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8/18/2019 Matlab Conv

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Procesamiento Digital de Señales Capítulo 03. Convolución discreta

MI. Mario Alfredo Iarra Carrillo Año !0"!

2012

MI. Mario Alfredo Ibarra CarrilloFacultad de Ingeniería; Telecomunicaciones14/02/2012er!11!01!0"

Ca#ítulo 0$.

Con%oluci&n discreta

$'1


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$'2


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#ndice


$.1 Con%oluci&n en tiem#o discreto$.1.1 Con%oluci&n en tiem#o continuo$.1.2 (stimador discreeto de la con%oluci&n #ara se)ales energía

$.1.$ Con%oluci&n #ara se)ales energía de tiem#o discreto$.1.4 Con%oluci&n discreta #ara secuencias finitas$.1.* (+em#lo$.1." Con%oluci&n de secuencias de duraci&n finita #or el m,todo de la cinta desli-ante$.1. (+em#lo$.1. Con%oluci&n de secuencias de duraci&n finita #or el m,todo matricial$.1. (+em#lo

$.1.10 Con%oluci&n de secuencias de duraci&n finita #or el m,todo de malla$.1.11 (+em#lo

Con%oluci&n de secuencias de duraci&n finita #or el m,todo del #roducto(+em#lo

$.2 Con%oluci&n discreta #or softare

$.$ Con%oluci&n circular$.$.1 ecuencia #eriodica

$.$.2 obre el origen de la secuencia #eri&dica$.$.$ 3es#la-amiento aca adelante de la secuencia #eri&dica$.$.4 3es#la-amiento aca atr5s de la secuencia #eri&dica$.$.* 3efinici&n de con%oluci&n circular$.$.* 6ro#iedad de longitud de la con%oluci&n circular$.$." (+em#lo

$.$." M,todo de los círculos conc,ntricos$.$. (+em#lo$.$. Con%oluci&n ciruclar7 m,todo matricial$.$. (+em#lo

$.$.10 Teorema de a#ro8imaci&n de la con%oluci&n lineal con la con%oluci&n circular$.$.11 (+em#lo

$'$


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$.4 Con%oluci&n l ineal 23 en tiem#o discreto

$.4.1 Con%oluci&n 23 #ara matrices infinitas

$.4.2 Con%oluci&n 23 #ara matrices finitas

$.4.$ 9as dimensiones de la matri- de con%oluci&n

$.$.4 :efle8i&n de una matri-

$.$.* Algoritmo %isual #ara la con%oluci&n lineal 23 de secuencias finitas

$.$." (+em#lo

$.* Con%oluci&n circular 23 en tiem#o discreto

$." A#licaciones de la con%oluc&n lineal fi ltrado linealFiltros sua%i-antesFiltro 13 sua%i-ante de blo


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3." Convolución en tiempo discreto para señales energía

(n los segmentos siguientes se describir5 la suma de con%oluci&n como una %ersi&n muestreada de la integralde con%oluci&n. 6osteriormente7 debido a #unto a #unto como en todo #roducto de funciones?.

f (t ) g(−(t −τ))

• e calcula el 5rea del #roducto

f ∗g(τ)= limT → ∞

∫−T

T

f (t ) g(−(t −τ))dt [v2 s] >$.1?

iguiendo la definici&n $.17 si se desea conocer la con%oluci&n #ara todo instante de tiem#o se tendría


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A modo de demostraci&n7 se #arte de la con%oluci&n dada en ecuaci&n >$.2? #ara se)ales energía. e muestreala integral considerando las e$.4?

(n donde

• t es la %ariable de tiem#o continuo

• T es la %entana de tiem#o en el cual se muestrea la se)al

• τs es el #eriodo de muestreo = tambi,n es la diferencial de tiem#o dt = d τ

• n es la n',sima muestra

• N es el nmero de muestras

ustitu=endo el con+unto de ecuaciones >$.$? en la ecuaci&n >$.2? de con%oluci&n #ara se)ales energía detiem#o continuo se logra

f ∗g( n)= lim N →∞

∑m=−( N −1)

N −1

f (m)g(−( m−n)) τs; ∀n ∈ℤ

B&tese $.$?.

3.1.3 Convolución para señales energía de tiempo discreto

Definición 3.3 La convolución para señales energía en tiempo discreto $.*?

