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IUFM DE BOURGOGNE
CONCOURS DE RECRUTEMENT : Professeur des Ecoles
MATHS & MUSIQUE
CHOLLET Bénédicte
Directeur de Mémoire : Olivier RENAUT
ANNEE : 2005 N° de Dossier du stagiaire 04STA00170
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Remerciements,
S’il m’est donné de présenter ce mémoire, c’est à Monsieur Olivier RENAUT, Professeur de
mathématiques à l’IUFM de Dijon, que je suis redevable. Qu’il soit assuré de toute ma
reconnaissance pour m’avoir encouragée et suivie dans ce travail.
Je tiens également à remercier Madame Anne COSSET, enseignante à l’école maternelle
Joffre de Dijon, pour m’avoir accueillie dans sa classe après la période de stage.
Qu’il me soit également permis de remercier les deux directrices des écoles où j’ai réalisé
les travaux décrits dans ce mémoire :
- Madame CIXOUS, Directrice de l’école maternelle Joffre de Dijon,
- Madame ESTIVALET, Directrice de l’école élémentaire de Messigny et Vantoux.
Je ne saurais oublier tous les élèves de mes deux classes de stages, sans lesquels tous ces
travaux n’auraient peut-être jamais vu le jour !
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SOMMAIRE SOMMAIRE ........................................................................................................................................3 Pourquoi ce mémoire ?.......Introduction..............................................................................................5 1ère Partie : quelques éléments de théorie.............................................................................................6
I. Evolution des notions alliant mathématiques et musique à travers les temps ..............................6 I.1. Pythagore et les pythagoriciens, l’harmonie musicale ..........................................................7
I.1.1. Pythagore........................................................................................................................7 I.1.2.La pensée pythagoricienne ..............................................................................................9
I.2. Damon et l’éthique musicale ...............................................................................................10 I.2.1. Damon...........................................................................................................................10 I.2.2. Sa théorie éthique de la musique ..................................................................................10
I.3. Platon : la musique comme philosophie ..............................................................................11 I.3.1. Platon............................................................................................................................11 I.3.2. Platon et la pensée musicale.........................................................................................11
I.4. Du Monde Antique au Moyen Age .....................................................................................12 I.5. Le Moyen âge ......................................................................................................................12 I.6. De l’époque Baroque à celle des Lumières .........................................................................13
I.6.1. Philosophie de la musique selon Mersenne..................................................................13 I.6.2. Leibniz : La réconciliation entre sensibilité et raison ..................................................15 I.6.3. Le rationalisme de Rameau ..........................................................................................16 I.6.4. Jean Sébastien Bach et la gamme tempérée .................................................................16 I.6.5. Le siècle des Lumières ..................................................................................................18
I.7. Des Romantiques au Positivistes .........................................................................................18 I.8. La musique au 20ème siècle ..................................................................................................19
I.8.1. Arnold Schönberg et la Nouvelle Ecole de Vienne .......................................................20 I.8.2. L’avènement de la musicologie ....................................................................................20
Conclusion .................................................................................................................................21 II. Justifications pédagogiques de ma problématique : quelques éléments des textes officiels.....22
II.1. L’Ecole Maternelle.............................................................................................................22 II.1.1. " Découvrir le Monde " ...............................................................................................22 II.1.2. Sensibilité, imagination et création.............................................................................23 II.1.3. Ponts communs entre ces deux domaines....................................................................24
II.2. L’Ecole Elémentaire...........................................................................................................25 II.2.1. Les mathématiques ......................................................................................................25 II.2.2. L’éducation artistique .................................................................................................26 II.2.3. Compétences croisées des deux disciplines.................................................................27
2ème partie : Des activités musicales au service des apprentissages fondamentaux ...........................29 Activités menées en classe.................................................................................................................29
I. Travail réalisé à l’école maternelle.............................................................................................29 I.1. Reconnaître des sons ou des bruits sans aucun indice visuel et réaliser un codage gestuel 29
I.1.1. Première séance............................................................................................................30 I.1.2. Seconde séance .............................................................................................................32
I.2. Identification de bruits et codage écrit.................................................................................33 I.2.1. Situation de départ et codage oral................................................................................33 I.2.2. Classement et codage écrit ...........................................................................................34 I.2.3. Analyse de cette séance ................................................................................................35
I.3. Réinvestissement des notions travaillées dans deux exercices d’application......................35 I.3.1. Premier exercice ...........................................................................................................36 I.3.2. Second exercice ............................................................................................................36 I.3.3. Analyse de cette séance ................................................................................................38
II. Travail réalisé à l’école élémentaire..........................................................................................38 II.1. Identification de timbres sans aucun indice visuel .............................................................38
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II.1.1. Les différents timbres ..................................................................................................39 II.1.2. S’approprier tous les timbres identifiés ......................................................................40 II.1.3. Analyse de cette séance ...............................................................................................41
II.2. Reconnaître des timbres et réaliser un codage gestuel .......................................................41 II.2.1. Production collective au sein d’un groupe..................................................................41 II.2.2. Production individuelle au sein d’un groupe ..............................................................42 II.2.3. Analyse de cette séance ...............................................................................................43
II.3. Synthèse des acquis et codage écrit....................................................................................43 II.3.1. Retour sur les acquis ...................................................................................................43 II.3.2. Codage écrit ................................................................................................................44 II.3.3. Analyse de cette séance ...............................................................................................44
III. conclusion ................................................................................................................................46 Bibliographie et Webographie ...........................................................................................................47 ANNEXES N° 1 à 15.........................................................................................................................48
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Pourquoi ce mémoire ?.......Introduction
Les mathématiques ont toujours été pour moi un domaine qui a entièrement satisfait un
besoin de rigueur.
La musique est chez moi une passion, et je l’ai d’ailleurs pratiquée depuis le plus jeune âge.
Avant ma rencontre avec Monsieur Renaut, Professeur de mathématiques à l’IUFM de
Dijon, je n’avais jamais eu l’occasion de réfléchir à leurs interactions éventuelles, tout en sachant
que la musique était un domaine pouvant mettre en œuvre de nombreuses compétences
transversales.
Après de nombreuses réflexions et après avoir consulté certains ouvrages de référence, j’ai constaté
que la musique et les mathématiques étaient intimement liées depuis l’Antiquité et Pythagore….Le
philosophe allemand Leibniz a d’ailleurs écrit (18ème siècle) : « La musique est un exercice
d’arithmétique secret et celui qui s’y livre ignore qu’il manie les nombres ».
Si, par ailleurs on regarde les programmes officiels de l’Ecole Primaire de 2002, on s’aperçoit qu’ils
portent une très grande importance à l’interdisciplinarité.
Au regard de toutes ces considérations, il me semble tout à fait justifié de pouvoir réfléchir à une
problématique unissant les mathématiques et la musique.
A ce stade, deux pistes de recherches sont possibles :
1/ soit on se demande ce que les mathématiques ont apporté et apportent encore à la
musique, et là on se rend compte que le domaine est vaste. En effet, il est relativement aisé de
retrouver dans la composition musicale des structures mathématiques comme la translation, la
symétrie, l’homothétie, le parallélisme….mais je ne dirigerai pas mon travail de recherche dans cet
axe.
2 / soit on s’interroge sur la réciproque à savoir comment la musique pourrait servir à
l’acquisition de certaines notions mathématiques ?...et c’est dans cette optique que j’ai réalisé
quelques travaux de recherche en classe.
Le but de ce mémoire n’est pas de répondre à la question posée, mais d’essayer d’y apporter
quelques éléments de réponses tirés de quelques séances menées avec des élèves de classes
maternelles et de classes élémentaires.
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1ère Partie : quelques éléments de théorie
I. Evolution des notions alliant mathématiques et musique à travers les temps
Le lien entre les mathématiques et la musique est l’un des grands thèmes de la philosophie.
Je vous invite donc à un petit voyage dans le temps pour aller à la rencontre de quelques grands
philosophes. Il s’agit là de retracer quelques éléments de l’évolution de la pensée philosophique sur
les rapports entre les mathématiques et la musique au cours des temps.
Les premiers contacts entre la musique et la philosophie dans la culture occidentale remontent à des
temps très anciens et demeurent plutôt imprécis, ce qui n’ôte rien à leur importance.
En fait, les témoignages les plus importants sur la place de la musique dans la civilisation grecque
ancienne sont les poèmes homériques. Par exemple, dans " L’Iliade et L’Odyssée " apparaissent
plusieurs références à la musique. Le musicien apparaît généralement sous les traits d’un
professionnel, dont la fonction est de distraire et de réjouir les seigneurs durant les banquets ou
d’apaiser la colère d’Achille et des autres guerriers. Le citharède homérique ne chante que pour le
plaisir des auditeurs et sa présence est indispensable au succès d’une fête ou d’un festin. Les dieux
de l’Olympe eux-mêmes s’adonnent à la musique durant les banquets.
Les pythagoriciens, au contraire, se rallient probablement à des croyances beaucoup plus antiques et
renversent cette conception homérique de la musique présentée comme divertissement, pour laisser
apparaître pour la première fois la théorie de l’ethos musical – où la musique devient un instrument
de formation car on lui attribue un rôle essentiel dans la formation de l’être social et dans
l’éducation de toutes les facultés humaines – ainsi que l’identification de cet art avec le concept
d’harmonie. C’est ainsi qu’à l’aube du 5ème siècle avant J.C., la musique va désormais faire partie de
l’idéal éducatif de tout homme libre.
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I.1. Pythagore et les pythagoriciens, l’harmonie musicale
I.1.1. Pythagore
PYTHAGORE Philosophe, mathématicien et astronome grec (Samos, 580 avant JC – 490 avant JC) Pythagore est une des figures les plus mystérieuses de la Grèce antique. N'ayant jamais rien rédigé, son enseignement n'est connu que par les écrits de ses disciples et par la tradition orale. Il semble qu'il soit devenu très tôt une légende. On le dit fils d'Apollon ou d'Hermès, dont il a reçu le pouvoir de garder les souvenirs de ses vies passées. Pythagore restera une énigme pour Aristote qui évitera le plus souvent de prononcer son nom. Il n'en reste pas moins que l'existence du philosophe est un fait certain. Les pythagoriciens croient à la toute puissance du nombre qui régit l'univers. C'est de cette croyance que découlent les multiples recherches mathématiques réalisées par l'école de Pythagore. Les travaux portent sur les nombres pairs et impairs, les nombres premiers et carrés. En géométrie, la plus célèbre découverte est le théorème de l'hypoténuse ou théorème de Pythagore, qui établit que le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est la somme des carrés des deux autres côtés. Il invente le mot philosophe : celui qui cherche à découvrir les secrets de la nature de façon désintéressée.
La gamme pythagoricienne
La gamme « pythagoricienne » ou de Pythagore remonte aux mathématiciens grecs de l'Antiquité.
Pythagore est connu en géométrie pour son célèbre théorème. On peut aborder cette construction
par l'acoustique, en se fiant au sens de l'ouïe, ou par les mathématiques.
Partant de la note fondamentale DO, en s'élevant par intervalles de quintes successives et en
ramenant la note obtenue dans la première octave, on trouve successivement les notes suivantes :
SOL, RE, LA, MI, SI, FA#, DO#, SOL#, RE#, LA#, MI# et SI# qui est pratiquement le DO à
l'octave de la note de départ, par lequel on le remplace. On remarque qu'après être monté
continûment, de DO à SI, les notes suivantes après le FA# repartent du bas de la gamme, elles se
situent légèrement au-dessus des notes déjà trouvées, et on leur donne le même nom, avec un dièse.
La différence entre SI# et DO, très minime mais audible, s'appelle le comma pythagoricien et son
existence est communément traduite en ce que « le cycle des quintes » (voir figure) ne se referme
pas. On est obligé d'introduire un intervalle de quinte légèrement faux, la « Quinte du loup », pour
maintenir des octaves pures, ce qui est considéré par tous les musiciens comme indispensable.
