Upload
samy888
View
320
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 1/65
Mitschrieb der Vorlesung 21206
Mathematische Methoden der
Festigkeitslehre
Prof. Dr. - Ing. W. Wedig
WS 2000/01
verfaßt von
cand. mach. Ch. Rudolf 1
1Dieser Mitschrieb ist als Erganzung zur Vorlesung gedacht. Fur erlauternde
Skizzen und Zeichnungen ist an den entsprechenden Stellen Platz eingeraumt.
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 2/65
Mathematische Methoden der Festigkeitslehre
Inhaltsverzeichnis
1 Matrizenmethoden 21.1 Elemente der Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Matrix und Spaltenmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Quadratische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Matrizenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4 Eigenwerte einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Ubertragungsmatrizenmethoden: . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Zustandsvektor und Ubertragungsmatrix . . . . . . . 61.2.2 Erweiterte Ubertragungsrechnung . . . . . . . . . . . 8
1.3 FEM – Methode der finiten Elemente . . . . . . . . . . . . . 101.3.1 Steifigkeitsmatrizen K e typischer Elemente . . . . . . 101.3.2 Prinzip der virtuellen Arbeit . . . . . . . . . . . . . . 131.3.3 Matrixverschiebungsmethoden . . . . . . . . . . . . . 161.3.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.5 Einf uhrung in die Fachwerkanalogie . . . . . . . . . . 271.3.6 FEM mit Dreieckselement . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.7 Gesamtsteifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Extremal – Variationsprinzipien 342.1 Einf uhrung in die Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1 Extremalkonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.1.2 Extrema von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.3 Elemente der Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Variationsmethoden der Elastostatik . . . . . . . . . . . . . . 402.2.1 Arbeit und Potential von Kraften . . . . . . . . . . . . 40
2.2.2 Prinzip der virtuellen Verruckung (Arbeit) . . . . . . 432.2.3 Stabilitat konservativer Systeme . . . . . . . . . . . . 432.3 Naherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.1 Ritz’sche Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.2 Galerkin – Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Tensor – Rechnung 523.1 Affine Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1.2 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.1.3 Metrische Grundgroßen g . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.4 Permutationssymbol (Ricci – Symbol) . . . . . . . . 573.1.5 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . 593.2 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.1 Dyade (Tensor zweiter Stufe) . . . . . . . . . . . . . . 593.2.2 Tensoren n - ter Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.3 Spannungsberechnung in affinen Koordinatensystemen
(krummlinige Koordinaten) . . . . . . . . . . . . . . . 61
1
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 3/65
1 Matrizenmethoden
Lineare Gleichungen (Gleichgewicht, Verformung, ...)
In Matrix-schreibweiseAx = y
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = y1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = y2
...am1x1 + am2x2 +
· · ·+ amnxn = ym
1.1 Elemente der Matrizenrechnung
1.1.1 Matrix und Spaltenmatrix
Symbol – Schreibweise: A = (aik) f ur den gesamten Block mit KlammerartIndex – Schreibweise : aik f ur jedes einzelne Element
a.) Begriff der Matrix:
Matrix A ist ein geordnetes Schema reeller Zahlen aikm Zeilenn Spalten
Ordnung(m,n)
A = a11 · · · a1n
... aik ...am1 · · · amn
= (aik)
b.) Transponierte Matrix AT = A
Transposition ist Vertauschung von Spalten und Zeilen.Definition: aT ik = aki f ur jedes Element.
z.B.
A =
5 7 01 0 4
=⇒ AT =
5 17 00 4
Es gilt: (AT )T = A .c.) Spaltenmatrix:
einspaltige
Matrix(m, 1)x =
x1...
xm
einzeiligeMatrix
(1, n)X T = (x1, x2, · · · , xn)
d.) Rechenregeln:
Addition von Matrizen: C = A + B, C ik = aik + bik
Skalare Multikplikation: C = αA, cik = αaik(α ist skalar) f ur jedes Element i,ke.) Eigenschaften:
A + B = B + A kommutativ (vertauschbar)A + (B + C ) = (A + B) + C assoziativ (anordbar)α(A + B) = αA + αB distributiv (zerlegbar)
2
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 4/65
1.1.2 Quadratische Matrizen
a.) Begriffe:
Wenn m = n =⇒ quadratische Matrix der Ordnung n:
A =
a11 · · · a1n
.... . .
...an1 · · ·
ann
Hauptdiagonale: a11, a22, · · · , annNebendiagonale: an1, an−1,2, · · · , a1n
1. Determinante: detA = det(aik) = |A| = |aik|2. Spur (trace): Sp(A) = a11 + a22 + · · · + ann = tr(A)
b.) Spezielle Matrizen:
Diagonalmatrix D =
d11 · · · 0
.... . .
...
0 · · · dnn
= (dik)
Einheitsmatrix E = I =
1 · · · 0...
. . ....
0 · · · 1
= (δik) ,
Kroneckersymbol : δik =
1 f ur i = k
0 f ur i = k,
Nullmatrix 0 =
0 · · · 0...
. . ....
0· · ·
0
= (0),
symmetrische Matrix, wenn A = AT bzw. aik = akiantisymmetrische Matrix, wenn AT = −A ⇒ aik = −aki, aii = 0
e.) Eigenschaften:
• Eine Matrix A ist regular, wenn detA = 0,
• Eine Matrix A ist singular, wenn detA = 0,
• Eine Matrix A ist positiv definit, wenn ∆k > 0,⇒ alle Hauptabschnittsdeterminanten sind positiv :
a11 a12 a13 · · ·a21 a22 a23a31 a32 a33
.... . .
z.B. : ∆1 = a11 > 0
∆2 =
a11 a12a21 a22
= a11a22 − a12a21 > 0
Determinantenregeln (Ordnung n):
• |A| = |AT |• |αA| = αn|A|, α = skalar
3
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 5/65
1.1.3 Matrizenalgebra
Addition, Subtraktion, Multiplikation und Inversion.
• Matrizenprodukt (M – Produkt)
Wenn A eine (m,p) – Matrix und B eine (p,n) – Matrix:=⇒ A,B sind verkettbar:
M-Produkt: C = AB
Berechnung des M-Produkts nach Falk’schem Schema:
b11 · · · b1k · · · b1n...
......
b p1 · · · b pk · · · b pn
a11 a12 · · · a1 p
ai1 ai2 · · · aipam1 am2 · · · amp
c11 ↓ |
−− −→ cik ↓−− −− −− −→ cmn
cik = ai1b1k + ai2b12 + · · · + aipb pk =n
j=1
aijb jk
C = (cik) ist eine (m,n) – Matrix.
• Beispiel:
B=
1 1 1
2 2 25 5 5
; A=
3 4 2
−1 −1 −1−1 −3 −1
A = B= 3 4 2−2 −1 −1
−1 −3 −1
21 21 21−9 −9 −9
−12 −12 −12
C =AB
1 1 12 2 25 5 5
0 0 00 0 00 0 0
D=BA
• Eigenschaften:
– Das M – Produkt ist nicht kommutativ AB = BA
– Transposition des M – Produkts (AB)T = BT AT
– Determinantenansatz det(AB) = det(A)det(B)
• spezielle Produkte:
Gleichungssysteme: Ax = y
a11x1 + · · · + a1nxn = y1· · · · · ·
an1x1 + · · · + annxn = yn
Skalarprodukt:
M = xT y = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn
Bilineare bzw. quadratische Formen :
M = uT Av, Q = uT Au
4
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 6/65
• Inversion einer Matrix:
Definition : AA−1 = E , wenn det(A) = 0A−1 heißt Kehrmatrix von A
Analytische Berechnung uber adjungierte Matrix A:
A−1 =1
det(A) (A)T
: (aik) = (−1)(i+k) |− aik −|
”In Matrix A die i – te Zeile und die k – te Spalte streichen, danndie verbleibende Determinante berechnen und ihren Wert mit (−1)i+k
multiplizieren.”
• Beispiel:
A =
2 4 23 1 11 0 1
: A =
1 −2 −1
−4 0 42 4
−10
|A| = 4 − 2 + 2 − 12 = −8 ⇒ A−1 =
1
det(A)(A)T
A−1 =1
−8
1 −4 2
−2 0 4−1 4 −10
Stets Probe durchf uhren : AA−1 = E
• Eigenschaften:
AT
−1=
A−1T ; (AB)−1 = B−1A−1
1.1.4 Eigenwerte einer Matrix
Gegeben: eine quadratische Matrix A der Ordnung nGesucht: zugehorige Diagonalform Ax = λx, λ = skalar.
Eigenwerte und Eigenvektoren:
Ax = λx bzw. (A − λE )x = 0 besitzt nicht triviale Losungen nur f ur
|A − λE | = 0, → a11 − λ a12 · · · a1n
... ...an1 an2 · · · ann − λ
= 0
→ λn + A1λn−1 + · · · + An = 0 (charakteristische Gleichung)
Eigenwerte von A: Losungen (Wurzeln) λ1, λ2, · · · , λn
Eigenvektoren von A:ixi Losungen f ur jedes λi
Beachte: Wegen Homogenitat sind nur Verhaltnissexkx1
i
angebbar, bzw.ix1 = 1 wahlbar.
Eigenschaften (Vieta)n
i=1 λi = Sp(A);n
i=1 λi =|A
|
5
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 7/65
1.2 Ubertragungsmatrizenmethoden:
f ur vielgliedrige Tragwerke ohne Verzweigungen, z.B. Durchlauftrager, Tur-binenwellen, Rohrleitungssysteme, ...
