Matèria de Matemàtiques II - IOCioc.xtec.cat/materials/BMA2B1A/ma2_b2/sol_exerc_edebe_ma2_b2.pdf · Aquest llibre forma part del projecte editorial Edebé i ha estat elaborat segons

Matemàtiques IIBATXILLERAT

Matèria de

Projecte i edició: grup edebé

Direcció general: Antoni Garrido González

Direcció editorial: Josep Lluís Gómez Cutillas

Direcció d’edició de text: Maria Banal Martínez

Direcció de l’àrea de Ciències i Tecnologia: Rosa Comabella Bernat

Direcció pedagògica: Santiago Centelles Cervera

Direcció de producció: Joan López Navarro

Equip d’edició d’edebé:

Edició: Josep Estela Herrero, Núria Lorente Pla, Pau Barberá Fábregas i Ferran Monsó Ferré

Pedagogia: Elsa Escolano Lumbreras

Il·lustració: Robert Maas Olives

Correccions: Núria Casals Campmany i Rosana Rodríguez Marzo

Coberta: Lluís Vilardell Panicot

Col·laboradors:

Text: Carolina Estudillo Pérez, Raquel Sorin Hounie i Eugeni González Sierra

Dibuixos: Luis Bogajo Peñarroya

Preimpressió: Tecfa

Qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública otransformació d’aquesta obra només pot ser duta a terme amb l’autorit-zació dels seus titulars, tret de les excepcions previstes en la Llei.Adreceu-vos a CEDRO (www.cedro.org) si necessiteu fotocopiar oescanejar cap fragment d’aquesta obra.

És propietat de grup edebé

© grup edebé, 2009

Passeig Sant Joan Bosco, 62

08017 Barcelona

www.edebe.com

ISBN 978-84-236-9522-5

Dipòsit Legal. B. 28.753-2009Imprès a Espanya

Printed in Spain

Tecfoto, S.L. Tecfoto, S.L.

Aquest llibre forma part del projecte editorial Edebé i ha estat elaborat segons les disposicions inormes curriculars que desenvolupen la Llei Orgànica d’Educació (LOE) de 3 de maig de 2006.

Modalitat de Ciències i TecnologiaSegon curs de Batxillerat

Orientacions i solucionari

BATXILLERAT

Matemàtiques IIOrientacions i solucionari

BATXILLERAT

Matemàtiques II Orientacions i solucionari

C M

Y K


Matèria de

Projecte i edició: grup edebé

Direcció general: Antoni Garrido González

Direcció editorial: Josep Lluís Gómez Cutillas

Direcció d’edició de text: Maria Banal Martínez

Direcció de l’àrea de Ciències i Tecnologia: Rosa Comabella Bernat

Direcció pedagògica: Santiago Centelles Cervera

Direcció de producció: Joan López Navarro

Equip d’edició d’edebé:

Edició: Josep Estela Herrero, Núria Lorente Pla, Pau Barberá Fábregas i Ferran Monsó Ferré

Pedagogia: Elsa Escolano Lumbreras

Il·lustració: Robert Maas Olives

Correccions: Núria Casals Campmany i Rosana Rodríguez Marzo

Coberta: Lluís Vilardell Panicot

Col·laboradors:

Text: Carolina Estudillo Pérez, Raquel Sorin Hounie i Eugeni González Sierra

Dibuixos: Luis Bogajo Peñarroya

Preimpressió: Tecfa

Qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública otransformació d’aquesta obra només pot ser duta a terme amb l’autorit-zació dels seus titulars, tret de les excepcions previstes en la Llei.Adreceu-vos a CEDRO (www.cedro.org) si necessiteu fotocopiar oescanejar cap fragment d’aquesta obra.

És propietat de grup edebé

© grup edebé, 2009

Passeig Sant Joan Bosco, 62

08017 Barcelona

www.edebe.com

ISBN 978-84-236-9522-5

Dipòsit Legal. B. 28.753-2009Imprès a Espanya

Printed in Spain

Tecfoto, S.L. Tecfoto, S.L.

Aquest llibre forma part del projecte editorial Edebé i ha estat elaborat segons les disposicions inormes curriculars que desenvolupen la Llei Orgànica d’Educació (LOE) de 3 de maig de 2006.

Modalitat de Ciències i TecnologiaSegon curs de Batxillerat


CM

YK

ÍNDEX

Orientacions didàctiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Solucionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Àlgebra lineal

Unitat 1. Matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Unitat 2. Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Unitat 3. Sistemes d'equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Geometria

Unitat 4. Vectors en l'espai (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Unitat 5. Vectors en l'espai (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Unitat 6. Geometria afí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Unitat 7. Geometria mètrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Anàlisi

Unitat 8. Límits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Unitat 9. Continuïtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Unitat 10. Derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Unitat 11. Aplicacions de les derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Unitat 12. Integrals i aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Propostes d’avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Treball de recerca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

3ÍNDEX

Orientacions didàctiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Solucionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Àlgebra lineal

Unitat 1.Matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Unitat 2.Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

Unitat 3.Sistemes d'equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

Geometria

Unitat 4.Vectors en l'espai (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

Unitat 5.Vectors en l'espai (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

Unitat 6.Geometria afí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

Unitat 7.Geometria mètrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

Anàlisi

Unitat 8.Límits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

Unitat 9.Continuïtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160

Unitat 10.Derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177

Unitat 11.Aplicacions de les derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195

Unitat 12.Integrals i aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .230

Propostes d’avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250

Treball de recerca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .285

3

C M

Y K

138

8. Límits

1.LÍMITS DE FUNCIONS

1.a)Cal realitzar una taula de valors de

per a valors de la variable x cada vegada més prò-xims a 0 per la dreta, i una altra per a valors prò-xims a 0 per l’esquerra:

xf(x)

0,10,183673

0,010,198397

0,0010,199840

0,00010,199984

0,000010,199998

De la taula anterior, en concloem que =0,2.

xf(x)

0,10,215686

0,010,201597

0,0010,200160

0,00010,200016

0,000010,200002

D’aquesta taula, en concloem que xlim

0f (x) =0,2.

Per tant, de l’observació de les dues taules ante-riors, sembla ser que

x0lim f (x) =0,2.

b)Cal elaborar una taula de valors de

per a valors de la variable x cada vegada més prò-xims a 2 per la dreta, i una altra per a valors prò-xims a 2 per l’esquerra.

xf(x)

1,93,9

1,993,99

1,9993,999

1,99993,9999

1,999993,99999

fxxx

()=+

242

lim()x

fx +=0

fxxx

()=15

Observant la taula anterior, podem afirmar que

xlim

2+f (x) =4.

xf(x)

2,14,1

2,014,01

2,0014,001

2,00014,0001

2,000014,00001

Observant aquesta taula, podem afirmar que

xlim

2f (x) =4.

Així, doncs, les taules construïdes ens indiquenque

xlim

2f (x) =4.

2.Si construïm les taules de valors corresponents:

xf (x)

0,92

0,992

0,9992

0,99992

0,999992

Per tant, xlim

1f (x) =2.

xf (x)

1,14,21

1,014,0201

1,0014,002001

1,00014,0002

1,000014,00002

Per tant, xlim

1+f (x) =4.

xf (x)

2,911,41

2,9911,9401

2,99911,994001

2,999911,9994

2,9999911,99994

Així, xlim

3f (x) =12.

Límits 8

138

8. L

ímits

1. LÍMITS DE FUNCIONS

1. a) Cal realitzar una taula de valors de

per a valors de la variable x cada vegada més prò-xims a 0 per la dreta, i una altra per a valors prò-xims a 0 per l’esquerra:

x f (x)

0,1 0,183 673

0,01 0,198 397

0,001 0,199 840

0,000 1 0,199 984

0,000 01 0,199 998

De la taula anterior, en concloem que = 0,2.

x f (x)

0,1 0,215 686

0,01 0,201 597

0,001 0,200 160

0,000 1 0,200 016

0,000 01 0,200 002

D’aquesta taula, en concloem que xlim

0f (x) = 0,2.

Per tant, de l’observació de les dues taules ante-riors, sembla ser que

x 0lim f (x) = 0,2.

b) Cal elaborar una taula de valors de

per a valors de la variable x cada vegada més prò-xims a 2 per la dreta, i una altra per a valors prò-xims a 2 per l’esquerra.

x f (x)

1,9 3,9

1,99 3,99

1,999 3,999

1,999 9 3,999 9

1,999 99 3,999 99

f xxx

( ) =+

2 42

lim ( )x

f x+

=0

f xxx

( ) =15

Observant la taula anterior, podem afirmar que

xlim

2+f (x) = 4.

x f (x)

2,1 4,1

2,01 4,01

2,001 4,001

2,000 1 4,000 1

2,000 01 4,000 01

Observant aquesta taula, podem afirmar que

xlim

2f (x) = 4.

Així, doncs, les taules construïdes ens indiquenque

xlim

2f (x) = 4.

2. Si construïm les taules de valors corresponents:

x f (x)

0,9 2

0,99 2

0,999 2

0,999 9 2

0,999 99 2

Per tant, xlim

1f (x) = 2.

x f (x)

1,1 4,21

1,01 4,020 1

1,001 4,002 001

1,000 1 4,000 2

1,000 01 4,000 02

Per tant, xlim

1+f (x) = 4.

x f (x)

2,9 11,41

2,99 11,940 1

2,999 11,994 001

2,999 9 11,999 4

2,999 99 11,999 94

Així, xlim

3f (x) = 12.

Límits8

CM

YK

x f (x)

3,1 12,613,01 12,060 13,001 12,006 0013,000 1 12,000 63,000 01 12,000 06

Així, xlim

3+f (x) = 12.

— Com quexlim

1f (x) = 2 � 4 =

xlim

1+f (x), no exis-

teix x 1lim f (x).

En canvi, com que xlim

3f (x) = 12 =

xlim

3+f (x),

existeix el límit x 3lim f (x), i el seu valor és 12.

3. a) El denominador s’anul.la en x = 2 i el numeradorno.

Vegem si les imatges, en acostar-nos a 2 per l’es-querra i per la dreta, tenen el mateix signe.

— Per a valors de x pròxims a 2 per l’esquerra, tenim:

— Per a valors de x pròxims a 2 per la dreta, tenim:

Així, doncs,

b) El denominador s’anul·la en x = 1 i el numera-dor no.Vegem el signe de les imatges dels valors pròximsa 1 en acostar-nos-hi per l’esquerra i per la dreta:

— Per a valors de x pròxims a 1 per l’esquerra te-nim:

— Per a valors de x pròxims a 1 per la dreta tenim:

Així, doncs,

c) El denominador s’anul.la en x = 3 i el numerador

no.

Vegem el signe de les imatges dels valors pròximsa 3 en acostar-nos-hi per l’esquerra i per la dre-ta:

lim( )x

x

x

+= +

1 2

3

1

x

x

x

xx

+ >

>

+= +

+

3 0

1 0

3

12 1 2( )lim

( )

x

x

x

xx

+ >

>

+= +

3 0

1 0

3

12 1 2( )lim

( )

limx

x

x x+ +=

2 2 4 4

x

x x

x

x xx

<

+ + > + +=

+

0

4 4 0 4 42 2 2lim

x

x x

x

x xx

<

+ + > + +=

0

4 4 0 4 42 2 2lim

— Per a valors de x pròxims a 3 per l’esquerra, te-nim:

— Per a valors de x pròxims a 3 per la dreta, te-nim:

Aixì, doncs,

d) El denominador s’anul.la en x = 2 i el numerador

no.


— Per a valors de x pròxims a 2 per l’esquerra, te-nim:


Així, doncs,

e) El denominador s’anul.la en 4 i el numerador no.

Vegem el signe de les imatges dels valors pròximsa 4 en acostar-nos-hi per l’esquerra i per la dreta:

— Per a valors de x pròxims a 4 per l’esquerra,tenim:


Així, doncs, lim( )x

x

x

+

+=

4 2

1

4

x

x

x

xx

+ <

+ >

+

+=

+

1 0

4 0

1

42 4 2( )lim

( )

x

x

x

xx

+ <

+ >

+

+=

1 0

4 0

1

42 4 2( )lim

( )

limx

x

x x+=

2 2

5

6

x

x x

x

x xx

<

+ > +=

+

5 0

6 0

5

62 2 2lim

x

x x

x

x xx

<

+ < += +

5 0

6 0

5

62 2 2lim

limx

xx+

=3

23

x

xxxx

+ >

>

+= +

+

2 0

3 0233

lim

x

xxxx

+ >

<

+=

2 0

3 0233

lim

139

8. Límitsxf (x)

3,112,613,0112,06013,00112,0060013,000112,00063,0000112,00006

Així, xlim

3+f (x) =12.

—Com quexlim

1f (x) =2 �4 =

xlim

1+f (x), no exis-

teix x1limf (x).

En canvi, com que xlim

3f (x) =12 =

xlim

3+f (x),

existeix el límit x3limf (x), i el seu valor és 12.

3.a)El denominador s’anul.la en x =2 i el numeradorno.

Vegem si les imatges, en acostar-nos a 2 per l’es-querra i per la dreta, tenen el mateix signe.

—Per a valors de x pròxims a 2 per l’esquerra, tenim:

—Per a valors de x pròxims a 2 per la dreta, tenim:

Així, doncs,

b)El denominador s’anul·la en x =1 i el numera-dor no.Vegem el signe de les imatges dels valors pròximsa 1 en acostar-nos-hi per l’esquerra i per la dreta:

—Per a valors de x pròxims a 1 per l’esquerra te-nim:

—Per a valors de x pròxims a 1 per la dreta tenim:

Així, doncs,

c)El denominador s’anul.la en x =3 i el numerador

no.


lim() x

x

x

+=+

12

3

1

x

x

x

x x

+>

>

+=+ +

30

10

3

1212

()lim

()

x

x

x

x x

+>

>

+=+

30

10

3

1212

()lim

()

limx

x

xx ++=

2244

x

xx

x

xx x

<

++>++= +

0

44044222 lim

x

xx

x

xx x

<

++>++=

0

44044222 lim

—Per a valors de x pròxims a 3 per l’esquerra, te-nim:

—Per a valors de x pròxims a 3 per la dreta, te-nim:

Aixì, doncs,

d)El denominador s’anul.la en x =2 i el numerador

no.


—Per a valors de x pròxims a 2 per l’esquerra, te-nim:


Així, doncs,

e)El denominador s’anul.la en 4 i el numerador no.

Vegem el signe de les imatges dels valors pròximsa 4 en acostar-nos-hi per l’esquerra i per la dreta:

—Per a valors de x pròxims a 4 per l’esquerra,tenim:


Així, doncs, lim() x

x

x

+

+=

42

1

4

x

x

x

x x

+<

+>

+

+= +

10

40

1

4242

()lim

()

x

x

x

x x

+<

+>

+

+=

10

40

1

4242

()lim

()

limx

x

xx +=

22

5

6

x

xx

x

xx x

<

+>+= +

50

60

5

6222 lim

x

xx

x

xx x

<

+<+=+

50

60

5

6222 lim

limx

xx+

=3

23

x

xxx x

+>

>

+=+ +

20

3023 3

lim

x

xxx x

+>

<

+=

20

3023 3

lim

139

8. L

ímits

C M

Y K

140

8. Límits

4.a)xf (x)

1001,03 102

10001,003 103

100001,0003 104

De l’observació de la taula, se’n dedueix que:

b)xf (x)

1009,71 103

10009,97 104

100009,997 105


c)xg (x)

1000,2357

10000,2486

100000,2499


d)xg (x)

1000,2645

10000,2514

100000,2501


e)xh (x)

1002,9998

10002,999998

100002,99999998


f)xh (x)

1002,9998

10002,999998

100002,99999998


lim()x

hx=3

lim()x

hx+

=3

lim(),x

gx=025

lim(),x

gx+

=025

lim()x

fx=0

lim()x

fx+

=0

5.a)xf (x)

1009,9 103

10009,99 105

100009,999 107


b)xf (x)

1001,01 104

10001,001 106

100001,0001 108


c)xg (x)

10097,078

1000997,008

100009997,001


d)xg (x)

100103,08

10001003,01

1000010003


e)xh (x)

10020833,3

10002008032,1

10000200080032


f)xh (x)

10019230,8

10001992031,9

10000199920032


2.CARACTERÍSTIQUES

6.a)lim()x

xx+=+=4

223523454230

lim()x

hx=+

lim()x

hx+

=+

lim()x

gx=

lim()x

gx+

=+

lim()x

fx=+

lim()x

fx+

=+

140

8. L

ímits

4. a) x f (x)

100 1,03 10 2

1 000 1,003 10 3

10 000 1,000 3 10 4


b) x f (x)

100 9,71 10 3

1 000 9,97 10 4

10 000 9,997 10 5


c) x g (x)

100 0,235 7

1 000 0,248 6

10 000 0,249 9


d) x g (x)

100 0,264 5

1 000 0,251 4

10 000 0,250 1


e) x h (x)

100 2,999 8

1 000 2,999 998

10 000 2,999 999 98


f) x h (x)

100 2,999 8

1 000 2,999 998

10 000 2,999 999 98


lim ( )x

h x = 3

lim ( )x

h x+

= 3

lim ( ) ,x

g x = 0 25

lim ( ) ,x

g x+

= 0 25

lim ( )x

f x = 0

lim ( )x

f x+

= 0

5. a) x f (x)

100 9,9 103

1 000 9,99 105

10 000 9,999 107


b) x f (x)

100 1,01 104

1 000 1,001 106

10 000 1,000 1 108


c) x g (x)

100 97,078

1 000 997,008

10 000 9 997,001


d) x g (x)

100 103,08

1 000 1 003,01

10 000 10 003


e) x h (x)

100 20 833,3

1 000 2 008 032,1

10 000 200 080 032


f ) x h (x)

100 19 230,8

1 000 1 992 031,9

10 000 199 920 032


2. CARACTERÍSTIQUES

6. a) lim ( )x

x x + = + =4

2 23 5 2 3 4 5 4 2 30

lim ( )x

h x = +

lim ( )x

h x+

= +

lim ( )x

g x =

lim ( )x

g x+

= +

lim ( )x

f x = +

lim ( )x

f x+

= +

CM

YK

141

8. Límits

b)

= 103 3 102 + 5 10 = 750

c)

d)

e)

f)

g)

log x és contínua

= log ( 1 + 9) = log (8)

h)

i)

j)

sin x és contínua

= 2 ( 1) = 2

7. a)

Com que les imatges dels valors pròxims a 1 perl’esquerra i per la dreta no es calculen mitjançantla mateixa expressió analítica, calculem els límitslaterals:

lim ( )x

f x1

:

= = = =2 3 2 32

23

22

( ( lim ))sin x sin sinx

lim ( ) limx x

sin x sin x= =

2 2

2 3 2 3

= +( ) = ( ) =( ) ( )3 2 4 2 1 6 4 5 2 52

= + =lim ( ) limx x

x x2 2

23 4 1

lim ( )x

x x +( ) =2

23 4 1

=7

12

3

limlim

lim ( )x

x

x

xx

x

x+=

+=

11

311

3

11

41

4

111 433

11 1( )+=

lim log( ) log lim ( )x x

x x+ = +( ) =1 19 9

= + + = =( )( )0 3 0 5 515

2 0 1 1

= + +( ) =lim ( )lim( )

x

x

x xx

0

21

3 50

lim ( )x

xx x+ + =0

2 13 5

= + + = = =( ) ( )2 4 1 4 5 9 1 3 1 2

= + + =lim ( ) ( )x

x4

2 1 4 5

= + +( ) =lim lim( )x x

x x4 4

2 1 5

limx

x x+ +( ) =4

2 1 5

limx

x x

x x

+=

2

4

2

2 8 6

3 4

limx

x x

x x

+=

2

4

2

2 8 6

3 4

=+

= =5 5 6 5 7

4 5 1162

21547

2( ) ( )( )

limx

x xx

+=

5

25 6 74 1

lim ( )x

x x x+ =10

3 23 5

b)

En aquest apartat procedim com en l’anterior:

c)

Les imatges de tots els valors pròxims a 3 per l’es-querra i per la dreta es calculen mitjançant la ma-teixa expressió analítica; aleshores:

8. a)

Com que les imatges dels valors pròxims a 1 es cal-culen mitjançant expressions analítiques dife-rents, segons que siguin més petits o més gransque 1, considerem límits laterals:

b)

En aquest cas procedim de manera anàloga a l’apartat anterior:

c)

En aquest cas les imatges dels valors pròxims a 5tant per l’esquerra com per la dreta es calculenamb la mateixa expressió analítica, així:

lim ( ) lim ( )x x

f x x= = =5 5

2 9 2 5 9 1

lim ( )x

f x5

:

= = =+

lim ( ) lim ( ) lim ( )x x x

f x f x f x3 3 3

3

lim ( ) lim ( )

lim ( ) limx x

x x

f x x

f x+

= =

=

3 3

3

3

332 9 2 3 9 3

+= =( )x

lim ( )x

f x3

:

+lim ( ) lim ( ) lim ( )x x x

f x f x f x1 1 1

lim ( ) lim ( )

lim (x x

x

f x x

f+

= = =1 1

1

2 9 2 1 9 7

xx xx

) lim ( )= =+1

1

lim ( )x

f x1

:

lim ( ) lim( )x x

f x x= + = + =3 3

3 3 3 6

lim ( )x

f x3

:

+lim ( ) lim ( ) lim ( )

x x xf x f x f x

1 1 1

lim ( ) lim ( ) ( )

lim

x x

x

f x x

+

= + = + =1 1

1

3 1 3 2

ff xx

xx( ) lim

( )

( )=

+=

+=

= =

+1

2

2

2

2

2

1

2 1

1 122

1

lim ( )x

f x1

:

+lim ( ) lim ( ) lim ( )x x x

f x f x f x1 1 1

lim ( ) lim

limx x

f xx

x=

+=

+= =

1 1

2

2

2

2

2

1

2 1

1 1

22

1

xx xf x x

+ += + = + =

1 13 1 3 4( ) lim ( )

141

8. L

ímits

b)

=1033 102+5 10 =750

c)

d)

e)

f)

g)

log x és contínua

=log (1 +9) =log (8)

h)

i)

j)

sin x és contínua

=2 (1) =2

7.a)

Com que les imatges dels valors pròxims a 1 perl’esquerra i per la dreta no es calculen mitjançantla mateixa expressió analítica, calculem els límitslaterals:

lim()x

fx1

:

==== 23232

23

22

((lim)) sinxsinsinx

lim()limxx

sinxsinx ==

22

2323

=+ ()=()= ()() 32421645252

=+= lim()limxx

xx22

2341

lim()x

xx+ ()= 2

2341

=7

12

3

limlim

lim() x

x

x

xx

x

x +=

+=

11

311

3

11

41

4

1114

33

111 () +=

limlog()loglim()xx

xx +=+ ()= 1199

=++== ()()

0305515

2011

=++ ()= lim()lim()

x

x

xxx

0

21

350

lim()x

xxx ++=

0

2135

=++=== ()() 2414591312

=++= lim()()x

x4

2145

=++ ()= limlim()xx

xx44

215

limx

xx ++ ()= 4215

limx

xx

xx

+=

2

4

2

286

34

limx

xx

xx

+=

2

4

2

286

34

=+

==55657

451162

21547

2()()

()

limx

xxx

+=

5

2567

41

lim()x

xxx +=10

3235

b)

En aquest apartat procedim com en l’anterior:

c)

Les imatges de tots els valors pròxims a 3 per l’es-querra i per la dreta es calculen mitjançant la ma-teixa expressió analítica; aleshores:

8.a)

Com que les imatges dels valors pròxims a 1 es cal-culen mitjançant expressions analítiques dife-rents, segons que siguin més petits o més gransque 1, considerem límits laterals:

b)

En aquest cas procedim de manera anàloga a l’apartat anterior:

c)

En aquest cas les imatges dels valors pròxims a 5tant per l’esquerra com per la dreta es calculenamb la mateixa expressió analítica, així:

lim()lim()xx

fxx ===55

292591

lim()x

fx5

:

=== + lim()lim()lim()xxx

fxfxfx333

3

lim()lim()

lim()limxx

xx

fxx

fx +

==

=

33

3

3

33292393 +== () x

lim()x

fx3

:

+ lim()lim()lim()xxx

fxfxfx111

lim()lim()

lim(xx

x

fxx

f +

===11

1

292197

xxxx

)lim() == +1

1

lim()x

fx1

:

lim()lim()xx

fxx =+=+=33

3336

lim()x

fx3

:


fxfxfx111

lim()lim()()

lim

xx

x

fxx

+

=+=+=11

1

3132

ffxx

x x()lim

()

()=

+=

+=

==

+1

2

2

2

2

2

1

21

1122

1

lim()x

fx1

:


fxfxfx111

lim()lim

limxx

fxx

x=

+=

+==

11

2

2

2

2

2

1

21

11

22

1

xxxfxx ++ =+=+=

113134 ()lim()

C M

Y K

142

8. Límits

9.a)

=3()22 () 4 =

=3(+) () 4 =(+) +4 =+

b)

c)

=((+) +4)((+)25 (+) +2) =

=(+)((+) +2) =(+)() =

d)

=(+)()=0

3.INDETERMINACIONS

10.a)Obtenim la indeterminació Per resoldre-la

procedim de la manera següent:

—Factoritzem per (x 2) numerador i denomi-nador:

x35 x2+6 x =(x 2) (x23 x)

=+

==()()

()()6

44

=+

=()()

() 36

4

=

+ limlimlim(

xxxxx

36

4

))

=

=

+

=

lim()

lim()

()

x

x

xx3

6

4

limlimx

x

x

xxxx +=

+33

64

64

=

limxx

+)=

+lim

x2

=+()( ++++

limlimlim()limxxxx

xxx 452

++

=++=++

lim()lim()xx

xxx 4522

lim(()())x

xxx+

++= 4522

=+

=+

=11

0 3()

=+++

=+++

=1

5

133

(()())(()())

=

+()

=+++

=

++

1

5

1

5 2323limlim(()())

xxxx

=+

=

+()

+

++

lim

lim()lim()

x

xx

xxxx

1

5

1

52323==

lim()lim() xx

xxxx ++

+=+

= 51

523

23

== 3242

limlimlimxxx

xx

lim()x

xx= 3242x2x 2 =(x 2) (x +1)

Aleshores:

—Simplifiquem el factor (x 2) i calculem el lí-mit de l’expressió resultant:

b)Obtenim la indeterminació Per resoldre-la


—Factoritzem per x numerador i denomina-dor:

x2+3 x =x (x +3)

2 x2x =x (2 x 1)

Aleshores:

—Simplifiquem el factor x i calculem el límit del’expressió resultant:

c)Obtenim la indeterminació Per resoldre-la


—Multipliquem numerador i denominador perl’expressió conjugada del numerador:

Obtenim de nou la indeterminacióPerò

en aquest cas prové dels factors en els quals no intervé l’arrel; així, procedim com en els altres apartats.

—Simplifiquem el factor (x 1) i calculem el lí-mit de l’expressió resultant:

00

.

=++ ()

= lim() x

x

xx 1

1

1154

00

=+ ()++ ()

++ ()= lim

() x

xx

xx 1

154154

1154

limx

xx+

=1

1541

00

.

=+

==03

20131

3

lim()

()lim

xx

xx

xxxx

+=

+=

00

3

213

21

limlim()

() xx

xx

xx

xxxx

+=

+

0

2

20

3

2

321

=+

==232

2146

323

2

lim()()

()()lim

xx

xxx

xx

xxx +

=+ 2

2

2

2 23

21

31

==

limlim()()

( xx

xxx

xx

xxxx

+=

2

32

22

256

2

23221 )() x+

00

.

00

.

142

8. L

ímits

9. a)

= 3 ( )2 2 ( ) 4 =

= 3 (+ ) ( ) 4 = (+ ) + 4 = +

b)

c)

= ((+ ) + 4)( (+ )2 5 (+ ) + 2) =

= (+ )( (+ ) + 2) = (+ )( ) =

d)

= (+ )( ) = 0

3. INDETERMINACIONS

10. a) Obtenim la indeterminació Per resoldre-la


— Factoritzem per (x 2) numerador i denomi-nador:

x3 5 x2 + 6 x = (x 2) (x2 3 x)

=+

= =( ) ( )

( ) ( )6

4 4

=+

=( ) ( )

( )3 64

=

+lim lim lim(

x x xx x3 6

4

))

=

=

+

=

lim ( )

lim ( )

( )

x

x

x x3 6

4

lim limx

x

x

x x x x+=

+3 364

64

=

limx

x

+ ) =+lim

x2

= +( )(+ + + +lim lim lim ( ) lim

x x x xx x x4 52 ++

= + + =+ +

lim ( ) lim ( )x x

x x x4 5 22

lim (( )( ))x

x x x+

+ + =4 5 22

=+

=+

=1 1

03( )

=+ + +

=+ + +

=1

5

13 3( ( ) ( )) (( ) ( ))

=

+( )=

+ + +=

+ +

1

5

1

52 3 2 3lim lim ( ( ) ( ))

x xx x

=+

=

+( )+

++

lim

lim ( ) lim ( )

x

x x

x x x x

1

5

1

52 3 2 3

==

lim ( ) lim( )x x

x xx x+ +

+ =+

=51

52 3

2 3

= =3 2 42lim lim limx x x

x x

lim ( )x

x x =3 2 42 x2 x 2 = (x 2) (x + 1)

Aleshores:

— Simplifiquem el factor (x 2) i calculem el lí-mit de l’expressió resultant:

b) Obtenim la indeterminació Per resoldre-la


— Factoritzem per x numerador i denomina-dor:

x2 + 3 x = x (x + 3)

2 x2 x = x (2 x 1)

Aleshores:

— Simplifiquem el factor x i calculem el límit del’expressió resultant:

c) Obtenim la indeterminació Per resoldre-la


— Multipliquem numerador i denominador perl’expressió conjugada del numerador:

Obtenim de nou la indeterminació Però

en aquest cas prové dels factors en els quals no intervé l’arrel; així, procedim com en els altres apartats.

— Simplifiquem el factor (x 1) i calculem el lí-mit de l’expressió resultant:

00

.

=+ +( )

=lim( )x

x

x x1

1

1 15 4

00

=+( ) + +( )

+ +( )=lim

( )x

x x

x x1

15 4 15 4

1 15 4

limx

xx+

=1

15 41

00

.

=+

= =0 3

2 0 131

3

lim( )

( )lim

x x

x x

x xxx

+=

+=

0 0

3

2 13

2 1

lim lim( )

( )x x

x x

x x

x xx x

+=

+

0

2

2 0

3

2

32 1

=+

= =2 3 2

2 14 6

323

2

lim( )( )

( )( )lim

x x

x x x

x x

x xx+

=+2

2

2

22 3

2 1

31

==

lim lim( )( )

(x x

x x x

x x

x x xx

+=

2

3 2

2 2

25 6

2

2 322 1)( )x +

00

.

00

.

CM

YK

143

8. Límits

d) En resulta la indeterminació Efectuant-hi el

quocient, tenim:

11. a) Dividim per x2 el numerador i el denominador:

b) Dividim per x2 el numerador i el denominador:

c) Dividim per x2 el numerador i el denominador:

d) Dividim per x3 el numerador i el denominador:

lim limx x

x xx

x

x

x

x xx

+

+=

+4 2 1

2 3

4 2 1

2

3

3

3 3 3

xx x3 3

3+

=

=

+

=+

= =limx

x x

x x

6 2

27 4

0 02 0 0

02

02

2

=

+

=limx

x

x x

x

x

x

x x

6 2

2 7 4

2 2

2

2 2 2

limx

x

x x +=

6 2

2 7 42

=

+

+

=+

+= =lim

x

x

x x

13

8 51 00 0

10

2

2

lim limx x

xx

x

x xx

x x

+

+=

+

+

=2

2

2 2

2 2

38 5

3

8 5

=

+

+ +

=+

+ += =

+lim

x

x x

x x

83 5

41 1

8 0 04 0 0

84

22

2

=

+

+ +

=+

limx

x

x

x

x x

x

x

x

x x

8 3 5

4 1

2

2 2 2

2

2 2 2

limx

x x

x x+

+

+ +=

8 3 5

4 1

2

2

limx

x x x

x x

+ + +

+= +

2 10 5

2 6

4 3

3 2

lim :x

x

x

x

x

+ +

+=

5 2 6

2 12 3

00

.

=+ +

=+

=limx x1

1

15 4

1

16 4

18

lim( )x

x

x x + +( )=

1

1

1 15 4

12. a)

De l’exemple 13, se’n dedueix:

Així, per tal de resoldre la indeterminació substi-tuïm el numerador i el denominador pels infinitè-sims equivalents:

b)

Obtenim la indeterminació .

Considerem la funció . Com que escompleix que tenim:

Així, doncs:

13. a)

Per a resoldre la indeterminació, considerem que:

Per tant:

b)

Obtenim la indeterminació .

Per tal de resoldre-la, considerem que:

Així, doncs:

= = =+ +

limlog

loglim

x x

x

x

4

646

46

limlog( )

log( )lim

log

lox x

x x

x

x+ +

+ +=

4 3

6

45

3 gg x6=

log( ) logx x6 63 ∼

log( ) logx x x4 3 45+ + ∼

limlog( )

log( )x

x x

x+

+ +=

4 3

6

5

3

limx x+

=1

05

lim limx x

x x

x x

x

x+ +

+ +

+ += =

24

3 3

3 1

4 7

x x x3 34 7+ + ∼

x x x x24 243 1+ + =∼

limx

x x

x x+

+ +

+ +=

24

3

3 1

4 7

lim lim limx

x

x x

e

x

x

x x= = = +

0 4 0 4 0 7

1 1

e h xh x( ) ( )1 ∼

lim ( ) ,x

h x =0

0h x x( ) =

00

limx

xe

x=

0 4

1 00

limcos

lim limx x x

tg xx

x

x x= = =

0 0 2 012

2

tg x x en x∼ 0 0=

limcosx

tg xx=

0 100

=

+

+

=+

= = +limx

x x

x x

42 1

2 34 0 0

0 040

2 3

2 3

143

8. L

ímits

d)En resulta la indeterminació Efectuant-hi el

quocient, tenim:

11.a)Dividim per x2el numerador i el denominador:

b)Dividim per x2el numerador i el denominador:

c)Dividim per x2el numerador i el denominador:

d)Dividim per x3el numerador i el denominador:

limlimxx

xxx

x

x

x

xxx

+

+=

+421

23

421

2

3

3

333

xxx33

3+

=

=

+

=+

== limx

xx

xx

62

274

00200

02

02

2

=

+

= limx

x

xx

x

x

x

xx

62

274

22

2

222

limx

x

xx+=

62

2742

=

+

+

=+

+== lim

x

x

xx

13

851000

10

2

2

limlimxx

xx

x

xxx

xx

+

+=

+

+

=2

2

22

22

385

3

85

=

+

++

=+

++==

+lim

x

xx

xx

835

411

800400

84

22

2

=

+

++

=+

limx

x

x

x

xx

x

x

x

xx

835

41

2

222

2

222

limx

xx

xx +

+

++=

835

41

2

2

limx

xxx

xx

+++

+=+

2105

26

43

32

lim:x

x

x

x

x

++

+=

526

2123

00

.

=++

=+

= limxx 1

1

154

1

164

18

lim() x

x

xx++ ()=

1

1

1154

12.a)

De l’exemple 13, se’n dedueix:

Així, per tal de resoldre la indeterminació substi-tuïm el numerador i el denominador pels infinitè-sims equivalents:

b)

Obtenim la indeterminació.

Considerem la funció . Com que escompleix quetenim:

Així, doncs:

13.a)

Per a resoldre la indeterminació, considerem que:

Per tant:

b)

Obtenim la indeterminació.

Per tal de resoldre-la, considerem que:

Així, doncs:

===++

limlog

loglim

xx

x

x

4

646

46

limlog()

log()lim

log

lo xx

xx

x

x++

++=

43

6

45

3ggx6=

log()log xx66

3∼

log()log xxx434

5 ++∼

limlog()

log() x

xx

x +

++=

43

6

5

3

limxx

+=

10

5

limlimxx

xx

xx

x

x ++

++

++==

2 4

33

31

47

xxx33

47 ++∼

xxxx2 42 4

31 ++= ∼

limx

xx

xx +

++

++=

2 4

3

31

47

limlimlimx

x

xx

e

x

x

xx===+

040407

11

ehxhx()

() 1∼

lim(),x

hx=0

0hxx ()=

00

limx

xe

x=

04

100

limcos

limlimxxx

tgxx

x

xx===

0020 12

2

tgxxenx ∼00 =

limcos x

tgxx=

0100

=

+

+

=+

==+ limx

xx

xx

421

23400

0040

23

23

C M

Y K

144

8. Límits

14.a)En resulta la indeterminació (+) (+). Efec-tuant-hi la diferència, tenim:

b)En resulta la indeterminació (+) (+). Efec-tuant-hi la diferència, tenim:

c)En resulta la indeterminació (+) (+). Efec-tuant-hi la diferència, tenim:

d)En resulta la indeterminació (+) (+). Efec-tuant-hi la diferència, tenim:

15.a)En resulta la indeterminació 0 �(+). Efectuant-hi el producte, tenim:

b)En resulta la indeterminació0 �. Si efectuem elproducte obtenim:

=+ 00

1108010

8+

++

+=

=

+

+

+ limlx

x

xxx

x

x

x

69

8

55

5

5

2

5

iimx

x

x

x

xx

xx

+

+

=

812

8

3

3

2

3

3

33

limx

=+

++

+

+

69

8

812

852

32

3

x

xx

xx

x xlim=

=llimx

x

xx

xx

x

+

++

+

+=

69

582

812

8

32

3

limx

x

xxx

+

++=

23

2

34 332

2

limlimxx

x

x

xx

xx

xx ++ +=

+

4

1

1442

23

3==4

=+

=+

==33

9

2790

180 3

2

2 limx

xx

x

limlim()

xx

xx

x

x

xxx

x=

+

3

2

23

2

2 3

4

9

34=

9

li =mmx

x

x

x

xxx

xx

+

++

+

=++

+==

2

22

44

1

1

100

00

10

limlimxx

xx

x

xx

x +++

+=

++

+= 1

1

1

1

22

limlimxx

xxx

xx

xx

x ++

+

+=

+ 22

22

92222

224

9 =

=+++

=++

limx

xxxx

xx

7532

42

333

3

limx

x

x

x

x +

++=

5

2

3

2

4

3

1

c)

=1(+)

Transformem

Ara calculem:

D’altra banda:

Per tant:

d)

Transformem

Ara calculem:

D’altra banda:

limx

x

x

xx

+=

512

2

=+

+

+

+

limx

xx

x

xx

11

5

2

5

2551

2

2

xx

x

limx

xx x

x+

+= 1

52

12

15

11

5

22 ++

=+

+

x

xxx

15

11

2 ++

+x

xen

Fx():

=++

= limlim

(

x

xx x

x

x

15

1 2

12

)

limx

xx x

x+

+= 1

52

12

limx

xx

xxe

+

++

=3

2

353

=++

=+

limx

xx

xx

314153

2

2

lim()x

x

xxx

+

++=

335 2

=+

+

+

+lim

x

xxx

xxx

11

3

2

3

2+

+xxx

x3

35 2()

limx

xx

xx +

+

+=

2

2

353

=++

=+

+

13

11

3

22

x

xxxxx

13

113

2

2

22

2 ++

=+++

=x

xx

xxx

xx

x

xxen

Fx

2

2

31

1 ++

():

limlimx

x

x

x

xx

x

xx +

+

+

+=

+2

2

352

2

33=

++ lim() xx 35

144

8. L

ímits

14. a) En resulta la indeterminació (+ ) (+ ). Efec-tuant-hi la diferència, tenim:

b) En resulta la indeterminació (+ ) (+ ). Efec-tuant-hi la diferència, tenim:

c) En resulta la indeterminació (+ ) (+ ). Efec-tuant-hi la diferència, tenim:

d) En resulta la indeterminació (+ ) (+ ). Efec-tuant-hi la diferència, tenim:

15. a) En resulta la indeterminació 0 � (+ ). Efectuant-hi el producte, tenim:

b) En resulta la indeterminació 0 � . Si efectuem elproducte obtenim:

=+0 0

11 08 01 0

8+

++

+=

=

+

+

+lim lx

x

x xx

x

x

x

6 9

8

5 5

5

5

2

5

iimx

x

x

x

xx

x x

+

+

=

8 12

8

3

3

2

3

3

3 3

limx

=+

++

+

+

6 9

8

8 12

85 2

3 2

3

x

x x

x x

xxlim =

= llimx

x

x x

x x

x

+

++

+

+=

6 9

5 8 2

8 12

8

3 2

3

limx

x

x xx

+

++ =

2 3

2

34

3 3 22

lim limx x

x

x

xx

x x

x x+ ++=

+

4

1

1 4 42

2 3

3== 4

=+

=+

= =3 3

9

27 90

1803

2

2limx

x x

x

lim lim( )

x x

xx

x

x

x x x

x=

+

3

2

2 3

2

23

4

9

3 4=

9

li= mmx

x

x

x

x xx

x x

+

+ +

+

=+ +

+= =

2

2 2

4 4

1

1

1 0 0

0 0

10

lim limx x

xx

x

x x

x+ ++

+=

+ +

+=1

1

1

1

2 2

lim limx x

x xx

xx

x x

x+ +

+

+=

+22

22

9 22 2 2

22 49=

=+ + +

= ++

limx

x x x x

x x

7 5 3 2

4 2

3 3 3

3

limx

x

x

x

x+

+ +=

5

2

3

2

4

3

1

c)

= 1(+ )

Transformem

Ara calculem:

D’altra banda:

Per tant:

d)

Transformem

Ara calculem:

D’altra banda:

limx

x

x

xx

+=

5 12

2

= +

+

+

+

limx

xx

x

xx

11

5

2

5

255 1

2

2

xx

x

limx

xxx

x+

+=1

52

12

15

11

5

2 2+

+= +

+

x

x xx

15

11

2+

++

x

xen

F x( ):

= ++

=limlim

(

x

xxx

x

x

15

12

12

)

limx

xxx

x+

+=1

52

12

limx

xx

x xe

+

++

=3

2

3 53

=+ +

=+

limx

x x

x x

3 14 153

2

2

lim ( )x

x

x xx

+

++ =

33 5

2

= +

+

+

+lim

x

x xx

x xx

11

3

2

3

2+

+xx x

x3

3 52 ( )

limx

xx

x x+

+

+=

2

2

3 53

= ++

= +

+

13

11

3

2 2

x

x x x xx

13

1 132

2

2 2

2+

+= +

+ +=

x

x x

x x x

x x

x

x xen

F x

2

2

31

1++

( ):

lim limx

x

x

x

x x

x

x x+

+

+

+=

+2

2

3 5 2

2

3 3=

++lim ( )

xx3 5

CM

YK

145

8. Límits

Per tant:

e)

Transformem

Ara efectuem:

D’altra banda:

Per tant:

f)

Transformem

Ara fem:

limx

x

xx+

=2 32 5

37

2

= ++

= +12 3 2 5

2 51

12 5

2

x x

x x

2 32 5

12 32 5

1xx

xx

= + =

2 32 5

11x

xen

F x+

( ):

= =+

++

limlim

( )

x

x

xx

x2 32 5

1

37

2

limx

x

xx+

=2 32 5

37

2

limx

x

x

xe

+= =

2

2

56

031

lim limx xx

x x

x+ += =

3 56

15

60

2 2

= ++

limx

x x

x1

1

3

2

3

32 2

56x

limx

x

x

x+=

2

2

563

= + = +13

11

3

2 2

2 2

x x

x x

x

x

x

x

2

2

2

2

31

31= + =

x

xen

F x

2

2

31

1+

( ):

= =+

++

limlim

( )

x

x

x

x

x2

2

563

1

limx

x

x

x+=

2

2

563

limx

xxx

xe e+

+= =1

52

1

1

2

=+

=limx

x x x

x

3 2

3

5 51

D’altra banda:

Per tant:

g)

Transformem

Ara realitzem:

D’altra banda, tenim:

Per tant:

h)

=+

=

+

+limlim

(

x

xxx x

x

x3

3 41

2

2

56

3

))

limx

xxx x

x

+

+=

3

3 4

2

2

56

3

limx

xx x

xe

+

+ +

+=

2

2

263 2

1

=+

=+

limx

x x

x

6 2

16

2

2

lim ( )x

x

xx

+

+

+=

3 1

12

2

= ++

+

+

+

+lim

x

xx

xx

11

13 1

2

13 1

2+

+

3 11

22

xx

x( )

limx

xx x

x+

+ +

+=

2

2

23 2

1

= ++

+= +

+

+

13 1

11

1

13 1

2 2

x

x xx

= ++ +

+=1

3 2 1

1

2 2

2

x x x

x

x x

x

x x

x

2

2

2

2

3 2

11

3 2

11

+ +

+= +

+ +

+=

x x

xen

F x

2

2

3 2

11

1+ +

++

( ):

=+ +

+=

+

+

lim

lim ( )( )

x

xx x

x

x2

2

23 2

11

limx

xx x

x+

+ +

+=

2

2

23 2

1

lim ( )

x

x

xx

e+

+= = +

2 32 5

37

2

lim limx xx

x xx+ +

= = +2

2 53

76

14 35

2 2

= ++

limx

x x

x1

12 5

2

2 52

22 55

37

2x

145

8. L

ímits

Per tant:

e)

Transformem

Ara efectuem:

D’altra banda:

Per tant:

f)

Transformem

Ara fem:

limx

x

xx +

=2325

37

2

=++

=+ 12325

251

125

2

xx

xx

2325

12325

1xx

xx

=+=

2325

11 x

xen

Fx+

():

==+

++

limlim

()

x

x

xx

x2325

1

37

2

limx

x

xx +

=2325

37

2

limx

x

x

xe

+==

2

2

56

0 31

limlimxx x

xx

x ++==

356

15

60 22

=++

limx

xx

x1

1

3

2

3

322

56x

limx

x

x

x +=

2

2

56 3

=+=+ 13

11

3

22

22

xx

xx

x

x

x

x

2

2

2

2

31

31 =+=

x

xen

Fx

2

2

31

1+

():

==+

++

limlim

()

x

x

x

x

x 2

2

56 3

1

limx

x

x

x +=

2

2

56 3

limx

xx x

xee +

+== 1

52

1

1

2

=+

= limx

xxx

x

32

3

551

D’altra banda:

Per tant:

g)

Transformem

Ara realitzem:

D’altra banda, tenim:

Per tant:

h)

=+

=

+

+lim

lim(

x

xx xx

x

x3

341

2

2

56

3

))

limx

xx xx

x

+

+=

3

34

2

2

56

3

limx

xxx

xe

+

++

+=

2

2

26 32

1

=+

=+

limx

xx

x

62

16

2

2

lim()x

x

xx

+

+

+=

31

12 2

=++

+

+

+

+lim

x

xx

xx

11

131

2

131

2+

+

311

2 2

xx

x ()

limx

xxx

x +

++

+=

2

2

232

1

=++

+=+

+

+

131

11

1

131

22

x

xxx

=+++

+= 1

321

1

22

2

xxx

x

xx

x

xx

x

2

2

2

2

32

11

32

11

++

+=+

++

+=

xx

xen

Fx

2

2

32

11

1 ++

++

():

=++

+=

+

+

lim

lim()()

x

xxx

x

x 2

2

232

11

limx

xxx

x +

++

+=

2

2

232

1

lim()

x

x

xx

e+

+==+

2325

37

2

limlimxx x

xxx ++

==+2

253

76

1435

22

=++

limx

xx

x1

125

2

252

2255

37

2x

C M

Y K

146

8. Límits

Transformem

Ara caculem:

D’altra banda:

Per tant:

4.APLICACIÓ DELS LÍMITS: ASÍMPTOTES D’UNAFUNCIÓ

16.a)•Asímptotes verticals:

Els punts x0en què el límit pot donar infinit estroben entre els zeros del denominador:

x +2 =0 x =2

El límit en aquest punt és:

La recta x =2 és l’única asímptota vertical.

•Asímptotes horitzontals:

Per tant, la recta y =3 és una asímptota horit-zontal per totes dues bandes.

•Asímptotes obliqües:

Com que

no hi ha asímptotes obliqües.

mfx

xx

xx xx==

+=

±±lim

()lim

(),

312

0

limx

xx ±+

=31

23

limx

xx+

=2

312

limx

xx xx

xe

+

+==

3

340

2

2

56

3

+++

+= lim

x

xxx

xxx

43

32

4520

318424

limx

x

x

xx

++=

4

34

56 2

3

=+

+

+lim

x

xx

xx

11

344

2

344

2++ x

xxx

434

56

2

3

limx

xx xx

x

+

+=

3

34

2

2

56

3

=+

+

11

344

2xx

=+++

=++

= 1334

341

4

34

22

22

xxx

x

x

x

3

341

3

341

2

2

2

2

xx

x

xx

x

+=+

+=

3

341

12

2

xx

xen

Fx+

+()

:b)•Asímptotes verticals:

Com que x2+1 �0 x ��, no hi ha asímpto-tes verticals.


Com que no és finit, no hi ha

asímptotes horitzontals d’aquesta funció.


Vegem si n’hi ha:

Anàlogament, quan x tendeix a menys infinit.Aleshores, la recta y =x +4 és una asímptota obli-qua de la funció per totes dues bandes.

c)•Asímptotes verticals:

Com que per a tot real

no té asímptotes verticals.


Com que la recta y =0 és una

asímptota horitzontal per totes dues bandes.


Vegem si existeixen els límits:

Com que m =0, la funció h (x) no té asímptotesobliqües.

RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES

17.Segons la definició de límit d’una funció, tenim:

>0, >0 �0 <�x 1�<

�(4 x +2) 6�<

Per tant, veurem que, donat qualsevol �0, podemtrobar un �� 0 tal que, si 0��x 1��, aleshores�(4 x +2) 6��.

Però:

�(4 x +2) 6� =�4 x 4� =�4 (x 1)� =4 �x 1�

lim()x

x+=1

426

mhx

xxe xxx====

±±lim

()lim

110 2

lim()

lim(())xx

hx

xmihxmxb

±±==

lim,x

xe

±=

2

0

xeexx

xx0

0

202

lim, =�

bgxxxx

x xx==

+=

++lim(())lim

4

14

2

2

mgx

xxx

xx xx==

+

+=

++lim

()lim

32

3

41

lim()

lim(())xx

gx

xmigxmxb

±±==

limx

xx

x ±

+

+

32

2

4

1

146

8. L

ímits

Transformem

Ara caculem:

D’altra banda:

Per tant:

4. APLICACIÓ DELS LÍMITS: ASÍMPTOTES D’UNAFUNCIÓ

16. a) • Asímptotes verticals:

Els punts x0 en què el límit pot donar infinit estroben entre els zeros del denominador:

x + 2 = 0 x = 2

El límit en aquest punt és:

La recta x = 2 és l’única asímptota vertical.

• Asímptotes horitzontals:

Per tant, la recta y = 3 és una asímptota horit-zontal per totes dues bandes.

• Asímptotes obliqües:

Com que

no hi ha asímptotes obliqües.

mf x

xx

x xx x= =

+=

± ±lim

( )lim

( ),

3 12

0

limx

xx± +

=3 1

23

limx

xx +

=2

3 12

limx

xxx x

xe

+

+= =

3

3 40

2

2

56

3

+ + +

+=lim

x

x x x

x x x

4 3

3 2

4 5 20

3 18 4 24

limx

x

x

xx

+ +=

4

3 4

562

3

= +

+

+lim

x

xx

xx

11

3 44

2

3 44

2+ +x

xxx

43 4

562

3

limx

xxx x

x

+

+=

3

3 4

2

2

56

3

= +

+

11

3 44

2xx

= ++ +

= ++

=13 3 4

3 41

4

3 4

2 2

2 2

x x x

x

x

x

3

3 41

3

3 41

2

2

2

2

x x

x

x x

x

+= +

+=

3

3 41

12

2

x x

xen

F x+

+( )

:b) • Asímptotes verticals:

Com que x2 + 1 � 0 x � �, no hi ha asímpto-tes verticals.


Com que no és finit, no hi ha

asímptotes horitzontals d’aquesta funció.


Vegem si n’hi ha:

Anàlogament, quan x tendeix a menys infinit.Aleshores, la recta y = x + 4 és una asímptota obli-qua de la funció per totes dues bandes.

c) • Asímptotes verticals:

Com que per a tot real

no té asímptotes verticals.


Com que la recta y = 0 és una

asímptota horitzontal per totes dues bandes.


Vegem si existeixen els límits:

Com que m = 0, la funció h (x) no té asímptotesobliqües.


17. Segons la definició de límit d’una funció, tenim:

> 0, > 0 �0 < �x 1� <

�(4 x + 2) 6 � <

Per tant, veurem que, donat qualsevol � 0, podemtrobar un � � 0 tal que, si 0 � �x 1� � �, aleshores�(4 x + 2) 6 � � .

Però:

�(4 x + 2) 6 � = �4 x 4 � = �4 (x 1)� = 4 �x 1�

lim( )x

x + =1

4 2 6

mh x

x x ex x x= = = =

± ±lim

( )lim

1 102

lim( )

lim ( ( ) )x x

h x

xm i h x m x b

± ±= =

lim ,x

xe±

=2

0

x e ex x

x x0

0

202

lim ,= �

b g x xx x

xx x= =

+=

+ +lim ( ( ) ) lim

4

14

2

2

mg x

xx x

x xx x= =

+

+=

+ +lim

( )lim

3 2

3

41

lim( )

lim ( ( ) )x x

g x

xm i g x m x b

± ±= =

limx

x x

x±

+

+

3 2

2

4

1

CM

YK

147

8. Límits

Així, si prenem x tal que es verificarà:

Per tant, donat qualsevol � 0, n’hi ha prou de prendre:

— En particular, si = 1, tenim � = 0,25; així, doncs,l’entorn

(1 0, 25, 1 + 0, 25) = (0,75, 1, 25)

compleix la condició exigida en l’enunciat.

18. Segons la definició de límit d’una funció en un punt,tenim:

> 0, > 0 �0 < � x ( 2) � <

Per tant, hem de veure que, donat qualsevol � 0, po-dem trobar un � � 0 tal que, si:

Però:

Així, si prenem x tal que �x + 2� � , es verificarà:

Per tant, n’hi ha prou de prendre

— En particular, per a = 0, 3, tenim � = 0, 1.

Aleshores, l’entorn:

( 2 0,1, 2 + 0,1) = ( 2,1, 1,9)


19. Segons la definició de límit en l’infinit, tenim:

+<

xx2

515

lim , |x

xx

M x M+

+= > > >

25

15

0 0

=13

.

6 142

1 3 2 33

xx

+= + < =

13

=+

= + = +6 12

23 6 3 2

xx x

6 142

16 14 2

2x x+

=+

=

0 26 14

21< + <

+<x

x, aleshores

+<

6 142

1x

limx

x +=

2

6 142

1

=4

( )4 2 6 4 1 44

x x+ = < =

x <14

,Per tant, hem de veure que, donat qualsevol > 0,podem trobar un M > 0 tal que, si x > M, aleshores:

Ara bé:

Així, si prenem x tal que x � M, es compleix:

Per tant, donat qualsevol > 0, n’hi ha prou de pren-

dre

— En particular, per a = 0,005, tenim M = 80.

20. Segons la definició de límit en l’infinit, tenim:

Per tant, hem de veure que, donat qualsevol > 0,podem trobar M > 0 tal que, si x < M, aleshores:

Ara bé:

Així, si prenem x tal que x < M, es verificarà:

Per tant, donat > 0, n’hi ha prou de prendre

— En particular, per a

21. Dividim numerador i denominador per x2:

=

+

+ +

=+

limx

x

x

x

x x

x

x

x

x x

x

x

2

2 2 2

4

4

2

4 4

2

2

3 5

2 3

limx

x x

x x x+

+

+ +=

2

4 2 2

3 5

2 3

= = =0 23 0 20 2

15, ,,

,.M

M =3

2 32

3 32

2 2 2

x

x x M= <

= =3 32 2x x

2 32

2 3 22

2

2 2

2

x

x

x x

x= =

2 32

2

2

x

x<

<2 3

22

2

x

x

lim , |x

x

xM x M= > > <

2 32 0 0

2

2

M =2

5.

xx x x M+

= = <2

515

25

25

25

xx

x xx x

+=

+=

25

15

25

25

xx+

<2

515

147

8. L

ímits

Així, si prenem x tal quees verificarà:

Per tant, donat qualsevol �0, n’hi ha prou de prendre:

—En particular, si =1, tenim �=0,25; així, doncs,l’entorn

(1 0, 25, 1 +0, 25) =(0,75, 1, 25)


18.Segons la definició de límit d’una funció en un punt,tenim:

>0, >0 �0<�x (2)�<

Per tant, hem de veure que, donat qualsevol �0, po-dem trobar un �� 0 tal que, si:

Però:

Així, si prenem x tal que �x +2��, es verificarà:

Per tant, n’hi ha prou de prendre

—En particular, per a =0, 3, tenim �=0, 1.

Aleshores, l’entorn:

(2 0,1, 2 +0,1) =(2,1, 1,9)


19.Segons la definició de límit en l’infinit, tenim:

+<

xx2

515

lim,|x

xx

MxM+

+=>>>

25

15

00

=13

.

6142

13233

xx

+=+<=

13

=+

=+=+612

23632

xxx

6142

16142

2xx +

=+

=

02614

21 <+<

+< x

x,aleshores

+<

6142

1x

limx

x+=

2

6142

1

=4

() 4264144

xx +=<=

x< 14

,Per tant, hem de veure que, donat qualsevol >0,podem trobar un M >0 tal que, si x >M, aleshores:

Ara bé:

Així, si prenem x tal que x �M, es compleix:

Per tant, donat qualsevol >0, n’hi ha prou de pren-

dre

—En particular, per a =0,005, tenim M =80.

20.Segons la definició de límit en l’infinit, tenim:

Per tant, hem de veure que, donat qualsevol >0,podem trobar M >0 tal que, si x <M, aleshores:

Ara bé:

Així, si prenem x tal que x <M, es verificarà:

Per tant, donat >0, n’hi ha prou de prendre

—En particular, per a

21.Dividim numerador i denominador per x2:

=

+

++

=+

limx

x

x

x

xx

x

x

x

xx

x

x

2

222

4

4

2

44

2

2

35

23

limx

xx

xxx+

+

++=

2

422

35

23

=== 0230202

15 ,,,

,. M

M=3

232

332

222

x

xxM=<

==3322

xx

232

2322

2

22

2

x

x

xx

x==

232

2

2

x

x<

<23

22

2

x

x

lim,|x

x

xMxM =>><

23200

2

2

M=2

5.

xxxxM+

==<2

515

25

25

25

xx

xxxx

+=

+=

25

15

25

25

xx+

<2

515

C M

Y K

148

8. Límits

22.Multipliquem i dividim per l’expressió conjugada:

23.En resulta la indeterminació 1.

Transformem

Per tant, podem escriure:

D’altra banda:

=+

+

+

+

lim

(

x

xx

xx

xx

0

2

1

111

2

2))

13

x

lim()x

x xx ++=0

21

13

xxxx

xx

22

2

11111

++=++=+

+

():

xxenFx

211

1+++

():

=++

==6

3030

6

233

=

++

=+

limx

xx

6

31

35

=

++

=+

limx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

6

3352

22

2

22

=++

=+

limx

x

xxxx

6

33522

=++

++=

+lim

x

xxxx

xxxx

335

335

22

22

=

+ ()()++

=+

limx

xxxx

xxxx

335

335

22

22

22

++

++=

335

335

22

22

xxxx

xxxx

=+ () +lim

xxxxx 335

22

limx

xxxx+

+ ()= 33522

=+

++==

100

1001

10

=

+

++

=+

limx

xx

xx

135

123

1

2

24Per tant:

24.En resulta la indeterminació 1.

Transformem

x23 =1 +x23 1 =1 +x24 =


D’altra banda:

Per tant:

25.Expressem el valor del límit en funció de k:

Per resoldre la indeterminació, dividim numerador idenominador per x3:

=++

+=

+ 400000

40

kk

=

++

+

= limx

kxx

xxx

425

131

3

23

=

++

+

= lim

()

x

kx

x

x

xx

x

x

x

xx

425

31

3

3

2

33

2

333

lim()

x

kxx

xx

++

+=

425

31

32

2

lim()

x

kxx

xx

++

+=

425

31

32

2

lim()x

x xe =2

25

2203

=+= lim(())x

x2

5220

lim()lim()()

xxx

xxx

x=

+

2

2

24

52

522=

2

=+ lim

(

x

x

x

x

2

2

14

4

111

4

2

2))

52 x

lim()x

x x=2

25

2 3

=+ 111

42

x

xenFx

231

1+

():

lim()x

x xxe+

++==+0

21

13

lim()limxx

xxx

xx

x+=

+=+

0

230

2

3

1

148

8. L

ímits

22. Multipliquem i dividim per l’expressió conjugada:

23. En resulta la indeterminació 1 .

Transformem


D’altra banda:

= +

+

+

+

lim

(

x

x x

x x

x x

0

2

1

111

2

2 ))1

3x

lim ( )x

xx x+ + =0

21

1 3

x x x x

x x

2 2

2

1 1 111

+ + = + + = +

+

( ) :

x x enF x

2 1 11

+ + +( )

:

=+ +

= =6

3 0 3 0

6

2 33

=

+ +

=+

limx

x x

6

31

35

=

+ +

=+

limx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

6

3 3 52

2 2

2

2 2

=+ +

=+

limx

x

x x x x

6

3 3 52 2

=+ +

+ +=

+lim

x

x x x x

x x x x

3 3 5

3 3 5

2 2

2 2

=

+( ) ( )+ +

=+

limx

x x x x

x x x x

3 3 5

3 3 5

22

22

2 2

+ +

+ +=

3 3 5

3 3 5

2 2

2 2

x x x x

x x x x

= +( )+

limx

x x x x3 3 52 2

limx

x x x x+

+( ) =3 3 52 2

=+

+ += =

1 0 0

1 0 0 1

10

=

+

+ +

=+

limx

x x

x x

13 5

12 3

1

2

2 4 Per tant:

24. En resulta la indeterminació 1 .

Transformem

x2 3 = 1 + x2 3 1 = 1 + x2 4 =


D’altra banda:

Per tant:

25. Expressem el valor del límit en funció de k:

Per resoldre la indeterminació, dividim numerador idenominador per x3:

=+ +

+=

+4 0 00 0 0

40

k k

=

+ +

+

=limx

kx x

x x x

42 5

1 3 1

3

2 3

=

++

+

=lim

( )

x

k x

x

x

x x

x

x

x

x x

4 2 5

3 1

3

3

2

3 3

2

3 3 3

lim( )

x

k x x

x x

+ +

+=

4 2 5

3 1

3 2

2

lim( )

x

k x x

x x

+ +

+=

4 2 5

3 1

3 2

2

lim ( )x

xx e=2

25

2 203

= + =lim ( ( ))x

x2

5 2 20

lim ( ) lim( ) ( )

x xx

xx x

x=

+

2

2

24

52

5 2 2=

2

= +lim

(

x

x

x

x

2

2

14

4

111

4

2

2 ))5

2x

lim ( )x

xx =2

25

23

= +111

42x

x enF x

2 3 11

+( )

:

lim ( )x

xx x e++ + = = +0

21

1 3

lim ( ) limx x

x xx

x x

x+ =

+= +

0

23 0

2

3

1

CM

YK

149

8. Límits

Per decidir si aquest límit és + , o , hem de com-parar els signes del numerador i del denominadorquan la variable es fa cada vegada més petita:

Com que el denominador es fa negatiu quan x , perquè el límit sigui + , el numerador ha deser negatiu (o 0):

4 + k 0 k 4

El cas k = 4 correspon a una indeterminació, per laqual cosa l’hem d’estudiar a part:

Així, perquè es compleixi la condició de l’enunciat, hade ser:

k < 4

26. Expressem el valor del límit en funció del paràme-tre a:

Per resoldre la indeterminació, dividim el numeradori el denominador per x2:

Si imposem que el límit anterior sigui 4:

27. Com que f és una funció racional, perquè x = 0 siguiuna asímptota vertical s’ha d’anul.lar el denominadoren x = 0:

0 a = 0 a = 0

56

4245

aa= =

=+

+=

5 0 06 0 0

56

a a

=

+

+

=+

limx

ax x

x x

52 4

63 1

2

2

=

+

+

=+

limx

a x

x

x

x x

x

x

x

x x

5 2 4

6 3 1

2

2 2 2

2

2 2 2

limx

a x x

x x+

+

+=

5 2 4

6 3 1

2

2

limx

a x x

x x+

+

+=

5 2 4

6 3 1

2

2

=+

+= +lim

x

x

x x

2 5

3 12

2

2

lim( )

x

x x

x x

+

+=

4 4 2 5

3 1

3 2

2

xx x x

< + <01 3 1

02 3

Per tant, x = 0 és una asímptota vertical de f si, i noméssi, a = 0.

D’altra banda, perquè y = 0 sigui una asímptota horit-zontal de f s’ha de complir:

Ara bé, com que

aleshores aquesta condició es compleix independent-ment dels valors dels paràmetres a i b.

Es compleix la condició de l’enunciat, doncs, per a:

a = 0 , b �

28. En primer lloc, s’ha de complir:

Calculem aquests límits en funció de m i n:

Així, doncs, s’ha de complir

En segon lloc, hem de demanar:

Calculem aquests límits:

=

+

=±

limx

xx x

nxx x

11 2

5

mn

m n= =3 3 0

=+

=±

limx

xnx11 2

5

=+

=±

lim( )

x

m n x xnx

3 11 25

2

=+

+=

±lim

x

mx x nx xnx

2 24 2 3 155

limx

mx xnx

x±

+

+=

2 4 25

3

lim ( ( ) ) lim ( ( ) )x x

f x x o f x x+

= =3 1 3 1

mn

= 3.

=

+

+

=+

+=

±lim

x

mx x

nx

mn

mn

4 2

50 0

0

2

=

+

+

=±

limx

mx

x

x

x x

nx

x

x

x

2

2 2 2

2

2 2

4 2

5

lim( )x

mx xnx x±

+

+=

2 4 25

lim( )

lim( )

x x

f xx

of x

x+= =3 3

f xb

x af x f x

x x( ) , lim ( ) lim ( )= = =

+0

lim ( ) lim ( )x x

f x o f x+

= =0 0

149

8. L

ímits

Per decidir si aquest límit és +, o , hem de com-parar els signes del numerador i del denominadorquan la variable es fa cada vegada més petita:

Com que el denominador es fa negatiu quan x , perquè el límit sigui +, el numerador ha deser negatiu (o 0):

4 +k 0 k 4

El cas k =4 correspon a una indeterminació, per laqual cosa l’hem d’estudiar a part:

Així, perquè es compleixi la condició de l’enunciat, hade ser:

k <4

26.Expressem el valor del límit en funció del paràme-tre a:

Per resoldre la indeterminació, dividim el numeradori el denominador per x2:

Si imposem que el límit anterior sigui 4:

27.Com que f és una funció racional, perquè x =0 siguiuna asímptota vertical s’ha d’anul.lar el denominadoren x =0:

0 a =0 a =0

56

4245

aa ==

=+

+=

500600

56

aa

=

+

+

=+

limx

axx

xx

524

631

2

2

=

+

+

=+

limx

ax

x

x

xx

x

x

x

xx

524

631

2

222

2

222

limx

axx

xx +

+

+=

524

631

2

2

limx

axx

xx +

+

+=

524

631

2

2

=+

+=+ lim

x

x

xx

25

312

2

2

lim()

x

xx

xx

+

+=

4425

31

32

2

xxxx

<+< 0131

0 23

Per tant, x =0 és una asímptota vertical de f si, i noméssi, a =0.

D’altra banda, perquè y =0 sigui una asímptota horit-zontal de f s’ha de complir:

Ara bé, com que

aleshores aquesta condició es compleix independent-ment dels valors dels paràmetres a i b.

Es compleix la condició de l’enunciat, doncs, per a:

a =0 , b �

28.En primer lloc, s’ha de complir:

Calculem aquests límits en funció de m i n:


En segon lloc, hem de demanar:

Calculem aquests límits:

=

+

=±

limx

xxx

nxxx

112

5

mn

mn == 330

=+

=±

limx

xnx112

5

=+

=±

lim()

x

mnxxnx

31125

2

=+

+=

±lim

x

mxxnxxnx

2242315

5

limx

mxxnx

x±

+

+=

242

53

lim(())lim(())xx

fxxofxx+

== 3131

mn

=3.

=

+

+

=+

+=

±lim

x

mxx

nx

mn

mn

42

500

0

2

=

+

+

=±

limx

mx

x

x

xx

nx

x

x

x

2

222

2

22

42

5

lim() x

mxxnxx ±

+

+=

2425

lim()

lim()

xx

fxx

ofx

x +== 33

fxb

xafxfx

xx(),lim()lim() ===

+0

lim()lim()xx

fxofx+

== 00

C M

Y K

150

8. Límits


Finalment,

Per tant, els valors de m i n perquè es compleixi l’e-nunciat són:

m =33 , n =11

ACTIVITATS

Abans de començar

•Límit finit d’una funció en un punt (pàg. 164); límit in-finit d’una funció en un punt (pàg. 166); límits lateralsd’una funció en un punt (pàg. 165); límit finit d’una fun-ció en l’infinit (pàg. 168); límit infinit d’una funció enl’infinit (pàg. 169).

•Una indeterminació és una expressió, que s’obté en cal-cular el seu límit, el valor de la qual no està determinat.

Existeixen les indeterminacions següents:

•Asímptota vertical (pàg. 182); asímptota horitzontal(pàg. 183); asímptota obliqua (pàg. 183).

Qüestions

29.Sí, ja que en la definició de límit en un punt no inter-vé el valor de la funció en aquest punt.

Per exemple, no està definida en x =0,

però clarament

30.Sí, però el valor d’aquest límit ha de ser 0.

Per exemple:

f(x) =x20x �

g(x) =x20 x �

31.Sí. Per exemple:

està definida en x0=0 i x =0 és asímptota vertical de f.

32. a)Cert. Per exemple, f (x) =tg x té com a asímpto-

tes verticals les rectes

b)Fals, ja que només en pot tenir una per l’esquerrai una per la dreta.

c)Cert. Per exemple, P(x) =0 té com a asímptota ho-ritzontal x =0 i Q (x) =x +2 té com a asímptotaobliqua y =x +2.

xkk =+,.2

�

fxxsix

six()=

=

10

00

lim()lim()xx

fxgx ==00

0

lim().x

fx=0

2

fxx

x()=

2

;;;;;; 000

1000

mn

m == 333.

==11

111n

n.

=

+

=±

limx

x

nx

n

112

511

d)Cert. Per exemple:

té dues asímptotes obliques: y =2 x +1 per la dre-ta, y =x +3 per l’esquerra.

EXERCICIS I PROBLEMES

33.a)f (1) =2

b)

c)

d)�f (2)

e)

f)

g)f (3) =2

h)

i)

—Com que

Com que

Com que

34.a)Com que 3 �2, l’expressió analítica de f en unentorn de x =3 és f(x) =x 4, aleshores:

=3 4 =7

b)Com que x =2 és un punt frontera entre dos in-tervals en els quals f té una expressió analítica di-ferent, hem de calcular a partir dels lí-mits laterals:

=(2)2+3 (2) +4 =6

Com que els límits laterals en x =2 existeixen icoincideixen, en concloem que el límit de la fun-ció en x =2 existeix i que el seu valor és:

lim()x

fx=2

6

lim()lim()xx

fxxx ++ =++=22

234

lim()lim()xx

fxx ===22

4246

lim()x

fx2

lim()lim()limlimxxxx

fxxx ===3333

44

lim().x

fx3

lim()lim(),xx

fxfx + ==33

21

= lim().x

fx2

0

lim()lim(),xx

fxfx + ==22

0

lim().x

fx1

lim()lim(),xx

fxfx + ==11

12

lim()x

fx +=3

1

lim()x

fx=3

2

lim()x

fx +=2

0

lim()x

fx=2

0

lim()x

fx +=1

2

lim()x

fx=1

1

fxxsix

xsix()=

+

+<

210

30

150

8. L

ímits


Finalment,

Per tant, els valors de m i n perquè es compleixi l’e-nunciat són:

m = 33 , n = 11

ACTIVITATS

Abans de començar

• Límit finit d’una funció en un punt (pàg. 164); límit in-finit d’una funció en un punt (pàg. 166); límits lateralsd’una funció en un punt (pàg. 165); límit finit d’una fun-ció en l’infinit (pàg. 168); límit infinit d’una funció enl’infinit (pàg. 169).

• Una indeterminació és una expressió, que s’obté en cal-cular el seu límit, el valor de la qual no està determinat.

Existeixen les indeterminacions següents:

• Asímptota vertical (pàg. 182); asímptota horitzontal(pàg. 183); asímptota obliqua (pàg. 183).

Qüestions

29. Sí, ja que en la definició de límit en un punt no inter-vé el valor de la funció en aquest punt.

Per exemple, no està definida en x = 0,

però clarament

30. Sí, però el valor d’aquest límit ha de ser 0.

Per exemple:

f(x) = x2 0 x �

g(x) = x2 0 x �

31. Sí. Per exemple:

està definida en x0 = 0 i x = 0 és asímptota vertical de f.

32. a) Cert. Per exemple, f (x) = tg x té com a asímpto-

tes verticals les rectes

b) Fals, ja que només en pot tenir una per l’esquerrai una per la dreta.

c) Cert. Per exemple, P(x) = 0 té com a asímptota ho-ritzontal x = 0 i Q (x) = x + 2 té com a asímptotaobliqua y = x + 2.

x k k= + , .2

�

f x xsi x

si x( ) =

=

10

0 0

lim ( ) lim ( )x x

f x g x= =0 0

0

lim ( ) .x

f x =0

2

f xx

x( ) =

2

; ; ; ; ; ;000

1 00 0

mn

m= =3 33.

= =11

1 11n

n .

=

+

=±

limx

x

nx

n

112

511

d) Cert. Per exemple:

té dues asímptotes obliques: y = 2 x + 1 per la dre-ta, y = x + 3 per l’esquerra.


33. a) f ( 1) = 2

b)

c)

d) � f (2)

e)

f )

g) f (3) = 2

h)

i)

— Com que

Com que

Com que

34. a) Com que 3 � 2, l’expressió analítica de f en unentorn de x = 3 és f(x) = x 4, aleshores:

= 3 4 = 7

b) Com que x = 2 és un punt frontera entre dos in-tervals en els quals f té una expressió analítica di-ferent, hem de calcular a partir dels lí-mits laterals:

= ( 2)2 + 3 ( 2) + 4 = 6

Com que els límits laterals en x = 2 existeixen icoincideixen, en concloem que el límit de la fun-ció en x = 2 existeix i que el seu valor és:

lim ( )x

f x =2

6

lim ( ) lim ( )x x

f x x x+ +

= + + =2 2

2 3 4

lim ( ) lim ( )x x

f x x= = =2 2

4 2 4 6

lim ( )x

f x2

lim ( ) lim ( ) lim limx x x x

f x x x= = =3 3 3 3

4 4

lim ( ).x

f x3

lim ( ) lim ( ),x x

f x f x+

= =3 3

2 1

=lim ( ) .x

f x2

0

lim ( ) lim ( ),x x

f x f x+

= =2 2

0

lim ( ).x

f x1

lim ( ) lim ( ),x x

f x f x+

= =1 1

1 2

lim ( )x

f x+

=3

1

lim ( )x

f x =3

2

lim ( )x

f x+

=2

0

lim ( )x

f x =2

0

lim ( )x

f x+

=1

2

lim ( )x

f x =1

1

f xx si x

x si x( ) =

+

+ <

2 1 0

3 0

CM

YK

151

8. Límits

c) Com que l’expressió analítica de f és diferent perals punts de l’esquerra d’1 i de la dreta d’1, hemde calcular els límits laterals per a determinar el va-lor del límit:

= 12 + 3 1 + 4 = 6

Com que els límits laterals de f en x = 1 no coinci-deixen, no existeix

d) Com que 2 > 1, f (x) = 2 x 1 en un entorn de x = 2, aleshores:

35. a)

b)

c)

d)

e)

f)

36. a)

Hem obtingut una indeterminació. Per a eliminar-la extraiem els factors x 1 del numerador i del de-nominador:

x3 + 2 x2 x 2 = (x 1) (x2 + 3 x + 2)

x2 + 3 x 4 = (x 1) (x + 4)

=+

+=

1 2 1 1 2

1 3 1 4

00

3 2

2

limx

x x x

x x

+

+=

1

3 2

2

2 2

3 4

lim(ln ( )) lim( )x

x

xe x+ = + = + =

1

1

11 1 1 2

=+

=3 3 12 3 1

18

3 6

lim limx

x

x

xx

xx

+=

+

3

6

3

3 12 1

3 12 1

=

lim( )x

x3

6

limx

x x

x x

+=

+

3

2

2

2

2

10 4

2 7 14

3 10 3 4

2 3 7 3 1441=

= + =( ( )) ( )5 1 1 4 5 523 3

= ( ) +( ) =lim lim ( )x x

x x1 1

235 4

= ( ) +( ) =lim limx x

x x1 1

235 4

limx

x x +( ) =1

235 4

= + =3 2 2 5 2 1 4

= + =lim ( ) lim ( )x x

x x2 2

3 2 5 1

= + =lim ( ) limx x

x x2 2

3 2 5 1

limx

x x+( ) =2

3 2 5 1

lim ( )x

x x+ = + =0

2 26 8 0 6 0 8 8

lim ( ) lim ( )x x

f x x= = =2 2

2 1 2 2 1 3

lim ( ).x

f x1

lim ( ) lim ( )x x

f x x+ +

= = =1 1

2 1 2 1 1 1

lim ( ) lim ( )x x

f x x x= + + =1 1

2 3 4

Simplificant les potències comunes de x 1, deter-minem el valor del límit:

b)

Per a eliminar aquesta indeterminació factoritzemel numerador i el denominador per x 2:

x2 x 2 = (x + 1) (x 2)

3 x 6 = 3 (x 2)Simplificant:

c)

Multipliquem i dividim per l’expressió conjugadadel numerador:

Hem tornat a obtenir la indeterminació ,

però ara prové dels factors polinòmics:

d)

Atès que la indeterminació prové d’una funció ra-cional, la podem eliminar extraient i simplificant

=+

+=

2 0 2 0 12 0

0 4 0 6 0

00

3 2

3 2

limx

x x x

x x x

+

+=

0

3 2

3 2

2 2 12

4 6

= =46

23

=+

+ +( )=

+

+ +=lim

( ) ( )

( )x

x x

x x2 2 2

2 2

2 5 3

2 2

2 5 3

lim( )x

x

x x + +( )=

2

2

2

4

2 5 3

00

=

+ +( )=

2 4

2 2 2 5 3

00

2

2( )

=

+ +( )=lim

( )x

x

x x2

2

2

4

2 5 3

=+

+ +( )=lim

( )x

x

x x2

2

2

5 9

2 5 3

=+( ) + +( )

+ +( )=lim

( )x

x x

x x2

2 2

2

5 3 5 3

2 5 3

limx

xx+

=2

2 5 32

limx

xx+

=+

=2

2 25 32

2 5 32 2

00

lim( ) ( )

( )x

x x

x

+=

+=

2

1 2

3 22 1

31

limx

x xx

= =2

2 223 6

2 2 23 2 6

00

lim( ) ( )

( ) ( )x

x x x

x x

+ +

+=

+ +

+1

2 21 3 2

1 41 3 1 2

1 4465

=

151

8. L

ímits

c)Com que l’expressió analítica de f és diferent perals punts de l’esquerra d’1 i de la dreta d’1, hemde calcular els límits laterals per a determinar el va-lor del límit:

=12+3 1 +4 =6

Com que els límits laterals de f en x =1 no coinci-deixen, no existeix

d)Com que 2 >1, f (x) =2 x 1 en un entorn de x =2, aleshores:

35.a)

b)

c)

d)

e)

f)

36.a)

Hem obtingut una indeterminació. Per a eliminar-la extraiem els factors x 1 del numerador i del de-nominador:

x3+2 x2x 2 =(x 1) (x2+3 x +2)

x2+3 x 4 =(x 1) (x +4)

=+

+=

12112

1314

00

32

2

limx

xxx

xx

+

+=

1

32

2

22

34

lim(ln())lim()x

x

xex

+=+=+=

1

1

11112

=+

=331231

18

36

limlimx

x

x

xx

xx

+=

+

3

6

3

3121

3121

=

lim() xx 36

limx

xx

xx

+=

+

3

2

2

2

2

104

2714

31034

23731441 =

=+= (())() 5114552 33

=()+ ()= limlim()xx

xx11

2 3 54

=()+ ()= limlimxx

xx11

2 354

limx

xx+ ()= 1

2 354

=+= 3225214

=+= lim()lim()xx

xx22

3251

=+= lim()limxx

xx22

3251

limx

xx + ()= 23251

lim()x

xx +=+=0

226806088

lim()lim()xx

fxx ===22

212213

lim().x

fx1

lim()lim()xx

fxx ++ ===11

212111

lim()lim()xx

fxxx =++=11

234

Simplificant les potències comunes de x 1, deter-minem el valor del límit:

b)

Per a eliminar aquesta indeterminació factoritzemel numerador i el denominador per x 2:

x2x 2 =(x +1) (x 2)

3 x 6 =3 (x 2)Simplificant:

c)

Multipliquem i dividim per l’expressió conjugadadel numerador:

Hem tornat a obtenir la indeterminació,

peròara prové dels factors polinòmics:

d)

Atès que la indeterminació prové d’una funció ra-cional, la podem eliminar extraient i simplificant

=+

+=

2020120

04060

00

32

32

limx

xxx

xxx

+

+=

0

32

32

2212

46

==46

23

=+

++ ()=

+

++= lim

()()

()x

xx

xx222

22

253

22

253

lim()

x

x

xx++ ()=

2

2

2

4

253

00

=

++ ()=

24

22253

00

2

2()

=

++ ()= lim

()x

x

xx2

2

2

4

253

=+

++ ()= lim

()x

x

xx2

2

2

59

253

=+ ()++ ()

++ ()= lim

()x

xx

xx2

22

2

5353

253

limx

xx+

=2

2532

limx

xx+

=+

=2

22532

25322

00

lim()()

() x

xx

x

+=

+=

2

12

3221

31

limx

xxx

==2

222

36222326

00

lim()()

()() x

xxx

xx

++

+=

++

+ 1

22 132

141312

14465

=

C M

Y K

152

8. Límits

els factors x 0 (és a dir, x) del numerador i del denominador:

2 x3+2 x212 x =x (2 x2+2 x 12)

x34 x2+6 x =x (x24 x +6)

e)

Per tant, atès que la indeterminació procedeix de l’anul.lació d’un factor irracional (el deno-minador), multipliquem i dividim pel seu con-jugat:

Ara, com que la indeterminació procedeix de l’a-nul.lació de factors polinòmics, la podem eliminarfactoritzant-los i simplificant els binomis x 5 delnumerador i del denominador:

f)

Per a eliminar la indeterminació multipliquem elnumerador i el denominador pel conjugat del de-nominador:

=+ ()

++ ()++ ()lim

()

x

xxx

xxxx1

22

22

132

3232==

limx

x

xx ++=

1

2

2

1

32

lim()

()() x

x

xx ++=

++=

1

2

2

2

2

1

32

11

1321

00

=++

=2564

24

=++ ()= lim

()

() x

xx

x 5

5264

25

lim()

x

xx

x

++ ()=5

5264

210

=++ ()

+=

() 55256425616

00

=++ ()

+= lim

()

x

xx

x 5

5264

2616

lim()

x

xx

xx

++ ()+ ()++ ()

=5

5264

264264

limx

x

x+=

5

5

264

limx

x

x+=

+=

5

5

264

55

2564

00

=+

+=

202012

04062

2

2

=+

+= lim

()

() x

xxx

xxx 0

2

2

2212

46

limx

xxx

xxx

+

+=

0

32

32

2212

46

Extraiem els factors x (1) =x +1 dels polinomisdel numerador i del denominador que provoquenla indeterminació en anul.lar-se en x =1:

37.Calculem el valor del límit en funció del paràmetre a:

Perquè això sigui una indeterminació, el numeradorha de ser 0, és a dir:

a 8 =0 a =8

—Si a =8, obtenim la indeterminacióPer a eli-

minar-la extraiem del numerador i del denomi-nador tots els factors de la forma x (1) ==x +1:

38.a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)lim()x

fx=1

lim()x

fx +=1

lim()x

fx=1

lim()x

fx=2

lim()x

fx +=2

lim()x

fx=+2

lim()x

fx=+

==816

117

()

limlim()()

() xx

xx

x

xx

x

+=

+

+ 1

2

21

826

1

186

1(() x=

1

00

.

=+

=aa ()()

()

1216

11

80

2

2

limx

axx

x

+=

1

2

2

26

1

=+

=2113

343

2()()

=+

= limx

xx1

223

3

=++ ()

+= lim

()()

()() x

xxxx

xx 1

21132

311

lim()

x

xxx

x

+ ()+

=1

22

2

132

33

=+ ()+

=(())()()

()

111321

313

00

22

2

=+ ()+

= lim()

x

xxx

x 1

22

2

132

33

=+ ()

+= lim

()

() x

xxx

xx 1

22

22

132

32

152

8. L

ímits

els factors x 0 (és a dir, x) del numerador i del denominador:

2 x3 + 2 x2 12 x = x (2 x2 + 2 x 12)

x3 4 x2 + 6 x = x (x2 4 x + 6)

e)

Per tant, atès que la indeterminació procedeix de l’anul.lació d’un factor irracional (el deno-minador), multipliquem i dividim pel seu con-jugat:

Ara, com que la indeterminació procedeix de l’a-nul.lació de factors polinòmics, la podem eliminarfactoritzant-los i simplificant els binomis x 5 delnumerador i del denominador:

f)

Per a eliminar la indeterminació multipliquem elnumerador i el denominador pel conjugat del de-nominador:

=+( )

+ +( ) + +( )lim

( )

x

x x x

x x x x1

2 2

2 2

1 3 2

3 2 3 2==

limx

x

x x+ +=

1

2

2

1

3 2

lim( )

( ) ( )x

x

x x+ +=

+ +=

1

2

2

2

2

1

3 2

1 1

1 3 2 1

00

=+ +

=2 5 6 4

24

=+ +( )

=lim( )

( )x

x x

x5

5 2 6 4

2 5

lim( )

x

x x

x

+ +( )=

5

5 2 6 4

2 10

=+ +( )

+=

( )5 5 2 5 6 42 5 6 16

00

=+ +( )

+=lim

( )

x

x x

x5

5 2 6 4

2 6 16

lim( )

x

x x

x x

+ +( )+( ) + +( )

=5

5 2 6 4

2 6 4 2 6 4

limx

x

x +=

5

5

2 6 4

limx

x

x +=

+=

5

5

2 6 4

5 5

2 5 6 4

00

=+

+=

2 0 2 0 12

0 4 0 62

2

2

=+

+=lim

( )

( )x

x x x

x x x0

2

2

2 2 12

4 6

limx

x x x

x x x

+

+=

0

3 2

3 2

2 2 12

4 6

Extraiem els factors x ( 1) = x + 1 dels polinomisdel numerador i del denominador que provoquenla indeterminació en anul.lar-se en x = 1:

37. Calculem el valor del límit en funció del paràmetre a:

Perquè això sigui una indeterminació, el numeradorha de ser 0, és a dir:

a 8 = 0 a = 8

— Si a = 8, obtenim la indeterminació Per a eli-

minar-la extraiem del numerador i del denomi-nador tots els factors de la forma x ( 1) == x + 1:

38. a)

b)

c)

d)

e)

f )

g) lim ( )x

f x =1

lim ( )x

f x+

=1

lim ( )x

f x =1

lim ( )x

f x =2

lim ( )x

f x+

=2

lim ( )x

f x = +2

lim ( )x

f x = +

= =8 1 6

1 17

( )

lim lim( )( )

( )x x

x x

x

x x

x

+=

+

+1

2

2 1

8 2 6

1

1 8 6

1 (( )x=

1

00

.

=+

=a a( ) ( )

( )

1 2 1 6

1 1

80

2

2

limx

a x x

x

+=

1

2

2

2 6

1

=+

=2 1 1 3

343

2( ) ( )

=+

=limx

x x1

22 33

=+ +( )

+=lim

( ) ( )

( ) ( )x

x x x x

x x1

21 1 3 2

3 1 1

lim( )

x

x x x

x

+( )+

=1

2 2

2

1 3 2

3 3

=+( )+

=(( ) ) ( ) ( )

( )

1 1 1 3 2 1

3 1 3

00

2 2

2

=+( )+

=lim( )

x

x x x

x1

2 2

2

1 3 2

3 3

=+( )

+=lim

( )

( )x

x x x

x x1

2 2

2 2

1 3 2

3 2

CM

YK

153

8. Límits

h)

39. a)

Per decidir si aquest límit és + , o , hem d’es-tudiar el signe de les imatges de valors pròxims a 2en acostar-nos-hi per cada banda:

— Per a valors pròxims a 2 per l’esquerra:

— Per a valors pròxims a 2 per la dreta:

Així, doncs,

b)

Per saber si el límit és + , o , hem de calcularels límits laterals:

— Si ens acostem a 1 per l’esquerra:

— Si ens acostem a 1 per la dreta:

Així, doncs,

c) ja que tant el nume-

rador com el denominador són sempre positius.

d)

e)

= (5 ( )3 + 1 000)5 = ( )5 =

f) lim( ) ( )x x x+ +

=+ +

=3 2 2

7

6 9

7

3 6 3 9

= + =lim ( )lim

xx

x

5 100035

lim ( )x

x + =5 10003 5

= = =

+ + + +14

14

03 5 12( ( ) ( ) )

= =+

++

limlim ( )

x

x xx1

4

3 5 12

limx

x x

+

+

=14

3 5 12

lim ,x x

= = = +0 2 2

1

2

1

2 0

10

lim .x

xx

+

+=

1

2 51

x

x

xxx

2

1

25 0

1 0

51

+ >

+ >

+

+= +

+lim

x

x

xxx

2

1

25 0

1 0

51

+ >

+ <

+

+=lim

lim( )

x

xx

+

+=

+

+=

1

2 251

1 51 1

60

lim( )

.x

x

x=

2 2

1

2

1 0

2 0

1

22 2 2

<

>=

+

x

x

x

xx( )lim

( )

1 0

2 0

1

22 2 2

<

>=

x

x

x

xx( )lim

( )

lim( ) ( )x

x

x= =

2 2 2

1

2

1 2

2 2

10

lim ( )x

f x+

= 2 ja que el numerador és sempre ne-

gatiu i el denominador, x2 + 6 x + 9 = (x + 3)2,sempre és positiu.

g )

Per decidir el valor del límit, hem d’estudiar el sig-ne dels límits laterals:

— Límit per l’esquerra:

— Límit per la dreta:

Així, doncs,

h)

Per tal d’eliminar la indeterminació, extraiem elsfactors x 2 del numerador i del denominador:

x2 x 2 = (x 2) (x + 1)

3 x2 12 x + 12 = 3 (x 2)2


— Límit per l’esquerra:

— Límit per la dreta:

Així,

i)

= (+ )(+ ) = +

=+

= =

+ +97 7

2 2 23

( )( ) ( )

lim liml

x

x

x

x x+ +

=9

79

7

2 2 23 iim

xx

+

=

2 3

lim lim( )x x

x x

x x

xx+

=+

=2

2

2 2

2

3 12 12

13 2

x

xxxx

+ >

>

+= +

+

1 0

3 2 01

3 22( )lim

( )

x

xxxx

+ >

<

+=

1 0

3 2 01

3 22( )lim

( )

=+

=2 1

3 2 230( )

lim lim( ) ( )

(x x

x x

x x

x x

+=

+

2

2

2 2

2

3 12 12

2 1

3 xx=

2 2)

limx

x x

x x +=

+=

2

2

2

2

2

2

3 12 12

2 2 2

3 2 12 2 12

000

lim .x

x

x x=

5 2

3

4 5

=+

limx

x

x x5 2

3

4 5

<

= + >

3 0

4 5 1 5 02

x

x x x x( ) ( )

= +limx

x

x x5 2

3

4 5

<

= + <

3 0

4 5 1 5 02

x

x x x x( ) ( )

limx

x

x x= =

5 2 2

3

4 5

3 5

5 4 5 5

150

= =7

0,

153

8. L

ímits

h)

39.a)

Per decidir si aquest límit és +, o , hem d’es-tudiar el signe de les imatges de valors pròxims a 2en acostar-nos-hi per cada banda:

—Per a valors pròxims a 2 per l’esquerra:

—Per a valors pròxims a 2 per la dreta:

Així, doncs,

b)

Per saber si el límit és +, o , hem de calcularels límits laterals:

—Si ens acostem a 1 per l’esquerra:

—Si ens acostem a 1 per la dreta:

Així, doncs,

c)ja que tant el nume-

rador com el denominador són sempre positius.

d)

e)

=(5 ()3+1000)5=()5=

f)lim()() xxx ++

=++

=322

7

69

7

3639

=+= lim()lim

xx

x

510003

5

lim()x

x+= 5100035

===

++++14

14

0351

2(()())

==+

++

limlim()

x

xx x 14

3512

limx

xx

+

+

=14

3512

lim,xx

===+022

1

2

1

20

10

lim.x

xx

+

+=

1

251

x

x

xx x

2

1

250

10

51

+>

+>

+

+=+ + lim

x

x

xx x

2

1

250

10

51

+>

+<

+

+= lim

lim()

x

xx

+

+=

+

+=

1

225

11511

60

lim()

.x

x

x=

22

1

2

10

20

1

2222

<

>= +

x

x

x

x x ()lim

()

10

20

1

2222

<

>=

x

x

x

x x ()lim

()

lim()() x

x

x==

222

1

2

12

22

10

lim()x

fx+

=2ja que el numerador és sempre ne-

gatiu i el denominador, x2+6 x +9 =(x +3)2,sempre és positiu.

g)


—Límit per l’esquerra:

—Límit per la dreta:

Així, doncs,

h)

Per tal d’eliminar la indeterminació, extraiem elsfactors x 2 del numerador i del denominador:

x2x 2 =(x 2) (x +1)

3 x212 x +12 =3 (x 2)2


—Límit per l’esquerra:

—Límit per la dreta:

Així,

i)

=(+)(+)=+

=+

==

++9

77

2223

()()()

limliml

x

x

x

xx++

=9

79

7

2223

iimxx +

=

23

limlim() xx

xx

xx

xx +

=+

=2

2

22

2

31212

132

x

xxx x

+>

>

+=+ +

10

3201

32 2 ()lim

()

x

xxx x

+>

<

+=

10

3201

32 2 ()lim

()

=+

=21

32230 ()

limlim()()

( xx

xx

xx

xx

+=

+

2

2

22

2

31212

21

3xx=

22

)

limx

xx

xx+=

+=

2

2

2

2

2

2

31212

222

3212212

000

lim.x

x

xx=

52

3

45

= + limx

x

xx 52

3

45

<

=+>

30

451502

x

xxxx ()()

=+ limx

x

xx 52

3

45

<

=+<

30

451502

x

xxxx ()()

limx

x

xx==

522

3

45

35

5455

150

==7

0,

C M

Y K

154

8. Límits

j)

=2(6 (+) +3)=2=0

40.a)

=4 ()33 ()2+2 () ==4 () 3 (+) +2 () ==() (+) +() =

b)

Per tal d’eliminar la indeterminació, dividim nu-merador i denominador per x2:

c)

Per tal d’eliminar la indeterminació, dividim nu-merador i denominador per x:

d)

Per tal d’eliminar la indeterminació, dividim nu-

merador i denominador per

===+

limx

x

x

81

11

2010

2

36

36

=+

limx

x

x

x

x

x

x

x

x

82

23

2 3

2

23

2 3

limx

xx

xx+

=8

2 3

2 3

x23:

limx

xx

xx+

=8

2 3

2 3

=

+

+

=+

+=

+lim

x

x

x

54

93

1

50

901

54

=

+

+

=+

limx

xxx

x

x

x

x

xx

54

932

22

limx

x

xxx+

+

+=

54

932

limx

x

xxx+

+

+=

54

932

=

+

=+

=+

limx

xx

x

753

29

70020

72

2

2

=

+

=+

limx

x

x

x

xx

x

xx

753

29

2

222

2

22

limx

xx

x +

+=

753

29

2

2

limx

xx

x +

+=

753

29

2

2

lim()x

xxx += 43232

lim(lim)lim()

x

x

x

x x

+

+

+

+

==+

226363

e)

Multipliquem i dividim pel conjugat:

Per tal d’eliminar aquesta indeterminació, dividimnumerador i denominador per x2:

ja que el denominador sempre és positiu.

f)

=0()

Per tal d’eliminar la indeterminació, fem el pro-ducte de fraccions:


=+

+=

+lim

x

xx

xxx

1830

328

3

32

limx

x

xx

xx +

+

+=

6

34

352 2

2

=+

+ ++limlim

xx

x

xx

xx

6

34

352 2

2

=

limx

x

xx

xx +

+

+=

6

34

352 2

2

=++

==20

0000

20

=

++

=+

limx

x

xxxx

27

1235

2

2424

=

++

=+

limx

x

xx

x

xx

x

xx

27

235

2

22

2

44

2

44

limx

x

xx+

++=

27

235

2

22

=++

=

=++

=+

++

lim()

limlim

x

xx

x

xx

27

235

2

22

=++

=+

limx

x

xx

27

235

2

22

=+

++=

+lim

()()x

xx

xx

22

22

235

235

=+ ()++ ()

+++

limx

xxxx

xx

2222

22

235235

235==

limx

xx+

+ ()=22

235

limx

xx+

+ ()=22

235

154

8. L

ímits

j )

= 2( 6 (+ ) + 3)= 2 = 0

40. a)

= 4 ( )3 3 ( )2 + 2 ( ) == 4 ( ) 3 (+ ) + 2 ( ) == ( ) (+ ) + ( ) =

b)

Per tal d’eliminar la indeterminació, dividim nu-merador i denominador per x2:

c)

Per tal d’eliminar la indeterminació, dividim nu-merador i denominador per x:

d)

Per tal d’eliminar la indeterminació, dividim nu-

merador i denominador per

= = =+

limx

x

x

81

11

2 01 0

2

36

36

=+

limx

x

x

x

x

x

x

x

x

8 2

23

23

2

23

23

limx

x x

x x+=

8 23

23

x23 :

limx

x x

x x+=

8 23

23

=

+

+

=+

+=

+lim

x

x

x

54

93

1

5 0

9 0 1

54

=

+

+

=+

limx

xx x

x

x

x

x

xx

5 4

9 32

2 2

limx

x

x x x+

+

+=

5 4

9 32

limx

x

x x x+

+

+=

5 4

9 32

=

+

=+

=+

limx

x x

x

75 3

29

7 0 02 0

72

2

2

=

+

=+

limx

x

x

x

x x

x

x x

7 5 3

2 9

2

2 2 2

2

2 2

limx

x x

x+

+=

7 5 3

2 9

2

2

limx

x x

x+

+=

7 5 3

2 9

2

2

lim ( )x

x x x+ =4 3 23 2

lim ( lim )lim ( )

x

x

x

xx

+

+

+

+

= =+2 26 3 6 3 e)

Multipliquem i dividim pel conjugat:


ja que el denominador sempre és positiu.

f)

= 0 ( )

Per tal d’eliminar la indeterminació, fem el pro-ducte de fraccions:


=+

+=

+lim

x

x x

x x x

18 30

3 2 8

3

3 2

limx

x

x x

xx+

+

+=

6

3 4

3 522

2

=+

++ +lim lim

x x

x

x x

xx

6

3 4

3 522

2

=

limx

x

x x

xx+

+

+=

6

3 4

3 522

2

=+ +

= =2 0

0 0 0 0

20

=

+ +

=+

limx

x

x x x x

27

1 2 3 5

2

2 4 2 4

=

+ +

=+

limx

x

x x

x

x x

x

x x

2 7

2 3 5

2

2 2

2

4 4

2

4 4

limx

x

x x+ + +=

2 7

2 3 5

2

2 2

=+ +

=

=+ +

=+

+ +

lim ( )

lim lim

x

x x

x

x x

2 7

2 3 5

2

2 2

=+ +

=+

limx

x

x x

2 7

2 3 5

2

2 2

=+

+ +=

+lim

( ) ( )x

x x

x x

2 2

2 2

2 3 5

2 3 5

=+( ) + +( )

+ ++lim

x

x x x x

x x

2 2 2 2

2 2

2 3 5 2 3 5

2 3 5==

limx

x x+

+( ) =2 22 3 5

limx

x x+

+( ) =2 22 3 5

CM

YK

155

8. Límits

merador i denominador i simplificant els factors x 3:

41. a)

Per tal d’eliminar la indeterminació, dividim nu-merador i denominador per n2:

b)


42. a)

Per resoldre la indeterminació 1 , hem d’expres-

sar la base de la forma i introduir F (x)

en l’exponent:

Així:

= +limx

x

x1

1

32

2

32

23

2+

=

xx

2

23 12

lim limx

x

x

x

x x

+

= +5

31

1

32

2

2

3 12

2

2

=

+3 12

2x

= ++

= +15 3

31

1

32

2 2

2 2

x x

x x

5

31

5

31

2

2

2

2= + =

x

x

x

x

11

+F x( )

= =

+

+limlim

( )

x

x

x

x

x5

31

2

2

3 12

2

limx

x

x

x

+

=5

3

2

2

3 12

2

=+ +

= +0

1

lim limx x

n

n n

n

n

nn

+ +

+

=

+

=

3

2 2

2

2

2

3 3

1

lim limn

nn

bn

n+ +=

+=

3

2

3

=+ +

= =4 0 0

2 042

2

lim limn n

n

n

n

n n

n

n n

n

+ +

+

=

+4 2 1

2 2

422

2 2 2

2

2 2

11

22

2

2

n

n

=

lim limn

nn

an n

n+ +=

+=

4 2 1

2 2

2

2

=+

= =3 13 3

26

13

lim lim( ) ( )

( ) (x x

x x

x

x x

x x

+=

3

2

2 3

4 3

9

3 1

3 ++=

3)

g)

Efectuem el producte:

Per tal d’eliminar aquesta indeterminació, multi-pliquem el numerador i el denominador per x2:

h)

Per tal d’eliminar la indeterminació, efectuem laresta de fraccions:

Eliminem aquesta indeterminació factoritzant nu-

=+

=limx

x x

x3

2

2

4 3

9

00

=+ +

=lim( )

x

x x x

x3 2

3 7 3

9

limx

xx

x

x=

3 237 3

9

= =lim limx x

xx

x

x3 3 237 3

9

limx

xx

x

x=

3 237 3

9

=+

+= = +

3 1 0 08 0 8

( )

=

+

+

=limx

xx x

x

3 115 5

816

2

2

=

+

+

=limx

x

x

x

x

x

x x

x

x x

3 15 5

8 16

3

2

2

2 2 2

2

2 2

limx

x x x

x

+

+=

3 15 5

8 16

3 2

2

=+

+=lim

x

x x x

x

3 15 5

8 16

3 2

2

limx

x

x

x+=

3 1

2

582

2

=+

=lim limx x

x

x

x3 1

2

58

02

2

( )

limx

x

x

x+=

3 1

2

582

2

=

+

+

= =+

limx

x

x x

1830

32 8

183

62

2

limx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+

+

+

=

18 30

3 2 8

3

3 3

3

3

2

3 3

155

8. L

ímits

merador i denominador i simplificant els factors x 3:

41.a)


b)


42.a)

Per resoldre la indeterminació 1, hem d’expres-

sar la base de la forma i introduir F(x)

en l’exponent:

Així:

=+ limx

x

x1

1

32

2

32

23

2+

=

xx

2

231

2

limlimx

x

x

x

xx

+

=+5

31

1

32

2

2

312

2

2

=

+ 312

2x

=++

=+ 153

31

1

32

22

22

xx

xx

5

31

5

31

2

2

2

2 =+=x

x

x

x

11

+Fx()

==

+

+lim

lim()

x

x

x

x

x5

31

2

2

312

2

limx

x

x

x

+

=5

3

2

2

312

2

=++

=+0

1

limlimxx

n

nn

n

n

nn

++

+

=

+

=

3

22

2

2

2

33

1

limlimn

nn

bn

n ++=

+=

3

2

3

=++

==400

2042

2

limlimnn

n

n

n

nn

n

nn

n

++

+

=

+421

22

42

2

222

2

22

11

22

2

2

n

n

=

limlimn

nn

ann

n ++=

+=

421

22

2

2

=+

==3133

26

13

limlim()()

()( xx

xx

x

xx

xx

+=

3

2

23

43

9

31

3++=

3)

g)

Efectuem el producte:

Per tal d’eliminar aquesta indeterminació, multi-pliquem el numerador i el denominador per x2:

h)

Per tal d’eliminar la indeterminació, efectuem laresta de fraccions:

Eliminem aquesta indeterminació factoritzant nu-

=+

= limx

xx

x 3

2

2

43

9

00

=++

= lim()

x

xxx

x 32

373

9

limx

xx

x

x=

32 373

9

== limlimxx

xx

x

x 332 373

9

limx

xx

x

x=

32 373

9

=+

+==+

3100808

()

=

+

+

= limx

xxx

x

31155

816

2

2

=

+

+

= limx

x

x

x

x

x

xx

x

xx

3155

816

3

2

2

222

2

22

limx

xxx

x

+

+=

3155

816

32

2

=+

+= lim

x

xxx

x

3155

816

32

2

limx

x

x

x +=

31

2

58 2

2

=+

= limlimxx

x

x

x 31

2

58

0 2

2

()

limx

x

x

x +=

31

2

58 2

2

=

+

+

==+

limx

x

xx

1830

328

183

62

2

limx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+

+

+

=

1830

328

3

33

3

3

2

33

C M

Y K

156

8. Límits

b)

Per eliminar la indeterminació, expressem la base

de la forma

Introduïm ara en l’exponent i

apliquem la definició del nombre e:

c)


de la forma

3 x 8 =1 +(3 x 8) 1 =1 +(3 x 9) =


aplicant les propietats dels límits, fem aparèixer elnombre e:

limx

xx x ()=

33 38

Fxx

()=1

39

=+ 111

39 x

11

+Fx()

:

lim()lim()lim

x

xx

x

xx

xxx

=()=3

33

338381

3

===

+

+

eex

x

x

lim5

2412

0

=++ +

+

lim

li

x

x

x1

142

5

425

mmxxx

++

=

5426

2

=++

=+

+

+lim

x

xx

x

x1

142

5

425

5426

2

limx

x

xx ++

=4342

2

6

Fxx

()=+ 425

=++

=++

14342

421

142

5

xx

xx

4342

14342

1xx

xx +

=++

=

11

+Fx()

:

limlimx

x

x

xx

xx ++ +

=+

4342

4342

2

6=

+

+

lim()

x

x2

61

==

+

eex

x

x

lim3

1

313

2

2

=+ lim

lim

x

x

x

x

11

32

2

32

2+

=

313

2

2

xx

d)

Expressem la base de la forma

Introduïm en l’exponent i obtenim l’ex-

pressió del nombre e:

Ara bé,

aleshores:

=e=0

lim()lim

x

xx xx

xe

x

+ ++

+=

2

2323

562

2

2++= 2

=+

=+ + lim, yx x2

32

limlimxx x

perquèx +

=+

=22

32

32

==+

eexxlim2

32

=+

+

+lim

lim

x

x

x

x

2

12

111

2

222

322

()()

xx

+

+

=

=+

+

=+

++

lim()

()

x

xx

x

x2

12

232

111

2

2

limlim()()

x

x

x

xxx

x+ ++

+=+

2

232

2

562

3233

22

() x+=

12 x+

xx

x

+=++=+

+

312111

2

()

11

+Fx()

:

=+ ()=++

lim()lim

()()

x

xx

x

2

32

3122

=++

+=

+

lim()()

lim()

x

x xx

x

x

2

32 23

2

22

=++

+=

+

lim

lim()

x

x xxx

x

2

232 56

2

22

lim()

x

x xxx

+ ++

+=

2

232 56

2

2

== eex

xx

xlim

()3

33

39

=+

+

lim

lim

x

x

x

x

3

139

111

9

33

393

xxx

()

=

=+= lim()

x

xx

xx

x3

139

393

111

39

156

8. L

ímits

b)


de la forma


apliquem la definició del nombre e:

c)


de la forma

3 x 8 = 1 + (3 x 8) 1 = 1 + (3 x 9) =


aplicant les propietats dels límits, fem aparèixer elnombre e:

limx

xxx( ) =

333 8

F xx

( ) =1

3 9

= +111

3 9x

11

+F x( )

:

lim( ) lim( )lim

x

xx

x

xxx x

x

= ( ) =3

33

33 8 3 8 13

= = =

+

+

e ex

x

x

lim5

2412

0

= +++

+

lim

li

x

x

x1

14 2

5

4 25

mmx x

x+ +

=

54 2 6

2

= ++

=+

+

+lim

x

xx

x

x1

14 2

5

4 25

54 2 6

2

limx

x

xx+ +

=4 34 2

2

6

F xx

( ) =+4 25

= ++

= ++

14 3 4 2

4 21

14 2

5

x x

x x

4 34 2

14 34 2

1xx

xx+

= ++

=

11

+F x( )

:

lim limx

x

x

xx

xx+ ++

=+

4 34 2

4 34 2

2

6=

+

+

lim( )

x

x2

61

= =

+

e ex

x

x

lim3

1

31 3

2

2

= +lim

lim

x

x

x

x

11

32

2

32

2+

=

3 13

2

2

xx

d)

Expressem la base de la forma

Introduïm en l’exponent i obtenim l’ex-

pressió del nombre e:

Ara bé,

aleshores:

= e = 0

lim( ) lim

x

xxx x

xex

++ +

+=

2

232 3

5 62

2

2 ++ =2

=+

= ++

lim ,yxx 2

32

lim limx xx

perquèx+

=+

=2 2

32

32

= =+e ex xlim

2

32

= +

+

+lim

lim

x

x

x

x

2

12

111

2

22 2

3 22

( )( )

xx

+

+

=

= +

+

=+

++

lim( )

( )

x

xx

x

x2

12

232

111

2

2

lim lim ( )( )

x

x

x

x xx

x++ +

+= +

2

232

2

5 62

32 33

2 2( )x+ =

12x +

x x

x

+ = + + = +

+

3 1 2 111

2

( )

11

+F x( )

:

= +( ) =+ +lim ( )

lim( ) ( )

x

xxx

2

323 1

2 2

=+ +

+=

+

lim( ) ( )

lim( )

x

xx x

x

x

2

322 3

2

2 2

=+ +

+=

+

lim

lim( )

x

xx xx

x

2

2325 6

2

2 2

lim( )

x

xx xx

++ +

+=

2

2325 6

2

2

= =e ex

x x

xlim

( )3

3 3

3 9

= +

+

lim

lim

x

x

x

x

3

13 9

111

9

33

3 93

x xx

( )

=

= + =lim( )

x

xx

xx

x3

13 9

3 93

111

3 9

CM

YK

157

8. Límits

= e+ = +

Així, que el límit sigui e significa que els límits lateralsno coincideixen, és a dir, que no existeix límit.

43. Expressem el límit en funció de a:

Perquè el límit sigui e2, ha de ser a 0, ja que si no ellímit serà 1.

En aquest cas, obtenim una indeterminació del tipus1 .

Per decidir el valor del límit, hem d’expressar la base

de la forma i introduir F (x) a l’exponent:

Perquè el límit sigui e2:

44. — Asímptotes verticals:

Hem de trobar en la gràfica els punts x0 en els quals

En trobem tres:

lim ( )

lim ( )x

x

f x

f xx

+

= +

= +=

2

2

2

lim ( ) lim ( )x x

f x o f x+ ++

= ± = ±0 0

e ea

aa

2 15 215

30= = =

= =

+

e ex

ax

xa

lim

4

515

15

= ++

+

lim

lim

x

xax

x

x

11

1 3

1 344

5 15

=

x

= + =+

lim( )

x

xx

ax

x1

11 3

1 31

1 34

5

limx

ax

xx+

=3 23 1

45

= +11

1 3 x

3 23 1

13 23 1

1 13 2 3 1

3 1xx

xx

x x

x= + = +

+=

11

+F x( )

= =+

+

+limlim

lim

x

ax

xx

xx

3 23 1

1

45

aax 45

limx

a x

xx+

=3 23 1

45

lim( ) lim

x

xxx x

xex

+

+

++ +

+=

2

232 3

5 62

2

2 ++ =2

És asímptota vertical per les dues bandes.



— Asímptotes horitzontals:

Hem de calcular i veure si és real:

És asímptota horitzontal per l’esquerra.

És asímptota horitzontal per la dreta.

45. Busquem una funció racional, o sigui, de la forma:

Imposem les condicions que volem que compleixi enl’ordre més fàcil:

• El denominador és de grau 1: Q (x) = a x + b, a 0.

• x = 2 és una asímptota vertical:

Això només és possible si el denominador s’anul·laen x = 2 (i el numerador no, ja que el denominadornomés té un factor x 2), aleshores:

0 = Q (2) = a 2 + b b = 2 a , P (2) 0

• Té l’asímptota horitzontal y = 3:

Això significa que:

Això implica que P (x) sigui de grau 1, ja que si fosde grau 0, el límit seria 0; si fos de grau més gran que1, el límit seria infinit.