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Placement de la quinte du loup
La gamme pythagoricienne est la succession des notes obtenues par ce procédé et qui se trouvent
diviser l'octave en intervalles grossièrement équivalents. Les notes non dièsées sont au nombre de
sept : la gamme diatonique est une gamme « heptatonique ». Sur un piano, elles seraient produites
par les touches blanches. Quant à la gamme chromatique, composée de toutes les notes obtenues
sauf celles qui font presque doublon (MI# et SI#), elle possède douze notes et douze intervalles
élémentaires. Les cinq notes complémentaires seraient, sur un piano, produites par les touches
noires. Dans la pratique, on s'arrangerait pour reporter la quinte du loup dans un intervalle peu
pratiqué, le plus souvent MIb - SOL#.
L'intervalle de la quinte est 3/2 car la fréquence de la note la plus aiguë est égale à la fréquence de
la note la plus basse multipliée par 1,5. C'est cet intervalle qui nous intéresse particulièrement dans
la gamme pythagoricienne. L'intervalle de la quarte est de 4/3 ; la quarte est le complément de la
quinte par rapport à l'octave (on dit aussi son « renversement »). En avançant de quinte en quinte,
on ne peut pas tomber sur 7 octaves à moins de raccourcir la dernière quinte dite "quinte du loup"
Pour ceux que rebuteraient (on les comprend) les calculs de puissances de 2 et 3, le schéma ci-
dessous résume les relations entre les différents intervalles de la gamme de Pythagore (remarquer le
décalage de MI b et SI b) :
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La gamme pythagoricienne a pour principaux inconvénients :
• la quinte du loup, intervalle inutilisable,
• des intervalles de tierce majeure (DO-MI) qui sont assez loin de la consonance pure,
• des tons diatoniques qui ne sont pas égaux et qui rendent problématiques la transposition
(jouer le même morceau avec une note tonique différente) et la modulation (changer, même
temporairement, de tonalité au cours du même morceau).
De ce fait, elle n'est pratiquement pas utilisée de nos jours.
I.1.2.La pensée pythagoricienne
A partir de cette époque, la musique nous laisse entrevoir un monde où l’art des sons devait revêtir
une notable importance.
Il n’existe pas de véritable doctrine pythagoricienne sur la musique, mais il est cependant possible
de mettre en lumière certaines idées de base d’où se détache la notion d’harmonie, point central de
leur recherche. L’harmonie est essentiellement conçue par les pythagoriciens comme l’unification
des contraires. Ce concept d’harmonie est donc étroitement lié à celui du nombre. En fait, la nature
réelle de l’harmonie et du nombre serait révélée par la musique.
C’est pourquoi les rapports entre les sons, formulables en chiffres, peuvent être pris comme
modèles de l’harmonie universelle.
Pour les pythagoriciens, la musique véritable ne s’entend pas et peut être celle produite par les
astres qui se meuvent dans le cosmos selon les lois numériques et des proportions harmoniques.
Pythagore incluait aussi dans ce concept d’harmonie celle des sphères et des astres mouvants,
harmonie que l’insuffisance de notre nature nous empêche de percevoir.
ARISTOTE Philosophe et savant grec (Stagire, 384 avant JC – Chalcis 322 avant JC) S’il est un nom à retenir dans l’histoire des sciences grecques, c’est celui d’Aristote. Philosophe et naturaliste, Aristote a fourni de nombreux traités scientifiques et certaines de ses observations, notamment en biologie, sont d’une réelle justesse et dénotent un esprit logique remarquable.
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Aristote rapporte des idées pythagoriciennes : « Certains croient ainsi que les vitesses des astres,
dépendant de leurs distances, possèdent les proportions des accords musicaux ; c’est pourquoi ils
assurent que le son émis par le mouvement circulaire des astres est une harmonie. Pour expliquer
cependant le fait que nous n’en percevions pas le son, ils disent que c’est parce que le son est en
nous dès notre naissance, ce qui le rend indiscernable du silence parce que son et silence ne se
distinguent que par le contraste ».
Ce témoignage d’Aristote est fondamental par le fait surtout qu’il confirme l’analogie existant entre
l’harmonie de l’univers et l’harmonie musicale, ainsi que le fondement de celle-ci sur le nombre,
sur la même loi mathématique, présente dans les rapports entre les astres et les intervalles musicaux.
I.2. Damon et l’éthique musicale
I.2.1. Damon
Représentation d’un philosophe grec
DAMON Philosophe grec (5ème siècle avant JC) Damon était un philosophe pythagoricien d’Athènes. Il était surnommé par ses pairs le « Théoricien de la musique ». Il fut le conseiller de Périclès et il fut condamné à l’exil pour avoir dilapidé les fonds publics.
I.2.2. Sa théorie éthique de la musique
Elle provient sans aucun doute de la tradition pythagoricienne. Damon semble pourtant
l’approfondir.
Il tente de mettre en évidence la valeur pédagogico-sociale et donc politique de la musique. En fait,
Damon tend à officialiser l’éducation musicale, puisque la musique a, chez lui, beaucoup plus
qu’une valeur de formation générale et peut même faire naître certaines qualités ou corriger les
vices. En vertu de ces pouvoirs, la musique, correctement pratiquée, est un puissant instrument
d’équilibre social et surtout de conservation sociale.
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I.3. Platon : la musique comme philosophie
I.3.1. Platon
PLATON Philosophe grec, fondateur de la philosophie occidentale (Athènes 427 avant JC – 348 avant JC) Disciple de Socrate, la quasi-totalité des œuvres de Platon est rédigée sous forme de dialogues. Son enseignement porte sur la politique, l'art, l'éthique, etc. Mais c'est la théorie des Idées ou des Formes qui constitue le fondement de la philosophie platonicienne. Pour Platon, toute connaissance se doit d'être certaine et infaillible et doit porter sur le réel et non l'apparence. Il oppose alors le monde réel, qui est immuable et parfait, au monde physique, inconstant. Dans le mythe d'Er, Platon décrit l'harmonie des sphères célestes comme l'accord cosmique produit par les vibrations respectives des astres. Boèce, qui transmet ce texte dans De Institutione Musica, le complète par le tableau, inspiré de la tradition antique qui aurait assigné une note à chaque astre: ré=lune, do=mercure, si bémol=venus, la=soleil, sol=mars, fa=jupiter et mi=samedi et indique que l'ordre des jours de la semaine, nommés pour les planètes, s'obtient par une progression de quartes : ré=lundi, sol=mardi, do=mercredi, fa=jeudi, etc.
I.3.2. Platon et la pensée musicale
Platon fera sienne la doctrine de Damon et la complétera ; la musique prendra de cette façon dans sa
philosophie une place mieux définie et un niveau de formation plus élevé.
La musique occupe l’un des points centraux de sa philosophie et il n’est pas de dialogue où elle
n’apparaisse de quelque façon.
Selon Platon, la musique ne s’adresse pas seulement aux sens, elle peut être une science et, en tant
que telle, un objet de raison.
On conçoit sans peine que les mathématiciens de l'Antiquité, au vu de ces relations quelque peu
magiques, prêtassent à la musique une origine divine. Plus près de nous, nous verrons que Rameau
avait même dans l'idée que la musique était la base des mathématiques.
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I.4. Du Monde Antique au Moyen Age
Saint Augustin et la « scientia bene modulandi »
SAINT AUGUSTIN Philosophe (Thagaste, Numidie 354 – Hippone 430) Saint-Augustin ne fut pas un scientifique mais il influença fortement le développement de la pensée scientifique occidentale par ses conceptions philosophiques. Au début du Moyen Age, la science était prise entre deux grands courants théologiques. Le premier prônait l'étude unique de la question du salut, la science ne pouvant que nuire aux âmes chrétiennes. Le second courant enseignait que l'étude du monde apprend à reconnaître et à respecter la grandeur de son Créateur. Saint Augustin défendit ardemment cette idée. Pour lui, la science avait un rôle à jouer dans la religion chrétienne. Il développa la théorie divine du savoir selon laquelle l'univers, expression de la volonté divine, ne pouvait qu'être bon, et son étude renforcer la foi.
Saint Augustin a laissé un des traités musicaux médiévaux les plus importants, le " De Musica ".
Dans le premier des six livres qui le composent est énoncée une définition de la musique qui
deviendra célèbre dans tout le moyen âge et qui sera répétée comme slogan pendant des siècles :
« Musica est scientia bene modulandi »; celle-ci est précisée peu après par une autre où la musique
apparaît comme « la science du mouvement bien réglé et recherché pour lui-même ». L’accent est
toujours mis sur le terme " science " : Saint Augustin ne doute pas que la musique puisse procurer
aussi du plaisir à celui qui l’écoute, mais elle doit tout d’abord tenter de s’assimiler aux sciences en
se dépouillant de tous les éléments susceptibles d’échapper à la stricte raison.
Le discours de Saint Augustin tend inévitablement ici à sortir du domaine musical pour entrer dans
celui de la métaphysique du nombre. En néo-platonicien, Saint Augustin pense en fait que l’essence
de la musique est justement à rechercher dans celui-ci. Si la musique peut acquérir la dignité de
science, c’est précisément parce qu’elle est réductible du nombre.
Le vocable modulandi se réfère au mouvement des sons, traduisible en des rapports numériques
simples, seuls validés par la raison.
Il est évident de constater ici que l’antique mystique pythagoricienne des nombres s’approche de
cette nouvelle mystique chrétienne et se fond avec elle.
I.5. Le Moyen âge
Au 9ème siècle, les premiers théoriciens de la renaissance carolingienne sont liés à des principes
figés désormais dans les formules du monde antique, passés par le filtre de la pensée de Saint
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Augustin. La musique était généralement considérée, parmi les sept arts libéraux, comme une
branche des mathématiques et incluse non pas dans le trivium (grammaire, rhétorique et logique),
mais dans le quadrium (mathématiques, géométrie, astronomie et musique). Alcuin, ministre de
Charlemagne, fit un tableau des plus nobles disciplines, dans lequel la musique vient se ranger à
côté des sciences, selon le schéma suivant :
Philosophie
Ethique – Physique – Logique
Arithmétique – Musique – Géométrie – Astronomie
Astrologie – Mécanique – Médecine
Il donne de la musique la définition suivante : « Discipline qui traite des nombres existants dans les
sons ». Le fondement des qualités du son est à chercher dans un principe rationnel, le nombre :
« Tout ce qui est séduisant dans une mélodie provient du nombre qui mesure l’étendue des voix ;
tout ce que les rythmes créent d’agréable dans la mélodie ou dans les divers mouvements, provient
uniquement du nombre ».
L’harmonie que la tradition grecque avait indissolublement liée au concept de musique est reprise à
cette époque par d’autres théoriciens des années 1000 comme un lien concret entre l’art terrestre et
l’idée d’une musique céleste, abstraite et inaudible. On comprend ainsi la présence de la musique
parmi les disciplines mathématiques et, d’autre part, les rapports entre cette discipline théorique et
le monde sonore goûté par les sens.
Je terminerai ce paragraphe par une citation qui résume bien je pense les rapports entre les
mathématiques et la musique à cette époque : « Les rapports numériques qui permettent aux sons de
s’assembler agréablement créent l’entente entre l’âme et le corps, ainsi que l’harmonie éternelle
des éléments opposés de l’univers ».
I.6. De l’époque Baroque à celle des Lumières
I.6.1. Philosophie de la musique selon Mersenne
Les recherches sur les fondements physiques et acoustiques de l’harmonie, déjà entamées au 16ème
siècle, reprennent – même si l’apparence en est nouvelle – l’ancienne tradition pythagoricienne
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présente durant tout le moyen âge ; mais elles innovent aussi en apportant des éléments inconnus
auparavant.
L’idée selon laquelle la musique est une science, et même la science première, reprend précisément
de l’importance dans l’univers baroque, grâce aux philosophes et aux théoriciens de l’harmonie. On
ne se contente plus des divagations sur le mouvement des astres ou d’une prétendue musique des
sphères, mais on recherche des lois – au sens où Galilée et Newton l’entendent – réglant le monde
des sons. L’accent est donc mis d’avantage sur le caractère physico-mathématique de l’harmonie
que sur ses effets sur le public.
Cette direction de recherche est celle du philosophe, théoricien et mathématicien Mersenne dans sa
monumentale "Harmonie Universelle" (1636-1637).
