+maths 1

maths n1-febrero 2012

Departamento de Matemáticas. IES Las Veredillas+

+FRACTALES. UN UNIVERSO COMPLEJO

< FIBONACCI Y LAS ESPIRALES “ FOTOGRAFÍA

MATEMÁTICA. PASATIEMPOS

ENIGMAS Y LÓGICA

EL ESPÍRITU GEOMÉTRICO DE LA COLMENA

EL ESPÍRITU GEOMÉTRICO DE LA COLMENA

2 +maths

+sumariomaths

4 El espíritu geométrico de la colmena

12 Fractales: Un universo complejo

20 Fibonacci y las espirales

24 Fotografía matemática

30 Pasatiempos: Enigmas o lógica

32 Pasatiempos: Crucigramas y soluciones

+presentación

mathsIniciar una pequeña aventura editorial alrededor de las matemá-ticas desde un instituto de educación secundaria es un proyecto difícil y arriesgado. MATHS+ es una publicación digital editada por cinco profesores del Departamento de Matemáticas del IES Las Veredillas de Torrejón de Ardoz. Como señala su cabecera es una propuesta con más que matemáticas o con matemáticas y más. Un pequeño conjunto de ideas que articulan una revista digi-tal y proporcionan actividades didácticas a los alumnos. No, no vamos a dar clase de matemáticas en estas páginas. Pretendemos llevar un universo de conte-nidos matemáticos de la abstracción y el tedio a la imaginación y la cultura.Aquí encontrareis una lec-tura rápida y sencilla so-bre temas obstrusos con la única intención de leer y aprender. Los conte-nidos de los artículos se apoyan en mate-riales didácticos que propone al alumno activi-dades vincula-das a los temas de los artículos. Esta edición sólo es una semilla que necesitará del fertilizante de otros colaboradores para que crezca en el futuro.

+maths 3

EQUIPO EDITORIAL

Alicia Marín. Olga Pereda.Juan José López.Fco. Javier Gorostiaga.Felipe E. Ramírez.

4 +maths

El

de la

espíritugeométricocolmena

+maths 5

geométricocolmena

6 +maths

Estas celdas están distribuidas for-mando un mosaico que comple-ta toda la superficie sin formar ni huecos ni salientes. ¿Qué forma tienen las celdas para conseguir

todo esto? Efectivamente, nuestra primera respuesta es “hexagonal”, pero en realidad son prismas hexagonales apuntados en el fon-do por tres rombos inclinados. Esta construc-ción tiene un área total menor y sin embargo almacena la misma cantidad de miel que un prisma hexagonal. Recuerda en la naturaleza rige la ley del mínimo – máximo.

¿Saben matemáticas las abejas?Varios matemáticos han constatado este he-cho, entre otros Pappus de Alejandría, ma-temático griego que vivió del año 284 al 305, Colin McLaurin, matemático escocés que vi-vió del año 1698 al 1746, Gabriel Cramer, ma-temático suizo que vivió del año 1704 al 1752. Pappus demostró que entre todos los polígo-nos regulares con igual perímetro los que tie-

Sigamos los pasos de estos matemáticos y pase-mos a comprobar en primer lugar con qué polí-gonos regulares se puede enlosar una superficie:

Como se puede observar en las distintas figu-ras el plano queda enlosado con triángulos, cuadrados y hexágonos, de manera que ahora pasamos a ver cuál de ellos es el polígono que recubre mayor superficie con igual perímetro:

Muchas veces hemos oído la frase “la naturaleza es sabia” y si observamos y estudiamos a las abejas encontramos parte del sentido de la frase.Lo primero que nos llama la atención son sus panales cons-tituidos por celdas adosadas capaces de aprovechar con el mínimo coste energético el máximo espacio.

TEXTO: Olga Pereda Gil Alicia Marín Revert

Math+ 7

8 +maths

nen mayor número de lados son los que en-cierran mayor área, además como no pueden quedar huecos el polígono es el hexágono.Co-lin McLaurin y Gabriel Cramer estudiaron el ángulo de inclinación de los rombos.Por tanto el polígono que verifica ambas con-diciones es el hexágono regular.