Així, P (x) = cx + d, i perquè el límit sigui 3:

= =ca

c a3

32

12

=+

=

+

=± ±

lim( )

limx x

cx da x

cdx

ax

32

= =± ±

lim( )

( )lim

( )

( )x x

P x

Q x

P x

a x

f xP xQ x

( )( )( )

=

lim ( )x

f x y+

= =0 0

lim ( )x

f x y= =1 1

lim ( )x

f x±

lim ( )

lim ( )x

x

f x

f xx

+

=

==

4

4

4

lim ( )

lim ( )x

x

f x

f xx

+

=

= +=

1

1

1

157

8. L

ímits

=e+=+

Així, que el límit sigui esignifica que els límits lateralsno coincideixen, és a dir, que no existeix límit.

43.Expressem el límit en funció de a:

Perquè el límit sigui e2, ha de ser a 0, ja que si no ellímit serà 1.

En aquest cas, obtenim una indeterminació del tipus1.

Per decidir el valor del límit, hem d’expressar la base

de la forma i introduir F (x) a l’exponent:

Perquè el límit sigui e2:

44.—Asímptotes verticals:

Hem de trobar en la gràfica els punts x0en els quals

En trobem tres:

lim()

lim()x

x

fx

fxx

+

=+

=+=

2

2

2

lim()lim()xx

fxofx++

+ =±=±00

eea

aa

215215

30 ===

==

+

eex

ax

xa

lim

4

515

15

=++

+

lim

lim

x

xax

x

x

11

13

1344

515

=

x

=+=+

lim()

x

xx

ax

x1

113

131

134

5

limx

ax

xx +

=3231

45

=+ 11

13x

3231

13231

113231

31xx

xx

xx

x=+=+

+=

11

+Fx()

==+

+

+lim

limlim

x

ax

xx

xx 32

311

45

aax45

limx

ax

xx +

=3231

45

lim()lim

x

xx xx

xe

x

+

+

+ ++

+=

2

2323

562

2

2++= 2




—Asímptotes horitzontals:

Hem de calcular i veure si és real:

És asímptota horitzontal per l’esquerra.

És asímptota horitzontal per la dreta.

45.Busquem una funció racional, o sigui, de la forma:

Imposem les condicions que volem que compleixi enl’ordre més fàcil:

•El denominador és de grau 1:Q (x) =a x +b, a 0.

•x =2 és una asímptota vertical:

Això només és possible si el denominador s’anul·laen x =2 (i el numerador no, ja que el denominadornomés té un factor x 2), aleshores:

0 =Q (2) =a 2 +b b =2 a , P (2) 0

•Té l’asímptota horitzontal y =3:

Això significa que:

Això implica que P (x) sigui de grau 1, ja que si fosde grau 0, el límit seria 0; si fos de grau més gran que1, el límit seria infinit.

Així, P (x) =cx +d, i perquè el límit sigui 3:

==ca

ca 3

32

12

=+

=

+

=±±

lim()

limxx

cxdax

cdx

ax

32

==±±

lim()

()lim

()

() xx

Px

Qx

Px

ax

fxPxQx

()()()

=

lim()x

fxy+

== 00

lim()x

fxy == 11

lim()x

fx±

lim()

lim()x

x

fx

fxx

+

=

==

4

4

4

lim()

lim()x

x

fx

fxx

+

=

=+=

1

1

1

C M

Y K

158

8. Límits

Per tant,

•La gràfica de f passa pel punt (1, 0):

Hem obtingut, finalment, que la funció f ha deser:

Podem dibuixar-la gràficament a partir de les pro-pietats que li hem demanat i d’una petita taula de va-lors:

x034

f (x)6

46.Primerament hem de determinar el valor del pendenta:

Ara, podem trobar l’ordenada en el origen, b:

=+

+=

100200

12

=

+

+

=±

limx

xx

xx

111

213

3

2

=

+

+

=±

limx

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

3

3

2

33

3

3

2

33

1

23

mfx

xxx

xxx xx==

+

+=

±±lim

()lim

32

32

1

23

92

32

fxaxa

axx

x()

()==

332

332

== 33da

da

0131

123

==+

=+

= fad

aad

a()

()

fxaxd

ax()

()=

+ 32

L’asímptota trobada és, doncs,

—Perquè

en què an0 i bm0, tingui una asímptota obli-qua, ha de complir-se que:

En efecte, demostrarem que (1) n =m +1:

Suposem que n m +1. Podria ser:

•n >m +1:

Ja que no es compleix (1).

•n <m +1:

afx

xPx

xQx xx===

±±lim

()lim

()()

=

++

++

=±

+

lim

...

... ()

x

nn

mnmn

n

aa

xb

x

b

x

a0

10

1

00=

=

++

++

=±+ lim

...

...x

nn

nn

mm

nn

ax

x

a

x

bx

x

bx

x

0

10

=++

++=

±+ lim...

... x

nn

mm

axa

bxbx0

10

afx

xPx

xQx xx===

±±lim

()lim

()()

mfx

x x=

±lim

(){}() �01

=++++

+++

axaxaxa

bxbxn

nn

n

mm

mm

11

10

11

...

...bbxb 10 +

fxPxQx

()()()

==

yx =12

14

.

=+

+=

100400

14

=

+

+

=±

limx

xx

xx

132

426

2

2

=

+

+

=±

limx

x

x

x

xx

x

x

x

xx

2

222

2

222

32

426

=+

+=

±lim

x

xx

xx

2

2

32

426

=++

+=

±lim

x

xxxxx

xx

22223

426

3232

2

=+

+=

±lim

x

xx

xx

x32

2

1

232

bfxmxx

==±

lim(())

X

Y

f(x) =3x – 3x – 2

158

8. L

ímitsPer tant,

• La gràfica de f passa pel punt (1, 0):

Hem obtingut, finalment, que la funció f ha deser:

Podem dibuixar-la gràficament a partir de les pro-pietats que li hem demanat i d’una petita taula de va-lors:

x 0 3 4

f (x) 6

46. Primerament hem de determinar el valor del pendenta:

Ara, podem trobar l’ordenada en el origen, b:

=+

+=

1 0 02 0 0

12

=

+

+

=±

limx

x x

x x

11 1

21 3

3

2

=

+

+

=±

limx

x

x

x

x x

x

x

x

x

x

x

3

3

2

3 3

3

3

2

3 3

1

2 3

mf x

xx x

x x xx x= =

+

+=

± ±lim

( )lim

3 2

3 2

1

2 3

92

32

f xax a

a xx

x( )

( )= =

3 32

3 32

= =3 3da

d a

0 13 1

1 23

= =+

=+

=fa d

aa d

a( )

( )

f xax d

a x( )

( )=

+32

L’asímptota trobada és, doncs,

— Perquè

en què an 0 i bm 0, tingui una asímptota obli-qua, ha de complir-se que:

En efecte, demostrarem que (1) n = m + 1:

Suposem que n m + 1. Podria ser:

• n > m + 1:

Ja que no es compleix (1).

• n < m + 1:

af x

xP x

xQ xx x= = =

± ±lim

( )lim

( )( )

=

+ +

+ +

=±

+

lim

...

...( )

x

n n

mn m n

n

aa

xb

x

b

x

a0

10

1

00=

=

+ +

+ +

=± +

lim

...

...x

nn

n n

mm

n n

a x

x

a

x

b x

x

b x

x

0

10

=+ +

+ +=

± +lim

...

...x

nn

mm

a x a

b x b x0

10

af x

xP x

xQ xx x= = =

± ±lim

( )lim

( )( )

mf x

xx=

±lim

( ){ } ( )� 0 1

=+ + + +

+ + +

a x a x a x a

b x b xn

nn

n

mm

mm

11

1 0

11

...

... bb x b1 0+

f xP xQ x

( )( )( )

= =

y x=12

14

.

=+

+=

1 0 04 0 0

14

=

+

+

=±

limx

x x

x x

13 2

42 6

2

2

=

+

+

=±

limx

x

x

x

x x

x

x

x

x x

2

2 2 2

2

2 2 2

3 2

4 2 6

=+

+=

±lim

x

x x

x x

2

2

3 2

4 2 6

=+ +

+=

±lim

x

x x x x x

x x

2 2 2 2 3

4 2 6

3 2 3 2

2

=+

+=

±lim

x

x x

x x

x3 2

2

1

2 3 2

b f x mxx

= =±

lim ( ( ) )

X

Y

f(x) = 3x – 3x – 2

CM

YK

159

8. Límits

Ja que no és compleix (1).

Està, doncs, demostrat que la funció només pottenir una asímptota obliqua si el grau de P, n, ex-cedeix en una unitat el de Q, m.

47. D’acord amb la definició de límit infinit en un punt :

Sigui, doncs, K > 0 fix.

Hem de trobar > 0 que compleix la condició de ladefinició.

Per trobar-lo, imposarem que es compleixi el que vo-lem:

Si llegim aquest resultat de dreta a esquerra, tenim:

Així, si prenem es compleix la definició.

— En particular, si prenem K = 10 000, el valor de és:

Aleshores, l’entorn que proposem és:

(3 , 3 + ) = (2,98, 3,02)

= = =2

10 000

2100

0 02,

=2

K

xK x

K< >32 4

3 2( )

< =xK K

34 2

4

33

42

2

( )( )

xK x

K> <

0 34

3 2< < >x

xK

( )

lim( )

,x x

K= + > >3 2

4

30 0

=

+ +

+ +

= =±

+ +

lim

...

...x

nm n m

m mm

a

x

a

x

bb

x

b

10

1

0

000

=

+ +

+ +±

+ +

+

+

lim

...

...x

nn

m m

mm

m

a x

x

a

x

b x

x

b

10

1

1

100

1

x

xm+

=

=+ +

+ +=

± +lim

...

...x

nn

mm

a x a

b x b x0

10

48. Per calcular el límit de f (x) en hem d’usar la

seva expressió analítica per a

Així:

Perquè aquest límit sigui finit, el numerador s’ha d’a-nular:

El valor del límit per a m = 4 és, resolent la indeter-minació:

49. Perquè x = 2 sigui una asímptota vertical, el denomi-nador s’ha d’anular (i el numerador no) en x = 2:

b 2 + 6 = 0 b = 3

Perquè y = 4 sigui asímptota horitzontal:

Per tant, perquè es compleixen les dues condicions,ha de ser:

b = 3 , a = 4 ( 3) = 12

50. Activitat TIC.

51. Activitat TIC.

=

+

+

= =±

limx

ax

bx

ab

a b

8

64

=+

+=

+

+

=± ±

486

8

6lim lim

x x

axbx

axx xbxx x

= + =232

3 6

= =lim

( )

limx x

x x

x32

32

4 6

232

+ =32

2 3( )x

lim ( ) limx x

f xxx

= =32

32

29 43 2

994

0 4= =m m

=

9940

m

lim ( ) limx x

f xmx

x

m= =

32

32

2

2

93 2

932

3 2232

=

x32

.

x =32

159

8. L

ímits

Ja que no és compleix (1).

Està, doncs, demostrat que la funció només pottenir una asímptota obliqua si el grau de P, n, ex-cedeix en una unitat el de Q, m.

47.D’acord amb la definició de límit infinit en un punt :

Sigui, doncs, K >0 fix.

Hem de trobar >0 que compleix la condició de ladefinició.

Per trobar-lo, imposarem que es compleixi el que vo-lem:

Si llegim aquest resultat de dreta a esquerra, tenim:

Així, si prenem es compleix la definició.

—En particular, si prenem K =10000, el valor de és:

Aleshores, l’entorn que proposem és:

(3 , 3 +) =(2,98, 3,02)

===2

10000

2100

002 ,

=2

K

xKx

K <> 324

32

()

<= xKK

342

4

33

42

2

()()

xKx

K><

034

32 <<> x

xK

()

lim()

,xx

K =+>>32

4

300

=

++

++

==±

++

lim

...

...x

nmnm

mmm

a

x

a

x

bb

x

b

10

1

0

000

=

++

++±

++

+

+

lim

...

...x

nn

mm

mm

m

ax

x

a

x

bx

x

b

10

1

1

100

1

x

xm+

=

=++

++=

±+ lim...

... x

nn

mm

axa

bxbx0

10

48.Per calcular el límit de f (x) enhem d’usar la

seva expressió analítica per a

Així:

Perquè aquest límit sigui finit, el numerador s’ha d’a-nular:

El valor del límit per a m =4 és, resolent la indeter-minació:

49.Perquè x =2 sigui una asímptota vertical, el denomi-nador s’ha d’anular (i el numerador no) en x =2:

b 2 +6 =0 b =3

Perquè y =4 sigui asímptota horitzontal:

Per tant, perquè es compleixen les dues condicions,ha de ser:

b =3 , a =4 (3) =12

50.Activitat TIC.

51.Activitat TIC.

=

+

+

==±

limx

ax

bx

ab

ab

8

64

=+

+=

+

+

=±±

486

8

6limlim

xx

axbx

axxxbxxx

=+= 232

36

== lim

()

limxx

xx

x32

32

46

232

+=32

23 () x

lim()limxx

fxxx

==32

32

29432

994

04 == mm

=

9940

m

lim()limxx

fxmx

x

m==

32

32

2

2

932

932

32232

=

x32

.

x=32

C M

Y K

160

9. Continuïtat

PREPARACIÓ DE LA UNITAT

•x3+4 x22 x =8 x3+4 x22 x 8 =0

i si factoritzem el membre de l’esquerra usant el mèto-de de Ruffini:

1428

4408

1020

x3+4 x22 x 8 =(x +4) (x22)

Per tant, l’última equació es pot escriure:

Les solucions de l’equació són, doncs,

D’acord amb el que s’ha explicat en teoria, una funció fels zeros de la qual coincideixin amb els de les solucionsde l’equació F(x) =c és:

f(x) =F(x) c =x3+4 x22 x 8

•a)Hem de buscar els valors de x per als quals es com-pleix l’equació:

0 =f(x) =x33 x210 x

Per a fer-ho, factoritzem el membre de la dreta:

0 =x33 x210 x =x(x23 x 10)

Els zeros de la funció són, doncs,

x1=2 , x2=0 , x3=5

b)Hem de buscar els valors de x per als quals es com-pleix l’equació:

0 =g(x) =x4 4 x2+4

Per a fer-ho observem que es compleix:

x44 x2+4 =(x22)2

=

==

=

x

xxx

x

0

31002

52

xxx 123 422 === ,,

()() xxxx

xx+=

+==

==±420

404

2022

2

Així, hem de resoldre l’equació:

Per tant, els zeros de g són:

1.CONTINUÏTAT D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT

1.Veurem que es verifiquen les tres condicions de con-tinuïtat en x0:

a)C1:f(2) ==(2)32 (2)25 (2) +9 =3

C2:

=(2)32 (2)25 (2) +9 =3

C3:

Per tant, f és contínua en x0=2.

b)C1:

C2:

C3:

Aleshores, g és contínua en x0=4.

c)C1:h(3) =3 3 1 =8

C2:Com que h està definida a trossos i té diferentexpressió analítica a tots dos costats de x0=3, per calcular hem de calcu-

lar els límits laterals:

C3:

Aleshores, h és contínua en x0=3.

lim()()x

hxh ==3

83

= lim()x

hx3

8

lim()lim()

lim(xx

x

hxx

hx +

===33

3

313318

))lim() === +x

x3

111138

lim()x

hx3

lim()()x

gxg ==4

19

4

lim()limxx

gxx

x=

+=

+=

4422

6

2

46

42

19

g()446

42

218

19 2 =

+==

lim()()x

fxf ==2

32

lim()lim()xx

fxxxx =+=22

32259

xix 12 22 ==

() xxx222

20202 ===±

Continuïtat 9

160

9. C

ontin

uïta

t


• x3 + 4 x2 2 x = 8 x3 + 4 x2 2 x 8 = 0

i si factoritzem el membre de l’esquerra usant el mèto-de de Ruffini:

1 4 2 8

4 4 0 8

1 0 2 0

x3 + 4 x2 2 x 8 = (x + 4) (x2 2)

Per tant, l’última equació es pot escriure:

Les solucions de l’equació són, doncs,

D’acord amb el que s’ha explicat en teoria, una funció fels zeros de la qual coincideixin amb els de les solucionsde l’equació F(x) = c és:

f(x) = F(x) c = x3 + 4 x2 2 x 8

• a) Hem de buscar els valors de x per als quals es com-pleix l’equació:

0 = f(x) = x3 3 x2 10 x

Per a fer-ho, factoritzem el membre de la dreta:

0 = x3 3 x2 10 x = x(x2 3 x 10)

Els zeros de la funció són, doncs,

x1 = 2 , x2 = 0 , x3 = 5

b) Hem de buscar els valors de x per als quals es com-pleix l’equació:

0 = g(x) = x4 4 x2 + 4

Per a fer-ho observem que es compleix:

x4 4 x2 + 4 = (x2 2)2

=

==

=

x

x xx

x

0

3 10 02

52

x x x1 2 34 2 2= = =, ,

( ) ( )x xx x

x x+ =

+ = =

= = ±4 2 0

4 0 4

2 0 22

2

Així, hem de resoldre l’equació:

Per tant, els zeros de g són:

1. CONTINUÏTAT D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT

1. Veurem que es verifiquen les tres condicions de con-tinuïtat en x0:

a) C1: f( 2) == ( 2)3 2 ( 2)2 5 ( 2) + 9 = 3

C2:

= ( 2)3 2 ( 2)2 5 ( 2) + 9 = 3

C3:

Per tant, f és contínua en x0 = 2.

b) C1:

C2:

C3:

Aleshores, g és contínua en x0 = 4.

c) C1: h(3) = 3 3 1 = 8

C2: Com que h està definida a trossos i té diferentexpressió analítica a tots dos costats de x0 = 3, per calcular hem de calcu-

lar els límits laterals:

C3:

Aleshores, h és contínua en x0 = 3.

lim ( ) ( )x

h x h= =3

8 3

=lim ( )x

h x3

8

lim ( ) lim ( )

lim (x x

x

h x x

h x+

= = =3 3

3

3 1 3 3 1 8

)) lim ( )= = =+x

x3

11 11 3 8

lim ( )x

h x3

lim ( ) ( )x

g x g= =4

19

4

lim ( ) limx x

g xx

x=

+=

+=

4 4 2 2

6

2

4 6

4 2

19

g( )44 6

4 2

218

192

=+

= =

lim ( ) ( )x

f x f= =2

3 2

lim ( ) lim ( )x x

f x x x x= + =2 2

3 22 5 9

x i x1 22 2= =

( )x x x2 2 22 0 2 0 2= = = ±

Continuïtat9

CM

YK

161

9. Continuïtat

d) C1:

C2:

C3:

Aleshores, i és contínua en x0 = 0.

2. Per a veure que una funció no és contínua en x0, n’hiha prou de veure que no es compleix alguna de lescondicions de continuïtat en x0:

a) C1: f és una funció racional, aleshores:

D(f) = � {x � � x 1 = 0} = � {1}

Com que 1 D(f), no existeix f(1); aleshores,no es compleix C1 i, per tant, f no és contínuaen x0 = 1.

b) C1: g( 5) = 5 + 8 = 3

C2: Com que g té una expressió analítica diferenta cada costat de x0 = 5, hem de calcular el lí-mit de g en x0 a partir dels límits laterals.

Com que no

existeix i per tant, no es compleix

C2; aleshores, g no és contínua en x0 = 5.

3. Hem de demostrar que f(x) = 2 x + 3 és contínua enx0 = 5, és a dir, que:

> 0 , > 0 � �x 5� <�f(x) f(5)� <

Sigui, doncs, > 0 fix. Hem de trobar un real > 0 demanera que si �x 5� < , es compleixi:

�f(x) f(5)� <

Per a fer-ho, intentarem expressar la condició que vo-lem que es compleixi, �f(x) f(5)� < , en termes de �x 5� i obtenir a partir d’ella un valor de :

�f(x) f(5)� = �(2 x + 3) (2 5 + 3)� =

= �2 x 10� = 2 �x 5�

Així, doncs, si prenem x tal que es veri-ficarà:

( )2 3 13 2 5 22

x x+ = < =

lim ( ) lim ( ),x x

g x g x+

= =5 5

23 3

lim ( ) lim ( )x x

g x x+ +

= + = + =5 5

8 5 8 3

= = =lim ( ) ( )x

x5

2 22 5 2 23

lim ( )x

g x =5

lim ( ) ( )x

i x i= =0

1 0

=lim ( )x

i x0

1

lim ( ) lim

lim ( )

x x

x

i xx

i x+

= = =

=

0 0

0

11

10 1

1

llim ( )x

x+

= =0

2 1 2 0 1 1

i( )01

0 11= = Per tant, donat qualsevol > 0, n’hi ha prou de pren-

dre

— En particular, per a = 0,1, tenim = 0,05.

4. Calculem els límits laterals de f en x0 = 0, recordant quela funció valor absolut es definia a trossos:

Com que f(0) = 1, tenim:

és contínua per l’esquer-

ra en x0 = 0.

no és contínua per la

dreta en x0 = 0.

5. • x0 = 1: f( 1) = 1 1 = 2

= ( 1) = 1 2 = f( 1)

f no és contínua per l’esquerra en x0 = 1, ales-hores no és contínua en aquest punt.

• x0 = 3: f(3) = 32 + 2 3 + 5 = 2

f és contínua per l’esquerra en x0 = 3.

= 32 + 2 3 + 5 = 2 = f(3)

f és contínua per la dreta en x0 = 3.

Com que f és contínua lateralment en x0 = 3, f éscontínua en aquest punt.

6. a) Hem d’estudiar la continuïtat de f en l’interior del’interval, (0, 3), i la seva continuïtat lateral en elsextrems, a = 0 i b = 3:

• Si x0 és un punt qualsevol de l’interval (0, 3),ales-

hores f és contínua en l’interval (0, 3).

•

f és contínua per la dreta en a = 0.

•

f no és contínua per l’esquerra en b = 3.Així, f és contínua en l’interval [0, 3).

f

f x xx x

( )

lim ( ) lim ( )

3 3 11 2

2 3 2 1

2

3 3

= =

= = =

lim ( ) lim ( )x x

f x x x+ +

= + + =3 3

2 2 5

lim ( ) lim ( ) ( )x x

f x x f= = = =3 3

1 3 1 2 3

lim ( ) lim ( )x x

f x x= =1 1

lim ( ) ( )x

f x f f= =0

1 0

lim ( ) lim lim limx x x x

f xxx

xx+ + + +

= = = =0 0 0 0

1 1

= = =lim lim ( )x x

xx0 0

1 1

lim ( ) limx x

f xxx

= =0 0

xx

x

si x

si x=

<

0

0

lim ( ),x

g x5

x <52

,

=2

.

lim ( ) ( )x

f x f f+

= =0

1 1 0

lim ( ) lim ( ) ( ),x x x x

f x x x f x= = =0 0

2 20 0

f

f x xx x

( )

lim ( ) lim ( )

0 0 2 2

2 0 2 20 0

= =

= = =+ +

161

9. C

ontin

uïta

t

d)C1:

C2:

C3:

Aleshores, i és contínua en x0=0.

2.Per a veure que una funció no és contínua en x0, n’hiha prou de veure que no es compleix alguna de lescondicions de continuïtat en x0:

a)C1:f és una funció racional, aleshores:

D(f) =�{x � �x 1 =0} =�{1}

Com que 1 D(f), no existeix f(1); aleshores,no es compleix C1 i, per tant, f no és contínuaen x0=1.

b)C1:g(5) =5 +8 =3

C2:Com que g té una expressió analítica diferenta cada costat de x0=5, hem de calcular el lí-mit de g en x0a partir dels límits laterals.

Com queno

existeix i per tant, no es compleix

C2; aleshores, g no és contínua en x0=5.

3.Hem de demostrar que f(x) =2 x +3 és contínua enx0=5, és a dir, que:

>0 , >0 ��x 5�<�f(x) f(5)�<

Sigui, doncs, >0 fix. Hem de trobar un real >0 demanera que si �x 5�<, es compleixi:

�f(x) f(5)�<

Per a fer-ho, intentarem expressar la condició que vo-lem que es compleixi, �f(x) f(5)�<, en termes de �x 5�i obtenir a partir d’ella un valor de :

�f(x) f(5)�=�(2 x +3) (2 5 +3)�=

=�2 x 10�=2 �x 5�

Així, doncs, si prenem x tal quees veri-ficarà:

() 23132522

xx +=<=

lim()lim(),xx

gxgx + ==55

233

lim()lim()xx

gxx ++ =+=+=55

8583

=== lim()()x

x5

2225223

lim()x

gx=5

lim()()x

ixi ==0

10

= lim()x

ix0

1

lim()lim

lim()

xx

x

ixx

ix +

===

=

00

0

11

101

1

llim()x

x +==0

212011

i()01

011 ==Per tant, donat qualsevol >0, n’hi ha prou de pren-

dre

—En particular, per a =0,1, tenim =0,05.

4.Calculem els límits laterals de f en x0=0, recordant quela funció valor absolut es definia a trossos:

Com que f(0) =1, tenim:

és contínua per l’esquer-

ra en x0=0.

no és contínua per la

dreta en x0=0.

5.•x0=1: f(1) =1 1 =2

=(1) =1 2 =f(1)

f no és contínua per l’esquerra en x0=1, ales-hores no és contínua en aquest punt.

•x0=3: f(3) =32+2 3 +5 =2

f és contínua per l’esquerra en x0=3.

=32+2 3 +5 =2 =f(3)

f és contínua per la dreta en x0=3.

Com que f és contínua lateralment en x0=3, f éscontínua en aquest punt.

6.a)Hem d’estudiar la continuïtat de f en l’interior del’interval, (0, 3), i la seva continuïtat lateral en elsextrems, a =0 i b =3:

•Si x0és un punt qualsevol de l’interval (0, 3),ales-

hores f és contínua en l’interval (0, 3).

•

f és contínua per la dreta en a =0.

•

f no és contínua per l’esquerra en b =3.Així, f és contínua en l’interval [0, 3).

f

fxxxx

()

lim()lim()

33112

2321

2

33

==

===

lim()lim()xx

fxxx ++ =++=33

225

lim()lim()()xx

fxxf ====33

13123

lim()lim()xx

fxx ==11

lim()()x

fxff ==0

10

lim()limlimlimxxxx

fxxx

xx

++++ ====0000

11

=== limlim()xx

xx 00

11

lim()limxx

fxxx

==00

xx

x

six

six=

<

0

0

lim(),x

gx5

x< 52

,

=2

.

lim()()x

fxff +==0

110

lim()lim()(),xxxx

fxxxfx ===00

22 00

f

fxxxx

()

lim()lim()

0022

202200

==

=== ++

C M

Y K

162

9. Continuïtat

b)Hem d’estudiar la continuïtat de g en l’interiorde l’interval, (1, +), i la seva continuïtat lateralen a =1.

•x0(1, +):

Aleshores, g és contínua en (1, +).

•a =1:

Aleshores, g és contínua per la dreta en a =1.

Així, g és contínua en l’interval [1, +).

c)Per a estudiar la continuïtat de h en [2, 2], pri-merament l’expressarem com una funció definidaa trossos:

La funció h és contínua en (2, 2), ja que:

•Si x0(2, 0],

•Si x0(0, 2),

•Si x0=0,

Estudiem ara la continuïtat lateral per la dreta dea =2 i per l’esquerra de b =2:

•En a =2, tenim:

Aleshores, és contínua per la dreta en a =2.

•En b =2, tenim:

Aleshores, h és contínua per l’esquerra en b =2.

Per tant, la funció h és contínua en [2, 2].

7.a)Com que f és una funció racional, és contínua en elseu domini, és a dir, en el conjunt de punts en elsquals no s’anul.la el seu denominador. I és discontí-nua en els punts que no pertanyen al seu domini, jaque no es compleix C1. Calculem aquests punts:

x25 x +6 =0 x =2 o x =3

hihxxxx

()lim()lim 24422

2===

hihxxxx

()lim()lim === ++ 24422

2

lim()limlimlimxxxx

hxxh ++ ====00

2

0

2

00 x(()x

lim()lim()xxxx

hxxxhx ===00

202

0

lim()lim()xxxx

hxxxhx ===00

202

0

= hxx

x

six

six()

[,]

(,]

2

2

20

02

hxxx

xx

six

six()

()[,]

(,]=

20

02

==== + lim()()x

xg1

1001

lim()limxx

gxx ++ ==11

1

lim()lim()xxxx

gxxxgx ===00

11 00

Per veure quin tipus de discontinuïtat presenta f enaquests punts hem de veure si es compleix o no C2,i per què no es compleix si la resposta és negativa:

C2:

Així, es compleix C2; per tant, f presenta en x0=2una discontinuïtat evitable.

C2:

f té una discontinuïtat de salt infinit en x0=3.

b)Si x0<2,

Aleshores, g és contínua en x0.

Si és una funció racional,

aleshores és contínua en el seu domini, que és elconjunt de punts en què no s’anul.la el seu deno-minador, i discontínua en els altres punts, és a dir,en els zeros del seu denominador:

x 5 =0 x =5

Vegem quin tipus de discontinuïtat presenta g enx0=5:

g presenta en x0=5 una discontinuïtat no evi-table de salt infinit.

Queda per estudiar la continuïtat en x0=2:

no es compleix C2, ja que

Aleshores, g presenta una discontinuïtat de saltfinit en x0=2.

lim()lim()xx

gxgx + ==22

217

lim()lim()

lim(

xx

x

gxx

g+

=+=+=22

2

4242

xxxx x

)lim =+

=+

= +2

35

2325

17

lim()lim

lim()lim

xx

x

gxxx

gx

++ =+

=+

=

55

5

35

xx

xx+

=5

35

xgxxx

0235

>=+

,()

lim()lim()()xxxx

gxxxgx =+=+=00

44 00

lim()lim

lim(

xx

x

fxx

xx

xx

=+

=

=

332

3

2

56

2=

=+

=

=

++

23

2

56 332

)()

lim()lim

x

fxx

xx xx

llim()() x

xxx

+=+3

223

== lim()() x

xxx 2

223

1

lim()limxx

fxx

xx=

+=

222

2

56

162

9. C

ontin

uïta

tb) Hem d’estudiar la continuïtat de g en l’interior

de l’interval, (1, + ), i la seva continuïtat lateralen a = 1.

• x0 (1, + ):

Aleshores, g és contínua en (1, + ).

• a = 1:

Aleshores, g és contínua per la dreta en a = 1.

Així, g és contínua en l’interval [1, + ).

c) Per a estudiar la continuïtat de h en [ 2, 2], pri-merament l’expressarem com una funció definidaa trossos:

La funció h és contínua en ( 2, 2), ja que:

• Si x0 ( 2, 0],

• Si x0 (0, 2),

• Si x0 = 0,

Estudiem ara la continuïtat lateral per la dreta dea = 2 i per l’esquerra de b = 2:

• En a = 2, tenim:

Aleshores, és contínua per la dreta en a = 2.

• En b = 2, tenim:

Aleshores, h és contínua per l’esquerra en b = 2.

Per tant, la funció h és contínua en [ 2, 2].

7. a) Com que f és una funció racional, és contínua en elseu domini, és a dir, en el conjunt de punts en elsquals no s’anul.la el seu denominador. I és discontí-nua en els punts que no pertanyen al seu domini, jaque no es compleix C1. Calculem aquests punts:

x2 5 x + 6 = 0 x = 2 o x = 3

h i h x xx x

( ) lim ( ) lim2 4 42 2

2= = =

h i h x xx x

( ) lim ( ) lim= = =+ +

2 4 42 2

2

lim ( ) lim lim limx x x x

h x x h+ +

= = = =0 0

2

0

2

00x (( )x

lim ( ) lim ( )x x x x

h x x x h x= = =0 0

202

0


h x x x h x= = =0 0

202

0

=h xx

x

si x

si x( )

[ , ]

( , ]

2

2

2 0

0 2

h xx x

x x

si x

si x( )

( ) [ , ]

( , ]=

2 0

0 2

= = = =+

lim ( ) ( )x

x g1

1 0 0 1

lim ( ) limx x

g x x+ +

= =1 1

1


g x x x g x= = =0 0

1 10 0

Per veure quin tipus de discontinuïtat presenta f enaquests punts hem de veure si es compleix o no C2,i per què no es compleix si la resposta és negativa:

C2:

Així, es compleix C2; per tant, f presenta en x0 = 2una discontinuïtat evitable.

C2:

f té una discontinuïtat de salt infinit en x0 = 3.

b) Si x0 < 2,

Aleshores, g és contínua en x0.

Si és una funció racional,

aleshores és contínua en el seu domini, que és elconjunt de punts en què no s’anul.la el seu deno-minador, i discontínua en els altres punts, és a dir,en els zeros del seu denominador:

x 5 = 0 x = 5

Vegem quin tipus de discontinuïtat presenta g enx0 = 5:

g presenta en x0 = 5 una discontinuïtat no evi-table de salt infinit.

Queda per estudiar la continuïtat en x0 = 2:

no es compleix C2, ja que

Aleshores, g presenta una discontinuïtat de saltfinit en x0 = 2.

lim ( ) lim ( )x x

g x g x+

= =2 2

217

lim ( ) lim ( )

lim (

x x

x

g x x

g+

= + = + =2 2

2

4 2 4 2

xxxxx

) lim=+

=+

=+2

35

2 32 5

17

lim ( ) lim

lim ( ) lim

x x

x

g xxx

g x

+ +=

+= +

=

5 5

5

35

xx

xx+

=5

35

x g xxx0 2

35

> =+

, ( )

lim ( ) lim ( ) ( )x x x x

g x x x g x= + = + =0 0

4 40 0

lim ( ) lim

lim(

x x

x

f xx

x x

xx

=+

=

=

3 3 2

3

2

5 6

2=

=+

=

=

+ +

2 3

2

5 63 3 2

)( )

lim ( ) lim

x

f xx

x xx x

llim( )( )x

xx x+

= +3

22 3

= =lim( )( )x

xx x2

22 3

1

lim ( ) limx x

f xx

x x=

+=

2 2 2

2

5 6

CM

YK

163

9. Continuïtat

c) La funció es pot expressar com a

A partir de la gràfica de g s’obté que g és contínuaen �. D’altra banda, f és contínua en � {0}. Així,per la propietat L4.6 de límits, h és contínua en � {0}.

Ara bé, h presenta en x0 = 0 una discontinuïtat, jaque 0 D(h).

Per classificar la discontinuïtat, hem d’estudiar elcompliment de la condició C2:

Quan x tendeix a 0 per qualsevol costat, ten-

deix a + , i com que la funció sinus és periòdica,oscil.larà infinitament entre 1 i 1 en anar augmen-

tant Per tant, no s’apropa a cap valor, per la

qual cosa no existeix cap límit lateral.Així, h té una discontinuïtat essencial en x0 = 0.

8. Com que x0 = 1 és un zero del denominador, ja que( 1)2 ( 1) 2 = 0, 1 no pertany al domini de f; ales-hores, no es compleix C1, i per tant, f és discontínuaen x0 = 1.

Per comprovar que la discontinuïtat en x0 = 1 és evi-table, hem de veure que es compleix C2:

aleshores, es compleix C2.

Si definim la funció g de la forma:

coincideix amb f en el domini d’aquesta última i éscontínua en x0 = 1.

2. PROPIETATS DE LES FUNCIONS CONTÍNUES

9. a) f(x) = (x 5)3 = x3 15 x2 + 75 x 125 és una fun-ció polinòmica, aleshores és contínua en el seu do-mini, D(f) = �.

g xf x

x

x xsi x D f

x

( )( ) ( ) { , }

lim=

=+

=1

21 2

2�

= =1

13

1f x si x( )

=lim ( )x

f x1

13

lim ( ) lim

lim

x x

x

f xx

x xx

=+

=

=+

1 1 2

1

1

21

(( )( )

lim ( ) lim

x x

f xx

x x

+= =

=+ +

1 21

1 213

1 1

++=

=+

+= =

+

1

21

1 21

1 213

2

1

x xx

x xxlim

( )( )

12x

h g f en què g x sin x i f xx

= = =� , ( ) ( ) .12

h x sinx

( ) =12

b) i(x) = log (x + 3) és la composició de la fun-ció f(x) = x + 3, polinòmica i, per tant, contínua en�, amb la funció g(x) = log x, contínua en (0, + ).

Per tant, i = g � f és contínua en tots els punts x0 enels quals g és contínua en f(x0) = x0 + 3, és a dir, enels punts x0 tals que

x0 + 3 (0, + ) x0 + 3 > 0

x0 > 3 x0 ( 3, + )

Així, i és contínua en l’interval ( 3, + ).

c) g(x) = x ex és el producte de la funció identitat, x,contínua en �, per la funció exponencial de baseel nombre e, ex, contínua en �, aleshores g és con-tínua en �.

d) és la suma de la funcióf(x) = x3, polinòmica i, per tant, contínua en �,amb la funció

Així, serà contínua en tots aquells punts en elsquals g ho sigui. Hem d’estudiar, doncs, la conti-nuïtat de

La funció g(x)= x + 1 és la composició de la fun-ció f1(x) = x + 1, contínua en �, amb la funció

contínua en [0, + ); aleshores, gserà contínua en els punts x0 en els quals f2 siguicontínua en f1(x0) = x0 + 1, és a dir, en què:

f1(x0) = x0 + 1 [0, + )

x0 + 1 0 x0 1 x0 [ 1, + )

Aleshores, g = f2 � f1 és contínua en [ 1, + ) i, per tant, la funció j és contínua en l’interval [ 1,+ ).

e) és una funció racional, aleshores

és contínua en el seu domini, és a dir, en � { 6}.

f) k(x) = sin2 x � cos x, i aquesta funció és el produc-te de les funcions f(x) = sin2 x i g(x)= cos x.

La funció f és, al seu torn, producte de dues fun-cions, f(x) = sin x � sin x. Així, com que la funciósinus és contínua en �, f també ho és.

De la mateixa manera, la funció cosinus és contí-nua en �; aleshores, k és producte de dues fun-cions contínues en �, i, per tant, és contínua en �.

3. TEOREMES RELATIUS A LA CONTINUÏTAT

10. Vegem que f(x) = 2 x2 3 x 5 compleix les hipòtesisdel teorema de Bolzano en l’interval [2, 3]:

• f és una funció polinòmica; aleshores, és contínua entot � i, en particular, és contínua en l’interval [2, 3].

h xxx

( ) =+

2 16

g x x( ) .= + 1

12x

. j x x x( ) = +3 1

g x x( ) .= + 1

f x x2( ) ,=

163

9. C

ontin

uïta

t

c)La funció es pot expressar com a

A partir de la gràfica de g s’obté que g és contínuaen �. D’altra banda, f és contínua en �{0}. Així,per la propietat L4.6 de límits, h és contínua en �{0}.

Ara bé, h presenta en x0=0 una discontinuïtat, jaque 0 D(h).

Per classificar la discontinuïtat, hem d’estudiar elcompliment de la condició C2:

Quan x tendeix a 0 per qualsevol costat, ten-

deix a +, i com que la funció sinus és periòdica,oscil.larà infinitament entre 1 i 1 en anar augmen-

tantPer tant, no s’apropa a cap valor, per la

qual cosa no existeix cap límit lateral.Així, h té una discontinuïtat essencial en x0=0.

8.Com que x0=1 és un zero del denominador, ja que(1)2(1) 2 =0, 1 no pertany al domini de f; ales-hores, no es compleix C1, i per tant, f és discontínuaen x0=1.

Per comprovar que la discontinuïtat en x0=1 és evi-table, hem de veure que es compleix C2:

aleshores, es compleix C2.

Si definim la funció g de la forma:

coincideix amb f en el domini d’aquesta última i éscontínua en x0=1.

2.PROPIETATS DE LES FUNCIONS CONTÍNUES

9.a)f(x) =(x 5)3=x315 x2+75 x 125 és una fun-ció polinòmica, aleshores és contínua en el seu do-mini, D(f) =�.

gxfx

x

xxsixDf

x

()()(){,}

lim=

=+

=1

212 2�

==1

13

1 fxsix ()

= lim()x

fx1

13

lim()lim

lim

xx

x

fxx

xxx

=+

=

=+

112

1

1

21

(()()

lim()lim

xx

fxx

xx

+==

= ++

121

1213

11

++=

=+

+== +

1

21

121

1213

2

1

xxx

xx xlim

()()

12

x

hgfenquègxsinxifxx

=== �,()().12

hxsinx

()=12

b)i(x) =log (x +3) és la composició de la fun-ció f(x) =x +3, polinòmica i, per tant, contínua en�, amb la funció g(x) =log x, contínua en (0, +).

Per tant, i =g �f és contínua en tots els punts x0enels quals g és contínua en f(x0) =x0+3, és a dir, enels punts x0tals que

x0+3 (0, +) x0+3 >0

x0>3 x0(3, +)

Així, i és contínua en l’interval (3, +).

c)g(x) =x exés el producte de la funció identitat, x,contínua en �, per la funció exponencial de baseel nombre e, ex, contínua en �, aleshores g és con-tínua en �.

d)és la suma de la funcióf(x) =x3, polinòmica i, per tant, contínua en �,amb la funció

Així, serà contínua en tots aquells punts en elsquals g ho sigui. Hem d’estudiar, doncs, la conti-nuïtat de

La funció g(x)=x +1és la composició de la fun-ció f1(x) =x +1, contínua en �, amb la funció

contínua en [0, +); aleshores, gserà contínua en els punts x0en els quals f2siguicontínua en f1(x0) =x0+1, és a dir, en què:

f1(x0) =x0+1 [0, +)

x0+1 0 x01 x0[1, +)

Aleshores, g =f2�f1és contínua en [1, +) i, per tant, la funció j és contínua en l’interval [1,+).

e)és una funció racional, aleshores

és contínua en el seu domini, és a dir, en �{6}.

f)k(x) =sin2x �cos x, i aquesta funció és el produc-te de les funcions f(x) =sin2x i g(x)=cos x.

La funció f és, al seu torn, producte de dues fun-cions, f(x) =sin x �sin x. Així, com que la funciósinus és contínua en �, f també ho és.

De la mateixa manera, la funció cosinus és contí-nua en �; aleshores, k és producte de dues fun-cions contínues en �, i, per tant, és contínua en �.

3.TEOREMES RELATIUS A LA CONTINUÏTAT

10.Vegem que f(x) =2 x23 x 5 compleix les hipòtesisdel teorema de Bolzano en l’interval [2, 3]:

•f és una funció polinòmica; aleshores, és contínua entot �i, en particular, és contínua en l’interval [2, 3].

hxxx

()=+

216

gxx (). =+1

12

x.jxxx ()=+

31

gxx (). =+1

fxx 2(), =

C M

Y K

164

9. Continuïtat

•f pren valors de signe diferent en els extrems de l’in-terval:

f(2) =2 223 2 5 =3 <0

f(3) =2 323 3 5 =4 >0

Per tant, es compleix la tesi d’aquest teorema:

c (2, 3) tal que f(c) =0, aleshores f talla l’eix d’abs-cisses en c (2, 3), que és el que volíem demostrar.

11.Les solucions de l’equació x3+4 x22 x 8 =0 coin-cideixen exactament amb els zeros de la funció:

f(x) =x3+4 x22 x 8

Per tant, podem reformular l’enunciat de la manera:

Demostrar, usant el teorema de Bolzano, que la fun-ció f(x) =x3+4 x22 x 8 té un zero en l’interval (1,2).

Per a fer-ho, vegem si f compleix les hipòtesis del teo-rema de Bolzano en l’interval [1, 2]:

•f és una funció polinòmica, aleshores és contínua en�; en particular, és contínua en l’interval [1, 2].

•f pren valors de signe diferent en els extrems de l’in-terval:

f(1) =13+4 122 1 8 =5 <0

f(2) =23+4 222 2 8 =12 >0

Com que es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzano, es compleix la tesi: c (1, 2) tal que f(c) =0,que és el que volíem demostrar.

12.El teorema de Bolzano ens dóna un criteri d’existèn-cia d’arrels en un interval obert, que és el primer quevolem demostrar.

Vegem, doncs, si es compleixen les seves hipòtesis, enl’interval [1, 2]:

•f(x) =ex3 és la diferència de dues funcions con-tínues en �; en particular, és contínua en l’interval[1, 2].

•Les imatges dels extrems de l’interval tenen signe di-ferent:

f(1) =e13 �2,71 3 =0,29 <0

f(2) =e23 �7,39 3 =4,39 >0

Per tant, es compleix la tesi:

c (1, 2) tal que f(c) =0

El teorema de Bolzano ens ha permès demostrar l’e-xistència d’un zero de f, c, en l’interval (1, 2).

La demostració d’aquest teorema ens proporciona unmètode constructiu per a determinar el valor d’aquest

zero amb tantes xifres decimals correctes com es de-sitgi: en el nostre cas, com que ens demanen un errormenor que 0,1, n’hi ha prou de donar una xifra deci-mal de c.

Dividim l’interval [1, 2] en deu intervals de longitud0,1:

[1, 1,1], [1,1, 1,2], [1,2, 1,3], ..., [1,9, 2]

Calculem les imatges dels extrems d’aquests in-tervals i ens quedem amb un d’ells en què les imat-ges dels extrems tinguin signe diferent. Per exemple(i en aquest cas només n’hi ha un), l’interval [1, 1,1]:

f(1) =e13 �0,29 <0

f(1,1) =e1,13 �0,004 >0

Tal com hem escollit l’interval, es continuen complintles hipòtesis del teorema de Bolzano; aleshores, escomplirà la tesi:

c�(1, 1,1) tal que f(c�) =0

Com que c�és entre 1 i 1,1, la seva distància al punt

mitjà d’aquest interval, serà menor

que la meitat de la longitud de l’interval:

Així, 1,05 és un zero de f amb un error menor que 0,1.

13.La funció no té zeros, ja que si en tingués

algun seria el zero del numerador, x =0, però aquestpunt no és del domini de f, ja que també és un zerodel denominador: tg 0 =0.Per tant, f no pot tenir zeros en l’interval:

—No entrem en contradicció amb el teorema de Bol-zano, ja que no es compleix una de les seves hipò-tesis:

f no és contínua enja que:

14.Sí. Per exemple:

•f(x) =x2és positiva en els extrems de l’interval [1, 1], f(1) =f(1) =1 >0, i té un zero, x0=0, enl’interval (1, 1).

xDf 02

=()

434

,,

434

,

fxx

tgx()=

<=< c105111

200501 ,

,,,

1112

105+

=,

,,

164

9. C

ontin

uïta

t• f pren valors de signe diferent en els extrems de l’in-

terval:

f(2) = 2 22 3 2 5 = 3 < 0

f(3) = 2 32 3 3 5 = 4 > 0

Per tant, es compleix la tesi d’aquest teorema:

c (2, 3) tal que f(c) = 0, aleshores f talla l’eix d’abs-cisses en c (2, 3), que és el que volíem demostrar.

11. Les solucions de l’equació x3 + 4 x2 2 x 8 = 0 coin-cideixen exactament amb els zeros de la funció:

f(x) = x3 + 4 x2 2 x 8

Per tant, podem reformular l’enunciat de la manera:

Demostrar, usant el teorema de Bolzano, que la fun-ció f(x) = x3 + 4 x2 2 x 8 té un zero en l’interval (1,2).

Per a fer-ho, vegem si f compleix les hipòtesis del teo-rema de Bolzano en l’interval [1, 2]:

• f és una funció polinòmica, aleshores és contínua en�; en particular, és contínua en l’interval [1, 2].

• f pren valors de signe diferent en els extrems de l’in-terval:

f(1) = 13 + 4 12 2 1 8 = 5 < 0

f(2) = 23 + 4 22 2 2 8 = 12 > 0

Com que es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzano, es compleix la tesi: c (1, 2) tal que f(c) = 0, que és el que volíem demostrar.

12. El teorema de Bolzano ens dóna un criteri d’existèn-cia d’arrels en un interval obert, que és el primer quevolem demostrar.

Vegem, doncs, si es compleixen les seves hipòtesis, enl’interval [1, 2]:

• f(x) = ex 3 és la diferència de dues funcions con-tínues en �; en particular, és contínua en l’interval[1, 2].

• Les imatges dels extrems de l’interval tenen signe di-ferent:

f(1) = e1 3 � 2,71 3 = 0,29 < 0

f(2) = e2 3 � 7,39 3 = 4,39 > 0

Per tant, es compleix la tesi:

c (1, 2) tal que f(c) = 0

El teorema de Bolzano ens ha permès demostrar l’e-xistència d’un zero de f, c, en l’interval (1, 2).

La demostració d’aquest teorema ens proporciona unmètode constructiu per a determinar el valor d’aquest

zero amb tantes xifres decimals correctes com es de-sitgi: en el nostre cas, com que ens demanen un errormenor que 0,1, n’hi ha prou de donar una xifra deci-mal de c.

Dividim l’interval [1, 2] en deu intervals de longitud0,1:

[1, 1,1], [1,1, 1,2], [1,2, 1,3], ..., [1,9, 2]

Calculem les imatges dels extrems d’aquests in-tervals i ens quedem amb un d’ells en què les imat-ges dels extrems tinguin signe diferent. Per exemple(i en aquest cas només n’hi ha un), l’interval [1, 1,1]:

f(1) = e1 3 � 0,29 < 0

f(1,1) = e1,1 3 � 0,004 > 0

Tal com hem escollit l’interval, es continuen complintles hipòtesis del teorema de Bolzano; aleshores, escomplirà la tesi:

c� (1, 1,1) tal que f(c�) = 0

Com que c� és entre 1 i 1,1, la seva distància al punt

mitjà d’aquest interval, serà menor

que la meitat de la longitud de l’interval:

Així, 1,05 és un zero de f amb un error menor que 0,1.

13. La funció no té zeros, ja que si en tingués

algun seria el zero del numerador, x = 0, però aquestpunt no és del domini de f, ja que també és un zerodel denominador: tg 0 = 0.Per tant, f no pot tenir zeros en l’interval:

— No entrem en contradicció amb el teorema de Bol-zano, ja que no es compleix una de les seves hipò-tesis:

f no és contínua en ja que:

14. Sí. Per exemple:

• f(x) = x2 és positiva en els extrems de l’interval [ 1, 1], f( 1) = f(1) = 1 > 0, i té un zero, x0 = 0, enl’interval ( 1, 1).

x D f0 2= ( )

434

, ,

434

,

f xx

tg x( ) =

< = <c 1 051 1 1

20 05 0 1,

,, ,

1 1 12

1 05+

=,

, ,

CM

YK

165

9. Continuïtat

• g(x) = sin x és negativa en els extrems de l’interval

i té dos

zeros, x0 = 0 i x1 = , en l’interval


15. La funció f és contínua en

( , 1) � (1, 3) � (3, + )

independentment del valor de a i b, ja que és una fun-ció polinòmica en cadascun d’aquests intervals.

Per tant, perquè la funció sigui contínua en �, n’hi ha prou d’imposar que sigui contínua en x0 = 1 i en x0= 3.

• x0 = 1:

f(1) = 2 1 + 1 = 3

Així, f és contínua en x = 1 si i només si a b = 3. (1)

• x0 = 3:

f(3) = 32 3 = 6

Així, f és contínua en x = 3 si i només si 3 a b = 6. (2)

Finalment, f és contínua en � si i només si es verifi-quen simultàniament (1) i (2), és a dir, si a i b són lasolució del sistema:

16. La funció és contínua en ( , 2), ja que ve donada peruna expressió polinòmica en aquest interval.

També és contínua en (2, + ), ja que ve donada peruna expressió racional el denominador de la qual no-més s’anul.la en x = 1, que no pertany a aquest inter-val.

Així, f serà contínua en �, si i només si ho és en x = 2.

Per a imposar que f sigui contínua en x = 2, imposa-rem que ho sigui lateralment, ja que l’expressió analí-tica de f(x) és diferent segons que x sigui menor o ma-jor que 2:

f és contínua en x = 2 f és contínua per l’es-querra i per la dreta en i lim ( ) ( ).

xf x f

+=

22

x f x fx

= =2 22

lim ( ) ( )

a b

a ba b

=

== =

3

3 632

32

,

lim ( ) lim ( ) ( )x x

f x x f+ +

= = = =3 3

2 23 3 3 6 3

lim ( ) lim ( )x x

f x a x b a b a b= = =3 3

3 3

lim ( ) lim ( )x x

f x a x b a b a b+ +

= = =1 1

1

lim ( ) lim ( ) ( )x x

f x x f= + = + = =1 1

2 1 2 1 1 3 1

Ara bé, f(2) = 6 i els límits laterals, expressats en fun-ció dels paràmetres m i n, són:

= 4 m 2 2 = 8 m 2

Per tant, f és contínua en � si i només si:

17. La funció f té una discontinuïtat en x0 = 3 indepen-dentment del valor de k, ja que no està definida enaquest punt; aleshores, no es compleix la condició C1.

Perquè la discontinuïtat sigui evitable s’ha de complirC2, és a dir, ha d’existir i ser finit.

Ara bé, si el numerador x2 5 x 2 k pren un valor L � 0 en x0 = 3, aleshores no es pot complir C2, ja que:

Aleshores, f presentarà una discontinuïtat de salt infi-nit en x0 = 3.

Per tant, el numerador s’ha d’anul.lar en x0 = 3; ales-hores, k ha de ser:

( 3)2 5 ( 3) 2 k = 0

9 + 15 2 k = 0 k = 12

Vegem si en aquest cas f té efectivament o no una dis-continuïtat evitable:

Per tant, f té una discontinuïtat evitable en x0 = 3 si inomés si k = 12.

18. La funció f té una discontinuïtat en x0 = 2 indepen-dentment del valor del paràmetre m, ja que el seu de-nominador s’anul.la en aquest punt i, per tant, no escompleix la condició C1.

Perquè la discontinuïtat sigui no evitable de salt infi-nit, algun dels límits laterals ha de ser (i han d’exis-tir tots dos).

lim ( )( )( )

xf x

x x

x=

+

+= =

3

3 8

33 8 11

limx

x xx +

=3

2 5 243

lim ( ) limx x

f xx x k

xL

=+

= =3 3

2 5 23 0

8 2 6 1

32 6 12

m m

nn

= =

+ = =

=+

= +6

3 32

n n

lim ( ) limx x

f xx nx

n+ +

=+

+=

+

+=

2 2

31

3 22 1

lim ( ) lim ( )x x

f x m x= =2 2

4 2

= =2

3

2 2

3

2, , sin sin 11 0< ,

2

3

2, .

lim ( )x

f x3

165

9. C

ontin

uïta

t

•g(x) =sin x és negativa en els extrems de l’interval

ité dos

zeros, x0=0 i x1=, en l’interval


15.La funció f és contínua en

(, 1) �(1, 3) �(3, +)

independentment del valor de a i b, ja que és una fun-ció polinòmica en cadascun d’aquests intervals.

Per tant, perquè la funció sigui contínua en �, n’hi ha prou d’imposar que sigui contínua en x0=1 i en x0=3.

•x0=1:

f(1) =2 1 +1 =3

Així, f és contínua en x=1 si i només si ab=3. (1)

•x0=3:

f(3) =323 =6

Així, f és contínua en x =3 si i només si 3 a b =6. (2)

Finalment, f és contínua en �si i només si es verifi-quen simultàniament (1) i (2), és a dir, si a i b són lasolució del sistema:

16.La funció és contínua en (, 2), ja que ve donada peruna expressió polinòmica en aquest interval.

També és contínua en (2, +), ja que ve donada peruna expressió racional el denominador de la qual no-més s’anul.la en x =1, que no pertany a aquest inter-val.

Així, f serà contínua en �, si i només si ho és en x =2.

Per a imposar que f sigui contínua en x =2, imposa-rem que ho sigui lateralment, ja que l’expressió analí-tica de f(x) és diferent segons que x sigui menor o ma-jor que 2:

f és contínua en x =2 f és contínua per l’es-querra i per la dreta en i lim()().

xfxf +=

22

xfxfx

== 222

lim()()

ab

abab

=

===

3

3632

32

,

lim()lim()()xx

fxxf ++ ====33

2233363

lim()lim()xx

fxaxbabab ===33

33

lim()lim()xx

fxaxbabab ++ ===11

1

lim()lim()()xx

fxxf =+=+==11

2121131

Ara bé, f(2) =6 i els límits laterals, expressats en fun-ció dels paràmetres m i n, són:

=4 m 2 2 =8 m 2

Per tant, f és contínua en �si i només si:

17.La funció f té una discontinuïtat en x0=3 indepen-dentment del valor de k, ja que no està definida enaquest punt; aleshores, no es compleix la condició C1.

Perquè la discontinuïtat sigui evitable s’ha de complirC2, és a dir, ha d’existir i ser finit.

Ara bé, si el numerador x25 x 2 k pren un valor L �0 en x0=3, aleshores no es pot complir C2, ja que:

Aleshores, f presentarà una discontinuïtat de salt infi-nit en x0=3.

Per tant, el numerador s’ha d’anul.lar en x0=3; ales-hores, k ha de ser:

(3)25 (3) 2 k =0

9 +15 2 k =0 k =12

Vegem si en aquest cas f té efectivament o no una dis-continuïtat evitable:

Per tant, f té una discontinuïtat evitable en x0=3 si inomés si k =12.

18.La funció f té una discontinuïtat en x0=2 indepen-dentment del valor del paràmetre m, ja que el seu de-nominador s’anul.la en aquest punt i, per tant, no escompleix la condició C1.

Perquè la discontinuïtat sigui no evitable de salt infi-nit, algun dels límits laterals ha de ser (i han d’exis-tir tots dos).

lim()()()

xfx

xx

x=

+

+==

3

38

33811

limx

xxx+

=3

2524

3

lim()limxx

fxxxk

xL

=+

==33

252

30

8261

32612

mm

nn

==

+==

=+

=+6

332

nn

lim()limxx

fxxnx

n++ =

+

+=

+

+=

22

31

3221

lim()lim()xx

fxmx ==22

42

==2

3

22

3

2,,sinsin110 <,

2

3

2,.

lim()x

fx3

C M

Y K

166

9. Continuïtat

Ara bé, com que f és una funció racional:

Aquests límits laterals existeixen i són infinits sempreque 4 m +1 �0.

Vegem què passa si 4 m +1 =0, és a dir,

Així, si es compleix C2; aleshores no tenim

una discontinuïtat de salt infinit, sinó evitable.

Per tant, f té una discontinuïtat no evitable de salt

infinit en x0=2 si i només si

19.El fet que les gràfiques es tallin en algun punt de

l’intervalsignifica que existeix algun real

per al qual (x, f(x)) =(x, g(x)), o equi-

valentment, f(x) =g(x).

Hem de demostrar, doncs, que l’equació

sin 2 x =2 x 1 té alguna solució en

sin 2 x =2 x 1 sin 2 x 2 x +1 =0

Així, n’hi ha prou de veure que la funció

h(x) =sin 2 x 2 x +1

té algun zero en l’interval

Reformulat d’aquesta manera, té la forma de la tesidel teorema de Bolzano. Si veiem que es compleixenles seves hipòtesis, haurem demostrat el que ens de-manaven:

•h és suma de funcions contínues en �, aleshores és

contínua en �; en particular, és contínua en42

,.

42,.

42,:

42,

m14

.

m=14

,

=+

=+=14

214

214

21442

lim()()

()x

xx

x

=+

=14

12282 2

2

limx

xxx

limx

xx

x

+

=2

2 14

37

2

m=14

:

=+

=+ mm 2327

041

0

2

lim()limxx

fxmxx

x++ =

+=

22

2372

=+

=+ mm 2327

041

0

2

lim()limxx

fxmxx

x=

+=

22

2372

•Les imatges dels extrems de l’interval tenen signe di-ferent:

Aleshores, efectivament,en el qual

h(c) =0 f(c) =g(c) les gràfiques de f i g es

tallen en

20.Veure que les gràfiques de f i g es tallen en algun puntés equivalent a veure que existeix una solució de l’equació f(x) =g(x), o equivalentment, que la funcióh(x) =f(x) g(x) =2x +131 xté algun zero.

El teorema de Bolzano ens dóna l’existència de zerosde funcions contínues en intervals. Com que h és la di-ferència de dues funcions contínues en �(ja que sóncomposició de funcions contínues en �), podem bus-car un interval [a, b], o equivalentment dos reals a i b,de manera que h(a) i h(b) tinguin signe diferent.

Ja que:

per a reals prou grans h és positiva, i per a valors pro-pers al zero h és negativa.

Per tant, pel teorema de Bolzano, existeix almenys unpunt c tal que h(c) =2c +131 c=0. És a dir, l’equa-ció 2x +1=31 xté almenys una solució.

Per a determinar aquest punt en l’interval demanat,trobarem el valor de la funció h en 0, 1, 2, 3...:

h(0) =20 +131 0=2 3 =1 <0

h(1) =21 +131 1=2230=4 1 =3 >0

Per tant, el punt de tall de les dues gràfiques es trobaen l’interval (0, 1).

21.Volem trobar el valor de x tal que x =ln 2 amb un error menor que 0,05, és a dir, un real c tal que �c ln 2�<0,05.

Per a fer-ho, observem que:

x =ln 2 ex=2 ex2 =0

Per tant, podem convertir el problema a trobar el zerode la funció f(x) =ex2 amb un error menor que0,05.

Per a fer-ho, buscarem un interval en què f compleixiel teorema de Bolzano.

lim()lim()xx

xxhx

+===<

00

11232310

lim()lim()xx

xxhx

++

+==+=+ 230

11

xc 042

=,.

, c42

hsin2

22

22

110 =+=<

hsin4

24

24

112

0 =+=>

x42

,

166

9. C

ontin

uïta

tAra bé, com que f és una funció racional:

Aquests límits laterals existeixen i són infinits sempreque 4 m + 1 � 0.

Vegem què passa si 4 m + 1 = 0, és a dir,

Així, si es compleix C2; aleshores no tenim

una discontinuïtat de salt infinit, sinó evitable.

Per tant, f té una discontinuïtat no evitable de salt

infinit en x0 = 2 si i només si

19. El fet que les gràfiques es tallin en algun punt de

l’interval significa que existeix algun real

per al qual (x, f(x)) = (x, g(x)), o equi-

valentment, f(x) = g(x).

Hem de demostrar, doncs, que l’equació

sin 2 x = 2 x 1 té alguna solució en

sin 2 x = 2 x 1 sin 2 x 2 x + 1 = 0

Així, n’hi ha prou de veure que la funció

h(x) = sin 2 x 2 x + 1

té algun zero en l’interval

Reformulat d’aquesta manera, té la forma de la tesidel teorema de Bolzano. Si veiem que es compleixenles seves hipòtesis, haurem demostrat el que ens de-manaven:

• h és suma de funcions contínues en �, aleshores és

contínua en �; en particular, és contínua en4 2

, .

4 2, .

4 2, :

4 2,

m14

.

m =14

,

=+

= + =14

2 14

214

2 14 42

lim( )( )

( )x

x x

x

=+

=14

12 2822

2

limx

x xx

limx

x x

x

+

=2

214

3 7

2

m =14

:

=+

=+m m2 3 2 7

04 1

0

2

lim ( ) limx x

f xm x x

x+ +=

+=

2 2

2 3 72

=+

=+m m2 3 2 7

04 1

0

2

lim ( ) limx x

f xm x x

x=

+=

2 2

2 3 72

• Les imatges dels extrems de l’interval tenen signe di-ferent:

Aleshores, efectivament, en el qual

h(c) = 0 f(c) = g(c) les gràfiques de f i g es

tallen en

20. Veure que les gràfiques de f i g es tallen en algun puntés equivalent a veure que existeix una solució de l’equació f(x) = g(x), o equivalentment, que la funcióh(x) = f(x) g(x) = 2x + 1 31 x té algun zero.

El teorema de Bolzano ens dóna l’existència de zerosde funcions contínues en intervals. Com que h és la di-ferència de dues funcions contínues en � (ja que sóncomposició de funcions contínues en �), podem bus-car un interval [a, b], o equivalentment dos reals a i b,de manera que h(a) i h(b) tinguin signe diferent.

Ja que:

per a reals prou grans h és positiva, i per a valors pro-pers al zero h és negativa.

Per tant, pel teorema de Bolzano, existeix almenys unpunt c tal que h(c) = 2c + 1 31 c = 0. És a dir, l’equa-ció 2x + 1 = 31 x té almenys una solució.

Per a determinar aquest punt en l’interval demanat,trobarem el valor de la funció h en 0, 1, 2, 3...:

h(0) = 20 + 1 31 0 = 2 3 = 1 < 0

h(1) = 21 + 1 31 1 = 22 30 = 4 1 = 3 > 0

Per tant, el punt de tall de les dues gràfiques es trobaen l’interval (0, 1).

21. Volem trobar el valor de x tal que x = ln 2 amb un error menor que 0,05, és a dir, un real c tal que �c ln 2� < 0,05.

Per a fer-ho, observem que:

x = ln 2 ex = 2 ex 2 = 0

Per tant, podem convertir el problema a trobar el zerode la funció f(x) = ex 2 amb un error menor que0,05.

Per a fer-ho, buscarem un interval en què f compleixiel teorema de Bolzano.

lim ( ) lim ( )x x

x xh x += = = <0 0

1 12 3 2 3 1 0

lim ( ) lim ( )x x

x xh x+ +

+= = + = +2 3 01 1

x c0 4 2= , .

,c4 2

h sin2

22

22

1 1 0= + = <

h sin4

24

24

1 12

0= + = >

x4 2

,

CM

YK

167

9. Continuïtat

A més, aquest interval ha de tenir longitud menor o igual a un dècim, perquè l’error sigui menor que0,05.

No costa de veure que en l’interval [0, 1] f compleixles hipòtesis del teorema de Bolzano.

Dividim l’interval [0, 1] en deu parts iguals:

[0, 0,1], [0,1, 0,2], [0,2, 0,3], ..., [0,9, 1]

i calculem les imatges dels extrems, de manera queens quedem amb l’interval en què les imatges delsseus extrems tenen signe diferent:

f(0,6) = 0,18 < 0 ; f(0,7) = 0,01 > 0

L’interval [0,6, 0,7] conté el zero c de h, i si conside-rem el punt mitjà:

es compleix que:

Així, c� = 0,65 és una aproximació de c = ln 2 amb unerror menor que 0,05.

22. Sigui x0 > 0. Hem de demostrar que existeix un real

c tal que c2 = x0, i en aquest cas, c = x0 (podem su-posar c � 0).

Podem pensar que el que busquem és una solució del’equació x2 = x0 o, equivalentment, un zero de la fun-ció f(x) = x2 x0.

Com que f és polinòmica, és contínua en �; aleshores,si trobem dos reals a i b en els quals f té signe diferent,el teorema de Bolzano ens assegurarà que existeix unpunt c de l’interval que defineixen a i b en el qual f s’a-nul.la, que és el que volíem demostrar.

Ara bé, observem que:

f(0) = 02 x0 = x0 < 0

prou gran

en el qual f(b) > 0.

Així, hem trobat dos reals, a = 0 i b, en els quals f tésigne diferent, aleshores existeix c (0, b) tal quef(c) = 0, és a dir, c2 = x0, aleshores c és una arrel qua-drada de x0.

ACTIVITATS

Abans de començar

• Continuïtat d’una funció en un punt (pàg. 192); conti-nuïtat lateral (pàg. 194); continuïtat en un interval (pàg.195).

• Tipus de discontinuïtats que pot presentar una funció enun punt (pàg. 196).

• Teoremes relatius a la continuïtat (pàg. 200 i 202).

< = =c c0 7 0 6

20 12

0 05, , ,

,

=+

=c0 6 0 7

20 65

, ,,

Qüestions

23. f presenta una discontinuïtat no evitable de salt infiniten x0

els límits laterals existeixen i, almenys, un d’ells ésinfinit

x = x0 és una asímptota vertical de f.

El recíproc no és cert, ja que pot passar que x = x0sigui una asímptota vertical de f i no existeixi un delslímits laterals de f en x0, per la qual cosa x0 seria unadiscontinuïtat essencial.

24. Considerem la funció:

f no és contínua en cap punt, ja que no existeix cap lí-mit lateral de f en cap punt x0 �:

Considerem 1 > > 0 qualsevol.

> 0 , x1 � , x2 � �

tals que:

�x1 x0� < , �x2 x0� <

i no pot passar simultàniament que:

�f(x1) f(x0)� = �1 f(x0)� <

�f(x2) f(x0)� = � 1 f(x0)� = �1 + f(x0)� <

ja que, en aquest cas, la desigualtat triangular ens di-ria que:

2 = �1 + 1� = �1 + f(x0) f(x0) + 1�

�1 + f(x0)� + �1 f(x0)� < + = 2 1 <

la qual cosa contradiu l’elecció del .

Com que podem prendre x1 < x0 i x2 < x0 o x1 > x0 i x2 > x0, això demostra que no existeixen elslímits laterals en cap punt; aleshores, f presenta unadiscontinuïtat essencial en tots els punts.

En canvi, �f � = 1 és contínua en tot punt, ja que és unafunció constant.

25. No, ja que si g és contínua en x0, en particular es com-pleix C2, aleshores existeix i és finit.

Ara bé, com que f(x) = g(x) si x � x0 i a l’hora de cal-cular un límit és indiferent el valor de la funció en elpunt considerat (no ha d’estar necessàriament defini-da en aquest punt), es compleix que:

Aleshores es compleix C2 per a f i, per tant, si té unadiscontinuïtat en x0 aquesta ha de ser evitable (es potevitar redefinint f(x0) = g(x0)).


f x g x=0 0

lim ( )x x

g x0

f xsi x

si x( ) =

1

1

�

� �

= ± = ±+


f x o f x0 0

lim ( ) lim ( )x x

f x x x b+ +

= = +20

167

9. C

ontin

uïta

t

A més, aquest interval ha de tenir longitud menor o igual a un dècim, perquè l’error sigui menor que0,05.

No costa de veure que en l’interval [0, 1] f compleixles hipòtesis del teorema de Bolzano.

Dividim l’interval [0, 1] en deu parts iguals:

[0, 0,1], [0,1, 0,2], [0,2, 0,3], ..., [0,9, 1]

i calculem les imatges dels extrems, de manera queens quedem amb l’interval en què les imatges delsseus extrems tenen signe diferent:

f(0,6) =0,18 <0 ; f(0,7) =0,01 >0

L’interval [0,6, 0,7] conté el zero c de h, i si conside-rem el punt mitjà:

es compleix que:

Així, c�=0,65 és una aproximació de c =ln 2 amb unerror menor que 0,05.

22.Sigui x0>0. Hem de demostrar que existeix un real

c tal que c2=x0, i en aquest cas, c =x0(podem su-posar c �0).

Podem pensar que el que busquem és una solució del’equació x2=x0o, equivalentment, un zero de la fun-ció f(x) =x2x0.

Com que f és polinòmica, és contínua en �; aleshores,si trobem dos reals a i b en els quals f té signe diferent,el teorema de Bolzano ens assegurarà que existeix unpunt c de l’interval que defineixen a i b en el qual f s’a-nul.la, que és el que volíem demostrar.

Ara bé, observem que:

f(0) =02x0=x0<0

prou gran

en el qual f(b) >0.

Així, hem trobat dos reals, a =0 i b, en els quals f tésigne diferent, aleshores existeix c (0, b) tal quef(c) =0, és a dir, c2=x0, aleshores c és una arrel qua-drada de x0.

ACTIVITATS

Abans de començar

•Continuïtat d’una funció en un punt (pàg. 192); conti-nuïtat lateral (pàg. 194); continuïtat en un interval (pàg.195).

•Tipus de discontinuïtats que pot presentar una funció enun punt (pàg. 196).

•Teoremes relatius a la continuïtat (pàg. 200 i 202).

<== cc0706

2012

005,,,

,

=+

= c0607

2065

,,,

Qüestions

23.f presenta una discontinuïtat no evitable de salt infiniten x0

els límits laterals existeixen i, almenys, un d’ells ésinfinit

x =x0és una asímptota vertical de f.

El recíproc no és cert, ja que pot passar que x =x0sigui una asímptota vertical de f i no existeixi un delslímits laterals de f en x0, per la qual cosa x0seria unadiscontinuïtat essencial.

24.Considerem la funció:

f no és contínua en cap punt, ja que no existeix cap lí-mit lateral de f en cap punt x0�:

Considerem 1 >>0 qualsevol.

>0 , x1� , x2� �

tals que:

�x1x0�<, �x2x0�<

i no pot passar simultàniament que:

�f(x1) f(x0)�=�1 f(x0)�<

�f(x2) f(x0)�=�1 f(x0)�=�1 +f(x0)�<

ja que, en aquest cas, la desigualtat triangular ens di-ria que:

2 =�1 +1�=�1 +f(x0) f(x0) +1�

�1 +f(x0)�+�1 f(x0)�<+=21<

la qual cosa contradiu l’elecció del .

Com que podem prendre x1<x0i x2<x0 o x1>x0 i x2>x0, això demostra que no existeixen elslímits laterals en cap punt; aleshores, f presenta unadiscontinuïtat essencial en tots els punts.

En canvi, �f�=1 és contínua en tot punt, ja que és unafunció constant.

25.No, ja que si g és contínua en x0, en particular es com-pleix C2, aleshores existeixi és finit.

Ara bé, com que f(x) =g(x) si x �x0i a l’hora de cal-cular un límit és indiferent el valor de la funció en elpunt considerat (no ha d’estar necessàriament defini-da en aquest punt), es compleix que:

Aleshores es compleix C2 per a f i, per tant, si té unadiscontinuïtat en x0aquesta ha de ser evitable (es potevitar redefinint f(x0) =g(x0)).

lim()lim()xxxx

fxgx =00

lim()xx

gx0

fxsix

six()=

1

1

�

��

=±=± + lim()lim()xxxx

fxofx00

lim()lim()xx

fxxxb++

==+2

0

C M

Y K

168

9. Continuïtat

26.Un exemple senzill és el següent:

Les funcions f i g presenten una discontinuïtat de saltfinit en x0=0, però el seu quocient,

és una funció constant i, per tant, contínua en x0=0.

27.a)Falsa. Pel teorema de conservació del signe, com que f és contínua en x0=2 [1, 5] i f(2) =1 <0, existeix un entorn E(2) en què f és negativa. Per tant, f serà negativa en

E(2) �(2, 5)

Aleshores, x (2, 5) tal que f(x) <0.

b)Certa. Com que f és contínua en [1, 5] i ja que f(1) =2 <0 i f(5) =3 >0, es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzano; aleshores,

c (1, 5) tal que f(c) =0. Per tant, f talla l’eixOX en c [1, 5].

c)Falsa (en general), ja que f podria tenir una gràfi-ca com la de la figura:

d)Certa, ja que la seva gràfica podria oscil.lar al vol-tant de l’eix OX entre les abscisses x =1 i x =2.

e)Certa. Pel teorema dels valors intermedis, com quef és contínua en l’interval

[1, 5] i 2, 5 (f(1), f(5)) =(2, 3)

c (1, 5) �[1, 5] tal que f(c) =2,5

hxfxgx

()()()

==1

fxsix

sixgx

si(),() =

>=

1

1

0

0

1

1

xx

six>

0

0

f)Certa. Pel teorema de Weierstrass, com que f éscontínua en [1, 2], assoleix el seu mínim absoluten aquest interval, m, i el seu màxim absolut enaquest interval, M, en sengles punts x1i x2d’aquestinterval; aleshores, �x [1, 2],

m =f(x1) f(x) f(x2) =M

m f M en [1, 2]

és a dir, f està fitada en [1, 2].


28.a)Sigui >0. Hem de trobar un >0 tal que:

�x 1�<�f(x) f(1)�<

Intentem expressar la condició que volem que escompleixi en termes de l’expressió que fitaremper , �x 1�:

�f(x) f(1)�=�4 x 1 (4 1 1)�=

=�4 x 4�=4 �x 1�Ara:

�f(x) f(1)�<

Podem prendre, doncs,

En particular, si =0,4, podem prendre

b)Sigui >0. Hem de trobar >0 tal que:

�x +5�<�g(x) g(5)�<

Ara bé:

Aleshores:

�g(x) g(5)�<

Podem prendre, doncs, =2 >0.

En particular, si =0,4, podem prendre

=2 =2 0,4 =0,8

29.a)Hem d’estudiar la continuïtat de la funció en l’in-terval (2, 4) i la continuïtat lateral en els extremsdes de l’interior de l’interval:

•x0(2, 4):

+<+<12

552 xx

=+

=+x

x5

212

5

gxgx

()()=++

= 513

2513

2

===4

044

01,

,

=>4

0.

<< 4114

xx

X

Y

f

X

Y

f

168

9. C

ontin

uïta

t26. Un exemple senzill és el següent:

Les funcions f i g presenten una discontinuïtat de saltfinit en x0 = 0, però el seu quocient,

és una funció constant i, per tant, contínua en x0 = 0.

27. a) Falsa. Pel teorema de conservació del signe, com que f és contínua en x0 = 2 [1, 5] i f(2) = 1 < 0, existeix un entorn E (2) en què f és negativa. Per tant, f serà negativa en

E (2) � (2, 5)

Aleshores, x (2, 5) tal que f(x) < 0.

b) Certa. Com que f és contínua en [1, 5] i ja que f(1) = 2 < 0 i f(5) = 3 > 0, es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzano; aleshores,

c (1, 5) tal que f(c) = 0. Per tant, f talla l’eixOX en c [1, 5].

c) Falsa (en general), ja que f podria tenir una gràfi-ca com la de la figura:

d) Certa, ja que la seva gràfica podria oscil.lar al vol-tant de l’eix OX entre les abscisses x = 1 i x = 2.

e) Certa. Pel teorema dels valors intermedis, com quef és contínua en l’interval

[1, 5] i 2, 5 (f(1), f(5)) = ( 2, 3)

c (1, 5) � [1, 5] tal que f(c) = 2,5

h xf xg x

( )( )( )

= = 1

f xsi x

si xg x

si( ) , ( )=

>=

1

1

0

0

1

1

xx

si x >

0

0

f) Certa. Pel teorema de Weierstrass, com que f éscontínua en [1, 2], assoleix el seu mínim absoluten aquest interval, m, i el seu màxim absolut enaquest interval, M, en sengles punts x1 i x2 d’aquestinterval; aleshores, � x [1, 2],

m = f(x1) f(x) f(x2) = M

m f M en [1, 2]

és a dir, f està fitada en [1, 2].


28. a) Sigui > 0. Hem de trobar un > 0 tal que:

�x 1� < �f(x) f(1)� <

Intentem expressar la condició que volem que escompleixi en termes de l’expressió que fitaremper , �x 1�:

�f(x) f(1)� = �4 x 1 (4 1 1)� =

= �4 x 4� = 4 �x 1�Ara:

�f(x) f(1)� <

Podem prendre, doncs,

En particular, si = 0,4, podem prendre

b) Sigui > 0. Hem de trobar > 0 tal que:

�x + 5� < �g(x) g( 5)� <

Ara bé:

Aleshores:

� g(x) g( 5)� <

Podem prendre, doncs, = 2 > 0.

En particular, si = 0,4, podem prendre

= 2 = 2 0,4 = 0,8

29. a) Hem d’estudiar la continuïtat de la funció en l’in-terval (2, 4) i la continuïtat lateral en els extremsdes de l’interior de l’interval:

• x0 (2, 4):

+ < + <12

5 5 2x x

=+

= +x

x5

212

5

g x gx

( ) ( ) =+ +

=513

25 13

2

= = =4

0 44

0 1,

,

= >4

0.

< <4 1 14

x x

X

Y

f

X

Y

f

CM

YK

169

9. Continuïtat

Aleshores, f és contínua en x0.

• a = 2:

per tant,

f és contínua per la dreta en a = 2.

• b = 4:

per tant,

f és contínua per l’esquerra en b = 4.

Així, f és contínua en l’interval [2, 4].

b) Hem d’estudiar la continuïtat de la funció en l’in-terior de l’interval, que és l’interval ( 3, + ), i lacontinuïtat per la dreta en a = 3:

• x0 ( 3, + ):

x0 > 3 x0 + 3 > 0

Aleshores, g és contínua en x = x0.

• a = 3:

Aleshores, g no és contínua per la dreta en a = 3.

Així, g és contínua en l’interval ( 3, + ).

30. Els punts de discontinuïtat són aquells en què s’inter-romp la gràfica de la funció, i el tipus depèn del valori l’existència dels límits laterals en aquest punt:

• x = 3 és un punt de discontinuïtat, ja que els límitslaterals són infinits; aleshores, és no evitable de saltinfinit.

• x = 2 és un punt de discontinuïtat, ja que els límitslaterals existeixen i són finits, però diferents; ales-hores, és no evitable de salt finit.

• x = 1 és un punt de discontinuïtat, ja que els límitslaterals existeixen, són finits i coincideixen, peròsón diferents de f(1); aleshores, és evitable.

• x = 3 és un punt de discontinuïtat, ja que no existeixel límit per la dreta; aleshores, és essencial.

• x = 6 és un punt de discontinuïtat, ja que no existeixf(6), i com que els límits laterals en aquest punt exis-

=+

= = +

+

1

3

10

3lim ( )

xx

lim ( ) limx x

g xx+ +

=+

=3 3

1

3

=+

=+

=1

3

1

30

00

lim ( )( )

x xx x

g x

lim ( ) limx x x x

g xx

=+

=0 0

1

3

lim ( ) lim ( ) ( )x x x x

f x x x f x= = =0 0

1 10 0teixen, són finits i coincideixen, es tracta d’una dis-continuïtat evitable.

31. La funció f és discontínua en x0 = 3 perquè la imatged’aquest punt no està definida, per tant, no es com-pleix C1.

Per classificar la discontinuïtat hem de veure si com-pleix o no C2, i en cas negatiu trobar-ne el motiu:

Com que els límits laterals existeixen, són finits i coin-cideixen, existeix i és finit, per tant, es compleix C2.

Per tant, la discontinuïtat en x0 = 3 és evitable.

32. a) Com que f és racional, els seus punts de disconti-nuïtat són aquells en els quals no està definida,que són els zeros de denominador:

x2 x 2 = 0 x = 1 o x = 2

Per veure de quin tipus són, hem d’estudiar elcompliment de C2.

Com que es compleix C2, x0 = 1 és una disconti-nuïtat evitable.

Com que els límits laterals en x0 = 2 són infinits, ladiscontinuïtat en x0 = 2 és no evitable de salt infinit.

b) En ( , 0) � (0, + ), g és contínua perquè ve donada per una expressió analítica polinòmica.

Així, l’únic punt possible de discontinuïtat és x0 = 0. Comprovem si ho és o no:

g(0) = 02 3 = 3

Aleshores es compleix C1.

els límits laterals existeixen i són finits, però no coincideixen, aleshores no es compleix C2 i x0 = 0 és una discontinuïtat no evitable de salt finit.

c) En es contínua, ja que és

composició d’una funció contínua, en

( , 0) � (0, + ) amb una funció contínua en

lim ( ) lim ( )

lim (x x

x

g x x

g x+

= + = + =0 0

0

5 2 5 0 2 2

)) lim ( )= = =+x

x0

2 23 0 3 3

lim ( ) limx x

f xx

x x=

+= =

2 2 2

3 3

2

90

=+

+= =lim

( )

( )( )x

x

x x1

3 1

1 23

1 21

lim ( ) limx x

f xx

x x=

+=

1 1 2

3 3

2

lim ( )x

f x =3

7

lim ( ) lim ( )x x

f x x+ +

= = =3 3

4 5 4 3 5 7

lim ( ) lim ( )x x

f x x= = =3 3

2 22 3 2 7

lim ( ) lim ( ) ( ),x x

f x x f+ +

= = =2 2

1 2 1 2

lim ( ) lim ( ) ( ),x x

f x x f= = =4 4

1 4 1 4

( , ), ( ) =01

h x sinx

f xx

( ) ,=1

169

9. C

ontin

uïta

t

Aleshores, f és contínua en x0.

•a =2:

per tant,

f és contínua per la dreta en a =2.

•b =4:

per tant,

f és contínua per l’esquerra en b =4.

Així, f és contínua en l’interval [2, 4].

b)Hem d’estudiar la continuïtat de la funció en l’in-terior de l’interval, que és l’interval (3, +), i lacontinuïtat per la dreta en a =3:

• x0(3, +):

x0>3 x0+3 >0

Aleshores, g és contínua en x =x0.

•a =3:

Aleshores, g no és contínua per la dreta en a =3.

Així, g és contínua en l’interval (3, +).

30.Els punts de discontinuïtat són aquells en què s’inter-romp la gràfica de la funció, i el tipus depèn del valori l’existència dels límits laterals en aquest punt:

•x =3 és un punt de discontinuïtat, ja que els límitslaterals són infinits; aleshores, és no evitable de saltinfinit.

•x =2 és un punt de discontinuïtat, ja que els límitslaterals existeixen i són finits, però diferents; ales-hores, és no evitable de salt finit.

•x =1 és un punt de discontinuïtat, ja que els límitslaterals existeixen, són finits i coincideixen, peròsón diferents de f(1); aleshores, és evitable.

•x =3 és un punt de discontinuïtat, ja que no existeixel límit per la dreta; aleshores, és essencial.

•x =6 és un punt de discontinuïtat, ja que no existeixf(6), i com que els límits laterals en aquest punt exis-

=+

==+

+

1

3

10

3lim()

xx

lim()limxx

gxx

++ =+

=33

1

3

=+

=+

=1

3

1

30

00

lim()()

xxxx

gx

lim()limxxxx

gxx

=+

=00

1

3

lim()lim()()xxxx

fxxxfx ===00

11 00teixen, són finits i coincideixen, es tracta d’una dis-continuïtat evitable.

31.La funció f és discontínua en x0=3 perquè la imatged’aquest punt no està definida, per tant, no es com-pleix C1.

Per classificar la discontinuïtat hem de veure si com-pleix o no C2, i en cas negatiu trobar-ne el motiu:

Com que els límits laterals existeixen, són finits i coin-cideixen, existeix i és finit, per tant, es compleix C2.

Per tant, la discontinuïtat en x0=3 és evitable.

32.a)Com que f és racional, els seus punts de disconti-nuïtat són aquells en els quals no està definida,que són els zeros de denominador:

x2x 2 =0 x =1 o x =2

Per veure de quin tipus són, hem d’estudiar elcompliment de C2.

Com que es compleix C2, x0=1 és una disconti-nuïtat evitable.

Com que els límits laterals en x0=2 són infinits, ladiscontinuïtat en x0=2 és no evitable de salt infinit.

b)En (, 0) �(0, +), g és contínua perquè ve donada per una expressió analítica polinòmica.

Així, l’únic punt possible de discontinuïtat és x0=0. Comprovem si ho és o no:

g(0) =023 =3

Aleshores es compleix C1.

els límits laterals existeixen i són finits, però no coincideixen, aleshores no es compleix C2 i x0=0 és una discontinuïtat no evitable de salt finit.

c)En es contínua, ja que és

composició d’una funció contínua,en

(, 0) �(0, +) amb una funció contínua en

lim()lim()

lim(xx

x

gxx

gx +

=+=+=00

0

525022

))lim() === +x

x0

223033

lim()limxx

fxx

xx=

+==

222

33

2

90

=+

+== lim

()

()() x

x

xx 1

31

123

121

lim()limxx

fxx

xx=

+=

112

33

2

lim()x

fx=3

7

lim()lim()xx

fxx ++ ===33

454357

lim()lim()xx

fxx ===33

222327

lim()lim()(),xx

fxxf ++ ===22

1212

lim()lim()(),xx

fxxf ===44

1414

(,),()= 01

hxsinx

fxx

(), =1

C M

Y K

170

9. Continuïtat

�, g(x) =sin x.

En (0, +), h(x) =x 5 és contínua perquè és po-linòmica.

L’única possible discontinuïtat és x0=0. Vegem siho és o no, i de quin tipus en cas afirmatiu:

f(0) =0 5 =5

Aleshores, es compleix C1.

no existeix, ja que quan

x tendeix a 0 per l’esquerra, tendeix a , i

com que la funció sinus és periòdica de període 2, cada unitats passa de valer 1 a valer 1, o a l’in-

revés; aleshores, oscil.la infinitament entre aquestsdos valors, sense tendir, en conseqüència, a capreal.

Per tant, x0=0 és una discontinuïtat essencial.

33.El punt x0=2 és una discontinuïtat de f, ja que enaquest punt s’anul.la el denominador de la disconti-nuïtat; aleshores, no està definida f(2) i, per tant, noes compleix C1.

Per veure que és evitable, hem de veure que es compleixC2:

El límit de f en x0=2 existeix i és finit; aleshores, efec-tivament es compleix C2 i tenim una discontinuïtatevitable.

Per a evitar la discontinuïtat, n’hi ha prou de definirla imatge de x0=2 donant-li el valor que ha de pren-dre perquè sigui contínua,

A més, com que f és contínua en �{2}, ja que l’úniczero del seu denominador és x0=2, la funció així de-finida serà contínua en �:

34.a)La funció f és la suma de les funcions g(x) =x2ih(x) =ln(x 4).

La funció g és polinòmica i, per tant, contínua en �.

La segona és la composició de dues funcions, h(x) =(h2�h1) (x), en què h1(x) =x 4 i h2(x) ==ln x.

Com que h1és contínua en �, ja que és polinòmi-ca, i h2és contínua en (0, +), i com que no estàdefinida en (, 0], la funció h és contínua exac-tament en els puntsx �tals que h1(x) =x 4 >0, és a dir, en (4, +).

lim().xx

fx=0

6

=+

=+= lim()()

x

xx

x 2

24

2246

lim()limxx

fxxx

x=

+=

22

228

2

1x

lim()limxx

hxsinx

=00

1

Com que f és la suma de dues funcions contínuesen (4, +) (i en cap altre punt), f és contínua enl’interval (4, +) (i en cap altre punt).

b)Si definim les funcions i

g(x) =x2+3, podem expressar h com el seu quo-

cient:

La funció f és la composició de dues funcions:f =f2�f1, en què Comque f1és polinòmica, és contínua en �, i com quef2és contínua en el seu domini, que és [0, +), te-nim que f és contínua exactament en els punts xtals que x +1 �0 x �1, que defineixen l’in-terval [1, +).

D’altra banda, la funció g és polinòmica i, per tant,contínua en �. A més, g(x) >0, x.

Així, h és contínua exactament en [1, +).

c)La funció j és contínua en (2, 3) �(3, +), ja queen aquests intervals ve donada per una expressióanalítica polinòmica.

Com que en (, 2)l’expressió de j és racional, no-més serà discontínua en aquells punts d’aquest in-terval en els quals s’anul.li el denominador:

x +5 =0 x =5 (, 2)

Així, j és discontínua en x =5.

Vegem si és contínua en x =2 i x =3:

•x =2:

C1:j(2) =3 2 1 =5, aleshores es compleix C1.

C2:

aleshores, en x0=2, j presenta una discon-tinuïtat.

•x =3:

C1:j(3) =2 3 +2 =8

C2:

aleshores es compleix C2.

C3:aleshores es compleix C3.

Així, j és contínua en x =3.

Finalment, j és contínua en �{5, 2}.

d)Considerem les funcions g1(x) =2 sin x i g2(x) =ex. És clar que g(x) =(g2�g1) (x), i comque tant g1com g2són contínues en �, la se-va composició, és a dir g, és contínua en �.

e)La funció i és el quocient de les funcions

f(x) =cos 2xi g(x) =ln x2.

lim()lim()xx

jxx ++ =+=+=33

222328

lim()lim()xx

jxx ===33

313318

lim()lim()xx

jxx ++ ===22

313215

lim()limxx

jxx

=+

=+

=22

45

425

47

fxxyfxx 12 1 ()(). =+=

hfg

=.

fxx ()=+1

gxfx

xxx

fx

six

sixx

()()

lim()=

=+

==

2

2

282

6

2

22

lim()(),x

jxj ==3

83

170

9. C

ontin

uïta

t�, g(x) = sin x.

En (0, + ), h(x) = x 5 és contínua perquè és po-linòmica.

L’única possible discontinuïtat és x0 = 0. Vegem siho és o no, i de quin tipus en cas afirmatiu:

f(0) = 0 5 = 5

Aleshores, es compleix C1.

no existeix, ja que quan

x tendeix a 0 per l’esquerra, tendeix a , i

com que la funció sinus és periòdica de període 2, cada unitats passa de valer 1 a valer 1, o a l’in-

revés; aleshores, oscil.la infinitament entre aquestsdos valors, sense tendir, en conseqüència, a capreal.

Per tant, x0 = 0 és una discontinuïtat essencial.

33. El punt x0 = 2 és una discontinuïtat de f, ja que enaquest punt s’anul.la el denominador de la disconti-nuïtat; aleshores, no està definida f(2) i, per tant, noes compleix C1.

Per veure que és evitable, hem de veure que es compleixC2:

El límit de f en x0 = 2 existeix i és finit; aleshores, efec-tivament es compleix C2 i tenim una discontinuïtatevitable.

Per a evitar la discontinuïtat, n’hi ha prou de definirla imatge de x0 = 2 donant-li el valor que ha de pren-dre perquè sigui contínua,

A més, com que f és contínua en � {2}, ja que l’úniczero del seu denominador és x0 = 2, la funció així de-finida serà contínua en �:

34. a) La funció f és la suma de les funcions g(x) = x2 ih(x) = ln(x 4).

La funció g és polinòmica i, per tant, contínua en �.

La segona és la composició de dues funcions, h(x) = (h2 � h1) (x), en què h1(x) = x 4 i h2(x) == ln x.

Com que h1 és contínua en �, ja que és polinòmi-ca, i h2 és contínua en (0, + ), i com que no estàdefinida en ( , 0], la funció h és contínua exac-tament en els punts x � tals que h1(x) = x 4 >0, és a dir, en (4, + ).

lim ( ) .x x

f x =0

6

=+

= + =lim( )( )

x

x x

x2

2 4

22 4 6

lim ( ) limx x

f xx x

x=

+=

2 2

2 2 82

1x

lim ( ) limx x

h x sinx

=0 0

1

Com que f és la suma de dues funcions contínuesen (4, + ) (i en cap altre punt), f és contínua enl’interval (4, + ) (i en cap altre punt).

b) Si definim les funcions i

g(x) = x2 + 3, podem expressar h com el seu quo-

cient:

La funció f és la composició de dues funcions:f = f2 � f1, en què Comque f1 és polinòmica, és contínua en �, i com quef2 és contínua en el seu domini, que és [0, + ), te-nim que f és contínua exactament en els punts xtals que x + 1 � 0 x � 1, que defineixen l’in-terval [ 1, + ).

D’altra banda, la funció g és polinòmica i, per tant,contínua en �. A més, g(x) > 0, x.

Així, h és contínua exactament en [ 1, + ).

c) La funció j és contínua en (2, 3) � (3, + ), ja queen aquests intervals ve donada per una expressióanalítica polinòmica.

Com que en ( , 2)l’expressió de j és racional, no-més serà discontínua en aquells punts d’aquest in-terval en els quals s’anul.li el denominador:

x + 5 = 0 x = 5 ( , 2)

Així, j és discontínua en x = 5.

Vegem si és contínua en x = 2 i x = 3:

• x = 2:

C1: j(2) = 3 2 1 = 5, aleshores es compleix C1.

C2:

aleshores, en x0 = 2, j presenta una discon-tinuïtat.

• x = 3:

C1: j(3) = 2 3 + 2 = 8

C2:

aleshores es compleix C2.

C3: aleshores es compleix C3.

Així, j és contínua en x = 3.

Finalment, j és contínua en � { 5, 2}.

d) Considerem les funcions g1(x) = 2 sin x i g2(x) = ex. És clar que g(x) = (g2 � g1) (x), i comque tant g1 com g2 són contínues en �, la se-va composició, és a dir g, és contínua en �.

e) La funció i és el quocient de les funcions

f(x) = cos 2x i g(x) = ln x2.

lim ( ) lim ( )x x

j x x+ +

= + = + =3 3

2 2 2 3 2 8

lim ( ) lim ( )x x

j x x= = =3 3

3 1 3 3 1 8

lim ( ) lim ( )x x

j x x+ +

= = =2 2

3 1 3 2 1 5

lim ( ) limx x

j xx

=+

=+

=2 2

45

42 5

47

f x x y f x x1 21( ) ( ) .= + =

hfg

= .

f x x( ) = + 1

g xf x

x xx

f x

si x

si xx

( )( )

lim ( )=

=+

= =

2

2

2 82

6

2

22

lim ( ) ( ),x

j x j= =3

8 3

CM

YK

171

9. Continuïtat

D’una banda, si considerem les funcions f1(x) = 2x i f2(x) = cos x, tenim que f = f2 � f1. Comque f1 és contínua en � i f2 també, f = f2 � f1 és con-tínua en �.

D’altra banda, si considerem les funcions g1(x) = x2 i g2(x) = ln x, g = g2 � g1. Com que g1 éscontínua en � i g2 és contínua en el seu domini,D(g2) = (0, + ), la funció g és contínua exacta-ment en el conjunt de punts x � tals que g1(x) = x2 > 0 és a dir, en � {0}.

Així, la funció es discontínua en � {0}

i els punts en què s’anul.la g, que són x = 1 i x = 1. Així, i és contínua en � { 1, 0, 1}.

35. Transformem el problema de trobar solucions de l’e-quació x4 x2 20 = 0 en el de trobar zeros de la fun-ció f(x) = x4 x2 20.

Com que f és parell si c > 0 tal que f(c) = 0, es com-pleix que f( c) = 0. Així, ens limitarem a veure si f téalgun zero en (0, + ).

Per a fer-ho calcularem un interval en el qual es com-pleixi el teorema de Bolzano que estigui contingut en(0, + ).

Com que a més ens demanen que donem un intervalde longitud menor o igual que 0,5 que contingui aquestzero, podem mirar el signe de f en 0, 0,5, 1, 1,5...:

Així, l’interval buscat és

36. Vegem que es compleixen les hipòtesis del teoremadels valors intermedis:

• f és contínua en

—

per tant, és contínua en Així, tg2 x

és contínua en

— h(x) = 1 és contínua en perquè és una

funció constant.

Així, f és contínua en perquè és combinació

lineal de funcions contínues en 04

, .

04

,

04

,

04

, .

04

, .

04

, :

f f( ) ;2 8 052

20516

0= < = >

f f( ) ;1 2032

27516

= =

f f( ) ;0 2012

32316

= =

• El valor d = 2 està comprès entre f(0) i

f(0) = 3 tg2 0 + 1 = 3 0 + 1 = 1

Així,

Aleshores, pel teorema dels valors intermedis:

Per calcular aquest valor intentem resoldre l’equa-ció:

Així, el valor buscat és

37. Si definim la funció:

f(x) = 3 x4 4 x3 6 x2 + 12 x 20

les solucions de l’equació corresponen, exactament, atots els zeros de f.

Observem que:

f(0) = 3 04 4 03 6 02 + 12 0 20 =

= 20 < 0

Això ens diu que f té una arrel negativa i una altra depositiva. Així, vegem quin és el signe de f en els entersnegatius i en els positius per a obtenir la part enterad’aquestes arrels:

f(0) = 20 < 0

f( 1) = 31 < 0

f( 2) = 12 > 0

Pel teorema de Bolzano, f té un zero en ( 2, 1), per laqual cosa la seva part entera ha de ser 2.

f(0) = 20 < 0

f(1) = 15 < 0

f(2) = 4 < 0

f(3) = 97 > 0

lim ( ) limx x

f x x+ +

= = +3 4

lim ( ) limx x

f x x= = +3 4

c =6

.

x 04

,

= ± = ± =tg x x13

33 6

f x tg x tg x( ) = + = =2 3 1 213

2 2

=, ( )c tal que f c04

2

1 0 24

4= < < =f f( ) .

f tg4

34

1 3 1 1 42= + = + =

f4

:

ifg

=

g x tg x k k( ) ,= +és contínua en � �2

252

, .

171

9. C

ontin

uïta

t

D’una banda, si considerem les funcions f1(x) =2xi f2(x) =cos x, tenim que f =f2�f1. Comque f1 és contínua en �i f2també, f =f2�f1és con-tínua en �.

D’altra banda, si considerem les funcions g1(x) =x2i g2(x) =ln x, g =g2�g1. Com que g1éscontínua en �i g2és contínua en el seu domini,D(g2) =(0, +), la funció g és contínua exacta-ment en el conjunt de punts x �tals que g1(x) =x2>0 és a dir, en �{0}.

Així, la funció es discontínua en �{0}

i els punts en què s’anul.la g, que són x =1 i x =1. Així, i és contínua en �{1, 0, 1}.

35.Transformem el problema de trobar solucions de l’e-quació x4x220 =0 en el de trobar zeros de la fun-ció f(x) =x4x220.

Com que f és parell si c >0 tal que f(c) =0, es com-pleix que f(c) =0. Així, ens limitarem a veure si f téalgun zero en (0, +).

Per a fer-ho calcularem un interval en el qual es com-pleixi el teorema de Bolzano que estigui contingut en(0, +).

Com que a més ens demanen que donem un intervalde longitud menor o igual que 0,5 que contingui aquestzero, podem mirar el signe de f en 0, 0,5, 1, 1,5...:

Així, l’interval buscat és

36.Vegem que es compleixen les hipòtesis del teoremadels valors intermedis:

•f és contínua en

—

per tant, és contínua en Així, tg2x

és contínua en

—h(x) =1 és contínua en perquè és una

funció constant.

Així, f és contínua en perquè és combinació

lineal de funcions contínues en 04

,.

04

,

04

,

04

,.

04

,.

04

,:

ff (); 28052

20516

0 =<=>

ff (); 12032

27516

==

ff (); 02012

32316

==

•El valor d =2 està comprès entre f(0) i

f(0) =3 tg20 +1 =3 0 +1 =1

Així,


Per calcular aquest valor intentem resoldre l’equa-ció:

Així, el valor buscat és

37.Si definim la funció:

f(x) =3 x44 x36 x2+12 x 20

les solucions de l’equació corresponen, exactament, atots els zeros de f.

Observem que:

f(0) =3 044 036 02+12 0 20 =

=20 <0

Això ens diu que f té una arrel negativa i una altra depositiva. Així, vegem quin és el signe de f en els entersnegatius i en els positius per a obtenir la part enterad’aquestes arrels:

f(0) =20 <0

f(1) =31 <0

f(2) =12 >0

Pel teorema de Bolzano, f té un zero en (2, 1), per laqual cosa la seva part entera ha de ser 2.

f(0) =20 <0

f(1) =15 <0

f(2) =4 <0

f(3) =97 >0

lim()limxx

fxx++

==+ 34

lim()limxx

fxx ==+ 34

c=6

.

x04

,

=±=±= tgxx13

336

fxtgxtgx ()=+== 231213

22

= ,() ctalquefc 04

2

1024

4 =<<= ff ().

ftg4

34

131142

=+=+=

f4

:

ifg

=

gxtgxkk (), =+ éscontínuaen��2

252

,.

C M

Y K

172

9. Continuïtat

Pel teorema de Bolzano, f té un zero en (2, 3), per laqual cosa la seva part entera és 2.

38.La funció f és contínua en

ja que en cadascun d’aquests intervals la seva expres-sió analítica és una combinació lineal de funcions con-tínues en �.

Així, hem d’imposar que sigui contínua en

i

•

—

—

Perquè f sigui contínua per l’esquerra en

5 =a +b.

—

Aleshores, f és contínua per l’esquerra en

independentment del valor de a i b.

•

—

—



—

Perquè f sigui contínua per la dreta en

3 =a +b.

x=2

,

=+= 22

33 cos

lim()lim(cos)xx

fxx ++ =+=

22

23

=+=+= asinbabf22

lim()lim()xx

fxasinxb =+

22

==

fasinbab22

=+=+

x=2

:

=+=+= asinxbabf22

lim()lim(xx

fxasinx ++ =+

22

bb)=

== 52

5 sin

lim()lim()xx

fxsinx ==

22

5

fasinbab =+=+22

x=2

:

x=2

:

x=2

02222

,,,+ ��

Per tant, perquè f sigui contínua eni en

i amb això en �, els paràmetres a i b han de

complir:

39.La funció f té una discontinuïtat en x0=2, ja que elseu denominador s’anul.la en aquest punt, aleshoresno està definida f(2) i, per tant, no es compleix C1.

El tipus de discontinuïtat dependrà del fet que es com-pleixi C2:

El valor d’aquest límit depèn del valor del numera-dor:

•Si 4 k �0, és a dir, si k �4, és ; aleshores, tenimuna discontinuïtat de salt infinit.

•Si 4 k =0, és a dir, si k =4, tenim una indetermi-

nació que podem resoldre descomponent el nu-

merador en factors i simplificant:

Així, en aquest cas tenim una discontinuïtat evitable.

Per tant, f té una discontinuïtat no evitable de salt in-finit en x0=2 si i només si k �4.

40.Podem reduir l’estudi de les solucions de l’equació 3 ln x =x a l’estudi dels zeros de la funció:

h(x) =3 ln x x.

Vegem, doncs, si h compleix les hipòtesis del teoremade Bolzano en [1, 3]:

•h és contínua en aquest interval, ja que és la su-ma d’una funció contínua en (0, +), 3 ln x, ambuna funció contínua en �, x. Aleshores, és con-tínua en (0, +); en particular, és contínua en [1, 3] � (0, +).

•La imatge dels dos extrems de l’interval té signe opo-sat:

h(1) =3 ln 1 1 =3 0 1 =1 <0

h(3) =3 ln 3 3 =3 (ln 3 1) >0

=

+

+= lim

()

() x

xx

x 2

3223

2232

223

=4

limx

xxx+

+=

2

2344

24

00

,

=+

+=

3242224

40

2()()

()kk

lim()limxx

fxxxk

x=

+

+=

22

234

24

=+

=+==

5

341

ab

abab,

x=2

,

x=2

x=2

,

x=2

x=2

172

9. C

ontin

uïta

tPel teorema de Bolzano, f té un zero en (2, 3), per laqual cosa la seva part entera és 2.

38. La funció f és contínua en

ja que en cadascun d’aquests intervals la seva expres-sió analítica és una combinació lineal de funcions con-tínues en �.

Així, hem d’imposar que sigui contínua en

i

•

—

—

Perquè f sigui contínua per l’esquerra en

5 = a + b.

—



•

—

—



—

Perquè f sigui contínua per la dreta en

3 = a + b.

x =2

,

= + =22

3 3cos

lim ( ) lim ( cos )x x

f x x+ +

= + =

2 2

2 3

= + = + =a sin b a b f2 2

lim ( ) lim ( )x x

f x a sin x b= +

2 2

==

f a sin b a b2 2

= + = +

x =2

:

= + = + =a sin x b a b f2 2

lim ( ) lim (x x

f x a sin x+ +

= +

2 2

bb) =

= =52

5sin

lim ( ) lim ( )x x

f x sin x= =

2 2

5

f a sin b a b= + = +2 2

x =2

:

x =2

:

x =2

02 2 2 2

, , , +� �

Per tant, perquè f sigui contínua en i en

i amb això en �, els paràmetres a i b han de

complir:

39. La funció f té una discontinuïtat en x0 = 2, ja que elseu denominador s’anul.la en aquest punt, aleshoresno està definida f( 2) i, per tant, no es compleix C1.

El tipus de discontinuïtat dependrà del fet que es com-pleixi C2:

El valor d’aquest límit depèn del valor del numera-dor:

• Si 4 k � 0, és a dir, si k � 4, és ; aleshores, tenimuna discontinuïtat de salt infinit.

• Si 4 k = 0, és a dir, si k = 4, tenim una indetermi-

nació que podem resoldre descomponent el nu-

merador en factors i simplificant:

Així, en aquest cas tenim una discontinuïtat evitable.

Per tant, f té una discontinuïtat no evitable de salt in-finit en x0 = 2 si i només si k � 4.

40. Podem reduir l’estudi de les solucions de l’equació 3 ln x = x a l’estudi dels zeros de la funció:

h(x) = 3 ln x x.

Vegem, doncs, si h compleix les hipòtesis del teoremade Bolzano en [1, 3]:

• h és contínua en aquest interval, ja que és la su-ma d’una funció contínua en (0, + ), 3 ln x, ambuna funció contínua en �, x. Aleshores, és con-tínua en (0, + ); en particular, és contínua en [1, 3] � (0, + ).

• La imatge dels dos extrems de l’interval té signe opo-sat:

h(1) = 3 ln 1 1 = 3 0 1 = 1 < 0

h(3) = 3 ln 3 3 = 3 (ln 3 1) > 0

=

+

+=lim

( )

( )x

x x

x2

3 223

2 232

223

= 4

limx

x xx+

+=

2

23 4 42 4

00

,

=+

+=

3 2 4 22 2 4

40

2( ) ( )( )

k k

lim ( ) limx x

f xx x k

x=

+

+=

2 2

23 42 4

= +

= += =

5

34 1

a b

a ba b,

x =2

,

x =2

x =2

,

x =2

x =2

CM

YK

173

9. Continuïtat

43. Com que f és racional, els seus punts de discontinuïtatsón els zeros del denominador:

x2 1 = 0 x = 1 o x = 1

Calculem els límits laterals en aquests punts:

Si x < 1 x2 1 > 0

Si 1 < x < 1 x2 1 < 0

Si x > 1 x2 1 > 0

44. No, ja que no coneixem cap teorema que ens porti aaquesta conclusió. El teorema que coneixem que pro-varia que f té un zero en l’interval (0, 3) és el teoremade Bolzano. Però la funció no compleix la hipòtesi decontinuïtat en [0, 3], ja que en x = 1 [0, 3] el deno-minador de la funció s’anul.la, i per tant no es compleixC1.

45. Les gràfiques de f i g es tallen existeix un valor xper al qual f(x) = g(x) h(x) = f(x) g(x) = 0.

Així, n’hi ha prou de comprovar que h té un zero enl’interval [a, b]. Per a fer-ho, veurem que h compleixles hipòtesis del teorema de Bolzano en [a, b].

• h(x) = f(x) g(x) és la diferència de dues funcionscontínues en [a, b]; per tant, és contínua en aquestinterval.

• f(a) < g(a) h(a) = f(a) g(a) < 0

• f(b) > g(b) h(b) = f(b) g(b) > 0

Pel teorema de Bolzano, c (a, b) tal que h(c) = 0, amb la qual cosa queda demostrat el quees demanava.

46. Per a poder aplicar el teorema de Bolzano a f en l’inter-val [ , 2 ], s’han de complir les seves dues hipòtesis:

La funció f ha de ser contínua en [ , 2 ]:

f és contínua en ( , 0) � ( , 2 ), ja que és suma dedues funcions contínues en � i, per tant, en aquests in-tervals.

Si a � 0, f és contínua en (0, ), ja que és producte dedues funcions contínues en � i, per tant, en aquest in-terval.

Queda per veure la continuïtat en els punts frontera

= = ++

limx x1 2

1

1

10

= =

= =

+lim

lim

x

x

x

x

1 2

1 2

1

1

10

1

1

10

= = +limx x1 2

1

1

10

Es compleixen, doncs, les hipòtesis del teorema deBolzano; aleshores, es compleix la seva tesi:

c (1, 3) tal que h(c) = 0

Així, l’equació 3 ln x = x té una solució real en l’inter-val (1, 3).

41. Perquè f sigui contínua en x = 1, s’ha de complir (i amb això és suficient) la condició C3:

Si calculem aquest límit:

El valor de la imatge de 1 ha de ser f( 1) = 3.

42.

Aquesta funció presenta:

• Dues discontinuïtats evitables: x = 2, x = 2

• Una discontinuïtat no evitable de salt finit: x = 1

• Dues discontinuïtats no evitables de salt infinit: x = 1 i x = 4

• Una discontinuïtat no evitable essencial: x = 0

— L’expressió analítica d’una funció la gràfica de laqual sigui l’anterior és:

f(x) =

=+

+= =lim

( )( )

( )x

x x

x x1

1 2

11 2

13

lim ( ) limx x

f xx x

x x=

+=

1 1

2

2

2

f f xx

( ) lim ( )=11

X

Y

1

1

2

1

11

3

1

3 22

14

++

+

x

x

x

x xx

x

si x

log( )

cos

( )( )

<<

=

< <

<

<

<

2

2

2 1

1 0

0 1

1

si x

si x

si x

si x

si x <<

<

4

4si x

173

9. C

ontin

uïta

t

43.Com que f és racional, els seus punts de discontinuïtatsón els zeros del denominador:

x21 =0 x =1 o x =1

Calculem els límits laterals en aquests punts:

Si x <1 x21 >0

Si 1 <x <1 x21 <0

Si x >1 x21 >0

44.No, ja que no coneixem cap teorema que ens porti aaquesta conclusió. El teorema que coneixem que pro-varia que f té un zero en l’interval (0, 3) és el teoremade Bolzano. Però la funció no compleix la hipòtesi decontinuïtat en [0, 3], ja que en x =1 [0, 3] el deno-minador de la funció s’anul.la, i per tant no es compleixC1.

45.Les gràfiques de f i g es tallen existeix un valor xper al qual f(x) =g(x) h(x) =f(x) g(x) =0.

Així, n’hi ha prou de comprovar que h té un zero enl’interval [a, b]. Per a fer-ho, veurem que h compleixles hipòtesis del teorema de Bolzano en [a, b].

•h(x) =f(x) g(x) és la diferència de dues funcionscontínues en [a, b]; per tant, és contínua en aquestinterval.

•f(a) <g(a) h(a) =f(a) g(a) <0

•f(b) >g(b) h(b) =f(b) g(b) >0

Pel teorema de Bolzano, c (a, b) tal que h(c) =0, amb la qual cosa queda demostrat el quees demanava.

46.Per a poder aplicar el teorema de Bolzano a f en l’inter-val [, 2 ], s’han de complir les seves dues hipòtesis:

La funció f ha de ser contínua en [, 2 ]:

f és contínua en (, 0) �(, 2 ), ja que és suma dedues funcions contínues en �i, per tant, en aquests in-tervals.

