Embed Size (px)
Citation preview
MATLAB
Osnove
Šta je MATLAB?
• programsko okruženje za raĉunanje u tehnici
– u osnovi je matematiĉki alat
– ima veliku primenu u primenjenim disciplinama - inženjerstvu
• poseduje visoke performanse u numeriĉkim izraĉunavanjima i
vizuelizaciji podataka
• Matlab je interpreter i programski jezik
– pruža i interaktivni rad i batch-obradu
• osnovni elemenat je matrica koja ne zahteva dimenzionisanje
– većina problema se jednostavno rešava u odnosu na programske
jezike poput Fortran-a, Pascal-a, C-a, ...
– nazvan je prema matrix laboratory
Osnovne osobine
• Jezik visokog nivoa za tehniĉko raĉunanje
• Razvojno okruženje za upravljanje programskim kodom, datotekama
i podacima
• Interaktivni alati za iterativno istraživanje, dizajn i rešavanje
problema
• Biblioteka matematičkih funkcija iz linearne algebre, statistike,
Forijeove analize, fitriranja, optimizacije, numeriĉke integracije
• 2D i 3D grafičke funkcije za prikaz podataka
• Alati za kreiranje korisničkog interfejsa
• Funkcije za integraciju MATLAB algoritama sa spoljašnjim
aplikacijama i programskim jezicima: Fortran, C, C++, Java, COM, i
Microsoft Excel
Primena
• na Univerzitetima je alat za obuku
• u industriji se upotrebljava za istraživanje i
rešavanje praktiĉnih inženjerskih i matematiĉkih
problema
• tipiĉna upotreba pokriva:
– Matematiku i numeriku
– Razvoj algoritama
– Modeliranje, simulaciju i razvoj prototipova
– Analizu podataka, istraživanja i vizuelizaciju
– Nauĉnu i inženjersku grafiku
– Razvoj aplikacija, ukljuĉujući grafiĉki
korisniĉki interfejs
• poseduje kolekcije metoda (alata, rešenja)
specifiĉnih za odreĊene oblasti - Toolbox-ovi
MATLAB familija proizvoda
http://www.mathworks.com
Toolbox-ovi
• Toolbox je kolekcija (biblioteka) izabranih funkcija (M-datoteka) namenjena rešavanju problema odreĊenje oblasti
• oni proširuju mogućnosti Matlab-a
• postoje toolbox-ovi za oblasti
– analize signala
– automatskog upravljanja
– simulacije dinamiĉkog ponašanja sistema
– identifikacije sistema
– veštaĉkih neuronskih mreža
– fuzzy sistema
– optimizacije
– analize robustnosti sistema
– ...
• postojeći toolbox-ovi se usavršavaju, a novi nastaju
Aerospace Toolbox
Bioinformatics Toolbox
Communications Toolbox
Control System Toolbox
Curve Fitting Toolbox
Data Acquisition Toolbox
Database Toolbox
Datafeed Toolbox
Excel Link
Filter Design Toolbox
Filter Design HDL Coder
Financial Toolbox
Financial Derivatives Toolbox
Fixed-Income Toolbox
Fixed-Point Toolbox
Fuzzy Logic Toolbox
GARCH Toolbox
Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox
Image Acquisition Toolbox
Image Processing Toolbox
Instrument Control Toolbox
Mapping Toolbox
Model-Based Calibration Toolbox
Model Predictive Control Toolbox
Neural Network Toolbox
Optimization Toolbox
OPC Toolbox
Partial Differential Equation (PDE) Toolbox
RF Toolbox
Robust Control Toolbox
Signal Processing Toolbox
Spline Toolbox
Statistics Toolbox
Symbolic Math Toolbox
System Identification Toolbox
Virtual Reality Toolbox
Wavelet Toolbox
Raĉunarske platforme
• Podržane su brojne raĉunarske platforme
• i operativni sistemi
• kod pisan u Matlab-u je prenosiv, ukljuĉujući i aplikacije sa
korisniĉkim interfejsom u obliku prozora
Tekuća verzija MATLAB 7.3
sastavni deo paketa R2006b od 1. septembra 2006
Radno okruženje Matlab-a (nekad )
• Ĉine ga:
– komandni prozor (samo je jedan)
– nekoliko grafiĉkih prozora
– korisnikov editor za pisanje M-skript datoteka
• Komandni prozor
– je mesto gde se daju (kucaju) naredbe interpreteru i ispisuju rezultati
– sekvencijalno prihvata i izvršava naredbe
– poseduje linijski editor
• Grafiĉki prozor
– obiĉno prikazuje 2D i 3D dijagrame
– više dijagrama se može prikazati u razliĉitim prozorima i/ili se jedan
prozor može podeliti na nekoliko delova
– automatski se pojavljuje kod izvršavanja grafiĉkih naredbi
– sadržaj prozora se može odštampati na nekoliko naĉina
Radno okruženje Matlab-a (i sad )
Sastoji se od većeg broja prozora:
• Command Window (ranije – komandni prozor)
• Command History
• Launch Pad
• Help Browser
• Current Directory Browser
• Workspace Browser
• Array Editor
• Editor/Debugger
Ostali alati:
• UnapreĊen uvoz i izvoz podataka
• Profiler – pomaže u otkrivanju uskih grla u aplikaciji
• Podrška Source Control System-ima
• Notebook – pristup Matlab-u iz programa za obradu teksta (MS Word)
Drugi naĉini povezivanja i prenosa podataka
• prenos podataka preko datoteke (u binarnom ili ASCII formatu)
• prenos teksta i grafike preko Windows Clipboard-a
• povezivanje drugih aplikacija sa Matlab-om preko DDE (Dynamic
Data Exchange) mehanizma
(Tekuća verzija Matlab-a podržava COM (Component Object Model))
Matlab može da radi kao:
– server
– klijent
• Matlab poseduje biblioteku C i Fortran funkcija, C++ klasa
– za rad sa Matlab-ovim datotekama podataka i za osnovne matriĉne
operacije
– mogu se upotrebiti za pisanje korisnikovih funkcija koje se
pozivaju iz Matlab-ovog okruženja
Matlab promenljive
• naziv promenljive ĉine slova i brojevi
(mora poĉeti slovom)
(prvih 19 (31 kod verzije ) znakova se uzima u obzir)
• razlikuju se mala i velika slova (npr. a i A su dve promenljive)
Matlab izraz
• Oblik
promenljiva = izraz
• izraz ĉine: nazivi promenljivih, funkcije, operatori i drugi specijalni
znaci.
