction décimale
ou d'une somme de fractions décimales. Cela permet de mettre à jour
la nature des nombres décimaux et de justier les règles de
comparaison (qui se diérencient de celles mises en ÷uvre pour les
entiers) et de calcul. 10
Les fractions peuvent donc être introduites à partir d'une bande
unité, qui sert d'outil pour mesurer des segments. Diverses
activités sont possibles, selon des modalités diérentes (nombre de
bandes dispo- nibles, possibilité de plier, etc). On peut penser à
des premières activités où les longueurs à mesurer sont constituées
d'un multiple entier de la bande, ou bien en utilisant des 1
2 , des 1 4 . Ce travail sur les fractions
simples doit être prolongé plus spéciquement par l'étude des
fractions décimales (dizièmes, centièmes, etc.) et par la
présentation des nombres décimaux écrits avec une virgule.
Les programmes insistent bien sur les ponts à faire entre l'étude
des nombres décimaux et la présentation du système métrique, en
privilégiant la lecture signiante 11 avec ses unités variées
:
longueurs : on cesse d'écrire 1m 35cm pour écrire 1, 35 mètre.
masses : gramme et son échelle (rappel : un kilogramme est le poids
d'un 1dm3 d'eau). aires : attention, il faut savoir expliquer
pourquoi les égalités sont diérentes du système de
longueur, ici 1dm2= 1 100m
2. durées : attention, les relations entre unités ne sont plus des
puissances de 10 (base 60 pour les
secondes et minutes, 24 pour les heures, 365 pour les jours).
Les erreurs fréquentes sont par exemple :
pour comparer deux nombres dont la partie entière est égale, les
élèves vont souvent comparer la partie décimale comme s'ils
comparaient deux nombres entiers et arriver à des erreurs du type :
15,14 est plus grand que 15,6 (car 14 > 6).
diculté à comprendre que l'on peut trouver autant de décimaux que
l'on veut, et que 3, 1 n'est pas le successeur naturel de 3.
Les fractions sont aussi utilisées en représentation de données, ce
qui sera vu au second semestre.
Représenter les nombres entiers naturels
Les programmes insistent sur l'apprentissage par les élèves des
nombres et de leur usage. Ainsi par exemple, dès la maternelle, il
faut proposer des situations variées où la notion de nombre est
implicite - par exemple des collections d'objets - et introduire
les mots-nombres. On parle de représentation analogique des nombres
: par des collections d'objets, des dés, des cartes, les doigts,
etc.
A la n du cycle 3, les élèves doivent savoir écrire les nombres en
chires, en lettres, mais aussi savoir les désigner oralement. Et
enn, il est important que les élèves soient capables de passer d'un
registre (analogique, verbal et symbolique) à l'autre 12. Nous
allons ici rappeler les rapidement les principales règles.
9. Bulletin ociel du 26 novembre 2015. 10. Bulletin ociel du 26
novembre 2015, p. 200. 11. On distingue la lecture signiante de la
lecture courante. Exemple : 12,43 devrait être lu douze virgule
quarante-
trois centièmes ou bien douze virgule quatre dizièmes et trois
centièmes car douze virgule quarante trois risque de renforcer
certaines incompréhensions. 12. C'est-à-dire accomplir des tâches
du type : montrer des doigts et demander combien sont levés ,
prononcer un
nombre qui doit être écrit en chire ou en lettre , trouver la carte
qui porte un certain nombre , . . .
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 12
M1 - MEEF 3 Les systèmes de numération
Désignation verbale (ou orale) : À la base, nous possédons dix
mots-nombres qui correspondent aux dix chires indo-arabes utilisés
à l'écrit : zéro (0), un (1), deux (2), trois (3), quatre (4), cinq
(5), six (6), sept (7), huit (8) et neuf (9). Si notre numération
orale était parfaite, nous pourrions nommer tous les nombres
entiers naturels avec ces dix mots, tout comme on peut écrire tout
nombre entier naturel avec les 10 chires. Cela donnerai des choses
du type cette machine à laver coûte 'quatre neuf neuf euros'
.
Or ce n'est pas ce que nous faisons. Nous indiquons oralement la
valeur de chaque chire, en précisant la quantité qu'il désigne par
les mots dix, cent, mille . Mais une fois de plus, ce n'est pas
susant : on dit bien trois mille quatre cent pour 3400, mais on ne
dit pas quatre dix trois pour 43.
Nous avons besoin en plus de mots pour désigner certains multiples
de dix, les dizaines : vingt, trente, etc. Avec le connecteur et et
en accolant ces mots, on obtient soixante-dix , quatre-vingts et
quatre-vingt-dix (bien que l'on puisse aussi utiliser septante,
octante et nonante). Il faut y ajouter six mots-nombres
supplémentaires pour désigner 11 (onze), 12 (douze), 13 (treize),
14 (quatorze), 15 (quinze) et 16 (seize). On voit ainsi que
l'apprentissage de la numération orale, même uniquement jusqu'à
cent, peut s'accompagner de grandes dicultés pour les élèves. Pour
compter jusqu'à cent, il faut ainsi 23 mots-nombres et des règles
complexes, qui ont de plus des exceptions.