Si a �0, f és contínua en (0, ), ja que és producte dedues funcions contínues en �i, per tant, en aquest in-terval.

Queda per veure la continuïtat en els punts frontera

==+ + limxx 12

1

1

10

==

==

+ lim

lim

x

x

x

x

12

12

1

1

10

1

1

10

==+ limxx 12

1

1

10

Es compleixen, doncs, les hipòtesis del teorema deBolzano; aleshores, es compleix la seva tesi:

c (1, 3) tal que h(c) =0

Així, l’equació 3 ln x =x té una solució real en l’inter-val (1, 3).

41.Perquè f sigui contínua en x =1, s’ha de complir (i amb això és suficient) la condició C3:

Si calculem aquest límit:

El valor de la imatge de 1 ha de ser f(1) =3.

42.

Aquesta funció presenta:

•Dues discontinuïtats evitables: x =2, x =2

•Una discontinuïtat no evitable de salt finit: x =1

•Dues discontinuïtats no evitables de salt infinit: x =1 i x =4

•Una discontinuïtat no evitable essencial: x =0

—L’expressió analítica d’una funció la gràfica de laqual sigui l’anterior és:

f(x) =

=+

+== lim

()()

() x

xx

xx 1

12

112

13

lim()limxx

fxxx

xx=

+=

11

2

2

2

ffxx

()lim() = 11

X

Y

1

1

2

1

11

3

1

322

14

++

+

x

x

x

xxx

x

six

log()

cos

()()

<<

=

<<

<

<

<

2

2

21

10

01

1

six

six

six

six

six<<

<

4

4 six

C M

Y K

174

9. Continuïtat

dels intervals, per la qual cosa és més còmode estudiar-ne la continuïtat lateral:

•f ha de ser contínua per la dreta en x =:

=sin () +3 =f()

Aleshores, f és contínua per la dreta en x =.

•f ha de ser contínua per tots dos costats en x =0:

=sin 0 +3 =3 =f(0)

Aleshores, f és contínua per l’esquerra en x =0.

Aleshores, f és contínua per la dreta en x =0 si inomés si:

•f ha de ser contínua per tots dos costats en x =:

Aleshores, f és contínua per l’esquerra en x =.

=cos +b =1 +b

Aleshores, f és contínua per la dreta en x =si inomés si:

•f ha de ser contínua per l’esquerra en x =2 :

=cos 2 +b =1 +b =f(2 )

Aleshores, f és contínua per l’esquerra en x =2 .

Per tant, f és contínua en [, 2 ] si i només si elsparàmetres a i b verifiquen les dues equacions:

Així, si es compleix el teorema de

Bolzano en [, 2 ]; aleshores, f s’anul.la com a mí-nim en un punt c de l’interval [, 2 ].

aib ==13

2,

13

11

13

2 a

ba

ab=

+=

== ,

lim()lim(cos)()() xx

fxxb =+=22

=+=11

1a

ba

+=== + 1bfxfxlim()()

lim()lim(cos)xx

fxxb ++ =+=

===cos

()aa

f1

lim()limcos

xxfx

xa

==

103

13

0 afxf

a x==== + lim()()

lim()limcoscos

xxfx

xaaa

++ ===00

01

lim()lim()xx

fxsinx =+=00

3

lim()lim()xx

fxsinx ++ =+= 3

—Per trobar aquest valor c, dividim l’interval tancaten els subintervals en els quals f té diferent ex-pressió analítica i veiem en quin (o quins) d’ells escontinua complint aquest teorema, la qual cosaens indicarà que en aquest interval existeix un zeroc de f.

Així, considerem

[, 2 ] =[, 0] �[0, ] �[, 2 ]

i veiem en quins d’aquests subintervals es complei-xen les hipòtesis del teorema de Bolzano:

•f és contínua en [, 2 ]; aleshores, ho és en ca-dascun dels tres subintervals considerats.

•f() =sin () +3 =3 >0

f(0) =sin 0 +3 =0 +3 =3 >0

f(2 ) =cos 2 +(2) =1 2 =1 <0

Aleshores, només es compleix la segona hipòte-si del teorema de Bolzano en l’interval central,[0, ].

Així, existeix solució, en (0, ), de l’equació:

x (0, )

Per tant, f s’anul.la en:

47.Sigui P(x) un polinomi de grau imparell. Les sevesarrels són les solucions de l’equació P(x) =0, que corresponen als zeros de la funció f(x) =P(x).

Hem de demostrar, doncs, que f té almenys un zero.Per a fer-ho, intentarem veure que existeix algun in-terval [a, b] en el qual es compleixen les hipòtesis delteorema de Bolzano.

Com que f és polinòmica, és contínua en �i, per tant,en qualsevol interval tancat [a, b]. N’hi ha prou,doncs, de demostrar que existeixen dos reals a i b enels quals f pren valors de signe diferent.

Per a fer-ho, com que no sabem per on és el zero, hemde recórrer a l’estudi del comportament de la funcióen prendre a molt petit i b molt gran:

P(x) polinomi de grau imparell

lim()lim()()xx

n fxPxa++

==+

lim()lim()()xx

n fxPxa ==

c=2

02 (,)(,) �

== cosxx 02

fxx

()cos

== 013

0

f()cos

() ===<13

3130

174

9. C

ontin

uïta

tdels intervals, per la qual cosa és més còmode estudiar-ne la continuïtat lateral:

• f ha de ser contínua per la dreta en x = :

= sin ( ) + 3 = f( )

Aleshores, f és contínua per la dreta en x = .

• f ha de ser contínua per tots dos costats en x = 0:

= sin 0 + 3 = 3 = f(0)

Aleshores, f és contínua per l’esquerra en x = 0.

Aleshores, f és contínua per la dreta en x = 0 si inomés si:

• f ha de ser contínua per tots dos costats en x = :

Aleshores, f és contínua per l’esquerra en x = .

= cos + b = 1 + b

Aleshores, f és contínua per la dreta en x = si inomés si:

• f ha de ser contínua per l’esquerra en x = 2 :

= cos 2 + b = 1 + b = f(2 )

Aleshores, f és contínua per l’esquerra en x = 2 .

Per tant, f és contínua en [ , 2 ] si i només si elsparàmetres a i b verifiquen les dues equacions:

Així, si es compleix el teorema de

Bolzano en [ , 2 ]; aleshores, f s’anul.la com a mí-nim en un punt c de l’interval [ , 2 ].

a i b= =13

2,

13

11

13

2a

ba

a b=

+ =

= =,

lim ( ) lim (cos )( ) ( )x x

f x x b= + =2 2

= + =1 1

1a

ba

+ = = =+

1 b f x fxlim ( ) ( )

lim ( ) lim (cos )x x

f x x b+ +

= + =

= = =cos

( )a a

f1

lim ( ) limcos

x xf x

xa

= =

10 3

13

0af x f

ax= = = =

+lim ( ) ( )

lim ( ) limcos cos

x xf x

xa a a+ +

= = =0 0

0 1

lim ( ) lim ( )x x

f x sin x= + =0 0

3

lim ( ) lim ( )x x

f x sin x+ +

= + =3

— Per trobar aquest valor c, dividim l’interval tancaten els subintervals en els quals f té diferent ex-pressió analítica i veiem en quin (o quins) d’ells escontinua complint aquest teorema, la qual cosaens indicarà que en aquest interval existeix un zeroc de f.

Així, considerem

[ , 2 ] = [ , 0] � [0, ] � [ , 2 ]

i veiem en quins d’aquests subintervals es complei-xen les hipòtesis del teorema de Bolzano:

• f és contínua en [ , 2 ]; aleshores, ho és en ca-dascun dels tres subintervals considerats.

• f( ) = sin ( ) + 3 = 3 > 0

f(0) = sin 0 + 3 = 0 + 3 = 3 > 0

f(2 ) = cos 2 + ( 2) = 1 2 = 1 < 0

Aleshores, només es compleix la segona hipòte-si del teorema de Bolzano en l’interval central,[0, ].

Així, existeix solució, en (0, ), de l’equació:

x (0, )

Per tant, f s’anul.la en:

47. Sigui P(x) un polinomi de grau imparell. Les sevesarrels són les solucions de l’equació P(x) = 0, que corresponen als zeros de la funció f(x) = P(x).

Hem de demostrar, doncs, que f té almenys un zero.Per a fer-ho, intentarem veure que existeix algun in-terval [a, b] en el qual es compleixen les hipòtesis delteorema de Bolzano.

Com que f és polinòmica, és contínua en � i, per tant,en qualsevol interval tancat [a, b]. N’hi ha prou,doncs, de demostrar que existeixen dos reals a i b enels quals f pren valors de signe diferent.

Per a fer-ho, com que no sabem per on és el zero, hemde recórrer a l’estudi del comportament de la funcióen prendre a molt petit i b molt gran:

P(x) polinomi de grau imparell

lim ( ) lim ( ) ( )x x

nf x P x a+ +

= = +

lim ( ) lim ( ) ( )x x

nf x P x a= =

c =2

0 2( , ) ( , )�

= =cos x x02

f xx

( )cos

= =013

0

f( )cos

( )= = = <13

3 1 3 0

CM

YK

175

9. Continuïtat

Si an és el coeficient del terme de grau més gran deP(x), aleshores an � 0. Suposem que an > 0 (l’altre casés anàleg):

En aquest cas, la qual cosa significa que

a � prou petit tal que f(a) < 0, i la qual cosa significa que b � prou gran tal que

f(b) > 0.

Es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzanoen [a, b], aleshores c (a, b) tal que f(c) = 0.

Així, c tal que P(c) = 0.

Si el polinomi és de grau parell, això no és cert, ja queel polinomi P(x) = x2 + 1 no té cap arrel real.

48. Com que hem de veure si f pren el valor 10 en [ 2, 3], hem de comprovar que compleix les hipòtesisdel teorema dels valors intermedis en aquest interval.

• f és contínua en [ 2, 3]. En efecte, ja que és polinò-mica i, per tant, contínua en �; en particular, és con-tínua en qualsevol interval.

• El valor d = 10 està comprès (estrictament) entre f( 2) i f(3):

f( 2) = ( 2)2 + ( 2) + 1 = 3

f(3) = 32 + 3 + 1 = 13

Com que 3 = f( 2) < 10 < f(3) = 13, també es com-pleix aquesta hipòtesi.

Així, doncs, es complirà la tesi d’aquest teorema:

c ( 2, 3) tal que f(c) = 10

— Per trobar aquest interval avaluem f en els enterscompresos en [ 2, 3]:

f( 2) = 3 ; f( 1) = 1 ; f(0) = 1

f(1) = 3 ; f(2) = 7 ; f(3) = 13

Com que 7 = f(2) < 10 < f(3) = 13, tenim que c [2, 3].

Però com que l’interval buscat ha de tenir longi-tud menor o igual que 0,2, dividim aquest inter-val en subintervals de longitud 0,2 els extremsdel qual són 2, 2,2, 2,4, 2,6, 2,8 i 3:

f(2) = 7 ; f(2,2) = 8,04 ; f(2,4) = 9,16

f(2,6) = 10,36 ; f(2,8) = 11,64 ; f(3) = 13

El subinterval en el qual es compleixen les hi-pòtesis del teorema dels valors intermedis és[2,4, 2,6]:

f(2,4) = 9,16 < 10 < 10,36 = f(2,6)

Així, si considerem el punt

mitjà de l’interval [2,4, 2,6], es compleix:

c c < = =2 6 2 4

20 22

0 1, , ,

,

=+

=c2 4 2 6

22 5

, ,,

Aleshores, c� = 2,5 és una aproximació de c quecompleix les condicions de l’enunciat.

49. Hem de veure que si f està definida en [a, b]:

f és constant en [a, b] el màxim i el mínim abso-lut de f en [a, b] coincideixen.

Per a fer-ho, hem de demostrar les dues implicacions:d’esquerra a dreta i de dreta a esquerra:

Suposem que f és constant en [a, b].

Com que f és constant en [a, b], és contínua en [a, b]; aleshores, pel teorema de Weierstrass asso-lirà el mínim absolut, m, i el màxim absolut, M, enaquest interval en sengles punts x1 i x2 d’aquest in-terval:

m = f(x1) f(x) f(x2) = M x [a, b]

Ara bé, f és constant en [a, b], aleshores:

m = f(x1) = f(x2) = M

és a dir, el mínim absolut i el màxim absolut de fen [a, b] coincideixen.

Suposem que el mínim absolut i el màxim absolutde f en [a, b] coincideixen:

m = M = k �

Per definició d’extrems absoluts, això significaque:

k = m f(x) M = k x [a, b]

f(x) = k x [a, b]

f és constant en [a, b]

50. Suposem que f està definida en [a, b] i és monòtonacreixent en aquest interval, és a dir:

x1 x2 f(x1) f(x2) x1, x2 [a, b]

En particular, si x1 = a:

a x2 f(a) f(x2) x2 [a, b]

Ara bé, com que per a tot x2 de [a, b] es compleix a x2, tenim:

f(a) f(x) x [a, b]

i aquesta és la definició de mínim absolut, aleshores elmínim absolut de f s’assoleix en x = a, extrem inferiorde l’interval.

D’altra banda, si x2 = b:

x1 b f(x1) f(b) , x1 [a, b]

Ara bé, com que per a tot x1 de [a, b] es compleix x1 b, tenim:

f(x) f(b) x [a, b]

i aquesta és la definició de màxim absolut, aleshores el

lim ( ) ,x

f x =

lim ( ) ,x

f x+

= +

175

9. C

ontin

uïta

t

Si anés el coeficient del terme de grau més gran deP(x), aleshores an�0. Suposem que an>0 (l’altre casés anàleg):

En aquest cas,la qual cosa significa que

a �prou petit tal que f(a) <0, i la qual cosa significa que b �prou gran tal que

f(b) >0.

Es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzanoen [a, b], aleshores c (a, b) tal que f(c) =0.

Així, c tal que P(c) =0.

Si el polinomi és de grau parell, això no és cert, ja queel polinomi P(x) =x2+1 no té cap arrel real.

48.Com que hem de veure si f pren el valor 10 en [2, 3], hem de comprovar que compleix les hipòtesisdel teorema dels valors intermedis en aquest interval.

•f és contínua en [2, 3]. En efecte, ja que és polinò-mica i, per tant, contínua en �; en particular, és con-tínua en qualsevol interval.

•El valor d =10 està comprès (estrictament) entre f(2) i f(3):

f(2) =(2)2+(2) +1 =3

f(3) =32+3 +1 =13

Com que 3 =f(2) <10 <f(3) =13, també es com-pleix aquesta hipòtesi.

Així, doncs, es complirà la tesi d’aquest teorema:

c (2, 3) tal que f(c) =10

—Per trobar aquest interval avaluem f en els enterscompresos en [2, 3]:

f(2) =3 ; f(1) =1 ; f(0) =1

f(1) =3 ; f(2) =7 ; f(3) =13

Com que 7 =f(2) <10 <f(3) =13, tenim que c [2, 3].

Però com que l’interval buscat ha de tenir longi-tud menor o igual que 0,2, dividim aquest inter-val en subintervals de longitud 0,2 els extremsdel qual són 2, 2,2, 2,4, 2,6, 2,8 i 3:

f(2) =7 ; f(2,2) =8,04 ; f(2,4) =9,16

f(2,6) =10,36 ; f(2,8) =11,64 ; f(3) =13

El subinterval en el qual es compleixen les hi-pòtesis del teorema dels valors intermedis és[2,4, 2,6]:

f(2,4) =9,16 <10 <10,36 =f(2,6)

Així, si considerem el punt

mitjà de l’interval [2,4, 2,6], es compleix:

cc<==2624

2022

01,,,

,

=+

= c2426

225

,,,

Aleshores, c�=2,5 és una aproximació de c quecompleix les condicions de l’enunciat.

49.Hem de veure que si f està definida en [a, b]:

f és constant en [a, b] el màxim i el mínim abso-lut de f en [a, b] coincideixen.

Per a fer-ho, hem de demostrar les dues implicacions:d’esquerra a dreta i de dreta a esquerra:

Suposem que f és constant en [a, b].

Com que f és constant en [a, b], és contínua en [a, b]; aleshores, pel teorema de Weierstrass asso-lirà el mínim absolut, m, i el màxim absolut, M, enaquest interval en sengles punts x1i x2d’aquest in-terval:

m =f(x1) f(x) f(x2) =M x [a, b]

Ara bé, f és constant en [a, b], aleshores:

m =f(x1) =f(x2) =M

és a dir, el mínim absolut i el màxim absolut de fen [a, b] coincideixen.

Suposem que el mínim absolut i el màxim absolutde f en [a, b] coincideixen:

m =M =k �

Per definició d’extrems absoluts, això significaque:

k =m f(x) M =k x [a, b]

f(x) =k x [a, b]

f és constant en [a, b]

50.Suposem que f està definida en [a, b] i és monòtonacreixent en aquest interval, és a dir:

x1x2f(x1) f(x2) x1, x2[a, b]

En particular, si x1=a:

a x2f(a) f(x2) x2[a, b]

Ara bé, com que per a tot x2de [a, b] es compleix a x2, tenim:

f(a) f(x) x [a, b]

i aquesta és la definició de mínim absolut, aleshores elmínim absolut de f s’assoleix en x =a, extrem inferiorde l’interval.

D’altra banda, si x2=b:

x1b f(x1) f(b) , x1[a, b]

Ara bé, com que per a tot x1de [a, b] es compleix x1 b, tenim:

f(x) f(b) x [a, b]

i aquesta és la definició de màxim absolut, aleshores el

lim(),x

fx=

lim(),x

fx+

=+

C M

Y K

176

9. Continuïtat

màxim absolut de f s’assoleix en x =b, extrem supe-rior de l’interval.

Anàlogament, si f és monòtona decreixent en [a, b],es demostra que el mínim absolut s’assoleix en l’ex-trem superior, x =b, i el màxim absolut, en l’extreminferior, x =a.

En qualsevol cas, queda demostrat que els extrems ab-soluts s’assoleixen en els extrems de l’interval.

Fixeu-vos que només hem utilitzat que f estigui defi-nida en [a, b] i no la hipòtesi de continuïtat.

51.Per poder aplicar el teorema de Weierstrass a una fun-ció en un interval, l’interval ha de ser tancat (d’ex-trems finits) i la funció ha de ser contínua en aquestinterval. Per tant:

a)•L’interval [1, 2] és tancat d’extrems finits.

•f(x) =2 x24 x +5 és polinòmica i, per tant, con-tínua en �; en particular, contínua en [1, 2].

Així, es pot aplicar el teorema de Weierstrass a fen [1, 2], aleshores existeixen x1, x2[1, 2]en els quals s’assoleixen el mínim i el màxim absoluts de f en [1, 2], m i M.

—Per trobar-los, observem que la gràfica de fcorrespon a una paràbola amb les branquescap amunt (ja que és un polinomi de grau 2i el coeficient de x2és positiu), aleshores s’as-soleix el mínim absolut en el seu vèrtex,d’abscissa:

Com que x =1 [1, 2], el mínim absolut def en [1, 2] s’assolirà en aquest punt, x1=1: m =(1, 3).

D'altra banda, el màxim absolut s’assolirà enalgun dels extrems. Per veure en quin d'ells,en comparem les imatges:

f(1) =11 ; f(2) =5

Com que f(1) >f(2), el màxim absolut de f en[1,2]s’assoleix en x2=1: M =(1, 11).

b)•L'interval [0, 3] és tancat d’extrems finits.

•no és contínua en [0, 3], ja que gxx

()=5

2

xba

===2

422

1

en x0=2 [0, 3] s’anul.la el seu denominador,aleshores 2 D(g), de manera que no es com-pleix la hipòtesi C1.

Per tant, no es pot aplicar el teorema de Weiers-trass a g en [0, 3].

c)•L’interval (2, 2) no és tancat.

Per tant, no es pot aplicar el teorema de Weiers-trass a h en l’interval (2, 2).

d)•L’interval [3, 4] és tancat d’extrems finits.

•i (x) =x2+2 x +3 és polinòmica i, per tant, con-tínua en [3, 4].

Aleshores, podem aplicar el teorema de Weiers-trass a i en [3, 4]. Per tant, existeixen senglespunts x1, x2[3, 4] en els quals s’assoleixen elmínim absolut, m, i el màxim absolut, M, de i en[3, 4].

Per a trobar-los, observem que la gràfica de i correspon a una paràbola amb les branques capavall (ja que el coeficient de x2és negatiu); ales-hores, el màxim absolut de i en �s’assoleix ambl’abscissa del vèrtex:

Com que x =1 [3, 4], el màxim absolut de ien [3, 4] s’assolirà en aquest punt, x2=1: M =(1, 4).

D’altra banda, el mínim absolut s’assolirà en al-gun dels extrems.

Per veure en quin d’ells s'assoleix, en comparemles imatges:

i(3) =12 ; i(4) =5

Com que i(3) <i(4), el mínim absolut de i en[3, 4] s’assoleix en x1=3: m =(3, 12).

52.Activitat TIC.

53.Activitat TIC.

xba

===2

221

1()

176

9. C

ontin

uïta

tmàxim absolut de f s’assoleix en x = b, extrem supe-rior de l’interval.

Anàlogament, si f és monòtona decreixent en [a, b],es demostra que el mínim absolut s’assoleix en l’ex-trem superior, x = b, i el màxim absolut, en l’extreminferior, x = a.

En qualsevol cas, queda demostrat que els extrems ab-soluts s’assoleixen en els extrems de l’interval.

Fixeu-vos que només hem utilitzat que f estigui defi-nida en [a, b] i no la hipòtesi de continuïtat.

51. Per poder aplicar el teorema de Weierstrass a una fun-ció en un interval, l’interval ha de ser tancat (d’ex-trems finits) i la funció ha de ser contínua en aquestinterval. Per tant:

a) • L’interval [ 1, 2] és tancat d’extrems finits.

• f(x) = 2 x2 4 x + 5 és polinòmica i, per tant, con-tínua en �; en particular, contínua en [ 1, 2].

Així, es pot aplicar el teorema de Weierstrass a fen [ 1, 2], aleshores existeixen x1, x2 [ 1, 2]en els quals s’assoleixen el mínim i el màxim absoluts de f en [ 1, 2], m i M.

— Per trobar-los, observem que la gràfica de fcorrespon a una paràbola amb les branquescap amunt (ja que és un polinomi de grau 2i el coeficient de x2 és positiu), aleshores s’as-soleix el mínim absolut en el seu vèrtex,d’abscissa:

Com que x = 1 [ 1, 2], el mínim absolut def en [ 1, 2] s’assolirà en aquest punt, x1 = 1: m = (1, 3).

D'altra banda, el màxim absolut s’assolirà enalgun dels extrems. Per veure en quin d'ells,en comparem les imatges:

f( 1) = 11 ; f(2) = 5

Com que f( 1) > f(2), el màxim absolut de f en[ 1,2] s’assoleix en x2 = 1: M = ( 1, 11).

b) • L'interval [0, 3] és tancat d’extrems finits.

• no és contínua en [0, 3], ja queg xx

( ) =5

2

xba

= = =2

42 2

1

en x0 = 2 [0, 3] s’anul.la el seu denominador,aleshores 2 D(g), de manera que no es com-pleix la hipòtesi C1.

Per tant, no es pot aplicar el teorema de Weiers-trass a g en [0, 3].

c) • L’interval ( 2, 2) no és tancat.

Per tant, no es pot aplicar el teorema de Weiers-trass a h en l’interval ( 2, 2).

d) • L’interval [ 3, 4] és tancat d’extrems finits.

• i (x) = x2 + 2 x + 3 és polinòmica i, per tant, con-tínua en [ 3, 4].

Aleshores, podem aplicar el teorema de Weiers-trass a i en [ 3, 4]. Per tant, existeixen senglespunts x1, x2 [ 3, 4] en els quals s’assoleixen elmínim absolut, m, i el màxim absolut, M, de i en[ 3, 4].

Per a trobar-los, observem que la gràfica de i correspon a una paràbola amb les branques capavall (ja que el coeficient de x2 és negatiu); ales-hores, el màxim absolut de i en � s’assoleix ambl’abscissa del vèrtex:

Com que x = 1 [ 3, 4], el màxim absolut de ien [ 3, 4] s’assolirà en aquest punt, x2 = 1: M = (1, 4).

D’altra banda, el mínim absolut s’assolirà en al-gun dels extrems.

Per veure en quin d’ells s'assoleix, en comparemles imatges:

i( 3) = 12 ; i(4) = 5

Com que i( 3) < i(4), el mínim absolut de i en[ 3, 4] s’assoleix en x1 = 3: m = ( 3, 12).

52. Activitat TIC.

53. Activitat TIC.

xba

= = =2

22 1

1( )

CM

YK

177

10. Derivades

1. TAXA DE VARIACIÓ MITJANA

1. a) La massa al cap de t1 = 10 dies és:

M (10) = 50 � e 0,1 � 10 = 18,39

La massa al cap de t2 = 20 dies és:

M (20) = 50 � e 0,1 � 20 = 6,77

b) La taxa de variació mitjana entre dos instants ensdóna la velocitat mitjana a què s’ha produït la va-riació de la funció entre els dos instants.

Per tant, si calculem aquestes taxes:

TVM [t0, t1] =

TVM [t1, t2] =

Veiem, doncs, que el material s’ha desintegrat mésràpidament en els primers deu dies, ja que la taxade variació mitjana en [t0, t1] és més elevada, en va-lor absolut, que la de [t1, t2].

2. El pendent de la recta coincideix amb la taxa de va-riació mitjana de la funció entre els dos punts d’abs-cissa considerats:

3. Calculem la taxa de variació mitjana de la velocitatmitjana del mòbil en els dos intervals:

Per tant, el mòbil va més de pressa entre les 3 h i les 5 h.

2. DERIVADA D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT

4. Apliquem la definició de derivada d’una funció en unpunt:

TVMf f

[ , ]( ) ( )

12 1919 1219 12

399 3367

9= = =

TVMf f

[ , ]( ) ( )

3 55 35 3

175 1112

32= = =

m TVMf f

= = = =[ , ]( ) ( )

( )( )

1 22 12 1

8 13

3

= = =M t M t

t t

( ) ( ) , ,,2 1

2 1

6 77 18 3920 10

1 16

= = =M t M t

t t( ) ( ) ,

,1 0

1 0

18 39 5010 0

3 16

a)

b)

5. L’equació de la recta tangent a la gràfica de f en x = 2 és:

y f (2) = f (2) (x 2)

Calculem f (2) i f�(2):

• f (2) = (2)2 + 6 2 3 = 5

•

Si substituïm aquests valors, tenim:

y 5 = 2 (x 2) 2 x y + 1 = 0

6. Apliquem la definició de derivada lateral tenint encompte que f té expressions analítiques diferents al’esquerra i a la dreta de 2:

= = =lim limh h

hh0 0

1 1

=+

=lim( ) ( )

h

hh0

2 2 2 2

=+

=ff h f

hh( ) lim

( ) ( )2

2 20

= + =lim ( )h

h0

2 2

=+

=+

=lim lim( )

h h

h hh

h h

h0

2

0

2 2

=+ + +

=lim( ) ( )

h

h hh0

22 6 2 3 5

=+

=ff h f

hh( ) lim

( ) ( )2

2 20

=+

=lim( )h

h

h0 2

2

12

=+

=+

=lim( )

lim( )

( )h h

h h

h h

h h

h h0

2

2 0 2

2

1

2

1

=+

=+

+=lim

( )lim

( )

( )h h

hh

h

h h0

2 2

0

2

2

1

1

1

1 1 1

1

=+

=gg h g

hh( ) lim

( ) ( )1

1 10

= = = =lim lim( )

lim ( )h h h

h hh

h hh

h0

2

0 0

8 88 8

=+ + +

=lim( ) ( ) ( ) ( )

h

h hh0

2 26 1 1 6 1 1

=+

=ff h f

hh( ) lim

( ) ( )1

1 10

Derivades10

177

10. D

eriv

ades

1.TAXA DE VARIACIÓ MITJANA

1.a)La massa al cap de t1=10 dies és:

M (10) =50 �e0,1 �10=18,39

La massa al cap de t2=20 dies és:

M (20) =50 �e0,1 �20=6,77

b)La taxa de variació mitjana entre dos instants ensdóna la velocitat mitjana a què s’ha produït la va-riació de la funció entre els dos instants.

Per tant, si calculem aquestes taxes:

TVM [t0, t1] =

TVM [t1, t2] =

Veiem, doncs, que el material s’ha desintegrat mésràpidament en els primers deu dies, ja que la taxade variació mitjana en [t0, t1] és més elevada, en va-lor absolut, que la de [t1, t2].

2.El pendent de la recta coincideix amb la taxa de va-riació mitjana de la funció entre els dos punts d’abs-cissa considerats:

3.Calculem la taxa de variació mitjana de la velocitatmitjana del mòbil en els dos intervals:

Per tant, el mòbil va més de pressa entre les 3 h i les 5 h.

2.DERIVADA D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT

4.Apliquem la definició de derivada d’una funció en unpunt:

TVMff

[,]()()

121919121912

3993367

9 ===

TVMff

[,]()()

355353

1751112

32 ===

mTVMff

==== [,]()()

()()

122121

813

3

===MtMt

tt

()(),,,

21

21

67718392010

116

===MtMt

tt()(),

,10

10

183950100

316

a)

b)

5.L’equació de la recta tangent a la gràfica de f en x =2 és:

y f (2) =f(2) (x 2)


•f(2) =(2)2+6 2 3 =5

•

Si substituïm aquests valors, tenim:

y 5 =2 (x 2) 2 x y +1 =0

6.Apliquem la definició de derivada lateral tenint encompte que f té expressions analítiques diferents al’esquerra i a la dreta de 2:

=== limlimhh

hh 00

11

=+

= lim()()

h

hh 0

2222

=+

= ffhf

h h()lim

()()2

220

=+= lim()h

h0

22

=+

=+

= limlim()

hh

hhh

hh

h 0

2

0

22

=+++

= lim()()

h

hhh 0

226235

=+

= ffhf

h h()lim

()()2

220

=+

= lim() h

h

h 02

2

12

=+

=+

= lim()

lim()

() hh

hh

hh

hh

hh 0

2

202

2

1

2

1

=+

=+

+= lim

()lim

()

() hh

hh

h

hh 0

22

0

2

2

1

1

1

111

1

=+

= gghg

h h()lim

()()1

110

==== limlim()

lim()hhh

hhh

hhh

h0

2

00

8888

=+++

= lim()()()()

h

hhh 0

22611611

=+

= ffhf

h h()lim

()()1

110

Derivades 10

C M

Y K

178

10. Derivades

Com que f�(2) =1 i f�(2+) =0, no existeix f�(2), i, pertant, f no és derivable en x =2.

7.a)Escrivim f (x) =�x 2 �com una funció definida atrossos:

És a dir:

Calculemf�(2) i f�(2+) tenint en compte que f téexpressions analítiques diferents a l’esquerra i a ladreta de 2:

Com quef�(2) =1 i f�(2+) =1, no existeix f�(2),i, per tant, f no és derivable en x =2.

b)Calculem f�(0) i f�(0+) tenint en compte que f téexpressions analítiques diferents a l’esquerra i a ladreta de 0:

=+

=+

+ ffhf

h h()lim

()()0

000

=== limlimhh

h

h 00

444

=+

= lim()

h

hh 0

400

=+

= ffhf

h h()lim

()()0

000

== + limh0

11

=+

== ++ lim()()

limhh

hh

hh 00

2222

=+

=+

+ ffhf

h h()lim

()()2

220

== lim()h0

11

=+

== lim()()

limhh

hh

hh 00

2222

=+

= ffhf

h h()lim

()()2

220

fxx

x

six

six()=

< 2

2

2

2

fxx

x

six

six()

()=

< 2

2

20

20

=== ++ limlimhh

hh

h0

2

00

=+

= + lim[()]()

h

hh 0

222222

=+

=+

+ ffhf

h h()lim

()()2

220

Com quef�(0) =4 i f�(0+) =1, no existeix f�(0); i,per tant, f no és derivable en x =0.

c)Escrivim f com una funció definida a trossos:

Calculem f�(3) i f�(3+) tenint en compte que f téexpressions analítiques diferents a l’esquerra i a ladreta de 3:

Com quef�(3) =6 i f�(3+) =6, no existeix f�(3),i, per tant, f no és derivable en x =3.

8.a)Escrivim f com una funció definida a trossos:

La gràfica de f és, doncs, la de la paràbola x21 en(, 1]�[1, +) i la de la paràbola 1 x2

en (1, 1).

En x =1 i x =1 la funció té sengles punts angulo-sos. Aleshores, la funció no és derivable en aquestspunts.

fxxsixx

x()

(,][,)=

+22

2

11011

1

�

(,) sixx2

1011 <

=+

= + lim()

h

hhh 0

66

=++

= + limh

hhh 0

29690

=+

= + lim()()

h

hh 0

223939

=+

=+

+ ffhf

h h()lim

()()3

330

== lim()

h

hhh 0

66

== limh

hhh 0

29960

=+

= lim()()

h

hh 0

229339

=+

= ffhf

h h()lim

()()3

330

fxxsixx

x()

(,][,)=

+22

2

99033

9

�

(,) sixx2

9033 <

=+

=== +++ limlimlimhhh

hh

hh 000

0011

–2–112

1

2

3

Y

X

|x2 – 1|

178

10. D

eriv

ades

Com que f�(2 ) = 1 i f�(2+) = 0, no existeix f�(2), i, pertant, f no és derivable en x = 2.

7. a) Escrivim f (x) = � x 2 � com una funció definida atrossos:

És a dir:

Calculem f�(2 ) i f�(2+) tenint en compte que f téexpressions analítiques diferents a l’esquerra i a ladreta de 2:

Com que f�(2 ) = 1 i f�(2+) = 1, no existeix f�(2),i, per tant, f no és derivable en x = 2.

b) Calculem f�(0 ) i f�(0+) tenint en compte que f téexpressions analítiques diferents a l’esquerra i a ladreta de 0:

=+

=+

+f

f h fhh

( ) lim( ) ( )

00 0

0

= = =lim limh h

h

h0 0

44 4

=+

=lim( )

h

hh0

4 0 0

=+

=ff h f

hh( ) lim

( ) ( )0

0 00

= =+

limh 0

1 1

=+

= =+ +

lim( ) ( )

limh h

hh

hh0 0

2 2 2 2

=+

=+

+f

f h fhh

( ) lim( ) ( )

22 2

0

= =lim ( )h 0

1 1

=+

= =lim( ) ( )

limh h

hh

hh0 0

2 2 2 2

=+

=ff h f

hh( ) lim

( ) ( )2

2 20

f xx

x

si x

si x( ) =

<2

2

2

2

f xx

x

si x

si x( )

( )=

<2

2

2 0

2 0

= = =+ +

lim limh h

hh

h0

2

00

=+

=+

lim[( ) ] ( )

h

hh0

2 22 2 2 2

=+

=+

+f

f h fhh

( ) lim( ) ( )

22 2

0

Com que f�(0 ) = 4 i f�(0+) = 1, no existeix f�(0); i,per tant, f no és derivable en x = 0.

c) Escrivim f com una funció definida a trossos:

Calculem f�(3 ) i f�(3+) tenint en compte que f téexpressions analítiques diferents a l’esquerra i a ladreta de 3:

Com que f�(3 ) = 6 i f�(3+) = 6, no existeix f�(3),i, per tant, f no és derivable en x = 3.

8. a) Escrivim f com una funció definida a trossos:

La gràfica de f és, doncs, la de la paràbola x2 1 en( , 1]�[1, + ) i la de la paràbola 1 x2

en ( 1, 1).

En x = 1 i x = 1 la funció té sengles punts angulo-sos. Aleshores, la funció no és derivable en aquestspunts.

f xx si x x

x( )

( , ] [ , )=

+2 2

2

1 1 0 1 1

1

�

( , )si x x2 1 0 1 1<

=+

=+

lim( )

h

h hh0

66

=+ +

=+

limh

h hh0

29 6 9 0

=+

=+

lim( ) ( )

h

hh0

2 23 9 3 9

=+

=+

+f

f h fhh

( ) lim( ) ( )

33 3

0

= =lim( )

h

h hh0

66

= =limh

h hh0

29 9 6 0

=+

=lim( ) ( )

h

hh0

2 29 3 3 9

=+

=ff h f

hh( ) lim

( ) ( )3

3 30

f xx si x x

x( )

( , ] [ , )=

+2 2

2

9 9 0 3 3

9

�

( , )si x x2 9 0 3 3<

=+

= = =+ + +

lim lim limh h h

hh

hh0 0 0

0 01 1

–2 –1 1 2

1

2

3

Y

X

|x2 – 1|

CM

YK

179

10. Derivades

b)

En x = 0 la gràfica de f té com a recta tangent l’eixd’ordenades, és a dir, tangent vertical.

Els pendents de les rectes secants per la dreta ten-deixen a infinit, i per l’esquerra no hi ha rectes se-cants, ja que f no està definida per a x < 0.

Així, doncs, la funció no és derivable en x = 0.

c) En [2, + ), la gràfica de f és la de la paràbola x2 + 3, i en ( , 2) és la de la recta 2 x + 3.

En la gràfica s’observa que els pendents de les rectes secants, per tots dos costats, són molt sem-blants en aproximar-se a x = 2.

Comprovarem si f és derivable en x = 2 analítica-ment:

= = =lim limh h

h

h0 0

22 2

=+ +

=limh

hh0

4 2 3 7

=+ + +

=lim( ) ( )

h

hh0

22 2 3 2 3

=+

=ff h f

hh( ) lim

( ) ( )2

2 20

Atès que f�(2 ) = 2 i f�(2+) = 4, no existeix f�(2), i,per tant, f no és derivable en x = 2.

9. a) Escrivim f com una funció definida a trossos:

— Vegem si f compleix les condicions de conti-nuïtat en el punt x0 = 3:

• Existeix f (3) = 0.

• Existeix el límit en el punt i és finit:

• El límit coincideix amb la imatge del punt:

Per tant, la funció f és contínua en el punt x0 = 3.

— Calculem les derivades laterals de f � en x0 = 3:

Atès que f�(3 ) = 1 i f�(3+) = 1 no existeixf�(3), i, per tant, f no és derivable en x = 3.

= =+

limh 0

1 1

=+

= =+ +

lim( ) ( )

limh h

hh

hh0 0

3 3 3 3

=+

=+

+f

f h fhh

( ) lim( ) ( )

33 3

0

= =lim ( )h 0

1 1

=+

= =lim( ) ( )

limh h

hh

hh0 0

3 3 3 3

=+

=ff h f

hh( ) lim

( ) ( )3

3 30

lim ( ) ( )h

f x f= =3

0 3

=lim ( )h

f x3

0

lim ( ) lim ( )

lim ( ) limh h

h h

f x x

f x+

= =

=

3 3

3

3 0

333 0

+=( )x

f xx si x

x si x( ) =

<3 3

3 3

=+

= + =+ +

lim( )

lim ( )h h

h h

hh

0 0

44 4

=+ + +

=+

limh

h hh0

24 4 3 7

=+ + +

=+

lim( ) ( )

h

hh0

2 22 3 2 3

=+

=+

ff h f

hh( ) lim

( ) ( )2

2 20

1 2

1

2

3 4 X

Y

x

1 2

7

12

3 X

Y

f

3

1

-1 4

179

10. D

eriv

ades

b)

En x =0 la gràfica de f té com a recta tangent l’eixd’ordenades, és a dir, tangent vertical.

Els pendents de les rectes secants per la dreta ten-deixen a infinit, i per l’esquerra no hi ha rectes se-cants, ja que f no està definida per a x <0.

Així, doncs, la funció no és derivable en x =0.

c)En [2, +), la gràfica de f és la de la paràbola x2+3, i en (, 2) és la de la recta 2 x +3.

En la gràfica s’observa que els pendents de les rectes secants, per tots dos costats, són molt sem-blants en aproximar-se a x =2.

Comprovarem si f és derivable en x =2 analítica-ment:

=== limlimhh

h

h 00

222

=++

= limh

hh 0

4237

=+++

= lim()()

h

hh 0

222323

=+

= ffhf

h h()lim

()()2

220

Atès que f�(2) =2 i f�(2+) =4, no existeix f�(2), i,per tant, f no és derivable en x =2.

9.a)Escrivim f com una funció definida a trossos:

— Vegem si f compleix les condicions de conti-nuïtat en el punt x0=3:

•Existeix f (3) =0.

•Existeix el límit en el punt i és finit:

•El límit coincideix amb la imatge del punt:

Per tant, la funció f és contínua en el punt x0=3.

—Calculem les derivades laterals de f�en x0=3:

Atès que f�(3) =1 i f�(3+) =1 no existeixf�(3), i, per tant, f no és derivable en x =3.

== + limh0

11

=+

== ++ lim()()

limhh

hh

hh 00

3333

=+

=+

+ ffhf

h h()lim

()()3

330

== lim()h0

11

=+

== lim()()

limhh

hh

hh 00

3333

=+

= ffhf

h h()lim

()()3

330

lim()()h

fxf ==3

03

= lim()h

fx3

0

lim()lim()

lim()limhh

hh

fxx

fx +

==

=

33

3

30

3330 += () x

fxxsix

xsix()=

< 33

33

=+

=+= ++ lim()

lim()hh

hh

hh

00

444

=+++

= + limh

hhh 0

24437

=+++

= + lim()()

h

hh 0

222323

=+

= + ffhf

h h()lim

()()2

220

12

1

2

34X

Y

x

12

7

12

3X

Y

f

3

1

-14

C M

Y K

180

10. Derivades

b)—Per tal de determinar si f és contínua en x =4,hem de comprovar que f compleix les condi-cions de continuïtat:



Com que els límits laterals no coincideixen,no existeix el límit de f en aquest punt.

Atès que no es compleix la segona condició, fno és contínua en x =4.

—Si f no és contínua en x =4, tampoc no pot serderivable.

c)Escrivim f com una funció definida a trossos:

—Vegem si compleixen les condicions de conti-nuïtat per a x =2:


•Existeix el límit en x =2 i és finit:

•El límit coincideix amb la imatge del punt:

Així, tenim que f és contínua en x =2.

—Calculem f�(2) i f�(2+) tenint en compte que fté expressions analítiques diferents a l’es-querra i a la dreta de 2:

=+

=+= lim()

lim()hh

hh

hh

00

444

== limh

hhh 0

24440

=+

= lim()()

h

hh 0

224224

=+

= ffhf

h h()lim

()()2

220

lim()()h

fxf ==2

02

= lim()h

fx2

0

lim()lim()

lim()limhh

hh

fxx

fx +

==

=

22

2

2

40

+==

2

240 () x

fxxsix

xsix()

(,][,)

(=

+2

2

422

4

�

222,)

lim()limhh

fxx ++ ==44

4

lim()lim()hh

fxx =+=+=44

2426

Atès que f�(2) =4 i f�(2+) =4, no existeixf�(2); i, per tant, f no és derivable en x =2.

d)—Per tal de veure si f és contínua en x =0, hemde comprovar que




Com que la segona condició no es verifica, f noés contínua en x =0.

—Atès que f no és contínua en x =0, tampoc nopot ser derivable en x =0.

3.FUNCIÓ DERIVADA

10.Segons la definició de funció derivada, derivada sego-na i derivada tercera, tenim:

•

•

•

=== limlimhh h 00

4400

=+

= fxfxhfx

h h()lim

()()0

=+

=== lim()

limlimhhh

xhxh

h

h 000

44444

=+

= fxfxhfx

h h()lim

()()0

=+

=+= lim()

lim()hh

hxh

hxhx

00

42424

=+++

= limh

xxhhx

h 0

222242424

=+

= lim()()

h

xhxh 0

222424

=+

= fxfxhfx

h h()lim

()()0

lim()limhh

fxx ++ ==00

0

lim()lim()hh

fxx =+=+=00

22414011

=+

=+= ++ lim()

lim()hh

hh

hh

00

444

=++

= + limh

hhh 0

24440

=+

= + lim()()

h

hh 0

222424

=+

=+

+ ffhf

h h()lim

()()2

220

180

10. D

eriv

ades

b) — Per tal de determinar si f és contínua en x = 4,hem de comprovar que f compleix les condi-cions de continuïtat:




Atès que no es compleix la segona condició, fno és contínua en x = 4.

— Si f no és contínua en x = 4, tampoc no pot serderivable.

c) Escrivim f com una funció definida a trossos:

— Vegem si compleixen les condicions de conti-nuïtat per a x = 2:


• Existeix el límit en x = 2 i és finit:

• El límit coincideix amb la imatge del punt:

Així, tenim que f és contínua en x = 2.

— Calculem f�(2 ) i f�(2+) tenint en compte que fté expressions analítiques diferents a l’es-querra i a la dreta de 2:

=+

= + =lim( )

lim ( )h h

h h

hh

0 0

44 4

= =limh

h hh0

24 4 4 0

=+

=lim( ) ( )

h

hh0

2 24 2 2 4

=+

=ff h f

hh( ) lim

( ) ( )2

2 20

lim ( ) ( )h

f x f= =2

0 2

=lim ( )h

f x2

0

lim ( ) lim ( )

lim ( ) limh h

h h

f x x

f x+

= =

=

2 2

2

2

4 0

+=

=

2

2 4 0( )x

f xx si x

x si x( )

( , ] [ , )

(=

+2

2

4 2 2

4

�

22 2, )

lim ( ) limh h

f x x+ +

= =4 4

4

lim ( ) lim ( )h h

f x x= + = + =4 4

2 4 2 6

Atès que f�(2 ) = 4 i f�(2+) = 4, no existeixf�(2); i, per tant, f no és derivable en x = 2.

d) — Per tal de veure si f és contínua en x = 0, hemde comprovar que




Com que la segona condició no es verifica, f noés contínua en x = 0.

— Atès que f no és contínua en x = 0, tampoc nopot ser derivable en x = 0.

3. FUNCIÓ DERIVADA

10. Segons la definició de funció derivada, derivada sego-na i derivada tercera, tenim:

•

•

•

= = =lim limh hh0 0

4 40 0

=+

=f xf x h f x

hh( ) lim

( ) ( )0

=+

= = =lim( )

lim limh h h

x h xh

h

h0 0 0

4 4 44 4

=+

=f xf x h f x

hh( ) lim

( ) ( )0

=+

= + =lim( )

lim ( )h h

h x h

hx h x

0 0

4 24 2 4

=+ + +

=limh

x x h h x

h0

2 2 22 4 2 4 2 4

=+

=lim( ) ( )

h

x h xh0

2 22 4 2 4

=+

=f xf x h f x

hh( ) lim

( ) ( )0

lim ( ) limh h

f x x+ +

= =0 0

0

lim ( ) lim ( )h h

f x x= + = + =0 0

2 24 1 4 0 1 1

=+

= + =+ +

lim( )

lim ( )h h

h h

hh

0 0

44 4

=+ +

=+

limh

h hh0

24 4 4 0

=+

=+

lim( ) ( )

h

hh0

2 22 4 2 4

=+

=+

+f

f h fhh

( ) lim( ) ( )

22 2

0

CM

YK

181

10. Derivades

11. •

•

•

12. Apliquem la definició de derivada per calcular la de-rivada en cadascun dels casos:

•

•

=

+

+=lim

( )

( )h

x x h

x x hh0

3 3

3 3

lim( ) ( )

lim( )

h h

f x h f xh

x h xh

+=

+=

0 0

3 3

1 1

= =2 24 3

x

x x

=+

=+

lim( )

( )lim

h h

x h h

x x h h

x h

x x h0 2 2 0 4 3

2 2

2 ++=

h2

=

+

+=lim

( )

( )lim

h h

x x h

x x hh

x x x h h0

2 2

2 2

0

2 2 2 22

2 2x x h h( )+=

lim( ) ( )

lim( )

h h

f x h f xh

x h xh

+=

+=

0 0

2 2

1 1

=+

= =lim( )h

x x h h

x x h

x

x x0

2 2

3 3

2

6 4

6 6 2 6 6

=+

=lim( )

( )h

h x x h h

h x x h0

2 2

3 3

6 6 2

=+

=lim( )h

x x x h x h h

h x x h0

3 3 2 2 3

3 3

2 2 6 6 2

=+

=

+

+lim

( )lim

( )

(h h

x h xh

x x h

x x h0

3 3

0

3 3

32 2 2 2

))3

h=

=+

=f xf x h f x

hh( ) lim

( ) ( )0

= =2 2

4 3

x

x x

=+

+=

+

+=lim

( )

( )lim

( )h h

h x h

h x x h

x h

x x h0 2 2 0 2 2

2 2

=+ + +

+=lim

( )h

x x x h h

h x x h0

2 2 2

2 2

2

=+

=

+ +

f xx h x

h

x x h

h h( ) lim

( )lim

( )

0

2 2

0

21 1 22

2 2x x hh

( )+=

=+

=+

=lim( )

limh hx x h x x h x0 0 2 2

1 1 1

=

+

+=

+=lim

( )( )

lim( )h h

x x hx x h

hh

h x x h0 0

=+

=+

=f xf x h f x

h

x h x

hh h( ) lim

( ) ( )lim

0 0

1 1

•

13. a)

b)

c)

(f + g) = f + g

14. a) f (x) = (4 x6 3 x2 ln x + cos x) =

= (4 x6) + ( 3 x2) + ( ln x) + (cos x) =

(k f) = k f

= 4 (x6) 3 (x2) (ln x) + (cos x) =

= 24 615x xx

sin x

= + =4 6 3 216 1 2 1x xx

sin x( )

= =15

1

5

45

45x

x

f x x x f x x( ) ( )= = = =515

15

115

= =32

32

12x x

f x x x f x x( ) ( )= = = =332

32

132

= =5566

xx

f xx

x f x x( ) ( )= = = =1

55

5 5 1

= =4 43

8 5

x

x x

=+ + +

limh

x x h x h h

x x h x h x h0

3 2 2 3

8 7 6 2 5 3

4 6 4

4 6 4 ++=

h4

=+

=lim( )

( )h

x x h x h h h

x x h h0

3 2 2 3

4 4

4 6 4

=+

=lim( )h

x x x h x h x h h

x x h h0

4 4 3 2 2 3 4

4

4 6 4

4

=

+

+=lim

( )

( )h

x x h

x x hh0

4 4

4 4

lim( ) ( )

lim( )

h h

f x h f xh

x h xh

+=

+=

0 0

4 4

1 1

= =3 32

6 4

x

x x

=+ + +

=limh

x x h h

x x h x h x h0

2 2

6 5 4 3 3

3 3

3 3

=+

=lim( )

( )h

x x h h h

x x h h0

2 2

3 3

3 3

=+

=lim( )h

x x x h x h h

x x h h0

3 3 2 2 3

3 3

3 3

181

10. D

eriv

ades

11.•

•

•

12.Apliquem la definició de derivada per calcular la de-rivada en cadascun dels casos:

•

•

=

+

+= lim

()

()h

xxh

xxhh 0

33

33

lim()()

lim()

hh

fxhfxh

xhxh

+=

+=

00

33

11

==2243

x

xx

=+

=+

lim()

()lim

hh

xhh

xxhh

xh

xxh 022043

22

2++=

h2

=

+

+= lim

()

()lim

hh

xxh

xxhh

xxxhh0

22

22

0

222

22

22xxhh () +

=

lim()()

lim()

hh

fxhfxh

xhxh

+=

+=

00

22

11

=+

== lim() h

xxhh

xxh

x

xx 0

22

33

2

64

66266

=+

= lim()

() h

hxxhh

hxxh 0

22

33

662

=+

= lim() h

xxxhxhh

hxxh 0

33223

33

22662

=+

=

+

+lim

()lim

()

(hh

xhxh

xxh

xxh0

33

0

33

32222

))3

h=

=+

= fxfxhfx

h h()lim

()()0

==22

43

x

xx

=+

+=

+

+= lim

()

()lim

() hh

hxh

hxxh

xh

xxh 022022

22

=+++

+= lim

() h

xxxhh

hxxh 0

222

22

2

=+

=

++

fxxhx

h

xxh

hh()lim

()lim

()

0

22

0

211

22

22xxh

h() +

=

=+

=+

= lim()

limhh xxhxxhx 0022

111

=

+

+=

+= lim

()()

lim() hh

xxhxxh

hh

hxxh 00

=+

=+

= fxfxhfx

h

xhx

h hh()lim

()()lim

00

11

•

13.a)

b)

c)

(f +g)=f+g

14.a)f(x) =(4 x63 x2ln x +cos x)=

=(4 x6)+(3 x2)+(ln x)+(cos x)=

(k f)=k f

=4 (x6)3 (x2)(ln x)+(cos x)=

=2461 5

xxx

sinx

=+= 46321 6121

xxx

sinx ()

==15

1

5

45

4 5 xx

fxxxfxx ()() ====5

15

15

1 15

==32

32

12 xx

fxxxfxx ()() ====3

32

32

1 32

== 55 66 x

x

fxx

xfxx ()() ====1

5 5551

==44

3

85

x

xx

=+++

limh

xxhxhh

xxhxhxh 0

3223

876253

464

464++=

h4

=+

= lim()

() h

xxhxhhh

xxhh 0

3223

44

464

=+

= lim() h

xxxhxhxhh

xxhh 0

4432234

4

464

4

=

+

+= lim

()

()h

xxh

xxhh 0

44

44

lim()()

lim()

hh

fxhfxh

xhxh

+=

+=

00

44

11

==33

2

64

x

xx

=+++

= limh

xxhh

xxhxhxh 0

22

65433

33

33

=+

= lim()

() h

xxhhh

xxhh 0

22

33

33

=+

= lim() h

xxxhxhh

xxhh 0

33223

33

33

C M

Y K

182

10. Derivades

b)

(f g)=fg +f g

15.a)

b)

c)(g�f)=(g�f) f=((ln x)�(5 x4)) (5 x4)=

d)(f�g)=(f�g) g=((5 x4)�(ln x)) (ln x)=

16.a)f (x) =arc cos x és la inversa de g (x) =cos x. Pertant:

Pel teorema fonamental de la trigonometria, sa-bem que:

I, per tant:

Aleshores:

= fxx

()1

12

=12

x

== sinarcxarcx (cos)cos(cos) 12

sinxx =12

cos

== fxgfxsinarcx

()(())(cos)

11

== (()(ln))ln

54120 3

3

xxx

xx

�

===1

5541

520

4 434

3

xxx

xx

x�()()

==514

25

14

5

3

85

xx

x

x

x

(ln)ln

==

1554

25

43

8x

xxx

x

ln

gf

gfgf

f

xxxx== 2

4455 (ln)ln(

=)

() 542

x

=541

3

2

xx

x

(ln)

(ln)

==

5451

205414

2

33 xxxx

x

xxx ln

(ln)

ln

(ln)x2=

fg

fgfg

g

xxxx== 2

4455 ()ln(ln

=)

(ln)x2

==+

xxx

x

35

3 5

25

125

5ln

ln

=+=+=25

125

25

125

35

25

1xxx

xxxx lnln

=()+= xxxx25

25 ln(ln)

=()=()+= fxxxxxxx ()lnln(ln)2 52 52 5b)f (x) =arc tg x és la funció inversa de g (x) =tg x.

Atès que g�(x) =(tg x)�=1 +tg2x, tenim:

c)f (x) =arc cotg x és la funció inversa deg(x) =

Atès que

=1 cotg2x, tenim:

17.a)Calculem la funció inversa de f:

f (x) =2xln f (x) =ln (2x) =x ln 2

Així, doncs, la inversa de f és

Atès que

(k f)=k f

tenim

b)Com que y =exx =ln y, la funció inversa de f(x) =exés g (x) =ln x.

Atès que

tenim

c)és la inversa de g (x) =x2.

Atès que:

g(x) =(x2)=2 x21=2 x

fxx ()=

==== fxgfx

fx

fxex

()(())

()

()11

1

== gxxx

()(ln),1

=== fxgfx

fx

x()

(())()ln

ln11

12

22

==1

211

2 lnln xx

=== gxx

x ()lnlnln

(ln)2

12

gxx

()lnln

. =2

= xfx1

2 lnln()

=+

=+

1

1

1

122

[()] cotgcotg arcxx

=+

=1

12

cotgcotg () arcx

=== fxgfxfx

()(())(())

11

12

cotg

=== gxxtgx

()() cotg1

== cotg. xtgx

1

=+

1

12

x

=+

=+

=1

1

1

122

tgarctgxtgarctgx ()[()]

==+

= fxgfxtgfx

()(())(())

11

12

182

10. D

eriv

ades

b)

(f g) = f g + f g

15. a)

b)

c) (g � f) = (g � f) f = ((ln x) � (5 x4)) (5 x4) =

d) (f � g) = (f � g) g = ((5 x4) � (ln x)) (ln x) =

16. a) f (x) = arc cos x és la inversa de g (x) = cos x. Pertant:

Pel teorema fonamental de la trigonometria, sa-bem que:

I, per tant:

Aleshores:

=f xx

( )1

1 2

= 1 2x

= =sin arc x arc x( cos ) cos ( cos )1 2

sin x x= 1 2cos

= =f xg f x sin arc x

( )( ( )) ( cos )

1 1

= =(( ) (ln ))ln

5 41 203

3

x xx

xx

�

= = =1

5 5 41

520

44 34

3

xx x

xx

x� ( ) ( )

= =5 1 4

25

1 4

5

3

8 5

x x

x

x

x

( ln ) ln

= =

15 5 4

25

4 3

8x

x x x

x

ln

gf

g f g f

f

x x x x= =

2

4 45 5(ln ) ln (=

)

( )5 4 2x

=5 4 13

2

x x

x

( ln )

(ln )

= =

5 4 51

20 54 1 4

2

3 3x x xx

x

x x xln

(ln )

ln

(ln )x 2=

fg

f g f g

g

x x x x= =

2

4 45 5( ) ln (ln=

)

(ln )x 2

= =+

x xx

x

35

35

25

12 5

5ln

ln

= + = + =25

1 25

25

125

35

25

1x x x

xx x xln ln

= ( ) + =x x x x25

25ln (ln )

= ( ) = ( ) + =f x x x x x x x( ) ln ln (ln )25 25 25 b) f (x) = arc tg x és la funció inversa de g (x) = tg x.

Atès que g�(x) = (tg x)� = 1 + tg2 x, tenim:

c) f (x) = arc cotg x és la funció inversa de g (x) =

Atès que

= 1 cotg2 x, tenim:

17. a) Calculem la funció inversa de f:

f (x) = 2x ln f (x) = ln (2x) = x ln 2

Així, doncs, la inversa de f és

Atès que

(k f) = k f

tenim

b) Com que y = ex x = ln y, la funció inversa de f (x) = ex és g (x) = ln x.

Atès que

tenim

c) és la inversa de g (x) = x2.

Atès que:

g (x) = (x2) = 2 x2 1 = 2 x

f x x( ) =

= = = =f xg f x

f x

f x ex( )( ( ))

( )

( )1 1

1

= =g x xx

( ) (ln ) ,1

= = =f xg f x

f x

x( )( ( ))

( ) ln

ln1 1

12

2 2

= =1

21 1

2ln lnx x

= = =g xx

x( )lnln ln

(ln )2

12

g xx

( )lnln

.=2

=x f x1

2lnln ( )

=+

=+

1

1

1

12 2[ ( )]cotg cotgarc x x

=+

=1

1 2cotg cotg( )arc x

= = =f xg f x f x

( )( ( )) ( ( ))

1 1

1 2cotg

= = =g x xtg x

( ) ( )cotg1

= =cotg .xtg x

1

=+

1

1 2x

=+

=+

=1

1

1

12 2tg arc tg x tg arc tg x( ) [ ( )]

= =+

=f xg f x tg f x

( )( ( )) ( ( ))

1 1

1 2

CM

YK

183

10. Derivades

Per tant:

Observem que, efectivament, obtenim el resultatque ja coneixem en els tres casos.

18. a) Com que és una funció exponencial-potencial es-trictament positiva, utilitzem el mètode de deriva-ció logarítmica:

— Prenem logaritmes neperians als dos costats dela igualtat i n’apliquem les propietats:

f (x) = x2 x 1 ln f (x) = ln (x2 x 1) =

= (2 x 1) ln x

— Derivem els dos costats de la igualtat:

— Aïllem f�(x) i substituïm f(x) per la seva ex-pressió analítica:

b) Com que és una funció exponencial-potencial es-trictament positiva, utilitzem el mètode de deriva-ció logarítmica.

— Prenem logaritmes neperians als dos costats dela igualtat i n’apliquem les propietats:

f (x) = (cos x)x

ln f (x) = ln [(cos x)x] = x ln (cos x)

— Derivem els dos costats de la igualtat:

= ln (cos x) x tg x

— Aïllem f�(x) i substituïm f (x) per la seva ex-pressió analítica:

f (x) = f (x) [ln (cos x) x tg x] =

= (cos x)x [ln (cos x) x tg x]

1f x

f x x x tg x( )

( ) ln (cos )=

= + =11

ln (cos )cos

( )x xx

sin x

1f x

f x( )

( ) =

= +x xx

x2 1 2 21

ln

= + =f x f x xx

( ) ( ) ln2 21

12 2

1f x

f x xx( )

( ) ln= +

= +2 21

ln xx

12 2 1

1f x

f x x xx( )

( ) ln ( )= + =

= = =f xg f x f x x

( )( ( )) ( )

1 12

1

2

19. Com que es tracta d’una funció donada en forma im-plícita, utilitzem el mètode de derivació implícita:

— Derivem els dos membres de la igualtat, conside-rant que y és funció de x, i apliquem la regla de lacadena:

(x2 + y2 3 x + 4 y 10) = 0

2 x + 2 y y 3 + 4 y 0 = 0

— Aïllem y�:

4. DIFERENCIAL D’UNA FUNCIÓ

20. Considerem la funció r0 = 1 m i

h = 5 mm = 0,005 m

Apliquem el concepte de la diferencial d’una funció:

V � d V = V (r0) h

i, ja que substituint aquests

valors:

d V = 4 r02 h = 4 12 0,005 = 0,0628 m

Aquest valor és una aproximació força bona a l’incre-ment exacte:

V = V (r0 + h) V (r0) =

21. Considerem la funció ih = 0,02.

Atès que aplicant l’aproximació de l’in-

crement, � f, per la diferencial, df, tenim:

f (x0 + h) f (x0) + f (x0) h =

que és una bona aproximació del valor exacte:


22. Calculem les primeres derivades de f per tal d’intuirl’expressió de la derivada enèsima:

f (x) = 1 ex + x ex = (1 + x) ex

f (x) = (0 + 1) ex + (1 + x) ex = (2 + x) ex

f (x) = ex + (2 + x) ex = (3 + x) ex

15 98 3 997 499, , ...=

= + =41

2 160 02 3 997 5( , ) ,

=f xx

( ) ,1

2

f x x x( ) ,= =0 16

= =43

1 00543

13 0 06313( , ) , m

=V r r r( ) ,43

43 2=

V r r( ) ,=43

3

( )2 4 2 3 03 22 4

y y x yx

y+ + = =

+

183

10. D

eriv

ades

Per tant:

Observem que, efectivament, obtenim el resultatque ja coneixem en els tres casos.

18.a)Com que és una funció exponencial-potencial es-trictament positiva, utilitzem el mètode de deriva-ció logarítmica:

—Prenem logaritmes neperians als dos costats dela igualtat i n’apliquem les propietats:

f (x) =x2 x1ln f(x) =ln (x2 x1) =

=(2 x 1) ln x

—Derivem els dos costats de la igualtat:

—Aïllem f�(x) i substituïm f(x) per la seva ex-pressió analítica:

b)Com que és una funció exponencial-potencial es-trictament positiva, utilitzem el mètode de deriva-ció logarítmica.

—Prenem logaritmes neperians als dos costats dela igualtat i n’apliquem les propietats:

f(x) =(cos x)x

ln f (x) =ln [(cos x)x] =x ln (cos x)

—Derivem els dos costats de la igualtat:

=ln (cos x) x tg x

—Aïllem f�(x) i substituïm f (x) per la seva ex-pressió analítica:

f(x) =f (x) [ln (cos x) x tg x] =

=(cos x)x[ln (cos x) x tg x]

1fx

fxxxtgx()

()ln(cos) =

=+= 11

ln(cos)cos

() xxx

sinx

1fx

fx()

()=

=+ xxx

x 2122

1ln

=+= fxfxxx

()()ln 221

122

1fx

fxxx ()

()ln =+

=+ 221

lnxx

1221

1fx

fxxxx ()

()ln() =+=

=== fxgfxfxx

()(())()

112

1

2

19.Com que es tracta d’una funció donada en forma im-plícita, utilitzem el mètode de derivació implícita:

—Derivem els dos membres de la igualtat, conside-rant que y és funció de x, i apliquem la regla de lacadena:

(x2+y23 x +4 y 10)=0

2 x +2 y y3 +4 y0 =0

—Aïllem y�:

4.DIFERENCIAL D’UNA FUNCIÓ

20.Considerem la funció r0=1 m i

h =5 mm =0,005 m

Apliquem el concepte de la diferencial d’una funció:

V �d V =V(r0) h

i, ja que substituint aquests

valors:

d V =4 r02

h =4 120,005 =0,0628 m

Aquest valor és una aproximació força bona a l’incre-ment exacte:

V =V (r0+h) V (r0) =

21.Considerem la funcióih =0,02.

Atès que aplicant l’aproximació de l’in-

crement, �f, per la diferencial, df, tenim:

f (x0+h) f(x0) +f(x0) h =



22.Calculem les primeres derivades de f per tal d’intuirl’expressió de la derivada enèsima:

f(x) =1 ex+x ex=(1 +x) ex

f(x) =(0 +1) ex+(1 +x) ex=(2 +x) ex

f(x) =ex+(2 +x) ex=(3 +x) ex

15983997499 ,,... =

=+= 41

21600239975 (,),

= fxx

(),1

2

fxxx (), == 016

==43

100543

13006313

(,),m

= Vrrr (),43

432

=

Vrr (), =43

3

() 242303224

yyxyx

y++==

+

C M

Y K

184

10. Derivades

Si observem aquestes expressions, podem proposarcom a expressió general la següent:

f(n)(x) =(n +x) ex

Demostrarem ara que aquesta expressió és la soluciódel problema. Utilitzarem el mètode d’inducció com-pleta:

—Demostrem que és certa per a n =1:

f(x) =(1 +x) ex

—Suposem que és certa per a n =k (hipòtesi d’in-ducció):

f(k)(x) =(k +x) ex

—Comprovem que si és certa per a n =k és certa tam-bé per a n =k +1. Per a fer-ho, derivem l’expressióde f(k):

f(k+1)(x) =(f(k)(x))=((k +x) ex)=

=(k +x)ex+(k +x) (ex)=

=(0 +1) ex+(k +x) ex=

=(1 +k +x) ex=((k +1) +x) ex

Efectivament, hem obtingut el resultat que preteníemdemostrar.

23.No és possible aïllar una variable en funció de l’altra.Es tracta, doncs, d’una funció implícita. Apliquem elmètode de derivació implícita:

—Considerem que y és funció de x i derivem els dosmembres de la igualtat:

(x2+y24 x 6 y 12)=0

2 x +2 y y4 6 y=0

—Operem i aïllem y�:

Si substituïm les coordenades del punt P=(5,1),ob-tenim el valor del pendent per a x =5:

L’equació general de la recta tangent és:

3 x 4 y 19 =0

24.Com que la recta ha de ser tangent a la circumferèn-cia en el punt P =(4, 2), aquest punt P és un punt dela recta i, a més, el pendent de la recta coincidirà ambla derivada de la funció que defineix la circumferèn-cia en x =4.

Com que es tracta d’una funció implícita, aplicarem elmètode de derivació implícita.

yymxxyx =+= 00134

5 ()()

== y(,) 512513

34

() 26424226

23

yyxyx

yx

y===

—Considerem que y és funció de x i derivem els dosmembres de la igualtat:

(x2+y28 x 2 y +8)=0

2 x +2 y y8 2 y=0

—Operem i aïllem y�:

Si substituïm les coordenades del puntP=(4,2),ob-tenim el valor del pendent de la recta tangent a lacircumferència en aquest punt:

L’equació de la recta tangent és:

y (2) =0 (x 4) y +2 =0

25.Considerem la funció en què f(x) i

g(x) són estrictament positives. Apliquem el mètodede derivació logarítmica per calcular h�(x):

—Prenem logaritmes neperians en els dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:

—Derivem als dos costats de la igualtat:

—Aïllem h�(x) i substituïm h(x) per la seva expres-sió:

Finalment, com que

26.L’equació de la recta tangent a la gràfica de f en x =aés y f (a) =f�(a) (x a).

Per tant, si a =1, la recta tangent és:

y f (1) =f(1) (x 1)

=fxgxfxgx

gx

()()()()

()2

==fxgx

fxgx

gx

()()

()()

()2

= hxfxgxfx

fxgx

gx ()()()()

()()

()11

=

hxfxgx

()()()

=:

= hxhxfx

fxgx

gx ()()()

()()

()11

111hx

hxfx

fxgx

gx()

()()

()()

() =

ln()ln()()

ln()ln() hxfxgx

fxgx ==

hxfx

gx()

()

(), =

== y(,) 424421

0

() 22828222

41

yyxyx

yx

y===

184

10. D

eriv

ades

Si observem aquestes expressions, podem proposarcom a expressió general la següent:

f(n) (x) = (n + x) ex

Demostrarem ara que aquesta expressió és la soluciódel problema. Utilitzarem el mètode d’inducció com-pleta:

— Demostrem que és certa per a n = 1:

f (x) = (1 + x) ex

— Suposem que és certa per a n = k (hipòtesi d’in-ducció):

f(k) (x) = (k + x) ex

— Comprovem que si és certa per a n = k és certa tam-bé per a n = k + 1. Per a fer-ho, derivem l’expressióde f(k):

f(k+1) (x) = (f(k)(x)) = ((k + x) ex) =

= (k + x) ex + (k + x) (ex) =

= (0 + 1) ex + (k + x) ex =

= (1 + k + x) ex = ((k + 1) + x) ex

Efectivament, hem obtingut el resultat que preteníemdemostrar.

23. No és possible aïllar una variable en funció de l’altra.Es tracta, doncs, d’una funció implícita. Apliquem elmètode de derivació implícita:

— Considerem que y és funció de x i derivem els dosmembres de la igualtat:

(x2 + y2 4 x 6 y 12) = 0

2 x + 2 y y 4 6 y = 0

— Operem i aïllem y�:

Si substituïm les coordenades del punt P=(5, 1), ob-tenim el valor del pendent per a x = 5:

L’equació general de la recta tangent és:

3 x 4 y 19 = 0

24. Com que la recta ha de ser tangent a la circumferèn-cia en el punt P = (4, 2), aquest punt P és un punt dela recta i, a més, el pendent de la recta coincidirà ambla derivada de la funció que defineix la circumferèn-cia en x = 4.

Com que es tracta d’una funció implícita, aplicarem elmètode de derivació implícita.

y y m x x y x= + =0 0 134

5( ) ( )

= =y( , )5 12 51 3

34

( )2 6 4 24 22 6

23

y y x yx

yx

y= = =

— Considerem que y és funció de x i derivem els dosmembres de la igualtat:

(x2 + y2 8 x 2 y + 8) = 0

2 x + 2 y y 8 2 y = 0

— Operem i aïllem y�:

Si substituïm les coordenades del puntP=(4, 2), ob-tenim el valor del pendent de la recta tangent a lacircumferència en aquest punt:

L’equació de la recta tangent és:

y ( 2) = 0 (x 4) y + 2 = 0

25. Considerem la funció en què f(x) i

g(x) són estrictament positives. Apliquem el mètodede derivació logarítmica per calcular h�(x):

— Prenem logaritmes neperians en els dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:

— Derivem als dos costats de la igualtat:

— Aïllem h�(x) i substituïm h(x) per la seva expres-sió:

Finalment, com que

26. L’equació de la recta tangent a la gràfica de f en x = aés y f (a) = f�(a) (x a).

Per tant, si a = 1, la recta tangent és:

y f (1) = f (1) (x 1)

=f x g x f x g x

g x

( ) ( ) ( ) ( )

( )2

= =f xg x

f x g x

g x

( )( )

( ) ( )

( )2

=h xf xg x f x

f xg x

g x( )( )( ) ( )

( )( )

( )1 1

=

h xf xg x

( )( )( )

= :

=h x h xf x

f xg x

g x( ) ( )( )

( )( )

( )1 1

1 1 1h x

h xf x

f xg x

g x( )

( )( )

( )( )

( )=

ln ( ) ln( )( )

ln ( ) ln ( )h xf xg x

f x g x= =

h xf x

g x( )

( )

( ),=

= =y( , )4 24 42 1

0

( )2 2 8 28 22 2

41

y y x yx

yx

y= = =

CM

YK

185

10. Derivades


• f (1) = 13 9 1 = 8

• f (x) = 3 x2 9 f (1) = 3 12 9 = 6

Si substituïm aquests valors en l’equació de la recta, te-nim:

y ( 8) = 6 (x 1) y = 6 x 2

La recta normal a la gràfica de f en x = a és la perpen-dicular a la recta tangent a f en aquest punt. Alesho-res, la seva equació és:

En particular, si a = 1:

Substituint f (1) i f�(1) pel seu valor, tenim:

— La recta tangent serà paral.lela a l’eix d’abscisses siel seu pendent coincideix amb el pendent d’aquesteix, és a dir, m = 0.

Es tracta, doncs, de calcular en quins punts la de-rivada de f val 0.

Els punts són:

27. — Perquè f (x) sigui contínua en x = 4, s’han de com-plir les condicions següents:

• Ha d’existir f (4):

f (4) = 6 � 4 + b = 24 + b, que existeix per a qual-sevol b �.

• Ha d’existir el límit de f en x = 4 i ha ser finit:

= 2 42 + 4 a + 5 = 4 a + 37

Perquè existeixi el límit, han de coincidir els doslímits laterals. Així, doncs:

• S’ha de complir

24 + b = 4 a + 37 = b + 24

Així, f és contínua en x = 4 b + 24 = 4 a + 37.

f f x f xx x

( ) lim ( ) lim ( )44 4

= =+

:

lim ( ) lim ( )x x

f x f x a b= + = +4 4

4 37 24

lim ( ) lim ( )x x

f x x b b b+ +

= + = + = +4 4

6 6 4 24

lim ( ) lim ( )x x

f x x a x= + + =4 4

22 5

M

N

=

=

( , )

( , )

3 6 3

3 6 3

= = = ±f x x x( ) 0 3 9 0 32

y x yx

= =( ) ( )816

16

496

y ff

x=( )( )

( )111

1

y f af a

x a=( )( )

( )1

— Perquè f (x) sigui contínua en x = 6, s’ha de com-plir:

• Ha d’existir f (6):

f (6) = 6 � 6 + b = 36 + b, que existeix per a qual-sevol b �.

• Ha d’existir el límit de f en x = 6 i ha de ser finit:


b + 36 = 9 b = 27

• S’ha de complir

36 + b = 9 b = 27

Així, f és contínua en x = 6 b = 27.

Per tant, f és contínua en x = 4 i x = 6 si:

— Perquè f sigui derivable en x = 4, han de coincidirles derivades laterals de f en aquest punt:

Com que f�(4 ) = f�(4+), existeix f�(4) = 6. Alesho-res, f és derivable en x = 4.

— Perquè f sigui derivable en x = 6, han de coincidirles derivades laterals de f en aquest punt:

=+

= =+ +

lim( ) ( )

limh h

hh

h

h0 0

6 4 27 3 66

=+

=+

+f

f h fhh

( ) lim( ) ( )

44 4

0

= + =lim ( )h

h0

2 6 6

=+

=+

=lim lim( )

h h

h hh

h h

h0

2

0

2 6 2 6

=+ + +

=lim( ) ( ) ( )

h

h hh0

22 4 10 4 5 3

=+

=ff h f

hh( ) lim

( ) ( )4

4 40

b

b aa i b

=

+ = += =

27

24 4 3710 27

f f xx

( ) lim ( )66

= :

lim ( ) lim ( )x x

f x f x+

=6 6

lim ( ) lim ( )x x

f x x+ +

= + = + =6 6

2 245 6 45 9

lim ( ) lim ( )x x

f x x b b b= + = + = +6 6

6 6 6 36

185

10. D

eriv

ades


•f (1) =139 1 =8

•f(x) =3 x29 f(1) =3 129 =6

Si substituïm aquests valors en l’equació de la recta, te-nim:

y (8) =6 (x 1) y =6 x 2

La recta normal a la gràfica de f en x =a és la perpen-dicular a la recta tangent a f en aquest punt. Alesho-res, la seva equació és:

En particular, si a =1:

Substituint f (1) i f�(1) pel seu valor, tenim:

—La recta tangent serà paral.lela a l’eix d’abscisses siel seu pendent coincideix amb el pendent d’aquesteix, és a dir, m =0.

Es tracta, doncs, de calcular en quins punts la de-rivada de f val 0.

Els punts són:

27.—Perquè f (x) sigui contínua en x =4, s’han de com-plir les condicions següents:

•Ha d’existir f (4):

f (4) =6 �4 +b =24 +b, que existeix per a qual-sevol b �.

•Ha d’existir el límit de f en x =4 i ha ser finit:

=2 42+4 a +5 =4 a +37


•S’ha de complir

24 +b =4 a +37 =b +24

Així, f és contínua en x =4 b +24 =4 a +37.

ffxfxxx

()lim()lim() 444

==+:

lim()lim()xx

fxfxab =+=+44

43724

lim()lim()xx

fxxbbb ++ =+=+=+44

66424

lim()lim()xx

fxxax =++=44

225

M

N

=

=

(,)

(,)

363

363

===± fxxx ()039032

yxyx

== ()() 816

16

496

yff

x = ()()

() 111

1

yfafa

xa = ()()

()1

—Perquè f (x) sigui contínua en x =6, s’ha de com-plir:

•Ha d’existir f (6):

f (6) =6 �6 +b =36 +b, que existeix per a qual-sevol b �.

•Ha d’existir el límit de f en x =6 i ha de ser finit:


b +36 =9 b =27

•S’ha de complir

36 +b =9 b =27

Així, f és contínua en x =6 b =27.

Per tant, f és contínua en x =4 i x =6 si:

—Perquè f sigui derivable en x =4, han de coincidirles derivades laterals de f en aquest punt:

Com que f�(4) =f�(4+), existeix f�(4) =6. Alesho-res, f és derivable en x =4.

—Perquè f sigui derivable en x =6, han de coincidirles derivades laterals de f en aquest punt:

=+

== ++ lim()()

limhh

hh

h

h 00

6427366

=+

=+

+ ffhf

h h()lim

()()4

440

=+= lim()h

h0

266

=+

=+

= limlim()

hh

hhh

hh

h 0

2

0

2626

=+++

= lim()()()

h

hhh 0

22410453

=+

= ffhf

h h()lim

()()4

440

b

baaib

=

+=+==

27

244371027

ffxx

()lim() 66

=:

lim()lim()xx

fxfx + =66

lim()lim()xx

fxx ++ =+=+=66

22456459

lim()lim()xx

fxxbbb =+=+=+66

66636

C M

Y K

186

10. Derivades

Com que f�(6) �f�(6+), no existeix f�(6). Alesho-res, f no és derivable en x =6.

ACTIVITATS

Abans de començar

•Taxa de variació mitjana (pàg. 210); taxa de variació ins-tantània (pàg. 212); derivada d’una funció en un punt(pàg. 212); derivades laterals (pàg. 214); funció derivada(pàg. 216); diferencial d’una funció (pàg. 222).

•Interpretació geomètrica de la taxa de variació mitjanad’una funció en un interval (pàg. 211); derivada d’unafunció en un punt (pàg. 213).

•Derivació logarítmica i derivació implícita (pàg. 221).

Qüestions

28.La gràfica d’una funció derivable no pot tenir una tan-gent vertical en cap dels seus punts, ja que el pendentd’una recta vertical no està definit (en tot cas és ),però com que la funció és derivable, la derivada de lafunció en cada punt és finita i, per tant, existeix el pen-dent de la recta tangent a la gràfica de la funció.

Contràriament, la gràfica d’una funció derivable sí quepot tenir una tangent horitzontal. Per exemple, la fun-ció f (x) =1 té com a recta tangent a la seva gràfica enqualsevol punt la recta y =1, que és horitzontal.

29.Escrivim f (x) =� x �com una funció definida a trossos:

Observem que f és contínua i derivable en �{0}.Així, només hem d’estudiar la continuïtat i derivabili-tat en x =0.

Comprovem si f compleix les tres condicions de con-tinuïtat en x =0.

•Existeix f (0): f (0) =0.

•Existeix el límit de f en x =0 i és finit:

fxxsix

xsix()=

<0

0

=== ++ limlim()hh

hh

hh

0

2

0

121212

=++

= + lim()

h

hh 0

26459

=+

=+

+ ffhf

h h()lim

()()6

660

=+

== lim()

limhh

hh

h

h 00

6627966

=+

= ffhf

h h()lim

()()6

660

•

Per tal de veure si f és derivable en x =0 vegem si coin-cideixen les seves derivades laterals:

•

•

Com que és a dir, f no és de-rivable en x =0.

Per tant, f és contínua �x�i derivable �x�{0}.

30.No, ja que pot ser que les derivades laterals siguin +(o ), de manera que coincidirien i, en canvi, la fun-ció no seria derivable en aquest punt. S’ha de dema-nar, doncs, que les derivades laterals existeixin, coin-cideixin i siguin finites.


31.a)

b)

c)

===lnlnln

ln21

1201

2

TVMff

[,]()()

122121

==

===1121

309

33

33(())()

TVMff

[,]()()

()== 21

1212

==000990

001099

,,

,

=++

=40194012049420

001

22,,()

,

TVMff

[,,](,)()

,4401

40144014

==

+fff ()()(), 000

== limh0

11

=+

== lim()

limhh

hh

hh 00

00

=+

= ffhf

h h()lim

()()0

000

=+

=== +++ lim()

limlimhhh

hh

hh 000

0011

=+

=+

+ ffhf

h h()lim

()()0

000

lim()()lim()()xx

fxffxf ===00

000 :

= lim()x

fx0

0

lim()lim

lim()lim(xx

xx

fxx

fx

++ ==

=

00

00

0

xx)== 00

186

10. D

eriv

ades

Com que f�(6 ) � f�(6+), no existeix f�(6). Alesho-res, f no és derivable en x = 6.

ACTIVITATS

Abans de començar

• Taxa de variació mitjana (pàg. 210); taxa de variació ins-tantània (pàg. 212); derivada d’una funció en un punt(pàg. 212); derivades laterals (pàg. 214); funció derivada(pàg. 216); diferencial d’una funció (pàg. 222).

• Interpretació geomètrica de la taxa de variació mitjanad’una funció en un interval (pàg. 211); derivada d’unafunció en un punt (pàg. 213).

• Derivació logarítmica i derivació implícita (pàg. 221).

Qüestions

28. La gràfica d’una funció derivable no pot tenir una tan-gent vertical en cap dels seus punts, ja que el pendentd’una recta vertical no està definit (en tot cas és ),però com que la funció és derivable, la derivada de lafunció en cada punt és finita i, per tant, existeix el pen-dent de la recta tangent a la gràfica de la funció.

Contràriament, la gràfica d’una funció derivable sí quepot tenir una tangent horitzontal. Per exemple, la fun-ció f (x) = 1 té com a recta tangent a la seva gràfica enqualsevol punt la recta y = 1, que és horitzontal.

29. Escrivim f (x) = � x � com una funció definida a trossos:

Observem que f és contínua i derivable en � {0}.Així, només hem d’estudiar la continuïtat i derivabili-tat en x = 0.

Comprovem si f compleix les tres condicions de con-tinuïtat en x = 0.

• Existeix f (0): f (0) = 0.

• Existeix el límit de f en x = 0 i és finit:

f xx si x

x si x( ) =

< 0

0

= = =+ +

lim lim ( )h h

h h

hh

0

2

0

1212 12

=+ +

=+

lim( )

h

hh0

26 45 9

=+

=+

+f

f h fhh

( ) lim( ) ( )

66 6

0

=+

= =lim( )

limh h

hh

h

h0 0

6 6 27 9 66

=+

=ff h f

hh( ) lim

( ) ( )6

6 60

•

Per tal de veure si f és derivable en x = 0 vegem si coin-cideixen les seves derivades laterals:

•

•

Com que és a dir, f no és de-rivable en x = 0.

Per tant, f és contínua � x � i derivable � x � {0}.

30. No, ja que pot ser que les derivades laterals siguin +(o ), de manera que coincidirien i, en canvi, la fun-ció no seria derivable en aquest punt. S’ha de dema-nar, doncs, que les derivades laterals existeixin, coin-cideixin i siguin finites.


31. a)

b)

c)

= = =ln ln ln

ln2 1

12 01

2

TVMf f

[ , ]( ) ( )

1 22 12 1

= =

= = =1 1 2 1

30 9

33

3 3(( ) ) ( )

TVMf f

[ , ]( ) ( )

( )= =2 1

1 21 2

= =0 009 9 0

0 010 99

,,

,

=+ +

=4 01 9 4 01 20 4 9 4 20

0 01

2 2, , ( ),

TVMf f

[ , , ]( , ) ( )

,4 4 01

4 01 44 01 4

= =

+f f f( ) ( ) ( ),0 0 0

= =limh 0

1 1

=+

= =lim( )

limh h

hh

hh0 0

0 0

=+

=ff h f

hh( ) lim

( ) ( )0

0 00

=+

= = =+ + +

lim( )

lim limh h h

hh

hh0 0 0

0 01 1

=+

=+

+f

f h fhh

( ) lim( ) ( )

00 0

0

lim ( ) ( ) lim ( ) ( )x x

f x f f x f= = =0 0

0 0 0:

=lim ( )x

f x0

0

lim ( ) lim

lim ( ) lim (x x

x x

f x x

f x

+ += =

=

0 0

0 0

0

xx) = =0 0

CM

YK

187

10. Derivades

32. a)

b)

33. Calcularem la derivada de en el puntx = 0 a partir de la definició:

Per tal d’eliminar la indeterminació, multipliquem nu-merador i denominador pel conjugat del numerador:

34. a)

= + =+1

22

12

2(ln ( ) ln ) lnb b

bb

=+ +

=ln ( ) ln ( )2 0

2b b

TVMf f

[ , ]( ) ( )

0 22 02 0

= =

=+ +

= =limh

h

h0 21 1

02

0

=+ +

=lim( )h

h

h h0

2

21 1

=+

+ +=lim

( )h

h

h h0

2 2

2

1 1

1 1

=+ + +

+ +=lim

( ) ( )

( )h

h h

h h0

2 2

2

1 1 1 1

1 1

=+

=fhhh

( ) lim01 1

0

2

=+

=limh

hh0

21 1 00

=+ + +

=lim( )

h

hh0

2 21 0 1 0

=+

=ff h f

hh( ) lim

( ) ( )0

0 00

f x x( ) = +1 2

=+

=limh h0

23 9

29

=+ +

+=

+lim

( ) ( )( )

lim( )h h

h hh h

h

h h0 0

3 1 33 3

2

3 3==

=

+

+ =limh

hh

h0

13

13

=

+

+ + +=lim

h

hh

h0

2 12 1

2 12 1

=+

=gg h g

hh( ) lim

( ) ( )2

2 20

= + =lim ( )h

h0

3 12 12

=+

=+

=lim lim( )

h h

h hh

h h

h0

2

0

3 12 3 12

=+

=lim( ) ( )

h

hh0

2 23 2 1 3 2 1

=+

=ff h f

hh( ) lim

( ) ( )2

2 20

Perquè TVM [0, 2] = ln 2, s’ha de complir:

= ln 22 = ln 4

i com que la funció ln x és injectiva, aquesta con-dició és equivalent a:

b) La taxa de variació instantània és la derivada de lafunció en el punt:

= =38

38

ln e

= + =ln lim lh

h

h0

83

38

118

3

nn ( )e38 =

= + =ln limh

hh0

1

138

=

+

= + =lim ln lim lnh h

h

h

h h0 0

1

183

83

138

= + =lim ln lnh h

h0

1 83

83

=

+ + +

=limln ln

h

h

h0

223

223

=+

=ff h f

hh( ) lim

( ) ( )2

2 20

= =32

32

ln e

= + =ln lim lh

h

h0

23

32

112

3

nn( )e32 =

=+

= +ln lim ln limh

h

h

h

h0

1

0

3 22

112

3

=

1h

=

+

=+

=lim ln lim lnh h

h

h

h h0 0

1

123

23

3 22

= + =lim ln lnh h

h0

1 23

23

=

+ + +

=limln ln

h

h

h0

023

023

=+

=ff h f

hh( ) lim

( ) ( )0

0 00

24

23

+= =

bb

b

12

22

22 2ln ln ln ln

+=

+= =

bb

bb

187

10. D

eriv

ades

32.a)

b)

33.Calcularem la derivada deen el puntx =0 a partir de la definició:

Per tal d’eliminar la indeterminació, multipliquem nu-merador i denominador pel conjugat del numerador:

34.a)

=+=+ 1

22

12

2(ln()ln)ln bb

bb

=++

=ln()ln() 20

2bb

TVMff

[,]()()

022020

==

=++

== limh

h

h 0211

02

0

=++

= lim() h

h

hh 0

2

211

=+

++= lim

() h

h

hh 0

22

2

11

11

=+++

++= lim

()()

() h

hh

hh 0

22

2

1111

11

=+

= fhh h

()lim 011

0

2

=+

= limh

hh 0

2110

0

=+++

= lim()

h

hh 0

221010

=+

= ffhf

h h()lim

()()0

000

fxx ()=+ 12

=+

= limhh 0

239

29

=++

+=

+lim

()()()

lim() hh

hhhh

h

hh 00

31333

2

33==

=

+

+= limh

hh

h 0

13

13

=

+

+++= lim

h

hh

h 0

2121

2121

=+

= gghg

h h()lim

()()2

220

=+= lim()h

h0

31212

=+

=+

= limlim()

hh

hhh

hh

h 0

2

0

312312

=+

= lim()()

h

hh 0

22321321

=+

= ffhf

h h()lim

()()2

220

Perquè TVM [0, 2] =ln 2, s’ha de complir:

=ln 22=ln 4

i com que la funció ln x és injectiva, aquesta con-dició és equivalent a:

b)La taxa de variació instantània és la derivada de lafunció en el punt:

==38

38

lne

=+= lnlimlh

h

h0

83

38

118

3

nn()e38=

=+= lnlimh

h h0

1

138

=

+

=+= limlnlimlnhh

h

h

hh00

1

183

83

138

=+= limlnlnhh

h0

183

83

=

+++

= limlnln

h

h

h 0

223

223

=+

= ffhf

h h()lim

()()2

220

==32

32

lne

=+= lnlimlh

h

h0

23

32

112

3

nn()e32=

=+

=+ lnlimlnlimh

h

h

h

h0

1

0

322

112

3

=

1h

=

+

=+

= limlnlimlnhh

h

h

hh00

1

123

23

322

=+= limlnlnhh

h0

123

23

=

+++

= limlnln

h

h

h 0

023

023

=+

= ffhf

h h()lim

()()0

000

24

23

+==

bb

b

12

22

222 lnlnlnln

+=

+==

bb

bb

C M

Y K

188

10. Derivades

35.a)Per definició, la velocitat és la funció derivada dela posició:

v (t) =x(t) =(3 t36 t2)=3 3 t26 2 t =

=9 t212 t

Per definició, l’acceleració és la funció derivada se-gona de la posició, és a dir, la funció derivada de lavelocitat:

a(t) =x(t) =(x(t))=(v(t))=(9 t212 t)=

=9 2 t 12 1 =18 t 12

b)N’hi ha prou de substituir t =3 s en les expressionsanalítiques de les funcions posició, velocitat i ac-celeració:

x (3) =3 336 32=27 m

c)Obtenim el valor de t per al qual v (t) és 12:

9 t212 t =12

9 t212 t 12 =0

No considerem un temps negatiu. Així, doncs, t =2 s.

d)El valor de t per al qual a(t) val 8 és:

36.La velocitat és la funció derivada de la posició, i sabemque el seu valor en un determinat instant coincideixamb el pendent de la recta tangent a la gràfica de lafunció posició en aquest instant de temps.

Així, doncs, en cada tram corresponent a un segmentde la gràfica de e(t), el mòbil es mou a velocitat cons-tant igual al pendent de la recta que conté aquest seg-ment, ja que coincideix amb la recta tangent en totsels punts d’aquest tram. Per tant:

—Des del moment de la sortida (t=0 s) fins a t=1 s, elmòbil es desplaça a velocitat

—En t =1 s, el mòbil frena i passa a moure’s a velo-citat

—En t =4 s, el mòbil frena novament fins que s’atu-ra, ja que

vms

==6684

0

vms

==5341

23

vms

==3010

3

181282018

109

tts ===

344012

22

tttit ===

am

s()318312422 ==

vms

()393123452

==

—En t =8 s, retorna a l’origen a velocitat

i arriba al punt de partida en l’instant t =14 s.

37.El pendent m de la recta tangent a la gràfica de lafunció en x =1 és tg en què és l’angle buscat,però a més aquest pendent coincideix amb f�(1).Així, doncs:tg =m =f(1)

Calculem f�(1):

f(x) =6 x 2 f(1) =6 1 2 =4

Per tant, tg =4 =arc tg 4 =75, 96°

38.Recordem que l’equació de la recta tangent a la gràfi-ca de la funció f (x) en un punt x =a és:

y f (a) =f(a) (x a)

a)Calculem f (e) i f(e):

•f (e) =ln e =1

•

L’equació de la recta tangent en x =e és:

b)Calculem f(2) i f(2):

•f (2) =e2

•f(x) =exf(2) =e2

L’equació de la recta tangent en x =2 és:

y e2=e2(x 2) y =e2x e2=e2(x 1)

c)Calculem f(4) i f(4):

•

•

L’equació de la recta tangent en x =4 es:

39.L’equació de la recta tangent a f(x) en x =0 és:

y f (0) =f(0) (x 0)

Calculem f(0) i f(0):

•

•

f(0) =0

L’equació de la recta tangent és, doncs:

y 0 =0 (x 0) y =0

= fxxxxxx

xx()

()()

()

21024210

1024

22

22

f()00

0100240

2

2 ==

yxyx

==+ 214

44

1 ()

=== fxx

f ()()1

24

1

24

14

f()442 ==

ye

xeyxe

== 11

()

== fxx

fee

()()11

vms

==05

14856

,

188

10. D

eriv

ades

35. a) Per definició, la velocitat és la funció derivada dela posició:

v (t) = x (t) = (3 t3 6 t2) = 3 3 t2 6 2 t =

= 9 t2 12 t

Per definició, l’acceleració és la funció derivada se-gona de la posició, és a dir, la funció derivada de lavelocitat:

a (t) = x (t) = (x (t)) = (v(t)) = (9 t2 12 t) =

= 9 2 t 12 1 = 18 t 12

b) N’hi ha prou de substituir t = 3 s en les expressionsanalítiques de les funcions posició, velocitat i ac-celeració:

x (3) = 3 33 6 32 = 27 m

c) Obtenim el valor de t per al qual v (t) és 12:

9 t2 12 t = 12

9 t2 12 t 12 = 0

No considerem un temps negatiu. Així, doncs, t = 2 s.

d) El valor de t per al qual a(t) val 8 és:

36. La velocitat és la funció derivada de la posició, i sabemque el seu valor en un determinat instant coincideixamb el pendent de la recta tangent a la gràfica de lafunció posició en aquest instant de temps.

Així, doncs, en cada tram corresponent a un segmentde la gràfica de e(t), el mòbil es mou a velocitat cons-tant igual al pendent de la recta que conté aquest seg-ment, ja que coincideix amb la recta tangent en totsels punts d’aquest tram. Per tant:

— Des del moment de la sortida (t=0 s) fins a t=1 s, elmòbil es desplaça a velocitat

— En t = 1 s, el mòbil frena i passa a moure’s a velo-citat

— En t = 4 s, el mòbil frena novament fins que s’atu-ra, ja que

vms

= =6 68 4

0

vms

= =5 34 1

23

vms

= =3 01 0

3

18 12 82018

109

t t s= = =

3 4 4 012

22t t t i t= = =

am

s( )3 18 3 12 42

2= =

vms

( )3 9 3 12 3 452= =

— En t = 8 s, retorna a l’origen a velocitat

i arriba al punt de partida en l’instant t = 14 s.

37. El pendent m de la recta tangent a la gràfica de lafunció en x = 1 és tg en què és l’angle buscat,però a més aquest pendent coincideix amb f�(1).Així, doncs: tg = m = f (1)

Calculem f�(1):

f (x) = 6 x 2 f (1) = 6 1 2 = 4

Per tant, tg = 4 = arc tg 4 = 75, 96°

38. Recordem que l’equació de la recta tangent a la gràfi-ca de la funció f (x) en un punt x = a és:

y f (a) = f (a) (x a)

a) Calculem f (e) i f (e):

• f (e) = ln e = 1

•

L’equació de la recta tangent en x = e és:

b) Calculem f (2) i f (2):

• f (2) = e2

• f (x) = ex f (2) = e2

L’equació de la recta tangent en x = 2 és:

y e2 = e2 (x 2) y = e2 x e2 = e2 (x 1)

c) Calculem f (4) i f (4):

•

•

L’equació de la recta tangent en x = 4 es:

39. L’equació de la recta tangent a f (x) en x = 0 és:

y f (0) = f (0) (x 0)

Calculem f (0) i f (0):

•

•

f (0) = 0


y 0 = 0 (x 0) y = 0

=f xx x x x x

x x( )

( ) ( )

( )

2 10 24 2 10

10 24

2 2

2 2

f ( )00

0 10 0 240

2

2= =

y x yx

= = +214

44

1( )

= = =f xx

f( ) ( )1

24

1

2 4

14

f ( )4 4 2= =

ye

x e yxe

= =11

( )

= =f xx

f ee

( ) ( )1 1

vms

= =0 5

14 856

,

CM

YK

189

10. Derivades

40. Com que calculem els punts tals que

Així, doncs:

Per tant, el punt buscat és:

41. Una recta és paral.lela a l’eix d’abscisses si té el mateixpendent que aquest, és a dir, m = 0.

Com que el pendent de la recta tangent a la gràficad’una funció en un punt coincideix amb la derivadad’aquesta funció en aquest punt, resolem l’equacióf�(x) = 0. Per a fer-ho, calculem la derivada de f:

f (x) = 4 x3 + 12 x2 4 x 12

4 x3 + 12 x2 4 x 12 = 0

Descomponem utilitzant Ruffini:

Els punts buscats són:

(1, 4), ( 1, 12), ( 3, 4)

42. Dues rectes són paral.leles si tenen el mateix pendent.

Per tant, el pendent d’una recta paral.lela a

Resolem l’equació Per a fer-ho, calculem

la derivada de f:


43. Una recta horitzontal té pendent igual a 0.

Resolem l’equació f�(x) = 0. Per a fer-ho, calculem laderivada de f:

=+

+f x

x x x x

x( )

( ) ( )

( )

2 4 4 2

4

2 2

2 2

774

,

= = =f xx x

x( )2

22

232

7

=f x( ) .32

3 2 1 03

232

x y és m+ = = =( )

.

( ) ( ) ( )x x x

x

x

x

+ + =

=

=

=

1 1 4 12 0

1

1

3

4 12 4 12

1 4 16 12

4 16 12 0

1 4 12

4 12 0

33

33

, ln

= = = =f xx

x( ) 31

31

3

33

=f x( ) .3

tg º ,60 3= Així, doncs:

2 x 8 = 0 x = 0

El punt buscat és: (0, 1)

— El pendent de les rectes paral.leles a la recta

Calculem la derivada de f:

Vegem quines abscisses verifiquen f (x) = 1.

Aleshores, les abscisses que compleixen f�(x)= 1 són

de la forma és a dir, sempre positives.

44. El pendent de la recta tangent a f en x = 1 coincideixamb f�( 1). Calculem la derivada de f:

f (x) = (m x3 + 2 x2 + 3 x 1) = 3 m x2 + 4 x + 3

Determinem f ( 1):

f ( 1) = 3 m ( 1)2 + 4 ( 1) + 3 = 3 m 1

Per tant, el valor de m perquè aquest pendent sigui 11és:

11 = 3 m 1 m = 4

45. — Com que la recta és tangent a la corba en el puntd’abscissa x = 1 i el punt de tangència és ( 1, 7 � ( 1) + 2) = ( 1, 5), aleshores s’ha de com-plir:

2 ( 1)3 + a ( 1)2 + b ( 1) 1 = 5

a b = 2

— El pendent m de la recta tangent a la corba enaquest punt ha de ser el de la recta y = 7 x + 2, és adir, 7. I coincideix amb la derivada de la funció enaquest punt:

f (x) = 6 x2 + 2 a x + b f ( 1) = 2a + b + 6

Per tant,

f ( 1) = 7 2 a + b + 6 = 7

2 a + b = 1

Resolem el sistema format per les equacions que hemobtingut:

a b

a ba i b

=

+ == =

2

2 11 3

xx

=+( )

,2 2416

=+

xx( )2 24

16

16

41 16 4

2 22 2x

xx x

( )( )

+= = +

=+ +

+=

+f x

x x x

x

x

x( )

( )

( ) ( )

2 4 4

4

16

4

2 2

2 2 2 2

3 3 7 03

31x y és m+ = = =

( )

2 4 4 2

40

2 2

2 2

x x x x

x

( ) ( )

( )

+

+=

189

10. D

eriv

ades

40.Com que calculem els punts tals que

Així, doncs:


41.Una recta és paral.lela a l’eix d’abscisses si té el mateixpendent que aquest, és a dir, m =0.

Com que el pendent de la recta tangent a la gràficad’una funció en un punt coincideix amb la derivadad’aquesta funció en aquest punt, resolem l’equacióf�(x) =0. Per a fer-ho, calculem la derivada de f:

f(x) =4 x3+12 x24 x 12

4 x3+12 x24 x 12 =0

Descomponem utilitzant Ruffini:

Els punts buscats són:

(1, 4), (1, 12), (3, 4)

42.Dues rectes són paral.leles si tenen el mateix pendent.

Per tant, el pendent d’una recta paral.lela a

Resolem l’equació Per a fer-ho, calculem

la derivada de f:


43.Una recta horitzontal té pendent igual a 0.

Resolem l’equació f�(x) =0. Per a fer-ho, calculem laderivada de f:

=+

+fx

xxxx

x()

()()

()

2442

4

22

22

774

,

=== fxxx

x ()2

22

232

7

= fx().32

32103

232

xyésm +===()

.

()()() xxx

x

x

x

++=

=

=

=

114120

1

1

3

412412

141612

416120

1412

4120

33

33

,ln

==== fxx

x ()31

31

3

33

= fx(). 3

tgº, 603 =Així, doncs:

2 x 8 =0 x =0

El punt buscat és: (0, 1)

—El pendent de les rectes paral.leles a la recta

Calculem la derivada de f:

Vegem quines abscisses verifiquen f(x) =1.

Aleshores, les abscisses que compleixen f�(x)=1 són

de la forma és a dir, sempre positives.

44.El pendent de la recta tangent a f en x =1 coincideixamb f�(1).Calculem la derivada de f:

f(x) =(m x3+2 x2+3 x 1)=3 m x2+4 x +3

Determinem f(1):

f(1) =3 m (1)2+4 (1) +3 =3 m 1

Per tant, el valor de m perquè aquest pendent sigui 11és:

11 =3 m 1 m =4

45.—Com que la recta és tangent a la corba en el puntd’abscissa x =1 i el punt de tangència és (1, 7 �(1) +2) =(1, 5), aleshores s’ha de com-plir:

2 (1)3+a (1)2+b (1) 1 =5

a b =2

—El pendent m de la recta tangent a la corba enaquest punt ha de ser el de la recta y =7 x +2, és adir, 7. I coincideix amb la derivada de la funció enaquest punt:

f(x) =6 x2+2 a x +b f(1) =2a +b +6

Per tant,

f(1) =7 2 a +b +6 =7

2 a +b =1


ab

abaib

=

+===

2

2113

xx

=+ ()

,22

416

=+

xx()

224

16

16

41164 22

22 x

xxx

()()

+==+

=++

+=

+fx

xxx

x

x

x()

()

()()

244

4

16

4

22

2222

33703

31 xyésm +===

()

2442

40

22

22

xxxx

x

()()

()

+

+=

C M

Y K

190

10. Derivades

46.Anomenem derivada de la funció f(x) en el punt x =a el límit, si existeix:

Les derivades laterals de f(x) en x =a són:

•Per l’esquerra:

•Per la dreta:

Calculem les derivades laterals de f en x =1:

Com que f�(1) i f�(1+) existeixen, coincideixen i són

finits, existeix Aleshores, f (x) és derivableen x =1.

47.En els intervals (, 4) i (6, +), la gràfica de la fun-ció és una semirecta, i en els intervals (4, 0) i (0, 3) lagràfica de la funció és un segment. Aleshores, la funcióés lineal en cadascun d’aquests intervals. Per tant, lafunció és derivable i, en conseqüència, contínua.

En l’interval (3, 6), la funció té una gràfica sense can-vis bruscos de pendent (punts angulosos, de retro-cés...). Aleshores, podem afirmar que és derivable i,per tant, contínua.

Estudiem ara la continuïtat i derivabilitat en els ex-trems dels intervals.

•En x =4, la funció presenta una discontinuïtat desalt, ja que:

Aleshores, no és contínua i, per tant, no és derivable.

lim()lim()hh

fxfx + ==44

11

= f(), 112

=

+++

== ++ limlimhh

h

hhh 00

112

112

212

=+

=+

+ ffhf

h h()lim

()()1

110

=+

++=

++= lim

()lim

() hh

h

hh

h

hh 0

2

0

11

1111

12

=+++

++= lim

()()

() h

hh

hh 0

1111

11

=

++

=+

= limlimhh

h

hh

h 00

111

211

=+

= ffhf

h h()lim

()()1

110

=+ +

+ fafahfa

h h()lim

()()0

=+

fafahfa

h h()lim

()()0

=+

= fafahfa

hfbfa

ba hba()lim

()()lim

()()0

•En x =0, la funció és contínua, ja que:

però no és derivable, ja que les derivades laterals nocoincideixen:


però no és derivable, ja que els pendents de les rec-tes tangents a la gràfica de f per l’esquerra i per ladreta en x =3 no coincideixen.


i també és derivable, ja que els pendents de les rec-tes tangents a la seva gràfica en punts propers a x =6 per tots dos costats tendeixen a 0.

48.Podem eliminar el valor absolut en la definició de f (x) si la definim a trossos:

Si x <0, f (x) =1, que és derivable i, per tant, contí-nua.

Si x >0, f (x) =1, que és derivable i, per tant, contí-nua.

En x =0,

Aleshores, f no és contínua en aquest punt i, per tant,no pot ser-hi derivable.

Per tant:

f (x) és contínua i derivable en � {0} i no és contínuani derivable en x=0.

49.a)Vegem què han de verificar a i b perquè f com-pleixi les tres condicions de continuïtat en x =0:

•Existeix f (0): f (0) =030 =0

•Existeix el límit en x0=0 i és finit:

=+ lim()x

fx0

lim()lim()limxxx

fx+ ====000

1111

fx

xx

xx

six

six

xx

xx

six

()=

==<

=

==>

10

10

10

lim()lim()xx

fxfx + ==66

1

lim()lim()xx

fxfx + ==33

2

====+

ff ()()()

() 02104

34

02230

0

lim()lim()()xx

fxfxf ===00

00

190

10. D

eriv

ades

46. Anomenem derivada de la funció f(x) en el punt x = a el límit, si existeix:

Les derivades laterals de f (x) en x = a són:

• Per l’esquerra:

• Per la dreta:

Calculem les derivades laterals de f en x = 1:

Com que f�(1 ) i f�(1+) existeixen, coincideixen i són

finits, existeix Aleshores, f (x) és derivableen x = 1.

47. En els intervals ( , 4) i (6, + ), la gràfica de la fun-ció és una semirecta, i en els intervals ( 4, 0) i (0, 3) lagràfica de la funció és un segment. Aleshores, la funcióés lineal en cadascun d’aquests intervals. Per tant, lafunció és derivable i, en conseqüència, contínua.

En l’interval (3, 6), la funció té una gràfica sense can-vis bruscos de pendent (punts angulosos, de retro-cés...). Aleshores, podem afirmar que és derivable i,per tant, contínua.

Estudiem ara la continuïtat i derivabilitat en els ex-trems dels intervals.

• En x = 4, la funció presenta una discontinuïtat desalt, ja que:

Aleshores, no és contínua i, per tant, no és derivable.

lim ( ) lim ( )h h

f x f x+

= =4 4

1 1

=f ( ) ,112

=

+ + +

= =+ +

lim limh h

h

hhh0 0

1 12

1 12

212

=+

=+

+f

f h fhh

( ) lim( ) ( )

11 1

0

=+

+ +=

+ +=lim

( )lim

( )h h

h

h h

h

h h0

2

0

1 1

1 1 1 1

12

=+ + +

+ +=lim

( ) ( )

( )h

h h

h h0

1 1 1 1

1 1

=

++

=+

=lim limh h

h

hh

h0 0

11 1

2 1 1

=+

=ff h f

hh( ) lim

( ) ( )1

1 10

=++

+f a

f a h f ahh

( ) lim( ) ( )

0

=+

f af a h f a

hh( ) lim

( ) ( )0

=+

=f af a h f a

hf b f a

b ah b a( ) lim

( ) ( )lim

( ) ( )0

• En x = 0, la funció és contínua, ja que:

però no és derivable, ja que les derivades laterals nocoincideixen:


però no és derivable, ja que els pendents de les rec-tes tangents a la gràfica de f per l’esquerra i per ladreta en x = 3 no coincideixen.


i també és derivable, ja que els pendents de les rec-tes tangents a la seva gràfica en punts propers a x = 6 per tots dos costats tendeixen a 0.

48. Podem eliminar el valor absolut en la definició de f (x) si la definim a trossos:

Si x < 0, f (x) = 1, que és derivable i, per tant, contí-nua.

Si x > 0, f (x) = 1, que és derivable i, per tant, contí-nua.

En x = 0,

Aleshores, f no és contínua en aquest punt i, per tant,no pot ser-hi derivable.

Per tant:

f (x) és contínua i derivable en � {0} i no és contínuani derivable en x = 0.

49. a) Vegem què han de verificar a i b perquè f com-pleixi les tres condicions de continuïtat en x = 0:

• Existeix f (0): f (0) = 03 0 = 0

• Existeix el límit en x0 = 0 i és finit:

=+

lim ( )x

f x0

lim ( ) lim ( ) limx x x

f x+

= = = =0 0 0

1 1 1 1

f x

xx

xx

si x

si x

xx

xx

si x

( ) =

= = <

=

= = >

1 0

1 0

1 0

lim ( ) lim ( )x x

f x f x+

= =6 6

1

lim ( ) lim ( )x x

f x f x+

= =3 3

2

= = = = +f f( )( )( )

( )02 10 4

34

02 23 0

0

lim ( ) lim ( ) ( )x x

f x f x f= = =0 0

0 0

CM

YK

191

10. Derivades

Perquè existeixi el límit, s’ha de complir b = 0.

•

Per tant, perquè f sigui contínua, s’ha de complir

a �, b = 0

b) Com que derivabilitat implica continuïtat, perquèsigui derivable en x = 0 ha de ser contínua en x = 0; per tant, b = 0.

Determinem els valors de a per als quals f és deri-vable en x = 0, és a dir, per als quals existeix f�(0).Calculem f�(0 ) i f�(0+):

•

•

b = 0

Perquè existeixi f�(0), les derivades laterals de f en0 han de coincidir; per tant:

a = f (0+) = f (0 ) = 1

Així, perquè f sigui derivable, s’ha de complir:

a = 1, b = 0

50. Perquè f sigui contínua en s’han de complir

les tres condicions de continuïtat:

• Existeix

• Existeix el límit de f en i és finit:

lim ( )x

f x+

=

2

= = = =lim ( )x

f x sin x sin

2

5 52

5

lim ( )x

f x =

2

2

f a sin b a b= + = +2 2

f2

:

x =2

,

=+ +

= =+ +

lim( )

limh h

a h bh

a hh

a0 0

0 0

=+

=+

+f

f h fhh

( ) lim( ) ( )

00 0

0

= =lim( )

h

h h

h0

2 11

=+ +

=lim( ) ( )

h

h hh0

30 0 0

=+

=ff h f

hh( ) lim

( ) ( )0

0 00

lim ( ) ( ) lim ( ) ( )x x

f x f f x f= = =0 0

0 0 0:

lim ( ) lim ( )x x

f x ax b a b b+ +

= + = + =0 0

0

lim ( ) lim ( )x x

f x x x= = =0 0

3 30 0 0

= a + b

Perquè existeixi el límit s’ha de complir: a + b = 5

•

Perquè f sigui contínua en s’han de complir


• Existeix

• Existeix el límit de f en i és finit::

Perquè coincideixin, s’ha de complir a + b = 3.

•


Perquè f sigui derivable en les derivades la-

terals en aquesta abscissa han d’existir, coincidir i serfinites:

•

=+

= = =lim( cos )

limcos

h h

hh

hh0 0

5 15

15 0 0

= =lim( cos ) ( ( ) )

h

hh0

5 4 1 1

=

+

limh

sin h sin

0

52

42

1=

h

=

+

ff h f

h22 2

0lim =

h

x =2

,

+ =

+ = += =

a b

a ba b

5

34 1,

lim ( )x

f x f a b= = +

22

3:

= + =22

3 3cos

lim ( ) lim ( cos )x x

f x x+ +

= + =

2 2

2 3

= + = +a sin b a b2

lim ( ) lim ( )x x

f x a sin x b= + =

2 2

2

f f a sin b a b2 2 2

= + = +:

x =2

,

lim ( )x

f x f a b= = +

22

: 5

= + = + =+

lim ( )x

a sin x b a sin b

2

2

191

10. D

eriv

ades

Perquè existeixi el límit, s’ha de complir b =0.

