Mathématiques pour le BTS Systèmes Numériques · Mathématiques pour le BTS Systèmes Numériques 3-4 juin 2015, Télécom ParisTech Karim Zayana, IGEN 1 1. Des séries de Fourier

Mathématiques pour le BTS Systèmes Numériques

3-4 juin 2015, Télécom ParisTech Karim Zayana, IGEN

1

1. Des séries de Fourier à la TFD et à la Transformée de Fourier. Analyse spectrale.

Convolution(s). 2. Des signaux périodiques partout. Quelques expériences musicales. 3. Intentions du programme, du temps continu au temps discret : Laplace/Z/TFD.

Fourier(s) Musique Laplace/Z/TFD


𝑡

𝑇 = 𝑛𝑇𝑒

𝑠 t Spectre/Densité spectrale d’amplitude

1

𝑇 −

1

𝑇

𝑐0

𝑐1

𝑐2 𝑐3

𝑐4

𝑐−1 𝑇𝑒

𝑐𝑘 =1

𝑇 𝑠 𝑡 𝑒−i2𝜋𝑘

𝑡𝑇𝑑𝑡

[𝑇]

=1

𝑇 𝑠 𝑡 𝑒−i2𝜋𝑘

𝑡𝑇𝑑𝑡

𝑇

0

≅𝑇𝑒𝑇 𝑠 𝑙𝑇𝑒

𝑛−1

𝑙=0

𝑒−i2𝜋𝑘𝑙𝑇𝑒𝑇 =1

𝑛 𝑠 𝑙𝑇𝑒

𝑛−1

𝑙=0

𝑤−𝑘.𝑙 =1

𝑛𝑠𝑘 avec 𝑤 = 𝑒

𝐢2𝜋𝑛

𝑠𝑘 ≅∝ 𝑐𝑘 pour 2𝑘𝜋𝑡𝑇𝑒

𝑇≪ 1, soit 𝑘 ≪ 𝑛

𝑠𝑛−𝑘 = 𝑠𝑘 ∗

𝑓

𝑇𝐹𝐷 𝑛 = 8

𝑠0

𝑠−1 𝑠1 𝑠2

𝑠3 𝑠4 𝑠5

𝑠6 𝑠7

𝑠8

𝑠9

𝑇𝐹𝐷: 𝑠𝑘 0≤𝑘≤𝑛−1 ↪ 𝑠𝑘 0≤𝑘≤𝑛−1 voire(1) 𝑠𝑘 𝑘∈ℤ avec 𝑠𝑘 = 𝑠𝑘

𝑛−1𝑙=0 𝑤

−𝑘.𝑙 (1) 𝑠𝑘+𝑛 = 𝑠𝑘

𝑠 𝑡 = 𝐴𝑘cos2𝑘𝜋𝑡

𝑇+ 𝜙𝑘

𝑘∈ℕ

= 𝑐𝑘𝑒𝐢2𝑘𝜋𝑡𝑇

𝑘∈ℤ

2

𝑇 3

𝑇 4

𝑇 𝑓

Transposition/filtrage + unités de 𝑠 (V, Pa,m)

−1

𝑇

1

𝑇 2

𝑇 3

𝑇 4

𝑇 5

𝑇 6

𝑇

7

𝑇

8

𝑇 9

𝑇

Miracle 1

Miracle 2 aux conditions de Shannon

Théorie

3 Fourier(s) Musique Laplace/Z/TFD

Pratique

Période 𝑇 inconnue. De plus : il y en a une infinité. Observer sur 𝑇𝑜𝑏𝑠 ≫ 𝑇

𝑡 𝑇 2𝑇 3𝑇 4𝑇 0 𝑇𝑜𝑏𝑠

erreur relative plus petite

𝑠 𝑡 = sin 2𝜋 ∗ 40𝑡 + cos 2𝜋 ∗ 90𝑡 𝑇1 = 0.025 s 𝑇2 = 0.0111 s

𝑇 = 0.1 s

Tobs = 0.25; Fe=400.0; Te=1/Fe; time=0.0:Te:Tobs-Te; n=size(time,'c'); s=sin(2*%pi*40*time)+cos(2*%pi*90*time); S=abs(fft(s)); frequency=(0:1:n-1)*Fe/n; plot(frequency(1:n),S(1:n),'bx'); Tobs = 0.1;