Écriture des nombres en lettres : Les nombres composés peuvent
s'écrire de deux manières, avec ou sans traits d'union. Ainsi 61
peut s'écrire au choix soixante et un ou soixante-et-un . L'usage
du trait d'union permet de distinguer cinquante et un quart (50 +
1
4 ) de cinquante-et-un quarts ( 514 )
13.
Ce bref aperçu de la manière dont nous prononçons et écrivons les
noms montre qu'il s'agit d'une construc- tion complexe. Il s'agit
d'un système inventé par les hommes, mais qui aurait pu être
diérent - et en ce qui concernent l'écriture, aurait pu être plus
simple. Il présente d'ailleurs des dicultés importantes pour les
enfants.
⇒ Pour approfondir, vous pouvez regarder le dossier sur La
numération du réseau Canopé avec Stella Baruk à l'adresse suivante
: https://www.reseau-canope.fr/mathematiques-stella-baruk/
chapitre/la-numeration
3 Les systèmes de numération
Dénition : un système de numération est un ensemble de symboles et
de règles régissant l'utilisation de ces symboles an d'écrire et de
manipuler des nombres.
3.1 Approche historique de la numération
Il existe deux types de systèmes de numération : les systèmes de
type additif et les systèmes de type positionnel. Aujourd'hui, le
système de numération décimale - qui appartient à la famille des
systèmes positionnels - est le plus couramment utilisé. Mais dans
l'histoire, on a rencontré de nombreux systèmes, et
13. Ici, le pluriel de quart pourrait nous sortir d'aaire, mais ce
n'est par exemple pas le cas pour tiers .
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 13
M1 - MEEF 3 Les systèmes de numération
d'autres existent encore aujourd'hui. Pour mieux comprendre la
logique de notre mode de numération en base décimale, et la manière
dont nous calculons, il est utile d'étudier d'autres systèmes de
numérations.
Les systèmes de numération additifs : historiquement, les systèmes
additifs sont les plus anciens. Ils sont aussi les plus simples à
appréhender. Dans un système de numération additive, chaque symbole
possède une unique valeur (en particulier, la valeur ne dépend pas
de la position). Pour écrire un nombre, il sut de mettre côte à
côte, en suivant les règles du système, autant de symboles que
nécessaire, en additionnant leur valeur.
Le plus connu de ces systèmes est la numération romaine, encore
parfois utilisée aujourd'hui :
I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000
Pour écrire des nombres dans ce système, les deux règles de bases
sont : 1) on place à gauche les signes les plus grands, et 2) on
utilise dès que possible les signes désignant les nombres les plus
grands. Ainsi par exemple, on privilégiera VI à IIIIII 14.
Les systèmes additifs ont certains avantages. Ils sont simples à
utiliser pour représenter de petits nombres. De plus, il peuvent
être utilisés avec peu de connaissances mathématiques. Ils ont
cependant plusieurs inconvénients. Tout d'abord, l'écriture de
grands nombres est complexe, car il faut un grand nombre de chires,
sans cependant que le nombre de chires puisse donner une
information immédiate sur la taille du nombre. De plus, il faut
rajouter des symboles à chaque fois que l'on change d'ordre de
grandeur (millier, millions, milliard . . .). Enn les calculs sont
complexes à eectuer. Il faut distinguer deux choses :
Ils nous semblent complexes car nous n'y sommes pas habitués. Ils
le sont véritablement. En eet les algorithmes de calcul que nous
utilisons actuellement sont
largement basés sur le caractère propositionnel de notre système de
numération : Est-ce clair pour tout le monde ?
On pourrait d'ailleurs se demander : comment multiplier ou diviser
comme pouvaient le faire dans l'Antiquité les égyptiens, les grecs
ou les romains ?
Les systèmes de numérations positionnels : dans un système
positionnel, la valeur d'un symbole dépend à la fois de sa forme et
de sa position. Un symbole aura donc une valeur diérente selon le
rang qu'il occupe à l'intérieur de l'écriture du nombre. Plus
précisément, chaque symbole possède une valeur, qui est multipliée
par un coecient en fonction de sa position. Ce multiplicateur est
nommé la base du système. Prenons comme exemple le système décimal,
que nous utilisons actuellement. Il repose sur plusieurs principes
:
La valeur d'un signe dépend de sa position : Puisque notre système
est dit décimal , les diérentes positions possibles sont des
puissances de 10 : 100 = 1 (on parle alors d' unité ), 101 = 10 (on
parle alors de dizaine ), 102 = 100 (on parle alors de centaine ),
. . . Par exemple, le chire 3 n'a pas la même valeur dans 3, dans
31 et dans 322.
