Mathématiques : aspects disciplinaires et didactiques

M1 - MEEF Table des matières

Mathématiques :

aspects disciplinaires et didactiques

Table des matières

1 Nombres et calcul : les ensembles de nombres 21.1 Les ensembles de nombres N, Z, D, Q et R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Calculer sur les nombres relatifs, sur les fractions et les puissances . . . . . . . . . . . . . 5

2 Le calcul élémentaire et son enseignement 5

2.1 Enseigner les quatre opérations et leurs algorithmes de résolution . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Fractions et décimaux à l'école primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Les systèmes de numération 13

3.1 Approche historique de la numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Numération de position en base quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 D'autres systèmes utilisés aujourd'hui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Arithmétique des entiers naturels 19

4.1 Multiples et diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2 Nombres premiers et critères de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3 Multiples et diviseurs communs à deux nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Géométrie plane : rappels 21

5.1 Cercle et disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.3 Polygones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.4 Quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6 Aspects didactiques 26

6.1 La démonstration en géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.2 Programme de construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7 Géométrie du triangle 28

7.1 Triangles superposables et triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7.2 Théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.3 Théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7.4 Rappels sur la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

ESPE Lille Nord-de-France. Thomas Morel, 2019, 1

M1 - MEEF 1 Nombres et calcul : les ensembles de nombres

1 Nombres et calcul : les ensembles de nombres

Ce chapitre a comme objectif principal de faire le point sur les ensembles de nombres (N, Z, D, Q, R) etleurs relations.

Les nombres entiers naturels sont l'ensemble de nombres le plus simple à concevoir et à construire.On les nomme � nombres entiers naturels � et on les désigne collectivement à l'aide du symbole N. Cesont les nombres que l'on utilise spontanément pour compter des objets.

Historiquement, ce sont les premiers nombres à avoir été utilisés, puis étudiés par les mathématiciens.On a toujours eu besoin de dénombrer dans la vie de tous les jours : les collections obtenues sont parfoisreprésentées par des suites d'entailles sur des os, du bois. . . Des techniques corporelles de dénombrementse mettent ensuite en place, par exemple sur les doigts. La notion de succession apparaît progressivementet une succession de termes est utilisée pour dénombrer. Le nombre est ensuite associé à une collectiond'objets, indépendamment de l'ordre de comptage.

Les premiers systèmes écrits de numération apparaissent dès 4000 avant notre ère : les sumériens utilisentdes calculi (cailloux ou billes d'argile) pour désigner les di�érents nombres en s'appuyant sur un systèmede numération en base 60 1. L'invention du zéro est beaucoup plus récente : il apparaît tout d'abordcomme symbole pour noter l'absence d'unité d'un certain ordre. Le zéro comme nombre à part entièreapparaît autour du Ve siècle en Inde, à peu près en même temps que la numération indienne, qui deviendrale système décimal utilisé aujourd'hui : le système de numération indo-arabe.

Dé�nition : Pour dé�nir les nombres entiers naturels, on peut utiliser une méthode intuitive. Le zéro(dont le symbole est � 0 �) est le premier entier naturel. Pour obtenir un nouvel entier naturel, il su�tensuite d'ajouter 1 à un entier existant. En partant du zéro, on obtient 0 + 1 = 1 : 1 est donc un entiernaturel. 1+1 = 2, donc 2 est un entier naturel, 2+1 = 3, donc 3 est un entier naturel, et ainsi de suite 2.

Il est important de distinguer nombre et chi�re : le chi�re est un symbole, une représentation dunombre. Un nombre est donc composé d'un ou plusieurs chi�res, tandis qu'un chi�re est seulement unsymbole graphique. Les chi�res 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 sont des signes, des conventions qui permettentde représenter les di�érents nombres.

On distingue deux aspects importants du nombre, l'aspect cardinal et l'aspect ordinal. Le premiercorrespond à l'idée de � taille �, le second à celle de � position �.

Par cardinal, on désigne la propriété d'un ensemble d'objets désignant sa taille : � quatre � est ainsile cardinal des ensembles correspondants au nombre des saisons, aux points cardinaux, au nombre decouleurs dans un jeu de cartes, etc. En français, les déterminants numéraux cardinaux désignent unequantité : � un �, � quatre-vingt �, � mille-et-une �, � douze millions � . . .

Par ordinal, on désigne le rang d'un objet dans une collection, c'est-à-dire dans un ensemble. En français,les adjectifs ordinaux désignent la position d'un objet pris dans un groupe : � le premier �, � le quatre-vingtième � . . .

Il faut bien maîtriser ces deux aspects cardinal et ordinal du nombre. Au-delà du concours - où ils sontimportants - ils jouent un rôle crucial à l'école maternelle, c'est-à-dire au tout début de l'apprentissagedes nombres entiers. Les enfants commencent par évoquer des quantités, puis des rangs dans une listeordonnée. C'est alors qu'est apprise la comptine orale des nombres : un, deux, trois, quatre ...

Il est cependant di�cile d'estimer la maîtrise qu'ont les enfants des nombres. Utiliser des mots-nombresne signi�e pas nécessairement que les aspects cardinal et ordinal du nombre sont compris. Un élève peutsavoir réciter mécaniquement la comptine numérique sans savoir compter. Le professeur doit donc menerune étude systématique des nombres et présenter des problèmes variés : construire des collections demême taille, dénombrer des collections, se souvenir de la position d'un objet dans une liste, comparer des

1. Voir la suite du cours p. 152. On sent intuitivement que l'ensemble des entiers naturels est in�ni. En e�et, on ne peut penser qu'il existe un � plus

grand entier naturel �. La dé�nition que nous avons proposée nous permet d'aller un peu plus loin : si n est un entiernaturel, alors n + 1 l'est aussi. S'il existait un entier naturel a qui soit � le plus grand �, alors a + 1 serait lui aussi unentier naturel, ce qui est une contradiction.



collections, compléter des collections, trouver la quantité obtenue après ajout ou soustraction d'objet,déplacer des pions sur une piste graduée.

⇒ Pour approfondir, voir par exemple Michel Fayol, L'acquisition du nombre, Paris, PUF, 2012, enparticulier les pages 55 à 72.

1.1 Les ensembles de nombres N, Z, D, Q et R

Reprenons l'ensemble des entiers naturels N. Pour indiquer qu'un élément appartient à cet ensemble,par exemple � 4 est un entier naturel �, on écrit 4 ∈ N.

L'ensemble des entiers naturels possède plusieurs propriétés :

� Tout nombre possède un successeur (soit le nombre a ∈ N, alors a+ 1 ∈ N)� Cet ensemble est donc in�ni (on ne trouve pas un nombre n plus grand que tous les autres).� Entre deux nombres a et b donnés, il n'existe qu'un nombre �ni d'entiers naturels.

Cet ensemble contient une in�nité de nombres, mais cela ne signi�e pas qu'il contient tous les nombres.On remarque rapidement des phénomènes surprenants : toute addition de nombres entiers appartient àl'ensemble des nombres entiers, par exemple

3 + 5 = 8 (et 8 ∈ N)

Cette observation n'est cependant pas vraie pour la soustraction :

6− 4 = 2 ∈ N,

mais 4− 6 = (−2) /∈ N.

De même, si toute multiplication de nombres entiers donne bien un nombre entier (∀ a, b ∈ N : a×b ∈ N),ce n'est pas le cas de la division :

6÷ 2 = 3 ∈ N,

mais 2÷ 6 = 13 /∈ N.

Les nombres négatifs, certaines fractions ou racines carrées sont donc bien des nombres, mais qui n'appar-tiennent pas à l'ensemble des entiers naturels. On va ainsi dé�nir de nouveaux ensembles, qui � contiennent �l'ensemble des entiers naturels :

� Z : l'ensemble des nombres entiers relatifs. Il s'agit de l'ensemble des nombres entiers munisd'un signe positif ou négatif. Pour chaque nombre entier naturel a, son opposé (-a) est un nombrerelatif 3.

� D : l'ensemble des nombres décimaux. Ce sont tous les nombres qui peuvent s'écrire sous laforme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10. Autrement dit, ce sont tousles nombres que l'on peut écrire de manière décimale �nie. Ces deux dé�nitions sont équivalentes,puisque par exemple 18

100 = 0, 18.� Q : l'ensemble des nombres rationnels, noté Q comme � quotient �. Ce sont l'ensemble des

nombres que l'on peut écrire sous la forme de fractions, c'est à dire ab avec a, b ∈ Z. Pour chaque

nombre rationnel (que l'on écrit ab ), son inverse b

a est lui aussi rationnel.⇒ On remarquera que tous les nombres décimaux sont aussi des nombres rationnels : d ∈ D ⇒

d ∈ Q.� R : l'ensemble des nombres réels. Il existe des nombres qui ne sont ni entiers naturels, ni entiers

relatifs, ni décimaux, ni même rationnels : on les nomme nombres irrationnels. On peut penserà√2 ou bien au nombre pi (π). Ces nombres, même s'ils sont parfois facile à construire (

√2 est la

diagonale d'un carré de côté 1, π s'obtient en traçant un cercle), ne peuvent s'écrire sous forme defraction. Si l'on prend tous les ensembles de nombres précédemment étudiés et que l'on y ajouteceux-ci, on obtient l'ensemble des nombres réels.

3. Attention, a est aussi un nombre relatif. Le symbole Z vient de l'allemand Zahl, qui signi�e nombre (entier).



Source : Zach Weinersmith, Saturday Morning Breakfast Cereal 4.

Il est intéressant d'étudier les relations qui existent entre ces ensembles. Si l'on prend un nombre entiernaturel (par exemple 3), il appartient aussi à l'ensemble des entiers relatifs, mais également à celui desdécimaux (on a par exemple 3 = 3, 0), à celui des rationnels (3 = 30

10 ) et �nalement à celui des réels.

On dit qu'il y a une relation d'inclusion entre ces ensembles : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. On peut représentercette relation par un schéma :

Remarque : Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec une virgule et un nombre �ni dechi�res à droite de la virgule, ou pour le dire autrement, comme une fraction dont le dénominateur estune puissance de 10. Tout nombre décimal est donc rationnel (D ⊂ Q). Mais l'inverse n'est pas forcémentvrai : 2

3 est rationnel mais n'est pas décimal (Q 6⊂ D). Pour savoir si une fraction représente un nombredécimal, il faut obtenir sa fraction irréductible et véri�er si son dénominateur peut s'écrire comme produitde puissances de 5 et de puissances de 2. Par exemple :

740 = 7

8 ×15 = 7

23 ×15 = 7

23×5

Sept quarantièmes est donc un nombre décimal. Puisque l'on a montré qu'il peut s'écrire sous forme defraction décimale, on peut aller plus loin et chercher cette fraction :

740 = 7

23 ×15 = 7

23 ×52

53 = 7×25(2×5)3 = 175

103

4. http://www.smbc-comics.com, 4 août 2001.


http://www.smbc-comics.com

M1 - MEEF 2 Le calcul élémentaire et son enseignement

Il est important de distinguer nombre décimal et écriture décimale. On peut avoir une écrituredécimale pour des nombres qui sont par exemple entiers (et donc décimaux), par exemple 5 = 5, 00.Les nombres rationnels non décimaux ont également une écriture décimale. Ainsi le nombre 2

3 est unrationnel non décimal (il ne peut s'écrire sous la forme a

10n ), mais il possède une écriture décimale :23 = 0, 6 = 0, 666666 . . . . Ce nombre n'est cependant pas décimal, car son développement décimal estillimité.