A modo de demostraci&n consid,rense $.$? #uede reescribirse

como en la forma de la ecuaci&n >$.*?

B&tese tambi,n


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3.1.4 Convolución discreta para secuencias finitas

Definición 3.4 Convolución de dos secuencias f g . 3ada la secuencia de duraci&n finita f cu=odominio est5 en el inter%alo nϵ [ f Indx.min , f Indx.max ] = dada la secuencia g cu=o dominio est5 en el inter%alo

n ϵ [g Indx.min

, g Indx.max

] . 9a con%oluci&n $."?

Definición 3.! El dominio de la secuencia de convolución7 es decir7 el inter%alo de %alores de n $.?

Definición 3." La longitud de la secuencia de convolución. 3ada la secuencia f de longitud N f acon%olucionar con la secuencia g de longitud N g 7 la longitud de la secuencia de con%oluci&n se re#resenta

como N f ∗g = se calcula como

N f ∗g = N f + N g−1 >$.?

3.1.5 Ejemplo

6ara ilustrar el #roceso de forma gen,rica consid,rense las dos secuencias siguientes

f =[ f (−1) , f (0)↑

, f (1) , f (2)]

g =[g(−1) , g(0)↑

, g(1 )]>$.?

en donde

f Indx.min

=−1

f Indx.max

=2

g Indx.min

=−1

g Indx.max

=1

>$.10?

Aora se desarrolla en la tabla $.1 la suma de con%oluci&n #aras las secuencias dadas en la ecuaci&n >$.?.


$'


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9os #roductos en ro+o corres#onden con índices #ara los cuales el segundo o#erando de la con%oluci&n no tieneelementos definidos. Aora bien7 reali-ando los #roductos indicados se tiene $.11?

donde

f ∗g(−2)=f (−1)g(−1)f ∗g(−1)=f (−1)g(0)+ f (0)g (−1)f ∗g(0)=f (−1) g(1)+f (0)g (0)+ f (1)g(−1)f ∗g(1)=f (0)g(1)+ f (1)g(0)+ f (2)g(−1)f ∗g(2)=f (1)g(1)+f (2)g(0)f ∗g(3)=f (2)g(1)

>$.12?

(l c5lculo del dominio de la secuencia de con%oluci&n es como sigue

n ϵ [ f Indx.min

+g Indx.min

, f Indx.max

+g Indx.max

]

[−1−1,2+1][−2,3 ]

>$.1$?

9a longitud de la secuencia de con%oluci&n $.14?


fg>'2? D f>'1?g>'1? E f>0?g>'2? E f>1?g>'$? E f>2?g>'4?fg>'1? D f>'1?g>0? E f>0?g>'1? E f>1?g>'2? E f>2?g>'$?fg>0? D f>'1?g>1? E f>0?g>0? E f>1?g>'1? E f>2?g>'2?

fg>1? D f>'1?g>2? E f>0?g>1? E f>1?g>0? E f>2?g>'1?fg>2? D f>'1?g>$? E f>0?g>2? E f>1?g>1? E f>2?g>0?fg>$? D f>'1?g>4? E f>0?g>$? E f>1?g>2? E f>2?g>1?

Ta#la 3.1 Con%oluci&n #ara las secuencias fDf>'1?7 f>0?7 f>1?7 f>2? G =gDg>'1? g>0? g>1?G

$'


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3.1.6 Convolución de secuencias de duración finita por el mtodo de la cintadesli!ante

(l m,todo de la cinta desli-ante ilustra de manera gr5fica el #roceso de con%oluci&n entre dos secuencias7 esdecir7 #ara con%olucionar una secuencia f con una secuencia g

• 9a secuencia f se mantiene sin alteraciones.

• 9a secuencia g se refle+a = se des#la-a de adelante acia atr5s.

• (n cada des#la-amiento7 se reali-a el #roducto #unto. (n el caso de secuencias finitas s&lo seconsideran a


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Aora deben com#ararse los #roductos indicados en la tabla $.2 con los #roductos indicados #or la tabla $.1 =n&tese $.11?.

3.1." Ejemplo

Con%olucione las siguientes secuencias f =[2,5↑, 0 , 4 ] = g=[4, 1↑

, 3 ]

9a longitud de la secuencia de con%oluci&n $.1*?