Il existe une base qui détermine le passage à l'unité supérieure :
Si un groupement d'unités contient plus de 10 éléments, on peut
convertir ces 10 éléments en une unité supérieure. Ainsi on ne dit
pas onze dizaines (11× 10), mais cent dix (110).
Il existe dix signes diérents, un pour chaque élément de la base :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 0.
Décomposition d'un nombre dans le système décimal : un nombre,
écrit dans un système de chires particulier, peut être écrit sous
forme de décomposition en puissance de 10.
Ainsi par exemple le nombre 78 562 peut s'écrire :
14. Une troisième est parfois ajoutée, qui s'écarte légèrement du
caractère additif : 3) un symbole placé à gauche d'un symbole
immédiatement supérieur s'en retranche. Ainsi IV signiera 4 (qui
peut aussi s'écrire IIII ), et non pas 6 si le système était
strictement positionnel. La position joue donc un rôle, et le
système n'est pas strictement positionnel.
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 14
M1 - MEEF 3 Les systèmes de numération
70000 + 8000 + 500 + 60 + 2 ⇔ 7× 10000 + 8× 1000 + 5× 100 + 6× 10 +
2× 1 ⇔ 7× 10× 10× 10× 10 + 8× 10× 10× 10 + 5× 10× 10 + 6× 10 + 2× 1
⇔ 7× 104 + 8× 103 + 5× 102 + 6× 101 + 2× 100
On peut résumer cela dans un tableau de numération :
dizaines de milliers milliers centaines dizaines unités 104 103 102
101 100
7 8 5 6 2
Le système de numération babylonien : avant de passer à la
numération en base quelconque, étu- dions le système mésopotamien,
qui est un système hybride. Celui-ci est essentiellement
positionnel, mais utilise deux bases complémentaires, 10 et 60. Il
est historiquement important, puisque c'est notamment grâce à lui
que nous écrivons les durées en base 60 (1 heure = 60 minutes et 1
minute = 60 secondes) et que nous mesurons les angles en degrés
(360 degrés dans un cercle, 60 minutes par degré, . . .).
Le système de numération mésopotamien ne possède, dans sa variante
la plus évoluée, que deux symboles : le clou (|) et le chevron
(<). Par convention, le clou vaut 1 et le chevron vaut 10. Ce
système fonctionne jusqu'à soixante de manière additive. Ainsi le
nombre 11 s'écrit <| et le nombre 42 s'écrit < < <
<||.
Le système est cependant positionnel en base soixante. Cela signie
qu'un clou (|) placé à gauche d'un chevron ne vaut plus 1, mais 60.
Ainsi par exemple |< <|||| vaut 84 (1×60+2×10+4×1). De même,
un chevron (<) placé à gauche vaut 600 (10×60). On a ainsi <
<|< < <|| = 1292 = 2×600+1×60+3×10+2.
Exemple : approche de la racine carrée de deux
Déjà chez les babyloniens, on a cherché à déterminer la longueur de
la diagonale du carré unité. La tablette YBC 7289 en donne un bon
exemple :
Elle porte au milieu le nombre suivant, en écriture babylonienne
[1.24.51.10]. On peut donc l'interpréter en base soixante et la
comparer à une approximation actuelle de
√ 2 = 1, 41421356...
La volonté des babylonien de déterminer cette longueur (ou ce
rapport) est claire. Ceci est cependant impossible, car le
nombre
√ 2 est irrationnel.
3.2 Numération de position en base quelconque
Dire qu'un système de numération utilise une base b, c'est dire que
le passage à un rang supérieur se fait par groupement de b
éléments. En base dix, dix éléments constituent une dizaine et
s'écrivent 10 (c'est-à-dire 1× 101 + 0). En base b, b éléments
s'écrivent 10b, c'est-à-dire 1× b1 + 0.
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 15
M1 - MEEF 3 Les systèmes de numération
Un nombre qui, en base b, s'écrit anan−1an−2...a2a1a0 est égal à
:
an × bn + an−1 × bn-1 + an−2 × bn-2 + ...+ a2 × b2 + a1 × b1 + a0 ×
b0
Exemple : considérons le nombre 423 écrit en base 5, que l'on note
4235. Ce n'est pas du tout quatre-cent-vingt-trois , mais
quatre-deux-trois en base cinq , autrement dit quatre
vingt-cinquaines , deux cinquaines et trois unités. Sa valeur est
:
4235
⇔ 4× 52 + 2× 51 + 3× 50
⇔ 4× (5× 5) + 2× 5 + 3× 1 ⇔ 4× 25 + 2× 5 + 3 ⇔ 100 + 10 + 3 ⇔
113
Une question importante est de savoir comment écrire ces nombres.