1.2 Calculer sur les nombres relatifs, sur les fractions et les puissances

Un nombre important de connaissances est nécessaire pour pouvoir bien suivre le reste du cours. Il fautsavoir distinguer l'opposé d'un nombre et son inverse. Il faut maîtriser la règle des signes et savoir cequ'est la distance à zéro d'un nombre relatif, ou ce que sont une troncature et un arrondi (par défaut oupar excès). Il faut utiliser e�cacement le calcul fractionnaire, ainsi que les di�érentes formules de calculavec les racines et les puissances, maîtriser les développements et factorisations, etc.

Nous n'aurons pas le temps de revoir toutes ces notions importantes. Vous pouvez réaliser ce travail demanière autonome, en utilisant le manuel Sesamath. Celui-ci propose en accès libre cours et exercicesde niveau collège à l'adresse suivante : http://manuel.sesamath.net/?page=telechargement_cycle4_2016. Il est aussi disponible en version papier à la médiathèque de l'ESPE 5.

Voir en particulier les chapitres :� A2 sur les nombres relatifs.� A3 sur les nombres rationnels� A4 sur les puissances� Attention, les racines se trouvent dans le chapitre sur les triangles rectangles (D3 Triangles Rec-

tangles)

Les racines carrées : on dé�nit la racine carrée du nombre réel positif a, notée√a, comme le nombre

dont le carré est égal à a, c'est-à-dire tel que :

(√a)2 = a

Historiquement, on a très tôt rencontré des racines carrées. Il su�t par exemple de construire un carréde côté 1 et de chercher à mesurer sa diagonale. Une utilisation simple du théorème de Pythagore nouspermet de constater que sa diagonale est égale à

√2.

A�n de manipuler aisément les racines, il faut connaître la liste des carrés parfaits pour les nombres deun à quinze :

nombre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15carré 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225

2 Le calcul élémentaire et son enseignement

Les quatre opérations élémentaires enseignées en primaire sont :

� l'addition� la soustraction (basée sur l'addition)� la multiplication� la division (basée sur la multiplication)

Ces opérations possèdent des propriétés variées, que l'on utilise presque inconsciemment en calculant,mais que l'on doit enseigner aux élèves. Il est important de les connaître pour savoir décomposer etanalyser les opérations du calcul mental ou écrit. Il devient ainsi possible de comprendre les di�cultésd'apprentissage et de cerner d'où viennent les erreurs des élèves.

5. A�n de se rapprocher de l'esprit des programmes actuels, il n'y a qu'un seul manuel pour tout le cycle 4 (5e/4e/3e).


http://manuel.sesamath.net/?page=telechargement_cycle4_2016

http://manuel.sesamath.net/?page=telechargement_cycle4_2016


L'addition : elle peut être dé�nie de plusieurs façons. On peut se focaliser sur l'aspect cardinal,sur l'idée de quantité. Dans ce cas, l'addition de deux ensembles ou groupes d'objets A et B composésrespectivement de a et b éléments est le nombre a + b. Par exemple 3 pommes plus 18 pommes donnent21 pommes.

La somme a + b est par ailleurs égale à la position atteinte en comptant b nombres consécutifs dans lasuite ordonnée des nombres naturels à partir de a. C'est l'aspect ordinal de l'addition. Pour réaliser 2+ 7, on peut partir de 2 et compter 7 nombres en suivant : 2 → 3→ 4→ 5→ 6→ 7→ 8→ 9.

Propriétés de l'addition dans N :

(a+ b) + c = a+ (b+ c) associativité de +, on peut donc écrire a+ b+ ca+ b = b+ a commutativité de +, on peut donc permuter a et ba+ 0 = a 0 est élément neutre pour l'addition

La soustraction peut être dé�nie de manière similaire.

Aspect cardinal : si A et B sont deux ensembles, B étant un sous-ensemble de A, a - b est le nombred'objets qui appartiennent à A sans appartenir à B.

Aspect ordinal : la di�érence a - b est égale au nombre obtenu si l'on � remonte � b positions à partir dea.

La soustraction n'est ni associative ni commutative : a− (b− c) 6= (a− b)− c et a− b 6= b− a, ce qui peutrapidement se véri�er par des exemples. Il faut bien réaliser à quel point il est contre intuitif que 2 + 5soit égal à 5+ 2 alors que 5− 2 n'est pas égal à 2− 5. Elle possède d'autres propriétés, qui concrètementsont les règles que l'on a le droit d'utiliser pour réaliser les opérations de calcul. Ces propriétés sont :

conservation de la di�érence : 6− 3 = (6 + 4)− (3 + 4)ajout d'une di�érence : 6 + (7− 2) = (6 + 7)− 2

soustraction d'une somme : 6− (3 + 2) = 6− 3− 2soustraction d'une di�érence : 6− (3− 2) = 6− 3 + 2

La multiplication : Elle peut également être dé�nie de deux manières. Dé�nition à partir de l'addition :soit a et b deux nombres entiers naturels. La multiplication (ou le produit) de a par b est la somme deb nombres entiers naturels égaux à a, c'est-à-dire :

a× b = a+ a+ · · ·+ a︸︷︷︸b fois

Seconde dé�nition, basée sur l'idée de dénombrement : soit a et b deux nombres entiers naturels. Leproduit de a par b est le nombre de couples (x, y) qui peuvent être construits, avec x appartenant à unensemble composé de a éléments, et y appartenant à l'ensemble composé de b éléments.

Propriétés de la multiplication :

a× (b× c) = (a× b)× c associativité de ×, on peut donc écrire abca× b = b× a commutativité de ×, on peut donc permuter a et ba× 1 = a 1 est élément neutre pour ×a× 0 = 0 0 est élément absorbant pour ×

On dit en�n que la multiplication est distributive sur l'addition et la soustraction, ce qui s'exprime parl'égalité suivante :

a× (b+ c) = a× b+ a× c = ab+ ac

La division : On distingue généralement la division exacte et la division euclidienne (la plus courantedans N). Dans la division exacte, il n'existe pas de reste et le quotient est un nombre rationnel. Dans ladivision euclidienne, il existe un reste éventuellement nul et le quotient est forcément entier.



Division euclidienne : soit a et b deux nombres entiers naturels. La division euclidienne de a (le divi-dende) par b (le diviseur), est l'opération par laquelle on associe à a et b les nombres entiers naturels qet r tels quea = (b× q) + r q est le quotient entier ou euclidienr < b r est le reste

2.1 Enseigner les quatre opérations et leurs algorithmes de résolution

Par algorithme de résolution, on désigne les techniques usuelles par lesquelles on résout les quatre opé-rations. Le mot � algorithme � vient de la latinisation de � Al-Khwarizmi �, célèbre mathématicien delangue arabe ayant vécu à Bagdad au IXe siècle et acteur important dans le développement de l'algèbre.Un algorithme est un � ensemble de règles opératoires dont l'application permet de résoudre un problèmeau moyen d'un nombre �ni d'opérations � 6. C'est en fait une suite d'instructions qui amène toujoursà un résultat correct. Il est important de distinguer entre l'opération d'une part et ses algorithmes derésolution de l'autre.

Les élèves commencent généralement par apprendre les procédures sur des exemples simples, en faisantappel à du calcul mental ou du calcul en ligne (du type 12 × 15 = 10 × 15 + 2 × 15 = 150 + 30 = 180.Les élèves doivent ensuite maîtriser les algorithmes opératoires, c'est-à-dire les méthodes pour poseraddition, soustraction, multiplication et division. Le but n'est pas d'en faire des experts en calcul mentalou écrit, puisqu'il existe aujourd'hui des calculatrices et ordinateurs. Ils doivent cependant savoir le faireet surtout comprendre les mécanismes en jeu. L'enseignement et la maîtrise des algorithmes de calculposé est l'aboutissement d'un travail de compréhension sur la nature des opérations. Il est fondamentalque l'élève apprenne à � élaborer des stratégies de calcul à l'oral et à l'écrit � 7. En d'autres termes, savoircalculer signi�e, pour un calcul donné, identi�er quel est l'algorithme pertinent et savoir le mettre enoeuvre.

Prenons l'exemple de la division : des problèmes de partage sont ainsi abordés informellement dès la ma-ternelle, puis systématiquement au cycle 2, pour introduire le � sens de la division � (partages équitables,groupements). Ces exercices peuvent être résolus par des additions itérées ou des multiplications. Onpasse ensuite à des divisions en ligne reposant uniquement sur la maîtrise des tables de multiplications eten�n en CE2 à une technique de division posée (diviseur à un chi�re). On continue à travailler l'opérationau cycle 3, en introduisant les diviseurs supérieur à 9 et les dividendes décimaux.

Les calculatrices peuvent être utilisées dès le cycle 2. Le but n'est pas de remplacer le calcul, mais d'utiliserces outils pour comprendre et maîtriser de nouvelles méthodes : division avec reste, rôle des parenthèses,fonction mémoire. Autoriser la calculatrice est aussi un moyen de jouer sur les variables didactiques : sil'on veut que les élèves se concentrent sur un aspect particulier de l'exercice, on peut les décharger ducalcul en autorisant la calculatrice.

Pour travailler le calcul mental, le calcul en ligne et le calcul posé, les jeux sont un outils e�cace. Si l'oncherche à approfondir la conception des opérations, on pourra par exemple utiliser certaines ressourcesproposées par calcul@TICE, un outil développé par l'académie de Lille. Pour s'entraîner et réinvestir,c'est-à-dire travailler la mémorisation des tables et la mise en place de stratégies de calcul, il existe denombreux jeux comme le Compte est bon ou le Mathador. Attention cependant : chaque jeu n'a pas deraison d'être précisément adapté à la séquence que vous préparez. Il sera alors important de faire varierle matériel et les règles pour l'adapter à votre enseignement, sans quoi les élèves peuvent s'amuser sanstravailler précisément ce que vous souhaitez.

6. Dé�nition du dictionnaire Larousse.7. Programme pour les cycles 2, 3 et 4, p. 77.


https://calculatice.ac-lille.fr/spip.php?rubrique2


Extrait de Cap Maths, cycle 2, CE2, 2017, table des contenus. A l'intérieur d'une même unité, on noteun travail simultané sur di�érentes opérations, mais aussi di�érentes approches des calculs.

Il faut en particulier remplacer la dichotomie traditionnelle entre calcul mental et calcul écrit par ladichotomie calcul automatisé / calcul ré�échi. Un calcul est automatisé lorsqu'on le fait de tête, oulorsqu'on suit une procédure courante (poser une multiplication). Il est ré�échi quand, par exemple pourgagner du temps, on adopte une procédure spéci�que pour résoudre un calcul spéci�que (par exemple,pour faire 43 + 19, calculer 43 + 20− 1).

Enseigner addition et soustraction

L'apprentissage de l'addition et de la soustraction sur les nombres entiers naturels se fait au cours ducycle 2. Ces compétences sont ensuite étendues aux nombres décimaux et aux fractions au cours du cycle3.

