Matlab Para Dinamica de Estructuras RevB

PROHIBIDA SU REPRODUCCION TOTAL O PARCIAL

Apuntes de MatLab para Dinmica de Estructuras II Semestre 2012 USM Campus Santiago RevB // Ricardo Bustamante H.

UNIVERSIDAD TCNICA FEDERICO SANTA MARA

Apuntes de MatLab para Dinmica de Estructuras

USM Campus Santiago II Semestre 2012



NOCIONES BSICAS 3

NOMENCLATURAS Y COMANDOS 3

GRFICOS 11

PROGRAMACIN 15

DECLARACIN DE FUNCIN 15

DECLARACIN DE FOR SIMPLE 15

DECLARACIN DE FOR ANIDADA 16

DECLARACIN DE WHILE 16

DECLARACIN DE IF 17

DECLARACIONES INTERACTUANDO 17

ANLISIS ESTRUCTURAL 18

CASO DE ANLISIS 18

MATRIZ DE RIGIDEZ 18

VIGAS 19

COLUMNAS 20

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL 20

CONDENSACIN ESTTICA 26

DINMICA ESTRUCTURAL 28

SUBRUTINA ODE45 28

FACTORES DE AMPLIFICACIN DINMICA (FAD) 31

RESPUESTA ANTE CARGA RAMPA-ESCALN 37

RESPUESTAS A PARTIR DE UN REGISTRO DE ACELERACIONES 39

ESPECTRO LINEAL DE ACELERACIN 43

ESPECTRO NO LINEAL DE ACELERACIN 54

SUPERPOSICIN MODAL 65



Nociones bsicas

Nomenclaturas y comandos La interfaz al ejecutar MatLab es la que se detalla a continuacin.

Se aprecia que aparece el indicador de comandos >>, el cual indica que el programa est listo para

recibir instrucciones.

MATLAB trabaja esencialmente con matrices numricas rectangulares. La manera ms fcil de

entrar matrices pequeas es enumerando los elementos de sta de tal manera que:

los elementos estn separados por blancos comas.

los elementos estn cerrados entre corchetes, [ ].

muestre el final de cada fila con ; (punto y coma).

As, algunos caracteres especiales de MatLab son:

[ ] Se utilizan para formar vectores y matrices

( ) Define precedencia en expresiones aritmticas. Encierra argumentos de funciones en

forma usual



, Separador de elementos de una matriz, argumentos de funciones y declaraciones en

lneas con declaraciones mltiples

; Termina filas de una matriz, separador de declaraciones

% Permite agregar un comentario comentario

Entonces un ejemplo sera ingresar una matriz de dimensiones 3x3, con nmeros correlativos, como: [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ]. El resultado, como lo entrega el programa, se indica a continuacin:

ans =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Ahora bien, se puede guardar esta matriz bajo un nombre. Para ello se tiene que ingresar el nombre de la variable seguida por una igualdad. As, la matriz queda como: A=[ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ]. El resultado que entrega el programa es

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Usualmente no se requiere que el programa entregue los resultados. Para no presentar el valor de la variable que se cre, se debe agregar un punto y coma (;) al final del comando. Como alternativa se puede crear la matriz sin la necesidad de puntos y comas como separadores. As, la matriz A tambin se puede generar como:

A = [1 2 3

4 5 6

7 8 9];

Si se requiere una fila o columna de la matriz A, o tal vez un valor particular de la matriz o aadir una fila adicional, se realiza lo siguiente:

se requiere el segundo vector columna: A(:,2) ans =

2

5

8

se requiere el primer vector fila: A(1,:) ans =

1

2

3

se requiere el valor del elemento en la fila 2 y columna 3: A(2,3) ans =

8

se requiere aadir una fila con los valores b=[ 10 11 12], redefiniendo A: A=[A;b]: A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12



Tambin se pueden generar vectores con instrucciones. Para ello, una alternativa es definir x=[1:5]. Esta instruccin permite generar un vector fila de 5 columnas. Tambin se puede omitir los parntesis cuadrados para simplificar el proceso. As, se obtiene:

x =

1 2 3 4 5

El vector transpuesto se genera agregando el carcter apstrofe () a la variable, es decir, x ans =

1

2

3

4

5

Se pueden crear vectores generando una secuencia, con un punto de inicio y uno de trmino. Un ejemplo es definir un vector cuyo valor inicial sea 5 y que disminuya su valor en una unidad hasta llegar a 1. De esta manera, x=5:-1:1

x =

5 4 3 2 1

Con anterioridad se evidenci la posibilidad de pedir valores especficos a la matriz. De igual manera, se pueden reasignar valores dentro de la matriz sin necesidad de cambiarla. Para ello se tienen las siguientes opciones:

cambiar un valor en especfico de manera directa: A(3,3)=10 A = [1 2 3

4 5 6

7 8 10];

cambiar un valor en especfico de manera directa: A(3, 3) = A(1, 3) + A(3, 1) A = [1 2 3

4 5 6

7 8 10];

Ahora bien, un ndice tambin puede ser un vector. Si x y v son vectores, entonces x(v) es [x(v(1)),x(v(2)), ...,x(v(n))]. Para matrices, los ndices de vectores permiten acceso a submatrices contiguas y no contiguas. Por ejemplo, suponga que B es una matriz 12 por 12. Entonces B(1:5, 2) especifica la submatriz 5 x 1, vector columna, que consiste de los primeros cinco elementos en la segunda columna de B. De igual manera, B(1:5, 9:12) es la submatriz 5 x 4 de las primeras cinco filas y las ltimas cuatro columnas. Las operaciones suma (+) y resta (-) son definidas para las matrices siempre y cuando stas tengan la misma dimensin. El resultado de la operacin es por defecto almacenado en la variable ans, la cual se puede almacenar en otra variable. As, definiendo A=[1 2 3;4 5 6]; y B=[6 5 4; 3 2 1]; se puede originar C=A+B.

C =

7 7 7

7 7 7



La operacin de multiplicacin de matrices (*) est definida siempre que el nmero de columnas de la primera matriz sea igual al nmero de filas de la segunda matriz. De esta manera, D=A*B slo es posible si D=A*B.

D =

18 13 8

27 20 13

36 27 18

La operacin de multiplicacin de matriz con vector es un caso especial de la multiplicacin de

matrices.

En la operacin de divisin de matrices, si A es una matriz cuadrada no-singular, entonces A\B y B/A corresponden a la multiplicacin izquierda y derecha de B por el inverso de A, esto es, inv(A) * B y B * inv(A) respectivamente. As,

X = A\B es una solucin a A * X = B

X = B/A es una solucin a X * A = B

>> A = [3,4,7;5,2,-9;-1,13,3]

A =

3 4 7

5 2 -9

-1 13 3

>> B = [6;1;8]

B =

6

1

8

>> x=A\B

x =

0.5123

0.5848

0.3034

>> x=inv(A)*B

x =

0.5123

0.5848

0.3034

Notar que A\B es definido cuando B tiene la misma cantidad de filas que A. Si A es cuadrada, el mtodo usado para su resolucin es la Eliminacin Gaussiana. El resultado es una matriz con las mismas dimensiones que B. Ahora bien, si A no es cuadrada, el procedimiento se factoriza utilizando la ortogonalizacin de Householder con pivoteo de columnas. Para dividir los valores de una matriz por un escalar se requiere utilizar un operador que le indique al arreglo que el denominador debe dividir cada valor. As, si A=[1 2;3 4] y se requiere dividir cada valor por 2, la operacin es: A=[1 2;3 4]./2



A =

0.5000 1.0000

1.5000 2.0000

Para generar matrices o arreglos con valores aleatorios existe un comando llamado rand(). Los valores estn entre cero y uno. De esta manera se tiene:

matriz de dimensiones 3x3 con rand(3) A =

0.8235 0.9502 0.3816

0.6948 0.0344 0.7655

0.3171 0.4387 0.7952

vector de dimensiones 3x1 con rand(3,1) A =

0.1869

0.4898

0.4456

matriz de nxn de ceros: zeros(n)

>> A=zeros(4)

A =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

matriz de mxn de ceros: zeros(m,n)

>> B=zeros(3,4)

B =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

regresa el nmero de filas y columnas de la matriz A B: size(A) size(B)

>> size(A)

ans =

4 4

>> size(B)

ans =

3 4

>> [m,n]=size(B)

m =

3

n =

4

matriz de nxn de unos: ones (n)

>> C=ones(4)

C =

1 1 1 1

1 1 1 1



1 1 1 1

1 1 1 1

matriz de mxn de unos: ones(m,n)

>> D=ones(3,4)

D =

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

matriz identidad de nxn: eye(n)

>> E=eye(4)

E =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

matriz identidad de mxn: eye(m,n)

>> F=eye(3,4)

F =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

matriz transpuesta: transpose(A)

>> A=rand(3)

A =

0.8147 0.9134 0.2785

0.9058 0.6324 0.5469

0.1270 0.0975 0.9575

>> B=transpose(A)

B =

0.8147 0.9058 0.1270

0.9134 0.6324 0.0975

0.2785 0.5469 0.9575

determinante de una matriz: det(A)

>> det(A)

ans =

-0.2767

inversa de una matriz: inv(A)

>> inv(A)

ans =



-1.9958 3.0630 -1.1690

2.8839 -2.6919 0.6987

-0.0291 -0.1320 1.1282

valores propios de una matriz: eig(A)

>> eig(A)

ans =

-0.1879

1.7527

0.8399

vectores y valores propios de una matriz: [V,D]=eig(A)

>> [V,D]=eig(A)

V =

0.6752 -0.7134 -0.5420

-0.7375 -0.6727 -0.2587

-0.0120 -0.1964 0.7996

D =

-0.1879 0 0

0 1.7527 0

0 0 0.8399

obtiene la diagonal de una matriz: diag(D)