Par dénition, un système en base b possède b chires. En base 7, on
utilise les chires 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Ainsi 107 vaut 7 en base
10 (1× 71 + 0× 1) et 117 vaut 8 en base 10 (1× 71 + 1× 1).
Si la base b est supérieure à 10, il faut donc ajouter des chires.
Prenons un exemple réel, celui de la base hexadécimale (base 16)
utilisé en informatique. Par dénition, elle possède 16 symboles,
qui sont par convention :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Ainsi 1016 vaut 16 en base 10 (1× 161 + 0× 1), et 2C416 vaut
2C416
⇔ 2× 162 + 12× 161 + 4× 160
⇔ 2× (16× 16) + 12× 16 + 4× 1 ⇔ 2× 256 + 12× 16 + 4 ⇔ 512 + 192 + 4
⇔ 708
Il est fréquemment demandé au concours de savoir écrire en base b
un nombre donné en base 10, ou, à l'inverse, d'écrire en base 10 un
nombre donné en base b.
Écrire en base 10 un nombre donné en base b : il faut écrire la
décomposition du nombre en base b. Cela peut se faire directement
si vous maîtrisez bien le sujet. Sinon, ne pas hésiter à construire
un tableau de décomposition. Pour prendre un exemple : écrire en
base dix 56247. On peut construire le tableau suivant :
73 72 71 70
5 6 2 4
Il sut alors d'utiliser le tableau pour poser le calcul :
56247
⇔ (5× 73) + (6× 72) + (2× 71) + (4× 70) ⇔ 5× 343 + 6× 49 + 2× 7 + 4
⇔ 1715 + 294 + 14 + 4 ⇔ 2027
Écrire en base b un nombre donné en base 10 : c'est un peu plus
complexe. On peut utiliser le tableau de décomposition, ou
raisonner directement par divisions. Par division euclidienne
:
On divise le nombre donné en base 10 par b, et le reste donne le
chire des unités. On prend le quotient, que l'on redivise par b,
qui donne le chire de rang supérieur, et ainsi de suite. Essayons
par exemple d'écrire 54 en base quatre :
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 16
M1 - MEEF 3 Les systèmes de numération
On divise 54 par 4 :
54 = 13× 4+ 2. On aura donc 54 = . . 24 et on continue avec
13
13 = 3× 4+ 1. On aura donc 54 = . 124 et on continue avec 3
3 = 0× 4 + 3.
54 s'écrit donc en base 4 3124. On peut vérier en faisant le calcul
inverse, c'est-à-dire en écrivant 3124
en base 10 :
⇔ 3× 16 + 1× 4 + 2× 1 ⇔ 48 + 4 + 2 ⇔ 54
Les quatre opérations en base quelconque
Cette partie ne gure pas explicitement au programme, mais les
curieux peuvent essayer de s'y entraîner. Cela permet de poser un
regard neuf sur la manière dont on réalise les opérations
auxquelles nous sommes habitués.
Pour réaliser une addition en base b, on peut utiliser l'algorithme
traditionnel. Il faut bien entendu faire attention au fait que les
retenues, c'est-à-dire le passage au rang supérieur, dépendent de
la valeur de b. Si l'on veut additionner 1427 et 6167, on obtiendra
:
1 4 27
1 0 6 17
Il est facile de vérier cette opération en convertissant le tout en
base décimale. On peut procéder de même pour la soustraction.
Exemple : (50)(30)(40)60 - (20)(40)(10)60, on obtiendra :
50 30 4060
- 20 40 1060
29 50 3060
On note la retenue au niveau du rang deux. Ce calcul montre qu'il
est parfois plus rapide de calculer directement dans une base
donnée plutôt que de tout convertir en base décimale. Dans cet
exemple, cela donnerait : 181840− 74410 = 107430. Si cet exemple
peut sembler éloigné du quotidien d'un enseignant du primaire, il
est en réalité profondément banal : comment réaliser une
soustraction de durée sans tout réduire en secondes ?
J'aime les maths, Belin, cycle 3, CM2, programmes 2016, p.
193.
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 17
M1 - MEEF 3 Les systèmes de numération
Pour réaliser une multiplication en base quelconque, les choses
sont un peu plus complexes. Pourquoi ? La principale diculté vient
du fait que notre algorithme de résolution est basé sur une
multitude de multiplications de deux nombres inférieurs à 10. Nous
savons les exécuter rapidement car nous connaissons nos tables de
multiplications en base décimale. Or cela n'est plus le cas dans
les autres bases : nous sommes alors obligés de calculer à la main
chaque multiplication intermédiaire, même aussi simple que 45× 35 =
225. Pour y arriver rapidement, nous devons donc recalculer nos
tables de multiplications pour la base considérée. Pour 5, cela
donne :
× 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 11 13
3 0 3 11 14 22
4 0 4 13 22 31
On peut ensuite utiliser cette table pour calculer par exemple
2345× 3215 :
2 3 4 × 3 2 1
2 3 4 1 0 2 3 X
1 3 1 2 X X
= 1 4 2 2 1 4
Ce qui, transcrit en base décimale, donne 69× 86 = 5934.