Il faut bien distinguer di�érents types de problèmes en lien avec l'addition et la soustraction 8. S'ilspeuvent sembler similaires, leur structure et leurs variables didactiques vont amener des procédures derésolution bien di�érentes chez les élèves. On commence par �gurer la réalité en dénombrant, avant decompter par palier. La procédure experte, où l'élève reconnaît le calcul mathématique abstrait à e�ectuer,arrive plus tardivement.

Les procédures de résolution ne sont pas employées au hasard. Elles dépendent d'une part des capacitésde chaque élève, mais aussi également des variables didactiques en jeu. Parmi les variables importantespour les algorithmes de résolution de l'addition et de la soustraction, on peut ainsi citer :

� la grandeur des nombres utilisés : 5+8 ou 542+67 sont deux additions, mais qui impliquent desméthodes très di�érentes.

� leur écart : calculer 659− 656 et 54− 28 sont là encore deux opérations di�érentes, et la premièrese résout avec des outils plus simples, même si les nombres sont plus � grands �.

� la con�guration des nombres : sont-ils simples (nombres de 1 à 9, dizaines, centaines, nombresdivisibles par 5) ou bien sont-ils premiers, impairs ou sans relation ? Demander 1000 + 500 et17 + 29 n'implique pas la même procédure de la part de l'élève.

� le contexte : est-il familier ou au contraire complètement inconnu ?� la présentation de l'exercice : l'exercice est-il dicté ou sur une feuille ? Le calcul est-il donné,

ou bien est-ce un problème qui doit être modélisé ? Le résultat est-il un chi�re ou une réponse quia du sens ?

� les outils de résolution disponibles : a-t-on une calculatrice ? Une frise des nombres ? Une droitegraduée ? des jetons ? des cartes numérotées ? L'élève doit-il utiliser uniquement sa mémoire, oupeut-il écrire des résultats partiels ? Même une simple addition comme 18+13 ne se résout pas dela même manière selon que l'on travaille de tête ou bien avec un cahier.

Au cours du cycle 2, les élèves doivent acquérir le répertoire additif : connaître les tables d'additiondes chi�res de 1 à 9 permet d'en disposer en mémoire de long terme. Ainsi, ils peuvent s'attaquer àd'autres problèmes et utiliser instantanément ces résultats, sans les recalculer à chaque fois. Connaître lerépertoire additif, c'est notamment savoir réaliser les opérations suivantes (et donc, pour un enseignant,

8. Voir par exemple les travaux de Gérard Vergnaud, qui distingue composition d'état (Il y a huit enfants, trois sontdes �lles, combien y a-t-il de garçons ?), transformation d'un état (J'ai quatre euros et on m'en donne cinq, combien enais-je ?), . . . Lire Gérard Vergnaud, � Psychologie du développement cognitif et didactique des mathématiques. Un exemple :les structures additives �, in Petit x, 22, 1989, pp. 51-69.



poser des exercices pour apprendre ces résolutions) :

� ajouter ou retrancher 1 et 2 à un nombre inférieur à 10 : calculer 6 + 2 ou 5− 1.� connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 : 8 est le double de 4.� les décompositions avec 5 : 6 = 5 + 1.� connaître les compléments à 10 : pour aller à 10 depuis 6, il faut ajouter 4.� comprendre que l'addition est commutative : 2 + 6 est égal à 6 + 2 (plus facile à calculer).

Algorithme de l'addition : rien de particulier. L'opération peut être posée en colonne ou en ligne.

Soustraction posée en colonne : trois techniques principales cohabitent. Si l'on veut par exempleréaliser la soustraction suivante : 273− 125 = 148.

⇒ Méthode � par emprunt � : pour chaque colonne, soit la soustraction est directement possible, soitil faut enlever (� emprunter �) un élément dans la colonne suivante, et en ajouter 10 dans la colonneprésente.

Par rapport à l'addition, il faut non seulement connaître les équivalences 1 millier = 10 centaines, 1centaine = 10 dizaines, mais aussi connaître la table de soustraction jusqu'à 20.

⇒ Méthode � traditionnelle � : très similaire. Au lieu de poser la retenue � en haut � (en soustrayant 1à l'élément du haut) on ajoute un élément au deuxième terme (à l'élément du bas). Ici, au lieu de fairepour les dizaines (7− 1)− 2 on fera (6− 2)− 1.

⇒ Méthode � par complément � : pour chaque colonne, on pose la question � combien faut-il ajouter audeuxième élément pour obtenir le premier ? �. Le système de retenue fonctionne de la même manière.Dans notre exemple, que faut-il ajouter à 5 pour obtenir 3 ? Comme ce n'est pas possible, on ajoute unedizaine en posant une retenue.

Ici, il faut avoir compris l'équivalence entre a− b = x et b+ x = a, et savoir trouver le complément d'unnombre jusqu'à 20.

Enseigner multiplication et division

Comme pour l'addition et la soustraction, on peut bien distinguer di�érentes types de problèmes en lienavec la multiplication et la division. Ils vont également amener des procédures de résolution di�érenteschez les élèves. Pour la multiplication, on distingue :

� Proportionnalité simple avec présence de l'unité. Exemple : Nous avons x bouquets avec y �eurspar bouquets, combien y a-t-il de �eurs au total ?

� Produit de mesures. Exemple : Combien de repas di�érents peut-on composer avec x entrées et yplats di�érents ?

On voit bien ici que les procédures de résolution de ces problèmes dépendent en particulier de la variabledidactique � grandeur des nombres �. Si l'on a trois bouquets et quatre �eurs, il su�t soit de connaître lestables de multiplication, soit de mettre en place une procédure de type additif : 3×4 = 3+3+3+3 = 12.On pourrait ajouter d'autres solutions : faire un dessin, utiliser des jetons . . .

Si l'on a 23 bouquets de 16 �eurs chacun, il va falloir poser une multiplication et utiliser l'algorithmeclassique de résolution. Pour les produits de mesures, on peut penser à des schémas, des tableaux à doubleentrée, etc.

Pour la division, on peut utiliser les procédures suivantes, sans oublier toutes les procédures mixtes qu'unélève peut mettre en place :

� procédures imagées.� procédures additives ou soustractives� procédures multiplicatives.� utilisation de la division euclidienne ou de la division classique.



Multiplication posée en colonnes : il faut distinguer un cas simple, où le multiplicateur est inférieurà 10, et le cas général. Dans le cas simple, il faut calculer le produit du multiplicateur avec les unitésdu multiplicande, puis ses dizaines, . . . Il faut faire attention à enseigner correctement le principe de laretenue. Si l'on prend par exemple 623× 5, on peut bien sûr réaliser la multiplication mécaniquement. Ilsu�t alors de connaître les tables de multiplication pour des nombres inférieurs à 10.

Mais pour vraiment comprendre pourquoi l'algorithme fonctionne, l'élève doit avoir compris la dis-tributivité de la multiplication sur l'addition : ici on a en fait utilisé implicitement que 623 × 5 =(600 + 20 + 3)× 5 = 600× 5 + 20× 5 + 3× 5.

Si le multiplicateur est supérieur à 10, il faut commencer par le chi�re des unités (voir méthode précé-dente). On passe ensuite au chi�re des dizaines, en commençant par inscrire un zéro à droite du résultat.Il connaître non seulement la distributivité de la multiplication sur l'addition, mais aussi la propriétéd'associativité de la multiplication. Si l'on prend l'exemple 623× 205 :

� La distributivité de la multiplication sur l'addition permet de � découper � la multiplication géné-rale en opérations plus simples à résoudre : 623× 205 = 623× (5+200) = (623× 5)+ (623× 200).

� L'associativité de la multiplication est utilisée dans les calculs au rang des dizaines, centaines, . . ..C'est elle qui explique pourquoi on � décale � le calcul de 1, 2. . . rangs : 623×200 = 623×(2×100)= (623× 2)× 100. Et multiplier par 100, c'est in �ne ajouter deux zéros.

La multiplication � à virgule �, c'est-à-dire la multiplication avec un multiplicande possédant une partiedécimale, est introduite à la �n du cycle 3. Elle ne bouleverse pas l'algorithme, mais nécessite une bonnecompréhension du sens de l'opération. Il est bien sûr nécessaire de savoir expliquer le placement de lavirgule et ne pas se contenter de donner une règle mécanique. Il est à nouveau nécessaire de présenterl'intérêt du calcul ré�échi.

Extrait de Cap Maths, cycle 3, CM2, programmes 2016, p. 124.

Multiplication par jalousie selon l'Arithmeticae logistica de J.R. von Gra�enried, 1619(tiré de Schärlig, Compter en 1619 p. 79).

Division euclidienne : parmi les di�érents types de division, la division euclidienne est la plus cou-rante ; c'est en particulier la première qui est enseignée en primaire. On distingue deux grands types deproblèmes faisant intervenir la multiplication :

� problèmes de division-partition ou de partage, où l'on recherche la valeur d'une part. On diviseune somme x entre y personnes, on fait x rubans dans une bande de longueur y, et on cherche lavaleur d'une part. Elle est (un peu) plus simple conceptuellement car il y a une homogénéité desgrandeurs.



� problèmes de division-quotition ou de groupement, où l'on recherche le nombre de parts. Onfait des groupements de x éléments dans un ensemble de y éléments, on fait des rubans de xcentimètres dans une bande de y centimètres, et on cherche le nombre de parts. Il faut surmonterla di�culté suivante : ce qui est donné (dividende) n'est pas de même nature que ce qui est cherché(quotient).

On pose l'opération � en potence �. Il faut connaître la propriété implicite de division d'une somme :6326÷ 12 = (6000 + 300 + 20 + 6)÷ 12. Il faut ensuite savoir réaliser les multiplications et soustractionsintermédiaires. On note ici un fort risque de surcharge cognitive (voir ci-dessous), qui peut être réduit enadoptant une présentation détaillée avec les produits partiels et les soustractions successives :

6 3 2 6−6 03 2−2 48 6−8 42

1 25 2 7

Extrait de Cap Maths, cycle 3, CM2, programmes 2016, p. 92.

Remarque : Pour résoudre un calcul, un individu utilise sa mémoire de travail pour stocker les résultatsintermédiaires Mais cette mémoire est limitée en capacité (pas plus de 6 ou 7 éléments simultanés) eten durée. Si un élève doit gérer simultanément plusieurs activités il y a rapidement risque de surchargecognitive. Un moyen d'éviter le problème est d'acquérir des automatismes, c'est-à-dire concrètement detravailler les procédures jusqu'à ce qu'elles soient stockées en mémoire de long terme. C'est pour cela qu'onapprend par c÷ur les tables d'additions et de multiplications. Une autre piste est d'utiliser le brouillonpour prendre des notes et ainsi décharger la mémoire de travail.

2.2 Fractions et décimaux à l'école primaire

Les nombres rationnels (les fractions) peuvent être utilisés pour exprimer des mesures. C'est d'ailleursun moyen de les introduire, ou du moins une première application immédiate. Au cours du cycle 3, ondoit enseigner à � utiliser des fractions pour : rendre compte de partage de grandeurs ou de mesure degrandeurs dans des cas simples ; exprimer un quotient. Situation permettant de relier les formulations lamoitié, le tiers, le quart et 1

2 de, 13 de, 1

4 de, etc. (fractions vues comme opérateurs). Par exemple, enutilisant une demi-droite graduée, les élèves établissent que 5

10 = 12 , que

10100 = 1

10 , etc. Écrire une fraction



sous forme de somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1 � 9.