• promenljiva je niz
• ako se izostavi promenljiva sa leve strane znaka “=”, privremena
promenljiva ans prima vrednost izraza
• kod dugaĉkih izraza, kada je potrebno unos nastaviti u narednom redu,
predhodni red završiti sa “...” (tri taĉke)
• znak “;” na kraju izraza spreĉava da se ispiše vrednost promenljive
Brojevi
• Realni 3 -99 0.0001 -9.639825 1.62e-20 -10.34e200
– opseg od 2.2251*10-308 do 1.7977*10308
• Kompleksni -4+7i 8i -9j -9*j 1.23-12e-4j
– imaginarna jedinica je: i ili j
– funkcije
• realna vrednost broja real(z)
• imaginarna vrednost broja imag(z)
• konjugovano kompleksna
vrednost conj(z)
• moduo abs(z)
• argument angle(z)
– nizovi kompleksnih brojeva
z
real(z)
imag(z)
conj(z)
abs(z)
angle(z)
8+i9
Aritmetiĉke operacije
• Aritmetiĉke operacije:
– sabiranje +
– oduzimanje -
– množenje *
– delenje (levo) /
– desno delenje \
– stepenovanje ^
• Redosled operacija je odreĊen na osnovu
prioriteta:
1. unarni minus
2. stepenovanje
3. množenje ili delenje
4. sabiranje ili oduzimanje
– upotrebom ( ) može se uticati na
redosled izraĉunavanja
» 4 \ 1 ans = 0.2500 » 4 / 1 ans = 4
» 1 + 3 * 2 ^ 4 / 6 - 9 ans = 0 » 1 + (3 * 2) ^ 4 / (6 - 9) ans = - 431
Posebni brojevi
• Posebni brojevi:
– Ludolfov broj pi (3.1415...)
– Imaginarna jedinica i ili j
– beskonaĉna vrednost Inf
– neodreĊena vrednost (not a number) NaN
– podrazumevana taĉnost eps (2.2204e-16)
– “privremena” promenljiva ans
– konstante opsega brojeva realmin i
realmax
• Delenje nulom ne prekida program,
već nastaje vrednost Inf
• NaN je rezultat neodreĊenih izraza
– Inf/Inf ili
– 0/0
» x = Inf / Inf x = NaN
» 1 / 0 Warning: Divide by zero ans = Inf
Nizovi u Matlab-u
• osnovni tip podataka je niz (Array)
• skalar je niz dimenzije 1x1
sliĉno je i sa vektorima u obliku kolone ili vrste
• elemenat niza može biti kompleksan broj
• niz se može tumaĉiti kao
– niz koeficijenata polinoma
– niz slova u string-u
– bit-mapirana slika (dvodimenzioni niz)
– zvuĉni zapis
• podržan je rad sa retkim nizovima
• dimenzije niza se ne unose
• potreban memorijki prostor za niz se automatski zauzima (alocira)
– veliĉina niza nije ograniĉena i može prevazići raspoloživi RAM
raĉunara (zahvaljujući virtuelnoj memoriji)
Nastanak brojnog niza
• Unosom kao eksplicitna lista brojeva ili izraza
• kao rezultat izvršavanja ugraĊene naredbe ili funkcije (Matlab-ove unutrašnje funkcije)
• formiranjem u M-datoteci (Matlab-ovoj spoljašnjoj funkciji)
• uĉitavanjem iz datoteke podataka
» a = [ 1 2 3; 4 5 6 ] a = 1 2 3 4 5 6 » b = sum(a) b = 5 7 9 » save abdat a b » clear » b ??? Undefined function or variable b. » load abdat » b b = 5 7 9
Funkcije
• Tip funkcije (nebitan za korisnika)
– ugraĊena (unutrašnja, najbrže se izvršava)
– M-datoteka iz MATLAB biblioteke (spoljašnja)
– funkcija korisnika (spoljašnja, M-datoteka)
• Grupe funckcija:
– elementarne matematiĉke
– specijalne funkcije
– elementarne matriĉne
– specijalne matrice
– za dekompoziciju i faktorizaciju matrica
– za analizu podataka
– za rad sa polinomima
– za rešavanje diferencijalnih jednaĉina
– za optimizaciju i rad sa nelinearnm jednaĉinama
– za numeriĉku integraciju
– ...
• pomoć o funkciji se dobija pomoću help ime_funkcije
• svaki Toolbox dodaje nove funkcije
Poziv funkcije
• funkcija se poziva njenim imenom,
tj. imenom M-datoteke
clc % brisanje ekrana
• ako funkcija ima parametre navode
se u malim zagradama ( ) razdvojeni
zarezom
• ako funkcija vraća vrednosti,
promenljive koje ih prihvataju se
navode u uglastim zagradama [ ]
razdvojene zarezom
• redosled parametara je bitan
• ako funkcija dozvoljava, ne moraju
se navesti svi parametri u pozivu
i ne moraju se preuzeti sve vrednosti
• ugnježdeni pozivi
» atan2(-1,-1) == -pi + pi/4 ans = 1
» x = [1 3 2]; » a = max(x) a = 3 » [m,i] = max(x) m = 3 i = 2
» x = pi / 4; » log( cos( sin(x) + 1 ) - 5 ) ans = 1.6363 + 3.1416i
Matematiĉke funkcije
• primenjuju se nad matricom elemenat po elemenat
• trigonometrijske: sin cos tan asin acos atan atan2 sinh cosh tanh asinh acosh atanh
• neke elmentarne funkcije
– apsolutna vrednost abs
– kvadratni koren sqrt
– signum sign
– ostatak delenja rem(x,y)
– exponencijalna exp
– prirodni logaritam log
– logaritam osnove 10 log10, osnove 2 log2
• zaokruživanje vrednosti na celobrojnu
– ka najbližem celom broju round – ka nuli fix – ka - floor – ka + ceil
• specijalne funkcije: bessel, beta, gamma, ...
» x=pi*[1/3 1/6]; » y=sin(x) y = 0.8660 0.5000 » 2*y-1 ans = 0.7321 -0.0000 » 2*y-1 >= 0 ans = 1 0 » floor(2*y-1) ans = 0 -1
Tipovi podataka
• ima 15 ugraĊenih
tipova podataka
(klasa)
• svaki tip je višedimenzioni niz
– dvo-dimenzioni nizovi su matrice
– sparse su retki nizovi
• složene strukture podataka: cell i structure
• numeric i array su virtuelni tipovi podataka, nose neke zajedniĉke
osobine za izvedene tipove
• korisnikov tip: user classes, Java classes
Tipovi podataka - primeri
Tip Primer
int8, uint8, int16,
uint16, int32,
uint32, int64,
uint64
uint16(65000)
single single(3 * 10^38)
double 3 * 10^300 5 + 6i
logical magic(4) > 10
char 'Hello'
cell array a{1,1} = 12;
a{1,2} = 'Red';
a{1,3} = magic(4);
structure a.day = 12;
a.color = 'Red';
a.mat = magic(3);
function handle @sin
user class polynom([0 -2 -5])
Java class java.awt.Frame
Numeriĉki tipovi
Tip Opseg M-funkcija
Celobrojan
Označen 8-bit integer -27 to 27-1 int8
Označen 16-bit integer -215 to 215-1 int16
Označen 32-bit integer -231 to 231-1 int32
Označen 64-bit integer -263 to 263-1 int64
Neoznačen 8-bit integer 0 to 28-1 uint8
Neoznačen 16-bit integer 0 to 216-1 uint16
Neoznačen 32-bit integer 0 to 232-1 uint32
Neoznačen 64-bit integer 0 to 264-1 uint64
U pokretnom zarezu
Jedostruke preciznosti
32-bit
-3.4 e38 to
3.4e38
single
Dvostruke preciznosti
64-bit
IEEE
Standard 754
double
» x = int16(325); » x = 325.5; » int16(fix(x)) ans = 325 » int16(325) * 4.39 ans = 1427 » uint8('Danas je ...') ans = 68 97 110 97 115 32 … 106 101 32 46 46 46
Provera numeriĉkih tipova
Komanda Opis
whos x Ispisuje tip od x.
xType = class(x); Tip od x dodeljuje promenljivoj xType.
isnumeric(x) Da li je x numerik?
isa(x, 'integer')
isa(x, 'uint64')
isa(x, 'float')
isa(x, 'double')
isa(x, 'single')
Da li je x numerik određenog podtipa?
isreal(x) Da li je x realan ili kompleksan?
isnan(x) Da li x nije broj (Not a Number NaN) ?
isinf(x) Da li je vrednosti x beskonačna?
isfinite(x) Da li je vrednost x konačna?