1.2.1 Zustandsvektor und Ubertragungsmatrix
• Begriffe der Ubertragungsrechnung:
Tragsysteme mit Unstetigkeitsstellen in Belastung (Einzelkrafte) undQuerschnitt (Steifigkeitsanderungen): Punkte und Felder (Momenten-linie , elast. Linie)
– Zustandsvektoren an den Punkten i:
z.B. (V i, M i) innere Schnittkrafte und Momente (s. TM I)(wi, ψi) lineare Verschiebungen und Winkelverformungen (TM II)
– Ubertragungsmatrix:verknupft Zustandsvektoren uber die Unstetigkeitsstellen i mitder Punktmatrix P i und dazwischenliegenden elastischen Feldernmit Feldmatrix F i
– Vorzeichenkonvention:f ur positives Schnittufer des Balkens:EA = Dehnsteifigkeit EI = Biegesteifigkeit
• Elastisch und starr gelagerter Balken:statisch unbestimmte Systeme ohne außere Belastung
R = rechts, L = links der Unstetigkeitsstelle
6
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 8/65
– Untersuchung der Krafte und Verformungen am typischen finiten Element:
∗ Gleichgewicht: (siehe TM I)
V iL − V Ri−1 = 0 =⇒ V i
L = V Ri−1
M iL − M Ri−1 − V Ri−1 · li = 0 =⇒ M i
L = M Ri−1 − V Ri−1 · li
∗ Verformungsberechnung:
Gleichung der elast. Linie :
EI · w
(x) = −M (x) (1)
mit M (x) = M i−1R + x · V Ri−1∗ Beachte: w
(x) = −ψ(x)=⇒
ψiL = ψR
i
−1 +
l
EI i ·M Ri
−1 +
l2
2EI i ·V Ri−1
wiL = wR
i−1 − ψRi−1 · li −
l2
2EI
i
· M Ri−1 −
l3
6EI
i
· V Ri−1
• Zustandsvektor und Feldmatrix:
−w
ψ
M
V
L
i
=
1 l l2
2EI l3
6EI
0 1 lEI
l2
2EI
0 0 1 l
0 0 0 1
i
·
−w
ψ
M
V
R
i−1
Z Li = F i · Z Ri−1
1. Wegen der Einf uhrung von -w sind alle Elemente in F i positiv
2. Kontrolle: F i ist symmetrisch zur Nebendiagonale
7
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 9/65
• Punktmatrix P I :
Gleichgewicht:V i
R = V Li + ki · wLi
M Ri − M Li
ψRi = ψL
i
wRi = wL
i
– symmetrisch:
Z Ri = P i · Z Li
−w
ψ
M
V
R
i
=
1 0 0 00 1 0 00 0 1 0
−k 0 0 1
i
·
−w
ψ
M
V
L
i
– Anmerkung:
1. Bisher nur homogene Gleichungen (ohne außere Krafte),schwingungstechnisch: k =
−mω2
2. Inhomogenitaten durch Randverschiebungen und außere Be-lastungen
1.2.2 Erweiterte Ubertragungsrechnung
• Inhomogenitaten durch diverse Belastungen =⇒ additive Terme
• Zuruckf uhrung auf Matrizenmultiplikation durch Zustandserweiterung
a.) Einzellast F und Moment T −→ erweiterte Punktmatrix P i
V Ri = V Li + ki
·wLi
−F i
M Ri = M Li + T i
ψRi = ψL
i
wRi = wL
i
−w
ψ
M
V
1
R
i
=
1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 T
−k 0 0 1 −F
0 0 0 0 1
i
P i
·
−w
ψ
M
V
1
L
i
8
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 10/65
Punktmatrix P:
P =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 0
−k 0 0 1
Feldmatrix F:
F =
1 l l2
2EI l3
6EI
0 1 lEI
l2
2EI
0 0 1 l
0 0 0 1
b.) erweiterte Punktmatrix P :
Z Ri = P i · Z Li
Erweiterte Feldmatrix F :
EI w
(x) = −M (x)
M (x) = M Ri−1 + V Ri−1x − qix2
2
Z Li = F i · Z Ri−1
−w
ψ
M
V
1
L
i
=
1 l l2
2EI l3
6EI − ql4
24EI
0 1 lEI
l2
2EI − ql3
6EI
0 0 1 l − ql2
2
0 0 0 1 −ql
0 0 0 0 1
i
F i
·
−w
ψ
M
V
1
R
i−1
c.) Beispiel Zweifeld-Trager (B1):
zweifachstatischunbestimmt
9
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 11/65
gegeben: l,EI,q, T = ql2, k = 2EI l3
, Z R0
gesucht: w(x), Z L2Zustandsvektor:
z = (−w ,ψ,M ,V 1)T
d.) Ubertragungsrechnung:
F 1 · Z R0 = Z
L1 ; P 1 · Z
L1 = Z
R1 ; F 2 · Z
R1 = Z
L2
mit Z R0 als Anfangszustand und Z L2 als Endzustand
EliminationderZwischenzustande
=⇒ Z L2 = F 2 · P 1 · F 1 · Z R0
=⇒ Gesamtubertragungsmatrix (vollstandig bekannt):
U = F 2 · P 1 · F 1
Randbedingung:
Z R0 = (0, ψ0, 0, V 0, 1)T
Z L2 = (0, 0, M 2, V 2, 1)T
Randwertproblem
mit unbekannten Auflagerkraften V 0, V 2, M 2 und unbekanntem Winkel ψ0;Eingesetzt in Z L2 = U · Z R0 :
vier Glei-chungen (in-homogen),vier Un-bekannte:
ψ0, V 0, M 2, V 2
00
M 2V 21
=
U 11 U 12 U 13 U 14 U 15U 21 U 22 U 23 U 24 U 25U 31 U 32 U 33 U 34 U 35U 41 U 42 U 43 U 44 U 45
0 0 0 0 1
·
0ψ0
0V 01
Anmerkung:
1. starre Zwischenlager: Federkonstante k → ∞2. Tragsysteme mit Verzweigungen besser mit FEM
1.3 FEM – Methode der finiten Elemente
f ur vielgliedrige Tragwerke mit Verzweigungen und Approximation vonKontinua (Platten, Scheiben, Schalen) mittels FachwerkanalogieZiel:
• gegeben: Elementsteifigkeitsmatrix K e elastischer Einzelstrukturen
• gesucht: Gesamtsteifigkeitsmatrix K f der gesamten Struktur
1.3.1 Steifigkeitsmatrizen K e typischer Elemente
Definition:
p = K e · v (2)
mit: v = Elementverformungen, p = innere Krafte am Element
10
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 12/65
Beispiel:
M
V
=
4EI
l6EI l2
6EI l2
12EI l3
·
ψ
w
(3)
Integrationskonstanten:
x=0, w=0 → C 1 = 0w
(x = 0) = 0 → C 2 = 0
Herleitung:
EI w
(x) = −M (x)
M (x) = M − V · (l − x)
EI w
= V ·
lx − x2
2
− M x + C 1
EI w = (V l − M ) · x2
2− V x3
6+ C 1x + C 2
→ Ergebnis:
w(x = l) = 1EI
−M l2
2+ V l3
3
ψ(x = l) =1
EI
M l − V l2
2
Daraus ergibt sich die Nachgiebigkeitsmatrix: F −1e = K e
Definition: p = K e · v
mit: p – Matrix der inneren Krafte, K e – Einzelsteifigkeitsmatrix,v – Verformung der Elemente (Winkel, Durchbiegung)
Einfache Lastf alle am Stab:
N = EAl
· u =⇒ K e = EAl
11
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 13/65
V = 3EI l3
· w =⇒ K e = 3EI l3
M = 3EI l
· ψ =⇒ K e = 3EI l
Zusammengesetzte Lastf alle:
M
V
=
4EI
l6EI l2
6EI l2
12EI l3
·
ψ
w
(4)
=⇒ K e =
4EI
l6EI l2
6EI l2
12EI l3
(5)
bzw. f ur drei Schnittgroßen:
N M
V
=
EA
l 0 00 4EI
l6EI l2
0 6EI l2
12EI l3
· u
ψ
w
Beachte:
1. p,v am rechten Schnitt des Balkens
2. Koordinatensystem x, w(x) ist tangential zur Einspannung
12
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 14/65
Herleitung: EI w
(x) = −M (x) mit M (x) = M − V (l − x)
M R
M L
p
=
4EI
l2EI l
2EI l
4EI l
K e
· ψR
ψL
v
(6)
Beachte:
1. p,v an beiden Enden des Balkens angebracht
2. Koordinatensystem x, w(x) : lagerverbindend
Spezialfall: M L = 0
M R =2EI
l·
2ψR + 1ψL
0 =2EI
l·
ψR + 2ψL
=⇒ M R
=
3EI
l · ψR
1.3.2 Prinzip der virtuellen Arbeit
δW = f T δd = pT δv (7)
mit
• f - Spaltenmatrix der außeren Krafte,
• d - Spaltenmatrix der Verschiebungen der Kraftangriffspunkte,
•δ - virtuelle Verruckung (infinitesimal)
Aufbringen einer virtuellen Verschiebung δd an der Stelle und in Rich-tung der Kraft f sowie irgendeine kinematisch vertragliche Verformung δv
des elastischen Systems.In Worten:
{virtuelle Verschiebung δd in Richtung der außeren Kraft f } ·{wahre außere Kraft f }
={Elementverformungen δv vertraglich mit den vorgegebenen Verschiebungen δd } ·
{wahre innere Schnittgroßen p}
13
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 15/65
Beispiel:
wirkliche Verformung:
Besonders einfache virtuelle Verformung (mit den Bindungen des Sy-stems vertraglich):
weitere virtuelle Verruckung (beliebig) :Arbeitsbilanz 1. :
F d = S 1d sin α + S 2d + S 3d sin α
Kraftegleichgewicht am unverformten Knoten:
H i = 0 → S 5 − S 4 = 0
V i = 0 → S 1 sin α + S 3 sin α + S 2 − F = 0
Kraftegleichgewicht:
M A =−
C yl
−S 7l tan α = 0
14
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 16/65
M D = (S 7 − S 6) l tan α + F l − 2lC y = 0
=⇒ Elimination von C y :
F = (S 6 − 3S 7)tan α
Arbeitsbilanz 2.:
F d = S 6 · d tan α − S 7 · 3d tan α
Prinzip der virtuellen Verruckung:
δW = f T δd = pT δv
zu 1.: Arbeitsbilanz (lineare Rechnung: d )
F d = S 1d sin α + S 2d + S 3d sin α
große Verformungen:
lineare Rechnung:u = d cos γ
mittels Orthogonalprojektion der verformten Stabachse auf die unver-
formte Stabachse
Bei exakter Rechnung:
u = c − l mit c2 = l2 + d2 − 2ld cos (180◦ − γ )
u = l ·
1 −
d
l
2
+ 2
d
l
cos γ − 1
Taylor – Entwicklung
dl
1
:
u = d cos γ +d2
2lsin2 γ + · · ·
=0 f ur d
l1
Kompatibilitatsmatrix A:
linearer Zusammenhang (→ matriziell darstellen) zwischen der vorge-gebenen Verschiebung d und den daraus resultierenden Elementverformun-gen v:
v = A · d (8)
15
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 17/65
Bsp:
• Stab 1: u1 = d sin α
• Stab 2: u2 = d
• Stab 3: u3 = d sin α
u1u2
u3
= sin α
1sin α
· [d]
Beachte:
1. Lokale (virtuelle) Knotenverschiebungen: di = 1 , d j = 0 f ur i = j
liefern einfache virtuelle Elementverformungen
2. Alle Knotenverschiebungen f ur alle i = 1, · · · , n liefern Gesamtarbeitder außeren und inneren Krafte
1.3.3 Matrixverschiebungsmethoden
Beziehungen zwischen v,p,d,f:
1. Stoffgleichung p = K p · v , K e → K p ; σ - - Beziehung;
K p – Einzelsteifigkeitsmatrix der Gesamtstruktur zusammenstellbaraus Einzelsteifigkeiten K e
2. Kompatibilitatsmatrixkinematische Vertraglichkeit v = A · d mitA – Kompatibilitatsmatrix zusammengestellt aus gegebenen Verschie-bungen di und berechneten V i
3. Gleichgewicht (statische Vertraglichkeit)
f = AT · p
hergeleitet aus:δW = δdT · f = d · vT · p
mit vT = dT · AT
→ δdT f = δdT AT p
f ur alle δdT = 0 =⇒ f = AT p, q.e.d.
