Maths Exploiter les résultats des évaluations CE1

Novembre 2010 EICH Gilles CPC YUTZ

Les compétences en mathématiques des élèves en fin d'école primaire

Les notes d'information - DEPP - N°10.17 octobre 2010� Plus d’un quart des élèves ont des performances qui indiquent une

maîtrise optimale de l’ensemble des exigences du programme de fin d’école primaire en mathématiques. Ils ont acquis les capacités d’abstraction leur permettant de résoudre des problèmes complexes et d’adapter leurs stratégies, quelles que soient les situations rencontrées.

� Il convient d’y ajouter les 30 % d’élèves dont les performances permettent de considérer qu’ils maîtrisent de façon satisfaisante les permettent de considérer qu’ils maîtrisent de façon satisfaisante les compétences attendues. Ces élèves ont développé les concepts de mathématiques grâce auxquels ils devraient suivre avec profit leur cursus au collège.

� À l’opposé, 15 % des élèves sont en difficulté, ou même en grande difficulté pour 3 % d’entre eux, et on peut considérer qu’ils ne maîtrisent pas – ou très mal – les compétences qui seraient nécessaires à l’entrée en sixième. Pour le quart restant, les élèves commencent à construire des automatismes mais leurs capacités en calcul restent partielles et ils ne sont pas encore capables de transférer leurs compétences dans des situations nouvelles.

Déroulement de l’AP

� Enseigner les maths à l’école élémentaire� Le premier palier et la compétence 3� Repères pour l’organisation de la

progressivité des apprentissages en maths au CP et au CE1maths au CP et au CE1

� Maths et valeurs, histoire des maths� Les maths, regards sur 50 ans de leur

enseignement à l’école primaire� Aider les élèves en maths� Evaluation CE1 2010 Maths

Enseigner les maths à l’école élémentaire

� Sur EduSCOL� Au cycle 2� Au cycle 3� Le suivi des élèves� Une ressource pour faire la classe

« Le nombre au cycle 2 » SCEREN

Le premier palier et la compétence 3

Compétences attendues à la fin du CE1

Principaux éléments de mathématiques

Repères pour l’organisation de la progressivité des apprentissages en maths au CP et au CE1

� Préambule

� Tableau: extraits concernant …au CP et au CE1

Les maths, regards sur 50 ans de leur enseignement à l’école primaire

� Histoire des maths� Maths et valeurs, maths et

enseignants� Des performances scolaires en � Des performances scolaires en

maths qui baissent� Des connaissances scientifiques sur

les performances arithmétiques des élèves en progrès depuis 30 ans

� De nouveaux savoirs scientifiques

Aider les élèves en maths

� Repérer les origines des difficultés des élèves

� Aides préventivesAides d’étayage et de renforcement� Aides d’étayage et de renforcement

� Aides de remédiation

Evaluation CE1 2010

� Compétences évaluées� Résultats France, Moselle,

circonscription YUTZItems échoués concernant � Items échoués concernant principalement le calcul

� Des aides à l’exploitation des résultats

� Extrait d’un CR de conseil de cycle

Eduscol Enseigner les mathématiques à l’école élémentaire

� L’apprentissage et la pratique des maths développent l’imagination, la rigueur et la précision des élèves.

� Plusieurs objectifs: la connaissance des � Plusieurs objectifs: la connaissance des nombres et le calcul, la résolution de problèmes, l’approche de la géométrie et des mesures.

� En partant de situations proches de la réalité, les élèves acquièrent les bases d’une première culture scientifique.

Au cycle 2

� Objectifs prioritaires en CP et en CE1: la connaissance des nombres et le calcul

� Un entraînement quotidien au calcul mentalmental

� La numération décimale inférieure à 1000� La résolution de problèmes: un

apprentissage progressif pour construire le sens des opérations

Au cycle 3

� Enrichir ses connaissances et acquérir de nouveaux outils

� Entraînement quotidien au calcul mental: sur les quatre opérations, s’approprier les nombres et leurs propriétésnombres et leurs propriétés

� Etude organisée des nombres jusqu’au milliard, s’initier aux décimaux et aux fractions

� Géométrie: recours aux instruments de tracé et de mesure

� Situations faisant intervenir la proportionnalité

Suivi des élèves

� A chaque palier, vérification de la progression des élèves

� Contrôle des mécanismes de mémorisation, acquisition des mémorisation, acquisition des automatismes en particulier au cycle 2

� Aides individualisées pour les élèves éprouvant des difficultés

Une ressource pour faire la classe

SCEREN « Le nombre au cycle 2 » 96 pages 2010

PréfaceIntroduction: les mathématiques, regards sur 50 ans

de leur enseignement à l’école primairede leur enseignement à l’école primairePartie 1 Dialectique entre sens et techniques,

l’exemple du calcul mentalPartie 2 Apprendre le nombrePartie 3 Problèmes additifs, soustractifs et

multiplicatifsPartie 4 Grandeurs et mesuresPartie 5 Aider les élèves en mathématiques

Le premier palier et la compétence 3

Les principaux éléments de mathématiques

L’élève est capable de : - écrire, nommer, comparer, ranger les nombres entiers naturels inférieurs à 1 000 ; - calculer : addition, soustraction, multiplication ; - diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 100 (dans le cas où le quotient exact est entier) ; - restituer et utiliser les tables d’addition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5 ; - calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples ; multiplications simples ; - situer un objet par rapport à soi ou à un autre objet, donner sa position et décrire son déplacement ; - reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les solides usuels ; - utiliser la règle et l’équerre pour tracer avec soin et précision un carré, un rectangle, un triangle rectangle ; - utiliser les unités usuelles de mesure ; estimer une mesure ; - être précis et soigneux dans les tracés, les mesures et les calculs ; - résoudre des problèmes très simples.