Un soin particulier est à apporter, du point de vue didactique, à l'introduction des fractions. Selon leprogramme du cycle 3 :

Les fractions puis les nombres décimaux apparaissent comme de nouveaux nombres introduits pourpallier l'insu�sance des nombres entiers, notamment pour mesurer des longueurs, des aires et repérerdes points sur une demi-droite graduée. Le lien à établir avec les connaissances acquises à proposdes entiers est essentiel. Avoir une bonne compréhension des relations entre les di�érentes unitésde numération des entiers (unités, dizaines, centaines de chaque ordre) permet de les prolonger auxdixièmes, centièmes, . . . Les caractéristiques communes entre le système de numération et le systèmemétrique sont mises en évidence. L'écriture à virgule est présentée comme une convention d'écritured'une fraction décimale ou d'une somme de fractions décimales. Cela permet de mettre à jour lanature des nombres décimaux et de justi�er les règles de comparaison (qui se di�érencient de cellesmises en ÷uvre pour les entiers) et de calcul. 10

Les fractions peuvent donc être introduites à partir d'une bande unité, qui sert d'outil pour mesurerdes segments. Diverses activités sont possibles, selon des modalités di�érentes (nombre de bandes dispo-nibles, possibilité de plier, etc). On peut penser à des premières activités où les longueurs à mesurer sontconstituées d'un multiple entier de la bande, ou bien en utilisant des 1

2 , des14 . Ce travail sur les fractions

simples doit être prolongé plus spéci�quement par l'étude des fractions décimales (dizièmes, centièmes,etc.) et par la présentation des nombres décimaux écrits avec une virgule.

Les programmes insistent bien sur les ponts à faire entre l'étude des nombres décimaux et la présentationdu système métrique, en privilégiant la lecture signi�ante 11 avec ses unités variées :

� longueurs : on cesse d'écrire 1m 35cm pour écrire 1, 35 mètre.� masses : gramme et son échelle (rappel : un kilogramme est le poids d'un 1dm3 d'eau).� aires : attention, il faut savoir expliquer pourquoi les égalités sont di�érentes du système de

longueur, ici 1dm2= 1100m

2.� durées : attention, les relations entre unités ne sont plus des puissances de 10 (base 60 pour les

secondes et minutes, 24 pour les heures, 365 pour les jours).

Les erreurs fréquentes sont par exemple :

� pour comparer deux nombres dont la partie entière est égale, les élèves vont souvent comparer lapartie décimale comme s'ils comparaient deux nombres entiers et arriver à des erreurs du type :� 15,14 est plus grand que 15,6 � (car 14 > 6).

� di�culté à comprendre que l'on peut trouver autant de décimaux que l'on veut, et que 3, 1 n'estpas le successeur � naturel � de 3.

Les fractions sont aussi utilisées en représentation de données, ce qui sera vu au second semestre.

Représenter les nombres entiers naturels

Les programmes insistent sur l'apprentissage par les élèves des nombres et de leur usage. Ainsi parexemple, dès la maternelle, il faut proposer des situations variées où la notion de nombre est implicite - parexemple des collections d'objets - et introduire les mots-nombres. On parle de représentation analogiquedes nombres : par des collections d'objets, des dés, des cartes, les doigts, etc.

A la �n du cycle 3, les élèves doivent savoir écrire les nombres en chi�res, en lettres, mais aussi savoirles désigner oralement. Et en�n, il est important que les élèves soient capables de passer d'un registre(analogique, verbal et symbolique) à l'autre 12. Nous allons ici rappeler les rapidement les principalesrègles.

9. Bulletin o�ciel du 26 novembre 2015.10. Bulletin o�ciel du 26 novembre 2015, p. 200.11. On distingue la lecture signi�ante de la lecture courante. Exemple : 12,43 devrait être lu � douze virgule quarante-

trois centièmes � ou bien � douze virgule quatre dizièmes et trois centièmes � car � douze virgule quarante trois � risque derenforcer certaines incompréhensions.12. C'est-à-dire accomplir des tâches du type : � montrer des doigts et demander combien sont levés �, � prononcer un

nombre qui doit être écrit en chi�re ou en lettre �, � trouver la carte qui porte un certain nombre �, . . .


M1 - MEEF 3 Les systèmes de numération

Désignation verbale (ou orale) : À la base, nous possédons dix mots-nombres qui correspondentaux dix chi�res indo-arabes utilisés à l'écrit : zéro (0), un (1), deux (2), trois (3), quatre (4), cinq (5), six(6), sept (7), huit (8) et neuf (9). Si notre numération orale était parfaite, nous pourrions nommer tousles nombres entiers naturels avec ces dix mots, tout comme on peut écrire tout nombre entier naturel avecles 10 chi�res. Cela donnerai des choses du type � cette machine à laver coûte 'quatre neuf neuf euros' �.

Or ce n'est pas ce que nous faisons. Nous indiquons oralement la valeur de chaque chi�re, en précisant laquantité qu'il désigne par les mots � dix, cent, mille �. Mais une fois de plus, ce n'est pas su�sant : ondit bien � trois mille quatre cent � pour 3400, mais on ne dit pas � quatre dix trois � pour 43.

Nous avons besoin en plus de mots pour désigner certains multiples de dix, les dizaines : vingt, trente,etc. Avec le connecteur � et � et en accolant ces mots, on obtient � soixante-dix �, � quatre-vingts � et� quatre-vingt-dix � (bien que l'on puisse aussi utiliser septante, octante et nonante). Il faut y ajouter sixmots-nombres supplémentaires pour désigner 11 (onze), 12 (douze), 13 (treize), 14 (quatorze), 15 (quinze)et 16 (seize). On voit ainsi que l'apprentissage de la numération orale, même uniquement jusqu'à cent,peut s'accompagner de grandes di�cultés pour les élèves. Pour compter jusqu'à cent, il faut ainsi 23mots-nombres et des règles complexes, qui ont de plus des exceptions.

Écriture des nombres en lettres : Les nombres composés peuvent s'écrire de deux manières, avecou sans traits d'union. Ainsi 61 peut s'écrire au choix � soixante et un � ou � soixante-et-un �. L'usagedu trait d'union permet de distinguer � cinquante et un quart � (50 + 1

4 ) de � cinquante-et-un quarts �( 514 )

13.

Ce bref aperçu de la manière dont nous prononçons et écrivons les noms montre qu'il s'agit d'une construc-tion complexe. Il s'agit d'un système inventé par les hommes, mais qui aurait pu être di�érent - et ence qui concernent l'écriture, aurait pu être plus simple. Il présente d'ailleurs des di�cultés importantespour les enfants.

⇒ Pour approfondir, vous pouvez regarder le dossier sur � La numération � du réseau Canopé avecStella Baruk à l'adresse suivante : https://www.reseau-canope.fr/mathematiques-stella-baruk/chapitre/la-numeration

3 Les systèmes de numération

Dé�nition : un système de numération est un ensemble de symboles et de règles régissant l'utilisation deces symboles a�n d'écrire et de manipuler des nombres.

3.1 Approche historique de la numération

Il existe deux types de systèmes de numération : les systèmes de type additif et les systèmes de typepositionnel. Aujourd'hui, le système de numération décimale - qui appartient à la famille des systèmespositionnels - est le plus couramment utilisé. Mais dans l'histoire, on a rencontré de nombreux systèmes, et

13. Ici, le pluriel de quart pourrait nous sortir d'a�aire, mais ce n'est par exemple pas le cas pour � tiers �.


https://www.reseau-canope.fr/mathematiques-stella-baruk/chapitre/la-numeration

https://www.reseau-canope.fr/mathematiques-stella-baruk/chapitre/la-numeration


d'autres existent encore aujourd'hui. Pour mieux comprendre la logique de notre mode de numération enbase décimale, et la manière dont nous calculons, il est utile d'étudier d'autres systèmes de numérations.

Les systèmes de numération additifs : historiquement, les systèmes additifs sont les plus anciens.Ils sont aussi les plus simples à appréhender. Dans un système de numération additive, chaque symbolepossède une unique valeur (en particulier, la valeur ne dépend pas de la position). Pour écrire un nombre,il su�t de mettre côte à côte, en suivant les règles du système, autant de symboles que nécessaire, enadditionnant leur valeur.

Le plus connu de ces systèmes est la numération romaine, encore parfois utilisée aujourd'hui :

I V X L C D M1 5 10 50 100 500 1000

Pour écrire des nombres dans ce système, les deux règles de bases sont : 1) on place à gauche les signesles plus grands, et 2) on utilise dès que possible les signes désignant les nombres les plus grands. Ainsipar exemple, on privilégiera � VI � à � IIIIII � 14.

Les systèmes additifs ont certains avantages. Ils sont simples à utiliser pour représenter de petits nombres.De plus, il peuvent être utilisés avec peu de connaissances mathématiques. Ils ont cependant plusieursinconvénients. Tout d'abord, l'écriture de grands nombres est complexe, car il faut un grand nombre dechi�res, sans cependant que le nombre de chi�res puisse donner une information immédiate sur la taille dunombre. De plus, il faut rajouter des symboles à chaque fois que l'on change d'ordre de grandeur (millier,millions, milliard . . .). En�n les calculs sont complexes à e�ectuer. Il faut distinguer deux choses :

� Ils nous semblent complexes car nous n'y sommes pas habitués.� Ils le sont véritablement. En e�et les algorithmes de calcul que nous utilisons actuellement sont

largement basés sur le caractère propositionnel de notre système de numération : Est-ce clair pourtout le monde ?

� On pourrait d'ailleurs se demander : comment multiplier ou diviser comme pouvaient le faire dansl'Antiquité les égyptiens, les grecs ou les romains ?

Les systèmes de numérations positionnels : dans un système positionnel, la valeur d'un symboledépend à la fois de sa forme et de sa position. Un symbole aura donc une valeur di�érente selon le rangqu'il occupe à l'intérieur de l'écriture du nombre. Plus précisément, chaque symbole possède une valeur,qui est multipliée par un coe�cient en fonction de sa position. Ce multiplicateur est nommé la basedu système. Prenons comme exemple le système décimal, que nous utilisons actuellement. Il repose surplusieurs principes :

� La valeur d'un signe dépend de sa position : Puisque notre système est dit � décimal �, les di�érentespositions possibles sont des puissances de 10 : 100 = 1 (on parle alors d'� unité �), 101 = 10 (onparle alors de � dizaine �), 102 = 100 (on parle alors de � centaine �), . . . Par exemple, le chi�re 3n'a pas la même valeur dans 3, dans 31 et dans 322.

� Il existe une base qui détermine le passage à l'unité supérieure : Si un groupement d'unités contientplus de 10 éléments, on peut convertir ces 10 éléments en une unité supérieure. Ainsi on ne dit pas� onze dizaines � (11× 10), mais � cent dix � (110).

� Il existe dix signes di�érents, un pour chaque élément de la base : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 0.

Décomposition d'un nombre dans le système décimal : un nombre, écrit dans un système dechi�res particulier, peut être écrit sous forme de décomposition en puissance de 10.