Gesamtsteifigkeitsmatrix K f :
Nachgiebig-keitsmatrix: K −1f
aus 1., 2., 3.:f = AT p
f = AT · K p · v
f = AT · K p · A · d (9)
16
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 18/65
Ergebnis:
f = K f · d mit K f = AT · K p · A −→ d = K −1f · f
Anmerkung:
1. Steifigkeitsmatrizen f ur konservative Belastungen sind symmetrisch
2. K f
wird singul¨ar, wenn statisch unterbestimmt gelagert wird
3. Schnittkrafte: p = K p · v = K p · A · d
=⇒ p = K p · A · K −1f · f (10)
1.3.4 Beispiele
a.) statisch unterbestimmtes Fachwerk:
• geg: l,EA,K e = EAl
• ges:K p
, A , K f
4 Freiheitsgrade:
• d = (w1, u1, w2, u2)T – beliebige Reihenfolge
• f = (F 1v, F 1h, F 2v, F 2h)T – entsprechend
1. Elementsteifigkeitsmatrix K p :
3 Elemente: Zug - Druck - Stabe; p = K pv
N A =EA√
2luA
N B =EA√
2luB
N C =EA
2luC
=⇒
N AN BN C
=
EA√2l
0 0
0 EA√2l
0
0 0
EA
2l
·
uA
uB
uC
17
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 19/65
2. Kompatibilitatsmatrix A:
1.) uA = cos45◦w1, uB = cos 45◦w1 , uC = 0 → v = A · d
=⇒ v =
uA
uB
uC
; A =
√22
√22 0 0
√22 −
√22 −
√22
√22
0 0 0 1
d = (w1, u1, w2, u2)T
3. Gesamtsteifigkeitsmatrix:
K f = AT · K p · A
K f =
√22
√22 0√
22 −
√22 0
0 −√22 0
0√22 1
·EA
l·
1√2
0 0
0 1√2
0
0 0 12
·
√22
√22 0 0√
22 −
√22 −
√22
√22
0 0 0 1
=⇒ K f =EA√
8l·
2 0 −1 10 2 1 −1
−1 1 1 −1
1 −1 −1 1 +√
2
Beachte:
1. Symmetrie von K p −→ Kontrolle
2. Singularitat det (K f ) = 0
2. Beispiel
gegeben: l,α,β , einfach statisch unbestimmt kinematisch: 2 Freiheitsgra-de
A,B,C aus : H i = 0,V i = 0
18
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 20/65
1. Einzelsteifigkeitsmatrix (Fachwerk → Zug-, Druck-); p = K p · v
A
B
C
=
EAlA
0 0
0 EAlB
0
0 0 EAlC
·
uA
uB
uC
=⇒ K p =EA
l
cos α 0 00 cos β 00 0 1
mit lA = lcosα , lB = l
cosβ , lC = l
2. Kompatibilitatsmatrix: v = Ad
mit v – Elementverschiebungen: uA, uB, uC (und d – Freiheitsgrade)
d = [u1, w1]T =⇒ f = [H 1, V 1]T
uAuB
uC
; A = cos α sin α
cos β − sin α
1 0
3. Gesamtsteifigkeitsmatrix K f = AT K pA
K f =EA
l
1 + cos3 α + cos3 β sin α cos2 α − sin β cos2 β
sin α cos2 α − sin β cos2 β sin2 α cos2 α + sin β cos α
3. Beispiel:
gegeben: a,b,l,EA,M , starre Platte, elastische Stabe, statisch bestimmt,kinematisch: 3 Freiheitsgrade (TM III)A,B,C aus :
H i = 0,
V i = 0,
M i = 0
gesucht: Zugehorige Steifigkeitsmatrix (mit d = [uS , vS , ψS ]T
)
19
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 21/65
Anmerkung:
• statische Analyse: f = K f · d
• dynamische Analyse: f = −M d (d’Alembert – Krafte und Momente)
→ M d + K f d = 0 (Schwingungsgleichung) (11)
→ Eigenfrequenzen
1. Einzelsteifigkeitsmatrix :
N A = EAl
uA, N B = EAl
uB, N C = EAl
uC ,
→ K p = EAl
· 1 0 0
0 1 00 0 1
2. Kompatibilitatsmatrix : v=Ad
v =
uA
uB
uC
: A =
0 1 −a2
0 1 a2
−1 0 b2
3. Gesamtsteifigkeitsmatrix K f = AT K pA = EAl
AT A
Ergebnis:
K f =EA
l
1 0 − b
20 2 0
−b
2
0 b2
4
+ a2
2
4.Beispiel :
elastisch gelagerter Balken, einfach statisch unbestimmt, 2 Freiheitsgra-de:
gegeben: d = [w1, ψ1]T , f = [V 1, M 1]T
20
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 22/65
1. Einzelsteifigkeitsmatrix p = K p · v
wobei N B = k · uB und M A
V A
=
4EI
l6EI l2
6EI l2
12EI l3
·
ψA
wA
Damit ergibt sich:
N B
M A
V A
=
k 0 0
0 4EI l
6EI l2
0 6EI l2
12EI l3
·
uB
ψA
wA
2. Kompatibilitatsmatrix A (v=Ad)
virtuelle Verruckungen: Verformungsbilder mit v = [w1, ψ1]T
→ A =
−1 00 11 0
3. Gesamtsteifigkeitsmatrix K f = AT K pA:
K f =
4 + 12 α
l26αl
6αl
4α
mit α = EI l
5. Beispiel: Zwei-Feld-Balken
4 Freiheitsgrade, zweifach statisch unbestimmt,d = [w1, ψ1, w2, ψ2]T , f = [V 1, M 1, V 2, M 2]T
21
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 23/65
1. Einzelsteifigkeitsmatrix K p aus p = K p · v
M
V
=
4EI
l6EI l2
6EI l2
12EI l3
·
ψ
w
=⇒
M A
V A
N B
M C
V C
N D
=
4EI l
6EI l2
0 0 0 06EI l2
12EI l3
0 0 0 0
0 0 k 0 0 0
0 0 0 4EI l
6EI l2
0
0 0 0 6EI l2 12
EI l3 0
0 0 0 0 0 k
K p
·
ψA
wA
uB
ψC
wC
uD
2. Kompatibilitatsmatrix A aus v = Ad
=⇒
ψA
wA
uB
ψC
wC
uD
=
0 0 0 10 0 1 00 0 −1 00 1 0 −11 0 −1 l
−1 0 0 0
A
·
w1
ψ1
w2
ψ2
Beachte:Mitdrehendes Koordinatensystem w(x) − x, das stets am verformtenElement linksseitig tangential anzusetzen ist, wenn nur die zugehorige
Einzelsteifigkeitsmatrix K e verwendet werden soll.
22
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 24/65
3. Gesamtsteifigkeitsmatrix K f = AT K pA
=⇒ K f =
k + 12 αl2
6αl
−12 αl2
6αl
6αl
4α −6αl
2α
−12 αl2
−6αl
k + 24 αl2
0
6αl
2α 0 8α
mit α = EI l
jetzt gleiche Aufgabe mit: M R
M L
=
4EI
l2EI l
2EI l
4EI l
·
ψR
ψL
1. Einzelsteifigkeitsmatrix K p aus p = K pv
=⇒
M RA
M LA
N B
M RC
M LC
N D
=
4α 2α 0 0 0 0
2α 4α 0 0 0 0
0 0 k 0 0 0
0 0 0 4α 2α 0
0 0 0 2α 4α 0
0 0 0 0 0 k
K p
·
ψRA
ψLA
uB
ψRC
ψLC
uD
mit α = EI l
2. Kompatibilitatsmatrix A aus v = Ad
ψRA
ψLA
uB
ψRC
ψLC
uD
=
0 0 1l
1
0 0 1l
0
0 0 −1 01l
1 −1l
01l
0 −1l
1
−1 0 0 0
A
·
w1
ψ1
w2
ψ2
23
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 25/65
aus:
3. Gesamtsteifigkeitsmatrix K f = AT K pA
=⇒ K f =
k + 12 α
l2 6αl −12 α
l2 6αl
6αl
4α −6αl
2α
−12 αl2
−6αl
k + 24 αl2
0
6αl
2α 0 8α
mit α = EI l
6. Beispiel: Elastisches System aus Starrkorpern
2 starre Balken 2a, 5 elastische Stutzen c, ⇒ 3 Freiheitsgrade,d = [v1, v2, v3]T zweifach statisch unbestimmt
Mit Hilfe des Freischnitt: 8 Unbekannte: Ax, Ay, B , C , D , E , Gx, Gy
1. Einzelsteifigkeitsmatrix K p aus p = K pv
24
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 26/65
hier: K p = cI, 5x5, d.h. K p =
c 0 0 0 00 c 0 0 00 0 c 0 00 0 0 c 00 0 0 0 c
2. Kompatibilitatsmatrix A aus v = Ad
uA
uB
uC
uD
uE
=
−1 0 0
−12 −1
2 0
0 −1 0
0 −12 −1
2
0 0 −1
A
·v1
v2
v3
3. Gesamtsteifigkeitsmatrix K f = AT K pA
=
⇒K f =
c
4 ·
5 1 01 6 1
0 1 5
Anmerkung:
Auch andere Freiheitsgrade wahlbar, z.B. d = [v1, ψ1, ψ2]T
25
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 27/65
Nachtrag:
In der Praxis stets Steifigkeitsmatrizen K f f ur den angelagerten Fallherleiten, z.B. Fachwerk
d = [w1, u1, w2, u2, w3, u3]T , F = [V 1, H 1, V 2, H 2, V 3, H 3]T
f = K f d : K f - 6x6 Matrix
Dann Untersuchung von:
• Belastungsf allen
• verschiedenen Lagerungsf allen
Kondensation von K f :
• durch Einf uhrung zusatzlicher Lager: dr = 0z.B. u2 = 0, w3 = 0, u3 = 0
• durch Weglassen von Belastungen: f v = 0z.B. H 1 = 0, V 2 = 0
1. Kraft- bzw. Belastungskondensation: f 1
0
=
K 11 K 12
K 21 K 22
·
d1
d2
→ f 1 = K 11 · d1 + K 12 · d20 = K 21 · d1 + K 22 · d2
→ d2 = −K −122 · K 21 · d1
→ f 1 =
K 11 − K 12 · K −122 · K 21
−→
f 1 = K f 1 · d1K f 1 = K 11 − K 12 · K −122 · K 21
2. Lagerkondensation: f 1
f 2
=
K 11 K 12
K 21 K 22
·
d1
0
f 1 = K 11 · d1f 2 = K 21 · d1
−→ d1 = K −111 · f 1
f 2 = K 21 · K −1
11 · f 1
26
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 28/65
1.3.5 Einf uhrung in die Fachwerkanalogie
FEM ersetzt Platten, Schalen, Scheiben, etc. approximativ durch Stabmo-delle → Fachwerkanalogie
z.B. Eingespannter Balken als ebene Scheibe: Zur Unter-suchung derKrafteinlei-tung (lokale
Beanspru-chungen)
Einflusse:
• Anzahl und Form der Elemente e, (hier: Wahl eines ebenen Dreieck-elementes)
• Wahl des Ansatzes zur Beschreibung der Verschiebungen und Span-nungen im Element e
Anmerkung:
FEM liefert numerische Naherungsverfahren zwischen:
• Differenzenverfahren (lokale Approximationen)
• globale Approximationen (Ritz – Galerkin, vgl. Fourier – Reihen)
Verschiebungsmethode:
erf ullt exakt die kinematische Vertraglichkeit im Element e, aber nurgenahert die statische Vertraglichkeit (Gleichgewicht) in e
Bedingungen f ur Verschiebungsansatze:
1. keine Spannungen in e bei Starrkorperbewegung
2. Erf ullung der Kompatibilitat an Elementgrenzen
3. Verschiebungen im Element mussen stetig und eindeutig von Knoten-punktverschiebungen abhangig sein (→ Fachwerkanalogie)
4. konstante Spannungsanteile im Element sind in den Verschiebungs-ansatzen enthalten
z.B. Polynomansatze (meist verwendet) :
f (x, y) =ni=0
m j=0
aijxiy j (12)
f ur ebene Probleme; unbekannte Koeffizienten aij so bestimmen, daß dieBedingung 3. erf ullt wird
27
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 29/65
1.3.6 FEM mit Dreieckselement
z.B. ebene Scheibe mit konstanter Dicke t
Dreiecksflache A = 12
1 xi yi1 x j y j1 xm ym
