MATLAN_03_INVERS LAPLACE

MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE

AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 1

BAB 3

INVERS LAPLACE

Pokok Pembahasan :Prinsip Dasar

Invers Laplce Fungsi-Fungsi DasarEkspansi Parsial

Konvolusi



1. PRINSIP DASARInverse Laplace adalah kebalikan dari transformasi Laplace, yaitu transformasi F(s) menjadi f(t).

L-1 F(s) = f(t) ( 3-1 )

⊕ Pernyataan invers Laplace dinyatakan dengan simbol “ L-1 “

⊕ Invers Laplace dapat dilakukan terhadap semua fungsi :• Fungsi-fungsi Elementer• Fungsi-fungsi Non Elementer

2. INVERS LAPLACE FUNGSI-FUNGSI ELEMENTERInvers Laplace fungsi-fungsi dasar dapat dilihat dalam Ikhtisar Transform.Laplace. Hasil invers merupakan kebalikan dari transformasinya.



3. FRAKSI PARSIAL (PARTIAL FRACTION)Ekspansi Heaviside merupakan salah satu cara penyelesaian invers Laplace untuk fungsi-fungsi non elementer.

Bila bentuk Transformasi Laplace merupakan pembagian 2 buah persamaan polinomial yang dinyatakan dengan :

( 3-2 )

⊕ A(s) dan B(s) adalah polinomial dalam s⊕ Pangkat (orde) s pada A(s) < orde s pada B(s).

⊕ A(s) = amsm + am-1sm-1 + ...... + a1s + a0

⊕ B(s) = bn sn + bn-1sn-1 + ....... + b1s + b0

A(s)F(s) = B(s)



⊕ B(s) dapat diuraikan menjadi :

• B(s) = bn(s-s1)(s-s2) ........(s-sk) ...... (s-sn)

• s1, s2, s3,.....sn = akar-akar B(s).

⊕ Akar-akar B(s) dapat berupa :• Bilangan nyata (riel)• Bilangan imajiner (khayal)• Bilangan kompleks.

⊕ Akar-akar B(s) meliputi akar-akar :• Berharga tak sama (berbeda).• Berharga sama.



Contoh pembagian fungsi polinomial rasional (terukur) :

Sehingga F(s) menjadi :

3

2

3s + 2s + 1F(s) = s + s + 2

2

-s + 7F(s) = 3s - 3 + s + s + 2

2 3(s + s + 2 ) 3s 2 s 1+ +3 23 s + 3 s + 6 s

3s - 3

2- 3 s 4 s 1− +-

2- 3 s 3s 6− −-- s + 7



3.1. Fraksi Parsial Dengan Akar-akar Tak Sama Bila akar-akar B(s) tak ada yang sama dan m < n, maka :

Besaran-besaran k1, k2, k3 ...kn dapat ditentukan dengan rumus :

( 3-3 )

1 2 k n

A ( s )F ( s ) = b ( s - s ) ( s - s ) . . . . ( s - s ) . . . . . ( s - s )

1 2 k n

n 1 2 k n

k k k k1F ( s ) = . . . . . . .b s s s s s s s s

⎡ ⎤⎢ ⎥+ + + + +⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦

k

k n k

S S

A(s)k = b (s s ).B(s)

=

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠



Contoh :

L-1 = L-1

L-1 = L-1

f(t) = -½ u(t) + 1/6 e2t u(t) + 1/3 e-t u(t)

{ }2

s = 2

1 1k = (s-2) = 6s(s-2)(s+1)

1 s ( s - 2 ) ( s + 1 )

31 2 kk k s ( s - 2 ) ( s + 1 )

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

{ }1

s = 0

1 1k = s = -2s ( s - 2 ) ( s + 1 )

{ }3

s = -1

1 1k = (s+1) = 3s(s-2)(s+1)

1 s ( s - 2 ) ( s - 1 )

1 116 32

s ( s - 2 ) ( s + 1 )

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠



3.2. Fraksi Parsial Dengan Akar-akar Sama Bila akar-akar B(s) ada yang sama dan m < n, pada :

Bila terdapat p buah akar yang sama, maka :