Ainsi par exemple le nombre 78 562 peut s'écrire :

14. Une troisième est parfois ajoutée, qui s'écarte légèrement du caractère additif : 3) un symbole placé à gauche d'unsymbole immédiatement supérieur s'en retranche. Ainsi � IV � signi�era 4 (qui peut aussi s'écrire � IIII �), et non pas 6 sile système était strictement positionnel. La position joue donc un rôle, et le système n'est pas strictement positionnel.



70000 + 8000 + 500 + 60 + 2⇔ 7× 10000 + 8× 1000 + 5× 100 + 6× 10 + 2× 1⇔ 7× 10× 10× 10× 10 + 8× 10× 10× 10 + 5× 10× 10 + 6× 10 + 2× 1⇔ 7× 104 + 8× 103 + 5× 102 + 6× 101 + 2× 100

On peut résumer cela dans un tableau de numération :

dizaines de milliers milliers centaines dizaines unités104 103 102 101 100

7 8 5 6 2

Le système de numération babylonien : avant de passer à la numération en base quelconque, étu-dions le système mésopotamien, qui est un système hybride. Celui-ci est essentiellement positionnel, maisutilise deux bases complémentaires, 10 et 60. Il est historiquement important, puisque c'est notammentgrâce à lui que nous écrivons les durées en base 60 (1 heure = 60 minutes et 1 minute = 60 secondes) etque nous mesurons les angles en degrés (360 degrés dans un cercle, 60 minutes par degré, . . .).

Le système de numération mésopotamien ne possède, dans sa variante la plus évoluée, que deux symboles :le clou (|) et le chevron (<). Par convention, le clou vaut 1 et le chevron vaut 10. Ce système fonctionnejusqu'à soixante de manière additive. Ainsi le nombre 11 s'écrit <| et le nombre 42 s'écrit < < < <||.

Le système est cependant positionnel en base soixante. Cela signi�e qu'un clou (|) placé à gauche d'unchevron ne vaut plus 1, mais 60. Ainsi par exemple |< <|||| vaut 84 (1×60+2×10+4×1). De même, unchevron (<) placé à gauche vaut 600 (10×60). On a ainsi < <|< < <|| = 1292 = 2×600+1×60+3×10+2.

Exemple : approche de la racine carrée de deux

Déjà chez les babyloniens, on a cherché à déterminer la longueur de la diagonale du carré unité. Latablette YBC 7289 en donne un bon exemple :

Elle porte au milieu le nombre suivant, en écriture babylonienne [1.24.51.10]. On peut donc l'interpréteren base soixante et la comparer à une approximation actuelle de

√2 = 1, 41421356...

La volonté des babylonien de déterminer cette longueur (ou ce rapport) est claire. Ceci est cependantimpossible, car le nombre

√2 est irrationnel.

3.2 Numération de position en base quelconque

Dire qu'un système de numération utilise une base b, c'est dire que le passage à un rang supérieur sefait par groupement de b éléments. En base dix, dix éléments constituent une dizaine et s'écrivent 10(c'est-à-dire 1× 101 + 0). En base b, b éléments s'écrivent 10b, c'est-à-dire 1× b1 + 0.



Un nombre qui, en base b, s'écrit anan−1an−2...a2a1a0 est égal à :

an × bn + an−1 × bn-1 + an−2 × bn-2 + ...+ a2 × b2 + a1 × b1 + a0 × b0

Exemple : considérons le nombre � 423 � écrit en base 5, que l'on note 4235. Ce n'est pas du tout� quatre-cent-vingt-trois �, mais � quatre-deux-trois en base cinq �, autrement dit quatre � vingt-cinquaines �,deux � cinquaines � et trois unités. Sa valeur est :

4235

⇔ 4× 52 + 2× 51 + 3× 50

⇔ 4× (5× 5) + 2× 5 + 3× 1⇔ 4× 25 + 2× 5 + 3⇔ 100 + 10 + 3⇔ 113

Une question importante est de savoir comment écrire ces nombres. Par dé�nition, un système en baseb possède b chi�res. En base 7, on utilise les chi�res 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Ainsi 107 vaut 7 en base 10(1× 71 + 0× 1) et 117 vaut 8 en base 10 (1× 71 + 1× 1).

Si la base b est supérieure à 10, il faut donc ajouter des chi�res. Prenons un exemple réel, celui de labase hexadécimale (base 16) utilisé en informatique. Par dé�nition, elle possède 16 symboles, qui sontpar convention :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Ainsi 1016 vaut 16 en base 10 (1× 161 + 0× 1), et 2C416 vaut

2C416

⇔ 2× 162 + 12× 161 + 4× 160

⇔ 2× (16× 16) + 12× 16 + 4× 1⇔ 2× 256 + 12× 16 + 4⇔ 512 + 192 + 4⇔ 708

Il est fréquemment demandé au concours de savoir écrire en base b un nombre donné en base 10, ou, àl'inverse, d'écrire en base 10 un nombre donné en base b.

Écrire en base 10 un nombre donné en base b : il faut écrire la décomposition du nombre enbase b. Cela peut se faire directement si vous maîtrisez bien le sujet. Sinon, ne pas hésiter à construireun tableau de décomposition. Pour prendre un exemple : écrire en base dix 56247. On peut construire letableau suivant :

73 72 71 70

5 6 2 4

Il su�t alors d'utiliser le tableau pour poser le calcul :

56247

⇔ (5× 73) + (6× 72) + (2× 71) + (4× 70)⇔ 5× 343 + 6× 49 + 2× 7 + 4⇔ 1715 + 294 + 14 + 4⇔ 2027

Écrire en base b un nombre donné en base 10 : c'est un peu plus complexe. On peut utiliser letableau de décomposition, ou raisonner directement par divisions. Par division euclidienne :

On divise le nombre donné en base 10 par b, et le reste donne le chi�re des unités. On prend le quotient,que l'on redivise par b, qui donne le chi�re de rang supérieur, et ainsi de suite. Essayons par exempled'écrire 54 en base quatre :



On divise 54 par 4 :

54 = 13× 4+ 2. On aura donc 54 = . . 24 et on continue avec 13

13 = 3× 4+ 1. On aura donc 54 = . 124 et on continue avec 3

3 = 0× 4 + 3.

54 s'écrit donc en base 4 3124. On peut véri�er en faisant le calcul inverse, c'est-à-dire en écrivant 3124

en base 10 :

3124

⇔ 3× 42 + 1× 41 + 2× 40

⇔ 3× 16 + 1× 4 + 2× 1⇔ 48 + 4 + 2⇔ 54

Les quatre opérations en base quelconque

Cette partie ne �gure pas explicitement au programme, mais les curieux peuvent essayer de s'y entraîner.Cela permet de poser un regard neuf sur la manière dont on réalise les opérations auxquelles nous sommeshabitués.

Pour réaliser une addition en base b, on peut utiliser l'algorithme traditionnel. Il faut bien entendu faireattention au fait que les retenues, c'est-à-dire le passage au � rang � supérieur, dépendent de la valeur deb. Si l'on veut additionner 1427 et 6167, on obtiendra :

1 4 27

+ 61 67

1 0 6 17

Il est facile de véri�er cette opération en convertissant le tout en base décimale. On peut procéder demême pour la soustraction. Exemple : (50)(30)(40)60 - (20)(40)(10)60, on obtiendra :

50 30 4060

- 20 40 1060

29 50 3060

On note la retenue au niveau du rang deux. Ce calcul montre qu'il est parfois plus rapide de calculerdirectement dans une base donnée plutôt que de tout convertir en base décimale. Dans cet exemple, celadonnerait : 181840− 74410 = 107430. Si cet exemple peut sembler éloigné du quotidien d'un enseignantdu primaire, il est en réalité profondément banal : comment réaliser une soustraction de durée sans toutréduire en secondes ?

J'aime les maths, Belin, cycle 3, CM2, programmes 2016, p. 193.



Pour réaliser une multiplication en base quelconque, les choses sont un peu plus complexes. Pourquoi ?La principale di�culté vient du fait que notre algorithme de résolution est basé sur une multitude demultiplications de deux nombres inférieurs à 10. Nous savons les exécuter rapidement car nous connaissonsnos tables de multiplications en base décimale. Or cela n'est plus le cas dans les autres bases : nous sommesalors obligés de calculer à la main chaque multiplication intermédiaire, même aussi simple que 45× 35 =225. Pour y arriver rapidement, nous devons donc recalculer nos tables de multiplications pour la baseconsidérée. Pour 5, cela donne :

× 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 11 13

3 0 3 11 14 22

4 0 4 13 22 31

On peut ensuite utiliser cette table pour calculer par exemple 2345× 3215 :

2 3 4× 3 2 1

2 3 41 0 2 3 X

1 3 1 2 X X

= 1 4 2 2 1 4

Ce qui, transcrit en base décimale, donne 69× 86 = 5934.

3.3 D'autres systèmes utilisés aujourd'hui

L'avènement d'un système de numération positionnel décimal est relativement récent. Si le mathématiciennéerlandais Simon Stévin (c. 1548-1620) avait dès la �n du XVIe siècle recommandé l'adoption d'un telsystème dans son ouvrage La Disme (De Thiende, 1585), ce n'est qu'avec la révolution française que lesystème décimal va véritablement être introduit. Il faudra �nalement attendre le milieu du XIXe sièclepour qu'il s'impose dans la plupart des domaines et la plupart des pays. Une grande partie du mondeutilise aujourd'hui un système décimal pour les poids, les mesures de longueur, d'aire, de volume, maisaussi pour les monnaies.

On peut se faire une idée de la complexité du système de l'Ancien régime en feuilletant par exemplel'Arithmétique de François Barrême (1638-1703), un livre dont le succès fut tel que l'auteur a donné sonnom aux barèmes utilisés pour noter les élèves. À son époque, on pèse la monnaie d'argent en marc, once,gros et denier. Le blé et le sel se comptent en muid, septier, minot et quarts. On mesure les distances ettoises, pieds, pouces et lignes. L'auteur passe plusieurs centaines de pages à expliquer comment procéderaux additions, soustractions, multiplications, divisions et puissances dans tous ces systèmes :


M1 - MEEF 4 Arithmétique des entiers naturels

Aujourd'hui, la plupart des activités courantes pour lesquelles on fait appel à la numération utilise unsystème positionnel décimal. Ce système est cependant loin d'être le seul, et les élèves doivent apprendreà utiliser les autres systèmes répandus dans la vie courante.

Le plus connu est bien sûr la mesure du temps. En CE1 et CE2, les élèves doivent apprendre à lirel'heure sur une montre à aiguille, connaître la relation entre heure et minute, ce qui est loin d'être évident.En CE2, ils apprennent tout le spectre des unités de temps : seconde, minute, heure, jour, mois, année.En CM1, ils apprennent à calculer avec les heures, et en CM2 ils doivent être capable de � calculer unedurée à partir de la donnée de l'instant initial et de l'instant �nal � 15, typiquement des exercices du type :un train part à 15h34 de Bordeaux et arrive à 19h08 à Paris-Montparnasse, quelle est la durée du trajet ?