Mersenne affirme, par exemple, que les lettres utilisées pour traduire l’échelle musicale représentent
les différents degrés de l’univers et que les intervalles sont comparables aux distances entre les
planètes. Il se soucie évidemment peu de l’aptitude de la musique à exprimer des émotions. Cette
indifférence au contenu expressif ou émotif de la musique se retrouve chez tous les philosophes qui
privilégient l’aspect physico-acoustique ou mathématique des sons et des intervalles.
Marin MERSENNE Philosophe et mathématicien (Oize, 1588 – Paris, 1648) Mersenne enseigne la philosophie au couvent de Nevers de 1614 à 1618. Il côtoie les grands savants de l’époque, Fermat, Pascal, Gassendi, Roberval, Beaugrand et bien d’autres qui seront à l’origine de l’Académie des Sciences Françaises. Mersenne correspond avec de nombreux mathématiciens et joue un rôle prépondérant dans toute l’Europe pour faciliter la communication autour de ce savoir mathématique à une époque où les journaux scientifiques n’existaient pas. Mersenne introduit les nombres premiers. Il défend Descartes et Galilée des critiques théologiques. Il écrit le « Traité d'harmonie universelle (1627) », un travail sur la musique, les instruments et l’acoustique. En 1633, Mersenne publie le « Traité des mouvements » puis deux importantes publications dans le domaine physique-mathématique « L'Harmonie Universelle (1636) et Cogitata Physico-Mathematica (1644) ».
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I.6.2. Leibniz : La réconciliation entre sensibilité et raison
LEIBNIZ GOTTFRIED WILHELM Philosophe, mathématicien et logicien allemand (Leipzig, 1646 – Hanovre 1716) Fils d'un père luthérien professeur de droit et de morale, il bénéficie d'une solide formation - d'ailleurs en grande partie autodidacte - en langues anciennes, théologie scolastique, logique, etc. Entré à l'université de Leipzig dès 1661, il découvre les travaux de penseurs de son époque tels que Bacon, Descartes, Gassendi, Galilée, Kepler ou Hobbes. L'année 1666, Leibniz obtient son doctorat et voit paraître sa première publication scientifique, De arte combinatoria, préfigurant ses travaux sur le calcul différentiel. Très vite, il se lance dans la quête, qui n'aboutira pourtant pas, d'un langage mathématique universel, posant ainsi les fondements de la logique symbolique. Il se voit chargé, en 1672, d'une mission auprès de Louis XIV, à Paris. Il profite de son séjour pour rencontrer Malebranche, Antoine Arnauld et Christiaan Huygens et découvrir les écrits de Pascal. Se penchant sur les probabilités et l'analyse combinatoire, il invente alors une machine à calculer plus élaborée que le modèle du savant français.
On tente désormais de découvrir à travers la structure mathématique et rationnelle de l’harmonie ses
caractères sensibles. La position de Leibniz est en cela fort significative puisque, dans les brefs
passages de son œuvre relatifs à la musique, il ouvre des horizons esthétiques et philosophiques
nouveaux aux futurs théoriciens de cet art.
Pour Leibniz, la musique se définit avant tout comme une "perception agréable des sons". Selon
lui, la musique a en fait une solide structure mathématique, mais celle-ci ne contraste nullement
avec le fait qu’elle s’adresse d’abord aux sens ; au contraire, cette structure se révèle précisément au
moment où elle est perçue par les sens.
Dans la musique, cependant, se manifeste de façon directe et privilégiée la nature, et par conséquent
l’harmonie, qui régit tout l’univers ; celle-ci se fait connaître à la sensibilité, et seulement à travers
la sensibilité qui constitue, dans la pensée de Leibniz, une forme d’anticipation de la raison, voire
l’unique façon de parvenir à celle-ci.
Toute opposition s’efface ainsi entre la sensibilité et l’intellect, entre la beauté sensible du monde et
l’ordre mathématique de l’univers, entre la fantaisie (calcul inconscient) et la raison.
Leibniz donne alors une autre définition de la musique : elle ne serait autre que la révélation
sensible et immédiate de l’harmonie mathématique à tout être humain, même à celui qui ignore
totalement la mathématique.
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I.6.3. Le rationalisme de Rameau
JEAN-PHILIPPE RAMEAU Compositeur français, organiste et claveciniste (Dijon, 1683 – Paris, 1764) Jean-Philippe Rameau est né à Dijon en 1683. On dit de Jean-Philippe qu'il savait son solfège avant même de savoir lire et écrire. Rameau étudie au Collège des Godrans tenu par les Jésuites (actuelle Bibliothèque Municipale). "Il se distinguait par une vivacité peu commune, mais pendant les classes il chantait ou écrivait de la musique. Il ne passa pas la quatrième", témoigne le Père Gauthier, condisciple de Rameau au collège. Pendant sa période Clermontoise (1715-1722), Rameau approfondit ses connaissances théoriques et ses réflexions sur la musique et élabore les théories qu'il publie dès son arrivée à Paris « Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels ». Cette oeuvre lui vaut sa réputation de théoricien et de savant. En 1749, Rameau dépose à l'Académie Royale des Sciences son Mémoire où l'on expose les fondements d'un système de Musique théorique et pratique. Il le publie l'année suivante sous le titre de « Démonstration du Principe de l'Harmonie ».
Bien qu’étant du siècle des Lumières, Rameau reprend les idées de Leibniz. Selon lui, l’harmonie se
fonde sur un principe naturel et originel, donc rationnel et éternel. Il écrit : « La musique est une
science qui doit avoir des règles certaines ; ces règles doivent être tirées d’un principe évident, et
ce principe ne peut guère nous être connu sans le secours des mathématiques ».
Cette conception fermement rationaliste, à laquelle Rameau est resté fidèle dans tous ses nombreux
écrits théoriques, n’exclut pas le droit à l’oreille. En fait la musique nous plaît et nous éprouvons du
plaisir à l’entendre, précisément parce qu’elle exprime à travers l’harmonie, le divin ordre universel,
la nature elle-même.
Finalement, pour Rameau : entre la raison et le sentiment, entre l’intellect et la sensibilité, entre la
nature et la loi mathématique, il n’existe aucun contraste, mais un parfait accord de fait et surtout de
droit ; ces éléments doivent donc coopérer harmonieusement.
I.6.4. Jean Sébastien Bach et la gamme tempérée La gamme tempérée (tempérament égal)
La gamme tempérée est de nos jours utilisée de façon presque universelle dans la musique
occidentale. Seules les œuvres antérieures (environ) à 1750 sont exécutées de nos jours dans
d'autres systèmes, selon les habitudes en cours à l'époque de leur composition.
17
La gamme tempérée consiste, pour ainsi dire, à « trancher le nœud gordien » des inconvénients de
tous les autres systèmes qui tentaient des compromis entre justesse de certains intervalles, fausseté
pas trop marquée des autres, possibilités de transposition et/ou de modulation. Elle consiste tout
simplement à diviser l'octave en douze intervalles chromatiques tous égaux.
Cette idée simple permet toutes les transpositions et toutes les modulations imaginables, puisque
toutes les notes sont équivalentes quand on les considère comme toniques. Elle présente un seul
inconvénient, mais qui est de taille et qui explique la réticence des musiciens à l'adopter avant la
période dite « classique » : à l'exception des octaves, tous les intervalles sont plus ou moins faux.
Toutefois, les écarts sont suffisamment faibles pour être admissibles. Et l'habitude aidant, puisque
de nos jours quasiment toutes les musiques que nous entendons l'utilisent, cette faible dissonance ne
choque personne, et c'est au contraire les anciens tempéraments qui surprennent notre oreille
lorsque nous les expérimentons pour la première fois.
Les deux recueils de Jean-Sébastien Bach intitulés « Das wohltemperierte Klavier » ont peut-être
été composés pour démontrer ces possibilités de jouer dans tous les tons majeurs et mineurs par
l'utilisation du tempérament égal, sans modifier l'accord de l'instrument - bien que cette hypothèse
fasse débat.
En fait, depuis longtemps, les instruments à cordes et à frettes tels que guitares, luths, théorbes et
violes ont dû être accordés selon la gamme tempérée car les rapports d'intervalles sont communs à
plusieurs cordes accordées sur des notes différentes.
Si l'on se rappelle qu'additionner des intervalles revient à effectuer des multiplications de rapports
de fréquence, on voit que l'octave égale le demi-ton chromatique élevé à la puissance douze ou
encore que le demi-ton chromatique vaut 21/12.
La gamme tempérée est, de toutes, la plus difficile à accorder : contrairement aux autres systèmes
où l'instrumentiste doit établir de façon précise des consonances (auxquelles l'ouïe est très sensible),
pour accorder un instrument en tempérament égal il doit établir des dissonances toutes égales à
l'intérieur d'une octave, ce qui s'apprécie par la faculté à compter des « battements » par seconde.
Cette technique est hors de portée pratique de l'amateur : le tempérament égal est à l'origine du
métier d'accordeur de pianos. Avec un peu de pratique, l'amateur possesseur d'un clavecin peut
assez facilement accorder son instrument selon un des tempéraments légués par le XVIIIe siècle.
18
JEAN-SEBASTIEN BACH Compositeur allemand (Eisenach, 1685 – Paris, 1764)
Johann Sebastian Bach est né à Eisenach en Thuringe le 21 mars 1685, le huitième enfant d'une famille de musiciens. En effet, la famille Bach était une de ces familles traditionnelles de musiciens qui, pendant plusieurs générations, gagnaient leur vie en étant musiciens au niveau local. Son père, Johann Ambrosius Bach (1645-1695), était un violoniste de talent. Pendant que celui-ci lui enseignait les rudiments du jeu d'instruments à cordes, un autre parent, l'organiste de l'église la plus importante d'Eisenach, lui enseignait ceux de l'orgue. Johann Sebastian semble être devenu un virtuose de l'orgue. À partir de mars 1729, Bach assume la direction du Collegium Musicum et se concentre de plus en plus à de nouveaux projets musicaux. Durant cette période, il compose bon nombre de cantates religieuses et profanes ainsi que divers oratorios (Noël, Pâques, Ascension). Bach produit entre autres, la Messe en si mineur, les Variations Goldberg, les Variations canoniques, le Clavier bien tempéré II, et l'Art de la fugue (incomplet au moment de sa mort). Ses oeuvres pour clavier - les Variations Goldberg, et le Clavier bien tempéré, entre autres, révèlent une habileté insurpassée de combiner une structure musicale compliquée avec une pure force spirituelle ; en fait, les principaux musiciens sont d'accord pour affirmer que leur but ultime était tout simplement de parvenir à maîtriser ces oeuvres.
I.6.5. Le siècle des Lumières Le 18ème siècle tente à dissocier les arts des sciences, à mettre en lumière l’autonomie de la musique
et des arts en général en tant que langages non rationnels, mais étroitement liés aux émotions, aux
instincts et aux passions de la nature humaine… En d’autres termes, la musique est un art et, en tant
que tel, elle concerne le goût et non la raison. Le goût, comme organe de conception artistique, n’a
ni règles ni lois formulables sur le modèle de celles des sciences et il s’agit là de deux mondes bien
distincts.
Cette vision semble partagée, malgré quelques variantes, par Rousseau, Diderot…qui s’attacheront
plus à l’aspect esthétique et à la beauté de la musique.
I.7. Des Romantiques au Positivistes
La fin du 18ème siècle ainsi que le début du 19ème siècle ont été marqués par des conceptions
beaucoup plus esthétiques et spirituelles de la musique. On cherche dans la musique l’expression de
sentiments, d’émotions, de reflets de l’âme…
19
EDUARD HANSLICK Compositeur autrichien, critique musical (Prague, 1825 – Vienne, 1904) Eduard Hanslick est né à Prague en 1825. Il a eu comme professeur à Prague le compositeur Tomasek. Il côtoie aussi bien des philosophes comme Zimmermann que des musiciens comme Schumanns. Il s’établit à Vienne en 1846 pour y enseigner « une musique esthétique » à partir de 1856 à l’Université. Connu pour ses critiques de concert, la musique était pour lui belle au sens de l’imagination humaine, « l’organe de la contemplation pure ».