Avec zero padding

T\Tobs Te\Tobs

Tobs≠T=0.1 s, Tobs>T Shannon Te\Tobs

hauteurs / aires

4

Pratique


𝑡

𝑇

𝑠 t

𝑓 =𝑓

d𝑓d𝑓

Densité spectrale d’amplitude, 𝑆 𝑓

𝑡

𝑓

Densité spectrale d’amplitude, 𝑆 𝑓

1/𝑇 2/𝑇 3/𝑇 4/𝑇 −1/𝑇

𝑐0

𝑐1 𝑐2 𝑐3

𝑐4

𝑐−1

Largeur : 1/𝑇 Hauteur : 𝑠 𝑡

𝑇2

−𝑇2

𝑒−𝐢𝑘2𝜋𝑡/𝑇d𝑡

𝑇 ≅ +∞

Largeur : 1/𝑇 = d𝑓

Hauteur :

1

2𝜋 𝑠 𝑡+∞

−∞𝑒−𝐢2𝜋𝑓𝑡d𝑡 = 𝑆 𝑓

𝑠 𝑡 = 𝑐𝑘𝑒𝐢𝑘2𝜋𝑡/𝑇

𝑘∈ℤ

= 𝑆 𝑘d𝑓 d𝑓𝑒𝐢𝑘d𝑓𝑡

𝑘∈ℤ

= 𝑆 𝑓 𝑒𝐢2𝜋𝑓𝑡d𝑓+∞

−∞

𝑐𝑘

Aire = 𝑐𝑘

𝑠 𝑡 = 𝑐𝑘𝑒𝐢𝑘2𝜋𝑡/𝑇

𝑘∈ℤ

5

Convolution apériodique

(𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1 ) ∗ ℎ0, ℎ1, ℎ2 = 𝑦0, 𝑦1, … , 𝑦𝑛−1 avec 𝑦𝑘 = 𝑥𝑖ℎ𝑗𝑖+𝑗=𝑘

𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛−1 0 0

ℎ0 ℎ1 ℎ2 ℎ0 ℎ1 ℎ2 ℎ0 ℎ1 ℎ2

𝑦0 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦𝑛−2 𝑦𝑛−1

0 0

Convolution périodique

(𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1 )⨂ ℎ0, ℎ1, ℎ2 = 𝑧0, 𝑧1, … , 𝑧𝑛−1 avec 𝑧𝑘 = 𝑥𝑖ℎ𝑗𝑖(𝑛)+𝑗≡𝑘

𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛−2

ℎ0 ℎ1 ℎ2 ℎ0 ℎ1 ℎ2 ℎ0 ℎ1 ℎ2

𝑧0 𝑧1 𝑦2 𝑦3 𝑦𝑛−2 𝑦𝑛−1

𝑥0 𝑥1

Équations récurrentes (filtrages / commandes numériques)

𝑧𝑘 0≤𝑘≤𝑛−1 = 𝑇𝐹𝐷 𝑥𝑘 0≤𝑘≤𝑛−1⨂ ℎ0, ℎ1, ℎ2 , 0, … , 0

𝑥1 𝑥0 𝑥2 𝑥𝑛−1

ℎ0 ℎ1 ℎ2

𝑥𝑛−2

𝑧0

𝑻𝑭𝑫−𝟏 𝑻𝑭𝑫−𝟏

Overlap and save


6

Phénomènes périodiques : naturels (planètes, lumière, sons) ou artificiels (ondes Hertziennes, signal d’horloge).

𝑠 𝑇 − périodique se décompose en série de Fourier (Bessel, Dirichlet) :

Ω =2𝜋

𝑇 pulsation fondamentale

𝑠 𝑡 = 𝐴𝑘cos 𝑘Ω𝑡 + 𝜙𝑘𝑘∈ℕ

= 𝑐𝑘𝑒𝐢𝑘Ω𝑡

𝑘∈ℤ

𝑐𝑘 =1

𝑇 𝑠 𝑡𝑇

2

−𝑇

2

𝑒−𝐢𝑘Ω𝑡d𝑡 = 𝑐−𝑘∗

Ω 𝑇


7 7

réflexion réflexion

Élongation transversale

𝑡1

𝑡2

𝑡3

ℓ ℎ

𝑡

𝑡1

𝑡2

𝑡3

ℎ

𝑇 =2ℓ

𝑐 𝑐 = 𝐹 tension,masse volumique

(+toucher, +ouie)