Logiĉki tip
• Vrednosti:
– “Laž” = 0 (false)
– “Istina” = 1 (true)
vrednost razliĉita od nule
(uobiĉajeno je 1)
• Tipiĉno nastaje kao rezultat operacija
poreĊenja
• Važna primena u indeksiranju nizova
» A = [7 2 6 1 9]; » k = A > 5 k = 1 0 1 0 1 » b = A(k) b = 7 6 9 » b = A(A > 5) b = 7 6 9 » A(A > 5) = 0 A = 0 2 0 1 0
» z = [true true false] z = 1 1 0
Parsiranje imena
• Redosled
– da li je promenljiva?
– da li je ugraĊena funkcija?
– da li je MEX, DLL ili M-datoteka u tekućem
direktorijumu?
– da li je MEX, DLL ili M-datoteka u nekom
od MATLAB-ovih direktorijuma?
– prijavljuje se greška.
• imena MATLAB-ovih direktorijuma se dobijaju
(ureĊuju) pomoću path funkcije
• imena se mogu preklopiti
» sin(1) ans = 0.8415 » sin=1 sin = 1 » sin sin = 1 » sin(1) ans = 1 » clear sin » sin(1) ans = 0.8415
Matriĉne operacije
• Osnovne operacije:
– sabiranje + – oduzimanje - – množenje * – delenje (levo) /
X=B/A je rešenje sistema X*A=B
– desno delenje \ X=A\B je rešenje sistema A*X=B
– stepenovanje ^ – transponovanje ’
• Operacije nad elementima matrice:
– množenje .* – delenje (levo) ./ – desno delenje .\ – stepenovanje .^
» r = A’*P + P*A - P*B*inv(R)*B’*P + Q;
» a = [ 1 2; 3 4 ]; » a * a' ans = 5 11 11 25 » b = [ -1 2; 1 3 ]; » a .* b ans = -1 4 3 12 » a * b ans = 1 8 1 18 » b=a .\ 3 b = 3.0000 1.5000 1.0000 0.7500
Rešavanje linearnog sistema jednaĉina
• Sistem A·x=b ima rešenje x=A-1·b
– u Matlab-u: x = A\b
• Sistem x·A=b ima rešenje x=b/A
– u Matlab-u: x = b/A
• Primer:
5.1
5.023
5.22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
5.1
5.0
5.2
111
231
121
3
2
1
x
x
x
» A = [1 2 -1; -1 3 2; -1 -1 1]; » b = [-2.5; 0.5; 1.5]; » x = A\b x = 2.5000 -1.0000 3.0000 » A*x ans = -2.5000 0.5000 1.5000 » x = inv(A)*b x = 2.5000 -1.0000 3.0000
Rešavanje linearnog sistema jednaĉina (2)
• Mogu re rešavati i preodreĊeni i
neodreĊeni sistemi jednaĉina
– Upotrebljava se metoda
najmanjih kvadrata
» A = [ 1 2 -1 -1 3 2 -1 -1 1 1 2 3 ]; » B = [ -2.5 0.5 1.5 4 ]; » x = A\B x = 0.6238 -0.7002 1.5950
» A*x ans = -2.3715 0.4657 1.6713 4.0086
Matrice i funkcije
• parametri i vraćene vrednosti funkcije su matrice
• matematiĉka funkcija f koja ima parametar matricu X kao rezultat vraća matricu Y=f(X) sa elementima yij = f(xij)
• elementarne matriĉne funkcije
– determinanta matrice det(x)
– inverzija inv(x)
– pseudo-inverzija ne kvadratne matrice pinv(x)
– formiranje karakteristiĉnog polinoma poly(x)
– trag matrice trace(x)
– ... (help matfun)
• transcedentalne matriĉne funkcije
– expm(x)
– logm(x)
– sqrtm(x)
– ...
Operacije poreĊenja
• operacije poreĊenja se primenjuju nad dve matrice jednakih dimenzija
• rezultat operacije je matrica nula (“laž”) i jedinica (“istina”)
• postoji šest relacionih operatora
– manje <
– manje ili jednako <=
– veće >
– veće ili jednako >=
– jednako ==
– nejednako ~=
» 2 + 3 ~= 5 ans = 0
» [ 1 2; 3 4 ] > [ 1 3; -3 5 ] ans = 0 0 1 0
Logiĉke operacije
• logiĉke operacije se upotrebljvaju nad nizovima sa logiĉkim
vrednostima
• rezulati logiĉkih operacija su uvek matrice sa elementima 0 i 1
• Logiĉke operacije su:
– negacija (unarna operacija) ~
– konjukcija (binarna operacija, logiĉko “i”) &
– disjunkcija (binarna operacija, logiĉko “ili”) |
» a = [0 0 1 1]; b = [0 1 0 1]; » a & b ans = 0 0 0 1 » a | ~b ans = 1 0 1 1
Logiĉke i funkcije poreĊenja
• ove funkcije vraćaju logiĉku vrednost (ili više vrednosti)
• funkcija any(x) vraća istinitu vrednost ako je barem jedan elemenat u x
istinit (“radi po kolonama”)
tipiĉna upotreba je: if any(x > 0.01) blok naredbi end
• funkcija all(x) vraća istinitu vrednost ako su svi elemenati u x istiniti
• funkcija find(x) vraća indekse elemenata sa “istinitom” vrednosti
• provera “neregularnih vrednosti” u matrici
– gde poseduje beskonaĉnosti isinf(x) – ...
• provera tipa matrice (vraća skalar)
– da li matrica postoji? exist(x) – da li je prazna? isempty(x) – da li je globalna promenljiva? isglobal(x) – ...
Generisanje vektora
• Vektor sukcesivnih celobrojnih vrednosti iz itervala [a,b]
x = a : b % “operator” “:”
• Vektor vrednosti iz itervala [a,b] sa rastojanjem (korakom) c
x = a : c : b
» x = 1 : 6 x = 1 2 3 4 5 6 » x = 2 : 3 : 13 x = 2 5 8 11 » x = 2 : 0.2 : 3 x = 2.0000 2.2000 2.4000 2.6000 2.8000 3.0000 » x = 2 : -1 : -2 x = 2 1 0 -1 -2
Selekcija elemenata matrice i vektora
• indeksi elemenata su pozitivni, celi brojevi: 1, 2, ...