3.3 D'autres systèmes utilisés aujourd'hui
L'avènement d'un système de numération positionnel décimal est
relativement récent. Si le mathématicien néerlandais Simon Stévin
(c. 1548-1620) avait dès la n du XVIe siècle recommandé l'adoption
d'un tel système dans son ouvrage La Disme (De Thiende, 1585), ce
n'est qu'avec la révolution française que le système décimal va
véritablement être introduit. Il faudra nalement attendre le milieu
du XIXe siècle pour qu'il s'impose dans la plupart des domaines et
la plupart des pays. Une grande partie du monde utilise aujourd'hui
un système décimal pour les poids, les mesures de longueur, d'aire,
de volume, mais aussi pour les monnaies.
On peut se faire une idée de la complexité du système de l'Ancien
régime en feuilletant par exemple l'Arithmétique de François
Barrême (1638-1703), un livre dont le succès fut tel que l'auteur a
donné son nom aux barèmes utilisés pour noter les élèves. À son
époque, on pèse la monnaie d'argent en marc, once, gros et denier.
Le blé et le sel se comptent en muid, septier, minot et quarts. On
mesure les distances et toises, pieds, pouces et lignes. L'auteur
passe plusieurs centaines de pages à expliquer comment procéder aux
additions, soustractions, multiplications, divisions et puissances
dans tous ces systèmes :
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 18
M1 - MEEF 4 Arithmétique des entiers naturels
Aujourd'hui, la plupart des activités courantes pour lesquelles on
fait appel à la numération utilise un système positionnel décimal.
Ce système est cependant loin d'être le seul, et les élèves doivent
apprendre à utiliser les autres systèmes répandus dans la vie
courante.
Le plus connu est bien sûr la mesure du temps. En CE1 et CE2, les
élèves doivent apprendre à lire l'heure sur une montre à aiguille,
connaître la relation entre heure et minute, ce qui est loin d'être
évident. En CE2, ils apprennent tout le spectre des unités de temps
: seconde, minute, heure, jour, mois, année. En CM1, ils apprennent
à calculer avec les heures, et en CM2 ils doivent être capable de
calculer une durée à partir de la donnée de l'instant initial et de
l'instant nal 15, typiquement des exercices du type : un train part
à 15h34 de Bordeaux et arrive à 19h08 à Paris-Montparnasse, quelle
est la durée du trajet ?
On retrouve dans ces calculs les dicultés que nous avons soulignées
tout au long de ce chapitre. Il faut arriver à faire comprendre
pourquoi 50 minutes + 50 minutes = 1 heure 40 minutes ; plus
compliqué, que 2,5 minutes n'équivalent pas à 2 minutes et 5
secondes, mais 2 minutes et 30 secondes. Un autre système que les
élèves devront apprendre à manipuler est la mesure des angles, avec
la correspondance : 1 degré = 1
360 cercle, 1 minute = 1 60 de degré et 1 seconde = 1
60 minute.
Dans de nombreux domaines techniques, on utilise en outre des
systèmes de numération spéciques. Dans le commerce, les bouteilles
de vins se vendent par caisse de douze, et les palettes contiennent
en général 504 bouteilles. Les diagonales des téléphones portables
sont exprimées en pouces et en huitième de pouces. Le codage
informatique des couleurs, pour l'achage sur écran, se fait en
système RVB (Rouge-Vert-Bleu). Chaque ton est caractérisé par une
valeur de rouge, vert et bleu, comprise entre 0 et FF (système
hexadécimal), c'est-à-dire entre 0 et 255 (système décimal)
16.
4 Arithmétique des entiers naturels
Deux étudiants, sérieux et intelligents, sont en train de discuter
à la cantine.
Leur professeur de mathématiques passe par là et leur tend une
carte à chacun. Sur chaque carte gure un nombre entier , commence
le professeur, et le produit des deux nombres est soit 12, soit 15,
soit 18. Le premier à deviner le nombre écrit sur la carte de
l'autre a gagné.
La première étudiante regarde sa carte et dit : Je ne sais pas quel
est ton nombre .
Le second étudiant rééchit, regarde sa carte et répond : Je ne sais
pas non plus quel nombre est écrit sur ta carte .
La première étudiante réechit et conclut : Maintenant, je sais quel
est ton nombre 17.
15. Référentiel Eduscol 2012, cycle 3. 16. En langage HTML par
exemple, la commande color : 0080FF produit un bleu clair. En eet,
la valeur 00 s'applique
au rouge, la valeur 80 (128 en décimal) s'applique au vert et la
valeur FF (255 en décimal) s'applique au bleu. 17. Emprunté à
Trevor Ferril, initialement publié sur
https://fivethirtyeight.com/features/
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 19
Quel nombre se trouve sur la carte du perdant ?