𝑡

𝑡

𝑇 , Ω

𝑇

2, 2Ω

𝑇

3, 3Ω

𝑡

ℓ

ℓ

ℓ

Élongation transversale, fondamentale

Élongation transversale, harmonique de rang 2

Élongation transversale, harmonique de rang 3

fuseau

3 fuseaux

noeud

noeud

ven

tre

Mode propre n°1

Mode propre n°2

Mode propre n°3 Onde progressive

Onde progressive

Onde stationnaire


8

𝜔

Spectre d’amplitude d’un DO MI

Ω 2Ω 3Ω 4Ω DO2 MI2 octave

5Ω 6Ω 7Ω DO3 MI3

SOL 2 SI 2 3

2Ω , quinte pure, SOL, SI

MI 3 SOL3 5

4Ω, tierce pure, MI, SOL

SI b 3 RE 3 7

4Ω , septième (mineure) pure, SI b, RE

SOL3 SI3

MI à vide

MI3 à vide

ℓ

2

3ℓ

Accord parfait majeur

Résonance par sympathie

Jeu d’harmoniques (main G posée vs effleure) DO

SOL

RE

LA

MI

SI FA# DO#

SOL#

RE#

LA#

MI#

SI# 312 ≅ 219 ⇒ gamme de 12 notes

Pseudo-cycle des quintes Pythagoriciennes. Vers une gamme chromatique tempérée.

SI3 (posé), SI4 (effleuré)

−Ω


9

IRIS + SE SN . Options IR et EC. Rénovation confiée au groupe des SI. En vigueur à la rentrée 2014.

118 établissements + CFA publics ou privés.

Mathématiques : accompagner cette mue, numérique vs analogique. Dans cet esprit : - Conserver les suites. - Transformée de Laplace Transformée en Z. - Transformée de Fourier Transformée de Fourier Discrète. - Équations différentielles à minima.

Effet simplificateur. Exemple que soulevait la transformée de Laplace - Système linéaire invariant : 𝑦′′ + 2 𝑦 = 𝑥′ + 𝑥 , 𝑡 ≥ 0.

- 𝐿 𝑦′ = 𝑝. 𝐿 𝑦 . IPP : 𝑦′ 𝑡 . 𝑒−𝑝𝑡d𝑡+∞

0.

- Condition initiale : 𝑦(0). - En pratique : 𝑥 = 𝐻 et 𝑦 = réponse indicielle

output input


10

𝑡 1

𝑛

1

𝐻 ≅

𝑡 1

𝑛

𝑛

𝐻′ ≅ 𝛿

𝐿 𝐻′ ≅ 𝑛. 𝑒−𝑝𝑡1

𝑛0

d𝑡 = 1

Or, 𝐿 𝐻 = 1. 𝑒−𝑝𝑡d𝑡+∞

0= 1

𝑝

On vérifie : 𝑳 𝑯′ = 𝒑. 𝑳 𝑯 −𝑯 𝟎− On contrôle également : 𝒑. 𝑳 𝑯

+∞𝑯 𝟎+

𝒑. 𝑳 𝑯𝟎+𝑯 +∞

En poursuivant (saut remplacé par une pente forte), on a : 𝐿 𝛿 ′ = 𝑝 𝐿 𝛿 ′′ = 𝑝2, etc.


0

1

1

Théorème valeur initiale

Théorème valeur finale

𝛿

=

11

En temps discret, difficultés qui disparaissent après transformation TC-TD

Méthode 1 : approximation d’Euler.

𝑥′ 𝑘𝑇𝑒 ≅1

𝑇𝑒𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1

𝑥′′ 𝑘𝑇𝑒 ≅1

𝑇𝑒𝑥′𝑘 − 𝑥

′𝑘−1 ≅

1

𝑇𝑒2 𝑥𝑘 − 2𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘−2

𝑥 𝑝 𝑘𝑇𝑒 ≅1

𝑇𝑒1 − 𝑍−1

𝑝

• 𝑥 𝑘𝑇𝑒

Méthode 2 : approximation bilinéaire.

𝑥′ 𝑘 − 1 𝑇𝑒 ≅1

𝑇𝑒𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 𝐸2

𝑥′ 𝑘𝑇𝑒 + 𝑥′ 𝑘 − 1 𝑇𝑒 ≅2

𝑇𝑒𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 𝐸1 + 𝐸2

1 + 𝑍−1 • 𝑥′ 𝑘𝑇𝑒 ≅2

𝑇𝑒1 − 𝑍−1 • 𝑥 𝑘𝑇𝑒

1 + 𝑍−1 𝑝 • 𝑥 𝑝 𝑘𝑇𝑒 ≅2

𝑇𝑒1 − 𝑍−1

𝑝

• 𝑥 𝑘𝑇𝑒

𝑥 𝑡 𝑇𝑒

𝑥 𝑘𝑇𝑒 = 𝑥𝑘 résulte d‘un échantillonnage au rythme 𝑇𝑒

𝐸1

𝑍−1: 𝑓 → 𝑡 → 𝑓 𝑡 − 𝑇𝑒


12

Transformation Temps Continu –Temps Discret sur 𝑦′′ + 2𝑚 𝜔0𝑦′ + 𝜔02𝑦 = 𝜔0

2𝑥 avec 𝑦′ 0− = 𝑦 0− = 0.