On retrouve dans ces calculs les di�cultés que nous avons soulignées tout au long de ce chapitre. Il fautarriver à faire comprendre pourquoi 50 minutes + 50 minutes = 1 heure 40 minutes ; plus compliqué, que2,5 minutes n'équivalent pas à 2 minutes et 5 secondes, mais 2 minutes et 30 secondes. Un autre systèmeque les élèves devront apprendre à manipuler est la mesure des angles, avec la correspondance : 1 degré= 1

360 cercle, 1 minute = 160 de degré et 1 seconde = 1

60 minute.

Dans de nombreux domaines techniques, on utilise en outre des systèmes de numération spéci�ques. Dansle commerce, les bouteilles de vins se vendent par caisse de douze, et les palettes contiennent en général 504bouteilles. Les diagonales des téléphones portables sont exprimées en pouces et en huitième de pouces. Lecodage informatique des couleurs, pour l'a�chage sur écran, se fait en système RVB (Rouge-Vert-Bleu).Chaque � ton � est caractérisé par une valeur de rouge, vert et bleu, comprise entre 0 et FF (systèmehexadécimal), c'est-à-dire entre 0 et 255 (système décimal) 16.

4 Arithmétique des entiers naturels

Deux étudiants, sérieux et intelligents, sont en train de discuter à la cantine.

Leur professeur de mathématiques passe par là et leur tend une carte à chacun. � Sur chaque carte �gureun nombre entier �, commence le professeur, � et le produit des deux nombres est soit 12, soit 15, soit18. Le premier à deviner le nombre écrit sur la carte de l'autre a gagné. �

� La première étudiante regarde sa carte et dit : � Je ne sais pas quel est ton nombre �.

� Le second étudiant ré�échit, regarde sa carte et répond : � Je ne sais pas non plus quel nombre est écritsur ta carte �.

� La première étudiante ré�echit et conclut : � Maintenant, je sais quel est ton nombre � 17.

15. Référentiel Eduscol 2012, cycle 3.16. En langage HTML par exemple, la commande color : 0080FF produit un bleu clair. En e�et, la valeur 00 s'applique

au rouge, la valeur 80 (128 en décimal) s'applique au vert et la valeur FF (255 en décimal) s'applique au bleu.17. Emprunté à Trevor Ferril, initialement publié sur https://fivethirtyeight.com/features/


https://fivethirtyeight.com/features/can-you-outsmart-our-elementary-school-math-problems/


M1 - MEEF 4 Arithmétique des entiers naturels

Quel nombre se trouve sur la carte du perdant ?

4.1 Multiples et diviseurs

Dire que le nombre entier a est un multiple du nombre entier naturel b signi�e qu'il existe un nombreentier naturel k tel que a = b× k.Si les entiers naturels a et b sont multiples de c, alors a+ b est aussi multiple de c.

Si a est multiple de b et si b est multiple de c, alors a est multiple de c.

Démonstration : on ne fera pas beaucoup de démonstrations, mais comme celle-ci est simple,autant la faire. Nous savons que a est multiple de b, donc par dé�nition il existe un nombre entiernaturel k tel que a = b×k. On sait de plus que b est multiple de c, donc par dé�nition il existe unnombre entier naturel k' tel que b = c×k′. Dans notre première expression, on peut remplacer b parl'équation que nous venons de trouver, et l'on obtient : a = (c× k′)× k. Comme la multiplicationest associative, on peut écrire a = c × (k′ × k) et l'on vient de prouver que a est un multiple dec 18.

Dire que le nombre entier a est un diviseur du nombre entier naturel b signi�e qu'il existe un nombreentier naturel k tel que b = a× k. Tout comme pour le multiple, on a les propriétés suivantes :

⇒ Si un entier naturel c est un diviseur de a et de b, c'est alors aussi un diviseur de a+ b.

⇒ Si a est un diviseur de b et si b est un diviseur de c, alors a est un diviseur de c.

Quelques propriétés utiles sur les multiples et diviseurs :

� le nombre 1 est diviseur de tout nombre entier naturel (n = 1× n)� tout nombre entier naturel est multiple de 1 (n = 1× n)� tout nombre entier naturel est multiple et diviseur de lui-même.

4.2 Nombres premiers et critères de divisibilité

Les critères de divisibilité sont des méthodes, des algorithmes, permettant de déterminer rapidement siun nombre n est divisible par un autre nombre, généralement 2, 3, 5, etc. . .. Il faut connaître les critèresde divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10, car ils sont au programme du cycle 3 19.

2 : Un nombre sera divisible par deux ssi son chi�re des unités est pair.3 : Un nombre est divisible par trois ssi la somme de ses chi�res est divisible par 3.4 : Un nombre est divisible par quatre ssi le nombre formé par ses deux derniers chi�res est divisible

par 4.5 : Un nombre est divisible par cinq ssi son dernier chi�re est 0 ou 5.9 : Un nombre est divisible par neuf ssi la somme de ses chi�res est divisible par 9.10 : Un nombre est divisible par dix ssi son dernier chi�re est 0.

Des exercices de concours peuvent porter sur l'étude ou la démonstration d'autres critères, qui peuventavoir l'air farfelus. Un nombre est ainsi divisible par sept si son nombre de dizaines, moins le double duchi�re des unités, est un multiple de sept.

Dé�nition : Un nombre entier naturel est dit premier s'il a exactement deux diviseurs distincts : 1 etlui-même.

Une conséquence immédiate et que 0 et 1 ne sont pas premiers. Les premiers nombres premiers sont 2, 3,5, 7, 11, 13, 17 ...

Il faut savoir déterminer si un nombre n est premier. Pour cela, il faut tester s'il est divisible par tous lesnombres premiers (2, 3, 5, . . . ). On continue jusqu'à

√n. Pourquoi ?

Il faut savoir décomposer un nombre n en produit de facteurs premiers. Décomposer n en produit de

can-you-outsmart-our-elementary-school-math-problems/.18. Comme k et k' sont deux entiers naturels, leur produit est un entier naturel.19. Il faut également savoir les démontrer, car le programme du cycle 4 indique � Démontrer les critères de divisibilité

(par exemple par 2, 3, 5 ou 10) ou la preuve par 9. � (voir Programmes, septembre 2015, p. 361).














































M1 - MEEF 5 Géométrie plane : rappels

facteurs premiers, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de facteurs qui sont tous des nombres entiersnaturels premiers. Cette décomposition existe toujours et est unique.

Pour faire cela, on utilise la procédure (l'algorithme) suivant :� On divise n par le plus petit nombre premier par lequel il est divisible (pour 2, 3, 5 et 7, on pense

à utiliser les critères de divisibilité).� On prend le quotient, et on le divise par le plus petit nombre premier par lequel il est divisible.� On continue jusqu'à obtenir un. La décomposition est le produit de tous les diviseurs suc-

cessifs.

Exemples : trouver la décomposition en produit de facteurs premiers de 156, 221 et 307.

Une fois que l'on a la décomposition unique d'un nombre entier n en produit de facteurs premiers, onpeut arriver à retrouver tous ses diviseurs. Le faire pour les exemples précédents. Si la décomposition enproduit de facteurs premiers d'un nombre n est ap×bq×cr, alors il possède exactement (p+1)(q+1)(r+1)diviseurs.

4.3 Multiples et diviseurs communs à deux nombres

Les multiples et diviseurs communs à deux nombres ne �gurent théoriquement plus dans le programmedu collège. Ils sont cependant utiles pour appréhender certaines con�gurations du primaire. Voici doncun bref rappel sous la forme d'exemples.

Exercice 1 : Un producteur a récolté 1 800 oignons de tulipes jaunes et 840 oignons de tulipes noires. Ilveut vendre tous ces oignons en sachets ayant la même composition en oignons des deux sortes (en utili-sant toute sa récolte). Quel est le plus grand nombre de sachets qu'il peut faire ? Quelle est la compositiond'un sachet ?

On demande de répartir les oignons jaunes et noirs en sachets de même composition. Cela suppose donc departager chaque nombre (1800 et 840) par un nombre s de sachets. Puisqu'il est précisé que la totalité dela récolte doit être utilisée, cela signi�e que ce nombre s doit diviser à la fois 1800 et 840. On cherche doncle plus grand diviseur commun à ces deux nombres. En utilisant l'algorithme d'Euclide, la décompositionen produit de facteurs premiers ou en listant l'ensemble des diviseurs à la main, on trouve 120. Puisqueles 1800 oignons sont répartis dans 120 sachets, il y en a donc 15 à chaque fois ; de même on trouve septoignons noirs dans chaque sachets.

Exercice 2 : La cantine de l'ESPE commande les ingrédients pour réaliser des hamburgers. Les petits painsronds sont vendus par paquet de six tandis que les steacks hachés sont vendus par paquet de huit. Pouréviter le gaspillage, quelle est la quantité minimale à commander a�n d'utiliser tous les pains et tous lessteacks ?

Le nombre recherché doit être divisible à la fois par six et par huit : s'il ne l'était pas, il y aurait un� reste �, au sens propre comme au sens �guré. On cherche donc le plus petit multiple commun à 6 et 8.On peut le trouver en utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers, ou bien en listant lesmultiples successifs des deux nombres. La réponse est ici 24 (un nombre inférieur au produit des deuxnombres, 6× 8 = 48).

5 Géométrie plane : rappels

En géométrie plane, on distingue la droite, la demi-droite et le segment.

� la droite est une ligne rectiligne in�nie, que l'on note entre parenthèses : (AB)� la demi-droite d'origine A et passant par B se note [AB)� le segment est une portion de droite, délimitée par deux points : [AB]

La longueur du segment [AB], c'est-à-dire la distance entre les points A et B, est notée AB. La droite,par dé�nition in�nie, n'a pas de longueur.

Deux droites (AB) et (A'B') sont perpendiculaires, et notées (AB) ⊥ (A′B′), si elles forment un angledroit (90◦).



Cela suppose de savoir construire une droite perpendiculaire à une droite donnée et passant par un point :� Une première méthode utilise l'équerre, placée sur la droite (AB) et que l'on fait glisser jusqu'à

atteindre le point A.� La seconde méthode, avec le compas et la règle : on trace un arc de cercle de centre A, qui coupe

la droite (AB) en deux points. On trace depuis ces deux points deux arcs de cercle de même rayonqui se coupent en un point, et l'on relie ce point à A.

Il n'y a qu'une seule droite passant par un point et perpendiculaire à une droite donnée.

Deux droites (AB) et (A'B') sont dites parallèles, et notées (AB) ‖ (A′B′) si elles n'ont aucun point encommun ou bien si elles sont confondues.

Il n'y a qu'une seule droite parallèle à une droite donnée et passant par un point donné. Il faut savoirtracer une droite parallèle à une droite donnée et passant par un point donné. Il y a deux méthodes :

� avec l'équerre : on trace une droite perpendiculaire, passant par le point donné, et perpendiculaireà la droite que l'on vient de tracer (par dé�nition, deux droites perpendiculaires à la même droitesont parallèles entre elles).

� avec le compas et la règle : on prend deux points sur la droite, et l'on construit deux arcs de cerclesa�n d'obtenir un parallélogramme.

On dé�nit ensuite la distance d'un point C à une droite (AB) comme la plus petite distance entrece point et n'importe quel point de la droite (AB). Pour la calculer, on utilise la perpendiculaire à (AB)passant par C. Elle coupe (AB) en H, et CH est la distance recherchée.

La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des deux extrémités du segment.Autrement dit, c'est la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu.