Repères pour l’organisation de la progressivité des apprentissages en maths au CP et au CE1

� Préambule:Les tableaux suivants donnent des repères pour

l’organisation de la progressivité des apprentissages par les équipes pédagogiques.Seules des connaissances et compétences nouvelles sont mentionnées dans chaque colonne.Pour chaque niveau, les connaissances et nouvelles sont mentionnées dans chaque colonne.Pour chaque niveau, les connaissances et compétences acquises dans la classe antérieure sont à consolider.La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages.

Repères pour l’organisation de la progressivité des apprentissages en maths au CP et au CE1

� Exemple Nombre et calcul au CP- Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 100.- Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 (“table d’addition”).- Comparer, ranger, encadrer ces nombres.- Écrire une suite de nombres dans l’ordre croissant ou décroissant.décroissant.- Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à 20.- Connaître la table de multiplication par 2.- Calculer mentalement des sommes et des différences.- Calculer en ligne des sommes, des différences, des opérations à trous.- Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition et commencer à utiliser celles de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 100).- Résoudre des problèmes simples à une opération.

Exemple Nombre et calcul au CE1

� - Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 1 000.- Repérer et placer ces nombres sur une droite graduée, les comparer, les ranger, les encadrer.- Écrire ou dire des suites de nombres de 10 en 10, de 100 en 100, etc.- Connaître les doubles et moitiés de nombres d’usage courant.courant.- Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5.- Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences et des produits.- Calculer en ligne des suites d’opérations.- Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 1 000).

Nombre et calcul au CE1 (suite)

� - Connaître une technique opératoire de la multiplication et l’utiliser pour effectuer des multiplications par un nombre à un chiffre.- Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier).- Résoudre des problèmes relevant de l’addition, - Résoudre des problèmes relevant de l’addition, de la soustraction et de la multiplication.- Approcher la division de deux nombres entiers à partir d’un problème de partage ou de groupements.- Utiliser les fonctions de base de la calculatrice.

Histoire des maths

Quelques jalons accessibles à des élèves de CP et de CE1

Tiré du sitehttp://www.maths-rometus.org/Auteur Jean-Luc RometAuteur Jean-Luc Romet

MathsRometusMathématiques accessibles à tous

Dans ce site consacré aux mathématiques, tout est fait pour vulgariser les mathématiques, c'est à dire pour les rendre accessibles au plus grand nombre de personnes...

Préhistoire (vers 35000 avant JC – vers 3000 avant JC)

� On a retrouvé en Europe des os et des bouts de bois entaillés qui datent parfois de 35000 ans avant JC.L'homme qui, il y a 20000 ans, a fait 55 encoches sur l'os de loup retrouvé en Tchécoslovaquie était déjà Tchécoslovaquie était déjà un bon calculateur. C'était peut-être un chasseur qui dénombrait des bisons ou un berger qui comptait ses moutons.

� L’homme primitif a dû d’abord distinguer l’unité et la pluralité(nuance entre un et des).

Préhistoire (2)

� Il a ensuite acquis la notion de paire (deux bras, deux mains, deux pieds, deux yeux, etc...). deux yeux, etc...).

� Ceci a dû l’amener à la notion de "correspondance un à un"(entailles sur les os).

Préhistoire (3)

� L’homme primitif a aussi adopté, pour dénombrer, l’alignement ou l’entassement de cailloux. Le caillou se dit calculi en latin, le mot calcul a ainsi pris calcul a ainsi pris naissance dans l’entassement des cailloux. On utilisait aussi à cette époque des coquillages et des osselets.

� Certaines tribus ont fait appel à diverses parties du corps pour compter.

Préhistoire (4)

� D’autres ont désigné des objets qui représentaient certains nombres.

� La main, avec ses cinq doigts, fut alors la première machine à calculer.

� Dans le monde entier, les hommes se sont servis des hommes se sont servis des doigts de leurs mains (et parfois de leurs pieds aussi) pour compter. En Inde et en Russie, on fait encore des multiplications sur les doigts…

� Notre système décimal est dû à l’utilisation des dix doigts de nos mains

En Chine, on a la première machine !(vers 1300 avant JC - vers 1300 après JC)

� En Chine, l'usage des nombres est très ancien. Des inscriptions sur os datant du XIIIème siècle avant JC comportaient déjà des indications astronomiques.

� Chez les Chinois, les nombres restent un peu magiques : On travaillait sur les carrés travaillait sur les carrés magiques (dans lequel la somme des nombres par ligne, par colonne et par diagonale est la même) et d'après la légende, l'empereur Yu le Grand (2200 avant JC) aurait aperçu une configuration de carré magique (Luoshu) sur la carapace d'une tortue divine...

Toujours en Chine

� Après l'usage des cailloux, des entailles sur les os, des entassements d'objets divers, le boulier chinois "suanpan" est la première machine à la première machine à calculer. On l'utilise vers le XIIème siècle. Le calcul avec les nombres chinois n'est pas très simple, c'est peut-être ce qui a incité les Chinois à utiliser le boulier.