>> diag(D)

ans =

-0.1879

1.7527

0.8399

agrupar de forma creciente: sort(v)

>> x=rand(5,1)

x =

0.6948

0.3171

0.9502

0.0344

0.4387

>> v=sort(x)

v =

0.0344

0.3171

0.4387

0.6948

0.9502



obtener la suma de los trminos de un arreglo: sum(x)

w=sum(x)

w =

2.4353

obtener el mximo valor de un arreglo: max(x)

y=max(x)

y =

0.9502

obtener el mnimo valor de un arreglo: min(x)

>> y=min(x)

y =

0.0344

redondea los trminos: round(x)

>> r=round(x) %redondea por defecto al entero ms cercano 0

r =

1

0

1

0

0

>> r=round(10*x) %idem anterior pero ahora se multiplica el arreglo por 10

r =

7

3

10

0

4

Los operadores relacionales son < menor que

mayor que

>= mayor o igual a

== igual a

=~ no igual a

Comando de limpieza de variables - clear - clear all - clc



Grficos La estructura bsica del grfico se compone por un comando que crea una grfica de vectores o columnas de matrices a travs de plot. Una vez ingresado el comando y los vectores a representar grficamente es posible agregar descripciones al grfico, a travs de ttulos, encabezamientos de ejes, lneas segmentadas o texto mediante etiquetas. De igual manera se puede asignar un color especfico al trazado y/o con algn estilo. Cabe destacar que por defecto el grfico tiene una lnea continua y de color azul. Para ello se enumeran las opciones disponibles:

Colores

y amarillo m magenta c cyan r rojo

g verde b azul w blanco k negro

Tipologa lnea

. punto o circulo x cruz + signo '+'

* estrella s cuadrado d diamante v triangulo

- lnea solida : segmentado -. lnea - punto -- lnea - lnea

Se considerar el siguiente ejemplo para ilustrar el uso de la funcin plot y sus etiquetas. Sea x=1:8; y=2.^x;

plot(x)

plot(y)

Si x es un vector, plot(x) produce una grfica lineal de los elementos de x versus el ndice de estos. Si especifica dos vectores como argumentos, plot(x, y) produce una grfica de y versus x como se indica en la figura.



Para introducir las etiquetas es necesario colocar (,) despus del vector y abrir una llamado a la etiqueta, ingresando el llamado entre ()

plot(y,m)

plot(y,mx)

El grfico de la izquierda grafica el vector y, agregndole color magenta a la lnea trazada. El grfico de la derecha mantiene el color magenta pero cambia la lnea por cruces; es decir, aade una caracterstica adicional insertando una nueva etiqueta de manera continua.

plot(y,d)

plot(y,k--)

El grfico de la izquierda grafica el vector y, indicando slo los valores del vector con un smbolo de diamante. El grfico de la derecha segmenta el grfico y le cambia el color a negro.



Para agregar ttulos al grfico

plot(y,'k.-'); title('Grfico y(x)');

plot(y,'k.-'); title('Grfico y(x)'); xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y');

De manera adicional se puede agregar cambios en los espesores de lnea. Algunas de las etiquetas son:

,'LineWidth',2, espesor de linea en 2

,'MarkerEdgeColor','r', dato en color rojo

,'MarkerSize',30, tamao dato

As, se puede generar grficos como:

plot(y,'k.','LineWidth',2,'MarkerEdgeColor','r','MarkerSize',15); title('Grfico y(x)');



Para graficar de manera simultnea dos grficos se puede utilizar un comando que permita agregar tantas funciones cmo se requiera. Para ello se definir lo siguiente: >> x=0:6;

>> y1=x.^2;

>> y2=sqrt(x);

>> y3=x;

>> plot(y1); hold on

>> plot(y2);

>> plot(y3);

>> hold off



Programacin

Declaracin de funcin

La idea de es utilizar funciones predeterminadas y de uso recurrente agregando slo una lnea.

Para los casos que se vern en Dinmica de Estructuras se implementarn para:

Llamar una matriz de rigidez elemental de un elemento viga o columna

Llamar un registro

Llamar una funcin especfica previamente creada y guardada, por ejemplo, una funcin

que resuelva la ecuacin diferencial de movimiento mediante la integracin directa con

aceleracin constante

Por ejemplo, si se crea un archivo .m a travs de una funcin (File->New->Function) se puede

agregar una matriz de rigidez de un elemento viga en posicin horizontal con 6 grados de libertad,

como se detalla a continuacin:

function Kviga = Kviga(EA,EI,L) Kviga = [EA/L,0,0,-EA/L,0,0; 0,12*EI/L^3,6*EI/L^2,0,-12*EI/L^3,6*EI/L^2; 0,6*EI/L^2,4*EI/L,0,-6*EI/L^2,2*EI/L; -EA/L,0,0,EA/L,0,0; 0,-12*EI/L^3,-6*EI/L^2,0,12*EI/L^3,-6*EI/L^2; 0,6*EI/L^2,2*EI/L,0,-6*EI/L^2,4*EI/L]

De esta manera se define una matriz de rigidez elemental para una viga horizontal de propiedades

EA, EI y largo L. Para hacer uso de ella se debe llamar por el nombre Kviga, agregando las

propiedades requeridas en su definicin. Definiendo EA, EI & L, se obtiene:

>> EA=10000; %EA de la viga >> EI=500000; %EI de la viga >> L=500; %L de la viga >> Kviga(EA,EI,L)

Kviga =

1.0e+003 *

0.0200 0 0 -0.0200 0 0

0 0.0000 0.0120 0 -0.0000 0.0120

0 0.0120 4.0000 0 -0.0120 2.0000

-0.0200 0 0 0.0200 0 0

0 -0.0000 -0.0120 0 0.0000 -0.0120

0 0.0120 2.0000 0 -0.0120 4.0000

Declaracin de FOR simple >> for i=1:101

x(i)=2*pi*(i-1)/100;

end

>> y=sin(x)

>> plot(x,y)



Declaracin de FOR anidada

Se utiliza cuando se posee ms de 1 parmetro al cual se requiere hacer un barrido. Por ejemplo,

se puede crear una matriz de dimensiones mxn, creando cada trmino en funcin de las

dimensiones de la matriz. As, si m=4 y n=5, se tiene

>> for i = 1:m for j = 1:n

A(i, j) = 1/(i+j- 1); end end A

A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250

Declaracin de WHILE

Este comando permite a una o ms instrucciones repetirse un nmero indefinido de veces, bajo el control de una condicin lgica. La ventaja radica en que WHILE tiene una condicin de parada definida, mientras que otros comandos, como IF, pueden no tener la condicin de parada, lo que implica que nunca deja de buscar. Como ejemplo, suponer se desea iterar para encontrar un nmero tal satisfaga una suma. As, >> e=1.0; while (1.0+e)>1.0001

e=e/2.0; end >> e

e = 6.1035e-005



Declaracin de IF

Permite establecer casos particulares en los cuales si se cumple una afirmacin se proceda a generar una rutina con el valor al caso que se cumple. if i==j

rho=1; else

rho=-1

end

Declaraciones interactuando

Supongamos que se tienen las frecuencias de un marco de 5 pisos ordenadas como un vector columna llamado w, tal que

w = 31.4159

100.5183 183.8185 276.7465 360.8302

Si se requiere realizar un anlisis CQC (Complete Quadratic Combination, para combinar los resultados modales por la tcnica de Combinacin Cuadrtica Completa descrita por Wilson, Der Kiureghian, y Bayo (1981)), se debe determinar el coeficiente de acoplamiento modal, cuya es expresin corresponde a

2 3 3

2 22 2 2

8

4

i j i j

ij

i j i j i j

La expresin obliga a ocupar los comandos anteriormente vistos para generar los coeficientes de acoplamiento modal. for i=1:5 for j=1:5 if i==j rho=1; else

rho=(8*bi^2*(w(i)+w(j))*(w(i)^3*w(j)^3)^0.5)/((w(i)^2-

w(j)^2)^2+4*bi^2*w(i)*w(j)*(w(i)+w(j))^2); end end



Anlisis estructural

Caso de anlisis Suponga que deben calcular el desplazamiento de un edificio de 5 pisos. Ese edificio tiene ciertas

cualidades que se detallan abajo. Lo importante es que deben conocer el desplazamiento de techo

y los desplazamientos de entrepiso (drifts), por lo cual les interesa saber los desplazamientos

desde 1 a 5. Pero qu sucede? Hay ms grados de libertad que contribuyen a la rigidez del

edificio. Detallando los grados de libertad del marco de 5 pisos, donde las vigas son axialmente

indeformables, los grados de libertad a considerar son:

Esa rigidez del edificio se puede expresar como una rigidez lateral (que es la que nos interesa

porque es la que mueve toda la masa), una rigidez al giro y una rigidez a la deformacin vertical.

Pues de esta forma se entiende que el problema a resolver no son los 25 grados de libertad, sino

que los 5 que relacionan el problema que debo solucionar.

As, sabiendo que tengo una matriz de grandes dimensiones, ordeno convenientemente los grados

de libertad para luego aplicar condensacin a los grados de libertad requeridos. Qu significa

eso? Que la matriz de 25x25 se reducir a 5x5, de los cuales se har una equivalencia en

comportamiento dada su condicin esttica.

Matriz de Rigidez Se requiere obtener la matriz de rigidez de un edificio de 5 pisos compuesto por columnas y vigas.

Las vigas se considerarn flexurablemente deformables y las columnas axial-flexurablemente

deformables.



Para mayor facilidad en el desarrollo se consideraran primero los grados de libertad que

representan el desplazamiento lateral de cada piso, para luego considerar el resto. De esta forma

los primero cinco trminos de la matriz de rigidez resultante sern los que se usarn para

determinar la respuesta a nivel de piso debido al registro.