4.1 Multiples et diviseurs
Dire que le nombre entier a est un multiple du nombre entier
naturel b signie qu'il existe un nombre entier naturel k tel que a
= b× k. Si les entiers naturels a et b sont multiples de c, alors
a+ b est aussi multiple de c.
Si a est multiple de b et si b est multiple de c, alors a est
multiple de c.
Démonstration : on ne fera pas beaucoup de démonstrations, mais
comme celle-ci est simple, autant la faire. Nous savons que a est
multiple de b, donc par dénition il existe un nombre entier naturel
k tel que a = b×k. On sait de plus que b est multiple de c, donc
par dénition il existe un nombre entier naturel k' tel que b =
c×k′. Dans notre première expression, on peut remplacer b par
l'équation que nous venons de trouver, et l'on obtient : a = (c×
k′)× k. Comme la multiplication est associative, on peut écrire a =
c × (k′ × k) et l'on vient de prouver que a est un multiple de c
18.
Dire que le nombre entier a est un diviseur du nombre entier
naturel b signie qu'il existe un nombre entier naturel k tel que b
= a× k. Tout comme pour le multiple, on a les propriétés suivantes
:
⇒ Si un entier naturel c est un diviseur de a et de b, c'est alors
aussi un diviseur de a+ b.
⇒ Si a est un diviseur de b et si b est un diviseur de c, alors a
est un diviseur de c.
Quelques propriétés utiles sur les multiples et diviseurs :
le nombre 1 est diviseur de tout nombre entier naturel (n = 1× n)
tout nombre entier naturel est multiple de 1 (n = 1× n) tout nombre
entier naturel est multiple et diviseur de lui-même.
4.2 Nombres premiers et critères de divisibilité
Les critères de divisibilité sont des méthodes, des algorithmes,
permettant de déterminer rapidement si un nombre n est divisible
par un autre nombre, généralement 2, 3, 5, etc. . .. Il faut
connaître les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10, car
ils sont au programme du cycle 3 19.
2 : Un nombre sera divisible par deux ssi son chire des unités est
pair. 3 : Un nombre est divisible par trois ssi la somme de ses
chires est divisible par 3. 4 : Un nombre est divisible par quatre
ssi le nombre formé par ses deux derniers chires est
divisible
par 4. 5 : Un nombre est divisible par cinq ssi son dernier chire
est 0 ou 5. 9 : Un nombre est divisible par neuf ssi la somme de
ses chires est divisible par 9. 10 : Un nombre est divisible par
dix ssi son dernier chire est 0.
Des exercices de concours peuvent porter sur l'étude ou la
démonstration d'autres critères, qui peuvent avoir l'air farfelus.
Un nombre est ainsi divisible par sept si son nombre de dizaines,
moins le double du chire des unités, est un multiple de sept.
Dénition : Un nombre entier naturel est dit premier s'il a
exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Une conséquence immédiate et que 0 et 1 ne sont pas premiers. Les
premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ...
Il faut savoir déterminer si un nombre n est premier. Pour cela, il
faut tester s'il est divisible par tous les nombres premiers (2, 3,
5, . . . ). On continue jusqu'à
√ n. Pourquoi ?
Il faut savoir décomposer un nombre n en produit de facteurs
premiers. Décomposer n en produit de
can-you-outsmart-our-elementary-school-math-problems/. 18. Comme k
et k' sont deux entiers naturels, leur produit est un entier
naturel. 19. Il faut également savoir les démontrer, car le
programme du cycle 4 indique Démontrer les critères de
divisibilité
(par exemple par 2, 3, 5 ou 10) ou la preuve par 9. (voir
Programmes, septembre 2015, p. 361).
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 20
facteurs premiers, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de
facteurs qui sont tous des nombres entiers naturels premiers. Cette
décomposition existe toujours et est unique.
Pour faire cela, on utilise la procédure (l'algorithme) suivant :
On divise n par le plus petit nombre premier par lequel il est
divisible (pour 2, 3, 5 et 7, on pense
à utiliser les critères de divisibilité). On prend le quotient, et
on le divise par le plus petit nombre premier par lequel il est
divisible. On continue jusqu'à obtenir un. La décomposition est le
produit de tous les diviseurs suc-
cessifs.
Exemples : trouver la décomposition en produit de facteurs premiers
de 156, 221 et 307.
Une fois que l'on a la décomposition unique d'un nombre entier n en
produit de facteurs premiers, on peut arriver à retrouver tous ses
diviseurs. Le faire pour les exemples précédents. Si la
décomposition en produit de facteurs premiers d'un nombre n est
ap×bq×cr, alors il possède exactement (p+1)(q+1)(r+1)
diviseurs.