En Arabie (vers 700 - vers 1400)

� Voici les chiffres arabes qui ont été créés en Inde mais qui ont changé de forme au fur et à mesure des différentes retranscriptions. N'oublions pas le zéro dont nous parlons plus loin.

� Ils continueront à évoluer � Ils continueront à évoluer jusqu'à leur passage en Europe où vers les XVème et XVIème siècles, ils prendront la forme qu'on leur connaît aujourd'hui. Les Arabes ont utilisé le système de numération indien et permis une très large diffusion des chiffres en Occident.

En Arabie (2)

� Les Arabes reprirent les chiffres utilisés en Inde (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

� Ils utilisèrent le zéro � Ils utilisèrent le zéro pour indiquer un ordre... (exemple : 109)Le zéro était appelé en arabe "Sifr" qui devint le mot chiffre.

Maths et valeurs: s’interroger sur(Jean Claude Duperret)

� Légitimité de la place des maths dans le système scolaire

Spécificité dans la formation du � Spécificité dans la formation du citoyen

� Perspective culturelle, historique et universelle propre

Rôles attribués aux maths

� Donner une certaine intelligibilité du monde (le monde des grandeurs), en donner des représentations (monde des nombres et figures)

� Rationnaliser le monde pour mieux le comprendre, avoir une action intellectuelle sur lui. La démonstration: une gestion personnelle et sociale de la vérité et de la décisionUn mode de pensée chez les Grecs, dans le contexte de la � Un mode de pensée chez les Grecs, dans le contexte de la démocratie

� A travers les siècles et les civilisations, un langage universel (symbolique, mode de validation de la vérité

� Mathématiser le monde de l’incertitude: modéliser les informations pour en tirer des conclusions vraisemblables et probables comme outil à la décision, s’interroger sur la pertinence du modèle choisi, la fiabilité des affirmations produite, leur interprétation: une valeur d’humilité

Valeurs

� Le monde mathématique à l’encontre de la perception première: la valeur essentielle sur laquelle il repose est le courage intellectuel.

� Un formidable outil intellectuel créé par � Un formidable outil intellectuel créé par l’homme

� Devoir de transmettre ce patrimoine de l’humanité

� « une faculté de la raison humaine, destinée à suppléer à la brièveté de la vie et à l’imperfection des sens »

Maths et société

� Omniprésence des maths dans nos sociétés technologisées, leur utilité

� Danger de l’utilitarisme qui donnent des recettes au lieu de contribuer à la formation de l’esprit

� Mettre les élèves en activité mathématique: une forme d’apprentissage de la démocratie: Mettre les élèves en activité mathématique: une forme d’apprentissage de la démocratie: recherche personnelle, défi avec le problème, démarche intellectuelle intime, communauté scientifique, débat qui soumet aux preuves et réfutations les diverses possibilités de solutions, assurance de la certitude partagée

Et société

� Résoudre des problèmes pour se mettre dans une constante confrontation au non savoir, développer des comportements experts (recherche de la meilleure stratégie, du modèle le plus pertinent, apprendre à sécherapprendre à sécher

� Formation à l’analyse et au traitement de l’information: trier, ranger, transformer des informations

� Rôle social des maths: lecture, interprétation, utilisation de diagrammes, tableaux

Innumeracy

� En 2001 un livre « Mathematics and democraty » (conseil de l’Education des Etats-Unis): l’innumeracy (méconnaissance complète des maths et du traitement de l’information) rend les du traitement de l’information) rend les citoyens infirmes au même titre que l’analphabétisme (l’illeteracy)

� Donner des outils, initier au débat scientifique, développer des comportements experts, apprendre à maîtriser l’information…

Ces valeurs profondes

� Se heurtent à des valeurs de la société actuelle: beaucoup d’élèves consommateurs se situent dans un rapport exclusif à la réussite: le savoir y est une marchandise utile …Un hiatus aussi entre les valeurs � Un hiatus aussi entre les valeurs dominantes de la société, basées sur le rapide et le volatile, et celles des maths basées sur le lent, le durable

� « je n’aimais pas ça », « j’étais nul », compter parmi les meilleurs, vision sélective, les rejetés des maths…

Regards sur 50 ans d’enseignement des maths à l’école primaire

� À la fin des années 50: la parfaite maîtrise des quatre opérations, la connaissance du système métrique et la capacité de résoudre des problèmes (règle de trois, proportions)

� En 70: les maths dites modernes avec des savoirs et savoir-faire plus abstraits et plus fondamentaux relatifs à la logique, des situations et savoir-faire plus abstraits et plus fondamentaux relatifs à la logique, des situations pour solliciter autant que possible l’activité des élèves pour construire les connaissances (constructivisme). Des difficultés de mise en œuvre.

� 78-80: rédaction de nouveaux programmes avec comme idée centrale: la construction des connaissances et un nouveau sens au mot problème.

Regards sur 50 ans d’enseignement des maths à l’école primaire

� 1985, 1995, 2002, 2008:les programmes soulignent la liberté pédagogique de chaque enseignant mais posent la question de l’accès à la complexité et de la relation entre la résolution des problèmes mathématiques et l’acquisition d’automatismes.d’automatismes.

� Ces trois dernières décennies, on relève un certain nombre de lacunes dans les performances des élèves et on reconnait l’importance de la mémoire et des automatismes dans l’acquisition des savoirs et savoir-faire arithmétiques.