'2 '1 0 1 2 $ 4 *

f>n? 2 * 0 4

g>'>nE$?? $ 1 4

/ /

f>n? 2 * 0 4

g>'>nE2?? $ 1 4

2 20 22

f>n? 2 * 0 4

g>'>nE1?? $ 1 4

" * 0 11

f>n? 2 * 0 4

g>'n? $ 1 4

1* 0 1" $1

f>n? 2 * 0 4

g>'>n'1?? $ 1 4

0 4 4

f>n? 2 * 0 4g>'>n'2?? $ 1 4

12 12

Ta#la 3.3 Con%oluci&n de las secuencias fDF27*7074G = gDF4717$G

JΣ=

JΣ=

JΣ=

Σ=

JΣ=

JΣ=

$'1


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3.1.# Convolución de secuencias de duración finita por el mtodo matricial

Consid,rense las dos secuencias siguientes son la mismas ecuaciones >$.?

f =[ f (−1) , f (0)

↑

, f (1) , f (2)]

g =[g(−1) , g(0)↑

, g(1 )]

(l #lanteamiento de la con%oluci&n #or f&rmula $.1"?9a ecuaci&n anterior se #uede e8#resar en forma com#acta de la forma siguiente

[ f ∗g ]=G× F >$.1?

(n donde

G=

[

g(−1) 0 0 0g(0) g (−1) 0 0g (1) g(0) g(−1 ) 00 g(1) g(0) g(−1)0 0 g(1) g(0)0 0 0 g(1)

]>$.1?

F =[f (−1)

f (0 )f (1)f (2)

] >$.1?

[ f ∗g ]=

[f ∗g(−2)f ∗g(−1)

f ∗g(0)f ∗g(1)f ∗g(2)f ∗g(3) ]

>$.20?

B&tese de la ecuaci&n >$.20?


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9a longitud de la secuencia de con%oluci&n $.21?9a longitud de la secuencia de con%oluci&n $.?

f =[ f (−1) , f (0)↑

, f (1) , f (2)]

g =[g(−1) , g(0)↑

, g(1 )]


$'1


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6rimero se crea una ma=a tal como se ilustra en la tabla $.4 en el rengl&n su#erior se coloca la secuencia f en tanto 0?g>'1? f>1?g>'1? f>2?g>'1? g$%1&

f(g$%2& f>'1?g>0? f>0?g>0? f>1?g>0? f>2?g>0? g$'&

f(g$%1& f>'1?g>1? f>0?g>1? f>1?g>1?? f>2?g>1? g$1&

f(g$'& f(g$1& f(g$2& f(g$3&

Ta#la 3.". M,todo del #roducto #ara las secuencias Ff>0?7f>1?7f>2?7f>$?G =Fg>0?7g>1?7g>2?G

f$%1& f$'& f$1& f$2&

g$%1&

g$'&

g$1&

Ta#la 3.4. M,todo del #roducto. 6lanteamiento de la malla.

f$%1& f$'& f$1& f$2&

f'1?g>'1? f>0?g>'1? f>1?g>'1? f>2?g>'1? g$%1&

f>'1?g>0? f>0?g>0? f>1?g>0? f>2?g>0? g$'&

f>'1?g>1? f>0?g>1? f>1?g>1?? f>2?g>1? g$1&

Ta#la 3.!. M,todo de malla. 9lenado de la malla.

$'1


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3.1.11 Ejemplo

Con%olucione las siguientes secuencias

f =[2,5

↑

, 0 , 4 ]

g =[4 , 1↑

, 3 ]

(l #roceso #or el m,todo del #roducto


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(l #lanteamiento de la con%oluci&n #or #roducto


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3.1.13 Ejemplo

Con%olucione las siguientes secuencias

f =[2,5

↑

, 0 , 4 ]

g =[4 , 1↑

, 3 ]

(l #roceso #or el m,todo del #roducto


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3.! propiedades de la convolución lineal

Teorema 3.2 ,sociatividad.

f (t )∗g (t )∗h(t )=f ( t )∗( g( t )∗h( t ))

=( f (t )∗g( t ))∗h(t )>$.22?