geg: xs, ys : s = i,j,m, Knotenpunkteges: us, vs : s = i,j,m, Verschiebungen der Knotenpunkte
a.) linearer Verschiebungsansatz:
Polynomansatz der einfachsten Art zur Beschreibung der Verschiebun-gen:
u(x, y) = α1 + α2x + α3y
v(x,y, ) = α4 + α5x + α6y
Bestimmung der αk aus Bedingung 3. :
Verschiebungen im Element e eindeutig aus den Knotenpunktverschie-bungen angebbar;
us = α1 + α2xs + α3ysvs = α4 + α5xs + α6ys
s = i,j,m
−→ 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten αi, (i = 1, · · · , 6)−→ kinematische Vertraglichkeit; Kompatibilitat in Matrixschreibweise:
w = N · de
mit Verschiebungsvektoren der Knotenpunkte xs, ys :
u(x, y)
v(x, y) de = dei , de j , demT
des = [us, vs]T
Funktionsmatrix N:
N =
N i 0 N j 0 N m 00 N i 0 N j 0 N m
Formfunktion N s :
N s =1
2A(as + bsx + csy) , s = i,j,m
Koeffizienten der Formfunktionen:
28
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 30/65
ai = x jym − xmy jbi = y j − ymci = xm − x j
⇒ as, bs, cs(s = i,j,m), durch zyklisches Vertauschen der Indizes
b.) Spannungs- und Verzerrungszustande
Verzerrungsvektor : = Bde
=
x
y
γ xy
=
∂u∂x
∂v∂y
∂u∂y
+ ∂v∂x
B =1
2A· bi 0 b j 0 bm 0
0 ci 0 c j 0 cmci bi c j b j cm bm
Spannungsvektor σ : σ = D·
(siehe TM II)
x = 1E
(σx − νy)
y = 1E
(σy − νx)
γ xy = 2e
(1 + ν )τ xy
σx
σy
τ xy
=E
1 − ν 2
1 ν 0
ν 1 0
0 0 1−ν 2
·
x
y
γ xy
(13)
(Hooke’ sches Gesetz f ur den ebenen Spannungszustand)
−→ Stoffgleichung (II) : σ = D · B · de
Elementsteifigkeitsmatrix K ef :
Knotenpunktskrafte am Element e:
f es = [H s, V s]T (s = i,j,m)
f e =
f ei , f e j , f em
T Krafte am Knoten, bzw. am Element
Prinzip der virtuellen Verr¨uckung: W
i= W
a
δW = (δde)T f e =
(V )
(δ)T
(1)
σ (2)
dV =
(V )
(δde)T BT
(1)
DBde
(2)
dV
=⇒ f ur δde = 0 :
f e = K ef · de
und
K ef = (V )
BT DBdV
29
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 31/65
1.3.6 FEM mit Dreieckselement
gegeben: xs, ys : s = i,j,m; t (Dicke), E, ν (Material)
Einzelsteifigkeitsmatrix K eif
1. kinematische Vertraglichkeit: w = N · de
vorgegeben: de =
dei , de j , dem
T , deS = (us, vs)T
berechnet: w = (u(x, y), v(x, y))T →Formfunktion N s :
N s =1
2A(as + bsx + csy) , s = i,j,m
2. Stoffgleichung (Hooke’sches Gesetz) :
=
x
y
γ xy
=
∂u∂x
∂v∂y
∂u∂y
+ ∂v∂x
→ = B · de
B =1
2E ·
bi 0 b j 0 bm 0
0 ci 0 c j 0 cm
ci bi c j b j cm bm
Hooke’sches Gesetz: σ = D ·
σx
σy
τ xy
=
E
1 − ν 2
1 ν 0
ν 1 00 0 1−ν
2
D
·
x
yγ xy
Ergebnis:
σ = D · B · de
30
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 32/65
3. Statische Vertraglichkeit (Gleichgewicht):
f e =
f ei , f e j , f em
T , f es = [U S , V S ]
T
Prinzip der virtuellen Verruckung: W i = W a
δW = (δde)T f e =
(V )
(δ)T (1)
σ (2)
dV =
(V )
(δde)T BT (1)
DBde (2)
dV
=⇒ Fur alle Verschiebungen δde = 0 :
f e = K ef · de
und
K ef =
(V )
BT DBdV
Hier f ur linearen Verschiebungsansatz: K ef = BT · D · B(At)
Analogie : K f = AT · K p · A
2x2 Submatrizen:
K ef =
K eii K eij K eim
K e ji K e jj K e jm
K emi K emj K emm
f e =
f ei
f e j
f em
de =
dei
de j
dem
z.B. :
K eii =E
1 − ν 2· t
4A· b2i + 1−ν
2 c2i1+ν 2 bici
1+ν 2 bici c2i + 1−ν
2 b2i
1.3.7 Gesamtsteifigkeitsmatrix
mittels Uberschiebungsmethode hergeleitet aus Gleichgewicht am Elemente, z.B. Gesamtsystem aus N=3 Elementen und n = 5 Knoten
31
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 33/65
Außere Belastung am i. Knoten: ri = (Rxi, Ryi)T
→ Gleichgewicht am i. Knoten:
Innere Schnittkrafte am i. Knoten durch das Element e: f ei = (U ei , V ei )T
Gleichgewicht der Krafte am i. Knoten:
ri =N e=1
f ei =N e=1
K eiid
ei + K eijde j + K eimdem
mit f ei ≡ 0, e = i, j
In Worten: Nicht summiert, wenn Element e nicht am Knoten i an-schließt, z.B.
r4 = f 24 + f 34
r4 = K 244d4 + K 243d3 + K 241d1 + K 344d4 + K 343d3 + K 345d5
f ur dei = di : gleiche Verschiebungen am i. Knoten,f ur K eij = K ij : gleiche Steifigkeiten am Elementrand ijErgebnis:
r4 = K 41d1 + 2K 43d3 + 2K 44d4 + K 45d5
Uberschiebungsmethode:
Gleichgewicht am Gesamtsystem der außeren Belastungen r = (r1, · · · , rn)T
und Knotenpunktsverschiebungen d = (d1, · · · , dn)T
r = K f d K f = (K ii)
mit
K ii =N e=1
K eij (14)
summiert uber alle Elemente e mit K eij = 0 f ur e = i, j
Element e=1:
r1
r2
r3
r4
r5
K 111 K 112 K 113 0 0
K 121 K 122 K 123 0 0
K 131 K 132 K 133 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Element e=2:
K 211 0 K 213 K 214 0
0 0 0 0 0
K 231 0 K 233 K 234 0
K 241 0 K 243 K 244 0
0 0 0 0 0
32
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 34/65
Element e=3:
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 K 333 K 334 K 335
0 0 K 343 K 344 K 345
0 0 K 353 K 354 K 355
Ergebnis der Uberschiebungsmethode (K ij):
f 1
f 2
f 3
f 4
f 5
=
2K 11 K 12 2K 13 K 14 0
K 21 K 22 K 23 0 0
2K 31 K 32 3K 33 2K 34 K 35
K 41 0 2K 43 2K 44 K 45
0 0 K 53 K 54 K 55
Gesamtsteifigkeitsmatrix K f = (K ij) =
N e=1 K eij , e = i, j
·
d1
d2
d3
d4
d5
33
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 35/65
2 Extremal – Variationsprinzipien
• Maxima - und Minima- Rechnung von f (x, y) (zwei Freiheitsgrade)
Anwendung: Konservative Systeme mit elast. Potential V ges
1. Gleichgewichtszustand δV ges = 0
2. Stabilitat → Minima der Potentiale
3. Naherungen
• Erweitert auf Maxima – und Minima – Rechnung von Funktionalenmittels der Variationsrechnung (= Taylor – Entwicklungen von Poten-tialen) : δW ges = 0
2.1 Einf uhrung in die Variationsrechnung
uber Nachbarschaftsuntersuchungen mittels Taylor – Entwicklungen: Statio-naritat, Minima, Maxima
2.1.1 Extremalkonzepte
Zwei Optimierungsbeispiele:
Maximum einer Funktion Maximum eines FunktionalsA = FlacheU = Umfangs = Bogenlange
gesucht: Werte x und y Funktionen x(s), y(s)
Zielfunktion: A = xy ⇒ M aximum A = F (x(s), y(s)) - Maximum
Nebenbedinung: U = 2(x + y) = const. U (x(s), y(s)) = const. = c
1. Maximum eines Funktionals ≡ Variationsproblem
2. Aussage ”Von allen Kurven mit der Lange c schließt der Kreis diegroßte Flache ein” ist Extremalprinzip
horizontaleTangente →Gleichgewicht
Extremumsarten
Absolute Extrema: x2, x3 ∈ {A, B}Relative Extrema: a, x1, x2, x3, b
Stationare Extrema: x1, x2, x3
Station¨arer Punkt: x
4(Sattelpunkt, kein Extrempunkt)
Anmerkung:
1. Klassische Variationsrechnung untersucht nur stationare Punkte x mithorizontalen Tangenten
2. Nichtstationare Extrema sind z.B. a,b (Randpunkte), mittels linearerProgrammierung (Operations Research)
34
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 36/65
Untersuchung der stationaren Punkte x
lineare Funktion f (x) durch Vergleich mit benachbarten Punkten x = x + ξ
mittels Taylor – Entwicklung in .⇒ f (x()) hangt nur vom Variationsparameter ab, z.B.
f (x, y) = 10x + 12 x2 + y2− 3 x3 + y3− 9xy (x + y)
f (x + ξ,y + η) = f (x, y)+1
1!
∂f
∂xξ +
∂f
∂yη
+
1
2!
∂ 2f
∂x22ξ2 + 2
∂ 2f
∂x∂y2ξη +
∂ 2f
∂y22η2
+· · ·
Der δ – Formalismus
1. Variation:
ξ = δx, η = δy : ∂f =∂f
∂xδx +
∂f
∂yδy
2. Variation:
δ2f = ∂ 2f ∂x2
δx2 + 2 ∂ 2f ∂x∂y
δxδy + ∂ 2f ∂y2
δy2
und ebenso auch Definitive hoherer Variationen.
2.1.2 Extrema von Funktionen
a.) Stationaritatsbedingung:
δf (x1, x2, · · · , xn) = 0 ∂f ∂xk
= 0 f ur k = 1,2, · · ·, n
f ur alle δxk = 0 d.h. n gegeben f ur x
z.B.:
f (x, y) = 10x + 12
x2 + y2
− 3
x3 + y3
− 9xy (x + y)
∂f
∂x= 0 : 10 + 24x − 9x2 − 18xy − 9y2 = 0 (I )
∂f
∂y= 0 : 24y − 9y2 − 9x2 − 18xy = 0 (II )
(I ) 10 + 24(x
−y) = 0
⇒y
−x =
10
24
(II ) 10 + 24(x + y) − 18(x + y)2 = 0 : y + x =2
3± 1
⇒ x1 =5
8, y1 =
25
24x2 =
−3
8, y2 =
1
24
b. Stationare Extrema:
in Verbindung mit der Forderung δf = 0 :−→ x
M in : δ2f |x> 0 M ax : δ2f |x< 0
f ur alle δxk = 0 f ur alle δxk = 0
35
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 37/65
z.B.:
f (x, y) = 10x + 12
x2 + y2
− 3
x3 + y3
− 9xy (x + y)
mit∂ 2f
∂x2=
∂ 2f
∂y2= 24 − 18x − 18y,
∂ 2f
∂x∂y= −18x − 18y
Fur x2 =
−38 , y2 = 1
24
∂ 2f |x2,y2= 30δx2 + 2 · 6δxδy + 30δy2 = 6 (δx + δy)2 + 24
δx2 + δy2
> 0
d.h. ∂ 2f |x2,y2 ist positiv definit ∀δx,δy = 0→ x2, y2 ist stationar und Minimum.Fur x1 = 5
8 , y1 = 2524 :
∂ 2f |x1,y1= −6δx2 − 2 · 30δxδy − 6δy2
z.B. f ur δx = δy ⇒ ∂ 2f |x1,y1= −72δx2
z.B. f ur δx = −δy ⇒ ∂ 2f |x1,y1= +48δx2
d.h. ∂ 2f |x1,y1
ist nicht definit f ¨ur alle δx,δy
= 0
⇒x1
, y1
ist station¨ar,
aber kein Extremum (Sattelpunkt).