Des performances scolaires en mathématiques qui baissent

� La diminution des horaires scolaires, les changements sociétaux liés à l’utilisation des calculettes et des modes de conditionnement, qui n’exigent plus un appel quotidien au calcul, mobilisent peu appel quotidien au calcul, mobilisent peu des habiletés mathématiques, qui même parfaitement comprises, perdent de leur efficacité et deviennent plus difficiles à utiliser, surtout si le temps nécessaire à son acquisition est restreint.

Des performances scolaires en mathématiques qui baissent

� A partir des années 80-90, les comparaisons internationales montrent un niveau moyen. La proportion d’élèves faibles est proportion d’élèves faibles est relativement trop élevée, en tout cas beaucoup plus que dans d’autres pays de niveau de vie et de culture comparables.

Les connaissances scientifiques sur les performances arithmétiques des élèves ont progressé depuis 30 ans

� Prendre en compte les différences entre individus, réaliser ses potentialités, déterminer les forces et les faiblesses de chacun afin d’adapter les situations, mise en évidence de profils

� Des difficultés dans l’apprentissage des noms des nombres et dans le transcodage (passage de l’oral aux chiffres arabes)chiffres arabes)

� Des difficultés à aligner les chiffres et à les placer dans la bonne position (notamment dans les nombres complexes)

� Des difficultés à mémoriser les tables� Des difficultés à comprendre les énoncés de problèmes

et à les résoudre notamment lorsque les données sont présentées de manière non verbale

Les connaissances scientifiques sur les performances arithmétiques des élèves ont progressé depuis 30 ans

� Par contraste, la nature, la quantité et l’organisation des interventions en fonction des profils de difficultés n’ont pas autant progressé.

� Des études portant sur les habiletés élémentaires montrent deux capacités primitives: déterminer la numérosité de petits ensembles de 1 à 4 éléments, évaluer et comparer numérosité de petits ensembles de 1 à 4 éléments, évaluer et comparer approximativement de grandes quantités continues(longueur, volume…)

� Ces capacités universelles constituent la base sur laquelle se greffent les activités numériques symboliques. La compréhension des situations d’ajout, de retrait, de comparaison…ne pose pas problème, ce qui induit les difficultés a trait à l’apparition de la dimension symbolique.

De nouveaux savoirs scientifiques, des points cruciaux

� Le passage au symbolique: la mise en correspondance de quantités avec des systèmes de symboles, suite orale des noms des nombres, configurations de doigts, abaques, chiffres arabes pose problème à tous les enfants. Entre 2 et 5 problème à tous les enfants. Entre 2 et 5 ans, tous les enfants, dans toutes les cultures comportant un système numérique oral, ont besoin de temps pour apprendre que « trois » correspond à un cardinal précis, indépendant des contenus (étoiles, voitures, fourmis…) incluant « un » et « deux ».

De nouveaux savoirs scientifiques, des points cruciaux

� L’activité de dénombrement présente des difficultés: utilisation des doigts, manipulation dans des situations diverses, emploi du langage ou non, dans des situations diverses avec des quantités de plus en plus élevées

� L’acquisition de la suite verbale ou celle des chiffres arabes

� L’acquisition de la suite verbale ou celle des chiffres arabes

� La compréhension de la numération de position et sa mobilisation dans la résolution des opérations

� La réitération des explications ne suffit pas à assurer l’amélioration des performances, un travail technique systématique et parfois prolongé, visant l’automatisation de certains savoir-faire (procédures) est nécessaire.

De nouveaux savoirs scientifiques, des points cruciaux

� Le fait que les enfants perçoivent et comprennent très précocement et facilement les effets des transformations affectant la quantité (ajout, retrait, partage…) laisse souvent penser à tort qu’ils maîtrisent ou au moins comprennent les opérations (addition, soustraction, multiplication, division…), surtout si les opérations simulent le déroulement des opérations simulent le déroulement des transformations.

� On peut utiliser une addition pour traiter un retrait (Jean avait des billes. Il en a perdu 18 à la récréation. Il lui en reste 27…)

� De nombreuses rencontres avec des situations diverses mobilisant chacune des opérations sans limiter ajout/addition, retrait/soustraction. Les capacités d’apprentissage des élèves pourraient alors être sous-estimées.

De nouveaux savoirs scientifiques, des points cruciaux

� Des chercheurs ont remarqué que les enfants les plus faibles tendent à se limiter à ces conceptions stéréotypées des opérations.

� Des difficultés ont trait aux procédures de résolution (addition avec retenue, algorithme de la multiplication ou de la division) ou aux connaissances mémorisées (les tables).(les tables).

� Il est établi que l’efficacité de la résolution des opérations passe à la fois par l’apprentissage et l’exercice de procédures (ex. en calcul mental) jusqu’à leur automatisation et par la mémorisation de connaissances telles que les tables.

� Une pratique des situations de résolution, fréquente et progressive est nécessaire, accompagnée d’exercices systématiques de mémorisation. Un entraînement de type par cœur ne semble pas suffisant.

En résumé

� Importance des situations de résolution de problème et de la conceptualisation par les élèves des notions arithmétiques.

� Il s’agit de permettre aux élèves de disposer de connaissances et de disposer de connaissances et de procédures, leur permettant de réussir des traitements de base en mobilisant le minimum d’attention et de mémoire, de sorte qu’ils puissent consacrer ces ressources aux activités les plus complexes.