• dimenzije
– matrice [vrsta,kolona] = size(x)
– vektora n = length(x)
• selektovanje jednog elementa
– matrice x(vrsta,kolona)
– vektora x(n)
• selektovanje submatrice (subvektora)
– izdvajaju se elementi na preseku vrsta i kolona
– vrste i kolone su odreĊene
• pomoću indeks vektora
• pomoću vektora logiĉkih vrednosti (za svaku npr. kolonu je zadata logiĉka vrednost i ako je ta vrednost “istina” kolona je selektovana)
a = 1 2 3 4 5 6 » n = size(a) n = 2 3 » [n,m] = size(a) n = 2 m = 3
Primeri selekcija elemenata
» a = [1 2 3; 4 5 6] a = 1 2 3 4 5 6 » a(1,3) ans = 3 » a( : , [1 3] ) ans = 1 3 4 6 » a( : , : ) a = 1 2 3 4 5 6
» a( [false true], 2:3 ) ans = 5 6 » a( : , 3:-1:1 ) ans = 3 2 1 6 5 4 » v = 3:-1:1 v = 3 2 1 » a( : , v ) ans = 3 2 1 6 5 4 » a( [2 1] , v ) ans = 6 5 4 3 2 1
» x = -pi : 0.01 : pi; » y = sin(x); » y(y > 0.9999)' ans = 0.9999 1.0000 1.0000 » x(y > 0.9999)' ans = 1.5584 1.5684 1.5784 » find(y > 0.9999) ans = 471 472 473
Brisanje i spajanje
• Brisanje promenljivih i elemenata matrice
– uklanjanje promenljivih iz radne memorije clear x y z
– matrica može biti prazna x = [ ] (i tada postoji kao promenljiva)
– brisanje celih kolona ili vrsta se vrši dodeljivanjem prazne matrice
• Spajanje submatrica
– spajanje po kolonama (matrice moraju imati jednak broj vrsta)
– spajanje po vrstama (matrice moraju imati jednak broj kolona)
» a = [ ] a = [ ] » b = [ 1 2 3 4 5 ] b = 1 2 3 4 5 » b(2:4) = [ ] b = 1 5 » b(4) = -1 b = 1 5 0 -1
» b = [ 1 5 ]; » b = [ b; 1+b ] b = 1 5 2 6 » a = [ b b’ + a = 1 5 1 2 2 6 5 6 » a = * b, b’ +;
Tekstualna promenljiva - string
• predstavljena je vektorom vrstom od slova (ASCII znakova)
• omogućava
– formatizovanje ispisa i uĉitavanja vrednosti
– prenošenje (i ureĊivanje) naredbi
• postoji nekoliko grupa funkcija
• spajanje stringova je kao spajanje vektora vrsta
» a1 = 2; a2 = 3; » i = 1; » s = [ '5 * a' int2str(i) '^2’ + s = 5 * a1^2 » eval(s) ans = 20
Matrice i vektori “poznatih” vrednosti
• matrica nula zeros(n,m)
• matrica jedinica ones(n,m)
• jediniĉna matrica eye(n,m)
• matrica elemenata po uniformnoj
raspodeli rand(n,m)
• matrica elemenata po normanoj
raspodeli randn(n,m)
• vektor ekvidistantnig vrednosti
linspace(n,m,N)
• vektor logaritamske
baze logspace(n,m,N)
• matrica za bazu 3D
crtanja meshgrid(v1,v2)
» a = [ 1 2; 3 5 ] a = 1 2 3 5 » abs(inv(a)*a - eye(2)) > 10*eps ans = 0 0 0 0
» a = zeros(2,3) a = 0 0 0 0 0 0 » a( [2 3], [1 2] ) = 1 a = 0 0 0 1 1 0 1 1 0 » a( [2 3], [1 2] ) = ones(2,2);
Višedimenzioni nizovi
• dvodimenzioni niz == matrica
– prvi indeks je redni broj vrste
– drugi indeks je redni broj kolone
• trodimenzioni niz
– treći indeks je redni broj strane
Indeksi
poĉinju
od 1
Pristup elementima nizova
» A(2,3,2) ans = 6 » A(1,2,2) ans = 8 » A(:,2,1) ans = 0 -1 2 » A(:,:,2) ans = 6 8 3 4 3 6 5 9 2
» A(:,2,:) ans(:,:,1) = 0 -1 2 ans(:,:,2) = 8 3 9 » A([1 3],3,[2 1]) ans(:,:,1) = 3 2 ans(:,:,2) = 3 1
Formiranje višedimenzinonih nizova
• na naĉin formiranja matrica, preko
indeksa
– broj elemenata u podnizovima
se mora slagati
• primer dodavanja nove
dimenzije za A
A je sada 3x3x3x2
» A=[1 0 3; 4 -1 2; 8 2 1]; » A(:,:,2)=[6 8 3; 4 3 6; 5 9 2]; » A(:,:,3) = 5 A(:,:,1) = 1 0 3 4 -1 2 8 2 1 A(:,:,2) = 6 8 3 4 3 6 5 9 2 A(:,:,3) = 5 5 5 5 5 5 5 5 5
» A(:,:,1,2) = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; » A(:,:,2,2) = [9 8 7; 6 5 4; 3 2 1]; » A(:,:,3,2) = [1 0 1; 1 1 0; 0 1 1];
Formiranje višedimenzinonih nizova (2)
• upotrebom funkcija: ones, zeros,
randn, ...
• umnožavanjem repmat osnovne
matrice
• upotrebom cat funkcije
B = cat(dim,A1,A2,...)
– spaja listu nizova duž dimenzije
dim
– jediniĉne dimenzije se automatski
umeću
» B = randn(1,1,2) B(:,:,1) = -0.6918 B(:,:,2) = 0.8580 » B = repmat([1 0],[3 4 2]) B(:,:,1) = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 B(:,:,2) = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
» B = cat(4,[2 8; 0 5],[1 3; 7 9]) B(:,:,1,1) = 2 8 0 5 B(:,:,1,2) = 1 3 7 9
Informacije o višedimenzionim nizovima
• broj elemenata po dimenzijama size
• ukupan broj dimenzija ndims
• spisak promenljivih sa dimenzijama i
formatima whos
» size(A) ans = 3 3 3 2 » ndims(A) ans = 4 » whos Name Size Bytes Class A 4-D 432 double array B 4-D 64 double array ans 1x1 8 double array Grand total is 63 elements using 504 bytes
Rad sa dimenzijama matrice
• redimenzionisanje matrice B = reshape(A,[s1 s2 s3 ...]) (s1, s2, ... su nove dimenzije matrice B)
• uklanjanje jediniĉnih dimenzija C = squeeze(B)
• permutovanje dimenzija “prepakuje niz”
B = permute(A,dims)
– generalizacija transponovanja
Raĉunanje nad višedimenzionim nizovima
• funkcije koje rade nad vektorima,
npr. sum, mean, ...
– obiĉno rade po prvoj nejjediniĉnoj
dimenziji niza
• funkcije koje rade elemenat po
elemenat, npr. sin, ...
• funkcije koje rade sa matricama
– ne prihvataju višedimenzione
nizove kao argumente
» ndims(A) ans = 4 » eig(A) ??? Error using ==> eig Input arguments must be 2-D. » eig(A(:,:,1,1)) ans = 6.4897 -3.6978 -1.7919
Blok naredbi
• blok naredbi saĉinjava nekoliko MATLAB iskaza (komandi)
razdvojenih separatorom “;” ili “,”
– separator “;” spreĉava ispis vrednosti dodeljenih promenljivima iz
naredbe
• naredbe se mogu navoditi u jednoj liniji ili u nekoliko linija
• kada je potrebno jednu naredbu nastaviti u narednoj liniji, predhodna
linija se završava “...”