Teorema 3.3 Distri#utividad.

f (t )∗[ g (t )+ h( t )]= f (t )∗g(t )+ f (t )∗h(t ) >$.2$?

Teorema 3.4 -omogeneidad.

Af (t )∗g(t )= A ( f ( t )∗g(t )) >$.$4?

f (t )∗B g (t )=B ( f (t )∗g(t )) >$.2*?

Af (t )∗Bg(t )= A B ( f (t )∗g(t )) >$.2"?

Teorema 3.! mpulso. (l im#ulso es el elemento identidad de la con%oluci&n

f (t )∗δ(t )=f (t ) >$.2?

Teorema 3." nvarian/a temporal.

3ada la con%oluci&n f (t )∗g (t )=h(t ) se tiene $.2?

f (t )∗h(t −β)= y(t −β)>$.2?

f (t −α)∗h(t −β)= y(t −α−β) >$.$0?


$'1


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3.3 Convolución discreta por soft$are

(n MAT9AK7 la con%oluci&n tiene el formato

conv (secuencia , filtro)conv (secuencia , filtro , ' full∣same' )

donde

• Secuencia (s una secuencia discreta

• filtro ecuencia del filtro

• ' full' :etorna la secuencia com#leta de con%oluci&n

• 'same' :etorna la #arte central de la con%oluci&n7 la secuencia resultante tiene el mismo dominio dela secuencia original.

B&tese g=[4,1,3 ]> conv (f , g )

> [8,22,11,31,4,12]

(+em#lo

> f =[2,5,0,4]> g=[4,1,3 ]> conv (f , g ,' full ' )

> [8,22,11,31,4,12]

(+em#lo

> f =[2,5,0,4 ]> g=[4,1,3 ]> conv (a,,'same' )

> [11,31,4,12]


$'1


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3.% Convolución en tiempo discreto para señales potencia periódicas& convolución circular

3ada la secuencia #eriodica f (n ) de cardinalidad N a con%olucionar con otra secuencia #eriodica g( n)tambi,n de cardinalidad N 7 el #roceso de con%oluci&n e8ige N × N #roductos e igual cantidad de sumas.(m#leando una o#eraci&n conocida como FFT >Trasnformada :5#ida de Fourier? #ara calcular la con%ouci&n7se logra reducir este nmero a un mti#lo de N log2 N .

3ado


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x (n)=[ x (0) , x (1), x(2)]

x(n+ 1)=[ x (1) , x(2), x(0)]>$.$$?

3.3.4 (espla!amiento )acia atr*s de una secuencia periódica

Cuando una secuencia #eri&dica se atrasa un #aso7 el elemento m5s a la dereca sale #or dereca e ingresa#or la i-$.$4?

3.3.5 (efinición de la convolución circular

Definición 3.* Convolución cirular de dos secuencias f (n) g (n) . 3ada la secuencia de duraci&n finitaf (n ) de longitud N = dada la secuencia g(n) tambi,n de longitud N . 9a con%oluci&n $.$*?

6ara e+em#lificar el com#ortamiento #eri&dico de la f&rmula7 ,sta se desarrolla #ara BD$7 es decir7 sean lassecuencias #eri&dicas siguientes

f =[ f (0) , f (1) , f (2)]

g =[g(0 ), g(1) , g(2)] >$.$"?

3esarrollando la f&rmula de la con%oluci&n ciruclar


Illustration 3."& 'a()epresentación del operando *f+. '( Acomodo de los dos operandos *f+ , *g+ para la convolucióncircular.

$'2


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f ☼ g(0 )=f (0 ) g(0) + f (1) g (−1) + f (2) g(−2)

f ☼ g(1)=f (0 ) g(1) + f (1) g(0) + f (2) g(−1)

f ☼ g(2)=f (0 ) g(2) + f (1) g(1) + f (2) g(0)

>$.$?

6uede notarse


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(ntonces las ecuaciones de la con%oluci&n se escriben como

f ☼ g(0)=f (0 ) g(0) + f (1) g (2) + f (2) g(1)

f ☼ g(1)=f (0 ) g(1) + f (1) g (0) + f (2) g(2)

f ☼ g(2)=f (0 ) g(2) + f (1) g(1) + f (2) g (0)

>$.$?