Matrizenkriterium:
Eine Matrix A = (ake) ist positiv definit (siehe 1.12), wenn alle Haupt-abschnittsdeterminanten positiv sind, bzw. wenn
k
e
akeηkηe > 0 ∀ ηk, ηe
Angewandt auf δ2f > 0:
δ2f = k
e
∂
2
f ∂xk∂xe
|x δxkδxe > 0
−→ Matrix: A =
∂ 2f ∂xk∂xe
|x
Beispiel:
x1 = 58 , y1 = 25
24 :⇒ A1 =
−6 −30
−30 −6
, ∆1 = −6, ∆2 = 36 − 900
d.h. nicht positiv definit
x2 = −38 , y2 = 1
24 :⇒ A2 =
30 6
6 30
, ∆1 = 30, ∆2 = 900 − 36
d.h. positiv definit ⇒ MinimumAnmerkung: In Elastostatik nur Minima wichtig !
2.1.3 Elemente der Variationsrechnung
a.) Stationaritat eines Funktionals:
Ein Funktional ist eine Abbildung, welche Funktionen einer Konstantenzuordnet, z.B.:
J [y, y] =x1
x0
F y(x), y(x), x dx mit y =dy
dx
36
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 38/65
Hierbei: (i) alle y(x) ∈ C 2 (stetige Ableitungen)(ii) y(x) erf ullt Randbedingungen: y(x0) = y0, y(x1) = y1
geg.: F (x,y,y) und Randbedingungenges.: Funktion y(x) so, daß J [y, y] = stationar
und y(x0) = y0, y(x1) = y1; (Variationsproblem)Stationaritatsuntersuchung mittels Taylor - Entwicklung um y(x), y(x):
J y + η,y + η
=
x1 x0
F
y + η,y + η, x
dx
=
x1 x0
F (y, y, x) +
1
1!
∂F (y, y, x)
∂yη +
∂F (y, y, x)
∂y η
+
+1
2!
∂ 2F
∂y22η2 + 2
∂ 2F
∂y∂y2ηη +
∂ 2F
∂y 22η2
+ · · ·
dx
b.) Euler’sche Gleichung:
Stationaritatsbedingung: J [y, y] bleibt ungeandert, wenn y(x) und η(x)infinitesimal geandert:
δJ =
x1 x0
∂F
∂yη +
∂F
∂y η
dx = 0
Neue Randbedingungen: η(x0) = 0, η(x1) = 0 , weil
y(x0) + η(x0) = y0, y(x1) + η(x1) = y1
Umformung von δJ durch partielle Integration um η(x) auf η(x)
zuruckzuf uhren f ur [· · ·]η(x) = 0
Regel f ur partielle Integration:
x1 x0
uvdx = [uv]x1x0 −x1 x0
uvdx (15)
angewandt mit v(x) = η(x):
δJ =
x1 x0
∂F
∂y−
∂F
∂y
η(x)dx +
∂F
∂y η
x1x0
=0, RB
= 0
Fur η(x) = 0 :Euler’sche Gleichung: (notwendig f ur Extremum (siehe TM III,2))
∂F
∂y− d
dx
∂F
∂y
= 0 (16)
Randbedingungen: y(x0) = y0, y(x1) = y1
37
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 39/65
Ergebnis:
1. Stationare Funktionen : Losung algebraischer Gleichungen
2. Stationare Funktionale: Losung von Differentialgleichungen
c.) Der δ – Formalismus:
Vereifachte Rechnung: η(x) = δy(x), η(x) = δy (x)angewandt auf erste Variation δJ :
δJ =
x1 x0
∂F
∂y−
∂F
∂y
η(x)dx +
∂F
∂y η
x1x0
= 0
δJ =
x1 x0
∂F
∂y−
∂F
∂y
δydx +
∂F
∂y δy
x1x0
= 0
−→ δJ =
x1 x0
∂F
∂yδy +
∂F
∂y
δy
dx = 0
−→ δ
x1 x0
F dx = 0
Daraus folgt: Vertauschbarkeitsregeln f ur lineare Operationen:
δ
F dx =
δF dx δ
dy
dx=
d
dxδy
Zweite Variation:
δ2J =
x1
x0
∂ 2F
∂y2
δy2 + 2∂ 2F
∂y∂yδyδy +
∂ 2F
∂y 2 δy 2 dx
Beachte:
Variation δ bezieht sich nur auf Anderung von y(x) (abhangige Variati-on). Anderung von x (unabhangige Variable) ist nicht moglich (physikalischsinnlos).
d.) Stabilitat eines Druckstabes:
Randbedingungen:w(0) = w(l) = 0 bzw. w(x) ≡ 0 f ur P < P krit
w(x) = 0 f ur P > P kritw(0) = w(l) = 0
• Gesamtpotential (siehe 2.2)
V [w(x)] =
l 0
1
2EI w2(x)
Biegearbeit
Biegemoment EIw(x)=−M (x)
− 1
2P 0w2(x)
Biegemoment EIw(x)=−M (x)
dx
Gesucht: w(x)
= 0 f ur das V [w] = stationar
→krit. Last P 0,krit (Er-
klarung siehe 2.2.3)
38
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 40/65
• Erste Variation δV = 0:
= Taylor – Entwicklung nach den Freiheitsgraden w(x)
= virtuelle Verruckung
= Differentiation nach abhangigen Variablen w, w, w und nicht nachder unabhangigen Variablen x (kein Freiheitsgrad)
δV ges =
l 0
12 EI · 2 · w(x) · δw(x) − 12 P · 2 · w(x)δw(x) dx
Zur Auswertung mussen δw und δw auf ein gemeinsames δw zuruck-gef uhrt werden.
• Partielle Integration f ur δw und δw ⇒ δw
l 0
EI w(x)
u(x)
δw (x)
v(x)
dx = EI w(x)δw(x)l0−
l 0
EI w(x)
Beachte:EI =(EI )(x)
δw(x)dx
Ergebnis:
δV ges =
EI w(x)δw(x)l0 −
l 0
EI w(x)
+ P w(x)
u(x)
δw(x)
v(x)
dx = 0
zweite partielle Integration, Ergebnis:
δV ges =
EI w(x)δw(x)
l
0 −
EI w(x)
+ P w(x)
δw(x)l0
+
l 0
EI w(x)
+ P w(x)
δw(x)dx = 0
Fur δw(x) = 0 : Euler’sche Gleichung (Verformungsgleichung):EI w(x)
+ P w(x) = 0
lineare Dgl. 4. Ordnung (→ 4 Integrationskonstanten → 4 RB.) ∀x : 0 ≤x ≤ l
Randbedingungen:
Randterme = Produkt aus geometrischen Randbedingungen w(x)|l0 , w(x)|l0und dynamischen Randbedingungen:
Biegemomente: EI w(x)|l0; Querkrafte EI w(x)|l0Randterme:
EI w(x)δw(x)
l0 −
EI w(x)
+ P w(x)
δw(x)
l0
= 0
– Fur δw(x = 0) = 0 = δw(x = l) : w(x = 0) = w(x = l) = 0
– Fur [EI w(x)] + P w(x)
l
0= 0: w(x = 0) = w(x = l) = 0
– (Anmerkung: EI w(0) = 0,E I w(l) = 0 : Auflagerkrafte)
39
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 41/65
– Anmerkung: Variationsrechnung liefert Verformungsgleichungenund Randbedingungen in Produktform.
• Randwertproblem
w(x) + ν 2w(x) = 0 mit ν 2 =P
EI
→ w(x) = C 1 sin(νx) + C 2 cos(νx)
−→ w(x) = C 4 + C 3x −1
ν 2 (C 1 sin(νx) + C 2 cos(νx))
2.2 Variationsmethoden der Elastostatik
2.2.1 Arbeit und Potential von Kraften
Arbeit einer außeren Kraft (siehe TM I)
W a =s1 s0
F ds
ds =
dx
dy
; F =
F x(x, y)
F y(x, y)
;
W a =
(K 1)
(F xdx + F ydy) =
(K 2)
(F xdx + F ydy) ,
d.h.: Arbeit s0 → s1 ist im allg. wegabhangig.Wenn ein totales Differential dU existiert, =⇒
W a =
s1 s0
F ds =
(K )
(F xdx + F ydy) ≡U 1
U 0
dU = [U (x, y)]U 1U 0
dU (x, y) = F xdx + F ydy
dU (x, y) = ∂U ∂x
dx + ∂U ∂y
dy Falls dU vorhanden: ⇒ Wegunabhangigkeit
Koeffizientenvergleich: → Integrabilitatsbedingung
∂U
∂x= F x,
∂U
∂y= F y;
∂ 2U
∂x∂y:
∂F x
∂y=
∂F y
∂x
Ist die Integrabilitatsbedingung erf ullt, dann besitzt F ein Potential V a:
V a = −W a
Elastische Federpotentiale
Arbeit der inneren Krafte W i = Formanderungsarbeit
Dehnfeder: W i =x 0
−F idζ =x 0
−cζdζ
W i = −12cx2; V i = 1
2cx2; F i = −cx
Ebenso Drehfeder:
M i = −cdϕ; V i =12cdϕ
2
40
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 42/65
Elastisches Potential eines DruckstabesBernoulli – Hypothese (siehe TM II):
z = − zϕ Faserdehnung
σz = Ez Hooke’sches Gesetz
⇒ Schnittgroßen N = EA, M = −EI ϕ
Arbeit am Element:W i = − zo σzdz = −1
2E2z
Gesamtarbeit und Potential : V i = −W i :
V i =
l0
1
2EA2 +
1
2EI ϕ2
dx =
l0
N 2
2EA+
M 2
2EI
dx
Verschiebungen w(x), u(x)
Verformungen , ϕ ⇐⇒ Verschiebungen w, u
ϕ = arctan dwdx+du
=√
dw2+(dx+du)2−dxdx
Fur: w(x) 1 gerade Stabachse: w0(x) = 0u(x) 1 Langsverformung: u0(x) ≈ 0
V i =1
2
l0
{EA(u
Dehnarbeit
+1
2w2 + · · ·)2
Koppelterm
+(EI w + · · ·)2 Biegearbeit
}dx
Biegepotential eines Druckstabes
Eigengewicht q0, Druckkraft P
V ges = P u(l) −
Arbeit − l0
u(x) q0dx
Kraftanteil
Potential
+1
2
l0
EA
u +
1
2w2
2+ EI w2
dx
1. Variationen in w(x) und u(x):
δV ges = P δu(l) +
l 0
q0δu(x)dx +
l 0
EI
δwwdx
+
l
0 EAu +1
2w2
δu + wδw
dx = 0
∀δu(x), δv(x)
= 0
41
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 43/65
• Erste Variation des Biegepotentials:
δV ges,Biegung =
l 0
EI wδw dx +
l 0
EA
u +
1
2w2
δwdx = 0
• Erste Variation des Dehnfederpotentials:
δV ges,Dehnung = P δu(l)+
l 0
q0δu(x) + EA
u + 1
2w2 δu dx = 0
• Partielle Integration: δu → δu
V ges,Dehnung = P δu(l) +
EA
u +
1
2w2
δu
lx=0
+
l 0
q0 − EA
u +
1
2w2
δudx = 0
−→– Verformungsgleichung: EA
u + 1
2w2 − q0 = 0
– u(x = 0) = 0
– u(x = l) = 0 → δu(x = l) = 0
– =⇒ P + EA
u + 12w2
x=l
= 0
• Integration der Verformungsgleichung:
EA
u +
1
2w2
= q0x + C
Bestimmung der Integrationskonstanten durch Anpassung an dieRandbedingungen:
EA
u +
1
2w2
x=l
=−P, nach 2.