•

Per tant, perquè f sigui contínua, s’ha de complir

a �, b =0

b)Com que derivabilitat implica continuïtat, perquèsigui derivable en x =0 ha de ser contínua en x =0; per tant, b =0.

Determinem els valors de a per als quals f és deri-vable en x =0, és a dir, per als quals existeix f�(0).Calculem f�(0) i f�(0+):

•

•

b =0

Perquè existeixi f�(0), les derivades laterals de f en0 han de coincidir; per tant:

a =f(0+) =f(0) =1

Així, perquè f sigui derivable, s’ha de complir:

a =1, b =0

50.Perquè f sigui contínua en s’han de complir


•Existeix

•Existeix el límit de f en i és finit:

lim()x

fx +=

2

==== lim()x

fxsinxsin

2

552

5

lim()x

fx=

2

2

fasinbab =+=+22

f2

:

x=2

,

=++

== ++ lim()

limhh

ahbh

ahh

a00

00

=+

=+

+ ffhf

h h()lim

()()0

000

== lim()

h

hh

h 0

21

1

=++

= lim()()

h

hhh 0

3000

=+

= ffhf

h h()lim

()()0

000

lim()()lim()()xx

fxffxf ===00

000 :

lim()lim()xx

fxaxbabb ++ =+=+=00

0

lim()lim()xx

fxxx ===00

33000

=a +b

Perquè existeixi el límit s’ha de complir:a +b=5

•

Perquè f sigui contínua en s’han de complir


•Existeix

•Existeix el límit de f en i és finit::

Perquè coincideixin, s’ha de complir a +b =3.

•


Perquè f sigui derivable en les derivades la-

terals en aquesta abscissa han d’existir, coincidir i serfinites:

•

=+

=== lim(cos)

limcos

hh

hh

hh 00

515

1500

== lim(cos)(())

h

hh 0

5411

=

+

limh

sinhsin

0

52

42

1=

h

=

+

ffhf

h 222

0lim=

h

x=2

,

+=

+=+==

ab

abab

5

341 ,

lim()x

fxfab ==+

22

3:

=+= 22

33 cos

lim()lim(cos)xx

fxx ++ =+=

22

23

=+=+ asinbab2

lim()lim()xx

fxasinxb =+=

22

2

ffasinbab222

=+=+ :

x=2

,

lim()x

fxfab ==+

22

:5

=+=+= + lim()x

asinxbasinb

2

2

C M

Y K

192

10. Derivades

•

Com que i és finit, existeix

per tant, f és derivable en

Perquè f sigui derivable en les derivades late-

rals en han d’existir, coincidir i ser finites:

•

•

Com que no existeix

per tant, f no és derivable en

51.—Prenem logaritmes neperians a tots dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:

ln f (x) =ln (tg2x)x=x ln (tg2x)

x=2

. f2

;

==

+

ff2

022

,

=== + 22120

limh

sinhh

=+

= + lim()()

h

sinhh 0

23411

=

++

= + limcos

h

hsin

h 0

22

342

1

=

+ +

+ ffhf

h 222

0lim=

h

=== 41

4000

limcos

h

hh

=+

== limcos

lim(cos)

hh

hh

hh 00

414141

=

+

= limh

sinhsin

h 0

42

142

1

=

+

ffhf

h 222

0lim=

h

2

x=2

,

x=2

. f2

;

==

+

ff2

02

=+

=== ++ lim(cos)

limcos

hh

hh

hh 00

414

1400

=+

= + lim(cos)()

h

hh 0

41411

=

+

+ limh

sinhsin

0

42

142

1=

h

=

+ +

+ ffhf

h 222

0lim=

h

—Derivem els dos membres:

=(x)ln (tg2x) +x (ln (tg2x))=

—Aïllem f�(x) i substituïm f(x) per la seva expres-sió:

52.a)f(x) =(x4ln x)=(x4)ln x +x4(ln x)=

b)f(x) =(x ln x x)=(x ln x)x=

=ln x

c)

d)f(x) =(exsin x)=(ex)sin x +ex(sin x)=

=exsin x +excos x =ex(sin x +cos x)

53.a)

b)

==122

22

2

12

2

sinxsinxsinxx

xx

x

()()

()

==1222

12

1sinxsinx

xx

== fxsinxsinx

xx ()22

12

=

==1

3

1

35 32 3

xxx

====12

12

23

13

23

23

153 xxx

=== fxx

xx ()

2 3

4 3

23

43

2

12

12

xx=

23

=++

=()()()()

()()

011101

1

2

122

xx

xx

=++

=()()()()

()

1111

12

xxxx

x

=+

= fxxx

()11

=+=+= xxxxxxxx

ln(ln)ln1

1

=+=+ 41

41343

xxxx

xx ln(ln)

=+ ()ln()cos

tgxtgxx

sinxxx 222

=+= fxfxtgxx

sinxx()()ln()

cos22

=+=+ ln()cos

ln()cos

tgxx

tgxxtgx

xsinxx

22

2 22

=+= ln()() tgxx

tgxtgxtgx

222

=+= ln()() tgxxtgx

tgx2

22 1

12

fxfxxtgx

()()(ln()) ==

192

10. D

eriv

ades

•

Com que i és finit, existeix

per tant, f és derivable en

Perquè f sigui derivable en les derivades late-

rals en han d’existir, coincidir i ser finites:

•

•

Com que no existeix

per tant, f no és derivable en

51. — Prenem logaritmes neperians a tots dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:

ln f (x) = ln (tg2 x)x = x ln (tg2 x)

x =2

.f2

;

= =

+

f f2

0 22

,

= = =+

2 2 1 20

limh

sin hh

=+

=+

lim( ) ( )

h

sin hh0

2 3 4 1 1

=

+ +

=+

limcos

h

h sin

h0

22

3 42

1

=

++

+f

f h f

h22 2

0lim =

h

= = =41

4 0 00

limcos

h

hh

=+

= =limcos

lim(cos )

h h

hh

hh0 0

4 1 4 1 4 1

=

+

=limh

sin h sin

h0

42

1 42

1

=

+

ff h f

h22 2

0lim =

h

2

x =2

,

x =2

.f2

;

= =

+

f f2

02

=+

= = =+ +

lim( cos )

limcos

h h

hh

hh0 0

4 14

14 0 0

=+

=+

lim( cos ) ( )

h

hh0

4 1 4 1 1

=

+

+lim

h

sin h sin

0

42

1 42

1=

h

=

++

+f

f h f

h22 2

0lim =

h

— Derivem els dos membres:

= (x) ln (tg2 x) + x (ln (tg2 x)) =

— Aïllem f�(x) i substituïm f(x) per la seva expres-sió:

52. a) f (x) = (x4 ln x) = (x4) ln x + x4 (ln x) =

b) f (x) = (x ln x x) = (x ln x) x =

= ln x

c)

d) f (x) = (ex sin x) = (ex) sin x + ex (sin x) =

= ex sin x + ex cos x = ex (sin x + cos x)

53. a)

b)

= =12 2

2 2

2

12

2

sin x sin x sin xx

x x

x

( ) ( )

( )

= =12 2 2

12

1sin x sin xx x

= =f xsin x sin x

x x( )

2 2

12

=

= =1

3

1

353 23x x x

= = = =12

12

23

13

23

23

153x x x

= = =f xx

xx( )

23

43

23

43

2

12

12

xx =

23

=+ +

=( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 1 1 1 0 1

1

2

12 2

x x

x x

=+ +

=( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1 1 1

1 2

x x x x

x

=+

=f xxx

( )11

= + = + =x x x x x x xx

ln (ln ) ln1

1

= + = +41

4 13 4 3x x xx

x xln ( ln )

= +( ) ln( )cos

tg x tg xx

sin x xx2 2 2

= + =f x f x tg xx

sin x x( ) ( ) ln( )

cos2 2

= + = +ln( )cos

ln( )cos

tg xx

tg x xtg x

xsin x x

22

22 2

= + =ln( ) ( )tg xx

tg xtg x tg x2

22

= + =ln( ) ( )tg x xtg x

tg x22

21

1 2

f xf x x tg x

( )( ) ( ln( ))= =

CM

YK

193

10. Derivades

c) f (x) = (ln [ln (cos x)]) =

d)

54. a) Calculem les primeres derivades per tal d’intuirl’expressió general de la derivada enèsima:

f (x) = ((x a) 1) =

= (x a) 1 1 (x a) = (x a) 2

f (x) = (f (x)) = ( (x a) 2) =

f xx a

x a( ) ( )= =1 1

=+

2

12x

+=

+=

+=

1

1

4

2 2 1

4

2 12 2 2 2x

x

x x

x

x x( ) ( )

=+ +

+ + +

2 1 1

1 1 1 1

2 2

2 2 2 2

x x x

x x x x

( )

[( ) ( )][( ) ( ))]

+ +

+=

( )( ) ( )( )

( )

2 0 1 1 2 0

1

2 2

2 2

x x x x

x

=+

+

x

x x

2

2 2 2 2

1

1 1( ) ( )

+ +

+=

( ) ( ) ( )( )

( )

x x x x

x

2 2 2 2

2 2

1 1 1 1

1

=+

+

1

1 1

1

2 2 2 2

2 2

( ) ( )

( )

x x

x

=

+

+=

1

11

1

1

12

2

2

2

2x

x

x

x

=+

=f x arcx

x( ) cos

2

2

1

1

= =1

ln(cos ) cos ln(cos )xsin x

xtg x

x

= =1 1

ln(cos ) cos(cos )

x xx

= =1

ln(cos )(ln (cos ))

xx

= =12

2

22

2

2 22

cos ln cos lnx sin x

sin x

x sin x

sx

xx iin x

= =12

1

2

2 2

2 2

(cos ln )

sin x

x sin x

x

x

x

= =12

1

2

2 2 2

22

cos ln

sin x

x sin x

x

x x

x

= ( 2) (x a) 2 1 (x a) = 2 (x a) 3

f (x) = (f (x)) = (2 (x a) 3) =

= 2 ( 3) (x a) 3 1 (x a) =

= 3 2 (x a) 4

f(4)(x) = (f (x)) = ( 3 2 (x a) 4) =

= 3 2 ( 4) (x a) 4 1 (x a) =

= 4 3 2 (x a) 5

Proposem com a expressió general per a la deriva-da enèsima:

f(n)(x) = ( 1)n n! (x a) (n + 1)

Demostrem, utilitzant el mètode d’inducció com-pleta, que aquesta expressió és correcta:

• És certa per a n = 1:

f (x) = ( 1)1 1! (x a) (1+1) = (x a) 2

• Suposem que és certa per a n = k (hipòtesi d’in-ducció):

f(k) = ( 1)k k! (x a) (k+1)

• Comprovem que si és certa per a n = k, és certatambé per a n = k + 1:

f(k+1) = (f(k)) = (( 1)k k! (x a) (k+1)) =

= ( 1)k k! ( (k + 1))(x a) (k+1) 1 (x a) =

= ( 1)k ( 1) (k + 1) k! (x a) (k+1+1) =

= ( 1)k+1 (k + 1)! (x a) ((k+1)+1)

b) Calculem les primeres derivades per a intuir l’ex-pressió general de la derivada enèsima:

f (x) = sin x

f (x) = (sin x) = cos x

f (x) = (f (x)) = (cos x) = sin x

f (x) = (f (x)) = ( sin x) = cos x

f(4)(x) = (f (x)) = ( cos x) = ( sin x) = sin x

A partir d’aquí, es repeteix la sèrie, ja quef(4) (x) = f (x):

f(5)(x) = cos x

f(6)(x) = sin x

f(7)(x) = cos x

f(8)(x) = sin x ...

Per tant, l’expressió general de la derivada enèsi-ma és:

55. Els punts en què la circumferència talla l’eix d’or-denades són aquells en els quals l’abscissa és 0. Fem x = 0 en l’equació de la circumferència, i tenim:

f x sin x nn( )( ) = +2

193

10. D

eriv

ades

c)f(x) =(ln [ln (cos x)])=

d)

54.a)Calculem les primeres derivades per tal d’intuirl’expressió general de la derivada enèsima:

f(x) =((x a)1)=

=(x a)11(x a)=(x a)2

f(x) =(f(x))=((x a)2)=

fxxa

xa ()() ==11

=+

2

12

x

+=

+=

+=

1

1

4

221

4

212222

x

x

xx

x

xx ()()

=++

+++

211

1111

22

2222

xxx

xxxx

()

[()()][()())]

++

+=

()()()()

()

201120

1

22

22

xxxx

x

=+

+

x

xx

2

2222

1

11 ()()

++

+=

()()()()

()

xxxx

x

2222

22

1111

1

=+

+

1

11

1

2222

22

()()

()

xx

x

=

+

+=

1

11

1

1

1 2

2

2

2

2x

x

x

x

=+

= fxarcx

x()cos

2

2

1

1

==1

ln(cos)cosln(cos) xsinx

xtgx

x

==11

ln(cos)cos(cos)

xxx

==1

ln(cos)(ln(cos))

xx

==12

2

22

2

22 2

coslncosln xsinx

sinx

xsinx

sx

xx

iinx

==12

1

2

22

22

(cosln)

sinx

xsinx

x

x

x

==12

1

2

222

22

cosln

sinx

xsinx

x

xx

x

=(2) (x a)21(x a)=2 (x a)3

f(x) =(f(x))=(2(x a)3)=

=2 (3) (x a)31(x a)=

=3 2 (x a)4

f(4)(x) =(f(x))=(32 (x a)4)=

=3 2 (4) (x a)41(x a)=

=4 3 2 (x a)5

Proposem com a expressió general per a la deriva-da enèsima:

f(n)(x) =(1)nn! (x a)(n +1)

Demostrem, utilitzant el mètode d’inducció com-pleta, que aquesta expressió és correcta:

•És certa per a n =1:

f(x) =(1)11! (x a)(1+1)=(x a)2

•Suposem que és certa per a n =k (hipòtesi d’in-ducció):

f(k)=(1)kk! (x a)(k+1)

•Comprovem que si és certa per a n =k, és certatambé per a n =k +1:

f(k+1)=(f(k))=((1)kk! (x a)(k+1))=

=(1)kk! ((k +1))(x a)(k+1)1(x a)=

=(1)k(1) (k +1) k! (x a)(k+1+1)=

=(1)k+1(k +1)! (x a)((k+1)+1)

b)Calculem les primeres derivades per a intuir l’ex-pressió general de la derivada enèsima:

f (x) =sin x

f(x)=(sin x)=cos x

f(x) =(f(x))=(cos x)=sin x

f(x) =(f(x))=(sin x)=cos x

f(4)(x) =(f(x))=(cos x)=(sin x) =sin x

A partir d’aquí, es repeteix la sèrie, ja quef(4)(x) =f (x):

f(5)(x) =cos x

f(6)(x) =sin x

f(7)(x) =cos x

f(8)(x) =sin x ...

Per tant, l’expressió general de la derivada enèsi-ma és:

55.Els punts en què la circumferència talla l’eix d’or-denades són aquells en els quals l’abscissa és 0. Fem x =0 en l’equació de la circumferència, i tenim:

fxsinxnn()

()=+2

C M

Y K

Per tant, el punt de tall amb la part positiva de l’eixd’ordenades és

Busquem l’equació de la recta tangent a la circum-ferència en aquest punt.

Coneixem, doncs, un punt de pas d’aquesta recta

D’altra banda, pel fet que la recta és tangent a la cir-cumferència en el puntel seu pendentcoincideix amb la derivada de la funció que ens dónala circumferència.

Utilitzem el mètode de derivació implícita per a tro-bar la derivada, considerant que y és funció de x.

—Derivem els dos membres de la igualtat:

(x2+y2+2 x 2 y 2)=0

2 x +2 y y+2 2 y=0

—Efectuem operacions i obtenim y:

(2 y 2) y=2 x 2

Si substituïm les coordenades del punt

trobem el valor del pendent per ax =0:

Així, doncs, l’equació de la recta és:

xy += 3330

yx += ()() 131

30

=+

+= + y(,)

()013

10

113

1

3

P=+ (,) 013

==+

yx

yxy

2222

11

(,), 013 +

(,). 013 +

(,). 013 +

=±

=±223

213

020220212

222++==

±= yyy

Gràficament, la circumferència és la de centre(1, 1)i radi 2:

56.a)Hem de trobar la diferència de volum existent

entre una esfera de radi i una altra

de radi 20 0,2 =19,8 cm.

Considerem la funció

r0=20 cm y h =0,2 cm.

Si aproximem l’increment de la funció per la dife-rencial de la funció, tenim:

V d V =V(r0) hi, com que

Substituint aquests valors:

V d V =4 202(0,2) =1005,3 cm3

Per tant, el volum és 1005, 3 cm3.

b)Considerem la funció i h =0,12.

Ja que aplicant l’aproximació de

l’increment, �f, per la diferencial, df, tenim:

f (x0+h) f (x0) +f(x0) h


57.Activitat TIC.

58.Activitat TIC.

25125011985634 ,,... =

+= 2512251

2250125012 ,,, �

= fxx

(),1

2

fxxx (), == 025

=== Vrrrr ()43

43

34322

Vrr (), =43

3

402

20 =cm

O

Y

X

r = 2

C = (–1, 1)

10. Derivades

194

Per tant, el punt de tall amb la part positiva de l’eixd’ordenades és

Busquem l’equació de la recta tangent a la circum-ferència en aquest punt.

Coneixem, doncs, un punt de pas d’aquesta recta

D’altra banda, pel fet que la recta és tangent a la cir-cumferència en el punt el seu pendentcoincideix amb la derivada de la funció que ens dónala circumferència.

Utilitzem el mètode de derivació implícita per a tro-bar la derivada, considerant que y és funció de x.

— Derivem els dos membres de la igualtat:

(x2 + y2 + 2 x 2 y 2) = 0

2 x + 2 y y + 2 2 y = 0

— Efectuem operacions i obtenim y :

(2 y 2) y = 2 x 2

Si substituïm les coordenades del punt

trobem el valor del pendent per a x = 0:

Així, doncs, l’equació de la recta és:

x y+ =3 3 3 0

y x+ =( ) ( )1 31

30

=+

+=

+y

( , ) ( )0 1 3

1 0

1 1 3

1

3

P = +( , )0 1 3

= =+

yx

yxy

2 22 2

11

( , ),0 1 3+

( , ).0 1 3+

( , ).0 1 3+

=±

= ±2 2 3

21 3

0 2 0 2 2 02 12

22 2+ + = =

±=y y y

Gràficament, la circumferència és la de centre ( 1, 1)i radi 2:

56. a) Hem de trobar la diferència de volum existent

entre una esfera de radi i una altra

de radi 20 0,2 = 19,8 cm.

Considerem la funció

r0 = 20 cm y h = 0,2 cm.

Si aproximem l’increment de la funció per la dife-rencial de la funció, tenim:

V d V = V (r0) hi, com que

Substituint aquests valors:

V d V = 4 202 ( 0,2) = 1 005,3 cm3

Per tant, el volum és 1 005, 3 cm3.

b) Considerem la funció i h = 0,12.

Ja que aplicant l’aproximació de

l’increment, �f, per la diferencial, df, tenim:

f (x0 + h) f (x0) + f (x0) h


57. Activitat TIC.

58. Activitat TIC.

25 12 5 011985 634, , ...=

+ =25 12 251

2 250 12 5 012, , ,�

=f xx

( ) ,1

2

f x x x( ) ,= =0 25

= = =V r r r r( )43

43

3 43 2 2

V r r( ) ,=43

3

402

20= cm

O

Y

X

r = 2

C = (–1, 1)

10. D

eriv

ades

194

CM

YK

195

11. Aplicacions de les derivades


• a)

La solució de la inequació és, doncs,

b)

La solució d’aquesta inequació és, per tant,

c)

Com que aquesta desigualtat estricta mai no és certa,la inequació no té solució.

• a) x2 + 1 0 , x2 1

Aquesta inequació no es compleix per a cap real x, jaque x2 0; aleshores, no té solució.

b) (x 3)2 4, �x 3 � 2, 2 x 3 2,

1 x 5

La solució d’aquesta inequació és l’interval [1, 5].

3 12

32

3 3 22

32

32

( ), ,

xx

x x x x

x x

> >

>3

2

112

, .+

2 38

5 12

34

2 3 4 5 18

34

2 3 20

x x x

x x x

x

<

<

,

( ),

xx xx x

x

+< + <

<

48

34

18 1 6

1 12

, ,

, x >1

12

, .4715

3 7 5 2 31

21

3 7 10 151 22

7

x xx

x xx

x

+

+ +

+

( ) ,

,

2223

214 44 3

15 47

+x

x x

x x

, ,

,4715

c) 2 (5 x2) > 3 x , 10 2 x2 > 3 x ,

2 x2 + 3 x 10 < 0

Com que es compleix que:

i el producte de dos nombres és negatiu si i només siaquests nombres tenen signe diferent, la inequació éscompleix si:

No té solució.


d)

En aquest cas, 15 x2 4 x + 2 = 0 no té solucions reals,la qual cosa vol dir que sempre té el mateix signe (jaque és una funció contínua en qualsevol interval tan-cat). Així, com que en x = 0 l’expressió és 2 > 0, seràpositiva per a tot real x; aleshores, la inequació no tésolució.

• a) = + = + =

= +

f x x x x x

x

( ) ( ln ) ( ln ) ( )

(ln )

4 4

4

2 2

224

22 1 = +xx

x

2 15

32

2 2 1 5 3

4 2 15

2x xx x

x x

> >

>

, ( )

22 215 4 2 0, x x + <

+34

894

34

894

, .

x x

x x

+ < < +

++

> >

3 894

034

894

3 894

034

894

+

+

x

x

34

894

34

894

3 8

,

994

034

894

3 894

034

894

> > +

++

< <

x

x x

2 3 103 89

43 89

42x x x x+ = + +

+

Aplicacions de les derivades11

195

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es


•a)


b)

La solució d’aquesta inequació és, per tant,

c)

Com que aquesta desigualtat estricta mai no és certa,la inequació no té solució.

•a)x2+1 0 , x21

Aquesta inequació no es compleix per a cap real x, jaque x20; aleshores, no té solució.

b)(x 3)24, �x 3�2, 2 x 3 2,

1 x 5

La solució d’aquesta inequació és l’interval [1, 5].

312

32

3322

32

32

(),,

xx

xxxx

xx

>>

>3

2

112

,. +

238

512

34

234518

34

2320

xxx

xxx

x

<

<

,

(),

xxxxx

x

+<+<

<

48

34

1816

112

,,

,x>1

12

,.4715

375231

21

371015122

7

xxx

xxx

x

+

++

+

(),

,

2223

214443

1547

+x

xx

xx

,,

,4715

c)2 (5 x2) >3 x , 10 2 x2>3 x ,

2 x2+3 x 10 <0

Com que es compleix que:

i el producte de dos nombres és negatiu si i només siaquests nombres tenen signe diferent, la inequació éscompleix si:

No té solució.


d)

En aquest cas, 15 x24 x +2 =0 no té solucions reals,la qual cosa vol dir que sempre té el mateix signe (jaque és una funció contínua en qualsevol interval tan-cat). Així, com que en x =0 l’expressió és 2 >0, seràpositiva per a tot real x; aleshores, la inequació no tésolució.

•a)=+=+=

=+

fxxxxx

x

()(ln)(ln)()

(ln)

44

4

22

224

221

=+ xx

x

215

32

22153

4215

2xx

xx

xx

>>

>

,()

22215420 ,xx+<

+34

894

34

894

,.

xx

xx

+<<+

++

>>

3894

034

894

3894

034

894

+

+

x

x

34

894

34

894

38

,

994

034

894

3894

034

894

>>+

++

<<

x

xx

2310389

4389

42

xxxx +=+++

Aplicacions de les derivades 11

C M

Y K

196


b)

c)

d)k(x) =(x2ex)=(x2)ex+x2(ex)=

=2 x ex+x2exln e =2 xex+x2ex=

=xex(2 +x)

e)

f)

1.DERIVADA I MONOTONIA D’UNA FUNCIÓ

1.Calcularem el valor de la derivada de la funció en elpunt i decidirem a partir del seu signe si la funció éscreixent o decreixent en aquest punt:

a)f(x) =(2 x3x2)=6 x22 x , f(2) =20 >0 f és estrictament creixent en x =2.

b)

és estrictament

creixent en x =5.

c)

és estrictament

decreixent en x =1.

==< ff ()131

221

32

02

3

=()= fxxx

x(), 2

3

22

32

3

==> ff ()()

55251

51

78

02

2

=+

=+

fxxx

xxx

x()

()()

(

2211

2111

1))

()

2

2

2

21

1

=

=xx

x

==()

=

=

ixx

e

xexe

ex

xx

x ()()

()2

1

2xxexe

e

xxe

ex

x

xx

x

x

x ==

=

22

12

12

2ex

====

=

mxtgxtgxxx

x

x

()()()()cos

c

22222

12

2

oos22

x

=()==

=

hxxx

x

()()

(

2212

2

99

12

9))()

()

1122

22

9

12

1

920

9

=

==

x

xx

x

x

==

=

gxx

x

xxxx

()

()()(

2

2

2222

4

44))

()

()()

()(

x

xxxx

x

x

x

22

22

22

4

2420

4

8

=

==2224)

2.Hem de trobar els zeros de la derivada de la funció iveure quin signe hi té la derivada segona:

a)0 =f(x) =6 x22 x x =0 o

f(x) =(6 x22 x)=12 x 2

f(0) =12 0 2 =2 <0 f té un màxim relatiuen x =0.

té un mínim re-

latiu en .

b)

f té un màxim relatiu

en .

f té un mínim relatiu

en .

c)

f�(0) =0, aleshores amb això no en tenim prou pera decidir.

Per tant, estudiarem el creixement i el decreixe-ment de la funció f a partir d’una taula:

Per tant, x =0 no és un extrem relatiu de f, ales-hores f no té extrems relatius.

3.a)1.f(x) =(x33 x29 x +1)=

=3 x26 x 9

03

22300

622

2

3

2====

=

fxx

xxx

fx

x

()

()()

=

=

xxx

x

x

xx

322

3

32

3

323

22

22

122

()

99

242

1229

42

3

4

3

3

34

33

4

x

xx

xxx

x

x

=

=

()=

()

()

()

24

423

3

x

x

x=+ 12

+=

()> f() 12

4

20 3

x=12

=

()< f() 12

4

20 3

021

1

210121

2

2

2

==

===+

fxxx

x

xxxox

()()

22

221212122

= fxxxxxx

()()()()()

((())

()

x

x

=

=

14

1

22

3

x=13

==> ff13

1213

220

x=13

x(, 0)0

f(x)0

f(x)

(,) 02 3

196

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

b)

c)

d) k (x) = (x2ex) = (x2) ex + x2 (ex) =

= 2 x ex + x2 ex ln e = 2 xex + x2ex =

= xex (2 + x)

e)

f)

1. DERIVADA I MONOTONIA D’UNA FUNCIÓ

1. Calcularem el valor de la derivada de la funció en elpunt i decidirem a partir del seu signe si la funció éscreixent o decreixent en aquest punt:

a) f (x) = (2 x3 x2) = 6 x2 2 x , f (2) = 20 > 0 f és estrictament creixent en x = 2.

b)

és estrictament

creixent en x = 5.

c)

és estrictament

decreixent en x = 1.

= = <f f( )13 1

2 2 1

32

02

3

= ( ) =f x xx

x( ) ,2

3

2 2

32

3

= = >f f( )( )

55 2 5 1

5 1

78

02

2

=+

=+

f xxx

x x x

x( )

( ) ( )

(

2 211

2 1 1 1

1))

( )

2

2

2

2 1

1

=

=x x

x

= =( )

=

=

i xx

e

x e x e

ex

x x

x( )

( )

( )2

1

2 xxe x e

e

xx e

ex

x

x x

x

x

x= =

=

2 2

12

1 2

2 ex

= = = =

=

m x tg x tg x xx

x

x

( ) ( ) ( ) ( )cos

c

2 2 22 2

12

2

oos2 2x

= ( ) = =

=

h x x x

x

( ) ( )

(

2 212

2

9 9

12

9)) ( )

( )

112 2

2 2

9

12

1

92 0

9

=

= =

x

xx

x

x

= =

=

g xx

x

x x x x

( )

( ) ( ) (

2

2

2 2 2 2

4

4 4))

( )

( ) ( )

( ) (

x

x x x x

x

x

x

2 2

2 2

2 2

4

2 4 2 0

4

8

=

= =22 24)

2. Hem de trobar els zeros de la derivada de la funció iveure quin signe hi té la derivada segona:

a) 0 = f (x) = 6 x2 2 x x = 0 o

f (x) = (6 x2 2 x) = 12 x 2

f (0) = 12 0 2 = 2 < 0 f té un màxim relatiuen x = 0.

té un mínim re-

latiu en .

b)

f té un màxim relatiu

en .

f té un mínim relatiu

en .

c)

f �(0) = 0, aleshores amb això no en tenim prou pera decidir.

Per tant, estudiarem el creixement i el decreixe-ment de la funció f a partir d’una taula:

Per tant, x = 0 no és un extrem relatiu de f, ales-hores f no té extrems relatius.

3. a) 1. f (x) = (x3 3 x2 9 x + 1) =

= 3 x2 6 x 9

03

2 23 0 0

6 2 2

2

3

2= = = =

=

f xx

xx x

f x

x

( )

( )( )

=

=

x xx

x

x

x x

3 22

3

32

3

3 23

2 2

2 2

12 2

( )

99

24 2

12 2 9

4 2

3

4

3

3

3 4

33

4

x

xx

x x x

x

x

=

=

( )=

( )

( )

( )

24

4 2 33

x

x

x = +1 2

+ =

( )>f ( )1 2

4

20

3

x = 1 2

=

( )<f ( )1 2

4

20

3

02 1

1

2 1 0 1 2 1

2

2

2

= =

= = = +

f xx x

x

x x x o x

( )( )

22

2 2 1 2 1 2 12 2

=f xx x x x x

( )( ) ( ) ( ) ( )

((( ) )

( )

x

x

=

=

14

1

2 2

3

x =13

= = >f f13

1213

2 2 0

x =13

x ( , 0) 0

f (x) 0

f(x)

( , )0 23

CM

YK

197


Els zeros de f� són:

3 x2 6 x 9 = 0 x = 1 o x = 3

Com que f i f� són polinòmiques, no tenenpunts de discontinuïtat.

2. Els intervals que hem de considerar són ( , 1), ( 1, 3) i (3, + ).

3. Elaborem una taula en què indiquem la mo-notonia de f a partir del signe de f�:

Per tant, f és estrictament creixent en ( , 1) i en (3, + ), i estrictament decreixenten ( 1, 3).

b) 1.

La funció f� no té zeros, ja que el numeradormai no s’anul.la.

Els punts de discontinuïtat de f� són els zerosdel denominador:

2. Hem de considerar els intervals

i .

3. Elaborem la taula de monotonia de f:

Per tant, f és estrictament creixent en

i en .

c) 1.

Els zeros de f� son:

Els punts de discontinuïtat de f� són aquells enels quals s’anul.la el denominador:

x x2 1 0 1= = ±

x

xx

2 10 0= =

= ( ) = =f x xx

x

x

x( ) 2

2 21

2

2 1 1

+12

,,12

+12

,

,12

( )2 1 012

2x x+ = =

=+

=

=+

f xxx

x x

( )

( ) ( )

(

12 1

1 2 1 1 2

22 1

3

2 12 2x x+=

+) ( )

2. Els intervals determinats pels zeros i els puntsde discontinuïtat de f� són:

( , 1) , ( 1, 0) , (0, 1) i (1, + )

3. Construïm la taula de monotonia de f:

Per tant, f és estrictament decreixent en ( , 1) i ( 1, 0), i estrictament creixent en (0, 1) i (1, + ).

d) 1. f (x) = (e x2) = e x2 ( 2 x) = 2 xe x2

Els zeros de f� són: 2 xe x2= 0 x = 0

f� no té punts de discontinïtat, ja que és pro-ducte de dues funcions contínues en �.

2. Els intervals que hem de considerar són ( , 0) i (0, + ).

3. Construïm la taula de monotonia de f:

Per tant, f és estrictament creixent en ( , 0) i es-trictament decreixent en (0, + ).

2. DERIVADA I CURVATURA D’UNA FUNCIÓ

4. Hem de calcular la derivada segona de cada funció i avaluar-la en el punt demanat per tal de veure quinsigne té:

a) f(x) = x3 x2 , f (x) = 3 x2 2 x ,

f (x) = 6 x 2

f ( 3) = 6 ( 3) 2 < 0 f és còncava en x = 3.

b) f(x) = 2 x3 3 x2 , f (x) = 6 x2 6 x ,

f (x) = 12 x 6

f (0) = 12 0 6 < 0 f és còncava en x = 0.

c)

és convexa en x = 5.= >f f( )( )

54

5 103

f xxx

f xx x

x

f x

( ) , ( )( )

,

( )

=+

=

=

2 2

2

11

2 1

14

(( )x 1 3

x ( , 1) 1 ( 1, 3) 3 (3, + )

f (x) + 0 0 +

f(x)

x

f (x) + � +

f(x) �

+12

,12

,12

x ( , 1) 1 ( 1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, + )

f (x) � 0 + � +

f(x)

x ( , 0) 0 (0, + )

f (x) + 0

f(x)

197

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

Els zeros de f�són:

3 x26 x 9 =0 x =1 o x =3

Com que f i f�són polinòmiques, no tenenpunts de discontinuïtat.

2.Els intervals que hem de considerar són (, 1), (1, 3) i (3, +).

3.Elaborem una taula en què indiquem la mo-notonia de f a partir del signe de f�:

Per tant, f és estrictament creixent en (, 1) i en (3, +), i estrictament decreixenten (1, 3).

b)1.

La funció f�no té zeros, ja que el numeradormai no s’anul.la.

Els punts de discontinuïtat de f�són els zerosdel denominador:

2.Hem de considerar els intervals

i .

3.Elaborem la taula de monotonia de f:

Per tant, f és estrictament creixent en

i en .

c)1.

Els zeros de f�son:

Els punts de discontinuïtat de f�són aquells enels quals s’anul.la el denominador:

xx2

101 ==±

x

xx

21

00 ==

=()== fxxx

x

x

x()

2

221

2

211

+12

, ,12

+12

,

,12

() 21012

2xx +==

=+

=

=+

fxxx

xx

()

()()

(

121

12112

221

3

2122

xx +=

+ )()

2.Els intervals determinats pels zeros i els puntsde discontinuïtat de f�són:

(, 1) , (1, 0) , (0, 1) i (1, +)

3.Construïm la taula de monotonia de f:

Per tant, f és estrictament decreixent en (, 1) i (1, 0), i estrictament creixent en (0, 1) i (1, +).

d)1.f(x) =(ex2)=ex2

(2 x) =2 xex2

Els zeros de f�són: 2 xex2=0 x =0

f�no té punts de discontinïtat, ja que és pro-ducte de dues funcions contínues en �.

2.Els intervals que hem de considerar són (, 0) i (0, +).

3.Construïm la taula de monotonia de f:

Per tant, f és estrictament creixent en (, 0)i es-trictament decreixent en (0, +).

2.DERIVADA I CURVATURA D’UNA FUNCIÓ

4.Hem de calcular la derivada segona de cada funció i avaluar-la en el punt demanat per tal de veure quinsigne té:

a)f(x) =x3x2, f(x) =3 x22 x ,

f(x) =6 x 2

f(3) =6 (3) 2 <0 f és còncava en x =3.

b)f(x) =2 x33 x2, f(x) =6 x26 x ,

f(x) =12 x 6

f(0) =12 0 6 <0 f és còncava en x =0.

c)

és convexa en x =5. => ff ()()

54

510 3

fxxx

fxxx

x

fx

(),()()

,

()

=+

=

=

22

2

11

21

14

(() x13

x(, 1)1(1, 3)3(3, +)

f(x)+00+

f(x)

x

f(x)+�+

f(x)�

+12

,12

,12

x(, 1)1(1, 0)0(0, 1)1(1, +)

f(x)�0+�+

f(x)

x(, 0)0(0, +)

f(x)+0

f(x)

C M

Y K

198


d)

és còncava en x =3.

e)

és còncava

en x =1.

f)

=4 <0 f és còncava en

5.Hem de trobar els zeros de la derivada segona i estu-diar el signe de la derivada tercera (o de la primera de-rivada que no s’anul.li a partir de la tercera) en aquestspunts:

a)•

•té un punt d’in-

flexió en .

b)•

•té un punt

d’inflexió en .

c)•no té solució; aleshores, f

no té zeros i, per tant, f no té punts d’inflexió.

d)•no té solució; alesho-

res, f no té punts d’inflexió.

01

12

3==

()fx

x

()

04

13 == fx

x()

()

x=12

==> fxff (), 1212

120

012612

=== fxxx ()

x=13

==> fxff (), 613

60

06213

=== fxxx ()

x=3

4.

fxtgxfxx

fxsinx

x(),()

cos,()

cos===

12 23

== fsin 3

42

3434

2

22

22

3cos

= 3

==< fxf ()()

31241

421

214

04

33

fxxfxx

x

fxxx

(),(),

()

==

=

23

22

324

4

32

3

4

(() 233

x

=

()< ff ()3

1

31

02

3

fxxfxx

x

fx

x

(),(),

()

==

=

()

2

2

23

11

1

1

e)•

x =0 o x =2, però x =2 no és del domini def; aleshores, només hem de considerar x =0.

•

té un punt d’inflexió

en x =0.

f)•

•

f té un punt d’inflexió en x =k, k �.

6.a)1.f(x) =x3x28 x , f(x) =3 x22 x 8,

f(x) =6 x 2

Els zeros de f�són: 0 =6 x 2

f� no té punts de discontinuïtat, ja que és po-linòmica.

2.Els intervals definits pels zeros (i els punts de

discontinuitat) de f�són i .

3.Elaborem una taula en què indiquem la curva-tura de f a partir del signe de f�:

Per tant, la funció és còncava en i

convexa en .

b)1.g(x) =x33 x +2 , g(x) =3 x23 ,

g(x) =6 x

Els zeros de g�són: 0 =6 x x =0

gés polinòmica; aleshores, no té punts de dis-continuïtat.


13

,+

,13

13

,+ ,13

x=13

=+

=+

fxsinx

x

fksink

()cos

()()

co

24

24

2

4

2

ss()4

201

20k

=+

=>

020 3 ==== fxsinx

xsinxxk

k

()cos

,

. �

=

()< ff ()0

96

820 5

=

()fx

xx

x

(),312096

82

63

35

0324

42

03244

33

4==

()= fx

xx

x

xx ()

x

f(x)0+

f(x)

13

,+13

,13

� �

198

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

esd)

és còncava en x = 3.

e)

és còncava

en x = 1.

f )

= 4 < 0 f és còncava en

5. Hem de trobar els zeros de la derivada segona i estu-diar el signe de la derivada tercera (o de la primera de-rivada que no s’anul.li a partir de la tercera) en aquestspunts:

a) •

• té un punt d’in-

flexió en .

b) •

• té un punt

d’inflexió en .

c) • no té solució; aleshores, f

no té zeros i, per tant, f no té punts d’inflexió.

d) • no té solució; alesho-

res, f no té punts d’inflexió.

01

123

= =

( )f x

x

( )

04

1 3= =f x

x( )

( )

x =12

= = >f x f f( ) ,1212

12 0

0 12 612

= = =f x x x( )

x =13

= = >f x f f( ) ,613

6 0

0 6 213

= = =f x x x( )

x =3

4.

f x tg x f xx

f xsin x

x( ) , ( )

cos, ( )

cos= = =

12

2 3

= =fsin3

42

3434

2

22

22

3cos=

3

= = <f x f( )( )

3 1 24 1

4 2 1

214

04

3 3

f x x f xx

x

f xx x

( ) , ( ) ,

( )

= =

=

23

2 2

3 24

4

32

3

4

(( )2 3 3x

=

( )<f f( )3

1

3 1

02

3

f x x f xx

x

f x

x

( ) , ( ) ,

( )

= =

=

( )

2

2

23

11

1

1

e) •

x = 0 o x = 2, però x = 2 no és del domini def; aleshores, només hem de considerar x = 0.

•

té un punt d’inflexió

en x = 0.

f) •

•

f té un punt d’inflexió en x = k , k �.

6. a) 1. f(x) = x3 x2 8 x , f (x) = 3 x2 2 x 8,

f (x) = 6 x 2

Els zeros de f� són: 0 = 6 x 2

f � no té punts de discontinuïtat, ja que és po-linòmica.

2. Els intervals definits pels zeros (i els punts de

discontinuitat) de f� són i .

3. Elaborem una taula en què indiquem la curva-tura de f a partir del signe de f�:

Per tant, la funció és còncava en i

convexa en .

b) 1. g(x) = x3 3 x + 2 , g (x) = 3 x2 3 ,

g (x) = 6 x

Els zeros de g� són: 0 = 6 x x = 0

g és polinòmica; aleshores, no té punts de dis-continuïtat.


13

, +

,13

13

, +,13

x =13

=+

=+

f xsin x

x

f ksin k

( )cos

( )( )

co

2 4

2 4

2

4

2

ss ( )4

2 01

2 0k

=+

= >

0 2 03

= = = =f xsin x

xsin x x k

k

( )cos

,

.�

=

( )<f f( )0

96

8 20

5

=

( )f x

x x

x

( ) ,3 120 96

8 2

6 3

35

03 24

4 2

0 3 244

33

4= =

( )=f x

x x

x

x x( )

x

f (x) 0 +

f(x)

13

, +13

,13

��

CM

YK

199


3. La taula de curvatura de g és:

Per tant, g és còncava en ( , 0) i convexa en(0, + ).

c) 1.

h� no té zeros, ja que el numerador mai no s’a-nul.la.

Els punts de discontinuïtat de h� són els zerosdel denominador

(1 x)3 = 0 x = 1

h xx

x

h xx x

x

h xx

( )

( )( )

( )( )

=

=

=

2

2

2

3

12

12

1


3. Elaborem la taula de curvatura de h:

Per tant, h és convexa en ( , 1) i còncava en(1, + ).

d) 1. i(x) = 2 sin x , i (x) = 2 cos x ,

i (x) = 2 sin x

Els zeros de i� són:

2 sin x = 0 x = k , k �

i� no té discontinuïtat, ja que sin x és una fun-ció contínua en �.

2. Hem de considerar els intervals:

(k , (k + 1) ), k �

x ( , 0) 0 (0, + )

g (x) 0 +

g(x) �� x ( , 1) 1 (1, + )

h (x) + �h(x) ��

3. Elaborem la taula de curvatura de i:

Per tant, i és convexa en els intervals de la forma ((2 k 1) , 2 k ) i còncava en els de la forma (2 k , (2 k + 1) ), en què k �.

x ... ((2 k 1) , 2 k ) 2 k (2 k , (2 k + 1) ) (2 k + 1) ...

i (x) + 0 0

i(x)

� �

e)

Per tant, , per la qual cosa j� i i� tenen

el mateix signe. Així, doncs, les funcions j i i tenenels mateixos intervals de concavitat i convexitat.

f) 1. k(x) = xex , k (x) = ex (x + 1) ,

k (x) = ex (x + 2)

Els zeros de k� són: 0 = ex (x + 2) x = 2

k� és contínua; aleshores, no té punts de dis-continuïtat

2. Hem de considerar els intervals ( , 2) i ( 2, + ).

3. Elaborem la taula de curvatura de k:

Així, doncs, k és còncava en ( , 2) i convexaen ( 2, + ).

=j x i x( ) ( )12

j x x sin x i x( ) cos ( )= = =2

12

x ( , 2) 2 ( 2, + )

k (x) 0 +

k(x) ��

3. REPRESENTACIÓ GRÀFICA DE FUNCIONS

7. a) 1. Domini: D(f) = �, ja que f és polinòmica.

2. Talls amb els eixos:

— Amb l’eix OX:

— Amb l’eix OY:

f(0) = 03 02 8 0 = 0

3. Signe: Considerem els intervals determinatspels zeros de f, ja que no té discontinuïtats pelfet que f és polinòmica, i veiem quin és el seusigne en cadascun:

0 8

1 332

3 37

1 332

2 37

3 2= =

=+

=

= =

f x x x x

x

x i

( )

,

, xx = 0

x ( , 2,37) 2,37 ( 2,37, 0)

f(x) 0 +

x 0 (0, 3,37) 3,37 (3,37, + )

f(x) 0 0 +

199

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

3.La taula de curvatura de g és:

Per tant, g és còncava en (, 0) i convexa en(0, +).

c)1.

h�no té zeros, ja que el numerador mai no s’a-nul.la.

Els punts de discontinuïtat de h�són els zerosdel denominador

(1 x)3=0 x =1

hxx

x

hxxx

x

hxx

()

()()

()()

=

=

=

2

2

2

3

12

12

1


3.Elaborem la taula de curvatura de h:

Per tant, h és convexa en (, 1) i còncava en(1, +).

d)1.i(x) =2 sin x , i(x) =2 cos x ,

i(x) =2 sin x

Els zeros de i�són:

2 sin x =0 x =k, k �

i�no té discontinuïtat, ja que sin x és una fun-ció contínua en �.

2.Hem de considerar els intervals:

(k, (k +1) ), k �

x(, 0)0(0, +)

g(x)0+

g(x)� �x(, 1)1(1, +)

h(x)+�h(x)� ��

3.Elaborem la taula de curvatura de i:

Per tant, i és convexa en els intervals de la forma ((2 k 1) , 2 k) i còncava en els de la forma (2 k, (2 k +1) ), en què k �.

x...((2 k 1), 2 k)2 k(2 k, (2 k +1))(2 k +1)...

i(x)+00

i(x)��

e)

Per tant, , per la qual cosa j�i i�tenen

el mateix signe. Així, doncs, les funcions j i i tenenels mateixos intervals de concavitat i convexitat.

f)1.k(x) =xex, k(x) =ex(x +1) ,

k(x) =ex(x +2)

Els zeros de k�són: 0 =ex(x +2) x =2

k�és contínua; aleshores, no té punts de dis-continuïtat

2.Hem de considerar els intervals (, 2) i (2, +).

3.Elaborem la taula de curvatura de k:

Així, doncs, k és còncava en (, 2) i convexaen (2, +).

= jxix ()()12

jxxsinxix ()cos() ===2

12

x(, 2)2(2, +)

k(x)0+

k(x)� �

3.REPRESENTACIÓ GRÀFICA DE FUNCIONS

7.a)1.Domini: D(f) =�, ja que f és polinòmica.

2.Talls amb els eixos:

—Amb l’eix OX:

—Amb l’eix OY:

f(0) =03028 0 =0

3.Signe: Considerem els intervals determinatspels zeros de f, ja que no té discontinuïtats pelfet que f és polinòmica, i veiem quin és el seusigne en cadascun:

08

1332

337

1332

237

32==

=+

=

==

fxxxx

x

xi

()

,

,xx=0

x(, 2,37)2,37(2,37, 0)

f(x)0+

x0(0, 3,37)3,37(3,37, +)

f(x)00+

C M

Y K

200


4.Simetries i periodicitat: No en té, ja que:

f(x) f(x) f(x)

5.Asímptotes i branques infinites:

f no té asímptotes ja que és una funció poli-nòmica no constant ni lineal.

f té branques infinites en +i , ja que:

lim(),lim()xx

fxfx+

=+=

6.Monotonia i extrems relatius:

Calculem f�i n’estudiem el signe en els inter-vals determinats pels seus zeros i punts de dis-continuïtat:

f(x) =3 x22 x 8

f(x) =0 x =2 i

Com que f�no té discontinuïtats pel fet que és polinòmica, considerem la taula:

x=43

Així, f és estrictament creixent en

i en (2, +), i és estrictament decreixent en

7.Curvatura i punts d’inflexió:

f(x) =6 x 2

f(x) =0

Com que f�no té discontinuïtats pel fet que éspolinòmica, els intervals que hem de considerarsón els que defineixen els seus zeros, és a dir:

Aleshores, f és còncava en l’interval

és convexa en l’interval i té un punt

d’inflexió en .

Amb aquesta informació, en podem elaborar lagràfica:

x=13

13

,+

,,13

x=13

43

2,.

,43

b)1.Domini:D(g) =�,ja que g és polinòmica.


—Amb l’eix OX:

0 =g(x) =x33 x +2

x =1 i x =2

—Amb l’eix OY:

g(0) =033 0 +2 =2

3.Signe: com que g és polinòmica, consideremels intervals donats pels zeros de g i hi calculemels signes:


g(x) g(x) g(x)


g no té asímptotes pel fet que és polinòmica degrau major que 1.

g té branques infinites en +i , ja que:


Calculem g�i n’estudiem el signe en els inter-vals donats pels seus zeros, ja que no té discon-tinuïtats:

g(x) =3 x23

g(x) =0 x =1 i x =1

lim(),lim()xx

gxgx+

=+=

x2(2, +)

f(x)+00+

f(x)Mm

43

2, 43

,43

f(x) = x3 – x2 – 8xY

X

5

–55

–5

–10

x

f(x)0+

13

,+ 13

,13

� �x(, 2)2(2, 1)1(1, +)

g(x)0+0+

200

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que:

f( x) f(x) f( x)

5. Asímptotes i branques infinites:

f no té asímptotes ja que és una funció poli-nòmica no constant ni lineal.

f té branques infinites en + i , ja que:

lim ( ) , lim ( )x x

f x f x+

= + =

6. Monotonia i extrems relatius:

Calculem f� i n’estudiem el signe en els inter-vals determinats pels seus zeros i punts de dis-continuïtat:

f (x) = 3 x2 2 x 8

f (x) = 0 x = 2 i

Com que f� no té discontinuïtats pel fet que és polinòmica, considerem la taula:

x =43

Així, f és estrictament creixent en

i en (2, + ), i és estrictament decreixent en

7. Curvatura i punts d’inflexió:

f (x) = 6 x 2

f (x) = 0

Com que f� no té discontinuïtats pel fet que éspolinòmica, els intervals que hem de considerarsón els que defineixen els seus zeros, és a dir:

Aleshores, f és còncava en l’interval

és convexa en l’interval i té un punt

d’inflexió en .

Amb aquesta informació, en podem elaborar lagràfica:

x =13

13

, +

, ,13

x =13

43

2, .

,43

b) 1. Domini: D(g) = �, ja que g és polinòmica.


— Amb l’eix OX:

0 = g(x) = x3 3 x + 2

x = 1 i x = 2

— Amb l’eix OY:

g(0) = 03 3 0 + 2 = 2

3. Signe: com que g és polinòmica, consideremels intervals donats pels zeros de g i hi calculemels signes:

4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que:

g( x) g(x) g( x)


g no té asímptotes pel fet que és polinòmica degrau major que 1.

g té branques infinites en + i , ja que:


Calculem g� i n’estudiem el signe en els inter-vals donats pels seus zeros, ja que no té discon-tinuïtats:

g (x) = 3 x2 3

g (x) = 0 x = 1 i x = 1


g x g x+

= + =

x 2 (2, + )

f (x) + 0 0 +

f(x) M m

43

2,43

,43

f(x) = x3 – x2 – 8xY

X

5

–5 5

–5

–10

x

f (x) 0 +

13

, +13

,13

��

x ( , 2) 2 ( 2, 1) 1 (1, + )

g(x) 0 + 0 +

CM

YK

201


Així, considerem la taula següent:

Per tant, g és estrictament creixent en ( , 1) i (1, + ), estrictament decreixent en( 1, 1) i presenta un màxim en x = 1 i un mí-nim en x = 1.


Calculem g� i n’estudiem el signe en els inter-vals donats pels seus zeros, ja que, pel fet queés polinòmica, no té discontinuïtats:

g (x) = 6 x g (x) = 0 x = 0

Així, en resulta la taula següent:

Per tant, g és còncava en ( , 0), convexa en(0, + ) i en x = 0 presenta un punt d’inflexió.

Així, podem respresentar la gràfica de g:

c) 1. Domini:

D(h) = {x � � 1 x 0} = � {1}


— Amb l’eix OX:

h(x) = 0 x2 = 0 x = 0

— Amb l’eix OY:

h( )00

1 00

2

= =

g(x) = x3 – 3x + 2

Y

–1 X–3

–1

1

2

3

4

1 2 3

3. Signe: Considerem els intervals determinatspel seu únic zero, x = 0, i el seu únic punt dediscontinuïtat, x = 1.

4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que:

h( x) h(x) h( x)


• la recta x = 1 és una asímptota vertical, ja que:

• h no té asímptotes horitzontals, ja que:

• A.O:

Així, y = x 1 és asímptota oblíqua de h, pertots dos costats.


Calculem h� i considerem els intervals donatspels seus zeros i les seves discontinuïtats:

h (x) = 0 x = 0 i x = 2

h té una discontinuïtat en x = 1.


= =

= =

h xx

x

x x x

x

x

( )

( ) ( )

( )

2

2

2

1

2 1 1

1

2 x

x

2

21( )

mh x

xx

x xb

x x

x

= = =

=

± ±

±

lim( )

lim

lim

2

21

(( ( ) ( ))

lim

lim

h x x

xx

xx

x

=

= + =

=

±

2

1

±

±

+=

= =lim

x x xx

xxx

2 2

1

11


h x h x+

= = +

lim ( )x

h x =1

x ( , 1) 1 ( 1, 1) 1 (1, + )

g (x) + 0 0 +

g(x) M mx ( , 0) 0 (0, 1) 1 (1, + )

h(x) + 0 + �

x ( , 0) 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 (2, + )

h (x) 0 + � + 0

h(x) m � M

x ( , 0) 0 (0, + )

g (x) 0 +

g(x) PI� �

201

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es


Per tant, g és estrictament creixent en (, 1) i (1, +), estrictament decreixent en(1, 1) i presenta un màxim en x =1 i un mí-nim en x =1.


Calculem g�i n’estudiem el signe en els inter-vals donats pels seus zeros, ja que, pel fet queés polinòmica, no té discontinuïtats:

g(x) =6 x g(x) =0 x =0

Així, en resulta la taula següent:

Per tant, g és còncava en (, 0), convexa en(0, +) i en x =0 presenta un punt d’inflexió.

Així, podem respresentar la gràfica de g:

c)1.Domini:

D(h) ={x ��1 x 0} =�{1}


—Amb l’eix OX:

h(x) =0 x2=0 x =0

—Amb l’eix OY:

h()00

100

2

==

g(x) = x3 – 3x + 2

Y

–1X –3

–1

1

2

3

4

123

3.Signe: Considerem els intervals determinatspel seu únic zero, x =0, i el seu únic punt dediscontinuïtat, x =1.


h(x) h(x) h(x)


•la recta x =1 és una asímptota vertical, ja que:

•h no té asímptotes horitzontals, ja que:

•A.O:

Així, y =x 1 és asímptota oblíqua de h, pertots dos costats.


Calculem h�i considerem els intervals donatspels seus zeros i les seves discontinuïtats:

h(x) =0 x =0 i x =2

hté una discontinuïtat en x =1.


==

==

hxx

x

xxx

x

x

()

()()

()

2

2

2

1

211

1

2x

x

2

21()

mhx

xx

xxb

xx

x

===

=

±±

±

lim()

lim

lim

2

21

((()())

lim

lim

hxx

xx

xx

x

=

=+=

=

±

2

1

±

±

+=

== lim

xxxx

xx x

22

1

11

lim(),lim()xx

hxhx+

==+

lim()x

hx=1

x(, 1)1(1, 1)1(1, +)

g(x)+00+

g(x)Mmx(, 0)0(0, 1)1(1, +)

h(x)+0+�

x(, 0)0(0, 1)1(1, 2)2(2, +)

h(x)0+�+0

h(x)m�M

x(, 0)0(0, +)

g(x)0+

g(x)PI

��

C M

Y K

202


4.TEOREMES SOBRE FUNCIONS DERIVABLES

8.Vegem si f(x) =x3x2satisfà les tres hipòtesis del teorema de Rolle en [0, 1]:

•f contínua en [0,1]: es verifica, ja que f és polinò-mica.

•f derivable en (0,1): es verifica, ja que f és polinòmica.

•f(0) =f(1): f(0) =0302=0 =1312=f(1); alesho-res, també es verifica.

Així, h és estrictament creixent en (0,1) i (1, 2) i estrictament decreixent en (, 0)i (2, +). A més, presenta en x =0 un mínimrelatiu i en x =2 un màxim relatiu.


Calculem h�, els seus zeros i les seves disconti-nuïtats i a partir d’aquests punts determinemels intervals en què estudiem el signe de h�.

Com que h�no té zeros i té una discontinuïtaten x =1, en resulten els intervals següents:

Així, h és convexa en (, 1) i còncava en (1, +).

Per tant, la representació gràfica de h és:

==

=

hxxx

x

xxxx

()()

()()()(

2

1

221221

2

2

22

=

=

x

x

x

)()

()

()

1

1

2

1

4

3

x(, 1)1(1, +)

h(x)+�

h(x)��

h(x) =

X 5

Yx2

1 – x

10

5

–5

–5

Per tant, f verifica la hipòtesi del teorema de Rolle;aleshores, complirà la tesi d’aquest teorema:

c (0, 1) �f(c) =0

Per tal de trobar el valor de c, derivem f i igualem a 0la derivada:

f(x) =3 x22 x , f(x) =0 x =0 o

Com que 0(0, 1), el valor de c és

—Atès que f compleix les hipòtesis del teorema de Rolle, també complirà les del teorema de La-grange, ja que són les dues primeres del teoremade Rolle.

Per tant, se satisfarà la tesi:

Observem que és la mateixa condició que la obtin-guda en el teorema de Rolle; aleshores, ja hem

calculat el valor de c:

(Això es deu al fet que el teorema de Rolle és el casparticular del teorema de Lagrange en què es veri-fica que f(a) =f(b).)

9.a)

Per tal d’eliminar la indeterminació, apliquem laregla de L’Hôpital:

b)

Efectuem la resta:

Apliquem la regla de L’Hôpital

Apliquem altre cop la regla de L’Hôpital

=2201200

32

+=

limcos()cos()sin()

six

xxxxx

x

++

1

2

2

1111

1nn()cos()cos()lnsin() x

xx

xxxx ++

=

11

11

11

limsin()cos()

sin()lncx

xxx

xxx

+

+1

111

11oos() x

=+

+=

1

01100

00

limlnsin()

limsin()

xx

xxx

xx=

11

11

1=

lnlnsin()

xxx1

00

limlnsin() x

xxx

=1

11

limlimx

x

xx

xex

ex

ex=

+

0

3

40

33

4

333

4

cos

cos

sin

eexx 4

44

3040

34

+=

=+

+=

sin

limx

x

x

ex

ex==

0

3

4

3

4

1111

00

cos

cos

c=23

.

===

c

fcff

(,)

()()()

01

1010

0010

0

c=23

.

x=23

202

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es 4. TEOREMES SOBRE FUNCIONS DERIVABLES

8. Vegem si f(x) = x3 x2 satisfà les tres hipòtesis del teorema de Rolle en [0, 1]:

• f contínua en [0,1]: es verifica, ja que f és polinò-mica.

• f derivable en (0,1): es verifica, ja que f és polinòmica.

• f(0) = f(1): f(0) = 03 02 = 0 = 13 12 = f(1); alesho-res, també es verifica.

Així, h és estrictament creixent en (0,1) i (1, 2) i estrictament decreixent en ( , 0)i (2, + ). A més, presenta en x = 0 un mínimrelatiu i en x = 2 un màxim relatiu.


Calculem h�, els seus zeros i les seves disconti-nuïtats i a partir d’aquests punts determinemels intervals en què estudiem el signe de h�.

Com que h� no té zeros i té una discontinuïtaten x = 1, en resulten els intervals següents:

Així, h és convexa en ( , 1) i còncava en (1, + ).

Per tant, la representació gràfica de h és:

= =

=

h xx x

x

x x x x

( )( )

( )( ) ( ) (

2

1

2 2 1 2 2 1

2

2

2 2

=

=

x

x

x

)( )

( )

( )

1

1

2

1

4

3

x ( , 1) 1 (1, + )

h (x) + �

h(x) � ��

h(x) =

X5

Y x2

1 – x

10

5

–5

–5

Per tant, f verifica la hipòtesi del teorema de Rolle;aleshores, complirà la tesi d’aquest teorema:

c (0, 1) � f (c) = 0

Per tal de trobar el valor de c, derivem f i igualem a 0la derivada:

f (x) = 3 x2 2 x , f (x) = 0 x = 0 o

Com que 0 (0, 1), el valor de c és

— Atès que f compleix les hipòtesis del teorema de Rolle, també complirà les del teorema de La-grange, ja que són les dues primeres del teoremade Rolle.


Observem que és la mateixa condició que la obtin-guda en el teorema de Rolle; aleshores, ja hem

calculat el valor de c:

(Això es deu al fet que el teorema de Rolle és el casparticular del teorema de Lagrange en què es veri-fica que f(a) = f(b).)

9. a)

Per tal d’eliminar la indeterminació, apliquem laregla de L’Hôpital:

b)

Efectuem la resta:


Apliquem altre cop la regla de L’Hôpital

=22 0 12 0 0

32

+=

limcos( ) cos( ) sin( )

six

x x x xx

x

+ +

1

2

2

1 1 11

1nn( ) cos( ) cos( ) ln sin( )x

xx

xx x x+ +

=

11

11

1 1

limsin( ) cos( )

sin( ) ln cx

x xx

xx x

+

+1

1 11

11 oos( )x

=+

+=

1

0 1 10 0

00

limln sin( )

limsin( )

x x

xx x

x x=

1 1

11

1=

lnln sin( )

xx x 1

00

limln sin( )x

xx x

=1

11

lim limx

x

x x

xe x

e x

e x=

+

0

3

4 0

33

4

3 3 3

4

cos

cos

sin

ee xx4 4 4

3 04 0

34

+=

=+

+=

sin

limx

x

x

e x

e x= =

0

3

4

3

4

1 11 1

00

cos

cos

c =23

.

= = =

c

f cf f

( , )

( )( ) ( )

0 1

1 01 0

0 01 0

0

c =23

.

x =23

CM

YK

203



Per tant

g)

Per a resoldre la indeterminació utilitzant L’Hôpi-tal, prenem els logaritmes:

h)

Prenem el logaritme de la indeterminació:


Per tant

5. OPTIMITZACIÓ DE FUNCIONS

10. 1. Volem optimitzar la funció que ens dóna el pro-ducte d’un dels nombres pel cub de l’altre.

Si anomenem x el primer nombre i y el segon,l’expressió analítica d’aquesta funció és f(x, y) == x � y3.

2. Per tal de relacionar les dues variables, imposemque els nombres han de sumar 48 i aïllem una va-riable en funció de l’altra:

x + y = 48 x = 48 y

limx

xxe=

2

31

4 38

8

2

lim lim limx x x

x

x

xxx x

= = =2

3

2

2 2 2

8 38

2

3

23

2

38

=2

1limx xx

x

x

x2

3

2

3

4 8

8=ln lim

ln

xx2 4

00

=

ln lim limx

x

x

x=

2

31

4

8

2

=2

31

4

8

2

lnx x

limx

xx=

2

31

4

81

2

ln lim ( ) lim ( )x

x

x

xx x+ = +21

21

2 2 =

= + =+

lim ln( ) limln(

x xxx

x12

222 ))

lim lim

xx

x x

xx x

=

=+

=+

=

2

21

2

20

2

2

lim ( )x

xx + =21

02

limx

x

xe e= =

0

111

1

limx

x =0

11

11

1x

== [ ] = =lim ln ln( ) limln( )

x xxx

xx0 0

11 1

1 00

c)

Com que la indeterminació és del tipus , apli-

quem directament la regla de L’Hôpital:

d)

Per resoldre la indeterminació prenem el logarit-me:

Reescrivim la indeterminació per obtenir-neuna del tipus:

Apliquem la regla de L’Hôpital:

Per tant

e)

Transformem la indeterminació en una del tipus

per tal d’aplicar la regla de L’Hôpital:

f)


ln lim lim lnx

x

xx x=

0

1

0

11

11

=

1

0

1 11

x

x x xlim ln ==

limx

x

x=

0

1

11

1

lim ( ln ) limln

lim

li

x x xx x

x

x

x

x

= = =

=

0

2

02

03

1

1

2

mm limx x

xx

x= =

0

3

0

2

2 20

lim ( ln )x

x x =0

2 0

lim( cos )x

xx e= =0

01 1

=cx4 oos ( )sin

cosx x x

x+

= =2 0

10

2

=+ +

=limsin cos cos sin

cosx

x x x x x x xx0

22 2 2

=+

=limsin cos

sinx

x x x xx0

22

lim cossin sin

cosx

xx

x

x xx

= =0

2

21

11 1

lim ln( cos ) limln( cos )

x xx x

x

x

[ ] = =0 0

11

1

= =lim ln( cos ) ( )x

x x0

1 0

ln lim( cos ) lim ln( cos )x

x

x

xx x=0 0

1 1 =

lim( cos )x

xx =0

01 0

lim limx x x x

x

e e+ += = =

2 2 20

limx x

x

e+=

2

L’Hôpital

L’Hôpital

203

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es


Per tant

g)

Per a resoldre la indeterminació utilitzant L’Hôpi-tal, prenem els logaritmes:

h)



Per tant

5.OPTIMITZACIÓ DE FUNCIONS

10.1.Volem optimitzar la funció que ens dóna el pro-ducte d’un dels nombres pel cub de l’altre.

Si anomenem x el primer nombre i y el segon,l’expressió analítica d’aquesta funció és f(x, y) ==x �y3.

2.Per tal de relacionar les dues variables, imposemque els nombres han de sumar 48 i aïllem una va-riable en funció de l’altra:

x +y =48 x =48 y

limx

x xe =

2

31

438

8

2

limlimlimxxx

x

x

xxxx

===2

3

2

222

838

2

3

23

2

38

=2

1limxxx

x

x

x 2

3

2

3

48

8= lnlim

ln

xx2

4

00

=

lnlimlimx

x

x

x=

2

31

4

8

2

=2

31

4

8

2

lnxx

limx

x x=

2

31

4

81

2

lnlim()lim()x

x

x

xxx +=+

21

21

22=

=+=+

limln()limln(

xx xx

x 12

2 22

))

limlim

xx

xx

x xx

=

=+

=+

=

2

21

2

20

2

2

lim()x

xx+=

21

02

limx

x

xee ==

0

11 1

1

limx

x=0

11

11

1x

==[]== limlnln()limln()

xx xx

xx 00

111

100

c)

Com que la indeterminació és del tipus , apli-

quem directament la regla de L’Hôpital:

d)

Per resoldre la indeterminació prenem el logarit-me:

Reescrivim la indeterminació per obtenir-neuna del tipus:

Apliquem la regla de L’Hôpital:

Per tant

e)

Transformem la indeterminació en una del tipus

per tal d’aplicar la regla de L’Hôpital:

f)


lnlimlimlnx

x

x xx=

0

1

0

11

11

=

1

0

111

x

xxxlimln==

limx

x

x=

0

1

11

1

lim(ln)limln

lim

li

xxxxx

x

x

x

x

===

=

0

2

02

03

1

1

2

mmlimxx

xx

x==

0

3

0

2

220

lim(ln)x

xx=0

20

lim(cos)x

xxe ==

0

011

=c x4oos()sin

cosxxx

x+

==20

10

2

=++

= limsincoscossin

cos x

xxxxxxxx 0

2222

=+

= limsincos

sin x

xxxxx 0

22

limcossinsin

cos x

xx

x

xxx

==0

2

21

111

limln(cos)limln(cos)

xxxx

x

x

[]==00

11

1

== limln(cos)()x

xx0

10

lnlim(cos)limln(cos)x

x

x

xxx =

0011=

lim(cos)x

xx=

0

010

limlimxxxx

x

ee ++===

2220

limxx

x

e +=

2

L’Hôpital

L’Hôpital

C M

Y K

204


L’expressió de la funció que s’optimitzarà depe-nent d’una sola variable és:

f(y) =x y3=(48 y) y3=48 y3y4

3.Busquem els extrems relatius de f:

0 =f(y) =144 y24 y3y =0 o y =36

Vegem que y =36 és un màxim relatiu calculantf�:

f(y) =288 y 12 y2, f(36) =5184 <0 y =36 és un màxim relatiu de f.

Els nombres que volíem cercar són

y =36 i x =48 36 =12

11.1.La funció que volem optimitzar és la que ens dónael volum del con:

en què r és el radi de la base i h l’altura del con.

2.Per tal de relacionar les variables r i h de la funcióque s’optimitzarà, fem un dibuix que ens mostri uncon inscrit en una esfera de radiR.

Observem que podem relacionar els valors de R, ri h mitjançant el teorema de Pitàgores:

R2=r2+(h R)2r2=R2(h R)2

En el nostre cas, com que el radi de l’esfera és R =20 cm:

r2=202(h 20)2=40 h h2

Així, la funció que optimitzarem s’expressa comuna funció d’una variable de la manera següent:

3.Trobem els extrems relatius de V(h):

Òbviament, en h =0 no s’assoleix el màxim vo-lum.

013

803

0803

2==

==

Vhhh

hoh

()()

Vhrhhhh

hh

()()

()

===

=

13

13

40

13

40

22

23

R

h – R R

r

Vrhrh (,)=13

2

Comprovem si correspon a un màxim

relatiu:

és un

màxim relatiu de la funció V(h).

El con de major volum que es pot inscriure en una esfera de radi R =20 cm és el que té altura

cm i radi de la base:

12.1.La funció que hem de minimitzar és la que ensdóna l’àrea de la superfície cilíndrica que consti-tueix el bidó.

Si anomenem h l’altura i r el radi de la base, l’àreadel cilindre (incloent-hi les tapes) és:

A(h, r) =h 2 r +2 r2=2 r (h +r)

2.Per tal de relacionar les dues variables, imposem elque desitgem: que la capacitat del bidó (és a dir, elvolum del cilindre) sigui de 150 L =0,15 m3:

la funció que s’optimitzarà té la següent expressióanalítica en funció de r:

3.Busquem els extrems relatius de A(r):

Comprovem que aquest valor és un mínim relatiu

és un mínim relatiu de A(r).

El bidó cilíndric amb capacitat per a 150 l que ne-cessita menys xapa per a la seva fabricació és el queté el radi de la base r =28,8 cm i altura:

hcm ===015

02880576576 2

,

(,),,

=+

=>=

Arr

Ar

(),

,,

064

034

120288

3

3cm

003

4

034

0288

2

3

==+

==

Arr

r

rm

(),

,,

Arrhrrr

r

rr

()(),

,

=+=+=

=+

22015

032

2

2

015015 2

2 ,,

=== Vrhhr

rcm == 40803

803

403

22

h=803

=<= Vh803

13

801600803

()

= Vhh ()()13

806

h=803

204

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

esL’expressió de la funció que s’optimitzarà depe-nent d’una sola variable és:

f(y) = x y3 = (48 y) y3 = 48 y3 y4

3. Busquem els extrems relatius de f:

0 = f (y) = 144 y2 4 y3 y = 0 o y = 36

Vegem que y = 36 és un màxim relatiu calculantf �:

f (y) = 288 y 12 y2 , f (36) = 5 184 < 0 y = 36 és un màxim relatiu de f.

Els nombres que volíem cercar són

y = 36 i x = 48 36 = 12

11. 1. La funció que volem optimitzar és la que ens dónael volum del con:

en què r és el radi de la base i h l’altura del con.

2. Per tal de relacionar les variables r i h de la funcióque s’optimitzarà, fem un dibuix que ens mostri uncon inscrit en una esfera de radi R.

Observem que podem relacionar els valors de R, ri h mitjançant el teorema de Pitàgores:

R2 = r2 + (h R)2 r2 = R2 (h R)2

En el nostre cas, com que el radi de l’esfera és R = 20 cm:

r2 = 202 (h 20)2 = 40 h h2

Així, la funció que optimitzarem s’expressa comuna funció d’una variable de la manera següent:

3. Trobem els extrems relatius de V(h):

Òbviament, en h = 0 no s’assoleix el màxim vo-lum.

013

80 3

0803

2= =

= =

V h h h

h o h

( ) ( )

V h r h h h h

h h

( ) ( )

( )

= = =

=

13

13

40

13

40

2 2

2 3

R

h – RR

r

V r h r h( , ) =13

2

Comprovem si correspon a un màxim

relatiu:

és un

màxim relatiu de la funció V(h).

El con de major volum que es pot inscriure en una esfera de radi R = 20 cm és el que té altura

cm i radi de la base:

12. 1. La funció que hem de minimitzar és la que ensdóna l’àrea de la superfície cilíndrica que consti-tueix el bidó.

Si anomenem h l’altura i r el radi de la base, l’àreadel cilindre (incloent-hi les tapes) és:

A (h, r) = h 2 r + 2 r2 = 2 r (h + r)

2. Per tal de relacionar les dues variables, imposem elque desitgem: que la capacitat del bidó (és a dir, elvolum del cilindre) sigui de 150 L = 0,15 m3:

la funció que s’optimitzarà té la següent expressióanalítica en funció de r:

3. Busquem els extrems relatius de A(r):

Comprovem que aquest valor és un mínim relatiu

és un mínim relatiu de A(r).

El bidó cilíndric amb capacitat per a 150 l que ne-cessita menys xapa per a la seva fabricació és el queté el radi de la base r = 28,8 cm i altura:

h cm= = =0 15

0 2880 576 57 62

,

( , ), ,

= +

= > =

A rr

A r

( ),

,,

0 64

0 34

12 0 28 8

3

3 cm

00 3

4

0 34

0 288

2

3

= = +

= =

A rr

r

r m

( ),

,,

A r r h r rr

r

rr

( ) ( ),

,

= + = + =

= +

2 20 15

0 32

2

2

0 150 152

2,

,= = =V r h h

r

r cm= =40803

803

403

22

h =803

= < =V h803

13

80 160 0803

( )

=V h h( ) ( )13

80 6

h =803

CM

YK

205


La distància mínima entre la recta i la paràbola és,doncs:

14. 1. La funció que ens interessa maximitzar és la queens dóna l’àrea d’un rectangle, A = b � h, en què bés la longitud de la seva base i h la seva altura.

2. Podem relacionar les variables b i h tenint encompte l’única cosa que sabem del rectangle: queestà inscrit en una circumferència de radi r.

D’acord amb la figura:

L’expressió de A(b, h) com a funció de b és, doncs:

3. Trobem els extrems relatius d’aquesta funció:

El rectangle de major àrea que es pot inscriure en una circumferència de radi r és el que té base

i altura h = és adir, el quadrat de costat


15. Una funció polinòmica de tercer grau és la que té unaexpressió analítica del tipus:

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d , a 0

Hem de trobar coeficients a, b, c i d perquè es com-pleixin les condicions demanades.

• Passa per l’origen de les coordenades:

f (0) = 0 d = 0

• Presenta un extrem relatiu en ( 2, 0):

• f ( 2) = 0 a ( 2)3 + b ( 2)2 + c ( 2) + d = 0

8 a + 4 b 2 c + d = 0

• f ( 2) = 0 3 a ( 2)2 + 2 b ( 2) + c = 0 12 a 4 b + c = 0

2 r.4 2 22 2r r =( )b r= 2

0 44

4 2

2 22

2 2

2 2 2

= =

= =

A b r bb

r b

r b b b r

( )

A b b h b r b( ) = = 4 2 2

rb h

h r b22 2

2 2

2 24= + =

b

h2

rh

b2

d12

12

12

2

2

7 28

2

=

+

=

13. 1. La funció que hem de minimitzar és la que ensdóna la distància d’un punt (x, y) de la paràbola ala recta y = x 2.

Atès que la distància d’un punt (p1, p2) a una rec-ta Ax + By + C = 0 ve donada per la fórmula:

L’expressió analítica de la funció que s’optimitzaràen funció de les variables x i y és:

2. Podem relacionar les variables x i y imposant que el punt (x, y) és de la gràfica de la funció f(x) = x2:

(x, y) = (x, f(x)) = (x, x2) y = x2

Per tant, la funció que s’optimitzarà és:

3. Per tal de trobar els extrems relatius, hem de deri-var la funció d.

Encara que el valor absolut no és derivable, en elspunts en els quals s’anul.la, en aquest cas no tenimcap problema.

En efecte, si el valor absolut s’anul.lés en algunpunt, això voldria dir que la distància d’aquest punta la recta és 0, és a dir, que el punt és de la recta;aleshores, la mínima distància s’assoliria en aquestpunt.

Comprovem, no obstant això, que �x x2 2� nos’anul.la mai:

�x x2 2 � = 0 x x2 2 = 0

i aquesta equació no té arrels reals.

Per tant, el seu valor absolut es pot expressar permitjà d’una única expressió analítica:

�x x2 2 � = (x x2 2) = x2 x + 2

En resum, la funció que volíem optimitzar és:

Ara no tenim cap problema per a trobar extremsrelatius:

Comprovem que és un mínim:

d és un mínim de d.= > =x12

2

20

12

=d x( )2

2

x =12

02 1

22 1 0

12

= = = =d xx

x x( )

d xx x x x

( ) = =+

2 22

2

2

2

d xx x

( ) =2 2

2

d x yx y x y

( , )( )

=+

=2

1 1

2

22 2

dAp Bp C

A B=

+ +

+

1 2

2 2

205

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

La distància mínima entre la recta i la paràbola és,doncs:

14.1.La funció que ens interessa maximitzar és la queens dóna l’àrea d’un rectangle, A =b �h, en què bés la longitud de la seva base i h la seva altura.

2.Podem relacionar les variables b i h tenint encompte l’única cosa que sabem del rectangle: queestà inscrit en una circumferència de radi r.

D’acord amb la figura:

L’expressió de A(b, h) com a funció de b és, doncs:

3.Trobem els extrems relatius d’aquesta funció:

El rectangle de major àrea que es pot inscriure en una circumferència de radi r és el que té base

i alturah =és adir, el quadrat de costat


15.Una funció polinòmica de tercer grau és la que té unaexpressió analítica del tipus:

f(x) =ax3+bx2+cx +d , a 0


•Passa per l’origen de les coordenades:

f (0) =0 d =0

•Presenta un extrem relatiu en (2, 0):

•f(2)=0a(2)3+b(2)2+c(2)+d=0

8 a +4 b 2 c +d =0

•f(2) =0 3 a (2)2+2 b (2) +c =0 12 a 4 b +c =0

2r.422

22rr= () br =2

044

42

222

22

222

==

==

Abrbb

rb

rbbbr

()

Abbhbrb ()==422

rbh

hrb2

2222

224 =+=

b

h2

rh

b2

d12

12

12

2

2

728

2

=

+

=

13.1.La funció que hem de minimitzar és la que ensdóna la distància d’un punt (x, y) de la paràbola ala recta y =x 2.

Atès que la distància d’un punt (p1, p2) a una rec-ta Ax +By +C =0 ve donada per la fórmula:

L’expressió analítica de la funció que s’optimitzaràen funció de les variables x i y és:

2.Podem relacionar les variables x i y imposant que el punt (x, y) és de la gràfica de la funció f(x) =x2:

(x, y) =(x, f(x)) =(x, x2) y =x2

Per tant, la funció que s’optimitzarà és:

3.Per tal de trobar els extrems relatius, hem de deri-var la funció d.

Encara que el valor absolut no és derivable, en elspunts en els quals s’anul.la, en aquest cas no tenimcap problema.

En efecte, si el valor absolut s’anul.lés en algunpunt, això voldria dir que la distància d’aquest punta la recta és 0, és a dir, que el punt és de la recta;aleshores, la mínima distància s’assoliria en aquestpunt.

Comprovem, no obstant això, que �x x22�nos’anul.la mai:

�x x22�=0 x x22 =0

i aquesta equació no té arrels reals.

Per tant, el seu valor absolut es pot expressar permitjà d’una única expressió analítica:

�x x22�=(x x22) =x2x +2

En resum, la funció que volíem optimitzar és:

Ara no tenim cap problema per a trobar extremsrelatius:

Comprovem que és un mínim:

dés un mínim de d. =>= x12

2

20

12

= dx()2

2

x=12

021

2210

12

==== dxx

xx ()

dxxxxx

()==+

22 2

2

2

2

dxxx

()=2

2

2

dxyxyxy

(,)()

=+

=2

11

2

2 22

dApBpC

AB=

++

+

12

22

C M

Y K

206


•Presenta un extrem relatiu en:

Per tant, hem de resoldre el sistema d’equacions se-güent:

Així, la solució és f(x) =3 x3+12 x2+12 x.

16.Una funció polinòmica de tercer grau és la que té unaexpressió analítica de la forma:

f(x) =ax3+bx2+cx +d , a 0


•Passa pel punt (0, 1):

f (0) =1 d =1

•Passa pel punt (1, 0):

f (1) =0 a +b +c +d =0

•En el punt (1, 0) la recta tangent a la gràfica té unpendent nul:

f(1) =0 3 a +2 b +c =0

•El punt (1, 0) és un punt d’inflexió:

f(1) =0 3 a +b =0

Resolem el sistema d’equacions:

Així, la solució és:f(x) =x3+3 x23 x +1.

17.Considerem la funció f(x) =x34 x +2. És clar que lessolucions de l’equació x34 x +2 =0 coincideixenamb els zeros de la funció f.

Per tant, el problema plantejat equival a demostrarque la funció f té un únic zero en l’interval (0, 1).

—Vegem que f té algun zero en l’interval (0, 1). Pera fer-ho, comprovem que f compleix les hipòtesisdel teorema de Bolzano en [0, 1]:

d

abcd

abc

ab

ab

=

+++=

++=

+=

==

1

0

320

30

13 ,,,, cd == 31

d

abcd

abc

ab

=

++=

+=

+=

0

8420

1240

12430

==== abcd34

330 ,,,

=++= fabc23

0323

223

02

+= 12430 ab

x=23

•f és contínua en [0, 1], ja que és polinòmica.

• f té signe oposat en els extrems de [0, 1]:

f(0) =2 >0 ; f(1) =1 <0

Per tant, es compliran les tesis del teorema:

c (0, 1) �f(c) =0

—Vegem que el zero c és únic. Ho farem per reduc-ció a l’absurd.

Suposem que existeix un altre zero c��c de f enl’interval (0, 1).

La funció f compleix les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval tancat I definit per c i c�, jaque:

•f és polinòmica, aleshores és contínua en I.

•f és polinòmica, aleshores és derivable en I {c, c}.

•f (c) =f (c) =0.

Per tant, x0I �(0, 1) �f(x0) =0.

Però si calculem els zeros de f�:

i cap d’ells pertany a (0, 1), aleshores:

�x0(0, 1)�f(x0) =0

Hem obtingut una contradicció, que prové de su-posar que f tingués un zero diferent de c en (0, 1);aleshores, c és l’únic zero de f en (0, 1).

18.Les solucions de l’equació x33 x2+2 x +2 =0 coin-cideixen amb els zeros de la funció:

f(x) =x33 x2+2 x +2

Així, ens podem replantejar el problema i demostrarque f té un únic zero en l’interval (1, 0). Hem de veu-re, doncs, dues coses:

—Existència:

Com que f és polinòmica i f(1) =4 <0 i f(0) =2 >0, compleix les hipòtesis del teorema deBolzano en [1, 0].

Podem concloure’n, doncs, que existeix un zero def en (1, 0).

—Unicitat:

Suposem que el zero de f en (1, 0) no fos únic, ésa dir, que existeixen c <c�de l’interval (1, 0) talsque f(c) =f(c�) =0.

Donat que f és polinòmica, és derivable en �, i pertant, compleix les dues primeres hipòtesis del teo-rema de Rolle en qualsevol interval tancat.

A més, atès que f(c) =f(c�) =0, també compleixla tercera hipòtesi d’aquest teorema en l’interval[c, c�]; aleshores, ha d’existir un zero de f�en (c, c�) �(1, 0).

03423

312

2===±=± fxxx (),

206

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es• Presenta un extrem relatiu en :

Per tant, hem de resoldre el sistema d’equacions se-güent:

Així, la solució és f(x) = 3 x3 + 12 x2 + 12 x.

16. Una funció polinòmica de tercer grau és la que té unaexpressió analítica de la forma:

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d , a 0


• Passa pel punt (0, 1):

f (0) = 1 d = 1

• Passa pel punt (1, 0):

f (1) = 0 a + b + c + d = 0

• En el punt (1, 0) la recta tangent a la gràfica té unpendent nul:

f (1) = 0 3 a + 2 b + c = 0

• El punt (1, 0) és un punt d’inflexió:

f (1) = 0 3 a + b = 0

Resolem el sistema d’equacions:

Així, la solució és: f(x) = x3 + 3 x2 3 x + 1.

17. Considerem la funció f(x) = x3 4 x + 2. És clar que lessolucions de l’equació x3 4 x + 2 = 0 coincideixenamb els zeros de la funció f.

Per tant, el problema plantejat equival a demostrarque la funció f té un únic zero en l’interval (0, 1).

— Vegem que f té algun zero en l’interval (0, 1). Pera fer-ho, comprovem que f compleix les hipòtesisdel teorema de Bolzano en [0, 1]:

d

a b c d

a b c

a b

a b

=

+ + + =

+ + =

+ =

= =

1

0

3 2 0

3 0

1 3, ,, ,c d= =3 1

d

a b c d

a b c

a b

=

+ + =

+ =

+ =

0

8 4 2 0

12 4 0

12 4 3 0

= = = =a b c d34

3 3 0, , ,

= + + =f a b c23

0 323

223

02

+ =12 4 3 0a b

x =23

• f és contínua en [0, 1], ja que és polinòmica.

• f té signe oposat en els extrems de [0, 1]:

f(0) = 2 > 0 ; f(1) = 1 < 0

Per tant, es compliran les tesis del teorema:

c (0, 1) � f(c) = 0

— Vegem que el zero c és únic. Ho farem per reduc-ció a l’absurd.

Suposem que existeix un altre zero c� � c de f enl’interval (0, 1).

La funció f compleix les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval tancat I definit per c i c�, jaque:

• f és polinòmica, aleshores és contínua en I.

• f és polinòmica, aleshores és derivable en I {c, c }.

• f (c) = f (c ) = 0.

Per tant, x0 I � (0, 1) � f (x0) = 0.

Però si calculem els zeros de f�:

i cap d’ells pertany a (0, 1), aleshores:

� x0 (0, 1) � f (x0) = 0

Hem obtingut una contradicció, que prové de su-posar que f tingués un zero diferent de c en (0, 1);aleshores, c és l’únic zero de f en (0, 1).

18. Les solucions de l’equació x3 3 x2 + 2 x + 2 = 0 coin-cideixen amb els zeros de la funció:

f(x) = x3 3 x2 + 2 x + 2

Així, ens podem replantejar el problema i demostrarque f té un únic zero en l’interval ( 1, 0). Hem de veu-re, doncs, dues coses:

— Existència:

Com que f és polinòmica i f( 1) = 4 < 0 i f(0) = 2 > 0, compleix les hipòtesis del teorema deBolzano en [ 1, 0].

Podem concloure’n, doncs, que existeix un zero def en ( 1, 0).

— Unicitat:

Suposem que el zero de f en ( 1, 0) no fos únic, ésa dir, que existeixen c < c� de l’interval ( 1, 0) talsque f(c) = f(c�) = 0.

Donat que f és polinòmica, és derivable en �, i pertant, compleix les dues primeres hipòtesis del teo-rema de Rolle en qualsevol interval tancat.

A més, atès que f(c) = f(c�) = 0, també compleixla tercera hipòtesi d’aquest teorema en l’interval[c, c�]; aleshores, ha d’existir un zero de f� en (c, c�) � ( 1, 0).

0 3 42 3

31 22= = = ± = ±f x x x( ) ,

CM

YK

207


Per tant, és possible deduir la curvatura de f directa-ment a partir de la monotonia de f�:

Com que f és contínua, en podem deduir:

f té un punt d’inflexió en x = 2



20. Estudiarem primerament com ha de ser la derivada enl’interval [2, + ).

• Com que en x (2, 4),

en aquest interval.

• Com que f(x) = 1 en (4, + ) , f�(x) = 0 en aquest in-terval.

• Com que en x = 2 i x = 4 la gràfica de la funció pre-senta un pic, tenim que � f�(2) i � f�(4).

Ara deduirem la forma aproximada de la gràfica de f�en l’interval ( , 2), a partir dels intervals de monoto-nia i convexitat.

• Monotonia i extrems relatius: f� és estrictament crei-xent allà on (f�)� és positiva i estrictament decreixentallà on (f�)� és negativa.

Ara bé, com que (f�)� = f �, resulta que f� és estricta-ment creixent allà on f és convexa i estrictament de-creixent allà on f és còncava. Per tant:

=f x( )32

f x x( ) =32

5

f és convexa en

f és còncava en

( , )

( , )

4 7

7 +

f és convexa en

f és còncava en

( , )

( , )

2 4

4 7

f és convexa en

f és còncava en

( , )

( , )

2

2 4

No obstant això, si calculem els zeros de f�:

observem que en realitat no existeix cap altre zerode f� en ( 1, 0).

Així, el zero de f en ( 1, 0) és únic.

19. Podem determinar els màxims i els mínims relatius de fa partir de l’estudi de la seva monotonia, i els seus puntsd’inflexió a partir de l’estudi de la seva curvatura.

• Monotonia: El signe de la funció f� ens informa de lamonotonia de f.

D’acord amb la gràfica de f, podem construir la se-güent taula de monotonia de f:

Com que f és contínua (ja que és derivable), po-dem deduir:

f té un mínim relatiu en x = 1

f té un màxim relatiu en x = 10

• Curvatura: El signe de la funció f� ens informa de lacurvatura de f.

Podem obtenir el signe de f� a partir de la gràfica def� perquè f� = (f�)�; aleshores, f� serà positiva allà onf� sigui estrictament creixent i negativa allà on f� si-gui estrictament decreixent.

f és creixent en

f és decreixent en

( , )

(

4 10

100, )+

f és decreixent en

f és creixent en

( , )

(

1

1,, )4

0 3 6 2 13

31 6 0 4

2= = + = ±

= =

f x x x x

x o x

( )

, ,

x ( , 1) 1 (2, 4) (4, + )

f(x) PI PI 1

f (x) m M 032

32

5x

,12

212

,112

��

x ( , 1) 1 (1, 4) 4 (4, 10) 10 (10, + )

f (x) 0 + 0 + 0

f(x)

x ( , 2) 2 (2, 4) 4 (4, 7) 7 (7, + )

f (x) M m M

f(x)

� � � �

• Curvatura i punts d’inflexió: no sabem com obtenir-los a partir de la gràfica de f sense passar per la de f�.

Podem representar f� a partir del següent resum de les seves característiques:

Interval ( , 2) 2 ( 2, 1) 1 ( 1, 0) 0 1 (1, 2) (2, 4) (4, + )

Signe f + 0 0 + 00

Monotonia m M32

12

1,12

,0112

207

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

Per tant, és possible deduir la curvatura de f directa-ment a partir de la monotonia de f�:

Com que f és contínua, en podem deduir:

f té un punt d’inflexió en x =2



20.Estudiarem primerament com ha de ser la derivada enl’interval [2, +).

•Com que en x (2, 4),

en aquest interval.

•Com que f(x) =1 en (4, +) , f�(x) =0 en aquest in-terval.

•Com que en x =2 i x =4 la gràfica de la funció pre-senta un pic, tenim que �f�(2) i �f�(4).

Ara deduirem la forma aproximada de la gràfica de f�en l’interval (, 2), a partir dels intervals de monoto-nia i convexitat.

•Monotonia i extrems relatius: f�és estrictament crei-xent allà on (f�)�és positiva i estrictament decreixentallà on (f�)�és negativa.

Ara bé, com que (f�)�=f�, resulta que f�és estricta-ment creixent allà on f és convexa i estrictament de-creixent allà on f és còncava. Per tant:

= fx()32

fxx ()=32

5

fésconvexaen

féscòncavaen

(,)

(,)

47

7+

fésconvexaen

féscòncavaen

(,)

(,)

24

47

fésconvexaen

féscòncavaen

(,)

(,)

2

24

No obstant això, si calculem els zeros de f�:

observem que en realitat no existeix cap altre zerode f�en (1, 0).

Així, el zero de f en (1, 0) és únic.

19.Podem determinar els màxims i els mínims relatius de fa partir de l’estudi de la seva monotonia, i els seus puntsd’inflexió a partir de l’estudi de la seva curvatura.

•Monotonia: El signe de la funció f�ens informa de lamonotonia de f.

D’acord amb la gràfica de f, podem construir la se-güent taula de monotonia de f:

Com que f és contínua (ja que és derivable), po-dem deduir:

f té un mínim relatiu en x =1

f té un màxim relatiu en x =10

•Curvatura: El signe de la funció f�ens informa de lacurvatura de f.

Podem obtenir el signe de f�a partir de la gràfica def�perquè f�=(f�)�; aleshores, f�serà positiva allà onf�sigui estrictament creixent i negativa allà on f�si-gui estrictament decreixent.

féscreixenten

fésdecreixenten

(,)

(

410

100,) +

fésdecreixenten

féscreixenten

(,)

(

1

1,,)4

036213

31604

2==+=±

==

fxxxx

xox

()

,,

x(, 1)1(2, 4)(4, +)

f(x)PIPI1

f(x)mM032

32

5 x

,12

212

, 112

� ��

x(, 1)1(1, 4)4(4, 10)10(10, +)

f(x)0+0+0

f(x)

x(, 2)2(2, 4)4(4, 7)7(7, +)

f(x)MmM

f(x)��

•Curvatura i punts d’inflexió: no sabem com obtenir-los a partir de la gràfica de f sense passar per la de f�.

Podem representar f�a partir del següent resum de les seves característiques:

Interval(, 2)2(2, 1)1(1, 0)01(1, 2)(2, 4) (4, +)

Signe f+00+00

MonotoniamM32

12

1,12

, 0112

C M

Y K

208


21.Si considerem que la velocitat de sortida del projectilés vo, i l’angle , les components de la velocitat són:

v0x=v0· cos v0y=v0· sin

Tenint en compte que l’acceleració del projectil és lagravetat (només té component vertical i és constant).fent coincidir l’origen de coordenades amb el punt departida del projectil, les equacions del moviment són:

x =v0cos · t

L’abast horitzontal del projectil s’obté igualant la com-ponent vertical a 0 (y =0), i el temps que trigaria a as-solir-lo és:

Així, doncs, l’abast del projectil en funció de l’angle serà:

Busquem els extrems relatius de x():

Comprovem que l’angle de 45°és efectivament l’angled’abast màxim:

és l’angle pel qual l’abast serà màxim.

22.Si definim g =f�, atès que f�=(f�)�=g�, aplicant el quehem vist en l’exercici resolt, podem afirmar:

=° 45

=< xv

g()(sincos)

2445450

02

==° arctg145

sincossinsin 2

=ccos

=== tg1

=v

g

202

ccossincossin2222

0 ()==

=+ ()= xv

g()coscossin(sin) 0

202

xvg

()sincos =20

2

0 = t

ttv

g=

20sin

012

12

0 02

0 == vtgttvgt sinsin

yvtgt =02 1

2sin

g�(x) =f�(x) =0 x (a, b) g =f�és constant en(a, b).

Sigui k �el valor constant que pren f�en (a, b).

Demostrarem que si f�(x) =k x (a, b), aleshoresf(x) =kx +k�, x �, en què k�és constant.

Considerem dos punts qualssevol x1<x2de l’interval(a, b).

Atès que [x1, x2] �(a, b) i és derivable en (a, b), f com-pleix les hipòtesis del teorema del valor mitjà en[x1, x2], aleshores:

Però f(c) =k c (a, b), aleshores:

Això significa que el pendent de la recta secant a f enqualsevol parell de punts (x1, f(x1)), (x2, f(x2)) és k;aleshores, f és una recta de pendent k en (a, b); en cascontrari, existirien tres punts de la corba y =f(x) no ali-neats, (x0, y0), (x1, y1) i (x2, y2), tals que la recta queuneix els punts (x0, y0) i (x1, y1) i la recta que uneix elspunts (x0, y0) i (x2, y2) tindrien diferent pendent. Aixòno és possible, perquè hem vist que el pendent de lesrectes secants a aquesta corba és m =k.

Així, l’expressió analítica de f és de la forma:

f(x) =kx +k1x �, en què k1�

23.a)1.Domini:


—Amb l’eix OX:

x24 =0 x =±2—Amb l’eix OY:

0 D(f), aleshores f no talla l’eix OY.

04

402

2=== fx

xx

x ()

DfDxDxxx

xx

()(){}

({})

=()==

=

2

2

40

40

�

�

�

��=

==+

{}

{}{}(,][,)

0

40222

xx ��

fxfxxx

k()() 21

21

=

= (,)(,)()()()

cxxabfcfxfx

xx12

21

21

�

Y

X 1

1

k

–1

2

–2 –3 –4 –5 –6 –7

–1

23456

208

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

21. Si considerem que la velocitat de sortida del projectilés vo, i l’angle , les components de la velocitat són:

v0x = v0 · cos v0y = v0 · sin

Tenint en compte que l’acceleració del projectil és lagravetat (només té component vertical i és constant).fent coincidir l’origen de coordenades amb el punt departida del projectil, les equacions del moviment són:

x = v0 cos · t

L’abast horitzontal del projectil s’obté igualant la com-ponent vertical a 0 (y = 0), i el temps que trigaria a as-solir-lo és:

Així, doncs, l’abast del projectil en funció de l’angle serà:

Busquem els extrems relatius de x( ):

Comprovem que l’angle de 45° és efectivament l’angled’abast màxim:

és l’angle pel qual l’abast serà màxim.

22. Si definim g = f�, atès que f� = (f�)� = g�, aplicant el quehem vist en l’exercici resolt, podem afirmar:

= °45

= <xv

g( ) ( sin cos )

24 45 45 00

2

= = °arctg 1 45

sin cos sinsin2 =ccos

= = =tg 1

=v

g

2 02

ccos sin cos sin2 2 2 20( ) = =

= +( ) =xv

g( ) cos cos sin ( sin )0

2 02

xvg

( ) sin cos=2 0

2

0=t

ttv

g=

2 0 sin

012

12

002

0= =v t gt t v gtsin sin

y v t gt= 021

2sin

g�(x) = f �(x) = 0 x (a, b) g = f� és constant en(a, b).

Sigui k � el valor constant que pren f� en (a, b).

Demostrarem que si f�(x) = k x (a, b), aleshoresf(x) = kx + k� , x �, en què k� és constant.

Considerem dos punts qualssevol x1 < x2 de l’interval(a, b).

Atès que [x1, x2] � (a, b) i és derivable en (a, b), f com-pleix les hipòtesis del teorema del valor mitjà en[x1, x2], aleshores:

Però f (c) = k c (a, b), aleshores:

Això significa que el pendent de la recta secant a f enqualsevol parell de punts (x1, f(x1)), (x2, f(x2)) és k;aleshores, f és una recta de pendent k en (a, b); en cascontrari, existirien tres punts de la corba y = f(x) no ali-neats, (x0, y0), (x1, y1) i (x2, y2), tals que la recta queuneix els punts (x0, y0) i (x1, y1) i la recta que uneix elspunts (x0, y0) i (x2, y2) tindrien diferent pendent. Aixòno és possible, perquè hem vist que el pendent de lesrectes secants a aquesta corba és m = k.

Així, l’expressió analítica de f és de la forma:

f(x) = kx + k1 x �, en què k1 �

23. a) 1. Domini:


— Amb l’eix OX:

x2 4 = 0 x = ±2— Amb l’eix OY:


04

4 02

2= = =f xx

xx( )

D f D x D x x x

x x

( ) ( ) { }

({ } )

= ( ) = =

=

2

2

4 0

4 0

�

�

�

� � =

= = +

{ }

{ } { } ( , ] [ , )

0

4 0 2 22x x� �

f x f xx x

k( ) ( )2 1

2 1

=

=( , ) ( , ) ( )( ) ( )

c x x a b f cf x f x

x x1 22 1

2 1

�

Y

X1

1

k

–1

2

–2–3–4–5–6–7

–1

2 3 4 5 6

CM

YK

209


3. Signe: Construïm una taula amb els inter-vals determinats pels zeros de f en el seu domi-ni:

4. Simetria i periodicitat:

És una funció imparell, ja que:

Per tant, n’hi ha prou d’estudiar f en

D(f) � [0, + ) = [2, + )

ja que la part en l’altra semirecta s’obté fentuna simetria respecte de l’origen.

5. Asímptotes i branques infinites (en [2, + )):

• Si tingués una asímptota vertical seria x = 0,però com que f no està definida en un entornde l’abscissa x = 0, no té sentit parlar d’a-símptota.

•

Aleshores y = 1 és una asímptota horitzontalper la dreta.

• No té asímptotes obliqües per la dreta, ja queté una asímptota horitzontal.

6. Intervals de monotonia i extrems:

Atès que:

f (x) > 0 x D(f ) =

= ( , 2) � (2, + )

f és estrictament creixent en (2, + ) i no té ex-trems relatius.

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:

=+

( )= + =

= ±

12 32

4

0 12 32 0

2 6

2

23

2

x

x x

f x x

x

( )

33D f( )

=

+

=f x

x x xx

xx x

( )( )

4 2 44

4

2 2

2

4 2

= =

=

f x

x

xx x

x

x x

( )2

2

2

2 2

44 1

4

4

lim ( ) lim

lim

x x

x

f xx

x x

x

+ +

+

= =

= =

2

2 2

2

4

14

1

f xx

xx

xf x( )

( )( )= = =

2 24 4

2 4

2

– 2

– 2– 4

f(x) =x2 – 4

x

Y

X

y = –1

y = 1

Aleshores f no té punts d’inflexió, i com quef �(x) < 0 x (2, + ), f és còncava en (2, + ).

Amb tota aquesta informació, podem elaboraruna gràfica aproximada de f com la següent:

b) 1. Domini: Com que la funció és radical d’índexparell, el seu domini és el conjunt de punts enquè els denominador és més gran o igual azero:

D(f) = { x � � x2 + 4 x 5 =

= (x 1) (x + 5) 0} = ( , 5] � [1, + )


— Amb l’eix OX:

— Amb l’eix OY:


3. Signe: Com que f és una arrel quadrada, f(x) 0, x D(f).

4. Simetria i periodicitat: No en té, ja que:

f(x) � f( x) � f(x) per a algun x.


• f no té asímptotes verticals, ja que no hi hapunts en què f es dispari a .

• , aleshores f no té

asímptotes horitzontals.

• mx x

x

x x

x

x

x

x

=+

=

=+

=

=

+

+

+

lim

lim

lim

2

2

2

4 5

4 5

+

+ =

= + =

x

x

x

x x

x xx

2

2 2 2

2

4 5

14 5

1lim

limx

x x±

+ = +2 4 5

0 4 5

4 5 01

5

2

2

= = +

+ ==

=

f x x x

x xx

x

( )

x ( , 2) 2 2 (2, + )

f(x) 0 0 +

209

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

3.Signe: Construïm una taula amb els inter-vals determinats pels zeros de f en el seu domi-ni:

4.Simetria i periodicitat:

És una funció imparell, ja que:

Per tant, n’hi ha prou d’estudiar f en

D(f) �[0, +) =[2, +)

ja que la part en l’altra semirecta s’obté fentuna simetria respecte de l’origen.

5.Asímptotes i branques infinites (en [2, +)):

•Si tingués una asímptota vertical seria x =0,però com que f no està definida en un entornde l’abscissa x =0, no té sentit parlar d’a-símptota.

•

Aleshores y =1 és una asímptota horitzontalper la dreta.

•No té asímptotes obliqües per la dreta, ja queté una asímptota horitzontal.

6.Intervals de monotonia i extrems:

Atès que:

f(x) >0 x D(f) =

=(, 2)�(2, +)

f és estrictament creixent en (2, +) i no té ex-trems relatius.

7.Intervals de curvatura i punts d’inflexió:

=+

()=+=

=±

1232

4

012320

26

2

23

2

x

xx

fxx

x

()

33Df()

=

+

= fx

xxxx

xxx

()()

4244

4

22

2

42

==

=

fx

x

xxx

x

xx

()2

2

2

22

441

4

4

lim()lim

lim

xx

x

fxx

xx

x

++

+

==

==

2

22

2

4

14

1

fxx

xx

xfx ()

()() ===

2244

24

2

– 2

– 2 – 4

f(x) =x2– 4

x

Y

X

y = –1

y = 1

Aleshores f no té punts d’inflexió, i com quef�(x) <0 x (2, +), f és còncava en (2, +).

Amb tota aquesta informació, podem elaboraruna gràfica aproximada de f com la següent:

b)1.Domini: Com que la funció és radical d’índexparell, el seu domini és el conjunt de punts enquè els denominador és més gran o igual azero:

D(f) ={ x � �x2+4 x 5 =

=(x 1) (x +5) 0} =(, 5] �[1, +)


—Amb l’eix OX:

—Amb l’eix OY:


3.Signe: Com que f és una arrel quadrada, f(x) 0, x D(f).

4.Simetria i periodicitat: No en té, ja que:

f(x) �f(x) �f(x) per a algun x.


•f no té asímptotes verticals, ja que no hi hapunts en què f es dispari a .

•, aleshores f no té

asímptotes horitzontals.

•mxx

x

xx

x

x

x

x

=+

=

=+

=

=

+

+

+

lim

lim

lim

2

2

2

45

45

+

+=

=+=

x

x

x

xx

xx x

2

222

2

45

145

1 lim

limx

xx±

+=+2

45

045

4501

5

2

2

==+

+==

=

fxxx

xxx

x

()

x(, 2)22(2, +)

f(x)00+

C M

Y K

210


Per tant, y =x+2 és asímptota obliqua per ladreta.

•

xxx

xxlim

2245

=+

2245 +

=

xx

bxxx

xx

x

x

=+=

=++

lim(())

lim(

2

2

451

45xxxxx

xxx

)()2

2

45

45

+

+

=

mxx

x

xx

x

x

x

x

=+

=

=+

=

=

lim

lim

lim

2

2

2

45

45

+=

=+=

x

x

x

xx

xx x

2

222

2

45

145

1 lim

xxx

xx

x

xxxx

x

x

=

++

=

=

+

45

452

222

lim

lim+

++

=

=++

=

45

1451

40

10012

2

x

xx

xxxxx

=+ ()

+lim

245

22

2

22

2

45

45

45

4

++ ()++

=

=+

++

xx

xxx

xxx

xxlim

xxx +

=

5

bxxxx

=+ ()= +lim

2451

Per tant, y =x2 és asímptota obliqua per l’es-querra.


0=f(x)0=x+2x=2D(f)

Per tant, f no té extrems relatius.

Pel que fa a la seva monotonia, podem donar lataula següent:


Com que f�(x)<0xD(f�), f és còncavaen el seu domini i no té punts d’inflexió.

Amb tota aquesta informació, podem fer unagràfica de f com la següent:

=

+++

+

+=

=

fx

xxxx

xx

xx()

() 14522

45

45

9

2

2

2

(() xx23

45 +

=+

+

=+

+

fxx

xx

x

xx()

24

245

2

4522

=+

=40

10012

2

222

45

45=

+

=

=

xxx

x

x

x

xx

xx

xlim

llimx

x

xx+

=

45

1451 2

x(,5)(1, +)

f(x)+

f(x)

Y

X– 5 – 10510

x2 + 4x – 5

5

y = –

x –

2

y = x + 2

f(x) =

210

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

Per tant, y = x + 2 és asímptota obliqua per ladreta.

•

x x x

xxlim

2 24 5=

+

22 4 5+

=

x x

b x x x

x x

x

x

= + =

=+ +

lim ( ( ) )

lim(

2

2

4 5 1

4 5 xx x x x

x x x

)( )2

2

4 5

4 5

+

+

=

mx x

x

x x

x

x

x

x

=+

=

=+

=

=

lim

lim

lim

2

2

2

4 5

4 5

+ =

= + =

x

x

x

x x

x xx

2

2 2 2

2

4 5

14 5

1lim

xx x

xx

x

x xxx

x

x

=

+ +

=

=

+

4 5

4 52

2 2 2

lim

lim+

+ +

=

=+ +

=

45

14 5 1

4 0

1 0 0 12

2

x

x x

x x x xx

=+( )

+lim

2 4 5 22

2

2 2

2

4 5

4 5

4 5

4

+ +( )+ +

=

=+

++

x x

x x x

x x x

xxlim

xx x+

=

5

b x x xx

= +( ) =+

lim 2 4 5 1

Per tant, y = x 2 és asímptota obliqua per l’es-querra.


0 = f (x) 0 = x + 2 x = 2 D(f)

Per tant, f no té extrems relatius.

Pel que fa a la seva monotonia, podem donar lataula següent:


Com que f�(x) < 0 x D(f �), f és còncavaen el seu domini i no té punts d’inflexió.

Amb tota aquesta informació, podem fer unagràfica de f com la següent:

=

+ ++

+

+=

=

f x

x x xx

x x

x x( )

( )1 4 5 22

4 5

4 5

9

2

2

2

(( )x x2 34 5+

=+

+

=+

+

f xx

x x

x

x x( )

2 4

2 4 5

2

4 52 2

=+

=4 0

1 0 0 12

2

2 2 2

4 5

4 5=

+

=

=

xx x

x

x

x

x x

xx

xlim

llimx

x

x x+

=

45

14 5 1

2

x ( , 5) (1, + )

f (x) +

f(x)

Y

X– 5– 10 5 10

x2 + 4x – 5

5

y = – x – 2

y = x

+ 2

f(x) =

CM

YK

211


Amb tota aquesta informació, podem traçaruna gràfica aproximada de f com la següent:

ACTIVITATS

Abans de començar

• Creixement i decreixement d’una funció en un punt(pàg. 232); extrems d’una funció (pàg. 233); relació en-tre creixement i decreixement d’una funció en un punt ila derivada de la funció en aquest punt (pàg. 233).

• Convexitat i concavitat d’una funció f en un punt (pàg.236); punts d’inflexió de f (pàg. 237); relació entre con-vexitat i concavitat d’una funció en un punt i la derivadasegona de la funció en aquest punt (pàg. 237).

• Optimització d’una funció i procediment (pàg. 249).

• Regla de L’Hôpital (pàg. 246), exemples dels casos d’in-determinació als quals es pot aplicar, exemples dels casos

d’indeterminació 0 i 0 (pàg. 246),

dels casos , 00 i 1 (pàg. 248).

Qüestions

24. Sí. Per exemple, �x � té un mínim relatiu en x = 0, enquè es contínua però no derivable (ja que és un puntangulós).

25. a) Falsa, ja que x = a pot ser un punt d’inflexió.

Per exemple, f(x) = x3 té derivada tercera, f�(0) =

= 0, però x = 0 no és un extrem relatiu, sinó unpunt d’inflexió.

b) Fals, ja que podem tenir un punt d’inflexió, x0, talque f�(x0) � 0.

Per exemple, f(x) = x3 + x té derivada tercera, f �(0) = 0, però f�(0) = 1; aleshores, la recta tangenta la gràfica de f en x = 0 té pendent 1 i, per tant, noés horitzontal.

c) Fals, ja que el creixement de f ve donat pel signe def�, no de f�.

Per exemple, f(x) = cos x és tres vegades derivable,és estrictament decreixent en (0, ), però f�(x) = sin x > 0 en aquest interval.

26. El càlcul és incorrecte perquè s’ha aplicat la regla deL’Hôpital de manera incorrecta:

00

, ,

2 4

2

– 2– 4

Y

X

f(x) = 5 – x2

c) 1. Domini:


— Amb l’eix OX:

— Amb l’eix OY:

3. Signe:


És una funció parell, ja que

Per tant, en tenim prou d’estudiar la gràfica de

f en [0, + ) � D(f) = i fer una sime-tria respecte de l’eix d’ordenades.

5. Asímptotes i branques infinites

• f no té asímptotes verticals, ja que no hi hapunts en què f es dispari a .

• f no pot tenir asímptotes horitzontals ni obli-qües, ni branques infinites, ja que la variableno pot tendir a sense sortir del domini de f.


Construïm una taula amb els intervals queels zeros de f� ens determinen en el dominide f:


Com que f�(x) < 0 x D(f �), f és còncava enel seu domini i no té punts d’inflexió.

= =

=

f x

x xx

x

x

x

( )

1 55

5

5

5

2

2

2

2(( )3

= =

= =

f xx

x

x

x

f x x

( )

( )

2

2 5 5

0 0

2 2

en , .0 5( )

,0 5

= =5 2x f x( ).

f x x( ) ( )= 5 2

f x x x D f( ) ( ) ,= =5 0 5 52

f ( ) ,0 5 0 5 2 242= = =

=

= ± = ±

0 5

5 2 24

2x

x ,

0 5 2= =f x x( )

D f x x

x x

( ) { }

{ } [ , ]

= =

= =

�

�

5 0

5 5 5

2

2

x 0

f (x) + 0

f(x) M

( , )0 5( , )5 0

211

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

Amb tota aquesta informació, podem traçaruna gràfica aproximada de f com la següent:

ACTIVITATS

Abans de començar

•Creixement i decreixement d’una funció en un punt(pàg. 232); extrems d’una funció (pàg. 233); relació en-tre creixement i decreixement d’una funció en un punt ila derivada de la funció en aquest punt (pàg. 233).