Por último vamos a calcular el ángulo de inclinación del rombo que hace mínima el área, para lo cual dividi-remos la base hexagonal en tres rombos, considerando uno de ellos para hacer el estudio:

El área de estudio será mínima cuando sea máxima la diferencia:

EL HEXÁGONO ES EL POLÍGONO QUE RECUBRE MAYOR SUPERFICIE CON MAYOR PERÍMETRO

... PERO NO TE

EQUIVOQUES, ¡LAS

ABEJAS NO HAN ESTU-

DIADO GEOMETRÍA!

+maths 9

Por tanto:

Luego, ¿qué valor de maxi-mizará , haciendo que la celda tenga u na superficie total mínima?, para obtener la respuesta debemos resol-ver el problema de optimi-zación:

10 +maths

+maths 11

Y ahora ¿tú que opinas?, ¿saben o no matemá-ticas las abejas? Una curiosidad más sobre las abejas:Hay un problema no resuelto dentro de la op-timización combinatoria computacional que es el llamado Travelling Salesman Problem: “Sean N ciudades de un territorio. El objeti-vo es encontrar una ruta que, comenzando y terminando en una ciudad concreta, pase

una sola vez por cada una de las ciudades y minimice la distancia recorrida por el viajan-te.” Pues las abejas son capaces de localizar la ruta perfecta entre varias fuentes de polen para que suponga la mínima distancia posible desde la salida de la colmena hasta la vuelta, además con el mínimo gasto energético. Y ahora alguien puede decir qué las abejas no saben matemáticas…

VOLVER A SUMARIO

FRACTALES:

COMPLEJOun universo

La naturaleza crea estructuras complejas, dentro de un aparente caos. La geometría fractal, junto a la teoría del caos, pretende dar una ex-plicación a situaciones donde la complejidad de las estructuras es tal que los modelos matemáticos tradicionales no resultan convincentes. Además, la belleza de los objetos fractales no ha pasado desapercibi-da incluso a los directores de cine y músicos vanguardistas.

12 Math+

FRACTALES:

COMPLEJOun universo

La naturaleza crea estructuras complejas, dentro de un aparente caos. La geometría fractal, junto a la teoría del caos, pretende dar una ex-plicación a situaciones donde la complejidad de las estructuras es tal que los modelos matemáticos tradicionales no resultan convincentes. Además, la belleza de los objetos fractales no ha pasado desapercibi-da incluso a los directores de cine y músicos vanguardistas.

Math+ 13

Fco Javier García Gorostiaga

14 +maths

La naturaleza es compleja, tanto en sus formas vivas como en sus estructuras geo-lógicas. Es fácil encontrar un aparente caos en sus manifestaciones, pero esa sensación puede desaparecer en determinadas cir-

cunstancias.A partir de elementos simples,

la naturaleza forma estructuras tremendamente complejas don-de encontrar un patrón parece imposible.

Sin embargo parece que hay una constante en la formación de algunas estructuras com-plejas: se forman a partir de métodos repetitivos y a la vez relativamente sencillos. El mi-lagro de la vida en el planeta Tierra y de sus estructuras geo-lógicas , tan aparentemente dis-tintos unos de otros, presenta un patrón de comportamiento común en el proceso de forma-ción, llamado agregación con difu-sión limitada (L.M. Sander.1987)

En su libro “Geometría fractal en la naturaleza“ (1982 ) B. Mandelbrot escribe : “ Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, los litorales no son circulares, lo mismo que los relámpagos no viajan en línea recta”.

Los modelos aportados por la geometría euclídea (geo-metría deductiva basada en los postulados de Euclides) no permiten la explicación de todos los sucesos que acon-tecen en nuestro planeta. Asimilar a formas geométricas euclídeas ( con sus propiedades ) las estructuras naturales nos lleva irremediablemente a una comprensión incom-

pleta de la Naturaleza.En 1958, Benoit Mandelbrot

comienza a trabajar en los labo-ratorios de IBM para analizar el ruido y las perturbaciones eléc-tricas. Dentro del aparente caos que percibía en sus estudios en-contró un patrón que le llevó a descubrir una estructura escon-dida. Su complejidad resultó tan enorme que no tuvo más reme-dio que empezar a buscar expli-caciones fuera de la matemática existente en ese momento.

Pero B. Mandelbrot no se conformó con sus estudios eléctricos. En 1967 dedica sus esfuerzos al estudio de

“ la paradoja de la costa inglesa ” : la longitud de la costa de Inglaterra varía dependiendo de la lon-gitud de la escala que se utilice para medirla. Así, resulta que cuanto mayor es la unidad de medida, menor es la longitud de dicha costa.