= q0l + C
→ Erste Integration der Verformungsgleichung fertig:
EA
u +
1
2w2
= q0x − P − q0l
=⇒ Verkurztes Biegepotential:
δV ges,Biegung =
l 0
EI wδw Biegearbeit
− (q0(l − x) + P ) wδw
Arbeit der außeren Krafte
dx = 0
V ges =1
2
l 0
EI w2 − [q0(l − x) + P ] w2
dx
42
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 44/65
2.2.2 Prinzip der virtuellen Verruckung (Arbeit)
• Gleichgewichtsprinzip
Ein elastisches System ist im Gleichgewicht, wenn bei einer virtuel-len Verruckung die Summe der virtuellen Arbeiten der außeren undinneren Krafte verschwindet:
δW a + δW i = 0, =⇒ δW a − δV i = 0
Virtuelle Verruckung ist erste Variation:infinitesimale, gedachte Verschiebung am System, welche mit seinenBindungen vertraglich ist.
• Prinzip vom stationaren Wert des Potentials
Vor.: Arbeit der außeren Krafte ist wegunabhangig, =⇒
V a = −W a → konservative Systeme
δW a − δV i = 0 ⇒ δ (V a + V i) = δV ges = 0
Im Gleichgewicht besitzt das Gesamtpotential elastischer, konservati-ver Systeme einen stationaren Wert:
V ges = stat.
• Beispiel (siehe Beiblatt)
Elastisches System mit zwei Freiheitsgraden:nichtkonservativ, nichtlinear =⇒ Gleichgewicht
2.2.3 Stabilitat konservativer Systeme
Geg.: Gesamtpotential V (h, k)elast. konservatives SystemZwei Freiheitsgrade =zwei Lageparameter: h,k
1. Berechnung der Gleichgewichtslagen h0, k0 aus
δV (h, k) = δV δh
δh + δV δk
δk = 0
2. Stabilitatsuntersuchung uber Variation des Potentials bei konstanterLast P an der Stelle h0, k0.
3. Satz von Lagrange – Dirichlet V = Min
Das Gesamtpotential konservativer Systeme besitzt f ur stabile Gleich-gewichtslagen h0, k0 ein Minimum.
43
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 45/65
Stabilitat von h0, k0: Bei Verruckung aus h0, k0: wird Energie zugef uhrtδ2V (h0, k0) > 0
Instabilitatvon h0, k0: System verlaßt h0, k0, weil Energie frei wird.δ2V (h0, k0) < 0
Indifferenz von h0, k0: Weder Zu- noch Abfuhr von Energie bei h0, k0δ2V (h0, k0) = 0
=⇒ Notwendige Bindung f ur Stabilitatsgrenze; hinreichend, wenn δ2V das Vorzeichen wechselt.
Auswertung des Stabilitatssatzes
Bei diskreten Systemen (FEM – Approximation) mittels Matrizenkrite-rium:
δ2V (h1,0, h2,0, · · · , hn,0) > 0 =⇒ A =
δ2V
δhiδh j
hj0
positiv definit
Beispiel: siehe Beiblatt
Vereinfachte Auswertung der Indifferenz
Wenn h0 bereits bekannt, z.B. h0 = 0, und nur noch Stabilitat zu uber-prufen ist, dann
1. Taylor – Entwicklung mit h = h0 + ∆h :
V (h0 + ∆h) = V (h0)
=const.
+1
1
δV
δh
h0
=0 aus δV (h0)=0
∆h +1
2
δ2V
δh2
h0
(∆h)2
variiert
+ · · ·
2. Variation von V (h0 + ∆h) bezuglich ∆h:
δV (h0 + ∆h) =δV
δ(∆h)δ(∆h) =
1
2!
δ2V
δh2
h0
2∆hδ(∆h) = 0
Satz: Indifferenzkriterium δ2V δh2
h0
= 0 bzw. δV (h0+∆h)δ(∆h) = 0
ist gleich erster Variation der Taylor – Entwicklung δV δ(∆h) = 0
Beispiel: Eingespannter Druckstab unter Einzellast:
Gesamtpotential, entwickelt um w(x) = 0:
V ges(w) =l 0
12
EI w2(x)
Biegepotential
− P w2(x)
Potential außere Kraft
dx
(gegeben)gesucht: P krit→ Auswertung des Indifferenzkriteriums δV ges = 0
1. Variationen:
δV ges
(w) = EI w
δw
(x)−
P w(x)δw
(x) dx = 0
44
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 46/65
2. Partielle Integration: δw(x) → δw(x)
l 0
EI wδw dx = EI wδw(x)l0 −
l 0
EI w δwdx
3. Partielle Integration: δw(x) → δw(x)
EI w + P w(x) δwdx
=
EI w + P w(x)
δwlx=0
−l
0
EI w +
P w(x)
δwdx
4. Randwertproblem: Verformungsgleichung + RB :
δV ges =
EI w(x)δw(x)lx=0 −
EI w + P w(x)
δw
lx=0
+
l 0
EI w + P w(x) δwdx = 0
Aus δw(x) = 0 folgt:EI w+P w(x)
= 0 Verformungsgleichung (Euler), Dgl. 4. Ordnung
spezieller Fall: EI = const. :
EI w + P w = 0 und mit ν 2 =P
EI :
w + ν 2w = 0
→ w(x) = A cos(νx) + B sin(νx)
→ w(x) = D + Cx − 1
ν 2[A cos(νx) + B sin(νx)]
4 Randbedingungen:
(a) Geometrische Randbedingungen:
w(
x= 0) = 0
w(
x= 0) = 0
(b) Dynamische Randbedingungen:
δw(x = l) = 0 ⇒ EI w + P wx=l
= 0
δw(x = l) = 0 → EI wx=l
= 0
45
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 47/65
2.3 Naherungsverfahren
modale Verfahren nach Ritz und Galerkin
→ gute Naherungen f ur Eigenwerte (→ kritische Lasten)
2.3.1 Ritz’sche Verfahren
Fur konservative Systeme mit Gesamtpotential V:
V (w) = M in! (Extremalprinzip)
δV (w) = 0 (V ariationsprinzip)
Bisher:
l 0
L[w(x)] linearer Differentialoperator
δw(x)dx + R [w(x)]l0 linearer Randwertausdruck
= 0
δw(x) = 0 :−→ L[w(x)] = 0
Verformungsgleichung, z.B.
w(x) + ν 2w(x) = 0
R[w(x)]l0 = 0 ⇒ [· · ·]δw(x) |x=l −[· · ·]δw(x) |x=0 +[· · ·]δw(x) |x=l −[· · ·]δw (x) |x=l= 0
Stets Produkte aus dynamischen und geometrischen Randbedingungen:
dynamisch: Querkrafte geometrisch: Durchbiegung
Momente Tangente
w(0) = 0
w(0) = 0w(l) = 0 → [· · ·] = 0w(l) = 0 → [· · ·] = 0
Ritz’sche Gleichungen
Naherung mittels Ritz – Ansatze:
w(x) =n
k=1
ρkϕk(x)
mit ϕk(x) gewahlte Ansatzfunktionen, die R[w(x)]l0 = 0 erf ullen. ρk sind
noch unbekannte Koeffizienten (Freiheitsgrade des Systems), z.B. ϕk(x) =sin
πl
kx
, k = 1, 2, 3, · · ·Auswertung:
V (ρ1, ρ2, · · · ρn) = M in! =⇒ ∂V
∂ρk
= 0 f ur k = 1, 2, 3, · · · , n
δV (ρ1, ρ2, · · · ρn) = 0 =⇒n
k=1
∂V
∂ρk
δρk = 0
Ritz’sche Gleichungen
Wahl der Zusatzfunktionen ϕk(x)
46
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 48/65
1. Eigenfunktionen erf ullen Dgl. L[w(x)] = 0 und Randbedingungen R[w(x)]l0 = 0
2. Vergleichsfunktionen erf ullen alle Randbedingungen
3. zulassige Funktionen erf ullen alle geometrischen Randbedingungen
Anmerkung:
Bei konservativen Problemen sind zulassige Funktionen ausreichend, weil
R[w(x)]l0 = geometrische x dynamische Randbedingungen.
Beispiel: Stab unter Eigengewicht
ges.: kritisches Gewicht q0,krit = ?
geg.: V (w(x)) = l0
12EI w2(x) − 1
2q0(l − x)w2(x)
dx
f ur w0(x) ≡ 0
•Indifferenzkriterium: δV (∆w) = 0
δV =
l 0
EI w(x)δw(x) − q0(l − x)w(x)δw(x)
dx = 0
• Produktintegrationen: δw, δw −→ δw
• Ergebnis: Verformungsgleichung (δw(x) = 0 f ur 0 < x < l)
EI w + q0(l − x)w(x)
= 0
• Randbedingungen: w(0) = w(0) = 0, w(l) = w(l) = 0
– Losung der Differentialgleichung: Besselfunktionen
– Anpassung der Randbedingungen: Determinante = 0
• Ergebnis:
q0,I = 18.57EI
l3, q0,II = 86, 30
EI
l3, q0,III = · · ·
Eingliedriger Ritz – Ansatz: w(x) = ρ1 · ϕ1(x)
ϕ1(x) = xl1 − x
l ϕ1(x) = sin π x
l
zulassige Funktion Vergleichsfunktion
ϕ1(0) = ϕ1(l) = 0√
ϕ1(0) = ϕ1(l) = 0√
ϕ1(x) = − 2
l2ϕ1(0) = ϕ
1(l) = 0√
ϕ1(x) = − πl 2 sin π
x
l 47
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 49/65
eingesetzt:
V =1
2ρ21
l 0
EI ϕ2
1 (x) − q0(l − x)ϕ21 (x)
dx
∂V
∂ρ1= ρ1
l
0 EI ϕ21 (x) − q0(l − x)ϕ2
1 (x) dx = 0
f ur ρ1 = 0 :l
0
EI ϕ2
1 (x) − q0(l − x)ϕ21 (x)
dx = 0
Ergebnis: Rayleigh – Quotient als Sonderfall des Ritz – Verfahrens:
q0,krit =
l 0
EI ϕ21 (x)dx
l
0 (l
−x)ϕ2
1 (x)dx
⇒ (q0,krit)Parabel= 24
EI
l3, Fehler : 30%
⇒ (q0,krit)Sinus = 19.74EI
l3, Fehler : 6%
Zweigliedriger Ritz – Ansatz:
w(x) = ρ1 sin
π
x
l
+ ρ2 sin
2π
x
l
(V ergleichsfunktion)
→ V (ρ1, ρ2) =EI
l3π4
4
ρ21 + 16ρ22
− π2
8q0
ρ21 +
160
9π2ρ1ρ2 + 4ρ22
Indifferenz – Kriterium: → Ritz – Gleichungen
∂V
∂ρ1= 0 ⇒
EI
l3π4
2− π2
4q0
ρ1 − 20
9q0ρ2 = 0
∂V
∂ρ2= 0 ⇒ 20
9q0ρ1 +
EI
l38π4 − π2q0
ρ2 = 0
Fur ρ1, ρ2 = 0 → ∆ = 0 ⇒ quadratische Gleichung in q0
Ergebnis: q0,I = 18, 58EI l3 , q0,II = 105, 22EI
l3
Anmerkung:
1. Konvergenz des Ritz – Verfahrens ist gesichert, wenn die Ansatzfunk-tionen ϕk(x) zulassig und vollstandig sind.
2. Praktische Berechnung der ersten kritischen Last mit zwei Vergleichs-funktionen bzw. drei zulassigen Funktionen
48
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 50/65
2.3.2 Galerkin – Verfahren
(liefern Losungen f ur nichtkonservative Probleme.)Struktur praktischer Probleme in Operatoren - Schreibweise:z.B.