La siguiente figura indica los grados de libertad globales considerados para el edificio de 5 pisos.

Vigas

La matriz de rigidez elemental de la viga considera slo los grados de libertad axiales, por lo que el

elemento queda como lo indica la figura:

Considerando la matriz elemental para una viga horizontal y tomando en cuenta slo los 4 grados

de libertad locales indicados, la matriz de rigidez local del elemento viga se expresa como

2 2

3

2 2

6 3 6 3

3 2 32

6 3 6 3

3 3 2

c vv

L L

L L L LE Ik

L LL

L L L L



Columnas

En relacin a la matriz de rigidez de la columna, se consideran todos los grados de libertad de la

matriz de rigidez elemental. De esta forma, se tiene que el elemento columna se expresa en

coordenadas locales como:

Considerando los grados de libertad locales de la columna, la matriz de rigidez local del elemento

columna se expresa como

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 0 6 12 0 6

0 0 0 0

6 0 4 6 0 2

12 0 6 12 0 6

0 0 0 0

6 0 2 6 0 4

c c c c c c c c

i i i i

c c c c

i i

c c c c c c c c

i i i i

c

c c c c c c c c

i i i i

c c c c

i i

c c c c c c c c

i i i i

E I E I E I E I

h h h h

E A E A

h h

E I E I E I E I

h h h hk

E I E I E I E I

h h h h

E A E A

h h

E I E I E I E I

h h h h

Se debe hacer la diferencia sobre la altura del primer piso con la del resto de los pisos, para lo cual

se generarn matrices de rigidez para el primer piso y para el resto. Todas las vigas tienen las

mismas propiedades, por lo cual no se har diferencia con las matrices de rigidez de stas.

Los valores a utilizar son

22038.902 29000ctonf

E ksicm

412250vI cm 750vL cm

262cA cm 49230cI cm

400 ,

350 ,i

cm parael primer pisoh

cm parael restodelos pisos

Matriz de rigidez global Realizado lo anterior, ser necesario establecer la relacin entre los grados de libertad locales y

globales. Para ello se enumeran los elementos, con la finalidad de establecer los vectores de



conectividad que permitan ensamblar la matriz de rigidez del sistema. La figura que se indica a

continuacin establece la numeracin de los elementos. Se requieren 5 vectores de conectividad

para las 5 vigas y 10 vectores de conectividad para las 10 columnas.

Utilizando lo visto en el captulo 1, se definirn 2 funciones para llamar las matrices de rigidez de la

viga y de la columna. As, creando un nuevo archivo de extensin .m, se tiene

Matriz de rigidez elemental viga 4x4

function kviga4x4 = kviga4x4(Ec,Iv,L)

kviga_ad4x4=Ec*Iv/L^3*[12 6*L -12 6*L;

6*L 4*L^2 -6*L 2*L^2;

-12 -6*L 12 -6*L;

6*L 2*L^2 -6*L 4*L^2];



Matriz de rigidez elemental columna

function kcol = kcol(EI,EA,h)

kcol = [12*EI/h^3,0,6*EI/h^2,-12*EI/h^3,0,6*EI/h^2;

0,EA/h,0,0,-EA/h,0;

6*EI/h^2,0,4*EI/h,-6*EI/h^2,0,2*EI/h;

-12*EI/h^3,0,-6*EI/h^2,12*EI/h^3,0,-6*EI/h^2;

0,-EA/h,0,0,EA/h,0;

6*EI/h^2,0,2*EI/h,-6*EI/h^2,0,4*EI/h];

Notar que se consideran los parmetros Ec, Iv & L como los datos de entrada cuando se llame a la

matriz de rigidez de la viga, mientras que para la columna los datos de entrada son EI, EA & h.

La idea ser generar que la matriz de rigidez global de la estructura se armar con las matrices de

rigidez de cada elemento (mtodo de rigidez directa). Esto se implementar mediante vectores

que relacionarn el grado de libertad de cada elemento con una ubicacin dentro de la matriz de

rigidez global, de dimensiones 25x25.

Si la viga 1 tiene los grados de libertad 6, 7, 8 & 9, el vector ser p=[6:9]' y lo que har ser

vincular, en el orden especfico en el cual se ingresan los valores en el vector, la matriz de 4x4 de la

viga del primer piso y ubicarla dentro de la matriz de dimensiones 25x25 entre las filas 6 y 9, y las

columnas 6 y 9.

Para las columnas se procede de la misma forma, salvo las columnas del primer piso, que

requieren que se aadan grados de libertad adicionales. Esto sucede porque la matriz a la cual se

llama tiene dimensiones de 6x6 y el vector p=[0;0;0;1;6;7] tendra slo 3 grados de libertad, lo que

genera un problema de dimensiones al generar la matriz. De esta forma, la manera ms simple de

generar una solucin es aadiendo 5 grados de libertad en la base. De esta forma, se tienen 30

grados de libertad.



As,

Kg=zeros(30); %definicin de una matriz de 25x25 para ir completando

%Para el primer piso

p=[6:9]'; %posicion de los GL de la viga

Kg(p,p)=Kv+Kg(p,p); %aporte de la primer piso

p=[26;27;28;1;6;7]; %posicin de la columna izquierda

Kg(p,p)=Kcp1+Kg(p,p); %aporte de la columna izquierda

p=[26;29;30;1;8;9]; %posicin de la columna derecha

Kg(p,p)=Kcp1+Kg(p,p); %aporte de la columna derecha

%Para el segundo piso


Kg(p,p)=Kv+Kg(p,p); %aporte del segundo piso





%Para el tercer piso


Kg(p,p)=Kv+Kg(p,p); %aporte del tercer piso





%Para el cuarto piso


Kg(p,p)=Kv+Kg(p,p); %aporte del cuarto piso





%Para el quinto piso


Kg(p,p)=Kv+Kg(p,p); %aporte del quinto piso




Matriz de rigidez global Kg queda como se indica la figura



Condensacin esttica Ahora bien, mediante condensacin estticamente se debe reducir la matriz a los grados de

libertad asociados al desplazamiento horizontal del marco. En este caso se condensarn los

asociados al desplazamiento lateral del marco.

0

aa ab

ba bb

K K u F

K K

Con u=grados de libertad activos (desplazamientos laterales) y el resto de los grados de libertad.

De esta manera,

0aa ab

ba bb

K u K F

K u K

Finalmente la rigidez lateral queda expresada como

1

aa ab bb baK K K K K

Se condensar para la submatriz de dimensiones 25x25, considerando que slo se agregaron estos

trminos para determinar un procedimientos de ensamble de la matriz de rigidez global eficiente.

Truncado los ltimos 5 GL, se tiene

a=[1:5]; % GL activos

b=[6:25]; % GL pasivos

K=Kg(a,a)-Kg(a,b)*inv(Kg(b,b))*Kg(b,a) %condensacion a GL laterales

K =

14.7948 -9.8816 2.6659 -0.4655 0.0756 -9.8816 15.4632 -10.0323 2.6500 -0.3583 2.6659 -10.0323 15.4597 -9.8125 2.0987 -0.4655 2.6500 -9.8125 14.1538 -6.5904 0.0756 -0.3583 2.0987 -6.5904 4.7790

Una alternativa al procedimiento anterior consiste en generar los vectores de conectividad de

manera individual. El problema radica en la lentitud en relacin al procedimiento anterior.



% vigas

Kv=kviga4x4(Es,Iv,L);

% columnas

EA=Es*Ac;

EI=Es*Ic;

Kcp1=kcol(EI,EA,hp1);

Kcp2=kcol(EI,EA,hp2);

% Matrices de compatibilidad para cada barra

% vigas

a1=zeros(4,25); a1(1,6)=1; a1(2,7)=1; a1(3,8)=1; a1(4,9)=1;

a2=zeros(4,25); a2(1,10)=1; a2(2,11)=1; a2(3,12)=1; a2(4,13)=1;

a3=zeros(4,25); a3(1,14)=1; a3(2,15)=1; a3(3,16)=1; a3(4,17)=1;

a4=zeros(4,25); a4(1,18)=1; a4(2,19)=1; a4(3,20)=1; a4(4,21)=1;

a5=zeros(4,25); a5(1,22)=1; a5(2,23)=1; a5(3,24)=1; a5(4,25)=1;

% columnas

a6=zeros(6,25); a6(4,1)=-1; a6(5,6)=1; a6(6,7)=1;

a7=zeros(6,25); a7(4,1)=-1; a7(5,8)=1; a7(6,9)=1;

a8=zeros(6,25); a8(1,1)=-1; a8(2,6)=1; a8(3,7)=1; a8(4,2)=-1; a8(5,10)=1; a8(6,11)=1;

a9=zeros(6,25); a9(1,1)=-1; a9(2,8)=1; a9(3,9)=1; a9(4,2)=-1; a9(5,12)=1; a9(6,13)=1;

a10=zeros(6,25); a10(1,2)=-1; a10(2,10)=1; a10(3,11)=1; a10(4,3)=-1; a10(5,14)=1; a10(6,15)=1;

a11=zeros(6,25); a11(1,2)=-1; a11(2,12)=1; a11(3,13)=1; a11(4,3)=-1; a11(5,16)=1; a11(6,17)=1;

a12=zeros(6,25); a12(1,3)=-1; a12(2,14)=1; a12(3,15)=1; a12(4,4)=-1; a12(5,18)=1; a12(6,19)=1;

a13=zeros(6,25); a13(1,3)=-1; a13(2,16)=1; a13(3,17)=1; a13(4,4)=-1; a13(5,20)=1; a13(6,21)=1;

a14=zeros(6,25); a14(1,4)=-1; a14(2,18)=1; a14(3,19)=1; a14(4,5)=-1; a14(5,22)=1; a14(6,23)=1;

a15=zeros(6,25); a15(1,4)=-1; a15(2,20)=1; a15(3,21)=1; a15(4,5)=-1; a15(5,24)=1; a15(6,25)=1;