» a = [ 1 2 3 4 5 6 ] a = 1 2 3 4 5 6 » b = [ 1 2 3 ... 4 5 6 ] b = 1 2 3 4 5 6
Kontrola toka programa
• uslovni skok if-else i switch
• programske petlje
– prebrojiva petlja for
– neprebrojiva petlja sa ispitivanjem uslova na poĉetku while
– nasilni izlazak iz petlje break
• nasilni povratak iz funkcije return
• nasilni povratak iz funkcije po otkrivanju greške i njen ispis error
• ne postoji bezuslovni skok
FOR petlja
• FOR je prebrojiva petlja, tj. unapred se zna broj prolaza kroz blok
naredbi
• oblik:
for promenljiva = izraz blok naredbi end
• rezultat izraĉunavanja izraz-a je matrica, a promenljiva prima vrednosti
od prve do poslednje kolone rezultata
• uobiĉajeno upotreba je npr. for i=1:n, ...
• petlja se nasilno napušta sa break
• mogu se upotrebljavati ugnježdene petlje » for i = 1:5 for j = 1:4 a(i,j) = 1 / (i+j-1); end end
WHILE petlja
• petlja se izvršava sve dok je neki uslov ispunjen i u principu se ne zna broj prolazaka kroz petlju do prestanka važenja uslova
• uslov se proverava na poĉetku petlje
• oblik: while uslov blok naredbi end
• uslov je skalar sa logiĉkom vrednosti
• petlja se nasilno napušta sa break
• mogu se upotrebljavati ugnježdene petlje
» f = [1 1]; i = 1; % Fibonacci-jevi brojevi » while f(i) + f(i+1) < 1000 f(i+2) = f(i) + f(i+1); i = i + 1; end » f f = 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987
» s = 0; n = 1; » while 1 / n^2 > 1e-4 s = s + (-1)^n / n^2; n = n+1; end » s s = -0.8225
Uslovno grananje programa • opšti oblik:
if uslov 1 blok naredbi 1 elseif uslov 2 blok naredbi 2 elseif uslov 3 ... else blok naredbi n end
• uslov je skalar sa logiĉkom vrednosti
• tipiĉne upotrebe: if uslov blok naredbi end ili if uslov blok naredbi 1 else blok naredbi 2 end
“3n+1” problem iz teorije brojeva. Da li postoji prirodan broj za koji se unutrašnja petlja ne završava? » while 1 n = input('Unesi n:'); if n <= 0, break, end while n > 1 if rem(n,2) == 0 n = n / 2 else n = 3*n+1 end end end
Kontrola toka programa - switch, case
• switch komanda izvršava blok komandi u
zavisnosti od vrednosti promenljive uslova.
• case oznaĉava i razdvaja blokove komandi
• samo prvo poklapanje sa case se ivršava
• swich se završava end-om
• “switch ne propada”, nakon završene poslednje
komande case bloka, program nastavlja ispod
end-a.
(break izraz iz C-a ne postoji)
switch izraz case 0 blok 1 case 1 blok 2 case 2 ... otherwise blok end
Kontrola toka programa - izuzeci
• Podržan je rad sa izuzecima
• Lasterror je funkcija koja vraća opis greške
try a = [1 2]; b = a * [1 4]; catch e = lasterror … end
e = message: [1x58 char] identifier: 'MATLAB:innerdim' stack: [1x1 struct]
Nizovi ćelija i struktura
• su posebne klase MATLAB nizova
• Ćelija
– sadrži ćelije (binarne podatke) koji su sami po sebi nizovi
– omogućava smeštanje
• razliĉitih tipova podataka u niz i
• podataka razliĉitih dimenzija
• Struktura
– takoĊe udružuje podatake (razliĉitih tipova)
– za razliku od ćelija struktura sadrže polja kojima se može pristupati
preko imena
Struktura
• sastoji se od imenovanih polja
• svako polje može sadržati
proizvoljan tip podataka
• formiranje
– dodelom vrednosti
– upotrebom struct funkcija
» patient patient = name: 'John Doe' billing: 127 test: [3x3 double]
Formiranje strukure dodelom vrednosti
» patient.name = 'John Doe'; » patient.billing = 127.00; » patient.test = [79 75 73; 180 178 177.5; 220 210 205]; » patient(2).name = 'Ann Lane'; » patient(2).billing = 28.50; » patient(2).test = [68 70 68; 118 118 119; 172 170 169]; » patient patient = 1x2 struct array with fields: name billing test » patient(2).test ans = 68 70 68 118 118 119 172 170 169
Višedimenzioni nizovi struktura
patient(1,1,1).name = 'John Doe'; patient(1,1,1).billing = 127.00; patient(1,1,1).test = [79 75 73; 180 178 177.5; 220 210 205]; patient(1,2,1).name = 'Ann Lane'; patient(1,2,1).billing = 28.50; patient(1,2,1).test = [68 70 68; 118 118 119; 172 170 169]; patient(1,1,2).name = 'Al Smith'; patient(1,1,2).billing = 504.70; patient(1,1,2).test = [80 80 80; 153 153 154; 181 190 182]; patient(1,2,2).name = 'Dora Jones'; patient(1,2,2).billing = 1173.90; patient(1,2,2).test = [73 73 75; 103 103 102; 201 198 200];
Formiranje strukture upotrebom struct
• str_array = struct('field1','val1','field2','val2', ...)
» patient = struct( 'name', 'John Doe’, ... ’billing’, 127.00, ... ‘test’, [79 75 73; 180 178 177.5; 220 210 205] );
» p(2).billing ans = 28.5000 » p(2).test([1 3],2) ans = 70 170 » y=p.name ??? Illegal right hand side in assignment. Too many elements. » [p.billing] ans = 127.0000 28.5000 0
Pristup podacima u nizu struktura
• može se pristupiti jednoj strukturi
• polju u okviru odreĊene strukture
• nekim vrednostim iz polja
• ne može se formirati nov niz na osnovu izbora polja strukture
» p.name ans = John Doe ans = Ann Lane ans = Ja » p(3) ans = name: 'Ja' billing: 0 test: [2x2 double]
Polje strukture
• ĉitanje vrednosti polja
f = getfield( array, {array_index}, 'field', {field_index} )
• postavljanje vrednosti polja
f = setfield( array, {array_index}, 'field', {field_index}, value )
• dodavanje polja
patient(2).ssn = '000–00–0000';
• brisanje polja
struc2 = rmfield( array, 'field name‘ )
Organizovanje podataka u nizove struktura
• naĉin organizacije je bitan radi kasnijeg pristupa podskupo podataka
• Primer: posmatra se bit-mapirana slika dimenzije 128x128 sa 3 matrice
boja RED, GREEN i BLUE.
– grupisanje podataka po bojama
– grupisanje podataka po pixel-ima
A.r = RED; A.g = GREEN; A.b = BLUE; for i = 1:size(RED,1) for j = 1:size(RED,2) B(i,j).r = RED(i,j); B(i,j).g = GREEN(i,j); B(i,j).b = BLUE(i,j); end end
Ugnježdene strukture
A(2).data = [9 3 2; 7 6 5]; A(2).nest.testnum = 'Test 2'; A(2).nest.xdata = [3 4 2]; A(2).nest.ydata = [5 0 9];
A(1).data = [3 4 7; 8 0 1]; A(1).nest.testnum = 'Test 1'; A(1).nest.xdata = [4 2 8]; A(1).nest.ydata = [7 1 6];
Niz ćelija
• je niz ĉiji su elementi ćelije, tj. to je kontejner MATLAB-ovih nizova
• npr., jedna ćelija može sadržati matricu, druga string, treća vektor
kompleksnih brojeva, itd.