EI w(x) + q0(l − x)w(x)
= 0
→ L [w(x)] = EI
d4
dx4 + q0(l − x)
d2
dx2 − q0d
dxw(x)
→ M [y(x)] = λN [y(x)] , y(x) = ?, mit λ − Eigenwert
M [y] =n
ν =0
(−1)ν
f ν (y)y(ν )(x)(ν )
, Abk. : y(ν )(x) =dν y(x)
dxν
N [y] =n
ν =0
(−
1)ν gν
(y)y(ν )(x)(ν )Randbedingungen: a ≤ x ≤ b
U ν [y] =2n−1ν =0
αν y
(ν )(a) + β ν y(ν )(b)
= 0
Entwicklungssatz (Weierstraß)
Die Entwicklung
y(x) =n
k=1ρkϕk(x)
konvergiert f ur n → ∞ gleichmaßig und absolut gegen die strenge Losung,wenn ϕk(x) Vergleichsfunktionen sind und ein vollstandiges Funktionensy-stem bilden.
Galerkin – Gleichungen:
M [y(x)] = λN [y(x)]
→n
k=1ρk {M [ϕk(x)] − λN [ϕk(x)]} = 0
·ϕi(x),
b
a· · · dx
nk=1
ρk
b a
ϕi(x) {M [ϕk(x)] − λN [ϕk(x)]} dx = 0
49
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 51/65
Galerkin – Gleichungen: (eingesetzt in Dgl. f ur abzahlbar viele x)
nk=1
ρk
b a
ϕi(x) {M [ϕk(x)] − λN [ϕk(x)]} dx = 0
→ n algebraische Gleichungen f ur ρkBeispiel: Stab unter Eigengewicht (siehe Ritz – Verfahren)
Verformungsgleichung: EI w(x) + q0 [(l − x)w(x)] = 0
Randbedingungen: w(0) = w(l) = 0, w(0) = w(l) = 0
Galerkin – Ansatz:
w(x) = ρ1 sin
π
x
l
+ ρ2 sin
2π
x
l
+ · · ·
nk=1
ρk ·l
0
ϕi(x)
EI ϕk (x) + q0
(l − x)ϕ
k(x)
dx = 0
mit ϕk(x) = sin
kπ xl
f ur k,i = 1,2, ...
⇒2
k=1
ρk
l 0
sin
iπ
x
l
·
EI
k
x
l
4· sin
kπ
x
l
−q0(l − x)kx
l 2
· sinkπx
l − q0kx
l coskπx
l
dx = 0
Wobei gilt:l
0
sin2
πx
l
dx =
1
2l
l 0
(l − x)sin2
πx
l
dx =
1
4l2
l 0
(l − x)sinπ xl sin2π x
l dx = 8
9 l
π2
l 0
sin
π
x
l
cos
2π
x
l
dx = −2
3
l
π
(alle anderen Integrale ≡ 0).⇒ Galerkin – Gleichungen:
ρ1 EI π
l 4 1
2 l − q0 π
l 2 1
4 l
2− ρ2q0 2
π
l 2 8
9
l2
π2 − 2
π
l
2
3
l
π = 0
50
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 52/65
symmetrisch:
−20
9q0ρ1 +
EI
2
π
l
4 1
2l − q0
2
π
l
2 1
4l2
ρ2 = 0
Zwei lineare homogene Gleichungen f ur ρ1, ρ2 = 0 → det(q0) = 0
→q0,I = 18.57
EI
l3,...
Konstruktion eines vollstandigen Funktionensystems
w(x) =n
k=0
ρkϕk(x)
das alle Randbedingungen erf ullt. Aus losbaren Hilfsproblemen der gleichenOrdnung, z.B. bei Staben:
ϕk (x) − λ4ϕk(x) = 0
anstelle von komplizierten Dgl.
ϕk(x) = A sin(λx) + B cos(λx) + C sinh(λx) + D cosh(λx)
oder : ϕ
k (x) + λ2ϕk(x) = 0
Damit sind alle Randbedingungen erf ullt ⇒ Vergleichsfunktionen.
51
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 53/65
3 Tensor – Rechnung
• Tensoralgebra : Vektorrechnung, Elastizitatstheorie
• Tensoranalysis: krummlinige Koordinatensysteme
3.1 Affine Koordinaten
3.1.1 Einleitung
geg.: Vektoren a, b
ges.: c = a + b symbolische,anschau-licheMethoden
koordinaten unabhangig durchf uhrbar (Vektorparallelogramm)
koordinaten abhangig:
c =
ax + bx
ay + by
(analytisch formal)
Koordinatensysteme sind vorteilhaft bei komplizierten Problemen, aber:Koordinatensysteme sind nicht eindeutig, sondern willkurlich wahlbar (Des-cartes) (z.B. kartesich, polar, ...)
• Invarianten sind von den Koordinatensystemen unabhangig, z.B.
– invariante Zahlen (Skalare) : Temperatur, Dichte, ...
– invariante Pfeile (Vektoren): Krafte, Geschwindigkeiten, ...
• Hauptfrage der Tensorrechnung:
Wie ist mit Koordinaten zu rechnen, damit Invarianz physikalischerGroßen gesichert bleibt?
• Hierzu eine erweiterte Indizierung durch hoch- und tiefgestellt Indizes,z.B.
Kroneckersymbol: δ jk = δ jk = δ.k j = δk.j =
1 f ur j = k
0 f ur j = k
• Summationsregeln: (Ricci – Kalkul)Wenn in einem Ausdruck ohne Operationszeichen (+,-) ein Index so-wohl oben als auch unten vorkommt, dann soll daruber summiert wer-den, z.B.
a j j =
n j=1
a j j = a11 + a22 + · · · + ann
a jb j =n
j=1
a jb j = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn
akδk j =n
j=1
akδk j = a1δ1 j + a2δ2 j + · · · + a jδ j j + · · · + anδn j
⇒ Ausblendeigenschaft des Kronecker – Symbols:
akδk j = a jδ
j
j = a j
52
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 54/65
Keine Summe:
a j + b j , weil mit + (bzw. -) zwei Ausdrucke miteinander verknupft sind.
ni=1 aii = a11 + a22 + · · · + ann , weil gleiche Indizes i nicht gegenstandig sind
a\ jb\ j , weil gegenstandige Indizes durchgestrichen sind.
3.1.2 Koordinatensysteme
• kartesische Koordinatensysteme:
Basisvektoren eα, α ∈ {x,y,z}
normiert: | eα |= 1
rechwinklig (orthogonal) : eα · eβ = δαβ
mit eα · eβ =| eα | · | eβ | · cos(eα, eβ )
Darstellung von Vektoren f :
Koordinaten von f : f
Komponenten von f : f \αe\α
f = f αeα = f \xe
\x
+ f \ye
\y
Benennung der rechtsstehenden Indizes:unten : kovariantoben : Kontravariant
...
b.) affine (krummlinige) Koordinaten
Basisvektoren e j mit j ∈ {x ,y ,z}schiefwinklig (affin), i.a. nicht normiert(und nicht orthogonal)linear unabhangig, d.h. e j sind nichtkomplanar (nicht in einer Ebene)
=⇒ e1, e2, e3 bilden eine kovariante Basis.
Darstellung eines Vektors f :
53
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 55/65
nur durch Parallelprojektion
(Parallelogramm - Gesetz)
(nicht Orthogonalprojektion)
f = f 1e1 + f 2e2 + f 3e3 = f je j
Skalarprodukt:
kartesich: a · b = axbx + ayby + azbz
affin: a · b = |a|| b| · cos (a b)
Einf uhrung der Orthogonalitat durch kontravariante Basis e j :
Definition Orthogonalitat (Schlusselgleichung):
e j
·ek
= δ j
k
Deswegen unten und oben indiziert !
Angabe der Richungen, z.B. f ur e2:
1. e2 · e1 = δ21 = 0 , d.h. e2 ⊥ e1
2. e2 · e2 = δ22 = 1 , d.h. (e2, e2) ≤ 90◦
Darstellung des Vektors f :
f = f 1e1 + f 2e2 = f je j
Invarianz – Forderung:
f = f je j = f je j
Ergebnis:
1. f ist stets paarweise darstellbar: f j , f j
2. f j ist von e j abhangig, weil i.a. |e j | = 1
3. Berechnung
f je j = f je j sinnlos (nicht invariant)
Kongrediente Systeme:
• e j kovariante Basis, f j kontravariante Koordinaten
• e j kontravariante Basis, f j kovariante Koordinaten
Sonderfall: kartesische Koordinaten:
eα = eα, f α = f α, mit α ∈ {x,y,z}
54
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 56/65
3.1.3 Metrische Grundgroßen g
f ur Langen - Flachen - Volumenberechnungen und Koordinatentransforma-tionen:
Skalarprodukt:
kartesich: a · b = axbx + ayby + azbz
allgemein: a · b = |a|| b| · cos (a b)
1. Definition der Grundgroßen:Skalarprodukt zweier Basisvektoren =⇒ 3x3 - Matrix
g jk = e j · ek
(g jk) =
g11 g12 g13
g21 g22 g23
g31 g32 g33
Speziell:
gij = |ei| · |e j | · cos (ei, e j)
f ur i = j:g jj = |e j | · |e j | · cos0◦
=⇒ |e j | =√
g jj
Beispiel:
geg.: e1 = exe2 = ex + ey
ges.: gij = ei · e j mit i,j = 1,2
(gij) =
e1 · e1 e1 · e2
e2 · e1 e2 · e2
=
1 1
1 2
−→ |e1| = 1, |e2| = √2
2. Eigenschaften der Metrik:
kovariant kontravariant gemischt
e j · ek = g jk e j · ek = g jk e j · e j ≡ δ jk
(Schlusselgleichung)
=⇒ Symmetrieeigenschaften:
e j · ek = ek · e j , e j
· ek
= ek
· e j
55
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 57/65
3. Entwicklung einer Basis:Aufgabe: Zerlegung von e j in die Kovariante elAnsatz:
e j = a jl · el, a jl =? (Entwicklungskoeffizienten)
Losung mittels der Orthogonalitat:
e j = a jl · el | · ek
⇒ e j · ek = a jl · el · ek = a jl · δklAusblendeigenschaft
==== a jk
Ergebnis−→ a jk = e j · ek = g jk
Ebenso f ur weitere Zerlegungsaufgaben:
e j = g jk · ek e j = g jk · ek
4. Umrechnung von Vektorkoordinaten
f = f k · ek = f l · el | · e j
f k · ek · e j = f l · el · e j
f k · gkj = f l · δ jl = f j
Ergebnis:
f j = g jk · f k f j = g jk · f k
ZusammenfassungAufbau eines affinen Koordinatensystems:
Definition: e j · ek = δ jk
gegeben: e j , f j , j ∈ {1, 2, 3}gesucht:
1. gij = ei · e j ⇒| e j |= √g jj
2. gij = (gij)−1 ⇒| e j |= g jj
3. e j = g jk·
ek, f j = g jk·
f k
Herleitung von
gij
= (gij)−1:
e j = g jk · ek | ·em e j · em = g jk · ek · em
⇒ δ jm = g jk · gkm ⇒ E =
g jk
· (gkm) | · (gkm)−1
E · (gkm)−1 =
g jk
· (gkm) · (gkm)−1 =
g jk
(gkm)−1 = g jk56
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 58/65
Inneres Produkt zweier Vektoren:
gegeben: u = ui · ei = ui · ei
v = v j · e j = v j · e j
gesucht: u · v = ui · ei · v j · e j = uiv jgij
= ui · ei · v j · e j = uiv j · δi j = uiv
i
z.B. 2 - dimensional :
u·v = uiv jgij = ui·
v1gi1 + v2gi2
= u1v1g11+u2v1g21+u1v2g12+u2v2g22 (Doppelsumme)
u·v = uivi = u1v1+u2v2 (wie bei kartesischen Koordinaten, Einfachsumme)
Normierung von Basisvektoren:
Einf uhrung normierter Basisvektoren e j stets am Schluß einer Rechnung.Definition:
e j =e j
| e j |angewandt: u = u j
·e j = uj
·ej
|ej | ⇒u j = uj
|ej |
=⇒ Ergebnis: uj = u\ j · | e\ j | mit | e j |= √g jj
Tensorkoordinaten: u j ⇐⇒ physikalische Koordinaten uj
3.1.4 Permutationssymbol (Ricci – Symbol)
Voraussetzung: e1, e2, e3 bilden Rechtssystem.