% Matriz de rigidez

Kvigas=a1'*Kv*a1 + a2'*Kv*a2 + a3'*Kv*a3 + a4'*Kv*a4 + a5'*Kv*a5; %aporte de las vigas

Kcolumnas=a6'*Kcp1*a6 + a7'*Kcp1*a7 + a8'*Kcp2*a8 + a9'*Kcp2*a9 + a10'*Kcp2*a10 + a11'*Kcp2*a11 + a12'*Kcp2*a12 +

a13'*Kcp2*a13 + a14'*Kcp2*a14 + a15'*Kcp2*a15; %aporte de las columnas

Kt=Kvigas+Kcolumnas; %matriz de rigidez completa

a=[1:5]; %grados de libertad horizontales

b=[6:25]; %resto de los grados de libertad del sistema

Kaa=Kt(a,a);

Kab=Kt(a,b);

Kba=Kt(b,a);

Kbb=Kt(b,b);

K=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba; %matriz de rigidez condensada a grados de libertad laterales con masa asociada

Kt=Kv+Kc; %matriz de rigidez completa



Dinmica estructural

Subrutina ode45 ode45 corresponde a un mtodo adaptativo; es una combinacin de un mtodo Runge-Kutta de

ordenes cuatro y cinco de cinco y seis evaluaciones respectivamente. La combinacin de estos

mtodos permite estimar el error en la aproximacin numrica en cada paso y as la subrutina

puede ajustar el largo de paso "h" en forma dinmica para mantener el error global menor de una

tolerancia especificada por el usuario. Requiere del nombre de la funcin f, los tiempos inicial y

final, la condicin inicial, la tolerancia para cada iteracin, y un indicador si la rutina imprime o no

los resultados calculados. Normalmente este indicador se toma como cero que es su valor por

omisin.

A continuacin se detalla un ejemplo que permite visualizar su uso. En especfico, se resolver la

ecuacin general de movimiento para un caso particular.

Sea la ecuacin del movimiento:

100,sin)()()( 0 ttFtkxtxctxm

Considerar el siguiente caso:

m = 10; c = 0,05; k = 50; Fo = 5

Las condiciones iniciales sern las siguientes:

0)0( x

0)0( x

Para usar ode45 con ecuaciones de 2do orden, como es el caso de la ecuacin general de

movimiento:

10

00

)(

)(

)(

xtx

xtx

tFkxxcxm

se debe convertir la ecuacin en un sistema equivalente de primer orden, haciendo y1 = x, y2 = x:

m

tFycyky

yy

)(

'

212

21



Con

102

001

)(

)(

xty

xty

Luego se debe crear y guardar un archivo .m que retornar una funcin evaluada en cada t.

Para el caso del ejemplo, se procedera de la siguiente forma:

function dy = dfun(t,y) Fo=5; A=Fo*sin(pi*t); c=0.05; k=50; m=10; dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=(A-c*y(2)-k*y(1))/m; end

Notar que el sistema est descrito en las dos ltimas filas antes de end y lo anterior es para definir los coeficientes del sistema. Este archivo se guardar como dfun.m.

Finalmente, para obtener los resultados, se tiene que ingresar lo siguiente:

[t,x]=ode45(@nombre del archivo.m,[to tf],[x(0) x(0)]);

t0 y tf son el tiempo inicial y final del anlisis y x(0) y x(0) las condiciones iniciales.

Reemplazando en el caso ejemplo, queda:

[t,x]=ode45(@dfun,[0 10],[0 1]);

t ser el vector de los instantes de tiempo en que se efectu el clculo segn el criterio de error de este proceso, x ser una matriz de dos columnas, de las cuales, la primera ir definiendo la posicin y la segunda la velocidad segn el vector t. Con lo cual, si se desea mostrar el resultado en un grfico, se implementar el siguiente cdigo:

hold on plot(t,w(:,1),'b') plot(t,w(:,2),'r') xlabel('tiempo') ylabel('Posicin y Velocidad') title('Solucin EDO') legend('Posicin','Velocidad',3) grid on hold off



Y el resultado por pantalla ser el siguiente:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tiempo

Posic

in y

Velo

cid

ad

Solucin EDO

Posicin

Velocidad



Factores de Amplificacin Dinmica (FAD)

En el anlisis de sistemas dinmicos, un punto que importa conocer es la amplificacin que sufre la

respuesta del sistema ante solicitaciones con respecto a la respuesta esttica. De esta manera, se

define el Factor de amplificacin dinmico de un sistema, para una cierta razn de

amortiguamiento, como el cociente entre la amplitud de la respuesta (para una cierta excitacin)

y el desplazamiento (velocidad, aceleracin) esttico. Para poder definir este parmetro, es

necesario conocer la frecuencia que posee la excitacin a la cual se esta sometiendo el sistema.

Conocida esta, es posible analizar lo que ocurre con la respuesta del sistema para diferentes

excitaciones, y a su vez, analizar el comportamiento para un determinado amortiguamiento. Para

un mejor entendimiento, veamos un ejemplo:

Sea la EDM:

tpFtkutuctum sin)()()( 0

Rescrita en forma cannica:

tpm

Ftututu sin)()(2)( 02

La solucin a esta ecuacin diferencial de segundo orden, esta dada por una parte homognea y

otra particular. Resolviendo, se obtiene la siguiente solucin para un sistema amortiguado de un

grado de libertad:

tp

w

ppm

Ftu sin

21

1)(

22

22

0

2

1

1

2

tan

p

p

Donde:

: Razn de amortiguamiento crtico.

:0F Amplitud de la carga.



:p Frecuencia angular de la carga.

:stu Desplazamiento esttico del sistema.

Luego, el factor de amplificacin dinmica para desplazamiento se define numricamente de la

siguiente manera:

22

2

21

1

w

pp

FADu

Es posible conocer tambin, los factores de amplificacin dinmica para la velocidad y la

aceleracin:

Diferenciando la respuesta del sistema, se tiene que la velocidad es de la forma:

tp

w

pp

p

m

Ftu cos

21

)(2

22

0

De esta manera, el FAD para velocidad es:

22

2

21

w

pp

p

FADv

La aceleracin:

tp

w

pp

p

m

Ftu sin

21

)(2

22

2

0



De esta manera, el FAD para aceleracin es:

22

2

2

21

w

pp

p

FADa

Por ejemplo, sea: m=100 [kg],

m

Nk 3102.5

Se realiza un barrido de la frecuencia de la carga desde 0 hasta 100 [rad/s] y un barrido de la razn

de amortiguamiento crtico comenzando en 0.1 hasta 1.1. Implementando el siguiente cdigo en

MATLAB se obtiene la grfica que ilustra el FAD para desplazamiento, velocidad y aceleracin:

%FACTORES DE RESPUESTA DINMICA (FAD)

%Para una excitacin conocida de la forma: F(t)=Fo*sin(p*t) tic clear all clc %Para un oscilador de 1 Grado de Libertad con distintos niveles de

amortiguamiento... %Sea m=100;%[kg] k=5.2*10^3;%[N/m] w=(k/m)^(1/2);%[rad/s] p=(0:.5:100);%Frecuencias de la carga aplicada al sistema. beta=[0.1 0.2 0.4 0.5 0.7 0.9 1 1.1];%razones de amortiguamiento aux1=size(p,2); aux2=size(beta,2); FADu=zeros(aux1,aux2); FADv=zeros(aux1,aux2); FADa=zeros(aux1,aux2);

for j=1:1:aux2 for i=1:1:aux1 aux3=((1-(p(i)/w)^2)^2+(2*beta(j)*(p(i)/w))^2)^(1/2); FADu(i,j)=1/aux3; FADv(i,j)=(p(i)/w)/aux3; FADa(i,j)=((p(i)/w)^2)/aux3; end end p_w=p/w;

figure(1) hold on plot(p_w,FADu(:,1),'-k') plot(p_w,FADu(:,2),'-r')



plot(p_w,FADu(:,4),'-b') plot(p_w,FADu(:,5),'-g') plot(p_w,FADu(:,6),'-m') plot(p_w,FADu(:,7),'-y') legend('\beta=0.1','\beta=0.2','\beta=0.5','\beta=0.7','\beta=0.9','\beta

=1') hold off xlabel('p/\omega') ylabel('FAD') title('FAD DESPLAZAMIENTO OSCILADOR SIMPLE AMORTIGUADO-CARGA SINUSOIDAL') grid on

figure(2) hold on plot(p_w,FADv(:,1),'-k') plot(p_w,FADv(:,2),'-r') plot(p_w,FADv(:,4),'-b') plot(p_w,FADv(:,5),'-g') plot(p_w,FADv(:,6),'-m') plot(p_w,FADv(:,7),'-y') legend('\beta=0.1','\beta=0.2','\beta=0.5','\beta=0.7','\beta=0.9','\beta

=1') hold off xlabel('p/\omega') ylabel('FAD') title('FAD VELOCIDAD OSCILADOR SIMPLE AMORTIGUADO-CARGA SINUSOIDAL') grid on

figure(3) hold on plot(p_w,FADa(:,1),'-k') plot(p_w,FADa(:,2),'-r') plot(p_w,FADa(:,4),'-b') plot(p_w,FADa(:,5),'-g') plot(p_w,FADa(:,6),'-m') plot(p_w,FADa(:,7),'-y') legend('\beta=0.1','\beta=0.2','\beta=0.5','\beta=0.7','\beta=0.9','\beta

=1') hold off xlabel('p/\omega') ylabel('FAD') title('FAD ACELERACION OSCILADOR SIMPLE AMORTIGUADO-CARGA SINUSOIDAL') grid on

toc



Respuesta ante carga Rampa-Escaln

Considerando que se tiene una excitacin como

stparakN

stparakNttF

5.0100

5.0200)(

Considerando un sistema de 1 GL, se tiene que la EDM es

sttpara

sttparatttkutuctum

d

d

d

100

100

)()()(

La respuesta por tanto debe separarse en 2 tramos.

i) Respuesta en la fase de carga lineal creciente dtt

La solucin es

ttte

t

utu d

d

d

tw

d

st

2sin12

cos2

)(

2

ii) Respuesta en la fase de carga lineal creciente dtt

La solucin es

stddd

stddddstd

ttwutt

utututtutuetu d

sin

)()(cos)()(

Donde )(),( dd tutu corresponde a las condiciones iniciales provistas por la fase anterior.