A la fin du 19ème siècle, au contraire du mouvement romantique qui cherchait à unir les arts et
considérait la beauté comme une catégorie de l’esprit, Hanslick veut, à travers son œuvre " Du Beau
en Musique ", montrer qu’il est bien une beauté propre à la musique et que l’esthétique de la
musique est différente de celle des autres arts. Pour lui : « Dans chaque art, les critères de beauté
sont inséparables des particularités du matériau et de la technique ». Il affirme donc que la
technique musicale n’est pas seulement un moyen d’exprimer des sentiments, de connaître l’absolu
ou de créer des émotions, mais elle est la musique elle-même.
La musique redevient autonome et discipline à part entière. En plus de tout cela, Hanslick lui
redonne son importance scientifique sans nier ses rapports avec l’univers de nos émotions. En effet,
il reconnaît la musique comme beauté acoustique et symétrie proportionnelle, mais il ajoute à cela
une dimension propre à chaque individu : « Dans la musique existent un sens et une logique, mais
musicaux » ; et les œuvres d’un musicien reflètent de façon symbolique « l’image intégrale de
l’individualité de leur créateur ».
A cette époque, personne ne doute plus de la validité du système tonal et surtout de son caractère
unique et éternel dû au fait qu’il est fondé, comme Rameau l’avait déjà démontré, sur des lois
naturelles.
Les spécialistes de la seconde moitié du 19ème siècle étaient tous désireux d’adopter ce nouvel idéal
consistant à rendre les études musicales de plus en plus scientifiques. Ils se sont lancés à nouveau
dans des travaux sur les fondements acoustiques de l’harmonie. Les principes de Rameau sont
repris mais ils lui ajoutent en plus une dimension esthétique vaguement tirée de l’époque
Romantique.
I.8. La musique au 20ème siècle
Rien ne change réellement par rapport à la conception philosophique de la musique du siècle
précédent. Cependant, la nouvelle Ecole de Vienne et A. Schönberg plus particulièrement amènent
20
en ce début de siècle plus d’intensité et de complexité dans les œuvres musicales notamment avec le
sérialisme qui applique le principe de la série dodécaphonique à d’autres paramètres que celui de la
hauteur des sons (durée, tempos, nuances, timbres, …).
I.8.1. Arnold Schönberg et la Nouvelle Ecole de Vienne
ARNOLD SCHÖNBERG Violoniste et Compositeur Austro-Hongrois, (Vienne, 1874 – Los Angeles, 1951) Arnold Schönberg est né à Vienne en 1874. Il apprend le violon dès l’âge de huit ans et commence dès lors de composer. Influencé par Brahms et Wagner, ses premiers travaux reconnus datent du tournant du siècle. Son style est dense, complexe et intense d’un point de vue des harmoniques. Il est qualifié de théoricien de l’atonalité, fondée sur le dodécaphonisme. Il est l’auteur des Gurrelieder, du Pierrot lunaire en 1912 (21 poèmes pour récitant et ensemble instrumental), de quatuors à cordes et du sextuor à cordes La Nuit Transfigurée. En 1933, étant juif, il est obligé de quitter Berlin et s’installe après un détour par Paris, aux Etats-Unis.
I.8.2. L’avènement de la musicologie
Le 20ème siècle est de plus marqué par la naissance de la musicologie. Née véritablement du désir de
rendre plus scientifique toute branche du savoir humain, la musicologie se définit comme la Science
de l’histoire de la musique et de la théorie musicale.
La signification de la musique consiste alors dans la perception et la compréhension des relations
musicales à l’intérieur de l’œuvre, et pour lesquelles la signification de la musique est donc
éminemment intellectuelle. On ajoute à cela que la musique est en plus capable, dans un certain
sens, d’éveiller des sentiments et des émotions chez les auditeurs. La pensée musicale est donc
décrite comme "l’art de penser avec des sons", tout en tenant compte de certains aspects
esthétiques.
La notion " d’interprétation musicale " a également fait l’objet de nombreux débats et écrits de cette
époque.
21
Conclusion
De Pythagore à nos jours, la pensée musicale s’est beaucoup enrichie, grâce aux apports de
nombreuses autres disciplines, voisines ou parallèles.
Les rapports étroits entre les mathématiques et la musique, leurs interactions et leurs
complémentarités n’ont jamais été contestés au cours des temps.
Si, autrefois, une distinction entre les études de théorie musicale et d’esthétique était possible, elle
est actuellement impossible en raison de la progressive interpénétration des deux domaines.
22
II. Justifications pédagogiques de ma problématique : quelques éléments des textes officiels
II.1. L’Ecole Maternelle
II.1.1. " Découvrir le Monde "
A l’école maternelle, l’enfant découvre la richesse du monde qui l’entoure, les objets comme les
êtres vivants. En jouant, l’enfant se constitue un premier capital de connaissances. Il manipule, il
observe, il s’interroge. Il identifie des réalités, les représente et les nomme. Il distingue les qualités
des objets ou des collections d’objets qu’il compare, classe, range, dénombre. Il raconte ses
expériences, verbalise ses actions, écoute l’enseignant lorsqu’il les commente et dialogue avec lui à
leur propos. Il commence ainsi à se confronter aux contraintes de la pensée logique, apprend à
utiliser des repères spatiaux et temporels pour structurer ses observations et son expérience.
En ce qui concerne les programmes, nous nous attacherons plus particulièrement à 5 grands thèmes
issus du domaine " Découvrir le Monde " : la découverte sensorielle, le repérage dans l’espace, le
temps qui passe, la découverte des formes et des grandeurs et l’approche des quantités et des
nombres. Nous verrons que ces thèmes sont directement liés à ce que nous allons étudier dans la
partie " pratique " de ce mémoire.
• La découverte sensorielle : pour qu’il puisse établir des connaissances, il importe
d’abord de guider l’enfant vers une toute première analyse de son environnement
fondée sur la mise en ordre des perceptions qu’il reçoit. C’est par l’usage de ses sens
que l’enfant reconnaît les objets et les événements qu’il perçoit. L’aider à mieux
découvrir le monde, c’est donc enrichir et développer ses aptitudes sensorielles, lui
permettre de s’en servir pour distinguer des réalités différentes, les classer ou les
ordonner, les décrire grâce au langage. Dans cette perspective, on lui propose entre
autre des situations mettant en jeu la reconnaissance des éléments du monde sonore et
leur reproduction.
• Le repérage dans l’espace : se repérer dans différents espaces, s’y déplacer avec ou
sans contraintes, représenter des objets localisés, coder un déplacement, utiliser les
23
marques spatiales du langage sont des compétences qui s’acquièrent tout au long de
l’école maternelle.
• Le temps qui passe : progressivement, l’enfant sépare les évènements des moments où
ils se produisent et parvient à ordonner des activités très différentes les unes des
autres, en fonction du moment où elles ont eu lieu. Cette organisation temporelle de
son activité se structure à partir du temps propre, celui de son énonciation, qui pose le
" maintenant " et distingue par rapport à cette origine " l’avant et l’après ".
• Découverte des formes et des grandeurs : parmi les activités quotidiennes, nombreuses
sont celles qui conduisent l’enfant à manipuler des objets de formes et de dimensions
variées. L’examen de leurs caractéristiques permet très rapidement de les classer. En
enrichissant les observations et en multipliant les comparaisons, l’enseignant amène
les enfants à mieux distinguer différents types de critères et à se livrer à des
classements, des rangements, des différenciations, des reproductions…
• Approche des quantités et du nombre : progressivement, dans les diverses occasions
offertes par la vie de la classe, l’enfant élargit l’éventail des procédures de résolution
en même temps qu’il s’approprie de nouveaux outils. A l’école maternelle, il s’agit de
donner du sens aux nombres par leur utilisation dans la résolution de problèmes
articulés avec des jeux, des situations vécues, mimées ou racontées oralement. Ces
problèmes sont choisis pour que les nombres apparaissent comme des outils efficaces
pour : comparer, repérer des positions dans une liste ordonnée d’objets, ordonner…
II.1.2. Sensibilité, imagination et création
Ce grand domaine s’appuie sur deux ensembles de pratiques artistiques mettant en jeu des
sollicitations sensorielles complémentaires : visuelles et tactiles pour « le regard et le geste »,
auditives et vocales pour « l’écoute et la voix ». Les domaines « Arts visuels » et « Education
musicale » leur font suite à l’école élémentaire.
Nous nous attacherons plus particulièrement ici à la partie « l’écoute et la voix ».
Très tôt, la voix et l’écoute apportent à l’enfant des moyens de communication et d’expression de
soi. Aussi, à l’école maternelle, les activités d’éducation musicale visent à constituer prioritairement
la voix et l’écoute comme instruments de l’intelligence sensible.
24
Les activités d’« écoute » visent prioritairement à développer la sensibilité, la discrimination et la
mémoire auditives. La mise en œuvre pédagogique s’organise autour de deux pôles :
• Les temps d’écoute répétés et intégrés à toute séance dirigée qui articule dans des
alternances et combinaisons variées : écouter, chanter, jouer, reproduire, évoluer,
inventer…
• Les temps d’écoute correspondant à des événements plus émotionnels et esthétiques :
écoute pour le plaisir et non précisément finalisée.
Au travers de l’éventail de ces moments très régulièrement offerts, l’enfant mémorise des formes
sonores, des segments particuliers, isole des sons, les compare, les reproduit, les identifie.
Au travers des variantes de timbre et d’intensité d’abord, de durée et de hauteur ensuite, l’enfant
apprend progressivement à caractériser ces éléments de base par la comparaison et, souvent, par
l’imitation vocale ou gestuelle.
Les moments d’écoute musicale peuvent également permettre aux enfants d’émettre des hypothèses
et parfois de les vérifier.
Tous les éléments musicaux agis, vécus, repérés, identifiés et réincorporés peuvent, dès lors, mieux
nourrir les activités d’expression, de symbolisation et de création, tout comme les capacités à
comprendre des univers musicaux nouveaux.
II.1.3. Ponts communs entre ces deux domaines
Si on compare les textes officiels concernant les deux grands domaines d’activités décrits
précédemment à l’école maternelle, on remarque de grandes similitudes quant aux nombreux verbes
d’action employés. Certains verbes sont même identiques et portent sur l’acquisition de notions bien
précises. Sans en donner une liste exhaustive, je souhaite en rappeler quelques-uns : comparer,
symboliser ou coder, caractériser, reproduire, identifier…
C’est justement sur ces aspects communs aux deux domaines que je vais diriger mes activités
pratiques de la seconde partie de ce mémoire.
25
II.2. L’Ecole Elémentaire
II.2.1. Les mathématiques
* En proposant une étude structurée des nombres, des formes, des grandeurs et des mesures, le
cycle 2 marque l’entrée véritable des élèves dans l’univers des mathématiques. La compréhension
des nombres, notamment de leur écriture chiffrée, et le calcul mental sous toutes ses formes
constituent les objectifs prioritaires. La maîtrise des relations spatiales est confortée en même temps
que sont précisées quelques propriétés géométriques qui permettent d’aller au-delà de la simple
reconnaissance perceptive des objets. Le travail sur les grandeurs se trouve enrichi par la possibilité
d’en exprimer la mesure à l’aide des nombres. La connaissance de la monnaie est assurée par son
utilisation dans les activités relatives à la numération et au calcul.
L’ensemble de ces apprentissages prend appui sur les expériences conduites à l’école maternelle et
sur les acquis auxquels elles ont donné lieu.
Elaborées comme des réponses efficaces à des problèmes, les premières notions mathématiques
sont identifiées, puis étudiées dans le but d’être utilisables pour résoudre de nouveaux problèmes.
Au cycle 2, l’usage des mots précède celui des symboles mathématiques : ils sont à la fois plus
proches du langage des élèves et plus à même d’exprimer le sens des notions. La mise en place
nécessaire d’un langage élaboré et du symbolisme conventionnel, spécifique aux mathématiques,
doit être réalisée avec prudence, à mesure qu’elle prend sens pour les élèves dont elle ne doit pas
freiner l’expression spontanée.
* Les connaissances et les savoir-faire développés au cycle 3 doivent contribuer au développement
d’une pensée rationnelle, à la formation du citoyen, et permettre de bénéficier au mieux de
l’enseignement donné au collège. Ce triple impératif concerne aussi bien les connaissances que
doivent acquérir les élèves que leur capacité à les mobiliser, de façon autonome, pour résoudre des
problèmes. La résolution de problèmes est au centre des activités mathématiques et permet de
donner leur signification à toutes les connaissances qui y sont travaillées.