•Convexitat i concavitat d’una funció f en un punt (pàg.236); punts d’inflexió de f (pàg. 237); relació entre con-vexitat i concavitat d’una funció en un punt i la derivadasegona de la funció en aquest punt (pàg. 237).

•Optimització d’una funció i procediment (pàg. 249).

•Regla de L’Hôpital (pàg. 246), exemples dels casos d’in-determinació als quals es pot aplicar, exemples dels casos

d’indeterminació 0 i 0(pàg. 246),

dels casos , 00i 1(pàg. 248).

Qüestions

24.Sí. Per exemple, �x�té un mínim relatiu en x =0, enquè es contínua però no derivable (ja que és un puntangulós).

25.a)Falsa, ja que x =a pot ser un punt d’inflexió.

Per exemple, f(x) =x3té derivada tercera, f�(0)=

=0, però x =0 no és un extrem relatiu, sinó unpunt d’inflexió.

b)Fals, ja que podem tenir un punt d’inflexió, x0, talque f�(x0) �0.

Per exemple, f(x) =x3+x té derivada tercera, f�(0) =0, però f�(0) =1; aleshores, la recta tangenta la gràfica de f en x =0 té pendent 1 i, per tant, noés horitzontal.

c)Fals, ja que el creixement de f ve donat pel signe def�, no de f�.

Per exemple, f(x) =cos x és tres vegades derivable,és estrictament decreixent en (0, ), però f�(x) =sin x >0 en aquest interval.

26.El càlcul és incorrecte perquè s’ha aplicat la regla deL’Hôpital de manera incorrecta:

00

,,

24

2

– 2 – 4

Y

X

f(x) =5 – x2

c)1.Domini:


—Amb l’eix OX:

—Amb l’eix OY:

3.Signe:


És una funció parell, ja que

Per tant, en tenim prou d’estudiar la gràfica de

f en [0, +) �D(f) =i fer una sime-tria respecte de l’eix d’ordenades.

5.Asímptotes i branques infinites

•f no té asímptotes verticals, ja que no hi hapunts en què f es dispari a .

•f no pot tenir asímptotes horitzontals ni obli-qües, ni branques infinites, ja que la variableno pot tendir a sense sortir del domini de f.


Construïm una taula amb els intervals queels zeros de f�ens determinen en el dominide f:


Com que f�(x) <0 x D(f�), f és còncava enel seu domini i no té punts d’inflexió.

==

=

fx

xxx

x

x

x

()

155

5

5

5

2

2

2

2 (()3

==

==

fxx

x

x

x

fxx

()

()

2

255

00

22

en,. 05 ()

, 05

== 52

xfx().

fxx ()() =52

fxxxDf ()(), == 50552

f(), 05052242

===

=

=±=±

05

5224

2x

x,

052

== fxx ()

Dfxx

xx

(){}

{}[,]

==

==

�

�

50

555

2

2

x0

f(x)+0

f(x)M

(,) 05 (,) 50

C M

Y K

212


Si l’apliquem com cal:

Per tant, el resultat també era incorrecte.


27.Hem de calcular la derivada de la funció i avaluar-la enel punt per a veure quin és el seu signe.

a)

és estrictament

creixent en x =0.

b)f�(x) =(x2+cos x)�=2 x sin x,

f�() =2 0 >0 f és estrictament creixent enx =.

f�() =2 0 <0 f és estrictament decreixenten x =.

28.Hem de calcular la derivada i determinar-ne els zerosi els punts de discontinuïtat, ja que el signe de f�és el que ens permet d’estudiar la monotonia de f:

a)1.f(x) =(x44 x3+4 x21)=

=4 x312 x2+8 x

Els zeros de f són:f(x) =0 x =0 , x =1 o x =2

Com que f és polinòmica, no té discontinuï-tats.

2.Els intervals que hem de considerar són els de-finits pels zeros de f�(ja que no té discontinuï-tats):

(, 0) , (0, 1) , (1, 2) i (2, +)

3.El signe de f�en cada interval ens indica la mo-notonia de f en aquest interval, d’acord amb lataula següent.

=++

+=> ff ()

()0

002

02

12

0 2

=+

=+

+fx

x

x

xxx

x()

()()

(

1

2

1212

22

2

2))

()

2

2

22

22

2

=

=++

+

xx

x

limln

lim()(ln)

limxxx

xx

xx

x

===111

1111

=== limx

x1

1

limln

limln

lim

xx

x

xx

xx

=

=

11

1

11

1=

=+

ln()

(ln)

limln

(ln)

xxxx

xxx x

11

11

2

122

01

0 ==

x(, 0)0(0, 1)1(1, 2)2(2, +)

f(x)0+00+

f(x)

Per tant, f és estrictament decreixent en(, 0) i en (1, 2), i f és estrictament creixenten (0, 1) i en (2, +).

D’altra banda, com que f és contínua, dels seusintervals de creixement i decreixement en po-dem concloure:

f té un mínim en x =0: m =(0, 1)

f té un màxim en x =1: M =(1, 0)

f té un mínim en x =2: m =(2, 1)

b)1.


0 =f(x) 2 x 4 =0 x =2

Els punts de discontinuïtat de f són els zeros deldenominador:

x2=0 x =0

2.Hem de considerar els intervals determinatspels zeros i els punts de discontinuïtat de f:

(, 0) , (0, 2) i (2, +)

3.La taula de monotonia de f, completada ambels seus extrems relatius, és:

Per tant: f és estrictament decreixent en (, 0) i en (0, 2), f és estrictament creixent en(2, +) i té un mínim relatiu en x =2:m =(2, 2 +ln 4).

c)1.

Com que f�(x) <0 x D(f�) =(, 3) ==D(f) {3}, és estrictament decreixent en (,3), i no té extrems relatius.

29.Hem de calcular la derivada segona i veure quin signeté en els punts considerats:

a)f(x) =e3 x+1, f(x) =3 e3 x+1

f(x) =9 e3 x+1, f(2) =9 e6+1>0 f és con-vexa en x =2.

b)

és còncava en x =2.

30.Hem de calcular la derivada segona i determinar-ne els ze-ros i els punts de discontinuïtat, ja que és el signe de f�el que ens permet d’estudiar la curvatura de f:

=< ff ()240

1250

fxx

xfx

xx

x

fxx

(),()()

()

=+

=++

+

=

2

1

41

1

2

2

2

22

332

23

1264

1

+

+

xx

x()

=()= fxxx

()31

23

=+=+= fxx

xxx

xx

x()ln

4412

24 2222

x(, 0)0(0, 2)2(2, +)

f(x)�0+

f(x)�m

212

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

Si l’apliquem com cal:

Per tant, el resultat també era incorrecte.


27. Hem de calcular la derivada de la funció i avaluar-la enel punt per a veure quin és el seu signe.

a)

és estrictament

creixent en x = 0.

b) f�(x) = (x2 + cos x)� = 2 x sin x,

f�( ) = 2 0 > 0 f és estrictament creixent enx = .

f�( ) = 2 0 < 0 f és estrictament decreixenten x = .

28. Hem de calcular la derivada i determinar-ne els zerosi els punts de discontinuïtat, ja que el signe de f� és el que ens permet d’estudiar la monotonia de f:

a) 1. f (x) = (x4 4 x3 + 4 x2 1) =

= 4 x3 12 x2 + 8 x

Els zeros de f són:f (x) = 0 x = 0 , x = 1 o x = 2

Com que f és polinòmica, no té discontinuï-tats.

2. Els intervals que hem de considerar són els de-finits pels zeros de f� (ja que no té discontinuï-tats):

( , 0) , (0, 1) , (1, 2) i (2, + )

3. El signe de f� en cada interval ens indica la mo-notonia de f en aquest interval, d’acord amb lataula següent.

=+ +

+= >f f( )

( )0

0 0 2

0 2

12

02

=+

=+

+f x

x

x

x x x

x( )

( ) ( )

(

1

2

1 2 1 2

22

2

2 ))

( )

2

2

2 2

2 2

2

=

=+ +

+

x x

x

limln

lim( )(ln )

limx x x

xx

xx

x

= = =1 1 1

1 1 11

== =limx

x1

1

limln

limln

lim

x x

x

xx

xx

=

=

1 1

1

1 1

1=

=+

ln ( )

(ln )

limln

(ln )

x x xx

x xxx

11

11

2

1 22

01

0= =

x ( , 0) 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 (2, + )

f (x) 0 + 0 0 +

f(x)

Per tant, f és estrictament decreixent en( , 0) i en (1, 2), i f és estrictament creixenten (0, 1) i en (2, + ).

D’altra banda, com que f és contínua, dels seusintervals de creixement i decreixement en po-dem concloure:

f té un mínim en x = 0: m = (0, 1)

f té un màxim en x = 1: M = (1, 0)

f té un mínim en x = 2: m = (2, 1)

b) 1.


0 = f (x) 2 x 4 = 0 x = 2

Els punts de discontinuïtat de f són els zeros deldenominador:

x2 = 0 x = 0

2. Hem de considerar els intervals determinatspels zeros i els punts de discontinuïtat de f:

( , 0) , (0, 2) i (2, + )

3. La taula de monotonia de f, completada ambels seus extrems relatius, és:

Per tant: f és estrictament decreixent en ( , 0) i en (0, 2), f és estrictament creixent en(2, + ) i té un mínim relatiu en x = 2:m = (2, 2 + ln 4).

c) 1.

Com que f�(x) < 0 x D(f�) = ( , 3) == D(f) {3}, és estrictament decreixent en ( ,3), i no té extrems relatius.

29. Hem de calcular la derivada segona i veure quin signeté en els punts considerats:

a) f(x) = e 3 x+1 , f (x) = 3 e 3 x+1

f (x) = 9 e 3 x+1 , f ( 2) = 9 e6+1 > 0 f és con-vexa en x = 2.

b)

és còncava en x = 2.

30. Hem de calcular la derivada segona i determinar-ne els ze-ros i els punts de discontinuïtat, ja que és el signe de f� el que ens permet d’estudiar la curvatura de f:

= <f f( )240

1250

f xx

xf x

x x

x

f xx

( ) , ( )( )

( )

=+

=+ +

+

=

2

1

4 1

1

2

2

2

2 2

33 2

2 3

12 6 4

1

+

+

x x

x( )

= ( ) =f x xx

( ) 31

2 3

= + = + =f xx

xx x

xx

x( ) ln

4 4 12

2 422 2 2

x ( , 0) 0 (0, 2) 2 (2, + )

f (x) � 0 +

f(x) � m

CM

YK

213


Per tant, f té un punt d’inflexió en x = 1, PI = ( 1, 0), en el qual passa de ser còncava en( , 1) a ser convexa en ( 1, + ).

31. a) D(f) = � { 1, 5}, ja que x = 1 i x = 5 són les úni-ques rectes de la forma x = k, k �, que no tallenla gràfica de f.

Els punts de tall amb l’eix OX són ( 3, 0),

, (4, 0) i (6, 0), i amb l’eix OY és (0, 1).

A. V.: x = 1 i x = 5 són asímptotes verticals.

A. H.: y = 2 és una asímptota horitzontal per la dre-ta.

A. O.: f no té asímptotes obliqües.

b) f és estrictament creixent en els intervals ( , 1), (3, 5) i (5, + ), i estrictament decreixenten l’interval ( 1, 3).

f té un únic extrem relatiu: un mínim en m = (3, 2).

f és còncava en els intervals ( , 3) i (5, + ), iconvexa en els intervals ( 3, 1) i ( 1, 5).

f té un únic punt d’inflexió en PI=( 3, 0).

32. Estudiem els set aspectes útils per a fer la representa-ció de cadascuna de les funcions:

a) 1. Domini: D(f) = �, ja que és polinòmica.


— Amb l’eix OX:

— Amb l’eix OY:

f(0) = 2 03 + 3 02 12 0 + 7 = 7

3. Signe: Considerem els intervals determinatspels zeros i els punts de discontinuïtat de f iveiem quin és el seu signe en cadascun:

4. Simetria i periodicitat: No en té, ja que f( x) �� f(x) � f( x) per a algun x.

5. Asímptotes i branques infinites.

f no té asímptotes, ja que és una funció polinò-mica no constant ni lineal.

f té sengles branques infinites en + i , jaque i .


Hem de calcular f� i estudiar-ne el signe en els

lim ( )x

f x =lim ( )x

f x+

= +

0 2 3 12 7

72

1

3 2= = + +

= =

f x x x x

x o x

( )

12

0,

x 1 (1, + )

f(x) 0 + 0 +

,72

172

,72

a) 1.


però

aleshores, només té sentit el zero

Els punts de discontinuïtat de f són els zeros

del denominador : x2 = 0 x = 0, però

x = 0 D(f); aleshores, no cal considerar-lo.

2. Els intervals considerats en D(f) = (0, + ) pelszeros i discontinuïtats de f� són:

i

3. La taula de curvatura de f és:

Per tant, f és còncava en i convexa en

.

D’altra banda, com que f és contínua, dels seusintervals de curvatura en podem concloure

que f té un punt d’inflexió en :

b) 1. f(x) = (x + 1)5 , f (x) = 5 (x + 1)4

f (x) = 20 (x + 1)3


0 = 20 (x + 1)3 x = 1

Com que f� és polinòmica, no té discontinuï-tats.

2. Els intervals que hem de considerar són:( , 1) i ( 1, + )

3. La taula de curvatura de f, completada amb elsseus punts d’inflexió, és:

PI =12

12

2, ln

x =12

12

, +

012

,

12

, +012

,

12x

x =12

.

x D f=12

( );0 41 1

22= = ±x

x ,

f x x x f x x x

f xx

( ) ln , ( ) ,

( )

= + = +

=

2 41

41

2

2

x

f (x) 0 +

f(x)

12

, +12

012

,

��

x ( , 1) 1 ( 1, + )

f (x) 0 +

f(x) PI

��

213

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

Per tant, f té un punt d’inflexió en x =1, PI =(1, 0), en el qual passa de ser còncava en(, 1) a ser convexa en (1, +).

31.a)D(f) =�{1, 5}, ja que x =1 i x =5 són les úni-ques rectes de la forma x =k, k �, que no tallenla gràfica de f.

Els punts de tall amb l’eix OX són (3, 0),

, (4, 0) i (6, 0), i amb l’eix OY és (0, 1).

A. V.:x =1 i x =5 són asímptotes verticals.

A. H.:y =2 és una asímptota horitzontal per la dre-ta.

A. O.:f no té asímptotes obliqües.

b)f és estrictament creixent en els intervals (, 1), (3, 5) i (5, +), i estrictament decreixenten l’interval (1, 3).

f té un únic extrem relatiu: un mínim en m =(3, 2).

f és còncava en els intervals (, 3) i (5, +), iconvexa en els intervals (3, 1) i (1, 5).

f té un únic punt d’inflexió en PI=(3, 0).

32.Estudiem els set aspectes útils per a fer la representa-ció de cadascuna de les funcions:

a)1.Domini: D(f) =�, ja que és polinòmica.


—Amb l’eix OX:

—Amb l’eix OY:

f(0) =2 03+3 0212 0 +7 =7

3.Signe: Considerem els intervals determinatspels zeros i els punts de discontinuïtat de f iveiem quin és el seu signe en cadascun:

4.Simetria i periodicitat: No en té, ja que f(x) ��f(x) �f(x) per a algun x.

5.Asímptotes i branques infinites.

f no té asímptotes, ja que és una funció polinò-mica no constant ni lineal.

f té sengles branques infinites en +i , jaque i .


Hem de calcular f�i estudiar-ne el signe en els

lim()x

fx= lim()x

fx+

=+

023127

72

1

32==++

==

fxxxx

xox

()

12

0,

x1(1, +)

f(x)0+0+

,72

172

,72

a)1.


però

aleshores, només té sentit el zero

Els punts de discontinuïtat de f són els zeros

del denominador : x2=0 x =0, però

x =0 D(f); aleshores, no cal considerar-lo.

2.Els intervals considerats en D(f) =(0, +)pelszeros i discontinuïtats de f�són:

i

3.La taula de curvatura de f és:

Per tant, f és còncava en i convexa en

.

D’altra banda, com que f és contínua, dels seusintervals de curvatura en podem concloure

que f té un punt d’inflexió en:

b)1.f(x) =(x +1)5, f(x) =5 (x +1)4

f(x) =20 (x +1)3


0 =20 (x +1)3x =1

Com que f�és polinòmica, no té discontinuï-tats.

2.Els intervals que hem de considerar són:(, 1) i (1, +)

3.La taula de curvatura de f, completada amb elsseus punts d’inflexió, és:

PI=12

12

2 ,ln

x=12

12

,+

012

,

12

,+ 012

,

12

x

x=12

.

xDf =12

(); 0411

2 2 ==±x

x,

fxxxfxxx

fxx

()ln,(),

()

=+=+

=

241

41

2

2

x

f(x)0+

f(x)

12

,+12

012

,

� �

x(, 1)1(1, +)

f(x)0+

f(x)PI� �

C M

Y K

214


intervals determinats pels seus zeros i els seuspunts de discontinuïtat:

f(x) =(2 x3+3 x212 x +7)=

=6 x2+6 x 12Els zeros de f�són:

0 =6 x2+6 x 12 x =2 o x =1

Com que f�és polinòmica, no té discontinuïtat;aleshores, els intervals que hem de considerar són:

Així, f és estrictament creixent en (, 2), téun màxim relatiu en (2, 27), decreix estricta-ment entre 2 i 1, assoleix un mínim relatiu en(1, 0) i torna a créixer estrictament en (1, +).


Hem de calcular f�i estudiar-ne el signe en elsintervals determinats pels seus zeros i els seuspunts de discontinuïtat:

f(x) =(6 x2+6 x 12)=12 x +6

Els zeros de f�són: 0 =12 x +6

Com que f�és polinòmica, no té discontinuï-tats; aleshores, els intervals que hem de consi-derar són:

Aleshores f és còncava en l’interval,

té un punt d’inflexió en,

, i passa a ser convexa en

l’interval .

Amb aquesta informació, podem elaborar unagràfica com la que adjuntem:

+12

,

PI=12

272

,

x=12

,12

x=12

x

f(x)0+

f(x)PI

+,12

12

,12

� �

Y

X – 101020 – 20

10

20

30

40

f(x) =2x3+ 3x2– 12x+ 7

b)1.Domini: D(f) =�, ja que f és polinòmica.


—Amb l’eix OX:

0 =f(x) x =1 o x =3

—Amb l’eix OY:

f(0) =044 03+4 029 =9

3.Signe: Si considerem els intervals determinatspels zeros de f (ja que no té punts de disconti-nuïtat):

4.Simetries i periodicitat: No en té, ja que f(x) ��f(x) �f(x) per a algun x.


f és polinòmica de grau major que 1, aleshoresno té asímptotes.

Com que , f té branques infi-

nites per tots dos costats.

6.Intervals de monotonia i extrems relatius:

f(x) =4 x312 x2+8 x

Els zeros de f�són:f(x) =0 x =0, x =1 o x =2.


Per tant, els intervals de monotonia de f són:

Els extrems relatius de f són, d’acord ambaquesta taula:

m =(0, 9) , M =(1, 8) , m =(2, 9)


f(x) =12 x224 x +8



===

=+=

fxxo

x

(),

,

013

3042

13

3158

lim()x

fx±

=+

x(, 1)1(1, 3)3(3, +)

f(x)+00+

x(, 0)0(0, 1)1(1, 2)2(2, +)

f(x)0+00+

f(x)mMm

x(, 2)2(2, 1)1(1, +)

f(x)+00+

f(x)Mm

214

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

esintervals determinats pels seus zeros i els seuspunts de discontinuïtat:

f (x) = (2 x3 + 3 x2 12 x + 7) =

= 6 x2 + 6 x 12Els zeros de f� són:

0 = 6 x2 + 6 x 12 x = 2 o x = 1

Com que f� és polinòmica, no té discontinuïtat;aleshores, els intervals que hem de considerar són:

Així, f és estrictament creixent en ( , 2), téun màxim relatiu en ( 2, 27), decreix estricta-ment entre 2 i 1, assoleix un mínim relatiu en(1, 0) i torna a créixer estrictament en (1, + ).


Hem de calcular f� i estudiar-ne el signe en elsintervals determinats pels seus zeros i els seuspunts de discontinuïtat:

f (x) = (6 x2 + 6 x 12) = 12 x + 6

Els zeros de f� són: 0 = 12 x + 6

Com que f� és polinòmica, no té discontinuï-tats; aleshores, els intervals que hem de consi-derar són:

Aleshores f és còncava en l’interval ,

té un punt d’inflexió en ,

, i passa a ser convexa en

l’interval .

Amb aquesta informació, podem elaborar unagràfica com la que adjuntem:

+12

,

PI =12

272

,

x =12

,12

x =12

x

f (x) 0 +

f(x) PI

+,12

12

,12

��

Y

X– 10 10 20– 20

10

20

30

40

f(x) = 2x3 + 3x2– 12x + 7

b) 1. Domini: D(f) = �, ja que f és polinòmica.


— Amb l’eix OX:

0 = f(x) x = 1 o x = 3

— Amb l’eix OY:

f(0) = 04 4 03 + 4 02 9 = 9

3. Signe: Si considerem els intervals determinatspels zeros de f (ja que no té punts de disconti-nuïtat):

4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que f( x) �� f(x) � f( x) per a algun x.


f és polinòmica de grau major que 1, aleshoresno té asímptotes.

Com que , f té branques infi-

nites per tots dos costats.

6. Intervals de monotonia i extrems relatius:

f (x) = 4 x3 12 x2 + 8 x

Els zeros de f� són: f (x) = 0 x = 0, x = 1 o x = 2.


Per tant, els intervals de monotonia de f són:

Els extrems relatius de f són, d’acord ambaquesta taula:

m = (0, 9) , M = (1, 8) , m = (2, 9)


f (x) = 12 x2 24 x + 8



= = =

= + =

f x x o

x

( ) ,

,

0 13

30 42

13

31 58

lim ( )x

f x±

= +

x ( , 1) 1 ( 1, 3) 3 (3, + )

f(x) + 0 0 +

x ( , 0) 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 (2, + )

f (x) 0 + 0 0 +

f(x) m M m

x ( , 2) 2 ( 2, 1) 1 (1, + )

f (x) + 0 0 +

f(x) M m

CM

YK

215


Els punts d’inflexió de f són, d’acord ambaquesta taula:

PI = (0,42, 8,56) , PI = (1,58, 8,56)

La gràfica que podem elaborar de f a partir d’a-questes dades és:

x

f (x) + 0 0 +

f(x) PI PI

+13

3,, ++1

33

+,13

31

33

33

, 13

3

� � �

Y

X

f(x) = x4 – 4x3+ 4x2 – 9–5

5–5

5

–10

10

c) 1. Domini: Com que f és racional, el seu domini és:

D(f) = � {x � � x 4 = 0} = � {4}


— Amb l’eix OX:

0 = f(x) x2 8 x + 12 = 0 x = 2 o x = 6

— Amb l’eix OY:

3. Signe: Si considerem els intervals definits pelspunts de discontinuïtat i els zeros de f en el seudomini:

4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que f( x) � f(x) � f( x) per a algun x.

f ( )00 8 0 12

0 43

2

=+

=

x ( , 2) 2 (2, 4) (4, 6) 6 (6, + )

f(x) 0 + 0 +

Per tant, els intervals de curvatura de f són:


• La recta x = 4 és una asímptota vertical, ja que

• f no té asímptotes horitzontals, ja que

•

Per tant, la recta y = x 4 és asímptota obliqua pels dos costats.


f� no té zeros, ja que x2 8 x + 20 és irreductible, i té una discontinuïtaten x = 4; aleshores, els intervals que hem de distingir són:


=+

f xx x x x x

x( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 8 4 8 20 2 4

4

2 2

4==

8

4 3( )x

=+

=f xx x x x

x

x x( )

( ) ( ) ( )

( )

2 8 4 8 12 1

4

82

2

2 ++ 20

4 2( )x

b f x mxx x x x

xx x= =

+ +

± ±lim ( ( ) ) lim

2 28 12 44

=+

=±

limx

xx

4 124

4

mf x

xx x

x xx x= =

+=

± ±lim

( )lim

2

2

8 12

41

lim ( ) .x

f x±

= ±

lim ( ) .x

f x =4

x ( , 4) 4 (4, + )

f (x) + � +

f(x) �

215

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

Els punts d’inflexió de f són, d’acord ambaquesta taula:

PI =(0,42, 8,56) , PI =(1,58, 8,56)

La gràfica que podem elaborar de f a partir d’a-questes dades és:

x

f(x)+00+

f(x)PIPI

+ 13

3,,+ + 1

33

+ , 13

31

33

33

,13

3

��

Y

X

f(x) = x4–4x3+ 4x2– 9–5

5 –5

5

–10

10

c)1.Domini: Com que f és racional, el seu domini és:

D(f) =�{x� �x 4 =0} =�{4}


—Amb l’eix OX:

0 =f(x) x28 x +12 =0 x =2 o x =6

—Amb l’eix OY:

3.Signe: Si considerem els intervals definits pelspunts de discontinuïtat i els zeros de f en el seudomini:

4.Simetries i periodicitat: No en té, ja que f(x) �f(x) �f(x) per a algun x.

f()008012

043

2

=+

=

x(, 2)2(2, 4)(4, 6)6(6, +)

f(x)0+0+

Per tant, els intervals de curvatura de f són:


•La recta x =4 és una asímptota vertical, ja que

•f no té asímptotes horitzontals, ja que

•

Per tant, la recta y =x 4 és asímptota obliqua pels dos costats.


f�no té zeros, ja que x28 x +20 és irreductible, i té una discontinuïtaten x =4; aleshores, els intervals que hem de distingir són:


=+

fxxxxxx

x()

()()()()

()

28482024

4

22

4==8

43

() x

=+

= fxxxxx

x

xx()

()()()

()

2848121

4

82

2

2++20

42

() x

bfxmxxxxx

x xx==

++

±±lim(())lim

228124

4=

+=

±lim

x

xx

4124

4

mfx

xxx

xx xx==

+=

±±lim

()lim

2

2

812

41

lim().x

fx±

=±

lim().x

fx=4

x(, 4)4(4, +)

f(x)+�+

f(x)�

C M

Y K

216


d)1.Domini:

D(f) =�{x��x22 x =0} =�{0, 2}


—Amb l’eix OX:

0 =f(x) (x 1)3=0 x =1

—Amb l’eix OY:

f no talla l’eix d’ordenades, ja que:

0 D(f) �f(0)

3.Signe: Si considerem els intervals determi-nats pels zeros i els punts de discontinuïtat de f:


La gràfica que podem elaborar amb tota aques-ta informació és:

f�no té zeros, ja que el seu numerador és constant, i només té una dis-continuïtat en x =4; aleshores, els intervals de curvatura són:

f(x) =x2– 8x + 12

x – 4– 5

5

– 5510

Y

15

y = x – 4

x(, 4)4(4, +)

f(x)+�f(x)� ��

x(, 0)(0, 1)1(1, 2)(2, +)

f(x)+0+


•x =0 i x =2 són asímptotes verticals, ja que:

•f no té asímptotes horitzontals, ja que:

•

Per tant, y =x 1 és asímptota obliqua pels doscostats.



Els punts de discontinuïtat de f�són els zerosdel denominador:

(x22 x)2=0 x22 x =0

x =0 o x =2

Els intervals de monotonia són, finalment, elsdeterminats pels zeros i els punts de disconti-nuïtat de f�:

004322

13

1

432==++

==

=

fxxxxx

x

x

()

0,73

oox=+= 132,73

=

=

fx

xxxxx

xx

()

()()()()

()

312122

2

223

222

432

22

4322

2

=

=++ xxxx

xx ()

mfx

xx

xx

b

xx

x

===

=

±±lim

()lim

()

lim

1

21

3

32

±±

±

=

=

(())

lim()

fxmx

x

xxx

x

1

21

3

2==

=++

=

=

±

±

lim

lim

x

x

xxxxx

xx

3232

2

3312

2

xxx

xx

2

2

31

21

+=

lim()x

fx±

=±

lim()lim()xx

fxfx ==02

x(, 0,73)0,73(0,73, 0)(0,1)1(1, 2)(2, 2,73)2,73(2,73, +)

f(x)+000+

f(x)Mm

216

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

d) 1. Domini:

D(f) = � {x � � x2 2 x = 0} = � {0, 2}


— Amb l’eix OX:

0 = f(x) (x 1)3 = 0 x = 1

— Amb l’eix OY:

f no talla l’eix d’ordenades, ja que:

0 D(f) � f(0)

3. Signe: Si considerem els intervals determi-nats pels zeros i els punts de discontinuïtat de f:


La gràfica que podem elaborar amb tota aques-ta informació és:

f � no té zeros, ja que el seu numerador és constant, i només té una dis-continuïtat en x = 4; aleshores, els intervals de curvatura són:

f(x) =x2 – 8x + 12

x – 4– 5

5

– 5 5 10

Y

15

y = x

– 4

x ( , 4) 4 (4, + )

f (x) + �f(x) ��

x ( , 0) (0, 1) 1 (1, 2) (2, + )

f(x) + 0 +


• x = 0 i x = 2 són asímptotes verticals, ja que:

• f no té asímptotes horitzontals, ja que:

•

Per tant, y = x 1 és asímptota obliqua pels doscostats.



Els punts de discontinuïtat de f� són els zerosdel denominador:

(x2 2 x)2 = 0 x2 2 x = 0

x = 0 o x = 2

Els intervals de monotonia són, finalment, elsdeterminats pels zeros i els punts de disconti-nuïtat de f�:

0 0 4 3 2 2

1 3

1

4 3 2= = + +

= =

=

f x x x x x

x

x

( )

0,73

oo x = + =1 3 2,73

=

=

f x

x x x x x

x x

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

3 1 2 1 2 2

2

2 2 3

2 22

4 3 2

2 2

4 3 2 2

2

=

=+ +x x x x

x x( )

mf x

xx

x x

b

x x

x

= = =

=

± ±lim

( )lim

( )

lim

1

21

3

3 2

±±

±

=

=

( ( ) )

lim( )

f x m x

x

x xx

x

1

21

3

2==

=+ +

=

=

±

±

lim

lim

x

x

x x x x x

x x

3 2 3 2

2

3 3 1 2

2

xx x

x x

2

2

3 1

21

+=

lim ( )x

f x±

= ±

lim ( ) lim ( )x x

f x f x= =0 2

x ( , 0,73) 0,73 ( 0,73, 0) (0,1) 1 (1, 2) (2, 2,73) 2,73 (2,73, + )

f (x) + 0 0 0 +

f(x) M m

CM

YK

217




• f no té asímptotes verticals, ja que:

• f no té asímptota horitzontal per la dreta, ja

que , però y = 0 és asímpto-

ta horitzontal per l’esquerra:

0 L’Hôpital L’Hôpital

• f no té asímptota obliqua per la dreta, jaque:

• f té una branca infinita per la dreta, ja que


f (x) = (x2ex) = 2 xex + x2ex = ex(x2 + 2 x)

Els zeros de f� són: f (x) = 0 x = 2 o x = 0.

Com que f� és contínua, els intervals de monoto-nia de f són els determinats pels zeros de f�:

Els extrems relatius són M = ( 2, 0,54) im = (0, 0).


f (x) = ex (x2 + 2 x) + ex (2 x + 2) =

= ex (x2 + 4 x + 2)


= + + =

= =

= + =

f x x x

x

o x

( ) 0 4 2 0

2 2

2 2

2

3,41

0,559

lim .x

xx e+

= +2

mx e

xx e

x

x

x

x= = = ++ +

lim lim2

lim=xx x x

x

ee= =

22 0lim

lim lim limx

x

x x x xx e

x

e

x

e= = =2

2 2

limx

xx e+

= +2

lim ( ) ( ),x a

f x f a a= �

x ( , 2) 2 ( 2, 0) 0 (0, + )

f (x) + 0 0 +

f(x) M m

– 2 2 4 6

– 2

– 4

2

4

Y

X

(x – 1)3

x2 – 2xf(x) = Y =

x –

1

Els punts x = 0,73 i x = 2,73 corresponen a ex-trems relatius:

M = ( 0,73, 2,60) , m = (2,73, 2,60)


A causa de la complexitat dels càlculs que hem d’efectuar, farem la representació gràficaprescindint d’aquest punt.

Observem, tanmateix, que com que f�(1) = 0 ix = 1 no és un extrem relatiu, x = 1 ha de ser unpunt d’inflexió, PI = (1, 0).

Amb tota aquesta informació, elaborem la grà-fica següent:

e) 1. Domini: D(f) = �, ja que x2 i ex tenen com a do-mini �.


— Amb l’eix OX:

0 = f(x) = x2ex x = 0

— Amb l’eix OY:

f(0) = 02 e0 = 0

3. Signe: Com que f no té discontinuïtats, hem deconsiderar els intervals definits pels seus zeros:

x ( , 0) 0 (0, + )

f(x) + 0 +

Com que f no té discontinuïtats, els intervals de curvatura de f són els determinats pels zeros de f :

x ( , 3,41) 3,41 ( 3,41, 0,59) 0,59 ( 0,59, + )

f (x) + 0 0 +

f(x) PI PI

� � �

217

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es



•f no té asímptotes verticals, ja que:

•f no té asímptota horitzontal per la dreta, ja

que , però y =0 és asímpto-

ta horitzontal per l’esquerra:

0L’HôpitalL’Hôpital

•f no té asímptota obliqua per la dreta, jaque:

•f té una branca infinita per la dreta, ja que


f(x) =(x2ex)=2 xex+x2ex=ex(x2+2 x)

Els zeros de f�són: f(x) =0 x =2 o x =0.

Com que f�és contínua, els intervals de monoto-nia de f són els determinats pels zeros de f�:

Els extrems relatius són M =(2, 0,54) im =(0, 0).


f(x) =ex(x2+2 x) +ex (2 x +2) =

=ex (x2+4 x +2)


=++=

==

=+=

fxxx

x

ox

()0420

22

22

2

3,41

0,559

lim.x

xxe

+=+

2

mxe

xxe

x

x

x

x===+

++limlim

2

lim =xxxx

x

ee ==

220 lim

limlimlimx

x

xxxx xex

e

x

e===

222

limx

xxe

+=+

2

lim()(),xa

fxfaa =�

x(, 2)2(2, 0)0(0, +)

f(x)+00+

f(x)Mm

– 2246

– 2

– 4

2

4

Y

X

(x – 1)3

x2 – 2xf(x) =Y = x – 1

Els punts x =0,73 i x =2,73 corresponen a ex-trems relatius:

M =(0,73, 2,60) , m =(2,73, 2,60)


A causa de la complexitat dels càlculs que hem d’efectuar, farem la representació gràficaprescindint d’aquest punt.

Observem, tanmateix, que com que f�(1) =0 ix =1 no és un extrem relatiu, x =1 ha de ser unpunt d’inflexió, PI =(1, 0).

Amb tota aquesta informació, elaborem la grà-fica següent:

e)1.Domini: D(f) =�, ja que x2i extenen com a do-mini �.


—Amb l’eix OX:

0 =f(x) =x2exx =0

—Amb l’eix OY:

f(0) =02e0=0

3.Signe: Com que f no té discontinuïtats, hem deconsiderar els intervals definits pels seus zeros:

x(, 0)0(0, +)

f(x)+0+

Com que fno té discontinuïtats, els intervals de curvatura de f són els determinats pels zeros de f:

x(, 3,41)3,41(3,41, 0,59)0,59(0,59, +)

f(x)+00+

f(x)PIPI ��

C M

Y K

218


Els punts d’inflexió són PI =(3,41, 0,38)i PI =(0,59, 0,19).

Amb tot això, podem traçar la gràfica següent:

f)1.Domini:

D(f) =D(x2) �D(ln x) =

=��(0, +) =(0, +)


—Amb l’eix OX:

0 =f(x) =x2ln x x =1

—Amb l’eix OY:

No talla l’eix de coordenades, ja que:

0 D(f)

3.Signe: Hem de considerar els intervals definitsen D(f) pels zeros de f, ja que aquesta no té dis-continuïtats:

4.Simetria i periodicitat: No en té, ja que D(f) ==(0, +) i no és periòdica.


•f només pot tenir com a asímptota vertical larecta x =0:

0L’Hôpital

limx

==0

2

20

x

limlnlimln

limxxx

xxx

x

x

x

===0

2

02

03

1

1

2

– 6– 4– 22

– 2

2

4

6

Y

X

f(x) = x2ex

Per tant, x =0 no és asímptota vertical, sinó(cosa que ens resultarà útil).

•f només pot tenir una asímptota horitzontalper la dreta:

Per tant, f no té asímptotes horitzontals.

•f només pot tenir una asímptota obliqua perla dreta:

Per tant, f no té asímptotes obliqües.

•f té una branca infinita per la dreta.



fés contínua en el seu domini, (0, +); ales-hores, els intervals de monotonia de f són:

f té un mínim en m =(0,61, 0,18).



fés contínua en el seu domini, (0, +); ales-hores, els intervals de curvatura de f són:

f té un punt d’inflexió en:

PI =(0,22, 0,07)

=== fxxe ()0320,22

=++=+ fxxxxx ()lnln 1221

32

=== fxxe ()0120,61

=+=+ fxxxxxxxx ()lnln 21

22

mxx

xxx

xx===+

++lim

lnlimln.

2

limlnx

xx+

=+2

lim()x

fx=0

0

x(0, 1)1(1, +)

f(x)0+

x(0, 0,61)0,61(0,61, +)

f(x)0+

f(x)m

x(0, 0,22)0,22(0,22, +)

f(x)0+

f(x)PI� �

218

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

esEls punts d’inflexió són PI = ( 3,41, 0,38) i PI = ( 0,59, 0,19).

Amb tot això, podem traçar la gràfica següent:

f ) 1. Domini:

D(f) = D(x2) � D(ln x) =

= � � (0, + ) = (0, + )


— Amb l’eix OX:

0 = f(x) = x2 ln x x = 1

— Amb l’eix OY:

No talla l’eix de coordenades, ja que:

0 D(f)

3. Signe: Hem de considerar els intervals definitsen D(f) pels zeros de f, ja que aquesta no té dis-continuïtats:

4. Simetria i periodicitat: No en té, ja que D(f) == (0, + ) i no és periòdica.


• f només pot tenir com a asímptota vertical larecta x = 0:

0 L’Hôpital

limx

= =0

2

20

x

lim ln limln

limx x x

x xx

x

x

x

= = =0

2

02

03

1

1

2

– 6 – 4 – 2 2

– 2

2

4

6

Y

X

f(x) = x2 ex

Per tant, x = 0 no és asímptota vertical, sinó(cosa que ens resultarà útil).

• f només pot tenir una asímptota horitzontalper la dreta:

Per tant, f no té asímptotes horitzontals.

• f només pot tenir una asímptota obliqua perla dreta:

Per tant, f no té asímptotes obliqües.

• f té una branca infinita per la dreta.



f és contínua en el seu domini, (0, + ); ales-hores, els intervals de monotonia de f són:

f té un mínim en m = (0,61, 0,18).



f és contínua en el seu domini, (0, + ); ales-hores, els intervals de curvatura de f són:

f té un punt d’inflexió en:

PI = (0,22, 0,07)

= = =f x x e( ) 032 0,22

= + + = +f x x x x x( ) ln ln1 2 21

3 2

= = =f x x e( ) 012 0,61

= + = +f x x x x x x x x( ) ln ln21

22

mx x

xx x

x x= = = +

+ +lim

lnlim ln .

2

lim lnx

x x+

= +2

lim ( )x

f x =0

0

x (0, 1) 1 (1, + )

f(x) 0 +

x (0, 0,61) 0,61 (0,61, + )

f (x) 0 +

f(x) m

x (0, 0,22) 0,22 (0,22, + )

f (x) 0 +

f(x) PI ��

CM

YK

219


Amb aquestes dades podem representar gràfi-cament f de manera aproximada:

g) 1. Domini:


— Amb l’eix OX:

— Amb l’eix OY:

f(0) = tg (2 0 ) = 0

3. Signe: Hem de considerar els intervals definitspels zeros de f en el seu domini, ja que f és con-tínua en el seu domini:

0 2

2

= =

=

f x x k k

x k k

( ) ,

,

�

�

D f x x k k

k

( ) ,

,

= = + =

= +

� � �

�

22

4 2kk �

f(x) = x2 lnx

– 2 2

– 2

2

4

6

4– 4 X

Y

0,2 10,4 0,6 0,8

x ... ...

f(x) 0 +

k k+2 4 2

,k2

k k+4

12 2

( ) ,

4. Simetries i periodicitat:

f és imparell, ja que:

f( x) = tg (2 ( x) ) = tg ( 2 x ) =

= tg (2 x + ) = tg (2 x + 2 ) =

= tg (2 x ) = f(x)

f és periòdica de període , ja que la funció

tg x és periòdica de període .

Com que la funció té període , n’hi ha prou

d’estudiar la seva gràfica en un interval de lon-

gitud , però com que és imparella, podem

considerar un interval centrat en l’origen i en tindrem prou de representar la funció en el

subinterval .

5. Asímptotes i branques infinites :

Com que la funció és periòdica, l’únic que pottenir són asímptotes verticals, que només poden aparèixer en els punts de disconti-

nuïtat: , per tant,

és una asímptota vertical de f.


= =f xx x

( )cos ( ) cos ( )

1

22

2

22 2

x =4

lim ( )x

tg x = +

4

2

en 04

,

04

,

2

2

2

f no té zeros, ja que el numerador és un realno nul, però té discontinuïtats en els zeros deldenominador:

Per tant, en la funció f és estrictament

creixent, ja que f� és positiva en aquest interval.


Els zeros de f� en són:

f (x) = 0 sin (2 x ) = 0

2 x = k x = 0

Els punts de discontinuïtat de f � en són

els zeros del seu denominador en aquell interval:

cos ( )3 2 0 22

4

x x k

x

= = +

=

04

,

04

,

=f xx

x( )

( )

( )

8 2

23

sin

cos

04

,

cos ( )

,

2 2 0 22

4 2

x x k

k x k k

= = +

= +� �

219

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

Amb aquestes dades podem representar gràfi-cament f de manera aproximada:

g)1.Domini:


—Amb l’eix OX:

—Amb l’eix OY:

f(0) =tg (2 0 ) =0

3.Signe: Hem de considerar els intervals definitspels zeros de f en el seu domini, ja que f és con-tínua en el seu domini:

02

2

==

=

fxxkk

xkk

(),

,

�

�

Dfxxkk

k

(),

,

==+=

=+

��

�

22

42kk�

f(x) = x2lnx

– 22

– 2

2

4

6

4 – 4X

Y

0,21 0,40,60,8

x......

f(x)0+

kk +242

, k2

kk +4

122

(),

4.Simetries i periodicitat:

f és imparell, ja que:

f(x) =tg (2 (x) ) =tg (2 x ) =

=tg (2 x +) =tg (2 x +2 ) =

=tg (2 x ) =f(x)

f és periòdica de període , ja que la funció

tg x és periòdica de període .

Com que la funció té període, n’hi ha prou

d’estudiar la seva gràfica en un interval de lon-

gitud , però com que és imparella, podem

considerar un interval centrat en l’origen i en tindrem prou de representar la funció en el

subinterval .

5.Asímptotes i branques infinites :

Com que la funció és periòdica, l’únic que pottenir són asímptotes verticals, que només poden aparèixer en els punts de disconti-

nuïtat: , per tant,

és una asímptota vertical de f.


== fxxx

()cos()cos()

1

22

2

222

x=4

lim()x

tgx=+

4

2

en04

,

04

,

2

2

2

fno té zeros, ja que el numerador és un realno nul, però té discontinuïtats en els zeros deldenominador:

Per tant, en la funció f és estrictament

creixent, ja que f�és positiva en aquest interval.


Els zeros de f�en són:

f(x) =0 sin (2 x ) =0

2 x =kx =0

Els punts de discontinuïtat de f�en són

els zeros del seu denominador en aquell interval:

cos()3

2022

4

xxk

x

==+

=

04

,

04

,

= fxx

x()

()

()

82

23

sin

cos

04

,

cos()

,

2202

2

42

xxk

kxkk

==+

=+ ��

C M

Y K

220


Per tant, els intervals de curvatura de f en

són:

Com que f és imparell, en x =0 f té un puntd’inflexió, PI =(0, 0).

Amb tot això, podem representar f en

, fer una simetria respecte de l’origen

per tal d’obtenir la representació en

i reproduir aquesta gràfica en cada interval de

la forma 424

12

+++ kk ,().

44,

04

,

04

,

– 3– 2– 1123

f(x) = tg (2x – �)

– 1

– 2

– 3

1

2

3

Y

X

x0

f(x)0+�f(x)�

40

4,

�

h)1.Domini: D(f) =�, ja que és composició de dues funcions que tenen domini �.


—Amb l’eix OX:

—Amb l’eix OY:

3.Signe: Com que f és contínua, hem de considerar els intervals definits pels seus zeros:

x...((4 (2k 1) +1) , (4 2 k +1) )(4 2 k +1) ((4 2 k +1) , (4 (2 k +1) +1) )...

f(x)+0


f no té simetria, ja que f(x) �f(x) �f(x) per a algun x.

Tanmateix, f és periòdica de període 8, ja que el cosinus és una funció periòdica de període 2.

Per tant, podem estudiar el comportament de f únicament en un interval de longitud 8, per exemple [3, 5].


f no té asímptotes verticals, ja que és contínua, i no en pot tenir d’un altre tipus (ni branques infinites) perquèés periòdica.


Els zeros de f�en [3, 5] són:

Com que f�és contínua, hem de considerar els intervals que defineixen els seus zeros en [3, 5] per tal d’es-tudiar la monotonia de f:

04

04

41 =+

=+

=== fxxx

kkxkx (),() sin�= ox3

=+

=+

fxxx

()sinsin4

14

144

f()00

42

2=

+== cos0,71

0442

41 ==++

=+=+ fxxx

kkxkk ()cos,(), ��

220

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

esPer tant, els intervals de curvatura de f en

són:

Com que f és imparell, en x = 0 f té un puntd’inflexió, PI = (0, 0).

Amb tot això, podem representar f en

, fer una simetria respecte de l’origen

per tal d’obtenir la representació en

i reproduir aquesta gràfica en cada interval de

la forma 4 2 4

12

+ + +k k, ( ) .

4 4,

04

,

04

,

– 3 – 2 – 1 1 2 3

f(x) = tg (2x – �)

– 1

– 2

– 3

1

2

3

Y

X

x 0

f (x) 0 + �f(x) �

40

4,

�

h) 1. Domini: D(f) = �, ja que és composició de dues funcions que tenen domini �.


— Amb l’eix OX:

— Amb l’eix OY:

3. Signe: Com que f és contínua, hem de considerar els intervals definits pels seus zeros:

x ... ((4 (2 k 1) + 1) , (4 2 k + 1) ) (4 2 k + 1) ((4 2 k + 1) , (4 (2 k + 1) + 1) ) ...

f(x) + 0


f no té simetria, ja que f(x) � f( x) � f(x) per a algun x.

Tanmateix, f és periòdica de període 8 , ja que el cosinus és una funció periòdica de període 2 .

Per tant, podem estudiar el comportament de f únicament en un interval de longitud 8 , per exemple [ 3 , 5 ].


f no té asímptotes verticals, ja que és contínua, i no en pot tenir d’un altre tipus (ni branques infinites) perquèés periòdica.


Els zeros de f� en [ 3 , 5 ] són:

Com que f� és contínua, hem de considerar els intervals que defineixen els seus zeros en [ 3 , 5 ] per tal d’es-tudiar la monotonia de f:

04

04

4 1=+

=+

= = =f xx x

k k x k x( ) , ( )sin � =o x 3

=+

=+

f xx x

( ) sin sin4

14

14 4

f ( )00

42

2=

+= =cos 0,71

04 4 2

4 1= =+ +

= + = +f xx x

k k x k k( ) cos , ( ) ,� �

CM

YK

221


f té extrems relatius en M = ( , 1) i m = (3 , 1).


Els zeros de f� en [ 3 , 5 ] són:

Com que f� és contínua, hem de considerar els intervals que defineixen els seus zeros en [ 3 , 5 ] per tal d’es-tudiar la monotonia de f:

Per la periodicitat, x = 3 i x = 5 també corresponen a punts d’inflexió. Aleshores, f té tres punts d’inflexióen [ 3 , 5 ]:

( 3 , 0) , ( , 0) i (5 , 0)

Amb tot això, la gràfica de f és la següent:

04

4 1 3=+

= = + =f xx

f x x k k x x( ) ( ) ( ) , ,cos � == =o x 5

=+

=+

f xx x

( )14 4

14

116 4

cos cos

– 15 – 10 – 5 5 10

– 5

5

Y

X

f(x) = cos x + �4

x ( , 2) 2 ( 2, 1) 1 (1, + )

f(x) 0 0 +

x ( 3 , ) ( , 3 ) 3 (3 , 5 )

f (x) + 0 0 +

f(x) M m

x 3 ( 3 , ) ( , 5 ) 5

f (x) 0 0 + 0

f(x) PI ��

33. Estudiarem els aspectes de f que ens ajuden a repre-sentar la seva gràfica:

1. Domini: D(f) = �, ja que és polinòmica.


— Amb l’eix OX:

0 = f(x) = (x + 2)2 (x 1)

x = 2 o x = 1

— Amb l’eix OY:

f(0) = (0 + 2)2 (0 1) = 4

3. Signe: Hem de considerar els intervals determinatspels zeros de f, ja que no té discontinuïtats:

4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que f(x) �� f( x) � f(x) per a algun x.


f no té asímptotes, ja que és polinòmica de graumés gran que 1.

f té branques infinites per tots dos costats, ja que

6. Intervals de creixement i extrems relatius:

f (x) = 2 (x + 2) (x 1) + (x + 2)2 1 =

= 3 x (x + 2)

lim ( ) .x

f x±

= ±

221

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

f té extrems relatius en M =(, 1) i m =(3, 1).


Els zeros de f�en [3, 5] són:

Com que f�és contínua, hem de considerar els intervals que defineixen els seus zeros en [3, 5] per tal d’es-tudiar la monotonia de f:

Per la periodicitat, x =3i x =5 també corresponen a punts d’inflexió. Aleshores, f té tres punts d’inflexióen [3, 5]:

(3, 0) , (, 0) i (5, 0)

Amb tot això, la gràfica de f és la següent:

04

413 =+

==+= fxx

fxxkkxx ()()(),, cos�=== ox5

=+

=+

fxxx

()144

14

1164

coscos

– 15– 10– 5510

– 5

5

Y

X

f(x) = cosx + �4

x(, 2)2(2, 1)1(1, +)

f(x)00+

x(3, )(, 3)3(3, 5 )

f(x)+00+

f(x)Mm

x3(3, )(, 5)5

f(x)00+0

f(x)PI� �

33.Estudiarem els aspectes de f que ens ajuden a repre-sentar la seva gràfica:

1.Domini: D(f) =�, ja que és polinòmica.


—Amb l’eix OX:

0 =f(x) =(x +2)2(x 1)

x =2 o x =1

—Amb l’eix OY:

f(0) =(0 +2)2(0 1) =4

3.Signe: Hem de considerar els intervals determinatspels zeros de f, ja que no té discontinuïtats:



f no té asímptotes, ja que és polinòmica de graumés gran que 1.

f té branques infinites per tots dos costats, ja que

6.Intervals de creixement i extrems relatius:

f(x) =2 (x +2) (x 1) +(x +2)21 =

=3 x (x +2)

lim().x

fx±

=±

C M

Y K

222


Els zeros de f�són x =2 i x =0.

f�no té discontinuïtats, ja que és polinòmica; ales-hores, els intervals de monotonia de f són els de-terminats pels zeros de f�:

f té dos extrems relatius:M =(2, 0) i m ==(0, 4)


f(x) =3 (x +2) +3 x 1 =6 x +6

El zero de f�és x =1, i com que no té disconti-nuïtats (ja que és polinòmica), els intervals de cur-vatura de f són:

f té un punt d’inflexió en x =1,

PI =(1, 2).

La gràfica de f és:

D’acord amb els punts 6 i 7 de l’estudi de f, per talde representar-la gràficament podem afirmar:

f és estrictament creixent en (, 2) i en (0, +), i estrictament decreixent en (2, 0).

Els punts (2, 0) i (0, 4) són màxim i mínim rela-tiu de f, respectivament, i no hi ha més extrems re-latius.

f és còncava en (, 1) i convexa en (1, +), enquè (1, 2) és un punt d’inflexió.

10

5

510

– 5

– 10

– 5

Y

X

f(x) = (x + 2)2 (x – 1)

34.a)Els intervals de creixement de f són aquells en elsquals f�>0, i els de decreixement, aquells en els quals f�<0.

Per tant, hem de considerar els intervals en els qualsf�té un signe constant, que seran els determinatspels zeros i les discontinuïtats de f�en D(f).

En aquest cas, D(f) =�i f�no té discontinuïtats, jaque f és derivable en �i f�és polinòmica. Així, con-sultant la gràfica de f�, podem elaborar la següenttaula de monotonia de f:

Per tant, f és estrictament creixent en (, 0) i en(2, +), i estrictament decreixent en (0, 2).

b)La taula de monotonia de f ens permet d’afir-mar que f té un màxim relatiu en x =0 i un mínim relatiu en x =2, i no té més extrems relatius.

D’altra banda, per tal de trobar els punts d’infle-xió, el millor que podem fer és obtenir-los a partirde la taula de curvatura de f, ja que no podem cal-cular explícitament les derivades successives.

Sabem que els intervals de curvatura de f corres-ponen als intervals en què f�té signe constant iaquests corresponen als de monotonia de f�.

Així, doncs, x =1 és un punt d’inflexió de f, ja quef passa de ser còncava a ser convexa, i és contínuaen aquest punt.

c)Tenint en compte la informació que hem obtingutsobre f, que podem resumir en la taula següent:

podem esbossar la següent gràfica de f:

Y

X

f 3

2

1

1234

–1

–2

–3

–1 –2 –3

x(, 2)2(2, 0)0(0, +)

f(x)+00+

f(x)Mm

x(, 1)1(1, +)

f(x)0+

f(x)PI� �

x(, 0)0(0, 2)2(2, +)

f(x)+00+

f(x)Mm

x(, 1)1(0, +)

f(x)m

f(x)0+

f(x)PI� �

x(, 0)0(0, 1)1(1, 2)2(2, +)

Mmf(x)

PI

� �

222

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

esEls zeros de f� són x = 2 i x = 0.

f� no té discontinuïtats, ja que és polinòmica; ales-hores, els intervals de monotonia de f són els de-terminats pels zeros de f�:

f té dos extrems relatius: M = ( 2, 0) i m == (0, 4)


f (x) = 3 (x + 2) + 3 x 1 = 6 x + 6

El zero de f� és x = 1, i com que no té disconti-nuïtats (ja que és polinòmica), els intervals de cur-vatura de f són:

f té un punt d’inflexió en x = 1,

PI = ( 1, 2).

La gràfica de f és:

D’acord amb els punts 6 i 7 de l’estudi de f, per talde representar-la gràficament podem afirmar:

f és estrictament creixent en ( , 2) i en (0, + ), i estrictament decreixent en ( 2, 0).

Els punts ( 2, 0) i (0, 4) són màxim i mínim rela-tiu de f, respectivament, i no hi ha més extrems re-latius.

f és còncava en ( , 1) i convexa en ( 1, + ), enquè ( 1, 2) és un punt d’inflexió.

10

5

5 10

– 5

– 10

– 5

Y

X

f(x) = (x + 2)2 (x – 1)

34. a) Els intervals de creixement de f són aquells en elsquals f� > 0, i els de decreixement, aquells en els quals f� < 0.

Per tant, hem de considerar els intervals en els qualsf� té un signe constant, que seran els determinatspels zeros i les discontinuïtats de f� en D(f).

En aquest cas, D(f) = � i f� no té discontinuïtats, jaque f és derivable en � i f� és polinòmica. Així, con-sultant la gràfica de f�, podem elaborar la següenttaula de monotonia de f:

Per tant, f és estrictament creixent en ( , 0) i en(2, + ), i estrictament decreixent en (0, 2).

b) La taula de monotonia de f ens permet d’afir-mar que f té un màxim relatiu en x = 0 i un mínim relatiu en x = 2, i no té més extrems relatius.

D’altra banda, per tal de trobar els punts d’infle-xió, el millor que podem fer és obtenir-los a partirde la taula de curvatura de f, ja que no podem cal-cular explícitament les derivades successives.

Sabem que els intervals de curvatura de f corres-ponen als intervals en què f� té signe constant iaquests corresponen als de monotonia de f�.

Així, doncs, x = 1 és un punt d’inflexió de f, ja quef passa de ser còncava a ser convexa, i és contínuaen aquest punt.

c) Tenint en compte la informació que hem obtingutsobre f, que podem resumir en la taula següent:

podem esbossar la següent gràfica de f:

Y

X

f3

2

1

1 2 3 4

–1

–2

–3

–1–2–3

x ( , 2) 2 ( 2, 0) 0 (0, + )

f (x) + 0 0 +

f(x) M m

x ( , 1) 1 ( 1, + )

f (x) 0 +

f(x) PI ��

x ( , 0) 0 (0, 2) 2 (2, + )

f (x) + 0 0 +

f(x) M m

x ( , 1) 1 (0, + )

f (x) m

f (x) 0 +

f(x) PI

��

x ( , 0) 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 (2, + )

M mf(x)

PI

��

CM

YK

223


(1)

• En segon lloc, f ha de tenir un extrem relatiu en x = 4, i atès que f és derivable en aquest punt (ja queés polinòmica), s’ha de complir f�(4) = 0:

(2)

• En tercer lloc, com que f (n)(x) = 0 x � si n 4,s’ha de complir f�(4) > 0:

f (x) = x 1 , f (4) = 4 1 = 3 > 0

Aleshores, aquesta condició ja es compleix.

Els coeficients c i d han de satisfer, doncs, les rela-cions (1) i (2):

La funció cercada és, doncs:

37. 1. Si anomenem x el preu del lloguer mensual en eu-ros i y el nombre d’apartaments llogats, l’expressióanalítica de la funció que s’ha d’optimitzar és:

B(x, y) = x y

2. Podem relacionar les dues variables tenint encompte que per cada 5 € que s’apuja el preu dellloguer, x, el nombre d’apartaments llogats, y, dis-minueix en una unitat.

Per tant, es compleix:

Així, podem expressar B com a funció únicamentde x:

3. Determinem els extrems relatius de B:

015

23215

25

23

= = + + =

= +

B x x x

x

( )

22 580=x

B x x y x x( ) = = +15

232

x k

y ky k

x

y

= +

== =

=

160 5

200200

1605

200115

160

15

232

( )x

y x= +

f x x x x( ) = +16

12

4 133 2

4 3

44 13

c d

cc d

+ =

== =,

= +

= = + =

f x x x c

f c c

( )

( )

12

0 412

4 4 4

2

2

= = + +

+ =

13

416

412

4 4

4 3

3 2f c d

c d

( )35. Sigui f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Imposem les condicions

que s’observen en la figura:

• La gràfica de f passa pels punts ( 1, 0) (0, 4) i (2, 0):

0 = f( 1) a + b c + d = 0 (1)

4 = f(0) d = 4 (2)

0 = f(2) 8 a + 4 b + 2 c + d = 0 (3)

• El punt (0, 4) és un màxim relatiu i el (2, 0) és un mí-nim relatiu; per tant, f ha de complir:

0 = f (0) 0 = c (4)

0 = f (2) 0 = 12 a + 4 b + c (5)

0 > f (0) 0 > 2 b (6)

0 < f (2) 0 < 12 a + 2 b (7)

• El punt x = 1 és un punt d’inflexió:

0 = f (1) 0 = 6 a + 2 b (8)

0 f�(1) = 6 a a 0 (9)

Imposem que es compleixin (1), (2), (3), (4), (5) i (8):

Observem que per a aquests valors es compleixen(6), (7) i (9), per la qual cosa f(x) = x3 3 x2 + 4.

36. Sigui f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.

Vegem quines condicions han de satisfer els coefi-cients perquè la derivada segona sigui x 1:

f (x) = 3 ax2 + 2 bx + c , f (x) = 6 ax + 2 b

Per tant: f�(x) = x 1 6 ax + 2 b = x 1, i com quedos polinomis són iguals si i només si tenen iguals totsels coeficients del mateix grau, aquesta igualtat equi-val al sistema:

Per tant, les funcions que cerquem són de la forma:

Imposem que sigui un mínim relatiu:

• En primer lloc, ha de passar pel punt :413

,

413

,

f x x x c x d c d( ) , ,= + +16

12

3 2 �

6 1

2 116

12

a

ba b

=

== =,

+ + =

=

+ + + =

=

+ + =

+

a b c d

d

a b c d

c

a b c

a b

0

4

8 4 2 0

0

12 4 0

6 2 ==

= = = =

0

1 3 0 4a b c d, , ,

223

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

(1)

•En segon lloc, f ha de tenir un extrem relatiu en x =4, i atès que f és derivable en aquest punt (ja queés polinòmica), s’ha de complir f�(4) =0:

(2)

•En tercer lloc, com que f(n)(x) =0 x�si n 4,s’ha de complir f�(4) >0:

f(x) =x 1 , f(4) =4 1 =3 >0

Aleshores, aquesta condició ja es compleix.

Els coeficients c i d han de satisfer, doncs, les rela-cions (1) i (2):

La funció cercada és, doncs:

37.1.Si anomenem x el preu del lloguer mensual en eu-ros i y el nombre d’apartaments llogats, l’expressióanalítica de la funció que s’ha d’optimitzar és:

B(x, y) =x y

2.Podem relacionar les dues variables tenint encompte que per cada 5 €que s’apuja el preu dellloguer, x, el nombre d’apartaments llogats, y, dis-minueix en una unitat.

Per tant, es compleix:

Així, podem expressar B com a funció únicamentde x:

3.Determinem els extrems relatius de B:

015

23215

25

23

==++=

=+

Bxxx

x

()

22580 = x

Bxxyxx ()==+15

232

xk

ykyk

x

y

=+

===

=

1605

200200

1605

200115

160

15

232

() x

yx =+

fxxxx ()=+16

12

41332

43

4413

cd

ccd

+=

=== ,

=+

==+=

fxxxc

fcc

()

()

12

0412

444

2

2

==++

+=

13

416

412

44

43

32fcd

cd

()35.Sigui f(x) =ax3+bx2+cx +d. Imposem les condicions

que s’observen en la figura:

•La gràfica de f passa pels punts (1, 0) (0, 4) i (2, 0):

0 =f(1) a +b c +d =0(1)

4 =f(0) d =4(2)

0 =f(2) 8 a +4 b +2 c +d =0(3)

•El punt (0, 4) és un màxim relatiu i el (2, 0) és un mí-nim relatiu; per tant, f ha de complir:

0 =f(0) 0 =c(4)

0 =f(2) 0 =12 a +4 b +c(5)

0 >f(0) 0 >2 b(6)

0 <f(2) 0 <12 a +2 b(7)

•El punt x =1 és un punt d’inflexió:

0 =f(1) 0 =6 a +2 b(8)

0 f�(1) =6 a a 0(9)

Imposem que es compleixin (1), (2), (3), (4), (5) i (8):

Observem que per a aquests valors es compleixen(6), (7) i (9), per la qual cosa f(x) =x33 x2+4.

36.Sigui f(x) =ax3+bx2+cx +d.

Vegem quines condicions han de satisfer els coefi-cients perquè la derivada segona sigui x 1:

f(x) =3 ax2+2 bx +c , f(x) =6 ax +2 b

Per tant: f�(x) =x 1 6 ax +2 b =x 1, i com quedos polinomis són iguals si i només si tenen iguals totsels coeficients del mateix grau, aquesta igualtat equi-val al sistema:

Per tant, les funcions que cerquem són de la forma:

Imposem que sigui un mínim relatiu:

•En primer lloc, ha de passar pel punt : 413

,

413

,

fxxxcxdcd (),, =++16

12

32�

61

2116

12

a

bab

=

=== ,

++=

=

+++=

=

++=

+

abcd

d

abcd

c

abc

ab

0

4

8420

0

1240

62==

====

0

1304 abcd ,,,

C M

Y K

224


hl

b2

Veiem que x =580 correspon a un màxim de B:

x =580 és un màxim relatiu de B.

Com que la funció B és derivable, el fet que no tin-gui mínims relatius ens assegura que x =580 és unmàxim absolut.

El lloguer que dóna més beneficis a l’agència és de 580 €.

38.1.La funció que volem optimitzar és la que ens dónael volum del con.

Si anomenem h l’altura del triangle relativa al cos-tat desigual i b la longitud d’aquest costat, tenimque l’expressió analítica de la funció és:

2.Per tal de relacionar les duesvariables, fem un esquema dela situació i observem que, sil és la longitud dels dos cos-tats del triangle, tenim:

Ara bé, com que ens diuen que el paràmetre del

triangle és de10 m,

aleshores:

Per tant, l’expressió de la funció V depenent no-més de la variable b és:

3.Determinem els extrems relatius de V:

0 =V(b) 25 b (4 b) =0 b =0 o b =4

b =0 no correspon a un triangle.

Vegem si b =4 és un mínim o un màxim relatiu mit-jançant una taula de monotonia de V (per no ha-ver de calcular V�):

=+=

=

Vbbbbb

bb

()

(

112

22555

2255

254

2

))

24255b

Vbbhbb ()==1

121

12255

22

hlbbb

b

===

=

2222

25

22

255

10252

=+=, lblb

lhb

hlb

222

22

2

2

=+

=

Vhbb

hbh (,)==132

112

22

==< BxB ()()25

58025

0

Per tant, b =4 és un màxim relatiu, i com que valors negatius de b no tenen sentit en el contextdel problema, de la taula anterior en deduïm quetambé és màxim absolut.

La longitud del costat desigual del triangle perquè el con tingui el volum màxim és b =4 m, i la dels costats iguals, per tant,

39.1.La funció que volem optimitzar és la que ens dónala superfície del camp.

Si anomenem b la longitud del costat del terrenyque dóna al camí i h la d’un dels costats que co-mencen en el camí, l’expressió analítica de la fun-ció és:

S(b, h) =b h

2.Podem relacionar les varia-bles a partir del cost de latanca:

1800 =5 b +0,625 b +0,625 h +0,625 h

1800 =5,625 b +1,25 h

Aleshores,

Per tant, l’expressió de la funció que s’ha d’opti-mitzar depenent d’una sola variable és:

S(b) =b h =b (4,5 b +1440)

3.Busquem els extrems relatius de S(b):

0 =S�(b) =1 �(4,5 b +1440) +b(4, 5) =

=9 b +1440 b =160

Comprovem que b =160 correspon a un màximde S:

S�(b) =9 S�(160) <0 b =160 és un màximrelatiu.

Com que S és derivable i no té més extrems rela-tius, b =160 és també un màxim absolut.

La superfície màxima que es pot envoltar és:

S(160) =160 �(4,5 �160 +1440) =115200 m2

40.1.La funció que s’optimitzarà és la quantitat de xapaemprada en la construcció del barril.

Si anomenem h l’altura del barril i r el radi de les se-ves tapes, l’expressió analítica d’aquesta funció és:

S(h, r) =2 rh +2 r2=2 r (h +r)

hb

b =+

=+5,625

1,254,5

18001440

lb

m ==10

23.

b(0, 4)4(4, 5)

V(b)+0

V(b)M

b

h Terreny

Camí

224

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

hl

b2

Veiem que x = 580 correspon a un màxim de B:

x = 580 és un màxim relatiu de B.

Com que la funció B és derivable, el fet que no tin-gui mínims relatius ens assegura que x = 580 és unmàxim absolut.

El lloguer que dóna més beneficis a l’agència és de 580 €.

38. 1. La funció que volem optimitzar és la que ens dónael volum del con.

Si anomenem h l’altura del triangle relativa al cos-tat desigual i b la longitud d’aquest costat, tenimque l’expressió analítica de la funció és:

2. Per tal de relacionar les duesvariables, fem un esquema dela situació i observem que, sil és la longitud dels dos cos-tats del triangle, tenim:

Ara bé, com que ens diuen que el paràmetre del

triangle és de 10 m,

aleshores:

Per tant, l’expressió de la funció V depenent no-més de la variable b és:

3. Determinem els extrems relatius de V:

0 = V (b) 25 b (4 b) = 0 b = 0 o b = 4

b = 0 no correspon a un triangle.

Vegem si b = 4 és un mínim o un màxim relatiu mit-jançant una taula de monotonia de V (per no ha-ver de calcular V�):

= + =

=

V b b b bb

b b

( )

(

112

2 25 55

2 25 5

25 4

2

))

24 25 5 b

V b b h b b( ) = =1

121

1225 52 2

h lb b b

b

= = =

=

22 2 2

25

2 2

25 5

10 2 52

= + = ,l b lb

l hb

h lb

2 22

22

2

2

= +

=

V h bb

h b h( , ) = =13 2

112

22

= = <B x B( ) ( )25

58025

0

Per tant, b = 4 és un màxim relatiu, i com que valors negatius de b no tenen sentit en el contextdel problema, de la taula anterior en deduïm quetambé és màxim absolut.

La longitud del costat desigual del triangle perquè el con tingui el volum màxim és b = 4 m, i la dels costats iguals, per tant,

39. 1. La funció que volem optimitzar és la que ens dónala superfície del camp.

Si anomenem b la longitud del costat del terrenyque dóna al camí i h la d’un dels costats que co-mencen en el camí, l’expressió analítica de la fun-ció és:

S(b, h) = b h

2. Podem relacionar les varia-bles a partir del cost de latanca:

1 800 = 5 b + 0,625 b + 0,625 h + 0,625 h

1 800 = 5,625 b + 1,25 h

Aleshores,

Per tant, l’expressió de la funció que s’ha d’opti-mitzar depenent d’una sola variable és:

S(b) = b h = b ( 4,5 b + 1 440)

3. Busquem els extrems relatius de S(b):

0 = S�(b) = 1 � ( 4,5 b + 1 440) + b( 4, 5) =

= 9 b + 1 440 b = 160

Comprovem que b = 160 correspon a un màximde S:

S�(b) = 9 S�(160) < 0 b = 160 és un màximrelatiu.

Com que S és derivable i no té més extrems rela-tius, b = 160 és també un màxim absolut.

La superfície màxima que es pot envoltar és:

S(160) = 160 � ( 4,5 � 160 + 1 440) = 115 200 m2

40. 1. La funció que s’optimitzarà és la quantitat de xapaemprada en la construcció del barril.

Si anomenem h l’altura del barril i r el radi de les se-ves tapes, l’expressió analítica d’aquesta funció és:

S(h, r) = 2 rh + 2 r2 = 2 r (h + r)

hb

b=+

= +5,625

1,254,5

1 8001 440

lb

m= =10

23 .

b (0, 4) 4 (4, 5)

V (b) + 0

V(b) M

b

hTerreny

Camí

CM

YK

225


Aleshores podem formar el triangle rectangleABC, del qual + � és un dels angles aguts, en quèAB és el seu catet adjacent, de longitud x, i BC elseu catet oposat, de longitud:

4,5 + (2 1,8) = 4,5 + 0,2 = 4,7 m

Si apliquem la definició de tangent:

2. Podem posar la variable en funció de la variablex considerant el triangle rectangle ABD i utilitzantla definició de tangent:

Així, doncs, l’expressió de � com a funció de x és:

3. Busquem els extrems relatius de �:

Atès que x és una distància, només considerem valors positius; per tant, eliminem l’extrem x = 0,970.

Vegem si x = 0,970 correspon a un màxim relatiu:

� (0,970) = 0,4 < 0 x = 0,970 és un màxim re-latiu.

Com que en (0, + ) la funció � és derivable i �� noté més zeros, x = 0,970 és el màxim absolut quebuscàvem.

L’observador s’ha de situar a 0,97 m de l’estàtuaper tal d’obtenir-ne un major angle de visió.

42. a) Estudiem alguns aspectes de la funció

per tal de determinarla seva gràfica aproximada en l’interval [1, 3]:

• Punts de pas:

ésun punt de pas.f ( ) ( , )1 1 1 4 1 3 1 1 12= + + =

f x x x( ) = + +1 4 32

=+

++

( )( ) ( )

xx

x

x

x4,7

4,70,2

0,2

2 22 2 2 2 2 22

2 2 2 2 2 2

=

=+ +

9,4

4,7

0,4

0,2

x

x

x

x( ) ( )

=

+ +

( )x

xx

x

1

1

1

12 24,7

4,7

0,2

=+

++

2

2 2 2 2

0,2 4,7

4,7

0,2

x x x 00,2

4,7 4,7 0,2

0,2 0,2

2

2 2

2

0 = + =

= +

( )x x

x 44,7 4,5 4,23

0,94 0,970

2 2 =

= ± = ±

x

x

( )x x x x= =arc tg4,7

arc tg4,7

arc tg0,2

tg0,2

arc tg0,2

= =x x

tg4,7

arc tg4,7

( ) ( )+ = =x x x

2. Podem relacionar les dues variables imposant quela capacitat del barril sigui de 160 l = 160 dm3:

Si substituïm en l’expressió analítica de S, obteniml’expressió de S com a funció de r:

3. Busquem els extrems relatius de S:

Comprovem que aquest valor és un mínim de S:

S (2,94) = 12 > 0 r = 2,94 és un mínim rela-tiu de S.

S és derivable en (0, + ) i no té més extrems rela-tius en aquest interval, aleshores r = 2,94 és un mà-xim absolut de S en l’interval (0, + ). Ara bé, comque només tenen sentit valors positius del radi,aquest és l’extrem que buscàvem.

El barril en la construcció del qual s’utilitza menysquantitat de xapa és el que té tapes de radi:

r = 2,94 dm i altura

41. 1. La funció que volem optimitzar és la que ens dónal’angle � amb el qual l’observador veu l’estàtua enfunció de la distància x en què es troba respected’ella.

Per tal de trobar l’expressió analítica de � , consi-derem l’angle que forma la visual als peus del’estàtua amb l’horitzontal.

x

4,5

1,8

0,2

h dm= =160

2 .2,94

5,88

= +S rr

( )640

43

0320

4

80

2

3

= = +

= =

S rr

r

r dm

( )

2,94

S r r h r rr

r

rr

( ) ( )= + = + =

= +

2 2160

3202

2

2

1601602

2= = =C r h h

r

225

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

Aleshores podem formar el triangle rectangleABC, del qual +�és un dels angles aguts, en quèAB és el seu catet adjacent, de longitud x, i BC elseu catet oposat, de longitud:

4,5 +(2 1,8) =4,5 +0,2 =4,7 m

Si apliquem la definició de tangent:

2.Podem posar la variable en funció de la variablex considerant el triangle rectangle ABD i utilitzantla definició de tangent:

Així, doncs, l’expressió de �com a funció de x és:

3.Busquem els extrems relatius de �:

Atès que x és una distància, només considerem valors positius; per tant, eliminem l’extrem x =0,970.

Vegem si x =0,970 correspon a un màxim relatiu:

�(0,970) =0,4 <0 x =0,970 és un màxim re-latiu.

Com que en (0, +) la funció �és derivable i ��noté més zeros, x =0,970 és el màxim absolut quebuscàvem.

L’observador s’ha de situar a 0,97 m de l’estàtuaper tal d’obtenir-ne un major angle de visió.

42.a)Estudiem alguns aspectes de la funció

per tal de determinarla seva gràfica aproximada en l’interval [1, 3]:

•Punts de pas:

ésun punt de pas.f()(,) 111413111

2=++=

fxxx ()=++ 1432

=+

++

()()()

xx

x

x

x4,7

4,70,2

0,2

222222222

222222

=

=++

9,4

4,7

0,4

0,2

x

x

x

x ()()

=

++

()x

xx

x

1

1

1

122

4,7

4,7

0,2

=+

++

2

2222

0,24,7

4,7

0,2

xxx00,2

4,74,70,2

0,20,2

2

22

2

0=+=

=+

()xx

x44,74,54,23

0,940,970

22=

=±=±

x

x

()xxxx== arctg

4,7arctg

4,7arctg

0,2

tg0,2

arctg0,2

==xx

tg4,7

arctg4,7

()() +==xxx

2.Podem relacionar les dues variables imposant quela capacitat del barril sigui de 160 l =160 dm3:

Si substituïm en l’expressió analítica de S, obteniml’expressió de S com a funció de r:

3.Busquem els extrems relatius de S:

Comprovem que aquest valor és un mínim de S:

S(2,94) =12 >0 r =2,94 és un mínim rela-tiu de S.

S és derivable en (0, +) i no té més extrems rela-tius en aquest interval, aleshores r =2,94 és un mà-xim absolut de S en l’interval (0, +). Ara bé, comque només tenen sentit valors positius del radi,aquest és l’extrem que buscàvem.

El barril en la construcció del qual s’utilitza menysquantitat de xapa és el que té tapes de radi:

r =2,94 dm i altura

41.1.La funció que volem optimitzar és la que ens dónal’angle �amb el qual l’observador veu l’estàtua enfunció de la distància x en què es troba respected’ella.

Per tal de trobar l’expressió analítica de �, consi-derem l’angle que forma la visual als peus del’estàtua amb l’horitzontal.

x

4,5

1,8

0,2

hdm ==160

2.2,94

5,88

=+ Srr

()640

4 3

0320

4

80

2

3

==+

==

Srr

r

rdm

()

2,94

Srrhrrr

r

rr

()() =+=+=

=+

22160

3202

2

2

160160 2

2 === Crhhr

C M

Y K

226


ésun punt de pas.

0 =f(x) 1 =x2+4 x 3 x =2 (2, 0)ésun punt de pas.

•Monotonia i extrems:

El punt (2, 0) és un màxim relatiu de f.

Amb aquesta informació, podem dibuixar aproxi-madament la situació indicada:

b)La base del triangle és AB, independentment de C,i la seva longitud és b =2.

L’altura del triangle corresponent a la base AB télongitud h =y (1) =y +1, en què y és l’ordena-da del punt C. Atès que C és un punt de la gràficade f, podem expressar h en funció de x:

L’àrea del triangle ABC és, doncs, en funció de x:

c)Per maximitzar la funció A(x) en [1, 3], busquemels seus extrems relatius en (1, 3), que es trobaranentre els zeros de A�, ja que A és derivable en (1, 3):

Atès que A és contínua en [1, 3] i el seu valor en x =1 i x =3 és 0 (tal com es pot observar gràfica-ment), l’única possibilitat és que x =2 sigui un mà-xim relatiu i, a més, absolut.

L’àrea màxima del triangle s’assolirà, doncs, quanel punt C sigui C =(2, f(2)) =(2, 0).

02

432

2==

+

= Axx

xxx ()

Axbhxx

xx

()==+

=

=+

2

243

2

4

2

23313 ,[,] x

hyxx

xx

=+=+++=

=+

11431

4

2

23

1

Y

X 23

– 1

– 2

=+

+

=

+

=

fxx

xx

x

xx

fx

()

()

24

243

2

43

02

22

== xx 02

f()(,) 3134331312

=++=43.Primer de tot, observem que una recta y =mx +b

forma un triangle amb els semieixos positius de coor-denades si m <0 i b >0.

Els vèrtexs del triangle són l’origen, O =(0, 0), i elspunts de tall amb els eixos A i B:

Si prenem com a base el costat OB, l’altura és el costatOA i l’àrea del triangle és:

Volem optimitzar la funció A.

Per tal d’expressar-la en funció d’una única variable,hem de relacionar b i m, cosa que podem fer si impo-sem que la recta passa per P =(3, 6):

6 =m 3 +b b =6 3 m

Per tant, podem expressar l’àrea del triangle en funcióúnicament de m:

Trobarem els extrems relatius de A(m):

Com que m <0, m =+2 no ens val.

Vegem que m =2 és un mínim relatiu:

és un mínim.

Com que A és derivable en (, 0) i no té més extremsen aquest interval, m =2 és el mínim absolut de A en(, 0).

La recta que cerquem és la que té pendent m =2 i or-denada en l’origen b =6 3 m =6 3 (2) =12.

y =2 x +12

44.1.La funció que volem optimitzar és la que ens dónael valor de la maragda després de dividir-la, que de-pendrà del pes de cada tros.

Si anomenem x el pes d’un tros i y el pes de l’altre,podem expressar analíticament aquesta funció:

V(x, y) =k x2+k y2=k (x2+y2)

==>= Am ()236

2

92

02 3

= Amm

()36

3

=+=+

=

Ammmm

Am

()

()

92

18362

92

18

0

2

m=±2

Ambm

mm

mmm

()()

===

=+

22

2

263

2

936362

Abh

bm

bbm

===222

2

ymbbAb

ymxbxbm

Bbm

()(,) 000

0

=+==

==+==,,0

x(1, 2)2(2, 3)

f(x)+0

f(x)M

226

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

esés

un punt de pas.

0 = f(x) 1 = x2 + 4 x 3 x = 2 (2, 0) ésun punt de pas.

• Monotonia i extrems:

El punt (2, 0) és un màxim relatiu de f.

Amb aquesta informació, podem dibuixar aproxi-madament la situació indicada:

b) La base del triangle és AB, independentment de C,i la seva longitud és b = 2.

L’altura del triangle corresponent a la base AB télongitud h = y ( 1) = y + 1, en què y és l’ordena-da del punt C. Atès que C és un punt de la gràficade f, podem expressar h en funció de x:

L’àrea del triangle ABC és, doncs, en funció de x:

c) Per maximitzar la funció A(x) en [1, 3], busquemels seus extrems relatius en (1, 3), que es trobaranentre els zeros de A�, ja que A és derivable en (1, 3):

Atès que A és contínua en [1, 3] i el seu valor en x = 1 i x = 3 és 0 (tal com es pot observar gràfica-ment), l’única possibilitat és que x = 2 sigui un mà-xim relatiu i, a més, absolut.

L’àrea màxima del triangle s’assolirà, doncs, quanel punt C sigui C = (2, f(2)) = (2, 0).

02

4 32

2= =

+

=A xx

x xx( )

A xb h x x

x x

( ) = =+

=

= +

2

2 4 3

2

4

2

2 33 1 3, [ , ]x

h y x x

x x

= + = + + + =

= +

1 1 4 3 1

4

2

2 3

1

Y

X2 3

– 1

– 2

=+

+

=

+

=

f xx

x x

x

x x

f x

( )

( )

2 4

2 4 3

2

4 3

0 2

2 2

= =x x0 2

f ( ) ( , )3 1 3 4 3 3 1 3 12= + + =43. Primer de tot, observem que una recta y = mx + b

forma un triangle amb els semieixos positius de coor-denades si m < 0 i b > 0.

Els vèrtexs del triangle són l’origen, O = (0, 0), i elspunts de tall amb els eixos A i B:

Si prenem com a base el costat OB, l’altura és el costatOA i l’àrea del triangle és:

Volem optimitzar la funció A.

Per tal d’expressar-la en funció d’una única variable,hem de relacionar b i m, cosa que podem fer si impo-sem que la recta passa per P = (3, 6):

6 = m 3 + b b = 6 3 m

Per tant, podem expressar l’àrea del triangle en funcióúnicament de m:

Trobarem els extrems relatius de A(m):

Com que m < 0, m = +2 no ens val.

Vegem que m = 2 és un mínim relatiu:

és un mínim.

Com que A és derivable en ( , 0) i no té més extremsen aquest interval, m = 2 és el mínim absolut de A en( , 0).

La recta que cerquem és la que té pendent m = 2 i or-denada en l’origen b = 6 3 m = 6 3 ( 2) = 12.

y = 2 x + 12

44. 1. La funció que volem optimitzar és la que ens dónael valor de la maragda després de dividir-la, que de-pendrà del pes de cada tros.

Si anomenem x el pes d’un tros i y el pes de l’altre,podem expressar analíticament aquesta funció:

V(x, y) = k x2 + k y2 = k (x2 + y2)

= = > =A m( )236

2

92

0 23

=A mm

( )36

3

= + = +

=

A m mm m

A m

( )

( )

92

18362

92

18

0

2

m = ±2

A mbm

mm

m mm

( )( )

= = =

=+

2 2

2

26 3

2

9 36 362

Ab h

bm

b bm

= = =2 2 2

2

y m b b A b

y m x b xbm

Bbm

( ) ( , )0 0 0

0

= + = =

= = + = = ,, 0

x (1, 2) 2 (2, 3)

f (x) + 0

f(x) M

CM

YK

227


46. Si interpretem les solucions de l’equació x3 36 x ++ 10 = 0 com a arrels de la funció f(x) = x3 36 x + 10, elque hem de demostrar és que f no pot tenir dues arrelsreals en ( 1, 2).

Ho farem per mitjà de la reducció a l’absurd i aplicantel teorema de Rolle:

Suposem que existeixen dues arrels de f en l’interval( 1, 2), x1 < x2.

Vegem que f satisfà les hipòtesis del teorema de Rolleen [x1, x2]:

• f és contínua en [x1, x2], ja que és polinòmica.

• f és derivable en (x1, x2), ja que és polinòmica.

• f(x1) = f(x2): f(x1) = 0 = f(x2) per hipòtesi.


c (x1, x2) � ( 1, 2) � f (c) = 0

Determinem el valor de c:

Com que f� no té arrels en ( 1, 2), no pot existir el real c.

Hem obtingut, doncs, una contradicció, que prove-nia de suposar l’existència de dues arrels diferentsde f en ( 1, 2).

Per tant, f no pot tenir dues arrels diferents en ( 1, 2).

Així, doncs, o bé f no té arrels en ( 1, 2) o bé nomésen té una.

Vegem que satisfà les hipòtesis del teorema de Bol-zano en [ 1, 2]:

• f és contínua en [ 1, 2], ja que és polinòmica.

• f( 1) i f(2) té diferent signe:

f( 1) = ( 1)3 36 ( 1) + 10 = 45 > 0

f(2) = 23 36 2 + 10 = 54 < 0

Per tant:

c ( 1, 2) � f(c) = 0

Així, f té una (única) arrel en ( 1, 2).

47. En aquells que d’entrada obtinguem indetermina-

cions, tractarem de transformar-la en una del tipus

o per tal de poder aplicar la regla de L’Hôpital:

a)

b) lim( )

x

x x

x=

0 2

1 cos sin

00

lim lim

lim

x x

x xx x

x

x

= =

=

0 02

11

1

sintg

cos

cos

xx x

xx

x

x= =

0

3

0

3

2 212

sinsin

cos

coslim

00

00

00

= = = ±f x x f x x( ) , ( )3 36 0 2 22

en què k �+ és la constant de proporcionalitatque ens dóna el valor d’un tros de maragda a par-tir del quadrat del seu pes.

2. Podem transformar V(x, y) en funció d’una sola va-riable si imposem que el tros de maragda que es voldividir pesa 16 g:

16 = x + y y = 16 x

Així, V(x, y) té la següent expressió analítica coma funció de x:

V(x) = k (x2 + y2) = k (x2 + (16 x)2) =

= k (2 x2 32 x + 256)

3. Busquem els extrems relatius de V:

V (x) = k (4 x 32) , V (x) = 0 x = 8

Com que 2 k > 0, la gràfica de V és una paràbolaamb les branques cap amunt; aleshores, x = 8 correspon al vèrtex, que és un mínim absolut.

Perquè el valor final de la maragda sigui mínim, l’hem de dividir en dos trossos de 8 g cadascun (i per-què sigui màxim, no l’hem de dividir).

45. Trobar les arrels de x5 + x 1 = 0 equival a trobar elszeros de f(x) = x5 + x 1. Així, doncs, demostraremque f té una única solució real en (0, 1).

— Existència:

Vegem que f compleix les hipòtesis del teorema deBolzano en [0, 1]:

• f és contínua en [0, 1], ja que és polinòmica.

• f(0) i f(1) tenen diferent signe:

f(0) = 05 + 0 1 = 1 < 0

f(1) = 15 + 1 1 = 1 > 0

Per tant, se satisfarà la tesi del teorema:

c (0, 1) � f(c) = 0

És a dir, té una arrel (real) entre 0 i 1.

— Unicitat:

Suposem que existeix una altra arrel de f, c� (0, 1), amb c < c� (anàlogament si c > c�).

Vegem que f compleix les hipòtesis del teorema deRolle en [c, c�]:

• f és contínua en [c, c�], ja que és polinòmica.

• f és derivable en (c, c�), ja que és polinòmica.

• f(c) = f(c�): f(c) = 0 = f(c�)


d (c, c ) � (0, 1) � f (d) = 0

Si ara busquem el valor de d:

f�(x) = 5 x4 + 1 > 0, x �, aleshores no es potanul.lar en cap punt d: hem obtingut una contra-dicció, que provenia de suposar que existia una al-tra arrel de f en (0, 1).

Així, l’arrel de f entre 0 i 1 és única.

227

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

46.Si interpretem les solucions de l’equació x336 x ++10 =0 com a arrels de la funció f(x) =x336 x +10, elque hem de demostrar és que f no pot tenir dues arrelsreals en (1, 2).

Ho farem per mitjà de la reducció a l’absurd i aplicantel teorema de Rolle:

Suposem que existeixen dues arrels de f en l’interval(1, 2), x1<x2.

Vegem que f satisfà les hipòtesis del teorema de Rolleen [x1, x2]:

•f és contínua en [x1, x2], ja que és polinòmica.

•f és derivable en (x1, x2), ja que és polinòmica.

•f(x1) =f(x2): f(x1) =0 =f(x2) per hipòtesi.


c(x1, x2) �(1, 2) �f(c) =0

Determinem el valor de c:

Com que f�no té arrels en (1, 2), no pot existir el real c.

Hem obtingut, doncs, una contradicció, que prove-nia de suposar l’existència de dues arrels diferentsde f en (1, 2).

Per tant, f no pot tenir dues arrels diferents en (1, 2).

Així, doncs, o bé f no té arrels en (1, 2) o bé nomésen té una.

Vegem que satisfà les hipòtesis del teorema de Bol-zano en [1, 2]:


•f(1) i f(2) té diferent signe:

f(1) =(1)336 (1) +10 =45 >0

f(2) =2336 2 +10 =54 <0

Per tant:

c(1, 2) �f(c) =0

Així, f té una (única) arrel en (1, 2).

47.En aquells que d’entrada obtinguem indetermina-

cions, tractarem de transformar-la en una del tipus

oper tal de poder aplicar la regla de L’Hôpital:

a)

b)lim()

x

xx

x=

02

1cossin

00

limlim

lim

xx

xxxx

x

x

==

=

002

11

1

sintg

cos

cos

xxx

xx

x

x==

0

3

0

3

2212

sinsin

cos

coslim

00

00

00

===± fxxfxx (),() 3360222

en què k�+és la constant de proporcionalitatque ens dóna el valor d’un tros de maragda a par-tir del quadrat del seu pes.

2.Podem transformar V(x, y) en funció d’una sola va-riable si imposem que el tros de maragda que es voldividir pesa 16 g:

16 =x +y y =16 x

Així, V(x, y) té la següent expressió analítica coma funció de x:

V(x) =k (x2+y2) =k (x2+(16 x)2) =

=k (2 x232 x +256)

3.Busquem els extrems relatius de V:

V(x) =k (4 x 32) , V(x) =0 x =8

Com que 2 k >0, la gràfica de V és una paràbolaamb les branques cap amunt; aleshores, x =8 correspon al vèrtex, que és un mínim absolut.

Perquè el valor final de la maragda sigui mínim, l’hem de dividir en dos trossos de 8 g cadascun (i per-què sigui màxim, no l’hem de dividir).

45.Trobar les arrels de x5+x 1 =0 equival a trobar elszeros de f(x) =x5+x 1. Així, doncs, demostraremque f té una única solució real en (0, 1).

—Existència:

Vegem que f compleix les hipòtesis del teorema deBolzano en [0, 1]:


•f(0) i f(1) tenen diferent signe:

f(0) =05+0 1 =1 <0

f(1) =15+1 1 =1 >0


c(0, 1) �f(c) =0

És a dir, té una arrel (real) entre 0 i 1.

—Unicitat:

Suposem que existeix una altra arrel de f, c�(0, 1), amb c <c�(anàlogament si c >c�).

Vegem que f compleix les hipòtesis del teorema deRolle en [c, c�]:

•f és contínua en [c, c�], ja que és polinòmica.

•f és derivable en (c, c�), ja que és polinòmica.

•f(c) =f(c�): f(c) =0 =f(c�)


d(c, c) �(0, 1) �f(d) =0

Si ara busquem el valor de d:

f�(x) =5 x4+1 >0, x�, aleshores no es potanul.lar en cap punt d: hem obtingut una contra-dicció, que provenia de suposar que existia una al-tra arrel de f en (0, 1).

Així, l’arrel de f entre 0 i 1 és única.

C M

Y K

228


c)

d)

e)

f)

g)limlim

l

xx

xx

x

x

xx==

=

0302

1

3

sin

sin

cos

sincos

iim()()

l

x

x

xxxxx +=

=

02323

sin

sincoscossinsin

iim()

(

x

x

xxx=

=

02263

1161

sin

sincossin

33016 )

=

00

00

=+

=231151

16

00

limlimxx

xxxx

x+

=+ 00

235

233155

sinsin

coscosxx

=

xx

xx

x

x

x

=

+

=

=

lim

lim

0

3

0

2sin

sin

cossin

sin

sinncos

xx

21

121

1

13

3+

=

+

=

00

00

limlimxx

xxtgxx

x

x

=00

2

11

sinsin

cos

coscosxx

=

===03

221

2cosx x

lim

00

00

limlimlimxxx

tgxxxx

xx

==00

2

11

1 sincos

cos=

0

3

2sin

cossin

x

xx

xxx

222320

sinsinco=

+lim

()sscossinsincosco

233333233

xxxxx

()()( +ss22

0606

1

x)=

=+

+=

00

limln()ln()

limxx

xx

x=

00

23

12 sin

sinsin

cos222

13

33

2230

x

xx

xxlim

=

=

sincos

cossinxxxx 332 cossin

=

lim()

x

xx=

+

0

21 sincoscoos

sincossincoscossi

xx

xxxxxx

2

210

=

=+

lim()nnx

2000

20

=

=+

=

00h), i si prenem logaritmes:

0

Aleshores

i)

j)

k)

0

l), i si prenem logaritmes: limx

x x=1

111

===+

limlnlnlnx

x22222

11

limx

x

+=

21

=

ln21

1

2

2

x

x

00

lim()limx

x

x

x

x

x++

== 2121

1

11

=+

=1

1112

00

=

+

+

=

=

limln

ln()

lim

x

xxx

xxx1

11

1

111

xxx

x

xx

x

xx+

=

+

=11

2 11

1

11ln

lnlim

00

limln

limln()() xx

xxx

xxxx

=11 1

111llnx

=

11

xx

== lim

00

limlnln

limln

limxxx x

xx

xx

==111

11111x

=

lim(ln)x

e xex

+==

10

1

====++

limln

limln xxxx

xx

exex

1111

0

==++

limln(ln)limln(ln)

xxxxe

xx

e

1==

lnlim(ln)limln(ln)x

ex

e xxxx

++=

11

==

lim(ln)x

e xx

+=

10

228

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

c)

d)

e)

f )

g) lim lim

l

x x

x x

x

x

x x= =

=

0 3 0 2

1

3

sin

sin

cos

sin cos

iim( ) ( )

l

x

x

x x x x x+=

=

0 23 2 3

sin

sin cos cos sin sin

iim( )

(

x

x

x x x=

=

0 2 26 3

11 6 1

sin

sin cos sin

33 016)

=

00

00

=+

=2 3 11 5 1

16

00

lim limx x

x xx x

x+

=+0 0

2 35

2 3 31 5 5

sinsin

coscos xx

=

xx

xx

x

x

x

=

+

=

=

lim

lim

0

3

0

2sin

sin

cossin

sin

sinncos

xx

21

121

1

13

3+

=

+

=

00

00

lim limx x

x xtg x x

x

x

=0 0

2

11

sinsin

cos

coscos xx

=

= = =0 3

2 21

2cos xx

lim

00

00

lim lim limx x x

tg x xx x

xx

= =0 0

2

11

1sincos

cos=

0

3

2 sin

cossin

x

xx

x xx

2 2 2 3 20

sin sin co=

+lim

( ) ss cossin sin cos co

2 3 33 3 3 2 3 3

x xx x x

( )( ) (+ ss 2 2

0 60 6

1

x )=

=+

+=

00

limln( )ln( )

limx x

xx

x=

0 0

23

12sin

sinsin

cos 22 2

13

3 3

2 2 30

x

xx

xxlim

=

=

sincos

cos sin xxx x3 3 2cos sin

=

lim( )

x

x x=

+

0

2 1sin cos coos

sin cos sin cos cos si

xx

x x x x xx

2

2 10

=

=+

lim( ) nn x

20 0 0

20

=

=+

=

00 h) , i si prenem logaritmes:

0

Aleshores

i)

j)

k)

0

l) , i si prenem logaritmes:limx

xx =1

11 1

= = =+

lim ln ln lnx

x2 2 2 2 21 1

limx

x

+=

21

=

ln 21

1

2

2

x

x

00

lim ( ) limx

x

x

x

x

x+ +

= =2 12 1

1

11

=+

=1

1 112

00

=

+

+

=

=

limln

ln ( )

lim

x

x x x

x x x1

11

1

1 11

xx x

x

xx

x

x x+

=

+

=1 1

211

1

1 1ln

lnlim

00

limln

limln ( )( )x x

xx x

x x xx

=1 11

1 11 lln x

=

11

xx

= =lim

00

limln ln

limln

limx x xx

xx

xx

= =1 1 1

1 1 111x

=

lim (ln )x

ex ex

+= =

10 1

= = = =+ +

limln

limlnx x x x

x x

e xe x

1 11 1

0

= =+ +

lim ln(ln ) limln(ln )

x x x xex

x

e

1==

ln lim (ln ) lim ln(ln )x

ex

ex xx x

+ +=

1 1

==

lim (ln )x

exx

+=

10

CM

YK

229


Per tant:

48. Activitat TIC.

49. Activitat TIC.

limx

xx ee

= =1

11 1 1

0

=xlim

11

1 11

1= =x

00

limx

=1

11

= = =x

xxx

xx x

ln limln

lim1 11

1

1

ln lim lim lnx

xx

xx x= =1

11

1

11

229

11. A

plic

acio

ns d

e le

s de

rivad

es

Per tant:

48.Activitat TIC.

49.Activitat TIC.

limx

x xee

==1

1111

0

=xlim

11

111

1 ==x

00

limx

=1

11

===x

xxx

xxx

lnlimln

lim11 1

1

1

lnlimlimlnx

xx

x xx ==1

11

1

11

C M

Y K

230

12. Integrals i aplicacions

1.PRIMITIVES I INTEGRALS INDEFINIDES

1.a)F(x) =(ex(x 1))=ex(x 1) +ex1 =

F és primitivade f.

b)

=xex=f(x) G és primitiva de f.

c)H(x) =(xexx 2)=1 ex+xex1 0 =

=ex(1 +x) 1 xex=f(x) H no és primitiva de f.

2.a)

b)

c)

d)

3.a)

b)

c)1x

dxlnxC =+ xdx=1

xdxx

Cx

C+

=+

+=+4

41

3 411

3

14

xdx=

xdxx

Cx

C7

718

718=

++=+

+

()(sin eCxx

=++1

121CC

exC

x

212

)sin =+

coscos xdxedxxdxx

==1

12=

edx

x

12

exdx

x

12= cos fxdx ()=

fxdxexdx

edxxdx

ed

x

x

x

()(cos)

cos

=+=

=+=

=

5

5

5xxxdx

eCxCexCxx

+=

=+++=++

cos

()sinsin 55 12

fxdxxedx

xdxedx

x

x

()(cos)

cos

cos

=+=

=+=

=

3

3

3xxdxedx

xCeCxeC

x

xx

+=

=+++=++ 33 12 (sin)sin

fxdxexdx

edxxdxeC

x

xx

()(cos)

cos(s

==

==+1iin)

sin

xC

exCx

+=

=+

2

=+=++= Gxxeeexeexxxxx

()()210

=+== exeeexfxxxxx

()

d)

e)

f)

4.a)

b)

c)

d)

5.a)()()()

()

xxxdxxx

C

xx

453451

4

3433

513

=+

+=

=

+

66

6+C

9

44

9

41

3

21

32

1

1

22

22

==

==

xdx

xdx

xdx

xdx

()

==

=+32

arcsinxC

()() xdxxxdx

xdxxdxdx

x

+=++=

=++=

=

121

21

22

2

22

21113

2

212

113

++=

=+

++

++=+++

dxxdxdx

xxxC

xx

22++ xC

1111

31

33

31

xxdx

xdx

xdx

lnxx

+=+=

=++

+

++=+ Clnxx

C1

22

===

=

+

+=

+

222

235

1

3 53 535

35

1

xdxxdxxdx

xC22

58

54

3 5

3 5

xxC

xxC

+=

=+

35

1

58

3 535

35

1

xdxxdxx

C

x

==

+

+=

=

+

xxC3 5+

55

5x

x

dxln

C =+

xdxx

CxC+

=

+

+=+

16

16

15 6

16

1

65

16

xdx=

Integrals i aplicacions 12

230

12. I

nteg

rals

i ap

licac

ions

1. PRIMITIVES I INTEGRALS INDEFINIDES

1. a) F (x) = (ex (x 1)) = ex (x 1) + ex 1 =

F és primitivade f.

b)

= xex = f(x) G és primitiva de f.

c) H (x) = (xex x 2) = 1 ex + xex 1 0 =

= ex(1 + x) 1 xex = f(x) H no és primitiva de f.

2. a)

b)

c)

d)

3. a)

b)

c)1x

dx ln x C= +x dx =1

x dxx

Cx

C+

=+

+ = +44 1

34 11

3

14x

dx =

x dxx

Cx

C77 1 8

7 1 8=

++ = +

+

( ) (sine C xx= + +1

12 1 CCe

x Cx

2 12) sin= +

cos cosx dx e dx x dxx= =1

12=

edx

x

12

ex dx

x

12=cosf x dx( ) =

f x dx e x dx

e dx x dx

e d

x

x

x

( ) ( cos )

cos

= + =

= + =

=

5

5

5 xx x dx

e C x C e x Cx x

+ =

= + + + = + +

cos

( ) sin sin5 51 2

f x dx x e dx

x dx e dx

x

x

( ) ( cos )

cos

cos

= + =

= + =

=

3

3

3 xx dx e dx

x C e C x e C

x

x x

+ =

= + + + = + +3 31 2(sin ) sin

f x dx e x dx

e dx x dx e C

x

x x

( ) ( cos )

cos (s

= =

= = + 1 iin )

sin

x C

e x Cx

+ =

= +

2

= + = + + =G x x e e e xe ex x x x x( ) ( )2 1 0

= + = =e x e e e x f xx x x x ( )

d)

e)

f )

4. a)

b)

c)

d)

5. a) ( ) ( )( )

( )

x x x dxx x

C

x x

4 5 34 5 1

4

3 4 33

5 13

=+

+ =

=

+

66

6+ C

9

4 4

9

4 1

3

2 1

32

1

1

2 2

2 2

= =

= =

xdx

xdx

xdx

xdx

( )

==

= +32

arc sin x C

( ) ( )x dx x x dx

x dx x dx dx

x

+ = + + =

= + + =

=

1 2 1

2 1

2 2

2

22

2 1 1 1 3

2

2 12

1 1 3

+ + =

=+

++

+ + = ++ +

dx x dx dx

x xx C

xx22 + +x C

1 1 1 1

3 1

3 3

3 1

x xdx

xdx

xdx

ln xx

+ = + =

= ++

+

++ = +C ln xx

C1

2 2

= = =

=

+

+ =

+

2 2 2

235

1

35 3535

35

1

x dx x dx x dx

xC 22

58

54

35

35

x x C

x x C

+ =

= +

35

1

58

3535

35

1

x dx x dxx

C

x

= =

+

+ =

=

+

xx C35+

55

5x

x

dxln

C= +

x dxx

C x C+

=

+

+ = +

16

16

156

16

1

65

16 x

dx =

Integrals i aplicacions12

CM

YK

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)

6. a) x dx

x x x x dx

x dx

+( ) =

= + ( ) + + + =

= +

2

8 24 32 16

8

4

2 3

2

( )

( ) + +

+ + =

= +

x dx x dx

x dx dx

x dx x

3

232

24

32 16

8 ddx x dx

x dx dx

x x x

+ +

+ + =

= + +

24

32 16

38

52

24

12

352 2

2232

32

16

32

+ + + =x

x C

2

5

25

25

25

x

x

x

x

dx dxln

C= = +

x

xdx

x

xdx

x

xdx ln x

2

3

2

3

2

3

2

13

32

13

3

2

13

+=

+=

=+

= 33 2+ + C

sin cos(sin )4

4 1 5

4 1 5=

++ = +

+

x x dxx

Csin x

C

= +13

3

e Cx

e x dxx3

3 2 =13

313

2 3

=x e dxxx e dxx2 3

=

= = + =

= +

2 31

22

33

23

3

xx

x

xdx

lnC

lnC

31 1

22x

xdx =

3 x

xdx =

= + + + =

= + + +

( ) ( )

( ) ( )

x x x dx

x x x

4 2 3

4 2 3

8 1 2

8 1 2 4 =

= + + + =

=+ +

14

14

8 1 4 8

14

8 1

4 2 3

4

dx

x x x dx

x x

( ) ( )

( ))

( )

+

++ =

=+ +

+

2 1

4

2 11

4 8 1

C

x xC

x

x xdx

3

4 2

2

8 1

+

+ +=

( )

cossin

sinxx

dx ln x C= +cotg x dx =

b)

c)

d)

e)

7. a) 1. Substituïm la variable x per t.

Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable:

Aleshores:

Substituint en la integral:

2. Calculem la nova integral:

3 3 39 3

8 89 9

t dt t dtt

Ct

C= = + = +

t dt8 313

28

x dx+ =

13

3dx dt dx dt= =

13

2x t+ =

4 3

1

4

1

3

14

1

2 2 2

2

+

+=

++

+=

=+

x

xdx

x

x

xdx

xdx ++

+=

=+

++

=

=

3

1

41

1

32

2

1

4

2

2 2

x

xdx

xdx

x

xdx

arc tg x ++ + +32

1 2ln x C( )

= + + +x

x ln x C3

34 3

3x

dx == + +x dx dx2 4

x xx

dxxx

xx x

dx3 34 3 4 3+ +

= + + =

= + = + +3 23

32

2x x

x x

dx dxln ln

C

9 6

3

9

3

6

3

9

3

6

3

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

dx dx

dx

+= + =

= + ddx dx dxx x

= + =93

63

= = + =

= +

x dx x dxx x

C

x x x C

12

12

12

32

12

32

223

x dx =1

=x

dx

1 1= =

x

xdx

x

x

xdx

= + + + + +x

x x x x x x C3

2 2

3165

12643

16

231

12. Integrals i aplicacionsb)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

6.a)xdx

xxxxdx

xdx

+ ()=

=+()+++=

=+

2

8243216

8

4

23

2

()

()++

++=

=+

xdxxdx

xdxdx

xdxx

3

232

24

3216

8ddxxdx

xdxdx

xxx

++

++=

=++

24

3216

38

52

24

12

3522

2232

32

16

32

+++=x

xC

2

5

25

25

25

x

x

x

x

dxdxln

C ==+

x

xdx

x

xdx

x

xdxlnx

2

3

2

3

2

3

2

13

32

13

3

2

13

+=

+=

=+

=33

2 ++C

sincos(sin) 4

415

415=

++=+

+

xxdxx

Csinx

C

=+13

3

eCx

exdxx

3

32

=13

313

23

= xedxx xedx

x 23

=

==+=

=+

231

22

33

23

3

xx

x

xdx

lnC

lnC

311

22

x

xdx=

3x

xdx=

=+++=

=+++

()()

()()

xxxdx

xxx

423

423

812

8124=

=+++=

=++

14

14

8148

14

81

423

4

dx

xxxdx

xx

()()

())

()

+

++=

=++

+

21

4

211

481

C

xxC

x

xxdx

3

42

2

81

+

++=

()

cossin

sinxx

dxlnxC =+ cotgxdx=

b)

c)

d)

e)

7.a)1.Substituïm la variable x per t.


Aleshores:


2.Calculem la nova integral:

33393

8899

tdttdtt

Ct

C ==+=+

tdt8

313

28

xdx +=

13

3 dxdtdxdt ==

13

2 xt +=

43

1

4

1

3

14

1

222

2

+

+=

++

+=

=+

x

xdx

x

x

xdx

xdx++

+=

=+

++

=

=

3

1

41

1

32

2

1

4

2

22

x

xdx

xdx

x

xdx

arctgx++++32

12

lnxC ()

=+++x

xlnxC3

343

3x

dx= =++ xdxdx2

4

xxx

dxxx

xxx

dx33 4343 ++

=++=

=+=++ 323

32

2xx

xx

dxdxlnln

C

96

3

9

3

6

3

9

3

6

3

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

dxdx

dx

+=+=

=+ddxdxdxxx

=+=93

63

==+=

=+

xdxxdxxx

C

xxxC

12

12

12

32

12

32

223

xdx=1

=x

dx

11==

x

xdx

x

x

xdx

=+++++x

xxxxxxC3

22

3165

12643

16

231

12. I

nteg

rals

i ap

licac

ions

C M

Y K

232


3.Desfem el canvi de variable:

b)1.Substituïm la variable x per t.


x =4sintAleshores:

dx =4cost dt


2.Calculem la nova integral tenint en compteque:

Així, doncs:

3.Desfem el canvi de la variable:

8.a)1.Substituïm la variable x per t.

Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable 2x=t.

Aleshores:

2xln 2dx =dt




b)1.Substituïm la variable x per t.

2

12

12

1

12

12

x

x

x

dxln

lntC

lnlnC

+=++=

=++

12

11

12

1lnt

dtln

lntC+

=++

2

12

12

1

1222

12

11

x

xxx

dxln

lndx

lntdt

+=

+=

=+

84

424

arcxx

C sinsinarcsin ++

162

2

2842 =++=+

sinsin t

tCtt++C

812

2

+=

costdt 1616

2cos= tdt

coscos 2122

tt

=+

1616164

1614

22

2

==

=

xdxttdt

t

sincos

(sin)coss

coscoscos

=

==

tdt

ttdttdt 1641622

13

23

13

2

3

89

9

xdxt

Cx

C +=+=

+

+

Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable tg x =t.

Aleshores:




9.a)1.Identifiquem u i dv, i calculem du i v:

u =2x2du =4x dx

dv =sinx dx v =cosx

2.Apliquem l’expressió du:

3.Resolem la nova integral aplicant el resultat del’exemple 10:

Per tant:

b)1.Identifiquem u i dv, i calculem du i v:


3.Resolem la nova integral:

Per tant:

xlnxdxx

lnxx

C2

33

39=+

xdxx 2

3133

=x

xdx

3

311

3=

xx

dx3

31

xlnxdxlnxx 2

3

3=

udvuvv =

dvxdxvx

==2

3

3

ulnxdux

dx ==1

2

244

2

2

xxdx

xxxxxC

sin

cossincos

=

=+++

422

222

xxdxxxdx

xxx

coscos

[sincos]

==

=+

22422

xxdxxxxxdx sincoscos =+

udvuvv =

e

xdxeCeC

tgxttgx

cos2=+=+

edteCtt

=+

edtt e

xdx

tgx

cos2=

12

cosxdxdt =

232

12. I

nteg

rals

i ap

licac

ions

3. Desfem el canvi de variable:

b) 1. Substituïm la variable x per t.


x = 4 sin tAleshores:

dx = 4 cos t dt


2. Calculem la nova integral tenint en compteque:

Així, doncs:

3. Desfem el canvi de la variable:

8. a) 1. Substituïm la variable x per t.

Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable 2x = t.

Aleshores:

2x ln 2 dx = dt




b) 1. Substituïm la variable x per t.

2

1 2

12

1

12

1 2

x

x

x

dxln

ln t C

lnln C

+= + + =

= + +

12

11

12

1ln t

dtln

ln t C+

= + +

2

1 2

12

1

1 22 2

12

11

x

x xxdx

lnln dx

ln tdt

+=

+=

=+

84

4 24

arcx x

Csin sin arc sin+ +

162

2

28 4 2= + + = +

sinsint

tC t t ++ C

81 2

2

+=

cos tdt16 162cos =t dt

coscos2 1 22

tt

=+

16 16 16 4

16 1 4

2 2

2

= =

=

x dx t t dt

t

sin cos

( sin ) coss

cos cos cos

=

= =

t dt

t t dt t dt16 4 162 2

13

23

13

2

3

8 9

9

x dxt

Cx

C+ = + =

+

+

Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable tg x = t.