Višedimenzioni nizovi ćelija - cells
• sliĉno brojevima, višedimenzini nizovi ćelija su generalizacija matrice
ćelija
» A{1,1} = [1 2;4 5]; » A{1,2} = 'Name'; » A{2,1} = 2 - 4i; » A{2,2} = 7; » B{1,1} = 'Name2'; » B{1,2} = 3; » B{2,1} = 0:1:3; » B{2,2} = [4 5]'; » C = cat(3,A,B);
Formiranje niza ćelija dodelom vrednosti
• niz ćelija se formira popunjavanjem ćelija po ćelija
• dva ravnopravna naĉina
– indeksiranje ćelije
– indeksiranje sadržaja
– {} је konstruktor niza ćelija (poput [] za matrice)
– {} se takoĊe upotrebljavaju za spajanje ćelija
– prealokacija mem. prostora za ćelije X=cell(3,9)
A{1,1} = [1 4 3; 0 5 8; 7 2 9]; A{1,2} = 'Anne Smith'; A{2,1} = 3+7i; A{2,2} = –pi:pi/10:pi;
A(1,1) = { [1 4 3; 0 5 8; 7 2 9] }; A(1,2) = { 'Anne Smith‘ }; A(2,1) = { 3+7i }; A(2,2) = { –pi:pi/10:pi };
Pristup podacima u nizu ćelija
• indeksiranje sadržaja daje pristup podacima
• indeksiranje ćelija se upotrebljava za dodelu niza ćelija drugoj
promenljivoj
• pojedine ćelije se mogu brisati
» x = { [1 1], [2 2], [3 3], [4 4] }; » x(2) ans = [1x2 double] » x(1:2) ans = [1x2 double] [1x2 double] » x{1:2} ans = 1 1 ans = 2 2 » x(3)=[] x = [1x2 double] [1x2 double] [1x2 double] » x{3}=[] x = [1x2 double] [1x2 double] []
Zamena liste promenljivih nizom ćelija
• kod liste ulaznih i izlaznih
parametara funkcije
• kod prikaza na displeju
• kod formiranja nizova
» C(1) = { [1 2 3] }; ... C(2) = { [1 0 1] }; » conv( C{1:2} ) ans = 1 2 4 2 3 » [C{1:2}] ans = 1 2 3 1 0 1 » [ E{1:2} ] = eig( [-1 2;0 -2] ) E = [2x2 double] [2x2 double] » E{1:2} ans = 1.0000 -0.8944 0 0.4472 ans = -1 0 0 -2
Ugnježdeni nizovi ćelija
» clear A » A(1,1) = { magic(5) }; » A(1,2) = { { [5 2 8; 7 3 0; 6 7 3] 'Test 1'; [2-4i 5+7i] { 17 [] } } } A = [5x5 double] {2x2 cell} » A(2) ans = {2x2 cell} » A{2} ans = [3x3 double] 'Test 1' [1x2 double] {1x2 cell} » A{2}{1,1} ans = 5 2 8 7 3 0 6 7 3 » A{2}{1,1}(1,3) ans = 8
Niz ćelija popunjenih strukturama
» c_str = cell(1,2) » c_str{1}.label = '12/2/94 - 12/5/94'; » c_str{1}.obs = [47 52 55 48; 17 22 35 11]; » c_str{2}.xdata = [-0.03 0.41 1.98 2.12 17.11]; » c_str{2}.ydata = [-3 5 18 0 9]; » c_str{2}.zdata = [0.6 0.8 1 2.2 3.4]; » c_str{1:2} ans = label: '12/2/94 - 12/5/94' obs: [2x4 double] ans = xdata: [-0.0300 0.4100 1.9800 2.1200 17.1100] ydata: [-3 5 18 0 9] zdata: [0.6000 0.8000 1 2.2000 3.4000] » c_str{2}.zdata(4) ans = 2.2000
Polinomi
• polinomi se predstavljaju vektor vrstom ĉiji su elementi koeficijenti
polinoma po opadajućem stepenu
npr., polinomu Q(s) = 2s3 + 4.1s2 - 12
odgovara vektor Q = [ 2 4.1 0 -12 ]
• funkcije za rad sa polinomima:
– conv množenje polinoma
– deconv delenje polinoma
– poly karakteristiĉni polinom
– polyder diferenciranje polinoma
– polyfit daje polinom koji aproksimira zadate podatke
– polyval izraĉunavanje vrednosti polinoma
– polyvalm sraĉunavanje vrednosti matriĉnog polinoma
– residue razvoj na parcijalne sabirke (reziduale)
– roots daje nule polinoma
» P = [2 1.1]; Q1 = [1 3 2]; Q2 = [1 2 3]; » Q = conv( Q1, Q2 ) Q = 1 5 11 13 6 » [r,p,k] = residue( P, Q ) r = 0.9667 -0.2583 - 0.3418i -0.2583 + 0.3418i -0.4500 p = -2.0000 -1.0000 + 1.4142i -1.0000 - 1.4142i -1.0000 k = [ ] » [pp,qq] = residue( r(2:3), p(2:3), k ) pp = -0.5167 0.4500 qq = 1.0000 2.0000 3.0000
Primer upotrebe polinoma
3s2s
45.0s5167.0
1s
45.0
2s
9667.0
01s
45.0
j21s
j3418.02583.0
j21s
j3418.02583.0
2s
9667.0
6s13s11s5s
1.1s2
)3s2s)(2s3s(
1.1s2)s(W
2
234
22
M - skript-datoteke i funkcije
• omogućavaju izvršavanje ranije pisanog koda; olakšavaju ispravljanje grešaka i dorade, a time olakšavaju programiranje
• M - skript-datoteke su ASCII datoteke sa blokom naredbi
– ime datoteke se završava sa “.m”
– pozivaju se imenom datoteke (bez “.m”)
– nemaju parametre
– vrednosti promenljivih preuzimaju i ostavljaju u radnom okruženju
• M - funkcije su skript-datoteke odreĊenog formata zaglavlja: function [ ip1, ip2, ... ipn ] = ime ( up1, up2, ... upm ) blok naredbi (negde u bloku izlazni parametri primaju vrednosti)
– imaju ulazne: up1,up2,...upm i izlazne parametre: ip1,ip2,...ipn
– kod poziva funkcije se ne moraju navoditi svi parametri; broj upotrebljenih ulaznih parametara je nargin, a izlaznih nargout
– sve promenljive koje definišu su lokalne
– uobiĉajeno je da ime funkcije bude jednako imenu datoteke “.m”
jedna datoteka
ime.m
Persistent
• Deklariše perzistentne promenljive u funkcijama
– Vidljive su samo u funkciji koja ih deklariše
persistent X Y Z
• Vrednost promenljivih se oĉuvava izmeĊu poziva funkcije
Primer M-funkcije
function [ status, sv ] = stabilan( X, stepen ) % STABILAN - ispituje stabilnost sistema na osnovu imenioca funkcije % prenosa ili na osnovu matrice sistema u prostoru stanja % Ulaz: % X - polinom ili matrica sistema % stepen - je zadati stepen stabilnosti % Izlaz: % status - =1 ako je sistem stabilan, inace =0 % sv - sopstvene vrednosti ili koreni karakteristicne jednacine % A. Erdeljan, 14.4.98 if nargin == 1, stepen = 0; end % podrazumevana vrednost if min(size(X)) == 1 % karak. polinom sv = roots(X); else % matrica sistema sv = eig(X); end status = all(sv < stepen);
Pimer (nastavak)...