Desde la antigüedad los seres humanos hemos in-tentado comprender el mundo que nos rodea. Sabios de distintas épocas han dado explicaciones sobre los fenómenos que suceden a nuestro alrededor. La ma-temática aporta unos resultados teóricos que pueden ser aplicados en modelizaciones de esa realidad en la que vivimos.

Benoit Mandelbrot

+maths 15

16 +maths

¿Cómo puede ser posible? La explicación la podemos encontrar en el irregular contorno de la costa. La erosión del agua del mar, los cambios de temperatura, el viento y la lluvia dibujan una costa llena de entrantes y salientes. Si nos acer-camos distinguimos esas irregularidades en las rocas. Un poco más cerca veremos nuevas irregularidades. Y el proceso lo podemos continuar a una escala que

dificulte nuestra visión. No es un camino infinito hacia lo pequeño, pero podemos llegar a unas escalas microscópicas. Y el patrón parece repetirse tanto en grandes planos de visión como en escalas muy pequeñas. Y medir todas estas irregularidades nos puede inducir a pensar que la longitud es no medible, pues nunca podríamos acabar de perfilar todos los microscópicos bordes.

Los científicos deben buscar nuevos modelos matemáticos para explicar el comportamiento no siempre ra-cional de la naturaleza

17 +maths

Pero dentro de los conoci-mientos matemáticos exis-tentes en esa época ya exis-tían objetos matemáticos que podrían modelizar o por lo menos ayudar a comprender la paradoja de las costas: la curva de Koch y el triángulo de Sierpinski, entre otros.En 1904, Niels Fabian Helge von Koch crea

una curva “ llena de irregularidades” que es-tando limitada en el plano (la podemos meter dentro de un rectángulo finito) presenta una longitud que tiende al infinito.En 1919, Waclaw Sierpinski diseña un méto-

do iterativo para dividir un triángulo equilátero en cuatro triángulos semejantes al inicial. Uno de ellos aparece invertido. En un segundo paso repite el proceso para cada uno de los triángu-los con la misma orientación que el original, y así sucesivamente.El proceso es interminable pero después

de 5 o 6 repeticiones se aprecia claramen-te cómo quedará el triángulo de Sierpinski. Este objeto geométrico tendrá un área que se acerca hacia cero cuando vamos repitiendo las divisiones.La principal característica que podemos apre-

Los rayos, el brócoli ( variedad romanescu) o las marismas de Doñana

muestran también esa autosimilitud. Uno de los diseños biológicos más

abundante en la naturaleza es el uso de las ramificaciones. Es sencillo y eficaz

a la hora de cubrir una determinada superficie o volumen.

La n

atur

alez

a se

mue

stra

La naturaleza busca la máxima eficiencia

mediante la autosim

ilitud

aparentemente caótica

ciar en estos objetos matemáticos es la llamada au-tosimilitud : sus partes tienen la misma estructura que el todo, son semejantes. Y esta característica es relativamente fácil de encontrar en la naturaleza.

Por ejemplo, una planta como el helecho presenta un código genético que manda las mismas órdenes a una rama principal que a una rama secundaria: crece y bifúrcate creando una ré-plica exacta de ti misma en cada ramificación. Además, este sistema de crecimiento permite aumentar la superficie de ex-posición a la luz del sol, captar la mayor cantidad posible de anhídrido carbónico y oxígeno, favoreciendo la fotosíntesis. También podemos encontrar esta si-tuación en nuestro cuerpo. El sistema

nervioso y nuestras venas y arterias utilizan el mismo patrón. Su disposición autosimilar a pe-queña escala permite cubrir el máximo volumen y de esta forma alimentar el máximo número de células a la vez que asegura que la presión san-guínea en cada una de las ramificaciones perma-nece constante.