La médiatrice est d'ailleurs un axe de symétrie du segment (la symétrie sera vue au second semestre). Ilfaut savoir tracer la médiatrice d'un segment. On peut utiliser l'équerre (on place le milieu→ on construitla perpendiculaire) ou bien la règle et le compas. Dans ce cas, tracer deux arcs de cercle depuis les deuxextrémités du segment, avant de relier les points ainsi construit.

5.1 Cercle et disque

Un cercle de centre O et de rayon r (avec r > 0) est l'ensemble des points situés à une distance r dupoint 0.

Le disque de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M véri�ant l'inégalité OM ≤ r. C'est enquelque sorte un cercle plein.

� On nomme rayon du cercle tout segment reliant le centre à un point situé sur le cercle.� On nomme diamètre du cercle tout segment reliant deux points situés sur le cercle et passant par

le milieu.� On nomme corde du cercle tout segment dont les extrémités sont sur le cercle.� On nomme arc de cercle toute portion de cercle limitée par deux points. On note un arc de cercle

de la manière suivante : AB.� Une tangente à un cercle est une droite qui a un point commun avec ce cercle (et un seul).

La tangente à un cercle de centre O en un point donné T est la droite perpendiculaire au rayon [OT]passant par T. Cela permet de construire la tangente à partir du point T.

On nomme cercle circonscrit à un triangle le cercle qui passe par les trois sommets de ce triangle. Pourconstruire ce cercle à partir d'un triangle ABC quelconque, il su�t de tracer les médiatrices des côtés dutriangles. Celles-ci se coupent en un point qui est le centre du cercle, et que l'on peut donc tracer à partird'un des trois sommets.

5.2 Angles

Un angle est une portion de plan délimitée par deux demi-droites de même origine. Cette origine communeest le sommet de l'angle, les deux demi-droites sont ses côtés.



On note un angle avec trois symboles (demi-droite / sommet / demi-droite) surmontés d'un chapeau, parexemple xAy.

� Un angle est droit mesure 90◦.� Un angle est aigu s'il est inférieur à un angle droit.� Un angle est obtus s'il est compris entre un angle droit et un angle plat (qui mesure 180◦).

Remarque : notre dé�nition de l'angle est ambigüe, puisqu'un sommet et deux demi-droites dé�nissenten fait deux angles, l'un inférieur à 180◦ et l'autre supérieur. L'angle inférieur à l'angle plat est nommésaillant, l'angle supérieur à un angle plat est nommé rentrant. Sur la �gure ci-dessous, l'angle α est saillantet l'angle β est rentrant.

Deux angles sont complémentaires si la somme de leur mesure est égale à 90◦.

Deux angles sont supplémentaires si la somme de leur mesure est égale à 180◦.

Deux angles sont adjacents s'ils ont un sommet et un côté en commun. Ils doivent de plus être situésde part et d'autre de ce côté.

Deux angles sont opposés par le sommet si leur sommet est commun et que leurs côtés sont dans leprolongement l'un de l'autre.

⇒ deux angles opposés par le sommet sont égaux. Ici les angles α et α′ sont opposés par le sommet etdonc égaux.

La bissectrice d'un angle est la droite passant par le sommet de l'angle et le partageant en deux angleségaux. Elle constitue l'ensemble des points équidistants des côtés de cet angle.

Deux droites parallèles coupées par une même droite forment des angles alternes-internes et des anglescorrespondants. Ces angles sont égaux. Ici les angles α et γ sont correspondants, tandis que les anglesβ et γ sont alternes-internes :

Réciproque : Si deux droites coupées par une même droite forment des angles alternes-internes égaux,ou des angles correspondants égaux, alors ces droites sont parallèles.

Dans un cercle, on nomme angle au centre tout angle dont le sommet est le centre du cercle.



Dans un cercle, on appelle angle inscrit tout angle dont le sommet est un point du cercle.

Propriétés :

� Dans un cercle, si un angle inscrit intercepte le même arc qu'un angle au centre, alors il mesure lamoitié de cet angle.

� Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc, alors ils sont égaux.� Dans un cercle, si [AB] est un diamètre et C un point du cercle, alors le triangle ABC est rectangle

en C.

5.3 Polygones

J'aime les maths, Belin, cycle 3, CM2, programmes 2016, p. 142.

En géométrie, il est intéressant de faire appel à l'étymologie pour favoriser la compréhension des élèvesface à des termes en apparence abscons.

On dit qu'un polygone est convexe s'il est tout entier situé du même côté de chaque droite formée àpartir d'un des côtés. Dans le cas contraire, on dit qu'il est concave. En�n, si certains de ses côtés secoupent, on dit qu'il est croisé.

Un polygone est régulier si tous ses angles et tous ses côtés sont égaux.

⇒ Un polygone régulier est inscriptible dans un cercle.

⇒ Tout polygone régulier peut être tracé avec un rapporteur.

Il faut savoir tracer certains polygones réguliers sans rapporteur (hexagone, octogone, dodécagone ...)



5.4 Quadrilatères

Un quadrilatère quelconque est un polygone qui possède quatre côtés. Il faut savoir ce que signi�entles termes côtés opposés, côtés adjacents ou consécutifs, diagonales ...

Il existe plusieurs quadrilatères particuliers, dont les propriétés sont présentées ici. Pour chaque �gure, lespropriétés sont caractéristiques, c'est-à-dire que chacune dé�nit le quadrilatère particulier, et équivalentesentre elles.

Le trapèze� Possède deux côtés opposés parallèles� Si c'est un trapèze isocèle :

� alors deux côtés opposés sont de même longueur� les angles à la base du trapèze sont égaux

� Si c'est un trapèze rectangle, il possède deux angles droits.Le parallélogramme

� Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.� Il est non-croisé et ses côtés opposés sont de même longueur.� Ses diagonales ont le même milieu.� Ses angles opposés sont égaux et ses angles adjacents sont supplémentaires.

Le losange� Ses quatre côtés sont de même longueur.� C'est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.� Ses diagonales sont perpendiculaires et ont le même milieu.� C'est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.

Le rectangle� Ses diagonales sont de même longueur et ont le même milieu.� C'est un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur.� Possède quatre angles droits.� C'est un parallélogramme qui a un angle droit.

Le carré� Est un rectangle qui a deux côtés consécutifs de même longueur.� Ses diagonales sont égales, perpendiculaires et ont le même milieu.� Est un losange qui possède un angle droit.

Il faut faire attention à distinguer condition nécessaire et condition su�sante. Pour qu'un quadri-latère soit un carré, il est par exemple nécessaire qu'il ait un angle droit. Cette condition n'est cependantpas su�sante.

Chaque ensemble de conditions données ici sont su�santes. Cela signi�e que lorsque ces conditions sontréunies, la propriété est véri�ée : ainsi par exemple, si un quadrilatère est 1. un rectangle et 2. qu'il adeux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un carré. Ces deux conditions nécessaires, si ellessont prises ensembles, sont su�santes.

On peut également représenter les relations logiques entre les diverses familles de quadrilatères sous laforme d'un diagramme :


M1 - MEEF 6 Aspects didactiques

Diagramme d'Euler des principaux quadrilatères (source Wikimedia.

6 Aspects didactiques

Il est important de distinguer plusieurs types d'activités, que l'on regroupe un peu rapidement sous leterme � géométrie �.

� La géométrie perceptive qui est abordée en maternelle et au début du primaire. L'enfant doitapprendre à� s'orienter dans l'espace.� repérer des propriétés et distinguer des critères (grand, lourd, large, loin, plat, pointu ...).� reconnaître des objets géométriques, des �gures, des situations.Petit à petit, il est amené à les reproduire ou à les compléter, essentiellement à main levée. Oncommence à utiliser un vocabulaire spéci�que. Il su�t de � voir � qu'une propriété est vraie,ou de savoir construire une �gure.

⇒ attention, même une action apparemment aussi simple que � reconnaître un carré � est le résultat d'unprocessus d'apprentissage. Dans un premier temps, certains élèves ne reconnaissent un carré que s'il estdans une position prototypique 20. On oppose cette reconnaissance globale, intuitive, à une reconnais-sance analytique qui passe par l'identi�cation consciente de propriétés (côtés de même longueurs, anglesdroits ...).

� La géométrie instrumentée à partir du CE2. L'élève apprend à manipuler des instrumentsmathématiques pour� construire des �gures,� comparer des �gures,� faire des mesures et� montrer des résultats.Il ne su�t plus de voir, il faut pouvoir montrer la véracité d'un résultat : en mesurant, en utilisantun instrument, une comparaison, une superposition, etc. On fait donc appel, même si c'est souventimplicitement, à des propriétés géométriques.

20. C'est-à-dire � posé � horizontalement, par opposition à un carré posé sur un angle droit, qui sera souvent vu par lesélèves comme un losange : � et �.


https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Euler_diagram_of_quadrilateral_types.svg

M1 - MEEF 6 Aspects didactiques

� La géométrie déductive au collège. On introduit une di�érence majeure : il ne su�t plus demontrer ou de voir le résultat, il faut savoir le démontrer mathématiquement en utilisant despropriétés ou des calculs.

Encore une fois, il faut donc distinguer ce que vous devez savoir enseigner, et ce que vous devez savoir fairepour le concours. On insistera en géométrie plane sur les questions de démonstration, même si elles sontpeu et di�éremment utilisées à l'école primaire. Il faut tout de même noter que les nouveaux programmessuggèrent l'introduction de la géométrie déductive, ou du moins de raisonnements, en CM2, pour préparerla transition entre les deux types de géométrie :

À partir du CM2, on amène les élèves à dépasser la dimension perceptive et instrumentée pourraisonner uniquement sur les propriétés et les relations. Par exemple, l'usage de la règle et ducompas pour tracer un triangle, connaissant la longueur de ses côtés, mobilise la connaissancedes propriétés du triangle et de la dé�nition du cercle. Il s'agit de conduire sans formalismedes raisonnements simples utilisant les propriétés des �gures usuelles ou de la symétrie axiale.Un vocabulaire spéci�que est employé dès le début du cycle pour désigner des objets, desrelations et des propriétés. 21

Pour le concours, vous devez avoir une maîtrise minimale des logiciels de géométrie. Les deux principauxsont :

� Scratch : disponible librement à cette adresse. Permet une programmation sous forme de brique,qui sera vue au second semestre.

� Geogebra : disponible librement à cette adresse. Il s'agit d'un logiciel de géométrie algébriquetrès riche et bien réalisé, un peu complexe à utiliser, mais dont le menu peut être réduit pourfaciliter la manipulation pour des élèves de cycle 3.

Les instruments : L'utilisation d'instruments est un point important de la géométrie à l'école primaire,dont il ne faut pas sous-estimer la di�culté. Utiliser un instrument, c'est faire au moins trois choses enmême temps :

� appréhender un objet matériel (savoir son nom, ses di�érents formes possibles, celui de ses parties).� connaître son utilisation (savoir dans quel cas l'utiliser, comment le manipuler ...).� utiliser la théorie sous-jacente, même quand on le fait de manière implicite.

Les instruments élaborés, comme le compas ou l'équerre, peuvent avoir une multitude d'utilisationspossibles. Un des enjeux de la géométrie à l'école primaire est de découvrir les di�érentes utilisations,leur contexte, etc.