Aider les élèves en maths

� Repérer les origines des difficultés des élèves

� Aides préventivesAides d’étayage et de renforcement� Aides d’étayage et de renforcement

� Aides de remédiation

Repérer les origines des difficultés des élèves

� Les caractéristiques de développement et de fonctionnement de l’élève

� Des enjeux familiaux différents suivant le sexesexe

� Des relations d’ordre psychoaffectif avec le savoir, l’apprentissage ou une discipline particulière

� Un affectif envahissant la perception des situations

Repérer les origines des difficultés des élèves

� Pour y remédier: une mise en projet� La compréhension de consignes en lien avec les

aspects langagiers� Les représentations mentales, figurées d’une

situation, d’un questionnementsituation, d’un questionnement� Le passage à la symbolisation et à l’abstraction� Le phénomène de bascule (échanger une

procédure connue et rassurante contre une nouvelle non encore maîtrisée

� Les compétences de mémoire de travail, d’attention, de concentration

� La gestion du temps dans l’exécution d’une tâche

Aides préventives

� Développer l’anticipation des obstacles avec un groupe de besoin, en aide personnalisée

� Préparer l’entrée dans une notion par la confrontation avec des situations bien avant leur écriture mathématique et conforter la compréhension que les connaissances scolaires compréhension que les connaissances scolaires sont le résultat de réelles questions

� Préparer la compréhension des énoncés lors de séances décrochées

� Reformuler ce qui a déjà été fait� Réviser en vue d’une évaluation et évoquer ce qui

pourrait être demandé, ce qui est su et compris, ce qui est plus difficile

Aides d’étayage et de renforcement

� Privilégier la réalisation et la compréhension par chacun plus que l’avancée de la notion pour le groupe

� Accompagner dans les acquisitions en cours et apporter une aide en fonction des besoins

� Renforcer l’étayage afin de construire les acquisitions visées et désétayer progressivementDonner confiance en faisant réussir (même � Donner confiance en faisant réussir (même partiellement)

� Observer comment l’élève procède sur les tâches ordinaires

� Faire progressivement verbaliser les objectifs, les contenus, les procédures

� Développer un langage d’accompagnement d’action

Aides d’étayage et de renforcement

� Organiser régulièrement des situations de rappel en reformulant ce qui a déjà été fait, ce que l’on sait déjà

� Le calcul mental offre des pistes par l’explicitation des stratégies, les manipulations et entraînements systématiques, la mémorisation avec des supports variés

� Familiariser l’élève avec les classes de problèmes� Familiariser l’élève avec les classes de problèmes� Différencier les problèmes proposés en modifiant les

énoncés au niveau du contenu, de la formulation, du contrat pédagogique (contraintes, modalités réponse

� Créer des outils de référence� Amener l’élève à s’appuyer sur des représentations et

schémas adaptés

Aides de remédiation

� Ce sont celles qu’on rencontre le plus souvent mais qui, dans l’idéal devraient être les moins présentes

� Procédures d’observation et de verbalisation pour analyser et traiter les difficultésverbalisation pour analyser et traiter les difficultés

� Donner confiance et mettre en position de réussite

� Valoriser en montrant en quoi la démarche de l’élève est réfléchie

� Rendre l’enseignement plus explicite

Trois approches d’une séance

� Un même support pour tous où quantité et difficulté sont variables

Des supports différents� Des supports différents

� Deux débuts de séance pour une même activité: un groupe dirigé, l’autre en autonomie

La stratégie de l’enseignant pour valider, renforcer, dépasser

� Faire dire et dire (expliciter les apprentissages visés, les connaissances disponibles antérieures nécessaires)antérieures nécessaires)

� Guider (aider les élèves à expliciter leurs procédures)

� Montrer (exécuter publiquement la démarche à accomplir et verbaliser le raisonnement qui l’accompagne)

Evaluation CE1 2010

� Compétences évaluées� Résultats France, Moselle,

circonscription YUTZItems échoués concernant � Items échoués concernant principalement le calcul

� Des aides à l’exploitation des résultats

Evaluation CE1 2010 Maths: compétences évaluées

Nombres:Ecrire et nommer les nombres entiers

naturels inférieurs à 1000

Ecrire ou dire des suites de nombresEcrire ou dire des suites de nombres

Ordonner, comparer, encadrer des nombres inférieurs à 1000

Connaître les doubles et les moitiés des nombres d’usage courant

Evaluation CE1 2010 Maths: compétences évaluées

Calculs:Connaître et utiliser des procédures de calcul mental

pour calculer des sommes, des différences, des produits

Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier)(quotient exact entier)

Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction

Connaître une technique opératoire de la multiplication pour effectuer une multiplication par un nombre à un chiffre

Résoudre des problèmes relevant de l’addition, de la soustraction et de la multiplication. Résoudre des problèmes simples de partage ou de groupement

Evaluation CE1 2010 Maths: compétences évaluées

Géométrie:Reconnaître et nommer les principales

figures planes, percevoir leurs propriétés géométriquesgéométriques

Reconnaître, décrire et nommer quelques solides droits: cubes

Reproduire des figures géométriques simples à l’aide d’instruments: règles, équerre ou gabarit de l’angle droit

Evaluation CE1 2010 Maths: compétences évaluées

Grandeurs et mesures:Utiliser un calendrier pour comparer

les duréesUtiliser les unités usuelles de mesure, Utiliser les unités usuelles de mesure,

estimer une mesureMesurer des segments, des distancesRésoudre des problèmes de la vie

courante

Evaluation CE1 2010 Maths: compétences évaluées

� Organisation et gestion de donnéesUtiliser un tableau, un graphique

Organiser les informations d’un énoncé

Résultats en France

� 47% des élèves ont plus de 25 bonnes réponses sur 40 questions. Ils ont des acquis très solides.