3.3.6 +ropiedad de longitud de la convolución circular

Definición 3.) Longitud de la secuencia de convolución circuilar. 3adas dos secuencias f = g decardinalidad N 7 la con%oluci&n circular de ambas funciones f (n )∗g(n) es otra funci&n f ∗g(n) decardinalidad N = cu=o origen es el #rimer elemento


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3.3." Ejemplo

Con%olucione las secuencias #eriodicas f =[ 2,5,0,4 ] = g =[4,1,3,0 ] 7 su con%oluci&n circular es

f ☼g(0 )=f (0 )g(0) + f (1)g (3) + f (2)g (2) + f (3)g (1)=2×4 + 5×0 + 0×3 + 4×1=12

f ☼g(1)=f (0 )g(1) + f (1)g(0) + f (2) g(3) + f (3)g (2)=2×1 + 5×4 + 0×0 + 4×3=34f ☼g(2)=f (0 )g(2) + f (1) g(1) + f (2)g(0) + f (3)g (3)=2×3 + 5×1 + 0×4 + 4×0=11f ☼g(3 )=f (0 )g(3) + f (1)g (2) + f (2)g(1) + f (3)g (0)=2×0 + 5×3 + 0×1 + 4×4=31

>$.40?

3.3.# ,todo de los círculos concntricos

ea la secuencia f =[ f (0) , f (1) , f (2)] el #rimer o#erando de una con%oluci&n circular. ste o#erando #uedere#resentarse con #untos e


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3.3.1% Convolución circular mtodo matricial

ean las secuencias #eri&dicas de cardinalidad N =3 siguientes son las mismas ecuaciones >$.2?

f =[ f (0) , f (1) , f (2)]

g =[g(0 ), g(1) , g(2)]

(n una secci&n #asada se desarroll& la f&rmula de la con%oluci&n ciruclar #ara n∈[0,1,2] resultando

f ☼ g(0)=f (0 ) g(0) + f (1) g (2) + f (2) g(1)

f ☼ g(1)=f (0 ) g(1) + f (1) g (0) + f (2) g(2)

f ☼ g(2)=f (0 ) g(2) + f (1) g(1) + f (2) g (0)

Aora las f&rmulas se e8#resan en forma matricial de la forma siguiente

[f ☼ g(0)f ☼ g(1)f ☼ g(2)]=[

g (0) g (2) g (1)g (1) g (0) g (2)g (2) g (1) g (0)][

f (0)f (1)f (2)] >$.4$?

im#lificando la f&rmula se tiene $.44?

(n donde

G=

[g

(0

) g

(2

) g

(1

)g(1) g(0) g(2)g(2) g(1) g(0)]

>$.4*?

F =[f (0)f (1)f (2)] >$.4"?

Obs,r%ense las columnas de la matri- G = n&tese


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3.3.11 Ejemplo

:ealice la con%oluci&n circular de la secuencias >$.41?

f =[2,5,0,4 ]

g =[4,1,3,0 ]

6lanteando la matri- de con%oluci&n se tiene


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9uego a las secuencias a con%lucionar se les agregan ceros #ara com#letar cada una con " elementos

f ' =[f ,[2ceros]]=[2,5,0,4,0,0]

g ' =[ g ,[3ceros]]=[4,1,3,0,0,0]>$.42?

Finalmente la con%oluci&n circular se calcula como

f ' ☼ g ' =[4 0 0 0 3 1

1 4 0 0 0 3

3 1 4 0 0 0

0 3 1 4 0 0

0 0 3 1 4 0

0 0 0 3 1 4]×[

2

5

0

4

0

0]=[

8

22

11

31

4

12] >$.4$?

6ara conocer el el origen de la secuencia7 se recurre a las estrategias em#leadas #ara la con%oluci&n lineal.

3. Propiedades de la convolución circular

Teorema 3.2 ,sociatividad.

f (t )☼ g( t )☼h (t )=f (t )☼ ( g (t )☼ h( t ))

=( f (t )☼ g(t )) ☼ h(t )>$.44?

Teorema 3.3 Distri#utividad.

f (t )☼ [ g (t )+h (t )]=f (t )☼ g( t )+f (t )☼ h(t ) >$.4*?

Teorema 3.4 -omogeneidad.