Au travers de ces activités, le développement des capacités à chercher, abstraire, raisonner, prouver,
amorcé au cycle 2, se poursuit. Les élèves apprennent progressivement à formuler de manière plus
rigoureuse leurs raisonnements, s’essaient à l’argumentation et à l’exercice de la preuve.
Je ne vais pas faire ici la liste complète des compétences devant être acquises dans tous les
domaines mathématiques des cycles 2 et 3. Je me suis surtout là encore attachée à relever quelques
verbes d’action issus des compétences attendues en fin de cycle : comparer, repérer, coder, décrire,
reproduire, classer, ranger, différencier…
26
Force est de constater que la plupart des verbes cités dans cette liste sont identiques à ceux utilisés
pour décrire certaines compétences attendues en fin d’école maternelle. Il est évident que le travail
relatif à l’acquisition de ces notions sera beaucoup plus approfondi et spécifique au cycle 3 qu’au
cycle 1.
II.2.2. L’éducation artistique
L’éducation artistique développe l’aptitude à l’expression et le goût à la création ; elle favorise
l’épanouissement de l’autonomie et de la personnalité de l’élève ; elle permet de mieux équilibrer
les diverses formes d’intelligence et de sensibilité.
Elle cultive des manières de penser et d’agir, devenues indispensables pour s’orienter dans les
sociétés contemporaines.
Les démarches d’enseignement artistique valorisent les liens interdisciplinaires et, en retour, elles
donnent accès aux formes symboliques élaborées qui sont la clé de nombreux savoirs étudiés à
l’école.
Nous allons nous intéresser plus particulièrement à un domaine de cette éducation artistique qui est
le domaine de l’« éducation musicale ». Nous nous pencherons plus précisément sur les textes
officiels concernant la partie « écoute ».
L’écoute est une phase importante de la démarche didactique : elle s’articule avec la production et
l’intention.
*Au cycle 2, elle se réalise essentiellement dans l’audition des essais et des reprises successives et
vise à améliorer les productions. Elle contribue, par sa fréquence, à stabiliser et renforcer les
habitudes et l’acuité auditives nécessaires à la concentration et à la mémorisation des œuvres. Elle
concerne l’écoute de soi comme l’écoute des autres. L’écoute d’œuvres musicales vient compléter
cette première approche. C’est un moyen indispensable pour découvrir la diversité de l’expression
musicale. Ainsi l’élève affirme peu à peu ses goûts propres et se dote de nouvelles références pour
accéder au patrimoine culturel. Il repère des éléments saillants qu’il met en relation avec ceux des
chansons qu’il interprète. Il identifie des climats particuliers, des univers contrastés, les qualifie
selon sa propre sensibilité, les discute ensuite. Il repère instruments, timbres, motifs… Il commence
à différencier la chaîne des évènements successifs et celle des éléments simultanés. Il prend
conscience ainsi que toute la musique peut être source de plaisir, voire de rejet, mais demeure
toujours objet de curiosité et matière à découvertes infinies. Par ailleurs, l’écoute de morceaux ou
œuvres interprétés en direct à l’école apporte au travail conduit en classe une dimension et des
27
compléments irremplaçables. Les perceptions deviennent plus précises et marquantes lorsqu’on voit
qui joue, à quel moment, de quelle façon.
*Au cycle 3, l’écoute est à ce niveau encore un temps indispensable de la démarche qui fait se
succéder écoute, production, nouvelle écoute, invention. Elle se développe et devient plus
analytique et plus opératoire. L’élève devient capable de distinguer, comme de mémoriser,
l’organisation des éléments dans leur ordre mais aussi dans leur superposition. Il commence à faire
des aller-retour volontaires entre différents plans sonores. Le recours au codage et à la partition
devient un guide utile. Le langage va permettre maintenant à l’élève de justifier ses choix, ses goûts,
de les faire partager, d’inscrire ainsi des références dans sa mémoire à long terme.
II.2.3. Compétences croisées des deux disciplines
Il est aisé de remarquer que, comme à l’école maternelle, nous trouvons dans la description
officielle des 2 disciplines des termes communs.
Je souhaite présenter un tableau mettant en relation les compétences spécifiques liées à chaque sous
domaine des mathématiques et de l’éducation musicale à l’école élémentaire. Ce tableau montrera
beaucoup mieux que de longues phrases les liens étroits unissant les deux disciplines.
28
Musique Réalisation de projets
Pratiques
instrumentales
Ecoute Voix et chants
Mathématiques Ex
prim
er so
n ap
préc
iatio
n
Réi
nves
tir se
s acq
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Jeux
ryth
miq
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Acc
ompa
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Trav
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Jeux
voc
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Utilisation de ses connaissances
☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺
☺
Elaboration d’un raisonnement
☺ ☺ ☺ ☺
☺
Organisation ☺
Exploitation de données numériques
Interprétation critique
☺
☺ ☺ ☺ ☺
Lecture et écriture de grands nombres
Comparaison et rangement
☺
Compréhension de la numération décimale
Connaissance des nombres entiers naturels
Maîtrise des relations entre les nombres
☺
☺
Compréhension de l’écriture fractionnaire
Mise en relation avec l’écriture décimale
☺
Connaissance des fractions simples et des nombres décimaux
Comparaison, rangement, encadrement
☺
Fourniture d’un résultat ☺
Explication et analyse de son raisonnement
☺ ☺ ☺
Mémorisation ☺
☺ ☺
☺
Calcul
Connaissance des techniques opératoires
Orientation dans l’espace, repérage
☺
☺ ☺
☺
Repérage sur un quadrillage
☺
☺
Utilisation des plans et des cartes
☺
Relations géométriques ☺
☺
Utilisation de techniques
☺
Espace et Géométrie
Figures planes et solides
Résolution de problèmes concrets
☺ ☺ ☺ ☺
Classement, rangement
Calcul de la durée entre deux instants
☺
Grandeurs et Mesure
Repérage de temps et de durée
☺ ☺ ☺
☺ ☺
☺
☺ ☺
29
2ème partie : Des activités musicales au service des apprentissages fondamentaux
Activités menées en classe
Les activités que je vais décrire ont été menées dans deux classes différentes :
* La première était une classe de Moyens/Grands (cycles I et II) à l’école maternelle Joffre
de Dijon où j’ai effectué mon premier stage en responsabilité (R1) au mois de décembre 2004.
Comme la durée du stage ne m’avait pas permis de terminer toutes les activités que j’avais
préparées, l’enseignante titulaire de la classe, Madame Anne Cosset, m’a permis de poursuivre mes
travaux. J’ai ainsi pu terminer ce qui avait été prévu avec cette classe d’appui pendant les mois de
janvier et février 2005. La classe comptait 22 élèves (10 MS et 12 GS).
* La seconde était une classe de CM1/CM2 (cycle III) à l’école élémentaire de Messigny-et-
Vantoux où j’ai effectué mon deuxième stage en responsabilité (R2) au mois de mars 2005. Toutes
les activités ont été réalisées lors du stage. La classe comptait également 22 élèves (5 CM1 et 17
CM2).
Les activités que j’ai proposées à ces deux classes étaient bien évidemment différentes mais avaient
des objectifs identiques à savoir : la reconnaissance auditive de sons, de bruits ou de timbres, leur
identification, leur codage oral, gestuel et écrit ainsi que l’étude de leur chronologie.
Je rappellerai ici trois définitions :
- Un son est une sensation auditive engendrée par une onde acoustique,
- Un bruit est un ensemble de sons produits par des vibrations, perceptibles par l’ouïe,
- Un timbre est une qualité particulière du son, indépendante de sa hauteur ou de son
intensité, mais spécifique de l’instrument, de la voix qui l’émet.
I. Travail réalisé à l’école maternelle
I.1. Reconnaître des sons ou des bruits sans aucun indice visuel et réaliser un codage gestuel
Ces activités ont été réalisées lors de deux séances qui se sont déroulées en salle de motricité.
30
Le support que j’ai utilisé est le CD n°1 de sons et de bruits contenu dans un coffret ayant pour
titre : « Le son à la carte » de C. Chapgier-Laboissière (Collection "L’œil à l’écoute", Editions J.M.
Fuzeau). Dans ce CD, je ne me suis servie que des sons et bruits de la série "C".
Ce coffret contient également des petites fiches cartonnées illustrant les différents sons et bruits
présentés, mais je ne les ai pas utilisées.
La série "C" présente 4 plages différentes (n° 12, 13, 14 et 15). Chaque plage possède chacune dix
sons et bruits. Ces sons et ces bruits sont identiques sur chaque plage mais présentés dans des ordres
différents.
Pour la suite de ce chapitre et pour des raisons pratiques, je n’utiliserai que le mot bruit pour parler
de sons ou de bruits.
I.1.1. Première séance
Situation de départ : les enfants sont rassemblés et assis par terre. Nous allons travailler
collectivement sur l’écoute d’un extrait de bruits.
Ils ont pour consigne d’écouter une première fois attentivement et silencieusement un extrait
proposant une succession de bruits différents. Cette première consigne ne leur pose aucun problème
et ils se prennent très bien au jeu. L’objectif est que chaque élève puisse bien entendre les bruits
proposés, qu’il commence à les différencier et à se les approprier.
En restant dans la même position, les enfants écoutent une seconde fois le même extrait. Cette fois-
ci, ils ont pour consigne de lever la main s’ils reconnaissent un bruit. Chaque passage relatif à un
même bruit est relativement long (environ 20 secondes). Ceci donne le temps à tous les enfants de
bien s’imprégner de chaque bruit afin de pouvoir ensuite lui donner un "nom". A la fin de chaque
passage, j’arrête l’enregistrement et j’interroge quelques élèves pour savoir ce qu’ils ont cru
reconnaître. Ce moment est également un moment d’échanges et de confrontations. Chaque bruit
donne lieu à un codage oral accepté par une majorité d’élèves. Les enfants identifient ainsi 10 bruits
différents : une moto, l’orage, des voitures, des cloches, des vagues, un tracteur, un avion, un
ruisseau, un train et enfin une horloge.
Situation de réinvestissement : les enfants restent dans la même position et écoutent un nouvel
extrait qui présente les bruits identifiés et codés précédemment mais dans un ordre différent. Le
travail est toujours collectif.
La consigne reste la même : l’écoute doit se faire silencieusement et chaque fois qu’un bruit est
reconnu, les élèves doivent lever le doigt et je les interroge individuellement. La validation de
chaque réponse se fait de manière collective (autoévaluation par les élèves eux-mêmes).
31
Les bruits sont reconnus et nommés par une grande majorité des élèves.
Situation d’activités motrices liées à la reconnaissance auditive ou " codage gestuel " : les élèves se
mettent à présent debout. Je les répartis en 4 groupes homogènes (moyens/grands, garçons/filles).
Chaque groupe se met d’accord sur le choix d’un bruit qu’il devra reconnaître et pour lequel il
devra adopter un comportement gestuel imposé (dans ce cas, ce sera marcher). Je propose aux
quatre groupes un nouvel extrait où les différents bruits sont proposés dans un ordre encore
différent. La consigne est désormais la suivante : «Vous restez en groupe et immobile. Lorsque
vous reconnaissez le bruit choisi, vous marchez. Tout le groupe marche ensemble tant qu’il entend
le bruit. Quand le bruit s’arrête, tous les enfants du groupe s’arrêtent également de marcher et le
groupe reste immobile en attendant la fin de l’extrait proposé ».
Cet exercice pose d’avantages de problèmes aux enfants. Nous serons obligés de le recommencer
deux fois afin d’obtenir un résultat correct à savoir quatre groupes qui évoluent de façon
synchronisée et à quatre moments bien distincts de l’extrait.
Analyse de cette première séance : les élèves ont travaillé de façon collective pendant toute cette
première séance. Les deux premières situations leur ont permis d’identifier des bruits et de les
nommer. Les différents extraits proposés ont permis aux élèves bien évidemment de faire un travail
d’écoute "musicale" mais également d’aborder de façon plus ou moins consciente certaines notions
mathématiques telles que :
• la comparaison : notions de bruits identiques et de bruits différents (même que,
différent de…),
• le repérage d’éléments connus (bruits) dans l’espace et dans le temps,
• l’ordre chronologique : succession des différents bruits dans un ordre donné. C’est une
structuration linéaire de la pensée identique à celle que l’on utilise dans les réflexions
mathématiques.