De esta manera, se obtiene la respuesta, que de manera grfica, permite apreciar que en la fase

de carga creciente la respuesta del sistema crece linealmente hasta la posicin de equilibrio

esttico, siendo igual para distintas razones de amortiguamiento. Luego, oscila en torno a ella

hasta mantenerse en dicha posicin.



%RESPUESTA OSCILACIONES FORZADAS %Para una excitacin tipo rampa-escalon

m=5000;%[kg] a=.3;%[m] I=(a^4)/12;%[m^4] E=2.94*10^(10);%[N/m^2] K=768*E*I/875;%[N/m] d=0.05;

Fo=100000;%[N]

i=0; tr=.5; H=@(t)(((Fo*t/tr)*(t>=0 & ttr & t



Respuestas a partir de un registro de aceleraciones

Considerando que se tiene un sistema como el mostrado en la figura, donde )(tug representa la

aceleracin basal discretizada en pasos de st , se requiere resolver el problema utilizando el mtodo de Newmark con aceleracin lineal (es una alternativa). Esto permite determinar el la

relacin tiempo-historia de la estructura, tanto a nivel de desplazamientos, como de velocidad y

aceleracin.

La EDM es

)()()(2)(

)()()()(

0)()()()(

2 tutututu

tmutkutuctum

tkutuctutum

g

g

g

Ahora bien, implementando Newmark con aceleracin lineal, se tiene

)(3)(

6)(

2)(3

632

tutut

mtut

tucFumt

ct

K

Con condiciones iniciales

0)0(

0)0(

u

u

m

uKucFu

)0()0()0()0(



De esta forma, para un sistema de perodo T=0.1 (s) y razn de amortiguamiento de 02.0 , se

obtiene el grfico para el desplazamiento lateral u(t).

%Time-History para SDOF mediante Newmark con aceleracin lineal

%Se carga el registro de aceleraciones. dato=load('aceleraciones.dat'); dato1=dato*9.81; dt=0.02;%Incremento de tiempo del registro [s].

n=length(dato); tmax=(n-1)*dt; t=(0:dt:tmax)'; d=zeros(n,1); v=zeros(n,1); a=zeros(n,1);

%Condiciones iniciales. d(1)=0;%Desplazamiento inicial nulo. v(1)=0;%Velocidad inicial nula. a(1)=(dato1(1)-c*v(1)-K*d(1))/m;%Aceleracin inicial . K_eq=K+(3*c/dt)+(6*m/(dt*dt));%Masa equivalente. dd=d(1); vv=v(1); aa=a(1); for i=1:1:(n-1)



delta_F=(dato1(i+1)-dato1(i))+c*(3*vv+(dt*aa/2))+m*((6*vv/dt)+3*aa); du=delta_F/K_eq; dv=(3*du/dt)-3*vv-(dt*aa/2); da=(6*du/(dt^2))-(6*vv/dt)-3*aa; d(i+1)=dd+du; v(i+1)=vv+dv; a(i+1)=aa+da; dd=d(i+1); vv=v(i+1); aa=a(i+1); end SD=max(abs(d*100)); SV=max(abs(v*100)); SA=max(abs(a))/9.81; figure(1) subplot(2,1,1); plot(t,dato,'r'); title('Acelerograma'); xlabel('Tiempo [s]'); ylabel('Aceleracin [g]'); subplot(2,1,2); plot(t,d*100,'b'); legend('T= 0.1 [s], \xi=0.02') xlabel('Tiempo [s]'); ylabel('Deformacin u(t) [cm]');

El espectro de respuesta para un registro se calcula para un barrido de perodos en un oscilador de

un grado de libertad y para una razn de amortiguamiento fija. Los espectros se definen de la

siguiente manera:

max)(tuSd

dv ST

S

2

da ST

S

22

%Espectro de Respuesta Lineal para SDOF mediante Newmark con aceleracin

lineal

%Se carga el registro de aceleraciones. dato=load('aceleraciones.dat'); dato1=dato*9.81; dt=0.02;%Incremento de tiempo del registro [s].

n=length(dato); tmax=(n-1)*dt; t=(0:dt:tmax)'; d=zeros(n,1); v=zeros(n,1); a=zeros(n,1);



T=(0.01:0.01:7)'; z=length(T); Sd=zeros(z,1); Sv=zeros(z,1); Sa=zeros(z,1); for j=1:1:z wn=2*pi/T(j); K=m*wn^2;%Rigidez del sistema en [N/m]. c=2*sqrt(m*K)*p;%Viscosidad en [N*s/m].

%Condiciones iniciales. d(1)=0;%Desplazamiento inicial nulo. v(1)=0;%Velocidad inicial nula. a(1)=(dato1(1)-c*v(1)-K*d(1))/m;%Aceleracin inicial . K_eq=K+(3*c/dt)+(6*m/(dt*dt));%Masa equivalente. dd=d(1); vv=v(1); aa=a(1); for i=1:1:(n-1) delta_F=(dato1(i+1)-dato1(i))+c*(3*vv+(dt*aa/2))+m*((6*vv/dt)+3*aa); du=delta_F/K_eq; dv=(3*du/dt)-3*vv-(dt*aa/2); da=(6*du/(dt^2))-(6*vv/dt)-3*aa; d(i+1)=dd+du; v(i+1)=vv+dv; a(i+1)=aa+da; dd=d(i+1); vv=v(i+1); aa=a(i+1); end Sd(j,1)=max(abs(d)); Sv(j,1)=(2*pi/T(j))*Sd(j,1); Sa(j,1)=((2*pi/T(j))^2)*Sd(j,1); end

figure(1) plot(T,Sd*100) title('Espectro de Respuesta SDOFS \beta=0.02') xlabel('Periodo T_n [s]'); ylabel('Sa [cm]');



Espectro Lineal de Aceleracin

Obtener el Espectro Lineal de Aceleracin, utilizando un algoritmo de Newmark, para una estructura de un grado de libertad, entre los periodos de T = 0 a T = 3 *s+, del registro n del terremoto del 27 de Febrero de 2010, considerando los amortiguamientos = *0,a,b+% (n = 1: Constitucin E-O; n = 2: Concepcin N-S; n = 3: Angol E-O; n=4: Curic E-O) El .txt del registro, contiene un vector con las aceleraciones en *g+, separadas por un intervalo t. A continuacin, se indican las especificaciones y condiciones iniciales de los registros:

Registro t [s] N datos Desplazamiento Inicial

Acelergrafo [cm]

Velocidad Inicial

Acelergrafo [cm/s]

Constitucin E-O 0,005 28.657 -0,011 -0,144

Concepcin N-S 0,005 28.338 -0,035 1,641

Angol E-O 0,01 18.001 -0,003 0,099

Curic E-O 0,01 18.001 0,011 0,036

Para obtener el Espectro Lineal de Aceleracin se modela un sistema de un grado de libertad de la siguiente forma:

Con la ecuacin diferencial de este problema como:

tFtutKtutctutm

donde:

m: Masa del sistema en el tiempo t en [kg]



( t): Aceleracin del sistema en el tiempo t en [m/s2] c: Viscosidad del sistema en el tiempo t en [Ns/m] u (t): Velocidad del sistema en el tiempo t en [m/s] K: Rigidez del sistema en el tiempo t en [N/m] u(t): Posicin del sistema en el tiempo t en [m] F(t): Fuerza externa sobre el sistema en el tiempo t en [N]

Si se evala el sistema en un tiempo t + t:

ttFttutKttutcttutm

Notar que se consideran las propiedades masa, viscosidad y rigidez, constantes durante el intervalo t, tomndose para el anlisis, el valor de ellas en el tiempo t (principio del intervalo). Y luego se resta la expresin anterior con la ecuacin para el tiempo t, donde:

tuttutu tuttutu tuttutu tFttFtF

La ecuacin de equilibrio incremental se obtiene para el intervalo de tiempo t:

tFtutKtutctutm

donde: m(t): Masa del sistema al inicio del intervalo en [kg] (t): Incremento de la aceleracin del sistema en el intervalo en [m/s2] c(t): Viscosidad del sistema al inicio del intervalo en [Ns/m]

u (t): Incremento de la velocidad del sistema en el intervalo en [m/s] K(t): Rigidez del sistema al inicio del intervalo en [N/m] u(t): Incremento de la posicin del sistema en el intervalo en *m+ F(t): Incremento de la fuerza externa sobre el sistema en el intervalo en *N+ La anterior ecuacin ser la que se resolver para cada intervalo t, para ella se conocen los

siguientes datos provenientes de la resolucin del intervalo anterior: m(t), c(t), K(t), (t), u (t), u(t); adems de ser dato F(t), ya que son datos F(t) y F(t + t). Quedando como incgnitas ( t ),

u (t) y u(t), o sea (t + t), u (t + t), u(t + t). En cada paso t la solucin realizando una integracin directa es:

dututtutt

t



dututtutt

t

Dado que no se conoce como cambia la aceleracin ni la velocidad durante el intervalo, se supone un tipo de variacin, usndose para este ejemplo, la de Aceleracin Lineal con = 1/6 del Mtodo de Newmark:

Realizando los reemplazos respectivos:

tuttutu tuttutu tuttutu

Se obtiene:



Si de despejan u (t) y (t) en funcin de u(t), quedan las siguientes expresiones:

tut

tutut

tu

2

33

tutut

tut

tu

366

2

Reemplazando en la ecuacin de equilibrio incremental:

tFtutKtut

tutut

tctutut

tut

tm

23

33

662

Ordenando:

tctut

tutmtutut

tFtutKtct

tmt

233

6362

Con:

tKtct

tmt

tK

36

2 como la rigidez efectiva



tctut

tutmtutut

tFtF

233

6 como el incremento de fuerza

efectiva

Se obtiene el valor para u(t):

tKtF

tu

Algoritmo Mtodo = 1/6 de Newmark:

1) Se conocen las condiciones iniciales del problema: m(0), c(0), K(0), u (0), u(0), F(0), con

ello se despeja (0) de la ecuacin de diferencial del problema:

0

000000

m

uKucFu

2) Una vez conocidas las condiciones iniciales del problema o los datos finales del intervalo

anterior: m(t), c(t), K(t), (t), u (t), u(t), F(t), se calculan K y F

tKtct

tmt

tK

36

2

tctut

tutmtutut

tFtF

233

6

3) Calcular u( t ) y con ello se calculan u (t) y (t)

tKtF

tu

tut

tutut

tu

2

33

tutut

tut

tu

366

2

4) Calcular ( t + t ), u ( t + t ), u( t + t ):

tututtu tututtu



tututtu

5) 5) Repetir desde el paso 2, ocupando (t + t), u (t + t), u(t + t) como los (t), u (t), u(t)

del siguiente intervalo.

El mtodo de Newmark, tiene lmites de convergencia y estabilidad, segn el t y el periodo T de la estructura:

Lmite de convergencia: 39,0

39,0t

TTt

Lmite de estabilidad: 55,0

55,0t

TTt

Dado el t en el problema, debera considerarse el lmite de convergencia como criterio de eleccin del periodo ms pequeo a evaluar. En el caso del problema la fuerza externa se puede expresar en funcin de la aceleracin del registro g( t ), que viene con sus datos en [g], por lo cual, la fuerza externa se define como:

81,9 tumtF g

Como el problema es un sistema lineal, las propiedades de ste son constantes en todo momento:

mtm

ktK

mktc 2 , con amortiguamiento del sistema

Se debe realizar el Mtodo = 1/6 de Newmark para cada periodo. Luego se obtiene el mayor

valor absoluto de aceleracin para cada periodo y con estos datos se construye el grfico Espectro

v/s Periodo de la respuesta.

Los espectros de respuesta normalmente entregan el espectro en unidades de [g], por lo cual, se

debera dividir la mxima aceleracin absoluta, por 9,81.

Notar que el Mtodo = 1/6 de Newmark tiene criterio de convergencia, por lo cual, el mnimo

periodo a evaluar, debiese ser 39,0

tT

, luego asignar un paso ojal menor igual a 0,05 [s] en

incrementacin del periodo, hasta evaluar T = 3 [s].

A continuacin, se presentan los periodos mnimos a usar para cada registro y las condiciones

iniciales del problema:



Registro t [s] T mnimo a

usar[s]

Desplazamiento Inicial

Acelergrafo [m]

Velocidad Inicial

Acelergrafo [m/s]

Constitucin E-O 0,005 0,05 > 0,0128 -0,00011 -0,00144

Concepcin N-S 0,005 0,05 > 0,0128 -0,00035 0,01641

Angol E-O 0,01 0,05 > 0,0256 -0,00003 0,00099

Curic E-O 0,01 0,05 > 0,0256 0,00011 0,00036

Ya que el dato a evaluar es el periodo, el sistema se puede definir con una masa cualquiera y la

rigidez del sistema quedar en funcin de m y T:

22

Tmk

Todo lo anterior, hay que hacerlo para = 0%; = a% y = b%.

Alguno de los espectros de respuesta se adjuntan a continuacin, con T = 0,005:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Sa (

g)

Periodo (s)

Espectro Registro Constitucin Direccin E-O

= 0

= 0.03

= 0.055



0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

7

8

Sa (

g)

Periodo (s)

Espectro Registro Concepcin Direccin N-S

= 0

= 0.03

= 0.055

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

5

10

15

20

25

Sa (

g)

Periodo (s)

Espectro Registro Angol Direccin E-O

= 0

= 0.03

= 0.055



0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

2

4

6

8

10

12

14

Sa (

g)

Periodo (s)

Espectro Registro Curic Direccin E-O

= 0

= 0.03

= 0.055



%ESPECTRO LINEAL DE ACELERACION DF=11;%Dgito Verificador dT=0.005;%Intervalo de periodos

%Constitucin E-O %dt=0,005 Datos=28657 %di = -0,011 cm %vi = -0,144 cm/s

%Angol E-O %dt=0,01 Datos=18001 %di = -0,003 cm %vi = 0,099 cm/s

%Concepcin N-S %dt=0,005 Datos=28338 %di = -0,035 cm %vi = 1,641 cm/s

%Curic E-O %dt=0,01 Datos=18001 %di = 0,011 cm %vi = 0,036 cm/s

%fid=fopen('Constitucin.txt'); %registro=fscanf(fid,'%f',[28657,1]);

% fid=fopen('Concepcin N-S.txt'); % registro=fscanf(fid,'%f',[18001,1])/981; % fclose(fid); % fid=fopen('Concepcin.txt','wt'); % fprintf(fid,'%f\n',registro); % fclose(fid);

registro=load('Constitucin.txt'); x=length(registro); color=['b','r','k']; ddd=[0,(DF+5)/200,(DF+10)/200]; m=1000; df=m*(registro(2:x,:)-registro(1:x-1))*9.81; dt=0.005; T=0.05:dT:3;

for j=1:length(ddd); k=m*(2*pi./T).^2; c=2*ddd(j)*(2*pi./T)*m; K=k+3/dt*c+6/dt^2*m*ones(1,length(T)); d=zeros(length(registro),length(T)); v=d; a=v; d(1,:)=-0.011/100; v(1,:)=-0.144/100; a(1,:)=(m*registro(1)*ones(1,length(T))*9.81-c.*v(1,:)-k.*d(1,:))/m; for i=1:x-1;



dF=df(i)*ones(1,length(T))+c.*(3*v(i,:)+dt/2*a(i,:))+m*(6/dt*v(i,:)

+3*a(i,:)); dd=dF./K; dv=3/dt*dd-3*v(i,:)-dt/2*a(i,:); da=6/dt^2*dd-6/dt*v(i,:)-3*a(i,:);

a(i+1,:)=a(i,:)+da; v(i+1,:)=v(i,:)+dv; d(i+1,:)=d(i,:)+dd;

end

Sa=max(abs(a)); figure(1) hold on plot(T,Sa/9.81,color(j))

end ylabel('Sa (g)') xlabel('Periodo (s)') title('Espectro Registro Constitucin Direccin E-O') legend('\xi = 0',char(['\xi = ',num2str(ddd(2))]),char(['\xi =

',num2str(ddd(3))]),1)



Espectro No Lineal de Aceleracin

Se modela el mismo sistema del ejemplo anterior, consistente de un grado de libertad de la

siguiente forma:

La ecuacin diferencial de este problema es la siguiente:

tFtftutctutm s Donde:

m: Masa del sistema en el tiempo t en [kg]

( t ): Aceleracin del sistema en el tiempo t en [m/s2]

c: Viscosidad del sistema en el tiempo t en [Ns/m]

u ( t ): Velocidad del sistema en el tiempo t en [m/s]

fs( t ): Fuerza interna del sistema en el tiempo t en [N]

F( t ): Fuerza externa sobre el sistema en el tiempo t en [N]

La fuerza interna se define:

y

y

y

y

ys

fktu

fktu

fktu

si

si

si

f

f

ktu

tf

donde:

k: Rigidez del sistema en [N/m]

fy: Tensin de fluencia en [N]

Si se evala el sistema en un tiempo t + t:

ttFttfttutcttutm s * Se consideran las propiedades masa, viscosidad y rigidez, constantes durante el intervalo t,

tomndose para el anlisis, el valor de ellas en el tiempo t (principio del intervalo).

Y luego se resta la expresin anterior con la ecuacin para el tiempo t:

donde:



tuttutu tuttutu

tfttftutK ss

tFttFtF

Se obtiene la ecuacin de equilibrio incremental para el intervalo de tiempo t:

tFtutKtutctutm con:

m(t): Masa del sistema al inicio del intervalo en [kg]

(t): Incremento de la aceleracin del sistema en el intervalo en *m/s2]

c(t): Viscosidad del sistema al inicio del intervalo en [Ns/m]

u (t): Incremento de la velocidad del sistema en el intervalo en [m/s]

K(t): Rigidez segn ley elastoplstica en el instante t en [N/m]

u(t): Incremento de la posicin del sistema en el intervalo en *m+

F(t): Incremento de la fuerza externa sobre el sistema en el intervalo en [N]

La anterior ecuacin ser la que se resolver para cada intervalo t, para ella se conocen los

siguientes datos provenientes de la resolucin del intervalo anterior: m(t), c(t), K(t), (t), u (t), u(t); adems de ser dato F(t), ya que son datos F(t) y F(t + t). Quedando como incgnitas ( t ),

u (t) y u(t), o sea (t + t), u (t + t), u(t + t).