Types de problèmes : on distingue quatre types de problèmes géométriques à l'école primaire. Chacunpossède bien sûr de nombreuses variables didactiques sur lesquelles vous pourrez jouer pour faire travaillerdi�érentes compétences :

� Problèmes de construction : on construit une �gure à partir d'un programme de construction oud'un schéma.

� Problèmes de reproduction, à l'échelle ou bien en agrandissement / réduction. Il faut isoler les�gures élémentaires et les reproduire.

� Problèmes de description : soit dans un contexte de groupe (permettre à un camarade de lareprésenter) ou bien pour déterminer certaines de ses caractéristiques.

� Problèmes de localisation : savoir localiser dans le plan, mais aussi dans l'espace. Les repèrespeuvent être relatifs (à droite de, assez haut, ...) ou bien absolu (à 12 centimètres de ...).

6.1 La démonstration en géométrie

Voici quelques remarques générales sur la démonstration et son utilisation en géométrie.

La démonstration permet de prouver des énoncés, c'est-à-dire d'établir la vérité de résultats et/oupropriétés mathématiques. Pour réaliser une démonstration, il faut se servir

21. Bulletin o�ciel, novembre 2015, p. 212.


https://scratch.mit.edu/

https://www.geogebra.org/?lang=fr

M1 - MEEF 7 Géométrie du triangle

� des données du problème : il s'agit de la situation particulière � donnée � dans l'énoncé.� des dé�nitions, théorèmes et propriétés générales : elles sont toujours vraies, et vont pouvoir

s'appliquer dans un cas particulier pour démontrer un résultat.

Il est important de distinguer la recherche de la démonstration et sa rédaction. Pour chercher une solu-tion, on peut utiliser son brouillon, donner des résultats intermédiaires en vrac, parfois même � sauter �des étapes. En revanche, la rédaction d'une démonstration obéit à des règles très précises. Il faut partirdes données et utiliser des propriétés pour arriver à prouver le résultat souhaité. Chaque étape (utilisationd'une dé�nition, d'une propriété ou d'un théorème) doit être justi�ée.

Pour montrer qu'une propriété est vraie, il faut montrer qu'elle est vraie dans tous les cas de �guresproposés par l'énoncé. Cela signi�e que l'on ne peut se contenter d'un cas particulier ou d'une con�gurationspéci�que - même si cela est souvent beaucoup plus facile.

A l'inverse pour montrer qu'une propriété n'est pas vraie, il su�t de montrer qu'elle n'est pas toujoursvraie : un contre-exemple su�t 22. Ainsi, si l'on vous demande de vous prononcer sur la vérité de l'a�r-mation générale � Tout quadrilatère ayant trois côtés de même longueur et un angle droit est un carré �,vous pouvez répondre par la négative en produisant l'exemple suivant :

6.2 Programme de construction

Un programme de construction, ou programme de tracé, est une suite d'instructions qui permet deconstruire une �gure géométrique. Il faut les connaître pour deux raisons :� 1. des exercices de concours portent sur ces programmes, et� 2. cela fait partie des activités à enseigner et à mettre en place avec les élèves de cycle 3.En CM1, les élèves doivent ainsi apprendre à � réaliser, compléter et rédiger un programme de construc-tion. Réaliser une �gure simple ou une �gure composée de �gures simples à l'aide d'un logiciel. � 23. Lorsde l'épreuve du CRPE, on distingue trois types de questions :1. Réaliser une construction, le plus souvent au compas et à la règle graduée. Il faut dans ce cas

montrer comment l'on a fait (cela suppose en particulier de laisser apparents les traits de construction).2. Réaliser un programme de construction. Il faut décrire les étapes successives à réaliser, avec

un vocabulaire et un symbolisme corrects, comme si l'on rédigeait une suite d'instructions pour uneautre personne.

3. Justi�er une construction. Montrer en quoi le dessin permet bien d'obtenir la propriété désirée(perpendicularité, etc ...).

7 Géométrie du triangle

La somme des angles d'un triangle est égale à 180◦.

La longueur de n'importe quel côté d'un triangle est inférieure à la somme des longueurs des deuxautres côtés.

Un triangle possède plusieurs droites particulières :

� La hauteur est une droite perpendiculaire à un côté et passant par le sommet opposé. Les troishauteurs sont concourantes en un point : l'orthocentre du triangle.

22. Ce contre-exemple ne prouve pas que la propriété est fausse dans tous les cas, il démontre seulement qu'elle n'est pastoujours vraie.23. Bulletin o�ciel de novembre 2015, p. 210.



� La médiane passe par le milieu d'un côté et le sommet opposé. Les trois médianes sont concourantesen un point : le centre de gravité du triangle (toujours situé au 2

3 du segment médian).� Les médiatrices des trois côtés sont concourantes en un point : le centre du cercle circonscrit.� Les bissectrices des trois angles sont concourantes en un point : le centre du cercle inscrit.

Un triangle rectangle possède un angle droit. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droitest appelé hypoténuse.

Un triangle isocèle possède deux côtés de même longueur 24.

Un triangle est équilatéral si ses trois côtés sont égaux (c'est d'ailleurs exactement le sens d'équilatéral,du latin � aequus �, signi�ant égal, et � lateralis �, signi�ant côté).

7.1 Triangles superposables et triangles semblables

On dit que deux triangles sont égaux lorsque leurs côtés respectifs sont de même longueur. Leurs anglesont alors même mesure, leur aire est égale et ces triangles sont superposables.

Dire que deux triangles sont superposables, c'est dire qu'on peut passer de l'un à l'autre à l'aide destransformations usuelles : translation, rotation, symétrie axiale et symétrie centrale (que nous verrons ausecond semestre).

Propriété : Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectifs égaux,alors ils sont égaux.

Propriété : Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure,alors ils sont égaux.

On dit que deux triangles sont semblables lorsque leurs côtés ont des longueurs proportionnelles. Deuxtriangles sont semblables si et seulement s'ils ont des angles de même mesure. On peut les considérercomme l'agrandissement ou la réduction d'une même �gure.

Deux triangles sont semblables si :� Les longueurs de leurs côtés respectifs sont proportionnelles, OU� Si deux angles de l'un ont même mesure que deux angles de l'autre, OU� Si deux côtés de l'un sont proportionnels à deux côtés de l'autre et si l'angle entre ces deux côtés à

même mesure dans chaque triangle.Premier exemple d'utilisation, pour déterminer la hauteur d'une tour 25 :

24. Le terme isocèle vient du grec ancien isos (� égal �) et skelos (� jambe �, lui-même proche de skeletos, l'ossature).C'est donc un triangle qui a deux jambes de même longueur.25. Tiré de Von der rechten Arithmetica geometrica oder Decimal-Rechnung. Manuscript du début du XVIIIème siècle,

Staatsbibliothek Bamberg Msc.Astr.14. On remarque l'utilisation de la règle de trois pour calculer la hauteur, selon l'opé-ration 24×6

9.



Deuxième exemple d'utilisation, pour déterminer la largeur d'un �euve que l'on ne peut traverser 26 :

7.2 Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès est en général utilisé, dans des con�gurations particulières, pour déterminer lalongueur de certains segments, par exemple pour déterminer la hauteur d'un bâtiment 27 :

26. Tiré de Johann Ardüser, Geometriae, theoricae et practicae, Zürich, Bodmer, p. 21427. Il s'agit ici du cloître de Port-Royal à Paris. Voir Allain Manesson Mallet, La géométrie pratique, volume second,

Paris, Imprimerie royale, 1702, p. 21.



Il faut pour cela qu'une série de conditions soient véri�ées :

Soit (d) et (d') deux droites sécantes en D,Soit E et B deux points de (d) distincts de D,Soit A et C deux points de (d') distincts de D,

si les droites (EC) et (AB) sont parallèles, alors DEDB = DC

DA = ECAB

Attention, il existe deux con�gurations possibles pour appliquer le théorème de Thalès (on oublie souventla seconde qui correspond à un quadrilatère croisé)

On peut utiliser la réciproque du théorème de Thalès, qui permet de déterminer si des droites sontparallèles :



Soit (d) et (d') deux droites sécantes en A,Soit B et M deux points de (d) distincts de A,Soit C et N deux points de (d') distincts de A,Si l'on a

� AMAB = AN

AC et� si les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre,

alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

On notera que, dans de nombreuses situations, on peut utiliser soit les triangles semblables, soit lethéorème de Thalès (comme dans l'exemple de la rivière ci-dessus).

7.3 Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés deslongueurs des deux autres côtés.

Soit ABC est un triangle rectangle en A, on a alors l'égalité suivante :

AB2+AC2=BC2

On peut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour déterminer si un triangle est ou nonrectangle :

Si, dans un triangle ABC, le carré de la longueur du côté le plus long (BC) est égal à la somme descarrés des longueurs des deux autres côtés, c'est-à-dire si l'on a AB2+AC2=BC2, alors ce triangle estrectangle en A.

⇒ Remarque : le théorème de Pythagore est souvent utilisé pour obtenir une égalité arithmétique oupour calculer une longueur. Il est bon de se rappeler qu'il possède une véritable signi�cation géométrique.Si l'on construit un carré sur l'hypothénuse d'un triangle rectangle, son aire est égale à la somme desaires des deux carrés construits sur les côtés restants. C'est d'ailleurs de sens de ce théorème tel qu'il estprésenté dans les Eléments d'Euclide (I.47) 28 :

28. Ici dans une version colorée par Oliver Byrne en 1847, mise en ligne sous forme interactive par Nicholas Rougeux, voirByrne's Euclid.


https://www.c82.net/euclid/


7.4 Rappels sur la trigonométrie

Dans un triangle rectangle, il existe des relations entre la mesure des angles aigus et la longueur descôtés. Ces relations, exprimées sous forme de formules, permettent de calculer les longueurs des côtés(connaissant les angles) ou bien la mesure des angles (connaissant la longueur des côtés).

Dans un triangle ABC rectangle en A, on appelle donc :� sinus de l'angle le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et celle de l'hypoténuse.� cosinus de l'angle le rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et celle de l'hypoténuse.� tangente de l'angle le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et celle du côté adjacente

à cet angle.On résume parfois cette formule par l'acronyme Soh-Cah-Toa (S=sinus ; O=opposé ; H=hypoténuse ;C=cosinus ; A=adjacent ; T=tangente).

Dans le triangle ABC rectangle en A, si l'on nomme β l'angle ABC, on a :

� sinβ = ACBC

� cosβ = ABBC

� tanβ = ACAB

Comme ces formules nous donnent une relation entre des longueurs et des angles, elles permettent dedéterminer des longueurs inconnues à partir des données connues des exercices.

On peut aussi utiliser ces formules pour trouver des angles : si l'on connaît deux longueurs, par exemplel'hypoténuse et le côté opposé d'un angle, on peut déterminer le sinus de cet angle, et donc la valeur del'angle lui-même (en utilisant sa calculatrice, avec la touche � sin -1 �).



Voici en�n quelques relations trigonométriques qu'il faut connaître, ou au moins savoir utiliser :

� Soit ABC un triangle rectangle en C, alors cos 2A+ sin 2A = 1.� Soit ABC un triangle rectangle en C, alors tanA = sinA

cosA .


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Mathématiques : aspects disciplinaires et didactiques