Af (t )☼ g( t )= A (f (t )☼ g (t )) >$.4"?

f (t )☼ B g (t )=B ( f ( t )☼ g (t )) >$.4?

Af (t )☼ Bg(t )= A B ( f (t )☼ g(t )) >$.4?


$'2


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Teorema 3.! mpulso. (l im#ulso es el elemento identidad de la con%oluci&n

f (t )☼δ(t )=f (t ) >$.4?

Teorema 3." nvarian/a temporal.

3ada la con%oluci&n f (t )☼ g( t )=h (t ) se tiene $.*0?

f (t )☼ h(t −β)= y (t −β) >$.*1?

f (t −α)☼ h(t −β)= y (t −α−β) >$.*2?


$'2


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3.4 Aplicaciones de la convolucón lineal& filtrado lineal

9os filtros lineales son a


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• u#rimen detalles finos $.*$?

(ste ti#o de filtro tiene las siguientes características

• 9a transici&n abru#ta de 0 a 1 del filtro #ro%oca ri-os arm&nicos en su res#uesta en frecuencia7 lo

gru#os de #i8eles contiguos?


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3.4.3 Ejemplo de filtro 1( suavi!ante de 'loue

3ada la siguiente secuencia = $.*4?

A#lif7!A!2?>1/4?;

sub#lot>$7171?;stem>07f?;a8is>'2712707*G? sub#lot>$7172?;stem>'17071G7!K!2?;a8is>'2712707*G? sub#lot>$717$?;stem>'17f!!K!2?;a8is>'2712707*G?


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3.6.4 iltro 1( suavi!ante 'inomial

Definición 3.11 iltro suavi/ante de #loue. (ste filtro tiene un com#ortamiento tem#oral seme+ante a la deuna cam#ana gaussiana discreta = sim,trica res#ecto del cero. 9a secuencia $.*?

donde

% i N

= N &

( N −i )& i &; coeficiente de l! pir!mide de "!c!l >$.*?

(ste ti#o de filtro tiene las siguientes características

•(ste filtro tiene una transici&n sua%e


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3.6.4 &o'remuestreo de una secuencia

(l #roceso de sobremuestreo consiste de intercalar ceros en una secuencia7 el nmero de ceros %iene dado #orel factor del #roceso de sobremuestreo

Definición 3.12. El proceso de so#remuestreo ea f (n) una secuencia finita = un factor de sobremuestreoS #erteneciente al con+unto de los enteros. (l sobremuestreo de f (n ) es otra funci&n denotada comof (n )↑ S = consiste de intercalar S−1 ceros entre los elementos de la secuencia.

Definción 3.13 El factor de so#remuestreo es un entero $."1?

6ara ilustrar consid,rese la secuencia siguiente

f =[ A , B , % , ! ] >$."2?

entonces se le a#lica un factor de sobremuestreo de S =2

f (n)↑2=[ A ,0,B ,0,% ,0, ! ,0 ] >$."$?

así7 #uede notarse $."4?

i aora la secuencia original se sobremuestrea en S =3

f (n)↑3=[ A , 0,0, B , 0,0,% ,0,0, ! , 0,0 ]>$."*?

consecuentemente7 #uede notarse $.""?

3.6.6 &o'remuestreo en matla'

(l #roceso de sobremuestreo en MAT9AK se reali-a con la funci&n Hu#sam#le7 #or e+em#lo7 dada la siguientesecuencia

f =[1,3,5,7] >$."?

(l sobremuestreo de la misma #or un factor de S =2 se reali-a como

u"sam"le( f , 2)

>[1,0,3,0,5,0,7,0]>$."?


$'$


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3.6.5 nterpolación

Definición 3.14. La interpolación consiste en el c5lculo de nue%as muestras intercaladas entre las muestrasde una se)al. 9a inter#olaci&n se identifica con dos #ar5metros $.1?


$'$


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3.6." Ejemplo de interpolación aar

3ada la siguiente secuencia = $.$?