En cada paso t, la solucin realizando una integracin directa es:

dututtutt

t

dututtutt

t

Dado que no se conoce como cambia la aceleracin ni la velocidad durante el intervalo, se supone

un tipo de variacin, usndose para este ejemplo, la de Aceleracin Lineal con = 1/6 del Mtodo

de Newmark:



Realizando los reemplazos respectivos:

tuttutu tuttutu tuttutu

Se obtiene:

Si de despejan u (t) y t) en funcin de u (t), quedan las siguientes expresiones:



tut

tutut

tu

2

33

tutut

tut

tu

366

2

Reemplazando en la ecuacin de equilibrio incremental:

tFtutKtut

tutut

tctutut

tut

tm

23

33

662

Ordenando:

tctut

tutmtutut

tFtutKtct

tmt

233

6362

Con:

tKtct

tmt

tK

36

2; Rigidez efectiva

tctut

tutmtutut

tFtF

233

6; Incremento de fuerza efectivo

Se obtiene el valor para u( t ):

tKtF

tu

Algoritmo Mtodo = 1/6 de Newmark:

1) Se conocen las condiciones iniciales del problema: m( 0 ), c( 0 ), K( 0 ), u ( 0 ), u( 0 ), F( 0 ), con

ello se despeja ( 0 ) de la ecuacin de diferencial del problema, tambin con ello, se obtienen la

fuerza interna fs:

0

000000

m

uKucFu

000 uKf s

2) Una vez conocidas las condiciones iniciales del problema o los datos finales del intervalo

anterior: m( t ), c( t ), K( t ), ( t ), u ( t ), u( t ), F( t ), fs( t - t ), se calculan fs( t ), F , K en el

siguiente orden:

tctut

tutmtutut

tFtF

233

6

ys

ys

fkttuttf

fkttuttf

si

siktK

0



ys

ys

ys

y

ys

fkttuttf

fkttuttf

fkttuttf

si

si

si

f

f

kttuttf

tf

tKtct

tmt

tK

36

2

3) Calcular u( t ) y con ello se calculan u ( t ) y ( t ).

tKtF

tu

tut

tutut

tu

2

33

tutut

tut

tu

366

2

4) Calcular ( t + t ), u ( t + t ), u( t + t ):

tututtu tututtu tututtu

5) Repetir desde el paso 2, ocupando (t + t), u (t + t), u(t + t), fs(t) como los (t), u (t), u(t),

fs(t - t) del siguiente intervalo.

El mtodo de Newmark, tiene lmites de convergencia y estabilidad, segn el t y el periodo T de

la estructura:

Lmite de convergencia: 39,0

39,0t

TTt

Lmite de estabilidad: 55,0

55,0t

TTt

Dado el t en el problema, debera considerarse el lmite de convergencia como criterio de

eleccin del periodo ms pequeo a evaluar.

En el caso del ejemplo, la fuerza externa se puede expresar en funcin de la aceleracin del

registro g (t), que viene con sus datos en [g], por lo cual, la fuerza externa se define como:

81,9 tumtF g

Al ser este un sistema elastoplstico, las propiedades del sistema son las siguientes:

mtm



ys

ys

fkttuttf

fkttuttf

si

siktK

0

mktc 2

ys

ys

ys

y

ys

fkttuttf

fkttuttf

fkttuttf

si

si

si

f

f

kttuttf

tf

Con Amortiguamiento del sistema y fy, la tensin de fluencia:

Dado que se pide el espectro no lineal de aceleracin, se debe realizar el Mtodo = 1/6 de

Newmark para cada periodo, luego se obtiene el mayor valor absoluto de aceleracin para cada

periodo, con estos datos, se construye el grfico Espectro v/s Periodo de la respuesta.

Los espectros de respuesta normalmente entregan el espectro en unidades de [g], por lo cual, se

debera dividir la mxima aceleracin absoluta, por 9,81.

Notar que el Mtodo = 1/6 de Newmark tiene criterio de convergencia, por lo cual, el mnimo

periodo a evaluar, debiese ser 39,0

tT

, luego asignar un paso ojal menor igual a 0,05 [s] en

incrementacin del periodo, hasta evaluar T = 3 [s].

A continuacin, se presentan los periodos mnimos a usar para cada registro y las condiciones

iniciales del problema:



Registro t [s] T mnimo a

usar[s]

Desplazamiento Inicial

Acelergrafo [m]

Velocidad Inicial

Acelergrafo [m/s]

Constitucin E-O 0,005 0,05 > 0,0128 -0,00011 -0,00144

Concepcin N-S 0,005 0,05 > 0,0128 -0,00035 0,01641

Angol E-O 0,01 0,05 > 0,0256 -0,00003 0,00099

Curic E-O 0,01 0,05 > 0,0256 0,00011 0,00036

Ya que el dato a evaluar es el periodo, el sistema se puede definir con una masa cualquiera y la

rigidez del sistema quedar en funcin de m y T: 2

2

Tmk

La obtencin del espectro para el ejemplo se realiza para cada tensin de fluencia desde

fy = 0,2 * W, con un paso de B * W, hasta la tensin de fluencia con la que el sistema se comporte

en forma lineal, es decir, hasta que en todos los puntos evaluados fs < fy.

El resultado para el registro de Constitucin se presenta en el grfico adjunto. No se parte de

perodos bajos puesto que la respuesta para intervalos de mucha rigidez distorsiona la

visualizacin de la respuesta para el rango de anlisis usual.



%ESPECTRO LINEAL DE ACELERACION

%Resetea todas las variables

DF=1; %Dgito Verificador dT=0.1;%Intervalo de periodos

ddd=2*DF/100; %Amortiguamiento dfy=0.2; %Paso deltaFy = dfy*W

%Se ingresa vector con distintos colores dados por las propiedades RGB,

que no estn definidos por defecto con una letra en MATLAB, con el fin de

graficar colores=[0.5 0.5 0.5;0.5 0 0.5;0 0.5 0.5;1 0.5 0;0.5 0.25 0;0.5 0 0;0 0.5

0];

%Se ingresa vector con los colores definidos por una letra en MATLAB,

para graficar color=['y';'b';'k';'m';'c';'r';'g'];

m=1000; %Masa del sistema (Este puede tomar cualquier valor >= 0 ) T=0.4:dT:3; %Rango de periodos para evaluar el espectro k=m*(2*pi./T).^2; %Clculo de la rigidez para cada periodo c=2*ddd*(2*pi./T)*m; %Clculo de la viscosidad para cada periodo

%Carga de los datos del acelerograma del registro de Constitucin registro=load('Constitucin.txt');

%El registro se encuentra en [g], se pasa a [m/s^2] registro=registro*9.81;

%Se mide el largo de datos del registro x=length(registro);

%Se obtiene el incremento de fuerza del registro, restando cada punto del

registro con su anterior dato, y todo ello multiplicado por la masa df=m*(-registro(2:x,:)+registro(1:x-1)); %deltaF = - m * g(t)

dt=0.005; %Paso de tiempo del registro para Constitucin

%Clculo de la rigidez efectiva, se crea un vector del mismo tamao que

la cantidad de periodos a evaluar K=k+3/dt*c+6/dt^2*m*ones(1,length(T));

%Valores iniciales para ingresar al while fs=0.2*m*9.8; %Valor dado para poder ingresar al while fy=0.2*m*9.8*ones(1,length(T)); %Fluencia inicial de 0,2*W j=0;%Iniciacin del contador

%Se crea un proceso repetitivo while, que seguir funcionando mientras algn fs alcance el valor de fluencia en algn punto del registro de la respuesta



while sum(max(abs(fs))~=fy)~=length(T); %Solo se saldr del while, si

todos los valores de fs en valor absoluto, son menores a la fluencia

evaluada

j=j+1; %Contador %Para la primera iteracin, la fluencia fue iniciada afuera del while if j~=1; fy=fy+dfy*m*9.8*ones(1,length(T)); %Incrementar Fy en 0,2*W end

%Iniciacin de matrices de posicin, velocidad, aceleracin y fs, en que cada columna representa un periodo y cada fila representa un instante de tiempo de la respuesta d=zeros(length(registro),length(T)); v=d; a=v; fs=a; %Condiciones iniciales del acelergrafo d(1,:)=-0.011/100; v(1,:)=-0.144/100; %Clculo de la aceleracin inicial del acelergrafo a(1,:)=(-m*registro(1)*ones(1,length(T))-c.*v(1,:)-k.*d(1,:))/m; %fs inicial fs(1,:)=0; %Primer fs con las condiciones iniciales fs(2,:)=k.*d(1,:);

%Newmark inelstico for i=1:x-1;%Ir recorriendo cada instante delta t %Clculo del incremento de fuerza dF=df(i)+c.*(3*v(i,:)+dt/2*a(i,:))+m*(6/dt*v(i,:)+3*a(i,:));

%El fs inicial es dado segn las condiciones iniciales, fuera del

for, los siguientes se calculan, segn las condiciones del paso anterior if i~=1; %Funcin por tramos, si fs + k*du en valor absoluto, es menor a la fluencia, el nuevo fs ser fs + k*du, sino, tomar el valor de fy si fs + k*du es positivo o -fy si es negativo

fs(i+1,:)=(fs(i,:)+k.*dd).*(abs(fs(i,:)+k.*dd)fy(j))-fy(j)*(fs(i,:)+k.*dd



end %Se obtiene el mximo valor de posicin en valor absoluto para cada

periodo Sd=max(abs(d));

%Clculo del Pseudo Espectro de Aceleracin PSa=Sd.*((2*pi)./T).^2;

%Grfica PSa v/s T para cada fluencia, de tal manera que cada curva,

quede con un %color distinto y/o grosor de lnea distinto. Notar que los espectros %se dividen por g, para que queden en unidades de [g] figure(1) if j=14 && j=7 && j=21 && j=28 && j=35 && j=42 && j