Aleshores:




9. a) 1. Identifiquem u i dv, i calculem du i v:

u = 2 x2 du = 4 x dx

dv = sin x dx v = cos x

2. Apliquem l’expressió du:

3. Resolem la nova integral aplicant el resultat del’exemple 10:

Per tant:

b) 1. Identifiquem u i dv, i calculem du i v:


3. Resolem la nova integral:

Per tant:

x ln x dxx

ln xx

C23 3

3 9= +

x dxx2

313 3

=x

xdx

3

31 1

3=

xx

dx3

31

x ln x dx ln xx2

3

3=

u dv u v v=

dv x dx vx

= =23

3

u ln x dux

dx= =1

2

2 4 4

2

2

x x dx

x x x x x C

sin

cos sin cos

=

= + + +

4 2 2

2 2 2

x x dx x x dx

x x x

cos cos

[ sin cos ]

= =

= +

2 2 42 2x x dx x x x x dxsin cos cos= +

u dv u v v=

e

xdx e C e C

tg xt tg x

cos2= + = +

e dt e Ct t= +

e dtte

xdx

tg x

cos2=

12cos x

dx dt=

CM

YK

10. a) 1. Descomponem el denominador en factors:

x2 4 = (x 2) (x + 2)

2. Escrivim l’integrant com a suma de fraccionssimples:

2 x + 1 = A1 (x + 2) + A2 (x 2) =

= (A1 + A2) x + 2 A1 2 A2

3. Integrem cadascuna de les fraccions simples:

b) 1. Descomponem el denominador en factors:


3. Integrem cadascuna de les fraccions simples:

11. a) 1. Descomponem el denominador en factors:

1

3

36

3

36

3

36

33

6

2xdx

xdx

xdx

ln x ln x

= ++

=

= + 33

36

3

3

+ =

=+

+

C

x

xCln

1

3 3 3

3 3

3 3

21 2

1 2

x

A

x

A

x

A x A x

x x

= ++

=

=+( ) + ( )

( ) +(( )

= +( ) + ( ) =

= + +

=

1 3 3

3 3

0

1 2

1 2 1 2

1

A x A x

A A x A A

A

( )

++

=

= = =

A

A A

A A

2

1 2

1 2

1 3 3

1

2 3

36

36

,

x x x2 3 3 3= ( ) +( )

2 1

4

54

2

34

254

234

2

x

xdx

xdx

xdx

ln x ln

+= +

+=

= + xx C+ +2

2

1 2 254

34

1 2

1 21 2

= +

== =

A A

A AA A,

2 1

4 2 22 2

2

21 2

1 2

x

x

Ax

A

xA x A x

x

+= +

+=

=+ +( ) ( )

( )(xx + 2)

2. L’integrant ja és una fracció simple.

3. Integrem la fracció simple:

b) 1. Descomponem el denominador en factors:


3. Integrem les fraccions simples:

2. INTEGRAL DEFINIDA

12. El procediment 1 ens dóna aproximacions per defec-te. Per exemple:

El procediment 2 ens dóna aproximacions per excés.Per exemple:

L’àrea A considerada és, doncs:

13. Com que la integral definida d’una funció positiva en [a, b] coincideix amb l’àrea de la regió definida perla gràfica de la funció, l’eix d’abscisses i les rectes x = a i x = b, podem calcular fàcilment:

0 587

1256

0 832 2, ,= = = =s A S

S f f2 112

32

12

11

12

132

12

56

= ( ) + = + =

s f f232

12

212

132

12

12

12

712

= + = + =( )

x

x xdx

xdx

xdx

ln xx

+

+= + =

=

1

6 9

13

4

3

3 41

2 2( )

+3

C

x

x x

Ax

A

xA x A

x

+

+= + =

=+

( )

1

6 9 3 33

3

21 2

2

1 22

( )( )

xx A x A A x A A

A

A A

+ = + = +

=

= +

1 3 3

1

1 3

1 2 1 1 2

1

1 2

( )

= =A A1 21 4,

x x x2 26 9 3+ = ( )

+= =

= =

1

2 1

1

11

1

1

2 2

2

x xdx

xdx

xdx

x

( )

( ) 11+ C

x x x2 22 1 1+ = ( )

233

12. Integrals i aplicacions10.a)1.Descomponem el denominador en factors:

x24 =(x 2) (x +2)

2.Escrivim l’integrant com a suma de fraccionssimples:

2x +1 =A1(x +2) +A2 (x 2) =

=(A1+A2) x +2A12A2

3.Integrem cadascuna de les fraccions simples:

b)1.Descomponem el denominador en factors:


3.Integrem cadascuna de les fraccions simples:

11.a)1.Descomponem el denominador en factors:

1

3

36

3

36

3

36

33

6

2x

dxx

dxx

dx

lnxlnx

=++

=

=+33

36

3

3

+=

=+

+

C

x

xC ln

1

333

33

33

212

12

x

A

x

A

x

AxAx

xx

=++

=

=+ ()+()

()+ (()

=+ ()+()=

=++

=

133

33

0

12

1212

1

AxAx

AAxAA

A

()

++

=

===

A

AA

AA

2

12

12

133

1

23

36

36

,

xxx2

333 =()+ ()

21

4

54

2

34

254

234

2

x

xdx

xdx

xdx

lnxln

+=+

+=

=+xxC ++ 2

2

12254

34

12

1212

=+

===

AA

AAAA,

21

42222

2

212

12

x

x

Ax

A

xAxAx

x

+=+

+=

=++ ()()

()(xx+2)

2.L’integrant ja és una fracció simple.

3.Integrem la fracció simple:

b)1.Descomponem el denominador en factors:


3.Integrem les fraccions simples:

2.INTEGRAL DEFINIDA

12.El procediment 1 ens dóna aproximacions per defec-te. Per exemple:

El procediment 2 ens dóna aproximacions per excés.Per exemple:

L’àrea A considerada és, doncs:

13.Com que la integral definida d’una funció positiva en [a, b] coincideix amb l’àrea de la regió definida perla gràfica de la funció, l’eix d’abscisses i les rectes x =a i x =b, podem calcular fàcilment:

0587

1256

083 22 ,, ==== sAS

Sff 2112

32

12

11

12

132

12

56

=()+=+=

sff 232

12

212

132

12

12

12

712

=+=+= ()

x

xxdx

xdx

xdx

lnxx

+

+=+=

=

1

69

13

4

3

341

22()

+3

C

x

xx

Ax

A

xAxA

x

+

+=+=

=+

()

1

69333

3

212

2

122

()()

xxAxAAxAA

A

AA

+=+=+

=

=+

133

1

13

12112

1

12

()

== AA 12 14 ,

xxx22

693 +=()

+==

==

1

21

1

11

1

1

22

2

xxdx

xdx

xdx

x

()

()11+C

xxx22

211 +=()

233

12. I

nteg

rals

i ap

licac

ions

C M

Y K

234


Comprovem que es compleix ID.1:

3.TEOREMES D’INTEGRACIÓ

14.1.Trobem els zeros de f:

cos, xxkk ==+ 02

Z

172

90

1

0

1

0

1

=+=

=+=

(()())

()()

fxgxdx

fxdxgxdx22

4172

120

1

0

1

+=

==

=

(()())

()()

fxgxdx

fxdxgxddx==92

412 0

1

(()()) fxgxdx

D

=

===

0

1

111

212

(()()) fxgxdx

CC

+=

=+=

=+=

0

1

12

1713

2172

1X

Y

1

D1

f(x) – g(x) = – x + 1

1X

Y

1

C2

C1 f(x) + g(x) = 3x + 7

gxdxBB ()=+=

=+=

120

1

1312

24

fxdxAA ()=+=

=+=

120

1

1411

292

1X

Y

1

B2

B1

g(x) = 2x + 3

1X

Y

1

A2

A1

f(x) = x + 4

2.La funció f no té zeros en ,aleshores l’àrea

demanada és:


x22x 15 =0 x =3 o x =5

2.Els dos zeros es troben entre 4 i 7, aleshores l’àreademanada és:

Per a calcular les integrals, usarem la regla de Bar-row:

La primitiva obtinguda en fer C =0 és:

Finalment:


x3+2x25x 6 =0 x =1, x =2 ox =3

2.En només hi ha dos zeros de f, x =3 i

x =1, aleshores l’àrea demanada és:

Axxxdx

xxxdx

=++

++

()

()

32

5

3

32

3

1

256

256+

++=

=+

() xxxdx

xxxx

32

1

32

432

256

4

2

3

5

26+

+++

5

3

432

3

1

4

2

3

5

26

xxxx

532

,

AFFFF

FF

=++

+=

=

()()()()

()()

3453

75

27683

+++

+=++=

1753

27

1193

1753

133

2563

563

===3253

3253

2Au

Fxx

xx ()=3

2

315

fxdxxxdx

xxxC

()() ==

=+

2

32

215

315

Afxdxfxdxfxdx =++ ()()()4

3

3

5

5

7

Axdxx

A

==[]=

====

cossin

sinsin

22

201111

2u

2,

234

12. I

nteg

rals

i ap

licac

ions

Comprovem que es compleix ID.1:

3. TEOREMES D’INTEGRACIÓ

14. 1. Trobem els zeros de f:

cos ,x x k k= = +02

Z

172

90

1

0

1

0

1

= + =

= + =

( ( ) ( ))

( ) ( )

f x g x dx

f x dx g x dx22

4172

12 0

1

0

1

+ =

= =

=

( ( ) ( ))

( ) ( )

f x g x dx

f x dx g x ddx = =92

4120

1

( ( ) ( ))f x g x dx

D

=

= = =

0

1

11 1

212

( ( ) ( ))f x g x dx

C C

+ =

= + =

= + =

0

1

1 2

1 71 3

2172

1 X

Y

1

D1

f(x) – g(x) = – x + 1

1 X

Y

1

C2

C1f(x) +

g(x

) = 3

x +

7

g x dx B B( ) = + =

= + =

1 20

1

1 31 2

24

f x dx A A( ) = + =

= + =

1 20

1

1 41 1

292

1 X

Y

1

B2

B1

g(x)

= 2

x +

3

1 X

Y

1

A2

A1

f(x) =

x +

4

2. La funció f no té zeros en , aleshores l’àrea

demanada és:


x2 2 x 15 = 0 x = 3 o x = 5

2. Els dos zeros es troben entre 4 i 7, aleshores l’àreademanada és:

Per a calcular les integrals, usarem la regla de Bar-row:

La primitiva obtinguda en fer C = 0 és:

Finalment:


x3 + 2 x2 5 x 6 = 0 x = 1, x = 2 ox = 3

2. En només hi ha dos zeros de f, x = 3 i

x = 1, aleshores l’àrea demanada és:

A x x x dx

x x x dx

= + +

+ +

( )

( )

3 2

5

3

3 2

3

1

2 5 6

2 5 6 +

+ + =

= +

( )x x x dx

x x xx

3 2

1

32

4 3 2

2 5 6

4

2

3

5

26 +

+ + +

5

3

4 3 2

3

1

4

2

3

5

26

x x xx

532

,

A F F F F

F F

= + +

+ =

=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 4 5 3

7 5

27683

++ +

+ = + + =

1753

27

1193

1753

133

2563

563

== =3253

3253

2A u

F xx

x x( ) =3

2

315

f x dx x x dx

xx x C

( ) ( )= =

= +

2

32

2 15

315

A f x dx f x dx f x dx= + +( ) ( ) ( )4

3

3

5

5

7

A x dx x

A

= = [ ] =

= = = =

cos sin

sin sin

2 2

20 1 1 11 2u

2,

CM

YK


x3 + x2 10 x + 8 = 0 x = 4, x = 1 o x = 2

2. Els zeros de f determinen els intervals següents:

[ 4, 1] i [1, 2]

L’àrea buscada és, doncs:

18. Seguirem el procediment analític, més exacte i ràpidque el geomètric:

1. Trobem les abscisses dels punts de tall de les gràfi-ques de f i g:

2. Com que no existeixen punts de tall en [ 1, 2], l’à-rea demanada és:

19. 1. Calculem els punts de tall entre les gràfiques de lesdues funcions:

A f x g x dx

x x dx

x

= =

= + + =

=

( ( ) ( ))

( )

1

2

2

1

2

3

3 8

3++ + = =

= =

32

8583

376

512

2

1

2x

x

A5512

2u

f x g x x x x

x o x

( ) ( )

,

= =

= = =+

=

2 2 8

3 412

1 73 41

244 7,

A f x dx f x dx

x x x dx

= + =

= + +

( ) ( )

( )

4

1

1

2

3 2

4

110 8 ++

+ + + =

= + +

( )x x x dx

x xx x

3 2

1

2

4 32

10 8

4 35 8 +

+ + + =

=

4

1

4 32

1

2

4 35 8

4312

2083

x xx x

+ =

= + = =

83

4312

87512

1112

4436

4436

2A u

++ + =

= + +

x x xx

4 3 2

1

32

4

2

3

5

26

1283

163

22 725192

1283

163

2 725192

11 941192

1

=

= + + =

=A11 941192

2u

2. Entre 0 i hi ha un únic punt de tall, , ales-

hores l’àrea buscada serà:

20. a) 1. Calculem els punts de tall entre les gràfiques deles dues funcions:

f(x) = g(x) x2 3 x = x2 + 5 x x = 0 o x = 4

2. Els punts de tall defineixen un únic interval,[0, 4], per la qual cosa l’àrea limitada per lesgràfiques és:

b) 1. Calculem els punts de tall entre les gràfiques deles dues funcions:

2. Els punts de tall determinen dos intervals:

Per tant, l’àrea buscada és:

A f x g x dx

f x g x dx

x

= +

+ =

=

( ( ) ( ))

( ( ) ( ))

(

2

0

0

32

3 +32

2

2

0x

xdx

[ , ] ,2 0 032

i

f x g x x xx

x

x o x

( ) ( ) ,= = =

= =

32

32

2

032

A f x g x dx

x x x x dx

= =

= +

( ( ) ( ))

(( ) ( ))

0

4

2 2

0

43 5 ==

= = =

=

( )2 82

34

643

0

2

0

4 32

0

4

x x dxx

x

== =643

643

2A u

= + + = =2 1 1 2 2 2 2 2 2A u

sin cosx x+ =

4

2 1 ++ =1 2+

sinn cosx x+ +0

4x x dx+ =(cos sin )

4

A x x dx= +(cos sin )0

4

x =4

f x g x x x

tg xxx

x k

( ) ( ) sin cos

sincos

= =

= = = +14

,, k Z

235



x3+x210x +8 =0 x =4, x =1 o x =2

2.Els zeros de f determinen els intervals següents:

[4, 1] i [1, 2]

L’àrea buscada és, doncs:

18.Seguirem el procediment analític, més exacte i ràpidque el geomètric:

1.Trobem les abscisses dels punts de tall de les gràfi-ques de f i g:

2.Com que no existeixen punts de tall en [1, 2], l’à-rea demanada és:

19.1.Calculem els punts de tall entre les gràfiques de lesdues funcions:

Afxgxdx

xxdx

x

==

=++=

=

(()())

()

1

2

2

1

2

3

38

3+++==

==

32

8583

376

512

2

1

2x

x

A5512

2u

fxgxxxx

xox

()()

,

==

===+

=

228

3412

17341

2447,

Afxdxfxdx

xxxdx

=+=

=++

()()

()

4

1

1

2

32

4

1108++

+++=

=++

() xxxdx

xxxx

32

1

2

432

108

4358+

+++=

=

4

1

432

1

2

4358

4312

2083

xxxx

+=

=+==

83

4312

87512

1112

4436

4436

2Au

+++=

=++

xxxx

432

1

32

4

2

3

5

26

1283

163

22725192

1283

163

2725192

11941192

1

=

=++=

= A11941192

2u

2.Entre 0 i hi ha un únic punt de tall, , ales-

hores l’àrea buscada serà:

20.a)1.Calculem els punts de tall entre les gràfiques deles dues funcions:

f(x) =g(x) x23x =x2+5x x =0 o x =4

2.Els punts de tall defineixen un únic interval,[0, 4], per la qual cosa l’àrea limitada per lesgràfiques és:

b)1.Calculem els punts de tall entre les gràfiques deles dues funcions:

2.Els punts de tall determinen dos intervals:

Per tant, l’àrea buscada és:

Afxgxdx

fxgxdx

x

=+

+=

=

(()())

(()())

(

2

0

0

32

3+ 3

2

2

2

0x

xdx

[,], 20032

i

fxgxxxx

x

xox

()(), ===

==

32

32

2

032

Afxgxdx

xxxxdx

==

=+

(()())

(()())

0

4

22

0

435==

===

=

() 282

34

643

0

2

0

432

0

4

xxdxx

x

===643

643

2Au

=++== 211222222

Au

sincos xx +=

4

21++= 12 +

sinncos xx ++0

4xxdx += (cossin)

4

Axxdx =+ (cossin)0

4

x=4

fxgxxx

tgxxx

xk

()()sincos

sincos

==

===+ 14

,,kZ

235

12. I

nteg

rals

i ap

licac

ions

C M

Y K

236


21.Aplicarem la fórmula del volum del sòlid de revolu-ció generat per la gràfica de f entre x =a i x =b en gi-rar al voltant de l’eix OX

a)En aquest cas, f(x) =x, a =1 i b =4, així doncs:

b)Les dades són f(x) =x2+2, a =2 i b =1, així doncs:

c)En aquest cas, , a =0 i b =5, així doncs:

d)

22.a)Apliquem la fórmula corresponent:

===t

t2

2

5

2152

0152

vvatdttdt ()()()() 5212

5

2

5===

===2

24

0223

Vu

=[] 242 0

2

0

2xx sin

==24

220

2

0

2dxxdx cos

Vxdxx

dx === (sin)cos 2

0

2

0

2122

==25

2252

3Vu

Vxdxxdxx

=()===0

52

0

52

0

5

2

fxx ()=

= Vu153

53

=++=xx

x53

2

1

5

4

34

153

5

=++= () xxdx422

2

144

Vxdx =+= ()22

2

12

= Vu 213

Vxdxx

===2

3

1

4

1

4

321

Vfxdxa

b=()

2

+32

32

xxx

(=

=++

+

dx

xxx

xx

0

32

423

2

0

4

4

3

26

4

3223

0

32

26

0103

9964

0

1

+=

=+=

=

x

003

9964

937192

937192

2+== Au

Així, l’increment de velocitat entre els 2 s i els 6 s és de

b)Podem relacionar l’espai recorregut entre dos ins-tants amb la velocitat mitjançant la regla de Barrow:

Si obtenim l’expressió de v(t), podem calcularaquesta integral.

Per trobar-la, recordem que la velocitat és una pri-mitiva de l’acceleració.

El conjunt de totes les primitives de l’acceleració ésla seva integral indefinida.

Com que la velocitat a t =0s és de 1 ms1, el valorde la constant d’integració corresponent a la fun-ció velocitat és:

La velocitat és, doncs, , així doncs:

L’espai recorregut des de la posició als 3s a la posició

als 7 s és dem.

23.Per definició el treball realitzat per una força és:

Així doncs, el treball realitzat és


24.Sabem que el conjunt de totes les primitives de f és laseva integral indefinida:

a)Trobem la funció primitiva F que passa per A =(1, 1) imposant aquesta condició i aïllant C:

Per tant, la primitiva buscada és:

Fxx

xx ()=+3

2

32

13

1113

21113

32

==++= FCC ()

fxdxxxdxx

xxC ()() =+=++2

32

413

2

WJ =1160

3.

=+==5

3

3

22402

463

1160

3

32

2

6xx

x

WFxdxxxdxa

b==+= ()() 532

2

2

6

1103

=+==tt

t32

3

7

62119

33

1103

xxt

tdt ()() 732

12

3

7=+=

vtt

t ()=+2

21

1002

012

==+= vCC ()

atdttdtt

tC ()() ==+ 12

2

xxvtdt ()()() 733

7=

152

1ms

236

12. I

nteg

rals

i ap

licac

ions

21. Aplicarem la fórmula del volum del sòlid de revolu-ció generat per la gràfica de f entre x = a i x = b en gi-rar al voltant de l’eix OX

a) En aquest cas, f(x) = x, a = 1 i b = 4, així doncs:

b) Les dades són f(x) = x2 + 2, a = 2 i b = 1, així doncs:

c) En aquest cas, , a = 0 i b = 5, així doncs:

d)

22. a) Apliquem la fórmula corresponent:

= = =t

t2

2

5

2152

0152

v v a t dt t dt( ) ( ) ( ) ( )5 2 12

5

2

5= = =

= = =2

24

0 2 2 3V u

= [ ]2 4

202

0

2x xsin

= =2 4

2 20

2

0

2dx x dxcos

V x dxx

dx= = =(sin )cos2

0

2

0

2 1 22

= =25

2252

3V u

V x dx x dxx

= ( ) = = =0

5 2

0

5 2

0

5

2

f x x( ) =

=V u153

53

= + + =x x

x5 3

2

1

5

4

34

153

5

= + + =( )x x dx4 2 2

2

14 4

V x dx= + =( )2 2

2

12

=V u21 3

V x dxx

= = =23

1

4

1

4

321

V f x dxa

b= ( )2

+ 32

32

x xx

( =

= + +

+

dx

x x x

x x

0

32

4 2 3

2

0

4

4

3

2 6

4

3 22 3

0

32

2 6

0103

9964

0

1

+ =

= + =

=

x

003

9964

937192

937192

2+ = =A u

Així, l’increment de velocitat entre els 2 s i els 6 s és de

b) Podem relacionar l’espai recorregut entre dos ins-tants amb la velocitat mitjançant la regla de Barrow:

Si obtenim l’expressió de v(t), podem calcularaquesta integral.

Per trobar-la, recordem que la velocitat és una pri-mitiva de l’acceleració.

El conjunt de totes les primitives de l’acceleració ésla seva integral indefinida.

Com que la velocitat a t = 0s és de 1 ms 1, el valorde la constant d’integració corresponent a la fun-ció velocitat és:

La velocitat és, doncs, , així doncs:

L’espai recorregut des de la posició als 3s a la posició

als 7 s és de m.

23. Per definició el treball realitzat per una força és:

Així doncs, el treball realitzat és


24. Sabem que el conjunt de totes les primitives de f és laseva integral indefinida:

a) Trobem la funció primitiva F que passa per A = (1, 1) imposant aquesta condició i aïllant C:


F xx

x x( ) = +3

2

32

13

1 113

2 1 113

32= = + + =F C C( )

f x dx x x dxx

x x C( ) ( )= + = + +23

24 13

2

W J=1160

3.

= + = =5

3

3

22 402

463

1160

3

3 2

2

6x x

x

W F x dx x x dxa

b= = + =( ) ( )5 3 22

2

6

1103

= + = =t t

t3 2

3

7

6 2119

33

1103

x xt

t dt( ) ( )7 32

12

3

7= + =

v tt

t( ) = +2

21

1 002

0 12

= = + =v C C( )

a t dt t dtt

t C( ) ( )= = +12

2

x x v t dt( ) ( ) ( )7 33

7=

152

1ms

CM

YK

b) Trobem el valor de C per al qual la primitiva F s’a-nul.la en x = 1:


25. El conjunt de primitives de f és:

Aquesta integral es pot solucionar per parts:

u n x dux

dx

dv dx v dx x

= =

= = =

11

ln x dx ln x x xx

dx x ln x x C= = +1

f x dx ln x dx( ) =

F xx

x x( ) = +3

2

32

83

0 113

2 1 1

83

32= = + +

=

F C

C

( )( )

( ) ( )

a) El valor de C perquè la gràfica de la primitiva F pas-si per A = (1, 3) és:

3 = F(1) = 1 ln 1 1 + C = 1 0 1 + C

C = 4


F(x) = x ln x x + 4

b) Perquè la primitiva F s’anul.li en x = e, la constantd’integració ha de ser:

0 = F(e) = e ln e e + C = e 1 e + C = C

La primitiva buscada és:

F(x) = x ln x x

26. Per definició de primitiva, es complirà F = f.

Així, el signe de f ens informarà sobre la monotonia iels extrems de la funció F.

Concretament, a partir de la gràfica de f podem cons-truir la taula següent:

237


x ( , 3) 3 ( 3, 1) 1 ( 1, 0) 0 (0, 2) 2 (2, + )

F (x) = f(x) + 0 0 + 0 0 +

F(x) M m M m

Concloem, doncs, que qualsevol primitiva F de f:

• És creixent en ( , 3) � ( 1, 0) � (2, + ).

• És decreixent en ( 3, 1) � (0, 2).

• Té màxims relatius en x = 3 i x = 0.

• Té mínims relatius en x = 1 i x = 2.

27. a) Procediment 1:

Procediment 2:

Com que és contínua en el seu domini,

podem aplicar el teorema fonamental del càlculprenent a = 3:

b) Procediment 1:

= +

= =

=

t ln t C

ln t dt t ln t

x ln x

x x

( )

( )

(

1

1

11 1

)) ( )( ) =1 1 1ln

u lnt dut

dt

dv dt v t

= =

= =

1

ln t dt ln t t tt

dt t ln t t C= = + =1

1 1

3 tdt

x

x=

f xx

( ) =1

13

1

33

3

tdt ln t ln x ln

tdt ln

xx

x

= =

= ( xx lnx x

= =31

01

)Procediment 2:

Si definim les funcions ,

, és a

dir, f = g � h.

Per tant, la derivada de f serà, per la regla de la ca-dena:

f (x) = (g � h) (x) = g (h(x)) h (x)

Ara bé, pel teorema fonamental del càlcul:

Aleshores:

f x g x ln xx

ln x

x( ) = ( ) = =

1

2 2

= =g x lnt dt ln xx

( )1

g x ln t dt i h x x tenim que

f x ln t dt

x

x

( ) ( ) ,

( )

= =

= =

1

1lln t dt g h x

h x= ( ( ))

( )

1

f x ln t dtx

( ) =1

= + + =

=+

=

1

21

1 1

20

1 1

2 2

xln x x

x x

ln x

x

ln x

x

( )

( )

(

= +

=

1 1

1

x ln x

ln t dt xx

lln x( ) + =1 1)

b)Trobem el valor de C per al qual la primitiva F s’a-nul.la en x =1:


25.El conjunt de primitives de f és:

Aquesta integral es pot solucionar per parts:

unxdux

dx

dvdxvdxx

==

===

11

lnxdxlnxxxx

dxxlnxxC ==+1

fxdxlnxdx ()=

Fxx

xx ()=+3

2

32

83

0113

211

83

32

==++

=

FC

C

()()

()()

a)El valor de C perquè la gràfica de la primitiva F pas-si per A =(1, 3) és:

3 =F(1) =1 ln 1 1 +C =1 0 1 +C

C =4


F(x) =x ln x x +4

b)Perquè la primitiva F s’anul.li en x =e, la constantd’integració ha de ser:

0 =F(e) =e ln e e +C =e 1 e +C =C

La primitiva buscada és:

F(x) =x ln x x

26.Per definició de primitiva, es complirà F=f.

Així, el signe de f ens informarà sobre la monotonia iels extrems de la funció F.

Concretament, a partir de la gràfica de f podem cons-truir la taula següent:

237

12. I

nteg

rals

i ap

licac

ions

x(, 3)3(3, 1)1(1, 0)0(0, 2)2(2, +)

F(x) =f(x)+00+00+

F(x)MmMm

Concloem, doncs, que qualsevol primitiva F de f:

•És creixent en (, 3) �(1, 0) �(2, +).

•És decreixent en (3, 1) �(0, 2).

•Té màxims relatius en x =3 i x =0.

•Té mínims relatius en x =1 i x =2.

27.a)Procediment 1:

Procediment 2:

Com que és contínua en el seu domini,

podem aplicar el teorema fonamental del càlculprenent a =3:

b)Procediment 1:

=+

==

=

tlntC

lntdttlnt

xlnx

xx

()

()

(

1

1

111

))() ()= 111 ln

ulntdut

dt

dvdtvt

==

==

1

lntdtlntttt

dttlnttC ==+=1

11

3tdt

x

x=

fxx

()=1

13

1

3 3

3

tdtlntlnxln

tdtln

x x

x

==

=(xxlnxx

== 31

01

)Procediment 2:

Si definim les funcions ,

, és a

dir, f =g�h.

Per tant, la derivada de f serà, per la regla de la ca-dena:

f(x) =(g�h)(x) =g(h(x)) h(x)

Ara bé, pel teorema fonamental del càlcul:

Aleshores:

fxgxlnxx

lnx

x()=()==

1

22

== gxlntdtlnxx

()1

gxlntdtihxxtenimque

fxlntdt

x

x

()(),

()

==

==

1

1llntdtghx

hx=(())

()

1

fxlntdtx

()=1

=++=

=+

=

1

21

11

20

11

22

xlnxx

xx

lnx

x

lnx

x

()

()

(

=+

=

11

1

xlnx

lntdtxx

llnx ()+= 11)

C M

Y K

238


c)Procediment 1:

Procediment 2:

Considerem les funcions , g (x) =

i h(x) =x2, que mantenen la relació

següent:

Per tant, si derivem usant la regla de la cadena:

f(x) =(g (h(x)))=g(h(x)) h(x)

Pel teorema fonamental del càlcul:

Aleshores:

f(x) =g(x2) (x2)=sinx22x =2x sinx2

d)Procediment 1:

Procediment 2:

Considerem les funcions

i h(x) =x +2.

Podem relacionar aquestes funcions de la manerasegüent:

fxt

tdt

t

tdtghx

xhx()(())

()===

+3

1

3

1

2

34

22

34

gxt

tdt

x()=

3

1

2

34

fxt

tdt

x(), =

+3

1

2

34

2

3

11

21

2

3 4

23

4

2

3

t

tdtlnt

lnxl

xx==

=+

++

()nn

t

tdtlnxln

x

63

3

12163

2

3 4

23

=++

(())==

=+

+=

=++

++

1

21320

31212

612

32

2

32

()()

xx

xx

xxxx+7

== gxtdtxx

()sinsin0

fxtdttdt

tdtghx

x

x()sinsin

sin((

===

==

2

20

0

)))()

0

hx

=sintdtx

0

fxtdtx

()sin =2

0

sincoscoscos tdttx xx

=[]=+= 22

020

0

cos

sin(cos

=

=

x

tdtxx

2

02

1

1 2=

==

)

sinsin xxxx22

202


f(x) =(g(h(x)))=g(h(x)) h(x)


Aleshores:

28.Fem un dibuix orientatiu, tenint en compte que la rec-ta té pendent k >0:

Calculem les abscisses dels punts de tall entre la recta i laparàbola:

kx =x2x =0 o x =k �0

Per tant, tenint en compte a partir de la gràfica que larecta sempre és per sobre de la paràbola, l’àrea com-presa entre elles és:

Com que sabem que aquesta àrea és de 288:

29.Fem un dibuix orientatiu, tenint en compte que la pa-ràbola y =x2bx té les branques cap amunt i passa perl’origen.

X

Y

y = x2– bx

y = – x2

A

2886

123

=== Ak

k

Akxxdxkxxkk

kk

==== ()2

23

0

33

02360

6

X

Y

1A

y = kx

1

y = x2

A

=++=+

+=

=+

fxgxxx

x

x

()()()()

()22

32

21

31

2

3

22212

612732

x

xxx

+

+++

==+

gxt

tdt

x

x

x()

3

1

3

1

2

3 4

22

3

238

12. I

nteg

rals

i ap

licac

ions

c) Procediment 1:

Procediment 2:

Considerem les funcions , g (x) =

i h(x) = x2, que mantenen la relació

següent:


f (x) = ( g (h(x))) = g (h(x)) h (x)


Aleshores:

f (x) = g (x2) (x2) = sinx2 2x = 2x sinx2

d) Procediment 1:

Procediment 2:

Considerem les funcions

i h(x) = x + 2.

Podem relacionar aquestes funcions de la manerasegüent:

f xt

tdt

t

tdt g h x

x h x( ) ( ( ))

( )= = =

+ 3

1

3

1

2

34

2 2

34

g xt

tdt

x( ) =

3

1

2

34

f xt

tdt

x( ) ,=

+ 3

1

2

34

2

3

11

2 1

2

34

23

4

2

3

t

tdt ln t

ln x l

x x= =

= +

+ +

( ) nn

t

tdt ln x ln

x

63

3

12 1 63

2

34

23= +

+

( ( ) ) ==

=+

+ =

=+ +

+ +

1

2 13 2 0

3 12 12

6 12

32

2

3 2

( )( )

xx

x x

x x xx + 7

= =g x t dt xx

( ) sin sin0

f x t dt t dt

t dt g h x

x

x( ) sin sin

sin ( (

= = =

= =

2

20

0

)))( )

0

h x

= sin t dtx

0

f x t dtx

( ) sin=2

0

sin cos cos cost dt t xx

x= [ ] = + =2

2

0 20

0

cos

sin (cos

=

=

x

t dt xx

2

02

1

12

=

= =

)

sin sinx x x x2 22 0 2


f (x) = (g(h(x))) = g (h(x)) h (x)


Aleshores:

28. Fem un dibuix orientatiu, tenint en compte que la rec-ta té pendent k > 0:

Calculem les abscisses dels punts de tall entre la recta i laparàbola:

kx = x2 x = 0 o x = k � 0

Per tant, tenint en compte a partir de la gràfica que larecta sempre és per sobre de la paràbola, l’àrea com-presa entre elles és:

Com que sabem que aquesta àrea és de 288:

29. Fem un dibuix orientatiu, tenint en compte que la pa-ràbola y = x2 bx té les branques cap amunt i passa perl’origen.

X

Y

y = x2 – bx

y = – x2

A

2886

123

= = =Ak

k

A kx x dxkx x k k

kk

= = = =( )22 3

0

3 3

0 2 3 60

6

X

Y

1 A

y = kx

1

y = x2

A

= + + =+

+=

=+

f x g x xx

x

x

( ) ( ) ( )( )

( )2 2

3 2

2 1

3 1

2

3

2 22 12

6 12 73 2

x

x x x

+

+ + +

= =+

g xt

tdt

x

x

x( )

3

1

3

1

2

34

2 2

3

CM

YK

Calculem les abscisses dels punts de tall entre les duesparàboles:

Depèn del signe de b quin sigui el primer extrem d’in-tegració, però com que en qualsevol cas només hi hados punts de tall, l’àrea del recinte considerat serà:

Perquè l’àrea sigui 9:

30. Representem gràficament la cúbica y = x3 i tracem laseva recta tangent en el punt (1, 1), r.

Observem que l’àrea A que volem calcular és la sumade:

• L’àrea A1 limitada per la cúbica, l’eix d’abscisses i lesrectes x = 0 i x = a, en què a és el punt de tall de larecta r amb l’eix d’abscisses.

• L’àrea A2 compresa entre la cúbica, la recta r i les abs-cisses x = a i x = 1.

Per calcular aquestes àrees, hem de determinar l’e-quació de la recta r i el valor de a:

— Càlcul de l’equació r i del valor de a:

L’equació de la recta tangent a f(x) = x3 en x0 = 1és:

y f x f x x x

y x x x x y

=

= =

( ) ( ) ( )

( ) ,0 0 0

03

02

03 1 33 1

3 2=

( )x

y x

Y

y = x3

A1

A2

a

r

1

1

924

6 63

= = = = ±Ab

b b

A x x bx dx

x bx dx

x

b

b

= =

= + =

=

( ( ))

( )

2 2

0

2

2

0

2 2

2 33 2

0

2 3 3

3 2 240

24+ = =

bx b bb

= = =x x bx x o xb2 2 02

El punt de tall d’aquesta recta amb l’eix d’abscissesés:

— Càlcul de l’àrea A:

31. Representem gràficament la paràbola y = x2 i tracem laseva recta tangent en el punt (1, 1), r.

Així podem veure que l’àrea A que volem calcular ésla suma de:

• L’àrea A1 limitada per la paràbola, l’eix OX i les rec-tes x = 0 i x = a, quan a és el punt de tall de la recta ramb l’eix OX.

• L’àrea A2 determinada per la paràbola i la recta en-tre les abscisses x = a i x = 1.

Per calcular aquestes àrees, hem d’obtenir l’equacióde la recta r i el valor del punt a.

— Càlcul de l’equació de la recta r i del valor de a:

L’equació de la recta tangent a f(x) = x2 en x0 = 1és:

El punt de tall d’aquesta recta amb l’eix OX és:

0 2 112

= =a a

y f x f x x x

y x x x x

y

=

=

=

( ) ( ) ( )

( )

(

0 0 0

02

0 02

1 2 xx y x=1 2 1) ,

X

Y y = x2

1

1

A2

A1

ra

A A A

x dx x x dx

x dx

= + =

= + =

= +

1 2

3

0

23 3

23

1

3

0

3 2( ( ))

223 3

23

1

23

1

3

0

1

3 2

3 2

=

=

x dx x dx

x dx x dx

( )

( ) ==

= =

=

23

1

4

0

1 2

23

1

4

3

22

14

x xx

= =

= =

012

23

14

16

112

112

2A u

0 3 223

= =a a

239

12. Integrals i aplicacionsCalculem les abscisses dels punts de tall entre les duesparàboles:

Depèn del signe de b quin sigui el primer extrem d’in-tegració, però com que en qualsevol cas només hi hados punts de tall, l’àrea del recinte considerat serà:

Perquè l’àrea sigui 9:

30.Representem gràficament la cúbica y =x3i tracem laseva recta tangent en el punt (1, 1), r.

Observem que l’àrea A que volem calcular és la sumade:

•L’àrea A1limitada per la cúbica, l’eix d’abscisses i lesrectes x =0 i x =a, en què a és el punt de tall de larecta r amb l’eix d’abscisses.

•L’àrea A2compresa entre la cúbica, la recta r i les abs-cisses x =a i x =1.

Per calcular aquestes àrees, hem de determinar l’e-quació de la recta r i el valor de a:

—Càlcul de l’equació r i del valor de a:

L’equació de la recta tangent a f(x) =x3en x0=1és:

yfxfxxx

yxxxxy

=

==

()()()

(),000

03

02

0 31331

32 =

() x

yx

Y

y = x3

A1

A2

a

r

1

1

924

663

====± Ab

bb

Axxbxdx

xbxdx

x

b

b

==

=+=

=

(())

()

22

0

2

2

0

22

2332

0

233

32240

24+==

bxbbb

=== xxbxxoxb 22

02


—Càlcul de l’àrea A:

31.Representem gràficament la paràbola y =x2i tracem laseva recta tangent en el punt (1, 1), r.

Així podem veure que l’àrea A que volem calcular ésla suma de:

•L’àrea A1limitada per la paràbola, l’eix OX i les rec-tes x =0 i x =a, quan a és el punt de tall de la recta ramb l’eix OX.

•L’àrea A2determinada per la paràbola i la recta en-tre les abscisses x =a i x =1.

Per calcular aquestes àrees, hem d’obtenir l’equacióde la recta r i el valor del punt a.

—Càlcul de l’equació de la recta r i del valor de a:

L’equació de la recta tangent a f(x) =x2en x0=1és:

El punt de tall d’aquesta recta amb l’eix OX és:

02112

== aa

yfxfxxx

yxxxx

y

=

=

=

()()()

()

(

000

02

00 2

12xxyx = 121 ),

X

Yy = x2

1

1

A2

A1

ra

AAA

xdxxxdx

xdx

=+=

=+=

=+

12

3

0

233

23

1

3

0

32 (())

2233

23

1

23

1

3

0

1

32

32

=

=

xdxxdx

xdxxdx

()

()==

==

=

23

1

4

0

12

23

1

4

3

22

14

xxx

==

==

012

23

14

16

112

112

2Au

03223

== aa

239

12. I

nteg

rals

i ap

licac

ions

C M

Y K

240


•Integració per canvi de variable (pàg. 265) i integracióper parts (pàg. 266).

•Regla de Barrow (pàg. 274).

•Àrea de la regió limitada per la gràfica d’una funció con-tínua i l’eix OX (pàg. 275 i 276); àrea limitada per les grà-fiques de dues funcions contínues (pàg. 277 i 278) i vo-lum d’un sòlid de revolució (pàg. 279).

Qüestions

33.Sí, ja que les altres primitives s’obtenen sumant unaconstant a la primitiva coneguda.

No, ja que si H és primitiva de dues funcions f i g, te-nim, per definició de primitiva:

34.Comprovem queF(x) =ln (x) és primitiva de

Per tant:

Així, F(x) =f(x) x D(f), per la qual cosa és unaprimitiva de f.

Prenem x en valor absolut perquè el logaritme està definit únicament en els reals positius i hem de considerar tant valors positius com negatius, ja queD(f) =�{0}.

35.Qualsevol funció contínua en un interval tancat com-pleix el teorema del valor mitjà del càlcul integral.

Per exemple, si considerem la funció f(x) =x i l’interval [0, 6], es compleix el teorema del valor mitjàper a:

Això significa que si la funció prengués el valor cons-tant f(3) =3 en l’interval [0, 6], contindria la mateixaàrea que conté efectivament la funció f(x) =x enaquest interval.

36.És 0. Recordem que f és una funció imparell si f(x) =f(x), xD(f).

Aplicant la propietat ID.3 amb c =0:

(1) fxdxfxdxfxdxa

aa

a()()() =+

0

0

cxdx

x

====0

82

0

62

60

2

6

62

0

63

=

>

<

Fxx

six

xsix

Fx ()(

10

10

))=1x

Fxxxsix

xsix()ln

ln

ln()==

>

<

0

0

fxx

(): =1

=

===

Hf

HgfHg

—Càlcul de l’àrea A:

32.Com que la gràfica d’una funció i la de la seva inversasón simètriques respecte de la bisectriu del primer i eltercer quadrants, el sòlid de revolució generat per lafunció y =f(x) en girar al voltant de l’eix OY entre lesabscisses x0i x1és idèntic, tot i que en posició vertical,al generat per la funció y =f1(x) en girar al voltant del’eix OX entre les abscisses f(x0) i f(x1).

Per tant, el volum del sòlid que ens interessa coinci-deix amb el sòlid de revolució generat per la funció y =f1(x)=x2en girar al voltant de l’eix OX entreles abscisses , que po-dem calcular mitjançant la fórmula:

ACTIVITATS

Abans de començar

•Primitiva d’una funció (pàg. 260); integral indefinidad’una funció (pàg. 261) i integral definida d’una funció(pàg. 271).

Vxdxxdx

x

===

==

()22

0

34

0

3

5

0

3

5243

5== 0

2435

2435

3Vu

fif ()() 000993 ====

X

Y9

3

y = x2

X

Y

9

3

y = x

– 9

AAA

xdxxxdx

=+=

=+=

12

2

0

122

12

121 (())

==+=

=

xdxxdxxdx

xdx

2

0

122

12

1

12

1

2

0

1

21 ()

(221

313

12

1

3

0

12

12

1

xdx

xxx

=

==

)

00014

13

14

112

112

2

=

=== Au

240

12. I

nteg

rals

i ap

licac

ions

• Integració per canvi de variable (pàg. 265) i integracióper parts (pàg. 266).

• Regla de Barrow (pàg. 274).

• Àrea de la regió limitada per la gràfica d’una funció con-tínua i l’eix OX (pàg. 275 i 276); àrea limitada per les grà-fiques de dues funcions contínues (pàg. 277 i 278) i vo-lum d’un sòlid de revolució (pàg. 279).

Qüestions

33. Sí, ja que les altres primitives s’obtenen sumant unaconstant a la primitiva coneguda.

No, ja que si H és primitiva de dues funcions f i g, te-nim, per definició de primitiva:

34. Comprovem que F(x) = ln (x) és primitiva de

Per tant:

Així, F (x) = f(x) x D(f), per la qual cosa és unaprimitiva de f.

Prenem x en valor absolut perquè el logaritme està definit únicament en els reals positius i hem de considerar tant valors positius com negatius, ja queD(f) = � {0}.

35. Qualsevol funció contínua en un interval tancat com-pleix el teorema del valor mitjà del càlcul integral.

Per exemple, si considerem la funció f(x) = x i l’interval [0, 6], es compleix el teorema del valor mitjàper a:

Això significa que si la funció prengués el valor cons-tant f(3) = 3 en l’interval [0, 6], contindria la mateixaàrea que conté efectivament la funció f(x) = x enaquest interval.

36. És 0. Recordem que f és una funció imparell si f( x) = f(x), x D(f).

Aplicant la propietat ID.3 amb c = 0:

(1)f x dx f x dx f x dxa

a a

a( ) ( ) ( )= +

0

0

cx dx

x

= = = =0

82

0

62

6 0

2

6

62

0

63

=

>

<

F xx

si x

xsi x

F x( ) (

10

10

)) =1x

F x xx si x

x si x( ) ln

ln

ln( )= =

>

<

0

0

f xx

( ) :=1

=

== =

H f

H gf H g

— Càlcul de l’àrea A:

32. Com que la gràfica d’una funció i la de la seva inversasón simètriques respecte de la bisectriu del primer i eltercer quadrants, el sòlid de revolució generat per lafunció y = f(x) en girar al voltant de l’eix OY entre lesabscisses x0 i x1 és idèntic, tot i que en posició vertical,al generat per la funció y = f 1(x) en girar al voltant del’eix OX entre les abscisses f(x0) i f(x1).

Per tant, el volum del sòlid que ens interessa coinci-deix amb el sòlid de revolució generat per la funció y = f 1(x) = x2 en girar al voltant de l’eix OX entreles abscisses , que po-dem calcular mitjançant la fórmula:

ACTIVITATS

Abans de començar

• Primitiva d’una funció (pàg. 260); integral indefinidad’una funció (pàg. 261) i integral definida d’una funció(pàg. 271).

V x dx x dx

x

= = =

= =

( )2 2

0

34

0

3

5

0

3

5243

5= =0

2435

2435

3V u

f i f( ) ( )0 0 0 9 9 3= = = =

X

Y9

3

y = x2

X

Y

9

3

y = x

– 9

A A A

x dx x x dx

= + =

= + =

1 2

2

0

12 2

12

12 1( ( ))

== + =

=

x dx x dx x dx

x dx

2

0

12 2

12

1

12

1

2

0

1

2 1( )

(22 1

313

12

1

3

0

12

12

1

x dx

xx x

=

= =

)

00 014

13

14

112

112

2

=

= = =A u

CM

YK

Si en la primera integral fem el canvi t = x:

t = x f imparelldt = dx

x = tdx = dt

Substituint en (1):


37. a)

b)

c)

d)

38. a)

f(x) = x4 , g(x) = arc tg x

b)

= = +f xx

g x x( ) , ( )1

1 8

x

xdx

xx dx x C

7

8

87 8

118

1

18

18

1

+=

=+

= + +( )

ln( )

=+

= +( )arc tg xx

dxarc tg x

C42

51

1 5

arc tg x

xdx

4

21 +=

1

3

13

13

1

3

13

13

2 2

2

+=

+

=

=

+

xdx

xdx

xdxx arc tg

xC= +

33 3

3 535

5 535

5cos cos sinx dx x dx x C= = +

66 6

632

1

125

2 212

32

32

1

x

xdx x dx x dx

xC

= = =

=

+

+ =

+

xx x C2 +

8 8 813

1

6

313

13

1

3

x dx x dxx

C

x x C

= =

+

+ =

= +

+

f x dx f x dx f x dx

f x dx f

a

a

a

a( ) ( ) ( )

( ) (

= + =

= +

0

0

xx dxaa

) = 000

= = =f t dt f t dt f x dxa a a

( ) ( ) ( )0 0 0

f x dx f t dt f t dta a

a( ) ( ) ( )= = =

0 0

0

c)

d)

e)

f)

39. a)

b)

c)

= + + +x

x xx

C4

2

41

ln

1 12x

dxx

dx == +x dx x dx3 2

x x x

xdx

x

xdx

x

xdx

x

xdx

x

5 3

2

5

2

3

2 2 2

2 1

21

+=

= + =dx

5

4

1 2

3

54

1 1 23

1

3

3

x x xdx

xdx

xdx

xdx

+ =

= + ==

= + +5

8

432x

x x Cln

= +( )ln( )2

23

ee

arc tg x Cx

1

12xdx

+== ( )2 3e dxx

23

12x xe

xdx

+=

e Cx313

1= + +ln( )

f xx

g x e x( ) , ( )= = +1

1 3

e

edx

ee dx

x

x xx

3

3 33

1

13

1

13

+=

+=

e12

= arc sin 22 x C+

f xx

g x e x( ) , ( )= =1

1 2

2

e

edx

ee dx

x

x

x

x

2

4

2 2

2

112

1

12

=

= =( )

= + +1 2sin x C

= +

=

f x x

g x x

( ) ( )

( ) sin

1

2

12

= + =12

1 2 2 212( sin ) cosx x d x

cos

sin )

2

1 2

x

xdx

+=

=+

=f xx

g x x( ) , ( )1

1 24

x

xdx

xx dx arc tg x C

3

8

4 23 4

114

1

14

14

+=

=+

= +( )

241

12. Integrals i aplicacionsSi en la primera integral fem el canvi t =x:

t =xf imparelldt =dx

x =tdx =dt

Substituint en (1):


37.a)

b)

c)

d)

38.a)

f(x) =x4, g(x) =arc tg x

b)

==+ fxx

gxx (),()1

18

x

xdx

xxdxxC

7

8

878

118

1

18

18

1

+=

=+

=++()

ln()

=+

=+ () arctgxx

dxarctgx

C4

2

51

15

arctgx

xdx

4

21+

=

1

3

13

13

1

3

13

13

22

2

+=

+

=

=

+

xdx

xdx

xdxxarctg

xC =+

333

3535

5535

5 coscossin xdxxdxxC ==+

666

632

1

125

2212

32

32

1

x

xdxxdxxdx

xC

===

=

+

+=

+

xxxC2

+

88813

1

6

313

13

1

3

xdxxdxx

C

xxC

==

+

+=

=+

+

fxdxfxdxfxdx

fxdxf

a

a

a

a()()()

()(

=+=

=+

0

0

xxdxa a

)=00 0

=== ftdtftdtfxdxaaa

()()()000

fxdxftdtftdtaa

a()()() ===

00

0

c)

d)

e)

f)

39.a)

b)

c)

=+++x

xxx

C4

2

41

ln

112 x

dxx

dx= =+ xdxxdx3

2

xxx

xdx

x

xdx

x

xdx

x

xdx

x

53

2

5

2

3

222

21

21

+=

=+= dx

5

4

12

3

54

1123

1

3

3

xxxdx

xdx

xdx

xdx

+=

=+==

=++5

8

43 2

xxxC ln

=+()ln()2

23

ee

arctgxCx

1

12

xdx

+= =() 23 edx

x

23

12

xxe

xdx

+=

eCx 3 1

31 =++ ln()

fxx

gxex

(),() ==+1

13

e

edx

eedx

x

xxx

3

333

1

13

1

13

+=

+=

e12

=arcsin22x

C+

fxx

gxex

(),() ==1

12

2

e

edx

eedx

x

x

x

x

2

4

22

2

112

1

12

=

==()

=++ 12 sinxC

=+

=

fxx

gxx

()()

()sin

1

2

12

=+=12

122212 (sin)cos xxdx

cos

sin)

2

12

x

xdx

+=

=+

= fxx

gxx (),()1

12

4

x

xdx

xxdxarctgxC

3

8

4234

114

1

14

14

+=

=+

=+()

241

12. I

nteg

rals

i ap

licac

ions

C M

Y K

242


d)

e)

f)

40.a)

b)

t =1 +x8

dt =8x7dx

c)

t =x4

dt =4x3dx

d)

t =1 +sin 2xdt =2 cos 2x dx

e)

t =e2 x

dt =2e2 xdx

f)

t =1 +e3 x

dt =3e3 x

=++13

13

ln() eCx

e

edx

tdttC

x

x

3

31

13

113 +

==+= ln

=+=+12

12

2arcsinarcsin tCeC

x

e

edx

tdt

x

x

2

421

12

1

1==

=++ 12 sinxC

cos

sin

2

12

12

1 x

xdx

tdttC

+==+=

=+14

4arctgxC

x

xdx

tdtarctgtC

3

321

14

1

1

14 +

=+

=+=

=++18

18

ln() xC

x

xdx

tdttC

7

81

18

118 +

==+= ln

=

=+

tarctgx

dtx

dx1

12

tdtt

Carctgx

C4

55

55=+=+

arctgx

xdx

4

21+

=

=+ 433 4

xxC

dx=3

331

3 44 xdx

xdx =

()() xdxxxxdx

xdxxdxx

23642

64

1331

33

+=+++=

=++22

753

73

5

dxdx

xxxxC

+=

=++++

1dxgxxC =+ cot =12

sinxdx

cos

sin

sin

sin

2

2

2

2

1 x

xdx

x

xdx == cot= gxdx

2—Els dos procediments són, en realitat, el mateix: es

basen a reconèixer una funció auxiliar en l’inte-grant.

En el mètode de conversió a integral immediata,identifiquem una funció g(x) i la seva derivada enl’integrant.

En el mètode de substitució, definim una nova va-riable com una funció t =g(x) i transformem dx endt a partir d’aquella relació:

t =g(x) dt =g(x) dx

El mètode de conversió a integral immediata ésmés ràpid, però requereix el reconeixement previde la funció g(x) i de la seva derivada en l’inte-grant, la qual cosa acostuma a ser difícil.

41.a)

1.Identifiquem en l’integrant u i dv, i calculemdu i v.

u =x du =dxdv =sinx dx v =cosx



Per tant:

b)




Per tant:

xxdxx

xx

C

xxC

566

6636

616

lnln

ln

=+=

=+

xdxxx 5

6616636

== xx

dx6

611

6=

xx

dx6

61

xxdxxx 5

6

6lnln =

udvuvv =

dvxdxvx

==5

6

6

uxdux

dx == ln1

xxdx5

ln

xxdxxxxC sincossin =++

cossin xdxx =

xxdxxxxdx sincoscos =+

udvuvv =

xxdx sin

242

12. I

nteg

rals

i ap

licac

ions

d)

e)

f)

40. a)

b)

t = 1 + x8

dt = 8 x7 dx

c)

t = x4

dt = 4 x3 dx

d)

t = 1 + sin 2 xdt = 2 cos 2 x dx

e)

t = e2 x

dt = 2 e2 x dx

f )

t = 1 + e3 x

dt = 3 e3 x

= + +13

1 3ln( )e Cx

e

edx

tdt t C

x

x

3

31

13

1 13+

= = + =ln

= + = +12

12

2arc sin arc sint C e Cx

e

edx

tdt

x

x

2

4 21

12

1

1= =

= + +1 2sin x C

cos

sin

2

1 2

12

1x

xdx

tdt t C

+= = + =

= +14

4arc tg x C

x

xdx

tdt arc tg t C

3

3 21

14

1

1

14+

=+

= + =

= + +18

1 8ln( )x C

x

xdx

tdt t C

7

81

18

1 18+

= = + =ln

=

=+

t arc tg x

dtx

dx1

1 2

t dtt

Carc tg x

C45 5

5 5= + = +

arc tg x

xdx

4

21 +=

= +4 334 x x C

dx =3

3 31

34 4x

dxx

dx=

( ) ( )x dx x x x dx

x dx x dx x

2 3 6 4 2

6 4

1 3 3 1

3 3

+ = + + + =

= + + 22

7 53

73

5

dx dx

x xx x C

+ =

= + + + +

1dx g x x C= +cot=12sin x

dx

cos

sin

sin

sin

2

2

2

2

1x

xdx

x

xdx= =cot =g x dx2

— Els dos procediments són, en realitat, el mateix: esbasen a reconèixer una funció auxiliar en l’inte-grant.

En el mètode de conversió a integral immediata,identifiquem una funció g(x) i la seva derivada enl’integrant.

En el mètode de substitució, definim una nova va-riable com una funció t = g(x) i transformem dx endt a partir d’aquella relació:

t = g(x) dt = g (x) dx

El mètode de conversió a integral immediata ésmés ràpid, però requereix el reconeixement previde la funció g(x) i de la seva derivada en l’inte-grant, la qual cosa acostuma a ser difícil.

41. a)

1. Identifiquem en l’integrant u i dv, i calculemdu i v.

u = x du = dxdv = sin x dx v = cos x



Per tant:

b)




Per tant:

x x dxx

xx

C

xx C

56 6

66 36

616

ln ln

ln

= + =

= +

x dxx x5

6 616 6 36

= =x

xdx

6

61 1

6=

xx

dx6

61

x x dx xx5

6

6ln ln=

u dv u v v=

dv x dx vx

= =56

6

u x dux

dx= =ln1

x x dx5 ln

x x dx x x x Csin cos sin= + +

cos sinx dx x=

x x dx x x x dxsin cos cos= +

u dv u v v=

x x dxsin

CM

YK

c)

1. Identifiquem en l’integrant u i dv, i calculemdu i v:

dv = dx v = x



Per tant:

d)

1. Identifiquem en l’integrant u i dv, i calculemdu i v:

u = sin x du = cos x dx

dv = ex dx v = ex


3. Per resoldre la nova integral repetim el procés:

u = cos x du = sin x dx

dv = ex dx v = ex

Agrupem els termes i aïllem la integral:

Per tant:

e x dxe

x x Cxx

sin (sin cos )= +2

e x dx

e x e x e x dx

e x dx

x

x x x

x

sin

sin cos sin

sin

=

=

2 ==

=

e x e x

e x dxe x e x

x x

xx x

sin cos

sinsin cos

2

e x dx ex x=cos cos xx e x dxx+ sin

e x dx e x e x dxx x xsin sin cos=

u dv u v v=

e x dxx sin

ln ln (ln )x dx x x x C x x C= + = +1

xx

dx dx x= =1

ln lnx dx x x xx

dx=1

u dv u v v=

u ln x dux

dx= =1

ln x dx e)


u = 3 x du = 3 dx

dv = ex dx v = ex



Per tant:

f)


u = x2 du = 2x dx

dv = cosx dx v = sinx


3. Resolem la nova integral. Per a fer-ho, repetimel procediment general de la integració perparts.

Així:

Per tant:

= x2 sin x 2 [ x cos x + sin x] + C =

= x2 sin x + 2 x cos x 2 sin x + C =

= (x2 2) sin x + 2 x cos x + C

x x dx2 cos =

2 2x x dx x x xsin [ cos sin ]= +

2 2x x dx x x dx

u x du dx

dv x dx v

sin sin

sin co

=

= =

= = ss

sin cos cos

cos

x

x x dx x x x dx

x dx sin x

= +

=

x x dx x x x x dx2 2 2cos sin sin=

u dv u v v=

x x dx2 cos

3 3 3

3 1

x e dx x e e C

e x C

x x x

x( )

= + =

= +

3 3 3e dx e dx ex x x= =

3 3 3x e dx x e e dxx x x=

u dv u v v=

3 x e dxx

243

12. Integrals i aplicacionsc)

1.Identifiquem en l’integrant u i dv, i calculemdu i v:

dv =dx v =x



Per tant:

d)

1.Identifiquem en l’integrant u i dv, i calculemdu i v:

u =sinx du =cosx dx

dv =exdx v =ex


3.Per resoldre la nova integral repetim el procés:

u =cosx du =sinx dx

dv =exdx v =ex

Agrupem els termes i aïllem la integral:

Per tant:

exdxe

xxCx

x

sin(sincos) =+2

exdx

exexexdx

exdx

x

xxx

x

sin

sincossin

sin

=

=

2==

=

exex

exdxexex

xx

xxx

sincos

sinsincos

2

exdxexx

= coscosxxexdxx

+sin

exdxexexdxxxx

sinsincos =

udvuvv =

exdxx

sin

lnln(ln) xdxxxxCxxC =+=+ 1

xx

dxdxx ==1

lnln xdxxxxx

dx =1

udvuvv =

ulnxdux

dx ==1

lnxdxe)


u =3x du =3dx

dv =exdx v =ex



Per tant:

f)


u =x2du =2x dx

dv =cosx dx v =sinx


3.Resolem la nova integral. Per a fer-ho, repetimel procediment general de la integració perparts.

Així:

Per tant:

=x2sin x 2 [x cosx +sinx] +C =

=x2sinx +2x cosx 2 sinx +C =

=(x22) sinx +2x cosx +C

xxdx2

cos=

22 xxdxxxx sin[cossin] =+

22 xxdxxxdx

uxdudx

dvxdxv

sinsin

sinco

=

==

==ss

sincoscos

cos

x

xxdxxxxdx

xdxsinx

=+

=

xxdxxxxxdx22

2 cossinsin =

udvuvv =

xxdx2

cos

333

31

xedxxeeC

exC

xxx

x()

=+=

=+

333 edxedxexxx

==

333 xedxxeedxxxx

=

udvuvv =

3xedxx

243

12. I

nteg

rals

i ap

licac

ions

C M

Y K

244


42.a)

x23x 4 =(x +1) (x 4)

3x 1 =A (x 4) +B (x +1) =

=(A +B) x 4 A +B

b)

x3+2x2x 2 =(x 1) (x +1) (x +2)

4x 1 =A (x +1) (x +2) +

+B (x 1) (x +2) +C (x 1) (x +1) =

=(A +B +C) x2+(3A +B) x +2A 2B C

43.a)Com que apareix el factor , apliquem elcanvi de variable x =2sin t.

4422

41

22

2

==

=

xdxttdt

t

(sin)cos

sincosttdttdt

ttdtdt

cos

coscos

==

=+

=+

4

122

222

2

sin

tdt

ttC

=

=++= 22

222

x

41

22

12

1

52

13

2

32

x

xxxdx

xdx

xdx

xd

+=

=++

++

xx

xxxC

=

=++++12

152

132 lnlnln

=== ABC12

52

3 ,,

0

43

122

=++

=+

=

ABC

AB

ABC

=++

++

Ax

Bx

Cx 112

,

41

2232

x

xxx +=

31

34

45

1

115

445

1

2

x

xxdx

xdx

xdx

x

=

=+

+=

=+ ln+++115

4 lnxC

3

1445

115

=+

=+==

AB

ABAB,

=++

+

AxBxxx

()()()()

,4141

31

3414 2

x

xx

Ax

Bx

=+

+=

b)Com que en l’integrant apareix l’arrel

, apliquem el canvi

44.El conjunt de totes les primitives de f és la seva integralindefinida:

=x32x2+3x +C

D’aquestes, la que passa per (1, 3) és la que té perconstant d’integració:

3 =(1)32 (1)2+3 (1) +C =6 +C

C =9

La primitiva en qüestió és, doncs, x32x2+3x +9.

fxdxxxdx ()() =+= 3432

1

5

1

55

5

22

22

2

xxdx

tt

t

t

=

=

coscos

sin

cosddt

t

tt

t

tdt

=

==15

1

112

22

cos

coscos

sin

cos

===

==

15

1

15

1

3

2 sin

cos

sin

cos

cos

t

t

t

tdt

tdt55

15

5

15

15

sin

sincos

tC

arcx

C

x

+=

=+=

=+=+

225

5C

xx

C

5=xt cos x22

5 ()

sinsinarc arcx

=+ 22

2ssin

sinsinarcsin

xC

arcxx

2

22

22

+=

=+

+=

=+

cossin

sin

arcx

C

arcx

2

22

2xx

arcx

C

arcx

x

21

2

22

1

2+=

=+

sinsin

sin+=

=++

xC

arcxxx

C

2

22

42

2

2

sin

xttarcx

dxtdt

==

=

22

2

sinsin

cos

xt

tarcx

dxt

cost

==

=

55

52

coscos

sin

244

12. I

nteg

rals

i ap

licac

ions

42. a)

x2 3x 4 = (x + 1) (x 4)

3 x 1 = A (x 4) + B (x + 1) =

= (A + B) x 4 A + B

b)

x3 + 2 x2 x 2 = (x 1) (x + 1) (x + 2)

4 x 1 = A (x + 1) (x + 2) +

+ B (x 1) (x + 2) + C (x 1) (x + 1) =

= (A + B + C) x2 + (3 A + B) x + 2 A 2 B C

43. a) Com que apareix el factor , apliquem elcanvi de variable x = 2sin t.

4 4 2 2

4 1

2 2

2

= =

=

x dx t t dt

t

( sin ) cos

sin cos tt dt t dt

t tdt dt

cos

coscos

= =

=+

= +

4

1 22

2 2 2

2

sin

t dt

t t C

=

= + + =2 2

22 2x

4 1

2 2

12

1

52

13

2

3 2

x

x x xdx

xdx

xdx

xd

+=

= ++

++

xx

x x x C

=

= + + + +12

152

1 3 2ln ln ln

= = =A B C12

52

3, ,

0

4 3

1 2 2

= + +

= +

=

A B C

A B

A B C

= ++

++

Ax

Bx

Cx1 1 2

,

4 1

2 23 2

x

x x x+=

3 1

3 4

45

1

115

445

1

2

x

x xdx

xdx

xdx

x

=

=+

+ =

= +ln ++ +115

4ln x C

3

1 445

115

= +

= += =

A B

A BA B,

=+ +

+

A x B xx x

( ) ( )( )( )

,4 14 1

3 1

3 4 1 42

x

x x

Ax

Bx

=+

+ =

b) Com que en l’integrant apareix l’arrel

, apliquem el canvi

44. El conjunt de totes les primitives de f és la seva integralindefinida:

= x3 2 x2 + 3 x + C

D’aquestes, la que passa per ( 1, 3) és la que té perconstant d’integració:

3 = ( 1)3 2 ( 1)2 + 3 ( 1) + C = 6 + C

C = 9

La primitiva en qüestió és, doncs, x3 2 x2 + 3 x + 9.

f x dx x x dx( ) ( )= + =3 4 32

1

5

1

5 5

5

2 2

2 2

2

x xdx

t t

t

t

=

=

cos cos

sin

cosddt

t

tt

t

tdt

=

= =15

1

1 12

2 2

cos

coscos

sin

cos

== =

= =

15

1

15

1

3

2sin

cos

sin

cos

cos

t

t

t

tdt

t dt55

15

5

15

15

sin

sin cos

t C

arcx

C

x

+ =

= + =

= + = +

2 2 55

Cx

xC

5 = x tcosx2 25( )

sin sin arcarcx

= +22

2 ssin

sin sin arc sin

xC

arcx x

2

22

22

+ =

= +

+ =

= +

cos sin

sin

arcx

C

arcx

2

22

2xx

arcx

C

arcx

x

21

2

22

1

2 + =

= +

sin sin

sin + =

= + +

xC

arcx x x

C

2

22

42

2

2

sin

x t t arcx

dx t dt

= =

=

22

2

sin sin

cos

xt

t arcx

dxt

cos t

= =

=

5 5

52

coscos

sin

CM

YK

45. Si F és una primitiva de f, F = f, aleshores el signe de lafunció f ens permet d’obtenir la monotonia i els ex-trems relatius de F.

D’acord amb la gràfica de f, podem deduir el següentcomportament de qualsevol primitiva seva F:

L’única de les tres gràfiques que presenta un compor-tament compatible amb aquesta taula és la a. Per tant,l’única gràfica que pot ser-ho d’una primitiva de f és la a.

46. a)

b)

c)

d)

e)

t = ln x

f)

u = x du = dxdv = ex dx v = ex

47. Com que f(x) = ex < 0 x �, l’àrea A delimitada perla gràfica de f, l’eix d’abscisses i les rectes x = 1 i x = 2coincideix amb:

A f x dx e dx e dx

e

x x

x

= = = =

=

( )1

2

1

2

1

2

1

22 2 13 3

21 1= = =e e

ee

Ae

eu

= = =

=

xe e e e e e

e e

x x

2

5

2

5 5 2 5 2

5 2

5 2

4

( )

e dxx =2

5

xe e dx xex x x=2

5

2

5xe dxx =

2

5

= = =ln(ln ) ln(ln ) lnlnln

,3 232

0 46

=dtx

dx1

2

3tln

ln

ln=

1 1

2

3

2

3

x xdx

tdt

ln ln

ln= =

x dx x ee

e= [ ] = = =1

11

1 1 0 1ln ln ln

cos sinsin

sin

x x dxx5

6

2

2

2

2

6

6

26

= =

=

ssin66

26

016

16

= =

5

7 7

57

1

1

57

5

20

1

20

1

0

1

+=

+=

= =

xdx

xdx

arc tg x77

1 0

57 4

0528

( )arc tg arc tg =

= =

( )

( ) (

3 6 33

6

3 6 3 0

23

0

3

0

3

3

x dxx

x= =

= 00 9) =

48. 1. Calculem els zeros de f:

f(x) = ln x = 0 x = eln x = e0 = 1

2. Com que 1 [e, e2], l’àrea A buscada coincideixamb:

dv = dx v = x

49. 1. Calculem els zeros de f:

2. En [0, 2 ], la funció f(x) = cos x té 2 zeros:

; aleshores, l’àrea A del recinte

que delimita amb l’eix d’abscisses en aquest inter-val coincideix amb:

— Si apliquem la regla de Barrow:

Clarament, obtenim un valor diferent al de l’àrea anterior, pel fet que la funció f(x) = cos xcanvia de signe en [0, 2 ].

50. Fem una representació aproximada per tal de veure ladisposició d’aquest triangle.

cos sinx dx x= [ ] = =02

0

20 0 0

A x dx x dx

x dx

= + +

+ =

=

cos cos

cos

si

0

2

2

32

32

2

nn sin sinx x x[ ] + [ ] + [ ] =

= + +

02

2

32

32

2

1 0 1 1 00 1

1 2 1 4 4 2

=

= + + = =

( )

A u

x i x= =2

32

cos ,x x k k= = +02

Z

= =

= =

x x

e e e e e

e

e(ln )

(ln ) (ln )

1

1 1 1

2

2 2 2 ee

e A e u

=

= =

0

2 2 2

= =u x dux

ln1

ln x x xx

dxe

e

=1

2

A x dxe

e= =ln

2

X

Y

y = 3x

y = – x + 8

A1 A2

1 a

245


x ( , 0) 0 (0, + )

F (x) = f(x) 0 +

F(x) m

45.Si F és una primitiva de f, F=f, aleshores el signe de lafunció f ens permet d’obtenir la monotonia i els ex-trems relatius de F.

D’acord amb la gràfica de f, podem deduir el següentcomportament de qualsevol primitiva seva F:

L’única de les tres gràfiques que presenta un compor-tament compatible amb aquesta taula és la a.Per tant,l’única gràfica que pot ser-ho d’una primitiva de f és la a.

46.a)

b)

c)

d)

e)

t =ln x

f)

u =x du =dxdv =exdx v =ex

47.Com que f(x) =ex<0 x�, l’àrea A delimitada perla gràfica de f, l’eix d’abscisses i les rectes x =1 i x =2coincideix amb:

Afxdxedxedx

e

xx

x

====

=

()1

2

1

2

1

2

1

222133

2 11=== ee

ee

Ae

eu

===

=

xeeeeee

ee

xx

2

5

2

55252

52

52

4

()

edxx

=2

5

xeedxxexxx

=2

5

2

5xedx

x=

2

5

=== ln(ln)ln(ln)lnlnln

, 3232

046

= dtx

dx1

2

3t ln

ln

ln=

11

2

3

2

3

xxdx

tdt

lnln

ln==

xdxxee

e=[]===

1

111101 lnlnln

cossinsin

sin

xxdxx 5

6

2

2

2

2

6

6

26

==

=

ssin6

62

60

16

16

==

5

77

57

1

1

57

5

20

1

20

1

0

1

+=

+=

==

xdx

xdx

arctgx77

10

574

0528

() arctgarctg=

==

()

()(

3633

6

3630

23

0

3

0

3

3

xdxx

x ==

=009 )=

48.1.Calculem els zeros de f:

f(x) =ln x =0 x =eln x=e0=1

2.Com que 1 [e, e2], l’àrea A buscada coincideixamb:

dv =dx v =x

49.1.Calculem els zeros de f:

2.En [0, 2], la funció f(x) =cosx té 2 zeros:

; aleshores, l’àrea A del recinte

que delimita amb l’eix d’abscisses en aquest inter-val coincideix amb:

—Si apliquem la regla de Barrow:

Clarament, obtenim un valor diferent al de l’àrea anterior, pel fet que la funció f(x) =cosxcanvia de signe en [0, 2].

50.Fem una representació aproximada per tal de veure ladisposició d’aquest triangle.

cossin xdxx =[]== 02

0

2000

Axdxxdx

xdx

=++

+=

=

coscos

cos

si

0

2

2

32

32

2

nnsinsin xxx []+[]+[]=

=++

02

2

32

32

2

1011001

121442

=

=++==

()

Au

xix ==2

32

cos, xxkk ==+ 02

Z

==

==

xx

eeeee

e

e(ln)

(ln)(ln)

1

111

2

222ee

eAeu

=

==

0

222

== uxdux

ln1

lnxxxx

dxe

e

=1

2

Axdxe

e== ln

2

X

Y

y = 3x

y = – x + 8

A1A2

1a

245

12. I

nteg

rals

i ap

licac

ions

x(, 0)0(0, +)

F(x) =f(x)0+

F(x)m

C M

Y K

246


De la seva observació en deduïm que la seva àrea A ésla suma de:

•L’àrea A1del recinte limitat per la recta y =3x, l’eixOX i les rectes x =0 i x =a, en què a és l’abscissa delpunt de tall entre les dues rectes de l’enunciat.

•L’àrea A2del recinte limitat per la recta y =x +8,l’eix OX i les rectes x =a i x =8.

Per calcular aquestes àrees, hem de trobar el valor de a:

3a =a +8 a =2

Per tant:

Podem comprovar geomètricament el resultat cal-culant directament l’àrea del triangle:

51.

Com que per a x [0, 3], el valor de laintegral anterior coincideix amb l’àrea del recinte li-mitat per la gràfica de la funció f(x) =, l’eixd’abscisses i les rectes x =0 i x =3.

Podem dibuixar aproximadament aquest recinte, R, apartir d’una gràfica aproximada de la funció f:

•Domini:

D(f) =[3, 3]

•Zeros:

•Extrems:

•Monotonia:

x

f(x) 0+0

99f(x)——

322

3,32

232

232

2,

322

332

2,

=()=+=

=

fxxxxxx

x

xx

x

()9199

9

9

22

2

22

2==

===±

92

9

092032

2

2

2

2

x

x

fxxx ()

xxxxox 903032==== ,

xx 92

xx 902

xxdxx

912

932

9

2

0

3232

0

3

==

=

()

()==

x2

3

0

3

3099 ()

Abh

Au ====2

80322

24242 ()()

AAAxdxxdx

x

=+=++=

=+

120

2

2

8

2

0

2

38

32

()

xxx

Au

2

2

8

2

28

32032142424

+=

=+== ()()

Podem fer, finalment, una representació aproxima-da de f amb aquesta informació:

52.La integral dx representa l’àrea del re-

cinte limitat per la corba y =x (x 3)2i l’eix OX si 0 ia són punts de tall entre aquesta corba i l’eix d’abscis-ses, no hi ha punts de tall entre la corba i l’eix d’abs-cisses fora de l’interval [0, a], i la funció que ens defi-neix la corba, f(x) =x (x 3)2, és més gran o igual que0 en aquest interval.

Calculem els punts de tall entre la corba y =x (x 3)2

i l’eix d’abscisses:

0 =x (x 3)2x =0 o x =3

Com que la funció només talla l’eix d’abscisses en 0 i3, el valor de a ha de ser a =3, i només queda veure quef(x) =x (x 3)2és positiva entre 0 i 3:

Per tant, el valor de a buscat és a =3.

—L’equació de la corba és:

y =x (x 3)2=x36x2+9x

i l’àrea del recinte és:

53.1.Trobem els punts de tall entre f i g:

f(x) =g(x) 4x x2=x x =0 o x =3

2.Com que entre 1 i 2 no hi ha punts de tall, l’àrea Adel recinte comprès entre les dues funcions i lesrectes x =1 i x =2 és:

Afxgxdx == (()())1

2

Axxdxxxxdx

xx

x

==+=

=+

()() 369

42

9

2

0

332

0

3

43

22

0

3

2

2274

0274

274

=== Au

xx

xfxxxen =

[,]

()()()[

030

30300 2

2,,]3

xxa

()32

0

X

Y

f

R

1 – 33

1

246

12. I

nteg

rals

i ap

licac

ions

De la seva observació en deduïm que la seva àrea A ésla suma de:

• L’àrea A1 del recinte limitat per la recta y = 3 x, l’eixOX i les rectes x = 0 i x = a, en què a és l’abscissa delpunt de tall entre les dues rectes de l’enunciat.

• L’àrea A2 del recinte limitat per la recta y = x + 8,l’eix OX i les rectes x = a i x = 8.

Per calcular aquestes àrees, hem de trobar el valor de a:

3 a = a + 8 a = 2

Per tant:

Podem comprovar geomètricament el resultat cal-culant directament l’àrea del triangle:

51.

Com que per a x [0, 3], el valor de laintegral anterior coincideix amb l’àrea del recinte li-mitat per la gràfica de la funció f(x) = , l’eixd’abscisses i les rectes x = 0 i x = 3.

Podem dibuixar aproximadament aquest recinte, R, apartir d’una gràfica aproximada de la funció f:

• Domini:

D(f) = [ 3, 3]

• Zeros:

• Extrems:

• Monotonia:

x

f (x)0+ 0

9 9f(x) — —

3 22

3,3 2

23 2

23 2

2,

3 22

33 2

2,

= ( ) = + =

=

f x x x x xx

x

x x

x

( ) 9 1 99

9

9

2 2

2

2 2

2==

= = = ±

9 2

9

0 9 2 03 2

2

2

2

2

x

x

f x x x( )

x x x x o x9 0 3 0 32 = = = =,

x x9 2

x x9 02

x x dxx

912

932

9

2

0

3 232

0

3

= =

=

( )

( )= =

x23

0

3

30 9 9( )

Ab h

A u= = = =2

8 0 3 22

24 24 2( ) ( )

A A A x dx x dx

x

= + = + + =

= +

1 20

2

2

8

2

0

2

3 8

32

( )

xxx

A u

2

2

8

2

28

3 2 0 32 14 24 24

+ =

= + = =( ) ( )

Podem fer, finalment, una representació aproxima-da de f amb aquesta informació:

52. La integral dx representa l’àrea del re-

cinte limitat per la corba y = x (x 3)2 i l’eix OX si 0 ia són punts de tall entre aquesta corba i l’eix d’abscis-ses, no hi ha punts de tall entre la corba i l’eix d’abs-cisses fora de l’interval [0, a], i la funció que ens defi-neix la corba, f(x) = x (x 3)2, és més gran o igual que0 en aquest interval.

Calculem els punts de tall entre la corba y = x (x 3)2

i l’eix d’abscisses:

0 = x (x 3)2 x = 0 o x = 3

Com que la funció només talla l’eix d’abscisses en 0 i3, el valor de a ha de ser a = 3, i només queda veure quef(x) = x (x 3)2 és positiva entre 0 i 3:

Per tant, el valor de a buscat és a = 3.

— L’equació de la corba és:

y = x (x 3)2 = x3 6 x2 + 9 x

i l’àrea del recinte és:

53. 1. Trobem els punts de tall entre f i g:

f(x) = g(x) 4 x x2 = x x = 0 o x = 3

2. Com que entre 1 i 2 no hi ha punts de tall, l’àrea Adel recinte comprès entre les dues funcions i lesrectes x = 1 i x = 2 és:

A f x g x dx= =( ( ) ( ))1

2

A x x dx x x x dx

xx

x

= = + =

= +

( ) ( )3 6 9

42

9

2

0

33 2

0

3

43

22

0

3

2

2274

0274

274

= = =A u

x x

xf x x x en=

[ , ]

( )( ) ( ) [

0 3 0

3 03 0 02

2 ,, ]3

x xa

( )3 2

0

X

Y

f

R

1– 3 3

1

CM

YK

54. 1. Trobem els punts de tall entre f i g:

f(x) = g(x) 2 x x2 = x2 x 2

2. Aquests punts defineixen un únic interval, ,aleshores l’àrea buscada és:

55. 1. Trobem els punts de tall entre les funcions f i g(x) = x2 x (que defineix la paràbola):

x x2 = (x2 x) (x + 1)(x + 2)

0 = (x2 x) ((x + 1) (x + 2) + 1) =

= x (x 1) (x2 + 3 x + 3) x = 0 o x = 1

2. Com que els punts de tall són 0 i 1, i les funcions f i g són contínues en [0, 1], l’àrea que ens interes-sa és:

Per tal d’aplicar la regla de Barrow, calculem la in-tegral indefinida:

4 2

3 22

x

x xdx

+

+ +== + +( )x x dx2 1

x xx x

x x dx

x

x x

+ ++ =

= ++

+ +

22

2

1 2

14 2

3

( )( )

222 + =x x dx

A f x g x dx

x xx x

x x

= =

=+ +

( ( ) ( ))

( )( )( )

0

1

22

1 2dx

0

1

f x g xx x

x xx x( ) ( ) ,

( )( )=

+ +=

22

1 2

A f x g x dx

x x x x dx

= =

=

( ( ) ( ))

( ( ))

12

2

2 212

2 222

212

2

3 2

2 3 2

23

32

2

=

= + + =

= + +

( )x x dx

x xx = =

= =

12

2

2

143

1324

12524

12524

A u

12

2,

x o x= =12

2

x x x dx x x= =( ) ) ( )2

1

224 3 ddx

x xA

1

2

2 3

1

23

2 3103

76

136

136

=

= = = = uu2i per tal de calcular la nova integral:

x2 + 3 x + 2 = (x + 1)(x + 2)

Per tant, d’acord amb la regla de Barrow:

56. La fórmula que ens dóna el volum buscat és:

57. a) Sabem que els extrems de F en [1, 2 ] es trobenentre els extrems de l’interval i els punts en què s’a-nul.la F .

Per a determinar els punts en què s’anul.la F , cal-culem primerament aquesta funció.

Com que t sin t és contínua en �, ho és en qualse-vol interval tancat. Per tant, el teorema fonamen-tal del càlcul ens diu que:

Els zeros d’aquesta funció són:

x sin x = 0 x = k , k �

= =F x t t dt x xx

( ) sin sin0

= = =2 4

08 8

2 23V u

Vx

dxx

dx

x

=+

=+

=

=

0

2

2

2

20

21

4

1

4

2

12

2+

= =2

0

2

0

2

12 2

dx arc tgx

Ax x

x x x

x x

= + + + + =

= +

3 2

0

1

3 2

3 22 1 6 2

3

ln ln

221

2

56

2

3

2

60

1

2

6

+

+=

=

xx

xln

( )

( )

ln =

= + = + =

01

2

56

3

2

56

22716

2

6

6

8

ln

ln ln 00 21

0 21 2

,

,=A u

=+ + +

+ +

+ = + + +

=

A x B xx x

x A B x A B

A

( ) ( )( )( )( )

2 11 2

4 2 2

4 ++

= += =

+

+ +=

+

B

A BA B

x

x xdx

xdx

2 22 6

4 2

3 2

212

,

+++

=

= + + + +

62

2 1 6 2

xdx

x x Cln ln

4 2

3 2 1 22

x

x x

Ax

Bx

+

+ +=

++

+=

= + ++

+ +

x xx

x

x xdx

3 2

23 24 2

3 2

247


54.1.Trobem els punts de tall entre f i g:

f(x) =g(x) 2x x2=x2x 2

2.Aquests punts defineixen un únic interval, ,aleshores l’àrea buscada és:

55.1.Trobem els punts de tall entre les funcions f i g(x) =x2x (que defineix la paràbola):

x x2=(x2x) (x +1)(x +2)

0 =(x2x) ((x +1) (x +2) +1) =

=x (x 1)(x2+3x +3) x =0 o x =1

2.Com que els punts de tall són 0 i 1, i les funcions f i g són contínues en [0, 1], l’àrea que ens interes-sa és:

Per tal d’aplicar la regla de Barrow, calculem la in-tegral indefinida:

42

322

x

xxdx

+

++= =++ () xxdx

21

xxxx

xxdx

x

xx

+++=

=++

++

22

2

12

142

3

()()

222+= xxdx

Afxgxdx

xxxx

xx

==

=++

(()())

()()()

0

1

22

12dx

0

1

fxgxxx

xxxx ()(),

()()=

++=

22

12

Afxgxdx

xxxxdx

==

=

(()())

(())

12

2

2212

2222

212

2

32

232

23

32

2

=

=++=

=++

() xxdx

xxx==

==

12

2

2

143

1324

12524

12524

Au

12

2,

xox ==12

2

xxxdxxx == ())()2

1

22

43ddx

xxA

1

2

23

1

23

23103

76

136

136

=

====uu2

i per tal de calcular la nova integral:

x2+3x +2 =(x +1)(x +2)

Per tant, d’acord amb la regla de Barrow:

56.La fórmula que ens dóna el volum buscat és:

57.a)Sabem que els extrems de F en [1, 2] es trobenentre els extrems de l’interval i els punts en què s’a-nul.la F.

Per a determinar els punts en què s’anul.la F, cal-culem primerament aquesta funció.

Com que t sin t és contínua en �, ho és en qualse-vol interval tancat. Per tant, el teorema fonamen-tal del càlcul ens diu que:

Els zeros d’aquesta funció són:

x sinx =0 x =k , k�

== Fxttdtxxx

()sinsin0

===24

088

223

Vu

Vx

dxx

dx

x

=+

=+

=

=

0

2

2

2

20

2 1

4

1

4

2

12

2+

== 20

2

0

2

122

dxarctgx

Axx

xxx

xx

=++++=

=+

32

0

1

32

322162

3

lnln

221

2

56

2

3

2

60

1

2

6

+

+=

=

xx

xln

()

()

ln=

=+=+=

01

2

56

3

2

56

22716

2

6

6

8

ln

lnln0021

0212

,

, = Au

=+++

++

+=+++

=

AxBxxx

xABxAB

A

()()()()()

2112

422

4++

=+==

+

++=

+

B

ABAB

x

xxdx

xdx

2226

42

32

21 2

,

+++

=

=++++

62

2162

xdx

xxC lnln

42

3212 2

x

xx

Ax

Bx

+

++=

++

+=

=+++

++

xxx

x

xxdx

32

2 3242

32

247

12. I

nteg

rals

i ap

licac

ions

C M

Y K

248


En [1, 2], Fté dos zeros:x =i x =2.

Per tant, els candidats a extrems de F són x =1, x =, x =2.

Per veure quins són extrems i de quin tipus, hemd’estudiar la monotonia de F:

x1(1, )(, 2)2

F(x)+0

F(x)

Completem aquesta taula amb les imatges dels trespunts:

u =t du =dtdv =sin t dt v =cos t

Aleshores:

F(1) =sin 1 cos 1 =0,30 , F() =

F(2) =2

Així, la monotonia de F és la següent:

x1(1, )(, 2)2

F(x)0,302

De la seva observació en podem concloure que:

•M =(, ) és màxim absolut (i relatiu) de F en[1, 2].

•m =(2, 2) és mínim absolut de F en [1, 2].

b)Per trobar els punts en què s’anul.la G, comença-rem calculant l’expressió d’aquesta funció:

Siguin les funcions

Es compleix:

Per tant, si derivem:

G(x) =(f �h)(x) =f(h(x)) h(x)

Com que et2és una funció contínua, podem apli-

car el teorema fonamental del càlcul per a deter-minar f:

== fxedtet

xx

()22

0

Gxedtedtfhx

fh

te

thx

x

()(())

(

()====

=

2

2

2

00

�))()x

fxedtihtet

xx

()(). ==22

0

=+ [] tttx

cossin0==sincos xxx

== tttdtx

(cos)(cos)0

== Fxttdtx

()sin0

La derivada de G és, doncs:

G(x) =f(ex2) (ex2

)=e(ex2)2

ex22x =

=2x ex2e2x2

Els punts en què Gs’anul.la són:

0 =2x ex2e2x2

x =0

58.La velocitat és una primitiva de l’acceleració. Per tant,com que la integral indefinida de l’acceleració és:

la velocitat serà de la forma per.

Aquesta informació ja ens permet calcular l’incrementde velocitat entre els instants demanats t =3 s i t =5 s:

L’increment de velocitat experimentada és, doncs, de34 ms1.Tanmateix, la posició és una primitiva de la velocitat,així la regla de Barrow ens diu que:

Així si coneixem la funció v(t), podem calcular l’espairecorregut.Per a conèixer v(t), hem de determinar el valor de C0,i això ho farem imposant que parteix del repòs, és adir, que la velocitat inicial (per a t =0) és 0:

Finalment, l’increment d’espai entre t =3 s i t =5 s és de:

59.Efectuem una representació gràfica aproximada:

xxtt

dttt

()() 5353

2

5

22

2

3

523

=+=+

==

3

5

1253689m

005030

20

532

2

000

2

==++==

=+

vCCC

vttt

()

()

xxvtdt ()()() 533

5=

vvtt

C

C

()() 5353

2

1252

572

2

0

3

5

0

=++

=+++= C034

C0�vtt

tC ()=++ 5

32

2

0

atdttdttt

C ()() =+=++ 53532

2

X

Y

1

y = x2

13r

A2

A1

–1

248

12. I

nteg

rals

i ap

licac

ions

En [1, 2 ], F té dos zeros: x = i x = 2 .

Per tant, els candidats a extrems de F són x = 1, x = , x = 2 .

Per veure quins són extrems i de quin tipus, hemd’estudiar la monotonia de F:

x 1 (1, ) ( , 2 ) 2

F (x) + 0

F(x)

Completem aquesta taula amb les imatges dels trespunts:

u = t du = dtdv = sin t dt v = cos t

Aleshores:

F(1) = sin 1 cos 1 = 0,30 , F( ) =

F(2 ) = 2

Així, la monotonia de F és la següent:

x 1 (1, ) ( , 2 ) 2

F(x) 0,30 2

De la seva observació en podem concloure que:

• M = ( , ) és màxim absolut (i relatiu) de F en[1, 2 ].

• m = (2 , 2 ) és mínim absolut de F en [1, 2 ].

b) Per trobar els punts en què s’anul.la G , comença-rem calculant l’expressió d’aquesta funció:

Siguin les funcions

Es compleix:

Per tant, si derivem:

G (x) = (f � h) (x) = f (h(x)) h (x)

Com que e t2 és una funció contínua, podem apli-car el teorema fonamental del càlcul per a deter-minar f :

= =f x e dt etx

x( )2 2

0

G x e dt e dt f h x

f h

te

th xx

( ) ( ( ))

(

( )= = = =

=

2

2

2

0 0

� ))( )x

f x e dt i h t etx

x( ) ( ) .= =2 2

0

= +[ ]t t tx

cos sin0== sin cosx x x

= =t t t dtx

( cos ) ( cos )0

= =F x t t dtx

( ) sin0

La derivada de G és, doncs:

G (x) = f (ex2) (ex2) = e (ex2)2 ex2 2 x =

= 2 x ex2 e2 x2

Els punts en què G s’anul.la són:

0 = 2 x ex2 e2 x2

x = 0

58. La velocitat és una primitiva de l’acceleració. Per tant,com que la integral indefinida de l’acceleració és:

la velocitat serà de la forma per .

Aquesta informació ja ens permet calcular l’incrementde velocitat entre els instants demanats t = 3 s i t = 5 s:

L’increment de velocitat experimentada és, doncs, de34 ms 1.Tanmateix, la posició és una primitiva de la velocitat,així la regla de Barrow ens diu que:

Així si coneixem la funció v(t), podem calcular l’espairecorregut.Per a conèixer v(t), hem de determinar el valor de C0,i això ho farem imposant que parteix del repòs, és adir, que la velocitat inicial (per a t = 0) és 0:

Finalment, l’increment d’espai entre t = 3 s i t = 5 s és de:

59. Efectuem una representació gràfica aproximada:

x x tt

dtt t

( ) ( )5 3 53

2

5

2 2

2

3

5 2 3

= + = +

= =

3

5

125 36 89 m

0 0 5 03 0

20

532

2

0 0 0

2

= = + + = =

= +

v C C C

v t tt

( )

( )

x x v t dt( ) ( ) ( )5 33

5=

v v tt

C

C

( ) ( )5 3 53

2

1252

572

2

0

3

5

0

= + +

= + ++ =C 0 34

C0 �v t t

tC( ) = + +5

32

2

0

a t dt t dt tt

C( ) ( )= + = + +5 3 532

2

X

Y

1

y = x2

1 3r

A2

A1

–1

CM

YK

249

12 IntegralsObservem que l’àrea A que ens interessa és la suma de:

• L’àrea A1 compresa entre la paràbola i l’eix OX, en-tre les abscisses x = 0 i x = a, en què aquesta darreraés la del punt de tall de la recta tangent a la paràbo-la en x = 3, r.

• L’àrea A2 de la regió compresa entre la paràbola i larecta r, entre les abscisses x = a i x = 3.

Hem de determinar l’equació de r i el valor de a percalcular el valor de les àrees A1 i A2.

— Equació de r i valor de a:

Pel fet que la recta és tangent a f(x) = x2 en x0 = 3,l’equació de r és:


— Determinació de l’àrea buscada:

A A A

x dx x x dx

x

= + =

= + =

=

1 2

2

0

32 2

32

3

3

6 9

3

( ( ))

+ + = + =

0

32 3

2

32

3

33 9

98

98

94

xx x

A ==94

2u

0 6 932

= =a a

y f x f x x x

y x x x x y

=

= =

( ) ( ) ( )

( ) ,0 0 0

02

0 02 9 6(( )x

y x=

3

6 9

60. Per simetria, el volum del cos definit per l’arc de grà-fica de f(x) = 3 x entre x = 0 i x = 1 en girar al voltantde l’eix OY coincideix amb el del definit per l’arc

de gràfica de entre f(0) = 0 i f(1) = 3

en girar al voltant de l’eix OX.

Aquest volum podem calcular-lo amb la fórmula:

Podem comprovar el resultat calculant directament elvolum del cos, que és un con d’altura h = f(1) = 3 i radide la base r = 1 0 = 1:

61. Activitat TIC.

62. Activitat TIC.

V r h

V u

= = =

=

13

13

1 32 2

3

Vx

dx x dxx

= = = =

=

3 9 9 3

2

0

32

0

3 3

0

3

99 3= =V u

1 X

Y

1

y = 3x

–1

f xx

=1

3( )

249

12 In

tegr

als

Observem que l’àrea A que ens interessa és la suma de:

•L’àrea A1compresa entre la paràbola i l’eix OX, en-tre les abscisses x =0 i x =a, en què aquesta darreraés la del punt de tall de la recta tangent a la paràbo-la en x =3, r.

•L’àrea A2de la regió compresa entre la paràbola i larecta r, entre les abscisses x =a i x =3.

Hem de determinar l’equació de r i el valor de a percalcular el valor de les àrees A1i A2.

—Equació de r i valor de a:

Pel fet que la recta és tangent a f(x) =x2en x0=3,l’equació de r és:


—Determinació de l’àrea buscada:

AAA

xdxxxdx

x

=+=

=+=

=

12

2

0

322

32

3

3

69

3

(())

++=+=

0

323

2

32

3

339

98

98

94

xxx

A==94

2u

06932

== aa

yfxfxxx

yxxxxy

=

==

()()()

(),000

02

00 296(() x

yx =

3

69

60.Per simetria, el volum del cos definit per l’arc de grà-fica de f(x) =3x entre x =0 i x =1 en girar al voltantde l’eix OY coincideix amb el del definit per l’arc

de gràfica de entre f(0) =0 i f(1) =3

en girar al voltant de l’eix OX.

Aquest volum podem calcular-lo amb la fórmula:

Podem comprovar el resultat calculant directament elvolum del cos, que és un con d’altura h =f(1) =3 i radide la base r =1 0 =1:

61.Activitat TIC.

62.Activitat TIC.

Vrh

Vu

===

=

13

13

1322

3

Vx

dxxdxx

====

=

3993

2

0

32

0

33

0

3

99

3== Vu

1X

Y

1

y = 3x

–1

fxx

=1

3()

C M

Y K

250

Propostes d’avauació

UNITATS 1. MATRIUS/2. DETERMINANTS

1.a)2A+3B =

b)

c)A (B) =

d)A A B B =

2.

3.a)(A +B)t=At +Bt

b)(3A)t=3At

4.a)B

B

=

=

402

024

225

104

223

120

36126

1806

3

618

120

66

A

At

=

= ()

333

26

40

22

618

120

66

At====() 3A

t

ABABttt+==+

102

42

02

()

ABtt==

26

40

22

84

02

20

;

() ABt

+=

102

42

02

AB +=1040

222;

()() 2411

35

1

11418

1

1

1

==

=44184 =

5714

37

2919

915

13

293

193

35AB=

47

921

b)

5.

Si A1és inversa de A, aleshores es compleix queA1A=AA1 =I, en què I és la matriu identitat.Apliquem aquestes igualtats a les matrius donades perl’enunciat i obtenim:

6.Recordem que el rang d’una matriu és igual que el me-nor nombre de files o columnes diferents de zero.

Rang (A) =2, perquè té dues files diferents de 0.

Rang (B) =3, perquè hi ha tres files no nul·les.

527

0225

85

006111

FF 325722

527

0225

85

0575

75

FF

FF

21

31

1565

B=

527

143

697

67

0136

FF 2176 A=

67

76

123

21613

7281

19536

591

130

727

=

=

591

130

727

123

21613

=

=

7281

19536

123

2300

0230

0023

==

100

010

001

1

A=11

23

21613

7281

19536

B

B

=

=

13

224

34

75

011

13

333

63

11

21=

Propostes d’avaluació

�

��

250

Pro

post

es d

’ava

uaci

ó

UNITATS 1. MATRIUS/2. DETERMINANTS

1. a) 2A + 3B =

b)

c) A ( B) =

d) A A B B =

2.

3. a) (A + B)t = At + Bt

b) (3A)t = 3At

4. a) B

B

=

=

4 0 2

0 2 4

2 2 5

1 0 4

2 2 3

1 2 0

36 12 6

18 0 6

3

6 18

12 0

6 6

A

A t

=

=( )

33 3

2 6

4 0

2 2

6 18

12 0

6 6

At = = == ( )3 A t

A B A Bt t t+ = = +

10 2

4 2

0 2

( )

A Bt t= =

2 6

4 0

2 2

8 4

0 2

2 0

;

( )A B t+ =

10 2

4 2

0 2

A B+ =10 4 0

2 2 2;

( ) ( )2 41 1

3 5

1

114 18

1

1

1

= =

= 44 18 4=

57 14

3 7

29 19

9 15

13

293

193

3 5A B =

4 7

9 21

b)

5.

Si A 1 és inversa de A, aleshores es compleix queA 1 A = A A 1 = I, en què I és la matriu identitat.Apliquem aquestes igualtats a les matrius donades perl’enunciat i obtenim:

6. Recordem que el rang d’una matriu és igual que el me-nor nombre de files o columnes diferents de zero.

Rang (A) = 2, perquè té dues files diferents de 0.

Rang (B) = 3, perquè hi ha tres files no nul·les.

5 2 7

0225

85

0 06111

F F3 25722

5 2 7

0225

85

0575

75

F F

F F

2 1

3 1

1565

B =

5 2 7

1 4 3

6 9 7

6 7

0136

F F2 176

A =6 7

7 6

123

21 61 3

7 28 1

19 53 6

5 9 1

1 3 0

7 2 7

=

=

5 9 1

1 3 0

7 2 7

123

21 61 3

=

=

7 28 1

19 53 6

123

23 0 0

0 23 0

0 0 23

= =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

A =1 123

21 61 3

7 28 1

19 53 6

B

B

=

=

13

22 4

3 4

7 5

0 11

13

3 33

6 3

1 1

2 1=


�

��

CM

YK

251


El rang(C) = 3, perquè té tres files no nul·les.

Rang (D) = 3, ja que la matriu té tres files no nul·les.

7. Perquè una matriu sigui invertible, el seu determinantha de ser no nul.

a)

Resolem l’equació i obtenim dos valors:

t1 = 18 i t2 = 6. Per a valors de t diferents dels an-teriors, la matriu serà invertible.

• Per a t = 1 A = 285;

A t

t

A t

t

t

=

= = +

3 0 12

0 12

3 9

3 0 12

0 12

3 9

3 2 336 324 0t = ;

9 8 9 1

0 13 9 7

0 0 35 137039

F F3 235

117

9 8 9 1

0 13 9 7

0359

0359

F F

F F

2 1

3 119

+

+D =

9 8 9 1

9 5 0 8

1 3 1 4

6 0 2

0 873

0 0 23 24

F F3 278

+

6 0 2

0 873

0 7 3

F F

F F

2 1

3 1

1312

C =

6 0 2

2 8 3

3 7 2

b)

t1 = 1 i t2 = 1. Per a valors diferents de t la matriués invertible.

• Per a t = 2;

8. Aplicarem les propietats dels determinants.

a)

b) aquest determinant és el transposat de

l’enunciat i, a més, les columnes estan intercanviades:

9. Com que log (a b) = log a + log b, tenim que:

log 30 = log (10 3) = log 10 + log 3 = 1 + log 3

log 300 = log (100 3) = log 100 + log 3 = 2 + log 3

Si substituïm en el determinant:

p m

q n

m p

n q= = =( ) .5 5

p m

q n

m n p q

n q

m p

n q

n q

n q

m p

n q

n q

n q

+ +=

+ = + =

= + =

4 4

4 44

5 4 0 55

B =1 13

1 0 2

1 3 2

2 0 1

B

t

t

B

t

t

t

=

= = + =

1 0

1 1 0

0 1

1 0

1 1 0

0 1

1 02 ;

A =1 1285

107 108 12

36 39 36

3 27 3

Aadjt =

107 108 12

36 39 36

3 27 3

�

�

��

D3

D3

D5

= +

+ + + +

0

1 1 1

0 1 2

3 1 2 3 3 4 4 32 2( ) ( ) (log log log log log 33 2)

=

1 1 1

3 30 300

3 30 3002 2 2

log log log

log log log( ) ( ) ( )

=

11 1 1

3 1 3 2 3

3 1 3 2 32 2

log log log

log log log

+ +

+ +( ) ( ) ( ))

( ) ( ) (

2

2 2

1 1 1

3 3 3

3 1 3 2 3

=

=

+ +

log log log

log log log )) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1 1

0 1 2

3 1 3 2 3

+

+ +

=

log log log

�

�

�

251

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

El rang(C) =3, perquè té tres files no nul·les.

Rang (D) =3, ja que la matriu té tres files no nul·les.

7.Perquè una matriu sigui invertible, el seu determinantha de ser no nul.

a)

Resolem l’equació i obtenim dos valors:

t1=18 i t2=6. Per a valors de t diferents dels an-teriors, la matriu serà invertible.

•Per a t =1 A=285;

At

t

At

t

t

=

==+

3012

012

39

3012

012

39

32

3363240 t=;

9891

01397

0035137039

FF 3235

117

9891

01397

0359

0359

FF

FF

21

3119

+

+D=

9891

9508

1314

602

0873

002324

FF 3278

+

602

0873

073

FF

FF

21

31

1312

C=

602

283

372

b)

t1=1 i t2=1. Per a valors diferents de t la matriués invertible.

•Per a t =2;

8.Aplicarem les propietats dels determinants.

a)

b)aquest determinant és el transposat de

l’enunciat i, a més, les columnes estan intercanviades:

9.Com que log (ab) =log a +log b, tenim que:

log 30 =log (103) =log 10 +log 3 =1 +log 3

log 300 =log (1003) =log 100 +log 3 =2 +log 3

Si substituïm en el determinant:

pm

qn

mp

nq=== (). 55

pm

qn

mnpq

nq

mp

nq

nq

nq

mp

nq

nq

nq

++=

+=+=

=+=

44

444

54055

B=11

3

102

132

201

B

t

t

B

t

t

t

=

==+=

10

110

01

10

110

01

102

;

A=11

285

10710812

363936

3273

Aadjt

=

10710812

363936

3273

�

�

��

D3

D3

D5

=+

++++

0

111

012

3123344322

()()( logloglogloglog332

)

=

111

330300

330300222

logloglog

logloglog ()()()

=

1111

31323

3132322

logloglog

logloglog

++

++ ()()())

()()(

2

22

111

333

31323

=

=

++

logloglog

logloglog))()()()2222

111

012

31323

+

++

=

logloglog

�

�

�

C M

Y K

252


D5

=+

+

111

012

111

012

012 222()()() log3log3log3log3444

0112

1244

144

+

=+++

=

=+

log3log3log3

log3 ()+=+= 21244242 () log3log3log3

10.D’acord amb l’enunciat:

Calculem A1a partir dels determinants:

—Determinant de A:

—Transposada de A:

—Adjunta de At:

—Inversa de A:

—L’equació que hem de resoldre és:

=(1 x)3x =1

0

110

011

001

100

010

001

1== AxI

x==

110

011

001

x

x

x

AA

AdjAt

===

=

111

1

110

011

001

110

()

0011

001

AdjAt

()=

=

10

11

10

11

11

11

00

11

10

11

10

11

00

10

10

110

10

11

110

011

001

=

=

At

t

==

111

011

001

100

110

111

A===

111

011

001

1111

A=

111

011

001

�

11.a)Una matriu quadrada té inversa (és invertible) quanel seu determinant és diferent de 0.

Calculem els valors de que no anul·lendet(A) =�A�:

Per tant, A té inversa per a 0 i 2.

b)Per a =3, el determinant de A val:

�A�=3 (3 2) =3 0

Quan el determinant d’una matriu quadrada d’or-dre 3 és diferent de 0, podem assegurar que té 3 fi-les i 3 columnes linealment independents; per tant,rang (A) =3.

c)El det (A) serà 1 quan es compleixi:

1 =(2) 22 +1 =0 =1

El det (A) serà 1 quan =1.

d)

=�A�+0 =(2)

Per a =1, �B�=1(1 2) =1

12.

Si m2 4m +3 =0, és a dir, si m =1 o m =3, rang(A) ==2 <3.

Am

m

m

m

FF =

101

41

03

101

014

0321 4

+

FmFm

mm32

101

014

00342

.

B==

=

+++

=

=+

235

13

2

2123

13

2

22

13

2

133

13

2

=

A===

=

22

13

2

22

011

002

200

2(),

��

252

Pro

post

es d

’ava

luac

ióD5

= +

+

1 1 1

0 1 2

1 1 1

0 1 2

0 1 22 2 2( ) ( ) ( )log 3 log 3 log 3 log 3 44 4

0 11 2

1 2 4 4

1 4 4

+

= ++ +

=

= +

log 3log 3 log 3

log 3( ) + = + =2 1 2 4 4 2 4 2( )log 3 log 3 log 3

10. D’acord amb l’enunciat:

Calculem A 1 a partir dels determinants:

— Determinant de A:

— Transposada de A:

— Adjunta de At:

— Inversa de A:

— L’equació que hem de resoldre és:

= (1 x)3 x = 1

0

1 1 0

0 1 1

0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1= =A x I

x = =

1 1 0

0 1 1

0 0 1

x

x

x

AA

Adj At= = =

=

1 1 1

1

1 1 0

0 1 1

0 0 1

1 1 0

( )

00 1 1

0 0 1

Adj At( ) =

=

1 0

1 1

1 0

1 1

1 1

1 1

0 0

1 1

1 0

1 1

1 0

1 1

0 0

1 0

1 0

11 0

1 0

1 1

1 1 0

0 1 1

0 0 1

=

=

At

t

= =

1 1 1

0 1 1

0 0 1

1 0 0

1 1 0

1 1 1

A = = =

1 1 1

0 1 1

0 0 1

1 1 1 1

A =

1 1 1

0 1 1

0 0 1

�

11. a) Una matriu quadrada té inversa (és invertible) quanel seu determinant és diferent de 0.

Calculem els valors de que no anul·lendet(A) = �A �:

Per tant, A té inversa per a 0 i 2.

b) Per a = 3, el determinant de A val:

�A � = 3 (3 2) = 3 0

Quan el determinant d’una matriu quadrada d’or-dre 3 és diferent de 0, podem assegurar que té 3 fi-les i 3 columnes linealment independents; per tant,rang (A) = 3.

c) El det (A) serà 1 quan es compleixi:

1 = ( 2) 2 2 + 1 = 0 = 1

El det (A) serà 1 quan = 1.

d)

= �A � + 0 = ( 2)

Per a = 1, �B � = 1(1 2) = 1

12.

Si m2 4m + 3 = 0, és a dir, si m = 1 o m = 3, rang(A) == 2 < 3.

A m

m

m

m

F F=

1 0 1

4 1

0 3

1 0 1

0 1 4

0 32 1

4

+

F m F m

m m3 2

1 0 1

0 1 4

0 0 3 4 2

.

B = =

=

+ + +

=

= +

2 3 5

1 3

2

2 1 2 3

1 3

2

2 2

1 3

2

1 33

1 3

2

=

A = = =

=

2 2

1 3

2

2 2

0 1 1

0 0 2

2 00

2( ) ,

� �

CM

YK

253


Tal com es veu en les dues primeres files, el rang nopot ser 1, ja que mai poden ser proporcionals.

UNITAT 3. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS

1. a) Triangulem la matriu ampliada A

Podem veure que en la tercera fila de la matriu jahi ha aïllada una incògnita, per la qual cosa ja po-dem resoldre el sistema.

b) Triangulem la matriu ampliada A .

Podem veure que en la segona fila de la matriu jahi ha aïllada una incògnita, per la qual cosa ja po-dem resoldre el sistema.

x = 2, y = 1 i z = 4

2. a) Les matrius associades al sistema són:

Calculem el determinant de la matriu de coefi-cients

Per tal de resoldre-ho, substituim la columna dela matriu A corresponent a la incògnita per la co-lumna dels termes independents.

b) Resolem de la mateixa manera que en l’apartatanterior.

A = 75

xA

yA

zA

= =

= =

= =

1

2

3

3815

7315

15

A = = + +

=

1 1 2

2 1 4

2 1 6

6 8 4

4 12 4 30( )

=A

1 1 2

2 1 4

2 1 6

7

1

1A =

1 1 2

2 1 4

2 1 6

1 1 0

0 1 0

0 1 1

1

1

3

F F2 1

1 1 0

1 0 1

0 1 1

1

2

3

x i i z= = =79

16

718

,

1 1 1

0 1 3

0 6 0

1

1

1

F F

F F2 1

3 1

21 1 1

2 3 5

1 5 1

1

3

23. a) Escrivim el sistema matricialment

Comprovem que la matriu de coeficients, A, és re-gular ( ) i escrivim la seva inversa.

Resolem el sistema pel mètode de la matriu in-versa

La solució del sistema és:

b) Escrivim el sistema matricialment

Comprovem que la matriu de coeficients, A, és re-gular ( ) i escrivim la seva inversa.


X A B= =1 12

2 2 4

1 0 1

1 2 3

2

3

0

= =X

x

y

z

1

1

2

A A= =212

2 2 4

1 0 1

1 2 3

1;

A 0

1 1 1

2 1 3

1 1 1

2

3=

x

y

z 00

x y i z= = =157

37

0,

X A B= =1 17

9 5 2

1 1 1

14 7 7

3

0

6

= =X

x

y

z

17

15

3

0

A A= =717

9 5 2

1 1 1

14 7 7

1;

A 0

2 3 1

1 5 1

3 1 2

3

0

6

=

x

y

z

xA

yA

zA

= =

= =

= =

11875

75

1375

1

2

3

��

253

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

Tal com es veu en les dues primeres files, el rang nopot ser 1, ja que mai poden ser proporcionals.

UNITAT 3. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS

1.a)Triangulem la matriu ampliada A

Podem veure que en la tercera fila de la matriu jahi ha aïllada una incògnita, per la qual cosa ja po-dem resoldre el sistema.

b)Triangulem la matriu ampliada A.

Podem veure que en la segona fila de la matriu jahi ha aïllada una incògnita, per la qual cosa ja po-dem resoldre el sistema.

x =2, y =1 i z =4

2.a)Les matrius associades al sistema són:

Calculem el determinant de la matriu de coefi-cients

Per tal de resoldre-ho, substituim la columna dela matriu A corresponent a la incògnita per la co-lumna dels termes independents.

b)Resolem de la mateixa manera que en l’apartatanterior.

A=75

xA

yA

zA

==

==

==

1

2

3

3815

7315

15

A==++

=

112

214

216

684

412430 ()

= A

112

214

216

7

1

1A=

112

214

216

110

010

011

1

1

3

FF 21

110

101

011

1

2

3

xiiz ===79

16

718

,

111

013

060

1

1

1

FF

FF21

31

2111

235

151

1

3

23.a)Escrivim el sistema matricialment

Comprovem que la matriu de coeficients, A, és re-gular () i escrivim la seva inversa.


La solució del sistema és:

b)Escrivim el sistema matricialment

Comprovem que la matriu de coeficients, A, és re-gular () i escrivim la seva inversa.


XAB ==11

2

224

101

123

2

3

0

== X

x

y

z

1

1

2

AA == 212

224

101

123

1;

A0

111

213

111

2

3 =

x

y

z00

xyiz ===157

37

0 ,

XAB ==11

7

952

111

1477

3

0

6

== X

x

y

z

17

15

3

0

AA == 717

952

111

1477

1;

A0

231

151

312

3

0

6

=

x

y

z

xA

yA

zA

==

==

==

11875

75

1375

1

2

3

��

C M

Y K

254


La solució del sistema és: x =1, y =1 i z =2.


Calculem el rang de les matrius mitjançant deter-minants i observem que rang(A) =rang(A) =3icoincideix amb el nombre d’incògnites, de ma-nera que el sistema és compatible i determinat. Calculem la solució mitjançant el mètode de Cra-mer, i obtenim que x =0, y =1, z =1.

b)Les matrius associades al sistema són:

Calculem el rang de les matrius mitjançant deter-minants i observem que rang(A) =rang(A) =3icoincideix amb el nombre d’incògnites, de ma-nera que el sistema és compatible i determinat.Calculem la solució mitjançant el mètode de Cra-

mer, i obtenim que

c)Les matrius associades al sistema són:

Calculem el rang de les matrius mitjançant determi-nants i observem que rang(A) =rang(A) =2que ésmenor que el nombre d’incògnites, de maneraque el sistema és compatible i indeterminat. Cal-culem la solució mitjançant el mètode de Cramer,i obtenim que:

d)Les matrius associades al sistema són:

Calculem el rang de les matrius mitjançant de-terminants i observem que rang(A) =2

rang(A) =3. Per tant, el sistema és incompa-tible i no té solució.

e)Les matrius associades al sistema són:

AA ==

211

311

131

211

311

131

2

1

1

AA ==

111

213

122

111

213

1222

2

3

0

xtyzt ===23

13

;;

AA ==

242

636

575

242

636

575

0

3

1

xyz === 03

101

10,,.

AA ==

231

113

168

231

113

168

1

0

1

AA ==

111

332

111

111

332

111

0

1

0

Calculem el rang de les matrius mitjançant determi-nants i observem que rang(A) =rang(A) =3i coin-cideix amb el nombre d’incògnites, de maneraque el sistema és compatible i determinat. Cal-culem la solució mitjançant el mètode de Cramer,

i obtenim que


Calculem el rang de les matrius mitjançant de-terminants, i imposem que el determinant de As’anul·li.