� 30% des élèves ont entre 18 et 25 bonnes réponses. Ils ont de bons acquis qui seront développés dans les mois à venir.13% des élèves ont entre 13 et 17 bonnes � 13% des élèves ont entre 13 et 17 bonnes réponses. Leurs acquis sont encore fragiles. Ils seront à consolider dans les mois à venir.

� 10% des élèves ont moins de 13 bonnes réponses. Leurs acquis ne sont pas suffisants. Ils bénéficieront d’une aide spécifique.

En France, la moitié des élèves ont eu 25 bonnes réponses ou plus sur 40 en maths.

Résultats en Moselle

� 50% des élèves ont plus de 25 bonnes réponses sur 40 questions. Ils ont des acquis très solides.

� 29% des élèves ont entre 18 et 25 bonnes réponses. Ils ont de bons acquis qui seront développés dans les mois à venir.12% des élèves ont entre 13 et 17 bonnes � 12% des élèves ont entre 13 et 17 bonnes réponses. Leurs acquis sont encore fragiles. Ils seront à consolider dans les mois à venir.

� 9% des élèves ont moins de 13 bonnes réponses. Leurs acquis ne sont pas suffisants. Ils bénéficieront d’une aide spécifique.

En Moselle, la moitié des élèves ont eu 26 bonnes réponses ou plus sur 40 en maths.

Dans notre circonscription

Les trois items les moins bien réussisconcernent le calcul:

-item 93: diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient entier exact)

-item 76: connaître et utiliser les techniques -item 76: connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction

-item 91: résoudre des problèmes relevant de l’addition, de la soustraction et de la multiplication. Résoudre des problèmes simples de partage ou de groupement.

Donc par exemple et pour l’item 76: l’exercice 8

Pose et effectue chacune des opérations.548 + 265 786-145 362-126

Passation collectiveTemps de passation: 9 minutesTemps de passation: 9 minutesConsigne passée aux élèves: «Posez et

effectuez chacune des opérations dans le cadre en dessous. »

Codage: code 1 si opération posée et correctement effectuée.

Item 76 portant sur la soustraction362-126

� Si l’élève a répondu 244, dans chaque colonne, l’élève a ôté le plus petit nombre du plus grand.

� Si l’élève a répondu 246, l’élève a � Si l’élève a répondu 246, l’élève a oublié la retenue.

� Si l’élève a répondu 488, il a confondu addition et soustraction. S’il a commis d’autres erreurs, ce sont des erreurs de calcul.

Plusieurs documents à notre service

-Document « Aide à l’analyse des évaluations CE1 et aide personnalisée » IA Sarthe

-Document EduSCOL « Evaluation en CE1 Une aide à l’analyse des résultats » septembre 2007

-Document d’accompagnement des programmes « Mathématiques Ecole primaire »

-Document d’accompagnement des programmes « Mathématiques Ecole primaire »

-Document d’application des programmes « Mathématiques Cycle 2 »

-Document « Le nombre au cycle 2 » SCEREN 2010

Quelques hypothèses sur le manque de réussite dans cette soustraction

� Les programmes de 2002 proposaient de retarder un peu la mise en place de la technique opératoire de la soustraction (ce qui n’implique pas qu’elle ne soit pas étudiée dans le cadre de la résolution de problèmes et dans celui du calcul mental), d’élaborer et utiliser les procédures personnelles des élèves, non standard (mentalement ou en s’aidant d’un écrit), d’assurer standard (mentalement ou en s’aidant d’un écrit), d’assurer l’usage de la soustraction dans des cas simples (résultat à deux, trois chiffres), de rechercher la compréhension et la justification des techniques utilisées.

� Sans oublier que la diffusion généralisée d’outils de calcul instrumenté (et notamment des calculatrices de poche) amène à repenser les objectifs généraux de l’enseignement du calcul, et que l’objectif prioritaire reste que les connaissances numériques des élèves soient opératoires, c’est-à-dire au service des problèmes qu’elles permettent de traiter, dans des situations empruntées à l’environnement social ou à d’autres domaines disciplinaires étudiées à l’école.

Quelques hypothèses sur le manque de réussite dans cette soustraction (suite)

� L’élève ne possède pas la technique de la soustraction. L’apprentissage d’une technique usuelle de soustraction est plus difficile que celui de l’addition pour plusieurs raisons:

-il existe plusieurs techniques possibles dont les fondements ne reposent pas sur les mêmes principes ni, par conséquent sur les mêmes connaissances.

-les connaissances qui permettent de justifier ces techniques sont plus nombreuses et plus complexes que dans le cas de l’addition.nombreuses et plus complexes que dans le cas de l’addition.

-les différences ou les compléments élémentaires (relevant des tables) sont souvent moins disponibles que les sommes.

-une difficulté supplémentaire apparaît dans le cas des nombres décimaux lorsque la partie décimale du premier terme comporte moins de chiffres que celle du second, quand les parties décimales donc, ne sont pas de même longueur..