(l filtro Laar7 el cual se ilustra en la figura $.".c de grado cero = orden 1 se re#resenta en la secuencia siguiente


$'$4

Illustration 3.& Secuencia de interporlación 'a( secuencia original. '( Secuencia soremuestreada en un factor de !. 'c(8iltro 9aar de grado 0 , orden ". 'd( Secuencia interpolada.

fD17$7*7$71G;f!2Du#sam#le>f72?;

!0!1D171G;f!2!!0!1Dcon%>f!27!0!1?; sub#lot>47171?;stem>047f?;a8is>'1710707*.1G? sub#lot>47172?;stem>07f!2?;a8is>'1710707*.1G? sub#lot>4717$?;stem>071G7!0!1?;a8is>'1710707*.1G? sub#lot>47174?;stem>0107f!2!!0!1?;axis([-1,10,0,5.1])


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h0; 1

=[1↑1] >$.4?

9a secuencia de con%oluci&n es entonces

f ↑2∗h0 ; 1

=[1↑

1335533110]>$.*?

9a figura $.".d ilustra la secuencia filtrada. Bote


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3.6.$ Ejemplo de interpolación artlett

3ada la secuencia de la ecuaci&n >$."?7 $.*? el cual se re#ite a continuaci&n = se ilustra en la figura $..c de grado uno= orden 2 se re#resenta en la secuencia siguiente

h1;2=1

2 [12↑1 ]


$'$

Illustration 3.4& Secuencia de interporlación 'a( secuencia original. '( Secuencia soremuestreada en un factor de !. 'c(8iltro :artlett de grado " , orden !. 'd( Secuencia interpolada.

fD17$7*7$71G;f!2Du#sam#le>f72?;!1!2D17271G>1/2?;f!2!!1!2Dcon%>f!27!1!2?;

sub#lot>47171?;stem>047f?;a8is>'1710707*.1G? sub#lot>47172?;stem>07f!2?;a8is>'1710707*.1G? sub#lot>4717$?;stem>07172G7!0!1?;a8is>'1710707*.1G? sub#lot>47174?;stem>'1107f!2!!0!1?;a8is>'1710707*.1G?


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9a secuencia de con%oluci&n es entonces

f ↑2∗h1 ;2

=[0.5,1↑

, 2,3,4,5,4,3,2,1,0.5,0 ] >$.1?

9a figura $..d ilustra la secuencia filtrada. Bote $.4?


$'$


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3.4.2 Convolución 2( para matrices finitas

e considera en este caso


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3.4.4 7efle0ión de una matri!

6ara refle+ar una matri- se reali-an dos #asos. (l orden de los #asos no im#orta

• e refle+an las columnas de la matri-

• e refle+an los renglones de la matri-

A modo de e+em#lo7 considera la siguiente matri-

g (m , n)=[g(0,0) g(0,1) g (0,2)g(1,0) g(1,1) g (1,2)g(2,0) g(2,1) g (2,2)] >$.1?

6rimero se refle+an las columnas

[g(2,0) g(2,1) g(2,2)g(1,0) g(1,1) g(1,2)g(0,0) g(0,1) g(0,2)] >$.2?

egundo se refle+an los renglones

g ( (m , n)=[g(2,2) g (2,1) g(2,0)g(1,2) g (1,1) g(1,0)g(0,2) g (0,1) g(0,0)] >$.$?

3.4.5 8lgoritmo visual para la convolución lineal 2( de secuencias finitas

(l algoritmo es sim#le7

• 9a matri- f (m ,n ) se mantiene sin cambios

• 9a matri- g( m, n) se refle+a = se des#la-a en #asos de adelante acia atr5s tanto en renglones comoen columnas.

• 9as matrices se multi#lican #unto a #unto >se omiten a


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$'4

g>272? g>271? g>270? g>272? g>271? g>270? g>272? g>271? g>270?

g>172? g>171? g>170? g>172? g>171? g>170? g>172? g>171? g>170?

g>072? g>071? f$'61& f$'62& g>072? f$'62& f$'6'& f$'61& g>071? g>070?

f$16'& f$161& f$162& f$16'& f$161& f$162& ... f$16'& f$161& f$162&

f$26'& f$261& f$263& f$26'& f$261& f$263& f$26'& f$261& f$263&

g>272? g>271? g>270? g>272? g>271? g>270? g>272? g>271? g>270?

g>172? g>171? f$'61& f$'62& g>172? f$'6'& f$'61& f$'62& f$'6'& f$'61& g>171? g>170?