4.3 Multiples et diviseurs communs à deux nombres
Les multiples et diviseurs communs à deux nombres ne gurent
théoriquement plus dans le programme du collège. Ils sont cependant
utiles pour appréhender certaines congurations du primaire. Voici
donc un bref rappel sous la forme d'exemples.
Exercice 1 : Un producteur a récolté 1 800 oignons de tulipes
jaunes et 840 oignons de tulipes noires. Il veut vendre tous ces
oignons en sachets ayant la même composition en oignons des deux
sortes (en utili- sant toute sa récolte). Quel est le plus grand
nombre de sachets qu'il peut faire ? Quelle est la composition d'un
sachet ?
On demande de répartir les oignons jaunes et noirs en sachets de
même composition. Cela suppose donc de partager chaque nombre (1800
et 840) par un nombre s de sachets. Puisqu'il est précisé que la
totalité de la récolte doit être utilisée, cela signie que ce
nombre s doit diviser à la fois 1800 et 840. On cherche donc le
plus grand diviseur commun à ces deux nombres. En utilisant
l'algorithme d'Euclide, la décomposition en produit de facteurs
premiers ou en listant l'ensemble des diviseurs à la main, on
trouve 120. Puisque les 1800 oignons sont répartis dans 120
sachets, il y en a donc 15 à chaque fois ; de même on trouve sept
oignons noirs dans chaque sachets.
Exercice 2 : La cantine de l'ESPE commande les ingrédients pour
réaliser des hamburgers. Les petits pains ronds sont vendus par
paquet de six tandis que les steacks hachés sont vendus par paquet
de huit. Pour éviter le gaspillage, quelle est la quantité minimale
à commander an d'utiliser tous les pains et tous les steacks
?
Le nombre recherché doit être divisible à la fois par six et par
huit : s'il ne l'était pas, il y aurait un reste , au sens propre
comme au sens guré. On cherche donc le plus petit multiple commun à
6 et 8. On peut le trouver en utilisant la décomposition en produit
de facteurs premiers, ou bien en listant les multiples successifs
des deux nombres. La réponse est ici 24 (un nombre inférieur au
produit des deux nombres, 6× 8 = 48).
5 Géométrie plane : rappels
En géométrie plane, on distingue la droite, la demi-droite et le
segment.
la droite est une ligne rectiligne innie, que l'on note entre
parenthèses : (AB) la demi-droite d'origine A et passant par B se
note [AB) le segment est une portion de droite, délimitée par deux
points : [AB]
La longueur du segment [AB], c'est-à-dire la distance entre les
points A et B, est notée AB. La droite, par dénition innie, n'a pas
de longueur.
Deux droites (AB) et (A'B') sont perpendiculaires, et notées (AB) ⊥
(A′B′), si elles forment un angle droit (90).
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 21
M1 - MEEF 5 Géométrie plane : rappels
Cela suppose de savoir construire une droite perpendiculaire à une
droite donnée et passant par un point : Une première méthode
utilise l'équerre, placée sur la droite (AB) et que l'on fait
glisser jusqu'à
atteindre le point A. La seconde méthode, avec le compas et la
règle : on trace un arc de cercle de centre A, qui coupe
la droite (AB) en deux points. On trace depuis ces deux points deux
arcs de cercle de même rayon qui se coupent en un point, et l'on
relie ce point à A.
Il n'y a qu'une seule droite passant par un point et
perpendiculaire à une droite donnée.
Deux droites (AB) et (A'B') sont dites parallèles, et notées (AB)
(A′B′) si elles n'ont aucun point en commun ou bien si elles sont
confondues.
Il n'y a qu'une seule droite parallèle à une droite donnée et
passant par un point donné. Il faut savoir tracer une droite
parallèle à une droite donnée et passant par un point donné. Il y a
deux méthodes :
avec l'équerre : on trace une droite perpendiculaire, passant par
le point donné, et perpendiculaire à la droite que l'on vient de
tracer (par dénition, deux droites perpendiculaires à la même
droite sont parallèles entre elles).
avec le compas et la règle : on prend deux points sur la droite, et
l'on construit deux arcs de cercles an d'obtenir un
parallélogramme.
On dénit ensuite la distance d'un point C à une droite (AB) comme
la plus petite distance entre ce point et n'importe quel point de
la droite (AB). Pour la calculer, on utilise la perpendiculaire à
(AB) passant par C. Elle coupe (AB) en H, et CH est la distance
recherchée.
La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants
des deux extrémités du segment. Autrement dit, c'est la droite
perpendiculaire au segment passant par son milieu.
La médiatrice est d'ailleurs un axe de symétrie du segment (la
symétrie sera vue au second semestre). Il faut savoir tracer la
médiatrice d'un segment. On peut utiliser l'équerre (on place le
milieu→ on construit la perpendiculaire) ou bien la règle et le
compas. Dans ce cas, tracer deux arcs de cercle depuis les deux
extrémités du segment, avant de relier les points ainsi
construit.