On a remarqué aussi une erreur fréquente qui consiste à soustraire pour chaque chiffre « le plus petit du plus grand »

Quelques suggestions pour remédier

� Technique reposant sur une autre écriture du premier terme

� Technique reposant sur l’équivalence entre soustraction et recherche de entre soustraction et recherche de complément

� Technique reposant sur l’invariance d’une différence par ajout simultané d’un même nombre aux deux termes de la soustraction

Choisir entre ces trois techniques

Choisir l’une de ces trois techniques suppose une conscience claire chez l’enseignant, des justifications qui sous-tendent chacune d’elle de façon à adapter les étapes de l’apprentissage. Le calcul les étapes de l’apprentissage. Le calcul s’effectue toujours de droite à gauche. Les trois techniques sont expliquées sur l’exemple:

753-85

Technique reposant sur une autre écriture du premier terme

� 7 5 3 7 4 13 6 14 13- 8 5 - 8 5 - 8 5

------ --------- ----------De 3 unités, on ne peut soustraire 5 unités. On échange donc 1 dizaine contre 10 unités. On considère maintenant 4 dizaines et 13 unités. On considère maintenant 4 dizaines et 13 unités. On peut alors soustraire 5 unités de 13 unités; résultat: 8 unités. Le même processus est repris pour soustraire 8 dizaines…Cette technique est la plus simple à comprendre, car elle fondée sur la seule connaissance des principes de la numération décimale, élaborée dès le CP. Elle est en vigueur dans certains pays mais présente l’inconvénient de nombreuses surcharges pour des calculs du type 4 0003 – 1 897.

Technique reposant sur l’équivalence entre soustraction et recherche de complément

Le calcul de 753-85=… est équivalent à celui de 85 +…= 753. C’est donc le calcul de cette addition lacunaire qui va être réalisé. Le seul nombre à 1 chiffre qui, ajouté à 5, donne un résultat déterminé par 3 est 8 (table d’addition): 5+8=13. On retrouve le « 3 » des unités et il faut écrire « 1 » comme retenue au rang des dizaines.

L’addition lacunaire se poursuit au rang des dizaines: que L’addition lacunaire se poursuit au rang des dizaines: que faut-il ajouter à 9 (8+1) pour obtenir un nombre dont le chiffre des unités est 5? Réponse: 6 car 9+6=15, avec retenue de « 1 » au rang des centaines…

Cette technique présente l’avantage de n’être qu’une adaptation d’une technique connue (celle de l’addition), mais elle nécessite la compréhension de l’équivalence entre soustraction et recherche de complément qui reste encore difficile au début du cycle 3 pour certains élèves.

Technique reposant sur l’invariance d’une différence par ajout simultané d’un même nombre aux deux termes de la soustraction

De 3 unités, on ne peut pas soustraire 5 unités. On choisit d’ajouter 10 unités au premier terme et de considérer 13 unités. Pour ne pas changer la différence, il faut ajouter 10 unités au deuxième nombre: on le fait sous la forme d’1 dizaine. Etc.A signaler: il y a ajout simultané des 10 unités et de la dizaine (puis de 10 dizaines et d’une centaine). On ne peut donc pas parler de retenue.

7 15 137 15 13- 8 51 1------------6 6 8

Cette technique fait également appel aux équivalences liées à la numération décimale, entre 10 unités et 1 dizaine, etc. Elle semble la plus utilisée en France, pourtant il s’agit de la plus difficile, parce qu’elle repose sur une propriété que les élèves maîtrisent tardivement et qui peut être formalisée par: a-b = (a+c) - (b+c): cette formalisation n’est évidemment pas à proposer aux élèves.

Le choix de l’une des techniques conditionne les étapes de l’apprentissage

� Dans la mesure où les connaissances et les compétences préalables que doivent maîtriser les élèves varient d’une technique à l’autre. Les seules connaissances communes concernent les équivalences entre unités, dizaines, centaines… et une maîtrise suffisante des résultats des tables d’addition (compléments et différences). Il est important de ne pas dissocier dans le temps l’étude des cas « sans retenue » des cas « avec retenue », afin de ne pas généraliser l’idée qu’un traitement séparé des chiffres de même valeur suffit toujours.

� Si des élèves arrivent d’autres écoles avec des techniques différentes, � Si des élèves arrivent d’autres écoles avec des techniques différentes, il importe de respecter ces techniques, de montrer qu’elles permettent d’obtenir le même résultat, voire de les exploiter en classe pour chercher à expliquer les propriétés sous-jacentes.

� Si le choix porte sur la première technique, la mise en place peut commencer plus tôt que pour les deux autres techniques qui nécessitent un travail préparatoire plus important et plus difficile.

� Le recours à un ou plusieurs « matériels de numération » permet utilement d’illustrer la technique, et donc de mieux la comprendre, mais la réflexion sur les nombres et sur les propriétés mobilisées doit rester la préoccupation dominante.

Habituellement dans les documents d’aide évoqués, les fiches…

répondent à cette structure:-connaissances et compétences visées-activités de l’élève-hypothèses sur les difficultés rencontrées par

l’élèvel’élève-quelques principes pour guider les activités à

mettre en œuvre-exemples d’activités, références.

Elles permettent une aide à l’analyse certes mais aussi une aide pour l’aide personnalisée.

Analyse des difficultés potentielles que peut rencontrer un élève de CE1 en fin de cycle 2

Très difficiles et à consolider au début du cycle 3:-écrire ou dire des suites de nombres. -connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer

des sommes, des différences, des produits. -calculer en ligne des suites d'opérations.-connaître et utiliser les techniques opératoires de l'addition et de la

soustraction.