Hay dos tipos bien diferenciados de fractales:a) Los fractales lineales como el triángulo de

Sierpinski o la curva de Koch. Son sencillos y se ge-neran a través de algoritmos creados a partir de la matemática euclídea. Si variamos la escala de obser-vación se muestran idénticos y el proceso se puede repetir hasta el infinito.

b) Los fractales no lineales, generados a partir de procesos más complejos y no lineales. Los más co-nocidos son el conjunto de Mandelbrot o el conjunto de Julia:

En esta categoría también entran los llamados fractales naturales. En ellos el proceso de escala no

Fractales naturales son los deltas de los ríos, costas, nubes, distribución de las grietas en un pantano seco, galaxias,

Los científicos deben buscar nuevos modelos

18 +maths

+maths 19

es infinito. Ya hemos conocido algunos como el bró-coli, o las marismas de Doñana, pero hay más:

Y también son fractales naturales los deltas de los ríos, costas, nubes, distribución de las grietas en un pantano seco, galaxias, montañas y perfiles rocosos, fronteras de países.

También podemos identificar fractales en proce-sos físicos y químicos como la fractura de materiales, los movimientos de partículas, las descargas eléctri-cas, la electrólisis y los procesos físicos de agrega-ción y turbulencia. Incluso pueden aparecer dentro de los fenómenos económicos y sociológicos. Y en los procesos de comprensión de imágenes o en cier-

tas composiciones armónicas ( música fractal ),….Pero el estudio de los objetos fractales no

es interesante sólo por su belleza. Las aplica-ciones de la geometría fractal son muchas e interesantes. Desde el uso de técnicas para la composición de imágenes en películas como la superficie de la Estrella de la Muerte o la luna de Endor en Star Wars : El retorno del Jedi o la superfice del planeta Génesis en Star Trek II : la ira de Khan , pasando por su aplica-ción a la geología, a la composición armónica, geología, estudios de superconductividad, lin-güística o la economía.

En 1977, B. Mandelbrot ( The fractal Geo-metry of Nature, San Francisco, 1977) uti-lizó por primera vez la palabra fractal para referirse a estos objetos matemáticos. Sus principales características son:

-Mirados a cualquier escala presentan de-talles ya observados a nivel global.

-Son autosemejantes : están formados por partes semejantes al conjunto total.

Su construcción se basa en un al-goritmo sencillo.

Pero no todos los fractales son iguales. Para poder caracterizar-los los matemáticos introducen un nuevo concepto: la dimensión fractal. De forma intuitiva pode-mos considerar la dimensión frac-tal como una expresión de cómo el fractal ocupa el espacio en el que está contenido: cuanto mayor sea su dimensión fractal más rápidamente crecerá y por tanto mayor lon-gitud, volumen o superficie ocupará. En cierto modo la dimensión fractal nos indica

el grado de irregularidad y fragmentación de un conjunto geométrico de un objeto na-tural. Hay varias definiciones de dimensión para los fractales, la más usual es la dimen-sión de Minkowski-Bouligand :

donde N es el número de objetos que for-man la iteración, d es la dimensión fractal y

r es la razón de la escala.Veamos un ejemplo del cálculo

de la dimensión de un fractal li-neal, como la curva de Koch:

El proceso iterativo para crear la curva de Koch consiste en dividir cada segmento en tres partes igua-les y construir un triángulo equi-látero sobre el segmento central.

A partir de un segmento inicial, la primera iteración nos devuelve la figura fi nal, con 4 segmentos iguales y semejantes al inicial (autosimilitud). La razón de la escala es 1/3 y tendremos que: , despejando la dimensión d se obtiene un valor aproximado de 1,262.

La dimensión fractal amplía la dimensión euclídea tradicional

Fractales naturales son los deltas de los ríos, costas, nubes, distribución de las grietas en un pantano seco, galaxias, montañas y perfiles rocosos, fronteras de países...

VOLVER A SUMARIO

20 +maths

Fibonacciespirales

y las

Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, fue el primer matemático medieval importante. Entre sus

méritos destaca el haber impulsado la introducción en Europa del sistema de numeración posicional

indoarábigo, nuestro sistema actual.

Por Juan José López

+maths 21

22 +maths

Pero posiblemente es más conocido por la sucesión que lleva su nombre, la suce-sión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... Es muy fácil de construir:

los dos primeros términos son unos y los poste-riores se obtienen sumando los dos anteriores. Es decir, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, y así sucesivamente. Fibonacci se encontró esta suce-sión “contando conejos”. En este artículo vamos a ver que la naturaleza tiene una especial predi-lección por ella.