•Per a t =0, , per la qual cosarang (A) =rang (A) =2. El sistema és compati-ble indeterminat. El solucionem mitjançant el mè-tode de Cramer, i els resultats obtinguts són:

•Per a t0,, per la qual cosarang (A) =rang(A) =3 i coincideix amb el nom-bre d’incògnites; per tant, el sistema és compa-tible determinat, amb una única solució. El re-solem pel mètode de Cramer i obtenim que elsresultats són:

b)Les matrius associades al sistema són:


•Per a t1 =1

No hi ha cap menor 2 ×2 de A el determinantdel qual sigui diferent de 0; per tant, elrang (A) =1

Tampoc no hi ha menors 3 ×3 ni 2 ×2 de Aquetinguin un determinant no nul, de manera querang (A) =1.

Atttit =+=== ()(), 110112

12

A

t

t

tt

A

t

t

t

==

231

462

693

231

462

693tt

t

t

t

2

3

xyzt

===+ 208

553611

32848

55;;

AiA 00

xt

yt

zt ===3211

18

113411

41

22;;

AiA == 00

Att === 35800 ,

A

ttt

=

+ 316228326

19145

301423

AA

ttt

=

+ 316228326

19145

301423

40

12

44

xyz === 112

72

,,.

254

Pro

post

es d

’ava

luac

ióLa solució del sistema és: x = 1, y = 1 i z = 2.


Calculem el rang de les matrius mitjançant deter-minants i observem que rang(A) = rang(A ) = 3 icoincideix amb el nombre d’incògnites, de ma-nera que el sistema és compatible i determinat. Calculem la solució mitjançant el mètode de Cra-mer, i obtenim que x = 0, y = 1, z = 1.

b) Les matrius associades al sistema són:

Calculem el rang de les matrius mitjançant deter-minants i observem que rang(A) = rang(A ) = 3 icoincideix amb el nombre d’incògnites, de ma-nera que el sistema és compatible i determinat.Calculem la solució mitjançant el mètode de Cra-

mer, i obtenim que

c) Les matrius associades al sistema són:

Calculem el rang de les matrius mitjançant determi-nants i observem que rang(A) = rang(A ) = 2 que ésmenor que el nombre d’incògnites, de maneraque el sistema és compatible i indeterminat. Cal-culem la solució mitjançant el mètode de Cramer,i obtenim que:

d) Les matrius associades al sistema són:

Calculem el rang de les matrius mitjançant de-terminants i observem que rang(A) = 2

rang(A ) = 3. Per tant, el sistema és incompa-tible i no té solució.

e) Les matrius associades al sistema són:

A A= =

2 1 1

3 1 1

1 3 1

2 1 1

3 1 1

1 3 1

2

1

1

A A= =

1 1 1

2 1 3

1 2 2

1 1 1

2 1 3

1 22 2

2

3

0

x t y z t= = =23

13

; ;

A A= =

2 4 2

6 3 6

5 7 5

2 4 2

6 3 6

5 7 5

0

3

1

x y z= = =03

101

10, , .

A A= =

2 3 1

1 1 3

1 6 8

2 3 1

1 1 3

1 6 8

1

0

1

A A= =

1 1 1

3 3 2

1 1 1

1 1 1

3 3 2

1 1 1

0

1

0

Calculem el rang de les matrius mitjançant determi-nants i observem que rang(A) = rang(A ) = 3 i coin-cideix amb el nombre d’incògnites, de maneraque el sistema és compatible i determinat. Cal-culem la solució mitjançant el mètode de Cramer,

i obtenim que



• Per a t = 0, , per la qual cosarang (A) = rang (A ) = 2. El sistema és compati-ble indeterminat. El solucionem mitjançant el mè-tode de Cramer, i els resultats obtinguts són:

• Per a t 0, , per la qual cosarang (A) = rang(A ) = 3 i coincideix amb el nom-bre d’incògnites; per tant, el sistema és compa-tible determinat, amb una única solució. El re-solem pel mètode de Cramer i obtenim que elsresultats són:

b) Les matrius associades al sistema són:


• Per a t1 = 1

No hi ha cap menor 2 × 2 de A el determinantdel qual sigui diferent de 0; per tant, elrang (A) = 1

Tampoc no hi ha menors 3 × 3 ni 2 × 2 de A quetinguin un determinant no nul, de manera querang (A ) = 1.

A t t t i t= + = = =( ) ( ) ,1 1 0 1 121 2

A

t

t

t t

A

t

t

t

= =

2 3 1

4 6 2

6 9 3

2 3 1

4 6 2

6 9 3tt

t

t

t

2

3

x y zt

= = =+208

553611

328 48

55; ;

A i A0 0

xt

yt

z t= = =3211

18

113411

41

22; ;

A i A= =0 0

A t t= = =358 0 0,

A

t t t

=

+3 16 2 28 3 26

19 14 5

30 14 23

AA

t t t

=

+3 16 2 28 3 26

19 14 5

30 14 23

40

12

44

x y z= = =112

72

, , .

CM

YK

255


Els rangs de les dues matrius són idèntics i me-nors que el nombre d’incògnites, el sistema éscompatible indeterminat dependent de dos parà-metres. La solució obtinguda és:

• Per a t2 = 1

El rang (A) = 2, ja que hi ha almenys un menor2 × 2 de A el determinant del qual és no nul.

El rang(A ) = 3, ja que hi ha almenys un menor3 × 3 de A el determinant del qual és no nul.

Podem dir que el sistema és incompatible i, pertant, que no té solució.

• Per a t 1 i t 1

rang (A) = rang (A ) = 3 i és igual al nombred’incògnites del sistema, per la qual cosa el sis-tema és compatible determinat, és a dir, ambuna única solució.

La trobem resolent el sistema per Cramer. La so-lució obtinguda és:

6. La matriu A associada al sistema i la seva ampliada A són:

El determinant de la matriu A és:

Si k = 1, el rang de A i A és 1 i, per tant, el sistema éscompatible indeterminat, ja que es redueix a una úni-ca equació.

Si k = 1, el rang de A i A és 2 i, per tant, el sistemaés també compatible indeterminat.

Si k 1 i k 1, el sistema és compatible determinatsegons el teorema de Rouché-Frobenius, perquè el rangde A i A és 3, que és el nombre d’incògnites. El reso-lem mitjançant la regla de Cramer:

23 2

3 2

1

1 1

1 1

1

1 1

= = + + =

= + =

k k

k

k

k k k k k

k k k k( )22 1( )k +

12 2 3 2

3 2

1

1 1

1

1

1

= = + + =

= + + =

k k

k

k k

k k k k k

k k k k( +1 12) ( )k

A

k

k k

k

k k k k k

k k k k

= = + + =

= + =

1 1

1

1 1

1

1 1

3 2

3 2 2( ) (( )k + 1

A

k

k k

k

A

k k

k k

k k

= =

1 1

1

1 1

1 1

1 1

1 1

x yt

tz

t

t= =

+=

+0

12

1

36

1; ;

z y x= = =; ,1 3

2 Per tant:

Per tant, qualsevol que sigui el valor de k, diferent de1 i de 1, aquesta és la solució única del sistema.

7. El sistema serà indeterminat quan, essent compatible,rang(M) < 3 (3 = nombre d’incògnites i M, la matriude coeficients). Perquè passi això, es requereix quedet(M) = 0. Calculem, per tant, els valors de m queanul·len el determinant de M:

Tal com acabem de comprovar, només existeix un va-lor de m que anul·la el determinant. Si el sistema éscompatible per a m = 5, serà indeterminat.

Transformant M obtenim el sistema:

Aquest resultat indica que rang(M) = 2 = rang(M ). Pertant, per a m = 5 tenim un sistema compatible inde-terminat (S.C.I.).

L’última matriu obtinguda equival al sistema:

Substituint z per obtenim la solució general:

x

y

z

= +

=

=

2

x z

y z

=

=

2

0

1 3 2

3 1 4

0 5 5

2

6

0

1 3 22

0 1 1

0 1 1

2

0

0

1 3 2

0 1 1

0 0 0

2

0

03 2

F F +F F1 23

1 0 1

0 1 1

0 0 0

2

0

0

x y z

x y z

y z

+ =

+ =

=

3 2 2

3 4 6

5 5 0

M

m

m

m

= = =

= =

1 3 2

3 1 4

0 5

0 10 50 0

5010

5

;

xA

k k

k kx

yA

= =+

+= =

= =

12

2

2

1 1

1 11 1

( ) ( )

( ) ( )

(( ) ( )

( ) ( )

( ) (

k k

k ky

zA

k k

+

+= =

= =

1 1

1 11 1

1

2

2

32 ++

+= =

1

1 11 1

2

)

( ) ( )k kz

32 3 2 2

3 2

1 1

1

1

1

1

= = + + =

= + =

k

k k

k k

k k k k k

k k k k( 11 12) ( )k +

F F

F

2 1

3

31015 �

� �

255

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

Els rangs de les dues matrius són idèntics i me-nors que el nombre d’incògnites, el sistema éscompatible indeterminat dependent de dos parà-metres. La solució obtinguda és:

•Per a t2 =1

El rang (A) =2, ja que hi ha almenys un menor2×2 de A el determinant del qual és no nul.

El rang(A) =3, ja que hi ha almenys un menor3×3 de Ael determinant del qual és no nul.

Podem dir que el sistema és incompatible i, pertant, que no té solució.

•Per a t 1 i t 1

rang (A) =rang (A) =3 i és igual al nombred’incògnites del sistema, per la qual cosa el sis-tema és compatible determinat, és a dir, ambuna única solució.

La trobem resolent el sistema per Cramer. La so-lució obtinguda és:

6.La matriu A associada al sistema i la seva ampliada Asón:

El determinant de la matriu A és:

Si k =1, el rang de A i Aés 1 i, per tant, el sistema éscompatible indeterminat, ja que es redueix a una úni-ca equació.

Si k =1, el rang de A i Aés 2 i, per tant, el sistemaés també compatible indeterminat.

Si k 1 i k 1, el sistema és compatible determinatsegons el teorema de Rouché-Frobenius, perquè el rangde A i Aés 3, que és el nombre d’incògnites. El reso-lem mitjançant la regla de Cramer:

232

32

1

11

11

1

11

==++=

=+=

kk

k

k

kkkkk

kkkk()22

1 () k+

12232

32

1

11

1

1

1

==++=

=++=

kk

k

kk

kkkkk

kkkk(+ 112

)() k

A

k

kk

k

kkkkk

kkkk

==++=

=+=

11

1

11

1

11

32

322()(() k+1

A

k

kk

k

A

kk

kk

kk

==

11

1

11

11

11

11

xyt

tz

t

t==

+=

+0

12

1

36

1;;

zyx === ;,13

2Per tant:

Per tant, qualsevol que sigui el valor de k, diferent de1 i de 1, aquesta és la solució única del sistema.

7.El sistema serà indeterminat quan, essent compatible,rang(M) <3 (3 =nombre d’incògnites i M, la matriude coeficients). Perquè passi això, es requereix quedet(M) =0. Calculem, per tant, els valors de m queanul·len el determinant de M:

Tal com acabem de comprovar, només existeix un va-lor de m que anul·la el determinant. Si el sistema éscompatible per a m=5, serà indeterminat.

Transformant Mobtenim el sistema:

Aquest resultat indica que rang(M) =2 =rang(M). Pertant, per a m =5 tenim un sistema compatible inde-terminat (S.C.I.).

L’última matriu obtinguda equival al sistema:

Substituint z per obtenim la solució general:

x

y

z

=+

=

=

2

xz

yz

=

=

2

0

132

314

055

2

6

0

1322

011

011

2

0

0

132

011

000

2

0

032 FF+ FF 12 3

101

011

000

2

0

0

xyz

xyz

yz

+=

+=

=

322

346

550

M

m

m

m

===

==

132

314

05

010500

5010

5

;

xA

kk

kkx

yA

==+

+==

==

12

2

2

11

1111

()()

()()

(()()

()()

()(

kk

kky

zA

kk

+

+==

==

11

1111

1

2

2

32

++

+==

1

1111 2

)

()() kkz

32322

32

11

1

1

1

1

==++=

=+=

k

kk

kk

kkkkk

kkkk(1112

)() k+

FF

F

21

3

31015�

��

C M

Y K

256


8.Podem fer un esquema de les dades del problema enla taula següent:

Aquesta organització de les dades indicades en el pro-blema ens permet plantejar les equacions que com-pleixen les quantitats x, y, z i w:

Resolem aquest últim sistema per Cramer:

Per tant, A ha gestionat 30 concessionaris; B, 20; C, 50i D, 70.

9.La primera cosa que hem de fer és examinar els valorsde k que anul·len det (M), essent M la matriu de coe-ficients:

Mkk

kkk ==+=

223

410210120

2,

x

y

==

=

10001

030

5011

101

230

011

30

11001

200

05501

101

230

011

20

10100

230

0150

101

230

0

=

= w

111

70 =

z

yzw

yx

xw

xw

=

+=

=

+=

+=

50

2

351085

100

2230

50

100

230xy

yzw

z

xw

xy

yw

=

+=

=

+=

=

=50

t inicialt =1 anyt =3 anys

EMP.Núm. CONC.EMP.Núm. CONC.

AxAxx 5

ByDww 10

Cz =50

A partir d’aquest resultat, ja podem assegurar que pera k 2 i k 3 el rang de M és 2. Com que el rang dela matriu ampliada, M, no pot ser més que 2, per ak 2 i k 3 el sistema és compatible determinat(S.C.D.).

Estudiem ara què succeeix per a k =2 i k =3.

Per a k =2 la matriu Mes pot transformar:

Per tant, per a k =2 el sistema serà compatible inde-terminat (S.C.I.) i les seves solucions dependran d’unparàmetre.

Per a k =3 la matriu Mes pot transformar:

Observa que rang(M) =1 2 =rang(M).

Per tant, per a k =3 el sistema serà incompatible.

10.a)Esglaonant la matriu ampliada del sistema queda

Nota:ens podem estalviar l’últim pas mirant si la sego-na i la tercera fila de la matriu del sistema (no de l’am-pliada) són proporcionals:

D’una manera o d’una altra, cal buscar els valorsdel paràmetre a que verifiquen a2+6a 8 =0. Lessolucions d’aquesta equació de segon grau sóna =2, a =4. Aleshores,

•Si tenim que

El sistema és compatible determinat.

rangArangA. ==3

aia 24

57

13

1567

680

2

2+

==

+=

aa

aa

aa

121

051

002

a

a++68

4

12

24 aa

Fa

F 327

5+

a

121

0511

073

4

12

162 + aa

FF

FF21

31

2

4 = Aa

aa

121

211

411

4

4

2

63

42

2

3

63

00

2

521

23

FF

Observaque:rangrang

nre.d’incògn

()() MM == 1

iitesrang= () M1

41

41

2

2

41

00

2

021 FF

k=±

=104

4

3

2

�

�

�

�

256

Pro

post

es d

’ava

luac

ió8. Podem fer un esquema de les dades del problema en

la taula següent:

Aquesta organització de les dades indicades en el pro-blema ens permet plantejar les equacions que com-pleixen les quantitats x, y, z i w:

Resolem aquest últim sistema per Cramer:

Per tant, A ha gestionat 30 concessionaris; B, 20; C, 50i D, 70.

9. La primera cosa que hem de fer és examinar els valorsde k que anul·len det (M), essent M la matriu de coe-ficients:

Mk k

kk k= = + =

2 2 3

4 10 2 10 12 02,

x

y

= =

=

100 0 1

0 3 0

50 1 1

1 0 1

2 3 0

0 1 1

30

1 100 1

2 0 0

0 550 1

1 0 1

2 3 0

0 1 1

20

1 0 100

2 3 0

0 1 50

1 0 1

2 3 0

0

=

=w

11 1

70=

z

y z w

yx

x w

x w

=

+ =

=

+ =

+ =

50

2

35 10 85

100

22 3 0

50

100

2 3 0x y

y z w

z

x w

x y

y w

=

+ =

=

+ =

=

= 50

t inicial t = 1 any t = 3 anys

EMP. Núm. CONC. EMP. Núm. CONC.

A x A x x 5

B y D w w 10

C z = 50

A partir d’aquest resultat, ja podem assegurar que pera k 2 i k 3 el rang de M és 2. Com que el rang dela matriu ampliada, M , no pot ser més que 2, per ak 2 i k 3 el sistema és compatible determinat(S.C.D.).

Estudiem ara què succeeix per a k = 2 i k = 3.

Per a k = 2 la matriu M es pot transformar:

Per tant, per a k = 2 el sistema serà compatible inde-terminat (S.C.I.) i les seves solucions dependran d’unparàmetre.

Per a k = 3 la matriu M es pot transformar:

Observa que rang(M) = 1 2 = rang(M ).

Per tant, per a k = 3 el sistema serà incompatible.

10. a) Esglaonant la matriu ampliada del sistema queda

Nota: ens podem estalviar l’últim pas mirant si la sego-na i la tercera fila de la matriu del sistema (no de l’am-pliada) són proporcionals:

D’una manera o d’una altra, cal buscar els valorsdel paràmetre a que verifiquen a2 + 6a 8 = 0. Lessolucions d’aquesta equació de segon grau sóna = 2, a = 4. Aleshores,

• Si tenim que

El sistema és compatible determinat.

rang A rang A .= = 3

a i a2 4

57

13

15 6 7

6 8 0

2

2+

= =

+ =

aa

a a

a a

1 2 1

0 5 1

0 0 2

a

a ++ 6 8

4

12

2 4a a

Fa

F3 27

5+

a

1 2 1

0 5 11

0 7 3

4

12

16 2+a a

F F

F F2 1

3 1

2

4=A a

a a

1 2 1

2 1 1

4 1 1

4

4

2

6 3

4 2

2

3

6 3

0 0

2

52 1

23

F F

Observa que:rang rang

nre. d’incògn

( ) ( )M M= =1

iites rang =( )M 1

4 1

4 1

2

2

4 1

0 0

2

02 1F F

k =±

=10 4

4

3

2

�

�

�

�

CM

YK

257


• Si a = 2,

El sistema és compatible indeterminat, ja que

• Si a = 4,

El sistema és incompatible, ja que

b) La solució del sistema en el cas compatible inde-terminat és:

c) Qualsevol valor de la forma z = 1 + 5n dóna lloca solucions amb components enteres.

En efecte, si z = 1 + 5 n , aleshores:

Per exemple, per a n = 0, la solució és x = 1, y = 3,z = 1.

UNITATS 4./5. VECTORS EN L’ESPAI

1. Que el vector sigui ortogonal als vectors i , im-plica que el producte escalar dels vectors és nul.

Aïllant els paràmetres del sistema d’equacions obtin-

gut, trobem que

2. Si tres vectors són linealment dependents, el deter-minant format pels tres ha de ser nul.

Per tant, per a els vectors són linealment in-

dependents.

3. Si = 3, = (1, 3, 3)

Perquè el vector sigui combinació lineal dels altrestres vectors, s’ha de complir la igualtat següent:

a(3, 2, 5) + b(2, 4, 7) + c(1, 3, 3) = (2, 5, 5)

�x

�w

278

3 2 5

2 4 7

1 3

8 27 0278

= + = =;

a i b= =49

13

.

� �� u v a b

u w a b

= + =

= + + =

0 3 1 0

0 3 2 2 0

;

;

�w�v�u

xn

n i

yn n

=+ +

= +

=+ +

=+

=

4 1 5

51

12 3 1 5

5

15 15

53

( )

( )++ 3 n

x y z=+

=+

=4

5

12 3

5, ,

rang A rang A .= =2 3

=A

1 2 1

0 5 5

0 0 0

4

12

4

rang A rang A .= = 2

=A

1 2 1

0 5 3

0 0 0

4

12

0

Obtenim, aleshores, el sistema d’equacions:

Resolem el sistema i obtenim:

Aleshores,

4. Si els tres vectors formen una base, han de ser lineal-ment independents

per tant, formen una base

ortogonal.

Per a expressar el vector en la base, s’ha de complirla igualtat

a( 1, 1, 1) + b(1, 1, 1) + c(1, 1, 1) = (2, 4, 2)

Obtenim , aleshores, el sistema d’equacions:

Resolem el sistema i trobem: a = 0; b = 1 i c = 3.

Per tant,

5. Operem component a component:

a) = 3 (3, 1, 2) + 2 ( 1, 2, 5) (3, 1, 4) =

= (9, 3, 6) + ( 2, 4, 10) (3, 1, 4) = (4, 0, 12)

b)

c)

1=

22 8520

4 520

8 5020

9720

120

58+ + +=, , , ,

220

35

15

25

174

14

104

, , , ,= + =

35

15

25

14

17 1 1, , ( , ,= 00) =

, , (( , , ) ( ,=35

15

25

14

2 4 10 15 55 20, )) =

�z =15

3 1 214

2 1 2 5 5 3 1 4( , , ) ( ( , , ) ( , , ))) =

212

832

= , ,

1= 2232

3 4 3 1 8152

4+ + + + + =, ,

= ( 112 4 83

23

152

3 1 4, , ) , , ( , , )+ + =

�y = + + =4 3 1 232

1 2 5 3 1 4( , , ) ( , , ) ( , , )

�x

� � �x v w= + 3

+ + =

+ =

+ =

a b c

a b c

a b c

2

4

2

=

1 1 1

1 1 1

1 1 1

4 0

� � � �x u v w= +1151

751

8351

a b c= = =1151

751

8351

; ;

3 2 2

2 4 3 5

5 7 3 5

a b c

a b c

a b c

+ + =

+ =

+ + =

257

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

•Si a =2,

El sistema és compatible indeterminat, ja que

•Si a =4,

El sistema és incompatible, ja que

b)La solució del sistema en el cas compatible inde-terminat és:

c)Qualsevol valor de la forma z =1 +5n dóna lloca solucions amb components enteres.

En efecte, si z =1 +5n, aleshores:

Per exemple, per a n =0, la solució és x =1, y =3,z =1.

UNITATS 4./5. VECTORS EN L’ESPAI

1.Que el vector sigui ortogonal als vectors i , im-plica que el producte escalar dels vectors és nul.

Aïllant els paràmetres del sistema d’equacions obtin-

gut, trobem que

2.Si tres vectors són linealment dependents, el deter-minant format pels tres ha de ser nul.

Per tant, per a els vectors són linealment in-

dependents.

3.Si =3, =(1, 3, 3)

Perquè el vector sigui combinació lineal dels altrestres vectors, s’ha de complir la igualtat següent:

a(3, 2, 5) +b(2, 4, 7) +c(1, 3, 3) =(2, 5, 5)

�x

�w

278

325

247

13

8270278

=+== ;

aib ==49

13

.

��uvab

uwab

=+=

=++=

0310

03220

;

;

�w �v �u

xn

ni

ynn

=++

=+

=++

=+

=

415

51

12315

5

1515

53

()

()++3n

xyz =+

=+

=4

5

123

5,,

rangArangA. == 23

= A

121

055

000

4

12

4

rangArangA. ==2

= A

121

053

000

4

12

0

Obtenim, aleshores, el sistema d’equacions:

Resolem el sistema i obtenim:

Aleshores,

4.Si els tres vectors formen una base, han de ser lineal-ment independents

per tant, formen una base

ortogonal.

Per a expressar el vector en la base, s’ha de complirla igualtat

a(1, 1, 1) +b(1, 1, 1) +c(1, 1, 1) =(2, 4, 2)

Obtenim , aleshores, el sistema d’equacions:

Resolem el sistema i trobem: a =0; b =1 i c =3.

Per tant,

5.Operem component a component:

a)=3(3, 1,2)+2(1,2, 5)(3,1, 4)=

=(9,3, 6)+(2, 4,10)(3,1, 4)=(4,0, 12)

b)

c)

1=

228520

4520

85020

9720

120

58 +++= ,,,,

220

35

15

25

174

14

104

,,,, =+=

35

15

25

14

1711 ,,(,, =00)=

,,((,,)(, =35

15

25

14

2410155520 ,))=

�z=15

31214

21255314 (,,)((,,)(,,)))=

212

832

=,,

1 =2232

34318152

4 +++++= ,,

=(112483

23

152

314 ,,),,(,,) ++=

�y=++= 431232

125314 (,,)(,,)(,,)

�x

�� xvw =+3

++=

+=

+=

abc

abc

abc

2

4

2

=

111

111

111

40

�� xuvw =+1151

751

8351

abc ===1151

751

8351

;;

322

2435

5735

abc

abc

abc

++=

+=

++=

C M

Y K

258


d)

6.

El punt M té les coordenades (x, y, z)

Si , aleshores

(x3, y2, z1) =(5, 3, 1)

Igualant components, obtenim que x =1; y =; z =.

7.Sigui el punt M de coordenades (x, y, z). Imposant lacondició de l’enunciat, obtenim la igualtat

3(x2, y+1, z2) +2(x2, y2, z1) =0

Igualant components, obtenim x =2; y =; z =.

8.Sigui M =(x, y, z) i N=(x, y, z). La condició de l’e-nunciat s’expressa matemàticament de la manera se-güent:

Obtenim les igualtats següents:

(x1, y2, z1) =(2, 4, 3)

(x1, y2, z1)=(2, 4, 3)

Igualant components tenim:

x =; y =; z =2; x=; y=; z=3.

9.Siguin les coordenades de A=(x, y, z). Si Aés simè-tric de A respecte de H, aleshores es compleix que:

, per la qual cosa tenim la igualtat

(x5, y3, z2) =(3, 4, 3).

Obtenim x =; y =5; z =.

El punt

10.Tenim la igualtat

m(1, 0, 2) +n(1, 2, 4) =(3, 42).

= A72

572

,,.

72

72

12

AAAH =�� 1

2

143

73

103

53

23

13

ANAB��

=23

AMAB��

=13

85

15

75

45

25

AMAB��

=25

AMxyz��

=(,,) 321

AB��

=(,,) 531

8113

43

73

283

43

353

1 =+= ,,,,,8

,,,, =2423

143

113

73

433

=

211

323

,, =+++ (,,),,(, 31423

43

103

31,,)= 2

�a=+ 213

31231423

1 (,,)(,,)(,225312 ,)(,,)=Obtenim el sistema

Resolem el sistema i obtenim m =5 i n =2.

11.Apliquem la fórmula del producte escalar:

a)(1, 3, 5)(2, 7, 3) =(1)2 +37 +5(3) =4

b)(2, 3, 2)(6, 1, 3) =62 +13 +32 =21

c)(3, 0, 6)(8, 2, 6) =(3)8 +02 +66 =12

12.Escrivim els vectors que defineixen els costats del trian-gle.

Apliquem l’expressió que permet obtenir el cosinus del’angle entre dos vectors.

13.El vector que busquem té com a components. Imposarem que el producte escalar dels

vectors sigui nul.

a)

En efectuar el producte escalar obtenim l’e-quació x +6z =0.

En què x =6z; per tant, qualsevol vector ambl’expressió (6z, y, z) és perpendicular a .

b)

En efectuar el producte escalar obtenim l’e-quació 3x +4y =0.

En què y =. Per tant, qualsevol vector amb l’ex-

pressió (x, , z) és perpendicular a .

14.El vector , si és perpendicular a , verifica

. Aquesta condició dóna l’equació x +2z =0.

Si el mòdul del vector és 3, l’equació resultant és

Si l’angle que forma amb és de 45º, de l’expressiódel cosinus d’un angle entre dos vectors, n’obteniml’equació x +2y =7,64.

�u

xyz222

3 ++=

�� wv=0

�v �wxyz =(,,)

�v 34x

34x

�� vx

�v=(,,) 340

�u

�� ux

�u=(,,) 106

�xxyz =(,,)

==°

=

cos,

c

110597

ABAC

ABAC

��

��

oos,

cos

=°

=

12767

ABBC

ABBC

��

��

114636

BCAC

BCAC

��

��=° ,

ABACi

BC

��

��==

=

(,,);(,,)

(,

155421

574 ,)

mn

n

mn

=

=

+=

3

24

242

258

Pro

post

es d

’ava

luac

iód)

6.

El punt M té les coordenades (x, y, z)

Si , aleshores

(x 3, y 2, z 1) = ( 5, 3, 1)

Igualant components, obtenim que x = 1; y = ; z = .

7. Sigui el punt M de coordenades (x, y, z). Imposant lacondició de l’enunciat, obtenim la igualtat

3(x 2, y+1, z 2) + 2(x 2, y 2, z 1) = 0

Igualant components, obtenim x = 2; y = ; z = .

8. Sigui M = (x, y, z) i N = (x , y , z ). La condició de l’e-nunciat s’expressa matemàticament de la manera se-güent:

Obtenim les igualtats següents:

(x 1, y 2, z 1) = (2, 4, 3)

(x 1, y 2, z 1)= (2, 4, 3)

Igualant components tenim:

x = ; y = ; z = 2; x = ; y = ; z = 3.

9. Siguin les coordenades de A = (x, y, z). Si A és simè-tric de A respecte de H, aleshores es compleix que:

, per la qual cosa tenim la igualtat

(x 5, y 3, z 2) = ( 3, 4, 3).

Obtenim x = ; y = 5; z = .

El punt

10. Tenim la igualtat

m(1, 0, 2) + n( 1, 2, 4) = (3, 4 2).

=A72

572

, , .

72

72

12

AA AH=� �� 1

2

143

73

103

53

23

13

AN AB� ��

=23

AM AB� ��

=13

85

15

75

45

25

AM AB� ��

=25

AM x y z� ��

= ( , , )3 2 1

AB� ��

= ( , , )5 3 1

8113

43

73

283

43

353

1= + =, , , ,, 8

, , , ,= 2 423

143

113

73

433

=

2 11

323

, ,= ++ +( , , ) , , ( ,3 1 423

43

103

3 1,, ) =2

�a = +2

13

3 1 2 3 1 423

1( , , ) ( , , ) ( , 22 5 3 1 2, ) ( , , ) =Obtenim el sistema

Resolem el sistema i obtenim m = 5 i n = 2.

11. Apliquem la fórmula del producte escalar:

a) ( 1, 3, 5) (2, 7, 3) = ( 1) 2 + 3 7 + 5( 3) = 4

b) (2, 3, 2) (6, 1, 3) = 6 2 + 1 3 + 3 2 = 21

c) ( 3, 0, 6) (8, 2, 6) = ( 3) 8 + 0 2 + 6 6 = 12

12. Escrivim els vectors que defineixen els costats del trian-gle.

Apliquem l’expressió que permet obtenir el cosinus del’angle entre dos vectors.

13. El vector que busquem té com a components. Imposarem que el producte escalar dels

vectors sigui nul.

a)

En efectuar el producte escalar obtenim l’e-quació x + 6 z = 0.

En què x = 6 z; per tant, qualsevol vector ambl’expressió ( 6 z, y, z) és perpendicular a .

b)

En efectuar el producte escalar obtenim l’e-quació 3 x + 4 y = 0.

En què y = . Per tant, qualsevol vector amb l’ex-

pressió (x, , z) és perpendicular a .

14. El vector , si és perpendicular a , verifica

. Aquesta condició dóna l’equació x + 2z = 0.

Si el mòdul del vector és 3, l’equació resultant és

Si l’angle que forma amb és de 45º, de l’expressiódel cosinus d’un angle entre dos vectors, n’obteniml’equació x + 2 y = 7,64.

�u

x y z2 2 2 3+ + =

� �w v = 0

�v�w x y z= ( , , )

�v34x

34x

� �v x

�v = ( , , )3 4 0

�u

� �u x

�u = ( , , )1 0 6

�x x y z= ( , , )

= = °

=

cos ,

c

1 105 97AB AC

AB AC

� ��

� ��

oos ,

cos

= °

=

1 27 67AB BC

AB BC

� ��

� ��

11 46 36BC AC

BC AC

� ��

� �� = °,

AB AC i

BC

� ��

� ��= =

=

( , , ); ( , , )

( ,

1 5 5 4 2 1

5 7 4, )

m n

n

m n

=

=

+ =

3

2 4

2 4 2

CM

YK

259


Si resolem el sistema de les tres equacions obtenim dosvectors:

15. Per tal de trobar els productes vectorials, calcularemels determinants.

a)

b)

c)

d)

16. Per tal de trobar un vector perpendicular als dos queens dóna l’enunciat, calculem el producte vectorialdels dos vectors.

17. Per tal de trobar el volum, calculem el producte mixtdels tres vectors.

18. El volum del paral·lelepípede determinat per tres vec-tors coincideix amb el valor absolut del seu productemixt

Així doncs,

19. Sabem que si tres vectors són linealment dependents,el valor del producte mixt dels tres és 0. Per saber si elsgrups següents són linealment dependents, calculemel producte mixt.

a) (1, 0, 2), (3, 2, 5) i ( 2, 4, 3)

Els vectors són linealment independents.

b) ( 3, 2, 5), (0, 3, 1) i (4, 1, 2)

1 0 2

3 2 5

2 4 3

6 0=

6 70 17536

6 70 17876

m m

m m

= =

= =

[ , , ]� � �u v w m m= = =

1 2 3

5 1

4 2 0

6 7 17

[ , , ]� � �u v w u= =

1 2 0

3 2 5

1 1 2

11 3

� �v u× = ( , , )14 22 4

� � �u v w× × =( ) ( , , )21 130 22

� �v w× = ( , , )30 4 5

� �u w× = ( , , )22 0 11

� �v u× = ( , , )16 8 10

� �a b

i j k

a a a

b b b

× = 1 2 3

1 2 3

� �w i w1 20 6 2 95 0 3 3 2 0 41 1= =( , , , , , ) ( , , , , ,, )6


20. Calculem el producte mixt i igualem el resultata 0:

Per a m = 1 els vectors són linealment dependents. Larelació de dependència entre aquests és que els tressón el mateix vector ( 1, 1, 1).

Per a m 1 els vectors són linealment indepen-dents.

21. D’acord amb el procediment estàndard per a de-terminar la dependència o independència lineald’un conjunt de vectors, considerem l’equació vecto-rial:

Substituint els vectors per les seves components i ope-rant:

(0, 0, 0) = a (1, 2, 1) + b (2, 1, 2) + c (1, 1, 1) =

= (a, 2 a, a) + (2 b, b, 2 b) + (c, c, c) =

= (a + 2b + c, 2a + b c, a + 2b + c)

Igualant component a component:

Com que hi ha solucions no trivials, concloem queels vectors , , són linealment dependents.

Considerant la solució particular corresponent a = 1,obtenim:

Hem expressat com a combinació lineal de i .

UNITAT 6. GEOMETRIA AFÍ

1. a) L’equació paramètrica és:

L’equació contínua és

b) Per tal de trobar punts d’una recta, només hemde donar valors al paràmetre . Proporcionant elsvalors 1,2 i 3 obtenim els punts B = (4, 2, 2),C = (5, 6, 5) i D = (6, 22, 17).

x y z=

+=

31

24

13

r

x

y

z

=

= +

= +

=

3

2 4

1 3

�w�v�u

1 1 1 0� � � � � � �u v w u v w+ + = =( )

�w�v�u

0 2

0 2

0 2

= + +

= +

= + +

=

=

=

a b c

a b c

a b c

a

b

c

a u b v c w� � � �+ + = 0

= + =

1

1

1

2 3 1 03 2

m m

m m

m m

m m

=

3 2 5

0 3 1

4 1 2

53 0

259

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

Si resolem el sistema de les tres equacions obtenim dosvectors:

15.Per tal de trobar els productes vectorials, calcularemels determinants.

a)

b)

c)

d)

16.Per tal de trobar un vector perpendicular als dos queens dóna l’enunciat, calculem el producte vectorialdels dos vectors.

17.Per tal de trobar el volum, calculem el producte mixtdels tres vectors.

18.El volum del paral·lelepípede determinat per tres vec-tors coincideix amb el valor absolut del seu productemixt

Així doncs,

19.Sabem que si tres vectors són linealment dependents,el valor del producte mixt dels tres és 0. Per saber si elsgrups següents són linealment dependents, calculemel producte mixt.

a)(1, 0, 2), (3, 2, 5) i (2, 4, 3)


b)(3, 2, 5), (0, 3, 1) i (4, 1, 2)

102

325

243

60 =

67017536

67017876

mm

mm

==

==

[,,] �� uvwmm ===

123

51

420

6717

[,,] �� uvwu ==

120

325

112

113

�� vu ×=(,,) 14224

�� uvw ××= ()(,,) 2113022

�� vw ×=(,,) 3045

�� uw ×=(,,) 22011

�� vu ×=(,,) 16810

��ab

ijk

aaa

bbb

×=123

123

�� wiw 12 0629503320411 == (,,,,,)(,,,,,,)6


20.Calculem el producte mixt i igualem el resultata 0:

Per a m =1 els vectors són linealment dependents. Larelació de dependència entre aquests és que els tressón el mateix vector (1, 1, 1).

Per a m1 els vectors són linealment indepen-dents.

21.D’acord amb el procediment estàndard per a de-terminar la dependència o independència lineald’un conjunt de vectors, considerem l’equació vecto-rial:

Substituint els vectors per les seves components i ope-rant:

(0, 0, 0) =a(1, 2, 1) +b(2, 1, 2) +c(1, 1, 1) =

=(a, 2a, a) +(2b, b, 2b) +(c, c, c)=

=(a +2b +c, 2a +b c, a +2b +c)

Igualant component a component:

Com que hi ha solucions no trivials, concloem queels vectors , , són linealment dependents.

Considerant la solució particular corresponent a =1,obtenim:

Hem expressat com a combinació lineal de i .

UNITAT 6. GEOMETRIA AFÍ

1.a)L’equació paramètrica és:

L’equació contínua és

b)Per tal de trobar punts d’una recta, només hemde donar valors al paràmetre . Proporcionant elsvalors 1,2 i 3 obtenim els punts B =(4, 2, 2),C =(5, 6, 5) i D =(6, 22, 17).

xyz=

+=

31

24

13

r

x

y

z

=

=+

=+

=

3

24

13

�w �v �u

1110 �� uvwuvw ++== ()

�w �v �u

02

02

02

=++

=+

=++

=

=

=

abc

abc

abc

a

b

c

aubvcw ��++=0

=+=

1

1

1

231032

mm

mm

mm

mm

=

325

031

412

530

C M

Y K

260


2.Per a trobar una recta necessitem un punt, que pot serel punt A, i un vector director que el determinen A iB, . Les equacions que determinenaquesta recta r són:

(x, y, z) =(3, 5, 7) +(2, 5, 5)

3.a)Determinem els vectors

Calculem el determinant

L’equació del pla resultant és

: 10x 10y +30 =0

b)Tenim el punt A i el vector director de la recta, ensfalta un vector que podem determinar amb el puntA i el punt de la recta (3, 1, 0).

Utilitzant el mètode de l’apartat anterior obteniml’equació del pla : 2x 3y +z +3 =0.

c)L’equació cartesiana del pla és 1x0+7y0+

+0z0+d =0. Imposem les coordenades del puntA i obtenim l’equació 14 +7(1) +02 +d ==0, d’on obtenim d =3.

Per tant, : x +7y +3 =0.

d)El pla XZ té com a vectors directors (1,0,0) i(0, 0, 1) i sabem que el pla passa pel puntO =(0, 0, 0). Utilitzem el procediment de l’apar-tat a)i obtenim que el pla que busquem és

: y =0.

4.a)Els vectors directors de les rectes són linealment

ment independents ja que . Escollim

un punt A de r i un punt Ade s i determinem si

son linealment dependents o inde-pendents

I calculem el determinant dels tres vectors

=

110

313

246

420

AAAA === (,,)(,,)(,, 02401203��

)6

{,,} �� vvAA

11

31

24

x

y

z

=

151

211

3111

0

ABiAC��

== (,,)(,,) 5111111

5250

5210

xy

xz

=

+=

xyz==

+ 32

55

75

x

y

z

=

=

=+

32

55

75

AB��

=(,,) 255

Com que el rang les rectes s’en-creuen.

b)Considerem les matrius

Calculem el rang de les matrius mitjançant els deter-minants i . Com que rang (M) ==rang (M)=3 les rectes es tallen, és a dir, són secants.

Per tal de trobar el punt de tall, resolem el sistema d’equacions i obtenim que el punt de tall és

5.Comprovem si els vectors directors són linealment de-pendents.

•Per a m =2, els vectors són linealment dependents,de manera que les rectes o són paral·leles o coin-cideixen.Escollim el punt A =(1, 9, 4) de r i esbrinem si per-tany a s, substituint les coordenades del punt enl’equació de la recta s:

Com que el punt de r no pertany a s, les rectes r is per a m =2 són paral·leles.

•Per a m 2 els vectors són linealment inde-

pendents i el rangen què

.Per tant, les rectes es tallaran.

6.Comprovem si els vectors normals dels plans són li-nealment independents:

Podem veure que els vectors són linealment indepen-dents, de manera que els plans són secants, és a dir, estallen.

7.Les matrius associades són

En calculem el rang mitjançant determinants. Podemveure que rang (M) =rang (M) =3, per la qual cosaels plans es tallen.

MiM ==

110

351

111

110

351

111

1

4

4

11

11

21

AA=��

(,,) 442

{,,} �� vvAA=2

132

954

421

+=

22

62

11

=+

=mm

P=32

032

,,.

= M0 M=2

MiM ==

111

210

121

121

111

210

1221

121

0

3

0

3

{,,} �� vvAA=3

260

Pro

post

es d

’ava

luac

ió2. Per a trobar una recta necessitem un punt, que pot ser

el punt A, i un vector director que el determinen A iB, . Les equacions que determinenaquesta recta r són:

(x, y, z) = (3, 5, 7) + ( 2, 5, 5)

3. a) Determinem els vectors

Calculem el determinant

L’equació del pla resultant és

: 10 x 10 y + 30 = 0

b) Tenim el punt A i el vector director de la recta, ensfalta un vector que podem determinar amb el puntA i el punt de la recta (3, 1, 0).

Utilitzant el mètode de l’apartat anterior obteniml’equació del pla : 2x 3y + z + 3 = 0.

c) L’equació cartesiana del pla és 1 x0 + 7 y0 +

+ 0 z0 + d = 0. Imposem les coordenades del puntA i obtenim l’equació 1 4 + 7 ( 1) + 0 2 + d == 0, d’on obtenim d = 3.

Per tant, : x + 7 y + 3 = 0.

d) El pla XZ té com a vectors directors (1,0,0) i(0, 0, 1) i sabem que el pla passa pel puntO = (0, 0, 0). Utilitzem el procediment de l’apar-tat a) i obtenim que el pla que busquem és

: y = 0.

4. a) Els vectors directors de les rectes són linealment

ment independents ja que . Escollim

un punt A de r i un punt A de s i determinem si

son linealment dependents o inde-pendents

I calculem el determinant dels tres vectors

=

1 1 0

3 1 3

2 4 6

42 0

A A AA= = =( , , ) ( , , ) ( , ,0 2 4 0 1 2 0 3� ��

)6

{ , , }� �� v v AA

11

31

24

x

y

z

=

1 5 1

2 1 1

3 1 11

0

AB i AC� ��

= =( , , ) ( , , )5 1 1 1 1 11

5 2 5 0

5 2 1 0

x y

x z

=

+ =

x y z= =

+32

55

75

x

y

z

=

=

= +

3 2

5 5

7 5

AB� ��

= ( , , )2 5 5

Com que el rang les rectes s’en-creuen.

b) Considerem les matrius

Calculem el rang de les matrius mitjançant els deter-minants i . Com que rang (M) == rang (M) = 3 les rectes es tallen, és a dir, són secants.

Per tal de trobar el punt de tall, resolem el sistema d’equacions i obtenim que el punt de tall és

5. Comprovem si els vectors directors són linealment de-pendents.

• Per a m = 2, els vectors són linealment dependents,de manera que les rectes o són paral·leles o coin-cideixen.Escollim el punt A = (1, 9, 4) de r i esbrinem si per-tany a s, substituint les coordenades del punt enl’equació de la recta s:

Com que el punt de r no pertany a s, les rectes r is per a m = 2 són paral·leles.

• Per a m 2 els vectors són linealment inde-

pendents i el rang en què

. Per tant, les rectes es tallaran.

6. Comprovem si els vectors normals dels plans són li-nealment independents:

Podem veure que els vectors són linealment indepen-dents, de manera que els plans són secants, és a dir, estallen.

7. Les matrius associades són

En calculem el rang mitjançant determinants. Podemveure que rang (M) = rang (M ) = 3, per la qual cosaels plans es tallen.

M i M= =

1 1 0

3 5 1

1 1 1

1 1 0

3 5 1

1 1 1

1

4

4

11

11

21

AA =� ��

( , , )4 4 2

{ , , }� �� v v AA = 2

1 32

9 54

4 21

+=

22

62

11

=+

=mm

P =32

032

, , .

=M 0M = 2

M i M= =

1 1 1

2 1 0

1 2 1

1 2 1

1 1 1

2 1 0

1 22 1

1 2 1

0

3

0

3

{ , , }� �� v v AA = 3

CM

YK

261


8. Escrivim l’expressión implícita de la recta r.

Estudiarem els rangs de les matrius M de coeficients il’ampliada M associades als tres plans.

a)

El rang(M) = rang(M ) = 3; per tant, la recta i elpla es tallen.

b)

El rang(M) = rang(M ) = 3; per tant, la recta i elpla es tallen.

c)

El rang(M) = rang(M ) = 2; per tant, la recta estàcontinguda en el pla.

9. Per tal que recta i pla siguin paral·lels s’ha de com-plir que rang(M) = 2 i rang(M ) = 3. Escrivim la matriuM i la matriu ampliada M associada al sistema

Calculem el determinant de la matriu de coeficients

Com que m + 3 = 0 m = 3 tenim que per aquest va-lor de m rang(M) = 2 i rang(M ) = 3, per tant la rectai el pla són paral·lels.

10. A partir de l’equació contínua de la recta:

es poden obtenir les equacions implícites:

Si el pla i la recta són paral·lels, el sistema format perles seves equacions serà incompatible. Perquè això pas-si es requereix que rang (M) < 3 (M matriu de coefi-cients), la qual cosa implica que det(M) = 0. Vegem elsvalors de m que anul·len det(M):

x y

xmz

x y

x mz

x y

x

= +

=

= +

=

=1

113

1

3 11

1

3 ++ =mz 11

x ymz

= + =111

3

M

m

m= = +

1 0 0

0 1 1

1 3

3

M

m

M

m

= =

1 0 0

0 1 1

1 3

1 0 0

0 1 1

1 3

2

1

2

M M= =

1 1 0

2 0 1

1 1 1

1 1 0

2 0 1

1 1 1

2

2

4

M M= =

1 1 0

2 0 1

3 5 1

1 1 0

2 0 1

3 5 1

2

2

4

M M= =

1 1 0

2 0 1

1 1 0

1 1 0

2 0 1

1 1 0

2

2

1

rx y

x z:

+ =

+ =

2 0

2 2 0

Per a aquest valor de m podria ocórrer que la recta per-tanyi al pla. Per veure-ho, prenem un punt qualsevolde la recta. Observant l’equació contínua (amb m = 1),prenem, per exemple, (0, 1, 11).

Substituint en 2 x + y + z = 9, comprovem que no per-tany al pla: 2 0 + ( 1) + 11 9

Per tant, perquè la recta sigui paral·lela, es requereixque m = 1; en els altres casos, la recta s’intersecarà alpla.

Per a m = 2 resolem per Cramer el sistema se-güent:

2 x + y + z = 9

x y = 1

3 x + 2 z = 11

Per tant, quan m = 2 la recta talla el pla en el punt(3, 2, 1).

11. Perquè els plans tinguin una recta comuna, es reque-reix que el sistema que formen sigui compatible i in-determinat. Vegem els valors de m que anul·len el de-terminant:

El sistema serà compatible i determinat (S.C.D.) per am 0,5; 2. Hem de veure a quin valor de m ( 0,5 o2) correspon un sistema compatible indeterminat(S.C.I.).

Per a m = 2:

3 4 11

0 3 1

0 0 0

4

5

0+

( )F F

F F F2 1

3 2 12

3 4 1

3 1 0

3 7 2

4

1

9

M

m

m m m

m

=

+

= =

=± +

=

0

1 4 1

3 1 0

3 7 2

2 3 2 0

3 9 164

2

0 5

2;

,

y z= = =

2 9 1

1 1 0

3 11 2

2 1 1

1 1 0

3 0 2

2

2 1 9

1 1 11

3 0 11

2 1 1

1 1 0

3 0 2

1=

x = =

9 1 1

1 1 0

11 0 2

2 1 1

1 1 0

3 0 2

3

2 1 1

1 1 0

3 0

2 3 0

3 3 0 1

= + =

+ = =

m

m m

m m

�

261

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

8.Escrivim l’expressión implícita de la recta r.

Estudiarem els rangs de les matrius M de coeficients il’ampliada Massociades als tres plans.

a)

El rang(M) =rang(M) =3; per tant, la recta i elpla es tallen.

b)

El rang(M) =rang(M) =3; per tant, la recta i elpla es tallen.

c)

El rang(M) =rang(M) =2; per tant, la recta estàcontinguda en el pla.

9.Per tal que recta i pla siguin paral·lels s’ha de com-plir que rang(M) =2 i rang(M) =3. Escrivim la matriuM i la matriu ampliada Massociada al sistema

Calculem el determinant de la matriu de coeficients

Com que m+3 =0 m=3 tenim que per aquest va-lor de m rang(M) =2 i rang(M) =3, per tant la rectai el pla són paral·lels.

10.A partir de l’equació contínua de la recta:

es poden obtenir les equacions implícites:

Si el pla i la recta són paral·lels, el sistema format perles seves equacions serà incompatible. Perquè això pas-si es requereix que rang (M) <3 (M matriu de coefi-cients), la qual cosa implica que det(M) =0. Vegem elsvalors de m que anul·len det(M):

xy

xmz

xy

xmz

xy

x

=+

=

=+

=

= 1

113

1

311

1

3++= mz11

xymz

=+= 111

3

M

m

m ==+

100

011

13

3

M

m

M

m

==

100

011

13

100

011

13

2

1

2

MM ==

110

201

111

110

201

111

2

2

4

MM ==

110

201

351

110

201

351

2

2

4

MM ==

110

201

110

110

201

110

2

2

1

rxy

xz:

+=

+=

20

220

Per a aquest valor de m podria ocórrer que la recta per-tanyi al pla. Per veure-ho, prenem un punt qualsevolde la recta. Observant l’equació contínua (amb m =1),prenem, per exemple, (0, 1, 11).

Substituint en 2 x +y +z =9, comprovem que no per-tany al pla: 2 0 +(1) +11 9

Per tant, perquè la recta sigui paral·lela, es requereixque m =1; en els altres casos, la recta s’intersecarà alpla.

Per a m =2 resolem per Cramer el sistema se-güent:

2 x +y +z =9

x y =1

3 x +2 z =11

Per tant, quan m =2 la recta talla el pla en el punt(3, 2, 1).

11.Perquè els plans tinguin una recta comuna, es reque-reix que el sistema que formen sigui compatible i in-determinat. Vegem els valors de m que anul·len el de-terminant:

El sistema serà compatible i determinat (S.C.D.) per am 0,5; 2. Hem de veure a quin valor de m (0,5 o2) correspon un sistema compatible indeterminat(S.C.I.).

Per a m =2:

3411

031

000

4

5

0+

() FF

FFF21

321 2

341

310

372

4

1

9

M

m

mmm

m

=

+

==

=±+

=

0

141

310

372

2320

39164

2

05

2;

,

yz ===

291

110

3112

211

110

302

2

219

1111

3011

211

110

302

1 =

x==

911

110

1102

211

110

302

3

211

110

30

230

3301

=+=

+==

m

mm

mm

�

C M

Y K

El vector director de la recta buscada ha de ser paral·lelal vector característic del pla, la qual cosa permet pren-dre com a vector director aquest mateix vector. Així,l’equació de la recta és:

(x, y, z) =(1, 3, 2) +(2, 1, 1)

14. a)L’equació del pla es pot trobar de dues maneresdiferents.La primera consisteix a trobar dos vectors gene-radors del pla. Com que ha de contenir la rectar, el seu vector director ésun delsvectors generadors. L’altra es pot calcular com a

, en què Qés un punt qualsevolde la recta r;per exemple, .

Així, i l’equació vectorial del pla és

,quedóna lloc a l’equació general y+2z+1 =0.

En la segona forma, prenem l’equació Ax +By+

+Cz+D=0 i fem que sigui verificada per tres delspunts del pla: P=(1, 1, 1), Q1=(2, 1, 0) iQ2=(3, 1, 1). Els dos últims estan extrets de larecta r. Q1es dedueix directament de l’equació iQ2s’obté sumant un cop el vector director

a Q1. El sistema d’equacions queens queda és:

que té com a solució A=0, B=D, C=2D. PrenentD=1, per exemple, obtenim l’equació buscada:y+2z+1 =0.

b)Les equacions paramètriques de la recta ssón:

Substituint en les equacions del pla anterior, te-nim:

Per tant, el punt de tall és M=(1 +2, 7 +4, 5 +6) =(3, 3, 1)

Una altra manera de calcular aquest punt és a par-tir de l’equació contínua de la recta s, quees potdescompondre en dues equacions implícites i re-soldre el sistema format per aquestes i l’equacióde l’apartat anterior.

c)L’equació contínua de la recta és:xyzxyz

==+

+==

+ 131

131

111

12

14

12

()()

.

++++=

==

7225310

81602

x

y

z

=+

=+

=+

1

72

53

ABCD

QBD

A

++=

+=

0

20

3+++= BCD0

vr��

=(,,) 121

(,,)(,,)(,,)(,,) xyz=++ 111121121

PQ��

== (,,)(,,)(,,) 210111121

Q=(,,) 210PQ��

vr��

=(,,) 121

Per a m =0,5:

En el primer cas:

rang(M) =2 =rang (M) S.C.I.

En el segon:

rang(M) =2 3 =rang(M) S.I.

Els plans tindran una recta comuna per a m =2.

12.Siguinun vector director de r iun de s, tals queisiguin linealment independents; aleshores, el

pla per (1, 2, 3) paral·lel a r i s és :[(1, 2, 3);, ].Busquemi .

De l’equació de la recta r es poden obtenir fàcilmentles equacions paramètriques:

D’on deduïm que=(1, 2, 1) és un vector directorde la recta r.

La forma contínua de l’equació de la recta s ens indicaque un dels seus vectors directors és=(4, 1, 1).

Observem queisón linealment independents;així doncs, calculem l’equació general del pla per (1, 2, 3) amb la direcció de (1, 2, 1) i (4, 1, 1):

Aleshores, es pot escriure ordenadament:

x +3 y 7 z +14 =0

El pla perpendicular a r que passa per (1, 2, 3) té pervector normal=(1, 2, 1), per la qual cosa la sevaequació serà de la forma x +2 y +z +A =0.

Calculem el valor de A imposant que (1, 2, 3) sigui delpla:

1 +2 2 +3 +A =0 A =8

Aleshores, l’equació del pla és:

x +2 y +z 8 =0

13.Si el punt (1, 3, a) és del pla, ha de complir la sevaequació:

2(1)3 +a+3 =0 a =2

�u

x

y

z

xyz

=

=+=

114

221

311

132730 ()()

�v �u

�v

�u

rxz

yz

x

y

z

:=

=

=+

=+

=+

1

21

1

12

0

�v �u

�v �u

�v �u

�v �u

182

05112

000

8

500

5

2

6

1023

1

21

312

F

FF

FFF +

() 0541

3150

372

4

1

9

,

,


262

�

El vector director de la recta buscada ha de ser paral·lelal vector característic del pla, la qual cosa permet pren-dre com a vector director aquest mateix vector. Així,l’equació de la recta és:

(x, y, z) = ( 1, 3, 2) + ( 2, 1, 1)

14. a) L’equació del pla es pot trobar de dues maneresdiferents.La primera consisteix a trobar dos vectors gene-radors del pla. Com que ha de contenir la rectar, el seu vector director és un delsvectors generadors. L’altra es pot calcular com a

, en què Q és un punt qualsevol de la recta r;per exemple, .

Així, i l’equació vectorial del pla és

, q u edóna lloc a l’equació general y + 2 z + 1 = 0.

En la segona forma, prenem l’equació Ax + By +

+ Cz + D = 0 i fem que sigui verificada per tres delspunts del pla: P = (1, 1, 1), Q1 = (2, 1, 0) iQ2 = (3, 1, 1). Els dos últims estan extrets de larecta r. Q1 es dedueix directament de l’equació iQ2 s’obté sumant un cop el vector director

a Q1. El sistema d’equacions queens queda és:

que té com a solució A = 0, B = D, C = 2D. PrenentD = 1, per exemple, obtenim l’equació buscada:y + 2 z + 1 = 0.

b) Les equacions paramètriques de la recta ssón:

Substituint en les equacions del pla anterior, te-nim:

Per tant, el punt de tall és M = (1 + 2, 7 + 4, 5 + 6) = (3, 3, 1)

Una altra manera de calcular aquest punt és a par-tir de l’equació contínua de la recta s, que es potdescompondre en dues equacions implícites i re-soldre el sistema format per aquestes i l’equacióde l’apartat anterior.

c) L’equació contínua de la recta és:x y z x y z

= =+

+= =

+13 1

13 1

11 1

12

14

12

( ) ( )

.

+ + + + =

= =

7 2 2 5 3 1 0

8 16 0 2

x

y

z

= +

= +

= +

1

7 2

5 3

A B C D

Q B D

A

+ + =

+ =

0

2 0

3 ++ + =B C D 0

vr��

= ( , , )1 2 1

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y z = + +1 1 1 1 2 1 1 2 1

PQ� ��

= =( , , ) ( , , ) ( , , )2 1 0 1 1 1 1 2 1

Q = ( , , )2 1 0PQ� ��

vr��

= ( , , )1 2 1

Per a m = 0,5:

En el primer cas:

rang(M) = 2 = rang (M ) S.C.I.

En el segon:

rang(M) = 2 3 = rang(M ) S.I.

Els plans tindran una recta comuna per a m = 2.

12. Siguin un vector director de r i un de s, tals quei siguin linealment independents; aleshores, el

pla per (1, 2, 3) paral·lel a r i s és : [(1, 2, 3); , ].Busquem i .

De l’equació de la recta r es poden obtenir fàcilmentles equacions paramètriques:

D’on deduïm que = (1, 2, 1) és un vector directorde la recta r.

La forma contínua de l’equació de la recta s ens indicaque un dels seus vectors directors és = (4, 1, 1).

Observem que i són linealment independents;així doncs, calculem l’equació general del pla per (1, 2, 3) amb la direcció de (1, 2, 1) i (4, 1, 1):

Aleshores, es pot escriure ordenadament:

x + 3 y 7 z + 14 = 0

El pla perpendicular a r que passa per (1, 2, 3) té pervector normal = (1, 2, 1), per la qual cosa la sevaequació serà de la forma x + 2 y + z + A = 0.

Calculem el valor de A imposant que (1, 2, 3) sigui delpla:

1 + 2 2 + 3 + A = 0 A = 8

Aleshores, l’equació del pla és:

x + 2 y + z 8 = 0

13. Si el punt ( 1, 3, a) és del pla, ha de complir la sevaequació:

2 ( 1) 3 + a + 3 = 0 a = 2

�u

x

y

z

x y z

=

= + =

1 1 4

2 2 1

3 1 1

1 3 2 7 3 0( ) ( )

�v�u

�v

�u

rx z

y z

x

y

z

:=

=

= +

= +

= +

1

2 1

1

1 2

0

�v�u

�v�u

�v�u

�v�u

1 8 2

0 51 12

0 0 0

8

500

5

2

6

1023

1

2 1

3 1 2

F

F F

F F F+

( )0 5 4 1

3 1 5 0

3 7 2

4

1

9

,

,

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

262

�

CM

YK

263


d) Per construcció, aquesta recta passa perP = (1, 1, 1) i talla s en M = (3, 3, 1). Per com-provar que també talla r, podem veure si el siste-ma format per les equacions contínues de lesrectes és compatible determinat.

Sumant la primera i la tercera equació tenim4 x = 8, és a dir, x = 2. D’aquí, a més,y = 1. De la segona equació, z = 0, valor quetambé compleix la quarta equació. Per tant, la rec-ta de l’apartat c) talla la recta r en el punt(2, 1, 0).Aquest apartat es pot raonar també sensebuscar el punt d’intersecció amb r. En efecte,la recta trobada en l’apartat c) passa per P i perM per construcció. Com que, a més, està contin-guda en el pla , que també conté la recta r, la in-tersecció entre les dues està assegurada, tret quefossin paral·leles, que no és, evidentment, el cas.

UNITAT 7. GEOMETRIA MÈTRICA

1. Trobem l’angle que formen mitjançant el producte es-calar dels vectors directors de les rectes.

2. Trobem l’angle que formen mitjançant el producte es-calar dels vectors normals als plans.

3. Si la recta i el pla són paral·lels, el vector director dela recta i el vector normal al pla han de ser perpendi-culars; per tant, el seu producte escalar ha de sernul.

Si imposem la condició, obtenim l’equació 3 m 3 + 4 = 0; per tant, m = .

4. La distància entre dos punts és el mòdul del vector quedeterminen.

5. Per tal de trobar la distància d’una recta a un pla, hemd’escollir un punt de la recta i calcular la distància d’a-quest al pla mitjançant la fórmula de la distància.

AB AB u� ��

= = + + =(– , , ); ( )1 5 2 1 5 2 302 2 2

13

d n mr

� �� = =( , , ); ( , , )3 1 2 3 2

��

� �

n

n

n n

=

=

=

( , , );

( , , )

arc cos

1 2 3

1 1 1

�� n n

= °107 97,

d d

dr s

r

� ��

� ��= =

=

( , , ); ( , , )1 2 3 2 2 1

arc cosdd

d ds

r s

��

� �� = °63 55,

x y z

x y z

x y

y=+

=

= =+

=21

12 1

12

14

12

2 5

++ =

+ =

=

2 1

2 3

2

z

x y

x z

a) Escollim el punt A = ( 1, 0, 3) de r

b) Escollim el punt B = (0, 3, 1) de s, i aplicant lafórmula:

6. a) Per tal de saber si el punt pertany al pla, substi-tuïm les coordenades del punt en l’equació delpla. Si es verifica l’equació, el punt pertany alpla.

2 1 + 4 1 + 5 2 1 0. Per tant, el punt no per-tany al pla.

b) Aplicant la fórmula de la distància:

c) Si la recta és perpendicular al pla, aleshores és pa-ral·lela al vector normal al pla. Per tant, el vectordirector de la recta és el vector normal al pla.

r : (x, y, z) = (2, 4, 5) + (1, 1, 2)

7. a) Observem que . Com que els vectors sónproporcionals, les rectes poden ser paral·leles ocoincidents. Per comprovar-ho, hem de mirar sialgun punt de r pertany a s.

Podem veure que el punt P = (1, 0, 1) de r nopertany a s. Per tant, les rectes són paral·leles.

b) Escollim el punt A = (0, 1, 0) de s. Calculem elvector

8. Per tal de trobar la distància entre dos plans hem detenir en compte la seva posició relativa

a) Els plans 1 i 2 es tallen en

una recta d ( 1, 2) = 0

b) Els plans 1 i 2 es tallen en

una recta d ( 1, 2) = 0

9. Trobem, efectuant el producte vectorial, un vector per-pendicular als vectors directors de les rectes.

31

21

11

01

21

13

31

88

AP

d r sAP d

d

s

s

� ��

� ��

��

=

=×

=

( , , )

( , )

1 1 1

73

== 1 53, u

d dr s

� �� = 2

d( , )A u=15 6

6

d( , )B u=2 3

3

d( , )( )

( ) ( )A =

+

+ +=

=

1 1 0 2 3 3 1

1 2 3

9

14

2 2 2

uu u=8114

263

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

d)Per construcció, aquesta recta passa perP =(1, 1, 1)i talla s en M =(3, 3, 1). Per com-provar que també talla r, podem veure si el siste-ma format per les equacions contínues de lesrectes és compatible determinat.

Sumant la primera i la tercera equació tenim4x =8, és a dir, x =2. D’aquí, a més,y=1. De la segona equació, z=0, valor quetambé compleix la quarta equació. Per tant, la rec-ta de l’apartat c)talla la recta r en el punt(2,1,0).Aquest apartat es pot raonar també sensebuscar el punt d’intersecció amb r. En efecte,la recta trobada en l’apartat c)passa per Pi perMper construcció. Com que, a més, està contin-guda en el pla , que també conté la recta r, la in-tersecció entre les dues està assegurada, tret quefossin paral·leles, que no és, evidentment, el cas.

UNITAT 7. GEOMETRIA MÈTRICA

1.Trobem l’angle que formen mitjançant el producte es-calar dels vectors directors de les rectes.

2.Trobem l’angle que formen mitjançant el producte es-calar dels vectors normals als plans.

3.Si la recta i el pla són paral·lels, el vector director dela recta i el vector normal al pla han de ser perpendi-culars; per tant, el seu producte escalar ha de sernul.

Si imposem la condició, obtenim l’equació 3m 3 +4 =0; per tant, m =.

4.La distància entre dos punts és el mòdul del vector quedeterminen.

5.Per tal de trobar la distància d’una recta a un pla, hemd’escollir un punt de la recta i calcular la distànciad’a-quest al pla mitjançant la fórmula de la distància.

ABABu��

==++= (–,,);() 15215230222

13

dnm r

��== (,,);(,,) 31232

��

��

n

n

nn

=

=

=

(,,);

(,,)

arccos

123

111

�� nn=° 10797 ,

dd

drs

r

��

��==

=

(,,);(,,) 123221

arccosdd

dds

rs

��

��=° 6355 ,

xyz

xyz

xy

y=

+=

==+

= 21

121

12

14

12

25

++=

+=

=

21

23

2

z

xy

xz

a)Escollim el punt A=(1, 0, 3) de r

b)Escollim el punt B=(0, 3, 1) de s, i aplicant lafórmula:

6.a)Per tal de saber si el punt pertany al pla, substi-tuïm les coordenades del punt en l’equació delpla. Si es verifica l’equació, el punt pertany alpla.

21 +41 +52 1 0. Per tant, el punt no per-tany al pla.

b)Aplicant la fórmula de la distància:

c)Si la recta és perpendicular al pla, aleshores és pa-ral·lela al vector normal al pla. Per tant, el vectordirector de la recta és el vector normal al pla.

r: (x, y, z) =(2, 4, 5) +(1, 1, 2)

7.a)Observem que . Com que els vectors sónproporcionals, les rectes poden ser paral·leles ocoincidents. Per comprovar-ho, hem de mirar sialgun punt de r pertany a s.

Podem veure que el punt P =(1, 0, 1) de r nopertany a s. Per tant, les rectes són paral·leles.

b)Escollim el punt A =(0, 1, 0) de s. Calculem elvector

8.Per tal de trobar la distància entre dos plans hem detenir en compte la seva posició relativa

a)Els plans 1i 2es tallen en

una rectad (1, 2)=0

b)Els plans 1i 2es tallen en

una rectad (1, 2)=0

9.Trobem, efectuant el producte vectorial, un vector per-pendicular als vectors directors de les rectes.

31

21

11

01

21

13

31

88

AP

drsAPd

d

s

s

��

��

��

=

=×

=

(,,)

(,)

111

73

==153 ,u

dd rs

��=2

d(,) Au =156

6

d(,) Bu =23

3

d(,)()

()()A=

+

++=

=

1102331

123

9

14

222

uuu =8114

C M

Y K

264


Trobem l’equació del pla que conté r i .

Trobem l’equació del pla que conté s i .

: 13x +10y +19z +3 =0

La recta perpendicular a r i a s és:

10.Perquè la distància d’un pla a sigui no nul·la, aquestpla ha de ser paral·lel a . Així, els plans que disten unitats de es troben entre els del feix de plans pa-ral·lels a , l’equació dels quals és:

K: x +2y z +K =0

Calculem la distància d’un pla qualsevol del feixa :

Perquè aquesta distància sigui igual a :

Els plans la distància a dels quals és són dos:

1: x +2y z 5 =0 , 2: x +2y z +7 =0

—Aquests dos plans, 1i 2, són paral·lels entre ells,ja que tots dos són paral·lels a .

11.Calculem, en primer lloc, la distància del punt P =(20, 6, 0) a la recta donada en l’enunciat, r; per fer-ho, considerem un punt A d’aquesta recta i el vector

.De l’equació contínua prenem A =(6, 0, 2); d’on:

=(20 6, 6 0, 0 2) =(14, 6 2)

I, com que=(2, 2, 3) és un vector director, tenim:�v

AP��

AP��

6

==

==

165

167

KK

o

KK

61

661 === d

KK (,)

6

dKK

(,)()

=++

=1

121

1

6 222

6

txz

xyz:

:

:

+=

+++=

18980

13101930

xyz

=

224

122

254

0

�p

+= :18980 xz

xyz

=

224

122

254

0

�p

��pdd rs =×=(,,) 254

Aquesta distància ha de coincidir amb la distància de P =(20, 6, 0) al pla 5x +y 4 z =m:

Els valors de m que satisfan la condició del problemasón m =190 i m =22.

12.Representem la situació exposada en l’enunciat en lafigura següent:

En observar la figura, advertim la necessitat de calcu-lar el punt Q, intersecció del pla amb la seva per-pendicular per P. Calcularem, en primer lloc, laperpendicular al pla : x +3 y +z =5 per P =(0, 2, 0):

A continuació, trobem el punt Q, per la qual cosa hemde resoldre el sistema que formen les equacions de larecta r i el pla : x +3y +z =5. Per fer-ho, utilitza-rem el mètode de Cramer:

===

101

320

151

101

310

131

1

100

312

yz1135

101

310

131

1 =

xz

xy

xyz

x

=

=

++=

=

0

32

35

001

210

531

101

3

=

10

131

1

r:xy

zxz

xy=

+=

=

=

23

0

32

v = (1, −1, 0)

r

Q�

Pʹ

P

2425201640

514

106

42

8410

222 =+

++=±

=±

mm

(6610684190

22=±= mm )

dPrvAP

v(,)

(,,)(,,)=

×=

×

++

��

�2231462

2222

33

224616

17242

2=

==(,,)

264

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

Trobem l’equació del pla que conté r i .

Trobem l’equació del pla que conté s i .

: 13 x + 10 y + 19 z + 3 = 0

La recta perpendicular a r i a s és:

10. Perquè la distància d’un pla a sigui no nul·la, aquestpla ha de ser paral·lel a . Així, els plans que disten unitats de es troben entre els del feix de plans pa-ral·lels a , l’equació dels quals és:

K: x + 2 y z + K = 0

Calculem la distància d’un pla qualsevol del feixa :

Perquè aquesta distància sigui igual a :

Els plans la distància a dels quals és són dos:

1: x + 2 y z 5 = 0 , 2: x + 2 y z + 7 = 0

— Aquests dos plans, 1 i 2, són paral·lels entre ells,ja que tots dos són paral·lels a .

11. Calculem, en primer lloc, la distància del punt P = (20, 6, 0) a la recta donada en l’enunciat, r; per fer-ho, considerem un punt A d’aquesta recta i el vector

.De l’equació contínua prenem A = (6, 0, 2); d’on:

= (20 6, 6 0, 0 2) = (14, 6 2)

I, com que = (2, 2, 3) és un vector director, tenim:�v

AP� ��

AP� ��

6

= =

= =

1 6 5

1 6 7

K K

o

K K

61

66 1= = =d

KK( , )

6

dK K

( , )( )

=+ +

=1

1 2 1

1

62 2 2

6

tx z

x y z:

:

:

+ =

+ + + =

18 9 8 0

13 10 19 3 0

x y z

=

2 2 4

1 2 2

2 5 4

0

�p

+ =: 18 9 8 0x z

x y z

=

2 2 4

1 2 2

2 5 4

0

�p

� � �� p d dr s= × = ( , , )2 5 4

Aquesta distància ha de coincidir amb la distància de P = (20, 6, 0) al pla 5 x + y 4 z = m:

Els valors de m que satisfan la condició del problemasón m = 190 i m = 22.

12. Representem la situació exposada en l’enunciat en lafigura següent:

En observar la figura, advertim la necessitat de calcu-lar el punt Q, intersecció del pla amb la seva per-pendicular per P. Calcularem, en primer lloc, laperpendicular al pla : x + 3 y + z = 5 per P = (0, 2, 0):

A continuació, trobem el punt Q, per la qual cosa hemde resoldre el sistema que formen les equacions de larecta r i el pla : x + 3 y + z = 5. Per fer-ho, utilitza-rem el mètode de Cramer:

= = =

1 0 1

3 2 0

1 5 1

1 0 1

3 1 0

1 3 1

1

1 0 0

3 1 2

y z11 3 5

1 0 1

3 1 0

1 3 1

1=

x z

x y

x y z

x

=

=

+ + =

=

0

3 2

3 5

0 0 1

2 1 0

5 3 1

1 0 1

3

=

1 0

1 3 1

1

r: xy

zx z

x y=

+=

=

=

23

0

3 2

v = (1, −1, 0)

r

Q�

Pʹ

P

2 425 20 1 6 4 0

5 1 4

106

42

84 10

2 2 2=

+

+ += ±

= ±

m m

( 66 106 84190

22= ± =m m)

d P rv AP

v( , )

( , , ) ( , , )=

×=

×

+ +

� � ��

�2 2 3 14 6 2

2 22 2 33

22 46 16

172 42

2=

= =( , , )

CM

YK

265


Si coneixem les coordenades de Q = (1, 1, 1), és fàcilobtenir les coordenades de P = (x, y, z), imposant lacondició que Q sigui el punt mitjà del segmentPP :

Les coordenades de P seran, per tant (2, 4, 2).

Finalment, trobem les equacions implícites d’una rec-ta amb la direcció de (1, 1, 0) i que passa perP = (2, 4, 2):

en què

13. Fem un esquema gràfic de la situació considerada enl’enunciat:

En observar la figura s’aprecia que necessitem un vec-tor director de la recta intersecció dels plans. Calculemaquest vector i obtenim les equacions paramètriques dela recta a partir de les equacions implícites d’aquesta,que estan formades per les equacions de cadascun delsdos plans.

Substituint z per , obtenim les equacions paramètri-ques de la recta intersecció:

x

y

z

= +

=

=

2

x =

=

z

y z

2

0

1 0 1

0 1 1

2

0F F1 22+

1 2 3

0 11 1

2

0

F F2 125

x y z

x y z

+ =

=

2 3 2

2 4

1 2 3

2 1 1

2

4

�1

�2

av

x y

z

+ =

=

6

2

x y z= =

21

41

20

( , , ) , ,

, ,

1 1 10

22

20

22 4 2

=+ + +

= = =

x y z

x y z

El vector = (1, 1, 1), obtingut prenent els coeficientsde , és un vector director de la recta intersecciódels plans. Per calcular l’angle n’hi ha prou d’apli-car la definició de producte escalar als vectores

i :

Per tant, i són perpendiculars.

14. De l’equació contínua de la recta donada, en deduïmque (1, 1, 2) és un dels seus vectors directors.

Deduïm l’equació del pla , que passa per P = (3, 2, 1) i és perpendicular a la recta r. El vector(1, 1, 2) serà un vector perpendicular de ; per tant,l’equació general de serà:

x + y 2 z + D = 0

Imposant que (3, 2, 1) sigui de la recta, obtenim:

0 = 3 + 2 2 1 + D = 3 + D D = 3

Així, l’equació de és:

x + y 2 z 3 = 0

De l’equació contínua de la recta, en deduïm les se-ves equacions implícites:

Calculem M, intersecció de la recta r amb el pla .Per fer-ho, hem de resoldre el següent sistema per Cra-mer:

Per tant, M = (4, 3, 2).

Partint de les coordenades de M, és fàcil obtenirP = (x, y, z) imposant que M sigui el punt mitjà delsegment PP :

x y z

x y

y z

x

+ =

=

+ =

=

2 3

1

2 8

3 1 2

1 1 0

8 2 1

1 1 2

1

=

= = =

1 0

0 2 1

4

1 3 2

1 1 0

0 8 1

1 1 2

1 1 0

0 2 1

3

1 1 3

1 1 1

y z00 2 8

1 1 2

1 1 0

0 2 1

2=

r: x yz

x y

y z

x y

= =

=

=

4 32

2

4 3

2 3 2( );

==

+ =

1

2 8y z

�v�a

� � � �

� �a v a v

a v

=

= =

cos

cos( , , ) ( , , )0 1 1 1 1 1 2 3

02

= =cos

�v�a

�v

�

�

265

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

Si coneixem les coordenades de Q =(1, 1, 1), és fàcilobtenir les coordenades de P=(x, y, z), imposant lacondició que Q sigui el punt mitjà del segmentPP:

Les coordenades de Pseran, per tant (2, 4, 2).

Finalment, trobem les equacions implícites d’una rec-ta amb la direcció de (1, 1, 0) i que passa perP=(2, 4, 2):

en què

13.Fem un esquema gràfic de la situació considerada enl’enunciat:

En observar la figura s’aprecia que necessitem un vec-tor director de la recta intersecció dels plans. Calculemaquest vector i obtenim les equacions paramètriques dela recta a partir de les equacions implícites d’aquesta,que estan formades per les equacions de cadascun delsdos plans.

Substituint z per , obtenim les equacions paramètri-ques de la recta intersecció:

x

y

z

=+

=

=

2

x=

=

z

yz

2

0

101

011

2

0FF 12 2 + 123

0111

2

0

FF 21 25

xyz

xyz

+=

=

232

24

123

211

2

4

�1

�2

a v

xy

z

+=

=

6

2

xyz==

21

41

20

(,,),,

,,

1110

22

20

2242

=+++

===

xyz

xyz

El vector=(1, 1, 1), obtingut prenent els coeficientsde , és un vector director de la recta intersecciódels plans. Per calcular l’angle n’hi ha prou d’apli-car la definició de producte escalar als vectores

i:

Per tant,isón perpendiculars.

14.De l’equació contínua de la recta donada, en deduïmque (1, 1, 2) és un dels seus vectors directors.

Deduïm l’equació del pla , que passa per P =(3, 2, 1) i és perpendicular a la recta r. El vector(1, 1, 2) serà un vector perpendicular de ; per tant,l’equació general de serà:

x +y 2 z +D =0

Imposant que (3, 2, 1) sigui de la recta, obtenim:

0 =3 +2 2 1 +D =3 +D D =3

Així, l’equació de és:

x +y 2 z 3 =0

De l’equació contínua de la recta, en deduïm les se-ves equacions implícites:

Calculem M, intersecció de la recta r amb el pla .Per fer-ho, hem de resoldre el següent sistema per Cra-mer:

Per tant, M =(4, 3, 2).

Partint de les coordenades de M, és fàcil obtenirP=(x, y, z) imposant que M sigui el punt mitjà delsegment PP:

xyz

xy

yz

x

+=

=

+=

=

23

1

28

312

110

821

112

1

=

===

10

021

4

132

110

081

112

110

021

3

113

111

yz0028

112

110

021

2 =

r:xyz

xy

yz

xy

==

=

=

432

2

43

232 ();

==

+=

1

28 yz

�v �a

��

��avav

av

=

==

cos

cos (,,)(,,) 01111123

02

== cos

�v �a

�v

�

�

C M

Y K

266


Per tant, les coordenades de Psón (5, 4, 3).

El pla demanat coincideix amb ; per tant, la sevaequació serà:

x +y 2z =3

15.Sigui Ala projecció de A sobre el pla . Aés la inter-secció de amb la recta r perpendicular al pla que pas-sa pel punt A.

El vector (1, 2, 2), construït amb els coeficients de lesincògnites de l’equació de , és un vector perpendi-cular a ; per tant, la recta r serà:

La intersecció d’aquesta recta amb el pla s’obtindràresolent:

La projecció de A sobre el pla serà el punt Adecoordenades (2, 2, 2). La distància entre A i As’obtécalculant el mòdul del vector :

16.Sigui A =(a1, a2, a3) i B =(b1, b2, b3). Com que el puntA pertany al pla donat, sabem que 2a1+a2+a3=0.D’al-tra banda, el punt B ha de complir l’equació de la rec-ta; per tant:

[](,,)(,,)

(,,)

==

=+

AA��

426262244

24422

444622+=

[] AA��

xyz

xy

yz

yz

xy

++=

=

=

++=

=

2210

22

0

22210

22

yyz

xz

xz

xz

xz

=

+=

=

+=

=

410

22

410

22

+==

===

xxx

xzy

42210918

222

()

,

xyzxy

yz==

=

=4

62

62

22

0,

r

�

A

A

(,,),,

,,

4323

22

21

2543

=+++

===

xyz

xyz

A més, sabem que. D’aquí obtenim que

a1=b1, a2=b2i a3=b3. Aleshores, el sistema ques’ha de resoldre és:

que té com a solució

Per tant, els punts buscats són:

17.En primer lloc, hem de trobar un vector director de larecta, ja sigui escrivint l’equació paramètrica o per al-tres mètodes. Així, per exemple, l’equació de la rectaes pot escriure:

r: (x, y, z) =(0, 1, 2) +(1, 1, 1), i el vector és, ales-hores (1, 1, 1).

L’equació del pla és: x 1 +y1 (z2) =0, quesimplificant obtenim: x +y z=0. És evident queel pla passa per l’origen de coordenades i, per això, ladistància del (0, 0, 0) al pla és 0.

UNITAT 8. LÍMITS

1.a)c)

b)d)

2.a)

b)

c)

d)

3.Per a calcular aquest límit, calculem els límits lateralsquan

lim()x

x +==3

24945

lim()x

x+=3

25

x3

lim()lim()xx

fxfx === 333

11

lim()

()

lim()

lim() x

x

x

fx

gx

fx

gx===

10

lim()()lim()lim()xxx

fxgxfxgx ()==1= 01

lim()()lim()lim()xxx

fxgxfxgx + ()=+=+ 1001 =

limx

xx+=3

2214 lim

x

x

x

+=

0

31

212

limx

xx+

+=

4

42

0 lim()x

x=2

324

AiB ==13

83

213

83

2 ,,,,

bbib 12313

83

2 === ,.

20

25

36

123

12

23

bbb

bb

bb

+=

+=

+=

[](,,)

AB��

2000 =

bb

bb12

23

250

360

+=

+=

266

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

Per tant, les coordenades de P són (5, 4, 3).

El pla demanat coincideix amb ; per tant, la sevaequació serà:

x + y 2 z = 3

15. Sigui A la projecció de A sobre el pla . A és la inter-secció de amb la recta r perpendicular al pla que pas-sa pel punt A.

El vector (1, 2, 2), construït amb els coeficients de lesincògnites de l’equació de , és un vector perpendi-cular a ; per tant, la recta r serà:

La intersecció d’aquesta recta amb el pla s’obtindràresolent:

La projecció de A sobre el pla serà el punt A decoordenades (2, 2, 2). La distància entre A i A s’obtécalculant el mòdul del vector :

16. Sigui A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3). Com que el puntA pertany al pla donat, sabem que 2 a1 + a2 + a3 = 0. D’al-tra banda, el punt B ha de complir l’equació de la rec-ta; per tant:

[ ] ( , , ) ( , , )

( , , )

= =

= +

A A� ��

4 2 6 2 6 2 2 4 4

2 4 4 22 44 4 62 2+ =

[ ]A A� ��

x y z

x y

y z

y z

x y

+ + =

=

=

+ + =

=

2 2 10

2 2

0

2 2 2 10

2 2

yy z

x z

x z

x z

x z

=

+ =

=

+ =

=

4 10

2 2

4 10

2 2

+ = =

= = =

x x x

x z y

4 2 2 10 9 18

2 2 2

( )

,

xy z x y

y z= =

=

=4

62

62

2 2

0,

r

�

A

A

( , , ) , ,

, ,

4 3 23

22

21

25 4 3

=+ + +

= = =

x y z

x y z

A més, sabem que . D’aquí obtenim que

a1 = b1, a2 = b2 i a3 = b3. Aleshores, el sistema ques’ha de resoldre és:

que té com a solució

Per tant, els punts buscats són:

17. En primer lloc, hem de trobar un vector director de larecta, ja sigui escrivint l’equació paramètrica o per al-tres mètodes. Així, per exemple, l’equació de la rectaes pot escriure:

r: (x, y, z) = (0, 1, 2) + (1, 1, 1), i el vector és, ales-hores (1, 1, 1).

L’equació del pla és : x 1 + y 1 (z 2) = 0, quesimplificant obtenim : x + y z = 0. És evident queel pla passa per l’origen de coordenades i, per això, ladistància del (0, 0, 0) al pla és 0.

UNITAT 8. LÍMITS

1. a) c)

b) d)

2. a)

b)

c)

d)

3. Per a calcular aquest límit, calculem els límits lateralsquan

lim ( )x

x+

= =3

2 4 9 4 5

lim ( )x

x + =3

2 5

x 3

lim ( ) lim ( )x x

f x f x= = =3 33 1 1

lim( )

( )

lim ( )

lim ( )x

x

x

f x

g x

f x

g x= = =

10

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x

f x g x f x g x( ) = = 1 =0 1

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x

f x g x f x g x+( ) = + = +1 00 1=

limx

x x + =3

2 2 1 4limx

x

x

+=

0

3 1

212

limx

xx+

+=

4

42

0lim ( )x

x =2

3 2 4

A i B= =13

83

213

83

2, , , ,

b b i b1 2 313

83

2= = =, .

2 0

2 5

3 6

1 2 3

1 2

2 3

b b b

b b

b b

+ =

+ =

+ =

[ ]( , , )

AB� ��

20 0 0=

b b

b b1 2

2 3

2 5 0

3 6 0

+ =

+ =

CM

YK

267


Com que els límits laterals coincideixen, podem afir-mar que el límit de la funció en x = 3 existeix i val 5.

4. a)

b)

Multipliquem i dividim per

El límit queda

c)

d)

e)

f)

g)

5. Calculem els límits laterals:

lim limx x

x

x x

x x

x+=

( ) +( )2

2

2

2

2

4

4 4

2 2

22

22

40

2

2

2

2

( )=

=+

=limx

xx

= +

2

=+

( ) ( )=

( )=lim lim

x x

x

x

x

x x1 2 2 1 2

2

1

1

1

3

1

300= +

lim( )x

x

x x+

=1 2

2

1

11

limx

xx

x

+= = =

3

3 003 1

1102

5 1

lim

lim

x

x

x x x x

x x x x

x x

+

+

+ +( ) =

=+ + +

+

2 2

2 2

2

2

2

2 ++ +=

=+ + +

=

=

+

+

x x

x

x x x xx

x

2

2 22lim

limxx

xx x

12

11

12

+ + +

=

=( )

( ) + +( )=

+ +=lim lim

x x

x

x x x3 3

3

3 1 2

1

1 2

14

limx

xx

x

x

+ + +

+ +=

3

1 23

1 2

1 2

=

+ +

= =lim limx x

x

xx

x24

11

1

12

0

limx

x

x x x+ +=

4 2

x x x4 2+ +

limx

x x x+( )4 2

limx

xx

x+

++

+= =

3 2

5 125

0

2 1

Igualem els límits i trobem a = 8.

6. a)

• A.V.: El denominador de la funció s’anul·la per ax1= 1 i x2 = 2. Per a aquests valors de x tenim duesasímptotes verticals.

• A.H.: Calculem els límits

La recta x = 1 és una asímptota horitzontal de la funció.

• A.O.: Com que la funció presenta A.H., no té asímp-totes obliqües.

b)

• A.V.: El denominador s’anul·la per a x = 1, de ma-nera que tindrem una asímptota vertical en x = 1.

• A.H.: No té asímptotes horitzontals, ja que:

• A.O.:

La recta y = x 1 és una asímptota obliqua.

c)

• A.V.: El denominador s’anul·la per a x1 = 1 i x2 = 1,de manera que tindrem les asímptotes verticals enaquests valors de x.

• A.H.: Com que el numerador i el denominador te-nen el mateix grau, calculem el límit de la funcióquan x tendeix a infinit i ens donarà l’equació de larecta que és asímptota horitzontal.

La recta y = 1 és una asímptota horitzontal.

• A.O.: Com que x presenta una A.H., no té asímptotaobliqua.

lim ( )x

f x±

= 1

f xx

x( ) =

+2

2

1

1

b f x mxx

xx x= ( ) =

+

+=lim ( ) lim

11

1

mf x

xx= =lim

( )1

lim ( )x

f x±

= ±

f xxx

( ) =+

+

2 31

lim ( )x

f x+

= 1

lim ( )x

f x = 1

f xx

x x

xx x

( )( )( )

=+

=+

2

2

2

2 1 2

lim

lim

x

x

x

x x a a a+

= =

+ + = + + =

3

3

2

6 63

2

9 3 3 6

267

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

Com que els límits laterals coincideixen, podem afir-mar que el límit de la funció en x =3 existeix i val 5.

4.a)

b)

Multipliquem i dividim per

El límit queda

c)

d)

e)

f)

g)

5.Calculem els límits laterals:

limlimxx

x

xx

xx

x +=

()+ ()2

2

2

2

2

4

44

22

22

22

40

2

2

2

2

()=

=+

= limx

xx

=+

2

=+

()()=

()= limlim

xx

x

x

x

xx 12212

2

1

1

1

3

1

300=+

lim() x

x

xx+

=12

2

1

11

limx

xx

x

+===

3

300 31

1102

51

lim

lim

x

x

xxxx

xxxx

xx

+

+

++ ()=

=+++

+

22

22

2

2

2

2+++=

=+++

=

=

+

+

xx

x

xxxx x

x

2

222

lim

limxx

xxx

12

11

12

+++

=

=()

()++ ()=

++= limlim

xx

x

xxx 33

3

312

1

12

14

limx

xx

x

x

+++

++=

3

123

12

12

=

++

== limlimxx

x

xx

x 24 1

11

12

0

limx

x

xxx ++=

42

xxx42++

limx

xxx + ()42

limx

xx

x +

++

+==

32

5125

0

21

Igualem els límits i trobem a =8.

6.a)

•A.V.: El denominador de la funció s’anul·la per ax1=1 i x2 =2. Per a aquests valors de x tenim duesasímptotes verticals.

•A.H.: Calculem els límits

La recta x =1 és una asímptota horitzontal de la funció.

•A.O.: Com que la funció presenta A.H., no té asímp-totes obliqües.

b)

•A.V.: El denominador s’anul·la per a x =1, de ma-nera que tindrem una asímptota vertical en x =1.

•A.H.: No té asímptotes horitzontals, ja que:

•A.O.:

La recta y =x 1 és una asímptota obliqua.

c)

•A.V.: El denominador s’anul·la per a x1 =1 i x2 =1,de manera que tindrem les asímptotes verticals enaquests valors de x.

•A.H.: Com que el numerador i el denominador te-nen el mateix grau, calculem el límit de la funcióquan x tendeix a infinit i ens donarà l’equació de larecta que és asímptota horitzontal.

La recta y =1 és una asímptota horitzontal.

•A.O.: Com que x presenta una A.H., no té asímptotaobliqua.

lim()x

fx±

=1

fxx

x()=

+2

2

1

1

bfxmxx

x xx=()=

+

+= lim()lim

11

1

mfx

x x== lim

()1

lim()x

fx±

=±

fxxx

()=+

+

231

lim()x

fx+

=1

lim()x

fx=1

fxx

xx

xxx

()()()

=+

=+

2

2

2

212

lim

lim

x

x

x

xxaaa +

==

++=++=

3

3

2

663

2

9336

C M

Y K

Perquè aquest límit sigui , ha de ser a b =0,

ja que, si no, el límit seria infinit.

Per tant, a =b, i perquè el límit sigui exactament

Resolem la indeterminació dividint el numerador i eldenominador per x:

Si imposem que aquest límit sigui

Per tant, els paràmetres han de ser a =b =2 perquè escompleixi l’enunciat.

8.•Asímptotes verticals:

Com que la funció és racional, les asímptotes verti-cals es troben entre els zeros del denominador:

x41 =0 x4=1 x =±1

Calculem els límits laterals en x =1 i x =+1, candi-dats a asímptotes verticals:

És asímptota vertical per totes dues bandes.


lim

lim

x

x

xx

xxx

x+

+==+

+

1

52

4

1

52

25

1

20

2544

1

20

1

=+

=

= x

lim

lim

x

x

xx

xxx

+

+=

+=

+

1

52

4

1

52

25

1

40

255

1

40

1

4x

x

==+

=

===12

222

aaa

22

:

=+++

==2

00

2

2

1

aaaa

=

+++

=+

limx

ax

ax

2

13

=

+++

=+

limx

xx

ax

x

x

x

ax

x

x

x

2

32

22

2

22

limx

x

axxaxx+

+++=

2

322

=+++

=+

limx

x

axxaxx

2

322

lim()

x

aaxx

axxaxx+

+++=

2

22

2

3

22

:

22

�, d)

•A.V.: El denominador s’anul·la per a x=1, per tant fpresenta una asímptota vertical en aquest valor de x.

•A.H.: f no té asímptotes horitzontals, ja que:

•A.O.:

La recta és una asímptota obliqua.

7.Calculem el límit en funció de a i b:

Per resoldre la indeterminació, multipliquem i dividimpel conjugat de l’expressió:

Per eliminar la indeterminació, dividim el numeradori el denominador per x2:

=+++

=abab 0

00000

=

+++

=+

limx

abx

a

xx

b

xx

2

132323

=

++++

lim

()

x

abx

x

x

x

ax

x

x

x

bx

x

x

x

2

22

2

44

2

44

2

3==

lim()

x

abxx

axxbxx+

+++=

2

22

2

3

=+++

=+

lim()

x

abxx

axxbxx

2

22

2

3

=++

+++=

+lim

()()x

axxbxx

axxbxx

22

22

3

3

=++ ()+++ ()

+++

limx

axxbxxaxxbxx

axx

2222

2

33

bbxx2

3 +=

limx

axxbxx+

++ ()=22

3

=++=++

limlimxx

axxbxx22

3

=++=++

limlimxx

axxbxx22

3

yx =+34

32

mfx

x

x

xxx

b

xx==

+=

=

±±lim

()lim

l

3

484

34

3

32

iim(())limxx

fxmxxx

xx ±±=

+

2412

1632

2

2116

32

=

lim()x

fx±

=±

fxx

x()

()=

3

22

3

2


268

Perquè aquest límit sigui , ha de ser a b = 0,

ja que, si no, el límit seria infinit.

Per tant, a = b, i perquè el límit sigui exactament

Resolem la indeterminació dividint el numerador i eldenominador per x:

Si imposem que aquest límit sigui

Per tant, els paràmetres han de ser a = b = 2 perquè escompleixi l’enunciat.

8. • Asímptotes verticals:

Com que la funció és racional, les asímptotes verti-cals es troben entre els zeros del denominador:

x4 1 = 0 x4 = 1 x = ±1

Calculem els límits laterals en x = 1 i x = +1, candi-dats a asímptotes verticals:



lim

lim

x

x

x x

xx x

x+

+= = +

+

1

5 2

4

1

5 2

2 5

1

20

2 544 1

20

1

=+

=

=x

lim

lim

x

x

x x

xx x

+

+=

+=

+

1

5 2

4

1

5 2

2 5

1

40

2 55

1

40

1

4x

x

= = +

=

= = =1 2

22 2

aa a

22

:

=+ + +

= =2

0 0

2

2

1

a a a a

=

+ + +

=+

limx

ax

ax

2

1 3

=

+ + +

=+

limx

xx

a x

x

x

x

a x

x

x

x

2

32

2 2

2

2 2

limx

x

a x x a x x+ + + +=

2

32 2

=+ + +

=+

limx

x

a x x a x x

2

32 2

lim( )

x

a a x x

a x x a x x+ + + +=

2

2 2

2

3

22

:

22

�,d)

• A.V.: El denominador s’anul·la per a x= 1, per tant fpresenta una asímptota vertical en aquest valor de x.

• A.H.: f no té asímptotes horitzontals, ja que:

• A.O.:

La recta és una asímptota obliqua.

7. Calculem el límit en funció de a i b:

Per resoldre la indeterminació, multipliquem i dividimpel conjugat de l’expressió:

Per eliminar la indeterminació, dividim el numeradori el denominador per x2:

=+ + +

=a b a b0

0 0 0 0 0

=

+ + +

=+

limx

a bx

a

x x

b

x x

2

1 32 3 2 3

=

+ + ++

lim

( )

x

a b x

x

x

x

a x

x

x

x

b x

x

x

x

2

2 2

2

4 4

2

4 4

2

3==

lim( )

x

a b x x

a x x b x x+ + + +=

2

2 2

2

3

=+ + +

=+

lim( )

x

a b x x

a x x b x x

2

2 2

2

3

=+ +

+ + +=

+lim

( ) ( )x

a x x b x x

a x x b x x

2 2

2 2

3

3

=+ +( ) + + +( )

+ ++lim

x

a x x b x x a x x b x x

a x x

2 2 2 2

2

3 3

bb x x2 3+=

limx

a x x b x x+

+ +( ) =2 2 3

= + + =+ +

lim limx x

a x x b x x2 2 3

= + + =+ +

lim limx x

a x x b x x2 2 3

y x= +34

32

mf x

x

x

x x x

b

x x= =

+=

=

± ±lim

( )lim

l

3

4 8 4

34

3

3 2

iim ( ( ) ) limx x

f x m xx x

x x± ±=

+

24 12

16 32

2

2 116

32

=

lim ( )x

f x±

= ±

f xx

x( )

( )=

3

2 2

3

2

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

268

CM

YK

269



f (x) no té asímptotes horitzontals.


La recta y = x és una asímptota obliqua de f per totesdues bandes.

9. • A.V.: El denominador s’anul·la per a x = 1. Alesho-res, la funció té per asímptota vertical la recta x = 1.

=

+

=+

=±

limx

x x x

x

2 1 5

11

0 0 01 0

02 3 4

4

=

+

=±

limx

x

x

x

x x

x

x x

2 5

1

2

4 4 4

4

4 4

=+

=±

limx

x x

x

2 5

1

2

4

=+ +

=±

limx

x x x x

x

5 2 5

4

2 5

1

b f x mxx x

xx

x x= =

+

± ±lim ( ( ) ) lim

5 2

4

2 5

1=

=

+

=+

=±

limx

x x

x

12 5

11

1 0 01 0

13 5

4

=

+

=±

limx

x

x

x

x x

x

x

x

x

5

5

2

5 5

5

5 5

2 5

mf x

x

x x

x xx x= =

+=

± ±lim

( )lim

5 2

5

2 5

=+

= =1 0 0

0 010

=

+

=±

limx

x x

x x

12 5

1 1

3 5

5

=

+

=±

limx

x

x

x

x x

x

x x

5

5

2

5 5

4

5 5

2 5

1

limx

x x

x±

+=

5 2

4

2 5

1

• A.H.: La funció no té asímptota horitzontal, jaque

• A.O.:

Per tant, y = x 3 és una asímptota obliqua per la dre-ta i per l’esquerra.

10. El càlcul d’aquests límits no es pot fer utilitzant la re-gla de L’Hôpital, ja que la derivada de la funció ex-ponencial és ella mateixa. La manera de calcular-losconsisteix a dividir el numerador i el denominador pelfactor adequat (el factor que fa que el coeficient si-

gui una indeterminació del tipus ).

a)

b)

11. a) • A.V.:

Els valors de x que anul·len el denominador sónx = 5 i x = 5. Calculem els límits de la funció quanx tendeix a aquests nombres:

Tenim dues asímptotes verticals representades perles rectes x = 5 i x = 5.

• A.H.:

: per tant, tenim una asímptota ho-

ritzontal representada per la recta y = 3.

• A.O.: No té asímptotes obliqües.

b) • A.V.:

Descomponem en factors els polinomis numeradori denominador de la funció i ens queda:

limx

x

x±=

3

253

2

2

lim ; limx x

x

x

x

x= =

5

2

2 5

2

2

3

25

3

25

x

x

x

e

e=

+=lim

2

2

1

1

0+

=1

0 11

=+

=lim( )( )

lim limx x

x x

x x

f xg x

e e

e e xx

x x

x

x x

x

e e

ee e

e

+=

e

ex

x

x=

+=

+

+lim

1

1

1 01

2

2 001=

lim( )( )

lim limx x

x x

x x x

f xg x

e e

e e+ + +=

+=

ee e

ee e

e

x x

x

x x

x

+=

mf x

x

x x

x x

b

x x

x

= =+

=

=

± ±lim

( )lim

lim

2

2

4 11

±± ±=

+=( ( ) ) limf x x

x

xx

3 1

13

lim ( )x

f x±

= ±

269

Pro

post

es d

’ava

luac

ió


f (x) no té asímptotes horitzontals.


La recta y =x és una asímptota obliqua de f per totesdues bandes.

9.•A.V.: El denominador s’anul·la per a x =1. Alesho-res, la funció té per asímptotavertical la recta x =1.

=

+

=+

=±

limx

xxx

x

215

11

00010

0234

4

=

+

=±

limx

x

x

x

xx

x

xx

25

1

2

444

4

44

=+

=±

limx

xx

x

25

1

2

4

=++

=±

limx

xxxx

x

525

4

25

1

bfxmxxx

xx

xx==

+

±±lim(())lim

52

4

25

1=

=

+

=+

=±

limx

xx

x

125

11

10010

135

4

=

+

=±

limx

x

x

x

xx

x

x

x

x

5

5

2

55

5

55

25

mfx

x

xx

xx xx==

+=

±±lim

()lim

52

5

25

=+

==100

0010

=

+

=±

limx

xx

xx

125

11

35

5

=

+

=±

limx

x

x

x

xx

x

xx

5

5

2

55

4

55

25

1

limx

xx

x ±

+=

52

4

25

1

•A.H.: La funció no té asímptota horitzontal, jaque

•A.O.:

Per tant, y =x 3 és una asímptota obliqua per la dre-ta i per l’esquerra.

10.El càlcul d’aquests límits no es pot fer utilitzant la re-gla de L’Hôpital, ja que la derivada de la funció ex-ponencial és ella mateixa. La manera de calcular-losconsisteix a dividir el numerador i el denominador pelfactor adequat (el factor que fa que el coeficient si-

gui una indeterminació del tipus).

a)

b)

11.a)•A.V.:

Els valors de x que anul·len el denominador sónx =5 i x =5. Calculem els límits de la funció quanx tendeix a aquests nombres:

Tenim dues asímptotes verticals representades perles rectes x =5 i x =5.

•A.H.:

: per tant, tenim una asímptota ho-

ritzontal representada per la recta y =3.

•A.O.: No té asímptotes obliqües.

b)•A.V.:

Descomponem en factors els polinomis numeradori denominador de la funció i ens queda:

limx

x

x ±=

3

253

2

2

lim;limxx

x

x

x

x==

5

2

25

2

2

3

25

3

25

x

x

x

e

e=

+= lim

2

2

1

1

0+

=1

011

=+

= lim()()

limlimxx

xx

xx

fxgx

ee

eexx

xx

x

xx

x

ee

eee

e

+=

e

e x

x

x =+

=+

+lim

1

1

101

2

2001 =

lim()()

limlimxx

xx

xxx

fxgx

ee

ee +++=

+=

eee

eee

e

xx

x

xx

x

+=

mfx

x

xx

xx

b

xx

x

==+

=

=

±±lim

()lim

lim

2

2

411

±±±=

+= (())lim fxx

x

x x

31

13

lim()x

fx±

=±

C M

Y K

270


El denominador s’anul·la quan x =0; x =1 i x =3.Calculem els límits de la funció quan x tendeix aaquests nombres:

Per tant, l’única asímptota vertical està represen-tada per la recta x =3.

•A.H.:

per tant, tenim una asímptota horitzontal repre-sentada per la recta y =1.


c)•A.V.: El valor de x que anul·la el denominador és

. Calculem el límit de la funció en aquest

punt.

Per tant, és una asímptota vertical.

•A.H.:

No té asímptotes horitzontals.

•A.O.:

Per tant, l’equació de l’asímptota obliqua és

. yx =12

13

bx

xx

x

x xx=

+=

+limlim

36

6412

26

64

2

===2

61

3

m

xx

x

x

xx xx=

+=

+limlim

366436

64

2

2

2

==== limx

x

x

3

6

36

12

2

2

limlimxx

x

xxx +

==36

6436

22

x=23

limx

x

x+=

23

2

2

36

64

323

6

623

22

4

43

6

0+

==

x=23

limlimxx

xxx

xxxxx

±±

+

+=

+ 32

32

2 2

43

112

1443

1

2 xx+

=,

lim();lim();lim(xxx

gxgxg ==013

23

32

xx)=

gxxxx

xxx

xxx

xxx()

()()

()(=

+

+=

+32

32

2

43

12

133)

d)•A.V.: No té asímptotes verticals.

•A.H.:


•A.O.:

Per tant, podem tenir asímptota obliqua per l’es-querra de la gràfica. Calculem l’ordenada en l’o-rigen de l’equació de l’asímptota obliqua:

Per tant, l’equació de l’asímptota obliqua per l’es-querra és y =6x 3

12.De les dades de la gràfica, les asímptotes verticals escorresponen amb x =8 i x =2.

L’asímptota horitzontal per l’esquerra és y =6

Per tal de determinar l’equació de l’asímptota obliquaper la dreta, necessitem dos punts de la recta. Consi-derem (2,2) i (6,5).

El vector director de la recta serà:

El seu pendent és

L’equació de l’asímptota obliqua és

En què b la trobem en imposar que passi pel punt (2, 2):

UNITAT 9. CONTINUÏTAT

1.a)fxx

xx

xx

x

xx

()()()

()=

+=

+=

=+

2

22

1

21

11

1

11

yx =+34

12

yxb =+34

m=34

v�== (,)(,)(,) 652243

bxxxxx

x

x

x=++ ()== lim()lim() 4636433

mxx

x

mxx

x

x

x

x

=++ ()=+

=++ (

+lim

lim

463

463))=

=+ ()=

x

xx

x x

x

lim466

1

lim

lim

x

x

x

x

xx

xx

+

+

++ ()=+

++ ()=

463

463

270

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

El denominador s’anul·la quan x = 0; x = 1 i x = 3.Calculem els límits de la funció quan x tendeix aaquests nombres:

Per tant, l’única asímptota vertical està represen-tada per la recta x = 3.

• A.H.:

per tant, tenim una asímptota horitzontal repre-sentada per la recta y = 1.


c) • A.V.: El valor de x que anul·la el denominador és

. Calculem el límit de la funció en aquest

punt.

Per tant, és una asímptota vertical.

• A.H.:


• A.O.:

Per tant, l’equació de l’asímptota obliqua és

.y x=12

13

bx

xx

x

xx x=

+=

+lim lim

3 6

6 412

2 6

6 4

2

== =2

61

3

m

xx

x

x

x xx x=

+=

+lim lim

3 66 4 3 6

6 4

2

2

2

== = =limx

x

x

3

6

36

12

2

2

lim limx x

x

xxx+

= =3 6

6 436

2 2

x =23

limx

x

x +=

23

2

2

3 6

6 4

323

6

623

22

4

43

6

0+

= =

x =23

lim limx x

x x x

x x xx x

± ±

+

+=

+3 2

3 2

22

4 3

11 2

144 3

1

2x x+

= ,

lim ( ) ; lim ( ) ; lim (x x x

g x g x g= =0 1 3

23

32

xx) =

g xx x x

x x x

x x x

x x x( )

( )( )

( )(=

+

+=

+3 2

3 2

2

4 3

1 2

1 33)

d) • A.V.: No té asímptotes verticals.

• A.H.:


• A.O.:

Per tant, podem tenir asímptota obliqua per l’es-querra de la gràfica. Calculem l’ordenada en l’o-rigen de l’equació de l’asímptota obliqua:

Per tant, l’equació de l’asímptota obliqua per l’es-querra és y = 6x 3

12. De les dades de la gràfica, les asímptotes verticals escorresponen amb x = 8 i x = 2.

L’asímptota horitzontal per l’esquerra és y = 6

Per tal de determinar l’equació de l’asímptota obliquaper la dreta, necessitem dos punts de la recta. Consi-derem (2,2) i (6,5).

El vector director de la recta serà:

El seu pendent és

L’equació de l’asímptota obliqua és

En què b la trobem en imposar que passi pel punt (2, 2):

UNITAT 9. CONTINUÏTAT

1. a) f xx

x x

x x

x

xx

( )( )( )

( )=

+=

+=

=+

2

2 2

1

2 1

1 1

1

11

y x= +34

12

y x b= +34

m =34

v�= =( , ) ( , ) ( , )6 5 2 2 4 3

b x x x xx

x

x

x= + +( ) = =lim ( ) lim ( )4 6 3 6 4 3 3

mx x

x

mx x

x

x

x

x

=+ +( )

= +

=+ +(

+lim

lim

4 6 3

4 6 3))=

=+( )

=

x

x x

xx

x

lim4 6 6

1

lim

lim

x

x

x

x

x x

x x

+

+

+ +( ) = +

+ +( ) =

4 6 3

4 6 3

CM

YK

271


Com que els límits laterals són diferents, la funcióés discontínua en x = 1, i presenta una disconti-nuïtat no evitable de salt infinit.

b)

La funció és discontínua en x = 1, i presenta unadiscontinuïtat no evitable de salt infinit.

c)

La funció és discontínua en x = 1, i presenta unadiscontinuïtat no evitable de salt infinit.

d)

La funció és discontínua en x = 1 i x =0, i presen-ta una discontinuïtat no evitable de salt finit en totsdos casos.

e)

La funció és discontínua en x = 3 i x = 0, ipresenta una discontinuïtat no evitable de salt in-finit.

lim ( )x

f x++

= = +3

3

0

lim ( )x

f x = =3

3

0

f xx x x

( ) = =+

33

18

9

332

lim ( ) lim ( )

lim ( )x x

x

f x f x

f x

+= =

=

1 1

0

1 2

=+

3 30

lim ( )x

f x

f x

x

x

x

si x

six( ) =

+

6

52 4

3 3

1

2

1 0

0

x

si x

lim ( )x

f x++

= = +3

3

0

lim ( )x

f x = =1

2

0

f xx x

x x

x xx x

x

( )( )( )( )( )

=+

=+

+=

=+

2

2

6

2

2 32 1

3xx + 1

lim ( )x

f x++

= = +1

1

0

lim ( )x

f x+

= = +1

1

0

f xx x x

( )( )

=+ +

=+

1

2 1

1

12 2

lim ( )x

x++

= = +1

2

0f

lim ( )x

x = =1

2

0f

f)

La funció és contínua en x = 0 i discontínua en x = 1 on presenta una discontinuïtat no evitablede salt infinit.

g)

La funció és discontínua en x = 1 i presenta unadiscontinuïtat no evitable de salt finit.

2. Calcularem els límits laterals i els igualarem. De l’e-quació que en resulti, aïllarem k.

a)

b)

c)

3. Calcularem els límits laterals en els punts crítics i elsigualem per tal de trobar el valor dels paràmetres.

a)

b) lim ( )

lim ( )x

x

f x

f x m n+

=

= + +=

1

1

1

21 2 ++ +m n

lim ( )

lim ( )x

x

f x

f x nn

+

=

==

2

2

3

2 53 2 5 =n 4

lim ( )

lim ( )x

x

f x m

f xm m

+

=

==

0

01

1 == 1

lim ( )

lim ( )

x

x

f x

f x kk k

+

=

==

3

3

4

34 3 == 7

lim ( )

lim ( )x

x

f x

f x kk k

+

=

== =

0

0

1

21 2

122

lim ( ) ( )

lim ( )x

x

f x k

f x k+

= +

=

+2

2

2 2

4

4 2 kk k

k

=

=

4

8

lim ( ) lim ( )x x

f x e f x+

= =1 1

0

f xe si x

x si x

x

( )ln

=>

1

1

lim ( ) ( )

lim ( )

lim

x

x

x

f x f

f x+

= =

= = ++

0

1

1

0 1

1

0

= =f x( )1

0

f xx

x x

xx x x

si x

si x( ) ( )= +

=+

=+

=

2 11

10

1 0

271

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

Com que els límits laterals són diferents, la funcióés discontínua en x =1, i presenta una disconti-nuïtat no evitable de salt infinit.

b)

La funció és discontínua en x =1, i presenta unadiscontinuïtat no evitable de salt infinit.

c)

La funció és discontínua en x =1, i presenta unadiscontinuïtat no evitable de salt infinit.

d)

La funció és discontínua en x =1 i x =0, i presen-ta una discontinuïtat no evitable de salt finit en totsdos casos.

e)

La funció és discontínua en x =3 i x =0, ipresenta una discontinuïtat no evitable de salt in-finit.

lim()x

fx+ +==+3

3

0

lim()x

fx==3

3

0

fxxxx

()==+

33

18

9

33 2

lim()lim()

lim()xx

x

fxfx

fx

+ ==

=

11

0

12

= + 330

lim()x

fx

fx

x

x

x

six

six ()=

+

6

524

33

1

2

10

0

x

six

lim()x

fx+ +==+3

3

0

lim()x

fx==1

2

0

fxxx

xx

xxxx

x

()()()()()

=+

=+

+=

=+

2

2

6

2

2321

3xx+1

lim()x

fx+ +==+1

1

0

lim()x

fx+ ==+1

1

0

fxxxx

()()

=++

=+

1

21

1

122

lim()x

x+ +==+1

2

0f

lim()x

x==1

2

0f

f)

La funció és contínua en x =0 i discontínua en x =1 on presenta una discontinuïtat no evitablede salt infinit.

g)

La funció és discontínua en x =1 i presenta unadiscontinuïtat no evitable de salt finit.