1 2 k n

A ( s )F ( s ) = b ( s - s ) ( s - s ) . . . . ( s - s ) . . . . . ( s - s )

1 p 1 p -1 1 1p p -1

n 1 1 1

k k kA (s ) 1 = + + .. .+ + .. . .B (s ) b (s -s ) ( s -s ) ( s -s )

⎡⎢⎢⎣

p+1 p+2 n

p+1 p+2 n

k k k+ +....+ + ......... + (s-s ) (s-s ) (s-s )

⎤⎥⎥⎥⎦



dengan :

( 3-4a )

( 3-4b )

( 3-4c )

1

p1 p n 1

s = s

A ( s )k = b ( s - s )B ( s )

1

p1 p - 1 n 1

s s

d A ( s )k = b ( s - s )d s B ( s ) =

1

p - kpn

1 k 1p - ks = s

b d A ( s )k = ( s - s )( p - k ) ! d s B ( s )



Contoh :

L-1

L-1

f(t) = 3te-t – 3e-t + 3e-2t = 3 [(t-1)e-t + e-2t]

2 21 2s 1

s 1

3k (s 1) F(s) (s 1) 3(s 1) (s 2)=−

=−

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + +⎝ ⎠

31 22

kk kF(s)(s 1) s 1 s 2

= + ++ + +

2

3F(s)(s 1) (s 2)

=+ +

22 2

s 1

d 3k = (s+ 1 ) 3d s (s+ 1 ) (s 2 ) =−

= −+

3 2s 2

3k (s 2) 3(s 1) (s 2) =−

= + =+ +

2 2

3 3 3 3(s 1) (s 2) (s 1) (s 1) (s 2)

= − ++ + + + +



Cara lain untuk mencari nilai k2 :⊕ Substitusikan harga k1 yang telah di dapat.⊕ Pindahkan ke ruas kiri. ⊕ Hitung k2 dengan metode fraksi parsial dengan akar berbeda.

322 2

kk3 3(s 1) (s 2) (s 1) (s 1) (s 2)

− = ++ + + + +

2 21 2s 1

s 1

3k (s 1) F(s) (s 1) 3(s 1) (s 2)=−

=−

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + +⎝ ⎠

322 2

kk3 3(s 1) (s 2) (s 1) (s 1) (s 2)

= + ++ + + + +

2s 1

3k = (s+ 1 ) 3(s+ 1 )(s 2 ) =−

= −+

32 kk3(s 1)(s 2) (s 1) (s 2)

− = ++ + + +



3.3. Ekspansi Parsial Dengan Akar-akar KompleksAkar-akar kompleks terjadi dalam pasangan konjugasinya Bila

( 3-5 )

( 3-6 )

( 3-7a )

( 3-7b )

1 2k kF ( s ) = s - - j s - + j

+α β α β

F ( s ) = jα ± β

1 s = + jk = ( s - - j ) F ( s ) | α βα β

2 s = -jk = ( s - + j ) F ( s ) | α βα β



Bila

( 3-8 )

( 3-9 )

r 2r r 1 r 2

d d (s p) F(s) [A (s p)A (s p) A ....)ds ds − −− = + − + − +

r r-1 11r r r 1

1

A A AN(s)F(s) = ... F (s)D (s)(s p) (s p) (s p) (s p)−= + + + +

− − − −

rr 1 r 2

d d (s p) F(s) [A 2(s p)A ....]ds ds − −− = + − +



Contoh :1.

t t of (t) e 2 e cos (t 45 )− −=− + −

sF(s)(s 1)(s 1 j1)(s 1)(s 1 j1)

=+ + − + + +

2

sF(s)(s 1)(s 2s 2)

=+ + +

2s 1

sA 1s 2s 2 =−

= =−+ +

o

s 1 j1

s 1 j1 1B 45(s 1)(s 1 j1) 2 2= +

−= = = ∠−+ + +

A B B*F(s)(s 1) (s 1 j1) (s 1 j1)

= + ++ + − + +



2.