5.1 Cercle et disque
Un cercle de centre O et de rayon r (avec r > 0) est l'ensemble
des points situés à une distance r du point 0.
Le disque de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M
vériant l'inégalité OM ≤ r. C'est en quelque sorte un cercle
plein.
On nomme rayon du cercle tout segment reliant le centre à un point
situé sur le cercle. On nomme diamètre du cercle tout segment
reliant deux points situés sur le cercle et passant par
le milieu. On nomme corde du cercle tout segment dont les
extrémités sont sur le cercle. On nomme arc de cercle toute portion
de cercle limitée par deux points. On note un arc de cercle
de la manière suivante : AB. Une tangente à un cercle est une
droite qui a un point commun avec ce cercle (et un seul).
La tangente à un cercle de centre O en un point donné T est la
droite perpendiculaire au rayon [OT] passant par T. Cela permet de
construire la tangente à partir du point T.
On nomme cercle circonscrit à un triangle le cercle qui passe par
les trois sommets de ce triangle. Pour construire ce cercle à
partir d'un triangle ABC quelconque, il sut de tracer les
médiatrices des côtés du triangles. Celles-ci se coupent en un
point qui est le centre du cercle, et que l'on peut donc tracer à
partir d'un des trois sommets.
5.2 Angles
Un angle est une portion de plan délimitée par deux demi-droites de
même origine. Cette origine commune est le sommet de l'angle, les
deux demi-droites sont ses côtés.
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 22
M1 - MEEF 5 Géométrie plane : rappels
On note un angle avec trois symboles (demi-droite / sommet /
demi-droite) surmontés d'un chapeau, par exemple xAy.
Un angle est droit mesure 90. Un angle est aigu s'il est inférieur
à un angle droit. Un angle est obtus s'il est compris entre un
angle droit et un angle plat (qui mesure 180).
Remarque : notre dénition de l'angle est ambigüe, puisqu'un sommet
et deux demi-droites dénissent en fait deux angles, l'un inférieur
à 180 et l'autre supérieur. L'angle inférieur à l'angle plat est
nommé saillant, l'angle supérieur à un angle plat est nommé
rentrant. Sur la gure ci-dessous, l'angle α est saillant et l'angle
β est rentrant.
Deux angles sont complémentaires si la somme de leur mesure est
égale à 90.
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leur mesure est
égale à 180.
Deux angles sont adjacents s'ils ont un sommet et un côté en
commun. Ils doivent de plus être situés de part et d'autre de ce
côté.
Deux angles sont opposés par le sommet si leur sommet est commun et
que leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre.
⇒ deux angles opposés par le sommet sont égaux. Ici les angles α et
α′ sont opposés par le sommet et donc égaux.
La bissectrice d'un angle est la droite passant par le sommet de
l'angle et le partageant en deux angles égaux. Elle constitue
l'ensemble des points équidistants des côtés de cet angle.
Deux droites parallèles coupées par une même droite forment des
angles alternes-internes et des angles correspondants. Ces angles
sont égaux. Ici les angles α et γ sont correspondants, tandis que
les angles β et γ sont alternes-internes :
Réciproque : Si deux droites coupées par une même droite forment
des angles alternes-internes égaux, ou des angles correspondants
égaux, alors ces droites sont parallèles.
Dans un cercle, on nomme angle au centre tout angle dont le sommet
est le centre du cercle.
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 23
M1 - MEEF 5 Géométrie plane : rappels
Dans un cercle, on appelle angle inscrit tout angle dont le sommet
est un point du cercle.
Propriétés :
Dans un cercle, si un angle inscrit intercepte le même arc qu'un
angle au centre, alors il mesure la moitié de cet angle.
Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc,
alors ils sont égaux. Dans un cercle, si [AB] est un diamètre et C
un point du cercle, alors le triangle ABC est rectangle
en C.
5.3 Polygones
J'aime les maths, Belin, cycle 3, CM2, programmes 2016, p.
142.
En géométrie, il est intéressant de faire appel à l'étymologie pour
favoriser la compréhension des élèves face à des termes en
apparence abscons.
On dit qu'un polygone est convexe s'il est tout entier situé du
même côté de chaque droite formée à partir d'un des côtés. Dans le
cas contraire, on dit qu'il est concave. Enn, si certains de ses
côtés se coupent, on dit qu'il est croisé.
Un polygone est régulier si tous ses angles et tous ses côtés sont
égaux.
⇒ Un polygone régulier est inscriptible dans un cercle.
⇒ Tout polygone régulier peut être tracé avec un rapporteur.
Il faut savoir tracer certains polygones réguliers sans rapporteur
(hexagone, octogone, dodécagone ...)
ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 24
M1 - MEEF 5 Géométrie plane : rappels
5.4 Quadrilatères