La dernière situation de codage gestuel est également une situation très proche d’une démarche
mathématique car elle met en œuvre un processus de transformation : nous avons ici une
transformation " oreille → geste ".
La déroulement de cette séance a été très positif mais ne m’a pas satisfaite totalement car il n’a mis
en œuvre qu’un travail collectif de la part des élèves. Je n’ai donc pas pu évaluer le résultat du
travail proposé sur chaque enfant. C’est pour cette raison que nous allons reprendre certaines de ces
notions mais de façon individuelle dans la deuxième séance.
32
I.1.2. Seconde séance
Les élèves sont regroupés et assis par terre. La séance commence par un rappel collectif de ce qui
avait été fait à la séance précédente. Les enfants gardent globalement de bons souvenirs du travail
réalisé.
Afin de réactiver les mécanismes de différenciation des différents bruits ainsi que leur codage oral,
je fais entendre aux élèves un extrait présenté la dernière fois. Cette écoute doit se faire dans le
silence pour permettre à tous les enfants de bien centrer leur attention sur les bruits présentés.
C’est ensuite de façon collective que nous faisons l’inventaire de tous les bruits entendus. Les
élèves retrouvent facilement les 10 bruits différents ainsi que ce qu’ils représentent.
Nous passons alors directement à une situation de codage gestuel individuel.
Les élèves se mettent debout et chacun choisit le bruit sur lequel il va évoluer pendant l’écoute d’un
nouvel extrait. Je note sur une feuille les dix bruits ainsi que les prénoms des élèves se rapportant au
bruit choisi. Ainsi, je pourrai évaluer la réaction de chaque élève face à l’audition.
La consigne est cette fois quelque peu différente de la séance précédente. Je demande aux enfants
de se répartir dans toute la salle et de rester immobile. Quand ils entendent le bruit qu’ils ont choisi,
ils bougent et font les gestes qu’ils désirent et qui leur sont inspirés par le bruit entendu. Cette
consigne est formulée plusieurs fois et reprise par certains élèves. Je souhaite ainsi m’assurer de sa
bonne compréhension.
Pendant l’écoute de l’extrait de bruits, j’observe attentivement le comportement gestuel de chaque
élève et j’apprécie leur performance grâce à la prise de quelques notes. Je remarque rapidement que
cet exercice est difficile pour certains élèves. Deux écoutes seront nécessaires afin d’obtenir un
résultat correct pour la majorité des enfants.
Analyse de cette séance : l’activité proposée illustre bien de façon individuelle le déclenchement
d’un comportement gestuel lié à l’écoute d’un évènement sonore. Je peux donc conclure que la
plupart des enfants ont pu effectuer relativement précisément la transformation demandée. Ils ont
donc été capables d’entrer dans un processus mathématique sans vraiment y porter attention.
Si j’avais eu le temps de poursuivre avec d’autres exercices, j’aurais pu imposer la reconnaissance
d’un bruit donné à chaque enfant. J’aurais ainsi pu m’assurer de l’identification et du codage de
plusieurs bruits par élève.
33
I.2. Identification de bruits et codage écrit
Ce travail a été réalisé lors d’une troisième séance. J’avais préparé pour l’occasion 24 pots de
yaourts identiques, de poids égal et tous fermés de la même façon (cf photo n°1 de l’annexe n°1).
Ces pots avaient été vidés, nettoyés et remplis avec 6 contenus différents : du blé, du sucre, des
objets métalliques, des pâtes, des billes et des petites cartes de loto (cf photo n°2 de l’annexe n°1).
Nous avions donc pour chaque contenu 4 pots identiques.
I.2.1. Situation de départ et codage oral
Les élèves sont assis sur les bancs du coin "regroupement". Je leur présente collectivement les 24
pots identiques mélangés et posés sur une petite table. Les consignes sont les mêmes que lors des
deux premières séances : les enfants doivent écouter attentivement et silencieusement les bruits que
je vais faire en secouant les pots un par un. L’objectif est là encore de s’approprier des bruits, de les
différencier et de leur donner un nom. Nous repartons donc avec le même type d’exercice que la
première séance mais avec un matériel différent. Après avoir secoué chacun des 24 pots, je
demande aux élèves ce qu’ils ont entendu.
Tous sont d’accord pour dire que les pots ne sont pas tous identiques. Je leur demande alors s’ils
sont tous différents. Une fois encore, tous les enfants ont distingué des pots qui faisaient le même
bruit. Je leur demande enfin combien il y a de pots différents. Là, les choses se compliquent et
seulement deux élèves me disent avoir reconnu 6 bruits différents.
Nous poursuivons donc cette séance par le codage oral de chaque pot. L’objectif est d’aider les
élèves à différencier les pots de yaourt à l’aide du langage oral.
Pour cela, je reprends les pots un par un, je les secoue et les élèves essayent de trouver ce qu’il
pourrait bien y avoir à l’intérieur.
Cet exercice permet les échanges et les confrontations puisqu’il est toujours réalisé collectivement.
Il est difficile de trouver le contenu exact de chaque pot, mais les enfants proposent des contenus
relativement proches des contenus réels. A chaque pot, après la phase de recherche, je donne la
solution, c'est-à-dire ce avec quoi j’ai précisément rempli les pots. Cet exercice permet à une grande
majorité d’enfants de bien distinguer la présence de 6 contenus différents.
Je poursuis alors avec un autre exercice qui vise à appliquer collectivement ce qui a été vu : je
secoue un pot au hasard et les élèves qui ont reconnu le contenu du pot lèvent le doigt. Je les
interroge et je remarque que les résultats sont surprenants. Les élèves arrivent pratiquement tous à
reconnaître les différents contenus et à les nommer.
34
Les notions mathématiques abordées lors de cet exercice sont bien évidement les mêmes que la
première séance.
Je passe enfin à une phase de réinvestissement individuel. Pour ce faire, j’isole 2 paquets de 6 pots
différents sur la petite table et chaque élève passe vers moi. Il prend et secoue un pot dans le
premier paquet, essaie de le nommer et doit ensuite retrouver le pot identique dans le second paquet.
L’évaluation de cet exercice se fait par l’ensemble de la classe. Chaque élève entre ici dans un
processus mathématique de comparaison par l’écoute.
I.2.2. Classement et codage écrit
Je poursuis cette séance avec un nouvel exercice qui vise à introduire une nouvelle notion
mathématique : le classement. Les élèves prennent au hasard un pot parmi les 24. Ils doivent se
déplacer dans la classe, secouer leur pot et trouver le ou les camarades qui possèdent un pot
identique. Cet exercice n’est pas très facile car les enfants font tous beaucoup de bruits en même
temps et il est difficile de se concentrer sur un bruit en particulier. Le résultat est très satisfaisant car
au final, tous les pots identiques sont rassemblés. Les élèves ont donc su classer les pots et
appliquer des relations d’équivalence.
Je termine cette séance en demandant aux enfants de coder par écrit cette notion d’équivalence.
Pour ce faire, les enfants sont assis chacun à une table et repartis en 6 groupes. Chaque enfant
possède une feuille de papier blanc et un crayon de papier. La consigne est la suivante : chaque
groupe doit donner une représentation graphique d’un contenu de pot de yaourt. Chaque groupe se
met d’accord sur le contenu qu’il veut représenter, en sachant qu’il doit être différent pour les 6
groupes. Une fois le choix réalisé, chaque enfant travaille individuellement et essaie de représenter
le contenu choisi par le groupe à savoir du blé, du sucre, des objets métalliques, des pâtes, des cartes
de loto ou des billes. Après avoir terminé leur propre dessin, les enfants de chaque groupe mettent
en commun leurs productions et en choisissent une qui sera la représentation adoptée pour la classe
entière. Ce code permettra donc une identification du contenu par chacun.
Les résultats sont présentés ci-après.
35
La séance s’achève après un regroupement et une mise en commun des différentes représentations
choisies.
I.2.3. Analyse de cette séance
Par ce travail d’écoute, les élèves ont réalisé un travail mathématique qui est la symbolisation de la
notion d’équivalence. Cette séance s’est déroulée comme je l’avais souhaitée. J’ai néanmoins
remarqué qu’il aurait été plus productif que toute la première partie de cette séance se fasse
individuellement. Les élèves auraient ainsi beaucoup plus rapidement pu différencier et s’approprier
les différents bruits. Le seul problème inhérent à cette situation est qu’il aurait fallu confectionner 6
pots différents par élève, c'est-à-dire 132 pots.
I.3. Réinvestissement des notions travaillées dans deux exercices d’application
Ces exercices sont proposés aux élèves lors d’une quatrième séance. Ils ont pour but de faire
travailler aux enfants des notions mathématiques fondamentales sans que ces derniers s’en rendent
compte.
Cette séance débute par un regroupement et un rappel collectif de ce qui a été réalisé la séance
précédente. On écoute les 6 différents bruits identifiés et on regarde tous ensemble une affiche que
j’ai réalisée avec les différents codes produits et choisis par les élèves la dernière fois (cette affiche
est représentée en annexe n°2). Une phase de questionnement collectif est nécessaire à la
remémoration des différents codes et à leur correspondance. J’ai ajouté aux différents symboles une
légende écrite indiquant le mot correspondant au contenu (blé, sucre…).
Sucre Cartes de loto Billes
Clous Pâtes Blé
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Pour réactiver les différents mécanismes (différenciation, repérage, codage…), j’ai reproduit sur des
petites étiquettes autocollantes les différents symboles choisis et nous reprenons chaque pot afin de
lui appliquer l’étiquette correspondante. Nous étiquetons ainsi les 24 pots.
Une fois ce travail réalisé collectivement, je répartis les élèves en 4 groupes à qui je donne un lot de
6 pots différents et étiquetés. Les enfants peuvent les manipuler librement. Cette phase, d’une durée
de 5 minutes environ, a pour objectif de se réapproprier individuellement le code correspondant à
chaque bruit.
I.3.1. Premier exercice Je retire alors les étiquettes de tous les pots qui redeviennent ainsi totalement identiques. Les élèves
sont toujours répartis en quatre groupes et possèdent toujours un lot de 6 pots différents mais non
étiquetés. Je distribue à chaque groupe une affiche représentant une suite de 4 symboles. Les
affiches sont différentes pour les quatre groupes. Elles représentent chacune une "partition de
musique". Ces quatre partitions se trouvent sur l’annexe n°3. Les élèves du même groupe doivent
retrouver les pots correspondant à chaque symbole représenté. Ils doivent ensuite secouer les pots
dans l’ordre indiqué par la partition. Chaque pot est secoué une fois et on obtient ainsi une
succession de quatre bruits joués par les enfants. Le travail de recherche se fait au sein du groupe et
quand tous les enfants sont d’accord, ils m’appellent pour la validation de leur présentation.
Une fois que tous les groupes ont mis au point leur enchaînement, chaque groupe présente son
travail à toute la classe. La validation de l’exercice se fait là encore par la classe entière.
I.3.2. Second exercice
Nous passons au second exercice. L’objectif principal est toujours d’utiliser la musique comme
vecteur d’apprentissage de notions mathématiques, mais j’aurai en plus ici la possibilité d’évaluer
individuellement les élèves.
Tous les élèves sont assis à leur table. Je leur ai distribué une feuille (représentant un tableau avec 3
colonnes et trois lignes : cf annexe n°4) et une planche d’étiquettes autocollantes comprenant
plusieurs exemplaires des 6 symboles étudiés (cf annexe n°5). Je cache les pots derrière le meuble
de la bibliothèque afin que les enfants ne possèdent aucun indice visuel.