Bila p – p*=2j dan p+1 = j, maka : [ 4 2 ( j) ( 2 j) ] 1B( 1)(1 6 ) 2

− − += =−

2 2

A B A * B* CF(s)(s p) s p (s p*) s p * s 1

= + + + +− − − − +

2 2

1F(s)(s 1)(s 2s 2)

=+ + +

2 2 2s p

1 1 1 1A j(s 1)(s p*) (p 1)(p p*) ( j)(2 j) 4=

= = = =+ − + − +

2

2 2 4

d 1 [(s p*) 2(s 1)(S p*)]ds (s 1)(s p*) (S 1) (S p*)

− − + + −=+ − + −

2

2 4

[(p p*) 2(p 1)(p p*)]B(p 1) (p p*)

− − + + −=+ −



Selanjutnya

f(t) = Atept + Bept + A* tep*t + B*ep*t + Ce-t

Bila A = (1/4) ∠ 90o dan B = ½ ∠ 0o

f(t) = te-t cos( t + 90o ) + e-t cos t + e-t

2s 1

1C 1s 2s 2 =−

= =+ +



4. KONVOLUSIBila f(t) merupakan inverse F(S) dan g(t) merupakan inverse G(S), maka h(t) merupakan invers dari produk H(S) = F(S) G(S).h(t) disebut konvolusi dan dituliskan dengan :

Untuk τ > 0.

Dengan definisi G(S) dan teori pergeseran, didapatkan :

t

0

h(t) (f *g)(t) f ( )g(t )d= = τ − τ τ∫ ( 3-10 )

s st

0

e G(S) e g(t ) dt∞

− τ −= − τ∫ ( 3-11 )



Sehingga :

Sifat-sifat dasar operasi aritmatik konvolusi

a. Komutatif f * g = g * fb. Distributif f *( g1 + g2 ) = f * g1 + f * g2

c. Asosiatif ( f * g ) * v = f * ( g * v )f * 0 = 0 * f = 0

Demikian pula halnya perkalian dengan bilangan lain kecuali 1, karenaKhusus untuk 1 * g ≠ g

tst

0 0

H(S) F(S) G(S) e f ( )g(t )d dt∞

−= = τ − τ τ∫ ∫ ( 3-11 )



Contoh Soal dan Penylesaian1. H(S) = 1/[(S2)(S- ω)] ; tentukan h(t) !

Jawab :

21 1F(S) = dan G(S)

S - S=

ω

tt

0

h(t) t *e f ( )g(t )d dtω= = τ − τ τ∫

tf (t) = t dan g(t) eω=

tt (t )

0

h(t) t *e e d ω ω −τ= = τ τ∫t

t t )

0

h(t) t *e e e d ω ω −ωτ= = τ τ∫t

21h(t) (e 1)ω= − ω −

ω;



SOAL-SOAL LATIHANTentukan f(t) dari persamaan berikut dengan metode konvolusi

21 11. 2.

s(s- )(s- )(s- )α ≠ β

α βω

2 2 2 2 21 s3. 4.

s(s + ) (s + )ω ω

2 2 2 21 15. 6.

s (s - ) s (s +5)ω

2 2 26s 2s + 19. 10.

s(s + 1) 1 (s + 4s + 13)+

2 2 2s 17. 8.

(s + ) (s - 3)(s +5)ω



SOAL-SOAL TAMBAHANTentukan f(t) dari persamaan-persamaan berikut :

Selesaikan transformasi Laplace persamaan-persamaan berikut :

Bila diketahui Z1 ∠ ( ωt + θ ) dan Z2 ∠ ( ωt - θ ) , maka hitung :

2 2s 11. 2.

(s 1)(s 2) (s +3s+1)+ +

2 2 2s s + 23. 4.

(s + 5s 5) s (s - )+ ω

at5. t cos( t+ ) 6. e sin( t+ ) ω θ ω θ3 27. ( 4t + t + 3 ) cos( t ) 8. sin( t ) cos( t ) ω + α ω + α ω + β

at1 2

1 2

1 19. + 10. e ( z + z ) z z

Documents

MATLAN_03_INVERS LAPLACE