Difficiles et à consolider au début du cycle 3:-connaître une technique opératoire de la multiplication et l'utiliser pour

effectuer une multiplication par un nombre à 1 chiffre -résoudre des problèmes relevant de l'addition, de la soustraction et de

la multiplication. Résoudre des problèmes simples de partage ou de groupement.

-utiliser les unités usuelles de mesure, estimer une mesure.-résoudre des problèmes concrets (grandeurs et mesures).

Faire de la différenciation une stratégie intégrée aux 24 heures d’enseignement…

Des gestes professionnels :passer de l’implicite à l’explicite… Diagnostiquer pour… Développer l’autonomie sur les consignes, l’étayage, les rôles, le temps, les organisations, les procédures, l’évaluation.

Le métier d’élève : rendre compte après un travail en groupes, après une séancegroupes, après une séance

Des aides pour comprendre…: un objectif / des tâches différentes; des entretiens d’explicitations de stratégies ou d’essais; des ateliers de correction; des aides en amont : un même objet de travail avec des indices ou informations différentes selon les besoins; la régulation par aides au fil de l’eau; les demandes d’aides; les aides décrochées; Les offres d’aide; laisser l’élève questionner…

Différenciation: leviers pour Agir

� Agir sur des variables: penser l’espace de la classe, considérer la variable «temps », penser le moment de l’aide…Formes de regroupement pour définir des profils de classe, des profils d’élèves : c’est la tâche qui détermine le groupe. Des dispositifs en équipe. Des dispositifs en classe…: le rendez-vous quotidien, l’aide «massée »le rendez-vous quotidien, l’aide «massée »

� Penser le contenu : refaire suffit rarement pour comprendre, stabiliser est nécessaire.Refaire autrement en passant par :-le détour pédagogique,-les approches transversales,-proposer des situations pour transférer

Différenciation: leviers pour Agir

� Diversifier les formes de regroupement : individuel, binôme de niveau, binôme d’entraide hétérogène, groupe de besoin, groupe de base, groupe de partage, groupe classe, rencontre entre classes: unité pédagogique + activités satellites, décloisonnement, regroupements avec la classe jumelle, module massé où pendant un temps jumelle, module massé où pendant un temps donné plusieurs adultes de l'école se mobilisent dans une organisation spécifique et régulière…

� Des outils…: les fichiers et les banques d’exercices: fichiers du commerce, exercices repérés dans les ouvrages, banques d’exercices fabriquées par le maître; les affiches de référents…

Différenciation: proposer un plan de travail

Construit par l'élève :� À partir des grilles d'évaluation des

compétences� Sur des demandes qu'il exprime� Avec un libre choix de l'ordre des activités� Avec un libre choix de l'ordre des activitésConstruit par le maître:� À partir des évaluations� Sur des demandes explicitées auprès de

l'élève� Avec un libre choix de l'ordre des activités� Toujours simple sur 4 ou 5 items

La feuille de progrès

� Cette feuille de progrès peut servir d’outil d’analyse des erreurs des élèves. Le niveau 1 valorise une connaissance induite par la réponse de l’élève et le niveau le plus élevé indique la compétence attendue se référant à l’item de l’exercice.Cette feuille de progrès, expliquée et construite � Cette feuille de progrès, expliquée et construite avec l’élève, peut être la base d’un contrat de réussite dans le cadre ordinaire de la classe ou de l’aide personnalisée. Nous conseillons d’élaborer lors du premier contrat les niveaux 1, 2 et 5 avec l’élève.

� Pour certains élèves, elle peut être intégrée à un dossier PPRE qui deviendrait un portfolio des réussites et des progrès réalisés à l’école.

La feuille de progrès : objectif cible pour la période du ______ au________

Niveau 5 ☺reconnaître et vérifier qu’une figure est un carré au sein d’une figure complexe

Niveau 4Je reconnais le carré et le vérifie à l’aide d’instruments

Niveau 3Je reconnais le carré par une perception des propriétés

Niveau 2 Je reconnais un carré globalement au sein d’une figure complexe

Niveau 1 : Actuellement je sais faire :Je reconnais un carré globalement

Extrait d’un CR de conseil de cycle (3) d’une école de Yutz

Ordre du jour : � Suite de l'animation pédagogique du mardi 19 novembre 2010 sur

l'exploitation des évaluations en mathématiques.� Déterminer ce qui peut être mis en place au sein du cycle pour

remédier dans la durée aux principales difficultés rencontrées par les élèves lors des dernières évaluations.

…Prévention des échecs :Prévention des échecs :� Ritualiser le calcul mental automatisé et réfléchi dès le CE2. Avec

notamment des situations avec des égalités à trous et des encadrements à l'unité, la dizaine la plus proche.

� Mettre en place des ateliers opérations afin d'entretenir l'utilisation mécanique des techniques opératoires, notamment dès le début du CM2 pour ne pas perdre les acquis de la fin du CM1 avec les opérations avec des nombres décimaux.

� Avancer dans les progressions les calculs d'aires et dans la résolution de problèmes les recherches avec des situations de proportionnalité.

Petites citations…

� « Les mathématiques sont une gymnastique de l‘esprit et une préparation à la philosophie.» IsocrateIsocrate

� « L’étude des mathématiques est comme le Nil, qui commence en modestie et finit en magnificence.» Charles Caleb Colton