g>072? g>071? f$161& f$162& g>072? f$16'& f$161& f$162& ... f$16'& f$161& g>071? g>070?

f$26'& f$261& f$263& f$26'& f$261& f$263& f$26'& f$261& f$263&

... ... ...

f$'6'& f$'61& f$'62& f$'6'& f$'61& f$'62& f$'6'& f$'61& f$'62&

f$16'& f$161& f$162& f$16'& f$161& f$162& ... f$16'& f$161& f$162&

g>272? g>271? f$261& f$263& g>272? f$263& f$26'& f$261& g$262& 7 f$263& g>271? g>270?

g>172? g>171? g>170? g>172? g>171? g>170? g>172? g>171? g>170?

g>072? g>071? g>070? g>072? g>071? g>070? g>072? g>071? g>070?

Ta#la 3.1'. 6roceso de con%oluci&n entre dos matrices. f>m7n? se mantiene en tanto m7n? se refle+a = des#la-aen #asos. A cada #aso7 se multi#lican #unto a #unto las matrices.

g>070? 8 f$'6'& g>071? 8 f$'6'& g>070 8 f$'61& g>072? 8 f$'62&

g>170? 8 f$'6'& g>172? 8 f$'62&

g>070? 8 f$16'& g>072? 8 f$162&

g>270? 8 f$26'& g>272? 8 f$26'& g>272? 8 f$261&


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3.4.6 Ejemplo

ean las dos matrices siguientes7 las cuales deben con%olucionarse

f (m ,n )=

[1 1 1

1 1 11 1 1 ]

= g( m , n)=

[1 2 1

2 4 21 2 1 ]

9as dimensiones de las matrices son

i$e%f&=( f , N

f )=(3,3)

i$e%g&=( g

, N g)=(3,3)

(so


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$'4

1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1

2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2

1 2 181 1 1 1 281 181 1 181 281 181 1 181 281 1 1 1 181 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 3 4 3 1

1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1

2 4 281 1 1 2 481 281 1 281 481 281 1 281 481 1 1 1 281 4 2

1 2 181 1 1 1 281 181 1 181 281 181 1 181 281 1 1 1 181 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 + 12 + 3

1 2 181 1 1 1 281 181 1 181 281 181 1 181 281 1 1 1 181 2 1

2 4 281 1 1 2 481 281 1 281 481 281 1 281 481 2 1 1 281 4 2

1 2 181 1 1 1 281 181 1 181 281 181 1 181 281 1 1 1 181 2 1

4 12 1" 12 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 181 1 1 1 281 181 1 181 281 181 1 181 281 181 1 1 181 2 1

2 4 281 1 1 2 481 281 1 281 481 281 1 281 481 281 1 1 281 4 2

1 2 1 1 281 181 181 281 181 181 281 181 1 2 1

3 + 12 + 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 181 1 1 1 281 181 1 181 281 181 1 181 281 1 1 1 181 2 1

2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2

1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1

1 3 471 3 1

Ta#la 3.11 Con%oluci&n 23 #or el m,too desli-ante.

8

8

8

8

8

8 8 8 8 8

8 8 8 8 8

8 8 8 8 8

8 8 8 8 8


43/43


3.7 Convolución circular !D en tiempo discreto

3.5.1 ,todo matricial para la convolución circular 2(.

e considera 070? f>072? f>271? f>270? f>272? f>171? f>170? f>172? g>071?

>072? f$'62& f>071? f>070? f>272? f>271? f>270? f>172? f>171? f>170? g>072?

>170? f$16'& f>172? f>171? f>070? f>072? f>071? f>270? f>272? f>271? g>170?

>171? D f$161& f>170? f>172? f>071? f>070? f>072? f>271? f>270? f>272? g>171?

>172? f$162& f>171? f>170? f>072? f>071? f>070? f>272? f>271? f>270? g>172?

>270? f$26'& f>272? f>271? f>170? f>172? f>171? f>070? f>072? f>071? g>270?

>271? f$261& f>270? f>272? f>171? f>170? f>172? f>071? f>070? f>072? g>271?

>272? f$262& f>271? f>270? f>172? f>171? f>170? f>072? f>071? f>070? g>272?

Ta#la 3.12 6roceso de con%oluci&n circular 23.

Documents

Matlab Conv