',num2str(0.2+7*dfy)]),char(['Fy/W = ',num2str(0.2+8*dfy)]),char(['Fy/W =

',num2str(0.2+9*dfy)]),char(['Fy/W = ',num2str(0.2+10*dfy)]),char(['Fy/W

= ',num2str(0.2+11*dfy)]),char(['Fy/W =




























= ',num2str(0.2+53*dfy)]),char(['Fy/W = ',num2str(0.2+54*dfy)]),1)



Superposicin modal

Plantear las ecuaciones del movimiento del marco de acero de un vano y cinco pisos analizado en clase, pero considerando las vigas flexuralmente deformables y columnas axial-flexuralmente deformables; suponer que todas las columnas tienen el mismo momento de inercia I=9230cm4 y rea 62cm2, y las vigas un momento de inercia I=12250cm4 mayor, que el primer piso es de 4m de altura y los restantes de 3.5m de altura; y que el vano es de 7.5m de luz. Las masas de los pisos, excepto el ltimo, son todas iguales, la del ltimo es solo el 65% de una de ellas, y se supone que estn concentradas a nivel de cada piso. Plantear la ecuacin condensando los grados de libertad no asociados a masas (los grados de libertad inerciales son solamente los 5 desplazamientos laterales de los pisos).

a) Determinar las formas modales, y calibrar la razn entre rigidez y masas de modo que el primer modo tenga un perodo 0.2s. Determinar la matriz de amortiguamiento de manera que este sea clsico, con 5% de amortiguamiento en todos los modos.

b) Obtener la respuesta a la excitacin de la componente ux del registro de Melipilla del

terremoto de 1985 (obtenerla del archivo Melip.m) a) integrando directamente con ode23 b) integrando directamente con aceleracin constante c) mediante superposicin modal con 2, 3 y 5 modos (integrando cada modo independientemente en la forma que quiera)

c) Determinar la estimacin CQC del mximo momento flector en la base de columna del primer piso, el mximo del esfuerzo axial de la columna, y el mximo de una combinacin lineal del momento y el esfuerzo axial (los mismos valores de los coeficientes de la combinacin).

d) Integrar la ecuacin:

22 gy y y u

considerando gu como el ux del registro de Melipilla del terremoto de 1985 del archivo

rec_melip.mat, y para los 5 valores de correspondientes a las frecuencias modales del marco de un vano y cinco pisos y obtener de esas respuestas los mximos que deberan ser valores de las correspondientes ordenadas espectrales. Aplicar superposicin modal espectral CQC para estimar los mximos de: a) El desplazamiento del primer piso b) El desplazamiento del quinto piso c) El desplazamiento relativo de entrepiso del tercer piso d) El corte basal e) El corte del tercer entrepiso

Comparar con los resultados de usar las coordenadas modales obtenidas para calcular los mximos exactos.



a) Matriz de Rigidez

Se requiere obtener la matriz de rigidez de un edificio de 5 pisos compuesto por columnas y vigas.

Las vigas se considerarn flexurablemente deformables y las columnas axial-flexurablemente

deformables. De esta manera los grados axiales de las vigas no se consideraran, utilizando una

matriz de rigidez reducida para vigas en posicin horizontal que no incluye los trminos axiales,

mientras que la matriz de rigidez de cada columna contiene todos los trminos.

Para mayor facilidad en el desarrollo se consideraran primero los grados de libertad que

representan el desplazamiento lateral de cada piso, para luego considerar el resto. De esta forma

los primero cinco trminos de la matriz de rigidez resultante sern los que se usarn para

determinar la respuesta a nivel de piso debido al registro.

La siguiente figura indica los grados de libertad globales considerados para el edificio de 5 pisos.

Vigas

La matriz de rigidez local se obtiene no considera los grados de libertad axiales, por lo que el

elemento queda como lo indica la figura:

Considerando la matriz elemental para una viga horizontal y tomando en cuenta slo los 4 grados

de libertad locales indicados, la matriz de rigidez local del elemento viga se expresa como



2 2

3

2 2

6 3 6 3

3 2 32

6 3 6 3

3 3 2

c vv

L L

L L L LE Ik

L LL

L L L L

Columnas

En relacin a la matriz de rigidez de la columna, se consideran todos los grados de libertad de la

matriz de rigidez elemental. De esta forma, se tiene que el elemento columna se expresa en

coordenadas locales como:

Considerando los grados de libertad locales de la columna, la matriz de rigidez local del elemento

columna se expresa como

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 0 6 12 0 6

0 0 0 0

6 0 4 6 0 2

12 0 6 12 0 6

0 0 0 0

6 0 2 6 0 4

c c c c c c c c

i i i i

c c c c

i i

c c c c c c c c

i i i i

c

c c c c c c c c

i i i i

c c c c

i i

c c c c c c c c

i i i i

E I E I E I E I

h h h h

E A E A

h h

E I E I E I E I

h h h hk

E I E I E I E I

h h h h

E A E A

h h

E I E I E I E I

h h h h

Se debe hacer la diferencia sobre la altura del primer piso con la del resto de los pisos, para lo cual

se generarn matrices de rigidez para el primer piso y para el resto. Todas las vigas tienen las

mismas propiedades, por lo cual no se har diferencia con las matrices de rigidez de stas.

Los valores a utilizar son



22038.902 29000ctonf

E ksicm

412250vI cm 750vL cm

262cA cm 49230cI cm

400 ,

350 ,i

cm parael primer pisoh

cm parael restodelos pisos

0.05i

Una vez realizado lo anterior, es necesario establecer la relacin entre los grados de libertad

locales y globales. Para ello se enumeran los elementos, con la finalidad de establecer los vectores

de conectividad que permitan ensamblar la matriz de rigidez del sistema. La figura que se indica a

continuacin establece la numeracin de los elementos. Se requieren 5 vectores de conectividad

para las 5 vigas y 10 vectores de conectividad para las 10 columnas.

El procedimiento descrito a continuacin se puede estandarizar utilizando indexacin, como

aparece en el Captulo de Anlisis Estructural del tutorial, pgina 23. Resolucin respuestas a la

excitacin de la componente ux del registro de Melipilla



% Matrices de rigidez barras

% vigas

kv=2*Ec*Iv/L^3*[6 3*L -6 3*L;

3*L 2*L^2 -3*L L^2;

-6 -3*L 6 -3*L;

3*L L^2 -3*L 2*L^2];

% columnas

EA=Ec*Ac; EI=Ec*Ic;

Kcp1 = [12*EI/hp1^3,0,-6*EI/hp1^2,-12*EI/hp1^3,0,-6*EI/hp1^2;

0,EA/hp1,0,0,-EA/hp1,0;

-6*EI/hp1^2,0,4*EI/hp1,6*EI/hp1^2,0,2*EI/hp1;

-12*EI/hp1^3,0,6*EI/hp1^2,12*EI/hp1^3,0,6*EI/hp1^2;

0,-EA/hp1,0,0,EA/hp1,0;

-6*EI/hp1^2,0,2*EI/hp1,6*EI/hp1^2,0,4*EI/hp1];

Kcp2 = [12*EI/hp2^3,0,-6*EI/hp2^2,-12*EI/hp2^3,0,-6*EI/hp2^2;

0,EA/hp2,0,0,-EA/hp2,0;

-6*EI/hp2^2,0,4*EI/hp2,6*EI/hp2^2,0,2*EI/hp2;

-12*EI/hp2^3,0,6*EI/hp2^2,12*EI/hp2^3,0,6*EI/hp2^2;

0,-EA/hp2,0,0,EA/hp2,0;

-6*EI/hp2^2,0,2*EI/hp2,6*EI/hp2^2,0,4*EI/hp2];

% Matrices de compatibilidad para cada barra

% vigas

a1=zeros(4,25); a1(1,6)=1; a1(2,7)=1; a1(3,8)=1; a1(4,9)=1;

a2=zeros(4,25); a2(1,10)=1; a2(2,11)=1; a2(3,12)=1; a2(4,13)=1;

a3=zeros(4,25); a3(1,14)=1; a3(2,15)=1; a3(3,16)=1; a3(4,17)=1;

a4=zeros(4,25); a4(1,18)=1; a4(2,19)=1; a4(3,20)=1; a4(4,21)=1;

a5=zeros(4,25); a5(1,22)=1; a5(2,23)=1; a5(3,24)=1; a5(4,25)=1;

% columnas

a6=zeros(6,25); a6(4,1)=-1; a6(5,6)=1; a6(6,7)=1;

a7=zeros(6,25); a7(4,1)=-1; a7(5,8)=1; a7(6,9)=1;

a8=zeros(6,25); a8(1,1)=-1; a8(2,6)=1; a8(3,7)=1; a8(4,2)=-1; a8(5,10)=1; a8(6,11)=1;

a9=zeros(6,25); a9(1,1)=-1; a9(2,8)=1; a9(3,9)=1; a9(4,2)=-1; a9(5,12)=1; a9(6,13)=1;

a10=zeros(6,25); a10(1,2)=-1; a10(2,10)=1; a10(3,11)=1; a10(4,3)=-1; a10(5,14)=1; a10(6,15)=1;

a11=zeros(6,25); a11(1,2)=-1; a11(2,12)=1; a11(3,13)=1; a11(4,3)=-1; a11(5,16)=1; a11(6,17)=1;

a12=zeros(6,25); a12(1,3)=-1; a12(2,14)=1; a12(3,15)=1; a12(4,4)=-1; a12(5,18)=1; a12(6,19)=1;

a13=zeros(6,25); a13(1,3)=-1; a13(2,16)=1; a13(3,17)=1; a13(4,4)=-1; a13(5,20)=1; a13(6,21)=1;

a14=zeros(6,25); a14(1,4)=-1; a14(2,18)=1; a14(3,19)=1; a14(4,5)=-1; a14(5,22)=1; a14(

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