L’exercice devait au départ se dérouler en trois phases (d’où les trois lignes du tableau). Je n’aurai
finalement le temps de n’en faire que deux :
• la première va consister en l’écoute de trois bruits. Je vais secouer un premier pot. Les
enfants vont essayer de retrouver l’autocollant correspondant sur leur planche et le
37
coller dans la 1ère ligne / 1ère colonne de leur tableau. Une fois le premier bruit trouvé,
je procède de façon identique pour deux autres bruits. Les enfants remplissent ainsi la
première ligne de leur tableau,
• la seconde va présenter 3 bruits mais présentés selon un enchaînement, c'est-à-dire les
uns après les autres sans coupure. Les enfants auront donc en plus de la première phase
à mémoriser l’enchaînement. Ils devront donc trouver simultanément les trois
autocollants correspondant aux bruits entendus puis coller les symboles dans l’ordre
sur la seconde ligne de leur tableau. Je leur présente l’enchaînement trois fois bien
distinctes. Pendant ce temps, ils ont pour consigne de ne rien faire d’autre qu’écouter.
Ce n’est qu’à la fin de la troisième écoute qu’ils pourront essayer de reproduire ce
qu’ils ont entendu.
Ce second exercice a été réalisé par 22 élèves : 12 GS et 10 MS.
Une fois l’exercice terminé, nous faisons une correction collective des deux premières lignes.
• Les résultats de la première phase sont les suivants :
*5 élèves trouvent les 3 symboles entendus, c'est-à-dire " sucre-blé-cartes de loto ". Sur ces
5 élèves, 2 sont en GS et 3 sont en MS. Leurs résultats sont présentés sur l’annexe n°6.
*4 élèves (3 GS et 1 MS) trouvent 2 symboles sur les 3 présentés, en ayant confondu le bruit
du blé avec celui des pâtes. Ils ont donc trouvé l’enchaînement suivant : " sucre-pâtes-cartes de
loto ". Leurs productions sont présentées sur l’annexe n°7. Cette confusion est certainement liée au
fait que les bruits produits par les grains de blé et les pâtes sont relativement proches.
*3 élèves (3 GS) trouvent également 2 des 3 bruits entendus, mais en ayant cette fois
confondu le bruit produit par les cartes de loto et celui produit par les billes. Le résultat de cette
écoute donne donc : " sucre-blé-billes ". Nous retrouvons ces résultats en annexe n°8.
*2 élèves (1 GS et 1 MS) trouvent encore 2 des trois bruits, mais en ayant cette fois
confondu le blé avec les objets métalliques. Leurs productions se trouvent sur l’annexe n°9.
*2 élèves (1 GS et 1 MS) enfin trouvent aussi 2 des 3 symboles mais ils ont cette fois
confondu le bruit du blé avec celui du sucre. Leurs travaux sont présentés sur l’annexe n°10.
*6 élèves (2 GS et 4 MS) ne trouvent que le premier symbole qui est le sucre. Il est
important de noter que sur ces 6 élèves, 4 ont trouvé en second symbole les pâtes. Les résultats sont
sur l’annexe n°11.
Je souhaite ajouter que cet exercice ne posait aucun problème de chronologie : les bruits étaient
entendus et représentés les uns après les autres.
38
• La seconde phase de l’exercice a posé plus de problèmes aux élèves et les résultats sont moins
bons que ceux de la première phase. Il est vrai que les élèves devaient mémoriser, en plus des trois
bruits présentés, leur enchaînement. Cet exercice est difficile pour des élèves d’école maternelle.
Quatre enfants (Cécile, MS, Maxime, Léa et Angèle, GS) ont néanmoins trouvé et reproduit le bon
enchaînement qui était : " clous-sucre-billes ". Les productions de tous les élèves se trouvent dans
les mêmes annexes que celles de la première phase, mais sur la 2ème ligne de chaque tableau. Une
autre élève a également trouvé les 3 symboles mais les a reproduits dans le mauvais ordre (Aurore,
GS). Une majorité des enfants (6 GS et 7 MS) n’a retrouvé que 2 des 3 bruits entendus. Ces treize
élèves n’ont pas non plus retrouvé l’ordre de ces 2 bruits. Trois élèves (2 GS et 1 MS) ne
reconnaissent que le sucre et une élève de MS ne retrouve aucun des symboles présentés.
I.3.3. Analyse de cette séance
Le premier exercice réalisé en groupe donne un très bon résultat et tous les élèves prennent
beaucoup de plaisir à le réaliser. Le second exercice, individuel cette fois ci, pose d’avantage de
problèmes aux enfants. Seuls 2 élèves sur 22 réussissent à la fois les 2 phases (Cécile, MS, et
Maxime, GS). Les résultats montrent que les élèves plus petits (MS) réussissent pratiquement aussi
bien que les plus grands (GS).
Si j’avais à recommencer ce second exercice, je crois que je ne recommencerais pas la seconde
phase qui n’est pas formatrice pour la plupart des élèves. Je ferais par contre plusieurs fois la
première phase en changeant à chaque fois les bruits utilisés. Je pense que cela permettrait aux
enfants de travailler beaucoup plus efficacement les notions mathématiques utilisées.
II. Travail réalisé à l’école élémentaire
II.1. Identification de timbres sans aucun indice visuel
C’est maintenant avec une classe de CM1/CM2 que je vais travailler. Je souhaite garder les mêmes
objectifs qu’avec la classe de MS/GS, c'est-à-dire faire pratiquer aux enfants des mathématiques par
l’intermédiaire de la musique.
Je souhaite également réaliser des travaux abordant les mêmes notions mathématiques que celles
travaillées avec les plus petits, c'est-à-dire l’identification et le codage, le repérage d’éléments
connus, leur comparaison, leur classement, leur rangement dans un ordre précis…
39
Pour ce faire, je vais utiliser, avec les élèves du cycle 3, un support différent de celui utilisé à
l’école maternelle : il faut en effet adopter un niveau de difficultés en rapport avec le niveau des
élèves.
Mon choix s’est porté vers un extrait d’une grande œuvre théâtrale " Le roi David " (1921), dans
laquelle la musique du compositeur Arthur HONEGGER accompagnait certains mouvements et
certains passages expressifs du texte de René Morax. La pièce du poète suisse racontait, d’après la
Bible, l’histoire du berger David devenu roi d’Israël.
L’extrait présenté aux élèves a pour titre " Cortège du roi David ". Il illustre le cortège des guerriers
qui reviennent de la bataille au cours de laquelle le jeune berger David a tué le géant Goliath et a
ainsi donné la victoire à son peuple sur les Philistins. On imagine donc un cortège un peu lourd
mais joyeux, et des soldats acclamés par la foule.
Cet extrait se trouve dans le volume n°11 (CD 2, plage 13) de « Danse, Ecoute et Chante » et a une
durée de 1’06.
Les élèves sont regroupés et assis par terre dans une petite salle polyvalente. Ils ont pour consigne
de départ l’écoute silencieuse et attentive d’un extrait musical. L’œuvre dont est issu cet extrait
n’est pas présentée auparavant : les élèves ne savent pas ce qu’ils vont entendre.
II.1.1. Les différents timbres
Après deux écoutes successives, je recueille collectivement les réactions spontanées des élèves. En
voici quelques-unes :
- Adrien : « C’est une musique de guerre »,
- Grégoire : « On dirait la fin d’une guerre »,
- Antoine : « C’est comme un tournoi au Moyen-âge »,
- Camille : « J’imagine l’arrivée de quelqu’un d’important ».
Ces quatre premières réflexions concernent le contexte et l’ambiance de l’extrait. D’autres élèves
poursuivent :
- Corentin : « On entend plusieurs trompettes »,
- Thibaut : « J’ai reconnu un cor »,
- Emile : « Et moi un Trombone ».
Je demande alors aux enfants s’ils savent à quelle grande famille d’instruments de musique
correspondent les trois instruments cités. La plupart des élèves savaient qu’il s’agissait
d’instruments à vent. Deux autres élèves ajoutent :
- Jules : « J’ai aussi entendu un piano »,
- Alexis : « Et moi un autre instrument qui faisait " boom, boom " ».
40
Après débats et argumentations au sein de la classe entière, les enfants sont d’accord pour dire que
les deux instruments qui font " boom, boom " sont d’une part un piano et d’autre part une
contrebasse. Il est encore une fois relativement simple pour eux d’ajouter que ces deux instruments
de musique font partie d’une grande famille qui est celle des instruments à cordes.
Tout a pratiquement été dit lors de cette première phase d’écoute : les différents instruments de
musique ont été identifiés (je n’ai fait qu’ajouter que le cor était un cor particulier à savoir un cor
d’harmonie), et le contexte musical n’a également pas échappé aux enfants.
Après un résumé collectif de tout ce qui avait été trouvé concernant le passage écouté, je lis aux
élèves le contexte réel de l’extrait entendu, je leur note au tableau le nom du compositeur et je leur
présente des photos des différents instruments de musique entendus :
.
Trombone à coulisse Cor d’harmonie Trompette
Contrebasse Piano
II.1.2. S’approprier tous les timbres identifiés
Nous allons procéder en deux phases distinctes.
1/ La première phase correspond à l’imprégnation et à l’appropriation des timbres des deux
instruments à cordes.
La consigne est cette fois plus précise : les enfants doivent concentrer leur attention sur les " boom,
boom ". Ils doivent retrouver précisément quels sont les instruments concernés et à quels moments
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respectifs ils interviennent dans le morceau musical (début, milieu, fin…). Nous entamons alors une
troisième écoute.
Une fois encore, une grande majorité des élèves arrive bien à différencier le piano et la contrebasse.
Ils remarquent que ces deux instruments jouent dans les graves et ce, tout au long de l’extrait
proposé.
A ce moment de la séance, j’en profite pour introduire et expliquer aux élèves les notions musicales
de pulsation et d’ostinato.
2/ La seconde phase d’écoute nous permettra de faire le point sur les instruments à vent.
La consigne est cette fois d’essayer de trouver combien il y a d’instruments à vent et si ces
différents instruments jouent dans les graves ou dans les aigus (cette notion est connue et maîtrisée
des élèves).
Deux écoutes seront ici nécessaires pour dire que :
• Deux trompettes jouent dans les aigus,
• Un cor d’harmonie joue également dans les aigus,
• Un trombone joue dans les graves.
II.1.3. Analyse de cette séance Les élèves ont effectué un remarquable travail d’identification, de repérage et de classement des
différents timbres entendus. Le codage oral (nom des instruments) a été établi rapidement et de
façon relativement précise. Il reste à travailler l’ordre et l’enchaînement de tous ces timbres.
Le problème majeur engendré par cette première séance (effectuée de façon collective) est que je
n’ai pas pu évaluer individuellement l’appropriation des différents timbres. Je veillerai donc à ce
que les séances suivantes fassent intervenir chaque élève de façon plus individuelle.
II.2. Reconnaître des timbres et réaliser un codage gestuel
II.2.1. Production collective au sein d’un groupe
Ce premier exercice a été réalisé lors d’une seconde séance. Il va se dérouler en deux phases bien
distinctes.
• La première phase est une phase de rappel. Les élèves sont assis et réécoutent 2 fois
l’extrait musical présenté la séance précédente. Ils doivent tous être capables d’identifier et de
42
nommer les différents timbres entendus. L’écoute est évidemment collective mais les questions qui
suivent cette écoute sont posées individuellement.
Lors de la première écoute, les enfants ont pour consigne de porter toute leur attention sur l’ostinato
et les deux trompettes. Lors de la seconde écoute, ils doivent se concentrer sur le cor d’harmonie et
le trombone. Le but de ces exercices est de bien se réapproprier les différents timbres afin de s’en
servir pour la production demandée lors de la seconde phase.
• Je forme ensuite quatre groupes homogènes (CM1/CM2, filles/garçons). Les élèves se
lèvent et les quatre groupes se répartissent dans la salle. Les élèves d’un même groupe restent
groupés. Trois groupes doivent choisir chacun un des trois instruments à représenter (à savoir
trompettes, cor ou trombone) et un groupe doit représenter l’ostinato (comme le piano et la
contrebasse évoluent de façon synchronisée lors de l’extrait, il est plus simple pour l’organisation
de l’exercice de ne le faire représenter que par un seul groupe). Quand tous les élèves sont d’accord
et que chacun a bien compris le timbre qu’il représente, je donne la consigne.
Chaque groupe d’élèves doit, quand il entend le ou les timbres qu’il représente, marcher puis
s’arrêter quand le ou les timbres cessent. Je leur donne comme indice que tous les groupes ne vont
pas forcément marcher en même temps.