Méthode 1 : approximation d’Euler, équation aux différences finies n°1.

1

𝑇𝑒1 − 𝑍−1

2

• 𝑦 + 2𝑚 𝜔01

𝑇𝑒1 − 𝑍−1 • 𝑦 + 𝜔0

2𝑦 = 𝜔02𝑥

𝜔02𝑇𝑒2 + 2𝑚𝜔0𝑇𝑒 + 1 𝑦𝑘 − 2 𝑚𝜔0 + 1 𝑦𝑘−1 − 𝑦𝑘−2 = 𝜔0

2𝑇𝑒2𝑥𝑘

Méthode 2 : approximation bilinéaire, équation aux différences finies n°2.

1 + 𝑍−1 2 • 𝑦′′ + 2𝑚 𝜔0 1 + 𝑍−1 2 • 𝑦′

+𝜔02 1 + 𝑍−1 2 • 𝑦 = 𝜔0

2 1 + 𝑍−1 2 • 𝑥

2

𝑇𝑒1 − 𝑍−1

2

• 𝑦 + 2𝑚𝜔0 1 + 𝑍−12

𝑇𝑒1 − 𝑍−1 • 𝑦

+𝜔02 1 + 𝑍−1 2 • 𝑦 = 𝜔0

2 1 + 𝑍−1 2 • 𝑥

𝜔02𝑇𝑒2 + 4𝑚𝜔0𝑇𝑒 + 4 𝑦𝑘 − 2 4 − 𝜔0

2𝑇𝑒2 𝑦𝑘−1

+ 4 − 4𝑚𝜔0𝑇𝑒 + 𝜔02𝑇𝑒2 𝑦𝑘−2

= 𝜔02𝑇𝑒2 𝑥𝑘 + 2𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘−2

𝑝 ↔1

𝑇𝑒1 − 𝑍−1

𝑝 ↔2

𝑇𝑒

1 − 𝑍−1

1 + 𝑍−1


13

Transformation Temps Continu –Temps Discret : application numérique 𝜔0 = 100𝜋 rad. 𝑠

−1 𝑚 = 0.1 𝑇𝑒 = 2. 10−3𝑠 𝑥 𝑡 = cos 2𝑡 , 𝑡 > 0

𝑦′′ + 2𝑚 𝜔0𝑦′ + 𝜔02𝑦 = 𝜔0

2𝑥

Méthode 1 : approximation d’Euler.

𝑦𝑘 = 1.39805𝑦𝑘−1 − 0.65770𝑦𝑘−2 + 0.25965𝑥𝑘

Méthode 2 : approximation bilinéaire. 𝑦𝑘 = 1.55193𝑦𝑘−1 − 0.89181𝑦𝑘−2 + 0.084971 𝑥𝑘 + 2𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘−2

ode:=diff(y(t),t$2)+2*m*w0*diff(y(t),t)+w0^2*y(t)=w0^2*cos(2*t); dsolve({ode,y(0)=0,D(y)(0)=0},y(t)); h:=rhs(%);y:=unapply(h,'t'); plot(y(t),t=0..Tobs,color = black):

x:=array[-2..Tobs/Te]:y1:=array[-2..Tobs/Te]: for k from -2 to -1 do x[k]:=0;y1[k]:=0;y2[k]:=0; od: for k from 0 to Tobs/Te do x[k]:=cos(2*k*Te); od: for k from 0 to Tobs/Te do y1[k]:=1.39805*y1[k-1]-0.65770*y1[k-2]+0.25965*x[k]; od: for k from 0 to Tobs/Te do y2[k]:=1.55193*y2[k-1]-0.89181*y2[k-2]+0.084971*(x[k]+2*x[k-1]+x[k-2]); od: plot([seq([k*Te,y1[k]],k=0..Tobs/Te)],color=green): plot([seq([k*Te,y2[k]],k=0..Tobs/Te)],color=blue):

Réponse exacte, temps continu

Réponse approchée n°1, temps discret

Réponse approchée n°2, temps discret

En vérité : valeurs en 0-

Régime transitoire

Régime établi


14 Fourier(s) Musique Laplace/Z/TFD

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