En muchísimas plantas, el número de pétalos de sus flores es un número de la sucesión de Fi-bonacci: los lirios tienen tres pétalos; los botones de oro, cinco; las cinerarias, trece; las margaritas pueden tener treinta y cuatro, cincuenta y cin-co o incluso ochenta y nueve pétalos. Algunas

especies de flores siempre tienen el mismo nú-mero de pétalos, pero en otras su número varía, ocurriendo que ese número de pétalos está muy cerca de los números de Fibonacci.

Fijémenos ahora en el número de ramas de los árboles. Supongamos que cuando un árbol crea una nueva rama, esta necesita un tiempo para poder crear otra nueva rama a partir de ella. Simplificando, tendríamos el siguiente esquema de crecimiento:

¡Otra vez la sucesión de Fibonacci! ¿Por qué vuelve a aparecer? La respuesta está en la efi-ciencia: de esta forma es fácil rellenar el espacio con formas crecientes.

Otro ejemplo famoso de números de Fibonac-ci en la naturaleza lo encontramos en la distribu-ción de semillas de los girasoles. Si nos fijamos

+maths 23VOLVER A SUMARIO

en su disposición podemos darnos cuenta de que forman muchas espirales, unas en un senti-do y otras en otro. Armándonos de paciencia se puede comprobar que este número de espirales siempre es un número de la sucesión de Fibonac-ci. Los girasoles pequeños tienen 34 espirales en un sentido y 55 en otro; los medianos, 55 y 89; y los grandes 89 y 144 espirales.

Espirales parecidas aparecen en otras plantas. La razón parece estar en la optimización del es-pacio.

Hablando de espirales, con los términos de la sucesión de Fibonacci podemos construir la es-piral de Fibonacci. Partimos de cuadrados cuyo lado es un término de la sucesión: 1x1, 2x2, 3x3, 5x5, 8x8, 13x13..., y se colocan formando rec-tángulos tal como se puede apreciar en la figura.

Estos rectángulos tienen unas dimensiones de 1x2, 2x3, 3x5, 5x8, 8x13... Son los rectángulos de Fibonacci, en los que sus lados son términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Según vamos avanzando en el proceso, estos rectán-gulos se van aproximando al rectángulo de oro. A continuación trazamos un cuarto de arco de circunferencia dentro de cada cuadrado uniendo dos de sus vértices y así surge la espiral de Fibo-nacci, que se aproxima a la espiral del número de oro.

En la naturaleza también encontramos mu-chas espirales que se aproximan a la de Fibonac-ci. Aquí tenéis algunos ejemplos.

Leornardo de Pisa no podía sospechar que lo había empezado como un simple recuento de co-nejos diera tanto juego.

24 +maths

Fotografía matemáticaConfieso que vaya donde vaya las formas de lo que veo me remite a las que vi en mis l ibros de matemáticas.Texto y fotos: Felipe E. Ramírez.

DistorsiónEl edificio Daimlier en Berlín es una construcción prismática de líneas duras. Su reflejo en el estanque próximo con-vierte sus líneas rectas en ondulantes segmentos en movimiento constante.

ConfusiónLa genialidad de Norman Foster en su proyecto de reconstrucción del Reichstag (el par-lamento alemán) alcanza la síntesis entre función, y for-ma en el atrio del edicicio. El exterior es una seudoesfe-ra abierta al cielo berlinés que reco-ge como un em-budo el agua de lluvia y la nieve. Su interior entre el que se pasea el visitan-te es una superficie reglada tapizada con espejos que genera una sen-sación de caos en el orden que reina en la construcción.

Fotografía y ciencia

+maths 25

PerfecciónEl hexágono ha sido junto al pentágono motivo esotérico, anímico y espiritual. Esta lámpara medieval de la judería de Granada envuelve el hexágono estrellado de la estrella de David en un hexágono. Equilibrio y orden.

26 +maths

Arista vs conformidadLa rigidez de las varillas de acero construyen una cúpula tal y como lo haría un matemático. Con triángulos puede construir-se casi toda la realidad: desde la estructura de los virus a lla forma de un copo de nieve. En esta foto los triángulos contor-nean una círcunferencia. Ésta es una estructura

plana radicalmente opuesta al triángulo pero tan necearia para expli-car la forma de los com-ponentes del universo como el triángulo. Sin embargo en la imagen no hay ninguna cincunfe-rencia sino varias elipses, la forma predominante en el Sistema Solar. Cúpula del cenador real en el Palacio de Sanssouci en Postdam.