2.Calcularem els límits laterals i els igualarem. De l’e-quació que en resulti, aïllarem k.

a)

b)

c)

3.Calcularem els límits laterals en els punts crítics i elsigualem per tal de trobar el valor dels paràmetres.

a)

b)lim()

lim()x

x

fx

fxmn +

=

=++=

1

1

1

212+++ mn

lim()

lim()x

x

fx

fxnn

+

=

==

2

2

3

25325= n4

lim()

lim()x

x

fxm

fxmm

+

=

==

0

01

1==1

lim()

lim()

x

x

fx

fxkkk

+

=

==

3

3

4

343==7

lim()

lim()x

x

fx

fxkkk

+

=

===

0

0

1

212

122

lim()()

lim()x

x

fxk

fxk +

=+

=

+ 2

2

22

4

42kkk

k

=

=

4

8

lim()lim()xx

fxefx + ==11

0

fxesix

xsix

x

()ln

=>

1

1

lim()()

lim()

lim

x

x

x

fxf

fx+

==

==+ +

0

1

1

01

1

0

== fx()1

0

fxx

xx

xxxx

six

six()() =+

=+

=+

=

211

10

10

C M

Y K

272


Aquesta vegada no trobem valors concrets per als paràmetres, sinó que obtenim una condició m +n =3. Tots aquests valors de m i n que com-pleixin aquesta condició faran que la funció f(x)sigui contínua.

4.Perquè la discontinuïtat sigui evitable en x =2, s’ha decomplir:

•Que f(2) no existeixi.

•Que existeixi i sigui finit.

f(2) no existeix, ja que s’anul·la el denominador.

Perquè existeixi el límit quan x tendeix a 2, el polino-mi del numerador ha de ser divisible entrex 2; així,doncs, dividirem els polinomis de manera exacta.

En fer-ho, obtenim l’equació 7 4a =0; per tant,

a =.

5.A priori sembla que el teorema es contradiu, però unteorema es compleix dins d’un “marc”, és a dir,sotaunes condicions. Per poder aplicar el teorema de Bol-zano:

•La funció ha de ser contínua en l’interval tan-cat.

•La funció en els extrems de l’interval tancat pren va-lors amb signe oposat.

L’enunciat ens confirma la segona condició,però no ens diu res sobre la primera. Ara la compro-varem:

Com que els límits laterals no són iguals en un punt del’interval considerat, la funció és discontínua en aquestinterval.

Hem comprovat que no es compleix la primera con-dició; per tant, no podem aplicar el teorema i, en con-seqüència, aquest no es contradiu.

6.a)f(1) =1 +2 =1


f no és contínua per la dreta en x0=1.

b)g(2) =E(2) +2 =2 +2 =4

g no és contínua per l’esquerra en x0=2.

=+=+== lim()()x

xg2

112342

lim()lim(())xx

gxExx =+=22

lim()lim()xx

fxf ++ ===11

3311

lim()lim()()xx

fxxf =+==11

211

lim()

lim()x

x

fx

fx +

=

=

2

2

2

3

74

lim()x

fx2

g és contínua per la dreta en x0=2.

c)

=0 =h(3)


no es pot definir, ja que si x és major

que 3 però molt pròxima a aquest valor,

no es pot definir, ja que si x és menor


h és contínua per la dreta en x0=3

7.a)Estudiem el domini de la funció:

Aquests són, per tant, els possibles punts de disconti-nuïtat.

Això ens indica que f(x) té discontinuïtats inevitablesde salt infinit en x =5 i x =7.

b)Estudiem el domini de la funció: ,l’únic punt de discontinuïtat és x =0, o bé el punton s’uneixen els dos trossos que defineixen la fun-

ció. Estudiem el valor dels seus límits: x=1

Df()={} �0

lim()

()()(

x

xex

xx

e

+

+=

=+

52

5

1

215

155225))

lim()

(

==

+

+=

=+

1540

1

215

1

5

72

7

e

ex

xx

e

x

x

7772715

8

0

7)

()() +==

e

xxxix

Df

22150075

57

+===

={} (), �

=== 39032

h()

lim()limlim()xxx

hxxx +++ ===33

2

3

299

xhx2

90 <()

lim()x

hx3

xhx2

90 <()

lim()x

hx +3

=== lim()()x

x3

22939

lim()limxx

hxx ==33

29

hh ()();() ==== 3390339022

=+=+== + lim()()x

xg2

22242

lim()lim(())xx

gxExx ++ =+=22

272

Pro

post

es d

’ava

luac

ióAquesta vegada no trobem valors concrets per als paràmetres, sinó que obtenim una condició m + n = 3. Tots aquests valors de m i n que com-pleixin aquesta condició faran que la funció f(x)sigui contínua.

4. Perquè la discontinuïtat sigui evitable en x = 2, s’ha decomplir:

• Que f(2) no existeixi.

• Que existeixi i sigui finit.

f(2) no existeix, ja que s’anul·la el denominador.

Perquè existeixi el límit quan x tendeix a 2, el polino-mi del numerador ha de ser divisible entre x 2; així,doncs, dividirem els polinomis de manera exacta.

En fer-ho, obtenim l’equació 7 4a = 0; per tant,

a = .

5. A priori sembla que el teorema es contradiu, però unteorema es compleix dins d’un “marc”, és a dir, sotaunes condicions. Per poder aplicar el teorema de Bol-zano:

• La funció ha de ser contínua en l’interval tan-cat.

• La funció en els extrems de l’interval tancat pren va-lors amb signe oposat.

L’enunciat ens confirma la segona condició,però no ens diu res sobre la primera. Ara la compro-varem:

Com que els límits laterals no són iguals en un punt del’interval considerat, la funció és discontínua en aquestinterval.

Hem comprovat que no es compleix la primera con-dició; per tant, no podem aplicar el teorema i, en con-seqüència, aquest no es contradiu.

6. a) f( 1) = 1 + 2 = 1


f no és contínua per la dreta en x0 = 1.

b) g(2) = E(2) + 2 = 2 + 2 = 4

g no és contínua per l’esquerra en x0 = 2.

= + = + = =lim ( ) ( )x

x g2

1 1 2 3 4 2

lim ( ) lim ( ( ) )x x

g x E x x= + =2 2

lim ( ) lim ( )x x

f x f+ +

= = =1 1

3 3 1 1

lim ( ) lim ( ) ( )x x

f x x f= + = =1 1

2 1 1

lim ( )

lim ( )x

x

f x

f x+

=

=

2

2

2

3

74

lim ( )x

f x2

g és contínua per la dreta en x0 = 2.

c)

= 0 = h( 3)


no es pot definir, ja que si x és major


no es pot definir, ja que si x és menor


h és contínua per la dreta en x0 = 3

7. a) Estudiem el domini de la funció:

Aquests són, per tant, els possibles punts de disconti-nuïtat.

Això ens indica que f(x) té discontinuïtats inevitablesde salt infinit en x = 5 i x = 7.

b) Estudiem el domini de la funció: ,l’únic punt de discontinuïtat és x = 0, o bé el punton s’uneixen els dos trossos que defineixen la fun-

ció . Estudiem el valor dels seus límits:x =1

D f( ) = { }� 0

lim( )

( )( ) (

x

xe x

x x

e

+

+=

=+

5 2

5

1

2 15

1 55 2 2 5))

lim( )

(

= =

+

+=

=+

1540

1

2 15

1

5

7 2

7

e

e x

x x

e

x

x

777 2 7 15

8

0

7)( ) ( )+

= =e

x x x i x

D f

2 2 15 0 0 7 5

5 7

+ = = =

= { }( ) ,�

= = =3 9 0 32 h( )

lim ( ) lim lim ( )x x x

h x x x+ + +

= = =3 3

2

3

29 9

x h x2 9 0< ( )

lim ( )x

h x3

x h x2 9 0< ( )

lim ( )x

h x+3

= = =lim ( ) ( )x

x3

2 29 3 9

lim ( ) limx x

h x x= =3 3

2 9

h h( ) ( ) ; ( )= = = =3 3 9 0 3 3 9 02 2

= + = + = =+

lim ( ) ( )x

x g2

2 2 2 4 2

lim ( ) lim ( ( ) )x x

g x E x x+ +

= + =2 2

CM

YK

273


Això correspon a una discontinuïtat essencial de la fun-ció, per al valor x = 0.

Per tant, en presenta una discontinuïtat ine-

vitable de salt finit.

8. Vegem si es compleixen les hipòtesis del teorema delsvalors intermedis:

• f és contínua en :

— g(x) = tg x és contínua en

i, per tant, és contínua en . Així, tg2 x

és contínua en .

— h(x) = 1 és contínua en pel fet de ser una funció constant.

Així, f és contínua en pel fet de ser combinació

lineal de funcions contínues en .

• El valor d = 2 està comprès entre f(0) i :

f(0) = 3 tg2 0 + 1 = 3 0 + 1 = 1

Així, .


Per calcular aquest valor, hem d’intentar resoldre l’e-quació:

=, ( )c tal que f c04

2

1 0 24

4= < < =f f( )

f tg4

34

1 3 1 1 42= + = + =

f4

04

,

04

,

04

,

04

,

04

,

� �+2

k k,

04

,

x =1

lim ( )

lim cos

limx

x

x

f x

xcos

=

= =

1

1

11

111 0

+=( )x

lim ( ) lim cosx x

f xx

= =0 0

1

Així, el valor buscat és .

9. Comprovar que les funcions f(x) i g(x) es tallin equi-val a buscar els punts on la funció F(x) té zeros,ja que

Com que f(x) és una funció exponencial i g(x) és unafunció polinòmica, són funcions contínues en tot elseu domini, en particular en els intervals que hem d’es-tudiar. Per tant, només hem de comprovar que els ex-trems dels intervals tinguin signes oposats:

Per tant, segons el teorema de Bolzano com a mínimhi ha un zero en cadascun dels intervals.

10. Com que:

• f (x) és contínua x �

• g (x) és contínua x �

• h (x) és contínua x � { 2, 2},

tenim que:

a) f + g és contínua x �

b) g h és contínua x � { 2, 2}

c) f h és contínua x � { 2, 2}

d) Considerant que la funció h s’anul·la per a

x = , la funció és contínua

x � { 2, 23

, 2}

UNITAT 10. DERIVADES

1.

El pendent de la recta secant és 5.

TVMf f

0 11 0

1 09 4

15,

( ) ( )[ ] = = =

gh

23

F f g( ) ( ) ( )

( ) ( )

= =

= +

2 2 2

2 2 2 22 1 3 (( ) ,

( )

( )

( )

( ) = >

= <

= >

=

2 10 5 0

1 1 0

1 2 0

2 6

F

F

F

f x g x f x g x F x( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = =0 0

c =6

= ± = ± =tg x x13

33 6

,x 04

f x tg x tg x( ) = + = =3 1 213

2 2

273

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

Això correspon a una discontinuïtat essencial de la fun-ció, per al valor x =0.

Per tant, en presenta una discontinuïtat ine-

vitable de salt finit.

8.Vegem si es compleixen les hipòtesis del teorema delsvalors intermedis:

•f és contínua en :

—g(x) =tg x és contínua en

i, per tant, és contínua en . Així, tg2x

és contínua en .

—h(x) =1 és contínua en pel fet de ser una funció constant.

Així, f és contínua en pel fet de ser combinació

lineal de funcions contínues en .

•El valor d =2 està comprès entre f(0) i :

f(0) =3tg20 +1 =3 0 +1 =1

Així, .


Per calcular aquest valor, hem d’intentar resoldre l’e-quació:

= ,() ctalquefc 04

2

1024

4 =<<= ff ()

ftg4

34

131142

=+=+=

f4

04

,

04

,

04

,

04

,

04

,

�� +2

kk,

04

,

x=1

lim()

limcos

lim x

x

x

fx

xcos

=

==

1

1

11

1110 += () x

lim()limcosxx

fxx

==00

1

Així, el valor buscat és .

9.Comprovar que les funcions f(x) i g(x) es tallin equi-val a buscar els punts on la funció F(x) té zeros,ja que

Com que f(x) és una funció exponencial i g(x) és unafunció polinòmica, són funcions contínues en tot elseu domini, en particular en els intervals que hem d’es-tudiar. Per tant, només hem de comprovar que els ex-trems dels intervals tinguin signes oposats:

Per tant, segons el teorema de Bolzano com a mínimhi ha un zero en cadascun dels intervals.

10.Com que:

•f (x) és contínua x �

•g (x) és contínua x �

•h(x) és contínuax � {2, 2},

tenim que:

a)f +g és contínua x �

b)gh és contínuax � {2, 2}

c)fh és contínuax � {2, 2}

d)Considerant que la funció h s’anul·la per a

x =, la funció és contínua

x � {2, 23

, 2}

UNITAT 10. DERIVADES

1.

El pendent de la recta secant és 5.

TVMff

0110

1094

15 ,

()()[]===

gh

23

Ffg ()()()

()()

==

=+

222

2222213

((),

()

()

()

()=>

=<

=>

=

21050

110

120

26

F

F

F

fxgxfxgxFx ()()()()() === 00

c=6

=±=±= tgxx13

336

, x04

fxtgxtgx ()=+== 31213

22

C M

Y K

274


2.L’equació de la recta tangent en x =2 és

yf(2) =f(2) (x 2 )

Calculem f(2) i f(2)•f(2) =2222 =0•f(x) =2x 2f(2) =2


y0 =2 (x 2)y=2 x 4

3.Calculem la derivada: f(x) =2x a.Calculem f(1) =2 a, i sabem que f(1) =2. Igua-lem i obtenim a =0

4.La recta y =4x té un pendent amb valor 4. Calcu-lem f(x) =4ax3 +2bx.Calculem f(1) i igualem el resultat a 4

f(1) =4a +2b =4

Sabem que la funció passa pel punt (1,1), de maneraque f(1) =1;

f(1) =a +b =1. Resolem el sistema format per les equa-cions que hem obtingut:

5.Podem veure que el punt crític de la funció és x =1.

Per veure si és contínua, calculem els límits laterals dela funció al voltant del punt crític.

Els límits laterals coincideixen amb el valor de la fun-ció en x =1; per tant, és contínua en x =1. Calculemla derivada:

Les derivades laterals no coincideixen, per tant la fun-ció no és derivable en x =1

6.Per tal d’estudiar la continuïtat, estudiem els límits la-terals en els punts críticsx =1 i x =0.

D’igualar els límits trobemque b =3 i a =.Calculem la derivada:

52

limx

x ++=0

2233

limx

axbb +=1

limx

axbab ++=+1

limx

xaa +=+1

22

=+

f() 11

= f() 12

=+

>fx

xsix

six()

221

11

limx

x++=1

12

limx

xx +=1

2212

424

134

ab

abaib

+=

+===

La funció no és derivable, ja que les derivades en elspunts crítics no coincideixen.

7.a)

b)

c)

d)

e)

8.a)Prenem logaritmes neperians en els dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:

ln f(x)=ln (x4x) =4x lnx

Derivem als dos costats de la igualtat

Aïllem f(x) i substituïm f(x) per la seva expressió:

b)Prenem logaritmes neperians en els dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:



c)Prenem logaritmes neperians en els dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:

ln()lnsin

lnsin

fxx

xx

xx

x

==

=+++++

(ln())ln()ln(ln()()

xxxx x 22

222

1111((() 21

12

xx

x+

=++++

fxxxxx

xx

()(ln())ln(ln())() 2122 11

21

11

1

12+

=ln() x

111

1

1

2 22 fx

fxxxx

x()

()ln(ln())()ln()

=+++xx

21 +

ln()ln(ln())()ln(ln()) fxxxxx

=+=+212

111

=+=+ fxfxxxxx

()()(ln)(ln) 41414

14

441

fxfxx

x

xx

()()ln(ln) =+=+

= fxxxxx ()coscos(sin)sin(sin) 4222

=()+ ()+

fxxx

x

xx

x()

13

11

4

3212

232

44

11

4

2

2

()+ ()

()

xx

x

= fxx

xx()

34

4

2

3

=+

fxxx

xx()

()

31221

7

43

232

= fxxx ()3462

=

<

fx

six

six

xs

()

21

52

10

4iix 0

274

Pro

post

es d

’ava

luac

ió2. L’equació de la recta tangent en x = 2 és

y f (2) = f (2) (x 2 )

Calculem f (2) i f (2)• f (2) = 22 2 2 = 0• f (x) = 2 x 2 f (2) = 2


y 0 = 2 (x 2) y = 2 x 4

3. Calculem la derivada: f (x) = 2x a.Calculem f (1) = 2 a, i sabem que f (1) = 2. Igua-lem i obtenim a = 0

4. La recta y = 4x té un pendent amb valor 4. Calcu-lem f (x) = 4ax3 + 2bx.Calculem f (1) i igualem el resultat a 4

f (1) = 4a + 2b = 4

Sabem que la funció passa pel punt (1,1), de maneraque f(1) = 1;

f(1) = a + b = 1. Resolem el sistema format per les equa-cions que hem obtingut:

5. Podem veure que el punt crític de la funció és x = 1.

Per veure si és contínua, calculem els límits laterals dela funció al voltant del punt crític.

Els límits laterals coincideixen amb el valor de la fun-ció en x = 1; per tant, és contínua en x = 1. Calculemla derivada:

Les derivades laterals no coincideixen, per tant la fun-ció no és derivable en x = 1

6. Per tal d’estudiar la continuïtat, estudiem els límits la-terals en els punts crítics x = 1 i x = 0.

D’igualar els límits trobem que b = 3 i a = .Calculem la derivada:

52

limx

x+

+ =0

22 3 3

limx

ax b b+ =1

limx

ax b a b+

+ = +1

limx

x a a+ = +1

2 2

=+f ( )1 1

=f ( )1 2

=+

>f x

x si x

si x( )

2 2 1

1 1

limx

x+

+ =1

1 2

limx

x x+ =1

2 2 1 2

4 2 4

13 4

a b

a ba i b

+ =

+ == =

La funció no és derivable, ja que les derivades en elspunts crítics no coincideixen.

7. a)

b)

c)

d)

e)

8. a) Prenem logaritmes neperians en els dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:

ln f(x) = ln (x4x) = 4 x ln x


Aïllem f (x) i substituïm f(x) per la seva expressió:

b) Prenem logaritmes neperians en els dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:



c) Prenem logaritmes neperians en els dos membresde la igualtat i n’apliquem les propietats:

ln ( ) lnsin

lnsin

f xx

xx

xx

x

= =

= ++ + + +

(ln( ))ln( ) ln(ln( ) ( )

xx x xx2 2

2 2 2

11 1 1 (( ( )2 1

12

x x

x +

= + + ++

f x x xx x

xx( ) (ln( )) ln(ln( ))

( )2 1 22

1 12 1

11

1

12 +=

ln( )x

11 1

1

1

222f x

f x x xx

x( )

( ) ln(ln( )) ( )ln( )

= + ++ xx2 1+

ln ( ) ln (ln( )) ( ) ln(ln( ))f x x x xx= + = +2 1 21 1 1

= + = +f x f x x x xx( ) ( ) (ln ) (ln )4 1 4 14

14

44 1

f xf x x

x

xx

( )( ) ln (ln )= + = +

=f x x x x x( ) cos cos (sin ) sin (sin )4 2 2 2

=( ) +( ) +

f xx x

x

x x

x( )

13

1 1

4

3 2 12

23 2

44

1 1

4

2

2

( ) +( )

( )

x x

x

=f xx

x x( )

3 4

4

2

3

=+

f xx x

x x( )

( )

3 12 21

7

4 3

2 3 2

=f x x x( ) 3 4 62

=

<

f x

si x

si x

x s

( )

2 1

52

1 0

4 ii x0

CM

YK

275




9. a)

b)

c)

10. a)

b)

= (1 + x2) 1 1 (1 + x2) =

11. a) La funció f(x) = �x3 1� es pot expressar:

Com que en x = 1 no sabem encara si és derivablela funció, la funció derivada en ( , 1) � (1, + )s’expressarà:

=<

>f x

x si x

x si x( )

3 1

3 1

2

2

=<

>

f xx si x

x si x( )

( )

( )

3

3

1 1

1 11

=<

f xx si x

x si x( )

( )3

3

1 1

1 1

=+

+ =+

1

10 2

2

12 2 2 2( )( )

( )xx

x

x

= =+

= + =f x f xx

x( ) ( ( )) (( ) )1

11

22 1

= =+

f x arc tg xx

( ) ( )1

1 2

= = =sin x x

sin x sin xx

2 2

2 221cos

cosec

= =(cos ) cos ( )x sin x x sin x

sin x2

= = =f x f xx

sin x( ) ( ( ))

cos

= ( ) = =f x sin xsin x

sin xx

sin x( ) ln( ) ( )

cos1

( )x x y y

x y x y y y yy x

3 2

2

4 0

3 4 4 2 04 3

+ =

+ + = =

22

2 2( )x y

( )x y x y

x y y y y

2 24 6 2 4 0

2 8 6 2 03

+ =

+ = =xxy1 4

( )x y x y y yxy

x

x

2 2

24 2 2 0

4+ = + = = =

= +f xx

xx

xxx

( )sin

lnsin

cossin

2

1

xx

x x x

xln

sin

sin cos

sin= +

1 1f x

f xx

xx

xx

x x

( )( ) ln

sinsin

sin cos= +

xx

xsin2=

Vegem si f és derivable en x = 1:

f (1 ) = 3 12 = 3 i f (1+) = 3 12 = 3

Com que no coincideixen, f (1) no existeix i, pertant, no és derivable en x = 1.

Així, l’expressió analítica de f és la donada ante-riorment.

A partir de l’expressió analítica de f podem cal-cular f (0):

f (0) = 3 0 = 0

El domini de f serà D(f) = � i el domini de f seràD(f ) = � {1}.

b) La funció g(x) = �x3� 1 es pot expressar:

Com que en x = 0 no sabem encara si és derivablela funció, la funció derivada en ( , 0) � (0, + )s’expressarà:

Vegem si g és derivable en x = 0:

g (0 ) = 0 = g (0+) g (0) = 0

Com que coincideixen, existeix g (x) i derivableen x = 0. Per tant, l’expressió analítica de g queresulta és:

A partir de l’expressió analítica de g podem cal-cular g (1):

g (1) = 3 12 = 3

El domini de g serà D(g) = � i el domini de g seràD(g ) = �.

c) La funció h(x) = �(x 1)3� es pot expressar:

Com que en x = 1 no sabem encara si és derivablela funció, la funció derivada en ( , 1) � (1, + )és:

h xx si x

x si x( )

( )

( )=

<1 1

1 1

3

3

=<

g xx si x

x si x( )

3 0

3 0

2

2

=<

>g x

x si x

x si x( )

3 0

3 0

2

2

=<

>g x

x si x

x si x( )

( )

( )

3

3

1 0

1 0

g xx si x

x si x( ) =

<3

3

1 0

1 0

275

Pro

post

es d

’ava

luac

ió



9.a)

b)

c)

10.a)

b)

=(1 +x2)11(1 +x2)=

11.a)La funció f(x) =�x31�es pot expressar:

Com que en x =1 no sabem encara si és derivablela funció, la funció derivada en (, 1) �(1, +)s’expressarà:

=<

>fx

xsix

xsix()

31

31

2

2

=<

>

fxxsix

xsix()

()

()

3

3

11

111

=<

fxxsix

xsix()

()3

3

11

11

=+

+=+

1

102

2

12222

()()

() xx

x

x

==+

=+= fxfxx

x ()(())(())1

11 2

21

==+

fxarctgxx

()()1

12

===sinxx

sinxsinxx

22

222 1 cos

cosec

==(cos)cos() xsinxxsinx

sinx2

=== fxfxx

sinx()(())

cos

=()== fxsinxsinx

sinxx

sinx()ln()()

cos 1

() xxyy

xyxyyyyyx

32

2

40

3442043

+=

++==

22

22() xy

() xyxy

xyyyy

2246240

286203

+=

+==xxy 14

() xyxyyyxy

x

x

22

24220

4+=+===

=+ fxx

xx

xxx

()sin

lnsin

cossin

2

1

xx

xxx

xln

sin

sincos

sin=+

11fx

fxx

xx

xx

xx

()()ln

sinsin

sincos=+

xx

x sin2=

Vegem si f és derivable en x =1:

f(1) =312=3 i f(1+) =3 12=3

Com que no coincideixen, f(1) no existeix i, pertant, no és derivable en x =1.

Així, l’expressió analítica de fés la donada ante-riorment.

A partir de l’expressió analítica de fpodem cal-cular f(0):

f(0) =30 =0

El domini de f serà D(f) =�i el domini de fseràD(f) =�{1}.

b)La funció g(x) =�x3�1 es pot expressar:

Com que en x =0 no sabem encara si és derivablela funció, la funció derivada en (, 0) �(0, +)s’expressarà:

Vegem si g és derivable en x =0:

g(0) =0 =g(0+) g(0) =0

Com que coincideixen, existeix g(x) i derivableen x =0. Per tant, l’expressió analítica de gqueresulta és:

A partir de l’expressió analítica de gpodem cal-cular g(1):

g(1) =312=3

El domini de g serà D(g) =�i el domini de gseràD(g) =�.

c)La funció h(x) =�(x 1)3�es pot expressar:

Com que en x =1 no sabem encara si és derivablela funció, la funció derivada en (, 1) �(1, +)és:

hxxsix

xsix()

()

()=

< 11

11

3

3

=<

gxxsix

xsix()

30

30

2

2

=<

>gx

xsix

xsix()

30

30

2

2

=<

>gx

xsix

xsix()

()

()

3

3

10

10

gxxsix

xsix()=

<3

3

10

10

C M

Y K

276


Vegem si h és derivable en x =1:

h(1) =0 =h(1+) h(1) =0

Com que coincideixen, existeix h(1) i és deriva-ble en x =1. Per tant, l’expressió analítica de hés:

A partir de l’expressió analítica de hpodem cal-cular h(0):

h(0) =3 (0 1)2=31 =3

El domini de h serà D(h) =�i el domini de hseràD(h) =�.

12.a)Les gràfiques de les dues funcions seran tangentsen el punt d’abscisses x =3 quan en aquest puntcoincideixin les funcions i les funcions derivades,és a dir,

Aleshores,

b)L’equació de la recta tangent demanada es pot cons-truir a partir de qualsevol de les dues funcions, perexemple a partir de f(x).

13.a)En primer lloc es calcula la derivada de la

funció,.

Ara calculem f(0), que proporciona un pendentigual a 1.

b)Per veure si hi ha altres punts, amb pendent igual

a 1, hem de trobar quins valors de x compleixen

que, operant, es

transforma en l’equació de segon grau

2402

xx +=

=+

+= fx

xx

x()

()1

21

11

2

2

=+

+fx

xx

x()

()

2

2

21

1

y4 +==33 () x

Comque,,l’equacióés: ff ()() 3433 ==

93492

633

172

=+

=

==ab

aab ,

fgfg ()(),()() 3333 ==

=<

hxxsix

xsix()

()

()

311

311

2

2

=<

>hx

xsix

xsix()

()

()

311

311

2

2

=<

hxxsix

x()

()

()

11

1

3

3ssix>1

Les solucions són

14.Perquè la funció sigui contínua en el punt x =2, calque els límits laterals existeixin, coincideixin i siguiniguals al valor de la funció en el punt.

Per tant, la funció és contínua en

Per estudiar la derivabilitat, calculem les derivades la-terals en el punt 2.

La funció és derivable en el punt

Si resolem el sistema següent:

obtenim la solució

15.El pendent de la recta tangent ha de ser 1. Per tant, caligualar la derivada de la funció aaquest valor.

L’equació de la recta tangent és

UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES

1.a)

En trobem un mínim.

b)

No hi ha cap valor real que compleixi aquesta igual-tat; per tant, la funció que ens ocupa no té extremsrelatius.

=+

=+

= fxx

xfx

x

x();()

2

2

2

2

10

10

13

23

,

f==13

23

=> fxMínim ()60

==== fxxfxxx ();(); 62062013

yx =+ 12 ln().

=+

==+= fxx

xxxx ()

2

11211 2

2

fxx ()ln() =+2

1

ab ==72

4 ,.

426

410

ab

ab

=

=

abab +=+= 4212410 si;x=2siinomés

=+=++

fxxbfb ()() 32122

=+=++

fxaxfa ()() 22242

abab +=+= 47132426 ,.x=2siinoméssi

lim()lim()

lim(xx

x

fxaxxa

f +

=++=+22

2

2

2347

xxxbxb

fbx

)lim()

()

=++=+

=+

+2

35132

2132

xx == 20 i.

276

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

Vegem si h és derivable en x = 1:

h (1 ) = 0 = h (1+) h (1) = 0

Com que coincideixen, existeix h (1) i és deriva-ble en x = 1. Per tant, l’expressió analítica de h és:

A partir de l’expressió analítica de h podem cal-cular h (0):

h (0) = 3 (0 1)2 = 3 1 = 3

El domini de h serà D(h) = � i el domini de h seràD(h ) = �.

12. a) Les gràfiques de les dues funcions seran tangentsen el punt d’abscisses x = 3 quan en aquest puntcoincideixin les funcions i les funcions derivades,és a dir,

Aleshores,

b) L’equació de la recta tangent demanada es pot cons-truir a partir de qualsevol de les dues funcions, perexemple a partir de f(x).

13. a) En primer lloc es calcula la derivada de la

funció, .

Ara calculem f (0), que proporciona un pendentigual a 1.

b) Per veure si hi ha altres punts, amb pendent igual

a 1, hem de trobar quins valors de x compleixen

que, operant, es

transforma en l’equació de segon grau

2 4 02x x+ =

=+

+=f x

x x

x( )

( )1

2 1

11

2

2

=+

+f x

x x

x( )

( )

2

2

2 1

1

y 4+ == 3 3( )x

Com que , , l’equació és:f f( ) ( )3 4 3 3= =

9 3 492

6 33

172

= +

=

= =a b

aa b,

f g f g( ) ( ), ( ) ( )3 3 3 3= =

=<

h xx si x

x si x( )

( )

( )

3 1 1

3 1 1

2

2

=<

>h x

x si x

x si x( )

( )

( )

3 1 1

3 1 1

2

2

=<

h xx si x

x( )

( )

( )

1 1

1

3

3 ssi x > 1

Les solucions són

14. Perquè la funció sigui contínua en el punt x = 2, calque els límits laterals existeixin, coincideixin i siguiniguals al valor de la funció en el punt.

Per tant, la funció és contínua en

Per estudiar la derivabilitat, calculem les derivades la-terals en el punt 2.

La funció és derivable en el punt

Si resolem el sistema següent:

obtenim la solució

15. El pendent de la recta tangent ha de ser 1. Per tant, caligualar la derivada de la funció aaquest valor.

L’equació de la recta tangent és

UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES

1. a)

En trobem un mínim.

b)

No hi ha cap valor real que compleixi aquesta igual-tat; per tant, la funció que ens ocupa no té extremsrelatius.

=+

=+

=f xx

xf x

x

x( ) ; ( )

2

2

2

2

10

10

13

23

,

f = =13

23

= >f x Mínim( ) 6 0

= = = =f x x f x x x( ) ; ( ) ;6 2 0 6 2 013

y x= +1 2ln( ).

=+

= = + =f xx

xx x x( )

2

11 2 1 1

22

f x x( ) ln( )= +2 1

a b= =72

4, .

4 2 6

4 10

a b

a b

=

=

a b a b+ = + =4 2 12 4 10si ;x = 2 si i només

= + = ++f x x b f b( ) ( )3 2 122

= + = ++f x ax f a( ) ( )2 2 2 4 2

a b a b+ = + =4 7 13 2 4 2 6, .x = 2 si i només si

lim ( ) lim ( )

lim (x x

x

f x a x x a

f+

= + + = +2 2

2

2

2 3 4 7

xx x b x b

f bx

) lim ( )

( )

= + + = +

= +

+2

3 5 13 2

2 13 2

x x= =2 0i .

CM

YK

277


c)

Aquest punt no pertany al domini de la funció, pertant la funció no té extrems relatius.

2. Imposem les condicions que compleix un punt d’in-flexió i les de l’enunciat per tal de trobar els paràme-tres.

Resolem el sistema i trobem que a = 12; b = 24 ic = 38.

3. Imposem les condicions f (x) < 0 i f (x) > 0 per tal detrobar els intervals de creixement i decreixement.

a)

Els zeros de f són:

Els punts de discontinuïtat de f són aquells queanul·len el denominador:

x2 2 x = 0 x = 0; x = 2

Els intervals determinats pels zeros i els punts dediscontinuïtat són:

( , 0) (0, 1,451) (1,451, 2) (2, 3,215) (3,215, + )

Construïm la taula de monotonia de f:

Per tant la funció és estrictament creixent en ( , 0), (0, 1,451) i (3,215, + ), i decreixent en (1,451, 2) i (2, 3,215).

b)

Els zeros de f són: =x

xx

( )

2

40

2 2== 0

= =f xx

x

x( )

( )

1

4

2

42 2 2

x3 22

2 2

14 14

20

7 73

3 215

7 73

1 45

+=

=+

=

= =

x

x x

x

x( )

,

, 11

= =+

f xx

x x

x x

x x( )

( )

7 3

2

3 14 14

22

2

2 2

f a b c

f a b

f a

( )

( )

( )

= + + =

= + + =

= +

1 2 0

2 24 4 0

2 24 2 == 0

x ==2

3

= = =f xx

x xf x

x

x x( ) ; ( ) ;

3 4

2 40

3 4

2 40

2

3

2

2


x2 4 = 0 x = 2; x = 2


( , 2) ( 2, 0) (0, 2) (2, + )


Per tant f és estrictament creixent en ( , 2) i ( 2, 0), i estrictament decreixent en (0, 2) i (2, + ).

c)

La derivada de la funció serà positiva per a qual-sevol valor de x. De manera que la funció és crei-xent per a tots els reals.

d)

4. a)

, de manera que f(x) es còn-cava per a aquest interval.

, de manera que f(x) és con-vexa per a aquest interval.

b)

, de manera que f(x) és còn-cava per a aquest interval.

, de manera que f(x) ésconvexa per a aquest interval.

c) = = =f x x f x x x( ) ( ); ( ) ( ) ;6 3 6 3 0 3

En f x( , ) ( )+ >1 0

En f x( , ) ( ) <1 0

= + =

+ =

f x e x f x

e x x

x

x

( ) ( ); ( )

( ) ;

4 1 0

4 1 0

2

2 == 1

En f x( , ), ( )0 0+ >

En f x( , ) ( ) <1 0

= = = =f x x f x x x( ) ; ( ) ,6 0 6 0 0

En f x f x és creixent, , ( ) , ( ) .+( ) <3 3 0

En f x f x és creixent, , ( ) , ( ) .+( ) >3 3 3 3 0

En f x f x és decreixent( , ), ( ) , ( )<3 3 0 ..

+x x(2 6 62 ))

( );

20 3 3

2= = ±

xx

=+

=f xx x

xf x( )

( )

( ); ( )

2 6 6

20

2

2

=+

f xx

( )( )

5

1 2

x ( , 0) (0, 1,451) (1,451, 2) (2, 3,215) (3,215, + )

f (x) + + +

f(x)

x ( , 2) ( 2, 0) (0, 2) (2, + )

f (x) + +

f(x)

277

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

c)

Aquest punt no pertany al domini de la funció, pertant la funció no té extrems relatius.

2.Imposem les condicions que compleix un punt d’in-flexió i les de l’enunciat per tal de trobar els paràme-tres.

Resolem el sistema i trobem que a =12; b =24 ic =38.

3.Imposem les condicions f(x) <0 i f(x) >0 per tal detrobar els intervals de creixement i decreixement.

a)

Els zeros de fsón:


x22x=0 x=0; x=2


(, 0) (0, 1,451) (1,451, 2) (2, 3,215) (3,215, +)


Per tant la funció és estrictament creixent en (, 0), (0, 1,451) i (3,215, +), i decreixent en (1,451, 2) i (2, 3,215).

b)

Els zeros de fsón: =x

xx

()

2

40 22==0

== fxx

x

x()

()

1

4

2

4222

x 322

22

1414

20

773

3215

773

145

+=

=+

=

==

x

xx

x

x()

,

,11

==+

fxx

xx

xx

xx()

()

73

2

31414

22

2

22

fabc

fab

fa

()

()

()

=++=

=++=

=+

120

22440

2242==0

x==2

3

=== fxx

xxfx

x

xx();();

34

240

34

240

2

3

2

2


x2 4 =0 x =2; x =2


(, 2) (2, 0) (0, 2) (2, +)


Per tant f és estrictament creixent en (, 2) i (2, 0), i estrictament decreixent en (0, 2) i (2, +).

c)

La derivada de la funció serà positiva per a qual-sevol valor de x. De manera que la funció és crei-xent per a tots els reals.

d)

4.a)

, de manera que f(x) es còn-cava per a aquest interval.

, de manera que f(x) és con-vexa per a aquest interval.

b)

, de manera que f(x) és còn-cava per a aquest interval.

, de manera que f(x) ésconvexa per a aquest interval.

c)=== fxxfxxx ()();()(); 636303

Enfx (,)() +> 10

Enfx (,)()< 10

=+=

+=

fxexfx

exx

x

x

()();()

();

410

410

2

2==1

Enfx (,),() 00 +>

Enfx (,)()< 10

==== fxxfxxx ();(), 60600

Enfxfxéscreixent ,,(),(). + ()< 330

Enfxfxéscreixent ,,(),(). + ()> 33330

Enfxfxésdecreixent (,),(),() < 330..

+ xx (2662

))

();

2033 2==±

xx

=+

= fxxx

xfx ()

()

();()

266

20

2

2

=+

fxx

()()

5

12

x(, 0)(0, 1,451)(1,451, 2)(2, 3,215)(3,215, +)

f(x)+++

f(x)

x(, 2)(2, 0)(0, 2)(2, +)

f(x)++

f(x)

C M

Y K

278


, de manera que la funció éscòncava per a aquest interval.

, de manera que la funció ésconvexa per a aquest interval.

5.DominiD(f) =�{ 1}

Punts de tall

Eix OX en x =0.

Eix OY en y =0.

Simetria i periodicitat

Ja que f(x)f(x) i f(x) f(x), f no és simètrica.Tampoc és periòdica.

Asímptotes

La recta x =1 és una asímptota vertical ja que:

La recta y =1 és una asímptota horitzontal per la dre-ta i l’esquerra ja que:

No té asímptotes obliqües, perquè presenta una asímp-tota horitzontal.

Intervals de monotonia i extrems relatius

Calculem la funció derivada .

Resolem l’equació f(x) =0 x =0

Considerem els intervals determinats per x =0 i els puntsde discontinuïtat de f:

Per tant f és estrictament decreixent en (, 0) i (1, +), i estrictament creixent en (0,1). En x =0, f té un mínim.

Intervals de curvatura

Calculem la funció derivada segona:

Resolem l’equacióf(x)=0:

Considerem els intervals determinats per i elspunts de discontinuïtat de f:

= x12

+== xx () 221012

=+

fxx

x()

()

()

221

14

= fxx

x()

()

2

13

lim();lim()xx

fxfx+

== 11

lim()x

fx=+1

Enfx (,)() 30 >

Enfx (,)()< 30

Així f és còncava en i convexa en

i (1, +). En té un punt d’inflexió,

Representació gràfica

6.Si anomenem x el costat del quadrat i y el radi del cer-cle, el perímetre és 4x +2y =2.Aïllem:

L’àrea, és a dir, la funció que s’ha de minimitzar és

. Substituint y per la seva expressió, te-nim:

Imposem la condició f(x) =0 i obtenim el valor

x =

Comprovem que correspon a un mínim:

. Per tant, f té un mínim

en .

Així doncs, la longitud del costat del quadrat és de

m i el radi del cercle de m.

7.Sigui el cilindre d’altura y, i base de radi x.El volum del cilindre és .

Aïllant.

La superfície del cilindre, és a dir, la funció que s’hade minimitzar és:

yx

=1

2

xy2

1 =

+

14 +

24

x=+

24

f+

=+

>2

424

0()

x=+

24

+

24

fxxx ()() =++1

4412

fxxy ()=+22

yx

=212

2

()

1

f(x) =(1 – x)

2

x2

Y

3X 579 –3 –5 –7

5

3

–1–11

=12

19

, PI

= x12

12

1, ,12

x(, 0)0(0, 1)1(1, +)

f0+�fm

x1(1, +)

f0+�+

fPI

12

1, 12

,12

��

278

Pro

post

es d

’ava

luac

ió, de manera que la funció és

còncava per a aquest interval.

, de manera que la funció ésconvexa per a aquest interval.

5. Domini D(f) = � { 1}

Punts de tall

Eix OX en x = 0.

Eix OY en y = 0.

Simetria i periodicitat

Ja que f( x) f(x) i f( x) f(x), f no és simètrica.Tampoc és periòdica.

Asímptotes

La recta x = 1 és una asímptota vertical ja que:

La recta y = 1 és una asímptota horitzontal per la dre-ta i l’esquerra ja que:

No té asímptotes obliqües, perquè presenta una asímp-tota horitzontal.

Intervals de monotonia i extrems relatius

Calculem la funció derivada .

Resolem l’equació f (x) = 0 x = 0

Considerem els intervals determinats per x = 0 i els puntsde discontinuïtat de f :

Per tant f és estrictament decreixent en ( , 0) i (1, + ), i estrictament creixent en (0,1). En x = 0, f té un mínim.

Intervals de curvatura

Calculem la funció derivada segona:

Resolem l’equació f (x) = 0:

Considerem els intervals determinats per i elspunts de discontinuïtat de f :

=x12

+ = =x x( )2 2 1 012

=+

f xx

x( )

( )

( )

2 2 1

1 4

=f xx

x( )

( )

2

1 3

lim ( ) ; lim ( )x x

f x f x+

= =1 1

lim ( )x

f x = +1

En f x( , ) ( )3 0>

En f x( , ) ( ) <3 0

Així f és còncava en i convexa en

i (1, + ). En té un punt d’inflexió,

Representació gràfica

6. Si anomenem x el costat del quadrat i y el radi del cer-cle, el perímetre és 4 x + 2 y = 2.Aïllem:

L’àrea, és a dir, la funció que s’ha de minimitzar és

. Substituint y per la seva expressió, te-nim:

Imposem la condició f (x) = 0 i obtenim el valor

x =

Comprovem que correspon a un mínim:

. Per tant, f té un mínim

en .

Així doncs, la longitud del costat del quadrat és de

m i el radi del cercle de m.

7. Sigui el cilindre d’altura y, i base de radi x.El volum del cilindre és .

Aïllant .

La superfície del cilindre, és a dir, la funció que s’hade minimitzar és:

yx

=1

2

x y2 1=

+

14+

24

x =+

24

f+

=+

>2

42 4

0( )

x =+

24

+

24

f x x x( ) ( )= + +1

4 4 12

f x x y( ) = +2 2

yx

=2 1 2

2

( )

1

f(x) =(1 – x)2

x2

Y

3 X5 7 9–3–5–7

5

3

–1–1 1

=12

19

,PI

=x12

12

1,,12

x ( , 0) 0 (0, 1) 1 (1, + )

f 0 + �f m

x 1 (1, + )

f 0 + � +

f PI

12

1,12

,12

� ��

CM

YK

279

Propostes de’avaluació

Imposem S (x) = 0 i trobem el valor de x que ho com-

pleix: .

Substituïm aquest valor en la segona derivada

. En x0 tenim un mínim.

La base del cilindre té un radi de ,

i la seva altura és .

8. Anomenem x l’aresta de la base i y l’altura del prisma.La suma de la longitud de les arestes té l’expressió8 x + 4 y = 48; y = 12 2 x.

El volum que és la funció que s’ha de maximitzar tél’expressió V = x2y = x2(12 2 x).

V (x) = 6 x(4 x) = 0 x= 0 o x= 4.

Substituïm els dos valors en la segona derivada:

V (0) = 24 > 0. En x = 0 hi ha un mínim.

V (4) = 24 < 0. En x = 4 hi ha un màxim.

Així, el prisma de base quadrada i màxim volum té la longitud de les seves arestes igual a la seva altura (4 cm); és a dir, és un cub.

9. Anomenem x i y els nombres que busquem.

x + y = 20; y = 20 x.

L’expressió que s’ha de minimitzar és:

S(x)= x2 + y2; S(x) = x2 + (20 x)2

Trobem el valor de x que anul·la S (x) = 4(x 10); x= 10.

Substituïm aquest valor en S (x), S (10) = 4 > 0. Enx= 10 estem davant d’un mínim.

Els nombres que buscàvem són x = y = 10.

10. Fem un esquema gràfic del dipòsit.

Podem veure que la superfície de la base quadrada serà(2 r)2 i la superfície de la paret cilíndrica, 2 r h. Te-nint en compte les dades de cost, podem escriure:

2r

h

r

y =4

3

x =1

23

S x( )( )

= >2 2 1

02

x =1

23

S x x x y xx

( ) = + = +2 2 212 2 126 = V = r2 h h =

C = 70 (2 r)2 + 60 2 r h

Substituint h podem expressar el cost en funció d’unavariable:

C = 70 4 r2 + 60 2 r =

= 70 4 r2 + 60 2

Derivant i igualant a zero deduirem el valor òptim der:

La derivada segona de C tindrà dos termes positius ensubstituir la r per 3; per tant, C (3) > 0. Això ens garanteix que en r = 3 hi ha un mínim de C. En con-seqüència, les dimensions més econòmiques seran

r = 3 m y h = m.

11. Si f passa pel punt (0, 1):

1 = f(0) = 0 0 + 0 + c c = 1

El pendent de la recta 18 x 2 y + 1 = 0, paral·lela

a la tangent a f en (0, 1), és m = = 9.

La funció derivada de f és:

f (x) = 3 ax2 12 x + b

Per tant:

9 = f (0) = 0 0 + b b = 9

La derivada segona de f és f (x) = 6 a x 12.

Si en x = 2 hi ha un punt d’inflexió, la derivada sego-na en x = 2 s’ha d’anul·lar:

0 = f (2) = 6 a 2 12 a = = 1 a = 1

L’expressió analítica de f serà:

f(x) = x3 6 x2 + 9 x + 1

La funció derivada de f serà:

f (x) = 3 x2 12 x + 9

1212

182

14

=

= =

=

C rr

C rr

r

70 8 60 2126

0 70 8 60 2126

2

2

3 660 2126

70 8

60 2126

70 83

126

3

14

3

2

= =

= =

r

h

126r

1262r

1262r

279

Pro

post

es d

e’av

alua

ció

Imposem S(x) =0 i trobem el valor de x que ho com-

pleix:.

Substituïm aquest valor en la segona derivada

. En x0tenim un mínim.

La base del cilindre té un radi de,

i la seva altura és.

8.Anomenem x l’aresta de la base i y l’altura del prisma.La suma de la longitud de les arestes té l’expressió8x +4y =48; y =12 2x.

El volum que és la funció que s’ha de maximitzar tél’expressió V =x2y =x2(12 2x).

V(x) =6x(4 x) =0 x=0 o x=4.

Substituïm els dos valors en la segona derivada:

V(0) =24 >0. En x =0 hi ha un mínim.

V(4) =24 <0. En x =4 hi ha un màxim.

Així, el prisma de base quadrada i màxim volum té la longitud de les seves arestes igual a la seva altura (4 cm);és a dir, és un cub.

9.Anomenem x i y els nombres que busquem.

x +y =20; y =20 x.

L’expressió que s’ha de minimitzar és:

S(x)=x2+y2; S(x) =x2 +(20 x)2

Trobem el valor de x que anul·la S(x) =4(x 10); x=10.

Substituïm aquest valor en S(x), S(10) =4 >0. Enx=10 estem davant d’un mínim.

Els nombres que buscàvem són x =y =10.

10.Fem un esquema gràfic del dipòsit.

Podem veure que la superfície de la base quadrada serà(2r)2i la superfície de la paret cilíndrica, 2r h. Te-nint en compteles dades de cost, podem escriure:

2r

h

r

y=4 3

x=1

2 3

Sx()()

=>221

02

x=1

2 3

Sxxxyxx

()=+=+ 2221 22126 =V =r2h h =

C =70 (2r)2+60 2r h

Substituint h podem expressar el cost en funció d’unavariable:

C =70 4 r2+60 2r =

=70 4 r2+60 2

Derivant i igualant a zero deduirem el valor òptimder:

La derivada segona de C tindrà dos termes positius ensubstituir la r per 3; per tant,C(3) >0. Això ens garanteix que enr =3 hi ha un mínimde C. En con-seqüència, les dimensions més econòmiques seran

r =3 m y h =m.

11.Si f passa pel punt (0, 1):

1 =f(0) =0 0 +0 +c c =1

El pendent de la recta18 x 2 y +1 =0, paral·lela

a la tangent a f en (0, 1), és m ==9.

La funció derivada de f és:

f(x) =3 ax212 x +b

Per tant:

9 =f(0) =0 0 +b b =9

La derivada segona def és f(x) =6a x 12.

Si en x =2 hi ha un punt d’inflexió, la derivada sego-na enx =2 s’ha d’anul·lar:

0 =f(2) =6a 2 12 a ==1 a =1

L’expressió analítica de f serà:

f(x) =x36 x2+9 x +1

La funció derivada de f serà:

f(x) =3 x212 x +9

1212

182

14

=

==

=

Crr

Crr

r

708602126

0708602126

2

2

36602

126708

602126

7083

126

3

14

3

2

==

==

r

h

126r

1262

r

1262

r

C M

Y K

280


En els extrems relatius, la primera derivada s’anul·la.Haurem de buscar, per tant, els valors dex que anul·lenla primera derivada:

0 =3 x212 x +9

La derivada segonade f és f(x) =6 x 12. Substituintper3 i 1 en f(x), determinarem si hi ha màxim rela-tiu, mínim relatiu o punt d’inflexió.

f(1) =6 12 =6 <0

hi ha un màxim relatiu en x =1

f(3) =18 12 =6 >0

hi ha un mínim relatiu enx =3

12.a)El domini de la funció és tot�.

Com que no té solució, la funció no ta-lla l’eix horitzontal.

Com que , la funció talla l’eix vertical en elpunt (0,1).

b)La derivada és:

La derivada només s’anul·la per a x =1. Per a qual-sevol valor de x inferior a 1 la derivada és positiva ien qualsevol superior és negativa; per tant, la funciócreix eni decreix en . Per tant, elpunt és un màxim relatiu.

c)•A.V.: No té asímptotes verticals

•A.H.:

Per tant, y=0 és

una asímptota horitzontal en tots dos costats.


d) La representació gràfica és

f(x) = e–x2 + 2x

X

Y

0,5

1

–1123 –0,5

2

3

–1,5

–0,5

0,5

1,5

2,5

1,52,5

limlimx

xx

x

xxee

++==

2222

0

(,) 1e(,) 1+ (,)1

=+=++

fxexexxxxx

()()()22

222221

f()01 =

exx

=2

20

x=±

=±

=1212108

6126

6

3

1

2

13.Siguinx i y els catets del triangle. Segons Pitàgores, sa-bem que x2+y2=102.Aïllem el valor de la variabley en funció de la x:

El perímetre del triangle és:

Per trobar el màxim d’aquest valor, calculem la deri-vada del perímetre respecte dex.

Igualem aquesta expressió a zero i calculem el valor dela variable x:

El valor negatiu no té sentit en aquest problema. Aixídoncs, ens quedarem amb

Aleshores,

Per tal de fer la comprovació demanada, podem bus-car el signe de la derivada segona de la funcióP(x) enel punt

Que la segona derivada sigui negativa ens diu que elpuntcorrespon a un màxim.

La comprovació també es pot fer analitzant el signe dela primeraderivada de la funció perímetre, tenint encompte que el dominide la funció

14.D’acord amb la relació, el temps, t1, que em-

prarà el cotxe a recórrer els 300 km (que equivalen a300000 m) serà:

tev

nn

==

+

=

=+

15

2

300000

310

5400531

54005nnn2

31

vet

=

(,) 1052(,) 5210

> Px()0< Px()0

La funció creixLa funció decreix

Px()(,). és1010

5252 , ()

Pxx

P ()()

()()

// ==100

10052

100

100502323220 <

x=52.

y=()= 10052522

x=52.

===± xxxx 10021005222

== Pxx

x()01

1000

2

= Pxx

x()1

1002

Pxyxx =++=+ 10101002

yx =1002

280

Pro

post

es d

’ava

luac

ióEn els extrems relatius, la primera derivada s’anul·la.Haurem de buscar, per tant, els valors de x que anul·lenla primera derivada:

0 = 3 x2 12 x + 9

La derivada segona de f és f (x) = 6 x 12. Substituintper 3 i 1 en f (x), determinarem si hi ha màxim rela-tiu, mínim relatiu o punt d’inflexió.

f (1) = 6 12 = 6 < 0

hi ha un màxim relatiu en x = 1

f (3) = 18 12 = 6 > 0

hi ha un mínim relatiu en x = 3

12. a) El domini de la funció és tot �.

Com que no té solució, la funció no ta-lla l’eix horitzontal.

Com que , la funció talla l’eix vertical en elpunt (0,1).

b) La derivada és:

La derivada només s’anul·la per a x = 1. Per a qual-sevol valor de x inferior a 1 la derivada és positiva ien qualsevol superior és negativa; per tant, la funciócreix en i decreix en . Per tant, elpunt és un màxim relatiu.

c) • A.V.: No té asímptotes verticals

• A.H.:

Per tant, y = 0 és

una asímptota horitzontal en tots dos costats.


d) La representació gràfica és

f(x) = e–x2 + 2x

X

Y

0,5

1

–1 1 2 3–0,5

2

3

–1,5

–0,5

0,5

1,5

2,5

1,5 2,5

lim limx

x x

x

x xe e+ += =2 22 2 0

( , )1 e( , )1 +( , )1

= + =+ +f x e x e xx x x x( ) ( ) ( )2 22 22 2 2 1

f( )0 1=

e x x =2 2 0

x =±

=±

=12 12 108

612 6

6

3

1

2

13. Siguin x i y els catets del triangle. Segons Pitàgores, sa-bem que x2 + y2 = 102.Aïllem el valor de la variable y en funció de la x:

El perímetre del triangle és:

Per trobar el màxim d’aquest valor, calculem la deri-vada del perímetre respecte de x.

Igualem aquesta expressió a zero i calculem el valor dela variable x:

El valor negatiu no té sentit en aquest problema. Aixídoncs, ens quedarem amb

Aleshores,

Per tal de fer la comprovació demanada, podem bus-car el signe de la derivada segona de la funció P(x) enel punt

Que la segona derivada sigui negativa ens diu que elpunt correspon a un màxim.

La comprovació també es pot fer analitzant el signe dela primera derivada de la funció perímetre, tenint encompte que el domini de la funció

14. D’acord amb la relació , el temps, t1, que em-

prarà el cotxe a recórrer els 300 km (que equivalen a300 000 m) serà:

tev

n n

= =

+

=

= +

1 5

2

300 000

3 10

5 400 5 31

5 400 5 nn n2 31

vet

=

( , )10 5 2 ( , )5 2 10

>P x( ) 0 <P x( ) 0

La funció creix La funció decreix

P x( ) ( , ).és 10 10

5 2 5 2,( )

P xx

P( )( )

( )( )/ /

= =100

1005 2

100

100 502 3 2 3 220<

x = 5 2.

y = ( ) =100 5 2 5 22

x = 5 2.

= = = ±x x x x100 2 100 5 22 2

= =P xx

x( ) 0 1

1000

2

=P xx

x( ) 1

100 2

P x y x x= + + = +10 10 100 2

y x= 100 2

CM

YK

281


El temps, t2, que emprarà en n canvis de pneumà-tics serà:

t2 = 10 n

El temps total, T, emprat en la cursa en funció delnombre de canvis de pneumàtics, n, realitzat val-drà:

T(n) = 5 400 + 5 n2 31 n + 10 n =

= 5 400 + 5 n2 21 n

El valor de n que minimitza el temps T haurà d’anul·larla primera derivada de T(n) respecte de n:

T (2,1) = 10 > 0, la qual cosa garanteix que hi ha unmínim per a t = 2,1.

És evident que en una cursa no es poden fer 2,1 can-vis de pneumàtics (només és possible un nombre en-ter de canvis); per tant, direm que l’escuderia ha defer 2 canvis de pneumàtics.

UNITAT 12. INTEGRALS I APLICACIONS

1. a)

b)

c)

2. a)

b) xdx

x

t x x t

dt x dx dx t dt+

= + =

= + =2

2 2

2 2

2

12( )

= =

=

( )( )

t t dt

tt dt

t

22

2

2 22 2

23

22 22

32 2t C

xx C+ =

++ +

= 33 1 32 23 3+ + + = ( ) +t t t C x x Cln( )

+=

+= +

+=

3

13

13 1

11

2 2t

tdt

tt

dt tt

dt( )

dx

x

t x x t

dtx

dx d11

33

3 3

23+

= =

= xx t dt= 3 2

22

2sin

sinx

x

x dxln

C= +cos

= +ln xx

C2

x dx x dx= +132 == + + =ln x

xC

12

12

x x

xdx

x

xdx

x

xdx

+= + =

2 2 2

1

( )e x dx e dx x dx ex

Cx x x+ = + = + +2 23

3

0 10 212110

2 1= = = =T n n n( ) , ,

c)

3. a)

b)

c)

4. a)

b)

c) Expressem l’integrand com a suma de fraccionssimples:

Els resultats són A = , B = i C = 1.12

12

2

2 2 22 2x x

Ax

Bx

C

x( ) ( ) ( )= + +

( )( )

( )

x x

xdx

x xx

dx

x d

2 3 2

11 2

1

2

+= =

= xxx

x C= +2

22

25 1

25

55 1

25

5 1

xdx

xdx

x C

= =

= +ln ( )

x x dxu x du

xdx

dv x dx v x

2

2 3

1

13

lnln= =

= =

= =

=

x xdx x x xx

dx

x

2 3 3

3

13

13

1

13

ln ln

lnn x x C+19

3

( )coscos

x x dxu x du dx

dv x dx v x+

= + =

= =1

1

sin

+ = + =

=

( )cos ( )

(

x x dx x x x dx1 1 sin sin

xx x x C+ + +1) cossin

33 3

3

xe dxu x

dv e dx

du dx

v e

xe

xx x

x

=

=

=

=

ddx xe e dx xe e C

e x C

x x x x

x

= = + =

= +

3 3 3 3

3 1( )

32

21

31

++

( )ee

xx + C

3

23

= + =t

t C

2 2

2

1 1

12 2=

tt t

t dt t( )

( 22 1 =)dt

e

edx

t e x t

e t dxt

x

x

x

x

22

2 2 21

1 1

11

+

= + =

= =

ln( )

( )22 1

2 t dt

281

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

El temps, t2, que emprarà en n canvis de pneumà-tics serà:

t2=10 n

El temps total, T, emprat en la cursa en funció delnombre de canvis de pneumàtics, n, realitzat val-drà:

T(n) =5400 +5 n231 n +10 n =

=5400 +5 n221 n

El valor de n que minimitza el temps T haurà d’anul·larla primera derivada de T(n) respecte de n:

T(2,1) =10 >0, la qual cosa garanteix que hi ha unmínim per a t =2,1.

És evident que en una cursa no es poden fer 2,1 can-vis de pneumàtics(només és possible un nombre en-ter de canvis); per tant, direm que l’escuderia ha defer 2 canvis de pneumàtics.

UNITAT 12.INTEGRALS I APLICACIONS

1.a)

b)

c)

2.a)

b)xdx

x

txxt

dtxdxdxtdt+

=+=

=+=2

22

22

2

12 ()

==

=

()()

ttdt

ttdt

t

22

2

2222

23

2222

322 tC

xxC +=

+++

=331322 33

+++=()+ tttCxxC ln()

+=

+=+

+=

3

13

131

11

22 t

tdt

tt

dttt

dt ()

dx

x

txxt

dtx

dxd 11

33

33

2 3 +

==

=xxtdt =32

22

2sin

sinx

x

xdxln

C =+ cos

=+ lnxx

C2

xdxxdx =+1

32==++= lnx

xC

12

12

xx

xdx

x

xdx

x

xdx

+=+= 222

1

() exdxedxxdxex

Cxxx+=+=++

223

3

010212110

21 ==== Tnnn (),,

c)

3.a)

b)

c)

4.a)

b)

c)Expressem l’integrand com a suma de fraccionssimples:

Els resultats són A =, B =i C =1. 12

12

2

22222

xx

Ax

Bx

C

x ()()()=++

()()

()

xx

xdx

xxx

dx

xd

232

112

1

2

+==

=xxx

xC =+2

22

251

25

551

25

51

xdx

xdx

xC

==

=+ ln()

xxdxuxdu

xdx

dvxdxvx

2

23

1

13

lnln ==

==

==

=

xxdxxxxx

dx

x

233

3

13

13

1

13

lnln

lnnxxC+19

3

()coscos

xxdxuxdudx

dvxdxvx+

=+=

==1

1

sin

+=+=

=

()cos()

(

xxdxxxxdx 11sinsin

xxxxC +++ 1)cos sin

333

3

xedxux

dvedx

dudx

ve

xe

xxx

x

=

=

=

=

ddxxeedxxeeC

exC

xxxx

x

==+=

=+

3333

31 ()

32

21

31

++

() ee

xx

+C3

23

=+=t

tC

22

2

11

122 =

ttt

tdtt()

(22

1= )dt

e

edx

text

etdxt

x

x

x

x

22

2221

11

11

+

=+=

==

ln()

()221

2tdt

C M

Y K

282


d)Expressem l’integrand com a suma de fraccionssimples:

Els resultats són A =1, B =2 i C =1

5.Solucionem la integral amb el canvi

Imposem F(0) =0; F(0) =+C, de manera que

C=.

La primitiva que busquem és:

6.Calculem la primitiva i obtenim

Imposem les condicions i obtenim C =2 i a =0.

7.a)

b)

c)edxe

ex

x22

22

1

02

1

0

212

1+

+

==()

32

32332 0

1

01

xdxx

+=+ []= ln()ln

452

10 == ()6652

32

2

2

33

2

2

3

xxdxxx

()==

Fxaxa

xxC ()=++

2

3

3

24

3

2

Fxx ()() =+23

123

2

23

23

dtx

xdxt

xdxxdxtdt

xxdx

=+

==

+

1

212

12

222

21

2

2===++ 2

23

1223

tdtxC ()

tx =+2

1

2 12

11

21=+ ln()

()x

xxC

xdx

x2

2

1

1

1++

()()22= dx

x

xdx

xdx

2

2

1

1

11

+=+

()

x

x

Ax

B

x

C

x

2

32

1

1111

+=++

()()()

2

2

12

112

12

1

2

2xx

dxx

dxx

dx

x

()()

()

=+

+22

12

12

2

12

lnln() dxxx

xC

=

+

8.Trobem els punts de tall de la paràbola amb la recta,y =7:

7 =x2+3 x =±2

Així que integrarem la paràbola entre x =2i x =2.

9.Si representem gràficament el recinte, podem com-provar que aquest es pot descomposar en dos subin-tervals, el primer entre 0 i 1 delimitat per la gràfica de

les paràboles y=x2i y=; i el segon entre 1 i 4 de-

limitat per la recta y=x i la paràbola y=. Calcu-

lem l’àrea de cada recinte:

Per tant:

10.Per trobar el volum, calculem la integral

11.Tenint en compte que, segons l’enunciat, m >0, l’es-quema gràfic de y =(x 1)2i la recta y =m (x 1) és el que s’indica en la figura.

Sigui a l’abscissa del punt de tall entre les corbes dife-rent de (1, 0). Evidentment:

(a 1)2=m (a 1)

I pel fet de ser a 1:

a 1 =m , a =m +1

L’àrea A s’obté:

Amxdxxdx

mx

mm==

=

++

()()

()

11

12

1

12

1

1

2

=

++

1

13

1

11

3

mmx()

1a

A

Y

X

y = (x–1)2 y = m(x–1)

Vxdxxxdx

xx

==+=

=

()() 329124

36

2

1

42

1

4

3221

4341121111 +== xu ()

14

2712

3012

52

122

=+=+== AAAu

Axx

dxx

dxx

12

2

0

12

0

13

0

1

4

3

44====

114

4212321

2

2

1

423

1

4

Axx

dxxx

===22

512

2712

=

x2

4

x2

4

Axdxx

xu =+=+= ()2

2

23

2

22

33

3523

282

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

d) Expressem l’integrand com a suma de fraccionssimples:

Els resultats són A = 1, B = 2 i C = 1

5. Solucionem la integral amb el canvi

Imposem F(0) = 0; F(0) = + C, de manera que

C = .

La primitiva que busquem és:

6. Calculem la primitiva i obtenim

Imposem les condicions i obtenim C = 2 i a = 0.

7. a)

b)

c) e dxe

exx

2 22 2

1

02

1

0

212

1++

= = ( )

32

3 2 3320

1

01

xdx x

+= +[ ] =ln( ) ln

452

10= =( )6652

32

2

2

33

2

2

3

x x dx xx( ) = =

F xax a

xx C( ) = + +

2

3

3

24

3

2

F x x( ) ( )= +23

123

2

23

23

dtx

x dxt

x dx x dx t dt

x x dx

=+

= =

+

1

2 12

12

2 2 2

2 1

2

2 == = + +223

12 2 3t dt x C( )

t x= +2 1

21

21

1

2 1= +ln( )

( )x

x xC

xdx

x2

2

1

1

1+ +

( ) ( )22=dx

x

xdx

xdx

2

2

1

1

11

+= +

( )

x

x

Ax

B

x

C

x

2

3 2

1

1 1 1 1

+= + +

( ) ( ) ( )

2

2

12

1 12

12

1

2

2x xdx

xdx

xdx

x

( ) ( )

( )

= +

+22

12

12

2

12

ln ln ( )dx x x

xC

=

+

8. Trobem els punts de tall de la paràbola amb la recta,y = 7:

7 = x2 + 3 x = ±2

Així que integrarem la paràbola entre x = 2 i x = 2.

9. Si representem gràficament el recinte, podem com-provar que aquest es pot descomposar en dos subin-tervals, el primer entre 0 i 1 delimitat per la gràfica de

les paràboles y = x2 i y = ; i el segon entre 1 i 4 de-

limitat per la recta y = x i la paràbola y = . Calcu-

lem l’àrea de cada recinte:

Per tant:

10. Per trobar el volum, calculem la integral

11. Tenint en compte que, segons l’enunciat, m > 0, l’es-quema gràfic de y = (x 1)2 i la recta y = m (x 1) és el que s’indica en la figura.

Sigui a l’abscissa del punt de tall entre les corbes dife-rent de (1, 0). Evidentment:

(a 1)2 = m (a 1)

I pel fet de ser a 1:

a 1 = m , a = m + 1

L’àrea A s’obté:

A m x dx x dx

m x

m m= =

=

+ +

( ) ( )

( )

1 1

12

1

12

1

1

2

=

+ +

1

1 3

1

11

3

m mx( )

1 a

A

Y

X

y = (x–1)2y = m(x–1)

V x dx x x dx

x x

= = + =

=

( ) ( )3 2 9 12 4

3 6

2

1

42

1

4

3 221

4 34 112 1 111+ = =x u( )

14

2712

3012

521 2

2= + = + = =A A A u

A xx

dxx

dxx

12

2

0

1 2

0

1 3

0

1

4

3

4 4= = = =

114

4 2 123212

2

1

4 2 3

1

4

A xx

dxx x

= = =22

512

2712

=

x2

4

x2

4

A x dxx

x u= + = + =( )2

2

2 3

2

223

33

523

CM

YK

283


Quantitat que hem d’igualar a :

El valor de m per al qual es compleix la condició pro-posada és m = 2.

Per obtenir les coordenades del punt de tall, n’hi haprou de calcular a a partir de m = 2:

a = 1 + m = 1 + 2 = 3 , y (3) = (3 1)2 = 4

El punt buscat és el de coordenades (3, 4).

12. D’acord amb la teoria, si F i G són primitives d’una ma-teixa funció, s’ha de complir que F(x) = G(x) + k, kconstant.

A més, si F i G són primitives de f:

Aquestes dues expressions, juntament amb la dada delproblema F(x) = x G(x), ens permeten escriure:

en què:

En conseqüència:

Substituint la x per 3 en les funcions obtingudes:

13. Representem gràficament la situació donada en l’e-nunciat:

F f= =32 3

3 13 3( ) , ( ))

( )= =

2

3 1

122

f x F xx

= =2

1 2( ) ( )

( )

( ) ; ( ) ( )2

12

= = =G xx

F x x G xx

xx 1

13 1 2 1

=k k

;; ;12

2= =k

k

G(x)k

x-11 G(3) G(2)

=

=

F x G x k

G G

F x x G x

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

;

= +

=

=

1 3 2( ) ( )

( ) ( )

(

x G x G x k

G G

x G

= +

=1 3 2

XX G X k

G G x

G x x) ( )

( ) ( );

( )(=

=1 3

=

=

1

1 3 2

)

( ) ( )

k

G G

1 3 2 3 22

3= = =f x dx F F G G( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m333 3

643

243

8 2= = = =m

43

= =2 3 3

2 3 6m m m m

Calculem l’expressió analítica de la recta tangent:

• L’ordenada del punt d’abscissa x = 4 s’obté fàcilmentsubstituint x per 4 en l’expressió de f:

• La derivada de f en x = 4 ens donarà el pendent dela recta tangent:

L’equació de la recta tangent serà:

L’àrea de recinte limitat (vegeu la figura) s’obté mit-jançant la diferència entre les integrals de

i f(x) entre 0 i 4:

14. a) En primer lloc, es calcula la primitiva de la deri-vada:

A continuació, aplicant F(1) = 3, s’obté la cons-tant:

Així, la funció demanada és:

F x x( ) = +43

53

34

43

353

+ = =C C

F xx

dx x dxx

C x C( ) = = = + = +1

34

434

14

34

34

=23

2A u

18

2

0

4

x x= + = =23

6163

23

3

0

4

x

14

10

4

0

4A x dx x dx= + =

( )14

= = +g x y x 11

( ) ;214

414

1= = +y x y x

=m f (( )41

2 4

14

= =

( ) ( )= =1

2f x x f x

x

( ) = =4 4 2f

4 X

Y

f

A

2

283

Pro

post

es d

’ava

luac

ió

Quantitat que hem d’igualar a :

El valor de m per al qual es compleix la condició pro-posada és m =2.

Per obtenir les coordenades del punt de tall, n’hi haprou de calcular a a partir de m =2:

a =1 +m =1 +2 =3 , y(3) =(3 1)2=4

El punt buscat és el de coordenades (3, 4).

12.D’acord amb la teoria, si F i G són primitives d’una ma-teixa funció, s’ha de complir que F(x) =G(x) +k, kconstant.

A més, si F i G són primitives de f:

Aquestes dues expressions, juntament amb la dada delproblema F(x) =x G(x), ens permeten escriure:

en què:

En conseqüència:

Substituint la x per 3 en les funcions obtingudes:

13.Representem gràficament la situació donada en l’e-nunciat:

Ff == 323

3133 (),())

()==

2

31

12 2

fxFxx

==2

12 ()()

()

();()()2

12

=== Gxx

FxxGxx

xx1

13121

=kk

;;; 12

2 ==k

k

G(x)k

x-11G(3)G(2)

=

=

FxGxk

GG

FxxGx

()()

()()

()()

;

=+

=

=

132()()

()()

(

xGxGxk

GG

xG

=+

= 132

XXGXk

GGx

Gxx )()

()();

()( =

= 13

=

=

1

132

)

()()

k

GG

132322

3=== fxdxFFGG ()()()()()

m33

33

643

243

82 ==== m

43

==233

236mmmm

Calculem l’expressió analítica de la recta tangent:

•L’ordenada del punt d’abscissa x =4 s’obté fàcilmentsubstituint x per 4 en l’expressió de f:

•La derivada de f en x =4 ens donarà el pendent dela recta tangent:

L’equació de la recta tangent serà:

L’àrea de recinte limitat (vegeu la figura) s’obté mit-jançant la diferència entre les integrals de

i f(x) entre 0 i 4:

14.a)En primer lloc, es calcula la primitiva de la deri-vada:

A continuació, aplicant F(1) =3, s’obté la cons-tant:

Així, la funció demanada és:

Fxx ()=+43

53

3 4

43

353

+== CC

Fxx

dxxdxx

CxC ()===+=+1

34

43 4

14

34

3 4

=23

2Au

18

2

0

4

xx =+==23

6163

23

3

0

4

x

14

10

4

0

4Axdxxdx =+=

()14

==+ gxyx11

(); 214

414

1 ==+ yxyx

= mf(()41

24

14

==

()() ==1

2fxxfx

x

()== 442 f

4X

Y

f

A

2

C M

Y K

284

Propuestas de evaluación

b)Tenint en compte que la funció és sempre positi-va, l’àrea demanada s’obté de calcular:

15.Si f(x) =x4x2, f(x) =4x32x.

Extrems relatius

Estudiem el significat de la segona derivada:

Aleshores, el punt (0,0) és un màxim relatiu, i els punts

són mínims relatius.

Punts de tall

Els punts de tall amb l’eix OX són (1, 0), (0, 0) i(1, 0).

Gràfica

f(x) = x4 – x

2

X

Y

12

–0,5

–1

0,5

1

–1 –20,51,5 –1,5–0,5

fxxxxxx (),(),,, ==== 00100114222

1

2

14

1

2

14

,,,

fxx

f

f

f

1

2

1

2

():

(),

=

<

>

122

00

0

2

y>0.

= x,, 01

2

1

2

=== fxxxxx ();(); 0420221032

Fxdxdx

x

()=+=

=+

43

353

437

4

5

4

0

1

0

1

74

33177

0

1

2xu =

16. Observem que, tal com indica l’enunciat, les fun-

cions es tallen en el punt d’abscissa x =:

La primera àrea A es calcularà restant les integrals

de totes dues funcions entre els límits 0 i :

L’àrea B correspon a la suma de la integral de la

funció g(x) =tg x en l’interval més la inte-

gral de la funció f(x) =cos x en l’interval

:

Btgxdxxdx

x

=+=

=

cos

ln(cos

0

4

4

22

))+=

=+

04

4

2 2

22

12

sinx

lnln222

2

22

21

=

=+ ln

42,

2

04

,

Axdxtgxdx

sinx

==

=

cos 2

2

0

4

0

4

[]=

=+

04

04

22

22

21

lnx

lnln

(cos)

==12

2ln

4

Y

X

2

1

42

f

g

A

B

��

4

284

Pro

pues

tas

de e

valu

ació

nb) Tenint en compte que la funció és sempre positi-

va, l’àrea demanada s’obté de calcular:

15. Si f(x) = x4 x2, f (x) = 4x3 2x.

Extrems relatius

Estudiem el significat de la segona derivada:

Aleshores, el punt (0,0) és un màxim relatiu, i els punts

són mínims relatius.

Punts de tall

Els punts de tall amb l’eix OX són ( 1, 0), (0, 0) i(1, 0).

Gràfica

f(x) = x4 – x2

X

Y

1 2

–0,5

–1

0,5

1

–1–2 0,5 1,5–1,5 –0,5

f x x x x x x( ) , ( ) , , ,= = = =0 0 1 0 0 1 14 2 2 2

1

2

14

1

2

14

, , ,

f x x

f

f

f

1

2

1

2

( ) :

( ) ,

=

<

>

12 2

0 0

0

2

y > 0.

=x , ,01

2

1

2

= = =f x x x x x( ) ; ( ) ;0 4 2 0 2 2 1 03 2

F x dx dx

x

( ) = + =

= +

43

353

43 7

4

5

4

0

1

0

1

74

33177

0

1

2x u=

16. Observem que, tal com indica l’enunciat, les fun-

cions es tallen en el punt d’abscissa x = :

La primera àrea A es calcularà restant les integrals

de totes dues funcions entre els límits 0 i :

L’àrea B correspon a la suma de la integral de la

funció g(x) = tg x en l’interval més la inte-

gral de la funció f(x) = cos x en l’interval

:

B tg x dx x dx

x

= + =

=

cos

ln (cos

0

4

4

2 2

)) + =

= +

04

4

22

22

1 2

sin x

ln ln 222

2

22

2 1

=

= +ln

4 2,

2

04

,

A x dx tg x dx

sin x

= =

=

cos2

2

0

4

0

4

[ ] =

= +

04

04

22

22

21

ln x

ln ln

(cos )

== 12

2ln

4

Y

X

2

1

4 2

f

g

A

B

� �

4

CM

YK

285

El treball de recercaEL TREBALL DE RECERCA EN EL BATXILLERAT

El treball de recerca previst en el Batxillerat consisteix en una petita recerca sobre unaqüestió determinada. Ve a ser una pregunta o hipòtesi que cal estudiar i sobre la qual hemde buscar informació, organitzar-la i reelaborar-la per tal de donar-hi resposta.També pot consistir a aprofundir sobre un tema específic. En aquest cas no es limita a unamera transcripció de la informació obtinguda, sinó que caldrà fer-ne una interpretació per-sonal de manera rigorosa. Es tracta d’una veritable recerca; això significa que no és unsimple resum o retall bibliogràfic d’uns textos que sovint excedeixen la capacitat de com-prensió de l’estudiant.En el treball de recerca l’estudiant no és un simple receptor de coneixement, sinó un actorque ha construir i defensar una argumentació pròpia. No es tracta d’arribar a unes conclu-sions estrictament originals o novedoses, sinó que cal demostrar que s’ha estat capaç dedissenyar i aplicar de manera autònoma tot un seguit de tècniques i mètodes propis del tre-ball científic.El treball de recerca requereix portar a la pràctica tota una sèrie de coneixements adqui-rits a les diverses matèries al llarg del Batxillerat. En aquest treball també es posa de mani-fest la maduresa en tota una sèrie d’hàbits i habilitats com l’ordre, el rigor, la iniciativa, larecerca intel·ligent de les fonts, la capacitat de sistematitzar, etc.Així, el treball compagina el coneixement que neix de la curiositat i la iniciativa personalamb l’exigència del rigor metodològic propi del treball intel·lectual i científic.Tot seguit presentem un possible esquema del procés que cal seguir en l’elaboració d’a-questa mena de treballs.

285

El tr

ebal

l de

rece

rca

EL TREBALL DE RECERCA EN EL BATXILLERAT

El treball de recerca previst en el Batxillerat consisteix en una petita recerca sobre unaqüestió determinada.Ve a ser una pregunta o hipòtesi que cal estudiar i sobre la qual hemde buscar informació, organitzar-la i reelaborar-la per tal de donar-hi resposta.També pot consistir a aprofundir sobre un tema específic.En aquest cas no es limita a unamera transcripció de la informació obtinguda, sinó que caldrà fer-ne una interpretació per-sonal de manera rigorosa.Es tracta d’una veritable recerca;això significa que no és unsimple resum o retall bibliogràfic d’uns textos que sovint excedeixen la capacitat de com-prensió de l’estudiant.En el treball de recerca l’estudiant no és un simple receptor de coneixement, sinó un actorque ha construir i defensar una argumentació pròpia.No es tracta d’arribar a unes conclu-sions estrictament originals o novedoses, sinó que cal demostrar que s’ha estat capaç dedissenyar i aplicar de manera autònoma tot un seguit de tècniques i mètodes propis del tre-ball científic.El treball de recerca requereix portar a la pràctica tota una sèrie de coneixements adqui-rits a les diverses matèries al llarg del Batxillerat.En aquest treball també es posa de mani-fest la maduresa en tota una sèrie d’hàbits i habilitats com l’ordre, el rigor, la iniciativa, larecerca intel·ligent de les fonts, la capacitat de sistematitzar, etc.Així, el treball compagina el coneixement que neix de la curiositat i la iniciativa personalamb l’exigència del rigor metodològic propi del treball intel·lectual i científic.Tot seguit presentem un possible esquema del procés que cal seguir en l’elaboració d’a-questa mena de treballs.

C M

Y K

286

El treball de recerca

1.Tema i hipòtesi del treball

EL TREBALL DE RECERCA

1.1.Elecció deltema

Motivació i interès personal

Viabilitat de l’estudi

Nivell de concreció

Què és?

Com es formula?

1.2.Objectius del treball

1.3.Hipòtesi

• Interessos i motivacions personals.

• Tema d’actualitat.

• Interès del receptor.

• Existència d’informació i facilitatd’accés.

• Amplitud del tema.

• General:una visió genèrica del tema.

• Concret:permet d’aprofundir sobre unaspecte puntual del tema.

• Expressió d’allò que es vol demostrar.

• Marca la línia de recerca.

• Al final cal verificar o refutar la hipòtesi.

• Concreta.

• En base al coneixement previ.

• Tenint en compte les variables que intervenenen la recerca.

2.Disseny del treball

2.1.Índex provisional

Qualitativa(Què és i com funciona)

• No es controlen les variables.

• Propi dels estudis humanístics.

Quantitativa(Què és i com funciona)

• Control rigorós de les variables.

• Propi de les ciències exactes.

2.2.Metodologia

• Reflecteix els aspectes fonamentals del treball.

• Orienta la recerca d’informació.

• Susceptible de ser enriquit, modificat...

• Temporització, seguint cronologia inversa.

• Planificació de les diverses tasques (lloc, data, etc.).

• Previsions realistes.

• Recerca bibliogràficai electrònica.

• Entrevistes.

• Enquestes.

• etc.

• Experiment de labo-ratori.

2.3.Pla de treball.Planificació

286

El tr

ebal

l de

rece

rca

1. Tema i hipòtesi del treball

EL TREBALL DE RECERCA

1.1. Elecció deltema

Motivació i interès personal

Viabilitat de l’estudi

Nivell de concreció

Què és?

Com es formula?

1.2. Objectius del treball

1.3. Hipòtesi

• Interessos i motivacions personals.

• Tema d’actualitat.

• Interès del receptor.

• Existència d’informació i facilitatd’accés.

• Amplitud del tema.

• General: una visió genèrica del tema.

• Concret: permet d’aprofundir sobre unaspecte puntual del tema.

• Expressió d’allò que es vol demostrar.

• Marca la línia de recerca.

• Al final cal verificar o refutar la hipòtesi.

• Concreta.

• En base al coneixement previ.

• Tenint en compte les variables que intervenenen la recerca.

2. Disseny del treball

2.1. Índex provisional

Qualitativa (Què és i com funciona)

• No es controlen les variables.

• Propi dels estudis humanístics.

Quantitativa (Què és i com funciona)

• Control rigorós de les variables.

• Propi de les ciències exactes.

2.2. Metodologia

• Reflecteix els aspectes fonamentals del treball.

• Orienta la recerca d’informació.

• Susceptible de ser enriquit, modificat...

• Temporització, seguint cronologia inversa.

• Planificació de les diverses tasques (lloc, data, etc.).

• Previsions realistes.

• Recerca bibliogràficai electrònica.

• Entrevistes.

• Enquestes.

• etc.

• Experiment de labo-ratori.

2.3. Pla de treball. Planificació

CM

YK

287


3. Recerca, obtenció i selecció d’informació

Els cercadors

Citació de fontselectròniques

Fitxes bibliogràfiques

Citació de fonts escrites

3.2. Fonts electròniques(internet)

3.1. Fonts bibliogràfiques

• Permeten indagar l’estatde la qüestió en relacióamb el tema objecte detreball.

• Google, Yahoo, etc.

• Introduir paraula de referència

• Afinar la recerca fins a obtenir unnombre reduït d’entrades.

• En carpetes i documents ben classifi-cats i referenciats.

• www.referència del web

• Data de la consulta.

TÍTOL: tema.

• Referència de la font: títol, autor, any,editorial, pàgines.

• Resum del contingut.

• Transcripció de fragments.

• COGNOM, nom (any), Títol. Ciutat,Editorial.

En laboratori

En treballs de camp

3.4. Experiments

• Disseny acurat.

• Control de les variables.

• Registre sistemàtic.

• Interpretació rigorosa.

Què i com

Arxiu d’informacióobtinguda

3.5.Visites i sortidesde camp

• Objectius de la sortida.

• Aspectes que cal observar.

• Observació sistemàtica.

• Fitxes.

• Fotografia i vídeo.

• Fullets, etc.

Arxius dedocuments

Entrevistes

• Experts o personesrellevants.

• Aporten actualitat iexperiència.

Altres

3.3. Fonts orals • Disseny d’entrevistes.

— Objectius de l’enquesta.

— Què pregunten?

• Enregistrament, transcripció...

• Objectius.

• Selecció de la mostra.

• Disseny de l’enquesta: preguntesclarament adreçades a les diversesvariables.

• Preguntes per a validar la sinceritatde les respostes.

Enquestes

287

El tr

ebal

l de

rece

rca

3.Recerca,obtenció i selecció d’informació

Els cercadors

Citació de fontselectròniques

Fitxes bibliogràfiques

Citació de fonts escrites

3.2.Fonts electròniques(internet)

3.1.Fonts bibliogràfiques

• Permeten indagar l’estatde la qüestió en relacióamb el tema objecte detreball.

• Google, Yahoo, etc.

• Introduir paraula de referència

• Afinar la recerca fins a obtenir unnombre reduït d’entrades.

• En carpetes i documents ben classifi-cats i referenciats.

• www.referència del web

• Data de la consulta.

TÍTOL:tema.

• Referència de la font:títol,autor, any,editorial, pàgines.

• Resum del contingut.

• Transcripció de fragments.

• COGNOM, nom (any), Títol.Ciutat,Editorial.

En laboratori

En treballs de camp

3.4.Experiments

• Disseny acurat.

• Control de les variables.

• Registre sistemàtic.

• Interpretació rigorosa.

Què i com

Arxiu d’informacióobtinguda

3.5.Visites i sortidesde camp

• Objectius de la sortida.

• Aspectes que cal observar.

• Observació sistemàtica.

• Fitxes.

• Fotografia i vídeo.

• Fullets, etc.

Arxius dedocuments

Entrevistes

• Experts o personesrellevants.

• Aporten actualitat iexperiència.

Altres

3.3.Fonts orals• Disseny d’entrevistes.

— Objectius de l’enquesta.

— Què pregunten?

• Enregistrament, transcripció...

• Objectius.

• Selecció de la mostra.

• Disseny de l’enquesta:preguntesclarament adreçades a les diversesvariables.

• Preguntes per a validar la sinceritatde les respostes.

Enquestes

C M

Y K

288


4.Tractament de la informació

Construcció, anàlisi i interpretació.Procés

• Fitxes estadístiques.

• Taules de dades.

• Gràfics.

5.Redacció i presentació del treball

Parts del treball5.1.Portada

5.2.Índex (capítols, apartats, subapartats)

5.3.Resum (abstract)

Correcció expressiva

Ortografia

Adequació, coherència, cohesió

Aspectes formals

PresentacióOral

Audiovisual

5.4.Introducció

5.5.Desenvolupament

5.6.Conclusió

Ordenació i integració de les fitxes.Einesinformàtiques (base de dades, Excel)

288

El tr

ebal

l de

rece

rca

4. Tractament de la informació

Construcció, anàlisi i interpretació. Procés

• Fitxes estadístiques.

• Taules de dades.

• Gràfics.

5. Redacció i presentació del treball

Parts del treball5.1. Portada

5.2. Índex (capítols, apartats, subapartats)

5.3. Resum (abstract)


Ortografia

Adequació, coherència, cohesió

Aspectes formals

PresentacióOral

Audiovisual

5.4. Introducció

5.5. Desenvolupament

5.6. Conclusió

Ordenació i integració de les fitxes. Einesinformàtiques (base de dades, Excel)

CM

YK

Treball de Recerca de MatemàtiquesPropostes

1. Criptografia: missatges xifrats i seguretat.

La Història ens ofereix una gran quantitat d’exemples d’aplicació de la criptografia, sempre relacionatsamb la seguretat: des de la comunicació d’informació en campanyes militars, fins a les transaccions quees duen a terme en l’actualitat a Internet.El treball de recerca permet l’estudi de la criptografia en diferents àmbits i amb diferents nivells de pro-funditat. L’alumne/a i el professor/a podran decidir, per exemple, centrar el treball en:— L’evolució històrica de la criptografia.— Les eines matemàtiques utilitzades en la implementació dels codis xifrats.— Els tipus de criptografia: simètrica, asimètrica, de corba el·líptica, híbrida, etc.— El sistema criptogràfic RSA, la màquina ENIGMA, etc.

2. La natura i les Matemàtiques: la successió de Fibonacci i el nombre auri.

En flors, petxines, animals..., podem trobar-hi de manera recurrent els nombres que formen la succes-sió de Fibonacci i les proporcions àuries. El treball inclou, per exemple:— Recerca bibliogràfica sobre la successió de Fibonacci i el nombre auri.— Estudi de la seva presència a la natura.— Realització de fotografies d’elements naturals que estiguin relacionats amb el tema.

3. L’equació més bella de la Història: la identitat d’Euler.

La identitat d’Euler proporciona una relació entre alguns dels nombres més importants de la història deles matemàtiques.El treball de recerca inclou els punts següents:— Identificació dels diferents conjunts de nombres i de les seves aplicacions.— Breu biografia de L. Euler i enumeració de la seva contribució als diferents àmbits científics.— Demostració de la identitat d’Euler.

4. Els tres nombres més famosos de les matemàtiques: phi, pi i e.

Els nombres irracionals aporten grans curiositats i meravelles matemàtiques.El treball de recerca inclou els punts següents:— El conjunt de nombres irracionals i la seva classificació en transcendents i algèbrics.— Història i aplicacions dels nombres auri, pi i e.

5. L’evolució de l’escriptura dels nombres.

Les civilitzacions han creat els seus propis sistemes d’escriptura numèrica en funció del seu desenvolu-pament i de les seves necessitats.— Investigació sobre les diferents formes d’escriptura numèrica: egipcis, grecs, babilonis, xinesos,

maies, àrabs, etc.— Anàlisi de les operacions que realitzaven i de la seva relació amb les necessitats històriques de cada

civilització.

6. Paradoxes matemàtiques relacionades amb la noció d’infinit.

Recerca d’informació sobre el concepte d’infinit en el transcurs de la història de les matemàtiques.A més, l’alumne/a cercarà informació per tal de demostrar les paradoxes més famoses de la història deles matemàtiques, com ara:— La paradoxa de la trompeta de Torricelli.— La paradoxa de la dicotomia de Zenó.— La paradoxa de l’hotel infinit.

7. Els fractals en el món que ens envolta.

Hi ha moltíssims elements de la natura que presenten estructures fractals. El treball de recerca inclourà:— Definició i propietats dels fractals.

289

El treball de recercaTreball de Recerca de Matemàtiques

Propostes

1.Criptografia:missatges xifrats i seguretat.

La Història ens ofereix una gran quantitat d’exemples d’aplicació de la criptografia, sempre relacionatsamb la seguretat:des de la comunicació d’informació en campanyes militars, fins a les transaccions quees duen a terme en l’actualitat a Internet.El treball de recerca permet l’estudi de la criptografia en diferents àmbits i amb diferents nivells de pro-funditat.L’alumne/a i el professor/a podran decidir, per exemple, centrar el treball en:—L’evolució històrica de la criptografia.—Les eines matemàtiques utilitzades en la implementació dels codis xifrats.—Els tipus de criptografia:simètrica, asimètrica, de corba el·líptica, híbrida, etc.—El sistema criptogràfic RSA, la màquina ENIGMA, etc.

2.La natura i les Matemàtiques:la successió de Fibonacci i el nombre auri.

En flors, petxines, animals..., podem trobar-hi de manera recurrent els nombres que formen la succes-sió de Fibonacci i les proporcions àuries.El treball inclou, per exemple:—Recerca bibliogràfica sobre la successió de Fibonacci i el nombre auri.—Estudi de la seva presència a la natura.—Realització de fotografies d’elements naturals que estiguin relacionats amb el tema.

3.L’equació més bella de la Història:la identitat d’Euler.

La identitat d’Euler proporciona una relació entre alguns dels nombres més importants de la història deles matemàtiques.El treball de recerca inclou els punts següents:—Identificació dels diferents conjunts de nombres i de les seves aplicacions.—Breu biografia de L.Euler i enumeració de la seva contribució als diferents àmbits científics.—Demostració de la identitat d’Euler.

4.Els tres nombres més famosos de les matemàtiques:phi,pi i e.

Els nombres irracionals aporten grans curiositats i meravelles matemàtiques.El treball de recerca inclou els punts següents:—El conjunt de nombres irracionals i la seva classificació en transcendents i algèbrics.—Història i aplicacions dels nombres auri, pi i e.

5.L’evolució de l’escriptura dels nombres.

Les civilitzacions han creat els seus propis sistemes d’escriptura numèrica en funció del seu desenvolu-pament i de les seves necessitats.—Investigació sobre les diferents formes d’escriptura numèrica:egipcis, grecs, babilonis, xinesos,

maies, àrabs, etc.—Anàlisi de les operacions que realitzaven i de la seva relació amb les necessitats històriques de cada

civilització.

6.Paradoxes matemàtiques relacionades amb la noció d’infinit.

Recerca d’informació sobre el concepte d’infinit en el transcurs de la història de les matemàtiques.A més, l’alumne/a cercarà informació per tal de demostrar les paradoxes més famoses de la història deles matemàtiques, com ara:—La paradoxa de la trompeta de Torricelli.—La paradoxa de la dicotomia de Zenó.—La paradoxa de l’hotel infinit.

7.Els fractals en el món que ens envolta.

Hi ha moltíssims elements de la natura que presenten estructures fractals.El treball de recerca inclourà:—Definició i propietats dels fractals.

289

El tr

ebal

l de

rece

rca

C M

Y K

—Aplicacions científiques de la teoria fractal.—Realització de fotografies d’elements naturals que presenten estructures fractals i anàlisi de les seves

propietats.

8.Curiositats de la Teoria de nombres.

Molts dels estudis de la Teoria de Nombres estan relacionats amb diferents tipus de nombres i han donatlloc a curiositats numèriques molt interessants.—Definició i propietats dels nombres primers, amics, perfectes, sociables, etc.—Recull de curiositats matemàtiques relacionades amb aquests nombres.L’alumne/a pot optar també per realitzar un programa de càlcul de nombres primers en algun llenguat-ge de programació, com ara el C++.

9.Matemàtiques lúdiques:sudokus i quadrats màgics.

Els sudokus són quadrats màgics.Què són? Com es construeixen? Coneixes el quadrat màgic d’una deles façanes de la Sagrada Família? I el que es troba en una de les obres de Durero?—Investigació sobre els quadrats llatins i els quadrats màgics:propietats i construcció.—Presència dels quadrats màgics en obres com la Sagrada Família.

10.Soroban:l’àbac japonès.

Un instrument mil·lenari que ens proporciona habilitats de càlcul inimaginables.Amb una pràctica conti-nuada podem arribar a fer càlculs a més velocitat que amb una calculadora.—Recerca d’informació sobre la forma i l’ús d’una àbac japonès, Soroban.—Construcció casolana d’un àbac japonès, Soroban.—Aprenentatge i pràctica de les diferents operacions matemàtiques.—Redacció d’un manual bàsic d’ús.

A continuació, proposem un esquema del treball.

290


— Aplicacions científiques de la teoria fractal.— Realització de fotografies d’elements naturals que presenten estructures fractals i anàlisi de les seves

propietats.

8. Curiositats de la Teoria de nombres.

Molts dels estudis de la Teoria de Nombres estan relacionats amb diferents tipus de nombres i han donatlloc a curiositats numèriques molt interessants.— Definició i propietats dels nombres primers, amics, perfectes, sociables, etc.— Recull de curiositats matemàtiques relacionades amb aquests nombres.L’alumne/a pot optar també per realitzar un programa de càlcul de nombres primers en algun llenguat-ge de programació, com ara el C++.

9. Matemàtiques lúdiques: sudokus i quadrats màgics.

Els sudokus són quadrats màgics. Què són? Com es construeixen? Coneixes el quadrat màgic d’una deles façanes de la Sagrada Família? I el que es troba en una de les obres de Durero?— Investigació sobre els quadrats llatins i els quadrats màgics: propietats i construcció.— Presència dels quadrats màgics en obres com la Sagrada Família.

10. Soroban: l’àbac japonès.

Un instrument mil·lenari que ens proporciona habilitats de càlcul inimaginables. Amb una pràctica conti-nuada podem arribar a fer càlculs a més velocitat que amb una calculadora.— Recerca d’informació sobre la forma i l’ús d’una àbac japonès, Soroban.— Construcció casolana d’un àbac japonès, Soroban.— Aprenentatge i pràctica de les diferents operacions matemàtiques.— Redacció d’un manual bàsic d’ús.

A continuació, proposem un esquema del treball.

290

El tr

ebal

l de

rece

rca

CM

YK

Soroban: l’àbac japonès

1. Tema i objectius del treball

1.1. Elecció del tema

L’àbac és un instrument mil·lenari que ens proporciona habilitats de càlcul inimaginables. Amb una pràcticacontinuada podem arribar a realitzar operacions matemàtiques a més velocitat que amb una calculadora.Però, les virtuts de l’àbac van més enllà de la simple utilització com a calculadora manual:• Fomenta les habilitats numèriques i el raonament lògic.• Millora la capacitat de concentració i la memòria.• Aporta agilitat mental i ajuda a obtenir una capacitat més gran per al processament d’informació de mane-

ra ordenada.La història de l’àbac japonès Soroban comença en el segle XVI, però la seva versió més moderna data delsegle XX, quan s’adapta millor al sistema decimal. Però l’àbac en general no es va desenvolupar només al’Àsia, sinó també als altres continents.La seva aplicació actual no se circumscriu només a l’àmbit de l’educació infantil: el 1996 es va construir unàbac que utilitzava molècules en comptes de boletes de fusta i que es movien gràcies a un microscopi espe-cial!

1.2. Objectius del treball

• Cercar informació sobre la forma i l’ús d’un àbac japonès Soroban.• Adquirir o construir de manera artesanal un àbac japonès, Soroban. Instal·lar en el propi ordinador un

simulador per a practicar.• Aprendre i practicar les diverses operacions matemàtiques.• Redactar un manual bàsic d’ús, amb dibuixos i/o fotografies.• Realitzar sessions pràctiques amb alumnes d’ESO.

2. Disseny del treball

En primer lloc, necessitareu una base teòrica sobre la utilització de l’àbac i les seves aplicacions. Haureu decercar informació bibliogràfica i d’Internet sobre els mètodes que s’hi apliquen.

En segon lloc, elaborareu el vostre propi manual d’ús del Soroban. Haureu de decidir com fareu les il·lustra-cions, imprescindibles per a les explicacions (dibuixos, gràfics i/o fotografies).

Finalment, haureu de dissenyar unes sessions pràctiques amb alumnes d’ESO. Vosaltres sereu els profes-sors i serà molt important que penseu bé com fer-ho d’una manera pedagògica i comprensible.

Tota aquesta informació us donarà una idea dels punts que tractareu i que desenvolupareu en el treball perpoder elaborar un índex provisional.

2.1. Índex provisional

1. Introducció: breu exposició de l’evolució de l’àbac.2. Disposició física dels elements de l’àbac japonès Soroban: com s’hi expressen les xifres.3. Manual d’operacions amb l’àbac japonès Soroban

3.1. Sumes senzilles i abreujades.3.2. Restes senzilles, complexes i amb resultat negatiu.3.3. Multiplicacions: mètode estàndard japonès i mètode de multiplicacions acumulades.3.4. Divisions amb el mètode estàndard japonès.3.5. Potències.3.6. Arrels quadrades amb el mètode estàndard xinès.3.7. Altres operacions amb logaritmes, exponencials i funcions trigonomètriques.

4. Sessions pràctiques amb alumnes d’ESO:4.1. Presentació en Power Point.4.2. Pràctiques guiades.

291

El treball de recercaSoroban:l’àbac japonès

1.Tema i objectius del treball

1.1.Elecció del tema

L’àbac és un instrument mil·lenari que ens proporciona habilitats de càlcul inimaginables.Amb una pràcticacontinuada podem arribar a realitzar operacions matemàtiques a més velocitat que amb una calculadora.Però, les virtuts de l’àbac van més enllà de la simple utilització com a calculadora manual:•Fomenta les habilitats numèriques i el raonament lògic.•Millora la capacitat de concentració i la memòria.•Aporta agilitat mental i ajuda a obtenir una capacitat més gran per al processament d’informació de mane-

ra ordenada.La història de l’àbac japonès Sorobancomença en el segle XVI, però la seva versió més moderna data delsegle XX, quan s’adapta millor al sistema decimal.Però l’àbac en general no es va desenvolupar només al’Àsia, sinó també als altres continents.La seva aplicació actual no se circumscriu només a l’àmbit de l’educació infantil:el 1996 es va construir unàbac que utilitzava molècules en comptes de boletes de fusta i que es movien gràcies a un microscopi espe-cial!

1.2.Objectius del treball

•Cercar informació sobre la forma i l’ús d’un àbac japonès Soroban.•Adquirir o construir de manera artesanal un àbac japonès, Soroban.Instal·lar en el propi ordinador un

simulador per a practicar.•Aprendre i practicar les diverses operacions matemàtiques.•Redactar un manual bàsic d’ús, amb dibuixos i/o fotografies.•Realitzar sessions pràctiques amb alumnes d’ESO.

2.Disseny del treball

En primer lloc, necessitareu una base teòrica sobre la utilització de l’àbac i les seves aplicacions.Haureu decercar informació bibliogràfica i d’Internet sobre els mètodes que s’hi apliquen.

En segon lloc, elaborareu el vostre propi manual d’ús del Soroban.Haureu de decidir com fareu les il·lustra-cions, imprescindibles per a les explicacions (dibuixos, gràfics i/o fotografies).

Finalment, haureu de dissenyar unes sessions pràctiques amb alumnes d’ESO.Vosaltres sereu els profes-sors i serà molt important que penseu bé com fer-ho d’una manera pedagògica i comprensible.

Tota aquesta informació us donarà una idea dels punts que tractareu i que desenvolupareu en el treball perpoder elaborar un índex provisional.

2.1.Índex provisional

1.Introducció:breu exposició de l’evolució de l’àbac.2.Disposició física dels elements de l’àbac japonès Soroban:com s’hi expressen les xifres.3.Manual d’operacions amb l’àbac japonès Soroban

3.1.Sumes senzilles i abreujades.3.2.Restes senzilles, complexes i amb resultat negatiu.3.3.Multiplicacions:mètode estàndard japonès i mètode de multiplicacions acumulades.3.4.Divisions amb el mètode estàndard japonès.3.5.Potències.3.6.Arrels quadrades amb el mètode estàndard xinès.3.7.Altres operacions amb logaritmes, exponencials i funcions trigonomètriques.

4.Sessions pràctiques amb alumnes d’ESO:4.1.Presentació en Power Point.4.2.Pràctiques guiades.

291

El tr

ebal

l de

rece

rca

C M

Y K

5.Bibliografia i fonts d’informació.6.Annexos.

2.2.Metodologia

La primera part consistirà bàsicament en la recerca i recollida d’informació a partir de les diferents fontsbibliogràfiques i electròniques.

Necessitareu un àbac japonès Soroban.El podeu adquirir o bé construir-lo vosaltres mateixos de maneramés o menys casolana.Per aprendre’n la utilització, cercareu la informació en la bibliografia adequada o aInternet.A mesura que avanceu en l’adquisició de les habilitats necessàries, escriureu un manual d’ús quepugui ser utilitzat per altres persones.Practicareu per adquirir agilitat i velocitat en les vostres operacions.

La segona part, més experimental, es basarà en una metodologia de caire més qualitatiu.Dissenyareu unessessions pràctiques amb alumnes d’ESO.Decidireu la manera de realitzar aquestes classes d’ús de l’àbaci, finalment, fareu una enquesta als alumnes per conèixer com han viscut aquesta experiència.

Pla de treball.Planificació

L’esquema següent us pot ajudar a planificar la feina en les diferents fases del treball:

3.Recerca,obtenció i selecció d’informació

Cercareu informació sobre les diferents qüestions que inclou el treball.

3.1.Fonts bibliogràfiques:

Per a la recerca de la informació sobre l’ús de l’àbac, podeu consultar el llibre següent:•YUZO, Sotaro (1965), A guide to good calculation:How to master Soroban-Japanese abacus.Ed.

Paperback.

Podeu esmentar les fonts bibliogràfiques (o d’Internet) de dues maneres diferents:•Com a cita textual:escriureu entre cometes el text extret i posareu a peu de pàgina les dades de la font

utilitzada.•Al final de la presentació del treball escrit, fareu esment de totes les fonts utilitzades per a la vostra inves-

tigació teòrica i pràctica.És molt important que classifiqueu la informació recollida en fitxes bibliogràfiques.

TasquesTemps estimatTemporització

Recerca de tota la informació teòricanecessària sobre l’ús de l’àbac.

1 mesmaig

Elaboració del manual d’ús.1 mesjuny

Pràctica de les operacions.2 mesosjuliol i agost

Disseny i realització de les sessions pràc-tiques amb alumnes d’ESO.Conclusions de les enquestes realitzades.

2 mesossetembre i octubre

Elaboració escrita i audiovisual del treballde recerca.

1 mesnovembre

292


5. Bibliografia i fonts d’informació.6. Annexos.

2.2. Metodologia

La primera part consistirà bàsicament en la recerca i recollida d’informació a partir de les diferents fontsbibliogràfiques i electròniques.

Necessitareu un àbac japonès Soroban. El podeu adquirir o bé construir-lo vosaltres mateixos de maneramés o menys casolana. Per aprendre’n la utilització, cercareu la informació en la bibliografia adequada o aInternet. A mesura que avanceu en l’adquisició de les habilitats necessàries, escriureu un manual d’ús quepugui ser utilitzat per altres persones. Practicareu per adquirir agilitat i velocitat en les vostres operacions.

La segona part, més experimental, es basarà en una metodologia de caire més qualitatiu. Dissenyareu unessessions pràctiques amb alumnes d’ESO. Decidireu la manera de realitzar aquestes classes d’ús de l’àbaci, finalment, fareu una enquesta als alumnes per conèixer com han viscut aquesta experiència.

Pla de treball. Planificació

L’esquema següent us pot ajudar a planificar la feina en les diferents fases del treball:

3. Recerca, obtenció i selecció d’informació

Cercareu informació sobre les diferents qüestions que inclou el treball.

3.1. Fonts bibliogràfiques:

Per a la recerca de la informació sobre l’ús de l’àbac, podeu consultar el llibre següent:• YUZO, Sotaro (1965), A guide to good calculation: How to master Soroban-Japanese abacus. Ed.

Paperback.

Podeu esmentar les fonts bibliogràfiques (o d’Internet) de dues maneres diferents:• Com a cita textual: escriureu entre cometes el text extret i posareu a peu de pàgina les dades de la font

utilitzada.• Al final de la presentació del treball escrit, fareu esment de totes les fonts utilitzades per a la vostra inves-

tigació teòrica i pràctica.És molt important que classifiqueu la informació recollida en fitxes bibliogràfiques.

Tasques Temps estimat Temporització

Recerca de tota la informació teòricanecessària sobre l’ús de l’àbac.

1 mes maig

Elaboració del manual d’ús. 1 mes juny

Pràctica de les operacions. 2 mesos juliol i agost

Disseny i realització de les sessions pràc-tiques amb alumnes d’ESO.Conclusions de les enquestes realitzades.

2 mesos setembre i octubre

Elaboració escrita i audiovisual del treballde recerca.

1 mes novembre

292

El tr

ebal

l de

rece

rca

CM

YK

Per exemple:

3.2. Fonts electròniques:

Recordeu que no tot el que es troba a Internet és correcte. Us heu d’assegurar que les fonts que utilitzeu sónfiables i que la informació que n’obteniu és correcta.

Quan utilitzeu informació d’Internet també explicitareu la font i la data de consulta.

Disposeu de molts bons manuals d’ús del Soroban i simuladors als enllaços següents:

http://es.geocities.com/abacosorobanwww.sorobanbrasil.com.br

3.3. Fonts orals:

Enquestes:Dissenyareu una “enquesta de satisfacció” als grups d’alumnes d’ESO que hagin fet les sessions pràctiques.Haureu d’investigar el grau de satisfacció, l’aprofitament de les explicacions, etc. Per exemple:

293


NOTACIÓ DE NOMBRES

Font: YUZO, Sotaro (1965), A guide to good calculation: How to master Soroban-Japaneseabacus. Ed. Paperback.

“Cada vareta es divideix en dues parts per una barra horitzontal. A la part superior hi hauna boleta amb un valor de cinc unitats i, a la inferior, s’hi troben quatre boletes amb un valord’una unitat cadascuna. Las boletes tenen valor quan es troben desplaçades cap a la barracentral.”

ENQUESTA

1. Havíeu vist alguna vegada un àbac? Sí No2. Heu trobat interessants aquestes sessions?

Escala d’1(molt poc) a 10 (molt)3. Us ha costat entendre les explicacions? Com creieu que es podrien millorar?

(Resposta oberta: l’alumne/a escriurà la seva opinió)4. Us agradaria aprofundir en l’aprenentatge de l’àbac? Sí NoEtc.

Per exemple:

3.2.Fonts electròniques:

Recordeu que no tot el que es troba a Internet és correcte.Us heu d’assegurar que les fonts que utilitzeu sónfiables i que la informació que n’obteniu és correcta.

Quan utilitzeu informació d’Internet també explicitareu la font i la data de consulta.

Disposeu de molts bons manuals d’ús del Sorobani simuladors als enllaços següents:

http://es.geocities.com/abacosorobanwww.sorobanbrasil.com.br

3.3.Fonts orals:

Enquestes:Dissenyareu una “enquesta de satisfacció”als grups d’alumnes d’ESO que hagin fet les sessions pràctiques.Haureu d’investigar el grau de satisfacció, l’aprofitament de les explicacions, etc.Per exemple:

293

El tr

ebal

l de

rece

rca

NOTACIÓ DE NOMBRES

Font: YUZO, Sotaro (1965), A guide to good calculation: How to master Soroban-Japaneseabacus.Ed. Paperback.

“Cada vareta es divideix en dues parts per una barra horitzontal. A la part superior hi hauna boleta amb un valor de cinc unitats i, a la inferior, s’hi troben quatre boletes amb un valord’una unitat cadascuna. Las boletes tenen valor quan es troben desplaçades cap a la barracentral.”

ENQUESTA

1. Havíeu vist alguna vegada un àbac? Sí No2. Heu trobat interessants aquestes sessions?

Escala d’1(molt poc) a 10 (molt)3. Us ha costat entendre les explicacions? Com creieu que es podrien millorar?

(Resposta oberta: l’alumne/a escriurà la seva opinió)4. Us agradaria aprofundir en l’aprenentatge de l’àbac? Sí NoEtc.

C M

Y K

4.Tractament de la informació

Podeu organitzar els resultats de l’enquesta en taules o gràfics.Els diagrames de barres i de sectors us aju-daran a visualitzar els resultats obtinguts a les enquestes.Per exemple:un 60% dels alumnes havien vist alguna vegada un àbac i un 40% no l’havien vist mai.

5.Redacció i presentació del treball

Parts del treball

En la presentació escrita i/o audiovisual posareu especial cura en l’ordenació correcta de tot el treball realit-zat.Diferenciareu clarament la part teòrica inicial i la part pràctica següent.

•La portada•L’índex•Un breu resum (abstract)•La introducció•Manual d’ús del Soroban•Sessions pràctiques•Les conclusions


Prestareu una atenció especial a la correcció ortogràfica, així com a la coherència, l’ordre i els aspectes for-mals de la vostra exposició.Recordeu que els processadors de textos us ofereixen correctors ortogràfics que us ajudaran.

Presentació

El treball es pot presentar de manera oral amb esquemes audiovisuals que permetin que la presentació siguimés amena i comprensible.Posareu especial èmfasi en la part pràctica del treball i en el procés de recollidade dades.

294


4. Tractament de la informació

Podeu organitzar els resultats de l’enquesta en taules o gràfics. Els diagrames de barres i de sectors us aju-daran a visualitzar els resultats obtinguts a les enquestes.Per exemple: un 60% dels alumnes havien vist alguna vegada un àbac i un 40% no l’havien vist mai.

5. Redacció i presentació del treball

Parts del treball

En la presentació escrita i/o audiovisual posareu especial cura en l’ordenació correcta de tot el treball realit-zat. Diferenciareu clarament la part teòrica inicial i la part pràctica següent.

• La portada• L’índex• Un breu resum (abstract)• La introducció• Manual d’ús del Soroban• Sessions pràctiques• Les conclusions


Prestareu una atenció especial a la correcció ortogràfica, així com a la coherència, l’ordre i els aspectes for-mals de la vostra exposició.Recordeu que els processadors de textos us ofereixen correctors ortogràfics que us ajudaran.

Presentació

El treball es pot presentar de manera oral amb esquemes audiovisuals que permetin que la presentació siguimés amena i comprensible. Posareu especial èmfasi en la part pràctica del treball i en el procés de recollidade dades.

294

El tr

ebal

l de

rece

rca

CM

YK

ANOTACIONS

295

ANOTACIONS

295

C M

Y K

ANOTACIONS

296

ANOTACIONS

296

CM

YK

LG.MatesII_TX.CAT 30/6/09 11:21 P gina 1

Composici n

C M Y CM MY CY CMY K

,!7II4C3-gjfccf!


Mat

emàt

ique

s II

Orie

ntac

ions

i so

luci

onar

i

edeb

é

edeb

éB

ATXI

LLER

AT

Mat

emàt

ique

s II

BATXILLERAT

edebé

www.edebe.com


Ori

enta

cion

s i s

oluc

iona

ri

INCLOU GUIA PER ALTREBALL DE RECERCA

Documents

Matèria de Matemàtiques II - IOCioc.xtec.cat/materials/BMA2B1A/ma2_b2/sol_exerc_edebe_ma2_b2.pdf · Aquest llibre forma part del projecte editorial Edebé i ha estat elaborat segons