• Definition des – Symbols:
Spatprodukt,gem. Produkt
jkl = (e j , ek, el) = (e j × ek) · el
jkl =
e j , ek, el
=
e j × ek
· el
– Symbol bestimmt das Vektorprodukt zweier Basisvektoren:
e j × ek = jkm · em
Zur Zerlegung des Vektors e j × ek in drei Richtungen em multipliziertmit el :
(e j×
ek)·
el = jkm·
em
·e j = jkm
·δm
l
= jkl
Eigenschaften von jkl : 3 × 3 × 3−Matrix, 27 Elemente
jkl = 0 wenn zwei gleiche Indizes vorkommen, z.B. 112 = 0123 = 231 = 312 (zyklisches Vertauschen)123 = −132 einfaches Vertauschen
⇒ Fur alle 27 Elemente braucht man nur den Zahlenwert 123.
57
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 59/65
• Elementarvolumen der Basis:
V = (e1, e2, e3) = 123 =
det (g jk)
V = (e1, e2, e3) = 123 =
det (g jk)
Beweis:
V = e3 · (e1 × e2) = (e1 × e2) · e3 = e3· | e1 | · | e2 | · sin α12 · e3
| e3 |
mit sin2 α12 = 1 − cos2 α12 und g12 =| e1 | · | e2 | · cos α12
⇒ V 2 = g11g22 ·
1 − g212g11g22
· δ33 · 1
g33
det (g jk) =1
g33·
g11g22 − g212
q.e.d.
• Außeres Produkt zweier Vektoren:
gegeben: u = u j · e j , v = vk · ek
gesucht: w = u × v
⇒ w = u jvk
e j × ek
3 -fach-Summe: w = u j · vk · jkl · el
• Volumen- und Flachenberechnung:
V = (u, v, w), Spatprodukt
geg.: u = u j · e j
v = vk · ek
w = wl · ew
(3 -fach-Summe)V =
u je j , vkek, wlel
= u j · vk · wl · (e j , ek, el) = u jvkwl · jkl
A =| u × v | −→ A2 = (u × v) · (u × v)
A2 =
u jvke j × ek
·
umvn em × en
A2 =
u jvk jkl · el
· (umvnmnp · e p)
mit el · e p = δl p
=⇒ A2 = u jvk jkl · umvn · mnl(5 -fach-Summe)
58
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 60/65
3.1.5 Koordinatentransformation
Vorgehensweise:
Zuerst Transformation der Basen, dann Transformation der Koordina-ten !!
• Transformationskoeffizienten a:
altes Koordinatensystem eα, eβ , z.B. kartesisch
neues KOS: ei, e j , z.B. affin
– Basis – Transformation: e j = a.α j eα
– Rucktransformation: eα = a.jαe j
– Berechnung der Transformatiosgroßen a: a.αJ = e j · eα
– Inversion der T – Großen:
a.kα
= (a.αk )−1
– Transposition der T – Großen: ak.α = a.kα
T Merkregel:
Es gelten die gleichen Bildungsvorschriften f ur die metrischen Grund-großen g und die Transformationskoeffizienten a, z.B.:
gij = ei · e j aαj = eα · e j
gij = ei · e j aαj = eα · e j
3.2 Tensoren
Beispiele:
• Tensor 0. Stufe: Skalar ohne Index
• Tensor 1. Stufe: Vektor mit einem Index
• Tensor 2. Stufe: Dyade mit zwei Indizes
3.2.1 Dyade (Tensor zweiter Stufe)
1. Anschauliche Definition:
mittels linearer Vektorabbildung:Eindeutige, koordinaten - unabangige Zuordnung zweier Vektoren u
und u mit den Eigenschaften:
• u −→ u
• αu = α u
• u + v −→ u + v
z.B. Spiegelung an der ex, ez - Ebene:
59
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 61/65
mit: ux = ux
uy = −uy
uz = uz
→ lineare Vektorabbildung uα = tα.β uβ
ux = 1 · ux + 0 · uy + 0 · uz
uy = 0 · ux − 1 · uy + 0 · uz
uz = 0 · ux + 0 · uy + 1 · uz
tα
.β =
1 0 0
0 −1 00 0 1
2. Verallgemeinerung im affinen Koordinatensystem:lineare Vektorabbildung liefert Tensor 2. Stufe mit den Tensorkoordi-naten t
j.k, t jk ,...
u j = t j.k · uk u j = t jk · uk
Umrechnung:tl.k = glj · t jk , tlm = tl.k · gkm,...
aus (1): u j = t jk · uk | ·g jl , ul = glj · u jund (2): ul = tl.k · uk ⇒ tl.k = t jk · glj
Transformationsregeln:
t jk = aα.j · a.β k · tαβ tαβ = a j.α · ak.β · t jk
Herleitung:
uβ = a.β k · uk u j = aα.j · uα einsetzen in
α – System : uα = tαβ ·
uβ ,
| ·aα.j
j – System : u j = t jk · uk = aα.j · tαβ · a.β k · uk
und ebenso f ur t jkund t j.k
Transformationsregeln sichern Invarianz der doppelt indizierten Großen
−→ analytische (allgemeinere) Definition eines Tensors.
3.2.2 Tensoren n - ter Stufe
1. Definition
• als n - fach indizierte Große mit Transformations - Invarianz Anwendung z.B. :σjk = C ..mn
jk ·mn
60
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 62/65
• als lineare Abbildung von Vektor – (n-1) – Tupeln,z.B. (n-1) – Tupel: 1u, 2u, · · · n-1u −→ u - Vektorin Koordinaten:
u j = t jk1k2k3···kn−1· 1uk1 , 2uk2 , · · · n-1ukn−1
Koordinatenumrechnung:
tk2 jk1.k3···kn−1= gk2lt jk1lk3···kn−1
Koordinatentransformation:
t j1 j2··· jn = aα1
.j1· aα2
.j2· · · aαn.jntα1α2···αn
• Beispiele von Tensoren:
– Metrischer Grundtensor g – Einheitstensor zur linearen Ab-bildung u → u (siehe 3.1.3)Koordinaten eines Tensors: g jk , g jk , g.k j , g
j.k
– Permutationstensor – Ricci – Tensor:Vektorprodukt: w = u × v (siehe 3.1.4)Koordinaten des Tensors 3. Stufe: jkl, jkl,
j.kl, · · ·
– Partielle Ableitung – Ortsableitung:
Tensorfeld tij
xk
, · · · Skalarfeld f
xk
∂tij
∂xk= tij,k,
∂tij
∂xk
= t..kij, (Komma)
−→ Tensoren, deren Stufe um eins erhoht ist.
3.2.3 Spannungsberechnung in affinen Koordinatensystemen (krumm-
linige Koordinaten)
1. Spannungstensor
da – außerer Normalenvektor der anteiligen Schnittflache da
σ – Spannungsvektor im Schnitt a
d f – Schnittkraftvektor (anteilig) ⇒ σ = d f dA
zwei Vektoren da und d f :lineare Vektorabbildung: da → d f
eindeutige Zuordnung durch Spannungstensor σ:
df j = σijdai = σ.ji dai df j = σi
.jdai = σijdai
mit den Koordinaten σij , σij , σ.ji , σi
.j
Beachte:
Erster Index i ist Summenindex (Konvention). Somit ist σijdai keinMatrizenprodukt
Bsp: σi1dai = σ11da1 + σ21da2 + σ31da3
61
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 63/65
Darstellung von σαβ = σαβ
Darstellung von σij :
df j = σij · dai mit d f = df j · e j , da = dai · ei
Regel:
• Erster Index i : gleichstandig mit der Flachennormalen e j
• Zweiter Index j : gegenstandig mit der Spannungsrichtung e j
2. Eigenschaften:
•Symmetrie: σij = σ ji , σij = σ ji ,
· · ·• Umrechnung: σi.j = gikσkj (Matrizenprodukt, weil nebenstandig)
σil = σi.j · g jl σil = gikσkjg jl (zwei Matrizenprodukte)
• Transformation σij = a.αi · σαβ · a.β j
(Summation uber α und β , mit α, β ∈ {x ,y,z})
3. Eigenwertproblem
⇒ Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungengesucht ist die spezielle Schnittrichtung: d f || da,bzw. d f ∼ da (df j ∼ da j)
Daraus folgt:df j =
σda j mit Proportionalitatsfaktor
σund
• df j = σi.jdai (siehe Definition Spannungstensor)
• da j = gi.jdai (mit gi.j = δiJ )
Ergebnis: σi.j − σ · gi.j
· dai = 0
Eigenwertgleichung
• Hauptspannung σ:
detσi
.j −σ
·gi.j = 0,
−→ I
σ,II
σ,III
σ
62
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 64/65
• Hauptspannungsrichtungen:σi.j −
Jσgi.j
·Jdai = 0 J ∈ {I ,I I ,I I I }
weitere Formulierungen des Eigenwertproblems:
df j = σda j ←→ df j = σijdai ←→ da j = gijdai
Ergebnis:(σij − σgij) · dai = 0
(gleiche Werte f urJσ und
Jdai)
nach 3.2.3 Spannungsberechnung:
1. Spannungstensor
df j = σijdai = σ.ji dai df j = σijdai = σi
.jdai (Konvention)
2. Darstellung von σij
3. Hauptspannungen
Forderung: df j = σda j mit Proportionalitatsfaktor σ = d f |da|
Auswertung mittels Spannungstensor mit df j = σi.jdai da j = gi.jdai
⇒
σi.j − σgi.j
dai = 0
(a) σ aus det
σi.j − σgi.j
= 0 →
Jσ (Hauptspannungen)
(b)
σi.j −
Jσgi.j
Jda j = 0 → (Hauptspannungsrichtungen)
4. Spannungsvektor aσ = d f |da|
Spannung in Richtung d f bei gewahltem Schnitt da
spezielle Schnittrichtungen:
63
5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/mathmatisce-methoden-der-festigkeitslehre 65/65
• iσ, wenn da parallel zu ei gewahlt wird.
•iσ, wenn da parallel zu ei gewahlt wird.
Ergebnis: ko- und kontravariante Koordinaten des Spannungsvektors iσ :
iσ j =σij
gii
iσ j =σi.j
gii i
σ j =σ.ji√gii
,iσ j =
σij√gii
Herleitung: (z.B. von 3σ)
gewahlt: da = da3 e3 mit da3 > 0, da1 = da2 = 0, δ
.ji = ei · e j
3σ = 3σ je j =df je j
| da |=
1
| da | ·σijdai
·e j = 3σ =
1
|da| ·σ3 j
·da3
·e j
|da| = da3 · |e j | = da3 · √g33
−→ 3σ =σ3 j
√g33
· e j
−→ 3σ =σ3 j
√g33
64