Construimos con geometría, no sólo por su carácter necesario en la for-ma sino también por la belleza que trasmite a nuestra razón.

Fotografía y ciencia

+maths 27

plana radicalmente opuesta al triángulo pero tan necearia para expli-car la forma de los com-ponentes del universo como el triángulo. Sin embargo en la imagen no hay ninguna cincunfe-rencia sino varias elipses, la forma predominante en el Sistema Solar. Cúpula del cenador real en el Palacio de Sanssouci en Postdam.

Incidencia y paralelismoLas rectas del plano pueden ser incidentes (se cortan) o paralelas. Las minas roma-nas de sal del sur de la isla canaria de La Palma son un ejemplo de incidencia en los bordes de las piscinas para la evaporación del agua que se trasvasa de vano a vano por las crestas de sal precipitada. Una soga marinera y el hori-zonte nos ofrecen un ejem-plo sencillo del paralelismo.

La solided del hexaédro transmite la permanencia del recuerdo del genocidio en el monumento berlinés al Holocausto.

28 +maths

Su majestad el triánguloLa cubierta del palacio de la ópera y teatro nacional de SIngapur tiene una es-tructura irregular que imita a la perfección la forma del durian. Las “puas” de la cascara de la fruta se imita con una seriación de tetraedros metálicos que mantienen una apertura para ilumninar de forma natural el interior mientras preserva el interior de ex-tenuante calor del exterior.

El durian es una fruta tropical, cuyo consumo está penalizado en el metro de Singapur por su mal olor. Pardójicamente, se ha convertido en su Palacio de la Ópera.

Fotografía y ciencia

+maths 29

Los ruidos del espacioPara escuchar la voz del espacio se escoge un lugar apartado, elevado, claro, con temperatura estable, lejos de la población y de la contaminación lumínica. Y allí se instalan engendros que recogen el ruido de fondo de la materia. Esta antena tiene forma para-bólica aunque la curva se ha descrito con segmentos rectilíneos. El espectador disfruta sin saberlo de una construcción heredera del invento de Newton y Leibniz: el cáclculo infinitesimal.

VOLVER A SUMARIO

30 +maths30 +maths

¿Enigmas o lógica?Cómo cada año, al llegar estas fechas na-videñas en las que estarás cansado de es-tudiar y de preparar los examénes, te rega-lamos unos cuantos problemas de ingenio para que los resuelvas con tus compañeros. Esta vez hemos escogido una selección de enigmas caracterizada por el modo en el que se resuelven: casi todos tienen varios ca-sos posibles y es suficiente coger lápiz y pápel y estudialos. Tambien te ayudará hacer supo-siciones: que pasaría si... De modo que ponte a ello para que no se duerman tus neuronas.

Felipe E. Ramírez.

Pasatiempos Acertijos

+maths 31 +maths 31

Cuadrangular de fútbol

Cuatro equipos participan de un tor-neo cuadrangular de fútbol, jugando una vez contra cada rival. Al final del torneo, cada equipo metió exac-tamente tres goles y cada equipo ganó una cantidad diferente de parti-dos. ¿Cuáles fueron los resultados de los partidos?

Congreso

En un congreso de economistas se han re-unido cien personas. De pronto el que tiene la palabra les increpa a todos: “¡Sois todos unos mentirosos!”. Del asombrado auditorio se alza otra voz que dice “Sí, todos mentís”. Una tercera voz se oye emitiendo el mismo mensaje...Así hasta que todos los asistentes ha repetido la misma frase acusatoria a todos los demás. Si sabemos que todos los economistas están hechos de tal pasta que, o bien siempre dicen la verdad o siempre mienten ¿Cuántos economistas veraces hay en el congreso, si es que hay alguno?

El sandwich de naipesEl Sandwich es un juego de naipes para tres personas. Se separan las cartas del 1 al 9 de un palo de la baraja, y luego se reparten entre los tres jugadores. En secreto, cada uno suma sus tres naipes, y gana el que tenga la suma que esté justo en el medio. El tahúr recibe sus tres cartas y sin ver las de sus rivales sabe inmediatamente que ya ganó la partida. ¿Qué cartas recibió?