• komentar iza zaglavlja funkcije se ispisuje naredbom
help stabilan
• Primeri upotrebe:
» Q = [1 3 2]; » stabilan(Q) ans = 1 » [s,v] = stabilan(Q) s = 1 v = -2 -1
» [s,v] = stabilan(Q,-1) s = 0 v = -2 -1 » [s,v] = stabilan( [0 1; 0 -3], eps ) s = 1 v = 0 -3
Handle funkcije
• Je promenljiva koja se koristi za
indirektno pozivanje funkcije
– Postojeće funkcije (ukljuĉujući
spoljašnje f-je)
– Anonimne funkcije (upravo
kreirane)
» s = @sin; » s(pi/4) ans = 0.7071 » parabola = @(x) x.^2+3*x+4 parabola = @(x) x.^2+3*x+4 » parabola(-1) ans = 2 » parabola([0 1 2]) ans = 4 8 14 » f = @(x, a) a*x+4; » f(2,3) ans = 10
Funkcije funkcija
• imaju M-funkciju (handl f-je) kao argument @funkcija
• su nelinearne numeriĉke metode za:
– analizu i crtanje funkcija
• fminbnd - traženje minimuma f-je jedne promenljive
• fminsearch - traženje minimuma f-je više promenljivih
• fzero - nule funkcije jedne promenljive
– crtanje funkcija
• fplot - crtanje funkcije, …
– rešavanje sistema diferencijalnih jednaĉina
• ode23 - Runge-Kutta matod 2-3 reda
• ode45 -Runge-Kutta-Fehlberg matod 4-5 reda
• …
– numeriĉko rešavanje integrala (quadrature)
• quad - Simson-ovo pravilo, …
Rešavanje diferencijalnih jednaĉina pomoću ode23 ili ode45
• može se rešiti obiĉna diferencijalna jednaĉina višeg reda
• treba napraviti sistem diferencijalnih jednaĉina 1. reda i zapisati ga u
zasebnu M-funkciju (sistem jednaĉina može biti nelinearan)
zaglavlje funkcije mora biti oblika: function xprim = ime( t, x ) gde je t vreme, a x vektor promenljivih stanja
postoji problem sa prenošenjem parametara u ovakvu M-funkciju
• poziv metode: [ t, x ] = ode23( @ime, [tp, tk], x0 ) ili [ t, x ] = ode45( @ime, [tp, tk], x0 ) Ulazni parametri: ime - ime M-funkcije koja opisuje sistem jednaĉina,
tp - poĉetni trenutak integracije, tk - krajnji trenutak, x0 - vektor
poĉetnih vrednosti promenljivih stanja.
Izlazni parametri: t - vektor vremenskih trenutaka u kojima su
izraĉunata rešenja, a x - matrica kretanja promenljivih stanja poreĊanih
po kolonama. Prva vrsta odgovara x0 i poĉetnom trenutku tp, dok je u
poslednjoj vrsti krajnja vrednost prom. stanja (u tk).
• ode metode imaju promenljivi (adaptivni) korak integracije, tako da
dobijena rešenja nisu ekvidistantna
Primer upotrebe ode23
Van der Pol - ova jednaĉina:
Napomena: Brojevi “23”, odnosno “45” u imenu funkcija ode23 i ode45 se odnose
na stepene Taylor-ovih redova upotrebljanih u odgovarajućim algoritmima, a
ne odnose se na red diferencijalne jednaĉine koja se rešava. U principu, metod
ode45 je namenjen rešavanju diferencijalnih jednaĉina visokog reda.
» tp = 0; tk = 20; x0 = [ 0 0.25 ]; » [ t, x ] = ode23( @vdpol, [tp tk], x0 ); » plot( t, x )
function xprim = vdpol( t, x ) % Opis Van der Pol-ove dif. jednacine
xprim = [ x(1) * (1-x(2)^2) - x(2) x(1) ];
12
2
2
211
21
2
)1(
,
0)1(
xx
xxxx
xxxx
xxxx
Primer funkcije: Metoda Runge-Kutta 4. reda
function [t, x] = rkutta4( F, tp, tf, x0, T ) % Metod integracije RUNGE-KUTTA 4. reda % parametri su isti kao kod ode23, % sem T koje predstavlja korak integracije
if nargin < 5, T = 0.1; end t = tp : T : tf; n = length(t); x = zeros( n, length(x0) ); x(1,:) = x0(:)'; tl = tp; for i = 1 : n-1 tl = tl + T; xp = x(i,:)'; k1 = T * feval( F, tl, xp ); k2 = T * feval( F, tl+0.5*T, xp+0.5*k1 ); k3 = T * feval( F, tl+0.5*T ,xp+0.5*k2 ); k4 = T * feval( F, tl+T, xp+k3 ); x(i+1,:) = x(i,:) + (k1/6 + k2/3 + k3/3 + k4/6)'; end
Globalne promenljive
• uvedene su da bi im se pristupalo iz M-funkcija
• rešavaju problem parametrizovanja sistema dif. jednaĉina koje se
rešavaju pomoću ode metoda
» global ALPHA BETA » ALPHA = 0.01; » BETA = 0.02; » [ t, x ] = ode23( @lotka',[ 0 10], [1 1] );
function xp = lotka( t, x ) % Lotka-Volterra model
global ALPHA BETA xp = [ x(1) - ALPHA*x(1)*x(2) -x(2) + BETA*x(1)*x(2) ];
2122
2111
xxxx
xxxx
Primer upotrebe ode23/ode45 – model sa parametrima
2122
2111
xxxx
xxxx
» al = 0.01; » be = 0.02; » [ t, x ] = ode45( @lotka7, [0, 10], [1; 1], [ ], al, be ); » plot( t, x, ‘.-’ )
function xp = lotka7( t, x, alpha, beta ) % Lotka-Volterra model
xp = [ x(1) - alpha*x(1)*x(2) -x(2) + beta*x(1)*x(2) ];
• ode23/ode45 omogućava
zadavanje parametara
modela
0 5 10 15 200
200
400
600
800
1000
Klase i objekti
• klase su novi tipovi podataka koje korisnik uvodi
• objekti su primerci tih klasa (instance)
• klasa definiše strukturu podataka i vrste operacija i funkcija koje se
mogu primeniti nad tim podacima (metode klase)
• ugraĊene klase su: double, sparse, char, struct, cell, …
• toolbox-ovi definišu dodatne klase
• Primer:
Formiranje objekta tipa polinoma p(x) = x3 – 2x – 5, na osnovu vektora
koeficijenata polinoma:
p = polynom([1 0 -2 -5])
Naĉini opisa klase
• Mesto opisa klase
– Opis cele klase u jednoj .m datoteci (v7.6) neka_klasa.m
– Opis metoda klase u posebnim .m datotekama u njima
zajedniĉkom direktorijumu @neka_klasa (privatne metode su u private poddirektorijumu)
• Klase se mogu grupisati u pakete
– Paket je direktorijum naziva +neki_paket
– Sadrži opise klasa
– Klasa paketa se identifikuje neki_paket.neka_klasa
Opis klase
• Delovi opisa klase (blokovi)
– Definicija klase classdef
– Atributi properties
– Metode methods
– DogaĊaji events
classdef polynom % opis klase
properties coef end methods function obj = polynom(a) % konstruktor
... end function obj = set.coef(obj, val) ... end ... % ostale metode
end end
Konstruktor
• Konstruktor se uvek izvršava kod formiranja novog objekta
• U starijim verzijama (pre v7.6) postavljao se tip
obj = class(p,'polynom');
function obj = polynom(a) %POLYNOM Polynomial class constructor. % p = POLYNOM(v) creates a polynomial object from the vector v, % containing the coefficients of descending powers of x.