La première production des élèves est un peu anarchique et mal synchronisée. En effet, il est
évident de remarquer que le début de l’extrait est assez facile à coder gestuellement (les groupes
n’évoluant pas ensemble). Quand tous les instruments jouent ensemble et que les différents groupes
doivent se mettre à marcher, tout se complique. Le résultat sera néanmoins plus que satisfaisant lors
d’un second essai.
A la fin de la deuxième production, j’engage une réflexion sur l’ordre dans lequel les groupes se
sont déplacés. Les enfants sont tous d’accord pour dire que tous les instruments jouent ensemble à
la fin de l’extrait. L’ordre d’intervention des différents instruments les uns par rapport aux autres
reste encore un peu flou.
II.2.2. Production individuelle au sein d’un groupe
Nous terminerons cette seconde séance par des productions individuelles au sein d’un groupe de
quatre. Les élèves se mettent donc par quatre. Dans chaque groupe, un élève choisit de représenter
la trompette, l’autre le cor, l’autre le trombone et le dernier, l’ostinato.
Le jour de cette séance, la classe comptait 20 élèves. Nous avons donc fait 5 groupes de 4 élèves.
Chaque groupe a présenté gestuellement les interventions respectives des différents instruments
pendant la totalité de l’extrait musical et ceci devant le reste de la classe. J’ai ainsi pu juger de la
bonne imprégnation de certains timbres chez chaque enfant.
43
II.2.3. Analyse de cette séance
Petit à petit, grâce à tous les exercices proposés, chaque élève met en œuvre un processus de
structuration linéaire de sa mémoire (exercice mathématique). Cela lui permet de bien identifier ce
qu’il entend et de l’ordonner d’une façon bien précise afin de pouvoir en donner une représentation
la plus exacte possible dans le temps et dans l’espace.
Je remarque que chaque enfant a choisi ce qu’il voulait représenter de façon individuelle. Il aurait
été également judicieux d’imposer un timbre aux enfants afin de mieux évaluer encore leurs
compétences respectives.
Il reste enfin à voir si le principe de superposition des différents groupes d’instruments, lors du
déroulement de l’extrait musical, a été acquis par les enfants. En effet, les instruments ne jouent pas
tous la même chose et surtout à des moments différents. Cette capacité, loin d’être évidente pour
des élèves de cycle 3, va être évaluée lors de la seconde séance.
II.3. Synthèse des acquis et codage écrit
Nous réaliserons un dernier exercice par écrit lors de cette troisième et dernière séance.
II.3.1. Retour sur les acquis
Cette séance se déroule cette fois-ci dans la salle de classe. Les élèves sont assis chacun à leur table.
Comme à chaque début de séance, une réactivation des principes d’identification des différents
timbres est nécessaire. Pour cela, nous écoutons tous une fois très silencieusement l’extrait
" Cortège du roi David ".
Je présente ensuite oralement le travail que j’attends des élèves lors de cette séance et je leur
distribue une feuille comportant 2 graphiques qui seront à compléter (cf annexe n°12).
L’objectif final de cette séance est la production d’un code écrit ou " musicogramme " par élève. Un
" musicogramme " est la représentation graphique de l’ordre d’intervention des différents
instruments ainsi que de la durée de chaque intervention.
Je donne un exemple au tableau afin que chaque élève se rende compte visuellement du travail à
réaliser.
44
II.3.2. Codage écrit
Une fois que les consignes concernant le travail écrit sont comprises par tous, j’explique que nous
allons écouter 4 fois de suite l’extrait dans le silence le plus total. Je demande alors aux élèves
comment ils comptent procéder pour arriver à remplir les 4 lignes correspondant aux quatre groupes
d’instruments différents. Un débat et certaines confrontations entre élèves nous permettent
d’envisager plusieurs stratégies possibles, mais une semble se détacher des autres à savoir la
concentration sur un seul timbre par écoute (et non plusieurs timbres à la fois). Chaque élève est à
présent libre de s’organiser comme il le souhaite pour arriver à représenter graphiquement les
différentes interventions des instruments. Le premier graphique servira de brouillon et devra être
rempli au crayon de papier. Une fois les quatre écoutes terminées, les élèves devront recopier au
propre et en couleur leur production sur le second graphique.
Les écoutes successives se déroulent dans un très grand respect des consignes.
II.3.3. Analyse de cette séance
Le " musicogramme " correspondant à l’extrait étudié est le suivant :
Les résultats obtenus (sur 21 élèves) sont très satisfaisants et sont les suivants :
*16 ont trouvé les 3 interventions des 2 trompettes,
*8 ont bien entendu les 3 interventions du cor (qui étaient difficiles à distinguer),
*16 élèves ont représenté le passage concernant le trombone,
*21 élèves ont très justement trouvé la représentation continue du piano et de la contrebasse.
Comme les trois passages où le cor d’harmonie joue sont très difficiles à distinguer (la plupart des
élèves n’en ont trouvés que deux), il n’y a que cinq élèves qui ont réussi parfaitement cet exercice
(4 CM2 et 1 CM1).
45
Les annexes n°13 à 15 contiennent des travaux d’élèves. Ces travaux montrent la réussite de cet
exercice quant à la représentation des différents instruments de musique. Il faut également
remarquer que la représentation graphique par des durées respectives des différentes interventions
par les élèves reste quelque chose de compliqué. En effet, ils avaient à apprécier des durées relatives
les unes par rapport aux autres, mais également par rapport à la durée totale de l’extrait. Néanmoins
et comme le montrent les travaux proposés, les approximations sont plus que correctes.
Je terminerai par quelques commentaires sur les travaux présentés :
* Annexe n°13 : -Chloé (CM2) a rendu un travail presque parfait (instruments et
durées).
-Alexis (CM2) a très bien trouvé toutes les interventions des différents
instruments, mais les durées seraient à affiner.
* Annexe n°14 : -Le travail de Corentin (CM1) est tout à fait correct, excepté le fait
que la première intervention des trompettes est représentée en
pointillés.
-Justine (CM2) a rendu un bon travail mais elle fait partie des élèves
qui n’ont pas perçu les 3 interventions du cor d’harmonie.
* Annexe n°15 : -La production de Jules (CM1) ressemble à celle de Justine sauf que
Jules n’a pas bien entendu l’intervention du cor jusqu’à la fin de
l’extrait.
-Adrien (CM2) a rendu un travail très soigné, dont les durées sont
correctement représentées, mais dont les 3 interventions du cor
n’apparaissent également pas (il n’y en a que 2).
Cet exercice, difficile pour une classe de cycle 3, a été bien réussi par une très grande partie des
élèves. Ces derniers ont donc su mobiliser et utiliser toutes sortes de raisonnements et de
représentations mathématiques pour arriver à leur production finale.
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III. conclusion
Les différents exercices réalisés, aussi bien à l’école maternelle qu’à l’école élémentaire, ont
permis d’aboutir à un codage écrit à partir d’une écoute " musicale ". Ce codage est l’aboutissement
de multiples transformations faisant intervenir de nombreux raisonnements et processus
mathématiques. Je reprendrai ici une phrase de Leibniz qui disait : « La musique est une pratique
cachée de l’arithmétique ». Comme ce philosophe mathématicien, je pense que les enfants sont
entrés dans des apprentissages fondamentaux de type scientifique tout en travaillant dans un
contexte artistique.
Il est néanmoins impossible, sur une durée aussi courte, de mesurer les effets de telles pratiques sur
l’acquisition des notions mathématiques abordées… Seul le temps pourrait me donner raison où
bien alors prouver que la pratique musicale n’a aucune influence sur l’apprentissage des
mathématiques.
Quoi qu’il en soit, je souhaite ajouter deux éléments qui me paraissent essentiels :
* la progression des différents exercices proposés aux élèves, pour aboutir au codage écrit
final, a montré une bonne réussite de la plupart d’entre eux,
* le plaisir et l’entrain que j’ai eus, en tant qu’enseignante, à mener ces séances en classe ont
engendré une certaine stimulation des élèves, aussi bien à l’école maternelle qu’à l’école
élémentaire. Les différents travaux proposés ont ainsi été réalisés dans une ambiance très agréable,
suscitant un très grand intérêt, beaucoup d’enthousiasme et de satisfaction de la part de tous les
élèves.
47
Bibliographie et Webographie
Bibliographie - « Programme, Projets, Apprentissages pour l’école maternelle » Edition Hachette Education,
2002.
- « Programmes et pratiques pédagogiques pour l’école élémentaire » Edition Hachette Education,
2004.
- « Les philosophes et la musique » Enrico Fubini, Librairie Honoré Champion, 1983.
- « Mémoire Mathématiques et Musique » Lisa Choukroun, PE2, IUFM de Dijon, 2003.
- « The Grove Concise Dictionary of Music » edited by Stanley Sadie / Macmillan Press Ltd.,
London.
- « Mathématiques et Art » Hermann, Editeurs des Sciences et des Arts, 1995.
Webographie htpp://www.infoscience.fr
htpp://www.history.mcs.st-andrews.ac.uk
htpp://www.pianobleu.com
htpp://www.jsbach.org
htpp://www.rz-berlin.mpg.de
htpp://infopuq.uquebec.ca
htpp://fr.wikipedia.org
htpp://agora.qc.ca
htpp://utm.edu
htpp://images.google.com
htpp://marc.terrien.free.fr
48
ANNEXES N° 1 à 15
ANNEXE 1
N°1
N°2
ANNEXE 2
Sucre
Cartes de loto
Pâtes
Billes
Blé
Clous
ANNEXE 3
ANNEXE 4
1
1
1
2
2
2
3
3
3
ANNEXE 5
ANNEXE 6
Travaux de Damien (GS) Travaux de Maxime (GS)
Travaux de Camille (MS) Travaux de Cécile (MS)
Travaux de Mélanie (MS)
ANNEXE 7
Travaux de Maéna (GS) Travaux de Clara (GS)
Travaux de Mohamed (GS) Travaux de Lucas (MS)
ANNEXE 8
Travaux de Angèle (GS) Travaux de Léa (GS)
Travaux de Aurore (GS)
ANNEXE 9
Travaux de Julien (GS)
Travaux de Nadège (MS)
ANNEXE 10
Travaux de Maël (GS)
Travaux de Roman (MS)
ANNEXE 11
Travaux de Estelle (GS) Travaux de Thibaut (GS)
Travaux de Tomessa (MS) Travaux de Lucille (MS)
Travaux de Elodie (MS) Travaux de Océane (MS)
ANNEXE 12
ANNEXE 13
Travail de Chloé
Travail d’Alexis
ANNEXE 14
Travail de Justine
Travail de Corentin
ANNEXE 15
Travail de Jules
Travail d’Adrien
MATHS & MUSIQUE
CHOLLET Bénédicte
RESUME :
Le travail réalisé dans ce mémoire porte sur l’étude des interactions entre la musique et les
mathématiques. Au regard d’une histoire qui n’a cessé d’unir ces deux disciplines, ces travaux
portent sur l’utilisation de la musique comme vecteur d’apprentissage de certaines notions
mathématiques. Par des exercices d’écoute et de codages écrits, les élèves travaillent des notions
telles que l’identification, la comparaison, la symbolisation, la chronologie…et entrent dans des
processus de structuration linéaire de la pensée.
MOTS CLES :
MUSIQUE – MATHEMATIQUES – IDENTIFIER - CODER
♪ ♪ ♫ ♪ ♫ ♫ + - / = > < Σ ∆ ≠ ≤ ≥ ♪ ♫ ♬ ♭ ♮ ♯ ∊ ∃ ♫ ♪ ♫ ♪ ♪ ⅕ ± √ ♩ ♪ ♫ ♬
♪ ♪ ♫ ♪ ♫ ♫ + - / = > < Σ ∆ ≠ ≤ ≥ ♪ ♫ ♬ ♭ ♮ ♯ ∊ ∃ ♫ ♪ ♫ ♪ ♪ ⅕ ± √ ♩ ♪ ♫ ♬
![Verses Dorés [en français]: Pythagore (por: carlitosrangel)](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/555df3b4d8b42a3f618b4942/verses-dores-en-francais-pythagore-por-carlitosrangel.jpg)