VOLVER A SUMARIO

32 +maths

pasatiemposCRUCIGRAMA

TU INGENIO A PRUEBA

ENIGMA

1.- Rama de la matemática que estudia las propiedades de las figuras geométri-cas.2.- Figura plana cerrada formada por segmentos rectos no alineados, unidos en sus extremos.3.- Polígono determinado por tres seg-mentos que se cortan dos a dos en tres puntos.4.- Línea curva generada por un punto que se va alejando progresivamente del centro a la vez que gira alrededor de él.5.- Magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un cuerpo.6.- Número relacionado con las propieda-des métricas de un objeto matemático.7.- Polígono de seis lados y seis vértices.8.- Medida de la extensión de una superficie.9.- Suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica.10.- Matemático conocido por sus traba-jos sobre los fractales.11.- Insecto himenóptero de la familia Apoidea que puede vivir formando enjambres.12.- Conjunto ordenado y numerable de números.

ALPHAMETIC

Busca el valor de las letras, sabiendo que to-das ellas son números naturales entre 0 y 9.

Un “alphametic” es un criptograma en el cual las palabras forman frases. En 1924, H.E.Duderney creó este “alphametic”:

Los triángulos azul y rojo son iguales y equiláteros.El hexágono común a ambos triángulos es regular y de área 63 m2.¿Cuál es el área de cada uno de los triángulos iniciales?

Determina el cociente entre el área de la región azul y el área del cuadrado. (lado 5 cm.)

Fco. Javier Gorostiaga

+maths 33

soluciones

Solución Los patinadores cruzados La primera vez que se cruzan, entre los dos recorren una vuelta completa. No importa cuánto recorrió cada uno; lo que importa es que suman una vuelta exacta entre ambos. La segunda vez que se cruzan, entre am-bos recorren dos vueltas exactas. La terce-ra vez que se cruzan, entre ambos recorren tres vueltas exactas. Y así.Entonces, la cantidad de veces que se cru-zan es equivalente a la cantidad de vuel-tas completas que dan entre los dos. Como uno dio 11 vueltas y el otro 7, entre los dos dan 18 vueltas. Por lo tanto, se cruzan 18 veces. (O 17, si no consideramos como cruce al último encuentro.)

Solución Retóricos y sofistas:

El primero puede ser indistintamente retórico o sofista. Si es retórico, sabía de antemano que había un retórico, él mismo. Y si es sofista, como no conocía a los demás no sabía de antema-no la respuesta. El segundo es sofista, porque no puede saber de antemano qué es el tercero. El tercero es retórico, porque ya sabe que el segundo es sofista por la deducción anterior.Por lo tanto solo se puede deducir la especie de los dos últimos, pero no del primero.

Solución El sandwich de naipesSi recibes 4, 5 y 6, que suman 15, con las cartas 1, 2, 3, 7, 8, 9 sólo pueden formarse conjuntos que pierden.

En total suman 30, luego si los divides en dos conjuntos iguales sumarían 15 cada uno. Si no lo consigues, uno sumará mas de 15 y otro menos de 15 con lo que el jugador que obtuvo el 4, 5 y 6 sabe que ha ganado. ¿Pueden obtenerse 15 puntos con tres cartas del conjunto 1, 2, 3, 7, 8, 9? Evidentemente no: Si tomas dos car-tas del grupo de las mas altas, que suman al menos 15, al tomar otra más te has pasado. Si tomas dos cartas del grupo de las mas bajas, al tomar otra del otro grupo no llegas a los 15.

Por lo tanto, recibió las cartas 4, 5 y 6

Solución CongresoEvidentemente no todos pueden ser mentirosos, ya que todos paradójicamente estarían diciendo la ve rdad al referirse a los demás como mentirosos. Por lo tanto uno por lo menos es veraz. Y efectivamente al ser uno veraz, todos los demás son mentirosos porque al acusarlo a el de mentiroso mienten, solo él dice la verdad al acusar a los demás de mentirosos.

Solución Cuadrangular de fútbolLos resultados de los partidos fueron:A 1 — B 0 A 1 — C 0 A 1 — D 0 B 1 — C 0 B 2 — D 1 C 3 — D 2De este modo, A gana tres partidos, B gana dos, C gana uno y D no gana ninguno, y cada uno hizo tres goles.

VOLVER A SUMARIO