if isa(a,'polynom') obj.coef = a.coef; else obj.coef = a(:).'; end end
Konverzije tipova
• zahteva postojanje metode sa imenom klase u koju se dozvoljava
konverzija
• najĉešće upotrebljavane su konverzije u tipove double i char
• display (ili disp) je metoda koja se poziva kod dodele vrednosti
promenljivoj (a MATLAB izraz se ne završava sa “;”)
function c = double(p) % POLYNOM/DOUBLE Convert polynom object to coefficient vector. % c = DOUBLE(p) coverts a polynomial object to the vector c % containing the coefficients of descending powers of x.
c = p.coef; end
» double(p) ans = 1 0 -2 -5
Definisanje metoda klase
• methods polynom - daje spisak motoda klase “polynom”
• Konstruktor je metod istog imena kao i klasa
• Destruktor je delete metod
function q = diff(p) % POLYNOM/DIFF DIFF(p) is the derivative of the polynom p.
c = p.coef; d = length(c) – 1; % degree
q = polynom(p.c(1:d).*(d:–1:1)); end
Preopterećenje operatora
• svi ugraĊeni aritmetiĉki operatori imaju svoje funkcije
• mogu se preopteretiti:
aritmetiĉki, logiĉki, relacioni operatori, ”:”, transponovanje, ispis na
displej, spajanje vrsta i kolona [], indeksiranje.
function r = plus(p,q) % POLYNOM/PLUS Implement p + q for polynoms.
p = polynom(p); q = polynom(q); k = length(q.coef) – length(p.coef); r = polynom([zeros(1,k) p.coef] + [zeros(1,–k) q.coef]); end
» q = p + 1 q = x^3 – 2*x – 4 » r = p*q r = x^6 – 4*x^4 – 9*x^3 + 4*x^2 + 18*x + 20
Prioritet metoda objekta
• kod izraĉunavanja izraza a+b ili b+a poziva se metoda plus levog
operanda
• ukoliko je plus metod desnog operanda višeg prioriteta, tada će on biti
izvršen
• funkcije koje postavljaju objekat na željeno mesto u hijerarhiji
objekata su:
– superiorto(‘naziv_druge_klase’) i
– inferiorto(‘naziv_druge_klase’) One se pozivaju u konstruktoru objekta.
Primer - polynom
» a = polynom([1 2 3]) a = x^2 + 2*x + 3 » r = roots(a) r = -1.0000 + 1.4142i -1.0000 - 1.4142i » y = a(0:0.5:2) % y = polyval(a, 0:0.5:2) y = 3.0000 4.2500 6.0000 8.2500 11.0000 » b = polynom([2 1]) b = 2*x + 1 » c = a*b + 2*b - 4 c = 2*x^3 + 5*x^2 + 12*x + 1 » d = diff(c) d = 6*x^2 + 10*x + 12 » plot(c) -4 -2 0 2 4
-50
0
50
100
1502*x3 + 5*x2 + 12*x + 1
Još primera - polynom
» b = [2 1]; » c = a*b + 2*b - 4 c = 2*x^3 + 5*x^2 + 12*x + 1 » d = c.diff d = 6*x^2 + 10*x + 12 » c.plot » c c = 2*x^3 + 5*x^2 + 12*x + 1 » p = double(c) p = 2 5 12 1 » p(2) ans = 5 » c(2) c = 61 -4 -2 0 2 4
-50
0
50
100
1502*x3 + 5*x2 + 12*x + 1
NasleĊivanje
• kljuĉna osobina ponovne upotrebe koda u OOP
• kada se objekat potomak izvede iz objekta roditelja, tada on nasledi
sva polja strukture roditelja i može da izvršava njegove metode
• objekat roditelja može izvršavati metode potomka koje je on nasledio,
dok ne može izvršavati novouvedene metode
• Tipovi nasleĊivanja
– jednostruko - potomak nasleĊuje osobine samo jednog roditelja
– višestruko - potomak nasleĊuje osobine više roditelja
• nasleĊivanje se može protezati kroz nekoliko generacija
Jednostruko nasleĊivanje
• klasa nasleĊuje atribute neke druge
klase (roditeljske) i obiĉno dodaje
nove atribute (podatke i metode)
• objekat potomka sadrži ista polja
kao i roditeljska klasa i obiĉno još
neka
• konstruktor klase potomka treba da
– pozove konstruktor roditeljske
klase
– pozove funkciju class da
objektu “nalepi etiketu” tipa
klase i roditeljske klase
(pre v7.6)
L = roditeljska_klasa(Ny,Nu,Ts) sys = class(sys, ’naziv_klase', L)
classdef Potomak < Roditelj properties neki_atribut_potomka = 0; … end methods function p = Potomak(a,b,c) p = p@Roditelj(b); … end … end end
Primer jednostukog nasleĊivanja
Višestruko nasleĊivanje
• klasa potomak nasleĊuje sve atribute više od jedne roditeljske klase
• klasa sadrži sva polja roditeljskih klasa i obiĉno dodaje nova
• realizuje se preko konstruktora pozivom class funkcije (pre v7.6)
obj = class(structure,'class_name',parent1,parent2,...)
• ako roditeljske klase imaju iste nazive motoda, MATLAB će izvršavati
metode roditelja koji je prvi naveden u listi funkcije class
classdef Potomak < Roditelj_A & Roditelj_B … end
Primer višestrukog nasleĊivanja
Agregacija
• se javlja kada jedan objekat A kao polje ima drugi objekat B i tada se
kaže da A agregira B
• Primer: objekat rational bi mogao da sadrži dva objekta tipa polynom
kao brojilac i imenilac.
• metode agregiranog objekta B se mogu izvršavati samo pozivom iz
metoda objekta A, zapravo, agregirani objekat B nije dostupan za
korisnika
Privatne metode ĉlanice klase
• klasa može sadržati privetne metode
(funkcije) koje nisu vidljive
korisniku već samo ostalim
metodama klase
Pre ver. 7.6:
• privatne metode se nalaze u
poddirektorijumu private
odgovarajućeg klasnog
direktorijuma
• private direktorijum može sadržati i
druge funkcije koje ne rade nad
objektom, ali vrše neko korisno
izraĉunavanje
classdef NekaKlasa properties neki_atribut = 12.34; … end properties (SetAccess = private) privatni_atribut = 0; … end … end
Šta ovde nedostaje?
• opis funkcija za faktorisanje i dekompoziciju matrica; raĉunanje ranga,
kondicionog broja, norme matrice
• analza signala i filtriranje; FFT algoritam
• rad sa grafikom
• opis korisnih naredbi: echo, input, keyboard, pause, menu, feval, disp, ...
• rad sa datotekama
• rad sa Debugger-om
• rad sa retkim matricama
• detaljan opis funkcija
• i još štošta ...
Kraj
